Spiegelung an einer Ebene

Ebene ~u(~r − ~r0) = 0 → Ax+By + Cz +D = 0Fur P ′(P ((~x))) : ~x′ = ~x + (−1) ~u

|~u|2a, dabei ist a

der Abstand zwischen der Ebene und dem Punkt P (~x) a =(|Ax+By+Cz+D|)√

A2+B2+C2→ ~x′ = ~x− 2a ~u

|~u|

Inversion

J =

−1 0 00 −1 00 0 −1

(2.15)

Drehinversion

I = Azn · J =

cos(ϕ) sin(ϕ) 0− sin(ϕ) cos(ϕ) 0

0 0 1

−1 0 00 −1 00 0 −1

(2.16)

2.6.2 Die zehn Punktgruppen-Symmetrieoperationen

Dies sind die 1-, 2-, 3-, 4- und 6-zahligen Drehachsen und ihre zugehorigen Drehinversions-achsen

Alle in einem Kristall vorhandenen Symmetrieoperationen bilden eine mathematische Grup-pe, eine so genannte Symmetriegruppe. Aus diesen zehn Symmetrieoperationen ergeben sich

31

32 mogliche Symmetriegruppen, die im Falle von Kristallen als Kristallklassen bezeichnetwerden.

2.6.3 Objekte mit den funf kubischen kristallographischen Punktgruppen

Links oben ist die Schonflies-Nomenklatur der Symmetriegruppe und rechts unten die internationale

Nomenklatur (1, 2, 3, 4...p p-zahlige Drehachse; 1, 2, 3, 4...p p-zahlige Inversionsachse; m Spiegele-

bene; p/m p-zahlige Drehachse mit senkrechter Spiegelebene). Die verdeckten Seiten ergeben sich

durch eine Rotation um 120◦ an der im ersten Bild eingezeichneten Raumdiagonalen.

2.6.4 Die Nomenklatur der kubischen kristallographischen Punktgruppennach Schonflies

unechte Operation Diese fuhrt ein rechtshandiges System in ein linkshandiges uber undumgekehrt.

Oh ist die volle Punktsymmetriegruppe eines Wurfels einschließlich der unechten Operatio-nen, welche die horizontale Spiegelebene zulasst (4 drei- und 3 vier-zahlige Drehachsen,wie beim Oktaeder, zusatzlich eine horizontale Spiegelebene)

O ist die volle Punktsymmetriegruppe eines Oktaeders einschließlich der unechten Opera-tionen (4 drei- und 3 vier-zahlige Drehachsen, wie beim Oktaeder).

Td ist die volle Punktsymmetriegruppe eines Tetraeders einschließlich der unechten Opera-tionen (4 drei- und 3 zwei-zahlige Drehachsen, wie beim Tetraeder, zusatzlich einediagonale Spiegelebene).

T ist die volle Punktsymmetriegruppe eines Oktaeders ohne die unechten Operationen (4drei- und 3 zwei-zahlige Drehachsen, wie beim Tetraeder).

32

Th umfasst neben den Operationen von T auch noch Inversionsoperationen (4 drei- und 3zwei-zahlige Drehachsen, wie beim Tetraeder, zusatzlich eine horizontale Spiegelebe-ne).

2.6.5 Die Nomenklatur der nicht-kubischen kristallographischenPunktgruppen nach Schonflies

Cn Diese Punktgruppe enthalt nur n-zahlige Rotationsachsen.

Cnv Zusatzlich zu den n-zahligen Rotationsachsen besitzen diese Punktgruppen auch nochv Spiegelebenen, in denen die Rotationsachse liegt (verikal).

Cnh Diese Punktgruppe enthalt neben der n-zahligen Rotationsachse auch noch eine Spie-gelebene senkrecht zur Rotationsachse (horizontal).

Sn Diese Punktgruppen enthalten nur eine n-zahlige Rotations-Reflexions-Achse.

Dn Zusatzlich zu einer n-zahligen Rotationsachse n zwei-zahlige Rotationsachsen senkrechtzu der n-zahligen Achse.

Dnh Diese Punktgruppe weist die hochste Symmetrie auf. Neben denDn Symmetrien besitztsie noch jeweils eine Spiegelebene senkrecht zu den Rotationsachsen (horizontal).

Dnd Diese Punktgruppe enthalt neben den Elementen von Dn noch zusatzlich Spiegele-benen, in der die n-zahlige Rotationsachse liegt, und die den Winkel zwischen zweizwei-zahligen Rotationsachsen halbiert (diagonal).

33

2.6.6 Die 27 nicht-kubischen kristallographischen Punktgruppen

Die Seiten auf der Ruckseite lassen sich durch eine Rotation um die n-zahlige Rotationsachseerzeugen, die bei allen Darstellungen vertikal steht.

34

2.6.7 Die 32 Kristallklassen

Nr. Kristallsystem Schonflies Hermann und Laue-SymmetrieMauguin

1 Triklin C1 12 Ci 1 13 Monoklin C2 24 Cs m5 C2h 2/m6 Orthorhombisch D2 2227 C2v mm28 D2h mmm mmm

9 Tetragonal C4 410 S4 411 C4h 4/m 4/m12 D4 42213 C4v 4mm14 D2d 42m15 D4h 4/mmm 4/mmm16 Trigonal C3 4317 C3i 3 318 D3 3219 C3v 3m20 D3d 3m 3m21 Hexagonal C6 622 C3h 623 C6h 6/m 6/m24 D6 62225 C6v 6mm26 D3h 62m27 D6h 6/mmm 6/mmm28 Kubisch T 2329 Th m3 m330 O 43231 Td 43m32 Oh m3m m3m

1, 2, 3, 4...p p-zahlige Drehachse; 1, 2, 3, 4...p p-zahlige Inversionsachse;m Spiegelebene; p/mp-zahlige Drehachse mit senkrechter Spiegelebene.

2.6.8 Einfuhrung von zusatzlichen Translationssymmetrieelementen

Die Gleitspiegelebene

Hierbei wird zu einer Spiegelung an einer Ebene auch noch eine Verschiebung entlang dieserEbene durchgefuhrt.

35

Die Schraubenachse

In diesem Fall kommt zu einer Drehung um eine n-zahlige Achse noch eine Verschiebungentlang der Drehachse. Dabei muss zwischen den beiden Drehrichtungen unterschieden wer-den.

Damit ergeben sich 230 Raumgruppen

36

Konzept der Kristallsymmetrien und deren Beschreibung

Hierarchie der Kristallsymmetrien

So lasst sich nun eine Hierarchie der Kristallsymmetrien fur die sieben Kristallsysteme ange-ben:

37

Das kubische Gitter weist die hochste Symmetrie auf. Die Symmetrie nimmt in der Reihezum triklinen Gitter hin ab, welches die niedrigste Symmetrie aufweist. Das hexagonale unddas trigonal (rhomboedrische) Gitter spielen eine gewisse Sonderrolle.

2.6.9 Punktgruppen und Raumgruppen

Die vorher angesprochenen Raumgruppen lassen sich wie folgt zusammensetzen:

Punktgruppen aus den sieben Kristallsystemen

Gitteranzahl Gitter Punktgruppen gesamte Punktgruppen

1 Triklin 2 22 Monoklin 3 64 Orthorhombisch 3 122 Tetragonal 7 141 Hexagonal 7 71 Rhomboedrisch 5 53 Kubisch 5 15

14 Bravais-Gitter 32 61

Durch hinzufugen der Gleitspiegelebenen und der Schraubenachsen ergeben sich dann die230 Raumgruppen.

2.7 Beugung an periodische Strukturen — reziprokes Gitter

2.7.1 Allgemeine Betrachtungen

Allgemeine Methoden zur Strukturanalyse:

durch abbildende Methoden

• hochaufgeloste Elektronenmikroskopie

Gitterstorungen in YBCO durch Ionenbeschuss Metallnanopartikel

38

• Feldionenemission (FIE)

FIE-Aufnahme eines BCC-Kristalls FIE-Aufnahme eines BCC-Kristalls

• Rastertunnel- und Rasterkraftmikroskopie

STM-Aufnahme von Si(111) AFM-Aufnahme von Graphit

durch Beugungserscheinungen

• Rontgenstrahlung

• Elektronenstrahl

• Neutronenstrahl

• Atom-/Ionenstrahl

In Beugungsexperimenten hangen die Mechanismen, welche die Streuung verursachen vonder “Strahlung” ab, die verwendet wird:

• Neutronen werden so gut wie nicht nicht an den geladenen aber sehr leichten Elektronengestreut, sondern an den schweren Kernen (10−15m) → naherungsweise Punktstreuer.

