3.Fungsi Legendre - Website Staff...

3.Fungsi Legendre3.1. Pengembangan fungsi Legendre3.2. Sifat-sifat Fungsi Legendre3.3. Legendre Asosiasi3.4. Harmonik Sferis3.5. Operator Momentum Angular

3.1. Pengembangan Fungsi Legendre

Fungsi Legendre dapat langsung dikembangkan dari basis fisika yakni elektrostatik:

1041

rq

πεϕ =

r r1

θ q

z=az

ϕ(3.1)

2/122

0

)cos2(4

−−+= θπε

ϕ ararqDalam koordinat polar r dan θ:

Dapat diekspansikan dalam polinomial Pn:

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

00

)(cos4 n

n

n raPq θ

πεϕ

Disini Pn adalah polinomial Legendre dan dapat didefinisikan:

1||,)()21(),(0

2/12 <=+−= ∑∞

=

− ttxPtxtxtgn

nn

g(t,x) merupakan fungsi generator untuk polinomial Legendre

(3.3)

(3.2)

(3.4)

∑∞

=

− −=+−0

222

2/12 )2()!(2

)!2()21(n

nn txt

nntxt

Fungsi generator dapat diekspansikan:

∑∞

=

−−

=0

2 )2(!)!2(

!)!12(n

ntxtn

n

ntxt )2( 2−Ekspansi binomial dari menghasilkan deret dobel:

∑ ∑∞

= =

−−

−−=+−

0 022

2/12 )2()!(!

!)1()!(2

)!2()21(n

n

k

kknknn tx

knknt

nntxt

∑∑∞

= =

+−

−−=

0 02 )2(

)!(!!2)!2()1(

n

n

k

knknn

k txknkn

n

(3.4)

(3.5)

∑∑∞

= =

−−

−

−−−

−=+−0

]2/[

0

222

2/12 )2()!2()!(!2

)!22()1()21(n

n

k

nknkn

k txknknk

kntxt

Dapat diatur urutan sumasi:

(3.6)Bandingkan dengan (3.4) diperoleh:

∑=

−

−−−

−=]2/[

0

2

)!2()!(!2)!22()1()(

n

k

knn

kn x

knknkknxP (3.7)

Dapat dievaluasi langsung beberapa Pn(x) untuk n kecil.

1)(0 =xP

xxP =)(1

21

23)( 2

2 −= xxP

Kembali ke masalah elektrostatis, untuk kasus dipole:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

210

114 rr

qπε

ϕ

r2 r r1

θ q

z=az

ϕ

-q

z=-a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

210

114 rr

qπε

ϕ

Diekspansikan sesuai cosinus, untuk (r>a) :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−− 2/122/12

0

cos21cos214 r

ara

ra

raq θθ

πεϕ

(3.8)

(3.9)

Jelas bahwa suku kedua serupa dengan pertama kecuali dengan mengganti a menjadi –a.

Gunakan (3.4) akan diperoleh:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑

∞

=

∞

= 000

)1)((cos)(cos4 n

nn

nn

n

n raP

raPq θθ

πεϕ (3.10)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ....)(cos)(cos

42 3

310 r

aPraPq θθ

πεϕ

Suku pertama (dan suku paling dominan kalau r>>>a) adalah :

21

0

)(cos42

rPaq θ

πεϕ =

Yang merupakan potensial dipol listrik yang sudah biasa dikenal. Disini 2aq merupakan momen dipol.

(3.11)

(3.12)

Pelajari sendiri:Multipol listrik linear

Polinomial Gegenbauer

∑∞

=+ −

=+− 02

1

2/1

2/12 )()!()21(

2n

nmnm

m

txTmtxtπ

+

+

+

+-

-

-

-

+

+

-

-

(3.13)

LatihanKembangkan potensial listrik dari deretan muatan yang membentuk kuadrupol:

Gunakan E = −∇ϕ untuk mendapatkan komponen-komponen medan listrik sebuah dipole listrik. Anggap r>>>a.

