Recapitulando sobre el modelo de Bohr

SOLO UNAS CUANTAS DE LAS ÓRBITAS DEL ÁTOMO PLANETARIO ESTÁN PERMITIDAS

1) La energía total del átomo de Z protones está cuantizada

)14(,...3,2,1con 2

22

4222

=−

= nhn

meZE

κπ

Dando valores

)14(aJ18.2

2

−=

n

ZEn

Los radios y las velocidades del electrón en las órbitas estacionarias dependen de n

)15(4 22

22

mZe

hnr

κπ=

)16(2 2

nh

Zev

πκ=

Dando valores

)15(pm92.522

=

Z

nrn

)16(m/s10188.26

×=

n

Zvn

n En (aJ) rn (pm) vn (Mm/s)

1 -2.18 52.9 2.18

2 -0.55 211.6 1.09

3 -0.2422 476.2 0.72

4 -0.1362 846.7 0.54

5 -0.0872 1332.9 0.43

La variable de movimiento que adquiere la expresión cuantizada más simple es la cantidad de movimiento angular:

prLrrr

×=

Que para un movimiento circular es un vector perpendicular a la trayectoria, de magnitud

L = mvr

Para el modelo de Bohr, sustituyendo r y v de las ecuaciones (15) y (16), obtenemos:

)17(24

222

222

ππ

πκ hn

mkZe

hn

nh

ZemmvrL =

==

Vemos que la cantidad de movimiento angular es, simplemente, un múltiplo entero de la constante de Planck entre 2π.

El éxito del modelo de Bohr se da al reproducir la ecuación de

Rydberg para el espectro del átomo de hidrógeno.

A partir de 1913, al darse cuenta de la simpleza de la expresión de la cuantización del momentum angular, Bohr propuso un modelo atómico con postulados.

PRIMER POSTULADO. Los átomos monoelectrónicos (H, He+, Li2+, Be3+,…) están constituidos por un núcleo, de carga Ze, con masa M, y por un electrón que gira alrededor de él en una órbita circular de radio r, con carga –e y masa m.

SEGUNDO POSTULADO. La cantidad de movimiento angular, L, del átomo está cuantizada. De los infinitos movimientos orbitales posibles, de acuerdo con el primer postulado, sólo son posibles aquellos para los cuales el momentum angular sea un múltiplo entero de h/2π.

El primer postulado introduce en el modelo la masa reducida del sistema electrón–núcleo:

mM

111+=

µ

mM

Mm

+=µ

Para el átomo de hidrógeno, para el cual el núcleo (protón) tiene una masa 1836.1 veces la del electrón M = 1836.1 m:

mm

mH 9994557.0

1.1837

1.1836 2

==µ

De este par de postulados se derivan las ecuaciones (14), (15) y (16) para E, r y v. pero en E y r con la masa reducida en lugar de la masa del electrón:

)14(2

22

4222

hn

eZEn

µκπ−=

)15(2

22

Ze

hnrn

µκ=

)16(2 2

nh

Zevn

πκ=

)17(2π

hnL =

TERCER POSTULADO. Las órbitas determinadas por el segundo postulado son estacionarias, es decir, el átomo no radía cuando se encuentra en una de ellas. Sólo cuando el átomo cambia de un estado (1) con mayor energía a otro (2) con menor, se emite radiación monocromática cuya frecuencia vale

h

EEnn 21 −

=ν

Empleando la ecuación (14) para En y la ecuación

νν c=

Llegamos a la siguiente expresión para los números de onda de la radiación emitida en el espectro de emisión del hidrógeno:

−=

2

1

2

2

3

4222 112

nnch

eZ µκπν

De donde la constante de Rydgerg se identifica como

1-

3

4222

m109677482

==ch

eZRH

µκπ

La cual es prácticamente igual al valor de la constante experimental: RH = 10967758.1 m-1

MODELO DE BOHR-SOMMERFELD

En 1915, dos años después de presentado el modelo de Bohr, éste fue extendido por A. Sommerfeld y W. Wilson. Estos dos científicos plantearon por primera vez una regla de cuantización de la acción:

νnhEn =

nhEn =ν/

acción = energía x tiempo = energía/frecuencia

energía = masa x velocidad2 = masa x velocidad x longitud/tiempo

acción = masa x velocidad x longitud.

Cada vez que se presente una acción debe hacerse igual a un múltiplo entero de la constante de Planck.

Ejemplo: en el modelo de Bohr la condición de cuantización es:

Acción = mv(2πr) = nh

mvr = nh/2π

MODELO DE BOHR-SOMMERFELD

Sommerfeld y Wilson aplicaron su regla de cuantización a un electrón girando en una órbita elíptica.

En el movimiento elíptico hay dos grados de libertad (hay dos coordenadas: r y ϑ), por lo cual existen dos tipos de acción: la acción radial y la acción angular.

Aplicaron su regla de cuantización a cada una de estas dos acciones, de donde aparecen dos números cuánticos:

...3,2,1,012radialacción ==

−= rr nhn

b

aLπ

...4,3,2,12angularacción === kkhLπ

De estas dos ecuaciones obtenemos que la regla de cuantización impone condiciones sobre la naturaleza de las elipses:

n

k

kn

k

a

b

r

=+

=

Y con ello llegaron a una gran cantidad de órbitas, algunas circulares (cuando k = n) y otras elípticas (cuando k < n):

MODELO DE BOHR-SOMMERFELD

La energía en el modelo de Bohr-Sommerfeld es la misma que en el modelo de Bohr:

( ) 22

42222

hkn

eZE

r +−=

µκπ

Existe una tercera regla de cuantización aplicable, al seleccionar el plano sobre el que gira la órbita elíptica, de la que aparece un tercer número cuántico, m, el número cuántico magnético.

,...3,2,1cos2orbitalacción ±±±=== mmhL θπ

Vemos que aparecen tres números cuánticos en el modelo de órbitas elípticas de Sommerfeld y Wilson.

EXPERIMENTO DE FRANCK Y HERTZ

En 1914, James Franck y Gustav Hertz hicieron un experimento que demostró que la energía de los átomos estaba cuantizada, al excitar a los átomos mediante colisiones.

La colisión se producía entre electrones a alta velocidad que se hacían estampar contra átomos de sodio.

Franck y Hertz demostraron que los átomos de sodio podían ser excitados una energía de 2.1 eV = 3.36 x 10-19 J.

Esto demostró la cuantización de la energía atómica mediante experimentos que no tenían que ver con la absorción o emisión de luz, sino la absorción de cantidad de movimiento.

EXPERIMENTO DE MOSELEY

Entre 1913 y 1915, Henry Moseley hizo experimentos de emisión de rayos X. Los rayos X son emitidos por los elementos al hacer incidir electrones de alta energía sobre ellos.

Se emiten por lo menos dos tipos de rayos X, los rayos X duros o radiación K y los rayos X blandos o radiación L.

En 1913 Moseley completó los experimentos con los elementos del calcio al zinc y encontró que estaba faltando un elemento después del calcio:

EXPERIMENTO DE MOSELEY

La hoy llamada ley de Moseley indica los números de onda de la radiación X contra el número atómico:

( )2σν −= ZAR

Para la radiación Kα, Moseley encontró A=3/4 y σ=1

( )21

4

3−= ZRKν

Esta figura muestra que la frecuencia de emisión X no tiene nada que ver con los electrones externos de los átomos, pues no revela ningún comportamiento periódico, sino que depende exclusivamente del número atómico, por lo cual se estima que depende en todo caso de los electrones más cercanos al núcleo.

A y σ tomaban otros valores para la radiación L (A=5/36, σ=7.4)

( )24.7

36

5−= ZRLν

EXPERIMENTO DE MOSELEY

Interpretación del experimento.

A pesar de que el modelo de Bohr sólo sirve para átomos hidrogenoides, sirvió para interpretar el experimento de Moseley.

Uno de los electrones que coliden con los átomos logra la ionización de uno de los electrones de la capa K (la primera órbita) del átomo.

Entonces, uno de los electrones de la capa L (la segunda órbita) tomo el lugar del electrón ionizado y emite radiación X cuando pasa de la segunda a la primera órbita. Cuando lo hace, siente la atracción de Z-1 protones, ya que se encuentra presente el segundo electrón de la capa K.

Colocando Z=Z-1 en la ecuación de Bohr para ν

( ) ( )2

22

21

4

3

2

1

1

11 −≈

−

+−= ∞ ZRR

mM

MZν

Hacia 1915, Moseley había encontrado otros elementos ausentes en la naturaleza: Tc (Z=43), Pm (Z=61) y Hf (Z=72).

Moseley muere en 1915, en la Segunda Guerra Mundial, donde peleaba del lado de los ingleses.