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  • 4. Bildentrauschen: Filtertechniken

    → FILTER →

    Originalbild B Verrauschtes Bild

    BF = Filter(B) + η

    FILTER: Scanner, digitale Cameras, Internetübertragung ...

    η: additives Rauschen = unvorhersehbare Filterfehler

    Ziel: Umkehrung der Filtertransformation und Rauschunterdrückung

    4. Bildentrauschen: Filtertechniken für additives Rauschen

    → FILTER →

    Verrauschtes Bild Entrauschtes Bild

    BF = B + η ≈ B

    FILTER: Transformation zur Rauschunterdrückung

    4.1 Datenunabhängiges Rauschen: Gaußsches weißes Rauschen

    η ∼ N(0, σ2)

    Originalbild σ2 = 3 σ2 = 10 σ2 = 13

    4.1 Datenunabhängiges Rauschen: Salt-und-Pepper, Schnee

    Originalbild p = 0.1 p = 0.3 p = 0.5

    p := Anzahl von fehlerbehafteten Pixeln

    Anzahl von Pixeln

  • 4.2 Lineare zeitinvariante Filter: 2-dim Faltung

    Filter hF :

    Berechnung von (h ∗ B)[1, 1] = i ∗ B[0, 0] + h ∗ B[1, 0] + g ∗ B[2, 0] + f ∗ B[0, 1] + ..

    4.2 Lineare zeitinvariante Filter:

    Definition (2-dim Faltung): Seien h, B ∈ ℓ(Z2).

    (H ∗ B)[m, k ] = ∑

    n,ℓ∈Z

    B[n, ℓ]H[m − n, k − ℓ], m, n ∈ Z.

    Satz (Faltungseigenschaft):

    Seien h ∈ ℓ1(Z2) und B ∈ ℓp(Z2), 1 ≤ p ≤ ∞. Dann gilt

    ‖H ∗ B‖ℓp ≤ ‖H‖ℓ1 · ‖B‖ℓp , d.h H ∗ B ∈ ℓp(Z2).

    Beweis:

    4.2 Lineare zeitinvariante Filter (LTI–Filter)

    Einheits-Impulsfolge δ ∈ ℓ0(Z2)

    Impulsantwort eines Filters ist eine Folge h = hF (δ) ∈ ℓ(Z2).

    Stabilität: hF : ℓp(Z2) → ℓp(Z2)

    Stabile LTI–Filter: hF (B) = h ∗ B ∈ ℓp(Z2) für B ∈ ℓp(Z2).

    4.2 Lineare zeitinvariante Filter: Fourier–Transformation

    Definition: Sei h ∈ ℓ(Z2). Die 2π−periodische Funktion

    ĥ(ξ) = ∑

    m,k∈Z

    h[m, k ]e−im·ξ1e−ik·ξ2 , ξ = (ξ1, ξ2) ∈ R2,

    heißt die F–Transofmierte von h, falls die Reihe konvergiert.

    Bemerkung: h ∈ ℓ1(Z2) ⇒ ĥ : R → C ist gleichmäßig stetig.

    Satz (Faltungssatz): Seien h, B ∈ ℓ1(Z2), dann gilt h ∗ B ∈ ℓ1(Z2) und

    ̂(h ∗ B)(ξ) = ĥ(ξ) · B̂(ξ), ξ ∈ R2.

    Beweis: Definition der Faltung und Indexsubstitution m′ = m − n, k ′ = k − ℓ ergeben

