22-2. una turbina de reacción en la que se desprecian las pérdidas. Tiene las siguientes características: n = 375rpm, β₁ = 90°, α = 10°, c₁m = c₂m = 2 m/s, D₂ = ½ D₁, b₁ = 100mm. El agua sale del rodete sin componente periférica. El espesor de los alabes resta un 4% al área útil a la entrada del rodete.

Calcular:

a) Salto neto;b) β₂;c) D₁ y D₂; d) Potencia desarrollada por la turbina.

Datos: n = 375rpm, β₁ = 90°, α = 10°, c₁m = c₂m = 2 m/s, D₂ = ½ D₁, b₁ = 100mm, τ= 0.96 c₂u = 0

Triangulo de entrada:

c₁u = U₁ =2

tan 10 = 11.345

w₁u = 0

w₁ = c₁m

H = Hu (altura útil o altura de Euler pq no hay perdidas)

Hu=U1C1u−U 2C2u

g→Hu=

(11.345m / s)(11.345m / s)−0(9.81m /s2)

=13.1145m.

U 1=nπ D1

60 Despejando D1 D1=

60U 1

nπ=60 (11.354)375 π

=0.5776m

D₂ = ½ D₁ D₂ = ½ (0.5776) = 0.2883m

Del triangulo de salida:

U 2=nπ D2

60=

(375 rpm)π (0.2883)60

=5.6548m /s

tan β ₂=C2m

U 2

Despejando β₂ β2=tan−1 25.6548

=19.47 °

P=QγHu Y Q=C1mπ b1D1 τɳ v

Q= (2m / s)π (0.1m ) (0.5776m ) (1 ) (0.96 )=0.3484m3/ s

P=( 0.3484m3

s )( 9810Nm3 ) (13.1145m )=44.822kw

22-16 Una turbina de reacción tiene las siguientes características:α 1 = 30°, diámetro medio a la entrada del rodete 180cm y a la salida, 120cm; C₁ = 2 m/s; b₁ = b2 = 45cm a una velocidad de 100rpm, el Par medio es de 2000 N . m; ɳm=95%.

Calcular:

a) El Angulo α 2b) Potencia útil desarrollada por la turbina.c) La caída de presión teórica que experimenta el agua en el rodete (supóngase iguales las

cotas de entrada y de salida del rodete).

Triangulo de entrada

U 1=nπ D1

60=

(100 ) (π ) (1.8 )60

=9.4247m / s

sinα 1=C1mC1

C1m=sinα 1 (C1 )=sin 30(2)

C1m=1m /s

Q=C1mπ b1D1 τɳ v=(1 )π (0.45 ) (1.8 ) (1 ) (1 )

Q=2.5446m3

s

C1U=C1mtanα1

= 1tan 30

=1.7372m /s

C2m=Q

π b1D1 τɳ v

=2.5446

m3

s(1 )π (0.45 ) (1.2 ) (1 ) (1 )

=1.5 ms

Pa=0.1047 nM=0.1047 (100 rpm ) (2000N .m )=20940w

ɳm=PaPi

Despejando Pi Pi=Paɳm

=20940w0.95

=22042.1052w

Pi=QγHu Despejando Hu Hu= Pi

Qγ= 22042.1052w

2.5446m3

s ( 9810Nm3 )=0.8830m

U 2=nπ D2

60=

(100 ) (π ) (1.2 )60

=6.2831m /s

Hu=U 1C1u−U 2C2u

g Despejando C2u.

C2u=U 1C1u−Hu .g

U 2

=(9.4247m /s ) (1.7372m /s )−(9.81m /s2)(0,8830m)

6.2831m /s=1.2193m/ s

tan α2=C2m

C2U= 1.51.2193

=50.89 °

C2m2+C2U

2=C22 C2

2=3.7366m2

s2

b) Pa

Pa=0.1047 nM=0.1047 (100 rpm ) (2000Nm )=20940w

c) rodete

H= Pe−Psγ

+Ze−Zs+Ve2−Vs2

2g

H=Hu+Hr&Hr=C2

2

2g= 3.73662 (9.81)

=0.1904m

H=0.8830m+0.1904m = 1.0734 m.

Pe−Psγ

=H−(Ze−Zs )−Ve2−Vs2

2 g=1.0734m− (0 )−

(4−3.7366 )2 (9.81 )

=0.5657m=5549.517 Pa

22-21un pequeño motor hidráulico que funciona con agua absorbe un caudal Q =1500lt/min. Antes del motor en la tubería de admisión la presión relativa es de 6 bar y después del motor en la tubería de descarga, y en un punto que se encuentra 5m por debajo del punto de conexión del manómetro de entrada, la presión relativa es de 3 bar. Se despreciarán las perdidas

Datos: Q =1500lt/min Ps = 6 bar Pe = 3bar (Zs-Ze) = 5m no hay perdidas y los diametros son iguales

∆ PT=Pe−Ps+(Ze−Zs ) gρ+ (Ve¿¿2−Vs2) ρ2

=(600000 pa−300000 pa )+(5m∗9807N /m3 )+(0 )=349305 pa¿

Ps = 6bar = 600000 pa

Pe = 3 bar = 300000pa

P=Q∗∆ PT=0.025m3

s∗349305 pa=8726w

22-22. Una turbina de reacción, en la que no se tendrá en cuenta la friccion, da un caudal de Q = 800 lt/s a n= 500rpm bajo una altura neta de H=40m. El área disponible para el flujo para la entrada del rodete es de A1= 500cm² y diámetro del mismo es de D1=650mm. Calcular:

a) Las dos relaciones típicas de la turbina (coeficientes de velocidad Ku1=U 1

√2gH)

b) Si la salida del rodete se encuentra a 3 metros por encima del nivel de aguas abajo, calcular la ganancia de altura útil que se obtiene instalando un tubo de inspiración, cuya entrada tiene 600mm de diametro y la salida 1m.

c) Ku1=U 1

√2gH= 17.0169m /s

√2 (9.81)(40)=0.6074

U 1=nπ D1

60=500 π (0.65)

60=17.0169m /s

22-25 Una turbina francis tiene las siguientes caracteristicas: D2= 240cm, D1 = 300 cm, α2 = 90° n= 100rpm, w1= 15m/s, w2= 16m/s, b1 = b2= 300mm. Calcular:

a) El caudal de la turbinab) Los angulos β1 β2c) El par hidráulico comunicado al rodete

U 2=nπ D2

60=100π (2.4m)

60=12.566m / s

β2=cos−1(

U 2

w2)¿cos−1( 12.566

16)=38.24 °

C2=√162−12.5662=9.9=C2m

Q=C2mπ b2D2 τɳ v=(9.9 )π (0.3 ) (2.4 ) (1 ) (1 )=22.4 m3

s

C1m=π b1D1 τɳ v

Q=π (0.3 ) (0.3 ) (1 ) (1 )

22.4m3

s

=7.9232ms

β1=sin−1 C1m

w1=sin−1 7.9232m / s

15m/ s=31.88 °

μ=Qρ (r1C1 cosα 1−r2C2 cosα 2 )=22.4 m3

s∗1000 kg

m3 [1.5∗8.46∗cos (69.5 )−1.2∗9.9∗cos (90 )]=99548.54Nm

22-26 una turbina de eje vertical desarrolla una potencia de Pa=250kw y absorbe un caudal de Q= 0.9 m³/s la presión a la entrada de la turbina es de Pe= 3bar. la entrada de la turbina se encuentra 200cm por encima del nivel de aguas abajo. La velocidad de entrada en la turbina es de Ve= 4m/s. Calcular:

a) Altura netab) Rendimiento total de la turbina

a) H = ?

H= Pe−Psγ

+Ze−Zs+Ve2−Vs2

2g=300000 pa−0

9810Nm3

+2m+(4¿¿2−0)

(2(9.81 ms2 ))=33.39m ¿

b) ɳT=PaP

P=QγH=0.9m3

s (9810 Nm3 )(33.39m )=294857.6985w

ɳT=250000w

294857.6985w=84.78%

22-27 datos; H=80m, Q=5m³/s calcular potencia

P=QγH=5m3

s∗80m∗9810 N

m3=3924000w

22-29. una turbina francis tiene las siguientes características; D1= 1200mm; D2 600mm; β1=90°; α1 = 15°; C2u = 0; H=30m; U 1=0.7 √2 gH ; C1m = C2m. calcular:

a) Rpmb) β2

a) n

U 1=nπ D1

60 & U 1=0.7 √2 gH=0.7√2(9.81)(30)=16.9827m / s

n=60U 1

π D1

=60∗16.9827m /sπ∗1.2m

=270.288 rpm

b) β2

Triangulo de salida triangulo de entrada

U 2=nπ D2

60=270.288π∗0.6

60=8.4913m/ s

tanα1=w1U 1

=C1mU 1

=C2mU 1

& C2m=tanα1∗U 1=tan 15 °∗¿16.9827 ms=4.5505m / s¿

tan β2=C2m

U 2

β2=tan−1 4.5505m/ s8.4913m / s

=28.18 °

22-33una turbine francis absorbe un caudal de Q = 4 m³/s; n= 500rpm; D1 = 130cm; α1= 20°; C1 = 30m/s; ɳH=85%; ɳm=95%; ɳv= 1. La componente periférica de la velocidad absoluta a la salida es 0. Calcular:

a) altura neta.b) el par.c) la potencia útil.

Hu=U1C1u−U 2C2u

g=34.0339

ms∗28.19 m

s9.81

=97.81m

U 1=nπ D1

60=500 π∗1.3m

60=34.0339m / s

cos α1=C1u

C1

C1u=cos20∗30ms=28.19 m

s

ɳH=HuH

→H=HuɳH

=97.81m0.85

=115.0617m

ɳT=PaP→Pa=ɳT P=ɳTQγH=(0.8075 )(4 m3

s )(9810 Nm3 ) (115.0617m )=3645879w

Pa=0.1047 nM→M= Pa0.1047n

= 3645879w0.1047∗500

=69649,30Nm

22-37 Una turbina de reaccion tiene las siguientes caracteristicas D1=750mm; D2 = 630mm; n = 400rpm; α1 = 15°; C1=14m/s; C2m= 5m/s C2u = 0; b1/D1= 0.15; ɳh= 0.8; v= 2m/s ; Pr mec=3.7 kw; Ze-Zs =4m. calcular:

a) triangulo de velocidadesb) el caudal.c) La altura útil.d) El salto netoe) La presión relativa a la entrada en la turbinaf) Potencia útil suministrada por la turbinaa) Triángulos de velocidades

Triángulo de salida

C2=C2m ; U 2=nπ D2

60=400 π 0.63

60=13.1946m /s

C2m2+U 2=w2→w=√13.19462+52=14.1101m /s

tan β2=C2m

U 2

β2=tan−1 5m /s13.1946m /s

=20.75 °

Triangulo de entrada

sinα=C1mC1

→C1m=sinα∗C1=sin (15 )∗14=3.6234m /s

tanα1=C1m

C1U

→C1U=C1m∗tanα 1=3.6234ms∗tan (15 )=13.5227 m

s

U 1=nπ D1

60=400π∗0.75

60=15.7079 m

s

w1u=U1−C1u=15.7079ms−13.5227 m

s=2.1852m

s

tan β1=C1m

w1U

→β1=tan−1( 3.62342.1852 )=58.906 °

sen β1=C1m

w1→w1=

C1m

sen β1= 3.6234sen (58.906 ° )

=4.2313m /s

b) Q=C1mπ b1D1 τɳ v=(3.6234 )π ( .1125 ) (0.75 ) (1 ) (1 )=0.96046 m3

s

c)Hu=

U1C1u−U 2C2u

g=15.7079∗13.5227

9.81ms2

=21.65m

d) ɳH=HuH

→H=HuɳH

=21.650.8

=27.0658m.

e)

Pe=H+ Psγ

−(Ze+Zs )−Ve2−Vs2

2g=27.065m+ 0

9810Nm3

−4m+(2¿¿2−0)

(2 (9.81ms2 ))=224.275 .49 pa¿

f)

Pi=Pa+Prmec→Pa=Pi−Prmec=QγHu−Prmec=(0.96046 )(9810 Nm3 )(21.65m )− (3700w )=200314.1774w

22-39 una turbina de reacción tiene tiene las siguientes características: D1= 680mm; b1=150mm; D2= 500mm; b2=200mm; H=20m; C1m=3m/s; α1=12°; no hay perdidas; nt=1. Calcular:

a) Rpmb) Angulo de los álabes a la salida del rodete.c) Potencia del eje.a) rpm

n=U 60πD

=13.90128 (60 )π (0.68m )

=390.4336 rpm

tanα1=C1m

C1u

→C1u=C1mtanα 1

= 3tan12

=14.1138 ms

Hu=U1C1u

g→U 1=

HugC1u

=(20 ) (9.81 )14.1138

=13.90128 ms.

b) β₂

Triangulo de salida

U 2=nπ D2

60=390.4336π (0.5 )

60=10.22

Q=C1mπ b1D1 τɳ v=(3 ) π (0.15 ) (0.68 ) (1 ) (1 )=0.9613m3

s

C2m=Q

π b2D2 τɳ v

=0.9613

m3

sπ (0.5 ) (0.2 ) (1 ) (1 )

=3.0591 ms

tan β2=C2m

U 2

→β2=tan−1 C2m

U 2

=β2=tan−1 3.059110.22

=16.665 °

c) Pa

P=QγHu= (0.9613 ) (9810 ) (20 )=188607w

22-41 una turbina de reacción está diseñada para alcanzar su óptimo rendimiento cuando gira a n= 600rpm; bajo un salto neto de H= 30m; desarrollando una potencia de Pa=125kw; nt= 75%; U1= 0.95(2gH)^½ . calcular:

a) El caudal b) El diámetro de entrada del rodete

a) Q

ɳT=PaP→P= Pa

ɳT

=125000w0.75

=166666.666w

P=QγH→Q= PγH

=166666.666w(9810 ) (30 )

=0.5663m3

s

b) D1

D1=U 160nπ

=23.048

ms

(60 )

600π=0.7336m

U 1=0.95√2 gH=0.95√2 (9.81 ) (30 )=23.048 ms

22-45 una turbina de reacción tiene las siguientes características: Q= 3m³/s; D1=280cm; D2=

240cm; α1= 12°; n= 46rpm; b1=b2=290mm;Hr=0.20w2

2

2g Ps/γ=3.5m; c2u = 0. Calcular:

a) Hrb) P1

a) Hr

Hr=0.20w2

2

2g=0.20 (5.9410 )2

2 (9.81 )=0.3598m

U 2=nπ D2

60=46 π (2.4 )60

=5.7805 ms

Q=C2mπ b2D2 τɳ v→C2m=Q

π b2D2 τɳ v

= 3π (0.29 ) (2.4 ) (1 ) (1 )

=1.372 ms

U 22+C2m

2=w22→w2=√ (5.7805 )2+(1.372 )2=5.9410 m

s

b) Pe

Hu=U 1C1u−U 2C2u

g=6.7459 (6.6852 )

9.81=4.5957m

U 1=nπ D1

60=46 π (2.8 )60

=6.7459ms

C1m=Q

π b1D1 τɳ v

= 3π (0.24 ) (2.8 ) (1 ) (1 )

=1.4210 ms

C1u=C1mtan α1

=1.4210tan 12

=6.6852ms

H= P2−P1γ

+C2

2−C12

2g+Hr→ P1

γ=Hu+ P2

γ+C2

2−C12

2 g+Hr=4.5957m+3.5m+

(2.7483 )− (46.711)(2∗9.81)

+0.3598=6.2228m.

C22=C1m

2 +C1u2 =(1.4210 )2+(6.6852 )2=46.711m

2

s2

C12=C2m

2 =(1.372 )2=2.7485 m2

s2

22-46 una tirbina de reacción de eje vertical funciona bajo un salto neto de; H= 30m; D1= 380mm; b1= 40mm; D2= 320mm; β₁= 80°; τ=1; α₁= 25°; C₁m=C₂m; C₂u=0; Phr= 4m. Calcular;

a) β ₂b) diámetro de entrada en el tubo de aspiración.

a) β₂

Hu=H−Hrint=30−4=26

Hu=U1C1u−U 2C2u

g=

((C¿¿1u+w1u)(C1u))g

=(

C1m

tan15 °+

C1mtan 80 °

)(C1mtan 15

)

g=14.4862C1m

2

9.81¿

Hu=1.4868C1m2=26→C1m=√ 26

1.4868=4.1817 m

s

U 1=

C1m

tan15 °+

C1mtan 80 °

=4.1817

ms

tan 15°+4.1817

ms

tan 80°=16.3436m / s

n=U 160

π D1

=16.3436 (60 )

π 0.38=821.4204 rpm

U 2=nπ D2

60=821.4204 π (0.32 )

60=13.76m

s

β2=tan−1C2m

U 2

=β2=tan−1 4.181713.763

=16.9 °

b) Q

Q=C1mπ b1D1 τɳ v=4.1817 (0.38 ) (0.04 ) π=0.1996 m3

s

d=√ 4QVπ =√ 4 (0.1996)(4.1817)(π )

=.2465m

22-47 el rendimiento total de una turbina de reaccion de 184 kW, que trabaja bajo una altura neta de H=70m es de nt=75%; la velocidad periferica a la entrada del rodete es U1=25m/s; y el ancho del rodete a la entrada es b1=1/6D1la velocidad meridional permanece constante e igual a;C1m=C2m= 4.5m/s;el diametro de salida de los álabes es de D2=0.75D1;β1=90°;C2u=0;nv=1. Calcular:

a) Diametro del rodete.b) Rpm.c) Angulo de salida de los álabes del distribuidor.d) Angulo β₂.

a) D1

P= Paɳt

=1840000.75

=245333.33w

Q= PγH

= 245333.339810∗70m

=0.3572 m3

s

Q=C1mπ b1D1 τɳ v=C2mπ b2D2 τɳv→b1D 1=b2D2→( 16 D1)D1=( 34 D 1)b2→b2=0.2221D1

C2mπ 0.2221D134D1 τɳ v=Q→ (4.5 )π 0.2221D1

34D1=0.3572

m3

s

D1=√ 0.3572m3

s

2.3548ms

=389.4mm

b) n

n=U 160

π D1

=25 (60 )

π∗0.3984=1226.1551 rpm

c) angulo de salida de los alabes del distribidor

α 1=tan−1(C1mU 1

)=tan−1( 4.52.5 )=10.20°

d) β₂

D2=34D1=

34

( .3894 )=.29205m

U 2=nπ D2

60=1226.1551π (0.29205 )

60=18.74 m

s

β2=tan−1(C2mU 2

)=tan−1( 4.518.74 )=13.49°

2 w2

U 2