2da Practica

SEGUNDA PRÁCTICA DE

DINÁMICA

1.- En el mecanismo de la figura la barra OA, de longitud

ℓ, se mueve con ω y α conocidas. El cursor D describe

una circunferencia de radio r. Determinar para la

posición indicada (Las tres barras, en el instante de la

figura, forman ángulos de 60o con la dirección

horizontal, o eje x, BC = BD = 2ℓ ):

a).- La velocidad angular (usando el método de los

centros instantáneos de velocidad nula) y la aceleración

angular de la barra AB.

b).- La aceleración normal del punto D.

Solución

1).- Determinación de los centros instantáneos de velocidad nula.

2).- Calculo de las velocidades angulares y la velocidad de C.

(Unidades de aceleración angular)

3).- Calculo de le aceleración angular de la barra AB

a).- Calculo de la aceleración angular de la barra CD

Igualando componente en

(Unidades de aceleración angular) y

(Unidades de aceleración)

b).- Calculo de la aceleración de “B” como parte de la barra CD y tomando como punto base a “C”.

………………………………………..….(1)

c).- Calculo de la aceleración de “B” como parte de la barra AB y tomando como punto base a ” A”

………………..(2)

(1)= (2) Igualando las componentes en

2.- El brazo telescópico DC del dispositivo

considerado gira con velocidad angular ω constante

y conocida; simultáneamente se alarga con

velocidad v constante y conocida. El disco ②, de

radio r, está en contacto sin deslizamiento con la

barra ① en el punto A. En el instante de la figura

el ángulo en B es recto. Determinar, en base de la

proyección indicada, los valores ω1 y ω2, de la

barra ① y del disco ② respectivamente.

Solución

1).- Calculo de la velocidad de “C” , si D´ pertenece a (3) coincidente con D y

Si:

…………………. (1)

2).- Calculo de la velocidad de “C”; tomando como punto de referencia a “A”.

,si

…………………(2)

Igualando (1) y (2)



3.- Las palas ③ del ventilador de eje CD son

propulsadas por el motor ②, que se mueve con ω

constante y conocida con respecto a la plataforma ①.

La transmisión del movimiento es mediante una correa

que es accionada por la polea de radio r del motor. La

polea del ventilador es de radio kr. La plataforma ①

está girando alrededor de un eje vertical fijo con Ω

también constante y conocida. Determinar en el instante

considerado:

a).- La aceleración angular del sólido ③ y aceleración

del punto E.

b).- La aceleración del punto G de la correa, la cual

tiene inclinación θ respecto al eje y.

Datos: AB = d, BC = h, AF = DC = ℓ, DE = R, FG = b.

Solución

1).- Calculo del movimiento angular de las palas ③

a) Cálculo de la velocidad de la faja (no hay deslizamiento) en ①

b) Cálculo de la velocidad angular de ③ con respecto al marco ①.

c) Cálculo de la velocidad angular de ③ respecto al marco inercial

d) Cálculo de la aceleración angular de ③respecto al marco inercial


2).- Calculo de la aceleración del punto “E”

Luego:


3).- Calculo de la velocidad de “G”

a) Calculo de la aceleración de “G” respecto a la plataforma

b) Calculo de la aceleración de “G” respecto del marco inercial


lA

0

l

l

B VB

C VC

C1

θ

θθ

x

y

SEGUNDA PARÁCTICA DE DINÁMICA

Fecha: 01 de marzo del 2008

1.- En el dispositivo de la figura, B y C

son pasadores, el disco de centro C rueda

sin deslizar en el contacto D, y la barra

④ desliza dentro de la guía ⑤ , cuyo

pasador A está montado sobre la barra

OB. Se conocen ω1 y α1. Determinar en

el instante considerado:

a) Velocidad angular de la barra ④.

b) Aceleración angular de la barra BC

Si: OA = , AB = 2 , ∠ O = ∠ Q = 90°

Solución

1).- Cálculo de la velocidad angular de la barra ④

a) Determinación del Ci2 (centro instantáneo de velocidad nula) de la barra ② y cálculo de la

velocidad de C, como parte de la barra ②:

El Ci2 de BC debe estar en C C 1 (por

linealidad de centros instantáneos de velocidad

nula), solo si puede dar el caso en que 0=C

V ,

lo que no es (no puede haber dos centros

instantáneos); por lo que el Ci2 estará en el

infinito, luego en este instante CBVV = .

0 2 =∴ ϖ

C B 1 V V 3 iω= = ……… (1)

b) Cálculo de la velocidad de “C” tomando como marco móvil ⑤ ( 54 ωω = )

( ) ( )____ ____ ____ ____ __

C A 4 AC C/5 1 4 /5V V k r V k cos sen j cossen C

i i V i sen jω ω ω θ θ θ θθ

→ →

= + × + = + × + + +

( ) ( )→

+++−= jsenViVCC

θθωθωω 5/4

__

5/41

____

C cotcosV ………………………………… (2)

(1) = (2)

112

22

412

2

441 3cos

- 3cos

ωωθ

θθωω

θ

θωωω −=

+→=−−

sen

sen

sen

→

−=→= ksensen θωωθωω 2

1

__

4

2

14 2 2-

θ

θωθθω

24C/55/4

cosV 0cot

sensenV

C −=→=+

(Unidad de velocidad angular)

2).- Calculo de la aceleración angular de la barra BC.

a).- Cálculo de la aceleración de “C” como parte de la barra BC.

( )0

2 2

2 1 13 3 cosC B BC BC BC BC

a a r r i j k i sen jsen

α ω α ω α θ θθ

= + × − = − + × −

( ) ( )→→

−++= jiaBCBCC

2

11

__

3cot3 ωααα ……………………………………….. (3)

b).- Cálculo de la aceleración de “C” como parte del disco ③ en rodamiento sobre una

superficie cóncava hacia abajo:

Si: rr

VC 13

3ωω ==

Luego: jr

irjr

riraC

2

1

2

32

22

13

2

99

2ωα

ωα

−=×−= ……………………….. (4)

(3) = (4) e igualando componente en “Y”

2

1

2

12

96

2

93 ωθθωα ⋅

−=×

−= tg

r

rtg

rBC

si: r 22 =→=r

θωθωα tgtgBC

2

1

2

12

3

2

96−=×

−=

( )2 2 2

3 33 3

2C t n

C

r ra r e e r i j

r

ω ωα α

ρ= + = −

2

1

22

1

21

22

9

2

93cot ωωωαθ

rrBC

−=−=−

θ

R

rV

A

VC

l

i

AV

ktgBC θωα 2

12

3−= (Unidad de velocidad angular)

2.- La rueda dentada ① engrana con

la rueda dentada ③, que es solidaria

de la barra AB. La manivela OA no

está acoplada con ninguna rueda. Si

se hace girar la rueda ① con ω1 y

α1 conocidas, determinar en el

instante considerado, usando el método de los centros instantáneos de

velocidad nula, la velocidad de A..

Solución

1).- Determinación del Ci de ③ y cálculo elementales.

Si: θcos

rROB

+==

a).- Cálculo de las velocidades.

rR

R

R

R

C

V

ic

C

+−=

−

==)cos1(

cos

cos

2

2

1133

θ

θω

θ

ωω

rRSen

R

+=

θ

θω2

2

1 cos (Unidad de velocidad angular)

−−

−== rR

R

RCiAVA

θθ

θωω

coscos

cos1

1

−−

+

+= rR

rR

rRsen

RVA

θθ

θω22

2

1

cos

cos (Unidad de velocidad)

30º30º

30º

30º

b

r

ω1/OA

ωOA/F

ω1 F

z

yx

l

3.- El cono ① se mueve sin

deslizamiento sobre el cono fijo ②.

Ambos conos tienen una abertura de

120°. El ángulo φ girado por la recta

CA, perpendicular al eje z, viene

dado en función del tiempo por la

expresión φ = ½kt donde k es

constante. Sabiendo que CA= ,

determinar para el instante de la

figura en función del tiempo t, la:

a) Velocidad angular del cono móvil

y velocidad angular del mismo cono

en torno de su eje OA.

b) Aceleración angular del cono

móvil.

c) Velocidad y aceleración del punto

B del cono móvil.

Solución

1).- Cálculo de la velocidad angular del cono ①. El cono se mueve alrededor de un punto fijo

“o”

a) Si: 1 10 //D OD OD

V r rω ω→ →

= = × ⇒

b) 1 1 OAF OA F

ω ω ω→ → →

= + …………………………………………………………(1)

La figura es referencial

30º30º

sen rr sen

= → =

33

34

2

3º60

×

×==→=

bb

rsen

4 3

3OB

b r= =

En (1):

Si: tk=φ

→→→→→

−

+=

− kksenjksenj

OAF

0º30º30cosº30º30cos 11 ωω

F

A

Igualando componentes:

1 1 130º 30ºF OA F

sen sen k t k tω ω ω− = − → =

Luego:

( )ksenF

30jcos30ºkt 1 −=ω (Unidad de velocidad angular)

( )ksenjktOA

º30º30cos1 +=ω (Unidad de velocidad angular)

2).- Cálculo de la aceleración angular del cono ①:

Derivando (1) respecto al tiempo.

1 1 1OA OAF OA OAF F

ω ω ω ω ω= + × +

__ __

1 cos30º 30 cos30º 30ºF

k j sen k kt k kt j sen k k kω→ →

= − + − × + −

→

+−+°== ksenkjkitkF

)º301(º30cos30cos__

22

11

__

ωα (Unidad de aceleración

angular)

3).- Calculo de la velocidad de B.

→

×−=×= kksenjktrV OBF

B 3

34)º30º30(cos

_________

1

__

ω

(Unidad de velocidad)

4).- Calculo de la aceleración de B.

____

1

____

1

___

11

______

1

__

BF

OBOBFF

OBB Vrrra ×+×=

××+×=

→

ωαωωα

→→

×

+−+=× kbksemkjkitkrOB )º301(30cos30cos

__22

______

1α

OAOAF1

111 F

º30cosº30cos ωω

ωω =→=

iktiktVB 22

3

3

34 ___

==

→

−= jtbkibk º30cosº30cos 22_

( )iktksenktr jBF

2º3030cos_

__

1 ×

−=×

→→

ω

→→

−−= ktbkjsemtbk º30cosº30º30cos 22222

Luego:

( )→

−+−= ktbkjsentbktbkibkaB

º30cosº30º30cosº30cosº30cos 222_

2222____

( )__

22_

2222____

322 ktkjtktkikaB −+−=

__

22_

22____

332 ktkjtkikaB −−= (Unidad de aceleración)

SEGUNDA PRÁCTICA DE DINÁMICA

1.- El mecanismo de la figura está formado por tres ruedas

dentadas. Las ruedas ① y ③ giran alrededor de O con

velocidad angular constante, mientras que la rueda ② se

mueve con la única restricción de no deslizamiento en los

puntos de contacto con ① y ③. Se sabe que R = 2r y que Ω

= 2ω. Se pide:

a).- El tiempo necesario para que la rueda ② dé una vuelta

completa alrededor de O.

b).- Hallar la aceleración E

a en el caso particular que Ω = 0.

Solución

Se tiene tres cuerpos en movimiento en el plano, ① y ③ con movimiento alrededor de un eje fijo

que pasa por O y el cuerpo ② en movimiento general en el plano con rodamiento con los cuerpos

① y ③.

1).- Cálculo del tiempo necesario para que la rueda ② de una vuelta completa alrededor de O.

a).- La rueda ② da una vuelta completa, cuando su centro C lo da también en OC, luego:

( )

( )2 22 2 6

OC C CC

r r rT

V VV

R r

ππ π π

ω

+= = = =

+

……………………………………….…..(1)

b).- Cálculo de la velocidad C

V :

i).- Tomando como punto de base a E:

2 2C E EC OE ECV V k r k r k rω ω= − × = −Ω × − ×

( )2 22 5 2 10 2C

V k r i k r i r j r jω ω ω ω= − × − × − = − + ……………….……………………(2)

ii).- Tomando como punto base a A:

2 2 22 2C A AC

V V k r k r i k r i r j r jω ω ω ω ω= − × = × − × = − ……………………….….…..(3)

(2) = (3)

2 2 210 2 2 4 11r j r j r j r j r rω ω ω ω ω ω− + = − → =

2

11

4ω ω= (Unidades de velocidad angular)

En (2);

x θ

11 9 9

10 2 *4 2 2

C CV r r j r j V rω ω ω ω

= − + = − → =

(Unidades de velocidad)

En (1):

( )6 4

9 32

r rT

r

π

ω ω= = (Unidades de tiempo)

2).- Cálculo de la aceleración E

a :

a).- Cuando 0Ω = , ② tiene un rodamiento sobre una superficie cóncava hacia arriba, luego:

2 2 2

2 2 2

2 101 ( ) 1 2

3 3C i E

c

R ra a R i r i r i

rω ω ω

ρ

= = + − = − + = −

…………………….(3)

b).- Cálculo de 2ω , para el caso de 0Ω = y 1ω ω= :

Si: A

V rω= y ( )2 22 4A

V R rω ω= =

2 244

r rω

ω ω ω= → =

En (3):

2

210 5*

3 16 24E

a r i r iω

ω= − = − (Unidades de aceleración)

2.- El disco mostrado rueda sobre la superficie plana

con una velocidad angular antihoraria de 10 rad/s. La

barra AB se desliza sobre la superficie del disco en A.

