REPRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS ELÉTRICOS

1- Sistema por Unidade

1- SISTEMA POR UNIDADE - PU

- As grandezas elétricas: impedância, corrente, tensão e potência além de serem expressas nas suas unidades normais ( Ω, A, V e VA ) podem também ser expressas em pu.

- As grandezas elétricas expressas em pu têm por objetivo facilitar cálculos como por ex de curto circuito.

- O valor por unidade ( pu ) é a relação entre o valor da grandeza e um valor tomado como base, por ex:

V1 = 220 V V1 = 220 / 127 = 1,73pu

V2= 127 V Vb = 127 V V2 = 127 / 127 = 1,0pu

V3 = 380 V V3 = 380 / 127 = 2,99pu

- As grandezas elétricas impedância, corrente, tensão e potência se relacionam de forma que sendo conhecidas duas delas podem-se determinar as outras duas.

1.1-Sistema monofásico – Normalmente para sistema monofásico adota-se como base a potência aparente em kVA e a tensão em kV.

- Sb: Potência aparente de base – ( kVA )

- Vb: Tensão de base – ( kV )

- Ib: Corrente de base – ( A ) Ib = Sb ( kVA ) / Vb ( k V )

- Zb: Impedância de base

. Zb = Vb ( V ) / Ib ( A )

. Zb = Vb ( V ) / ( Sb / Vb ) = Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA )

- Potência ativa – ( kW ):

. Pb ( kW ) = Sb ( kVA )

- Potência reativa – ( kVAr ):

. Qb ( kVAr ) = Sb ( kVA )

Exemplos:

1- Circuito monofásico composto por um gerador que alimenta uma carga indutiva de 100 kVA com fator de potência de 0,8. Tensão na carga de 200 V. Linha com impedância de (0,024+j0,08).

A- Determinar os dados de base e calcular a corrente

B- Calcular os valores em pu

C- Calcular tensão da fonte

A- Valores de base

- Sb: 100 kVA

- Vb: 200 V = 0,2 kV

- Ib = Sb ( kVA ) / Vb ( k V ) = 100 / 0,2 = 500A

- Zb: Impedância de base

. Zb = Vb ( V ) / Ib ( A ) = 200 / 500 = 0,4 Ω

. Zb = Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA ) = 0,2² x 10³ / 100 = 0,4 Ω

B- Valores em pu

- Impedância da linha:

Z(pu) = Z / Zb = ( 0,024 + j0,08 ) / 0,4 = 0,06 + j0,2 pu

- Tensão na carga:

V(pu) = V / Vb = 0,2 / 0,2 = 200 / 200 = 1 pu

- Potência da Carga:

S(pu) = S / Sb = 100 / 100 = 1 pu

C- Cálculo da tensão da fonte

- Tensão na carga:

V = 200 arc cos0,8 = 200 37º = ( 160+j120 ) V

- Tensão no gerador:

Vg = Z x I + Vc = (0,024 + j0,08) x 500 + ( 160 + j120 ) = ( 172 + j160 )V = 234,9 43º V

- Potência da Carga:

S(pu) = S / Sb = 100 / 100 = 1 pu

Valores em pu

- Corrente:

I(pu) = 1 0º

- Tensão na carga:

V(pu) = 1 37º

- Tensão no gerador:

Vg(pu) = Z(pu) x I(pu)+ V(pu) = ( 0,06 +j0,2) x 1 + 0,8 + j0,6 = 0,86 + j0,8 = 1,173 43º

Vg = 1,173 43º x 200 = 234,9 43º V

2- Circuito monofásico composto por um gerador que alimenta uma carga por uma linha de impedância ( 1,28 + j0,8 ) Ω. Tensão no gerador é de 220V, a carga é de impedância constante com potência de 7kW ( FP = 0,7 indutivo ). Quando alimentada por 200V ( tensão na carga ), determinar:

A- Determinar os dados de base e calcular a corrente

B- Calcular os valores em pu

C- Calcular tensão da fonte

A- Valores de base

- Sb: 7 kW / 0,7 = 10 kVA

- Vb: 200 V = 0,2 kV

- Ib = Sb ( kVA ) / Vb ( k V ) = 10 / 0,2 = 50A

- Zb: Impedância de base

. Zb = Vb ( V ) / Ib ( A ) = 200 / 50 = 4 Ω

. Zb = Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA ) = 0,2² x 10³ / 10 = 4 Ω

B- Valores em PU

- Impedância da linha:

Z(pu) = Z / Zb = ( 1,28 + j0,8 ) / 4 = 0,32 + j0,2 pu

- Tensão na carga:

V(pu) = V / Vb = 0,2 / 0,2 = 200 / 200 = 1 pu

- Potência da Carga:

S(pu) = S / Sb = 10 / 10 = 1 pu

D- Cálculo da tensão da fonte

- Tensão na carga:

V = 200 arc cos0,7 = 200 45,6º = ( 141,4 + j142,9 ) V

- Tensão no gerador:

Vg = Z x I + Vc = (1,28 + j0,8) x 50 + ( 141,4 + j142,9 ) = ( 205,4 + j182,9 )V = 275,03 41,7º V

- Potência da Carga:

S(pu) = S / Sb = 10 / 10 = 1 pu

Valores em pu

- Corrente:

I(pu) = 1 0º

- Tensão na carga:

V(pu) = 1 45,6º

- Tensão no gerador:

Vg(pu) = Z(pu) x I(pu) + V(pu) = ( 0,32 +j0,2) x 1 + 0,7 + j0,71 = 1,02 + j0,91 = 1,37 41,7º

Vg = 1,37 41,7º x 200 = 274,0 41,7º V

3- Um gerador alimenta uma carga por uma linha de impedância ( 1,28 + j0,8 ) Ω. Tensão no gerador é de 220V, a carga é de impedância constante com potência de 10kW ( FP = 0,7 indutivo ), considerando tensão de base de 200V, determinar:

A- Determinar a tensão na carga

Valores de base:

- Sb: 10 kVA

- Vb: 200 V = 0,2 kV

- Ib = Sb ( kVA ) / Vb ( k V ) = 10 / 0,2 = 50A

- Ic = P ( kW ) / V ( k V ) x cosφ = 10 / (0,2 x 0,7) = 71,43A – corrente de carga

- Zb: Impedância de base

. Zb = Vb ( V ) / Ib ( A ) = 200 / 50 = 4 Ω

. Zb = Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA ) = 0,2² x 10³ / 10 = 4 Ω

Valores em pu:

- I(pu) = I / Ib = 71,43 / 50 = 1,4286pu ( corrente de carga para tensão de 200V )

- ZL(pu) = ZL / Zb = ( 1,28 + j0,80 ) / 4 = (0,32 + j0,20)pu ( impedância da linha )

- ZC(pu) = Vpu / Ipu = 1 / 1,4246 = 0,7pu ( módulo impedância de carga )

- FP = 0,7 = 45,6°

- ZC(pu) = 0,7 45,6° = (0,49 + j0,50)pu

- ZT(pu) = ZL(pu) + ZC(pu) = (0,32 + j0,20) + (0,49 + j0,50) = 0,81 + j0,70 = 1,071 40,8° pu

- VG(pu) = VG / Vb = 220 / 200 = 1,10 0° pu ( tensão gerador )

- IG(pu) = VG(pu) / ZT(pu) = 1,10 0° / 1,071 40,8° = 1,027 - 40,8°pu ( corrente fornecida pelo gerador )