-2q q

z=az

q

z=-a

3.2. Sifat-sifat Fungsi Legendre

Hubungan Rekursi dan Sifat-sifat Khusus

2/12 )21(),( −+−= txtxtg

Seperti pada fungsi Bessel, fungsi generator pada polinomial Legendre dapat dimanfaatkan untuk mengembangkan hubungan rekursi

Turunkan terhadap t:

∑∞

=

−=+−−

=∂

∂

0

12/32 )(

)21(),(

n

nn txnP

txttx

txtg

Dapat disusun menjadi:

0)()()()21(00

12 =−++− ∑∑∞

=

∞

=

−

n

nn

n

nn txPxttxnPtxt (3.14)

Seterusnya (buktikan!):

)()()1()()12( 11 xnPxPnxxPn nnn −+ ++=+

Inilah hubungan rekursi tiga suku seperti pada fungsi Bessel.

Misal untuk n=1:

)()(2)(3 021 xPxPxxP +=

Dari hal ini:)13()( 2

21

2 −= xxP

Nilai Pn(x) untuk orde n yang lebih tinggi secara iterasi.

(3.15)

Polinomial Legendre

)157063()(

)33035()(

)35()(

)13()(

)(1)(

3581

5

2481

4

321

3

221

2

1

0

xxxxP

xxxP

xxxP

xxP

xxPxP

+−=

+−=

−=

−=

==

Secara manual teknik menghitung polinomial Legendre dapat membosankan. Namun dengan komputer digital hal ini dapat mudah dilakukan:

)1/()]()([)()(2)( 111 +−−−= −−+ nxPxxPxPxxPxP nnnnn (3.16)

Persamaan Diferensial

∑∞

=

=+−

=∂

∂

02/32 )('

)21(),(

n

nn txP

txtt

xxtg

Sifat-sifat lain polinomial Legendre dapat diperoleh dengan diferensiasi fungsi generator:

0)()(')21(00

2 =−+− ∑∑∞

=

∞

= n

nn

n

nn txPttxPtxt

atau

(3.17)

dari hal ini:

)()('2)(')(' 11 xPxxPxPxP nnnn +=+ −+(3.18)

Diferensiasikan (3.15) terhadap x kemudian kalikan dua dan gabung dengan persamaan (3.18), didapat:

)()12()(')(' 11 xPnxPxP nnn +=− −+ (3.19)

Gabungan (3.15) dan (3.19) menghasikan macam-macam relasi, diantaranya:

)(')()1()(' 1 xxPxPnxP nnn ++=+

)(')()(' 1 xxPxnPxP nnn +−=−

)()()(')1( 12 xnxPxnPxPx nnn −=− −

)()1()()1()(')1( 12 xPnxxPnxPx nnn ++−+=−

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

Diferensiasikan (3.22) dan gunakan (3.21) untuk menghilangkan P’n-1(x) diperoleh p.d. orde-2:

0)()1()('2)(")1( 2 =++−− xPnnxxPxPx nnn (3.24)

Persamaan terakhir inilah yang disebut dengan persamaan diferensial Legendre.

Dalam banyak kasus di Fisika, pers. Legendre sering juga dinyatakan dalam diferensiasi terhadap θ, dengan x = cos θ

0)(cos)1()(cossinsin

1=++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

θθθ

θθ nn Pnnd

dPdd

(3.25)

∑∞

=

− =+−=0

2/12 )()21(),(n

nn txPtxtxtg

Kembali ke fungsi generator:

Untuk x=1, dapat dievaluasi:

∑∞

=

− =−

=+−=0

2/12

11)21()1,(

n

ntt

tttg

Dapat disimpulkan:

1)1( =nP

Juga dapat dibuktikan dengan cara serupa:n

nP )1()1( −=−

(3.26)

(3.27)

Bila x=0, maka dapat dievaluasi:

∑∞

=

− =+=0

2/12 )0()1()0,(n

nn tPttg

Sementara kita ketahui bahwa:

....!2

)12....(3.1)1(....1)1( 24832

212/12 +

−−+++−=+ − n

nn t

nnttt

Maka:

0)0(!)!2(

!)!12()1(!2

)12....(3.1)1()0(

12

2

=

−−=

−−=

+n

nn

nn

Pn

nnnP

(3.28)

Paritas

Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa:g(-t,-x) = g(t, x)Pn(-x) = (-1)nPn(x)

(3.29)(3.30)

LatihanLihat Arfken

1. Tunjukkan bahwa

Petunjuk dalam koordinat polar sferis:

2. Tunjukkan bahwa:

Hasil ini bermanfaat untuk menghitung muatan terinduksi pada bola metal oleh suatu muatan titik q.

21

1

)(cos)1()(cos+

++ +−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

nn

nn

rPn

rP

zθθ

θθθ

∂∂

−∂∂

=∂∂

rrz1sincos

∑∞

=

+=+−−

02/32

2

)()12()21(

1n

nn txPn

ttxt

Ortogonalitas Fungsi LegendrePersamaan differensial Legendre (3.24):

dapat ditulis:

Kalikan dengan Pm(x) kemudian integrasi dengan batas -1 sampai 1, didapat:

0)()1()('2)(")1( 2 =++−− xPnnxxPxPx nnn

0)()1()](')1[( 2 =++− xPnnxPxdxd

nn

∫

∫

−

−

+−+=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−

1

1

1

1

22

)()()]1()1([

)](')1[()()](')1[()(

dxxPxPnnmm

dxxPxdxdxPxPx

dxdxP

mn

mnnm

(3.31)

(3.32)

Karena faktor (1-x2) maka suku sebelah kiri =0, sehingga:

Untuk m ≠ n, maka:

tampak ortogonalitas pada interval [-1,1]. Masih harus dihitung untuk m=n, jelas integral tidak sama dengan nol.

Bagaimana mencarinya?

0)()()]1()1([1

1

=+−+ ∫−

dxxPxPnnmm mn

0)()(1

1

=∫−

dxxPxP mn (3.33)

Dari fungsi generator:

Integrasikan dari x=-1 sampai 1, maka suku bersilang akan menjadi nol, sehingga:

Misalkan y = 1-2tx+t2, didapat:

2

0

12 )()21( ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=+− ∑

∞

=

−

n

nn txPtxt

[ ]∑ ∫∫∞

= −−

=+− 0

1

1

221

12 )(

21 nn

n dxxPttxt

dx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

==+− ∫∫

+

−− tt

tydy

ttxtdx t

t 11ln1

21

21

2

2

)1(

)1(

1

12 (3.35)

(3.34)

Ekspansikan dalam deret pangkat:

Sehingga dapat disimpulkan (bandingkan 3.34 dan 3.36):

Jadi:

∑∞

= +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

0

2

122

11ln1

n

n

nt

tt

t

[ ]12

2)(1

1

2

+=∫

− ndxxPn

(3.36)

(3.37)

nmnm ndxxPxP ,

1

1 122)()( δ+

=∫−

Definisi alternatif untuk polinomial Legendre

Pelajari sendiri formula Rodrigues

nn

nn xdxd

nxP )1(

!21)( 2 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (3.38)

Latihan:

Cek untuk beberapa n kecil.

Contoh-contoh penggunaan di Fisika

1. Medan Gravitasi BumiSalah satu penggunaan deret Legendre adalah untuk menjelaskan potensial gravitasi Bumi. Dengan R =radius equator = 6378,1 ± 0,1 km

Dapat ditulis:

22 /km001,0494,62 sR

GM±=

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑

∞

=

+

2

1 )(cos),(n

nn

rR

n ParR

RGMrU θθ

2. Bola dalam Medan Uniform

Problem: mencari potensial yang terdistorsi karena ada bola konduktor dengan radius r0.

zE

Potensial elektrostatik memenuhi pers. Laplace:

02 =∇ VGunakan metode separasi variabel (lihat. Fisika Matematika II) pada koordinat polar sferis:

(Mengapa tidak ada ketergantungan ϕ?)

