1

1

3 - ESTUDO DOS PLANOS

Um plano fica definido por duas retas paralelas ou concorrentes.

3.1. Traços do plano

São as retas de interseção de um plano com os planos de projeção.

απ' - traço vertical de (α) - interseção de (α) com (π')

απ - traço horizontal de (α) - interseção de (α) com (π)

Um plano pode ser representado em épura através de duas retas

(concorrentes ou paralelas), ou através de seus traços.

2

2

3.2. Classificação dos planos:

Os planos são classificados em projetantes e não projetantes.

3.2.1. Planos projetantes:

Quando são perpendiculares a π ou a π'.

3.2.1.1. Plano Horizontal - É ⊥ a π' e // a π.

Características:

- só tem um traço: απ' // LT;

- todos os pontos têm a mesma cota;

- a projeção horizontal de qualquer figura se faz em VG;

- απ' é o lugar geométrico (LG) das projeções verticais de todos os pontos do

plano.

3.2.1.2. Plano Frontal - Ë ⊥ a π e // a π'.

3

3

Características:

- só tem um traço: απ // LT;

- todos os pontos têm o mesmo afastamento;

- a projeção vertical de qualquer figura se faz em VG;

- απ é o lugar geométrico (LG) das projeções horizontais de todos os pontos do

plano.

3.2.1.3. Plano Vertical - É ⊥ a π e ∠ a π'.

Características:

- tem dois traços: απ ∠ à LT e απ' ⊥ à LT;

- o ângulo â que (α) faz com π' se projeta em π em VG (p/ a direita ou

esquerda);

- απ é o LG das projeções horizontais de todos os pontos do plano.

3.2.1.4. Plano de Topo - É ⊥ a π' e ∠ a π.

4

4

Características:

- tem dois traços: απ' ∠ à LT e απ ⊥ à LT;

- o ângulo â que (α) faz com π se projeta em π' em VG (p/ a direita ou

p/esquerda);

- απ' é o LG das projeções verticais de todos os pontos do plano.

3.2.1.5. Plano de perfil (biprojetante) - É ⊥ a π e π'.

3.2.2. Planos não projetantes

Quando são oblíquos a π e π'.

3.2.2.1. Plano // à LT - É // à LT e ∠ em relação a π e π'.

5

5

3.2.2.2. Plano ∈ à LT, ou que contém a LT - É o que passa pela LT e é ∠ a π e

π'.

3.2.2.3. Plano Qualquer - É o que corta a LT e é oblíquo aos dois planos de

projeção.

6

6

3.3. Exercícios propostos

1 - Determinar o traço do plano horizontal (α), sabendo-se que passa por (A) (40;

40; -10).

2 – Determinar as projeções do triângulo equilátero (A)(B)(C), contido no plano

horizontal (α).

(A)(20; 10; 30) (B)(20; 50; ?); absc.(C)>(A)

3 - Determinar o traço do plano frontal (α), sabendo-se que passa por (A)(30;

20; 30).

4 - Construir um quadrado contido no plano frontal (α) conhecendo sua

diagonal (A)(C).

(A)(20; 20; 20) (C)(60; ?; 50)

5 - Determinar os traços do plano vertical (α) definido pelos pontos (A) e (B).

(A)(30; 20; 40) (B)(50; -10; 30)

6 - Determinar os traços do plano vertical (α) (30; 45oD; ?).

7 - Determinar as projeções do quadrilátero (A)(40; 10; 10) (B)(40; 40; ?)

(C)(70; 50; 40) (D)(?; 20; 30), pertencente ao plano de tôpo (α).

8 - Determinar os traços do plano de tôpo (α) que contém o ponto (A)(30; 40;

30), que faz 45o E com (π).

9 - Determinar os traços do plano de perfil (α), que passa por (A) (25; 40; -20).

10 - Determinar as projeções do quadrado (A)(B)(C)(D) ∈ (α) de perfil.

(A)(30; 10; 40) (B)(?; 30; 10). A figura está no 1o diedro.

11 - Determinar o traço vertical do plano (α)//LT, que faz 60o com (π). απ = 40

mm.

12 - Determinar os traços do plano (α)// à LT, sabendo que passa por (A)(35; 20;

30) e faz 30o com (π').

13 - Determinar a projeção horizontal do ponto (A)(30; ?; 50) ∈ ao plano (α)

que contém a LT, sabendo-se que faz 30o com π'.