- VC(pu) = IG(pu) x ZT(pu) = 1,027 +40,8° x 0,7 45,6° = 0,719 4,8° pu ( TENSÃO NA CARGA )

B- Potência fornecida pelo gerador

- Potência na carga:

SC = VC(pu) x IG(pu) = 0,719 4,8° x 1,027 + 40,8° = 0,738 + 45,6° = (0,516 + j0,527)pu

- Potência no gerador:

SG = VG(pu) x IG(pu) = 1,1 0° x 1,027 +40,8° = 0,738 +40,8° = (0,855 + j0,738)pu

4- A reatância de alternador monofásico 50MVA, 10 kV e Xd = 12%. As bases da rede são Sb = 100MVA e Vb = 11 kV. Determinar:

- Impedância de base

Vb = 11 kV

Sb = 100MVA

Zb = Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA ) = 11² x 10³ / 100 x 10³ = 1,21 Ω

- Corrente de base

Ib = Sb ( kVA ) / Vb ( k V ) = 100 x 10³ / 11 = 9,09 kA

Exercício de fixação: Determinar a tensão de alimentação em Volts e em pu e a corrente em Amperes e em pu, sabendo que a tensão na carga deve ser de 220V, a carga de 10kVA FP=0,9 indutivo e os dados da linha é (0,3 + j0,1)Ω. Determinar as bases para cada grandeza.

1.2-Sistema trifásico – Quando equilibrados, os circuitos trifásicos são resolvidos como um circuito monofásico com retorno pelo neutro. Normalmente os sistemas trifásicos a potência aparente fornecida é trifásica e a tensão de linha. É importante usar a mesma base:

TENSÃO:- Vf = VL - Triângulo

- Vf = VL / - Estrela

- V(pu) = Vf / Vfb = VL / VLb

Pela expressão acima o valor em pu será igual tanto na tensão de fase como na de linha.

Ex: VLb = 13,8kV e tensão de fase será: Vfb = 13,8 / = 7,96kV

Para um sistema cuja tensão de linha seja 4,16 kV, qual a tensão de fase e o valor em pu?

Vf = 4,16 / = 2,40 kV

V(pu) = VL / VLb = Vf / Vfb = 4,16 / 13,8 = 2,40 / 7,98 = 0,30pu

POTÊNCIA: a potência aparente trifásica é igual ao triplo da potência aparente por fase.- Strif = 3Sf

- Strifb = 3Sfb

- S(pu) = Strif / Strifb = 3Sf / 3Sfb

Pela expressão acima o valor em pu será igual na potência aparente trifásica tomando como base uma potência trifásica na potência aparente por fase tomando como base uma potência aparente por fase.

Ex: Strifb = 12.000 kVA - potência aparente por fase será: Sfb = 12.000 / 3 = 4.000kVA

Para um sistema com potência aparente trifásica de 1.500 kVA, qual a potência aparente por fase e o valor em pu?

Strif = 1.500kVA

Sf = 1.500 / 3 = 500kVA

S(pu) = Strif / Strifb = Sf / Sfb = 1.500 / 12.000 = 500 / 4.000 = 0,125pu

Nota: no sistema trifásico normalmente adota a potência aparente trifásica em kVA e a tensão de linha em kV.

CORRENTE (A):

- Ib= Strifb / x VLb

CORRENTE (pu): - I(pu) = VL(pu) / Z(pu)

IMPEDÂNCIA: - Zb (Ω) = Vfb (V) / Ib (A) ou Zb (Ω) = VLb

2 x 10³(kV) / Strifb(kVA)

IMPEDÂNCIA (Ω):- Z = Z(pu) x Zb (Ω)- Z = Z(pu) x VLb

2 x 10³ / Strifb – em (Ω)- Z(pu) = Z x Strifb / V²Lb x 10³

Ex: Sistema trifásico em estrela cujas bases são 13,8kV, 2MVA tem uma impedância de 6,75%. Calcular:

A- Corrente em puB- Corrente de baseC- Corrente em amperesD- Impedância

A- Corrente em puI = VL(pu) / Z(pu)

VL(pu) = 13,8 / 13,8 = 1Z(pu) = 6,75% = 0,0675 = 6,75 x 10-³I(pu) = 1 / 0,0675 = 14,82

B- Corrente de base

Ib = Strifb / x VLb = 2.000 / x 13,8 = 83,67A

C- Corrente em amperesI (A) = I(pu) x Ib

I (A) = 14,82 x 83,67 = 1.239,99A

D- Impedância Z = Z(pu) x VLb

2 x 10³ / Strifb Z = 0,0675 x 13,8² x 10³ / 2.000Z = 6,43 Ω

Exercício de fixação: Sistema trifásico em estrela cujas bases são 13,8kV, 10MVA tem uma impedância de 11,75%. Calcular:

A- Corrente em puB- Corrente de baseC- Corrente em amperesD- Impedância

1.3- TRANSFORMADORES EM PU

O fabricante deve fornecer os valores nominais, como: potência aparente total, tensão nominal no enrolamento de alta tensão, tensão nominal no enrolamento de baixa tensão, impedância equivalente ou de curto circuito percentual ou por unidade.

Lei de Faraday: O valor da tensão induzida em uma simples espira de fio é proporcional a razão de variação da linha de força que passa através daquela espira.V1 – Tensão aplicadaE1 – Tensão induzida no primárioE2 – Tensão induzida no secundárioV2 – Tensão na carga

1- Relação tensão induzida: E1= N1 x dφ/dt E2= N2 x dφ/dt

E1 / E2 – Relação entre a tensão do primário e do secundário ( α ) E1 / E2 = (N1 x dφ/dt) / (N2 x dφ/dt) E1 / E2 = N1 / N2 = α E1 x N2 = E2 x N1

2- Relação corrente do primário e secundário: S = V x I – transformador ideal ( S1 = S2 = S ) ( 2 ) S1 = V1 x I1

S2 = V2 x I2

V1 / V2 = (S1/I1) / (S2/I2) V1 / V2 = I2 / I1

N1 / N2 = I2 /I1 α = I2 /I1

N1 x I1 = N2 x I2

3- Relação impedância do primário e secundário: S = I² Z – transformador ideal ( S1 = S2 = S ) S1 = I1

2 x Z1

S2 = I22 x Z2

S1 = S2 = S = I12

x Z1 = I22 x Z2

(I2 / I1)2 = a2 = Z1 / Z2

α2 = Z1 / Z2 (1 ) – A relação entre as impedâncias é igual ao quadrado da relação de espiras, assim como a razão pela qual uma impedância é referida do secundário para o primário.

PRIMÁRIOV1 – Tensão aplicadaE1 – Tensão induzida no enrolamentoR1 – Resistência do enrolamentoX1 – Reatância indutiva do enrolamentoZ1 = R1 + jX1 – Impedância do primário ( perdas no cobre )Rm + jXm – perdas no ferro

SECUNDÁRIOE2 – Tensão induzida no secundárioV2 – Tensão nos terminais do secundárioR2 – Resistência do enrolamentoX2 – Reatância indutiva do enrolamento

Z2 = R2 + jX2 – Impedância do secundário ( perdas no cobre )

N1 x I1 = N2 x I2

I1 = I’1 ( transformador ideal )

N1 x I’1 = N2 x I2

I’1 = N2 x I2 / N1

α = N1 / N2

I’1 = I2 / a

- Normalizando uma impedância para a base de um lado do transformador e referindo esta impedância para o outro lado teríamos:

α2 = Z1 / Z2 Z1 = α2 x Z2

Z1(pu) = Z1 / Z1b

Z2(pu) = Z2 / Z2b

Z2 – Impedância do secundário Z’

2 – Impedância do secundário referida ao primário Z’

2 = α 2 x Z2 (1) Z1b = Z2b x α 2 (2) Z’

2(pu) = Z’2 / Z1b (3) – substituir (1) e (2) em (3)

Z’2(pu) = α 2 x Z2 / α 2 x Z2b

Z’2(pu) = Z2 / Z2b = Z2(pu) – a relação PU de uma impedância é a mesma para os dois

lados do transformador ( primário e secundário ), logo a relação de espiras é unitária e pode ser desconsiderada do circuito.

