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4 Metodologia para Otimizao de Carteiras de Investimento

A seguir, descrita uma metodologia que permite otimizar a composio

de uma carteira de ativos reais, em particular projetos de investimentos com

opes. Esta otimizao se d em funo da medida Omega (), que leva em

conta nveis de risco e retorno desejados. A metodologia proposta consta de trs

etapas.

4.1. Etapa I: Modelando a Informao

A conformao de uma carteira de ativos reais se torna mais complicada

do que no caso de ativos negociveis no mercado. Isto porque no existe,

geralmente, um histrico de projetos similares nos quais se poderia assumir um

determinado comportamento do seu retorno e/ou volatilidade. E, mesmo que

existisse um projeto parecido, o contexto futuro certamente ser diferente,

fazendo, em princpio, cada investimento ser nico.

Nesta primeira etapa apresentada uma seqncia de passos que

permitir recompilar e modelar a informao em relao aos projetos que

compem a carteira, para posteriormente otimizar a sua composio.

4.1.1. Primeiro passo: Identificao dos Fatores de Risco nos Projetos

Os fatores de risco so aquelas variveis que esto sujeitas a incerteza, e

que causam um impacto relevante nos fluxos de caixa do projeto. Sua adequada

estimativa de vital importncia, visto que determinar a viabilidade ou no de

um empreendimento.

As incertezas podem ser classificadas principalmente em trs tipos:

a) Incerteza Econmica: a qual se origina diretamente dos movimentos

gerais do ambiente econmico, sendo que no se tem quase nenhum controle

sobre os resultados futuros que podem apresentar. Este tipo de incerteza gera o

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risco de mercado do projeto. Por exemplo, podem ser consideradas variveis

com incerteza econmica o preo das commodities, taxa de juros, taxa cambial,

demanda de produtos pelo mercado, e outras mais do ambiente externo.

b) Incerteza Tcnica: esta incerteza no se encontra relacionada aos

movimentos econmicos externos, e sim aos que a prpria companhia possui.

Este tipo de incerteza gera o Risco Privado do projeto. A incerteza tcnica no

se revela com o tempo, como acontece com as incertezas econmicas, e so

necessrios efetuar investimentos seqenciais, para identificar melhor o

verdadeiro cenrio. Por exemplo, existe incerteza tcnica no volume de minrio

de uma mina nova, nas reservas de petrleo de uma jazida, nos custos

envolvidos em projetos de Pesquisa e Desenvolvimento.

c) Incerteza Estratgica: resultado das aes de outras empresas no

mercado. Por exemplo, aquisies, fuses de empresas, leiles de privatizao

do governo, entrada de novos concorrentes, o ingresso de empresas oferecendo

produtos substitutos ou complementares. Esta incerteza modelada atravs da

teoria de jogos, encontrando um ponto de equilbrio que permita lidar

satisfatoriamente diante de eventuais aes dos outros jogadores.

A metodologia apresentada exemplificar basicamente variveis sujeitas a

risco de mercado as quais so encontradas em quase a maioria dos projetos de

investimento. A metodologia pretende ser o mais geral possvel e posteriormente

poderia ser estendida para outros casos onde sejam consideradas incertezas

tcnicas e estratgicas.

4.1.2. Segundo passo: Modelagem das Variveis com Incerteza

Uma vez identificadas as variveis sujeitas a risco de mercado, o seguinte

passo consiste em encontrar um modelo que preveja seu comportamento futuro.

Para isso pode se recorrer a diversas tcnicas, entre as principais, tem-se:

A) Modelagem Economtrica:

Na qual so explorados principalmente os modelos de regresso simples

ou mltiplas, tendo como o mtodo de estimativa mais utilizado os Mnimos

Quadrados Ordinrios e a Mxima Verossimilhana. As diversas modelagens

economtricas5 baseiam-se principalmente na anlise de sries histricas, e a

5 Consulte-se Johnston e Dinardo (1997).

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partir delas procura-se estimar seu comportamento futuro. No so levados em

conta cenrios favorveis ou desfavorveis que so previstos para o futuro, os

quais poderiam mudar significativamente o comportamento histrico da varivel

em estudo. Recomenda-se esta modelagem quando existem ciclos sazonais na

demanda ou nos preos (se utiliza muito no setor eltrico) ou quando so

identificados efeitos causados diretamente por cenrios passados, defasados

por algum perodo de tempo.

