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27/Abr/2016 – Aula 15

29/Abr/2016 – Aula 16

Princípio de Incerteza de Heisenberg.

Probabilidade de encontrar uma

partícula numa certa região.

Posição média de uma partícula.

Partícula numa caixa de potencial:

funções de onda e níveis de energia.

Ondas de matéria; comprimento de

onda de de Broglie.

Quantização do momento angular no

modelo de Bohr.

Difracção e interferência.

Função de onda; representação

matemática do pacote de ondas.

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Ondas de matéria

Aula anterior

Se um fotão, cuja massa em repouso é nula, tem um momento linear p = h/λλλλ , então para qualquer partícula com momento ptambém se verifica p = h /λλλλ , ou seja, tem associada uma onda com comprimento de onda λλλλ igual a h / p .

O comprimento de onda de de Broglie para uma partícula é então

h h

p m vλ = =

Ondas de matéria

Sendo E = h νννν , a

frequência das ondas

de matéria é dada por

E

hν =

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Quantização do momento angular no modelo de Bohr

Aula anterior

Substituindo λλλλ = h / m v na equação acima teremos n h/ m v = 2 ππππ r .

Uma corda de guitarra (em regime estacionário) só vibra sob a forma

de ondas estacionárias com nodos em cada extremidade.

Pode-se aplicar o mesmo raciocínio às ondas de matéria electrónicas

formando uma circunferência em torno do núcleo: os electrões só

podem existir em órbitas que correspondam a um número inteiro de

comprimentos de onda em torno do núcleo.

Então, deve-se verificar a condição n λλλλ = 2 ππππ r , em que r é o raio da órbita, λλλλ é o comp. de onda de de Broglie do electrão e n = 1, 2, 3…

Postulado de Bohr para a quantização do momento angular.

n hm v r

2π=

4

Difracção e interferência de partículas

Aula anterior

Padrões de interferência obtidos com electrões:

A intensidade máxima obtém-se quando a diferença de caminhos é igual a zero ou múltiplos de um comprimento de onda: D sin θθθθ = n λλλλ

Os mínimos de intensidade ocorrem quando a diferença de caminhosé igual a múltiplos de λλλλ mais λλλλ /2:

D sin θθθθ = λλλλ/2, 3λλλλ/2, 5λλλλ/2…

Número de electrões detectados por minuto

Electrões

Detector de electrões

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Difracção e interferência de partículas (cont.)

Aula anterior

Contagem por minuto

Contagem acumulada por minuto

Com ambas as fendas abertas, obtém-se o padrão de interferências anterior:

A curva azul no lado direito representa o nº acumulado de contagens por unidade de tempo quando cada uma das fendas está fechada metade do tempo.

A curva vermelharepresenta o padrão de interferência com ambas as fendas abertas simultaneamente.

Padrão de interferência com ambas as fendas abertas :

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Função de onda

Aula anterior

Se ambas as fendas estiverem abertas simultaneamente, as funçõesde onda dos electrões sobrepõem-se. A função de onda combinadaserá igual a ψψψψ1 + ψψψψ2 .

O perfil de intensidade é dado por

| ψψψψ1 + ψψψψ2 | 2 = | ψψψψ1 |2 + | ψψψψ2 |2 + 2 (ψψψψ1 . ψψψψ2)

Isto é diferente da situação em que cada fenda está aberta metade do tempo (| ψψψψ1 |2 + | ψψψψ2 |2 ) .

O termo 2 ( ψψψψ1 . ψψψψ2 ) é o termo de interferência.

Se as funções de ondaforem complexas, então| ψψψψ1 |2 = ψψψψ 1 ψψψψ 1* , em queψψψψ 1* é o complexoconjugado de ψψψψ 1 .

Contagem

por minuto

Contagem acumulada

por minuto

ix( x ) Ae A(cos x i s e n x )Ψ ±= = ±

* ix( x ) AeΨ = ∓

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As partículas comportam-se como ondas e as ondas como partículas.

Para representar uma onda/partícula é necessário uma representação matemática.

A função de onda de uma partícula tem de ter propriedades de onda e, simultaneamente, ser localizada no espaço.

Representação “pacote de ondas” de uma partícula.

