2Ley de Hooke - Solicitación Axil

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Ley de HOOKE Es la ecuación básica de la Resistencia de Materiales ε = α . σ α = coeficiente de proporcionalidad El coeficiente α corresponde a un valor de deformación específica unitaria, ε que se corresponde a un valor de tensión normal σ unitaria. Su valor depende de las características del material que se trabaje. Por ser muy pequeño su valor, se trabaja con la inversa α = 1 / E ε = σ E = Módulo de Young o E Módulo de elasticidad longitudinal

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Ley de Hooke

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  • Ley de HOOKE

    Es la ecuacin bsica de la Resistencia de Materiales

    = .

    = coeficiente de proporcionalidad

    El coeficiente corresponde a un valor de deformacin especfica unitaria, que se

    corresponde a un valor de tensin normal unitaria.

    Su valor depende de las caractersticas del material que se trabaje.

    Por ser muy pequeo su valor, se trabaja con la inversa = 1 / E

    = E = Mdulo de Young o

    E Mdulo de elasticidad longitudinal

  • Es la primera constante elstica y la ms importante

    Para el caso de distorsiones puras, la ley de Hooke se transforma en

    = G = Mdulo de elasticidad transversal ( 2 constante elstica)

    G La 3 constante elstica es coeficiente de Poisson, que relaciona las deformaciones

    especficas unitarias longitudinales con las transversales.

    Toda deformacin especfica en una direccin, produce otra de signo contrario, en

    planos normales, cualquiera sea el estado de tensin.

    t

    =

    l

  • La 4 constante elstica, es la Deformacin Volumtrica

    Un cubo de aristas de longitud unitaria, se deforma en forma positiva en las tres

    direcciones, o sea que

    = L = x ; y ; z L

    z

    z

    1

    1 x x

    0

    1

    y

    y

  • Vo = 1

    Vf = ( 1 + x) ( 1 + y) ( 1 + z)

    V = Vf - Vo = ( 1 + x) ( 1 + y) ( 1 + z) - 1

    V = 1 + x + y + z + x y + z x + y z + x y z 1

    Despreciando infinitsimos de orden superior

    V = x + y + z

    Haciendo V / V

    V = x + y + z = 1 + 2 + 3

    Por comparacin con las ecuaciones de los invariantes de tensin

    Las cuatro constantes elsticas dependen exclusivamente del material que se trate, y se

    relacionan entre si, no son independientes unas de otras,

  • LEY DE HOOKE GENERALIZADA

    Partimos del cubo elemental de aristas unitarias

    Producto de las tensiones experimentar

    alargamientos especficos unitarios

    x y z .

    Por accin del coeficiente de

    Poisson, las deformaciones

    en x no se deben solo a las

    tensiones x ; sino tambin a

    las y y z

    z z

    x

    x

    y

    y

  • x = x - (y + z )

    E E

    Y = Y - (X + z )

    E E

    Z = Z - (y + Y )

    E E

    O sacando factor comn 1/ E

    x = 1 [ x - (y + z )]

    E

    Y = 1 [ Y - (X + z )]

    E

    Z = 1 [ Z - (y + Y )]

    E

  • RELACIN ENTRE G Se analiza en un estado plano de resbalamiento puro - x = y sobre un prisma cuadrado

    de espesor unitario

  • Estado inicial: x = - y Las semi diagonales OA = OB = OC = OD = 1

    y las caras del elemento cuadrado orientadas a 45 de los ejes x e y

    Sobre ellas actan tensiones = x = y

    Luego de la deformacin, el prisma pasa a A B C D

    Los corrimientos sern:

    AA = BB = x CC = DD = y

    Las distorsiones vendrn dadas por

    ACO = ( / 4 ) ( / 2 )

    Pero tg [ ( / 4 ) ( / 2 )] = 1 + x

    1 + y

  • Luego

    tg ( / 4 ) tg( / 2 ) = 1 + x

    1 + tg ( / 4 ) tg( / 2 ) 1 + y

    Pero tg ( / 4 ) = 1 y tg( / 2 ) ~ ( / 2 )

    Entonces

    1 - ( / 2 ) = 1 + x

    1 + ( / 2 ) 1 + y

    y teniendo en cuenta de las ecuaciones generales

    x = 1 [ x - y ]

    E

    Y = 1 [ Y - X ]

    E

    y como x = - y Podemos escribir

  • x = x [ 1 + ]

    E

    Y = y [ 1 + ]

    E

    Como se plante x < 0 y y > 0 tendremos x < 0 y y > 0

    Volviendo al desarrollo y analizando en

    1 - ( / 2 ) = 1 + ( - x) / 2 = x

    1 + ( / 2 ) 1 + y

    Obtenemos

    x = x [ 1 + ] = / 2 y reemplazando en

    E

    = x = y y en = / G

    = [ 1 + ]

    2 G E

    finalmente

  • E

    G =

    2 ( 1 + )

  • PROPIEDADES MECNICAS DE LOS MATERIALES

    Objetivo:

    Desarrollar ensayos que nos permitan determinar el comportamiento del material, a la

    vez que hallar los valores de las constantes elsticas.