Ex: transformador monofásico de 138 / 13,8kV – 500kVA – 60Hz, submetido aos ensaios a vazio e curto-circuito com os seguintes valores:A- Ensaio a vazio: Alimentação com tensão nominal pela baixa tensão

Corrente absorvida: Iab = 2A Potência absorvida: Pabv = 12 kW

B- Ensaio de curto-circuito: alimentação pela alta tensão com corrente nominal Tensão de alimentação: 10,6 kV Potência absorvida: Pabc = 15 kW

Calcular:

1- Impedâncias a vazio e de curto-circuito2- Circuito equivalente do transformador em pu

- Valores de base para a alta tensão: Vb1 = 138 kV, Sb = 500kVA Ib1 = Sb / Vb1

Zb1 = Vb12 x 103 / Sb

- Valores de base para a baixa tensão: Vb2 = 13,8 kV, Sb = 500kVA Ib2 = Sb / Vb2

Zb2 = Vb22 x 103 / Sb

A- Para ensaio a vazio: Alimentação pela baixa tensão

V0(pu) = Vnb / Vb2 = 13,8 / 13,8 = 1pu V0(pu) – Tensão a vazio em pu Vnb – Tensão nominal baixa tensão

I0(pu) = Iab / Ib2 = Iab x Vb2 / Sb = 2 x 13,8 / 500 = 0,0552pu - (Ib2 = Sb / Vb2 ) I0(pu) – Corrente a vazio em pu

P0(pu) = Pabv / Sb = 12 / 500 = 0,024pu P0(pu) – Potência a vazio em pu

Fator de potência: FP = cosφ = P0 / V0 x IO = 0,024 / ( 1 x 0,0552 ) = 0,435 - ( 64,22° ) senφ = sen64,22 = 0,900 Im = I0senφ = 0,0552 x 0,900 = 0,0497pu Ip = I0cosφ = 0,0552 x 0,435 = 0,0240pu

Valores de reatância e resistência: Xm = V0 / Im = 1 / 0,0497 = 20,121pu Rm = V0 / Ip = 1 / 0,0240 = 41,667pu

Valores das impedâncias ( perdas no ferro ) referidas ao lado de alta tensão Xma = Xm x Zb1 Xma = Xm x Vb1

2 x 103 / Sb Xma = 20,12 x 1382 x 103 / 500

Xma = 766,33 kΩ

Rma = Rm x Zb1 Rma = 41,667 x 1382 x 103 / 500 Rma = 1587,01 kΩ

Valores das impedâncias ( perdas no ferro ) referidas ao lado de baixa tensão Xmb = Xm x Zb2 Xmb = Xm x Vb2

2 x 103 / Sb Xma = 20,12 x 13,82 x 103 / 500 Xma = 7,664 kΩ

Rmb = Rm x Zb2 Rma = 41,667 x 13,82 x 103 / 500 Rma = 15,87 kΩ

B- Para ensaio de curto circuito:

Vcc(pu) = Vcc / Vb1 = 10,6 / 13,8 = 0,0768 pu Vcc(pu) – Tensão Aplicada na AT para ensaio de curto circuito Vb1 – Tensão de base na AT

Icc(pu) = In1 / Ib1 Icc(pu) = In1 / ( Sb / Vb1 ) Icc(pu) = In1 x Vb1 / Sb Icc(pu) = In1 / In1 Icc(pu) = 1 pu

Icc(pu) – Corrente de curto em pu

Pcc(pu) = Pabc / Sb Pcc(pu) = 15 / 500 = 0,030 pu Pcc(pu) – Potência de curto em pu

Zcc = Vcc / Icc = 0,0768 / 1,0 = 0,0768 pu = 7,68% Rcc = Pcc / Icc

2 = 0,030 / 1,02 = 0.030 pu = 3% Xcc = ( Zcc

2 – Rcc2 )1/2 = ( 0,07682 – 0,032 )1/2 = 0,0707 pu = 7,07%

Valores das impedâncias ( perdas no cobre ) referidas ao lado de alta tensão

Zcca = Zcc(pu) x Zb1 Zcca = Zcc(pu) x V2b1 x 103 / Sb Zcca

= 0,0768 x 1382 x 103/500 = 2,925 kΩ Rcca = Rcc x Zb1 = 0,03 x 1382 x 103 / 500 = 1,1426kΩ Xcca = Xcc x Zb1 = 0,0707 x 1382 x 103 / 500 = 2,6928kΩ

Valores das impedâncias ( perdas no cobre ) referidas ao lado de baixa tensão Zccb = Zcc(pu) x Zb2 Zccb = Zcc(pu) x Vb2

2 x 103 / Sb Zccb

= 0,0768 x 13,82 x 103/500 = 29,252 Ω Rccb = Rcc x Zb2 = 0,03 x 13,82 x 103 / 500 = 11,426 Ω

Xccb = Xcc x Zb2 = 0,0707 x 13,82 x 103 / 500 = 26,928 ΩCircuito equivalente do trafo referido a AT

Circuito equivalente do trafo referido a BT

Circuito em PU

1.4- MÁQUINAS EM PUO fabricante fornece a potência aparente nominal, tensão nominal, frequência e as impedâncias subtransitória, transitória e de regime em pu.Ex: Alternador monofásico de 50MVA, 13,8 kV, 60hz, reatância transitória de 25%. Calcular o valor em ohms. - Z(pu) = Z / Zb Zb = Vb

2 x 103 / Sb

- X’ = Xpu x Zb Xpu x Vb2 x 103 / Sb = 0,25 x 13,8² x 103 / 50 x 103 = 0,9522Ω

Calcular a corrente de base.Vb = 13,8kVSb = 50MVAIb = Sb / Vb = 50 x103 / 13,8 = 3,623 kA

1.5-MUDANÇA DE BASE

Quando uma impedância expressa em pu numa base diferente da base para a parte em que a mesma se situa é necessário efetuar a mudança de base. Para efeito de cálculo, todas as impedâncias, de qualquer parte de um sistema, devem ser expressas na mesma base, portanto torna-se necessário uma mudança de base.

- Z(pu) = Z / Zb

- Zb = Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA )

- Z(pu) = Z x Sb ( kVA ) / Vb2 ( kV ) x 10³

Considerando uma impedância Z originalmente expressa em pu Z1(pu) tendo como base V1b e S1b, teremos:

- Z1(pu) = Z x S1b ( kVA ) / V1b2 ( kV ) x 10³

Para a mesma impedância Z para as bases V2b e S2b teremos o Z2(pu)

- Z2(pu) = Z x Sb2 ( kVA ) / Vb2² ( kV ) x 10³

Para representar na mesma base, teremos:

- Z2(pu)/Z1(pu) = (S2b/S1b) x (V1b2/ V2b

2) ou ser representado:

- ZN(pu)/ZA(pu) = (SNb/SAb) x (VAb2

/ VNb2) – N: Novo / A: Antigo

Ex: Seja uma impedância de 15Ω, nas bases 10 kV e 10.000kVA. Qual o valor em pu?

