4. Dinamica de actuadores

Dr. Martn Velasco Villa

Seccion de Mecatronica

Abril de 2015

Dinamica de motores de CD en robots rgidos de magnetopermanente

Un motor de CD controlado por armadura puede representarse electricamente como sedescribe en la figura.

Circuito electrico de la corriente de armadura

donde

V : Voltaje de armadura (Rotor) m : Posicion del rotor (Rad)L : Inductancia de (Henrios) m : Torque generado (N-M)R : Resistencia de armadura l : Torque de carga (M-M)Vb : Fuerza contra electromotriz (Volts) : Flujo magnetico debido al estatoria : Corriente de armadura (Webers)

La corriente de armadura produce,

Ldiadt

+ Ria = V Vb. (1)

Si el estator produce un flujo magnetico radial y la corriente en el rotor es ia, lamagnitud del torque generado resulta

m = k1ia (F = i ) (2)Como se consideran motores de CD de magneto permanente es posible considerar unflujo constante, entonces,

m = kmia (3)

donde km = k1 es la constante de torque (N-M/amp).Cuando un conductor se mueve en un campo magnetico, un voltaje Vb es generado ensus terminales, el cual es proporcional a la velocidad del conductor en el campo. Estevoltaje es llamado Fuerza contraelectromotriz, el cual resulta,

Vb = k2wm (4)

con wm (rad/seg ) siendo la velocidad angular del rotor y k2 una constante deproporcionalidad.

Considerando constante,

Vb = k2wm = kbwm = kbdmdt

(5)

donde kb es la constante de fuerza electromotriz.

I Puede probarse que km y kb son iguales.

Cuando el motor es detenido, el torque generado por el rotor cuando se aplica unvoltaje Vr se denota 0.Considerando,

Ldiadt

+ Ria = V Vb y m = kmiacon Vb = 0 y

diadt = 0 se obtiene (una condicion equivalente es L 0),

Vr = Ria =R0km

(6)

Por lo tanto, la constante de torque puede obtenerse como,

km =R0Vr

. (7)

Modelo de articulaciones independientes

I Estructura MotorEngranesEslabones. Motor de DC en serie con un tren deengranes con una relacion de reduccion r .

Ja : Inercia del actuador (motor) Jl : Inercia de la carga (eslabones)Jg : Inercia de los engranes Bm : Coeficiente de friccion del motorm : Angulo del rotor s : Angulo de salidam : Torque del motor s : Torque de salidaJm = Ja + Jg m = rs

Con respecto a la figura, es facil ver que,

JLd2sdt2

= l

y del lado del motor,

Jmd2mdt2

+Bmdmdt

= m lr

= kmia lr

. (8)

donde lr corresponde al par de carga reflejado antes del tren de engranes.Considerando (1), (5) y (8) se obtiene,

L diadt + Ria = V kb dmdtJm

d2mdt2

+Bmdmdt = kmia lr .

(9)

Dado que la constante de tiempo electrica LR , es mucho mas pequena que la

constante de tiempo mecanica JmBm , la inductancia de la armadura L puede ser

despreciada (L 0), entonces,

Ria = V kb dmdt

. (10)

Por lo tanto,

Jm m +Bm m = km

(V

R kb

Rm

) l

r

esto es,

Jm m +

(Bm +

kmkbR

)m =

kmR

V lr

. (11)

Obteniendose equivalentemente una representacion de la forma,

J +B = u (t) d (t) (12)donde B es la constante de amortiguamiento, u representa la senal de control y d sonperturbaciones de entrada.

El desarrollo anterior puede utilizarse para reformular la dinamica de un manipulador alincorporar el efecto de los motores de CD actuando en las articulaciones.Para cada articulacion el modelo motor-engranes-eslabon produce

Jmk mk +Bk mk =kmkRk

Vk krk

, k = 1, . . . , n (13)

donde

Bk = Bmk +kbk kmkRk

.

Multiplicando (13) por la relacion de engranes rk y considerando que

mk = rkqk (14)

se obtiene,

r2k Jmk qk + r2kBk qk = rk

kmkRk

Vk k . (15)

La dinamica del manipulador obtenida anteriormente esta dada por,

n

j=1

dkj (q) qj +n

i=1

n

j=1

Cijk (q) qi qj + gk = k . (16)

Sustituyendo (15) en (16) se obtiene,

r2k Jmk qk +n

j=1

dkj qj +n

i=1

n

j=1

Cijk qi qj + r2kBk qk + gk = rk

kmkRk

Vk , k = 1, . . . , n (17)

En forma matricial,M (q) q + C (q, q) q +Bq + g (q) = u (18)

donde

M (q) = D (q) + J, J = diag{r2i Jmi

}B = diag

{r2i Bi

}, Bi = Bmi +

kbi kmiRi

Las matrices C (q, q), g (q) Estan definidas en el modelo original del manipulador.El vector de entrada de u tiene elementos,

uk = rkkmkRk

Vk , k = 1, . . . , n. (19)

I uk tiene unidades de torque.

Considerando la matriz de coeficientes de friccion B 6= 0 se obtiene el modeloequivalente,

M (q) q + C (q, q) q +Bq + g (q) = u (20)

que puede analizarse de manera similar al modelo original que no considera ladinamica de los motores ya que M (q) sigue siendo una matriz simetrica, definidapositiva y la matriz M (q) 2C (q, q) resulta tambien un matriz antisimetrica.Las estrategias de control que se presentaran a continuacion pueden aplicarseindistintamente a manipuladores descritos con respecto a M (q) o D (q), esto es,

D (q) q + C (q, q) q +Bq + g (q) = (21)

M (q) q + C (q, q) q +Bq + g (q) = u (22)