Representação matemática do pacote de ondas

Fotão com energia hνννν

Aula anterior

8

Aula anterior

9

Representação matemática do pacote de ondas (cont.)

A soma de duas ondas com frequências ligeiramente diferentes pode produzir uma estrutura repetida em pacotes de onda.

A soma de muitas destas ondas pode produzir um pacote de ondas isolado.

Pacotes de ondas

Aula anterior

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Representação matemática do pacote de ondas (cont.)

Um grupo de ondas isolado é o resultado da sobreposição de um número infinito de ondas com comprimentos de onda diferentes.

Por exemplo, para um dado tempo fixo (ou seja, com o factor tempo retirado), o grupo de ondas como função do espaço (x) pode ser representado por

0 1 20 1 2

2 x 2 x 2 xa sen a sen a sen ...

π π πΨ

λ λ λ

= + + +

Aula anterior

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Em geral, o grupo de ondas pode ser expresso em termos do integral de Fourier:

Representação matemática do pacote de ondas (cont.)

( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2a sen k x a sen k x a sen k x ...Ψ = + + +ou

em que k = 2 ππππ / λλλλ é o número de onda e ai são constantes.

( ) ( ) ( )0

x a k sen k x dkΨ∞

= ∫

Pacote de ondas

Aula anterior

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Representação matemática do pacote de ondas (cont.)

� A representação matemática de uma partícula é dada poruma função de onda ψψψψ .

� Por exemplo, ψψψψ (x) = ∫∫∫∫0∞∞∞∞a(k) sen kx dk representa um

pacote de ondas.

� A função de onda não tem um significado físico directo mas o módulo ao quadrado da função de onda sim.

� A probabilidade de, experimentalmente, encontrar umapartícula descrita pela função ψψψψ no ponto de coordenadas(x, y, z) é igual a | ψψψψ | 2 .

� Por exemplo, se | ψψψψ | 2 for igual a zero para um certo valor de (x , y , z) , então a probabilidade de encontar a partículanesse ponto é nula .

� | ψψψψ | 2 é a densidade de probabilidade.

Aula anterior

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Condição de normalização

Consideremos um sistema uni-dimensional que não varia

com o tempo (a partícula está localizada algures no eixo x );

a probabilidade total (a soma das probabilidades) de

encontrar a partícula no eixo x vai ser, obviamente, igual a 1.

Condição de normalização

Representação matemática do pacote de ondas (cont.)

2

0

dx 1Ψ∞

=∫

Pacote de ondas

Aula anterior

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Princípio de Incerteza de Heisenberg

Considere uma partícula com um tamanho bem definido. Esta partícula vai ser representada por um pacote de ondas bem localizado no espaço.

A representação matemática da sua função de onda requer muitas ondas sobrepostas para uma gama bastante grandede números de onda k .

∆∆∆∆x pequeno∆∆∆∆p grande

15

Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)

Assim, ∆∆∆∆ x (a dimensão espacial do grupo de ondas) vai ser pequena e ∆∆∆∆ k (a gama de valores possíveis de k ) vai ser grande.

Quando ∆∆∆∆ x é pequeno, ∆∆∆∆ p é grande

2

hp

k

λπ

λ

=

=

2 pk

h

π=

2 pk

h

π ∆∆ = p k∆ ∝ ∆

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Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)

Considere agora uma partícula com um tamanho não muitobem definido.

A representação matemática da sua função de onda requer apenas algumas ondas sobrepostas para uma gama bastante pequena de números de onda k .

∆∆∆∆x grande∆∆∆∆p pequeno

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Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)

Assim, ∆∆∆∆ x (a dimensão espacial do grupo de ondas) vai ser grande e ∆∆∆∆ k (a gama de valores possíveis de k ) vai ser pequena.

( Tal como no caso anterior, como p = h / λλλλ e k = 2ππππ /λλλλ , então k = 2ππππ p / h ; assim, ∆∆∆∆ k = 2ππππ ∆∆∆∆ p / h , ou seja, ∆∆∆∆ p é proporcional a ∆∆∆∆ k ).

Quando ∆∆∆∆ x é grande, ∆∆∆∆ p é pequeno

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Interpretação:

Se a partícula é bem localizada (se a sua posição é bem definida), não se conhece muito bem o seu momento (∆∆∆∆ p é grande).

Se a partícula não está localizada (ou seja, muito dispersa no espaço), conhece-se muito melhor o seu momento (∆∆∆∆ p é pequeno).

Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)

∆∆∆∆ x pequeno ⇒⇒⇒⇒ ∆∆∆∆ p grande

∆∆∆∆ x grande ⇒⇒⇒⇒ ∆∆∆∆ p pequeno

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Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)

Se uma medição da posição for feita com precisão ∆∆∆∆ x e, simultaneamente, se se medir a componente p x do momento com precisão ∆∆∆∆ p x , então o produto das duas incertezas não pode ser inferior a h / 2(2ππππ) .

com2

h

π=�2

x p∆ ∆ ≥ �Princípio da Incerteza

Se existe uma incerteza no momento linear da partícula, também existirá uma incerteza na sua energia.

Esta relação impõe um limite para a medição da energia de um sistema.2

E t∆ ∆ ≥ �

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Antes da colisão

Após a colisão

Fotão incidente

Fotão difractado

Electrão

Electrão “de recuo”

Pode-se interpretar o Princípio de Incerteza de Heisenberg

como uma consequência da dificuldade em medir quantidades

extremamente pequenas: quando se tenta usar um fotão para

medir a localização dum electrão, o fotão ao incidir no electrão

transmite-lhe momento e, portanto, interfere na sua posição.

Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)

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A velocidade de um electrão é 5.103 ms-1, medida com uma precisão

de 0,0030%. Determine a incerteza na determinação da posição deste

electrão.

( )( )-31 3 -1 -27 -1ep m v 9,11.10 kg 5.10 m s 4,56.10 kg m s= = =

Momento linear do electrão :

Incerteza do momento :

-31 1p 0,000030 p 1,37.10 kg m s∆ −= =

A incerteza na posição pode ser calculada a partir de2

x p∆ ∆ ≥�

( )

-34-3

-31 -1

1,05.10 J sx 0,38.10 m

2 p 2 1,37.10 kg m s∆

∆=≥ =�

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A probabilidade de umapartícula se encontrarentre os pontos a e b é igual à área definida pelacurva entre a e b.

Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região

A probabilidade Pab de encontrar a partícula no intervalo b ≥≥≥≥ x ≥≥≥≥ a é igual a

b 2

aba

P dxΨ= ∫

Experimentalmente, existe sempre alguma probabilidade de encontrar a partícula num ponto para um dado instante, pelo que a probabilidade vai estar entre 0 e 1.

Por exemplo, se a probabilidade de encontrar uma partícula entre dois pontos for igual a 0,3 , então há 30% de hipóteses de ela estar nesse intervalo.

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e é igual ao valor médio da posição da partícula representada pela função de onda ψψψψ na região delimitada por a e b.

O valor expectável é definido como

Posição média de uma partícula

A função de onda, para além de permitir calcular a probabilidadede encontrar uma partícula numa dada região, também pode dar informações de outras quantidades mensuráveis, como o momento e a energia.

Em particular, é por vezes útil conhecer qual a posição média de uma partícula numa dada região: valor expectável.

b 2

a

x x dxΨ= ∫

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Se a velocidade da partícula for v = constante, o seu momento mv também é constante, tal como a energia cinética (1/2) m v 2.

Do ponto de vista da mecânica quântica, é necessário considerar as ondas de matéria que lhe estão associadas.

Partícula numa caixa (de potencial)

Considere uma partícula que só se pode mover entre duas paredes impenetráveis, ao longo do eixo x :

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Caso (clássico) de ondas estacionárias numa corda esticada: só podem existir as ondas cuja amplitude nas extremidades seja nula (ou seja, a amplitude da função de onda = 0).

Esta condição é verificada se

Partícula numa caixa (cont.)

O comprimento de ondade uma onda estacionária numa corda é quantizado.

2 L

nλ =L n

2

λ= ou

com n = 1, 2, 3…

26

Partícula numa caixa (cont.)

A função de onda neste caso pode ser descrita como y (x) = A sen (kx)

2 2k

2 L

n

π π

λ= =Como ( )

n xy x A sen

L

π =

A partícula pode existir num número infinito de estados.

O tratamento quântico de uma partícula numa caixa é semelhante: só

são permitidas as partículas cujas funções de onda satisfazem a

condição de amplitude nula em cada parede.

Por analogia com as ondas estacionárias, as funções de onda para a

partícula na caixa são sinusoidais e expressas por

( )n x

x A senL

πΨ

=

27

Partícula numa caixa (cont.)

Três primeiros estados

estacionários (funções de onda)

permitidos para uma partícula

com movimento uni-dimensional,

confinada a uma caixa com

paredes infinitas: funções de

onda com n =1, 2, 3.

( )n x

x A senL

πΨ

=

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Partícula numa caixa (cont.)

a) funções de onda b) distribuições de probabilidade

A partir da função de onda ψψψψ(x) = A sen (n ππππ x / L) que tipo de informações será possível obter acerca da partícula?

29

Funções de onda Distribuições de probabilidade

30

Funções de onda

Distribuições de probabilidade

31

Partícula numa caixa (cont.)

Como os comprimentos de onda na caixa estão quantizados (e restritos à condição λλλλ = 2L/n ) , então o momento também está quantizado:

n hhp2 Lλ

= =

Se o momento está quantizado, também a energia estará:

2

22

n

n h

2 L1 pE mv

2 m2 2 m

= = =

2

2n 2

hE n

8 m L

=

com n = 1, 2, 3

32

Partícula numa caixa (cont.)

E2 = 4E1, E3 = 9 E1 , …

2

2n 2

hE n

8 m L

=

com n = 1, 2, 3

No estado com menor energia(n =1) esta tem o valor de

2

1 2

hE

8 m L=

Os estados mais energéticos (n >1) têm energias

Uma partícula numa caixa não pode ter energia nula

En

erg

ia

A energia mínima é > 0

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Um electrão está confinado entre duas paredes impenetráveis que distam 0,2 nm entre si. Determine os níveis de energia para os estados n = 1, 2 e 3.

-31 -34em 9,11.10 kg , h 6 ,63.10 J .s= =

2

2n 2

hE n

8 m L

=

( )( )

2-34

2-18

1 2 2-31 -9

6 ,63.10hE 1,51.10 J 9 ,42 eV

8 m L 8 9 ,11.10 0 ,2.10

= = = =

× ×

2 1E 4 E 37 ,7 eV= =

3 1E 9 E 84 ,8 eV= =

Embora este modelo seja rudimentar, permite descrever aproximadamente um electrão confinado num cristal, por exemplo

34

Um objecto com 1 mg de massa está confinado entre duas paredes impenetráveis que distam 1,0 cm entre si. Determine:

a) a velocidade mínima do objecto

b) se a velocidade do objecto fosse igual a 3,0.10-2 ms-1, qual seria o correspondente valor de n ?

a) A velocidade mínima corresponde ao estado caracterizado por n = 1:

( )( )

2-34

2-58

1 2 2-6 -2

6 ,63.10hE 5 ,49.10 J

8 m L 8 10 10

= = =

× ×

Esta velocidade é tão pequena que o objecto pode ser considerado em repouso, tal como seria de esperar para um objecto macroscópico

-58-26 -1

-6

2 5 ,49.10v 3 ,31.10 ms

10

×= =

21E m v

2=Como

35

b) A energia cinética é igual a ( )2

2 -6 -2 -101 1E m v 10 3,0.10 4 ,5.10 J

2 2= = × =

Como e 2n 1E n E= -58

1E 5,49.10 J=

= = =-10

23n

1 1

E 4 ,5.10n 9 ,05.10

E E

Este valor é tão elevado que seria praticamente impossível distinguir a energia de dois estados adjacentes, correspondentes a n1 = 9,05.1023 e n2 = 9,05.1023 +1

Um objecto com 1 mg de massa está confinado entre duas paredes impenetráveis que distam 1,0 cm entre si. Determine:

a) a velocidade mínima do objecto

b) se a velocidade do objecto fosse igual a 3,0.10-2 ms-1, qual seria o correspondente valor de n ?