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4. Bildentrauschen: Filtertechniken FILTER Originalbild B Verrauschtes Bild B F = Filter (B)+ η FILTER: Scanner, digitale Cameras, Internetübertragung ... η: additives Rauschen = unvorhersehbare Filterfehler Ziel: Umkehrung der Filtertransformation und Rauschunterdrückung 4. Bildentrauschen: Filtertechniken für additives Rauschen FILTER Verrauschtes Bild Entrauschtes Bild B F = B + η B FILTER: Transformation zur Rauschunterdrückung 4.1 Datenunabhängiges Rauschen: Gaußsches weißes Rauschen η N(02 ) Originalbild σ 2 = 3 σ 2 = 10 σ 2 = 13 4.1 Datenunabhängiges Rauschen: Salt-und-Pepper, Schnee Originalbild p = 0.1 p = 0.3 p = 0.5 p := Anzahl von fehlerbehafteten Pixeln Anzahl von Pixeln
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  • 4. Bildentrauschen: Filtertechniken

    → FILTER →

    Originalbild B Verrauschtes Bild

    BF = Filter(B) + η

    FILTER: Scanner, digitale Cameras, Internetübertragung ...

    η: additives Rauschen = unvorhersehbare Filterfehler

    Ziel: Umkehrung der Filtertransformation und Rauschunterdrückung

    4. Bildentrauschen: Filtertechniken für additives Rauschen

    → FILTER →

    Verrauschtes Bild Entrauschtes Bild

    BF = B + η ≈ B

    FILTER: Transformation zur Rauschunterdrückung

    4.1 Datenunabhängiges Rauschen: Gaußsches weißes Rauschen

    η ∼ N(0, σ2)

    Originalbild σ2 = 3 σ2 = 10 σ2 = 13

    4.1 Datenunabhängiges Rauschen: Salt-und-Pepper, Schnee

    Originalbild p = 0.1 p = 0.3 p = 0.5

    p :=Anzahl von fehlerbehafteten Pixeln

    Anzahl von Pixeln

  • 4.2 Lineare zeitinvariante Filter: 2-dim Faltung

    Filter hF :

    Berechnung von(h ∗ B)[1, 1] = i ∗ B[0, 0] + h ∗ B[1, 0] + g ∗ B[2, 0] + f ∗ B[0, 1] + ..

    4.2 Lineare zeitinvariante Filter:

    Definition (2-dim Faltung): Seien h, B ∈ ℓ(Z2).

    (H ∗ B)[m, k ] =∑

    n,ℓ∈Z

    B[n, ℓ]H[m − n, k − ℓ], m, n ∈ Z.

    Satz (Faltungseigenschaft):

    Seien h ∈ ℓ1(Z2) und B ∈ ℓp(Z2), 1 ≤ p ≤ ∞. Dann gilt

    ‖H ∗ B‖ℓp ≤ ‖H‖ℓ1 · ‖B‖ℓp , d.h H ∗ B ∈ ℓp(Z2).

    Beweis:

    4.2 Lineare zeitinvariante Filter (LTI–Filter)

    Einheits-Impulsfolge δ ∈ ℓ0(Z2)

    Impulsantwort eines Filters ist eine Folge h = hF (δ) ∈ ℓ(Z2).

    Stabilität: hF : ℓp(Z2) → ℓp(Z2)

    Stabile LTI–Filter: hF (B) = h ∗ B ∈ ℓp(Z2) für B ∈ ℓp(Z2).

    4.2 Lineare zeitinvariante Filter: Fourier–Transformation

    Definition: Sei h ∈ ℓ(Z2). Die 2π−periodische Funktion

    ĥ(ξ) =∑

    m,k∈Z

    h[m, k ]e−im·ξ1e−ik·ξ2 , ξ = (ξ1, ξ2) ∈ R2,

    heißt die F–Transofmierte von h, falls die Reihe konvergiert.

    Bemerkung: h ∈ ℓ1(Z2) ⇒ ĥ : R → C ist gleichmäßig stetig.

    Satz (Faltungssatz): Seien h, B ∈ ℓ1(Z2), dann gilt h ∗ B ∈ ℓ1(Z2) und

    ̂(h ∗ B)(ξ) = ĥ(ξ) · B̂(ξ), ξ ∈ R2.

