2.4 – Carta de Smith

Microondas I

* Utilizada na solução gráfica de problemas de impedância em linhas de transmissão

* 1939 – Laboratórios Bell (Philip Smith) → Durante o desenvolvimento de tecnologia radar.→ Estabelece graficamente a correlação entre a impedância normalizada da carga (zL)

e o coef de reflexão (Γ).

* Correlação gráfica de três circulos:

1. →

2. → Circulo de resistência constante ‘rL’

3. → Circulo de reatância constante ‘xL’

zIN = Z IN

Z0

= 1+Γe−2 jβ ŀ

1−Γe−2 jβ ŀΓL =

Z L−Z 0

ZL+Z0

= zL−1

zL+1

Em l = 0 ⇒ Z IN = ZL ⇒ zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ = (1+Γr )+ jΓi

(1−Γr )− jΓi

= rL+ jxL

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ → raio Raio = (1

1+r L

)

Raio = (1x L

)

Microondas I

2.4 – Carta de Smith

* Correlação gráfica de três circulos:

1. →

2. → Circulo de res. const. ‘rL’

3. → Circulo de reat. const. ‘xL’

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ

Raio = (1

1+r L

)

Raio = (1x L

)

Microondas I

2.4 – Carta de Smith

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ

Raio = (1

1+r L

) Raio = (1x L

)

zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ = (1+Γr )+ jΓi

(1−Γr )− jΓi

= rL+ jxL

2.4 – Carta de Smith

Microondas I

* Linha de comprimento l

Γ IN = Γ( ŀ ) = ΓL . e−2 jβ ŀ

ΓL = V 0

-

V 0+

= Z L−Z 0

ZL+Z 0

= |ΓL|e jθ

∓180o≡(Δ ŀ = λ /4 = 0,25λ)

∓360o≡(Δ ŀ = λ/2 = 0,50 λ)

SWR = V Max

V Min

= 1+|Γ|

1−|Γ|

Γ IN = |ΓL|ej(θ−2 j ŀ )

Um incremento Δl no comprimento da linha provoca uma rotação -Δθ (na carta de Smith), na direção do gerador.

Inversamente, um decréscimo de Δl no comprimento da linha provoca uma rotação +Δθ (na carta de Smith), na direção da carga.

2.4 – Carta de Smith

Microondas I

Exemplo 2.2 – Operações básicas na carta de Smith

Uma linha de transmissão de comprimento l = 0.3λ e impedância 100Ω é terminada em um circuito com impedância ZL = 40 + j70 Ω.i) ΓL = ?ii) ΓIN = ?iii) ZIN = ?iv) SWR = ?v) RL = ?

2.4 – Carta de Smith

Microondas I

* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

https://en.wikipedia.org/wiki/Slotted_line#/media/File:Waveguide_slotted_line.jpg

2.4 – Carta de Smith

Microondas I

* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

V max ≡ exp [ i(θ−2β ŀ max)] = 1V min ≡ exp [ i (θ−2β ŀ min)] = −1

Posição dos Vmax e Vmin

i)A escala é posicionada arbitrariamente ao longo da linha e um curto circuito é conectado na extremidade;

Da distância entre dois mínimos lmin1 e lmin2 determino λ (β) → (Δlmin = λ/2, período de oscilação)

2.4 – Carta de Smith

Microondas I

* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

V max ≡ exp [ i(θ−2β ŀ max)] = 1V min ≡ exp [ i (θ−2β ŀ min)] = −1

Posição dos Vmax e Vmin

ii) Com a carga (L) conectada na extremidade;

Da posição dos mínimos lminL1 e lminL2 (com a linha carregada) determino a fase θ de ΓL → θ = π + 2β(lminL1 - lmin1)

Da razão Vmax / Vmin determino o módulo de ΓL

→

2.4 – Carta de Smith

Microondas I

* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

V max ≡ exp [ i(θ−2β ŀ max)] = 1V min ≡ exp [ i (θ−2β ŀ min)] = −1

Posição dos Vmax e Vmin

iii) Dos valores determinados para a fase θ e para o módulo de ΓL, finalmente obtemos ΓL e ZL.

→ θ = π + 2β(lminL1 - lmin1)

→

ZL = 1+ΓL

1−ΓL

.Z0ΓL = |ΓL|ej θ

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

Microondas I

* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Com o acoplador ideal devemos obter Γin = 0!

→ Assumindo impedância real na carga (RL)

Z in = RL+ j Z1 tan (β ŀ )

Z1+ j RL tan (β ŀ ).Z1

Quando l = λ/4 ⤇ βl = π/2 ⤇ tan(βl ) → ∞

Z in = Z1

2

RL

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

= 0 ⇒Z in = Z0 ⇒ Z1 = √Z0 . RL

“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

Microondas I

* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Sempre que introduzir a fase βl = π/2 + nπ (n = 1,2,3,...)