• γ-Quanten und Elektronen wechselwirken mit der Ladung der Elektronenhulle (10−10m)→105mal großer.

• Die Masse der im Strahl verwendeten Teilchen spielt ebenfalls eine wichtige Rolle, dahierdurch der Impulsubertrag bei gegebener Energie bestimmt wird.

• Wechselwirkungsmechanismus ist auch von Bedeutung (elastische oder inelastischeStreuung)

39

Gemeinsame Theorie fur alle genannten Beugungsprozesse (Quasiklassisch,allerdings Teilchen als Welle)

Die Auflosung der Methode wird durch die de Broglie-Wellenlange der eingesetzten Strah-lung bestimmt:

• γ-Quanten: E = ~ω;ω = 2πcλ → E = 2π~c

λ → λγ = 2π~cE → λγ = 6,62×10−34Ws2·3×108m/s

E/1,6×10−19AsV=

12,4AE/keV

• Neutronen / Elektronen / Atome:

E = p2

2m ; mit p = ~k und k = 2πλ ergibt sich λ = h

p → E = ~2

2m1λ2 → λ h√

2mE

Elektronen mE = 9, 1× 10−31kg → λE = 12,3AE/eV

Neutronen mN = 1, 7× 10−27kg → λN = 0,29AE/eV

Heliumkerne mHe = 6, 7× 10−27kg → λHe = 0,14AE/eV

2.7.2 Energieabhangigkeit des Probenstrahls zur Strukturanalyse

Benotigte Energie um eine Auflosung von 1A zuerreichen:

Helium: 20meV (300K)

Stickstoff: 100meV (1200K)

Elektronen: 200eV

γ-Quanten 20keV

40

2.7.3 Beschreibung der Beugung

Eine Kugelwelle geht von Q aus und ist bei |~R| � |~r| naherungsweise eine ebene Welle mitder Amplitude A (z.B. elektrische Feldstarke) und der Intensitat A · A∗ = I im streuendenMedium an der Position ~p gilt:

Ap(~p, t) = A0e(i ~k0(~R+~r)−iω0t) (2.17)

Das streuende Medium an der Position ~p streut die Welle an der komplexen Streudichte ρ(~r)und verursacht eine Anderung der Welle. Von dem Streuzentrum geht eine Kugelwelle aus,die durch die einfallende Welle angeregt wird:

AB( ~B, t) = Ap(~r, t)ρ(~r)eik|

~R′−~r|

| ~R′ − ~r|(2.18)

Fur ein festen Ort ~p hat ~k die Richtung von ~R′ + ~r somit kann man auch schreiben:

AB( ~B, t) = Ap(~r, t)ρ(~r)e(i

~k·( ~R′−~r))

| ~R′ − ~r|(2.19)

Im Fall großer Entfernungen lasst sich nahern:

AB( ~B, t) = Ap(~r, t)ρ(~r)1R′e(i

~k·( ~R′−~r)) (2.20)

mit der gleichen Richtung fur alle Orte ~p. Durch einsetzen von Gl. (2.17) in Gl. (2.20) ergibtsich:

AB( ~B, t) = A0e(i ~k0·(~R+~r)−iω0t)ρ(~r)

1R′ei

~k·( ~R′−r~r) (2.21)

=A0

R′ei(

~k0·~R+~k· ~R′)e−iω0tρ(~r)ei~r·(~k0−~k)

Um nun die gesamte Welle am Ort des Beobachters zu erhalten, muss man uber das gesamtestreuende Volumen integrieren:

AB( ~B, t) =A0

R′ei(

~k0·~R+~k· ~R′)e−iω0t

∫ρ(~r)ei~r·(~k0−~k)d~r (2.22)

Ist ρ(~r) zeitunabhangig und die Zeitabhangigkeit enthalt ausschließlich ω0, dann handelt essich um einen elastischen Prozess und es gilt Energieerhaltung. Im Allgemeinen ist ρ(~r, t)

41

nicht nur orts- sondern auch zeitabhangig, wenn z.B. eine Anregung des streuenden Mediumsstattfindet. Dies hat zur Folge, dass auch Frequenzen ω 6= ω0 auftreten.

