36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

104
e-τάξη μου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ 36 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης (με τις λύσεις τους) Πηγή θεμάτων: Κώστας Μπιρμπίλης 6972 700 516 Ασημακόπουλος Γιώργος http://gsimos.weebly.com/ Χειρόγραφη επίλυση θεμάτων : Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ [email protected]

description

 

Transcript of 36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

Page 1: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

36 Επαναληπτικά Θέµατα

Μαθηµατικών

Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης (µε τις λύσεις τους)

Πηγή θεµάτων:

Κώστας Μπιρµπίλης

6972 700 516

Ασηµακόπουλος Γιώργος

http://gsimos.weebly.com/

Χειρόγραφη επίλυση θεµάτων:

Παύλος Τρύφων

http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

[email protected]

Page 2: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 1

Έστω η συνεχής συνάρτηση : (0, )f R+∞ → τέτοια ώστε για κάθε 0x > να ισχύει:

( )

1

1( )

( 1)

x

f t

tf x dt

t e

+=

+∫ .

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x > ισχύει: ( ) ( ) lnf xe f x x x+ = + .

β) Να αποδείξετε ότι: ( ) lnf x x= για κάθε 0x > .

γ) Να βρείτε το µέγιστο της συνάρτησης g , µε ( ) ( ) ( ) , 0e

g x f x f xx

= ⋅ > .

δ) Αν 0<α<β<γ, να αποδείξετε ότι ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )f f f fβ α γ ββ α γ β− −

>− −

.

ΘΕΜΑ 2

Έστω οι δύο φορές παραγωγίσιµες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν:

( ) ( ) 0f fα α′= = και ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′′ ′′= για κάθε [ , ]x α β∈ .

α) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′= για κάθε [ , ]x α β∈ .

β) Αν ισχύει ( ) 0g x ≠ για κάθε [ , ]x α β∈ να αποδείξετε ότι ισχύει ( ) 0f x = , για

κάθε [ , ]x α β∈ .

ΘΕΜΑ 3

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :[ , ]f Rα β → , µε ( )f α α= και ( )f β β= ,

όπου 0<α<β. Να αποδείξετε ότι:

α) υπάρχει εφαπτόµενη ευθεία της fC η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y x=

β) υπάρχει 0 ( , )x α β∈ τέτοιο, ώστε: 0 0( )f x xα β= + − .

γ) υπάρχουν 1 2ξ ξ< τέτοια, ώστε 1 2( ) ( ) 1f fξ ξ′ ′⋅ = .

δ) αν υπάρχει η f ′′ στο [α, β] και είναι συνεχής, ώστε

Page 3: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

( ) 0xf x dx

β

α

′′ =∫ τότε η εξίσωση: ( ) ( ) 1xf x f x′′ ′+ = έχει λύση στο (α, β).

ΘΕΜΑ 4

Έστω η συνεχής συνάρτηση : Rf R→ για την οποία

ισχύει:(0)

( )

0

1( )

1

x

f

f tf x e dt

e= − +

+∫ για κάθε x R∈ .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη.

β) Να αποδείξετε ότι ισχύει: ( ) ( )f fβ α β α− ≤ − για κάθε , Rα β ∈ .

γ) Να αποδείξετε ότι:

1

2

0

1( ) ( (0)) (0) 1

2f x dx f f= − −∫ .

ΘΕΜΑ 5

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ , µε παράγωγο f ′ συνεχή στο R

και (0) 0f ′ > , για την οποία ισχύει: ( ) ( )f y f x y x− ≥ − για κάθε ,x y R∈

α) Να αποδείξετε ότι ( ) 1f x′ ≥ για κάθε x R∈

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2016f x = έχει ακριβώς µια πραγµατική ρίζα.

γ) Να αποδείξετε ότι, αν (0) 0f ≥ , τότε η εξίσωση

1

( ) ( )x

xf x f t dt= ∫

έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα (0,1).

ΘΕΜΑ 6

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R , παραγωγίσιµη στο 0 και για κάθε x R∈ ισχύει:

xf(x)-

1

( )

x

f t dt∫ = xex-e

x + x

2+e + 2.