    ̂(h ∗ B)(ξ) = ∑

    k ′,m′∈Z

    h[m′, k ′]e−i(m ′,k ′)·ξ ·

    n,ℓ∈Z

    B[n, ℓ]e−i(n,ℓ)·ξ

  • 4.2 LTI–Filter: Gaußsches weißes Rauschen σ2 = 1

    Verrauschtes Bild Gauß–Filter: 3×3 Gauß–Filter 5×5

    4.2 LTI–Filter: Gaußsches weißes Rauschen σ2 = 1

    Verrauschtes Bild Mittelwert–Filter: 3 × 3 5 × 5

    4.2 LTI–Filter: Salt–und–Pepper 25%

    Verrauschtes Bild Gauß–Filter: 3×3 Gauß–Filter 5×5

    4.2 LTI–Filter: Salt–und–Pepper 25%

    Verrauschtes Bild Mittelwert–Filter: 3 × 3 5 × 5

  • 4.3 Nichtlineare Rangordnungsfilter: Salt–und–Pepper 25%

    Verrauschtes Bild Median–Filter: 3 × 3 5 × 5

    4.3 Nichtlineare Rangordnungsfilter: Gaußsches weißes Rauschen σ2 = 1

    Verrauschtes Bild Median–Filter: 3 × 3 5 × 5

    4.4 Inverse Filter und Wiener-Filter

    → dig. Camera →

    Originalbild B BF = Blur(B) + η

    Ziel: Umkehrung der Filtertransformation und Rauschunterdrückung

    Satz (Existenz von hinv ): Seien h ∈ ℓ1(Zs) und ĥ(ξ) 6= 0, ξ ∈ Rs. Dann existiert hinv ∈ ℓ1(Zs), so dass

    ĥinv (ξ) = 1

    ĥ(ξ) , ξ ∈ Rs.

    Beweis:

    Beispiel: Sei ĥ(ξ) = 1 − 12 e−iξ, ξ ∈ R. Die entsprechende Impulsantwort h ∈ ℓ0(Z) ⊂ ℓ1(Z) und ĥ(ξ) 6= 0, ξ ∈ R. Dann gilt

    ĥinv (ξ) = 1

    1 − 12 e−iξ =

    ∞∑

    k=0

    ( e−iξ

    2

    )k

    und die Folge hinv = (hinv [k ])k∈Z ∈ ℓ1(Z) mit

    hinv [k ] =

    { 2−k k ≥ 0, 0 sonst.

  • 4.4.1 Inverse und Pseudoinverse Filter

    Originalbild B Blur(B) + η Näherung an B

    ĥ†(ξ) =

    { 1bh(ξ) , ĥ(ξ) 6= 0,

    0, ĥ(ξ) = 0, mit Filter hF = Blur.

    Nachteile: Rauschverstärkung

    4.4.2 Wiener-Filter

    Originalbild B Blur(B) + η Näherung B̃ an B

    Ziel: E ( ∣∣∣B[m, k ] − B̃[m, k ]

    ∣∣∣ 2 )

    → min! ∀m, k = 0, . . . , N − 1.

    Beispiel (bedingter Erwartungswert): 2 dreiseitige Würfel wurden 400 mal zusammen geworfen. Ereignisraum

    Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

    Augensumme X : Ω → {2, 3, 4, 5, 6} und Y : Ω → {1, 2, 3}, Y (i , j) = min{i , j}, (i , j) ∈ Ω,

    X 2 3 4 5 6 P(X = x) 19

    2 9

    3 9

    2 9

    1 9

    Y 1 2 3 P(Y = y) 59

    3 9

    1 9

    und die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y

    Y \ X 2 3 4 5 6 1 19

    2 9

    2 9 0 0

    2 0 0 19 2 9 0

    3 0 0 0 0 19

    Der bedingte Erwartungswert E(X |Y ) : {1, 2, 3} → R ist eine ZV mit Werten

    E(X |Y )(j) = E(X |Y = j) = ∑

    x∈{2,3,4,5,6}

    x ·P(X = x |Y = j), j = 1, 2, 3.

    Also mit P(X = x |Y = y) = P(X=x,Y=y)P(Y=y) gilt

    E(X |Y = 1) = 2 · 1 9 · 9

    5 + 3 · 2

    9 · 9

    5 + 4 · 2

    9 · 9

    5 =

    16 5

    E(X |Y = 2) = 4 · 1 9 · 9

    3 + 5 · 2

    9 · 9

    3 =

    14 3

    E(X |Y = 3) = 6 · 1 9 · 9

    1 = 6

    und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von E(X |Y ) ist

    E(X |Y ) 165 143 6 P

    ( E(X |Y ) = E(X |Y = y)

    ) 5 9

    3 9

    1 9

    Beachte: P (

    E(X |Y ) = E(X |Y = y) )

    = P(Y = y) gilt nur weil

    E(X |Y = y1) 6= E(X |Y = y2) für y1 6= y2, y1, y2 ∈ {1, 2, 3}. Sonst soll man die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten von Y addieren.

  • Satz: Seien X : Ωx → Ω′x und Y : Ωy → Ω′y ZVen mit WVen (

    x , P(X = x) )

    x∈Ω′x und

    ( y , P(Y = y)

    )

    y∈Ω′y ,

    und T : Ω′y → R eine ZVe mit WV (

    T (y), P(Y = y) )

    y∈Ω′y .