    Se somete el material a un estado de tensin simple, vlido para todos sus puntos.

    ENSAYO DE TRACCIN SIMPLE:

    a)Probeta circular de acero, de medidas normalizadas

    b)Se mide la traccin que se ejerce

    c)Se verifica el alargamiento producido

    d)Se grfica el ensayo de tensin deformacin

    e)Se determina E

    TIPOS DE MATERIALES:

    Dctiles , Frgiles, Plsticos

  • Material Dctil

    Se distinguen 3 zonas:

    a) Elstica: Zona recta donde se verifica la validez de la ley de Hooke, y que

    sirve para su determinacin. tg = / = E hasta el valor P Termina en un valor de elasticidad, E donde a pesar de no verificarse la linealidad

    entre tensiones y deformaciones, se observa que al descargar el material, el mismo

    vuelve a su estado inicial, no existiendo deformaciones residuales. Es en general

    nuestra rea de trabajo.

    b) Fluencia: Se caracteriza por un aumento de deformaciones en ausencia de un

    incremento de tensiones, y oscila entre un valor mximo / mnimo denominados fl superior e inferior

    La velocidad de la aplicacin de la carga, el tipo de cabeza de la probeta y las

    variaciones de seccin por error en el maquinado, las condiciones superficiales, la

    existencia de rayaduras y picaduras, influyen sobre estos valores.

    c) Plstico : Zona de grandes deformaciones, hasta alcanzar la rotura mecnica R

    primero y la fsica despus.

    Al alcanzarse el valor, R se produce la estriccin del material, se reduce la seccin

    del material ante el aumento de carga, aumentando entonces las tensiones

  • DIAGRAMAS IDEALES

    MATERIAL SIN LIMITE MATERIAL DCTIL MATERIAL FRGIL

    FLUENCIA DEFINIDO

  • DIAGRAMA TENSIN DEFORMACIN PARA EL ACERO

  • Endurecimiento mecnico: Al descargar el material una vez superado el lmite de

    fluencia, el material queda deformado, y al volver a cargarlo, desaparece el perodo

    de fluencia y se incrementa el valor de p ( de 2200 a 4000 kg/cm2).

    El material se endurece y se transforma en un material frgil sin perodo de

    fluencia.

    Cuando descargamos el material, la deformacin acumulada se reduce ante el retiro

    de la carga y al volver a cargarlo recorre la misma recta ya que el material es el

    mismo.

    En la prctica existen 2 procesos mediante le cual se consigue el endurecimiento

    mecnico:

    a) Laminacin en fro, aplicable a planchuelas, flejes o perfiles

    b) Trafilado : para el endurecimiento de alambres y barras circulares

    Estos materiales, as como los aceros duros o de alto contenido de carbono se

    caracterizan por

    Limite de proporcionalidad y de elasticidad ms elevados que para los aceros

    duros

    No poseen lmite de fluencia

    La deformacin de rotura, se reduce considerablemente.

  • 4800 kg / cm R

    P 4000 kg / cm2

    12 a 15 %

  • Lmites aparentes de fluencia

    Existen dos mtodos basados ambos en

    deformaciones

    Limite Johnson:

    Se define como el valor de la tensin normal

    para el cual en el punto correspondiente del

    diagrama , la pendiente de la tangente

    a la curva es un 50 % menor que la

    tangente al origen

  • Lmite 0,2 %:

    Se utiliza para determinar el

    lmite de fluencia consistente en establecer

    el valor de la tensin para la cual la

    deformacin especfica permanente o residual

    que queda al descargar el material, tiene un

    valor determinado, que para los aceros se acepta

    universalmente en 0,2 %.

  • CARACTERSTICAS MECNICAS DE LOS

    MATERIALES Rigidez: capacidad de los materiales para oponerse a las

    deformaciones.

    Se lo mide a partir del valor de su mdulo de elasticidad. A

    mayor E menor deformable es el material

    Ductibilidad: Capacidad del material de deformarse en el perodo

    plstico. A mayor capacidad de deformarse antes de romperse,

    ms dctil es el material.

    Resiliencia: Capacidad de un material para restituir la energa

    almacenada durante la deformacin elstica. Se mide en

    unidades de energa por unidad de volumen.

    Grficamente queda representada por el rea del triangulo

    encerrado por la recta de la ley de Hooke y el eje de abscisas.

    u = 2e / 2 E

  • Tenacidad: Capacidad de un material de almacenar energa en el perodo

    anelstico, hasta alcanzar la rotura.

    Su valor viene dado por el total del rea encerrada por el diagrama tensin

    deformacin y el eje de abscisas hasta la deformacin de rotura.

    Dureza: Capacidad de un material para resistir acciones mecnicas del tipo

    abrasin, punzonado, incisin y corte. Se la determina experimentalmente a partir

    del ensayo de dureza de Brinell o el de Rockwell.

    Ejemplos:

    Las mquinas herramientas necesitan ser duras para evitar el desgaste prematuro, y

    rgidas, para evitar fallas de precisin en el maquinado

    La ductibilidad es necesaria para piezas sujetas a aumentos bruscos de tensin,

    piezas sujetas a tensiones secundarias no previstas o a piezas que presentan

    concentracin de tensiones. }el material al estar en condiciones de deformarse ante

    la aparicin de estas tensiones, evita la falla.

    La resiliencia es til para aquellas partes mecnicas sujetas a cargas de impacto o

    dinmicas. Resortes, Pistones, Bielas etc.

    La tenacidad de un material es un ndice de si una carga dinmica puede ser

    absorbida con seguridad, Se analiza en la fabricacin de rieles, engranajes, ejes etc

  • COEFICIENTE DE SEGURIDAD Dimensionar una estructura, es darle medidas a la seccin transversal de modo tal que

    las tensiones de cualquier ndole no superen los valores mximos admisibles.

    Estos valores admisibles nos garantizan que las tensiones y las deformaciones

    quedaran acotadas por debajo de ciertos valores lmites.

    Para materiales dctiles, el lmite de tensiones es el valor de fluencia o el de

    elasticidad, en funcin de la importancia del proyecto.

    La utilizacin del coeficiente de seguridad , se da en base a los siguientes tems:

    -Materiales no absolutamente homogneos

    -Desconocimiento exacto de las propiedades mecnicas

    -Exactitud en el clculo de las cargas

    -Procedimientos de clculo con aproximaciones e idealizaciones

    Factores que afectan el coeficiente de seguridad:

    -Se basan en la ignorancia y en la incertidumbre

    -Ignorancia: de nuestro conocimiento, de los procedimientos de clculo, hiptesis

    supuestas de reaccin de las estructuras frente a un estado de cargas determinado,

    errores de clculo

  • Incertidumbre: se refiere a las variables imposibles de establecer con exactitud

    tales como la evaluacin de las cargas actuantes, el conocimiento exacto de la

    calidad de los materiales, las suposiciones planteadas.

    El avance de ciencia de los materiales, y los modelos asistidos por computadora,

    han logrado realizar obras con mayor esbeltez y sin embargo con igual factor de

    seguridad.

    En los materiales dctiles en rgimen elstico

    = fl / ADM

    Otro aspecto a tener en cuenta en un proyecto, es el destino y la permanencia de la

    obra, y los defectos propios en la ejecucin de la obra.

  • DIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES Los esfuerzos caractersticos son cuatro

    ESFUERZO NORMAL O AXIL

    MOMENTO TORSOR

    MOMENTO FLEXOR

    ESFUERZO DE CORTE

    Todos surgen solos o combinados de considerar la reduccin al baricentro de la

    mitad derecha de las fuerzas actuantes, representadas por una combinacin de

    fuerza y/ o momento

  • Mf 2

    Q

    2

    EL EQUILIBRIO INTERNO EN UN SLIDO DE ALMA LLENA:

    Se refiere al equilibrio entre las acciones exteriores o de masa y las reacciones en el interior del slido

    N Mt

  • Se plantea el equilibrio de fuerzas entre acciones y reacciones a lo largo de todo el area

    En el eje x = dN = dF

    En el eje y = dQy = xy dF

    En el eje z = dQz = xz dF

    N = F dF

    Qy = F xy dF

    Qz = F xz dF

    y de momentos

    Mt = Mx = F (xy . z + xz . y ) dF

    My = F . z dF

    Mz = F . y dF

  • Se plantea el equilibrio de fuerzas entre acciones y reacciones a

    lo largo de todo el area

    En el eje x = dN = dF

    En el eje y = dQy = xy dF

    En el eje z = dQz = xz dF

    N = F dF

    Qy = F xy dF

    Qz = F xz dF

  • Para el equilibrio de los momentos se plantea

    Mt = Mx = F (xy . z + xz . y ) dF

    My = F . z dF

    Mz = F . y dF

  • ESTADOS DE TENSIN 1)Defina las 4 caractersticas del slido ideal

    2)Qu diferencia hay entre fuerzas de superficie y de masa? ejemplifique

    3)Defina el concepto de tensin en un punto

    4)A qu se denomina rgimen de tensin en un punto?

    5)Qu son las tensiones normales y tangenciales? Como se las sub indica y cual es la

    convencin de signos para cada una de ellas.

    6)Defina el teorema de Cauchy y demustrelo a partir del equilibrio del cubo elemental

    sujeto a tensiones

    7)Estado triple de tensiones: planteo del equilibrio del tetraedro elemental, determinar

    las expresiones de , y .

    8)Tensiones y planos principales. Planteo de la ecuacin caracterstica para el estado

    triple de tensiones.

    9)Determinacin de las tensiones y direcciones principales

    10)Tensiones tangenciales mximas para el estado triple

    11)Defina y plantee, el concepto de invariantes de tensin

    12)Crculo de Mohr para el estado triple: justificacin, construccin y resolucin

  • ESTADOS DE DEFORMACIN 13) Defina el concepto de deformacin especfica unitaria y de distorsin angular

    14) Deformaciones especficas y distorsiones mximas y mnimas

    15) Planteo y resolucin de la circunferencia de deformaciones

    RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES

    1)Defina la ley de Hooke, justifique su validez y plantee el valor y significado de las 4

    constantes elsticas.

    2)Ley de Hooke Generalizada: enunciado y justificacin

    3)Relacin entre E, G y : Demostracin analtica

  • PROPIEDADES MECNICAS DE LOS MATERIALES

    19) Diagrama tensin deformacin: Grfico, explicacin, tipos de materiales y sus

    grficos, lmite Johnson, lmite 0,2

    20) Caractersticas mecnicas de los materiales : Enunciado, grficos, ejemplos.

    Coeficiente de seguridad: definicin, factores que lo afectan

    21) Planteo de las ecuaciones de equilibrio, para un slido de alma llena.

  • SOLICITACIN AXIL TRACCIN Y COMPRESIN SIMPLE

    DEFINICIN: Cuando al reducir al baricentro de la seccin de todas las fuerzas actuantes a un lado, obtenemos nicamente una fuerza normal al plano de la seccin.

    Esta situacin se repite para todas las secciones del slido.

    P NP P

    S

  • PLANTEANDO LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO, OBTENEMOS

    1) N = F x dF

    2) 0 = F xy dF

    3) 0 = F xz dF

    4) 0 = F (xy . z + xz . y ) dF

    5) 0 = F x . z dF

    6) 0 = F x . y dF

  • HIPTESIS:

    a) Ley de Hooke

    a)Principio de Saint Venant:

    Si se reemplazan las fuerzas que actan sobre una zona reducida de la

    superficie de un slido elstico por otro sistema estticamente equivalente

    actuando en la misma zona, este cambio origina una modificacin

    sustancial en el estado de tensin local, pero no influye en el estado de

    tensin en secciones ubicadas a una distancia que, en comparacin con las

    dimensiones lineales de la zona de carga, sea grande.

    En la zona extrema solo hay tensiones en el baricentro, resultando los dems

    puntos libres de tensiones. A medida que nos alejamos, la distribucin de tensiones

    se va modificando hasta una distancia equivalente a la mxima dimensin lineal

    del rea extrema.

  • Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant Fecha de nacimiento: 23 de agosto 1797 en Villiers-en-Bire, Seine-et-Marne, Francia Muri: 06 de enero 1886 en St Ouen, Loir-et-Cher, Franci

  • A partir de esa distancia, admitiremos que la distribucin de tensiones no vara y por lo

    tanto se acepta que las secciones normales se mantienen planas y paralelas a si

    mismas luego de la deformacin.

    Luego: si las secciones se mantienen planas y paralelas existen dos posibilidades

    a)Que las distorsiones angulares son nulas

    = 0 implica que es 0

    Con lo cual se anularan las ecuaciones 2) 3) y 4)

    b) Que las distorsiones angulares son constantes y del mismo signo

    = cte implica que es cte

    Ello implicara que

    0 = xy F dF

    0 = xz F dF

    Como xy es constante y no puede ser 0, implica que

    0 = F dF o sea rea = 0 lo cual es una incongruencia

  • Por lo tanto se define que las xz = xy = 0 ya que la seccin no puede ser nula.

