Introduction to Control Systems

IV. Απόδοση Συστημάτων Ελέγχου (Control System Performance)

• Απόκριση μεταβατικής κατάστασης [transient response] • Απόκριση μόνιμης κατάστασης [steady-state response] • Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της μεταβατικής κατάστασης;

Απόκριση και οι Θέσεις των Πόλων (LTI)

( )( )( )

n sH sd s

=

Μηδενικά: Ρίζες της n(s)=0 Πόλοι: Ρίζες της d(s)=0

Κρουστική απόκριση Φυσική απόκριση [natural response]

( ) ( )LTh t H s→ Συνάρτηση μεταφοράς

Παράδειγμα

11( ) ( ) ( )ILT tH s h t e u t

sσ

σ−

−= → =+

Όταν σ>0 ο πόλος βρίσκεται στο s<0 και η h(t)→0. Η κρουστική απόκριση είναι ευσταθής.

Όταν σ<0 ο πόλος βρίσκεται στο s>0 και η h(t)→∞. Η κρουστική απόκριση είναι ασταθής.

Σταθερά χρόνου: τ=1/σ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

e-σ t

e-σ t

0,37=1/e

τ

Μιγαδικοί πόλοι

Ρίζες d(s)=0 : Πραγματικές ή μιγαδικές

ds jσ ω= − ±

( )( )( )2 2 2 2 2

( )

( ) 2d d

d d

d s s j s j

d s s s s

σ ω σ ω

σ ω σ σ ω

= + − + +

= + + = + + +

Ορισμός: 2 2n dω σ ω= + Φυσική κυκλική συχνότητα

n

σζω

= Λόγος απόσβεσης

2 2( ) 2 n nd s s sζω ω= + +

σ ωd

Undamped natural frequency

Damping ratio

Μετασχηματισμός από Αντίστροφος μετασχηματισμός:

( ) ( ), ,d nσ ω ζ ω→

21d n

n

ω ω ζσ ζω

= −

=

σ

ωd ωn

ζ=sinθ Re(s)

Im(s)

2 2 2( ) 2 n nd s s sζω σ ω= + + +

2

2 2( )2

n

n n

H ss s

ωζω ω

=+ +

Μοναδιαία βηματική απόκριση:

( ) 12( ) sin ( )

1tn

dh t e t u tσω ωζ

−−=

−

( ) 12

21

1( ) 1 sin ( )1

1tan

tdc t e t u t

ό

σ ω θζ

ζπου θ

ζ

−−

−

= − +−

− =

Κρουστική απόκριση:

Παράδειγμα 2

2 1( )2 5

sH ss s

+=

+ +

2 5 5 2.24sec

12 2 0.447

n n

nn

radω ω

ζω ζω

= ⇒ = =

= ⇒ = =

Για να βρούμε την h(t):

( ) ( ) ( )( )

2 2 22 2 2 2

2 1 2 1 1 2( )2 5 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 22 , 0.5

s s sH s a bs s s s s

s a s b as a ba b

+ + += = = ⋅ + ⋅

+ + + + + + + +

+ = + + = + +

⇒ = = −

0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

h(t)( ) 1( ) 2 cos(2 ) 0.5 sin 2 ( )t th t e t e t u t− −− ⇒ = −

Περίληψη •Απόκριση vs. θέση πόλων

2 21 1

( )( )( ) 2

k k

M Ni k k

i ki k n n

ί ί όό

A B s Cn sH sd s s s s

πραγµατικο µιγαδικο π λοιπ λοι

σ ζ ω ω= =

+= = +

+ + +∑ ∑

Χαρακτηριστικά στο πεδίο του χρόνου

•Χρόνος ανόδου Tr: ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει στη μόνιμη τιμή ή •Χρόνος ανόδου Tr1: ο χρόνος που απαιτείται για να από το 10% στο 90% της μόνιμης τιμής. [Rise Time] • Χρόνος αποκατάστασης Ts: ο χρόνος που απαιτείται για να αποσβεστούν οι ταλαντώσεις. [Settling Time] • Υπερύψωση Mp: Ο λόγος της μέγιστης τιμής της απόκρισης προς την τελική της τιμή. (συνήθως εκφράζεται σε %) [Overshoot] •Χρόνος κορυφής Tp: ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει η απόκριση στη μέγιστή της τιμή. [Peak Time]

Προσεγγίσεις για συστήματα 2ης τάξης

Σχέσεις μεταξύ Tr1, Ts, Mp, Tp και θέσεις πόλων

1

2.16 0.6r

n

T ζω+

= Απλούστερη προσέγγιση: 1

1.8r

n

Tω

=

4sT

σ=

Ο χρόνος που χρειάζεται για φτάσει και να κυμαίνεται εντός 2% της τελικής τιμής

40.02 4sTs se T Tσ σ

σ− < ⇒ ≈ ⇒ ≈

2

2

1

1% 100 %

p

p

M e

M e

πζ

ζ

πζ

ζ

−−

−−

=

= ⋅

Παράγωγος της βηματικής απόκρισης ίση με μηδέν

pd

T πω

= Σημείωση: Αυτές οι προσεγγίσεις ισχύουν για συστήματα 2ης τάξης χωρίς μηδενικά.