Z1(pu) = Z x S1b (kVA ) / V21b ( kV ) x 10³

Z1(pu) = 15 x 10.000 / 10² x 10³ = 150.000 / 100 x 1.000 = 150.000 / 100.000 = 1,5pu

Para a mesma impedância nas bases 15kV e 12.000kVA, teremos:

Z2(pu) = Zpu1 x (S2b/S1b) x (V1b/V2b)2 = 1,5 x (12.000 / 10.000) x (10/15)2 = 0,8pu

EXERCÍCIO: Considerando o diagrama abaixo, calcular a impedância total.

Considerando a base do cabo como comum teremos a conversão da impedância da carga convertida para a nova:

- ZN(pu)/ZA(pu) = (SNb/SAb) x (VAb/VNb)2

- ZN(pu) = ZA(pu) x (SNb/SAb) x (VAb/VNb)2

- ZN(pu) = (1+j0,2) x (10.000/100.000) x (15/13,8)2

- ZN(pu) = (1+j0,2) x 0,12 = 0,12+j0,024

IMPEDÂNCIA TOTAL

- ZT(pu) =( 0,024+j0,08)+(0,12+j0,024) = (0,144+j0,104)pu

Exercícios de fixação:

1- Trafo trifásico de 10MVA 13,8 /138kV e reatância de 6%. Determinar a tensão de base, a potência de base. Calcular a impedância e a corrente de base. V1b = 13,8 kV – primárioV2b = 138 kV – secundárioSb = 10MVAZ1b = Vb

2 x 10³ / Sb = 13,8² x 10³ / 10.000 = 19,04 – primário

Z2b = Vb2 x 10³ / Sb = 138² x 10³/ 10.000 = 1.904,4 – secundário

Z1b = α2 x Z2b α = N1 / N2 = V1 / V2 α = 13,8 / 138 α = 0,1 α2 = 0,01Z1b = 0,01 x 1.904,04 Z1b = 19,04Ω

I1b = Sb / x V1b = 10.000 / x 13,8 = 418,4A

I2b = Sb / x V2b = 10.000 / x 138 = 41,84A

2- Considerando um transformador de 30MVA 13,8/138 kV, X = 30% ligado no lado de baixa tensão. Determinar: 9º período / 8º - Reatância em ohms pelo lado d BT

Z(pu) = Z / Zb

Zb = Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA )

Z = Z(pu) x Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb (kVA )

Z = 0,3 x 13,8² x 10³ / 30.000 = 1,904Ω

- Reatância em ohms pelo lado de AT e o valor em pu

ZBT(pu) / ZAT(pu) = (VBTb/ VATb)²

ZAT(pu) = ZBT(pu) x (VATb/VBTb)²

ZAT(pu) = 1,904 x (138 /13,8)² = 190,4Ω

ZBT = α2 x ZAT ZAT = ZBT / α2 α = N1 / N2 = V1 / V2 α = 13,8 / 138 α = 0,1 α2 = 0,01 ZAT = 1,904 / 0,01 ZAT = 190,4Ω

- Reatância - valor em pu para BT

Z = Z(pu) x Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb (kVA )

Z(pu) = Z x Sb / Vb2 x 10³ = 1,904 x 30.000 / 13,8² x10³ = 30%

- Reatância - valor em pu para AT

Z = Z(pu) x Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb (kVA )

Z(pu) = Z x Sb / Vb2 x 10³ = 190,4 x 30.000 / 138² x10³ = 30%

3- Considerando o diagrama abaixo determinar a reatância total.

- Impedância total

XT(pu) = Xtrafo1 + Xtrafo2 – colocar o trafo 2 na mesma base do trafo 1 ( potência )

XT(pu) = 0,06 x 30.000 / 10.000 + 0,30 = 0,48 pu = 48%

4- A reatância de alternador trifásico 50MVA, 10 kV e Xd = 12%. As bases da rede são Sb = 100MVA e Vb = 11 kV. Determinar:

Impedância de base

Vb = 11 kV

Sb = 100MVA

Zb = Vb2 ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA ) = 11² x 10³ / 100 x 10³ = 1,21 Ω

Corrente de base

Ib = Sb ( kVA ) / √3 x Vb ( k V ) = 100 x 10³ / √3 x 11 = 5,25 kA

Mudança de base

Zbn = Zba x (Sbn/Sba) x (Vba/Vbn)2

Zbn = 0,12 x (100 x 103/50 x 103) x (10/11)2

Zbn = 0,198 pu

5- A reatância de um trafo trifásico de 30MVA, 60/16kV é 8%. A base de potência da rede é 50MVA, tensão de base no primário 56,25kV e no secundário 15kV. Calcular a impedância de base, corrente de base e o valor da reatância em pu na base do sistema.

Impedância de base

Vbp = 56,25 kV

Vbs = 15 kV

Sb = 100MVA

Zbp = V2bp ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA ) = 56,25² x 10³ / 50 x 10³ = 63,28 Ω

Zbs = Vbp2 ( kV ) x 10³ / Sb ( kVA ) = 15² x 10³ / 50 x 10³ = 4,5Ω

Corrente de base

Ibp = Sb ( kVA ) / √3 x Vbp ( k V ) = 50 x 10³ / √3 x 56,25 = 513,2A

Ibs = Sb ( kVA ) / √3 x Vbs ( k V ) = 50 x 10³ / √3 x 15 = 1,92kA

Mudança de base

Zn(pu) = Zpu x (Sbn/Sba) x (Vba/Vbn)2

Zn(pu) = 0,08 x (50 x 103/30 x 103) x (60/56,25)2

Zn(pu) = 0,152 pu

6- Um trafo de 20MVA, 0,4 kV, reatância de 5%, potência de base de 2MVA e tensão de base de 200V. Calcular a impedância de base, corrente de base e impedância em pu na nova base.

Impedância de base

Zb = Vb2 x 103 / Sb

Zb = 0,22 x 103 / 2 x 103

Zb = 0,02 Ω

Corrente de base

Ib = Sb ( kVA ) / √3 x Vb ( k V ) = 2000 x 10³ / √3 x 0,2 x 103 = 5,77 kA

Mudança de base

Zn(pu) = Zpu x (Sbn/Sba) x (Vba/Vbn)2

Zn(pu) = 0,05 x (2/20) x (0,4/0,2)2

Zn(pu) = 0,02 pu

7- Dado o circuito abaixo. Calcular as correntes de base, as impedâncias de base, as correntes de base e as impedâncias das linhas em pu nas suas bases para uma potência de base de 10 MVA

Trafo Vp (kV) Vs (kV) S (MVA) X%

T1 15 0,4 0,8 5

T2 60 15,5 20 10

Linha RΩ XΩ

Z12 0,0184 0,007

Z34 2,5 1,54

Tensão de base ( Vb1, Vb2, Vb3 )

Vb1 = 0,4 kV

N1/N2 = V1/V2 = α α = Vp/Vs

Vb2 = α x Vb1 Vb2 = 15/0,4 x 0,4 Vb2 = 15 kV

Vb3 = α x Vb2 Vb3 = 60/15,5 x 0,4 Vb3 = 58,06 kV

Impedância de base ( Zb1, Zb2, Zb3 )