    Dann gilt

    E ( (X − E(X |Y ))2|Y = y

    ) ≤ E

    ( (X − T (Y ))2|Y = y

    ) , y ∈ Ω′y .

    Beweis:

    Korollar: E ( (X − T (Y ))2

    ) ist minimal, wenn E

    ( (X − T (Y ))2|Y

    )

    minimal ist.

    Beweis:

    Bemerkung: Diese Resultate gelten auch für stochastische N × N Felde X = B und Y = hF (B). Der Wiener-Filter ist dann die ZVe (Abbildung)

    E(X |Y ) : Ω′y → RN×N .

    Beispiel: (i) Seien X ∼ N (0, σ2x ), η ∼ N (0, σ2) unkorreliert, Y := X + η. Für

    λ = σ2x

    σ2x + σ

    sind die ZVen X − λY und Y stochastisch unabhängig und

    E ( |X − E(X |Y )|2

    ) = E

    ( |X − λY |2

    ) is minimal.

    (ii) Seien X ∼ N (

    0, diag(σ2jj ) )

    , η ∼ N (0, σ2 · IN) unkorrelierte stochastische N × 1 Felde und Y := X + η. Dann gilt

    E

     

    ∥∥∥∥∥X − diag( σ2jj

    σ2jj + σ 2 )Y

    ∥∥∥∥∥

    2

    2

      is minimal.

    4.4.2 Wiener Filter

    Originalbild B Gauss-Filter(B) + η Näherung an B mit Wiener-Filter

    Nachteil: funktioniert nur für hF = Blur

  • 5. Bildentrauschen, Variationsmethoden.

    Ab jetzt: Bild ist eine Funktion B : [0, 1]2 → R.

    5.1 Welche Funktionsräume benutzt man, um die Bilder zu klassifizieren?

    Ziel: Bildkanten (Unstetigkeiten) zu erfassen.

    Definition+Resultate: Sei Ω ⊂ R2 offen, beschränkt, mit Lipschitz-Rand ∂Ω. Die Funktionsräume

    Lp(Ω) :=

    { f : Ω → R | ‖f‖Lp =

    (∫

    |f (x , y)|pdxdy )1/p

    < ∞ }

    , 1 ≤ p < ∞,

    L∞ := {

    f : Ω → R | ‖f‖L∞ = esssup(x,y)∈Ω|f (x , y)| }

    ,

    W 1,p(Ω) := {f ∈ Lp(Ω) | distributionelle Ableitungen ∂(1,0)f , ∂(0,1)f ∈ Lp(Ω)},

    W k,p(Ω) := {f ∈ Lp(Ω) | ∂αf ∈ Lp(Ω), 0 < |α| = |α1| + |α2| ≤ k}

    sind Banachräume mit

    ‖f‖W k,p :=

     ‖f‖pLp +

    0

  • Definition: Sei f : Ω → R und

    Eβ := {(x , y) ∈ Ω | f (x , y) ≤ β}, β ∈ R.

    Die Rände

    ∂Eβ := {(x , y) ∈ Ω | f (x , y) = β}, β ∈ R,

    der Mengen Eβ heißen die Höhenlinien von f .

    Höhenlinien eines Bildes mit Matlab:

    50 100 150 200 250 300

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    160

    180

    200

    Bild B contour(B);

    Satz (Co-Area-Formel): Sei f ∈ BV (Ω). Dann gilt

    TV[f ] = ∫ ∞

    −∞

    TV[χEβ ]dβ = ∫ ∞

    −∞

    Per(Eβ)dβ.

    Beweis:

    Beispiele:

    Bemerkung: Um TV[f ] zu minimieren, soll man die Rände von Eβ glätten.

    5.2 Bildentrauschen: Variationsmethoden und Filtermethoden

    BF (x , y) = B(x , y)︸ ︷︷ ︸ Originalbild

    + η(x , y)︸ ︷︷ ︸ Rauschen

    , (x , y) ∈ Ω.

    Grundform des Variationsproblems:

    Gegeben: BF : Ω → R, V Banachraum und ein Funktional

    J = JBF ,λ : V → R+.

    Bestimme: B∗ mit J(B∗) = minu∈V J(u).

    Beispiele:

    (i) V = W 1,2(Ω) und J(u) = λ2 ‖u − BF‖2L2 + 1 2‖|∇u|2‖2L2 , λ > 0.

    (ii) V = BV (Ω) und J(u) = λ2 ‖u − BF‖2L2 + TV[u], λ > 0.