2.4 Wölbtorsion - georgi-dd.de · bab s 2 2 a s 2 b 2 1 ... SSs ah mm 4 200 M I S a 4 M I S cm 4...

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  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 106

    2.4 Wölbtorsion 2.4.1 Offene Querschnitte Wird die Funktion des Verdrehwinkels keiner Einschränkung ( φ (́ ) = 0 )z unterworfen, dann existiert als einzige Dehnung zz (s. (3.12)): Man erhält damit die einzige nicht verschwindende Normalspannung:

    Wölbnormalspannung (3.37) Erfolgt die Belastung ausschließlich durch ein Torsionsmoment, dann verschwinden die mit zz formulierten Schnittgrößen. Demzufolge gilt (s. (1.9)): Mit zz aus (3.37) wird daraus: Dieses Gleichungssystem kann mit: (3.38) (3.39) und den speziellen Werten für ein Schwerpunkts-Koordinatensystem

    0´ ´ ´́ . zz z z D Dv v y x x y

    0´ ´́ . zz zz z D DE E v y x x y

    ( ) ( ) ( )

    0 0 0 . L zz bx zz by zzA A A

    F dA M y dA M x dA

    0( ) ( ) ( ) ( )

    20

    ( ) ( ) ( ) ( )

    20

    ( ) ( ) ( ) ( )

    0 ´ ´́

    0 ´ ´́

    0 ´ ´́ .

    z D DA A A A

    z D DA A A A

    z D DA A A A

    v dA y x dA x y dA dA

    v x dA y x dA x x y dA x dA

    v y dA y x y dA x y dA y dA

    ( )

    ( ) ( )

    2 2

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    -

    Flächeninhalt

    statische Momente der Fläche

    Flächenmomente 2. Ordnung

    sektorielles statisches Moment

    Sektor

    A

    y xA A

    xx yy xyA A A

    A

    x D yA

    A dA A

    S x dA S y dA

    I y dA I x dA I x y dA

    S dA

    I x dA I y dA( ) zentrifugalmomenteA

    0 x yS S S

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 107

    kürzer geschrieben werden: Aus der ersten Gleichung folgt (wie erwartet): Die anderen beiden Gleichungen sind dann erfüllt für: bzw.: (3.40) Damit steht neben (3.5) ein weiterer Gleichungssatz zur Bestimmung des Schub-mittelpunktes M - des sich bei fehlender Fixierung des Drehpunktes D frei einstellen-den Punktes - zur Verfügung. An Hand der konkreten Aufgabenstellung ist daher zu entscheiden, welcher Formelsatz die gewünschten Koordinaten effektiver liefert. Für die Wölbnormalspannung (3.37) gilt mit (3.17): ´´ ME . (3.41) Mit und wird eine weitere Schnittgröße, das so genannte Bimoment B formu-liert:

    (3.42)

    mit:

    Sektorträgheitsmoment (3.43) (Wölbwiderstand)

    Das Produkt

    ME I wird als Wölbsteifigkeit bezeichnet.

    Mit dem Bimoment lautet die Wölbnormalspannung: (3.44) .

    2

    ( )M M

    A

    I dA MI

    M

    MB

    I

    00 ´

    0 ´́

    0 ´́ .

    z

    x D yy D xy

    y D xy D xx

    v A

    I y I x I

    I y I x I

    0 .konstzv =

    ´́ ´0 bzw. konst. d.h. reine Torsion

    2

    2 .

    x xy y yyD

    xx yy xy

    x xx y xyD

    xx yy xy

    I I I Ix

    I I II I I I

    yI I I

    w w

    w w

    +=

    -

    +=-

    -

    2

    ( ) ( )

    ( ) ´́ ´́ MM MA A

    B z dA E dA E I

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 108

    Beim allgemeinen Belastungszustand setzt sich damit die Normalspannung in Stab-längsrichtung aus folgenden Anteilen zusammen (Beschreibung mit x und y als Haupt-achsen – s. o.): . (3.45) Die Wölbnormalspannungen bedingen sekundäre Schubspannungen , die zu-sätzlich zu den Schubspannungen der reinen Torsion sv (bisher ) auftreten. Diese werden über ein Kräftegleichgewicht in Stablängsrichtung am Stabelement dV ds dz h gewonnen:

    Mit nach Gleichung (3.41) wird daraus: (3.46) Die Integrationskonstante ergibt sich aus der Randbedingung ( 0, ) 0s z zu null. Die Beziehung für die sekundäre Schubspannung lautet schließlich: oder:

    , (3.47)

    mit:

    sektorielles statisches Moment ( s. (3.38) )

    h dick

    Schubflusst h

    t ds

    ,zt t dz ds ,st t ds dz

    t d z

    z

    s ,zdz h ds h ds

    ,s s sds h dz

    sh dz

    00

    ( , ) ´́ ´ ( ) ( ) ( ) . s

    Mt s z E s h s ds t z

    0

    ´́ (́ )( , ) ( ) ( ) ,( )

    s

    ME zs z s h s ds

    h s

    0

    ( ) ( )M

    s

    MS s h s ds

    ( )( )( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( )

    M

    bybxLzz M

    xx yy

    M zM zF z B zs z y s x s sA I I I

    ( )( , ) ´´´( )

    ( )

    M

    S ss z E z

    h s

    : t dz t , st ds dz h ds ,

    , , ,( )

    0

    0 .

    z

    s z zs

    dz h ds

    t h t h ds

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 109

    Das Torsionsmoment Mt wird als Summe aus dem der reinen Torsion t svM und dem der Wölbtorsion tM aufgefasst: (3.48) Für t svM gilt die bekannte Beziehung (3.22): (3.22)

    tM ist im Gegensatz zu t svM vom Bezugspunkt abhängig. Es folgt aus einer Äquivalenzbetrachtung für das Moment um die Stabachse (s. auch S. 102): Mit t über Gleichung (3.46) wird daraus:

    0 0

    ´́ ´ .

    l s

    t M tMM E h ds r ds

    Unter Beachtung von tM Mr ds d (s. (3.14) ), führt eine partielle Integration über: vorerst auf: Da

    0 ( )

    0 , Ml

    M MA

    S h ds dA

    wird daraus mit dem Sektorträgheitsmoment

    MI (3.43):

    (3.49) Diese Beziehung wird in die Gleichung für ( , )s z (3.47) eingesetzt: . . (3.50)

    x

    x

    yy

    SM

    s

    t ds

    r tM

    ´ .t sv tM G I

    ( ) ( ) .t t t svM z M z M

    0

    .l

    t tMM t r ds

    ( )( )( , )

    ( )

    M

    M

    t S sM zs zI h s

    ´´´ .Mt

    M E I

    0 0'

    ´́ ´ 1l s

    t M Mu

    v

    M E h ds d

    20

    0 ( )

    ´́ ´ .s

    s lt M M Ms

    A

    M E h ds dA

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 110

    Beim allgemeinen Belastungszustand setzt sich damit die Schubspannung tangential zur Profilmittellinie aus folgenden Anteilen zusammen (Beschreibung mit x und y als Hauptachsen – s. o.):

    0 0

    ( )( ) ( )1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( )

    M

    M

    tQy Qxsz sv x y

    xx yy

    M zF z F zs z s S s S s S s

    h s I I I (3.51)

    Mit den bereitgestellten ( )t sv tM M zund(3.22) (3.49) ergibt sich nach (3.49) die Torsions-Dgl. zu: ´´´( ) (́ ) ( )

    M t tE I z G I z M z

    (3.52) mit: k Abklingfaktor . (3.53) Diese Dgl. wird zweckmäßigerweise noch für ein über die Stablänge verteiltes Moment (Linienmomentendichte) formuliert. Über die Momentengleichgewichtsbedingung

    kommt man auf eine inhomogene gewöhnliche Dgl. vierter Ordnung: . (3.54) Die allgemeine Lösung setzt sich aus einem homogenen und einem partikulären Anteil zusammen. Der Ansatz ( ) i zh iz A e

    führt auf die charakteristische Gleichung (analog zu [2/3] ) mit dem Ergebnis . . (3.55)

