3.ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

28
  -11- 3. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 3.1 Γενικά Το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού. Αντικειμενική συνάρτηση, περιορισμοί, συνθήκες μη αρνητικότητας.   Όταν η αντικειμενική συνάρτηση καθώς και οι περιορισμοί είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών απόφασης, τότε το μοντέλο βελτιστοποίησης ανάγεται σε μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού. Η γενική μορφή του είναι: max = x v + ... + x v + x v = V n n 2 2 1 1  (3.1)  b x α + ... + x α + x α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  b x α + ... + x α + x α  b x α + ... + x α + x α m n mn 2 2 m 1 1 m 2 n n 2 2 22 1 21 1 n n 1 2 12 1 11  (3.2) ) n ,..., 2 , 1 = i ( 0  x i  (3.3) Η εξ. (3.1) είναι η αντικειμενική συνάρτηση, οι ανισότητες (3.2) αποτελούν τους περιορισμούς, ενώ οι (3.3) τις συνθήκες μη αρνητικότητας. Το μοντέλο μπορεί να είναι μοντέλο μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης, ανάλογα με το αν επιβάλλεται μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Επίσης η φορά των ανισοτήτων (3.2) μπορεί να είναι αυτή που φαίνεται παραπάνω ή η αντίθετη. Η φορά όμως των ανισοτήτων (3.3) είναι πάντα αυτή που σημειώνεται και δηλώνει ότι οι μεταβλητές απόφασης x 1 , x 2 ,..., x n  είναι πάντοτε θετικοί αριθμοί. Οποιαδήποτε κι αν είναι η μορφή του μοντέλου, η επίλυσή του ακολουθεί ένα γενικό σκεπτικό, οι βασικές αρχές του οποίου αναλύονται παρακάτω.  Αρχικά το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού θα επιλυθεί ως μοντέλο μεγιστοποίησης με ανισοτικούς περιορισμούς της μορφής 3.2, όπου τα δεξιά  μέλη b 1 , b 2 , ..., b n  είναι μη αρνητικοί αριθμοί και στη συνέχεια στο κεφάλαιο περί τεχνητών μεταβλητών θα εξετασθεί η γενική περίπτωση του μοντέλου. 

description

3.ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Transcript of 3.ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

  • -11-

    3.

    3.1

    . , , .

    ,

    .

    :

    max=xv+...+xv+xv=V nn2211 (3.1)

    bx+...+x+x

    .......................................

    bx+...+x+x

    bx+...+x+x

    mnmn22m11m

    2nn2222121

    1nn1212111

    (3.2)

    )n,...,2,1=i(0 x i (3.3)

    . (3.1) , (3.2)

    , (3.3)

    .

    ,

    .

    (3.2)

    . (3.3)

    x1, x2,..., xn

    . ,

    ,

    .

    3.2,

    b1, b2, ..., bn

    .

  • -12-

    3.2

    .

    , (

    )

    .

    .

    0,4 /m3 0,2 /m3 .

    0,6 /m3 0,4 /m3

    .

    4 .

    .

    15

    .m3.

    ,

    .

    .

    ,

    . . .

    :

    max=x4+x6=V 21 (3.4)

    40x2+x4 21 (3.5)

    15x+x 21 (3.6)

    0 x

    0 x

    2

    1 (3.7)

    x1 x2

    .

  • -13-

    .

    x1 x2, (. 3.1),

    (3.5), (3.6) (3.7).

    ,

    (3.4).

    .

    , ,

    V

    . V

    . V,

    .

    0 5

    5

    10

    10

    15

    15

    20

    A

    B

    x1

    x2

    3.1

    x1+x2=15

    4x1 +

    2x2 =

    40

    6x1+4x2=V

    .

    , . ,

    (4),

    ( )

    V.

    x1=5, x2=10

  • -14-

    . 5 .

    m3 10 . m3 ,

    , ( 7 . )

    40 . .,

    15 . m3.

    3.3 1

    1 , , .

    ,

    , 1

    , .

    1

    ( . 3.2),

    .

    , , 4

    8)

    0 5

    5

    10

    10

    15

    15

    20

    A

    B

    x1

    x2

    x1 +x

    2 =15

    4x1 +

    2x2 =

    40

    1x

    1+4x2=V (

    1

  • -15-

    1 > 8, ( 3.2)

    (x1 = 10, x2 = 0), .

