· 2018-05-14 · Μαθηματικά Β´ Γυμνασίου Κριτήρια...

΄

ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ∆ΗΣ

Μαθηματικά Β´ Γυμνασίου Κριτήρια Αξιολόγησης

«Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθε σίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθω-ση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου».

Εκδόσεις Πατάκη – Βιβλία για την εκπαίδευσηΦώτης Κουνάδης, Μαθηματικά Β´ Γυμνασίου – Κριτήρια ΑξιολόγησηςΥπεύθυνος έκδοσης: Νίκος Κύρος∆ιορθώσεις: Κώστας ΣίμοςΣελιδοποίηση: Αλέξιος ΜάστορηςΦιλμ-Μοντάζ: Μαρία Ποινιού-ΡένεσηCopyright© Σ. Πατάκης ΑΕΕ∆Ε (Εκδόσεις Πατάκη) και Φώτης Κουνάδης, Αθήνα, 2018Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Μάιος 2018ΚΕΤ Β637 ΚΕΠ 238/18ISBN 978-960-16-7751-4

ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛ∆ΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38, 104 37 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 210.36.50.000, 210.52.05.600, 801.100.2665, ΦΑΞ: 210.36.50.069ΚΕΝΤΡΙΚΗ ∆ΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, 106 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 210.38.31.078ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΗΜΑ: ΚΟΡΥΤΣΑΣ (ΤΕΡΜΑ ΠΟΝΤΟΥ - ΠΕΡΙΟΧΗ Β΄ ΚΤΕΟ), 570 09 ΚΑΛΟΧΩΡΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, ΤΗΛ.: 2310.70.63.54, 2310.70.67.15, ΦΑΞ: 2310.70.63.55Web site: http://www.patakis.gr • e-mail: [email protected], [email protected]

Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας,εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση.

3

Περιεχόμενα

Γράμμα προς τους μαθητές και τις μαθήτριες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΕΣΤΔιαγνωστική αξιολόγηση στα Μαθηματικά της Α΄ Γυμνασίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Κριτήριο 1ο: Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Κριτήριο 2ο: Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12Κριτήριο 3ο: Η έννοια της μεταβλητής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Κριτήριο 4ο: Εξισώσεις α΄ βαθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Κριτήριο 5ο: Εξισώσεις α΄ βαθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Κριτήριο 6ο: Προβλήματα γεωμετρίας με εξισώσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Κριτήριο 7ο: Προβλήματα με εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Κριτήριο 8ο: Τετραγωνικές ρίζες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Κριτήριο 9ο: Τετραγωνικές ρίζες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19Κριτήριο 10ο: Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20Κριτήριο 11ο: Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21Κριτήριο 12ο: Η έννοια της συνάρτησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Κριτήριο 13ο: Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης . . . . . . .23Κριτήριο 14ο: Η συνάρτηση y x= α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24Κριτήριο 15ο: Η συνάρτηση y x= α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26Κριτήριο 16ο: Η συνάρτηση y x= α +β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Κριτήριο 17ο: Η συνάρτηση y x= α +β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Κριτήριο 18ο: Η συνάρτηση yxα= – Υπερβολή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Κριτήριο 19ο: Γραφικές παραστάσεις – Μέση τιμή – Διάμεσος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Κριτήριο 20ο: Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας – Μονάδες μέτρησης επιφανειών . . . . . . .35Κριτήριο 21ο: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36Κριτήριο 22ο: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Κριτήριο 23ο: Πυθαγόρειο θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38Κριτήριο 24ο: Πυθαγόρειο θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39Κριτήριο 25ο: Εφαπτομένη οξείας γωνίας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40Κριτήριο 26ο: Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41Κριτήριο 27ο: Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Κριτήριο 28ο: Εγγεγραμμένες γωνίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Κριτήριο 29ο: Κανονικά πολύγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45Κριτήριο 30ο: Μήκος κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47Κριτήριο 31ο: Εμβαδόν κυκλικού δίσκου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Κριτήριο 32ο: Εμβαδόν – όγκος πρίσματος και κυλίνδρου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β´ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ – ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