    Beweis: Definition der Faltung und Indexsubstitution m′ = m − n,k ′ = k − ℓ ergeben

    ̂(h ∗ B)(ξ) =∑

    k ′,m′∈Z

    h[m′, k ′]e−i(m′,k ′)·ξ ·

    n,ℓ∈Z

    B[n, ℓ]e−i(n,ℓ)·ξ

  • 4.2 LTI–Filter: Gaußsches weißes Rauschen σ2 = 1

    Verrauschtes Bild Gauß–Filter: 3×3 Gauß–Filter 5×5

    4.2 LTI–Filter: Gaußsches weißes Rauschen σ2 = 1

    Verrauschtes Bild Mittelwert–Filter: 3 × 3 5 × 5

    4.2 LTI–Filter: Salt–und–Pepper 25%

    Verrauschtes Bild Gauß–Filter: 3×3 Gauß–Filter 5×5

    4.2 LTI–Filter: Salt–und–Pepper 25%

    Verrauschtes Bild Mittelwert–Filter: 3 × 3 5 × 5

  • 4.3 Nichtlineare Rangordnungsfilter: Salt–und–Pepper 25%

    Verrauschtes Bild Median–Filter: 3 × 3 5 × 5

    4.3 Nichtlineare Rangordnungsfilter: Gaußsches weißesRauschen σ2 = 1

    Verrauschtes Bild Median–Filter: 3 × 3 5 × 5

    4.4 Inverse Filter und Wiener-Filter

    → dig. Camera →

    Originalbild B BF = Blur(B) + η

    Ziel: Umkehrung der Filtertransformation und Rauschunterdrückung

    Satz (Existenz von hinv ): Seien h ∈ ℓ1(Zs) und ĥ(ξ) 6= 0, ξ ∈ Rs. Dannexistiert hinv ∈ ℓ1(Zs), so dass

    ĥinv (ξ) =1

    ĥ(ξ), ξ ∈ Rs.

    Beweis:

    Beispiel: Sei ĥ(ξ) = 1 − 12 e−iξ, ξ ∈ R. Die entsprechendeImpulsantwort h ∈ ℓ0(Z) ⊂ ℓ1(Z) und ĥ(ξ) 6= 0, ξ ∈ R. Dann gilt

    ĥinv (ξ) =1

    1 − 12 e−iξ=

    ∞∑

    k=0

    (e−iξ

    2

    )k

    und die Folge hinv = (hinv [k ])k∈Z ∈ ℓ1(Z) mit

    hinv [k ] =

    {2−k k ≥ 0,0 sonst.

  • 4.4.1 Inverse und Pseudoinverse Filter

    Originalbild B Blur(B) + η Näherung an B

    ĥ†(ξ) =

    {1bh(ξ) , ĥ(ξ) 6= 0,

    0, ĥ(ξ) = 0,mit Filter hF = Blur.

    Nachteile: Rauschverstärkung

    4.4.2 Wiener-Filter

    Originalbild B Blur(B) + η Näherung B̃ an B

    Ziel: E( ∣∣∣B[m, k ] − B̃[m, k ]

    ∣∣∣2 )

    → min! ∀m, k = 0, . . . , N − 1.

    Beispiel (bedingter Erwartungswert): 2 dreiseitige Würfelwurden 400 mal zusammen geworfen. Ereignisraum

    Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

    Augensumme X : Ω → {2, 3, 4, 5, 6} und Y : Ω → {1, 2, 3},Y (i , j) = min{i , j}, (i , j) ∈ Ω,

    X 2 3 4 5 6P(X = x) 19

    29

    39

    29

    19

    Y 1 2 3P(Y = y) 59

    39

    19

    und die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y

    Y \ X 2 3 4 5 61 19

    29

    29 0 0

    2 0 0 1929 0

    3 0 0 0 0 19

    Der bedingte Erwartungswert E(X |Y ) : {1, 2, 3} → R ist eine ZV mitWerten

    E(X |Y )(j) = E(X |Y = j) =∑

    x∈{2,3,4,5,6}

    x ·P(X = x |Y = j), j = 1, 2, 3.