Παράδειγμα

Βρείτε την επιτρεπτή περιοχή στο επίπεδο s για τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

) 0.6secri T ≤

( )

21

1

) 10% : 0.1

0.6 sin 37

2.16 0.6) 0.6sec : 0.6

2.16 0.6 3.160.6

4) 2sec : 2 2

p

rn

n

s

i M e

ii T

iii T

πζ

ζ

ζ θ ζ

ζω

ζω

σσ

−−

−

≤ ≤

⇒ ≥ = =

+≤ ≤

+⇒ ≥ =

≤ ≤ ⇒ ≥

( ) 10%pii M ≤ ( ) 2secsiii T ≤

Επίδραση μηδενικών και επιπλέον πόλων • Ένα επιπλέον μηδενικό στο αριστερό ημιεπίπεδο που είναι σχετικά κοντά σε πόλο, αυξάνει την υπερύψωση.

• Ένα επιπλέον μηδενικό στο δεξιό ημιεπίπεδο μειώνει την υπερύψωση και μπορεί να κάνει τη βηματική απόκριση να ξεκινάει αντίστροφα.

Σύστημα μη ελάχιστης φάσης [Non-minimum phase system]

• Ένας επιπλέον πόλος στο αριστερό ημιεπίπεδο που είναι σχετικά κοντά στο πραγματικό μέρος των (μιγαδικών) πόλων, αυξάνει σημαντικά το χρόνο ανόδου.

t

y(t)

Παρακολούθηση στη Μόνιμη Κατάσταση και Τύπος Συστήματος

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( )

1 ( ) ( )

E s R s Y sY s G s C s E s

E s R s G s C s E s

E S R sG s C s

= − =⇒ = −

⇒ =+

r y+

-

e( )C s ( )G s

0

1( ) ( )1 ( )

E S R sG s

=+

00

( )lim ( ) lim1 ( )sst s

sR se t eG s→∞ →

= =+

0 ( ) ( ) ( )G s G s C s=Έστω

1) Βηματική είσοδος [step input]

2) Είσοδος ράμπας [ramp input]

3) Παραβολική είσοδος [acceleration input]

1) Βηματική είσοδος

1( ) ( )

( )

r t Au tAR ss

−=

=

( )( ) ( )( )( ) ( )

00 0

1 20

1 2

( )lim1 ( ) 1 (0)

...( )

...

ss s

MN

Q

sR s AeG s G

K s z s z s zG s

s s p s p s p

→= =

+ +

+ + +=

+ + +

N=0: Τύπος συστήματος 0 N=1: Τύπος συστήματος 1 N=2: Τύπος συστήματος 2 …

01 (0) 0ssN ό G eν τ τεΑ ≥ = ∞⇒ →

A: πλάτος της βηματικής συνάρτησης

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

00 1 1

1

01 1

00

...lim

1 (0) ... ...

...lim

... ...

1 0

0 (0) :1 (0)

NQ

ss NsQ M

NQ

ss NsQ M

ss

ss

As s p s pAeG s s p s p K s z s z

s Ap pe

s p p Kz z

N eAN e G ά ά έG

ταθερ σϕ λµατος θ σης

→

→

+ += =

+ + + + + +

⇒ =+

≥ ⇒ =

= ⇒ = Σ+

[Position Error Constant]

2) Είσοδος ράμπας 1

2

( ) ( )

( )

r t Atu tAR ss

−=

=

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

0 0 00 0 0

1 2

1 2

( )lim lim lim1 ( ) 1 ( ) ( )

......

2 0

1

0

ss s s s

NQ

ssM

ss

ssv

ss

sR s A AeG s s G s sG s

As s p s p s pe

Ks s z s z s z

N eAN e

KN e

→ → →= = =

+ +

+ + +⇒ =

+ + +

≥ ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = ∞

1 2

1 2

......

Mv

Q

Kz z zK ά ά ύp p p

ταθερ σϕ λµατος ταχ τητας= Σ [Velocity Error Constant]

3) Παραβολική είσοδος 2

1

3

( ) ( )2

( )

tr t A u t

AR ss

−=

=

( )( ) ( )( )( ) ( )

20 00 0

1 220

1 2

( )lim lim1 ( ) ( )

...lim

...

3 0

2

1

ss s s

NQ

ss sM

ss

ssa

ss

sR s AeG s s G s

As s p s p s pe

Ks s z s z s z

N eAN e

KN e

→ →

→

= =+

+ + +⇒ =

+ + +

≥ ⇒ =

= ⇒ =

≤ ⇒ = ∞

1 2

1 2

......

Ma

Q

Kz z zK ά ά άp p p

ταθερ σϕ λµατος επιτ χυνσης= Σ [Acceleration Error Constant]

Είσοδος

Τύπος συστήματος

Βηματική (Α/s)

Ράμπα (Α/s2)

Παραβολική (A/s3)

0

1 0

2 0

0

1 p

AK+ ∞

v

AK

a

AK

∞

∞

Περίληψη