Zb1 = Vb12 x 103 / Sb Zb1 = 0,42 x103 / 10 x 103 Zb1 = 0,016Ω

Zb2 = Vb22 x 103 / Sb Zb2 = 152 x103 / 10 x 103 Zb2 = 22,5 Ω

Zb3 = Vb32 x 103 / Sb Zb3 = 58,062 x103 / 10 x 103 Zb3 = 337,1Ω

Corrente de base

Ib1 = Sb ( kVA ) / √3 x Vb1 ( k V ) = 10 x 10³ / √3 x 0,4 = 14,43 kA

Ib2 = Sb ( kVA ) / √3 x Vb2 ( k V ) = 10 x 10³ / √3 x 15 = 384,9 A

Ib3 = Sb ( kVA ) / √3 x Vb3 ( k V ) = 10 x 10³ / √3 x 58,06 = 99,4 A

Impedâncias das linhas em pu

Z12(pu) = Z12 / Zb1 Z12(pu) = (0,0184 + j0,007) / 0,016 Z12(pu) = (1,5 + j0,44) pu

Z34(pu) = Z34 / Zb2 Z34(pu) = (2,5 + j1,54) / 22,5 Z34(pu) = (0,11 + j0,07) pu

Reatâncias dos trafos em pu para as novas bases

Xn(pu) = Xpu x (Sbn/Sba) x (Vba/Vbn)2

XT1(pu) = 0,05 x (10/0,8) x (0,4/0,4)2 XT1(pu) = 0,625 pu

XT2(pu) = 0,1 x (10/20) x (15,5/15)2 XT2(pu) = 0,0534 pu

8- A corrente de excitação lado de baixa tensão de um trafo trifásico de 50kVA, 2400/240V é 5,41A. Sua impedância equivalente lado de alta tensão é 1,42 + j1,82. Calcular impedância equivalente em puVbat = 2400VVbbt = 240VSb = 50 kVA

Corrente de base

Ibat = Sb ( kVA ) / √3 x Vbat ( k V ) = 50 / √3 x 2,4 = 12,03 A

Ibbt = Sb ( kVA ) / √3 x Vbbt ( k V ) = 50 / √3 x 0,24 = 120,3 A

Impedância de base Zbat

Zbat = Vbat2 x 103 / Sb Zbat = 2,42 x103 / 50 Zbat = 115,2Ω

Impedância em pu

Z(pu) = Zat / Zbat Z(pu) = (1,42 + j1,82) / 115,2 Z(pu) = (0,012 + j0,016) pu

9- Uma carga trifásica ligada a um trafo de 250 kVA, 2,4kV/460V, com um impedância em série (0,026+j0,12)pu. Carga de 95 kW, FP=1 e tensão nos seus terminais de 438V. Calcule a tensão lado de alta tensão, sabendo tensão base de 460V e potência de base de 100 kVA.

Tensão de base

Vbs = 460V = 0,46kVVbp = α x Vbs Vbp = (2,4/0,46) x 0,46 Vbp = 2,4 kV

Impedância de base

Zbat = Vbat2 x 103 / Sb Zbat = 2,42 x103 / 100 Zbat = 57,6Ω

Zbbt = Vbbt2 x 103 / Sb Zbat = 0,462 x103 / 100 Zbbt = 2,116Ω

Impedância em pu da linha na nova base

Zn(pu) = Zpu x (Sbn/Sba) x (Vba/Vbn)2

Zn(pu) = (0,026 + j0,12) x (100/250) x (0,46/0,46)2 Zn(pu) = (0,010 + j0,048) pu

Impedância em pu da carga – Carga na mesma base

Zc(pu) = (cosφ + jsen(arccosφ) Zc(pu) = 1 pu

Potência em pu

Sc = P / FP Sc = 95/1,0 Sc = 95kVA

S(pu) = Sc / Sb S(pu) = 95 / 100 S(pu) = 0,95 pu

Tensão na carga em pu

VC(pu) = VC / Vb V(pu) = 438 / 460 V(pu) = 0,952 pu

Corrente em pu

I(pu) = SC(pu) / V C(pu) I(pu) = 0,95 / 0,952 I(pu) = 0,998 pu

Tensão no secundário em pu

VS(pu) = VC(pu) + VL(pu) VS(pu) = VC(pu) + (I(pu) x ZL(pu))

VS(pu) = 0,952 + (0,998 x (0,010+j0,048)) VS(pu) = (0,954 + j0,047) pu

VS(pu) = 0,954 2,8° pu

Tensão no secundário em volts

VS = VS(pu) x VbS VS = 0,954 2,8° x 460 VS = 438,84 2,8° V

Tensão no primário em volts

α = VP / VS VP = α x VS VP = (2,4 / 0,46) x 0,43884

VP = 2,289 2,8° kV

10- Uma carga trifásica ligada a um trafo de 150 kVA, 2,4kV/460V, com um impedância de linha em série (0,038+j0,135)pu. Carga de 65 kW, FP=0,65 e tensão nos seus terminais de 460V. Calcule a tensão lado de alta tensão, sabendo tensão base de 460V e potência de base de 100 kVA.

Tensão de base

Vbs = 460V = 0,46kVVbp = α x Vbs Vbp = (2,4/0,46) x 0,46 Vbp = 2,4 kV

Impedância de base

Zbat = Vbat2 x 103 / Sb Zbat = 2,42 x103 / 100 Zbat = 57,6Ω

Zbbt = Vbbt2 x 103 / Sb Zbat = 0,462 x103 / 100 Zbbt = 2,116Ω

Impedância em pu da linha na nova base

Zn(pu) = Zpu x (Sbn/Sba) x (Vba/Vbn)2

Zn(pu) = (0,038 + j0,135) x (100/150) x (0,46/0,46)2 Zn(pu) = (0,025 + j0,09) pu

Impedância em pu da carga – Carga na mesma base

Zc(pu) = (cosφ + jsen(arccosφ) Zc(pu) = (0,65 + j0,76) pu

Impedância total em pu

ZT(pu) = Zc(pu) + ZL(pu) ZT(pu) = ((0,65 + j0,76) + (0,025+j0,09)

ZT(pu) = (0,675 + j0,85) pu

Potência em pu

Sc = P / FP Sc = 65/0,65 Sc = 100kVA

S(pu) = Sc / Sb S(pu) = 100 / 100 S(pu) = 1,0 pu

Tensão na carga em pu

V(pu) = V / Vb V(pu) = 460 / 460 V(pu) = 1,0 pu

Corrente em pu

Ic(pu) = Sc(pu) / Vc(pu) Ic(pu) = 1,0 / 1,0 Ic(pu) = 1,0 pu

Tensão no secundário em pu

VS(pu) = Vc(pu) + VL(pu) VS(pu) = ZT(pu) x I(pu) VS(pu) = (0,675 + j0,85) x 1,0

VS(pu) = (0,675 + j0,85) pu VS(pu) = 1,085 51,55° pu

Tensão no secundário em volts

VS = VS(pu) x VbS VS = 1,085 51,55° x 460 VS = 499,1 51,55° V

Tensão no primário em volts

α = VP / VS VP = α x Vs VP = (2,4 / 0,46) x 0,4991

VP = 2,604 51,55° kV

11- Um gerador trifásico de 30 MVA, 13,8 kV, possui uma reatância subtransitória de 15%. Ele alimenta dois motores através de uma LT com dois trafos nas extremidades, conforme diagrama unifilar. Os valores nominais dos motores são 20 e 10 MVA, ambos com 20% de reatância subtransitória. Os trafos trifásicos são ambos de 35 MVA 13,2 - 115Y (kV), com reatância de dispersão de 10%. A reatância em série da LT é 80 . Determinar todos os valores em pu. Escolha os valores nominais do gerador como base do circuito do próprio gerador.