    ), 1 < 4,

    ( 3.2) (x1 = 0, x2 =

    15, . ).

    , 1, .

    ,

    ( 1 > 8,

    4 < 1 < 8 1 < 4).

    .

    1 = 4 1 = 8

    . (..

    1 = 4) ,

    .

    .

    .

    . 1 .

    , .

    .

    3.4 2

    ,

    (. 3.4, 3.5, 3.6 3.7) :

  • -16-

    . .

    max=x4+x6=V 21 (3.8)

    40=x+x2+x4 321 (3.9)

    15=x+x+x 421 (3.10)

    0 x

    0 x

    0 x

    0 x

    4

    3

    2

    1

    (3.11)

    x3 x4,

    (3.5) (3.6) (3.9) (3.10).

    x3 x4

    , .

    ,

    , ,

    , .

    .

    2 .

    (. 3.8, 3.9, 3.10, 3.11) 4

    x1, x2, x3 x4, 2 x1, x2

    .

    . 4

  • -17-

    . ,

    , n

    ( ) m

    , n-m

    .

    3.5

    .

    H

    ,

    . ,

    ,

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    2 , .

    . ,

    ,

    , .

    ,

    ,

    .

  • -18-

    .

    .

  • -18-

    .

    .

    3.6

    . .

    +xv+...+xv+xv=V kk2211

    max=x.0+...+x.0+x.0+ m+k2+k1+k (3.12)

    b=x+...+0+0+x+...+x+x

    ..............................................................

    b=0+...+x+0+x+...+x+x

    b=0+...+x+x+...+x+x

    mm+kkmk22m11m

    22+kkk2222121

    11+kkk1212111

    (3.13)

    (3.13) xk+1, xk+2, ..., xk+m,

    .

    ,

    n-m=k+m-m=k . , ,

    :

    mm+k22+k11+kk21 b=x,...,b=x,b=x,0=x=...=x=x

    . .

    (3.13)

    :

  • -19-

    m

    2

    1

    mk

    2k

    1k

    k

    2

    1

    mk2m1m

    k22221

    k11211

    b

    .

    .

    .

    b

    b

    x

    .

    x

    x

    x

    .

    x

    x

    1...00...

    ............

    ....10...

    0...01...

    (3.14)

    (3.14). m

    , m

    ,

    .

    . (3.14)

    m21mk2k1kk21 b,...,b,b,0,...,0,0x,...,x,x,x,...,x,x

    .

    ,

    ,

    . ..

    x1 xk+1,

    (3.14) 11,

    i1/11. ( i1 21, 31,...,

    m1). (3.14) :

    11

    1m1m

    11

    2112

    11

    1

    mk

    2k

    1k

    k

    2

    1

    11

    1m

    11

    1mk1mk

    11

    1m122m

    11

    21

    11

    21k1k2

    11

    211222

    1111

    k1

    11

    12

    bb

    .

    .

    .

    bb

    b

    x

    .

    x

    x

    x

    .

    x

    x

    1...00...0

    ............

    ....10...0

    0...01

    ...1

    (3.15)

    (3.15)

  • -20-

    mk1kk21 x,...,x,x,...,x,x

    11

    1m1m

    11

    2112

    11

    1

    bb,....,

    bb,0,0,...,0,

    b

    . x1 xk+1.

    .

    ,

    .

    3.7

    .

    V

    ,

    ,

    V .

    .

    ,

    .

    (3.13)

    ,

    , V

    . xi

    (3.13) yi. (3.13) :

  • -21-

    mmkmkkkmk222m111m

    22k2kkkk222221121

    11k1kkkk122121111

    byx...00yx...yxyx

    .....................................................................................................

    b0...yx0yxa...yx)yx(

    b0...0yxyx...yxyx

    (3.13)

    :

    0y...00y...yy

    ............................................................