    Bei dieser Formulierung wurde wieder davon Gebrauch gemacht, dass die Terme

    kze mit wachsendem z bzw. ( )k l ze mit wachsendem l - z abklingen (s. Zylinder-schale).

    zdz

    m dzt MtM +M ´dzt t

    2 ´́M

    IV tmkE I

    2´́ ´ ´M

    tMkE I

    2

    M

    tG IkE I

    4 2 2 0i ik

    ( )1 2 3 4( )

    kz k l zh z A A z A e A e

    : tM tM ´ 0´ .

    t t

    t t

    M dz m dz

    M m

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 111

    Die Formulierung mit Hyperbelfunktionen (s. [2/3] ) führt auf: . (3.56) Die Partikulärlösung ( )p z erhält man über einen an die Funktion ( )tm z angepassten Ansatz. Zur Bestimmung der Integrationskonstanten können Aussagen getroffen werden über: Wichtigste Randbedingungen:

    Lagerung Skizze Randbedingungen Freiheitsgrad

    Starre Einspannung

    f = 0

    Gabellagerung ohne Axialbelastung

    f = 3

    freies Ende ohne Axialbelastung

    f = 6

    2.4.2 Geschlossene Querschnitte Die Diskussion des Einflusses der Wölbbehinderung auf den Spannungs- und Ver-zerrungszustand soll an Hand der Gegenüberstellung eines offenen und eines ge-schlossenen Querschnitts erfolgen.

    1 2 3 4( ) sinh coshh z C C z C kz C kz

    0´ 0

    0´´ 0

    ´́ 0

    ; ´ ; ´́ .

    M

    BE I

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 112

    Beispiel: Geschlitzter (Fall I) bzw. geschlossener (Fall II) dünnwandiger Kasten- träger unter Torsionsmomentenbelastung Geg.: Ges.: 1. Schubmittelpunkt 2. Verläufe der Einheitsverwölbungen

    3. Verhältnis der Schubspannungen bei reiner Torsion 4. Verhältnis der Drillungen 5. Verhältnis der Zusatzspannungen bei Wölbtorsion 6. Vergleich der Ergebnisse mit den über DUENQ erhaltenen

    Querschnittskennwerte für beide Profile

    Schwerpunkt, Flächenmomente 2. Ordnung

    Mittlerer Flächeninhalt, Wandstärke Querschnittskennwerte offenes Profil (Fall I)

    Torsionsträgheitsmoment (3.28)

    Widerstandsmoment

    a

    l

    h

    Mt

    x

    z y

    S b5

    40 , 2 80 ,10 400 , 0,1 4 ,2,1 10 , 0,3,

    500t

    a mm b a mml a mm h a mmE MPaM Nm

    S

    s1 s3s2

    3 22 4 4 4

    2 32 4 4 4

    00

    1 12 3 85,33 1012 4 6 3

    1 72 3 29,87 104 12 6 60

    0 (Symmetrie zur - Achse)

    S

    S

    xx

    yy

    xy x

    xy

    h b bI a h a b b h a mm

    a h aI b h a b a h a mm

    I

    3

    3 3 4 4 4

    1

    1 22 0,002 0,512 103 3t I i ii

    I h l a b h a mm

    2 3 3 3max

    2 0,02 1, 28 103

    t It I

    IW a b h a mm

    h

    2 2 2

    min max

    2 32 10mA a b a mmh h h

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 113

    Einheitsverwölbung bezüglich des Schwerpunktes S (3.14)

    i tSir Si I is ix iy ( )Mi I is

    1 2a 12

    a s 2a

    1s 1

    1 3 22 3

    a b a sa b

    2 2b 22 4

    b a bs 22

    a s 2b

    21 3 2 3

    2 3 2

    a ba b a b b sa b

    3 2a 3

    32 4

    a a bs

    2a 32

    b s 2

    31 3 9 4

    2 3 2

    a b a b a sa b

    Grafische Darstellung des Verlaufs ( )S I s für b = 2a : (Verlauf ( )S M I s zum späteren Vergleich):