Der Beobachter misst nicht Amplituden, sondern Intensitaten, fur die gilt:

I( ~K) ∝ |AB|2 ∝ |∫ρ(~r)e−i~r· ~Kd~r|2 (2.23)

mit dem Streuvektor ~K = ~k − ~k0.Dies kann als Fouriertransformierte der Streudichte ρ(~r)bezuglich des Streuvektors ~K angesehen werden. Das hat folgende Konsequenzen:

• Je kleiner die Strukturen in ρ(~r), desto großer muss ~K gewahlt werden, z.B. durchVergroßerung ~k0.

• Die Unmoglichkeit, die Amplitude als Funktion von Ort und Zeit zu messen, macht diewesentliche Schwierigkeit der Strukturanalyse aus. Aus der Amplitude ließe sich durchinverse Fouriertransformation direkt die Streudichteverteilung ρ(~r) bestimmen.

• Wegen der Nicht-Eindeutigkeit zwischen Intensitat und ρ(~r) ist man darauf angewie-sen, Annahmen fur die Strukturen oder weitere Messungen zu benutzen, um einenAusgangspunkt fur die Struktur zu haben, die dann durch die Messergebnisse ange-passt werden kann.

2.7.4 Periodische Strukturen und reziprokes Gitter

Wiederholt sich die Streudichte periodisch mit einer Periode von a, so gilt (zunachst in einerDimension):

ρ(x) = ρ(x+ na) mit n = 0,±1,±2, . . . . (2.24)

Damit lautet die Entwicklung in eine Fourier-Reihe:

ρ(x) =∑

n

ρnei(n2π

a )x (2.25)

und die Erweiterung auf drei Dimensionen:

ρ(~r) =∑

~G

ρGei ~G·~r. (2.26)

Dabei muss ~G bestimmte Bedingungen erfullen, damit eine Translationsinvarianz bezuglichaller Gittervektoren

~rn = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 (2.27)

gegeben ist. Somit muss fur ~G gelten:

~G · ~rn = 2πm. (2.28)

Wobei m ganze Zahlen fur n1, n2 und n3 darstellt. Nun lasst sich der Vektor ~G nach einerBasis ~g zerlegen:

~G = h~g1 + k~g2 + l~g3 (2.29)

42

mit den ganzen Zahlen h, k, l. Die Bedingung (2.28) bedeutet im Fall n2 = n3 = 0:

(h~g1 + k~g2 + l~g3)n1~a1 = 2πm. (2.30)

Mit beliebigem n1 kann dies nur erfullt sein, wenn

~g1 · ~a1 = 2π und ~g2 · ~a1 = ~g3 · ~a1 = 0 (2.31)

ist. Allgemein muss gelten:~gi · ~aj = 2πδij . (2.32)

Die dadurch definierte Basis ~g1, ~g2, ~g3 spannt das so genannte reziproke Gitter auf. Es istjedem Gitter eindeutig zugeordnet und seine Gitterpunkte werden mit den Zahlen h, k, lbeschrieben.

Die Konstruktionsvorschrift lasst sich unmittelbar aus Gl. (2.32) ableiten. So steht derVektor ~g1 senkrecht auf der von den Vektoren ~a2 und ~a3 aufgespannten Ebene und dessenBetrag ist gegeben 2π

a1 cos ^(~g1,~a1) .