    00...y0y...yy

    00...0yy...yy

    mkkmk22m11m

    2kkk2222121

    1kkk1212111

    (3.16)

    . (3.16) yi

    (3.13).

    yi (3.16)

    xi+yi (3.13).

    xi+yi V1

    kkk2221111 yxv...yxvyxvV

    mkmk1k1k yx0...yx.0

    . xi+yi

    mk1kkk2211 y.0...y.0yv...yvyvV (3.17)

    xi (i = 1

    k) , . xi

    yi V .

    x1 y1 (.

    y1 = 1), y2 = y3 = ... = yk = 0, (3.16)

  • -22-

    1mmk

    212k

    111k

    y

    ................

    y

    y

    (3.18)

    . (3.17)

    :

    1m11k211 .0....00.v...0.vvV (3.19)

    ,

    xj yj (. yj = 1),

    , . (3.16)

    mjmk

    j22k

    j11k

    y

    ...............

    y

    y

    (3.20)

    . (3.17)

    s

    ssjjj vvV (3.21)

    s

    , . .

    vj,

    , .

    xj vj

    ,

    , ( vj)

    .

  • -23-

    .

    , , ,

    .

    xj. ..

    . (3.14)

    x1, v1 > v2, v3,..., vk.

    xk+1,xk+2,...,xk+m. xk+1,

    x1 xk+1, . (3.14)

    . (3.15). . (3.15) x1=(b1/11).

    xk+2,

    . (3.14) . (3.15),

    x1=(b2/21). xk+1

    x1=(bi/1).

    [x1 = (b1/i1)]

    .

    , . (bi/i1),

    . ,

    (bi/i1) .

    x1,

    .

    .

    ,

    . .

    . (3.14)

    , ,

    .

    ,

  • -24-

    . ,

    ,

    .

  • -24-

    . ,

    ,

    .

    3.8 Simplex

    Simplex,

    :

    1

    ( )

    .

    ,

    . .

    xk+1, xk+2,..., xk+m ,

    .

    .

    .

    2 . (3.21) =1, Vj

    . (3.21)

    . .

    vj .

    , s

    . ,

    vk+1=vk+2=...=vk+m=0, V1=v1, V2=v2, ....., Vk=vk.

    v1, v2,..., vk,

  • -25-

    vk+1,...., vk+m .

    3 Vj.

    ,

    Vj

    . v1>v2,v3,....,vk

    x1 .

    x1 x2 ...... xk xk+1 xk+2 ...... xk+m

    1 xk+1 1

    1

    12 ...... 1k 1 0 ...... 0 b1

    11

    1b

    2 xk+2 2

    1

    22 ...... 2k 0 1 ...... 0 b2

    21

    2b

    3 xk+3 3

    1

    32 ...... 3k 0 0 ...... 0 b3

    31

    3b

    ... ... ... ... ...... ... ... ... ...... ... ... ...

    m xk+m m

    1

    m

    2

    ...... m

    k

    0 0 ...... 1 bm

    1m

    mb

    v1 v2 ...... vk 0 0 ...... 0 V

    v1 v2 ...... vk - - ...... - Vj

    4 b1, b2,...., bm

    . (

    , b1, b2,..., bm 11, 21,..., m1).

    b1/11, b2/21,..., bm/m1

    .

    5 ,

  • -26-

    .

    b2/21

    xk+2.

    x1 x2 ...... xk xk+1 xk+2 ...... xk+m

    1 xk+1 0 21

    11

    2212

    -

    ...... 21

    11

    k2k1

    -

    1 21

    11

    -

    ...... 0 21

    11

    2-1

    bb

    21

    11

    2212

    21

    11

    2-1

    -

    bb

    2 x1 1 21

    22

    ...... 21

    k2

    0 21

    1

    ...... 0 21

    2

    b

    21

    22

    21

    2

    b

    3 xk+3 0 21

    31

    2232

    -

    ...... 21

    31

    k2k3

    -

    0 21

    31

    -

    ...... 0 21

    31

    23

    b-b

    21

    31

    2232

    21

    31

    23

    -

    b-b

    ... ... ... ... ...... ... ... ... ...... ... ... ...

    m xk+m 0 211m

    222m

    -

    ...... 21

    1m

    k2mk

    -

    0 21

    1m

    -

    ...... 1 21

    1m

    2-m

    bb

    21

    1m

    222m

    21

    1m

    2m

    -

    b-b

    v1 v2 ...... vk 0 0 ...... 0 v

    -

    21

    22

    122

    v-v=V

    ...... 21

    k2

    1-kk

    vv=V

    - - ...... - vj

    II

    6 ( )

    .

