ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.2

ΠΛΗ31ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΓΝΩΣΗ

Μάθηµα 2.2: Κατηγορηµατική Λογική – Νόµοι Κ.Λ. και Κανονικές ΜορφέςΚατηγορηµατική Λογική – Νόµοι Κ.Λ. και Κανονικές Μορφές

∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Β.Θεωρία

1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής

2. Ταυτολογία-Αντίφαση

3. Μετονοµασία µεταβλητών ποσοδεικτών

2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff

2. Κανονικές Μορφές

1. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή

2. Κανονική Συζευκτική Μορφή

3. Clausal Form

3. Κανονικές Μορφές

1. Μεγάλη Άσκηση Σ.Κ.Μ.

2. Γρήγορη Σ.Κ.Μ.

Γ.Ασκήσεις

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Επίπεδο Α Εξαγωγή ΣΚΜ για οποιοδήποτε wff τύπο Κατηγορηµατικής ΛογικήςΕπίπεδο Β Νόµοι Κατηγορηµατικής ΛογικήςΕπίπεδο Γ (-)


(-)

Β. Θεωρία1. Νόµοι Κατηγορηµατικής ΛογικήςΟι νόµοι της Κατηγορηµατικής Λογικής είναι οι ακόλουθοι:


Όνοµα Νόµου ∆ιατύπωση Σχόλια

1 ∆ιπλή Άρνηση ∆ιπλή άρνηση απαλείφεται

2 Αντικατάσταση Συνεπαγωγή γίνεται OR

3 De Morgan OR γινεται AND και αντίστροφαΒ∨Α≡Β∧Α

Β∧Α≡Β∨Α~~)(~

~~)(~

Α≡Α)(~~

Β∨Α≡Β⇒Α ~

αντίστροφα

4 Επιµερισµού

5 Αντιµετάθεσης

6 Προσεταιρισµού

7 Αναίρεσης ή αντιθετικότητας

8 Ισοδυναµίας µε ποσοδείκτες

Άρνηση και Ποσοδείκτες

Β∨Α≡Β∧Α ~~)(~

)()()(

)()()(

Γ∨Α∧Β∨Α≡Γ∧Β∨ΑΓ∧Α∨Β∧Α≡Γ∨Β∧Α

Α∨Β≡Β∨ΑΑ∧Β≡Β∧Α

Γ∨Β∨Α≡Γ∨Β∨ΑΓ∧Β∧Α≡Γ∧Β∧Α

)()(

)()(

Α⇒≡Β⇒Α ~~ B

Α∃≡Α∀Α∀≡Α∃

~~

~~

xx

xx

Β∀∧Α∀≡Β∧Α∀Β∃∨Α∃≡Β∨Α∃xxx

xxx

Β. Θεωρία1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής1.Ταυτολογία-Αντίφαση


Ταυτολογία είναι οποιαδήποτε παράσταση κατηγορηµατικής λογικής είναι πάντα αληθής

Αντίφαση είναι οποιαδήποτε παράσταση είναι πάντα ψευδής.

Β. Θεωρία1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής2.Μετονοµασία Μεταβλητής

Έχουµε το δικαίωµα να µετονοµάσουµε την µεταβλητή ενός ποσοδείκτη, αρκεί να µετονοµάσουµε και όλες τις εµφανίσεις της στο πεδίο εφαρµογής της µεταβλητής. Για παράδειγµα αν έχουµε την παράσταση:


)]](~),([()([~ yίyxάyxύx δαπυραµνωπβλοτο ∧∃∨∀

Μπορεί να γραφεί ως:

Και περαιτέρω:

)]](~),([()([~ yίyxάyxύx δαπυραµνωπβλοτο ∧∃∨∀

)]](~),([()([~ yίyzάyzύz δαπυραµνωπβλοτο ∧∃∨∀

)]](~),([()([~ wίwzάwzύz δαπυραµνωπβλοτο ∧∃∨∀

Β. Θεωρία2. Κανονικές Μορφές Προτάσεων

Μαθαίνουµε 3 κανονικές µορφές προτάσεων: Την Συζευκτική Κανονική Μορφή Την ∆ιαζευκτική Κανονική Μορφή Την clausal form