    Also mit P(X = x |Y = y) = P(X=x,Y=y)P(Y=y) gilt

    E(X |Y = 1) = 2 · 19· 9

    5+ 3 · 2

    9· 9

    5+ 4 · 2

    9· 9

    5=

    165

    E(X |Y = 2) = 4 · 19· 9

    3+ 5 · 2

    9· 9

    3=

    143

    E(X |Y = 3) = 6 · 19· 9

    1= 6

    und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von E(X |Y ) ist

    E(X |Y ) 165 143 6P

    (E(X |Y ) = E(X |Y = y)

    )59

    39

    19

    Beachte: P(

    E(X |Y ) = E(X |Y = y))

    = P(Y = y) gilt nur weil

    E(X |Y = y1) 6= E(X |Y = y2) für y1 6= y2, y1, y2 ∈ {1, 2, 3}. Sonst sollman die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten von Y addieren.

  • Satz: Seien X : Ωx → Ω′x und Y : Ωy → Ω′y ZVen mit WVen(

    x , P(X = x))

    x∈Ω′xund

    (y , P(Y = y)

    )

    y∈Ω′y,

    und T : Ω′y → R eine ZVe mit WV(

    T (y), P(Y = y))

    y∈Ω′y.

    Dann gilt

    E((X − E(X |Y ))2|Y = y

    )≤ E

    ((X − T (Y ))2|Y = y

    ), y ∈ Ω′y .

    Beweis:

    Korollar: E((X − T (Y ))2

    )ist minimal, wenn E

    ((X − T (Y ))2|Y

    )

    minimal ist.

    Beweis:

    Bemerkung: Diese Resultate gelten auch für stochastische N × NFelde X = B und Y = hF (B). Der Wiener-Filter ist dann die ZVe(Abbildung)

    E(X |Y ) : Ω′y → RN×N .

    Beispiel:(i) Seien X ∼ N (0, σ2x ), η ∼ N (0, σ2) unkorreliert, Y := X + η. Für

    λ =σ2x

    σ2x + σ

    sind die ZVen X − λY und Y stochastisch unabhängig und

    E(|X − E(X |Y )|2

    )= E

    (|X − λY |2

    )is minimal.

    (ii) Seien X ∼ N(

    0, diag(σ2jj ))

    , η ∼ N (0, σ2 · IN) unkorreliertestochastische N × 1 Felde und Y := X + η. Dann gilt

    E

    ∥∥∥∥∥X − diag(σ2jj

    σ2jj + σ2)Y

    ∥∥∥∥∥

    2

    2

    is minimal.

    4.4.2 Wiener Filter

    Originalbild B Gauss-Filter(B) + η Näherung an Bmit Wiener-Filter

    Nachteil: funktioniert nur für hF = Blur

  • 5. Bildentrauschen, Variationsmethoden.

    Ab jetzt: Bild ist eine Funktion B : [0, 1]2 → R.

    5.1 Welche Funktionsräume benutzt man, um die Bilder zuklassifizieren?

    Ziel: Bildkanten (Unstetigkeiten) zu erfassen.

    Definition+Resultate: Sei Ω ⊂ R2 offen, beschränkt, mitLipschitz-Rand ∂Ω. Die Funktionsräume

    Lp(Ω) :=

    {f : Ω → R | ‖f‖Lp =

    (∫

    |f (x , y)|pdxdy)1/p

    < ∞}

    , 1 ≤ p < ∞,

    L∞ :={

    f : Ω → R | ‖f‖L∞ = esssup(x,y)∈Ω|f (x , y)|}

    ,

    W 1,p(Ω) := {f ∈ Lp(Ω) | distributionelle Ableitungen ∂(1,0)f , ∂(0,1)f ∈ Lp(Ω)},

    W k,p(Ω) := {f ∈ Lp(Ω) | ∂αf ∈ Lp(Ω), 0 < |α| = |α1| + |α2| ≤ k}

    sind Banachräume mit

    ‖f‖W k,p :=

    ‖f‖pLp +

    0

  • Definition: Sei f : Ω → R und

    Eβ := {(x , y) ∈ Ω | f (x , y) ≤ β}, β ∈ R.