Valores de base:- Vb = 13,8kV – Tensão do gerador- Sb = 30MVA – Potência de base do gerador

Gerador: Valores estão na base do gerador- Xg = 0,15 pu

Transformador T1 e T2 – para a nova base- XT1 = XT2 = 0,1 x 30 /35 x (13,2/13,8)2 = 0,784 pu

Linha de Transmissão:- α = V2 / V1 VbLT = α x Vbg VbLT = (115 / 13,2) x 13,8 VbLT = 120,23 kV- ZbLT = V2

bLT x 103/ Sb ZbLT = 120,232 x 103 / 30 x 103 ZbLT = 481,84Ω- XLT(pu) = 80/481,84 XLT(pu) = 0,166 pu

Motores M1 e M2:- α = V3 / V2 Vbm = α x VbLT Vbm = (13,2 / 115) x 120,23 Vbm = 13,8 kV- Xm1(pu) = 0,2 x 30/20 x (12,5/13,8)2 Xm1(pu) = 0,246 pu- Xm2(pu) = 0,2 x 30/10 x (12,5/13,8)2 Xm1(pu) = 0,492 pu

2- DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIA

1.1- Diagrama unifilar

Representação simplificada do diagrama elétrico. Em um diagrama unifilar, o sistema trifásico é representado por um sistema monofásico (uma das três fases e o neutro). Frequentemente este diagrama é ainda mais simplificado, suprimindo-se o neutro e indicando as partes componentes por símbolos padronizados. A importância do diagrama unifilar é fornecer de maneira concisa os dados mais significativos de um sistema de potência bem como sua topologia. As informações contidas num diagrama unifilar variam de acordo com o problema a ser estudado. Por exemplo, no estudo da proteção de um sistema a informação da localização dos relés e disjuntores no circuito é muito importante bem como os valores das correntes de

curto-circuito que deverão ser calculadas. Os componentes de um sistema de potência trifásico que são representadas em um diagrama unifilar são:

. máquinas;

· transformadores;

· linhas de transmissão;

· cargas estáticas ou dinâmicas

1.2- Diagramas de impedância

Quando se deseja analisar o comportamento de um sistema em condições de carga ou durante a ocorrência de um curto-circuito, o diagrama unifilar deve ser transformado num diagrama de impedâncias, mostrando o circuito equivalente de cada componente do sistema, referido ao mesmo lado de um dos transformadores. Como os modelos de todos os elementos que compõem o sistema elétrico já estão definidos, o diagrama de impedâncias do sistema é obtido fazendo o circuito equivalente por fase do sistema. Para isso, basta ligar em cascata os circuitos equivalentes individuais, de acordo com a topologia indicada no diagrama unifilar. No diagrama de impedância todos os circuitos equivalentes são apresentados e referidos ao mesmo lado do transformador (a relação de transformação é eliminada).

Na elaboração do diagrama de impedância a tensão utilizada “E” é igual a tensão anterior ao curto circuito no ponto da falta.

Todo componente de um sistema possui uma impedância “Z” constituída por uma resistência

“R” e uma reatância indutiva “X”. Z = + X².

Máquinas girantes ( motores e geradores ), transformadores ( exceto com impedância inferior a 4% ) e reatores normalmente possuem as reatâncias maiores que as resistências, independente do nível de tensão, portanto por via de regra podem ser representados somente pelas reatâncias.

Para condutores ( fios, cabos e barramentos ) a resistência não deve ser desprezada.

Normalmente quando a resistência não afetar significativamente a corrente de curto circuito, a mesma poderá ser desprezada. Quando a relação X/R for superior a 4, a não inclusão das resistências introduzirá um erro inferior a 3%.

Em sistemas com tensão acima de 1kV a X/R normalmente é superior a 4, portanto as resistências podem ser desprezadas.

Nos sistemas em baixa tensão onde existem pontos afastados dos transformadores a relação X/R pode ser baixa, logo a resistência dos condutores deve ser considerada.

1.2.1- Representação Diagramas de impedância

1º Passo:

2º Passo:

3º Passo:

1.2.2- Representação Diagramas de impedância

1.2.3- Determinação das Impedâncias

- Sistema da Concessionária

O sistema da concessionária deve ser representado por reatância no diagrama. A reatância refere-se ao ponto de entrega e está relacionada com a corrente de curto circuito presumida.

A rede da média tensão tem uma corrente de curto circuito no ponto de entrega da instalação fornecida pela concessionária, a qual geralmente fornece a potência de curto-circuito (Scc) em kVA. Além desse valor pode fornecer também a relação X/R. Se este valor não for fornecido pode ser adotado o valor característico X/R = 15. A rede de média tensão pode ser substituída por um gerador equivalente com a tensão do secundário do transformador (em vazio) que a ela estiver ligado e com a impedância calculada a partir da Scc e da tensão do secundário.

Potência Aparente ( kVA ) - Scc

1- Scc =

Scc – Potência de curto circuito no ponto de entrega - “kVA”

Icc - Correntede Curto circuito no ponto de entrega - “A”

Vl – Tensão de linha da concessionária - “kV”

2- Scc = ² x 10³ / X

Scc – Potência de curto circuito no ponto de entrega - “kVA”

X - Reatância equivalente em ohms

Vl – Tensão de linha da concessionária - “kV”

Valor em pu da reatância:

- Xpu = X x Sb (kVA ) / Vl² ( kV ) x 10³

- Xpu = ( Vl² x 10³ / Scc ) x Sb / Vl² x 10³

- Xpu = Sb / Scc

- Xpu = Sb /

Normalmente a concessionária fornece:

1- Potência de curto circuito em kVA2- Corrente de curto circuito presumida, numa dada tensão3- Reatância em pu numa dada potência de base4- Reatância em ohms por fase, numa dada tensão, relativos ao ponto de entrega.

Ex: Potência de curto circuito da concessionária – Scc: 150.000kVA / Potência de base – Sb: 10.000kVA, Calcular:

1- Reatância em puXpu = Sb / SccXpu = 10.000 / 150.000 = 0,067pu

2- Corrente presumida de curto circuito em 13,8kV

Icc = Scc /

Icc = 150.000 /

Icc = 6275,6A

3- Reatância em ohmsXpu = X x Sb / Vl² x 10³X = Xpu x Vl² x 10³ / SbX = 0,067 x 13,8² x 10³ / 10.000X = 1,28Ω/fase

- Transformadores:

A impedância ( reatância ) dos transformadores geralmente é dada em valor percentual, tendo como base os valores nominais do equipamento. No transformador, são fornecidas pelo fabricante as seguintes características nominais que interessam para os cálculos de curto-circuito: - Potência Aparente Nominal: Sn- Tensão Nominal: Un- Impedância Nominal (%)- ZN também conhecida como tensão de curto-circuito. Deve-se observar a base do trafo na qual determinou a impedância e na nova base que será adotadaZtr = Z%/100 x ( Sbsistema/Sbtrafo) x ( Vbtrafo/Vbsistema )²Às vezes são dadas também as perdas no cobre Pcu determinadas em ensaio, que servirão para determinar o valor da componente resistiva da impedância.