B) Modelagem por processos estocsticos:

A modelagem de uma varivel por processos estocsticos geralmente leva

em considerao seu comportamento histrico, o qual serve como uma primeira

estimativa para o clculo dos seus parmetros. Dependendo de como o cenrio

futuro se vislumbre podem se fazer ajustes peridicos aos parmetros, j seja

por meio de estimativas analticas baseadas em atualizaes dos dados

histricos, ou, se for o caso, definidos pelo bom senso do analista.

Cabe ressaltar que a metodologia concentra-se basicamente na

modelagem das variveis de risco por meio de processos estocsticos.

A seguir, descrevem-se os processos estocsticos mais difundidos na

literatura.

1) Movimento Geomtrico Browniano (MGB)

Modelo proposto inicialmente por Black e Scholes (1973) e Merton (1973).

O modelo representado pela Equao (34).

dSt/St = dt + dZ , (34)

onde St o preo do ativo subjacente observado no instante inicial t, a

taxa esperada de crescimento do preo, a volatilidade da taxa de crescimento

do preo (varincia proporcional ao tempo), e, dZ = t(dt)1/2 o incremento do

processo de Wiener com t ~ NID(0,1) e dt o diferencial do tempo.

2) Processos de Reverso Mdia

Uma das crticas feitas ao modelo MGB justamente relacionada no

estacionariedade implcita do processo (a mdia e a varincia crescem

exponencialmente com o tempo). Presses competitivas de ofertas e demandas,

observadas principalmente em preos de commodities, tendem a reverter para

algum nvel sustentvel de preo no longo prazo. Entre os principais, tem-se o

processo de Reverso Mdia Aritmtico e o Geomtrico.

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(2a) Processo de Ornstein-Uhlenbeck Aritmtico

Este processo modelado atravs da Equao (35):

dzS)dtS(dS += , (35)

onde o parmetro corresponde velocidade de reverso e S a mdia

de longo prazo. Este modelo s vezes criticado porque S pode tomar valores

negativos.

(2b) Processo de Ornstein-Uhlenbeck Geomtrico

Desenvolvido inicialmente por Dixit e Pindyck (1994), apresenta a forma da

Equao (36):

dzS)dtS(S

dS+= , (36)

onde a velocidade de reverso e S a mdia de longo prazo. Neste

processo estocstico, a varivel S somente pode tomar valores positivos.

3) Processos com Saltos

De forma a modelar a leptocurtose presente nas sries de preos das

aes, Merton (1976) introduziu pioneiramente um artigo em que preos

apresentavam descontinuidades, modelo que possua mais aderncia

realidade. Isso foi realizado adicionando um termo de saltos (jumps) estocsticos

e imprevisveis modelados como um evento de Poisson. Inicialmente proposto

para precificao de aes, de taxas de juros e de taxa de cmbio, esse modelo

foi posteriormente desenvolvido para evoluo dos preos do petrleo em Dias e

Rocha (1999).

(3a) Modelo de Merton

O modelo de Merton (1976) est dado pela Equao (37):

dqdzk)dt-(S

dS++= , (37)

onde:

0, com probabilidade (1-dt),

Y-1, com probabilidade (dt),

k=E(Y-1), e, Y~Lognor(k+1,2),

dq =

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onde a freqncia dos saltos (varivel de Poisson), Y varivel que

representa a magnitude do salto que tem distribuio lognormal de mdia k+1 e

varincia 2, e dq e dz so variveis no correlacionadas. Observe que o modelo

compensado na tendncia no sentido que o termo de salto no influencia a

taxa de crescimento dos retornos do preo, ou seja, o valor esperado do preo

evolui de acordo com a taxa exponencial dt.

(3b) Modelo de Das

Inicialmente proposto para evoluo de taxas de juros o modelo de Das

(1998) prope reverso mdia com possibilidade de saltos e volatilidade tipo

ARCH. O modelo na sua forma em tempo discreto dado pela Equao (38):

dqztS)S(S ++= , (38)

onde:

[ ]2tt102

tt )SE(Saa +=+ ,

0, com probabilidade (1-t),

Y-1, com probabilidade (t),

k=E(Y-1), e, Y~N(k,2).

A estimativa dos parmetros dos diversos processos estocsticos

sempre um desafio. Muitas das vezes o bom senso do analista ajuda muito neste

trabalho. Se basear a estimativa dos parmetros em dados histricos, uma

maneira bastante prtica pela maximizao da funo de mxima-

verossimilhana, como feito em Das (1998).

4.1.3. Terceiro passo: Determinao das Correlaes entre as Variveis de Risco dos projetos da Carteira

Uma vez identificadas as variveis sujeitas a risco e po