Α) Να αποδείξετε ότι:

Page 4: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

i) η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει

x · f ′ (χ) =xex + 2χ.

ii) f(x) = ex+2x + l , . x R∈

Β) Αν g (x) = xex + 2x +1, x R∈ , να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από

τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g και τις ευθείες x = 0 και χ = 1.

ΘΕΜΑ 7

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ µε (0) 0f > , για την οποία ισχύει:

( ) ( ) ( )f t dt f f

β

α

α β′ ′≤ −∫ για κάθε , Rα β ∈ .

α) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )f x f x′′ = − για κάθε x R∈ .

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση : Rg R→ µε τύπο

2 2( ) ( ( )) ( ( ))g x f x f x′= + είναι σταθερή.

γ) Να βρείτε το ( )

limx

f x

x→+∞.

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x R∈ τέτοιο,

ώστε να ισχύει: 0 0( )f x x= .

ΘΕΜΑ 8

∆ίνεται η συνάρτηση f (χ) = ln 1, 0 ( 0).x x xλ λ− + > >

i. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

ii. Έστω Μ το σηµείο πού αντιστοιχεί στο µέγιστο της Cf.

Να βρείτε, για τις διάφορες τιµές του λ, τη καµπύλη στην οποία κινείται το Μ.

iii. Να βρείτε τη µικρότερή τιµή του λ, ώστε να ισχύει ln 1,x xλ≤ − για κάθε χ>0.

Page 5: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 9

Έστω η συνεχής συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει:

( )( ) 2 ,

x

f t

o

f x te dt x R−= ∀ ∈∫ .

i. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R

ii. Αποδείξτε οτι ο τύπος της f είναι

( )f x = 2ln( 1),x x R+ ∈ .

iii. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών της.

iv. Αποδείξτε ότι: 20160

( )limx

f x

x→= +∞ .

v. Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία οι εφαπτοµένες να

είναι κάθετες.

ΘΕΜΑ 10

Έστω µία συνεχής συνάρτηση f: ( )0, R+∞ → για την οποία ισχύει

2

1

( )( ) 1

x

x

f t xf x dt

x+

−= + ∫ , για κάθε χ>0.

A) Να αποδείξετε ότι:

i. Η f είναι παραγωγίσιµη

ii. Ο τύπος της f είναι: f(x) = lnx + l , x>0

iii. Η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα κάτω.

iv. Για κάθε τριάδα αριθµών α, β, γ µε 0 < α < β < γ ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )f f f fβ α γ ββ α γ β− −

>− −

B) Να βρείτε το εµβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της f, τη γραφική παράσταση της g(χ)=χ και την ευθεία χ=λ (0<λ<1).

Στη συνέχεια να βρείτε το 0

lim ( )Eλ

λ+→

.

Page 6: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 11

Θεωρούµε τη συνάρτηση f: [α, β] —> R παραγωγίσιµη, µε συνεχή πρώτη παράγωγο,

[ ]0, ( ) , ( ) 0, ,f f x xα β α β α β′≠ ≠ = < ∀ ∈ .

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη και να βρεθεί το πεδίο ορισµού της 1f −

Β) Αν η 1f − είναι συνεχής και ισχύει

( )

1

( )

( ) ( ) 0

f

f a

f t dt f t dt

β β

α

− + =∫ ∫

i) Nα βρεθεί το ( )f β

ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο

A(x0, f(x0 ) να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): χ - y + 2016 = 0

Γ) Να αποδείξετε ότι

i) Υπάρχει µοναδικό ξ ∈ (α,β), τέτοιο ώστε f (ξ) = ξ.

ii) Υπάρξουν ξ1,ξ2 ∈ (α,β) τέτοια ώστε 1 2( ) ( ) 1f fξ ξ′ ′⋅ = .

ΘΕΜΑ 12

∆ίνεται η συνάρτηση 2( ) 1,f x x x R= + ∈ .