Zt = Rt + jXt

Zt = Zpu x Vl² x 10³ / Sb

Zt - Impedância igual ou superior a 4%

Xt

x

R

Z

Z² = R² + X² Normalmente são necessários conhecer R e X, porém normalmente somente Z é fornecido. Quando se tem deve, ser utilizado o valor obido em ensaio. Quando não se tem deve ser usado relação obida pela orma IEEE Std 141. Segue abaixo tabela com a relação X/R para potências mais usuais de trafos.

kVA X/R kVA X/R kVA X/R500 3,5 2000 8 5000 12750 5 2500 8,5 7500 14,5

1000 5,5 3000 9 10000 161500 7 3500 10 12000 17,51750 7,5 3750 10,5 15000 19,5

R = Z / 1 + ( X/ R )²

Ex: Calcular a impedância em PU ( R e X ) de um transformador de 2MVA, Z=6%, relação 13,8/0,44kV, nas bases de tensão de 13,8kV e 100MVA

Ztr = Z% x Sbn/Sba = 0,06 x 100 / 2 = 3pu

R = Z / 1 + ( X/ R )² R = 3 / 1 + ( 8 )²

R= 0,3721pu

X= 8R = 2,9768pu

A impedância de um transformador é obtida no ensaio de curto. Deve-se curto circuitar o secundário ( BT ) e aplicar no primário tensão até obter a corrente nominal. Com estes valores é possível determinar a impedância do transformador.

Ex: Transformador trifásico de 10.000kVA - 138:13,8kV – fechamento: , Calcular:

1- Corrente no primário em “A”

I = S /

I = 10.000 /

I = 41,84A2- Com o secundário em curto deve-se aplicar uma tensão de 11.000V para obter a

corrente nominal. Determinar a impedância / fase

Is = S /

Is = 10.000 /

I s= 418,4A

Zp = Vl / Ip

Zp = 11.000 / 41,84

Zp = 151,8Ω

3- Impedância de baseZb = Vb² x 10³ / SbZb = 138² x 10³ / 10.000Zb = 1.904Ω

4- Impedância em puZpu = Z / ZbZpu = 151,8 / 1904Zpu = 0,08pu

Nota: A impedância poderá ser obtida dividindo a tensão aplicada no primário com o secundário em curto para atingir a corrente nominal pela tensão do primário.Z = Vcc / VlZ = 11 / 138Z= 0,08pu

- Motores de indução

A impedância pode ser calculada:Zm = Rm + jXmZm – Impedância do motorRm – Resistência do motorXm – Reatância do motorPara motores de indução normalmente são conhecidos: In ( corrente nominal ), Vn ( tensão nominal ) e X ( reatância em % ).Deve-se proceder a mudança de base da reatância do motor para a base do sistema.

- Xpu = X%/100 x (Sbs/Sbm) x (Vbm/ Vbs)²

Quando a reatância não for um dado de placa, o valor pode ser calculado: - X” = In/Ip Pela norma IEC: Z = In/Ip

Potência absorvida pelo motor: - S(kVA) = CV x 0,736/cosφ x η Em alguns casos nos dados de placa não é fornecido a corrente de partida ou rotor bloqueado e nem a relação Ip/In, mas é fornecido a letra de código. Através da letra de código é possível determinar a corrente de partida do motor.

- Ip = Letra código x CV/ x V

Obs: Tensão em kV

LETRA CÓDIGO MOTORESLetra

CódigoFaixa

kVA/HPValor

MédioA Até 3,14 1,57B 3,15-3,54 3,345C 3,55-3,99 3,77D 4,00-4,49 4,245E 4,50-4,99 4,745F 5,00-5,59 5,295G 5,60-6,29 5,945H 6,30-7,09 6,695J 7,10-7,99 7,545K 8,00-8,99 8,495L 9,00-9,99 9,495M 10,00-11,19 10,595N 11,20-12,49 11,845P 12,50-13,99 13,245R 14,00-15,99 14,995S 16,00-17,99 16,995T 18,00-19,99 18,995U 20,00-22,39 21,195V > 22,4 -

Ex: Calcular corrente de partida de um motor de 700HP, 13,8kV, letra código G.

- Ip = Letra código x CV/ x V = 700 x 5,945/ x 13,8 = 174,31A

Quanto a relação X/R do motor, dificilmente conhece-se o valor. Podemos considerar- HP < 50 – desprezar o motor- 50 ≤ HP ≤ 185,48 – X/R = 8,505840 + 10,538839log(HP/100)- 185,48 < HP < 500 – X/R = 5,934388 + 20,123341log(HP/100)- 500 ≤ HP – X/R = 6,031667 + 19,984166log(HP/100)Abaixo tabela com valores típicos de X/R

HP X/R HP X/R

50 5,5 300 15,560 6,0 350 17,075 7,0 400 18,0

100 8,5 450 19,0

125 9,5 500 20,0150 10,5 600 21,5175 11,0 750 23,5200 12,0 1000 26,0250 14,0

Conhecendo o valor de X, pode-se obter o valor de R: - R = X” / ( X/R )

Para os motores de baixa tensão, podemos considerar os seguintes valores práticos:

Xm/Rm = 0,30 - Xm = 0,958Zm - Ip/In = 5

Observação: Nas máquinas rotativas são dados de placa que interessam nos cálculos: a Tensão Nominal, a Potência Nominal e os valores percentuais das Reatâncias ou Impedâncias Nominais tendo como base os valores nominais de Potência e Tensão.

Nas máquinas girantes, devido a relação entre X/R, as resistências são desconsideradas, sendo fornecido pelo fabricante as reatâncias subtransitórias ( X”d ) e transitória ( X’d ).

A queda de corrente é muito rápida quando o motor de indução passa a funcionar como gerador. Considerar somente o valor de Xd”.

Normalmente motores de grande porte têm grande influência no cálculo das correntes de curto circuito. Suas reatâncias devem ser determinadas antes do estudo de curto circuito.

Ex: Calcular a impedância em PU ( R e X ) de um motor de indução de 500HP, corrente nominal de 65A, cosφ=0,92, η=0,9, tenão nominal de 4kV e corrente de partida de 390A, instalado em 4,16kV na base de 100MVA.Solução: pela tabela acima X/R=20X%= In/Ip x 100 = 65/390 x 100 = 16,67%

S= x V x I = x 4 x 65 = 450,32kVA = 0,45032MVA

Xpu= X%/100 x Sbs/Sbm x (Vbm/Vbs)² = 16,67/100 x 100/0,45032 x (4/4,16)² = 34,22puR = X”/(X/R) = 34,22/ 20 = 1,7122pu

- Condutores:

A resistência e a reatância de cabos, fios, e barramentos são geralmente apresentadas em ohms / fase por unidade de comprimento.A indutância pode ser desprezada para os condutores até 35mm2 e a partir daí pode ser obtida em tabelas.Resistência do condutor poderá ser calculada:R = σ x L / SA escolha do barramento é feita por tabelas com dimensões em mm. Essas tabelas dão a capacidade de condução de corrente para várias configurações de barramentos em

paralelo.Nota: - Para barramentos curtos pode-se desprezar a reatância e calcular a resistência pela fórmula geral dos condutores.