Bagaimana mencari koefisien an dan bn? Gunakan syarat batas kondisi fisis.

∑∑∞

=+

∞

=

+=0

10

)(cos)(cosn

nn

nn

nn

n rPbPraV θθ

Bila medan original (tak terdistorsi) adalah E0 maka:

V(r ∞)=− E0z =− E0 r cos θ= − E0 r P1(cos θ)

Karena deret Legendre adalah unique maka dapat disimpulkan:

an = 0, untuk n>1a1 = − E0

∑∑∞

=+

∞

=

+=0

10

)(cos)(cosn

nn

nn

nn

n rPbPraV θθ

Kita dapat memilih pada bola konduktor dan bidang θ =π/2 potensial =0, sehingga:

Supaya hal ini bisa terjadi maka semua koefisien Pn(cos θ) harus nol.

a0 = b0 = 0bn = 0 untuk n ≥ 2

zE

0

)(cos)(cos)(2

10

10020

1

0

000

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++== ∑

∞

=+

nn

nn r

PbPrErb

rbarrV θθ

Dan juga b1 = E0r03

Potensial elektrostatik (di luar bola) menjadi:

Pada teori Medan Elektromagnetik, hasil yang sama dapat dikerjakan dengan metode bayangan (detail lihat Jackson).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

+−=

3

30

10

2

300

10

1)(cos

)(cos)(cos

rrrPE

rrErPEV

θ

θθ

Sebagai informasi tambahan, kerapatan muatan permukaan terinduksi dapat dihitung:

Momen dipole listrik terinduksi:

θεεσ cos3 0000

ErV

rr

=∂∂

−==

003

04 ErP επ=

Pelajari sendiri

3. Potensial Listrik Muatan Cincin

3.3. Fungsi Legendre Asosiasi

Fungsi Legendre Asosiasi dapat dikembangkan dari fungsi Legendre:

0)()1()('2)(")1( 2 =++−− xPnnxxPxPx nnn

Diturunkan sebanyak m kali akan diperoleh:0)1)((')1(2")1( 2 =++−++−− umnmnumxux

Dengan: )(xPdxdu nm

m

≡

(3.39)

Sekarang kalau kita ambil:

)()1()()1()( 2/22/2 xPdxdxxuxxv nm

mmm −=−= (3.40)

Masukkan ke (3.31) (latihan!!!) akan diperoleh:

01

)1('2")1( 2

22 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++−− vx

mnnxvvx

Pers. (3.33) merupakan p.d. Legendre asosiasi yang akan kembali menjadi Legendre bila m=0.

Dalam koordinat polar, Legendre asosiasi menjadi:

(3.41)

0sin

)1(sinsin

12

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ vmnn

ddv

dd

θθθ

θθ(3.42)

Solusi reguler, dilabelkan kembali Pmn(x) adalah:

)()1()()( 2/2 xPdxdxxPxv nm

mmm

n −=≡

Beberapa fungsi Legendre asosiasi:

θ

θθ

θθ

θ

θθ

θ

32/3233

2223

2232/122

231

3

2222

2/1212

2/1211

sin15)1(15)(

sincos15)1(15)(

sin)1cos5()1)(15()(

sin3)1(3)(

sincos3)1(3)(

sin)1()(

=−=

=−=

−=−−=

=−=

=−=

=−=

xxP

xxxP

xxxP

xxP

xxxP

xxP

(3.43)

dan dihubungkan dengan:)(xPmn )(xP m

n−

)()!()!()1()( xP

mnmnxP m

nmm

n +−

−=−

dan jelas bahwa:

)()(0 xPxP nn =

Terdapat juga fungsi generator untuk Legendre Asosiasi, namun amat sangat jarang digunakan di Fisika.

(3.44)

(3.45)

Hubungan Rekursi:Karena ada dua indeks (n dan m) maka ada macam-macam variasi hubungan rekursi. Beberapa diantaranya dapat dilihat di Arfken.