14 - Determinar os traços do plano qualquer (α) que passa por (T)(30;0; 0).

απ'= 30oD απ = 45oE

7

7

3.4. Pertinência de reta a plano.

1o caso: O plano é dado por seus traços.

Uma reta pertence a um plano quando tem seus traços sobre os traços

de mesmo nome do plano.

2o caso: O plano não é dado por seus traços.

Uma reta pertence a um plano quando concorre com duas retas do

plano.

α( )

(r)

(s)

(o)

(t)

a)

Aplicação de pertinência:

8

8

3.5. Retas que cada plano admite.

3.5.1. Planos projetantes.

3.5.1.1. Plano horizontal

3.5.1.2. Plano frontal

3.5.1.3. Plano vertical

9

9

3.5.1.4. Plano de topo

3.5.1.5. Plano de perfil

3.5.2. Planos não projetantes

3.5.2.1. Plano // à LT

10

10

Obs: A condição para que uma reta fronto-horizontal pertença a um plano // à

LT é que concorra com uma reta qualquer ou de perfil do plano.

3.5.2.2. Plano ∈ à LT.

A condição para que uma reta qualquer ou de perfil pertença a (α) é que

seus traços coincidam na LT.

Obs: A condição para que uma reta fronto-horizontal pertença a (α) é que

concorra com uma reta qualquer ou de perfil do plano.

3.5.2.3. Plano qualquer

11

11

3.6. Pertinência de ponto a plano

Um ponto pertence a um plano quando pertence a uma reta do plano.1

(r) ∈ (α); (α) = (r); (s) (A) ∈ (r) ∴ (t) X (r) e (s); (A) ∈ (α). (P) ∈ (t) ∴ (P) ∈ (α).

1 Essa definição engloba diversos conceitos já estudados: um plano fica definido por seus traços ou por duas retas (paralelas ou concorrentes) do plano; no primeiro caso, uma reta pertence a um plano quando tem seus traços sobre os traços de mesmo nome do plano e, no segundo caso, quano concorre com duas retas do plano; um ponto pertence a uma reta quando tem suas projeções sobre as projeções de mesmo nome da reta.

12

12

3.7. Determinação dos traços de um plano.

Dadas duas retas pertencentes a um plano (α), para determinar os

traços deste plano é suficiente determinar os traços das retas, uma vez que o

traço vertical (απ') do plano é o LG dos traços verticais de todas as retas do

plano, assim como o traço horizontal (απ) é o LG dos traços horizontais.

13

13

3.8. Exercícios propostos:

1 - Dar os traços do plano (α) determinado pelas concorrentes (A)(B) e (C)(D).

(A)(40; 40; 20) (B)(70; 10; 40) (C)(50; 10; 50) (D)(60; ?; 20)

2 - Dado um plano (α) // à LT, construir as projeções da reta MN do plano.

απ' = 20 απ = 30 (M)(20; 40; ?) (N)(70; 40; ?)

3 - Representar por seus traços o plano (α) definido pela fronto-horizontal (r)

que contém o ponto (M)(40; -30; 30) e pela fronto-horizontal (s) que contém o

ponto (N)(80; 10; 10) ∈ βi.

4 - Achar o afastamento do ponto (A)(40; ?; 20), sabendo que pertence a (α)

(20; 45oD; 30oD).

5 - Determinar os traços do plano qualquer (α) definido pelas retas de perfil

(A)(B) e (C)(D), // entre si.

(A)(60; 10; 20) (B)(?; ?; 0) (C)(100; 10; 40) (D)(?; 50; 10)

6 - Representar as projeções do triângulo ABC pertencente ao plano (α) // à LT

(?; 40; 60).

(A)(50; ?; 30) (B)(80; ?; 50) (C)(100; 30; ?)

7 - Representar as projeções do triângulo ABC pertencente ao plano de perfil (

α) de abscissa = 50 mm.

(A)(?; 10; 20) (B)(?; 30; 60) (C)(?; ?; 20) (B)(C) = 60 mm.

14

14

3.9. Retas principais de um plano

São as retas do plano que são paralelas a um dos planos de projeção.