~g1 = 2π~a2 × ~a3

~a1 · (~a2 × ~a3)

~g2 = 2π~a3 × ~a1

~a2 · (~a3 × ~a1)(2.33)

~g3 = 2π~a1 × ~a2

~a3 · (~a1 × ~a2)

2.7.5 Streuung an periodischen Strukturen

Die Fourier-Entwicklung der Streudichteverteilung ρ(~r) wird in die Gleichung (2.23) fur dieStreuintensitat eingesetzt, wobei wieder der Streuvektor ~K = ~k − ~k0 verwendet wird:

I( ~K) ∝ |A0|2

R′2

∣∣∣∣∣∣∑

~G

ρG

∫ei(

~G− ~K)·~rd~r

∣∣∣∣∣∣2

. (2.34)

43

Fur einen ausgedehnten Kristall, bestehend aus vielen Elementarzellen, liefert das Integralnur fur ~G = ~K einen von Null verschiedenen Beitrag, da es in Komponenten ausgeschriebendie δ-Funktion darstellt. Sein Wert entspricht dann dem Streuvolumen V . Das bedeutet:

∫ei(

~G− ~K)·~rd~r ={V fur ~G = ~K∼ 0 sonst

(2.35)

Somit ergeben sich nur dann Beugungsreflexe, wenn die Differenz ~k − ~k0 zwischen einfal-lendem und auslaufendem Strahl gerade Gleich ~G ist. Daher ergibt sich fur die Intensitat:

I( ~K = ~G) ∝ |A0|2

R′2|ρG|2V 2 (2.36)

Die Intensitat ist somit proportional dem Quadrat des Streuvolumens. Allerdings nimmt dieBreite der Reflexe mit der Große des Streuvolumens V −1 ab. Damit nimmt die integraleStreuintensitat pro Reflex linear mit dem Streuvolumen zu — wie es zu erwarten ist.

Jeder Reflex lasst sich uber die Zahlen h, k, l (~G = h~g1+k~g2+l~g3) eindeutig identifizieren,sie werden daher zur Identifikation benutzt. Fur negative Werte wird dann h, k, l verwendet.Es lasst sich so formulieren:

Ihkl = |ρhkl|2 (2.37)

Fur den Fall, dass keine Absorption stattfindet, ist die Streudichte ρ(~r) eine reellwertigeFunktion und somit ergibt sich wegen Gl. (2.26):

ρhkl = ρ∗hkl. (2.38)

Fur die Intensitaten folgt:

Ihkl = Ihkl (Friedelsche Regel) (2.39)

Dies hat die Konsequenz, dass das Beugungsbild ein Inversionszentrum aufweist, selbst wenndie ursprungliche Kristallstruktur diese Symmetrie nicht aufweist.

Betrachtet man die Bedingung,

~G = ~K, (2.40)

die auch als Laue-Bedingung bekannt ist, etwas genauer, so lasst sich daraus direkt dieEwald-Konstruktion ableiten.

44

Die Konstruktion:

1. ~k0 wird vom Ursprung aus in das reziproke Gitter eingezeichnet.

2. Unter der Voraussetzung, dass die Beugung elastisch stattfindet (|~k| = | ~k0| = 2π/λ),sind alle Punkte, die auf einer Kugel um den Ursprung von ~k0 mit Radius |~k0| = |~k|liegen, mogliche Endpunkte eines Vektors ~K = ~k− ~k0. Dies ist gleichbedeutend damit,dass die Bedingung ~G = ~K erfullt ist.

3. Der Vektor ~k wird dann mit der Spitze an den Vektor ~k0 angeschlossen.

4. Es ergibt sich ein Beugungsreflex mit den Indizes (hkl)

Es sind also die folgenden Bedingungen zu erfullen, um einen Reflex in eine bestimmteRichtung zu bekommen:Der Vektor ~K muss so liegen, dass er vom Ursprung aus einen Punkt im reziproken Gittererreicht. Dies hat zur Folge, dass sowohl

1. die Wellenlange als auch

2. die Richtung des einfallenden Strahls richtig gewahlt werden mussen.

3. Die ausfallenden Reflexe konnen nur in bestimmte Richtungen entstehen, in denen dieEwald-Kugel Punkte des reziproken Gitters trifft. Entsprechend muss naturlich auchein Detektor positioniert sein.

Um diese Bedingungen zu erfullen, gibt es verschiedene experimentelle Methoden.