Misal:m

nm

nm

n PnmPnmxPn 11 )1()()12( +− +−++=+ (3.46)

Paritas Fungsi Legendre Asosiasi:

)()1()( xPxP mn

nmmn

+−=−

Ortogonalitas Fungsi Legendre Asosiasi:

qpm

qmp mq

mqq

dxxPxP ,

1

1 )!()!(

122)()( δ

−+

+=∫

−

atau dalam koordinat polar:

qpm

qmp mq

mqq

dPP ,

1

1 )!()!(

122sin)(cos)(cos δθθθθ

−+

+=∫

−

(3.47)

(3.48)

(3.49)

Contoh kasus di Fisika:Medan induksi magnet dari loop arus

ϕ

dλ

x

y

z

r

θ

I

Potensial vektor:

rIdd λ

πμ4

0=A

Dari argumentasi simetri tampak bahwa A hanya mempunyai komponen ϕ0 dan independen dari ϕ.

A

),(ˆ0 θϕ ϕ rA=A

(3.50)

(3.51)

Persamaan Maxwell:

,JH =×∇ ,0/( =∂∂ tD pada satuan MKS)

Karena maka:ABH ×∇==0μJA 0μ=×∇×∇

Disini J adalah rapat arus. Pada masalah ini nilai J adalah nol kecuali pada loop itu sendiri. Jadi untuk yang jauh dari loop:

0),(ˆ0 =×∇×∇ θϕ ϕ rA

Dalam koordinat sferis:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=×∇×∇ )(cot112ˆ),(ˆ22

2

22

2

00 ϕϕϕϕ

ϕ θθθ

ϕθϕ Ar

Arr

Arr

ArA

= 0

(3.52)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

)()(),( θθϕ Θ= rRrAGunakan metode separasi variabel:

Didapat

0sin

)1(cot

0)1(2

22

2

2

22

=Θ

−Θ++Θ

+Θ

=+−+

θθθ

θnn

dd

dd

RnndrdRr

drRdr (3.56)

(3.57)

Persamaan yang kedua merupakan Legendre asosiasi dengan m=1

)(cos)( 1 θθ nP=Θ

Konstanta separasi n(n+1) dipilih untuk membuat solusi ini well behaved.

(3.58)

Solusi trial R(r) = rα , didapat α = n, −n − 1. Solusi pertama divergen ketika r→∞. Sehingga solusi yang sesuai:

)(cos)(cos 11

11 θθϕ n

n

nnnn

n PracP

rbA

+

+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

dan:

∑∞

=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1

11

)(cos),(n

n

n

n PracrA θθϕ

Dari potensial vektor ini dapat dicari medan magnet (latihan!!)

(3.59)

(3.60)

3.4. Harmonik Sferis

Dalam separasi variabel dari (a) pers. Laplace, (b) pers. gelombang klassik bergantung ruang, dan (c) pers. gelombang Schrodinger untuk gaya sentral,

0)(22 =+∇ ψψ rfkKetergantungan angular datang sepenuhnya dari operator Laplacianadalah:

0)()1()(sin

)(sinsin

)(2

2

2 =ΘΦ++ΦΘ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΘΦ ϕ

ϕϕ

θθ

θθ

θθϕ nn

dd

dd

dd

(3.61)

(3.62)

22

2 )()(

1 md

d−=

ΦΦ ϕ

ϕϕ

Ketergantungan azimutal:

Dengan solusi:

ϕϕϕ imim ee ,)( −=Φ

Yang memenuhi kondisi ortogonalitas:

21

21,

2

0

2 mmimim dee πδϕ

πϕϕ =∫ −

(3.63)

(3.64)

(3.65)

Dapat dibuktikan dengan argumentasi fisis (misal dalam elektrostatik dan kuantum) bahwa m harus merupakan bilangan bulat (buktikan!)