    Nos falta demostrar la nulidad de las ecuaciones 5) y 6)

    Producto de la deformacin la longitud L se incrementa un L.

    FIBRA: sobre una superficie se considera un elemento dF, que al ir desplazndose la

    seccin, genera un cilindro elemental de base dF y altura igual a la longitud del

    slido.

    Para el caso la fibra a-a sufrir una deformacin especfica de valor

    a = L / L y para todas las fibras es constante

    s s s

    a a

    P P

    s s s

    L L

  • = E = cte

    Entonces la 1)

    N = F dF = N/ F ecuacin fundamental de la solicitacin axil

    Por ser constante, al reemplazar en las ecuaciones 5 y 6 obtenemos

    5) 0 = F z dF

    1)0 = F y dF

    Que son los momentos estticos del rea de la seccin con respecto a los ejes y y z.

    Como estos ejes son baricntricos, su momento esttico es nulo, lo que satisface las

    ecuaciones anteriores.

    De la ecuacin fundamental observamos:

    a)Que las tensiones son de valor constante para todos los puntos de la seccin.

    b)Permite realizar el dimensionamiento de una seccin

    Fnec N / adm

    c) Permite verificar una seccin.

    adm N / F =

  • DEFORMACIONES EN LA SOLICITACIN

    AXIL El alargamiento o acortamiento de una barra sometida a solicitacin axil viene dado

    por

    = L = .

    L E

    Pero = N / F

    L = N

    L EF

    L = N . L

    E . F

    La deformacin especfica unitaria longitudinal ser entonces:

    l = N . y la transversal t = - N .

    E F E F

  • REGIMEN DE TENSIONES PARA UN PUNTO DE UN

    SLIDO SOMETIDO A SOLICITACIN AXIAL

    = X cos

    2

    = X sen 2

    2

    Por ser un estado uniaxial

    x = 1

    2 = 0

    mx,mn = X en planos a 45 y 135 respectivamente

    2

  • INFLUENCIA DEL PESO PROPIO EN SOLICITACIN AXIL

    Se parte del anlisis de una barra de seccin constante F

    suspendida del extremo superior, de longitud l y sometida

    a la accin de una fuerza P. Se considera que es el peso

    especfico del material.

    A una distancia x, la fuerza valdr

    N = P + F x

    y la tensin correspondiente

    x = N = P + x

    F F

    Para x = 0 ; x = o

    o = P / F entonces

    x = o + x que ser mxima para x = l

    mx = o + l

    l

    N x

    P

  • Dimensionamiento

    F = P

    MX - l

    y como adm MX

    F = P

    adm - l

    Nos dice que el lmite mximo de la columna de seccin constante es

    adm = l l mx = adm /

    Por ejemplo, si la barra fuera de acero, adm = 2400 kg/cm2 ; = 7850 kg/ m3

    l mx = 3057,32 m

  • DEFORMACIN DE UN SLIDO DE SECCCIN

    CONSTANTE TENIENDO EN CUENTA EL EFECTO

    DEL PESO PROPIO Analizamos la misma barra de seccin constante

    La longitud inicial del elemento es dx, y esta a x

    de distancia del extremo libre. Acta tambin

    una fuerza P.

    El alargamiento de ese elemento diferencial vendr

    dado por

    dx = dx

    E

    de la expresin

    X = P + F x

    F

    dx = (P + Fx) dx

    E F

    dx

    x

    P

  • Integrando entre 0 y l para toda la longitud de la barra

    l = 1 ol (P + F x) dx EF

    l = 1 (P l + F l2) EF

    o sea

    l = P l + l F l

    EF EF 2

    El efecto del peso propio en la deformacin, equivale a colocar en el extremo libre,

    una carga puntual de valor la mitad del peso propio

  • Tensiones por variacin de temperatura en una viga

    doblemente emprotrada

  • Sea una barra de longitud l, seccin F y mdulo E, sometida a un oincremento de

    temperatura.

    Si no existiera elempotramiento, sufrira un alargamiento de valor:

    l = l T

    = coeficiente de dilatacin trmica propio de cada material

    Para evitar ese desplazamiento aplicamos un l' = X l / EF

    Para restituir el equilibrio, l + l' = 0

    l T + X l / EF = 0 X = - T E F

    y la tensin normal necesaria

    = - T E

    Para un incremento de temperatura T es positivo lo que produce una de

    compresin