    Die Rände

    ∂Eβ := {(x , y) ∈ Ω | f (x , y) = β}, β ∈ R,

    der Mengen Eβ heißen die Höhenlinien von f .

    Höhenlinien eines Bildes mit Matlab:

    50 100 150 200 250 300

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    160

    180

    200

    Bild B contour(B);

    Satz (Co-Area-Formel): Sei f ∈ BV (Ω). Dann gilt

    TV[f ] =∫ ∞

    −∞

    TV[χEβ ]dβ =∫ ∞

    −∞

    Per(Eβ)dβ.

    Beweis:

    Beispiele:

    Bemerkung: Um TV[f ] zu minimieren, soll man die Rände von Eβglätten.

    5.2 Bildentrauschen: Variationsmethoden und Filtermethoden

    BF (x , y) = B(x , y)︸ ︷︷ ︸Originalbild

    + η(x , y)︸ ︷︷ ︸Rauschen

    , (x , y) ∈ Ω.

    Grundform des Variationsproblems:

    Gegeben: BF : Ω → R, V Banachraum und ein Funktional

    J = JBF ,λ : V → R+.

    Bestimme: B∗ mit J(B∗) = minu∈V J(u).

    Beispiele:

    (i) V = W 1,2(Ω) und J(u) = λ2 ‖u − BF‖2L2 +12‖|∇u|2‖2L2 , λ > 0.

    (ii) V = BV (Ω) und J(u) = λ2 ‖u − BF‖2L2 + TV[u], λ > 0.

  • Lineares Modell: minimiere

    J(u) =λ

    2‖u − BF‖2L2 +

    12‖|∇u|2‖2L2 , u ∈ W

    1,2(Ω).

    50 100 150 200 250 300

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    160

    180

    200

    Originalbild B BF = B + η ≈ minu J(u)

    ROF-Modell (Rudin, Osher, Fratermi): minimiere

    J(u) =λ

    2‖u − BF‖2L2 + TV[u], u ∈ BV (Ω).

    50 100 150 200 250 300

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    160

    180

    200

    Originalbild B BF = B + η ≈ minu J(u)

    ROF-Modell (Rudin, Osher, Fratermi): Glättung der Höhenlinien

    ROF-Modell (Rudin, Osher, Fratermi): Wahl von λ in

    J(u) =λ

    2‖u − BF‖2L2 + TV[u], u ∈ BV (Ω).

    BF B∗, λ1 > 0 B∗, λ2 < λ1

  • Definition: Ein Funktional J : V → R heißt strikt konvex, falls

    J((1 − α)u + αv

    )< (1 − α)J(u) + αJ(v)

    für alle u, v ∈ V , u 6= v , und α ∈ (0, 1).

    Beispiele:

    Satz (Eindeutigkeit des Minimums):

    Seien V konvex und J : V → R strikt konvex. Dann existierthöchstens ein globales Minimum von J in V .

    Beweis:

    Satz (Existenz des Minimums):

    Sei J : V → R ein Funktional auf einem topologischen Raum V mitTopologie τ und erfülle

    (i) (Folgen-Unterhalbstetigkeit) Für uk → u in der Topologie τ gelte

    J(u) ≤ liminfk∈NJ(uk ).

    (ii) (Kompaktheitsvoraussetzung) Es existiere λ ∈ R, so dass

    Eλ = {u ∈ V | J(u) ≤ λ} 6= ∅

    und Eλ kompakt in der Topologie τ .

    Dann besitzt J ein Minimum J(B∗), B∗ ∈ V .Beweis: siehe Satz 2.2 inwww .math.uni − muenster .de/num/Vorlesungen/MathemBV_SS07/Kapitel2.pdf

    lineares Modell: Charakterisierung und Existenz des Minimums

    Definition: Seien V ein Banachraum, U ⊂ V offen und

    J : V → R.

    Dann ist das Gateaux-Differential dJ(u; v) von J an der Stelle u ∈ Uin der Richtung v ∈ V , falls es dort existiert, definiert durch

    dJ(u; v) = limt→0

    J(u + tv) − J(u)t

    , t ≥ 0.