ϕ

πϕ ime

21)( =Φ

Pers. (3.56) menuntun kepada:

yang merupakan ortonormal (ortogonal dan ternormalisasi) terhadap sudut azimuth ϕ

(3.66)

Ketergantungan pada Sudut:

Kita lihat kembali ortogonalitas fungsi Legendre Asosiasi pada pers. (3.48) atau (3.49). Kita dapat definisikan fungsi ortonormal dari Legendre asosiasi, yakni:

)(cos)!()!(

212)(cos θθ m

nm

n Pmnmnn

+−+

=P (3.67)

φθπ

φθ immn

mmn eP

mnmnnY )(cos

)!()!(

412)1(),(

2/1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

−≡

Ketergantungan pada sudut dari solusi pers. (3.62) menjadi:

)()(cos ϕθ ΦmnP

Hal terakhir disebut Harmonik sferis, yang dapat ditulis menjadi:

(3.68)

Disini dimasukkan suku fasa (-1)m untuk menyesuaikan dan memudahkan pada perhitungan real di banyak kasus Fisika.

ϕ

ϕ

ϕ

θπ

φθ

θπ

φθ

θπ

φθ

θπ

φθ

πφθ

i

i

i

eY

eY

Y

eY

Y

2222

11

01

11

00

sin396

5),(

sin83),(

cos43),(

sin83),(

41),(

=

+=

=

−=

=

−−

Tabel beberapa Harmonik Sferis:

Selengkapnya dapat dilihat di Arfken.

3.5. Operator Momentum Angular

Dalam Mekanika Kuantum, konsep momentum angular memegang peran yang sangat penting serupa dengan yang terjadi pada Mekanika Klassik, disini momentum angular dihubungkan dengan torsi. Namun dalam Mekanika Kuantum kita mengeksplorasi Hamiltonian klassik yang hanya tergantung pada momentum angular.

z

x

y

L=r×p

θ

φ

Posisi partikel R,θ,ϕmomentum p

Sekarang perhatikan sebuah partikel klassik yang bergerak dalam permukaan bola, partikel boleh kemana saja selama tetap berada jarak konstan R dari pusat bola. Jadi variabel yang tersisa dalam koordinat polar hanya (θ,ϕ).

Dalam kasus ini momentum selalu tegak lurus posisi:p•r = 0

Vektor momentum angular klassik:L = r×p

Sekarang kita lihat kuadrat dari momentun angular:

L2 = (r×p)• (r×p)= (r•r)(p•p) − (r•p)(p•r) = r2p2 = R2p2

Tidak ada energi potensial pada masalah ini, hanya energi kinetik. Hamiltonian untuk gerakan ini:

dengan I merupakan momen inersia. I

LmRL

mpH

222

2

2

22

===

Definisi klassik untuk momentum angular L = r×pmemberikan komponen:

yzx zpypL −=

zxy xpzpL −=

xyz ypxpL −=

)/( xipx ∂∂−= h

∇−= hip

Operator momentum seperti biasanya ditulis:

atau dalam tiga dimensi

hSekarang dapat kita evaluasi beberapa komutator:

[Lx , z] = [ypz − zpy , z] = y [pz , z] = −i y

[Lx , pz] = [ypz − zpy , pz] = − [z, pz] py = −i py

[Lx , x] = 0

[Lx , px] = 0

dan masih banyak lagi komutator serupa.

h

hipx x =],[ hipy y =],[ hipz z =],[

Hubungan ini dapat diringkas:* posisi dan momentum:

, juga dan

[x, py] = 0, juga [x, pz]=[y, px]=[y, pz]=[z, px]= [z, py]=0

xiLzziLyyiLx

yiLzxiLyziLx

LzLyLx

yxz

xzy

zyx

hhh

hhh

−=−=−=

===

===

],[;],[;],[

],[;],[;],[

0],[],[],[

xyzzxyyzx

yxzxzyzyx

zzyyxx

piLppiLppiLp

piLppiLppiLp

LpLpLp

hhh

hhh

−=−=−=

===

===

],[;],[;],[

],[;],[;],[

0],[],[],[

x

y

z

* posisi dan momentum angular:

* momentum dan momentum angular:

zyx

zxxxzxxyx

Lixpiypi

pLxpzLxpzpLLL

hhh =+−=

−=−= ],[],[],[],[

yxzxzy LiLLLiLL hh == ],[dan],[

x,y,zi,j,k LiLL kijkji == dengan ],[ εh

1

2

3

Sekarang kita gunakan komutator-komutator tersebut untuk menyelesaikan hubungan komutasi antar komponen L.Misalnya:

Dengan mudah dapat dibuktikan juga:

Secara simbolik dapat ditulis:

εijk adalah Levi civita yang bernilai +1 untuk permutasi genap/ siklis (123, 231, 312) dan −1 untuk permutasi ganjil/ antisiklis (132, 321, 213), serta bernilai nol kalau ada indeks yang sama.

2222zyx LLL ++=L

],[],[],[ 222222zyxzzyxz LLLLLLLL +=++=L

yzyzyyxzxzxx LLLLLLLLLLLL ],[],[],[],[ +++=

0=++−−= yxxyxyyx LLiLLiLLiLLi hhhh

Sekarang kita lihat kuadrat dari momentum angular

Evaluasi komutator berikut:

Dapat dibuktikan juga berlaku untuk Lx dan Ly

0],[ 2 =iLL , i=x,y,z

Karena L2 berkomutasi dengan semua komponen momentum angular, kita dapat temukan eigenstate simultan dari L2 dan salah satu komponen L.

Biasanya dipilih L2 dan Lz. Anggap harga eigen masing-masing λ dan m :

L2 |λm⟩ = λ |λm⟩Lz |λm⟩ = mħ |λm⟩

Dalam representasi (θ,ϕ) fungsi eigen:

⟨θ,ϕ|λm⟩ = ψλm(θ,ϕ)

Kita dapatkan:

⟨θ,ϕ| L2|λm⟩ = λ ⟨θ,ϕ|λm⟩⟨θ,ϕ|Lz|λm⟩ = mħ ⟨θ,ϕ|λm⟩

Untuk menyelesaikan masalah ini, maka perlu menyatakan L2 dan Lz dalam representasi (θ,ϕ).

Berikut akan dibuktikan bahwa representasi ⟨θ,ϕ|λm⟩ atau ψλm(θ,ϕ) adalah harmonik sferis ),( φθλ

mY

L2 dan Lz dalam representasi (θ,ϕ):

ϕ∂∂

−= hiLz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−= 2

2

222

sin1sin

sin1

ϕθθθ

θθhL

Tampak bahwa:

),(),( φθφθ ml

mlz YmYL h=

),()1(),( 22 φθφθ ml

ml YllY h+=L

Pendekatan Operator Secara Umum

Sekarang kita tinjau metode operator, sebut saja triplet operator momentum angular Jx, Jy, Jz yang tidak tergantung pada representasi. Ketiga operator ini tidak terbatas pada Lx, Ly, Lz yang didefinisikan dari hubungan Klassik.

Hubungan komutasi:[Jx, Jy] = iħJz x,y,z siklis

Kita definisikan:J2 = Jx

2 + Jy2 + Jz

2

Maka, seperti sebelumnya:[J2, Ji] = 0, i= x, y atau z

Sekarang kita pilih eigenstate yang merupakan eigenstate simultan untuk J2 dan Jz dengan harga eigen λJ dan mħ.

J2 |λJ m⟩ = λJ |λJ m⟩Jz |λJ m⟩ = mħ |λJ m⟩

Lalu kita definisikan operator non-hermitian:J+ = Jx + iJyJ− = Jx − iJy

Komutasi dengan Jz dapat dengan mudah dievaluasi:

[Jz, J+] = ħJ+ ; [Jz, J−] = − ħJ−[J+, J−] = 2ħ Jz

Lebih lanjut dapat dibuktikan (latihan!)J+ J− = J2 − Jz

2 + ħJzJ− J+ = J2 − Jz

2 − ħJz

Pengenalan pada J+, J− tidaklah begitu aneh, karena serupa pada kasus operator tangga naik/turun dalam osilator harmonis (akan dibahas pada bab berikutnya)

Dari relasi komutasi, diperoleh JzJ+ = J+ (Jz + ħ)

Sehingga:JzJ+ |λJ m⟩= J+ (Jz + ħ) |λJ m⟩ = (m+1) ħ J+|λJ m⟩

Tampak bahwa J+|λJ m⟩ merupakan eigenstate dari Jz yang memiliki harga eigen (m+1) ħ. Oleh karena itu J+ disebut sebagai operator tangga naik.