Α) Να βρεθούν τα όρια: κ= lim( )x

x

f x

συν→+∞

, λ=0

lim( ) 1x

x x

f x

ηµ→

−−

, µ=0

lim( ) 1x

x

f x

ηµ+→ −

Β) α) Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

β) Αν

1 2 1

0

, 0,1,2,3,...( )

v

v

xI dx v

f x

+

= =∫

i) Να βρεθούν τα ολοκληρώµατα 0I , 1I

ii) Ν' αποδειχθεί ότι (2ν +1) vI 12 2 , 2,3,...vIν ν−= − =

και µετά να βρεθεί το 3I .

Page 7: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 13

(α) ∆ίνεται η συνάρτηση

, 0( )

0 , 0

x xf x x

x

πσυν ≠

= =

i) ∆είξτε ότι η f είναι συνεχής στο χ=0.

ii) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f.

iii) Αποδείξτε ότι ( ) ( ) , 0xf x f x xx

ππ ηµ′ − = ⋅ ≠ .

β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [1,2] , παραγωγίσιµη στο (1,2) , g(1)= -1 , g(2)=0

και ( )gx

πσυνχ χηµχ′ ≤ + , για κάθε ,

2x

ππ ∈

.

Να βρείτε τη συνάρτηση g.

γ) Για κάθε 2x ≥ αποδείξτε ότι 1 ( 1) .1 2

x xx x

π π πσυν συν< + − <

+

ΘΕΜΑ 14

(α) Να αποδειχθεί ότι 2

1

1

1 4dt

t

εϕχ πχ

= ++∫ , για κάθε ( , )

2 2

π πχ∈ − .

(β) Να λυθεί στο R η ανίσωση

2

2 201

1 4 11 lim

1 1xdt dt

t t

χ χ

χ π →−

+ < ⋅+ +∫ ∫

(γ) Αν f,g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηµα [0,α] µε

( ) ( ) , ( ) ( )f x f a x g x g a x λ= − + − = , Rλ∈ , να αποδειχθεί ότι

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2

a a a

f x g x dx f x g x dx f x dxλ

α α= − − =∫ ∫ ∫

(δ) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα 2

01

dx

π χηµχσυν χ+∫ .

Page 8: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 15

(α) Να βρεθεί το 2lim

x

x

e

x→+∞

(β) Για την παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f ισχύει ( ) ( ),f x f x′ ≠ για κάθε x R∈ .

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ( )

1x

f x

e= έχει το πολύ µια ρίζα στο R .

(γ) ∆ίνονται οι µιγαδικοί 1 2 3, ,z z z µε 1 2 3 4z z z+ + = και τις εικόνες τους σηµεία του

κύκλου µε κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνας ρ=2.

i) Αποδείξτε ότι 1

1

4z

z=

ii) Αποδείξτε ότι 1 2 3

1 1 11

z z z+ + =

iii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση 2 2 2

1 2 3

xx z x z x z e+ + + + + = έχει µία µόνο λύση στο R.

ΘΕΜΑ 16

(α) Να αποδειχθεί ότι ln 1x x− ≥ , για κάθε χ>0.

(β) Οι όχθες ενός ποταµού ακολουθούν τις γραµµές y x= και lny x= . Να βρεθεί το

µήκος της µικρότερης γέφυρας µεταξύ των δύο ποταµών που µπορεί να κατασκευασθεί.

(γ) ∆ίνεται η συνάρτηση ( )ln

xxef x

x x

=− , χ>0. Να βρεθεί το πεδίο τιµών της.

(δ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3 ( ln )xx e x x= − έχει δύο λύσεις στο (0, ).+∞

ΘΕΜΑ 17

Για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει

( ) ( )

0 0

( ) 2 ( ) 2

x x

f t f x tf x x t e dt xe dt− − −+ − =∫ ∫ , για κάθε x R∈ .

(α) Αποδείξτε ότι 2( ) ln( 1) ,f x x x R= + ∈

Page 9: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

(β) Αποδείξτε ότι ( ) 1f x′ ≤ , για κάθε x R∈ .