    Sektorzentrifugalmomente bezüglich des Schwerpunktes (3.39)

    0 00

    0

    ( ) 0

    ( )

    (Symmetrie zur - Achse)

    s

    S I tS I I

    S i I i tSi i S i I

    xs r ds

    s r s

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    2 2

    1 1 1 2 2 3 3 30 0 0

    2 5 5 5

    0 ω

    322 2 2 4 2 2 4

    2 0,4 409,6 104

    antimetrisch zur - Achse

    x S I S I S IA s

    y S I S IA s

    b ba

    I x dA h x ds x

    I y dA h y ds

    a b b a b b ah s s ds s ds s s a b ds

    a b a b h a mm

    S

    2 2

    -2 -2

    1,50,3

    -1,5-0,5 -0,3

    -0,7

    0,7

    0,5

    SM

    s1 s3s2

    2S I

    a

    2M I

    a

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 114

    Koordinaten des Schubmittelpunktes M (3.40) Einheitsverwölbung bezüglich des Schubmittelpunktes (3.17)

    s. obige Tabelle (S. 113)

    Grafische Darstellung der Funktion ( )M I is für b = 2a : Analytisch: DUENQ 6 mit: : Sektorielles statisches Moment (3.38)

    00

    (Symmetrie zur - Achse)

    M S M M

    M

    M S M

    x

    x y y x kk

    y

    x y

    2

    22

    2

    23 2 64 481 2 3 53

    6

    0 (Symmetrie zur - Achse)

    x xy y yy yM

    xx yy xy xx

    y xy x xxM

    xx yy xy

    x

    a b a b hI I I I I a bx a a mmI I I I a ba b b h

    I I I Iy

    I I I

    2 216a cm

    2M I

    cm

    2M I

    a

    2

    -2

    0,3

    -0,3

    -0,7

    0,7

    SM

    1( ( )) 0

    1 3

    ( ) ω ω ( ) ( 0)

    ( 0) ( ) 02

    folgt aus der Bedingung

    M M

    M M

    s

    I M I M I IA s

    I I

    S s dA h s ds S s

    bS s S s

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 115

    i ih M i I iS s

    1 h

    2 21

    2 21

    4 3 28 3 4 3

    4 2 3 2 416 3

    a b a ba b h a h sa b a b

    a h a b b a b sa b

    2 h

    2 22 2

    22 2

    11 4 3 2 316 3 4 3

    11 4 3 2 4 3 416 3

    a b b ha b h a b a s a b sa b a b

    b h a b a b a b a s a b sa b

    3 h

    2 23 3

    2 23 3

    15 4 3 9 416 3 4 3

    15 4 12 36 1616 3

    a b a ha b h a b s a b sa b a b

    a h a b b a b s a b sa b

    Grafische Darstellung M I

    S für b = 2a : Analytisch: DUENQ 6 mit :

    -12

    -23-23,9

    -23

    -19

    0,7a

    -19

    S

    22

    2

    20

    3 4 42 20max

    3 2 3 2 04 3

    3 2 7 282 3 10

    478( ) 30,59 10400

    M

    M M

    I

    I I

    S b h a b a a b ss a b

    a bs a a mma b

    S S s a h mm

    4

    200

    M ISa

    4M I

    Scm

    441,28

    200a cm

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 116

    Wölbwiderstand (3.43) Abklingfaktor (3.53) Querschnittskennwerte geschlossenes Profil (Fall II)

    Torsionsträgheitsmoment (3.34)

    Widerstandsmoment (3.32)