Temperatura ambiente 35ºC Temperatura do barramento 65ºC

Largura x Espessura Seção PesoMaterial

Corrente máxima até 60Hz

Sem PinturaCom pintura, de

preferênciapreto / fosco

Número de barras por fase Número de barras por fase

BásicasSob

mm2 kg/m I II III I II IIIencomenda

- 12x2 23,5 0,209

E-CU F30

108 182 - 123 202 -- 15x2 29,5 0,262 128 212 - 148 240 -

15x3 - 44,5 0,396 162 282 - 187 316 -- 20x2 39,5 0,351 162 264 - 189 302 -

20x3 - 59,5 0,529 204 348 - 237 394 -20x5 - 99,1 0,822 274 500 - 319 560 -

- 20x10 199 1,77 427 825 - 497 924 -- 25x3 74,5 0,663 245 412 - 287 470 -- 25x5 124 1,11 327 586 - 384 662 -- 25x10 249 2,22 - 1200 - - 1320 -

30x5 - 156 1,35 379 672 896 447 760 94430x10 - 299 2,66 573 1060 1480 676 1200 167030x5 - 195 1,77 482 836 1090 573 952 1140

30x10 - 399 3,55 715 1290 1770 850 1470 2000- 50x5 249 2,22 583 994 1260 697 1140 1330

50x10 - 499 4,44 852 1510 2040 1020 1720 232060x5 - 299 2,66 688 1150 1440 826 1330 1510

60x10 - 599 5,33 985 1720 2300 1180 1960 281080x5 - 399 3,55 885 1450 1750 1070 1680 1830

80x10 - 799 7,11 1240 2110 2790 1500 2410 3170100x5 - 499 4,44 1080 1730 2050 1300 2010 2150

100x10 - 999 8,89 1490 2480 3260 1810 2850 3720120x10 - 1200 10,7 1740 2860 3740 2110 3280 4270160x10 - 1800 14,2 2220 3590 4680 2700 4130 5360

- 200x10 2000 17,8 2690 4310 5610 3290 4970 6430

Notas:

1.Nas execuções de barramentos com duas ou mais barras por fase, a distância entre elas é dada pela própria espessura da barra.2. A pintura como recurso de aumentar a ampacidade não é aceita por algumas normas. Verificar em cada aplicação.

-Motores e Geradores Síncronos:

Para motores/geradores síncronos normalmente são conhecidos: In ( corrente nominal ), Vn ( tensão nominal ) e X ( reatância em % ).Deve-se proceder a mudança de base da reatância do motor para a base do sistema.

- Xpu = X%/100 x (Sbs/Sbm) x (Vbm/ Vbs)²

Conhecendo o valor de X, pode-se obter o valor de R: - R = X” / ( X/R )

Quanto a relação X/R do motor/gerador síncrono, dificilmente conhece-se o valor. Podemos considerar:- kVA = 1000 – X/R = 22 - 1000 < kVA ≤ 5000 – X/R = 22 + 11,445412log(MVA)- 5000 < kVA ≤ 15000 – X/R = 21,210159 + 12,575420log(MVA)- 15000 < kVA – X/R = 6,410562 + 36060604log(MVA)

Abaixo tabela com valores típicos de X/R

kVA X/R kVA X/R

1000 22,0 6000 31,01500 24,0 7000 32,02000 25,5 8000 32,52500 26,5 9000 33,03000 27,5 10000 34,03500 28,0 15000 36,04000 29,0 18000 37,04500 29,5 20000 40,55000 30,0 25000 44

Estas máquinas apresentam uma reatância variável caracterizada por três valores:Xd”, Xd’ e Xd ( subtransitória, transitória e sincrona ).As resistências são muito pequenas em relação às reatâncias e por isso são normalmente desprezadas.Para levar em conta as resistências, os seus valores no regime subtransitório podem ser avaliados por:

RG = 0,05 Xd”, quando UNG 1 kV e SNG 100MVARG = 0,07 Xd”, quando UNG 1 kV e SNG 100 MVARG = 0,15 Xd”, quando UNG 1 kV

Ex: Calcular a impedância em PU ( R e X ) de um motor de síncrono de 1800HP, corrente nominal de 740A, tensão nominal de 13,2kV e retância subtransitória ( X”d ) igual a 15%, instalado em 13,8kV na base de 100MVA.Solução:

S= x V x I = x 13,2 x 740 = 16918,7kVA = 16,9187MVA

pela tabela acima X/R=37Xpu= X%/100 x Sbs/Sbm x (Vbm/Vbs)² = 15/100 x 100/16,9187 x (13,2/13,8)² = 0,8112puR = X”/(X/R) = 0,8112 / 37 = 0,0219pu

Exercício: No diagrama unifilar abaixo, determinar o diagrama de impedância. Escolha de bases: Sb= 15MVA, Vb= 13,8kV / 0,48kV / 0,208kV

Determinação das impedâncias em pu:

- Concessionária:

Xpu = Sb / Scc

Xpu = 15.000 / 1.500.000

Xpu = 0,01pu

- Gerador:

ZpuN = ZpuA x (SbN/SbA) x (VbA/ VbN )²

ZpuN = 0,095 x (15.000/9.375) x (13,8/ 13,8 )²

ZpuN = 0,152pu

- Transformador T1:

ZpuN = ZpuA x (SbN/SbA) x (VbA/ VbN )²

ZpuN = 0,07 x (15.000/15.000) x (13,8/ 13,8 )²

ZpuN = 0,07pu

- Transformador T2:

ZpuN = ZpuA x (SbN/SbA) x (VbA/ VbN )²

ZpuN = 0,0575 x (15.000/1.500) x (13,8/ 13,8 )²

ZpuN = 0,575pu

- Transformador T3:

ZpuN = ZpuA x (SbN/SbA) x (VbA/ VbN )²

ZpuN = 0,05 x (15.000/500) x (13,8/ 13,8 )²

ZpuN = 1,5 pu

- Motor M1:

ZpuN = ZpuA x (SbN/SbA) x (VbA/ VbN )²

ZpuN = 0,1 x (15.000/(4.500x0,746/0,8)) x (13,8/ 13,8 )²

ZpuN = 0,358 pu

- Motor M2:

ZpuN = ZpuA x (SbN/SbA) x (VbA/ VbN )²

ZpuN = 0,1 x (15.000/5.000x0,746/0,8) x (13,8/ 13,8 )²

ZpuN = 0,322pu

- Motor M3:

ZpuN = ZpuA x (SbN/SbA) x (VbA/ VbN )²

ZpuN = 0,15 x (15.000/6.000x0,746/0,8) x (13,8/ 13,8 )²

ZpuN = 0,402pu

- Conjunto de motores:

ZpuN = ZpuA x (SbN/SbA) x (VbA/ VbN )²

ZpuN = 0,25 x (15.000/1.500) x (0,48/ 13,8 )²

ZpuN = 0,00302pu

- Cabo:

Zb = Vl² x 10³ / Sb

Zb = 0,48² x 10³ / 1.500 = 0,1536

Zpu = Z / Zb

Zpu = ( 0,0386 + j0,0265 ) / 0,1536 = ( 0,251 + j0,173 )pu

ZpuN = ZpuA x (SbN/SbA) x (VbA/ VbN )²

ZpuN = (0,251+j0,173) x (15.000/1.500) x (0,48/ 13,8 )²

ZpuN =(0,0030+j0,0021)pu