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Michelangelo Laterza – La valutazione della sicurezza

4° Lezione

STATI LIMITE ULTIMI : Flesione Semplice e Composta

Stati limite ultimi

Ipotesi di Base

a) legami costitutivi non-lineari con deformazioni massime limitate (sia per il cls che per l'acciaio);

b) conservazione delle sezioni piane;

c) perfetta aderenza acciaio-cls (εs=εc);

d) cls teso non reagente (II stadio convenzionale).

Michelangelo Laterza – Gli Stati Limite Ultimi per tensioni normali

Caratterizzazione dei materiali – D.M. 96

Resistenze di calcolo (calcestruzzo di resistenza Molto Bassa-Bassa-Media):

,

ckcd

m c

ffγ

= , 1.6m cγ =

2 230.27 0.7 0.7 ( ) ( / )ctk ctm ckRf mmf N= ⋅ = ⋅ ⋅

Calcestruzzo

0.83ck ckf R= ⋅

0.85 0.44 cd ckf R=

ooo2 oo

o5,3

ctkf

2 ( / )5700 cc kE NR mm= ⋅Modulo elastico:

Deformazioni limite: ooo2 oo

o.53

Per un calcestruzzo C20/25 (Rck = 25 N/mm2) 20.85 0.44 11 /cd ckf R N mm= ⋅ =⋅ 2 1.9 /cfkf N mm=

1.2 cfk ctkf f= ⋅0.85 0.44 cd ckf R=

ooo5,3

ctkf

flessione

Compressione

Trazione


228500 /cE N mm=

Caratterizzazione dei materiali - D.M. 23/9/2005


,

ckcd

m c

Rfγ

= 1.6, 0.831.9m cγ = ≈

20. 0.7 0.7 ( / )48 ( )ct ctmk ckf Nf R mm= ⋅ ⋅= ⋅

Calcestruzzo

0.52 cd ckf R=

ooo2 oo

o5,3

ctkf

3 2 ( /1 0 )1 0 0c cmE NR mm⋅=Modulo elastico:

Deformazioni limite: ooo2 oo

o.53

Per un calcestruzzo C20/25 (Rck = 25 N/mm2) 20.5 /2 13cd ckf R N mm= ⋅ = 22.0 /cfkf N mm=

1.2 cfk ctkf f= ⋅0.52 cd ckf R=

ooo5,3

ctkf

flessione

Compressione

Trazione


233600 /cE N mm=

Caratterizzazione dei materiali – D.M. 14 gennaio 2008


,

ckcd

m c

ffγ

= γ m,c = 1.5

fctk = 0.7 ⋅ fctm = 0.7 ⋅0.3 ⋅ ( fck )23 (N / mm2 )

Calcestruzzo

0.83ck ckf R= ⋅

0.85 fcd = 0.47 Rck

ooo2 oo

o5,3

ctkf

Ecm = 22000 ⋅[ fcm /10]0,3 (N / mm2 )Modulo elastico:

In sede progettuale:

Per un calcestruzzo C20/25 (Rck = 25 N/mm2)

0.85 ⋅ fcd = 0.47 ⋅ Rck = 11,75 N / mm2 2 1.9 /cfkf N mm=

1.2 cfk ctkf f= ⋅ flessione

Compressione

Trazione


Ec ≈ 24000 N / mm2

fcm = fck − 8 (N / mm2 )

0.85 fcd = 0.47 Rck

�

1.75 ooo oo

o5,3ctkf

0.85 fcd = 0.47 Rck

�

0.7 ooo oo

o5,3ctkf

Caratterizzazione dei materiali – D.M. 96

Acciaio

syksyd

s

ff

γ= 151.s =γ

Modulo elastico Es = 206000 N/mm2

Per un acciaio FeB 44 k fyk = 430 N/mm2

2430 374 /1.15

sykyd

s

ff N mm

γ= = =

374 1.82 /206000

syd osyd oo

s

fE

ε = = =

Resistenza di calcolo:

sydsyd

s

fE

ε =

Deformazione al limite elastico

fsyd

εsyd ooo10εsyk

fsyk


Caratterizzazione dei materiali – D.M. 14 gennaio 2008

Acciaio

syksyd

s

ff

γ= 151.s =γ

Modulo elastico Es = 206000 N/mm2

Per un acciaio B450C fy nom = 450 N/mm2 ft nom = 540 N/mm2

f yd =

fsyk

γ s

=4501.15

= 390 N / mm2

εsyd =

fsyd

Es

=390

206000≈ 1.9 o /oo

Resistenza di calcolo:

sydsyd

s

fE

ε =

Deformazione al limite elastico

fsyd

εsyd ooo10εsyk

fsyk


Congruenza

c c s

x dε ε ε+

=

c

c s

x dε

ε ε⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

''

c s

x x cε ε

=−

B

As

d H G

x A’s

cε

x 'sε

sε

'c

c

''s cx cx

ε ε−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Hp: b) conservazione delle sezioni piane;


Deformazioni e Tensioni (TA)

fsyk

εsyk sε

ckf

ooo2 oo

o5,3c ammσ −

cε

Calcestruzzo

Acciaio

Hp:

a) legami costitutivi elastico-lineari;

b)  conservazione delle sezioni piane;

c)   perfetta aderenza acciaio-cls;

d) cls teso non reagente.

B

As

d H G

x A’s

cε

x 'sε

sε

1/3 x

x

cσ

T

C

(d-H

/2)

(H/2

-1/3

x)

(d-H

/2)

C’

sn

σ

s ammσ −


Deformazioni e Tensioni (SLU) B

As

d H G

x A’s

cε

x 'sε

sε

0.416 x

x

0.85 0.44 cd ckf R=

T

C

(d-H

/2)

(H/2

-0.4

16x)

(d-H

/2)

C’ 0.416 x

0.8

x

0.85 0.44 cd ckf R=

T

C

(d-H

/2)

(H/2

-0.4

16x)

(d-H

/2)

C’

fsyd

εsyd ooo10 sε

0.85 0.44 cd ckf R=

ooo2 oo

o5,3

ctkf

cε

0.85 0.44 cd ckf R=

�

0,7 ooo oo

o5,3ctkf

cε

Calcestruzzo

Acciaio

Hp:

a) legami costitutivi non-lineari;

b)  conservazione delle sezioni piane;

c)   perfetta aderenza acciaio-cls;

d) cls teso non reagente.


Collasso convenzionale della Sezione (S

LU

) (T

A) s amm s esσ σ− −≥ c amm c esσ σ− −≥

Il collasso della sezione è identificato con il raggiungimento della deformazione ultima nel Calcestruzzo e/o nell’Acciaio Calcestruzzo compresso Acciaio teso

εcu = 0.0035 (Flessione) εsu = 0.01(DM’96)

εcu = 0.002 (Compressione) εsu = --- (DM2008)

Il collasso della sezione è identificato con il raggiungimento della tensione ammissibile nel Calcestruzzo e/o nell’Acciaio


Equilibri (TA) B

As

d H G

x A’s

2

c B xC σ ⋅ ⋅=

s sT A σ=

cε

x

' ' 's sC A σ=

'sε

sε

1/3 x

x

cσ

T

C

(d-H

/2)

(H/2

-1/3

x)

(d-H

/2)

C’

'N C TC= + −Equilibrio alla traslazione orizzontale

Equilibrio alla rotazione intorno all’asse baricentrico G-G

'2 2 2 3H H H xM d C d CT ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sn

σ


Equilibri (SLU) B

As

d H G

x A’s

0.85 0.8 0.68 B =cd cdfC fx xB= ⋅ ⋅ s sT A σ=

cε

x

' ' 's sC A σ=

'sε

sε

0.416 x

x

0.85 0.44 cd ckf R=

T

C

(d-H

/2)

(H/2

-0.4

16x)

(d-H

/2)

C’ 0.416 x

0.8

x

0.85 0.44 cd ckf R=

T

C

(d-H

/2)

(H/2

-0.4

16x)

(d-H

/2)

C’

'N C TC= + −Equilibrio alla traslazione orizzontale


' 0.4162 2 2H H HM d C xT Cd⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Campi di Rottura