    1

    2

    3

    222 2

    1 10

    22 2

    2 22( ) 0

    222

    3 30

    3 2

    1 12 3 2 (3 )4 23

    3 9 42

    b

    s

    a

    I M IA s

    b

    s

    a a b s ds

    aI dA h b a b a b s dsa b

    a a b a b s ds

    2 2 2 2 24 4 44 4 2 4 68, 27 10

    2 ( ) 15m

    t IIA a b h a b hI a mmds a b a bh

    3 3 32 2 0, 4 25,6 10 t II m minW A h a b h a mm

    2 2

    2 2 6 6 61 1113 34 10 1515 1024 3 300

    a b h a a b b a mma b

    3

    2 22 2

    23 1

    2 2 2 2

    2

    23

    12 1 2 1 3 34 1024 3

    8 3 3 1 10,0456 1,14 1013 1111 3 34 10

    0, 4560 0,6338 0, 4017I I

    t II

    I

    k l k lI

    a b hIk

    a b hI a a b ba b

    a b a b hmm

    a aa b a a b b

    k l e e

    2 1mit :tG I Ek G

    E I

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 117

    Einheitsverwölbung bezüglich des Schubmittelpunktes (Schwerpunktes) (3.35)

    i tM ir ( )Mi II is ( ) 2fürMi II is b a

    1 2a 12

    a b a sa b

    16

    a s

    2 2b 22 2

    a b b a sa b

    23 2

    a a s

    3 2a 32 2

    a a b b sa b

    36 a a s

    Grafische Darstellung der Funktion ( )M II s : Analytisch: DUENQ 6 mit :

    Sektorielles statisches Moment (analog (3.38) )

    S=Ms1 s3

    s2

    Ma2

    1-6

    1-6

    16

    16

    Mcm2

    00 00

    2

    0

    0

    ( )2

    : 0 (

    4( )2 ( ) 2

    ( )

    mit Symmetrie)

    s s

    tM II tM M II

    m

    M II

    mMi II i tMi i i Mi II

    m

    Mi II i tMi i Mi II

    I dss r s dsA h s

    A hs r s sa b A h

    a bs r sa b

    222,67

    6a cm

    ( ( )) 0

    ω ω ( ) Ms

    II M II M IIA s

    S dA h s ds

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 118

    i ih M i II iS s 2fürM i II iS s b a

    1 h 214

    a b a h sa b

    2412120

    saa

    2 h

    22

    2 2

    22 2

    16 4

    4 4

    a b a b h a b b h a s sa b a b

    a b b h a b a s sa b

    24

    2 221 2 2120

    s saa a

    3 h

    22

    3 3

    22

    3 3

    16 4

    4 16

    a b a b h a h a b b s sa b a b

    a b a h b b s sa b

    24

    3 321 2120

    s saa a

    Die Wölbschubspannungen sind für ein geschlossenes Profil durch einen zusätzlichen Term (analog der Spannungsberechnung beim Querkraft- schub s. S. 77 ff) zu ergänzen: (3.57) Er wird über die analoge Aussage zur Verformung gewonnen:

    (3.58) (3.59)

    0

    1 1´́ ´ 0M

    zs ds

    E S dsh G

    1´́ ´ . ME Sh

    1´́ ´1´́ ´

    1´́ ´ .

    M

    M

    M

    M

    GM

    S

    E S dshE S

    h ds

    S dsE S

    h ds

    1´́ ´

    ME S ds

    hds

    1´́ ´

    MS ds

    Eh ds

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 119

    Der zweite Term in (3.59) ist noch bereitzustellen: Das damit berechnete

    i IIM

    GiS s ist in der folgenden Tabelle für b=2a ein-

    getragen:

    i 2 80füri IIMG

    iS s b a mm

    1 2 24

    4 41 12 2

    2 32 2 10120 3 15 3

    s sa mma a

    2 2 24

    4 42 2 2 22 2

    1 32 12 2 2 2 10120 3 15 3

    s s s sa mma a a a

    3 2 24

    4 43 3 3 32 2

    1 32 12 2 10120 3 15 3

    s s s sa mma a a a

    Grafische Darstellung ( )

