19-May-20 11

HY118-Διακριτά

Μαθηματικά

Τρίτη, 19/05/2020

Αντώνης Α. Αργυρόςe-mail: argyros@csd.uoc.gr

19-May-20 22

Θεωρία γράφων / γραφήματα

• Υπογράφημα – επικαλύπτον υπογράφημα

• Ισομορφισμός γράφων

• Υπολογιστική πολυπλοκότητα

– Πρακτικώς επιλύσιμα προβλήματα

– Δυσεπίλυτα προβλήματα

19-May-20 33

Τι είδαμε την προηγούμενη φορά

19-May-20 44

• Θα δούμε τώρα τους λόγους που έδωσαν ώθηση

στην ανακάλυψη και τη διατύπωση μιας τυπικής

θεωρίας για τους γράφους

• Ερωτήσεις όπως

– “Μπορώ να ταξιδέψω από το μέρος a στο μέρος b;”

– Μπορώ να πάω από το a στο b χωρίς να επισκεφτώ δύο

φορές το ίδιο μέρος;”

– “Ποιός είναι ο συντομότερος δρόμος από το a στο b;”

19-May-20 55

Μονοπάτια

• Σε ένα μη κατευθυνόμενο γράφο, ένα μονοπάτιμήκους n από τον κόμβο u στον κόμβο v είναι μία ακολουθία ακμών e1, e2, …, ek, ek+1, …, en που ξεκινάει από τον κόμβο u και καταλήγει στον κόμβο v.– Σε μη-κατευθυνόμενους γράφους: οι διαδοχικές

ακμές μοιράζονται κάποιο κόμβο

– Σε κατευθυνόμενους γράφους: Ο τερματικός κόμβος της ακμής ei είναι η αρχική κορυφή της ακμής ei+1.

• Ένα μονοπάτι διασχίζει/διέρχεται από τους κόμβους που το αποτελούν.

19-May-20 66

Μονοπάτια

• Ένα μονοπάτι λέγεται απλό εάν δεν περιλαμβάνει την ίδια ακμή παραπάνω από μία φορά.

• Ένα μονοπάτι λέγεται στοιχειώδες εάν δεν περνάει από την ίδια κορυφή παραπάνω από μία φορά.

• Κάθε στοιχειώδες μονοπάτι είναι και απλό

19-May-20 77

Μονοπάτια

e1

e2

e6e10

e9

e8

e4

e7 e5

e3

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

• e1, e7, e8, e5: απλό και στοιχειώδες μονοπάτι

• e10, e7, e2, e4, e8, e9: απλό, αλλά όχι στοιχειώδες

• e1, e2, e4, e8, e7, e2, e3: δεν είναι απλό, ούτε στοιχειώδες

19-May-20 88

Κυκλώματα

• Ένα μονοπάτι αποτελεί κύκλωμα εάν ξεκινά και

καταλήγει στην ίδια κορυφή

• Διακρίνονται σε απλά και στοιχειώδη, όπως και τα

αντίστοιχα μονοπάτια

19-May-20 99

Κυκλώματα, παραδείγματα

• Υπάρχουν τόσα κυκλώματα

όσα και κόμβοι

• Καθένα από αυτά είναι και στοιχειώδες

και απλό

• Υπάρχουν δύο κυκλώματα από το v στο v.

• Ένα που είναι απλό και στοιχειώδες

• Και ένα που είναι απλό αλλά όχι στοιχειώδες

19-May-20 1010

Συνεκτικότητα

• Ένας μη κατευθυνόμενος γράφος είναι

συνεκτικός αν και μόνο αν υπάρχει ένα

μονοπάτι μεταξύ κάθε ζεύγους

διαφορετικών κόμβων του.

• Θεώρημα: Υπάρχει ένα απλό μονοπάτι για

κάθε ζεύγος διαφορετικών κορυφών σε ένα

συνεκτικό, μη κατευθυνόμενο γράφο.