(γ) Να δειχθεί ότι υπάρχουν µόνο δύο σηµεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία

οι εφαπτοµένες της να είναι κάθετες µεταξύ τους.

(δ) Να βρείτε τη µονοτονία της συνάρτησης ( ) ( ) ,g x f x x x R= − ∈ και στη

συνέχεια να λύσετε στο R την εξίσωση 2 1.xe x= +

ΘΕΜΑ 18

∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f στο R µε την ιδιότητα

2 (0) (1)( ) 3 1 ,

2

f ff x x x

+≤ − + + για κάθε x R∈ .

(α) Να αποδειχθεί ότι (0) (1) 2.f f− =

(β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει (0,1)ox ∈ τέτοιο, ώστε 3

( ) (1) .2

of x f− =

(γ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν 1 2, (0,1)ξ ξ ∈ µε 1 2ξ ξ< και 1 2

1 32

( ) ( )f fξ ξ+ = −

′ ′.

(δ) Να αποδειχθεί ότι (0) (1) 2.f f′ ′− = −

ΘΕΜΑ 19

(α) ∆ίνεται η συνάρτηση

2 2

1, 0

g( )(2 )

ln , 0

x xe x

xx

xx

x

ληµ

λ

+ + ≤ += ⋅ >

(λ>0).

Να αποδειχθεί ότι µια µόνο συνάρτηση από τις συναρτήσεις g είναι συνεχής στο R.

Μεταξύ ποιων ακέραιων βρίσκεται τότε η τιµή του λ;

(β) ∆ίνεται η συνάρτηση 2

ln( ) , 0.

1

xf x x

x= >

+

i) Να αποδειχθεί ότι παρουσιάζει µέγιστο το Μ, για το οποίο ισχύει 1 1

.8 2

M< <

Page 10: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ii) Να αποδειχθεί ότι 2

ln0 0

1a

xdx a

x

β

β= ⇔ =+∫ , για κάθε α,β>0 και α β≠

(όταν αυτοί δεν είναι ίσοι µε το 1).

ΘΕΜΑ 20

Για τη συνάρτηση f ισχύει 3 3( ) ( ) 27f x f x x+ = , για κάθε x R∈ .

(α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

(β) Να διαταχτούν σε σειρά οι αριθµοί (ξεκινώντας από το µεγαλύτερο)

f(ln 2)) , ( ( 1)) , f(1).f f −

(γ) Να δειχθεί ότι 2

( )lim 0x

f x

x→+∞= και να βρεθεί το όριο

( )lim .x

f x

x→+∞

(δ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο µηδέν.

ΘΕΜΑ 21

∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : (0, )f R+∞ → µε f(1)=0 και

0

( ) ( ) 2 lnlim ,h

f x h f x h x

h x x→

+ − − −= για κάθε χ>0.

(α) Να αποδειχθεί ότι ln

( ) , 0.x

f x xx

= >

(β) Να βρεθούν το πεδίο τιµών και οι ασύµπτωτες της f.

(γ) Για βρεθεί για ποιους φυσικούς αριθµούς ν ισχύει ( ) ( )1

1 .ν ν

ν ν+

> +

(δ) Αν ( ) 2 ( 2 ln ) , 0,g x x x x= − + > να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ευθείες 1 2,ε ε

εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της g παράλληλες µεταξύ τους και τη γωνία που

σχηµατίζουν µε τον άξονα χ΄χ 0, .4

πω ∈

Page 11: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 22

∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει ( ) 0,f x ≠ για κάθε

χ R∈ και ( )2( )

3

11 ,

( )

f xe xf x

− = − για κάθε χ R∈ .

(α) Να βρεθεί η µονοτονία της f και να αποδειχθεί ότι 1

(1) 1.2

f< <

(β) Να αποδειχθεί ότι ( ) 0f x > στο R και

5 9

5

( ) ( )

x x

x x

f t dt f t dt<∫ ∫ , για κάθε χ 1.≥

(γ) Να λυθεί στο R η ανίσωση

11( ) .

2x

xf t dt

−< ∫

ΘΕΜΑ 23

∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει

( ) ( ) ( ),xyf x y e f x f y+ = για κάθε χ,y R∈ ,

f ′ συνεχής στο µηδέν,

( ) 0,f x ≠ για κάθε χ R∈ ,

(0) 0f ′ = .

(α) Να αποδειχθεί ότι ( ) 0f x > στο R.

(β) Να αποδειχθεί ότι

2

2( ) e , .x

f x x R= ∈

(γ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα ( )1

2

0

1 ( ) .I x f x dx= +∫

(δ) Ε(β) είναι το εµβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από την fC για 0,x ≥ τον

άξονα ψ΄ψ και την ευθεία ε: ψ=β>1. Αν η ευθεία ε τη χρονική στιγµή που β=e2 κινείται

µε ταχύτητα 3m/sec, να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του Ε(β) τη χρονική στιγµή αυτή.

Page 12: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 24

∆ίνεται ο µιγαδικός , 0, .z x yi x y R= + ≠ ∈

(α) Αν ο αριθµός z

z είναι φανταστικός να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του

z στο µιγαδικό επίπεδο.

(β) Να δειχθεί ότι ο z z

z z+ είναι πραγµατικός και µάλιστα βρίσκεται στο διάστηµα

( 2,2].−

(γ) Να δειχθεί ότι ( )

1

2

0

1Im Im( ) ln 1 .

Im( )

zdx z

z z

= ⋅ + ∫

(δ) Να δειχθεί ότι 1 1

.z i i zz z

+ + + ≥ +

ΘΕΜΑ 25

Έστω Α(u) , Β(z) , Γ(w) οι εικόνες των µιγαδικών u,z,w µε Β το µέσο του ΑΓ.

Επίσης ισχύουν:

2011

10

23 1

(1 ) 32 16

ui i

i= − +

1 2 2.w i− − =

(α) Να δειχθεί ότι 9 2u i= − + .

(β) Να δειχθεί ότι 4 2 1.z i+ − =

(γ) Να δειχθεί ότι 4 6.z w≤ − ≤

(δ) Έστω συνάρτηση f στο R µε την ιδιότητα 3 2 201137( ) ( ) ( ) 1,

4f x z w f x f x x x+ − + = + −

για κάθε χ R∈ . Να δειχθεί ότι υπάρχει (0,1) ( ) 0.o o

x ώ f xστε∈ =

Page 13: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 26

∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση :[0, )f R+∞ → µε f(0)=0 µε την f ′ γνήσια αύξουσα στο

(0, )+∞ . Θεωρούµε επίσης τις συναρτήσεις ( )

( ) , 0f x

g x xx

= > και 2

( ) ( ) , 0.

x

F x g t dt x= >∫

(α) Να βρεθεί η µονοτονία της συνάρτησης g.

(β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F είναι κυρτή.

(γ) Να αποδειχθεί ότι

4

3

(3) (x) .F g dx< ∫

(δ) Αν 1 2 1 2, 0 4,x x x xµε> + = να βρεθεί πότε η παράσταση 1 2(x ) (x )F F+ έχει ελάχιστη

τιµή και να βρεθεί η τιµή αυτή.

ΘΕΜΑ 27

∆ίνονται οι συναρτήσεις : (0, )f R+∞ → µε ( )2

1

1( ) ln ln ( ) .

( )

e x

x

f x x t dt g x dtf t

και= =∫ ∫

(α) Να αποδειχθεί ότι ( ) ln , 0f x x x= > . Στη συνέχεια να βρεθεί η εφαπτοµένη της

συνάρτησης f στο χ=e και να διαπιστωθεί ότι ln , 0.e x x ά xγια κ θε≤ >

(β) Να αποδειχθεί ότι

( )11 2

2

1 2

ln ln2

,

xx x

x

x x e

− για κάθε 1 2 1 2, 0 .x x x xµε> ≠

(γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτηση g και η µονοτονία της.

(δ) Να βρεθεί το όριο ( )21

( )lim .

1x

g x

x+→ −

ΘΕΜΑ 28

Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ µε (0) 0f = και 2( ) ,xf x xe≥

για κάθε χ R∈ .

(α) Να αποδειχθεί ότι (0) 1.f ′ =

Page 14: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

(β) Να βρεθεί το όριο

2

0

( )lim .x

f x

x xηµ→

(γ) Να βρεθεί το ολοκλήρωµα

1

0

.xxe dx∫

(δ) Αν επιπλέον ισχύει

1

0

( ) 1xf x e dx− =∫ , να βρείτε το 1

.2

f

ΘΕΜΑ 29

∆ίνεται η συνάρτηση ln( )

( ) , ( ).x

f x x Rx

λλ λ

λ−

= > ∈−

(α) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f και η παράγωγος της συνάρτησης g , µε

( )2( ) ln , .g x x xλ λ= − >

(β) Να βρεθεί για ποιες τιµές του λ η εξίσωση ln( ) (x ) ,x xλ λ λ λ− = − > έχει δύο

ακριβώς λύσεις.

(γ) Να βρεθεί το εµβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από τη γραφική παράσταση

της f, τον οριζόντιο άξονα χ΄χ και τις ευθείες χ=λ+1 , χ=λ+4.

(δ) Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός µ>1 ώστε 1

( ) 2.f x dx

λ µ

λ

+

+

=∫

ΘΕΜΑ 30

Για τις παραγωγίσιµες στο 1

( , )3

−∞ συναρτήσεις ,f g ισχύουν:

1

( ) ( ) 0, .3

f x g x άγια κ θε χ⋅ ≠ <

(0) (0) 1f g= = −

3( ) ( ) ( )f x g x f x′ = −

3( ) ( )g ( ).g x f x x′ = −

Page 15: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

(α) Να βρεθεί η µονοτονία της συνάρτησης f .

(β) Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις ,f g είναι ίσες στο 1

( , ).3

−∞

(γ) Να αποδειχθεί ότι 3

1( ) .

1 3f x

x= −

(δ) Να βρεθεί το εµβαδόν E της επιφάνειας του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( ),h x xf x= τον οριζόντιο άξονα χ΄χ και την

ευθεία 1x = − .

ΘΕΜΑ 31

∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός 5

, .1

iz R

i

λλ

λ+

= ∈+

(α) Αν ο z είναι φανταστικός αποδείξτε ότι 2016 1.z =

(β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z .

(γ) Αν η εικόνα του µιγαδικού oz ανήκει στον γεωµετρικό τόπο του ερωτήµατος β),

αποδείξτε ότι

2

3

3

10

oz i

dxx x

+

=+∫ .

ΘΕΜΑ 32

∆ίνεται η συνάρτηση f µε

2 ln , 0( )

0 , 0

x x ax xf x

x

+ ≠=

= για την οποία ισχύει

2 1ln , 0.x x ax f ά x

eγια κ θε

+ ≥ ≠

Α]

α1. Εξετάστε την f ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισµού της.

Page 16: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

α2. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x ≠ ισχύει ( ) 2 ln .f x x x x a′ = + +

α3. Αποδείξτε ότι (0) 0.fα ′= =

Β]

β1. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.

β2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα στο διάστηµα (0, )+∞ και να

βρείτε το σηµείο καµπής.

β3. Να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (1, (1))f και

στη συνέχεια να αποδείξετε ότι ( )2

100

1

1( ) .

101f x dx >∫

β4. Να αποδείξετε ότι 2 (1 ) f(1 2h) , 0.f h ό hπου+ < + >

ΘΕΜΑ 33

Έστω 2z ≠ µιγαδικός αριθµός. Αν για την συνάρτηση f , µε

( ) 122016 , 0

( )2 1

, 0

xz x

e xx

f xz

x xx

ηµ

ηµ

−+ ⋅ <

=

− ⋅ >

γνωρίζουµε ότι υπάρχει το 0

lim ( ),x

f x→

α) Αποδείξτε ότι 1z = .