45

2.7.6 Millersche Indizes

Drei Punkte des Gitters definieren eine Ebene. Die ganzen Zahlenm,n, o bezeichnen die Ach-senabschnitte der Ebene in Einheiten der Basisvektoren. Um die Ebene anzugeben, verwendetman die so genannten Millerschen Indizes. Diese werden auf folgende Weise bestimmt:

1. Bestimme die Achsenabschnitte m,n, o.

2. Bilde den Kehrwert der Achsenabschnitte 1/m, 1/n, 1/o.

3. Multipliziere sie mit einer ganzen Zahl p, so dass ein Tripel ganzer und teilerfreierZahlen (hkl) entsteht.

Hier sind die Achsenabschnitte 3a, 2b und 2c. Die Kehrwerte sind 1/3, 1/2 und 1/2. Mitp = 6 lauten die Millerschen Indizes (233).

Zusammenhang der Millerschen Indizes und des reziproken Gittervektors:

• Die Gittervektoren ~Ghkl stehen senkrecht auf der Ebene mit den Miller-Indizes (hkl).

46

• Die Lange des Vektors ~Ghkl ist gleich dem 2π-fachen des reziproken Abstandes derNetzebenen (hkl).

Millersche Indizes des hexagonalen Gitters

Im hexagonalen Gitter ist es nicht sinnvoll, die kartesische Definition der Miller-Indizes zuverwenden, da einige unterschiedlich bezeichnete Ebenen aquivalent sind und andererseitsvorhandene Ebenen nicht charakterisiert werden konnen. Deshalb verwendet man im hexa-gonalen Gitter vier Indizes:

Im linken Bild sind die mit (100) und (110) Ebenen aquivalente Prismenebenen dargestellt.Die vier Indizes werden mit (hkil) bezeichnet, wobei

i = −(h+ k) (2.41)

gelten muss, da vier Indizes in drei Dimensionen uberbestimmt sind. Um diese Gleichung zuerfullen, wird die a1 Richtung nicht mit (1000) bezeichnet, sondern mit (2110).

2.7.7 Braggsche Deutung der Rontgenbeugung

Bragg nahm an, dass Kristalle aus parallelen Ebenen aufgebaut ist und Rontgenlicht vonunterschiedlichen Ebenen im Kristall reflektiert wird.

Annahmen:

1. Das einfallende Rontgenlicht wird von den Ionen einer jeden Ebene reflektiert (Ein-fallswinkel = Ausfallswinkel).

2. Um einen Reflex zu erhalten, muss das Rontgenlicht von den unterschiedlichen Ebenenkommend konstruktiv interferieren.

47

Mit der Bedingung, dass fur konstruktive Interferenz der Gangunterschied zwischen zweiStrahlen ganzzahlige Vielfache der Wellenlange sein mussen, ergibt sich:

nλ = 2d sin(θ) (2.42)

Der Bragg-Winkel ist gerade der halbe Winkel, um den der einfallende Strahl gebeugt wird.

48

2.7.8 von Laue Formulierung der Rontgenbeugung

Die Deutung von Laue unterscheidet sich in zwei wesentlichen Punkten:

1. es werden keine speziellen Gitterebenen angenommen

2. es werden keine Annahmen zur Reflexion gemacht

Vielmehr betrachtet Laue:

1. einen Kristall zusammengesetzt aus identischen mikroskopischen Ob-jekten, die an jedem Ort des Bravais-Gitters sitzen.

2. jedes dieser Objekte als Ausgangspunkt einer Kugelwelle.

3. die Entstehung der Reflexe als eine konstruktive Interferenz dieserKugelwellen.

Um die Bedingung fur konstruktive Interferenz zu finden nehmen wir:

• nur zwei Streuzentren im Abstand d,

• ein Rontgenstrahl von einer fernen Rontgen-quelle,

• entlang einer Richtung ~n,

• mit einer Wellenlange λ,

• mit einem Wellenvektor ~k = 2π~n/λ,

• einem in Richtung ~n′ gestreuten Strahl,

• mit unveranderten Wellenlange λ (elastischeStreuung) und

• und dem Wellenvektor ~k′ = 2π~n′/λ.

