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3 Ondas planas uniformes 201 3 30Ondas planas uniformes 3 Ondas planas uniformes Según se vio con detalle en el capítulo 2, las ecuaciones de Maxwell son la expresión matemática de las leyes que gobiernan el comportamiento espacio-temporal de los campos electromagnéticos: t t ρ + = × = = - = × 0 con + = o ε (3.1a) - = o μ 1 (3.1b) Utilizándolas, junto con la definición del campo electromagnético, en la expresión del trabajo realizado por éste sobre una distribución de carga eléctrica, se deduce el teorema de Poynting, que proporciona expresiones para la densidad volúmica de energía almacenada en el campo eléctrico 1 = 2 1 e y en el campo magnético 1 = 2 1 m 1 Cuando el medio es lineal.

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  • 3 Ondas planas uniformes 201

    3 30Ondas planas uniformes

    3 Ondas planas uniformes

    Segn se vio con detalle en el captulo 2, las ecuaciones de Maxwell son la expresinmatemtica de las leyes que gobiernan el comportamiento espacio-temporal de los camposelectromagnticos:

    t

    t

    +=

    =

    =

    =

    0

    con

    += o (3.1a)

    =o

    1(3.1b)

    Utilizndolas, junto con la definicin del campo electromagntico, en la expresindel trabajo realizado por ste sobre una distribucin de carga elctrica, se deduce el teoremade Poynting, que proporciona expresiones para la densidad volmica de energa almacenadaen el campo elctrico1

    =2

    1e

    y en el campo magntico 1

    =2

    1m

    1 Cuando el medio es lineal.

  • 202 Campos electromagnticos

    as como para la densidad y el sentido del flujo de potencia asociada al campo

    = (3.2)

    donde

    recibe el nombre de vector de Poynting instantneo.

    Las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de distribuciones espaciales decampo que se propagan, lo que se conoce como ondas electromagnticas; el teorema dePoynting permite determinar el flujo de potencia asociado a la onda. La verificacinexperimental por Hertz, en 1888, de la existencia de las ondas electromagnticas, completla verificacin de la validez de las ecuaciones de Maxwell.

    Las ondas electromagnticas juegan un papel fundamental en el mundo fsico yocupan un lugar central en la ingeniera y, en particular, en las ingenieras electrnica y detelecomunicacin; la luz y el calor del sol nos llegan mediante ondas electromagnticas; lapotencia asociada a las ondas electromagnticas se utiliza en ingeniera como vehculo paratransmitir informacin a distancia: radio, televisin, comunicaciones por satlite, telefonamvil son algunos ejemplos donde la utilizacin de las ondas electromagnticas es evidente.Pero las ondas no slo se utilizan cuando no existe un tendido material de un punto a otro.En las lneas telegrficas y telefnicas suficientemente largas es imposible soslayar losfenmenos ondulatorios y, desde finales del siglo XIX, las ecuaciones que rigen elcomportamiento de las ondas guiadas por lneas de transmisin se conocen, con cierta dosisde familiaridad, como ecuaciones de los telegrafistas; en las grandes instalaciones decomunicaciones por satlite se utilizan guas de onda conductoras huecas para llevar laenerga desde los equipos de emisin hasta la antena emisora y desde la antena receptora alos equipos de recepcin; mediante guas de onda dielctricas (fibras pticas) se conducenlas ondas electromagnticas en el infrarrojo cercano que portan la informacin en lossistemas que forman la espina dorsal de los sistemas de comunicaciones terrestres modernos.

    Por razones didcticas, en este captulo nos ceiremos al estudio de ondaselectromagnticas que se propagan libremente en un medio homogneo, y aun a un tipo deonda particular, pero de gran importancia en la prctica, conocido como onda planauniforme. En el captulo 4 se introducirn los principios fundamentales del guiado de ondasy en el captulo 5 se presentarn en detalle los mtodos de anlisis de sistemas de guiadoreales.

  • 3 Ondas planas uniformes 203

    3.1 Ecuacin de onda

    Consideremos una regin del espacio en la que no haya fuentes primarias (cargas y

    corrientes) de los campos: = 0, 0=

    . En esa regin las ecuaciones de Maxwell se

    simplifican a

    t

    t

    ==

    ==

    0

    0

    (3.3)

    Este sistema de ecuaciones diferenciales permite apreciar de manera cualitativa el

    origen de las ondas electromagnticas: un campo en la primera de las ecuaciones (3.3) da

    lugar, en general, a un campo

    variable; ste, a travs de la relacin constitutiva (3.1a)

    supone un campo

    variable, que, a su vez, produce un campo

    variable segn la ltima

    de las ecuaciones (3.3); el campo

    variable supone, segn la relacin constitutiva (3.1b),

    un campo

    variable, y as sucesivamente.

    Volvamos ahora al caso general en que en la zona del espacio considerada puedahaber cargas y corrientes, pero consideremos el caso simplificado, pero que se encuentramuy a menudo en la prctica, de que el medio sea lineal; entonces

    =

    =(3.4)

    Si adems el medio es istropo, y son escalares y, si es homogneo, nodependen de las coordenadas espaciales. Bajo esas suposiciones, que se cumplen en muchosmedios de inters prctico, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

    t

    t

    +=

    =

    =

    =

    0(3.5)

  • 204 Campos electromagnticos

    Es de notar que, mientras que desde un punto de vista fsico los campos

    fundamentales son

    y

    , en una situacin como la que se est considerando existe un

    paralelismo matemtico entre

    y

    , como lo muestra el sistema de ecuaciones anterior

    sobre todo en regiones donde 0= y 0=

    . La tcnica para resolver el sistema de

    ecuaciones anterior consiste en reducir el nmero de ecuaciones diferenciales aunque sea acosta de aumentar el orden de las derivadas. Por ejemplo, tomando el rotacional de ambosmiembros de la primera ecuacin, se tiene

    t

    =- (3.6)

    Teniendo en cuenta que

    ( ) 2= (3.7)

    y que, segn (3.5), =

    y

    t+=

    , la expresin (3.6) se reduce a

    +

    = 12

    22

    tt

    (3.8)

    donde se ha definido la laplaciana1 del vector

    como2

    zyx zyx 2222 ++=

    (3.9)

    La expresin bsica (3.8) es, desde el punto de vista matemtico, una ecuacin de

    onda vectorial porque la variable dependiente

    es un vector tridimensional porque,en general, el operador laplaciana supone derivadas respecto de las tres coordenadasespaciales. Si se toma el rotacional de ambos miembros de la cuarta ecuacin en (3.5) se

    llega a una ecuacin de onda similar para

    :

    =2

    22

    t

    1 Estrictamente, la laplaciana es un operador escalar. El significado del operador 2 aplicado a unvector se da en la expresin (3.9).2 La definicin (3.9) no se puede generalizar para el empleo de componentes del vector que no seanlas de las coordenadas cartesianas. En cambio, puede utilizarse cualquier tipo de coordenadas paraexpresar las componentes cartesianas del vector y para evaluar las laplacianas que actan sobre ellas.

  • 3 Ondas planas uniformes 205

    A la vista de estas expresiones, est claro que la solucin de la ecuacin de ondadepender de la distribucin de cargas y corrientes que dan origen al campo, y tambin de lascondiciones de contorno que deban satisfacer los campos en los lmites entre regioneshomogneas. La forma matemtica de la solucin (pero no la situacin fsica que describe)tambin puede depender del sistema de coordenadas utilizado, que, a su vez, se elegir deacuerdo con la geometra de la situacin que se est estudiando. En este captulo noslimitaremos al estudio del caso particular de las llamadas ondas planas uniformes. En elcaptulo 5 se vern diversos tipos de ondas planas no uniformes, en relacin con sistemas degua de onda. En el captulo 6, al introducir el fenmeno de radiacin, se vern formasaproximadas de ondas esfricas.

    3.1.1 Ondas planas uniformes con dependencia espacio-temporal arbitraria

    Consideremos de nuevo que estamos estudiando el campo electromagntico en unaregin desprovista de fuentes primarias. En esa regin los campos obedecen a las ecuaciones

    (3.3) y las ecuaciones de onda de

    y de

    se vuelven homogneas, es decir, desaparecenlos trminos independientes o de fuerza. Ntese que la situacin que se est considerando esms comn de lo que a primera vista pudiera parecer: las fuentes cargas y corrientes quedan lugar al campo ocupan un volumen limitado, y fuera de l, si el medio es lineal, istropoy homogneo, los campos obedecen a las ecuaciones (3.3) y a las ecuaciones de ondahomogneas

    02

    22 =

    t

    (3.10 a)

    02

    22 =

    t

    (3.10 b)

    que de ellas se deducen. Adems, el estudio de cierto tipo particular de solucin para estasecuaciones nos permitir describir de manera ilustrativa y sencilla el fenmeno fundamental la aparicin de ondas electromagnticas que se quiere poner de manifiesto.

    Como las dos ecuaciones de onda anteriores estn matemticamente desacopladas(en cada una de ellas slo aparece una variable dependiente), en principio podemos estudiarsu solucin por separado. Nos concentraremos para empezar en la ecuacin de onda delcampo elctrico, aunque nada impedira comenzar con la del campo magntico. Para haceran ms sencilla la matemtica y que sta no oscurezca el aspecto fsico que se pretenderesaltar, efectuaremos una hiptesis simplificadora ms, a saber: que del examen de lascondiciones de contorno que tiene que cumplir la solucin matemtica de (3.10) para queadquiera significado fsico se puede deducir que

  • 206 Campos electromagnticos

    0==

    yx

    (3.11)

    Es de notar que las condiciones de contorno hipotticamente utilizadas para deducirla condicin anterior nos remiten en ltima instancia a las fuentes que se encuentran fuera dela regin en que estamos estudiando el campo, pues de ellas dependern los valores delcampo en el contorno. Las condiciones (3.11) llevarn a un tipo particular de solucinconocido como onda plana uniforme, que, curiosamente, y a pesar de todas lassimplificaciones efectuadas para llegar a l, representa muy bien situaciones de intersprctico y, en especial, el campo en regiones lo suficientemente alejadas de las fuentes que loproducen. Si, simplificando an ms, puede suponerse que

    xx =

    (3.12)

    entonces la ecuacin de onda (3.8) se reduce a

    02

    2

    2

    2

    =tz

    xx

    (3.13)

    que es una ecuacin de onda unidimensional porque ahora, si se cumple (3.11), slo haydependencia respecto de una variable escalar porque se ha supuesto, segn (3.12), que elcampo elctrico slo tiene una componente1 y homognea. La forma general de la solucinde tal ecuacin es

    )()( 21 tvzftvzfx ++= (3.14)donde

    )(1 1= smv

    (3.15)

    es una constante que tiene unidades de velocidad; en particular, si el medio fuese el vaco,

    0 = , 0 = y cv ==00

    1

    . La expresin (3.14) se conoce como solucin de

    dAlembert y puede comprobarse que, en efecto, es solucin de la ecuacin (3.13) porsustitucin en ella. Debe tenerse en cuenta que (3.14) es una solucin formal, esto es, queindica cmo ha de ser la forma general de la expresin matemtica de la solucin de (3.13);las expresiones concretas de las funciones f s1( ) y f s2 ( ) dependern de las condicionesiniciales y de contorno en cada caso.

    1 En cualquier caso, la ecuacin de onda vectorial no es ms que la expresin compacta de tresecuaciones de onda escalares.

  • 3 Ondas planas uniformes 207

    As, con las suposiciones efectuadas, el campo elctrico tendr la forma general

    [ ]xtvzftvzf )()( 21 ++=

    (3.16)

    La interpretacin fsica de la solucin (3.14) o de (3.16) es la de sendasdistribuciones de campo que se propagan respectivamente en las direcciones z+ y z convelocidad v , conservando su forma a medida que la posicin de la distribucin cambia,como se indica en la figura 3.1; ahora bien, una distribucin espacial de una magnitud fsica(campo elctrico en este caso) que se propaga es lo que se conoce como onda. En este casohablaremos de onda plana porque en todos los puntos de un plano el plano perpendicular aleje Z , tal como se han tomado los ejes de coordenadas el campo toma el mismo valor.

    Como se ha discutido al principio de la seccin 3.1, en general no puede existir uncampo elctrico variable con el tiempo, como el dado por la expresin (3.16), sin que existasimultneamente un campo magntico. Es fcil ver que, en este caso, el campo magntico ha

    Fig. 3.1 Ondas progresiva (a) y regresiva (b) de campo elctrico

  • 208 Campos electromagnticos

    de ser formalmente similar al campo elctrico, ya que ambos obedeces a la misma ecuacinde onda homognea (3.10).

    Como

    obedece a la misma ecuacin que

    , su solucin general debe tener las

    mismas propiedades. Pero adems,

    no es independiente de

    , porque est relacionadocon ste a travs de las ecuaciones de Maxwell; as, el comportamiento concreto y no slo

    el general de

    est ligado con el comportamiento concreto de

    ; en efecto, segn laprimera de las ecuaciones (3.5)

    t

    = (3.17)

    As, sustituyendo (3.16) en (3.17), se llega a

    [ ]t

    ytvzftvzf

    =++ )()( 21 (3.18)

    donde =f sd

    d sf s1 1( ) ( ) y =f s

    d

    d sf s2 2( ) ( ) . Integrando ahora los dos miembros de la

    expresin (3.18) respecto del tiempo, se obtiene

    [ ]ytvzftvzfv

    )()(1

    21 +=

    (3.19)

    que tiene una clara relacin con la expresin del campo elctrico (3.16). El producto v enla expresin (3.19) tiene unidades de impedancia, como se ve fcilmente considerando que

    las unidades de

    son V/m y las de

    A/m. Por esa razn recibe el nombre de impedanciaintrnseca del medio y se denota por . Teniendo en cuenta la definicin de v (3.15), unaexpresin alternativa de es

    )(1 ===

    v

    donde, para subrayar el hecho de que tiene unidades de impedancia, se han indicadoexplcitamente en el Sistema Internacional. Por ejemplo, en el vaco, o = , o = y

    = 12063,376o As, la expresin (3.19) del campo magntico puedereescribirse

  • 3 Ondas planas uniformes 209

    [ ] ytvzftvzf )()(1 21 ++=

    (3.20)

    El resultado de la integracin de la ecuacin (3.18) respecto del tiempo se podra haberescrito de manera ms general

    ( ) ( )[ ] )(1 21 rhytvzftvzf

    ++=

    donde h r( ) sera un campo magnetosttico ya que, en la regin de inters =

    h r( ) 0 ,

    = h r( ) 0 ) y, por lo tanto, desacoplado de

    . Por otra parte, la solucin para

    de la ecuacin

    (3.13) podra haberse escrito de forma ms general

    [ ] )()()(= 21 rextvzftvzf

    +++

    con e r( ) un campo electrosttico = e r( ) 0 , = e r( ) 0 en la regin de inters y, por lo

    tanto, desacoplado de

    . Estos trminos estticos no tienen inters para nosotros en este contexto decampos variables con el tiempo y, por lo tanto, los obviaremos en la discusin.

    De la expresin del campo magntico (3.19) est claro que tambin puede expresarsecomo la combinacin de una onda progresiva de campo magntico

    p z v t f z v t1 11

    ( ) ( ) =

    y una onda regresiva de campo magntico

    p z v t f z v t2 21

    ( ) ( )+ = +

    como se ha representado grficamente en la figura 3.2.

    Si ahora calculamos la densidad de flujo de potencia asociado al campoelectromagntico de la onda que se acaba de calcular, dado por el vector de Poynting(expresin (3.2)), se encuentra

    [ ] [ ]

    [ ]ztvzftvzf

    ytvzftvzfxtvzftvzf=

    =

    )()(1

    )()(1

    )()(

    =

    22

    21

    2121

    +=

    =++++

    (3.21)

  • 210 Campos electromagnticos

    Fig. 3.2 Ondas progresiva (a) y regresiva (b) de campo magntico

    La expresin (3.21) admite la interpretacin de que el flujo de potencia total es lasuperposicin de un flujo de potencia asociado a la onda electromagntica progresiva en elsentido de sta dado por

    ztvzpztvzf )()(

    1 21

    21+ ==

    (3.22)

  • 3 Ondas planas uniformes 211

    y de un flujo de potencia asociado a la onda electromagntica regresiva en el sentido de sta,dado por

    ztvzpztvzf

    )()(1 2

    22

    2- +=+= (3.23)

    La figura 3.3 resume grficamente la relacin entre los campos elctrico y magnticoy el vector de Poynting dados respectivamente por las ecuaciones (3.16), (3.20), (3.22) y(3.23). Es de notar, sin embargo, que una figura no puede en general dar de manera sencillatoda la informacin contenida en las expresiones matemticas. As, la figura 3.3 intentamostrar la situacin a lo largo del eje Z ; ahora bien, como se ha supuesto que no hayvariacin de los campos en x ni en y , tal descripcin grfica aplica igualmente a loscampos y vector de Poynting a lo largo de cualquier eje paralelo al eje Z . El intento decompletar la representacin en este sentido llevara a un emborronamiento de la figura que lahara intil.

    Se podra haber efectuado un desarrollo similar al que se acaba de efectuar suponiendo

    yy =

    , con lo que se hubiese obtenido xx =

    . Una solucin ms general puede expresarse

    como combinacin de ambos desarrollos

    [ ]

    [ ]xtvzgytvzf

    xtvzgytvzf

    ytvzgxtvzf

    ytvzgxtvzf

    )()(1

    )()(1

    )()(

    )()(

    22

    11

    22

    11

    ++++

    +=

    ++++

    ++=

    (3.24)

    donde 1f y 1g representan ondas progresivas y f2 y g2 ondas regresivas. Sin embargo, si se

    mantiene la condicin de que los campos no tengan dependencia en x ni en y (

    x y= = 0 ), las

    ecuaciones 0=

    y 0=

    imponen que 0=z , z . Puede comprobarse tambin que los

    campos elctrico y magntico dados por (3.24) son perpendiculares entre s: 0=

    .

    Asimismo, los desarrollos efectuados partiendo de la ecuacin de onda para

    podran

    haberse llevado a cabo de manera completamente anloga a partir de la ecuacin de onda para

    .

    1g

  • 212 Campos electromagnticos

    X

    Y

    Z

    Z

    X

    Y

    v

    +++

    =

    xtvzf )(1+ =

    ytvzf )(1

    1+ =

    xtvzf )(2- +=

    ytvzf )(1

    2- +=

    ---

    =

    v

    Fig. 3.3 Representacin grfica de la relacin entre campo elctrico, magntico y vector dePoynting

  • 3 Ondas planas uniformes 213

    3.2 Ondas planas uniformes en rgimen senoidal permanente

    A pesar de no ser ms que un caso muy particular, y con una expresin matemticaespecialmente sencilla, de onda electromagntica, las ondas planas uniformes en rgimensenoidal permanente presentan curiosamente un gran inters desde el punto de vista prctico.Eso es debido a una, o a la combinacin, de por lo menos las razones siguientes:

    a) Suficientemente lejos de una antena, los campos electromagnticos que sta radia sondescritos con muy buena aproximacin por ondas planas uniformes.

    b) Para muchos tipos de modulacin empleados en sistemas de radiocomunicaciones, elensanchamiento del espectro que la modulacin produce alrededor de la frecuencia de laportadora puede despreciarse desde el punto de vista de los fenmenos de radiacin ypropagacin, de manera que, por lo que respecta a los clculos electromagnticos, se puedesuponer que se est en rgimen senoidal permanente.

    c) Una situacin general de campos con dependencia temporal senoidal puededescomponerse como superposicin de (en general infinitas) ondas planas uniformes.

    Antes de empezar a usar la notacin matemtica fasorial apropiada para describirmagnitudes en rgimen senoidal permanente, puede resultar til estudiar la forma particularque toman las expresiones del ejemplo de la seccin 3.1 en este caso.

    El rgimen senoidal permanente supone que la dependencia temporal de los camposdebe ser como cos( ) t + , donde es la frecuencia angular o pulsacin, de unidadesrad/s, relacionada con la frecuencia f de unidades Hz por f 2= . Eso implica,remitindonos al ejemplo desarrollado en la seccin 2, que las funciones f z v t1 ( ) yf z v t2 ( )+ que aparecan en las expresiones del campo, ya no pueden ser cualesquiera, sino

    que las condiciones de contorno estn imponiendo que f1 sea de la forma

    ( )f z v t Av

    v t z A tv

    z1 1 11

    ( ) cos cos = +

    = +

    (3.25 a)

    y

    ( )f z v t Bv

    v t z B tv

    z2 2 21

    ( ) cos cos+ = + +

    = + +

    (3.25 b)

    Definiendo el nmero de onda k (con unidades SI de 1m ) como

    kv

    = (3.26)

    las expresiones (3.25) se escriben

  • 214 Campos electromagnticos

    ( )( )

    f z v t A t k z

    f z v t B t k z

    1 1

    2 2

    ( ) cos

    ( ) cos

    = +

    + = + +

    Utilizando estas expresiones en las generales (3.24), se llega a la expresiones deondas planas uniformes progresiva y regresiva en rgimen senoidal permanente que sepropagan en la direccin de Z

    [ ]

    [ ]xzktEyzktE

    xzktEyzktE

    tz

    yzktExzktE

    yzktExzktE

    tz

    yyoxxo

    yyoxxo

    yyoxxo

    yyoxxo

    )cos()cos(1

    )cos()cos(1

    ),(

    )cos()cos(

    )cos()cos(

    ),(

    ++++

    ++++

    ++++++

    +++

    =

    ++++++

    ++++=

    (3.27)

    donde los superndices + se refieren a ondas que se propagan en el sentido positivo del ejeZ y los superndice - a las que se propagan en el sentido negativo.

    Sirvindonos de la notacin fasorial introducida en el captulo 2, podemos escribir lamisma informacin que contienen las expresiones (3.27) de una manera mucho mscompacta; as, el campo elctrico vendr dado en forma fasorial por:

    zkjc

    zkjc eEeEE

    + +=

    (3.28)

    con

    yeExeEE yx jyoj

    xoc ++ +++ +=

    (3.29 a)

    yeExeEE yx jyoj

    xoc +=

    (3.29 b)

    Segn se sabe ya, el campo instantneo puede recuperarse a partir de (3.28) como

    [ ]tjeEtz Re),( = . Del mismo modo, el fasor campo magntico ser H H e H ec

    j k zc

    j k z= ++

    con

  • 3 Ondas planas uniformes 215

    xeEyeEH yx jyoj

    xoc 1

    1 ++ +++ =

    (3.30 a)

    xeEyeEH yx jyoj

    xoc 1

    1 +=

    (3.30 b)

    El ejemplo siguiente muestra una situacin idealizada en la que se generan ondasplanas uniformes.

    Ejemplo 3.1: Campo producido por una distribucin laminar infinita de corrienteuniforme que depende senoidalmente del tiempo.

    Consideremos una hoja de corriente uniforme infinita, de frecuencia f .Supongamos que, por comodidad, tomamos los ejes de coordenadas de manera quela hoja est contenida en el plano 0=z y venga caracterizada por un fasor

    xJJ sos =

    (Fig. 3.4).

    Como la fuente de los campos (en este caso la distribucin laminar decorriente) vara con el tiempo de manera senoidal, en rgimen permanente todos loscampos deben hacerlo tambin. Dada la geometra del problema, parece razonablesuponer que los campos producidos puedan ser en forma de ondas planas uniforme

    X

    Y

    Z

    J S

    Fig. 3.4 Distribucin laminar de corriente en elplano 0=z dirigida segn el eje X

  • 216 Campos electromagnticos

    que se alejen de la distribucin de corriente; si nuestra hiptesis fuese incorrecta, nosdaramos cuenta de ello al no poder satisfacer las condiciones de contorno de loscampos en el plano 0=z . Esto nos lleva a considerar que, para 0>z , tengamosuna onda que se propaga en la direccin del eje Z y en el sentido de lasz crecientes; en efecto, dada la forma de la distribucin de corriente, no hay nadaque favorezca la propagacin en una direccin dada, y no en otra, distinta de laperpendicular al plano 0=z (ntese que, aunque en la figura 3.4 las flechas querepresentan sJ

    vayan en el sentido de las x crecientes, esto no es ms que una

    limitacin de la representacin grfica, puesto que sJ

    es un fasor, y la corriente

    instantnea ir, durante algunas partes del perodo, en el sentido de la figura,mientras que en otras ir en sentido opuesto. De la misma manera, para 0zzkj

    c eEE+=

    zkjc eHH

    +=

    con

    yExEE yxc +++ +=

    (3.31)

    yHxHH yxc +++ +=

    (3.32)

    donde +xE , +yE ,

    +xH y

    +yH son constante complejas que, de acuerdo con (3.30 a),

    se relacionan de la manera siguiente:++ = xy HE (3.33 a)

    ++ = yx HE (3.33 b)

    Para 0

  • 3 Ondas planas uniformes 217

    = xy HE (3.36 a) = yx HE (3.36 b)

    Las constantes que aparecen en la expresin de las ondas pueden ponerse enrelacin con la corriente que da lugar a ellas mediante las condiciones de contorno aque deben obedecer los campos en 0=z . Segn lo visto en el captulo 2, para que lasolucin tenga sentido fsico, en 0=z hay que exigir

    sJHHn

    = )( 120)( 12 = EEn

    donde, en nuestro caso

    zn =

    2H

    : campo magntico en += 0z

    1H

    : campo magntico en = 0z

    2E

    : campo elctrico en += 0z

    1E

    : campo elctrico en = 0z

    As tendremos+= cHH

    2

    = cHH

    1

    += cEE

    2

    = cEE

    1

    Teniendo en cuenta las formas de +cE

    , cE

    , +cH

    y cH

    dadas por las

    expresiones (3.31), (3.34), (3.32) y (3.35), las relaciones (3.33) y (3.36), y lascondiciones de contorno que deben satisfacer los campos, se llega al siguientesistema de ecuaciones

    0= + xx HH

    soyy JHH =+

    0=+ + xx HH0=+ + yy HH

    cuya solucin es

  • 218 Campos electromagnticos

    2so

    y

    JH =+

    2so

    y

    JH =

    0== + xx HH

    Se ha conseguido satisfacer las condiciones de contorno; as pues, lashiptesis efectuadas al principio eran correctas y, efectivamente, el campo para

    0>z tiene la forma de una onda plana uniforme que se propaga segn las zcrecientes:

    yeJ

    H jkzso 2

    =

    xeJ

    E jkzso 2

    =

    mientras que para 0

  • 3 Ondas planas uniformes 219

    Teniendo en cuenta la definicin de la velocidad de propagacin (3.15) y la delnmero de onda (3.26), ste puede ponerse

    =k

    con lo que le ecuacin (3.37) se reescribe

    + =2 2 0 E k E (3.38)

    Evidentemente, el campo H obedece tambin a la ecuacin de Helmholtz

    022 =+ HkH

    3.2.2 Solucin correspondiente a la onda plana uniforme

    Una posible solucin de la ecuacin de Helmholtz a la que obedece E es

    E r E ec

    j k r( ) = (3.39)donde

    Ec es un vector, en general complejo, uniforme (que no depende de

    r );

    r es el vector de posicin (

    r x x y y z z= + + ) del punto en que se evala el

    campo;k es el llamado vector de propagacin, o de onda; es un vector uniforme deunidades m-1 cuyo mdulo es el nmero de onda k, y que, por tanto, puede

    expresarse como k k k= , donde k es un vector unitario en principio arbitrario.

    Como se discutir en lo que sigue, esta solucin de la ecuacin de Helmholtz (3.38),corresponde a una onda plana uniforme en rgimen senoidal permanente, que se propaga en

    el sentido dado por k . Evidentemente, el estudio de la forma de los campos de una ondaplana uniforme en rgimen senoidal permanente podra haberse empezado por H

    en vez de

    por E , y la eleccin de hacerlo a partir del campo elctrico ha sido completamente

    arbitraria.

  • 220 Campos electromagnticos

    Ejemplo 3.2 Comprobacin de que la expresin (3.39) es efectivamente unasolucin de la ecuacin (3.38).

    Para ello comprobaremos que cuando la expresin se sustituye en laecuacin, sta se convierte en una identidad. As pues, sustituiremos E r E ec

    j k r( ) = en el primer miembro de (3.38):

    = = 2 2 2 E r E e E ec

    j k rc

    j k r( )

    donde se ha tenido en cuenta que el operador laplaciana no acta sobre el vector

    uniforme Ec . A continuacin hay que calcular

    2e j k r

    , para lo que notaremos quela laplaciana de un campo escalar no es ms que la divergencia de su gradiente:

    rkjrkj ee =2

    Calcularemos, pues, en primer lugar e j k r

    ; para ello utilizaremos porcomodidad y sencillez coordenadas cartesianas, teniendo en cuenta que

    k k k k x k y k zx y z= = + +

    donde k x , k y y kz son las componentes cartesianas de k . As, si escribimos

    tambin el vector de posicin r utilizando sus componentes cartesianas descritas en

    trminos de coordenadas cartesianas

    r x x y y z z= + +

    tendremos que el producto escalar k r , que aparece en el argumento de la

    exponencial cuyo gradiente queremos calcular, se escribe

    k r k x k y k zx y z = + +

    A partir de ah es elemental el clculo del gradiente:

    = = + + = + + e e j k x k y k z e j k ej k r j k x k y k z x y zj k r j k rx y z

    ( ) ( )

    (3.40)As,

    = = 2e e j k ej k r j k r j k r

    ( )

  • 3 Ondas planas uniformes 221

    Ahora bien, k es un vector y e j k r

    un escalar. Si tenemos en cuenta larelacin general de clculo vectorial

    = + ( )ab a b a b

    (3.41)

    y que k es uniforme, la expresin de ( )j k e j k r

    queda

    = ( )j k e j k ej k r j k r

    Pero e j k r

    ya fue calculado unas cuantas lneas ms arriba, y utilizando elresultado obtenido, llegamos finalmente al clculo de la laplaciana

    rkjrkj

    rkjrkjrkjrkj

    ekekjkj

    ekjekjee

    =

    ====2

    2

    )(

    )(

    As, = 2 2 E r k E ec

    j k r( ) , y es evidente que la ecuacin de Helmholtz(3.38) se convierte en una identidad.

    Si bien se ha comprobado en el ejemplo anterior que el campo dado por la expresin(3.39) es solucin de la ecuacin de Helmholtz, ello no asegura que ese campo corresponda auna solucin de las ecuaciones de Maxwell en una zona desprovista de fuentes; para que s losea es preciso asegurar que, de acuerdo con ley de Gauss, en una zona de un medio linealdesprovisto de fuentes, se satisfaga1

    =E 0 (3.42)

    Vamos a ver que eso impone una condicin sobre el vector uniforme Ec , a saber,

    que k Ec =

    0 , donde k es el vector unitario en la direccin y sentido del vector de ondak . Para ello sustituiremos la expresin del campo elctrico dada por (3.39) en (3.42):

    1 La razn es que, en el proceso para llegar a la ecuacin de Helmholtz, se ha

    simplificado = E E2 (ver la expresin (3.7); el hecho de que la misma se refiera a un

    campo instntaneo y no a un campo fasorial es irrelevante); para ello se consider que, puesto

    que 0= E

    , efectivamente =E 0 . Ahora bien, podra darse =

    E 0 , sin que fuese nula

    la divergencia de E , por lo que hay que asegurar esto ltimo. En el ejemplo para dependencia

    temporal arbitraria del apartado 3.1, la suposicin a priori de que las derivadas en x y en y sean nulas

    y que no haya componente en z garantiza 0=

    .

  • 222 Campos electromagnticos

    = ( ) E ec

    j k r 0 (3.43)

    Teniendo en cuenta que e j k r

    es un escalar, que Ec es un vector uniforme, de

    manera que =Ec 0 , aplicando la relacin (3.41) al miembro de la izquierda de (3.43), y

    teniendo en cuenta la relacin (3.40) se obtiene

    = = = ( ) E e e E j k E ec

    j k r j k rc c

    j k r 0

    El hecho de que j k E ecj k r

    = 0 independientemente de r implica que debe

    cumplirse k Ec = 0 , y, por lo tanto, tambin

    k Ec =

    0 (3.44)

    En el ejemplo siguiente se identifica el vector k en la expresin del campo elctricoy se comprueba que sta corresponde a una onda plana uniforme, ya que satisface la relacin(3.44).

    Ejemplo 3.3 Comprobar que el campo elctrico )(2)( zyjo ezjyjxEE++=

    corresponde a una onda plana uniforme.

    Para proceder a la comprobacin, hay que verificar que la expresin anterior

    puede reducirse a la forma general E r E ec

    j k r( ) = y que k Ec = 0 o k Ec =

    0 .

    Identificando trminos vemos que

    )( zjyjxEE oc +=

    Adems, puesto que, en general

    k k k k x k y k zx y z= = + +

    se tiene que k r k x k y k zx y z = + +

    De modo que el exponente debe ser

    zyzkykxk zyx 22 +=++

  • 3 Ondas planas uniformes 223

    Identificando coeficientes en la expresin anterior se llega a que

    2

    2

    0

    =

    =

    =

    z

    y

    x

    k

    k

    k

    luego

    zyk 22 +=

    Es elemental verificar ahora que, en efecto, 0= cEk

    y, por lo tanto, la

    expresin de partida corresponde al campo elctrico de una onda plana uniforme.

    3.2.3 Caractersticas de la onda plana uniforme

    Cuando se tiene experiencia en el manejo de la notacin fasorial para vectores cuyascomponentes dependen del tiempo senoidalmente, las propiedades fsicas del campoinstantneo pueden deducirse directamente de la inspeccin del fasor. En el nivel presente es,no obstante, ilustrativo bajar, a partir de la expresin fasorial, hasta la expresin del campoinstantneo, para analizar las caractersticas de la onda plana uniforme y poner de manifiestoel significado fsico de algunos parmetros que se definirn.

    Segn se vio en el captulo 2, el campo instantneo se obtiene a partir del campo

    fasorial multiplicando ste por tje y tomando la parte real del producto. Para el campo

    elctrico instantneo se tendr, pues, [ ]tjeEtz Re),( = . Si el campo obedece a laexpresin de una onda plana uniforme en rgimen senoidal permanente (3.39), tendremos

    [ ]tjrkjc eeEtr = Re),( (3.45)Ahora bien,

    Ec puede escribirse de manera explcita

    zeEyeExeEE zyx jzoj

    yoj

    xoc ++=

    (3.46)

    donde Eoi y i ( i x y z= , , ) son respectivamente un real positivo y un real que

    corresponden a los mdulos y las fases de las componentes de Ec ; as, sustituyendo (3.46)

    en (3.45) se obtiene

  • 224 Campos electromagnticos

    zrktE

    yrktExrktEtr

    zzo

    yyoxxo

    )cos(

    )cos()cos(),(

    +

    ++++=

    Para ver que este campo representa ondas que se propagan en la direccin de k ,

    representaremos una componente de ),( tr

    a lo largo de un eje L paralelo a k (Fig. 3.5).

    Si sobre ese eje definimos un vector de posicin ro que tomamos como el origen de la

    coordenada l que nos define la posicin sobre L , el vector de posicin r de un punto sobre

    el eje vendr dado por r r l ko= + . As, para

    r a lo largo de la direccin del eje L , una

    componente i cualquiera ( i x y z= , , ) del campo vendr dada por

    +=

    =+=++=

    ))(cos

    )cos())(cos(),(i

    ioio

    ioioioio

    rklk

    tE

    rklktEklrktEtr

    (3.47)

    L

    ro

    r r l ko= + k

    Z

    X

    Y

    Fig. 3.5 Sistema de coordenadas y convenios de notacin utilizados en elestudio de las caractersticas de las ondas planas uniformes

  • 3 Ondas planas uniformes 225

    Ahora bien, esta expresin tiene la forma general f tl

    v

    , con vk

    = = 1

    (ver expresin (3.26)), y corresponde, por tanto (ver apartado 3.1), a una onda que sepropaga en el sentido de las l crecientes con dicha velocidad. En el apartado 3.1, donde nose especificaba dependencia temporal concreta, no se poda determinar la forma de la

    funcin

    v

    ltf ; vemos as que el rgimen senoidal permanente fuerza a que esa forma

    sea senoidal. En la figura 3.6 se representa una componente del campo en dos instantes detiempo sucesivos. Ntese el paralelismo de esta figura con la figura 3.1 (a) y con la figura3.2 (a): una distribucin de campo que se desplaza hacia la derecha de las figuras; en el casode la figura 3.1 (a) y de la figura 3.2 (a) se represent una distribucin genrica, mientras queen la figura 3. 6 la suposicin de rgimen senoidal permanente impone forma senoidal a ladistribucin: es decir, la dependencia temporal senoidal da lugar, en este caso, a unadependencia espacial tambin senoidal. De hecho, de la inspeccin del tercer miembro de las

    igualdades (3.47) es evidente que, si el perodo temporal es 2

    =T s, el perodo espacial

    ser

    )(2

    mk

    = (3.48)

    tal como se ha indicado en la figura 3.6. El perodo espacial se llama longitud de onda, yrepresenta la distancia entre dos puntos en una direccin paralela a la de propagacin entrelos que la diferencia de fase (argumento del coseno en la expresin (3.47)) de la onda es 2 lo que, desde el punto de vista fsico, dada la periodicidad de las funciones

    Fig. 3.6 Representacin grfica de una componente del campo a lo largo dela direccin L en dos instantes de tiempo

  • 226 Campos electromagnticos

    trigonomtricas, supone el mismo valor de campo. Teniendo en cuenta la definicin (3.26)del nmero de onda k y la de la velocidad de propagacin v (3.15), sustituyndolas en ladefinicin (3.48) de la longitud de onda y teniendo en cuenta que la frecuencia f y lafrecuencia angular (pulsacin) se relacionan mediante f 2= , se obtiene unaexpresin alternativa para la longitud de onda

    f

    v

    k===

    22

    (3.49)

    Siguiendo con el paralelismo con la situacin analizada en el apartado 3.1 y alprincipio de 3.2, notaremos que, puesto que el campo que estamos estudiando cumple, segn

    se ha visto, 0 = kEc

    , y k es un vector real, tendremos

    [ ] 0),()(Re == trkerEk tj (3.50)de donde es evidente que, anlogamente a lo que suceda en esos casos, en que la direccinde propagacin era segn Z , el campo elctrico es tambin ahora perpendicular a ladireccin de propagacin, definida en este caso por el vector k .

    En el ejemplo que sigue se encuentra la direccin de propagacin y la longitud deonda a partir de la expresin del campo elctrico.

    Ejemplo 3.4 Determinar la direccin de propagacin y la longitud de onda de la

    onda plana uniforme cuyo campo elctrico es )(2)( zyjo ezjyjxEE++=

    .

    En el ejemplo 3.3 ya se comprob que dicho campo correspondeefectivamente al de una onda plana uniforme. Se determin al mismo tiempo que

    zyk 22 +=

    . De esta expresin, es inmediato que 2=k , y, por lo tanto,el vector unitario que indica la direccin y sentido de propagacin es

    zyk

    kk

    2

    2

    2

    2 +==

    En la figura 3.7 se representa la relacin entre k y un frente de onda, paralelo al ejeX y que corta a los ejes Y y Z a 45.

  • 3 Ondas planas uniformes 227

    La longitud de onda es, segn (3.48)

    k

    2=

    Si las unidades de x e y en la expresin de E

    vienen dadas en m , las de

    k sern 1m , y tendremosm1=

    Si la propagacin tiene lugar en el vaco, smcv /103 8== , con lo quela frecuencia del generador que est dando lugar a la onda es

    MHzHzm

    smcf 300103

    1

    /103 88

    ====

    En el ejemplo siguiente efectuaremos un ejercicio recproco del anterior: a partir dela especificacin de la direccin de propagacin y de la frecuencia de una onda planauniforme, determinaremos el vector de onda.

    X Y

    Z

    k

    Fig. 3.7 Relacin entre k y un frente de ondapara la onda plana uniforme del ejemplo 3.4

  • 228 Campos electromagnticos

    Ejemplo 3.5 Una onda plana uniforme de frecuencia MHz300 se propaga en el

    vaco en una direccin que forma con los ejes X , Y y Z ngulos 45=x ,60=y y 60=z respectivamente (Fig. 3.8). Determinar el vector de

    propagacin.

    Comprobamos en primer lugar que 1coscoscos 222 =++ zyx , comodebe ser para una direccin bien especificada. Entonces

    zyxzyxk zyx 2

    1

    2

    1

    2

    2coscoscos ++=++=

    El mdulo del vector de onda puede calcularse, segn (3.26), como

    v

    f

    vk

    2==

    Como la onda se propaga en el vaco, smcv /103 8== , y como lafrecuencia es smMHzf /103300 8== , tenemos

    18

    8

    2103

    1032 =

    = mk

    de donde el vector de onda es

    X

    Y

    Z

    6 0=z6 0=y

    k

    4 5=x

    Fig. 3.8 Direccin de propagacin especificada por elenunciado del ejemplo 3.5

  • 3 Ondas planas uniformes 229

    12 ++== mzyxkkk

    La forma del campo elctrico sera

    )2( zyxjc

    rkjc eEeEE

    ++ ==

    con cE

    que satisface 0= cEk

    .

    En cuanto al campo magntico H

    , como ya se coment, obedece tambin a laecuacin de Helmholtz tridimensional, y, de hecho, hubisemos podido iniciar el estudio delas ondas planas uniformes en rgimen senoidal permanente a partir de l, en vez de haberlo

    hecho a partir de E

    , como tambin se coment. No obstante, una vez hemos empezado el

    estudio con E

    , y supuesta ya determinada la forma concreta de ste que corresponde a una

    onda plana uniforme en rgimen senoidal permanente, podemos calcular H

    a partir de E

    utilizando las ecuaciones de Maxwell, como ya se hizo en el estudio del apartado 3.1 paraondas con dependencia temporal arbitraria. En efecto, segn la ley de Faraday

    HjE

    =de donde

    Ej

    H

    =

    y sustituyendo en esta ltima expresin la del campo elctrico correspondiente a la ondaplana uniforme (3.39), se tiene

    ( )rkjceEjrH =

    )( (3.51)

    Ahora bien, segn el clculo vectorial, el rotacional del producto de un escalar porun vector puede escribirse

    bababa

    += )( (3.52)

    Aplicando este resultado al rotacional del producto del escalar rkje por el vector

    cE

    en (3.51), y teniendo en cuenta que cE

    es un vector uniforme, se obtiene

    crkj Ee

    jrH

    =

    )(

    Utilizando ahora el resultado (3.40) en la expresin anterior se llega a

  • 230 Campos electromagnticos

    rkjceE

    krH

    =

    )( (3.53)

    Teniendo en cuenta que kkkk ==

    , y que = el campo magnticopuede escribirse de manera equivalente

    rkjceE

    krH

    =

    )( (3.54)

    o tambin, puesto que estamos partiendo de que rkjceErE =)( ,

    Ek

    rH =

    )( (3.55)

    Cualquiera de las expresiones (3.53) a (3.55) puede utilizarse para calcular el campomagntico de una onda plana uniforme en rgimen senoidal permanente si se conoce sucampo magntico. El ejemplo siguiente ilustra el clculo del campo magntico de una ondaplana uniforme a partir de su campo elctrico.

    Ejemplo 3.6 El campo elctrico de una onda plana uniforme es)(2)( zyjo ezjyjxEE

    ++=

    . Calcular el campo magntico correspondiente.

    Este es el campo elctrico que ya apareca en los ejemplos 3.3 y 3.4, del quesabemos que efectivamente corresponde a una onda plana uniforme que se propaga

    en una direccin y sentido identificados por el vector zyk 2

    2

    2

    2 += . As, el

    campo magntico puede encontrarse directamente por aplicacin de la expresin(3.55):

    ( )

    ( ) )(2

    )(2

    22

    2

    2

    2

    2

    2)(

    zyjo

    zyjo

    ezyxjE

    ezjyjxzyE

    rH

    +

    +

    +=

    =+

    +=

  • 3 Ondas planas uniformes 231

    Por otra parte, del examen de (3.54) est claro que, para una onda plana uniforme enrgimen senoidal permanente

    rkjceHrH

    =)( (3.56)

    donde cH

    es un vector uniforme dado por

    cc Ek

    H

    =

    (a ttulo ilustrativo, en el resultado del ejemplo 3.6, ( )zyxjEH oc 222 +=

    ).

    Utilizando la identidad vectorial

    )()( BACCBA

    =est claro que

    0

    =

    =

    =

    k

    kEEk

    kHk ccc

    (3.57)

    ya que el producto vectorial de dos vectores con la misma direccin es nulo.

    As, de (3.56), vemos que el campo magntico de la onda plana uniforme en rgimensenoidal permanente tiene la misma forma general que el campo elctrico, y la expresin

    (3.57) muestra asimismo que el vector uniforme cH

    de la expresin (3.56) cumple una

    relacin anloga a la ya discutida k Ec =

    0 . Por lo tanto, el campo magntico presentarpropiedades anlogas a las estudiadas para el campo elctrico y, en particular, el campo

    instantneo )(r

    ser perpendicular en todo momento a la direccin de propagacin:

    0),( = trk (3.58)

    Adems

    [ ] ),(ReRe),( trkeEkeHtr tjtj =

    ==

    (3.59)

    luego el campo magntico instantneo

    es perpendicular en todo momento al campo

    elctrico instantneo

    . De hecho, la expresin (3.59) est diciendo que los vectores

    [ ] ,,k estn definiendo un triedro trirrectngulo positivo. Esta situacin se describe

  • 232 Campos electromagnticos

    grficamente en la figura 3.9. Adems, como k es perpendicular a

    , de (3.59) resulta que,en todo instante

    =

    o, lo que es lo mismo,

    =

    (3.60)

    En el caso de que el campo que se hubiese calculado en primer lugar hubiese sido elmagntico, el campo elctrico puede deducirse a partir de aqul siguiendo un procedimientototalmente paralelo al que se sigui para deducir el campo magntico a partir del elctrico.En efecto, en puntos donde no hay densidad de corriente, como en el caso que estamosconsiderando, la ley de Ampre-Maxwell se reduce a

    EjH

    =de donde

    Hj

    E

    =

    (3.61)

    Z

    X

    Y

    k

    Fig. 3.9 Representacin grfica del campo elctrico y magnticoinstantneos de una onda plana uniforme en un punto e instante dados

  • 3 Ondas planas uniformes 233

    Si el campo magntico corresponde al de una onda plana uniforme sabemos que suforma es

    rkjceHrH

    =)( (3.56)

    con cH

    un vector uniforme. Sustituyendo en (3.61) y utilizando (3.52) y (3.40) se obtiene

    kH

    keHeHj

    E rkjcrkj

    c

    =

    ===

    (3.62)

    Como ejercicio, el lector puede comprobar que, si parte de la expresin del campomagntico a que se lleg en el ejemplo 3.6, aplicando la expresin del ltimo miembro de(3.62) recuperar el campo elctrico de los enunciados de los ejemplos 3.3, 3.4 y 3.6.

    Utilizando el hecho de que 0 = kE

    y 0 = kH

    y las propiedades del triple

    producto vectorial, es muy fcil pasar de la expresin de E

    en funcin de H

    a la expresin

    de H

    en funcin de E

    y viceversa, como se discute en el siguiente ejercicio.

    Ejemplo 3.7. Deduccin de la expresin de E

    en funcin de H

    a partir de la

    expresin de H

    en funcin de E

    para una onda plana uniforme.

    Partimos de que, para una onda plana uniforme

    Ek

    rH =

    )( (3.55)

    Multiplicando vectorialmente los dos miembros de la expresin anterior por

    k se tiene

    = EkkrHk

    )(

    y utilizando la identidad

    )()()( baccabcba = (3.63)

    se llega a

    Ek

    kEEkk

    rHk

    == )

    ()(

    )(

  • 234 Campos electromagnticos

    Ahora bien, 0 = Ek

    y 1 = kk de donde

    krHrHkE )()( ==

    como se haba deducido en (3.62).

    El mismo procedimiento puede emplearse para encontrar la expresin de

    H

    en funcin de E

    a partir de la de E

    en funcin de H

    .

    Las ondas planas uniformes en rgimen senoidal permanente pueden utilizarse paraintroducir una serie de elementos terminolgicos que podrn ser utilizados ms adelante enotras situaciones ms complejas. Por ejemplo:

    * Frente de onda: se entiende, en general, por frente de onda el lugar geomtrico de lospuntos del espacio en que una componente cualquiera del campo tiene la misma fase en uninstante dado. Siendo la fase el argumento de las funciones seno o coseno que aparecen en laexpresin de las componentes del campo, la condicin de fase constante es que

    Cterttr == )(),(

    En el caso particular de una onda plana uniforme, += rkr

    )( , con constante, por lo que la condicin anterior se convierte en

    Cterkttr =+=

    ),( (3.64)

    Como el frente de onda se define a partir de una fase uniforme en un instante dado, tes una constante en la expresin anterior; asimismo, como en una onda plana uniforme estambin constante, resulta que un frente de onda viene definido por la condicin

    Cterk =

    que puede ponerse de manera ms explcita, utilizando la definicin de producto vectorial,como

    Ctezkykxk zyx =++

    para ver claramente que se trata de la ecuacin de un plano. Incidentalmente, sa esprecisamente la causa de la denominacin de onda plana. El adjetivo uniforme viene de que,sobre un frente de onda, el campo es uniforme (no vara de un punto a otro). En el captulo 5,dedicado a propagacin guiada, se vern ondas que son planas, pero no uniformes. Al tratarde radiacin en el captulo 6 aparecern ondas esfricas (cuyos frentes de onda son esferas).

  • 3 Ondas planas uniformes 235

    * Velocidad de fase en una direccin dada u : si ahora se deja transcurrir el tiempo,deberemos desplazarnos para que, a medida que el tiempo cambia, la fase permanezcaconstante. La velocidad de fase en una direccin dada es la velocidad ficticia a la que unhipottico observador debera desplazarse en esa direccin para ver siempre la misma fase.

    En el caso de una onda plana uniforme, la fase de una componente arbitraria del

    campo viene dada por (3.64). Si la direccin elegida es la definida por k , los vectores de laposicin del observador hipottico vendrn dados por (Fig. 3.5)

    klrr o +=

    donde or

    es el vector de posicin inicial y l es la coordenada en la direccin k a partir de

    or

    , de manera que la fase en funcin del tiempo y de l vendr dada por

    Cterkklttl o =+=

    ),( (3.65)

    donde se ha tenido en cuenta que kkk =

    . Para permanecer en el mismo frente de onda, l

    debe cambiar de tal manera que sea constante en funcin del tiempo, es decir 0=dt

    d .

    Ahora bien, teniendo en cuenta la expresin (3.65) de la fase, la condicin de derivadatemporal nula resulta en

    0=dt

    dlk

    Pero dt

    dl es precisamente la velocidad

    kv a la que hay que desplazarse a lo largo de la

    direccin k para permanecer sobre el frente de onda, de manera que

    vkdt

    dlv

    k===

    Es decir, los frentes de onda, perpendiculares a la direccin k , se propaganparalelamente a s mismos con velocidad v . Adems, obviamente, la distancia entre dosfrentes de onda sucesivos correspondiente a fases idnticas (salvo un trmino aditivo 2 ) esla longitud de onda .

    Supongamos ahora que la direccin elegida es definida por ku (Fig. 3.10). Ahora,para un observador que se desplace desde el punto de referencia en esa direccin

  • 236 Campos electromagnticos

    ulrr o +=

    donde l es ahora la coordenada segn u . La fase del campo ser ahora, sustituyendo laexpresin anterior en (3.64),

    += orkuklttl

    ),(

    y la condicin para permanecer sobre el mismo frente de onda a medida que transcurre eltiempo es

    0 ==dt

    dluk

    dt

    d

    donde ahora dt

    dles la velocidad uv a la que debera desplazarse segn u el hipottico

    observador. As

    ukkukdt

    dlvu

    =

    ==

    que teniendo en cuenta las definiciones (3.26) de k y (3.15) de v puede tambin escribirse

    Z

    X

    Y

    k

    uor L

    Fig. 3.10 Representacin geomtrica para el clculo de la velocidad defase en la direccin definida por u

  • 3 Ondas planas uniformes 237

    ukvu

    1

    =

    Puesto que 1 uk , resulta que vvu . Esto no contraviene ningn principiorelativista, puesto que uv no corresponde a la velocidad de ningn ente fsico.

    El concepto de velocidad de fase puede parecer artificioso en el contexto de lasondas planas uniformes y, ciertamente, no hubiese sido imprescindible introducirlo para lainteligibilidad del resto del presente captulo; su utilidad aparecer claramente en el captulo5, dedicado a propagacin guiada, en relacin con conceptos de impedancia y de dispersin;introducirlo ahora tiene la ventaja de la simplicidad matemtica de la situacin concreta conque se ilustra.

    En resumen, para una onda plana uniforme en rgimen senoidal permanente que se

    propague en la direccin y sentido indicado por un vector unitario arbitrario k , se tiene

    rkjc

    rkjc

    eHH

    eEE

    =

    =

    con kkk =

    , y cE

    y cH

    vectores (en general complejos) uniformes tales que

    kHE

    Ek

    H

    cc

    cc

    =

    =

    (3.66)

    y

    0

    0

    =

    =

    c

    c

    Hk

    Ek

    (3.67)

    de donde se deduce que [

    ,

    , k ] definen un triedro trirrectngulo positivo (Fig. 3.9).

  • 238 Campos electromagnticos

    3.2.4 Densidad de flujo de potencia asociada a la onda

    Desde el punto de vista de la ingeniera es importante determinar el flujo de potenciaasociado a una onda electromagntica. En su momento se vio que la densidad de flujo depotencia instantneo asociado al campo electromagntico viene dada por

    = (3.2)

    Ahora bien, en rgimen senoidal permanente, los campos instantneos se obtienen a

    partir de los fasores como [ ]tjeEtr Re),( = y [ ]tjeHtr Re),( = . Pero las partesreales anteriores pueden escribirse de manera ms explcita como semisuma del fasor ms suconjugado

    [ ][ ] )(

    2

    1Re

    )(2

    1Re

    *

    *

    tjtjtj

    tjtjtj

    eHeHeH

    eEeEeE

    +=

    +=

    lo que, sustituyendo en (3.2), da

    )(4

    1 2****2 tjtj eHEHEHEeHE +++=

    (3.68)

    Ahora bien, teniendo en cuenta que

    [ ]*** Re2 HEHEHE =+y que

    [ ]tjtjtj eHEeHEeHE 22**2 Re2 =+ la expresin (3.68) se escribe

    [ ] [ ]tjeHEHE 2* Re2

    1Re

    2

    1 +=

    En esta ltima expresin [ ]*Re2

    1HE

    es un vector real independiente del tiempo

    ( E

    y H

    son fasores); por otra parte, HE

    es un vector complejo independiente del tiempoque puede escribirse explcitamente en funcin de sus partes real e imaginaria como

    bjaHE +=

  • 3 Ondas planas uniformes 239

    con a

    y b

    vectores reales independientes del tiempo. Utilizando esta expresin, esinmediato que

    [ ] tbtaeHE tj 2sen2

    12cos

    2

    1Re

    2

    1 2 =

    donde se ve que [ ]tjeHE 2Re2

    1 posee una periodicidad temporal de perodo =pT y,

    por lo tanto, no contribuye a la densidad de flujo de potencia media. sta vendr dada por elvector de Poynting medio

    >==dt

    d el sentido de giro de

    ser contrario

    al de las agujas del reloj, y en el sentido de stas si 0dt

    d ), tg es tambin siempre creciente

    1oE

    2oE

    1E

    2E

    k

    Fig. 3.16 Angulo instantneo que forma el campocon una direccin de referencia

  • 250 Campos electromagnticos

    ( 0tg >dt

    d ), mientras que si lo hacemos en el sentido de decreciente, tg ser siempre

    decreciente.

    As, derivando la expresin de tg y utilizando a continuacin las definiciones (3.74)se tiene

    )(cos

    sen

    )(cos

    )sen(tg

    12

    112

    1

    12

    1

    2

    +=

    +

    =rktE

    prktEE

    E

    dt

    d

    ooo

    o

    Como p , y )(cos 12 + rkt

    son magnitudes positivas, el signo de

    dt

    d tg

    y, por lo tanto, el de td

    d depende nicamente del de sen , es decir, del valor de

    . As, se tendrn las situaciones siguientes:

    0

    dt

    d; as, refirindonos a

    cualquiera de las figuras entre la figura 3.13 y la figura 3.16, el sentido de giro delafijo del campo alrededor de la elipse de polarizacin quedar fijado en sentido

    antihorario (Fig. 3.18). Es de notar que en esas figuras el vector k viene hacia ellector, es decir, se est representando el campo desde la perspectiva de un observadorque ve venir la onda. Obviamente, si la perspectiva del observador fuese la de veralejarse la onda, el sentido de rotacin del campo sera el opuesto: horario o a derechas(para hacerse una idea, basta mirar la figura 3.18 al trasluz desde el otro lado delpapel). En ingeniera, es costumbre, al describir el sentido de giro del campo, hacerlo

    Fig. 3.17 Representacin grfica de tg

    2/ 2/3 2

    tg

  • 3 Ondas planas uniformes 251

    desde la perspectiva del observador que ve alejarse la onda1. As, en este caso,diremos que la polarizacin es a derechas.

  • 252 Campos electromagnticos

    Para recordar cmo hay que definir el sentido de giro de acuerdo con el convenio de laingeniera puede emplearse la siguiente regla mnemotcnica: si se coloca el dedo pulgar deuna mano apuntando en el sentido de propagacin de la onda y se desea que los extremos delos otros cuatro dedos indiquen el sentido de giro del campo, cuando la polarizacin sea aderechas la mano que habr que usar ser la derecha, mientras que habr que emplear lamano izquierda para una polarizacin con giro a izquierdas.

    Como ya se hizo notar en su momento, en el caso que estamos estudiando de ondasplanas uniformes en rgimen senoidal permanente, las caractersticas de la elipse depolarizacin son las mismas en cualquier punto del espacio (aunque los campos instantneosdiferirn en general de un punto a otro, excepto sobre los frentes de onda y en frentes deonda que disten ).

    Ejemplo 3.9 Determinar las caractersticas de polarizacin de una onda plana

    uniforme cuyo campo elctrico viene dado por )(2)( zyjo ezjyjxEE++=

    .

    Se trata del campo elctrico ya introducido en le ejemplo 3.3, para el que yase comprob que corresponde efectivamente a una onda plana uniforme y se

    determin en el ejemplo 3.4 que zyk 2

    2

    2

    2 += . Para expresar el campo en una

    base en la que slo tenga dos componentes, como la de las expresiones (3.71),podemos identificar arbitrariamente xe 1 = . Efectivamente, aunque an noconocisemos k explcitamente, como debe cumplirse 0 = kEc

    y

    )( zjyjxEE oc +=

    (ver ejemplo 3.3), se sigue que 0 = kx . Utilizando laprimera de las relaciones (3.71) se encuentra inmediatamente

    zyeke 2

    2

    2

    2 12 ==

    As cE

    puede escribirse

    )2()2( 22

    121 eeeEejeEEj

    ooc

    +=+=

    Comparando esta expresin con (3.77), se identifica 2=p , 2

    = , de

    donde se deduce que:

  • 3 Ondas planas uniformes 253

    * El ngulo de orientacin, respecto de la direccin definida por xe 1 = , de la elipse

    que describe el campo elctrico es 2

    = . En este caso, al utilizar la expresin

    (3.79) aparecen en principio dos posibles valores para , a saber, 0 y 2

    , ya que

    0cos = y el arcotangente puede valer 0 o . Para decidir entre ellos basta coninterpretar el numerador del argumento del arcotangente como una ordenada y eldenominador como una abscisa. Como el denominador es en este caso negativo, elloindica que el ngulo que hay que tomar es .

    * La relacin axial de la elipse de polarizacin es (expresiones (3.80) y (3.81))

    2=R o dBRdB 3= .

    * El sentido de giro del campo alrededor de la elipse de polarizacin es a izquierdas

    (

  • 254 Campos electromagnticos

    Polarizacin lineal

    Una onda posee polarizacin lineal si en la expresines (3.75) y (3.76) o (3.77) se dauna de las siguientes condiciones:

    0=p o =po

    0= o =

    En cualquiera de esos casos, es fcilmente comprobable que la relacin axial R dadapor la expresin (3.80) se hace infinita, lo que significa que la elipse se reduce a unsegmento.

    Por ejemplo, si 0=p , entonces, segn las expresiones (3.73) y (3.77 a),

    111 1 eCeeEE joc ==

    , y la elipse de polarizacin se reduce a un segmento segn la

    direccin de 1e (Fig. 3.20 (a)). Si 1e fuese paralelo a la tierra, se dira que la polarizacin es

    horizontal . Si =p , entonces, de manera anloga 222 2 eCeeEEj

    oc ==

    , y la elipse de

    polarizacin se convierte en un segmento en la direccin de 2e (Fig. 3.20 (b)). Si 2e fueseperpendicular a la tierra, se dira que la polarizacin es vertical.

    Si 0= o = , segn (3.77 a) se tendr ( )21 epeCEc =

    , o bien,

    teniendo en cuenta que 21 epe es un vector real perpendicular a la direccin depropagacin y llamando e a un vector unitario en la direccin de 21 epe , eCEc '=

    , lo

    que indica que la elipse de polarizacin se reduce a un segmento en la direccin de e (Fig.3.21).

    1oE 1E

    2E

    k1oE

    Fig. 3.20 Polarizacin lineal cuando 0=p (a); =p (b)

    (a) (b)

  • 3 Ondas planas uniformes 255

    En cualquier caso, en una onda plana polarizada linealmente las componentes de las

    partes uniformes de los campos elctrico y magntico, cE

    y cH

    , estarn en fase.

    Ejemplo 3.10 El campo magntico de una onda plana uniforme es)2()2()( zyxjo eyxHrH

    ++=

    . Determinar el tipo de polarizacin del campo.

    Visto el argumento de la exponencial, el vector de onda es el mismo que se

    determin en el ejemplo 3.5, zyxk 2 ++=

    ; se satisface, pues, 0= Hk

    ,por lo que el campo dado corresponde efectivamente al de una onda plana uniforme.

    En este caso se tiene )2( yxHH oc =

    : todas las componentes de cH

    estn en fase, por lo que la polarizacin es lineal. La direccin de la polarizacin de

    H

    viene definida por el vector unitario

    yxyx

    yx

    yxeh 3

    6

    3

    3

    3

    2

    2

    2 ==

    =

    El campo elctrico estar a su vez polarizado en la direccin perpendiculardada por

    zyxzyxyxkee he 6

    33

    6

    3

    6

    6

    2

    1

    2

    1

    2

    2

    3

    6

    3

    3 +=

    ++

    ==

    1oE

    2oE

    1E

    2E

    k 1oE

    2oE

    1E

    2E

    k

    Fig. 3.21 Polarizacin lineal cuando 0= (a); = (b).

    (a) (b)

  • 256 Campos electromagnticos

    Polarizacin circular

    Una onda est polarizada circularmente si en las expresiones (3.75) y (3.76) o (3.77)de los fasores que la representan se encuentra

    1=py simultneamente

    2/ =

    En esas condiciones la relacin axial de la elipse de polarizacin, dada por laexpresin (3.80), se hace 1=R , lo que significa que, al ser sus dos ejes iguales, la elipse seha reducido a una circunferencia. Cabe distinguir dos casos de polarizacin circular; enefecto, atenindonos a la discusin sobre el sentido de giro del campo alrededor de la elipsede polarizacin desarrollada en el apartado 3.3.2, resultar que, si 2/ = , estamos en elcaso de que

  • 3 Ondas planas uniformes 257

    Ya se indic anteriormente, al hablar de la polarizacin de las ondas planas

    uniformes en general, que toda la informacin sobre la polarizacin est contenida en cE

    ;

    as, lo que caracteriza una polarizacin circular es la posibilidad de escribir cE

    como un

    vector proporcional a 21 eje .

    Segn se discuti al principio de la seccin, en el estudio de ciertas situaciones deinters prctico puede resultar conveniente expresar una onda plana uniforme con unapolarizacin arbitraria como superposicin de dos ondas con polarizaciones ortogonales1;por ejemplo, como superposicin de dos ondas polarizadas linealmente segn direccionesperpendiculares, o de dos ondas polarizadas circularmente con sentidos de giro del campoopuestos. La posibilidad de la descomposicin en dos polarizaciones lineales ortogonales esobvia a partir de la expresin

    ( ) rkjj eepeeCrE += 21 )(

    que no es ms que la suma de una onda plana uniforme polarizada linealmente segn 1e :

    rkjeeCrE = 11 )(

    y de una onda plana uniforme polarizada segn 2e :

    1 Atendiendo a la definicin de ortogonalidad de la nota al pie de la pgina 253, los vectores reales 1e

    y 2e son ortogonales, y tambin los son los vectores 21 ee j+ y 21 ee j .

    oE

    oE

    1E

    2E

    k

    oE

    oE

    1E

    2E

    k

    Fig. 3.23 Polarizacin circular a derechas: (a) viendo venir la onda; (b) viendo alejarse laonda

    (a) (b)

  • 258 Campos electromagnticos

    rkjj eepeCrE = 22 )(

    Existen elementos que permiten seleccionar la componente de la onda en unadireccin dada; tales elementos, cuyo principio de funcionamiento, que no ser detalladoaqu, puede variar segn la frecuencia de utilizacin, se llaman polarizadores, y la funcinque realizan se ilustra en el ejemplo siguiente.

    Ejemplo 3.11 Un polarizador es un elemento utilizado para cancelar una de las doscomponentes en que podemos descomponer los campos de una onda plana que loatraviese, de manera que, a su salida, siempre se tendr una polarizacin lineal. Lanica caracterstica que debemos conocer del polarizador, a fin de averiguar cmoser la onda transmitida, es la orientacin de su eje respecto a la direccin depolarizacin de la onda incidente.

    Considrese el esquema mostrado en la figura 3.24. La onda que llega alpolarizador tiene una polarizacin arbitraria, de manera que, segn los ejes elegidos,podremos expresar el campo elctrico en la forma:

    jkzj eyepxErE += )()( 0

    E i

    X

    Y

    Z

    eje de l polar izador

    s

    Fig. 3.24 Anlisis del campo resultante tras atravesar un polarizador

    El eje del polarizador representa la direccin permitida de paso, de formaque cualquier otra componente de campo ser atenuada o reflejada. Segn elesquema esa direccin es

  • 3 Ondas planas uniformes 259

    sencos yxs +=

    Y el campo elctrico de la onda transmitida resulta:

    E r E r s s E pe s ej jkz( ) ( ( ) ) (cos sen ) = = + 0

    Para comprobar que el campo tambin se puede poner como superposicin de ondaspolarizadas circularmente en sentidos opuestos, utilizaremos la observacin anterior de quelo que caracteriza la expresin de una onda plana polarizada circularmente es suproporcionalidad a un vector complejo de la forma 21 eje , donde 1e y 2e son vectoresreales del mismo mdulo y perpendiculares entre s. As, notaremos que el vector 1e puedeescribirse como

    ( ) ( )21211 21

    2

    1 ejeejee ++=

    y, anlogamente

    ( ) ( )21212 21

    2

    1 ejejejeje +=

    Sustituyendo estas expresiones en (3.75) se tiene

    rkjjj eejepejejepejejeejeCrE

    ++++= )(

    2

    1)(

    2

    1)(

    2

    1)(

    2

    1)( 21212121

    de donde, agrupando trminos, se llega a

    rkjjrkjj eejejpeC

    eejejpeC

    rE +++= ))(1(

    2))(1(

    2)( 2121

    que no es ms que la superposicin de una onda polarizada circularmente a izquierdas:

    rkjjI eejejpe

    CrE

    += ))(1(2

    )( 21

    como lo indica el factor 21 eje + y, como lo muestra el factor 21 eje , de una ondapolarizada circularmente a derechas

    rkjjD eejejpe

    CrE

    += ))(1(2

    )( 21

    que es la posibilidad que se quera hacer patente.

  • 260 Campos electromagnticos

    Ejemplo 3.12 Descomponer una onda plana uniforme cuyo campo elctrico es)(2)( zyjo ezjyjxEE

    ++=

    en dos ondas polarizadas circularmente en sentidos

    opuestos.

    Este campo ya fue tratado en el ejemplo 3.9, donde se discuti que unaposible eleccin de vectores unitarios perpendiculares a la direccin de propagacin

    es xe 1 = , zye 22

    2

    22 = . Asimismo se determin que, con esta eleccin,

    2=p , 2

    = . As pues, la onda plana del enunciado puede ponerse como

    superposicin de una onda plana polarizada circularmente a izquierdas cuyo campoelctrico ser

    )(2)2

    2

    2

    2)(21(

    2)( zyjoI ezjyjx

    ErE +++=

    y de una onda plana polarizada circularmente a derechas, con campo elctrico

    )(2)2

    2

    2

    2)(21(

    2)( zyjoD ezjyjx

    ErE ++=

    3.4 Propagacin de ondas planas uniformes en medios con prdidas

    En lo visto hasta ahora, figura la suposicin implcita de que los medios en que sepropagan las ondas electromagnticas no presentan prdidas: la amplitud de las ondas planasuniformes que se han analizado no sufra disminucin alguna a medida que la onda sepropagaba. Esto es una suposicin excelente en el caso de propagacin en el vaco, peropuede dejar de serlo en medios materiales. En lo que sigue discutiremos desde un punto devista macroscpico el origen de las prdidas en medios materiales y analizaremos el efectode esas prdidas en la propagacin de ondas planas uniformes.

    3.4.1 Permitividad y permeabilidad complejas

    Hasta ahora, al considerar la relacin entre los campos instantneos ),( tr

    y

    ),( tr

    por una parte, y ),( tr

    y ),( tr

    por otra, en un medio istropo lineal, se hasupuesto una relacin de proporcionalidad

  • 3 Ondas planas uniformes 261

    =

    =(3.4)

    Sin embargo, sa no es la relacin lineal ms general que se pueda suponer. Enefecto, en la teora de sistemas lineales, una relacin lineal entre una magnitud de entraday una magnitud de salida no se reduce a )()( txkty = , sino que viene dada (Fig. 3.25) por

    = dxthty )()()(

    As, la relacin lineal ms general entre ),( tr

    y ),( tr

    es

    drtrhtr ),(),(),(

    = (3.82)

    donde ),( trh

    es la respuesta impulsional que relaciona en el tiempo la respuesta

    a la

    entrada

    en el punto r

    . La respuesta impulsional pone de manifiesto que el medio, de

    cuya interaccin con el campo

    da una representacin macroscpica, no responde, engeneral, instantneamente a una excitacin; si lo hiciera, la respuesta impulsional tomara laforma particular )()(),( trtrh

    = y encontraramos la relacin manejada hasta ahora

    ),(),( trtr

    = .

    Si suponemos ahora que estamos en rgimen senoidal permanente, podemos denotar

    a los fasores correspondientes por ),( rD

    y ),( rE

    , donde la frecuencia angular se haindicado explcitamente para facilitar la discusin. La relacin (3.82) entre camposinstantneos implica que los fasores, que contienen la informacin de los campos variablescon frecuencia , se relacionan mediante

    ),(),(),( rErrD =

    )(tx)(th

    = dxthty )()()(

    Fig. 3.25 Relacin entre la salida y la entrada de unsistema lineal invariante con el tiempo de respuestaimpulsional )(th

  • 262 Campos electromagnticos

    donde ),( r es la transformada de Fourier de ),( trh

    = dtetrhr tj ),(),(

    y, por lo tanto, una magnitud en general compleja, aunque ),( trh

    es real.

    El hecho de que ),( r sea complejo indica que existe un desfase entre ),( rD

    y ),( rE

    , que es la manifestacin, a nivel macroscpico, de un intercambio de energa entreel campo y la materia a nivel microscpico. En medios materiales en equilibrio trmico, oprximos a l la parte imaginaria de es negativa, por lo que, cuando interesa resaltarexplcitamente el carcter complejo de la permitividad, suele escribirse

    ),(),(),( rjrr ii =

    donde, tanto i como i son positivos. En ese caso, como se ver en el prximo apartado,la interaccin del campo con el medio resulta en cesin de energa del campo a la materia, yse dice que el medio presenta prdidas.

    De manera similar podra razonarse que en la relacin entre los fasores ),( rB

    y ),( rH

    , ),(),(),( rHrrB = , ),( r puede ser, en general, complejo.

    Habitualmente, su parte imaginaria ser tambin negativa, por lo que suele escribirse

    ),(),(),( rjrr =

    con y positivos; de nuevo, esta situacin da lugar a prdidas de energa del campoelectromagntico1 .

    Otra causa de prdidas, que puede tratarse como una contribucin a la parteimaginaria negativa de la permitividad elctrica, es la conductividad del medio con el queinteracte el campo. En efecto, consideremos de nuevo la ley de Ampre-Maxwell enrgimen senoidal permanente en un medio lineal:

    EjJH

    +=

    1 Suministrando energa a ciertos materiales, puede conseguirse que i o i se hagan negativos; enesas condiciones puede llegarse a situaciones en que sea el medio el que ceda energa al campo. Sehabla entonces de un medio activo. Ese es el fundamento de los dispositivos lser.

  • 3 Ondas planas uniformes 263

    Si en el medio no hay fuentes independientes, pero presenta una conductividad finita, la densidad de corriente y el campo elctrico estarn relacionados por la ley de Ohm

    EJ

    =

    Sustituyendo esta ltima expresin de la densidad de corriente en la ley de Ampre-Maxwell, tendremos

    EjEH

    +=

    Sacando factor comn j en el trmino de la derecha, la expresin anterior seescribe

    EjjH

    =

    Comparando esta ltima expresin con la de la ley de Ampre-Maxwell en un mediolineal de conductividad nula:

    EjH

    =

    es obvio que el efecto de la conductividad es funcionalmente el mismo que el de dar lugar a

    una parte imaginaria de valor . Si adems consideramos explcitamente que pueda

    tener una parte imaginaria debida al tiempo de respuesta finito de la polarizacin, la ley deAmpre-Maxwell se escribir

    EjjH ii

    +=

    O bien, definiendo

    i = (3.83 a)

    i += (3.83 b)

    la ley de Ampre-Maxwell termina escribindose

    ( )EjjH = (3.84)

    donde es obvia la contribucin de la conductividad a una parte imaginaria negativa de efectiva.

  • 264 Campos electromagnticos

    3.4.2 Ondas planas uniformes en un medio con prdidas

    En el apartado anterior se razon que los parmetros constitutivos permitividadelctrica y permeabilidad magntica de un medio lineal que aparecen en las ecuaciones deMaxwell en rgimen senoidal permanente pueden ser complejos. Se adelant adems que,cuando la parte imaginaria de esos parmetros es negativa, eso traduce desde un punto devista macroscpico mecanismos de prdidas del medio por los cuales el campoelectromagntico cede energa a la materia. En lo que sigue vamos a ilustrar los efectos deestas prdidas a partir del anlisis del caso particular, pero suficientemente importante por smismo, de la propagacin de ondas planas en un medio lineal y homogneo que las presente.

    Desde el punto de vista matemtico el estudio se hace muy sencillo si notamos que,al escribir las ecuaciones de Maxwell en rgimen senoidal permanente en una regindesprovista de fuentes independientes:

    EjH

    H

    E

    HjE

    =

    =

    =

    =

    0

    0

    la forma matemtica es la misma tanto si y son reales como complejos. Por lo tanto,campos de la forma de los que corresponden a ondas planas uniformes como las estudiadasen el apartado 3.2:

    E r E ec

    j k r( ) =

    rkjceE

    krH

    =

    )(

    siguen siendo solucin de las ecuaciones de Maxwell, sin ms que tener en cuenta que lasconstantes y que aparecen en la definicin del nmero de onda:

    =k

    y en la de la impedancia intrnseca del medio:

    =

    son , en general complejas.

  • 3 Ondas planas uniformes 265

    Aunque la solucin sea formalmente idntica a la considerada hasta ahora para laonda plana uniforme, en que y haban sido tomados como reales, el hecho de que estosparmetros tomen valores complejos tiene consecuencias fsicas que se discuten acontinuacin. Para simplificar matemticamente la discusin, pero sin que ello supongaprdida alguna de generalidad, supondremos propagacin en el sentido de z con lo que

    zkk =

    y que las prdidas del medio slo se manifiestan en una permitividad elctrica

    compleja = j con y positivos. As, tendremos

    zkjceErE

    =

    )(

    zjkceE

    zrH =

    )(

    donde ahora k es complejo por serlo . En efecto, en la figura 3.26 se ilustra de maneracualitativa la relacin entre una permitividad elctrica compleja de parte imaginaria negativa

    y su raz cuadrada: el resultado que hay que tener en cuenta es que la raz cuadrada tambintiene parte imaginaria negativa, por lo que se podr poner

    ( ) jjk === ' (3.85)

    donde 1 y son constantes positivas en el caso comn de que sea positivo. Demanera cuantitativa, teniendo en cuenta que

    1 A pesar de utilizar el mismo smbolo, esta constante no debe confundirse con el ngulo deorientacin de la elipse de polarizacin definido en el apartado 3.3.2.

    ]Re[

    ]Im[

    = j

    j

    Fig. 3.26 Relacin entre un valorcomplejo de permitividad, de parteimaginaria negativa, y su razcuadrada

  • 266 Campos electromagnticos

    ( ) ( )222 ' jjk ==

    se llega, igualando partes reales e imaginarias, al par de ecuaciones

    222 ' = 22 =

    de las cuales se despeja

    [ ] 2/12/122

    1tg1

    ++= (3.86 a)

    [ ])(

    2

    1tg12/12/12

    += signo (3.86 b)

    donde se ha utilizado la llamada tangente de prdidas, que se define como

    =tg

    Ntese que es la fase de la permitividad compleja = j (Fig. 3.26).

    As, los fasores campo elctrico y campo magntico podrn escribirse

    zjzc eeErE

    =

    )( (3.87 a)zjz

    c eeHrH =

    )( (3.87 b)

    con cc Ez

    H

    =

    y cE

    un vector uniforme.

    El factor zje en la expresin de los campos indica que la onda se propaga en elsentido de z con una velocidad de fase (ver los razonamientos efectuados al final delapartado 3.2.3)

    =pv

    Por esta razn se suele llamar constante de propagacin. Sus unidades son las mismasque las del nmero de onda k , o sea, 1m , aunque para distinguir que es la parte real del

  • 3 Ondas planas uniformes 267

    nmero de onda complejo y que, por lo tanto, pone de manifiesto el desfase propio de la

    propagacin, a menudo se le asignan unidades de 1mrad , donde hay que recordar que elradin ( rad ) es una unidad adimensional.

    Asimismo, el factor ze expresa la atenuacin que la onda experimenta a medidaque progresa segn z , razn por la cual recibe el nombre de constante de atenuacin; susunidades son tambin de 1m , aunque a menudo, para distinguirla de la constante depropagacin, se le asignan unidades de 1mneper , donde el neper es, como el radin, unaunidad adimensional.

    De nuevo, aunque toda la informacin sobre los campos en rgimen senoidalpermanente est contenida en los fasores, puede resultar instructivo efectuar unarepresentacin grfica de una componente arbitraria de un campo instantneo para asimilarmejor la situacin fsica. La expresin de dicha componente ser

    )cos( iz

    oii zteE +=

    donde todas las magnitudes que aparecen son reales y oiE , y son positivos. Larepresentacin grfica aparece en la figura 3.27, donde se observa que, a medida que unfrente de onda (un punto de la forma de onda, correspondiente a una fase determinada, en larepresentacin bidimensional de la figura) progresa, la amplitud del campo disminuye; la

    Fig. 3.27 Representacin grfica, en dos instantes sucesivos, deuna componente del campo elctrico instantneo de una ondaplana uniforme que se propaga en un medio con prdidas

  • 268 Campos electromagnticos

    distancia entre puntos sucesivos a lo largo de la direccin de propagacin con la misma faseser

    2=

    mientras que la amplitud de la onda disminuye como ze .

    Es evidente, a partir de las expresiones (3.87), que

    22

    22)()()( zEezEzzE z

  • 3 Ondas planas uniformes 269

    El principio de conservacin de la energa indica, pues, que ha pasado energa de laonda al medio. Se dice que el medio presenta prdidas y que disipa potencia (del campoelectromagntico). La onda va perdiendo la potencia que transporta a medida que se propaga.

    3.4.3 Casos lmite: buen dielctrico y buen conductor

    En el apartado anterior se consider el caso de una onda plana que se propagaba enun medio genrico con prdidas, y se encontraron las expresiones generales con lalimitacin de que las prdidas se manifiesten a travs de una permitividad compleja para laconstante de propagacin y la constante de atenuacin . La constante de propagacindefine la longitud de onda y la de atenuacin el decrecimiento de la amplitud de lascomponentes de los campos a medida que la onda se propaga.

    Resulta interesante encontrar expresiones aproximadas para la longitud de onda y laconstante de atenuacin para dos casos lmite que se encuentran a menudo en situaciones deinters prctico.

    La expresin (3.86 b) indica que, cuanto menor sea la tangente de prdidas de unmedio, menor ser la atenuacin que experimente una onda que se propague por l y, por lotanto, menor la prdida de la potencia que la onda transporta. As pues, cuando se estndiseando sistemas en los que una onda deba propagarse por un medio material, serconveniente que ste presente una pequea tangente de prdidas. Se dice que un medio es unbuen dielctrico cuando se da la condicin

    1tg

  • 270 Campos electromagnticos

    +

    +=

    tg

    2

    1tg

    8

    31 2 j

    donde

    = . En la prctica se toma el valor dado por la expresin (3.89 b) para calcular

    la atenuacin, mientras que la constante de propagacin y la impedancia intrnseca seaproximan por

    k (3.90)y

    Es de notar que en el buen dielctrico, segn las expresiones (3.89 b) y (3.90),

  • 3 Ondas planas uniformes 271

    EE

    >>o, simplemente,

    ii >> , (3.91)

    Ntese que el comportamiento de un medio como un buen conductor depende de lafrecuencia de la trabajo. La expresin anterior supone que en la expresin de la ley deAmpre-Maxwell para un medio con prdidas (3.84) la permitividad compleja = jpodr aproximarse por

    j

    As, el nmero de onda complejo ser

    p

    jjk

    =

    = 1 (3.92)

    donde p es una constante con unidades de longitud que recibe le nombre de profundidadde penetracin. Elaborando la expresin anterior se deduce fcilmente la de p

    fp

    1= (3.93)

    donde es la permeabilidad magntica del medio, su conductividad y f la frecuencia.Identificando en el trmino de la derecha de (3.92) y , segn (3.85), se obtiene

    jj

    p

    =1

    de donde

    p 1=

    p 1=

    La expresin anterior de muestra que la profundidad de penetracin prepresenta la distancia sobre la que la amplitud de los campos de una onda plana que se

  • 272 Campos electromagnticos

    propaga en un buen conductor se reduce en un factor e ; al mismo tiempo, la expresin de indica que la longitud de onda es

    p 22 ==

    Esta situacin se muestra grficamente en la figura 3.30, y las magnitudes tpicas de laprofundidad de penetracin en un conductor real se ilustran mediante el ejemplo siguiente.

    Ejemplo 3.13. Profundidad de penetracin en el cobre.

    El cobre presenta una conductividad de mS /108.5 7= , y es unmaterial diamagntico, por lo que, con buena aproximacin o . Sustituyendolos valores anteriores en la expresin (3.93), se obtiene para el cobre

    mmf

    p

    1,66=

    donde la frecuencia debe expresarse en Hz . As, para Hzf 50= se encuentrammp 35,9= , mientras que para MHzf 500= la profundidad de penetracin se

    ha reducido a mp 96,2= . Esta es la razn por la que, en muchas aplicaciones

    Fig. 3.30 Propagacin de una onda plana uniforme en un buenconductor. Las constantes de propagacin y de atenuacin soniguales

  • 3 Ondas planas uniformes 273

    de radiofrecuencia puede suponerse, por lo menos en primera aproximacin, que loscampos en el interior de un buen conductor son despreciables.

    Resulta interesante tambin examinar a qu frecuencia dejara de cumplirseen el cobre la condicin (3.91). Para ello impondremos la igualdad = ysupondremos que o . Despejando la frecuencia se encuentra que la igualdadanterior se dara para Hzf 1810 que es una frecuencia correspondiente a rayos X.Hay que tomar este clculo con precaucin, porque, conforme la frecuencia aumenta,aparecern fenmenos que harn que los valores considerados para la conductividady la permitividad se aparten de los que se han tomado para el clculo. Sin embargo,el clculo es ilustrativo de que puede esperarse que el cobre se comporte como unbuen conductor hasta frecuencias muy altas.

    Tambin es interesante comparar la profundidad de penetracin p y lalongitud de onda en el conductor p2 con la longitud de onda a la mismafrecuencia en el aire. Tomando la frecuencia de MHz500 , encontramos que en el

    aire pcm >>= 60 . Tomando como medida representativa de las distanciassobre las que el campo vara de manera apreciable en el aire, resulta razonable pensarque, cuando una onda procedente del aire interacte con la superficie de un buenconductor, ste podr considerarse, si se da la condicin p >> , como localmenteplano.

    Si calculamos la impedancia intrnseca del buen conductor, encontramos que, puesto

    que j ,

    +== sRjj )1(

    donde el parmetro sR , con unidades de , se llama resistencia superficial, o resistencia deun cuadrado de superficie. De la expresin anterior, y atendiendo a la definicin de laprofundidad de penetracin p , resulta que

    psR

    1=

    o, teniendo en cuenta la expresin (3.93) de p ,

  • 274 Campos electromagnticos

    f

    Rs = (3.94)

    As, la impedancia intrnseca en un buen conductor tiene una