Determine la velocidad angular de la barra AB.

Solución

Usando el método escalar, de poner los puntos importantes en función de un parámetro:

1).- En el triángulo ABC:

a).- Por la Ley De cósenos:

2 2 2 21 2 2*2* cos 4 cos 3 0x x x xθ θ= + − → − + = ………………………………….(1)

b).- Por la Ley de Senos:

2 1

0.35355 20.70545

sensen sen

θ θθ

= → = → = °°

En (1):

2

2 3.742 3.742 4*33.742 3 0 1.871 0.7076

2x x x

± −− + = → = = ±

1 2.5786x = pies (bueno)

2 1.1634x = pies (no)

2).- Cálculo de la velocidad angular de la barra AB:

a).- Derivando (1), respecto al tiempo:

2 4 cos 4 0x x x x senθ θ θ− + = …………………………………………………………(2)

b).- Cálculo de x :

Si:

10*1 10x rω= = = pies/s

c).- Cálculo de AB

θ ω= , para el caso especifico de 1 2.5786x = pies y 20.705θ = ° :

En (2):

( )10* 2.5786 2 cos 20.705 2*2.5786 20.705 0sen θ− ° + ° =

3.881θ = − rad/s ( )

3.- En el dispositivo de la figura, la

plataforma ④ gira con Ω constante conocida.

El disco ③ gira con velocidad angular p,

también constante y conocida, respecto a la

manivela ② por acción del motor que hay

en ella. El contacto en D es sin

deslizamiento. La barra ① de conexión tiene

rótulas en B y en A. El collar B desliza a lo

largo de la guía vertical, no pudiendo rotar

alrededor de la misma. Determinar, para el

instante considerado:

a).- La velocidad y aceleración angulares del

disco ③.

b).- La velocidad de B usando el método

equiproyectivo sobre la línea de unión.

Solución

1).- Cálculo de la velocidad angular de ③:

a).- por el teorema de adición:

3 3 2 22

p j kω ω ω ω= + = + ……………………………………………………………..(1)

b).- Cálculo de la velocidad de D, como parte del cuerpo ③, en movimiento general en el

espacio:

( ) ( )3 2 3 2 22D E ED OE ED

V V r r r k d j p j k r kω ω ω ω ω= + × = × + × = × + + × −

22D

V d i r p iω= − − ……………………………………………………………………(2)

c),- Cálculo de la velocidad de D, como parte del cuerpo ④, en movimiento alrededor de un

eje fijo:

2 2D CD

V r k d j d i= Ω× = Ω × = − Ω …………………………………………………….(3)

(2) = (3):

2 2

22 2

2

d p rd r p d

dω ω

Ω −− − = − Ω → = (Unidades de velocidad angular)

Luego en (1):

3

2

2

d p rp j k

dω

Ω −= +

(Unidades de velocidad angular)

2).- Cálculo de la aceleración angular del cuerpo ③.- Derivando (1) respecto al tiempo:

0

3 3 3 2 3 2 2 22 2

o

k p j p iω α ω ω ω ω ω ω= = + × + = × = −

3

2

2

d p rp i

dω

Ω −= −


3).- Cálculo de la velocidad de B, usando el método pedido:

a).- Cálculo de la velocidad de A:

2 2 2A OAV r k d j d iω ω ω= × = × = − (Unidades de velocidad)

b).- Cálculo de la componente de la velocidad de A en AB:

( )( ) 2

2 22 2 2A A AB

AB

V V r d i d i d j d r k dω ω= = − − − + − =i i …………………………..(4)

c).- Cálculo de la componente de la velocidad de B en AB:

( )( ) ( )2 2 2B B AB B B

AB

V V r V k d i d j d r k d r V= = − − + − = −i i ……………………….…(5)

(4) = (5):

( )( )

2

22

2

22 2

2B B

dd d r V V

d r

ωω = − → =

− (Unidades de velocidad)

( )

( )

( )

2

22 2

2 2B

d d d p rV k k

d r d r

ω Ω −= =

− − (Unidades de velocidad)

2da Practica

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