4

ΩΡΙΑΙΑ ΔΙΑΓ ΩΝΙΣΜΑΤΑΔιαγώνισμα 1ο: Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Διαγώνισμα 2ο: Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Διαγώνισμα 3ο: Πραγματικοί αριθμοί – Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Διαγώνισμα 4ο: Πραγματικοί αριθμοί – Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59Διαγώνισμα 5ο: Πραγματικοί αριθμοί – Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60Διαγώνισμα 6ο: Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62Διαγώνισμα 7ο: Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64Διαγώνισμα 8ο: Τριγωνομετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66Διαγώνισμα 9ο: Τριγωνομετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68Διαγώνισμα 10ο: Μέτρηση κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70Διαγώνισμα 11ο: Μέτρηση κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72Διαγώνισμα 12ο: Μέτρηση κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣΔιαγώνισμα 1ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79Διαγώνισμα 2ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81Διαγώνισμα 3ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83Διαγώνισμα 4ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85Διαγώνισμα 5ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88Διαγώνισμα 6ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Διαγώνισμα 7ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94Διαγώνισμα 8ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97Διαγώνισμα 9ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100Διαγώνισμα 10ο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102Διαγώνισμα 11ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104Διαγώνισμα 12ο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε εσάς τους μαθητές και τις μαθήτριες της Β΄ Γυμνα-σίου και έχει προσαρμοστεί στις τελευταίες οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθημα-τικών.

Πιστεύω ότι με την ποικιλία των θεμάτων που παρατίθενται, θα μπορέσετε να αντι-μετωπίσετε οποιασδήποτε μορφής εξετάσεις και συγχρόνως θα αποκομίσετε σημα-ντικό όφελος για μια καλύτερη κατανόηση των Μαθηματικών.

Στο βιβλίο περιέχονται:␐ Ένα κριτήριο διαγνωστικής αξιολόγησης στην ύλη της Α΄ Γυμνασίου.␐ 32 κριτήρια αξιολόγησης (τεστ) για κάθε παράγραφο.␐ 12 ωριαία διαγωνίσματα για κάθε κεφάλαιο ή ενότητα.␐ 12 διαγωνίσματα προσομοίωσης για τις προαγωγικές εξετάσεις του Ιουνίου.␐ Αναλυτικές απαντήσεις όλων των παραπάνω.

Φώτης ΚουνάδηςΜαθηματικός

Υ.Γ. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον γιο μου Ανδρέα για τις χρήσιμες πα-ρατηρήσεις του, καθώς και όλους τους συνεργάτες των εκδόσεων Πατάκη για την πολύτιμη βοήθειά τους.

Γράμμα προς τους μαθητές και τις μαθήτριες

11

␐ ΘΕΜΑ 1oΝα υπολογίσετε τις δυνάμεις:α) 32 ......= β) ( )410 ......− = γ) 90 ......= δ) 301 ......− = ε) ( )33 ......− =

μονάδες 5

␐ ΘΕΜΑ 2oΑ. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λάθος:

α) 2 3 53 3 3+ = β) ( )8 82 2− =

γ)

4 4

4

7 72 2

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) ( )36 94 4=

Β. Να γράψετε με τη μορφή δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις:

α) 4 4 4 4⋅ ⋅ ⋅ β) ( ) ( ) ( )3 52 2 2− ⋅ − ⋅ − γ) 5 50,3 10⋅ δ) ( ) ( )412 8 3:α ⋅α α

μονάδες 8

␐ ΘΕΜΑ 3oΝα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

( ) ( )3 1

2 20181 1 2 13 12 2 3 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Α = − − + ⋅ − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

μονάδες 7

Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό

1o Κριτήριο αξιολόγησης

Διάρκεια 20΄

12

␐ ΘΕΜΑ 1ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

α) 210− ισούται με: Α. – 20 Β. 20 Γ. 0,01 Δ. 120

−

β) ( )03− ισούται με: Α. –1 Β. 1 Γ. 0 Δ. –3

γ) 03− ισούται με: Α. –1 Β. 1 Γ. 0 Δ. –3

δ) 22

5

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ισούται με: Α. 1625

Β. 165

Γ. 2516

Δ. 254

μονάδες 4

␐ ΘΕΜΑ 2ο Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή δύναμης.

α) 4 9 42 2 2−⋅ ⋅ β) ( ) ( )2 56 43 : 3 γ) 3

2

44−

δ) 8 197 7 7

6 6 6

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ε) ( ) ( )34 2

12

2 22 2

− ⋅

⋅μονάδες 10

␐ ΘΕΜΑ 3ο

Να βρείτε την τιμή της παράστασης x+1 2 4 x+32 3 2 x 2 xΑ = ⋅ − ⋅ + ⋅ , όταν x 3= − .μονάδες 6

Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο



13

␐ ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε με μαθηματικά σύμβολα τις παρακάτω εκφράσεις:α) Η περίμετρος ενός τετραγώνου πλευράς α.β) Το εμβαδόν τριγώνου με βάση 10 cm.γ) Το κόστος x κιλών πορτοκαλιών, όταν το ένα κιλό κοστίζει 0,60 €.δ) Το διπλάσιο ενός αριθμού μειωμένο κατά 10.ε) Τον αριθμό των αγοριών μιας τάξης με 24 μαθητές, αν x είναι ο αριθμός των

κοριτσιών της τάξης.μονάδες 5

␐ ΘΕΜΑ 2ο Να γράψετε πιο απλά την παράσταση ( ) ( )Α = 2 α −β +1 − 3 γ +β −α − 2, και στη

συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της, όταν 2α = , –1β = και 13

γ = − .μονάδες 8

␐ ΘΕΜΑ 3ο Στο σχήμα δίνονται οι διαστάσεις ενός οικοπέδου σε μέτρα.α) Να βρείτε την αλγεβρική παράσταση που

εκφράζει την περίμετρο του οικοπέδου και να τη γράψετε στην απλούστερη μορφή της.

β) Αν x y 100+ = , να υπολογίσετε την περίμετρο του οικοπέδου.

μονάδες 7

Η έννοια της μεταβλητής



14 3y+2

2(x–1)

x+1

Δ

Γ

ΒΑ

14

␐ ΘΕΜΑ 1ο Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

α. Εξίσωση 3x –9= 1. Είναι αδύνατη

β. Εξίσωση 5x 0= 2. Είναι ταυτότητα

γ. Eξίσωση 0x 12= 3. Έχει λύση τον αριθμό 0

δ. Eξίσωση 0x 0= 4. Έχει λύση τον αριθμό –3

Α α β γ δΒ

μονάδες 6

␐ ΘΕΜΑ 2ο Να γράψετε με απλούστερο τρόπο τις παραστάσεις:α) 5 12α + α ……………………………………………………………β) 4 – 9ω ω+ω ……………………………………………………………γ) ( ) ( )3 x 1 – 2 4x – 5+ ……………………………………………………………

μονάδες 6

␐ ΘΕΜΑ 3ο

Nα λύσετε την εξίσωση: x 3 x 1 5x 3= +6 2 3− − −

μονάδες 8

Εξισώσεις α΄ βαθμού



15

␐ ΘΕΜΑ 1ο Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:α) Η εξίσωση x – 5 5= έχει μία λύση. ........................β) Η εξίσωση ( ) ( )2 3x 2 3 2x 2+ = + είναι ταυτότητα. .........................γ) Η εξίσωση 0x 12= έχει λύση το 0. .........................δ) Η εξίσωση x 3 x 1+ = − δεν έχει λύση. .........................ε) Η εξίσωση x 3 x 3+ = + έχει λύσεις όλους τους αριθμούς. .........................

μονάδες 5

␐ ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η εξίσωση ( ) ( )xλ −10 = μ +1 .α) Να βρείτε τη λύση της όταν 5λ = και 4μ = .β) Η εξίσωση έχει λύση όταν 10λ = και 4μ = ; γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ και του μ η εξίσωση είναι ταυτότητα.

μονάδες 9

␐ ΘΕΜΑ 3ο Δίνονται οι παραστάσεις ( ) ( ) ( )x x xΑ =10 2 −1 − +1 − 3 2 − 5

και ( )2 5 x 7Β = − ⎡ − − ⎤⎣ ⎦.α) Να γράψετε τις παραστάσεις A και B πιο απλά.

β) Να βρείτε για ποια τιμή του x ισχύει η ισότητα 3 2Α Β

= .μονάδες 6

Εξισώσεις α΄ βαθμού



54


␐ ΘΕΜΑ 3ο α) Να λύσετε την εξίσωση: x 1 2xx 4

2 5+

− = − . Στη συνέχεια, να δείξετε ότι η λύση

της είναι και λύση της εξίσωσης: x 1 2x2 5−

= .

β) Αν με κ συμβολίσουμε την κοινή λύση των δύο εξισώσεων, να υπολογίσετε την

τιμή της παράστασης ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1κ κ+1 κ+2 κ+3Α = − + − + − + − .μονάδες 5

␐ ΘΕΜΑ 4ο Δίνονται οι εξισώσεις ( )3 x 0α + = και ( )2 – 4 x 11β = , όπου η πρώτη είναι ταυτό-τητα και η δεύτερη είναι αδύνατη. Να βρείτε τους αριθμούς α, β και να υπολογίσε-τε την τιμή της παράστασης 2 22 .Κ = α + αβ +β

μονάδες 5

55

␐ ΘΕΜΑ 1ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

Α Β Γ ΔΗ παράσταση

7x – 2x 3x – x+ισούται με:

8x 9x 7x 5x−

Η παράσταση ( ) ( )2 x 2 – x 4+ +ισούται με:

x 2x 4x 3x−

Η εξίσωση 3x 3=Έχει λύση

το 1Έχει λύση

το 3Είναι αδύνατη

Είναι ταυτότητα

Η εξίσωση 0x 3=Έχει λύση

το 0Έχει λύση

το 3Είναι αδύνατη

Είναι ταυτότητα

Η εξίσωση 3x 3x=Έχει μοναδική λύση το 1

Έχει μοναδική λύση το 3

Είναι αδύνατηΕίναι

ταυτότητα

μονάδες 5

␐ ΘΕΜΑ 2ο Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( )3 x 1 2 2 x x 1− − − = + .Στη συνέχεια, για τη λύση x που βρήκατε, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Α=x 1 x 2 x 31 1 1

2 2 2

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.μονάδες 5

␐ ΘΕΜΑ 3ο α) Να λύσετε την εξίσωση: ( )5 1 xx 2 x 1 1

4 2 2 4−+ +

− = − .

β) Αν με α συμβολίσουμε τη λύση της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι η εξί-

σωση ( )3 x – 2 x 4 x+ α = α είναι αδύνατη, ενώ η εξίσωση ( )2 x 2 x – 1 3α + α = + είναι ταυτότητα.

μονάδες 5

Εξισώσεις

2o Ωριαίο διαγώνισμα


111

Α. Συμπληρώνουμε τον πίνακα:

Αριθμός Ο αντίθετος του αριθμού

Ο αντίστροφος του αριθμού

Η απόλυτη τιμή του αριθμού

Το τετράγωνο του αριθμού

α −α 1α

, όταν 0α ≠ α 2α

5+ 5−15

+ +5 5= ( )25 25+ =

3− +313

− 3 3− = ( )23 9− =

12

12

− 21 12 2

=21 1

2 4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Απαντήσεις

Διαγνωστική αξιολόγηση στα Μαθηματικά της Α΄ Γυμνασίου

Β. 210 16 : 4 3 2+ − ⋅ =

=10 16 :16 3 2 10 1 6 5+ − ⋅ = + − = .

Γ. ( ) ( )22 25 2 3 5 2 3 : 4− + + + − =

( ) 25 4 9 4 : 4 5 13 4 4= − + + = − + = − .

Δ. α) 7 14 =4 8

β) 3 1 > 5 5

γ) 12 < 117

δ)

19 > 118

ε) 5 3 > 3 5

Ε. α) 7 1 8 24 4 4

+ = = β)

3 1 6 5 15 2 10 10 10− = − =

γ) 2 2 5 1057 7 1 7⋅ = ⋅ =

δ) 9 3 9 5 45 45 :15 3:10 5 10 3 30 30 :15 2

= ⋅ = = =

ΣΤ. Η έκπτωση σε ευρώ είναι 10 15015 1,5100 100⋅ = = €. Επομένως πληρώσαμε

15 –1,5 13,5= €.

Ζ. Βάρος κρέατος (g) 125 450

Θερμίδες 700 x

Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα έχουμε: 700 x125 450

= ή 125x 450 700= ⋅ ή 315000x125

= ή

x 2520= θερμίδες. Η. α) 3x β) 3x γ) ( )x 1x x4 + 6 − 9 = =

Θ. Κάνουμε αντικατάσταση και έχουμε:( ) ( ) ( )–32 – 8 : 2 –40 : 2 –20α + β : γ = + = = .

Ι. α) Α α β γ δ ε

Β 3 5 4 2 1

β) Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι 180ο.Επομένως στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:ˆ ˆ ˆ 180Α + Β + Γ = ° ή ˆ80 40 180° + ° + Γ = ° ή

ˆ120 180° + Γ = ° ή ˆ 60Γ = °.γ) Τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους είναι το ορθογώνιο, το οξυγώνιο και το αμβλυγώνιο. Ισοσκελές λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες. Ισόπλευρο λέγεται το τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές ίσες.

112


1ο Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό ΘΕΜΑ 1ο

α) 32 8= β) ( )410 10000− = γ)

90 0=

δ) 301 1− = − ε) ( )33 27− = −

ΘΕΜΑ 2ο

Α. α) Λ

β)

Σ

γ)

Σ

δ)

Λ

Β.

α)

44 4 4 4 4⋅ ⋅ ⋅ =

β) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 5 3 1 5 92 2 2 2 2+ +− − − = − = −

γ) ( )55 5 50,3 10 0,3 10 3⋅ = ⋅ =

δ)

( ) ( )412 8 3 20 12 20 12 8: : −α ⋅α α = α α = α = α .

ΘΕΜΑ 3ο

( ) ( )3 1

2 20181 1 2 13 12 2 3 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Α = − − + ⋅ − + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 19 18 6 8

⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

29 16

= − − + =

1 24 1 2583 3 3 3

= − − = − − = − .

2ο Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο

ΘΕΜΑ 1ο α)

Γ

β)

Β

γ)

Α

δ)

Δ

ΘΕΜΑ 2ο α)

4 9 4 4 9 4 92 2 2 2 2− + −⋅ ⋅ = = . β) ( ) ( )2 56 43 : 3 =

8126 2 4 5 12 20 8

20

3 13 : 3 3 33 3

⋅ ⋅ − − ⎛ ⎞= = = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

γ)

( )3

3 2 3 2 52

4 4 4 4 .4

− − +− = = =

δ)

8 19 8 1 197 7 7 7 7 76 6 6 6 6 6

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 1 19 10 107 7 6 .6 6 7

+ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ε)

( ) ( )34 2

12

2 22 2

− ⋅=

⋅ 34 6 10

10 13 31 12 13

2 2 2 12 22 2 2 2

− −⋅ ⎛ ⎞= = = = = ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠.

ΘΕΜΑ 3ο Αντικαθιστούμε

στην

παράσταση

Α όπου x 3= −

και έχουμε: ( ) ( )2 3+33+1 42 3 2 3 2 3 −−Α = ⋅ − ⋅ − + ⋅ − =

( ) ( )2 02 42 3 2 3 2 3−= ⋅ − ⋅ − + ⋅ − =1 22 2 9 16 1 18 169 9

= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =

2 2 18 162 .9 9 9 9

= − = − = −

3ο Κριτήριο αξιολόγησης Η έννοια της μεταβλητής ΘΕΜΑ 1ο

α) 4α . β) Για να βρούμε το εμβαδόν ενός

τριγώνου πρέπει να βρούμε το μισό γινόμενο της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος υ. Επομένως

το εμβαδόν είναι 10 ⋅ υ

= 5υ2

cm2. γ)

0,60x €.

δ) Αν x ο αριθμός, το διπλάσιο του μειωμένο κατά 10 είναι 2x 10− . ε) Ο αριθμός των αγοριών της τάξης είναι 24 x− .ΘΕΜΑ 2ο

( ) ( )2 1 3 2Α = α −β + − γ + β − α − = = 2α − 2β + 2 − 3γ − 3β + 3α − 2 =

2 +3= α α − 2β − 3β − 3γ =

( ) ( ) .= 2 + 3 α + −2 − 3 β − 3γ = 5α − 5β − 3γΣτη

συνέχεια

υπολογίζουμε

την

τιμή

της,

όταν

2α = , 1β = − και

1γ = −

3και

έχουμε:

( ) 15 2 5 1 3 10 5 1 163

⎛ ⎞Α = ⋅ − ⋅ − − ⋅ − = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

ΘΕΜΑ 3ο α)

Η

περίμετρος

του

οικοπέδου

είναι

( ) ( ) ( )14 x 1 3y 2 2 x –1Π = + + + + + =

14 x 1 3y 2 2x – 2= + + + + + =( )15 3x 3y 15 3 x y= + + = + + .

β) Αν

x y 100+ = , η περίμετρος του οικοπέδου

είναι 15 3 100 15 300 315Π = + ⋅ = + = m.

4ο Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α΄ βαθμού ΘΕΜΑ 1ο Α α β γ δ

Β 4 3 1 2

Κριτήρια αξιολόγησης Β΄ Γυμνασίου

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

113

ΘΕΜΑ 2ο

α) ( )5α +12α = 5 +12 α = 17α.

β) ( )– – –4ω 9ω+ ω = 4 9 +1 ω = 4ω.

γ) ( ) ( )3 x 1 – 2 4x – 5 3x 3 – 8x 10+ = + + =

( )3x – 8x 3 10 3 8 x 13= + + = − + = –5x 13+ .ΘΕΜΑ 3ο Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών 6, 2 και 3 που είναι το 6 και πολλαπλασιάζουμε με αυτό τα μέλη της εξίσωσης. Προκύπτει τότε μία εξίσωση χωρίς παρονομαστές.x 3 x 1 5x 3= +

6 2 3− − −

ή

( ) ( )x 1 5x 3x 36 6 6

6 2 3− −−

⋅ = ⋅ + ⋅ ή

( ) ( )x 3 3 x 1 2 5x 3− = − + − ή

x 3 3x 3 10x 6− = − + − ή x 3x 10x 3 6 3− − = − − + ή ( )1 3 10 x 6− − = − ή

12x 6− = − ή

6x 12−

=−

ή

1x2

= .

5ο Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α΄ βαθμού

ΘΕΜΑ 1ο α)

Σ

β)

Λ

γ)

Λ

δ)

Σ

ε)

Σ

ΘΕΜΑ 2ο α)

Για

5λ = και 4μ = , η εξίσωση γράφεται:

( )5 10 x 4 1− = + ή

5x 5− = ή x 1= − .

β) Για 10λ = και 4μ = , η εξίσωση γράφεται: ( )10 –10 x 5=

ή 0x 5= , η οποία είναι αδύνατη.

γ) Για να είναι η εξίσωση ταυτότητα θα πρέπει να έχει τη μορφή 0x 0= , δηλαδή θα πρέπει

10λ = και 1μ = − .ΘΕΜΑ 3ο α) ( ) ( ) ( )10 2x 1 x 1 3 2x 5Α = − − + − − =

20x 10 x 1 6x 15= − − − − + =

( )20 1 6 x 4 13x 4= − − + = + .( ) ( )2 5 x 7 2 5 x 7Β = − ⎡ − − ⎤ = − − + =⎣ ⎦

2 5 x 7 x 10= − + − = − .

β) Η

ισότητα

Α Β

=3 2

γράφεται:

13x 4 x 103 2+ −

= ή

( ) ( )2 13x 4 3 x 10+ = −

ή

26x 8 3x 30+ = − ή 26x 3x 30 8− = − − ή

23x 38= − ή 38x23

= − .

6ο Κριτήριο αξιολόγησηςΠροβλήματα γεωμετρίας με εξισώσεις ΘΕΜΑ 1ο

α) B β)

Γ

γ)

Α

ΘΕΜΑ 2ο α)

Στο

ισοσκελές

τρίγωνο

ΑΒΓ ισχύει

ΑΒ = ΑΓ . Αντικαθιστούμε και έχουμε την

εξίσωση: x 1 x 2

2 3− +

= ή

( ) ( )3 x 1 2 x 2− = +

ή

3x 3 2x 4− = + ή 3x 2x 4 3− = + ή x 7= .β) 3ΑΒ = ΑΓ = cm,

2 7 14 5 915 5 5 5⋅

ΒΓ = − = − = cm.

ΘΕΜΑ 3ο Οι

γωνίες

Α̂ και Δ̂ του παραλληλογράμμου

είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ˆ ˆ 180Α + Δ = °, οπότε 2x 25 x 5 180+ ° + + ° = ° ή 3x+30 180° = °

ή 3x 180 – 30= ° ° ή 3x 150= ° ή 150x

3°

= ή

x 50= °. Επομένως είναι ˆ 2 50 25 125Α = ⋅ ° + ° = °, οπότε και ˆ 125Γ = °, αφού οι απέναντι γωνίες σε ένα παραλληλό-γραμμο είναι ίσες. Επίσης βρίσκουμε ότιˆ 55Δ = ° και ˆ 55Β = °. Επειδή οι απέναντι πλευρές σε ένα παραλληλόγραμμο είναι ίσες, έχουμε ΑΒ = ΓΔ, δηλαδή y 30 3y – 20 + = ή y – 3y –20 – 30= ή –2y –50= ή y 25.= Οπότε βρίσκουμε: 25 30 55ΑΒ = + = cm, ΓΔ = 55 cm,

25 –15 10ΒΓ = = cm και 10ΑΔ = cm.

7ο Κριτήριο αξιολόγησης Προβλήματα με εξισώσεις ΘΕΜΑ 1ο Έστω x o αριθμός που πρέπει να προσθέσουμε στους αριθμητές των κλασμάτων

1 3

και

54

,

ώστε να

γίνουν

ίσα.

Προκύπτει

τότε

η

εξίσωση:

1 x 5 x3 4+ +

= ή

( ) ( )4 1 x 3 5 x+ = +

ή

4 4x 15 3x + = + ή 4x 3x 15 – 4− = ή x 11= .

114


ΘΕΜΑ 2ο α) Έστω x o μικρότερος από τους δύο φυσικούς αριθμούς, τότε ο επόμενός του είναι ο x 1+ . Επειδή το άθροισμά τους είναι 17, έχουμε την εξίσωση ( )x x 1 17 + + =

ή

2x 17 –1 = ή 2x 16 = ή 16x2

= ή

x 8= .

Επομένως οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 8 και 9.β) Λύνουμε την εξίσωση ( )2 x 1 3x 12+ + =

ή

2x 2 3x 12+ + = ή 5x 12 – 2= ή 5x 10= ή 10x5

= ή

x 2= . Επομένως οι ζητούμενοι

αριθμοί είναι οι 2 και 3.ΘΕΜΑ 3ο Αν x ο αριθμός των αντρών που παρακολούθη-σαν την παράσταση, τότε ο αριθμός των

γυναικών είναι 2 x3

και ο αριθμός

των

παιδιών

είναι

1 2 1 1 2 1 1x x x x x x2 3 2 2 3 2 3⎛ ⎞+ = + ⋅ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Επειδή τα

άτομα

που

παρακολούθησαν

την

παράσταση είναι

συνολικά

90, έχουμε την

εξίσωση: 2 1 1x x x x 903 2 3

+ + + = ή

2 1 16 x 6 x 6 x 6 x 6 903 2 3

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ή

6x 4x 3x 2x 540+ + + = ή 15x 540= ή

540x 3615

= = . Επομένως

παρακολούθησαν

την

παράσταση

36 άντρες,

2 36 243⋅ = γυναίκες

και

90 – 36 – 24 30= παιδιά.

8ο Κριτήριο αξιολόγησης Τετραγωνικές ρίζες ΘΕΜΑ 1ο

0 0= , 1 1= , 64 8= , 24 16 4= = ,

( )24 = 16 4− = ,

9 3100 10

= ,

0,64 0,8= ,

( )29 9=

ΘΕΜΑ 2ο 144 12= , ( 16) 4− − = , 5 20 5+ = ,

90 9 9− = , ( )210 10− = ,

49 736 6

= ,

9 8 11+ = , ( ) ( )2 216 + 4 20=

ΘΕΜΑ 3ο Λύνουμε την

εξίσωση

και

έχουμε:

( ) ( )3 5x – 2 2 7x 2= + ή 15x – 6 14x 4= + ή

15x –14x 4 6 = + ή x 10= . Άρα 10ΒΓ = cm.

y 33 7 4ΑΓ = = + + = 33 7 2+ + =

= 33 9+ = 33 3 36 6+ = = cm.Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

2 2 2ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ ή 2 2 2ΑΒ = ΒΓ − ΑΓ ή

2 2 210 6ΑΒ = − ή 2 100 36ΑΒ = − ή

2 64ΑΒ = ή 64 ΑΒ = ή 8ΑΒ = cm.

9ο Κριτήριο αξιολόγησης Τετραγωνικές ρίζες ΘΕΜΑ 1ο Α α β γ δ ε

Β 2 3 1 5 4

ΘΕΜΑ 2ο Α = 9α + 16β + α ⋅ β =

= 9 9 16 16 9 16⋅ + ⋅ + ⋅ =

= 81 256 3 4+ + ⋅ = 9 16 12 37+ + = .α

Β = 16α + 9β − =β

= 916 9 9 1616

⋅ + ⋅ − =34 3 3 44

⋅ + ⋅ − =

= 312 124

+ − =3244

− =96 3 934 4 4− = .

ΘΕΜΑ 3ο Από

το

Πυθαγόρειο

θεώρημα

υπολογίζουμε

την

υποτείνουσα x: 2 2 2x 12 9= + ή 2x 144 81= + ή

2x 225= ή x 225= ή x 15= cm.Από το Πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζουμε την κάθετη πλευρά y:

2 2 2y 15 17+ = ή 2y 225 289+ = ή

2y 289 – 225= ή 2y 64= ή

y 64= ή y 8= cm.

· 2018-05-14 · Μαθηματικά Β´ Γυμνασίου Κριτήρια...

Documents

Transcript of · 2018-05-14 · Μαθηματικά Β´ Γυμνασίου Κριτήρια...