19-May-20 1111

Κατευθυνόμενη συνεκτικότητα

• Ένας κατευθυνόμενος γράφος είναι:

• ισχυρά συνεκτικός αν και μόνο αν υπάρχει ένα

κατευθυνόμενο μονοπάτι από το a στο b για κάθε

δύο διαφορετικές κορυφές a και b.

• Ασθενώς συνεκτικός αν ο αντίστοιχος μη

κατευθυνόμενος γράφος (δηλ., αυτός στον οποίο

έχουμε βγάλει τον προσανατολισμό των ακμών)

είναι συνεκτικός.

19-May-20 1212

Συνεκτικότητα, παραδείγματα

19-May-20 1313

Μονοπάτια Euler και Hamilton

• Θα μιλήσουμε για το πρόβλημα που παρακίνησε τον Euler

να επινοήσει τη θεωρία των γράφων: οι γέφυρες του

Koenigsberg (πόλη που σήμερα λέγεται Kaliningrad)

19-May-20 1414

Το πρόβλημα των γεφυρών του

Königsberg

• Μπορούμε να περιδιαβούμε την πόλη και,

πρν επιστρέψουμε στην αρχική μας θέση,

να έχουμε περάσει κάθε γέφυρα μία μόνο

φορά;

19-May-20 1515

Το πρόβλημα των γεφυρών του

Königsberg

• Μπορούμε να περιδιαβούμε την πόλη και, πριν

επιστρέψουμε στην αρχική μας θέση, να έχουμε

περάσει κάθε γέφυρα μία μόνο φορά;

Το αρχικό πρόβλημα

Μπορείτε να

«μοντελοποιήσετε» το

πρόβλημα

χρησιμοποιώντας όσα

ξέρουμε για τους

γράφους;

19-May-20 1616

Το πρόβλημα των γεφυρών του

Königsberg

• Μπορούμε να περιδιαβούμε την πόλη και, πριν

επιστρέψουμε στην αρχική μας θέση, να έχουμε

περάσει κάθε γέφυρα μία μόνο φορά;

A

B

C

D

Το αρχικό πρόβλημα

Αντίστοιχος

πολυγράφος

19-May-20 1717

Μονοπάτια Euler & Hamilton

Ορολογία:

• Ένα μονοπάτι Euler σε ένα γράφο G είναι ένα απλό μονοπάτι του G που περιλαμβάνει όλες τις ακμές του G.

• Ένα κύκλωμα Euler σε ένα γράφο G είναι ένα απλό κύκλωμα του G που περιλαμβάνει όλες τις ακμές του G.

19-May-20 1818

Γέφυρες του Koenigsberg

• Οι γέφυρες είναι ακμές.

Επομένως, η απάντηση στο πρόβλημα είναι

ΘΕΤΙΚΗ αν ο γράφος του προβλήματος

περιλαμβάνει ένα κύκλωμα Euler.

• Στην πραγματικότητα, δεν περιέχει …

19-May-20 1919

Θεωρήματα για την ύπαρξη

μονοπατιών/κυκλωμάτων Euler

• Θεώρημα: Ένας συνεκτικός πολυγράφος

περιλαμβάνει κύκλωμα Euler αν και μόνο αν

κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό.

• Θεώρημα: Ένας συνεκτικός πολυγράφος έχει

ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν έχει

ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού.

19-May-20 2020

Γέφυρες του Koenigsberg

… επομένως δεν υπάρχει κύκλωμα Euler.

A

B

C

D

Το αρχικό πρόβλημα Αντίστοιχος πολυγράφος

19-May-20 2121

Μονοπάτια/κυκλώματα Euler

• Τι λέτε για τον παρακάτω γράφο;

19-May-20 2222

Θεώρημα για την ύπαρξη

κυκλώματος Euler• Σχέδιο απόδειξης για το ότι ο άρτιος βαθμός των κορυφών

συνεπάγεται την ύπαρξη κυκλώματος Euler:

– Ξεκινάμε από ένα τυχαίο κόμβο. Κατασκευάζουμε ένα απλό μονοπάτι προσπαθώντας να φτάσουμε εκεί απ’ όπου ξεκινήσαμε.

– Ο γράφος είναι συνεκτικός και κάθε κόμβος έχει άρτιο βαθμό, επομένως μπορούμε να επισκεφτούμε κάθε κόμβο και αν «πάμε» σε κάποιο κόμβο μπορούμε να φύγουμε από αυτόν

– Το ότι ο γράφος είναι πεπερασμένος συνεπάγεται ότι η διαδικασία τελικά θα τερματίσει.

• Σημειώστε ότι η πλήρης απόδειξη δίνει ένα αλγόριθμο: πρόκειται για μία κατασκευαστική απόδειξη μίας πρότασης.

19-May-20 2323

Κυκλώματα Euler για

κατευθυνόμενους γράφους

• Ένας συνεκτικός κατευθυνόμενος γράφος

περιλαμβάνει κύκλωμα Euler αν και μόνο

αν για κάθε κορυφή του v ισχύει ότι:

deg+(v) = deg-(v)

19-May-20 2424

Μονοπάτια/κυκλώματα Hamilton

• Ένα μονοπάτι Euler στο G είναι ένα απλό μονοπάτι που

περιέχει όλες τις ακμές του G.

• Ένα κύκλωμα Euler στο G είναι ένα απλό κύκλωμα που

περιέχει όλες τις ακμές του G.

• Ένα μονοπάτι Hamilton του G είναι ένα στοιχειώδες

μονοπάτι που περνά από όλες τις κορυφές του G.

• Ένα κύκλωμα Hamilton του G είναι ένα στοιχειώδες

κύκλωμα που περιέχει όλες τις κορυφές του G.

19-May-20 2525

Θεωρήματα

• Θεώρημα του Dirac: Εάν (αλλά όχι μόνο

αν) ένας γράφος G είναι συνεκτικός, απλός,

έχει n3 κορυφές, και v deg(v)n/2, τότε ο

G περιλαμβάνει ένα κύκλωμα Hamilton.

19-May-20 2626

Παραδείγματα

19-May-20 2727

Πρόβλημα

• Έστω το εξής πρόβλημα:

– Δοσμένου ενός απλού γράφου G, περιέχει το G ένα κύκλωμα Hamilton;

• Άλλο ένα πρόβλημα με εκθετική πολυπλοκότητα…

19-May-20 2828

Βεβαρυμένος γράφος

• Ένας γράφος G=(V, E, f, h) όπου:

• V, E όπως έχουμε ήδη δει

• f: V R (συνάρτηση βαρών κορυφών)

• h: E R (συνάρτηση βαρών ακμών)

• Μία από τις δύο συναρτήσεις μπορεί να

λείπει.

19-May-20 2929

Βεβαρυμένος γράφος, παράδειγμα

19-May-20 3030

Βεβαρυμένος γράφος, προβλήματα

• Το πρόβλημα του συντομότερου μονοπατιού:Δοσμένου ενός συνεκτικού, βεβαρυμένου γράφου όπου τα βάρη των ακμών εκφράζουν απόσταση κόμβων, βρες το συντομότερο μονοπάτι από ένα συγεκριμένο κόμβο σε ένα άλλο (Αλγόριθμος του Dijkstra, πολυπλοκότητα n2)

• Το πρόβλημα των συντομότερων μονοπατιών μεταξύ όλων των δυνατών ζευγών κόμβων:Αλγόριθμος Floyd-Warshal, πολυπλοκότητα n3

19-May-20 3131

Βεβαρυμένος γράφος, προβλήματα

19-May-20 3232

Βεβαρυμένος γράφος, προβλήματα

• Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (traveling salesman): Ένας πωλητής θέλει να ξεκινήσει από την πόλη του, να επισκεφτεί όλες τις άλλες πόλεις μία μόνο φορά και να επιστρέψει πίσω στην πόλη του έχοντας διανύσει την ελάχιστη δυνατή απόσταση.