    Definition: Seien V ein Banachraum, U ⊂ V offen. Dann heißt

    J : U → R

    Fréchet-differenzierbar an der Stelle u ∈ U, falls es einenbeschränkten linearen Operator J ′ : V → R derart gibt, dass

    limv→0

    |J(u + v) − J(u) − J ′(u)|‖v‖V

    = 0, v 6= 0,

    gilt.

    Beispiele:

    Satz: IstJ : V → R

    ein konvexes Funktional und ist J überall auf VFrechet-differenzierbar, dann gilt

    J(B∗) = minu∈V

    J(u) ⇐⇒ J ′(B∗) = 0.

    Beweis:

  • 1-dim Fall, V = W 1,2(0, 1):

    J(B∗) = minu∈V

    J(u) ⇐⇒

    B∗ lösst die lineare Dgl. 2.Ordnung mit konstanten Koeffitienten

    −u′′(x) + λu(x) = λBF (x), x ∈ (0, 1),

    und erfüllt die Neumann-Randbedingungen

    u′(0) = u′(1) = 0.

    Beispiel: Sei BF gerade und

    BF (x) =a02

    +∞∑

    k=1

    ak cos (kπx), x ∈ (0, 1).

    Dann gilt

    B∗(x) =a02

    +

    ∞∑

    k=1

    λak(πk)2 + λ

    cos (kπx), B∗ ∈ W 2,2(0, 1).

    Euler-Lagrange-Dgl.:

    (i) lineares Modell:

    −∆u + λu = λBF , (x , y) ∈ Ω,

    mit Randbedingung ∇u · n|∂Ω = 0.(i) ROF-Modell (TV-Minimierung):

    −div( ∇u|∇u |2

    )+ λu = λBF , (x , y) ∈ Ω,

    mit Randbedingung ∇u · n|∂Ω = 0.Bemerkungen:

    (i) Divergenz des Normalenvektorfeldes ∇u(x,y)|∇u(x,y)|2 ist die Krümmung Kder Höhenlinie von u an der Stelle (x , y).

    (ii) Ist K ∈ L2(Ω), so dürfen die Kantenmengen von u keine Eckenhaben.

    Berechnung der Lösung von Variationsansätzen:

    I. Primales Optimierungsproblem

    II. Duales Optimierungsproblem

    III. Primales-Duales Optimierungsproblem

    IV.(a) Euler-Lagrange-Dgl. und ”lagged” Diffusion

    1. Wähle u0

    2. Für k = 0, 1, 2, . . . löse:

    −div( ∇uk+1|∇uk |2

    )+ λuk+1 = λBF , (x , y) ∈ Ω,

    mit Randbedingung ∇uk+1 · n|∂Ω = 0.

    IV.(b) Euler-Lagrange-Dgl. → Anfangsrandwertproblem für u(t , x , y)

    ∂u∂t

    − div( ∇u|∇u |2

    )+ λu = λBF , (t , x , y) ∈ (0,∞) × Ω,

    u(0, x , y) = u0(x , y)

    ∇u · n|∂Ω = 0

    u(t0, x , y), t0 > 0 u(t1, x , y), t1 > t0 u(t2, x , y), t2 > t1

  • Gauß- vgl. Bilateral-Filter: Sei Gσ(r) =1

    2σ√

    πe−

    r2

    4σ2 , (x , y) ∈ R2.

    Faltung mit Gauß-Filter:

    BG[m, k ] =∑

    n,ℓ∈Z

    Gσ(|(m − n, k − ℓ)|2)BF [n, ℓ], m, k ∈ Z.

    Faltung mit Bilateral-Filter (Tomasi, Manduchi, 1998):

    BB[m, k ] = C∑

    n,ℓ∈Z

    Gσ1(|(m−n, k−ℓ|2))Gσ2(|BF [m, k ]−BF [n, ℓ]|)BF [n, ℓ], m, k ∈ Z,

    mit passendem Gewicht C > 0.

    Bilateral-Filter:

    Datenabhängiger Filter

    Bilateral-Filter vgl. anisotrope Diffusion:

    Originalbild gefaltet mit Bilateral-Filter