β) Να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής που βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών

2

2

z iw

iz

−=

+.

γ) Αν z a iβ= + , ,a Rβ ∈ , να δείξετε ότι η εξίσωση 20163 2( ) 0x z a x z wβ+ − − = έχει

µοναδική ρίζα στο διάστηµα (0,1).

δ) Αν E το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τις

ευθείες , (0 )x m x n m n= = < < , αποδείξτε ότι 3 3 .E m n+ <

Page 17: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 34

Έστω z µιγαδικός αριθµός, µη µηδενικός. Ορίζουµε τη συνάρτηση A µε τύπο

( ) 1 , .A x i xz x R= + − ∈

α) Αν *Rθ ∈ , αποδείξτε ότι ( ) ( ) .A A z Rθ θ= − ⇔ ∈

β) Αν ισχύει (1) i zA + = να βρεθεί ο µιγαδικός z .

γ) Αν 3z = , να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του (1) (2).A A+

δ) Αν ισχύει 0

( )lim 1x

A x

x→= − , να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο

µιγαδικό επίπεδο.

ε) Αποδείξτε ότι η ευθεία Im( )

1z

y z xz

= ⋅ + −

είναι πλάγια ασύµπτωτη της

συνάρτησης A στο .+∞

ΘΕΜΑ 35

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) (2 ) , (0, ).f x x x x x x xπ συν π ηµ π= − + − ∈

α) Να δειχθεί ότι η f έχει ελάχιστο 0m < και µέγιστο 0M > .

β) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 0 , (0, ).f x x π= ∈

γ) Να δειχθεί ότι 2

1 4, (0, ).

( )

xά x

x x

ηµγια κ θε π

π π π< ≤ ∈

δ) Να βρεθεί το ολοκλήρωµα

2

2 2

6

( )

( x)

f xdx

x

π

π πΙ =

−∫ .

Page 18: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΘΕΜΑ 36

Θεωρούµε µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [0, )+∞ µε f ′ γνησίως φθίνουσα στο

[0, )+∞ και (0) 0.f ′ = ∆ίνεται επιπλέον ότι ( ) 0 , 0.f x ά xγια κ θε> >

Ορίζουµε τη συνάρτηση F µε

0

, 0

( )(x)

1, 0

(0)

x

xx

f t dtF

xf

>

= =

α) Να δειχθεί ότι (0) 0.f >

β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F είναι συνεχής στο 0.

γ) Να βρείτε το όριο

0

3 20

( ) (0) 1

lim x

x

f t dt f x x

Lx x

συν

+ + −

=−

∫.

δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x > ισχύει 1

( ) .( )

F xf x

<

ε) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα.

στ) Αν , 0a β > µε 0 0

( ) ( )f t dt f t dt

βα

β α=∫ ∫ , αποδείξτε ότι .α β=

ζ) Να αποδείξετε ότι

1 1

0 0

( ) ( ) ( ) .F t dt F e tF t dt′< −∫ ∫

Page 19: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/

ΛΥΣΕΙΣ

ΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΩΝ

Page 20: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 21: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 22: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 23: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 24: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 25: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 26: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 27: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 28: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 29: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 30: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 31: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 32: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 33: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 34: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 35: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 36: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 37: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 38: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 39: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 40: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 41: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 42: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 43: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 44: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 45: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 46: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 47: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 48: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 49: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 50: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 51: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 52: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 53: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 54: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 55: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 56: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 57: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 58: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 59: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 60: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 61: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 62: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 63: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 64: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 65: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 66: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 67: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 68: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 69: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 70: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 71: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 72: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 73: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 74: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 75: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 76: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 77: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 78: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 79: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 80: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 81: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 82: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 83: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 84: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 85: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 86: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 87: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 88: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 89: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 90: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 91: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 92: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 93: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 94: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 95: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 96: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 97: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 98: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 99: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 100: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 101: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 102: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 103: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
Page 104: 36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)