    IIM

    GS s

    für b = 2a : Analytisch DUENQ 6

    1,780,71

    -1,42S

    1 2

    2 2

    1 1 2 20 0

    2 2 5

    5

    44 4

    4

    4 3 6 2 30

    30 1, 422 106 180

    M M M

    M

    b a

    II II IIs s

    S ds S ds S ds

    a b a b h a b a b aa b

    aS ds a mm

    ads

    4 410IIM

    GS

    mm

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 120

    Wölbwiderstand (3.43) Abklingfaktor (s. o.) Verhältnisse der Trägheitsmomente, Widerstandsmomente, Wölbwiderstände und Abklingfaktoren

    2 2

    2 2 2

    2 223

    24 4003 133,32 3 3

    3

    t II

    t I

    a b hI a b aa bI ha b ha b h

    2 22 2

    2 22 22 2

    1 3 34 1033324 3 3 34 10 66,653

    24

    I

    II

    a b h a a b bI a ba b a a b bI a b h b a a b b a

    a b

    22 2 62 6 6( )

    22,76 1024 180II M IIA

    a b h b a aI dA mma b

    22 3 202

    3

    t II

    t I

    W a b h a bW a b ha b h

    8880 94,2t II IIII t I II

    I Ikk I I

    2 2

    22 2

    12

    2

    2

    2 12 1

    2424 240 1 14,30 0,107

    131

    43 0 0II II

    t IIII

    II

    k l k lII

    a b hI a bk

    I a b h b aa b

    mma ab a

    k l e e

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 121

    Grafische Darstellung des Abklingverhaltens der Zusatzspannungen beim offenen und beim geschlossenen Profil:

    Verhältnisse der Spannungen auf Grund der reinen Torsion und der Drillungen Lösung der Torsions-Differenzialgleichung (3.52) Homogene Lösung:

    maxt

    sv It I

    MW

    max

    max

    20sv I t IIsv II t I

    WW

    maxt

    sv IIt II

    MW

    tI

    t I

    MG I

    tIIt II

    MG I

    133,3t IIIII t I

    II

    z 0 0.0001 1

    2 2´´´ ´M M

    t tM G Ik kE I E I

    3

    1

    3 2

    12 2

    2,3

    1 2 3

    00

    ( )

    i zh

    i

    i i

    i

    kz k l-zh

    e

    k

    kk

    z B B e B e

    0 0.05 0.1 0.150

    0.5

    1

    ekI z

    ekII z

    z

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 122

    Partikuläre Lösung: Allgemeine Lösung und deren Ableitungen: Randbedingungen, Konstanten: Spezielle Lösung: Spezielle Werte:

    2

    2

    2

    M

    M

    M

    p

    t

    t

    t tp

    t

    C z

    Mk CE I

    MCk E I

    M Mz zk E I G I

    1 2 3

    2 3

    2 22 3

    ( )

    (́ )

    ´́ ( )

    kz k l-z t

    t

    kz k l -z t

    tkz k l-z

    Mz B B e B e zG I

    Mz k B e k B eG I

    z k B e k B e

    1 2 3

    2 3

    2 3

    (0) 0 0

    (́0) 0 0

    ´́ ( ) 0 0

    kl

    kl t

    tkl

    B B B eMB B e

    k G Il B e B

    2

    1 2

    2 2

    3 2

    11

    11

    1

    klt

    klt

    tkl

    tkl

    tkl

    t

    M eBk G I eMB

    k G I eM eB

    k G I e

    2 2 22

    2 22

    22

    22

    1( ) 1 11

    1´( ) 11

    1´´( )1

    1´´´( )1

    kl kz k l -z kltkl

    t

    kl kz k l-ztkl

    t

    kz k l -ztkl

    t

    kz k l-ztkl

    Mz e e e k z ek G I eMz e e e

    G I eM kz e eG I eMz e e

    E I e

    2

    2

    2

    2

    1(0) 0 ( ) 11

    1´(0) 0 ´( )

    1

    klt

    klt

    klt

    klt

    M l elG I kl e

    eMlG I e

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 123

    Verhältnisse der Zusatzspannungen auf Grund der Wölbtorsion Zusatznormalspannung (3.41)

    In der Einspannung (z = 0) gilt:

    Zusatzschubspannung (3.47)

    In der Einspannung (z = 0) gilt:

    1´´´ ( )( )

    M

    E S sh s

    ´́ ME

    2

    max

    2

    max

    max

    max

    2

    6

    20,604 7,2516

    M I

    M II

    I

    II

    a

    a

    Die Maxima der Beträge der Verwölbungen treten an unterschiedlichen Stellen im Querschnitt auf!

    2 2

    2 2

    1 1 133,3 0,427 0,6041 1 94, 2

    I II

    II I

    k l k lI t II M I M I M II

    k l k lII II t I M II M II M II

    Ik e ek I e e

    2 ( ) ( ) ( )133,3 0,015( ) 8880 ( ) ( )

    M M M

    II II IIM M M

    I I II t IIIG G G

    II II t I

    S s S s S sIkk I S s S s S s

    Die Maxima der Beträge der sektoriellen statischen Momente treten an unter-schiedlichen Stellen im Querschnitt auf!

    2

    2

    2

    1´´(0) ´´( ) 01

    2´´´(0) ´´´( )1

    klt

    klt

    klt t

    kl

    M k e lG I e

    M M elE I E I e

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 124

    4 4max

    4 4max

    max

    max

    30,6 10

    1,78 10

    30,60,015 0, 2581,78

    M

    M

    I

    GII

    I

    II

    S mm

    S mm

    Ergebnistabellen (Original) der Rechnung mit dem Programm DUENQ6 Offenes Profil

    Bezeichnung Symbol Größe Einheit Kommentar

    Querschnittsfläche A 9,6 cm2

    Lage des Schwerpunktes yS,0 2,00 cm bezogen auf Nullpunkt

    zS,0 4,00 cm

    Trägheitsmomente Iy 85,63 cm4 bezogen auf Schwerachsen y, z

    Iz 30,08 cm4

    Iyz 0,00 cm4

    Hauptachsendrehwinkel a 0,00 ° positiv im Uhrzeigersinn

    Hauptträgheitsmomente I2 85,63 cm4 bezogen auf die Hauptachsen 2, 3 im S I3 30,08 cm4