3.9.1. Retas Horizontais - São paralelas a (π), portanto, ao seu traço horizontal.

3.9.2. Retas Frontais - São paralelas a (π') , portanto ao seu traço vertical.

Aplicação: Se de um ponto se conhece uma de suas coordenadas (cota ou

afastamento), dados os traços do plano que o contém, é suficiente fazer passar

por esta coordenada uma reta horizontal ou frontal do plano, para determinar a

projeção que falta do ponto.

15

15

3.10. Retas de Máximo Declive e Máxima Inclinação

3.10.1. Reta de Máximo Declive

É a reta do plano ⊥ ao seu traço horizontal, ou seja, ⊥ a todas as

horizontais do plano.

π

π

ααπ

απ

'

'( )

(T)

(r) (s)

(H)

Fig.97

Teorema: A projeção horizontal de uma reta de M.D. de um plano é ⊥

ao traço horizontal do plano.

16

16

3.10.2. Reta de Máxima Inclinação

É a reta do plano ⊥ ao seu traço vertical, ou seja, ⊥ a todas as frontais

do plano.

3.11. Exercícios propostos:

1 - Determinar os traços do plano (α) definido pela reta horizontal (A)(B) e pela

frontal (B)(C), sabendo que (A)(B)=60 mm.

(A)(50; 10; 15) (B)(90; ?; ?) (C)(140; ?; ?) (B)(C) faz 45o com (π). Afast. (B)

> (A)

2 - Sabendo-se que o ponto (O)(60; ?; 20) ∈ a (α)(20; 45oD; 45oD), passar por

(O) uma reta de máximo declive do plano.

3 - Determinar os traços de (α) definido pela reta (A)(B) de M.I.

(A)(20; 20; 10) (B)(50; 10; 30)

4 - Determinaros traços do plano definido pela reta de M.I. (A)(B), sem utilizar

os traços da reta.

(A)(20; 60; 20) (B)(60; 20; 40)

17

17

3.12. Posições relativas de retas e planos.

3.12.1. Paralelismo

3.12.1.1. Reta // a plano - Uma reta é // a um plano quando é // a uma reta do

plano.

(r) ∈ (α); (s) // (r)∴ (s) // (α)

3.12.1.2. Plano // à reta - Um plano é // a uma reta quando tem uma reta // à

reta dada (recíproca do caso anterior).

3.12.1.3. Plano // a plano - Dois planos são paralelos quando tem traços de

mesmo nome paralelos.

π

π

α

απ

απ

'

'

απ

απ

'( )

(T)

βπ

βπ

'

βπ

βπ

'

Fig.101

18

18

Obs: Quando os planos são paralelos à LT, o paralelismo entre eles é

verificado na 3a projeção.2

3.12.2. Interseção

3.12.2.1. Planos Secantes - Dois planos são secantes quando admitem uma

reta comum, denominada interseção.

Como a reta interseção deve ser comum aos dois planos, tem que ser

uma reta que pertença a cada um deles.

2 Os traços de dois planos paralelos à LT são paralelos, mas como os planos podem se interceptar, o paralelismo não pode ser verificado apenas pelas projeções de seus traços verticais e horizontais.

19

19

Ex: Determinar a reta interseção dos planos (α), horizontal, e (β), qualquer.

Plano horizontal horizontal Plano qualquer horizontal

topo frontal

fronto-horizontal qualquer

perfil

A reta interseção só poderá ser uma reta horizontal, que é a única

comum aos dois planos.

3.12.2.2. Interseção entre reta e plano

A interseção entre uma reta e um plano é um ponto.

1o caso: O plano é projetante.

A determinação do ponto (P) de interseção é imediata.

20

20

20 caso: O plano não é projetante.

Para determinar o ponto (P) de interseção entre um plano (α), não

projetante, e uma reta (r), é necessário passar pela reta dada um plano (β),

projetante (vertical ou de topo) e determinar a reta (i), interseção entre (α) e (β).

O ponto (P) é o ponto de interseção entre a reta dada (r) e a reta (i).

Ex: Determinar a interseção entre o plano (α) e a reta (r).

3.12.3. Perpendicularismo

3.12.3.1. Reta ⊥ a plano

Uma reta é perpendicular a um plano quando tem suas projeções

perpendiculares aos traços de mesmo nome do plano.

21

21

Obs: Se o plano for // à LT ou pertencer à LT, a reta será de perfil, e o

perpendicularismo se verificará na 3a projeção.

a) (α) // LT (α) ∈ LT

b) Para determinar o ponto em que a reta intercepta o plano (o "pé" da ⊥),

aplica-se a regra de interseção entre reta e plano (item 3.12.2.2.).

