26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

42
Γραmmική ΄Αλγεβρα Προβολές και Ελάχιστα Τετράγωνα Πανεπιστήmιο Θεσσαλίας 18 Dεκεmβρίου 2013

Transcript of 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Page 1: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Γραμμική Αλγεβρα

Προβολές και Ελάχιστα Τετράγωνα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

18 Δεκεμβρίου 2013

Προβολή σε ευθεία του Rn

Να βρεθεί η προβολή p του b επάνω στην ευθείαπου ορίζει το a (το οποίο ας υποθέσουμε περνάειαπο την αρχή των αξόνων)

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων στον Rn

cos θ =aTb

||a||||b||

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT a

ο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 2: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολή σε ευθεία του Rn

Να βρεθεί η προβολή p του b επάνω στην ευθείαπου ορίζει το a (το οποίο ας υποθέσουμε περνάειαπο την αρχή των αξόνων)

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων στον Rn

cos θ =aTb

||a||||b||

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT a

ο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 3: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων στον Rn

cos θ =aTb

||a||||b||

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT a

ο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 4: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT a

ο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 5: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT a

ο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 6: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT a

ο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 7: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολή σε ευθεία του Rn

Η προβολή p ενός διανύματοςb isin Rn

σε μια ευθεία a isin Rnπου

περνάει απο το 0

είναι το διάνυσμα p = aTbaT a

a

με αντίστοιχο πίνακα προβολής

P = aaT

aT aο οποίος είναι

συμμετρικός και τάξης 1

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 8: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 9: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 10: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Παράδειγμα

Προβολή του

123

στο111

Πίνακας προβολής στο

111

Πίνακας προβολής στο

[cos θsin θ

]

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 11: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 12: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b

και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 13: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 14: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Εφαρμογή

Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b isin R(A)

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 15: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε

μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 16: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 17: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b

rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 18: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb

rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 19: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 20: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 21: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ελάχιστα Τετράγωνα

Αν Ax = b και b isin R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναιη λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στονR(A)

Ax = b rArr ATAx = ATb rArr

x =(ATA

)minus1ATb

Πράγματι AT (Ax minus b) = 0

Υπόθεση οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 22: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Παράδειγμα

1 41 50 6

x =

456

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 23: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 24: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολή στον χώρο στηλών

Ορισμός

Η προβολή p ενός διανύσματος b isin Rnπάνω στον χώρο στηλών

ενός πίνακα A isin Rmtimesnείναι

p = A(ATA

)minus1ATb

Ο πίνακας που προβάλει κάθε διάνυσμα στον χώρο στηλών ενός

πίνακα A είναι ο

P = A(ATA

)minus1AT

για τον οποίο ισχύει ότι Pk = P k isin NPT = P

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 25: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 26: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Λύση ελαχίστων τετραγώνων

Θεώρημα

Αν A isin Rmtimesnκαι b isin Rn

τότε

Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = bικανοποιεί την εξίσωση ATAx = ATb

Εάν οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο

ATA είναι αντιστρέψιμος και x =(ATA

)minus1ATb

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 27: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 28: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 29: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 30: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Προβολές στον χώρο στηλών

Αν το b

ανήκει στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή του είναι τοίδιο το b

είναι κάθετο στον χώρο στηλών του A τότε η προβολή τουείναι 0

Αν ο Α

είναι αντιστρέψιμος (και τετραγωνικός) η προβολή κάθε

διανύσματος είναι ο εαυτός του

έχει μόνον μια στήλη τότε αναγόμαστε στην προβολή πάνω

σε ευθεία

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 31: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ο πίνακας ATA

Είναι τετραγωνικός

Είναι συμμετρικός

΄Εχει τον ίδιο μηδενόχωρο με τον A

Είναι αντιστρέψιμος εάν ο A έχει γραμμικάανεξάρτητες στήλες

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 32: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 33: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 34: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ορθοκανινικά διανύσματα και ορθογώνιοι πίνακες

Ορισμός

Τα διανύσματα q1 q2 qk isin Rnείναι ορθοκανονικά όταν

είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1

δηλαδή όταν qTi qj =

0 i 6= j 1 i = j

Ορισμός

΄Ενας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλεςτου είναι ορθοκανονικές

Παράδειγμα e1 =

10

0

e2 =01

0

en =

00

1

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 35: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του

Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 36: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 37: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 38: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x ||

Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 39: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x

( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 40: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 41: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn

Page 42: 26η και 27η Διάλεξη - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

Ιδιότητες ορθογώνιου πίνακα

Ο αντίστροφος κάθε ορθογώνιου πίνακα Q ίσούται με τονανάστροφό του Qminus1 = QT

Ο πολλαπλασιασμός με ορθογώνιο πίνακα διατηρεί τα μήκη

τα εσωτερικά γινόμενα και τις γωνίες αναλλοίωτες

||Qx || = ||x || Qx)T (Qx) = xT x ( ˆQx Qy) = ( ˆx y)

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός

συνδυασμός των στηλών του Q

b = (qT1 b)q1 + (qT2 b)q2 + + (qTn b)qn