    Polare Trägheitsmomente Ip 115,71 cm4

    Ip,M 335,34 cm4 bezogen auf Schubmittelpunkt M

    Torsionsträgheitsmoment It 0,51 cm4

    Sekundäres Torsionsträgheitsm. It,s 71,14 cm4

    Lage des Schubmittelpunktes yM,0 -2,78 cm bezogen auf Nullpunkt

    zM,0 4,00 cm

    yM -4,78 cm bezogen auf Schwerpunkt

    zM 0,00 cm

    Wölbwiderstände Io,S 3481,08 cm6 bezogen auf Schwerpunkt

    Io,M 1515,09 cm6 bezogen auf Schubmittelpunkt

    Hilfswert für Wölbverdrehung ro,M 0,00

    Wölbwiderstandsmomente Wo,M,max 47,35 cm4 im Knoten 6

    Wo,M,min -47,35 cm4 im Knoten 5

    Abklingfaktor lM 0,0114 1/cm

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 125

    Geschlossenes Profil

    Bezeichnung Symbol Größe Einheit Kommentar

    Querschnittsfläche A 9,60 cm2

    Lage des Schwerpunktes yS,0 2,00 cm bezogen auf Nullpunkt

    zS,0 4,00 cm

    Trägheitsmomente Iy 85,63 cm4 bezogen auf Schwerachsen y, z

    Iz 30,08 cm4

    Iyz 0,00 cm4

    Hauptachsendrehwinkel 0,00 ° positiv im Uhrzeigersinn

    Hauptträgheitsmomente I2 85,63 cm4 bezogen auf die Hauptachsen 2, 3 im S

    I3 30,08 cm4

    Polare Trägheitsmomente Ip 115,71 cm4

    Ip,M 115,71 cm4 bezogen auf Schubmittelpunkt M

    Torsionsträgheitsmoment It 68,78 cm4

    - Anteil aus St.Venant It,St.Ven. 0,51 cm4

    - Anteil aus Bredt It,Bredt 68,27 cm4

    Sekundäres Torsionsträgheitsm. It,s 6,56 cm4

    Lage des Schubmittelpunktes yM,0 2,00 cm bezogen auf Nullpunkt

    zM,0 4,00 cm

    yM 0,00 cm bezogen auf Schwerpunkt

    zM 0,00 cm

    Wölbwiderstände I,S 22,76 cm6 bezogen auf Schwerpunkt

    I,M 22,76 cm6 bezogen auf Schubmittelpunkt

    Hilfswert für Wölbverdrehung r,M 0,00

    Wölbwiderstandsmomente W,M,max 8,53 cm4 im Knoten 3

    W,M,min -8,53 cm4 im Knoten 2

    Abklingfaktor M 1,079 1/cm

    Schlussfolgerungen

    Die Einheitsverwölbung eines offenen Profils ist deutlich größer als in einem gleichartigen geschlossenen Profil.

    Drillung und Spannung auf Grund der reinen Torsion sind beim offenen Profil wesentlich größer.

    Der Abklingfaktor beim geschlossenen Profil ist wesentlich größer. Auf Grund der größeren Einheitsverwölbung und des kleineren Abklingfaktors

    sind die Zusatzspannungen beim offenen Profil wesentlich größer als beim geschlossenen.

  • Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi

    9 / 30. Juni 2009 126

    Zugabe Spannungen im offenen Profil Reine Torsion: Wölbtorsion: Spannungen im geschlossenen Profil Reine Torsion: Wölbtorsion:

    32

    33

    150 .23

    ( ) 500023

    t t tI

    t I

    t t tI

    t I

    M M M konstW aa b h

    M l M l MlG I G aG a b h

    3

    2 2 2 2max

    3 3

    7 7 1 487( ; 0) ´´´(0) ( )10 10 400

    487 300 3, 29400 111

    tI I I

    I

    t t

    M as a z E S s ah I

    M Ma a

    3 3 33max

    3 3

    3 1( ; 0) ´´(0) ( ) ( )

    2 2 2

    12 118,56

    t II I M I M I

    t I t

    M kb b bs z E s sa b h

    M k Mah a

    3 3 33max

    3 3

    3 1( ; 0) ´´(0) ( ) ( )

    2 2 2

    12 118,56

    t IIII II M II M II

    t II t

    M kb b bs z E s sa b h

    M k Mah a

    max 3min

    5 .2 2 2

    t t t

    m

    M M MA h a b h a

    konst

    2 2 2 2 2 4

    2 154 4 2 4

    t tt t

    m

    M a b M a bM MdsA G h G a b h G a b h G a

    2 2

    0 2´́ ´ ´́ ´ 16 3 12 2M IIS ds a b b h a b a bE Eds a b

  • apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi Tragwerksberechnung

    9 / 30. Juni 2009 127

    2 2

    0 2

    2 2

    2

    2 22

    1 12

    3

    1 1´́ ´ ´́ ´ ´́ ´16 3 12 2

    1´́ ´16 3 12 2

    ´́ ´16 3 12 2 4

    1´́ ´12 36

    II M II M II

    M II

    II

    a b b h a b a bE S E S Eh h a b

    a b b h a b a bE Sha b

    a b b h a b a b a b aE sa ba b

    aE

    212

    2 22

    2 2 22

    232 2

    2

    2 2 22

    3 3 32

    ´́ ´16 3 12 2 4 4

    35´́ ´ 2 212 36

    ´́ ´16 3 12 2 4 16

    II

    II

    sa

    a b b h a b a b a b b a bE a s sa ba b

    s saEa a

    a b b h a b a b a b a bE b s sa ba b

    E

    23

    3 32 3 3

    2´́ ´ 212 9

    t ts s M Maa a a a