3.12.3.2. Plano ⊥ à reta

Um plano é ⊥ a uma reta quando tem seus traços perpendiculares às

projeções de mesmo nome da reta (recíproca do caso anterior).

3.12.3.3. Plano ⊥ a plano

Dois planos são perpendiculares quando um deles contém uma reta

perpendicular ao outro.

22

22

Quando dois planos são perpendiculares, se um deles for projetante,

terão traços de mesmo nome perpendiculares.

23

23

3.13. Exercícios:

1 - Dados o plano (α) e o ponto (A), traçar por (A) o plano (β) // a (α).

απ

απ

απ

A'

A

A'

A

'

'

A'

A

A'

A

απ

απ

απ

απ

'

'

a) b)

c) d)

Fig.112

2 - Dados os traços dos planos (α) e (β), achar a reta (i) de interseção entre

eles

απ

βπ

απ

βπ

βπ

βπ

απ

απ

'

'

''

a)

b)

24

24

βπ

βπ

απ

απ

απ

βπ

απ

βπ

'

' '

'

c) d)

Fig.113

3 - Dados o ponto (A) e o plano (α), construir pelo ponto (A) a reta (r) ⊥ ao

plano.

4 - Traçar por (A)(60; 20; 10)um plano (β) // (α)(10; 45oD; 30oD).

5 - Traçar por (A)(20; 10; 15) um plano (β) // (α)(40; 60oE; 45oD).

6 - Determinar a interseção entre a reta (A)(20; 10; 50)(B)(60; 50; -10) e o plano

(α) (0; 45oD; 30oD).

7 - Do ponto (O), construir a perpendicular ao plano (α).

Dados: (O)(60; 20; 40) απ = 30 απ' = 20

8 - O plano (α) está definido por sua reta de M.D. (A)(B). Traçar por (A) a

perpendicular (A)(C) ao plano, sendo (C) um ponto de (βp).

(A)(30; 80; 10) (B)(70; 20; 60)

25

25

4 . EXERCÍCIOS GERAIS:

1 - Obter as projeções da reta horizontal (A)(B), concorrente com as retas

frontais (M)(N) e (P)(Q), paralelas.

(A)(30; ?; 15) (B)(50; ?; ?) (M)(15; 10; 5) (N)(45; ?; 30) (P)(35; 25; 10) (Q)(55;

?; ?)

2 - Determinar as projeções da reta qualquer (C)(D), concorrente com a reta de

perfil (A)(B).

(A)(20; 35; 35) (B)(?; 15; 10) (C)(10; 25; 15) (D)(60; 10; ?)

3 - Traçar uma reta fronto-horizontal de cota = 20 mm, concorrente com as

retas (A)(B) e (C)(D).

(A)(20; 40; ?)∈(π) (B)(50; ?; 30)∈(π') (C)(70; ?; 60)∈(π') (D)(90; 20; ?)∈(π)

4 - Completar as projeções das retas (A)(B) e (C)(D), paralelas.

(A)(20; 10; 40) (B)(20; 25; 20) (C)(80; 35; 15) (D)(?; ?; 35)

5 - Determinar as projeções do triângulo equilátero ABC, de perfil, sabendo que

o lado do triângulo = 40 mm, (B)∈(π), afastamento (A)>(B), e a figura está no

1o diedro.

(A)(20; 60; 30)

6 - Determinar a projeção vertical da reta (E)(F), concorrente com as retas

(A)(B) e (C)(D).

(E)(40; 40; ?) (F)(60; 30; ?) (A)(10; ?; 30)∈(π') (B)(30; 70; 50) (C)(50; 50; 60)

(D)(80; 15; -15).

7 - Determinar a projeção horizontal da reta (M)(N) que concorre com as retas

(A)(B) e (C)(D).

(M)(40; ?; 40) (N)(70; ?; 30) (A)(10; 15; 30) (B)(30; 60; 50) (C)(80; 20; 40)

(D)(80; 50; 20)

8 - Dados a projeção vertical do traço vertical (V)(15; ?; 40) e a projeção

horizontal do traço horizontal (H)(?; 40; ?) de uma reta de perfil, completar as

projeções da reta e localizar na reta os pontos (M) de cota = 30 mm e (N) de

afastamento = -20 mm.