Sebelum menghitung itu kita lihat bahwa nilai mpunya batas bawah dan batas atas. Hal ini secara mudah dibuktikan dengan kenyataan bahwa harga ekspektasi Jx

2 + Jy2 tidak bisa negatif, atau:

0 ≤ ⟨λJ m|Jx2+Jy

2|λJ m⟩ = ⟨λJ m|J2−Jz2|λJ m⟩=λJ −(mħ)2

Jadi (mħ)2 ≤ λJ, artinya untuk nilai λJ tertentu nilai mdibatasi, yakni ada mmin dan mmax.

Di atas mmax tidak ada keadaan lagi, artinya:J+ |λJ mmax⟩ = 0

dan jugaJ− J+|λJ mmax⟩ = 0

atau (J2 − Jz2 − ħJz) |λJ mmax⟩ = 0,

hal ini memberikan:λJ − mmax (mmax+1) ħ2 = 0

Hal serupa dari kenyataan tidak ada lagi keadaan di bawah mmin, maka J− |λJ mmin⟩ = 0, diperoleh:

λJ − mmin (mmin−1) ħ2 = 0

Kedua persamaan digabung, diperoleh:mmax (mmax+1) = mmin (mmin−1)

Salah satu solusi persamaan ini: mmin = mmax+1, hal ini tentu saja tidak mungkin. Solusi yang benar adalah:

mmax = − mmin

Misal mmax = j, makaλJ= j(j +1) ħ2

Hasil terakhir ini sangat mirip dengan harga eigen L2 yang dikerjakan (dengan susah payah!) menggunakan cara diferensial.

Tetapi apakah J dan L sama persis? Ternyata tidak, bahkan akan ada kejutan disini.

Nilai j tidak boleh sembarang, hal ini terlihat:mmax − mmin = j − (−j) = 2j

Karena mmax − mmin selalu bulat positif atau nol, maka 2j demikian juga.

Artinya j bisa bulat, nol atau setengah-bulat (half-integer).

Kondisi j yang dapat mempunyai nilai setengah-bulat ini agak mengejutkan karena berbeda dengan l dari L2 yang hanya boleh bernilai bilangan bulat positif atau nol. Jadi tampak bahwa J2 dan L2 sedikit berbeda.

Apakah fisisnya ada untuk kasus j setengah bulat (yang secara Klassik tidak ada analoginya)? Ternyata ada yaitu untuk momentum angular spin.

Selanjutnya L disebut sebagai momentum angular orbital, S disebut sebagai momentum angular spin. Sedangkan momentum angular J merujuk ke L, S, atau jumlah keduanya.

Sekarang kita evaluasi nilai konstanta c dan d. Keadaan |λJ m⟩ kita tulis saja sebagai |jm⟩.

Karena J− = ++J

maka⟨jm| J− J+|jm⟩ = ⟨( J+)jm| J+|jm⟩ = |cjm|2

Sementara ⟨jm| J− J+|jm⟩ = ⟨jm| J2 − Jz

2 − ħJz |jm⟩= j(j+1)ħ2 − m2 ħ2−ħmħ

Jadi cjm = ħ [j(j+1) − m(m+1)]½

Pelajari Sendiri

Teorema Adisi untuk Harmonik SferisIntegral dari hasil kali 3 Harmonik SferisFungsi-fungsi Legendre Jenis Kedua

Bab 04

3.Fungsi Legendre - Website Staff...

Documents

Transcript of 3.Fungsi Legendre - Website Staff...