Der Wegunterschied ergibt sich zu:

d cos(θ) + d cos(θ′) = ~d · (~n− ~n′). (2.43)

Und somit ist die Bedingung fur konstruktive Interferenz:

~d · (~n− ~n′) = mλ mit der ganzen Zahl m (2.44)

Werden beide Seiten mit 2π/λ multipliziert, ergibt sich:

~d · (~k − ~k′) = 2πm (2.45)

49

Nun werden nicht nur zwei Streuzentren angenommen, sondern ein ganzes Bravais-Gitter vonStreuzentren . Diese sitzen wieder auf Gitterpunkten, die durch den Gittervektor ~rn (sieheGl. (2.27)) erreicht werden. Somit ergibt sich fur die konstruktive Interferenz:

~rn · (~k − ~k′) = ~rn · ~K = 2πm mit der ganzen Zahl m und allen Bravais-Vektoren ~R (2.46)

Vergleicht man dieses Resultat mit Gl. (2.28), so folgt daraus, dass nur dann Reflexe durchkonstruktive Interferenz auftreten, wenn ~G = ~K ist.

2.7.9 Die Brillouin-Zone

Die Bedingung fur einen Bragg-Reflex ~K = ~k−~k0 = ~Ghkl hat zur Konsequenz, dass die End-punkte der Vektoren ~k und ~k′, welche die Streubedingung erfullen, auf den Mittelsenkrechten-Ebenen der ~Ghkl liegen. Das kleinste Volumen, das diese Mittelsenkrechten-Ebenen einschlie-ßen, lasst sich in analoger Weise konstruieren wie die Wigner-Seitz-Zelle. Dieses Volumen imreziproken Gitter wird Brillouin-Zone (1. Brillouin-Zone) genannt.

1. Verbinde die Punkte des reziproken Gittersin der Umgebung eines beliebigen Punktesdurch Linien

2. errichte senkrecht zu jeder dieser Verbin-dungslinien eine Ebene, so dass die Linie inzwei Halften geteilt wird

3. das Volumen, in dem sich der ursprunglich gewahlte Punkt befindet und welches durchdie innersten Flachen begrenzt wird, ist die Brillouin-Zone

In drei Dimensionen haben die ersten Brillouin-Zonen folgendes Aussehen

50

2.7.10 Der Strukturfaktor

Nach der Gleichung (2.35) ist zwar gegeben, wo die Reflexe liegen, aber nicht, wie starkihre Intensitat ist. Um Information hieruber zu erlangen, ist es notwendig, die Fourier-Transformierte der Streudichte ρhkl zu berechnen:

ρhkl =1VZ

∫Zelle

ρ(~r)e−i ~G·~rd~r. (2.47)

Hierbei wird uber die Einheitszelle integriert. Da sich der großte Teil der Elektronen in derNahe des Atomkerns aufhalten, lasst sich das Integral in Einzelintegrale aufspalten, die pha-senrichtig uberlagert werden. Hier soll nun der Ortsvektor ~r in drei Teile aufgespalten werden:

1. den Vektor ~rn, der zum Ursprung der Einheitszelle weist

2. den Vektor ~rα, der vom Ursprung der Einheitszelle zur jeweiligen Po-sition des Atoms weist

3. und den Vektor ~r′, der vom Zentrum des Atoms in den UmgebendenRaum weist.

Damit lasst sich mit der Fourier-Entwicklung von ρ(~r) (siehe Gl. (2.26)) schreiben:

ρhkl =1VZ

∑α

ρGe−i ~G·~rα

∫ρα(~r′)e−i ~G·~r′d~r′. (2.48)

Wobei sich nun das Integral uber ein Atom erstreckt, weshalb es auch als Atomfaktor be-zeichnet wird. Da man meist von einer kugelformigen Verteilung um ein Atom ausgehenkann, ist es naheliegend, zu Kugelkoordinaten uberzugehen:

fα =∫ρα(~r′)e−i ~G·~r′d~r′

= −∫ 2π

ϕ=0

∫ π

θ=0

∫ r′b

0ρα(~r′)e−iGr′ cos(θ)r′2dr′d(cos(θ))dϕ (2.49)