Αποδεικνύεται ότι κάθε wff τύπος µπορεί να µετατραπεί σε µία από τις παραπάνω κανονικές µορφές προτάσεων


Ορισµός:Ένας τύπος είναι σε συζευκτική κανονική µορφή (ΣΚΜ), αν είναι της µορφής:

όπου κάθε Αi είναι της µορφής:

Και κάθε Bj είναι κυριολέκτηµα (literal) δηλαδή ατοµική πρόταση ή άρνηση ατοµικής πρότασης

nΑ∧∧Α∧Α ...21

mΒ∨∨Β∨Β ...21

Β. Θεωρία2. Κανονικές Μορφές Προτάσεων1. Συζευκτική Κανονική Μορφή

Παραδείγµατα:

Π.χ. οι προτάσεις:

και

είναι σε Σ.Κ.Μ.

)),(~)(()),()(( bobpamparentbobmanpamtomparenttomman ∨∧∨

))()(~)(())(~)()(( dQdTdTdTcTaQ ∨∨∧∨∨

Β. Θεωρία2. Κανονικές Μορφές Προτάσεων2.∆ιαζευκτική Κανονική Μορφή


Ορισµός:Ένας τύπος είναι σε διαζευκτική κανονική µορφή (∆ΚΜ), αν είναι της µορφής:

όπου κάθε Αi είναι της µορφής:

Και κάθε B είναι κυριολέκτηµα (literal) δηλαδή ατοµική πρόταση ή άρνηση ατοµικής

nΑ∨∨Α∨Α ...21

mΒ∧∧Β∧Β ...21

Και κάθε Bj είναι κυριολέκτηµα (literal) δηλαδή ατοµική πρόταση ή άρνηση ατοµικής πρότασης

Παραδείγµατα:

Π.χ. οι προτάσεις:

και

είναι σε ∆.Κ.Μ.

)),(~)(()),()(( bobpamparentbobmanpamtomparenttomman ∧∨∧

))(~)(~)(())()(~)(())(~)()(( dRcQaRdQdTdTdTcTaQ ∧∧∨∧∧∨∧∧

Β. Θεωρία2. Κανονικές Μορφές Προτάσεων3. Clausal Form


nm Α∨∨Α∨Α⇒Β∧∧Β∧Β ...... 2121

⇒Β∧∧Β∧Β m...21

nΑ∨∨Α∨Α⇒ ...21

⇒

212121212121 ~~)(~ Α∨Α∨Β∨Β=Α∨Α∨Β∧Β≡Α∨Α⇒Β∧Β

Γ. Μεθοδολογία1. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ

Η µετατροπή µιας wff πρότασης σε ΣΚΜ γίνεται µε τα εξής 7 βήµατα:1. Εξάλειψη των συνεπαγωγών2. Αρνήσεις µόνο στις ατοµικές προτάσεις3. Εξάλειψη των υπαρξιακών ποσοδεικτών4. Επονόµαση Μεταβλητών Καθολικών Ποσοδεικτών


4. Επονόµαση Μεταβλητών Καθολικών Ποσοδεικτών5. Μετακίνηση των καθολικών ποσοδεικτών στα αριστερά6. Μετακίνηση των διαζεύξεων στο επίπεδο των κυριολεκτηµάτων7. Απάλειψη του καθολικού ποσοδείκτη και του AND

Γ. Μεθοδολογία1. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ1. Εξάλειψη των συνεπαγωγών


1ο βήµα: Εξάλειψη των συνεπαγωγών

Στο 1ο βήµα διώχνουµε τυχόν συνεπαγωγές που υπάρχουν εφαρµόζοντας τον νόµο µετατροπής της συνεπαγωγής σε OR: Β∨Α≡Β⇒Α ~

Παράδειγµα:Παράδειγµα:Να µετατραπεί σε ΚΣΜ η πρόταση:

Λύση:Μετατρέπουµε την συνεπαγωγή σε OR:

)])],(~)([~)],(),([~

)](~),([()([

yxyyxyάyxάy

yίyxάyxύx

ισουταιτουβλονωπνωπδαπυραµνωπβλοτο

⇒∀∧∧∃∧∧∃⇒∀

)])],(~)([

)],(),([~

)](~),([()([~

yxyy

xyyxάy

yίyxάyxύx

ισουταιτουβλοπανωνωπ

δαπυραµνωπβλοτο

∨∀∧∧∃

∧∧∃∨∀

Γ. Μεθοδολογία1. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ2. Αρνήσεις µόνο στις ατοµικές προτάσεις


2ο βήµα: Αρνήσεις µόνο στις ατοµικές προτάσεις2ο βήµα µεταφέρουµε τις αρνήσεις που υπάρχουν στο επίπεδο των ατοµικών προτάσεων. Θα φανούν χρήσιµοι οι νόµοι ισοδυναµίας µε ποσοδείκτες και οι νόµοι De Morgan:

(…συνέχεια…)

Α∃≡Α∀Α∀≡Α∃

~~

~~

xx

xxΒ∨Α≡Β∧ΑΒ∧Α≡Β∨Α

~~)(~

~~)(~


Εφαρµόζουµε νόµο ισοδυναµίας µε ποσοδείκτη:

Εφαρµόζω νόµο De Morgan:

)])],(~)([

)],(),([~

)](~),([()([~

yxyy

xyyxάy

yίyxάyxύx



∨∀∧∧∃

∧∧∃∨∀

)])],(~)([

)],(),([~

)](~),([()([~

yxyy

xyyxάy

yίyxάyxύx



∨∀∧∧∀

∧∧∃∨∀

)])],(~)([

)],(~),([~

)](~),([()([~

yxyy

xyyxάy

yίyxάyxύx



∨∀∧∨∀

∧∧∃∨∀

Γ. Μεθοδολογία1. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ3. Εξάλειψη υπαρξιακών ποσοδεικτών (Σκολεµοποίηση)


3ο βήµα: Εξάλειψη Υπαρξιακών Ποσοδεικτών (Σκολεµοποίηση)

Αν ο υπαρξιακός ποσοδείκτης δεν είναι στο πεδίο εφαρµογής κάποιου καθολικού ποσοδείκτη, τότε αντικαθιστούµε την µεταβλητή του υπαρξιακού ποσοδείκτη µε κάποια σταθερά

Π.χ.: )()]([ AQxQx ≡∃

Αν ο υπαρξιακός ποσοδείκτης είναι στο πεδίο εφαρµογής κάποιου καθολικού ποσοδείκτη, τότε αντικαθιστούµε µεταβλητή µε µία συνάρτηση εφαρµοζόµενη στην µεταβλητή του καθολικού ποσοδείκτηΠ.χ.:

)()]([ AQxQx ≡∃

),()],([ AyyQxyQyx ∀≡∀∃),()],([ BAQyxQyx ≡∃∃

)]),(([)],([ xxfQxxyQyx ∀≡∃∀

)]),,(([)],([ xzxfQzxxyQyzx ∀∀≡∃∀∀

)],,(),,(([)],([ wyxgyxfQwyxkzQkwzyx ∀∀∀≡∃∀∃∀∀

)]),(([)],([ xxέparentxxyparentyx αςγον∀≡∃∀

Γ. Μεθοδολογία1. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ3. Εξάλειψη υπαρξιακών ποσοδεικτών (Σκολεµοποίηση)



Εξαλείφουµε τους υπαρξιακούς ποσοδείκτες:

)])],(~)([

)],(~),([~

)](~),([()([~

yxyy

xyyxάy

yίyxάyxύx



∨∀∧∨∀

∧∧∃∨∀

Εξαλείφουµε τους υπαρξιακούς ποσοδείκτες:

)])],(~)([

)],(~),([~

))]((~))(,(([)([~

yxyy

xyyxάy

xίxxάxύx


στηριγµαδαπυραµστηριγµανωπβλοτο

∨∀∧∨∀

∧∧∨∀

Γ. Μεθοδολογία1. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ4. Επονόµαση µεταβλητών καθολικών ποσοδεικτών