• Η «μετάφραση» στη θεωρία γράφων: Δοσμένου ενός συνεκτικού, βεβαρυμένου γράφου όπου τα βάρη των ακμών εκφράζουν απόσταση κόμβων, βρες το κύκλωμα Hamilton με το μικρότερο δυνατό άθροισμα βαρών των ακμών που συμμετέχουν.

19-May-20 3333

Επίπεδοι γράφοι

• Ένας γράφος ονομάζεται επίπεδος (planar) αν μπορούμε να τον σχεδιάσουμε στο επίπεδο με τέτοιο τρόπο ώστε οι ακμές του να μην τέμνονται μεταξύ τους.

• Προσοχή! Ο ορισμός δεν αναφέρεται στον τρόπο με τον οποίο ο γράφος είναι σχεδιασμένος, αλλά στο αν υπάρχει δυνατότητα να σχεδιαστεί έτσι ώστε οι ακμές του να μην τέμνονται μεταξύ τους.

19-May-20 3434

Επίπεδοι γράφοι

• Για ένα απλό, συνεκτικό, επίπεδο γράφο με n κορυφές και

e ακμές, τα ακόλουθα θεωρήματα ισχύουν:

• Θεώρημα 1: Εάν n ≥ 3 τότε e ≤ 3n − 6

• Θεώρημα 2. Εάν n > 3 και δεν υπάρχουν κύκλοι μήκους 3,

τότε e ≤ 2n − 4.

19-May-20 3535

Επίπεδοι γράφοι: ο τύπος του Euler

• Εάν ένας συνεκτικός, επίπεδος γράφος σχεδιαστεί στο

επίπεδο χωρίς οι ακμές του να τέμνονται, και n το πλήθος

των κορυφών, e το πλήθος των ακμών και f το πλήθος των

περιοχών, τότε n − e + f = 2.

19-May-20 3636

Επίπεδοι γράφοι

• Το πρόβλημα του να αποφασιστεί κατά πόσον δύο

επίπεδοι γράφοι είναι ισομορφικοί μπορεί να λυθεί σε

πολυωνυμικό χρόνο!

Δέντρα

• Δέντρο ονομάζεται οποιοσδήποτε συνεκτικός γράφος χωρίς κύκλωμα

• Δάσος: Μη συνεκτικός γράφος του οποίου οι συνεκτικές συνιστώσες είναι δέντρα

• Ένας κόμβος με βαθμό 1 ονομάζεται τερματικός ή φύλλο, και όλοι οι υπόλοιποι εσωτερικοί

• Κάθε δέντρο με n κόμβους έχει n – 1 ακμές

• Κάθε συνεκτικός γράφος με n – 1 ακμές είναι ένα δέντρο

• Πολλές χρήσεις: Δέντρα απόφασης, συντακτικά δέντρα, …

Δέντρα κάλυψης

• Ένα υπογράφημα T ενός γράφουG ονομάζεται δέντρο κάλυψης εάν το T είναι δέντρο και επικαλύπτον γράφος του G

• Κάθε συνεκτικός γράφος έχει ένα δέντρο κάλυψης

• Ένα ελάχιστο δέντρο κάλυψης είναι ένα δέντρο κάλυψης με τον ελάχιστο συνολικό βάρος ακμών.

19-May-20 3939

Ε Π Ι Λ Ο Γ Ο Σ

• Ολοκλήρωση της θεωρίας του ΗΥ118

– Θα οριστεί, ωστόσο, μία επαναληπτική διάλεξη, πριν

την τελική εξέταση.

– Λεπτομέρειες μέσω email και στην ιστοσελίδα του

μαθήματος όταν υπάρξουν αποφάσεις για την

εξεταστική.

• Καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

• Καλό καλοκαίρι!!

• Ραντεβού στα ΗΥ472, ΗΥ672 σε λίγα χρόνια!!!

• Καλή επιτυχία στις υπόλοιπες σπουδές σας!!!!