    ,

    . xk+2

    x1.

    7

    ,

    .

    21, 22,...,2k, 0, 1,..., 0, b2 21

    x1.

  • -27-

    8

    ,

    . ,

    .

    9 . .

    2 ,

    Vj

    .

    .

    vj ,

    ( ).

    , vj , ,

    ,

    . .

    .

    3.9

    . .

    :

    max=xv+...+xv+xv=V kk2211 (3.22)

    1kk1212111 b x+...+x+x (3.23)

    2kk2222121 b x+...+x+x (3.24)

    b x+...+x+x

    .......................................

    b x+...+x+x

    mkmk22m11m

    3kk3232131

    (3.25)

  • -28-

    0 x

    ........

    0 x

    0 x

    k

    2

    1

  • -28-

    0x

    ........

    0x

    0x

    k

    2

    1

    (3.26) (2

    . (3.1), (3.2) (3.3),

    (3.23) (3.24) ,

    (3.25) .

    .

    (3.23), (3.24), (3.25) (3.26)

    :

    1m+k3+k2+k1+kkk1212111 b=x.0+...+x.0+x.0+xx+...+x+x (3.27)

    2m+k3+k2+k1+kkk2222121 b=x.0+...+x.0+xx.0+x+...+x+x (3.28)

    b=x+...+x.0+x.0+x.0+x+...+x+x

    ......................................................................................

    b=x.0+...+x+x.0+x.0+x+...+x+x

    mm+k3+k2+k1+kkmk22m11m

    3m+k3+k2+k1+kkk3232131

    (3.29)

    0x

    .......

    0x

    0x

    .......

    0x

    0x

    m+k

    1+k

    k

    2

    1

    (3.30)

    . (27) (28) . (13),

    xk+1 xk+2,

    . , (23) (24)

    .

    x1=0, x2=0,...,

    xk=0, xk+1=-b1, xk+2=-b2, xk+3=b3,..., xk+m=bm. b1,

  • -29-

    Simplex. .

    b2,..., bm ,

    xk+1 xk+2 .

    (3.30)

    ,

    , . ,

    .

    () .

    (3.22) (3.27),

    (3.28), (3.29) (3.30) :

    +...+x.0+x.0+xv+...+xv+xv=V 2+k1+kkk2211

    max=x.M-x.M-x.0+ 2+m+km+km+k (3.31)

    +...+x.0+x.0+x-x+...+x+x 3+k2+k1+kkk1212111

    12+m+k1+m+km+k b=x.0+x+x.0+ (3.32)

    +...+x.0+x-x.0+x+...+x+x 3+k2+k1+kkk2222121

    22+m+k1+m+km+k b=x+x.0+x.0+ (3.33)

    b=x.0+x.0+x+...+x.0+

    +x.0+x.0+x+...+x+x

    ...............................................................

    b=x.0+x.0+x.0+...+x+

    +x.0+x.0+x+...+x+x

    m2+m+k1+m+km+k3+k

    2+k1+kkmk22m11m

    32+m+k1+m+km+k3+k

    2+k1+kkk3232131

    (3.34)

    0x,x,x,...,x,x,x,...,x,x 2+m+k1+m+km+k2+k1+kk21 (3.35)

  • -30-

    (3.32) (3.33) xk+m+1 xk+m+2

    . (3.31)

    .

    .

    . ,

    .

    ,

    , -xk+m+1, -

    Mxk+m+2 -.

    , .

    ,

    .

    .

    Simplex,

    . , .

    (3.32), (3.33) (3.34),

    x1=0, x2=0, ..., xk=0, xk+1=0, xk+2=0, xk+3=b3, ..., xk+m=bm, xk+m+1=b1,

    xk+m+2=b2, (3.35),

    .

    Simplex.

    Simplex

    . .

    ,

    , (3.35)

  • -31-

    Simplex.

    3.10

    .

    .

    3.106

    2,2.106 m

    3,

    1,5.106 2,8.106 m3 .

    ,

    2:1.

    (

    ) : 0,32 /m3,

    0,24 /m3, ,

    0,26 /m3, 0,2 /m3,

    .

    , .

    .

    x1 x2 ( m3

    100.000)

    , x3 x4

    ,

    :

    min=x2,0+x26,0+x24,0+x32,0=V 4321

    min=x5+x5,6+x6+x8=V 4321 (/ 25) (3.36)

  • -32-

    15 x+x 31 ( ) (3.37)

    28x+x 42 ( ) (3.38)

    30x+x 21 ( )

    22x+x 43 ( ) (3.39)

    0x2+x- 31 ( )

    0 x i (i = 1, 2, 3, 4) (3.40)

    . .

    ,

    (3.36).

    ,

    -1.

    (3.37), (3.38) (3.39)

    5

    , (3.37) (3.38)

    2 ,

    (). x5 x6

    x7 x8 (3.37) (3.38).

    (3.39) x9, x10 x11.

    .

    maxx.0x.0x.0Mx-Mx-x.0x.0x5-x5,6-x6-x8-V 1110987654321 (3.41)

    0=x+x.0+x.0+x.0+x.0+x.0+x.0+x.0+x.2+x.0+x

    22=x.0+x+x.0+x.0+x.0+x.0+x.0+x+x+x.0+x.0

    30=x.0+x.0+x+x.0+x.0+x.0+x.0+x.0+x.0+x+x

    28=x.0+x.0+x.0+x+x.0+x-x.0+x+x.0+x+x.0

    15=x.0+x.0+x.0+x.0+x+x.0+x-x.0+x+x.0+x

    1110987654321

    1110987654321

    1110987654321

    1110987654321

    1110987654321

    (3.42)

  • -33-

    0x i (i = 1, 2, ..., 11) (3.43)

    x7 x8 .

    ( . (41), (42) (43))

    Simplex

    :

    x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

    1 x7 1 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 15

    2

    x8 0 1 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 28 28

    3 x9 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 30

    4 x10 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 22 22

    5 x11 -1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0/0

    -8 -6 -6,5 -5 0 0 -M -M 0 0 0 -43M

    -8+M -6+M -6,5+M -5+M -M -M - - - - -

    x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

    1 x7 1 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 15

    2 x8 0 1 -1 0 0 -1 0 1 0 -1 0 6 6

    3 x9 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 30 30

    4 x4 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 22

    5 x11 -1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0/0

    -8 -6 -6,5 -5 0 0 -M -M 0 0 0 -21M-110

    -8+M -6+M -1,5 - -M -M - - - - -

  • -34-

    x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

    1 x7 1 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 15 15

    2 x2 0 1 -1 0 0 -1 0 1 0 -1 0 6

    3 x9 1 0 1 0 0 1 0 -1 1 1 0 24 24

    4 x4 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 22 22

    5 x11 -1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

    -8 -6 -6,5 -5 0 0 -M -M 0 0 0 -15M-146

    -8+M - -7,5+M - -M -6 - -M+6 - -1 -

    x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

    1 x7 1,5 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 -0,5 15 10

    2 x2 -0,5 1 0 0 0 -1 0 1 0 -1 0,5 6

    3 x9 1,5 0 0 0 0 1 0 -1 1 1 -0,5 24 16

    4 x4 0,5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -0,5 22 44

    5 x3 -0,5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0

    -8 -6 -6,5 -5 0 0 -M -M 0 0 0 -15M-146

    1,5M-11,75 - - - -M -6 - -M+6 - -1 -0.5M+3,75

  • -35-

    x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

    1 x1 1 0 0 0 -0.67 0 0.67 0 0 0 -0.33 10

    2 x2 0 1 0 0 -0.33 -1 0.33 1 0 -1 0.33 11

    3 x9 0 0 0 0 1 1 -1 -1 1 1 0 9

    4 x4 0 0 0 1 0.33 0 -0.33 0 0 1 -0.33 17

    5 x3 0 0 1 0 -0.33 0 0.33 0 0 0 0.33 5

    8 -6 -6,5 -5 0 0 -M -M 0 0 0

    - - - - -7,835 -6 -M+7,835 -M+6 - -1 -0,165

    A . (3.41), (3.42)

    (3.43) : x1=10, x2=11, x3=5, x4=17, x9=9,

    .

    1.106 m3 0,5.106

    m3 . 1,1.106 m3 1,7.106

    m3 . (1,054.106 .)

    .