4ο βήµα: Επονόµαση Μεταβλητών Καθολικών ΠοσοδεικτώνΣτο 4ο βήµα αλλάζουµε τα ονόµατα των µεταβλητών των καθολικών ποσοδεικτών, έτσι ώστε κάθε καθολικός ποσοδείκτης να έχει ξεχωριστό όνοµα µεταβλητής

Προσοχή! Αλλάζουµε αντίστοιχα και τα ονόµατα των εµφανίσεων της µεταβλητής Προσοχή! Αλλάζουµε αντίστοιχα και τα ονόµατα των εµφανίσεων της µεταβλητής στο πεδίο εφαρµογής του ποσοδείκτη


Επονόµαση µεταβλητών καθολικών ποσοδεικτών:

)])],(~)([

)],(~),([~

))]((~))(,(([)([~

yxyy

xyyxάy

xίxxάxύx



∨∀∧∨∀

∧∧∨∀

)])],(~)([

)],(~),([~

))]((~))(,(([)([~

zxzz

xyyxάy

xίxxάxύx



∨∀∧∨∀

∧∧∨∀

Γ. Μεθοδολογία1. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ5. Μετακίνηση των καθολικών ποσοδεικτών αριστερά


5ο βήµα: Μετακίνηση των καθολικών ποσοδεικτών αριστεράΣτο 5ο βήµα µετακινούµε τους καθολικούς ποσοδείκτες αριστερά

Επειδή κάθε όνοµα µεταβλητής έχει αλλάξει, χρησιµοποιώντας νόµους Κ.Λ. έχουµε δικαίωµα να εξάγουµε αµέσως τους καθολικούς ποσοδείκτες µπροστά από όλην την πρόταση.από όλην την πρόταση.


Μετακίνηση των καθολικών ποσοδεικτών

)])],(~)([

)],(~),([~

))]((~))(,(([)([~

zxzz

xyyxάy

xίxxάxύx



∨∀∧∨∀

∧∧∨∀

)])],(~)([

)],(~),([~

))]((~))(,(([)([~

zxz

xyyxά

xίxxάxύzyx



∨∧∨

∧∧∨∀∀∀

Γ. Μεθοδολογία1. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ6. Μετακίνηση των διαζεύξεων στο επίπεδο των κυριολεκτηµάτων


6ο βήµα: Μετακίνηση των διαζεύξεων στο επίπεδο των κυριολεκτηµάτων

Χρήσιµος θα φανεί ο νόµος επιµερισµού:

Καθώς και η γενίκευση του:


)()()( Γ∨Α∧Β∨Α≡Γ∧Β∨Α)()()()( ∆∨Α∧Γ∨Α∧Β∨Α≡∆∧Γ∧Β∨Α


Με εφαρµογή του νόµου επιµερισµού:

και περαιτέρω γράφεται:

)])],(~)([

)],(~),([~

))]((~))(,(([)([~

zxz

xyyxά

xίxxάxύzyx



∨∧∨

∧∧∨∀∀∀

)]]],(~)([)([~

)]],(~),([~)([~

))]((~))(,(([)([[~

zxzxύ

xyyxάxύ

xίxxάxύzyx

ισουταιτουβλοβλοτοπανωνωπβλοτο


∨∨∧∨∨

∧∧∨∀∀∀

)]],(~)()([~

)],(~),(~)([~

))]((~)([~

))](,()([[~

zxzxύ

xyyxάxύ

xίxύ

xxάxύzyx


στηριγµαδαπυραµβλοτοστηριγµανωπβλοτο

∨∨∧∨∨∧∨

∧∨∀∀∀

Γ. Μεθοδολογία1. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ7. Απάλειψη του καθολικού ποσοδείκτη και του AND


7ο βήµα: Απάλειψη του καθολικού ποσοδείκτη και του ANDΣτο 7ο βήµα διώχνουµε τους καθολικούς ποσοδείκτες και σπάµε τις προτάσεις µε βαση τους συνδέσµους AND

Στις τελικές προτάσεις δεν πρέπει να έχουµε σε 2 προτάσεις τα ίδια ονόµατα µεταβλητών (Αλλάζουµε τα ονόµατα σε προτάσεις που έχουν τα ίδια ονόµατα µεταβλητών (Αλλάζουµε τα ονόµατα σε προτάσεις που έχουν τα ίδια ονόµατα µεταβλητών).