26

26

9 - Construir as projeções das retas (A)(B), (C)(D) e (r),dados:

- (A)(B) tem projeções simétricas em relação à LT;

- (A)(B) e (C)(D) são concorrentes pelo ponto (o), de abscissa = 30 mm;

- (A)(B) e (r) são concorrentes pelo ponto (M), de abscissa = 60;

- (C)(D) e (r) são paralelas.

(A)(15; 10; ?) (B)(70; ?; 30) (C)(10; ?; 30) (D)(40; 15; ?)

10 - Determinar os traços do plano qualquer (α) definido pelas retas

horizontal (A)(B) e pela reta qualquer(C)(D).

(A)(10;45;15) (B)(45;?;?) (C)(15;30;25) (D)(50;20;?) y(B) = z(B)

11 - Restabelecer os traços do plano (α) a que pertencem a horizontal (M)(N) e

a frontal (N)(P), utilizando o traço de apenas uma destas retas.

(M)(10;40;20) (N)(50;?;?) (P)(20;-10;60)

12 - Determinar os traços do plano (α) definido pela reta (A)(B) e pelo ponto

(C).

(A)(20;10;40) (B)(60;20;10) (C)(40;0;40)

13 - Construir os traços do plano (α) determinado pelas retas de perfil (A)(B) e

pelo ponto (M).

(A)(80;-20;60) (B)(?;40;40) (M)(40;20;10)

14 - Determinar os traços de um plano (α) definido por uma horizontal (A)(B) e

um ponto (C).

(A)(40;50;?) (B)(90;10;20) (C)(70;0;60)

15 - Determinar os traços do plano (α) dado por sua reta de máximo declive

(A)(B).

(A)(60; 40; 0) (B)(90; 0; 30)

16 - Dar as projeções do triângulo (A)(B)(C) contido no plano de topo (α).

(A)(30;20;10) (B)(70;0;30) (C)(?;60;20)

17 - Determinar a VG do triângulo retângulo (A)(B)(C) pertencente a um plano

de perfil de abscissa = 20, sabendo que (A)(B) e (B)(C)=3, z(C)=(B), z(A)>(B) e

y(B)=(A). (A)(?;10;40)

27

27

18 - O pentágono (A)(B)(C)(D)(E), situa-se no plano de topo (α). Pede-se

construir suas projeções, sabendo que (B)(C)=20 é uma reta frontal de

afastamento 60.

(A)(40;40;10) (B)(?;?;30) (D)(110;10;70) (E)(70;0;?)

19 - Dada a reta (A)(B) pertencente a um plano // à LT, determinar os traços do

plano.

(A)(40; 60; -10) (B)(80; 10; -40)

20 - Obter a épura do círculo pertencenta a (α) frontal, dados:

- círculo de centro (o) = (20;15;30) e raio R = 25mm.

21 - Obter a épura do hexágono regular que define o plano horizontal (α),

sendo (A)(B) o lado de menor afastamento.

(A)(20;10;20) (B)(45;10;20)

22 - Por um ponto (A), traçar uma reta (A)(B) paralela a um plano (α) de topo,

de abscissa = 10, que contém o ponto (C).

(A)(20; 10; 30) (B)(50; ?; ?) (C)(70; 20; 40)

23 - Traçar por um ponto (A), um plano (β) que o contenha e que seja também

paralelo a outro plano (α) , paralelo à LT.

(A)(0; 10; 10) (α)(?; 40; 30)

24 - Por um ponto dado (A), fazer passar um plano paralelo a uma reta (B)(C).

(A)(10; 10; 15) (B)(-5; 35; -20) (C)(40; -10; -5)

25 - Determinar a interseção de dois planos cujos traços se encontram em um

mesmo ponto (T) na LT, de abscissa 10.

(α)(?; 30oD; 55oD) (β)(?; 50oD; 40oD)

26 - Determinar a interseção de um plano frontal (α) que contém o ponto (A)

com um plano (β) de traços simétricos em relação à LT.

(A)(40; 20; 10) (T)(0; 0; 0) βπ= 40oD

27 - Determinar a interseção de dois planos quaisquer, (α) e (β), cujos pontos

de concurso dos traços são respectivamente (T) e (J).

(T)(0; 0; 0) (J)(60; 0; 0) (α)(?; 30oD; 60oD) (β)(?; 60oE; 75oD)