Durch Integration uber die beiden Winkel erhalt man:

fα = 4π∫ρα(r′)r′2

sin(Gr′)Gr′

dr′. (2.50)

Sei Θ der Winkel zwischen ~k und ~k0, wobei bei keiner Streuung Θ = 0 gelte, dann lasst sichschreiben:

G = 2k0sin(Θ) (2.51)

fα = 4π∫ρα(r′)r′2

sin(4πr′ sin(Θ)

λ

)4πr′ sin(Θ)

λ

dr′ (2.52)

51

Der Atomfaktor ist somit eine Funktion von f(

sin(Θ)λ

), wobei die Vorwartsstreuung den

großten Wert hierfur liefert. So ergibt sich fur Θ = 0:

fα = 4π∫ρα(r′)r′2dr′, (2.53)

die uber das Atom integrierte Streudichte, die im Fall von Rontgenstrahlung proportional zuKernladungszahl Z ist.

Die Summe aus Gl. (2.48) beschreibt die Interferenzen zwischen den Streuwellen und derverschiedenen Atome der Einheitszelle und ergeben den so genannten Strukturfaktor:

Shkl =∑α

fαe−i ~Ghkl·~rα . (2.54)

Da primitive Gitter nur ein Atom pro Einheitszelle enthalten, gilt hier Shkl = fα. Wird derVektor ~rα in den Basisvektoren des Gitter geschrieben:

~rα = uα~a1 + vα~a2 + wα~a3, (2.55)

sind die Faktoren u, v und w kleiner als 1 und es ergibt sich fur den Strukturfaktor:

Shkl =∑α

fαe−2πi(huα+kvα+lwα). (2.56)

Im Falle des kubisch-raumzentrierten Gitters sitzen die Atome auf den Positionen [0,0,0] und[1/2,1/2,1/2] und beide haben den gleichen Atomfaktor fα, damit folgt fur S:

Shkl = f(1 + eiπ(h+k+l)

)={

0 (h+ k + l) ungerade2f (h+ k + l) gerade

(2.57)

Es gehen bestimmte Reflexe durch destruktive Interferenz verloren. So is der (100)-Reflexnicht zu beobachten, sofern Zentral- und Eckatome identisch sind.

2.8 Experimentelle Methoden der Strukturanalyse und derenDarstellung in der Ewald-Konstruktion

2.8.1 Die Laue-Methode

Bei dieser Methode verwendet man:

1. einen Einkristall

2. eine feste Orientierung des Kristalls bezuglich des einfallenden Analysestrahls (meistRontgenstrahlung)

3. eine Strahlquelle, die nicht monochromatisch ist → es sind Wellenlangen in einemBereich λ1 bis λ2 vorhanden.

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Hierdurch wird die Bedingung, dass ein Punkt des reziproken Gitters auf der Oberflache derEwald-Kugel liegen muss, dahingehend aufgeweicht, dass hier ein ganzer Bereich (zwischen~k1 = 2π~r0/λ1 und ~k2 = 2π~r0/λ2, dabei ist ~r0 die feste Einfallsrichtung) erlaubt ist.

Die Laue-Methode ist die Beste, um die Orientierung eines Kristalls bekannter Struk-tur zu bestimmen. Liegt der einfallende Strahl entlang einer Symmetrie-Achse, so wird dasReflexmuster dieselbe Symmetrie aufweisen.

Der Aufbau beim Laue-Verfahren

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Beispiele, die mit dem Laue-Verfahren aufgenommen wurden

Laue-Aufnahme von Kalialaun(KAl(SO4)2 · 12H2O); es ist deutlichzu sehen, dass der Kristall nicht einevier sondern eine zwei-zahlige Symmetrieaufweist.

Laue-Aufnahme eines Quasikristalls ausAl6CuLi3. Es ist deutlich die funf-zahligeSymmetrie zu erkennen.

2.8.2 Die Drehkristall-Methode

Die Methode zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus:

1. ein Einkristall

2. eine monochrome Strahlquelle

3. die Orientierung des Kristalls bezuglich des einfallenden Analysestrahls wird systema-tisch verandert

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