Απάλειψη ποσοδεικτών και AND. Μετονοµασία µεταβλητών που έχουν το ίδιο όνοµα σε προτάσεις:

)]],(~)()([~

)],(~),(~)([~

))]((~)([~

))](,()([[~

zxzxύ

xyyxάxύ

xίxύ

xxάxύzyx



∨∨∧∨∨∧∨

∧∨∀∀∀

),(~)()(~

),(~),(~)(~

))((~)(~

))(,()(~

zvzvύ

uyyuάuύ

wίwύ

xxάxύ



∨∨∨∨

∨∨


Γ. Μεθοδολογία2. Μορφή Απάντησης1. Μεγάλη Άσκηση Σ.Κ.ΜΜορφή Απάντησης για Μεγάλη Άσκηση• Στην περίπτωση που η άσκηση απαιτεί πολλά βήµατα η µορφή της απάντησης πρέπει να είναι ως ακολούθως:


Γ. Μεθοδολογία2. Μορφή Απάντησης1. Μεγάλη Άσκηση Σ.Κ.Μ


Γ. Μεθοδολογία2. Μορφή Απάντησης2. Γρήγορη Σ.Κ.ΜΜορφή Απάντησης για Μικρές Ασκήσεις• Σε πολές ασκήσεις θα προκύπτουν προτάσεις που θα έχουν µόνο καθολικούς ποσοδείκτες και συνπαγωγές. Στην περίπτωση αυτή, µπορούµε να εξάγουµε άµεσα τη Σ.Κ.Μ. Χρησιµοποιώντας άµεσα τον ακόλουθο εµπειρικό κανόνα:

Ατοµικές Προτάσεις ΣΚΜ

Γ. ΑσκήσειςΕφαρµογή 1


∆ίνεται το παρακάτω σύνολο λογικών προτάσεων:

(Q ∧ T) ⇒ R, (Q ∨ P) ⇒ R, S ⇒ (T ∨ P), Q, S, ¬T

Μετατρέψτε τις προτάσεις σε ΣΚΜ.



Να βρεθεί η Σ.Κ.Μ. του παρακάτω τύπου:( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )wuRwvRwvtRvutRut ,,,, ∧∃⇒¬∀∧¬∃∀


∆ίνονται οι παρακάτω προτάσεις σε φυσική γλώσσα:Π1: Η Μαρία είναι γιατρόςΠ2: Οι γιατροί πηγαίνουν στην δουλειά µε το αυτοκίνητοΠ3: Ο Γιάννης πηγαίνει στην δουλειά µε το λεωφορείοΠ4: Ο Μιχάλης είναι ζωγράφοςΠ5: Ο Γιάννης συµπαθεί όποιον πηγαίνει στη δουλειά µε το αυτοκίνητοΠ6: Η Μαρία συµπαθεί όποιον την συµπαθεί(α) Να διατυπωθούν οι παραπάνω προτάσεις φυσικής γλώσσας σε προτάσεις Κατηγορηµατικής Λογικής. Σηµείωση: Χρησιµοποιείστε τα κατηγορήµατα γιατρός/1,πηγαίνει_στη_δουλειά/2, ζωγράφος/1 και συµπαθεί/2


Σηµείωση: Χρησιµοποιείστε τα κατηγορήµατα γιατρός/1,πηγαίνει_στη_δουλειά/2, ζωγράφος/1 και συµπαθεί/2


(β) Να µετατραπούν οι παραπάνω προτάσεις Κατηγορηµατικής Λογικής σε ΣΚΜ

ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.2

Education

Transcript of ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.2