B

x

As

0.002cuε =

yε0.01

A’s

G

cε

sε

d H

B

A

0.0035cuε =

C 1

2

3 4 4’

5


Campi di Rottura B

x

As

0.002

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

B

x

As

0.002

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

1

d H

d H

B

A

B

A Ty


x ≤ 0

B

x

As

0.25

9 d

0.002

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

B

x

As

0.25

9 d

0.002

0.45

d

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

2

3

3’

d H

d H

B

A

B

A

0.65

d

Ty

Ty

Campi di Rottura


0 ≤ x ≤ 0.259d

0.259d ≤ x ≤ 0.65d

B

x

As

0.002

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

B

x

As

0.002

≅ 0.

43 H

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

d H

d H

4 4’

C

B

A

5

0.00350.0035y

dε +

0.0035 0.0020.0035

H−

Campi di Rottura

≅ 0.

65 d

C

T


H ≤ x ≤ +∞

0.65d ≤ x ≤ (d) ÷ (H)


Campo 1 (Trazione e Tensoflessione)

B

x

As

0.002

syε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

1 d H

B

A

T’

Ty

'yrd TT T= +

( ) ' ( )2 2d yrH HM d T dT= ⋅ − − ⋅ −

Equilibrio alla traslazione orizzontale

y s sydT A f=

' ' s sT A f=syε

(d-H

/2)

(d-H

/2)

0C =' ' 's sT A σ=

B

As

d H G

x A’s

B

x

As

0.25

9 d

0.002

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

2

d H

B

A

0.85 0.8 0.68 B cd cdfC B x x f≅ ⋅ ⋅ ≅

( ) ( 0.416 ) ' ( )2 2 2rd yH H HM d x CCT d= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −'rd yCN C T= + −

y s sydT A f=0.01

cε

' ' 's sC A σ=

0.416 x

x

0.85 0.44 cd ckf R≅ =

Ty

C

(d-H

/2)

(H/2

-0.4

16x)

(d-H

/2)

C’ 0.416 x

0.8

x

0.85 0.44 cd ckf R≅ =

Ty

C

(d-H

/2)

(H/2

-0.4

16x)

(d-H

/2)

C’

Campo 2 (Flessione e Pressoflessione)

syε


B

x

As

0.25

9 d

0.002

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

2

d H

B

A

Campo 2 (Rottura Limite)

( ) ( 0.1 ) ' ( )2 2 2yrd yT H H HM d dC C d= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −'rd yyN C TC= + −

B

As

d H G

x A’s

0.01

0.0035

0.25

9 d 0.1d

0.25

9 d

0.85 0.44 cd ckf R=

Ty

C

(d-H

/2)

(H/2

-0.1

d)

(d-H

/2)

C’ 0.1d

0.2d

0.85 0.44 cd ckf R=

C

(d-H

/2)

(H/2

-0.1

d)

(d-H

/2)

C’

0.85 0.8 0.68 B =cd cdfC fx xB= ⋅ ⋅ y s sydT A f= ' ' y s sydC A f≈

Ty syε


B

x

As

0.25

9 d

0.002

0.45

d

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

3

3’

d H

B

A

0.65

d x


( ) ( 0.416 ) ' ( )2 2 2yyrdH H Hd dC xTM C= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −'rd yyN C TC= + −

B

As

d H G

x A’s

0.01

0.0035

0.25

9 d

x

0.85 0.44 cd ckf R=

Ty (d

-H/2

)

0.416 x

C

(H/2

-0.4

16 x

)

(d-H

/2)

C’

0.8

x

0.85 0.44 cd ckf R=

(d-H

/2)

(d-H

/2)

C’

0.85 0.8 0.68 B =cd cdfC fx xB= ⋅ ⋅ y s sydT A f= ' ' y s sydC A f≈

Ty

0.416 x

C

(H/2

-0.4

16 x

)

Rottura Bilanciata

syε


B

x

As

0.002

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

d H

4 4’

B

A

0.00350.0035y

dε +

≅ 0.

65 d

B

As

d H G

x A’s

0.01

0.0035

x

0.85 0.44 cd ckf R=

T(d

-H/2

)

(d-H

/2)

C’ 0.85 0.44 cd ckf R=

T

(d-H

/2)

(d-H

/2)

C’

0.85 0.8 0.68 B =cd cdfC fx xB= ⋅ ⋅

( ) ( 0.416 ) ' ( )2 2 2rd yH H Hd dC xTM C= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −'rd yCN C T= + −

s sT A σ= ' ' y s sydC A f≈


0.416x

C

(H/2

-0.4

16x)

0.416x

C

(H/2

-0.4

16x)

0.8

x

yε


B

x

As

0.002

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

d H

4 4’

B

A

0.00350.0035y

dε +

≅ 0.

65 d

B

As

d H G

x A’s

0.01

0.0035

x

0.85 0.44 cd ckf R=

(d-H

/2)

(d-H

/2)

C’ 0.85 0.44 cd ckf R=

(d-H

/2)

(d-H

/2)

C’

0.85 0.8 0.68 B =cd cdfC fx xB= ⋅ ⋅

( ) ( 0.416 ) ' ( )2 2 2rd yH H HM d x CT dC= − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −'rd yCN C T= + +

s sT A σ= ' ' y s sydC A f≈

Campo 4’ (Pressoflessione)

0.416x

C

(H/2

-0.4

16x)

0.8

x

yε T T

0.416x

C

(H/2

-0.4

16x)


B

x

As

0.002

≅ 0.

43 H

yε0.01

A’s

0.0035

G

cε

sε

d HC

5

0.0035 0.0020.0035

H−

B

As

d H G

x A’s

0.01

0.0035

x

0.85 0.44 cd ckf R=

(d-H

/2)

(d-H

/2)

C’ 0.85 0.44 cd ckf R=

(d-H

/2)

(d-H

/2)

C’

0.85 cdC f B H≅ ⋅ ⋅ s sT A σ= ' ' y s sydC A f=

C

syεT T

C

Campo 5 (Pressione e Pressoflessione)

( ) ' ( )2 2rd yH HM d CT d− ⋅ − + ⋅ −≅'rd yCN C T= + +

≅


B

x

As

0.002cuε =

sydε0.01

A’s

G

cε

d H

B

A

0.0035cuε =

C 1

2

3 4 4’

5

Domini di Rottura

1

2

3

4 5

M

N

sε


Verifiche

M

N

(Msd, Nsd)

Mrd (solo flessione)

Trd (solo trazione)

Nrd (solo compressione)


Per ogni combinazione considerata deve risultare: MSd ≤ MRd (NSd)

MSd = Momento prodotto dalle azioni di progetto MRd = Momento resistente (o Momento Ultimo) della sezione che è funzione dello sforzo normale NSd agente nella sezione per effetto della combinazione di azioni per la quale si effettua la verifica.

La verifica della sezione coincide con il calcolo del suo momento Resistente MRd (Capacità della Sezione)

Verifiche – Pressoflessione deviata

Mx

N

(Msd, Nsd)

Mrd (solo flessione)

Trd (solo trazione)

Nrd (solo compressione)


La verifica della sezione può essere effettuata linearizzando la frontiera del dominio (Mx-My) corrispondente allo sforzo normale NSd della combinazione in esame.

Mx

My

N

Mx

My

(Msdx, Msdy, Nsd)

N = Nsd

My

Mx

x

y

Nsd

Mx

My

Nsd

Msdy

M Rdy

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

α

+Msdx

M Rdx

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

α

≤ 1

MRdx

MRdy

Verifiche

M

N

TA*1.45 SLU

1.45syds

s amm

fα

σ −

= ≅

Per un acciaio FeB 44 k fyk = 430 N/mm2

2430 374 /1.15

sykyd

s

ff N mm

γ= = =

2260 /s amm N mmσ − =

Resistenze Per un calcestruzzo C20/25 (Rck = 25 N/mm2)

20.85 0.44 11 /cd ckf R N mm⋅ = ⋅ =28.3 /c amm N mmσ − =

0.85 1.3

0.85 1.90.7

cd

c ammc

cd

c amm

f Flessione

f Compressione

σα

σ

−

−

⎧ ≅⎪⎪= ⎨⎪ ≅⎪ ⋅⎩

Resistenze

1.4 1.5 1.452 2

g Qsoll

γ γγ

+ += = =

Sollecitazioni


Duttilità

cs sc Curvatud

radx x

ε εεεϕ

+= =

−=B

As

d H G

x A’s

cεx 'sε

sε

'c

c

) ( u

y

Duttilità di S o diezio Curvaturaneϕχϕ

=

fsy

εsy εsu

u

y

Duttilità di Materialeεµε

=

ysy Curvatura di prima plasticizza

dz n

xio e

εϕ =

−

sy ss

u

cuu

su

s sy

d xCurvatura ultise

sema

x

ε ε ε

ε ε

εϕ

εϕ

=

⎧≤ ≤⎪⎪

⎨=

−

=⎪ ≤⎪⎩


Rottura in campo Duttile

1

2

3

4 5

M

N

B

x

As

0.002cuε =

sydε0.01

A’s

G

cε

d H

B

A

0.0035cuε =

C 1

2

3 4 4’

5

sε


1u

y

ϕχϕ

= ≥

Campi di Rottura Duttile

Duttilità

La corretta progettazione di una sezione inflessa deve prevedere una rottura di tipo duttile e ciò per almeno tre ragioni:

1) La rottura fragile avviene improvvisamente senza segni premonitori (ampie fessure, deformazioni eccessive, ……) che consentono di prendere immediati provvedimenti di salvaguardia (riduzione dei carichi, puntellamento, sgombero, ........)

2) Nelle strutture iperstatiche, tipiche delle costruzioni in c.a., il comportamento duttile delle sezioni inflesse consente la redistribuzione dei momenti flettenti

3) In caso di sisma la duttilità delle sezioni consente alla struttura di deformarsi conservando una buona resistenza e favorisce la dissipazione di una parte dell'energia trasmessa dal terreno alla struttura in elevazione


Resistenza e Duttilità 2) Nelle strutture iperstatiche, tipiche delle costruzioni in c.a., il comportamento duttile delle sezioni inflesse consente la redistribuzione dei momenti flettenti

q

l

2

12A Bq lM M ⋅= =

2

24Cq lM ⋅=

21 )12

( u Collasso SLU

qRottura Sezione

Ml⋅=

⎧⎨⎩

Mu

ϕy ϕu

A B C

A B

C

21

12A Bq lM M ⋅= =

22

21

8 12 uCqM Mq ll⋅ ⋅ == −

2228u

qM l⋅=

12 1.33q q⋅=

A B


C

C

uM

uM22

( )

16 u Collasso Realeq

Labilizzazione StruM

al ttur⋅=

⎧⎨⎩

1

2 43q

qγ = =


Resistenza e Duttilità 3) In caso di sisma la duttilità delle sezioni consente alla struttura di deformarsi conservando una buona resistenza e favorisce la dissipazione di una parte dell'energia trasmessa dal terreno alla struttura in elevazione

m

y

Duttilità di StrutturaµΔΔ=Δ

u

y

Duttilità di Sezioneϕ

χ ϕ=

u

y

Duttilità di Materialeεε

µ = m

y

EDV qVq µΔ ⇒Δ≈ = =

Δ

m

y

Duttilità di SpostamentoµΔΔ=Δ

V

T Δ Δy (q·Δy)

VD=Vy

VE

T0

D

Eq Fattore di StruVV

ttura=

Spettro Elastico

Spettro di Progetto

V

Progettazione in termini di duttilità strutturale

Elevate capacità di duttilità consentono elevate riduzioni della resistenza alle sollecitazioni sismiche.

Minore è la capacità in termini di duttilità, maggiore è la resistenza richiesta.

Resistenza e Duttilità 3) In caso di sisma la duttilità delle sezioni consente alla struttura di deformarsi conservando una buona resistenza e favorisce la dissipazione di una parte dell'energia trasmessa dal terreno alla struttura in elevazione

d

B

x cls compresso

cls teso

0.85 0.44 cd ckf R=

TAs

0.416 x

C

(d-0

.416

x)

2

2

0.65 per Fe B 44

NORMA

0.45

0.

(D.M.96)

se

se

3

5

k

5

335

ck

y

ck

xdxd

f

f

NmNmm

xd

m≤

≤

≤

≅

>

(0.8 ) (0.85 )cd s sydB x f A f⋅ ⋅ = ⋅

Stato limite ultimo

Progetto di una sezione inflessa a semplice armatura

Nrd = 0

Equazione di equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave:

C = T

0.8 0.85s syd

cd

A fx

B f⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ( 0.416 ) (0.8 0.9)rd s syd s sydM A f d x A f d= ⋅ ⋅ − ≈ ⋅ ⋅ ÷ ⋅

0.8

x


22

poniamo

1 0.45

0.45 0.8 0.8

0.8 0.85

0.3

0.2

0

5

(0.8 )

.4

0.3 0.

5

8 4

s syd

cd

s cd

syd

r

cd

syd

s syd cdd cd

A fxB f

A fB d f

M f

d dff

A f d f B B

d

dd

x

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅

= =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅

⋅= per

0.1

0.259

26

.5 sd

cd

sd

cd

xd

B f B fM Md =⋅

≈⋅⋅

=

⇓

Progetto di una sezione inflessa a semplice armatura

0.242 sd

cd

sd

cd

sd rdpost

MdB f

o

Mf

M

B

M

=⋅

≈⋅

=

⋅

d

B

As

0.8

x

0.85 0.44 cd ckf R=

Ty

0.416 x ≅ 0.1 d

C

(0.9

d)

0.01

0.0035

0.25

9 d

0.8

x

0.85 0.44 cd ckf R=

0.416 x ≅ 0.2 d

C

(0.8

d)

0.0035

0.45

d

syε0.01syε

0.45xNormad

⎧ ⎫≤⎨ ⎬⎩ ⎭

(0.8 0.9)yrdM T d= ⋅ ÷ ⋅

0N C T= ⇒ =

y s sydT A f=Ty


G

x

B

x

As

0.25

9 d

0.002

yε0.01

0.0035

G

cε

sε

2

d H

B

A


0.45

d

0.65

d

3

3’

0.8 0.85s syd

cd

A fx

B f⋅

=⋅ ⋅ ⋅

0.680.8 0.

1poniamo 85

s syd cds

cd syd

A fx x d fA Bd Bd df f

α α α= = = = ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅⇒ ⋅⇒ ⋅

Rottura duttile 0.65 ( 44 ) 0.442 cds

syd

Fe fA B dkf

Bα ≤ ⇒ ≤ ⋅ ⋅ ⋅

Rottura duttile 0.45 ( ) 0.306 cds

syd

NO fA B dR Af

Mα ≤ ≤ ⋅ ⋅ ⋅⇒

Rottura duttile 0.259 ( 2) 0 176 . cds

syd

Ca fA B dm of

pα ≤ ≤ ⋅ ⋅ ⋅⇒

Δϕ2<0

I carichi a scacchiera

( )

1 2

1 var 2 1

2

var0

20

( ) ( ) ) ( )

0

(

i i i

l l

i

MIN

q x v x dx q x v x dxM

ϕ

− −

−Δ

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

>

∫ ∫

+

_

v

qvar

qperm MMAX

Δϕ2<0

_v

qvar

qperm MMIN _

( )

1

0

2

1 var 2( ) ( )

0

i i

M X

l

A

q xM

x v dx

ϕ

−

=−Δ

⋅ ⋅

>

∫

l1 l2

Michelangelo Laterza – ESERCITAZIONE


ARMATURE SOLAI

2φ14 L=400 1φ10+1φ14 L=350

2φ10 L=600 1φ10+1φ14 L=600

1φ10 L=200 1φ10 L=200

1φ14 L=500

200 200 180 170

20 20

1φ14 1φ10

10

10

10

10 10

10 10

10


ARMATURE SOLAI

1φ14 L=400 1φ10 L=350

2φ10 L=600 1φ10+1φ14 L=600

1φ10 L=200 1φ10 L=200

1φ14 L=500

200 200 180 170

10

10

10

10

20 20

1f14 1f10

1φ14 L=340

120 120

1φ14 L=300

150 150

480 10

10 10

10

4° Lezione

FINE

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