→ O acoplador funcionara para múltiplos imparesda frequência fundamental (f0 = vp / λ0):

Z1 = √Z0 . RL

“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”

Γ in = 0

f = f0f = 3.f0f = 5.f0f = 7.f0...

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

Microondas I

* O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL = RL).

→ Mas posso tornar qualquer valor ZL em real por meio da inclusão de um certo incrementono comprimento da linha de transmissão.

→ Na carta de Smith, ZL = rL + ixL

“Giro Δθ = Δl na direção do geradoraté que a componente complexa seja nula

ZL→ RL

ZL

Δl

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

Microondas I

* Exemplo em uma rede de microfita:

ZL

https://www.rfglobalnet.com/doc/microstrip-patch-array-design-0001

Ramzan, Mehrab & Topalli, Kagan. (2015). International Journal of Antennas and Propagation. 1-9. 10.1155/2015/495629.

Z1 > Z0

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

Microondas I

* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:→ Duas reflexões (Γ e Γl)

→ Voltagem na linha

→ Da corrente na linha Iin

Vg → Impedância série do gerador

⇒V g

Z g+V in

= V in

Z in

V in = V (−l)

⇒

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

Microondas I

* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:→ Duas reflexões (Γ e Γl)

→ Da corrente na linha Iin

Vg → Impedância série do gerador

⇒V g

Z g+V in

= V in

Z inV in = V (−l)

⇒

→ Substituindo Γl pela expressão em Zl em Z0

Obtemos

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

Microondas I

* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:→ Duas reflexões (Γ e Γl)→ Sendo

o coeficiente de reflexão olhando na direção do gerador.

Vg → Impedância série do gerador

→ Na linha

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

Microondas I

* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

→ Potência entregue na carga

P = 12

ℜ(V in I in*) I in =

V in

Z in

P =12|V in|

2ℜ(

1Z in

)

V in = V (−l) = Z in

Z in+Z g

.V g

** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia transferida.

P =12|V g|

2| Z in

Z in+Z g|2

ℜ(1Z in

)

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

Microondas I

* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

→ Potência entregue na carga

** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia transferida.

P =12|V g|

2| Z in

Z in+Z g|2

ℜ(1Z in

)

Z in = R in+ jX in

Zg = Rg+ jXg P = 12|V g|

2 R in

(R in+Rg)2+(X in+Xg)

2

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

Microondas I

* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

Casos especiais:

→ Carga acoplada a linha (ZL = Z0) (Zin = Z0)

→ Gerador acoplado a linha carregada (Zg = Zin)

⇒R in = Z0 X in = 0

P = 12|V g|

2 R in

(R in+Rg)2+(X in+Xg)

2

P = 12|V g|

2 Z0

(Z0+Rg)2+Xg

2

R in = Rg X in = X gP =

12|V g|

2 Rg

4 (Rg2+X g

2)

2.6 – Descasamento entre gerador e carga

Microondas I

* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:

Casos especiais:

→ Acoplamento conjugado ( Zin = Zg* )

P = 12|V g|

2 R in

(R in+Rg)2+(X in+Xg)

2

Potência máxima (ideal) R in = Rg X in = −XgP =

18|V g|

2

Rg

“Quanto menor o valor de Rg do gerador melhor será a eficiência”

2.7 – Linha de transmissão com perdas

Microondas I

* Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência:

Comprimento incremental da linha:

→ R, resistência em série por comprimento→ L, Indutância em série por comprimento → G, condutância de derivação por comprimento→ C, capacitância de derivação por comprimento

2.7 – Linha de transmissão com perdas

Microondas I

* Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência:

Com perdas:

→ β ⇒ γ = α+β = √(R+ jω L)+(G+ jωC)

Z0 = R+ jω L

γ = √ R+ jω LG+ jωC

γ = √( jω L)( jωC )(1+R

jω L)(1+

GjωC

) = jω√LC √1− j (R

ω L+

GωC

)−RG

ω ² LC

2.7 – Linha de transmissão com perdas

Microondas I

* Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência:

Com perdas:

→

→ Em alta frequência, quando e

Expandindo em série de Taylor em torno de

Podemos incluir as perdas como uma correção de primeira ordem:

γ = jω√LC √1− j(R

ω L+

GωC

)−RG

ω ² LC ⇒ jω √LC (sem perdas)

⇒ RG

ω ² LC~ 0

(R

ω L+

GωC

)<<1

⇒ = α + jβ

2.7 – Linha de transmissão com perdas

Microondas I

* Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência:

Com perdas (alta frequência):

→

→

= α + jβ

2.7 – Linha de transmissão com perdas

Microondas I

* Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência:

Exemplo: