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Astronomia2017-18

Parte IIStruttura stellare

1/34/3

deg,rel

1 3

4 8 eP hcnπ

=

Per una stella di una certa massa e un certo raggio, la pressione interna necessaria per mantenere l’equilibrio è:

2

eq 4

GMP

R≈

3/23/1

MR

Mρ= 3/23/4 Mρ∝

Esprimo questa relazione in funzione di massa e densità:

eq

MP

Rρ∝

La dipendenza dalla densità della pressione necessaria per l’equilibrio e della pressione degenere relativistica è la stessa

Ricavata dall’equazione dell’equilibrio idrostatico.� NB: la pressione può essere fornita dal gas degenere

3/4ρ∝

Pressione degenere( )xv c≈Caso relativistico

� Qual è la massa limite?

eq 2/3

deg,rel

PM

P∝

Deve esistere una massa limite oltre la quale

� La pressione degenere non è più in grado di mantenere l’equilibrio

� Collasso gravitazionale

deg,rel eqP P<Il rapporto

- non dipende dalla temperatura - non dipende dalla densità� cresce con la massa

eq deg,rel/P P

2/3eq deg,relP kM P=

Relazione tra energia gravitazionale e pressione:

1

3 GRP V U< > = −

Massa di Chandrasekhar

Pressione di equilibrio Energia potenziale gravitazionale

1/3 4/3 24/3

4/3

3 1

8 3p

hc Z GMV

m A Rρ

π

≃

1/34/3 4/3 2 1/3 4

3C M V V M V

π− − ⋅ =

1/3 4/32/3

2 4/3

3 9

8 4 p

hc ZM

Gm Aπ =

3/22

4/30.11

p

Z hcM

A Gm

=

1.44M⊙

≃

Per Z/A = 0.5

Fornita da pressione degenere ultra-relativistica

24/3 M

C VR

ρ⋅ =1/3 4/3

4/3

3 3

8 p

hc ZC

G m Aπ ≡

1/32/3 4

3C M

π− ⋅ =

1/3 4/3 1/32/3

4/3

3 3 4

8 3p

hc ZM

G m A

ππ

− =

1 1

3 3GR

GR

UP

Vε< >= − = −

3/22

Ch 4/30.21

p

Z hcM

A Gm

= (Con profilo di densità realistico)

M

Vρ = 34

3V R

π=

(Valore esatto dipende dal profilo di densità)

Massa di Chandrasekhar

Premio Nobel per la Fisica nel 1983“…grazie ai suoi studi sui processi fisici coinvolti nella struttura e nell'evoluzione delle stelle”

Ha insegnato all'Università di Chicago

Noto come “Chandra” ("luna" o "luminoso" in sanscrito)

Nato a Lahore (India britannica)

Subrahmanyan Chandrasekhar(1910-1995)

“In some strange way, any new fact or insight that I may have found has not seemed to me as a discovery of mine, but rather as something that had always been there and that I had chanced to pick up.” S. Chandrasekhar, “Truth and Beauty. Aesthetics

and Motivation in Science”, University of Chicago Press (1987)

1.44ChM M⊙

≃

Evoluzione stellare• Caratteristiche principali, leggi di scala: deducibili analiticamente

• Dettagli, valori assoluti: richiedono soluzioni numeriche

Inoltre:- dal meccanismo che domina il bruciamento dell'idrogeno (PP o CNO)- dalla frazione della stella (nucleo, inviluppo) in cui domina convezione- Limite in temperatura: T > 3000K

Collasso di una nube sferica di gas autogravitante, in quasi-equilibrio idrostatico, di massa

0.1 100M M M< <⊙ ⊙

Sequenza principale: gran parte della vita della stella

Fase di Sequenza principaleH � He

La pendenza precisa, a seconda del range di massa, dipende dai dettagli della opacità del plasma.

42TRL ∝Corpo nero:

8T∝

βTL ∝ 8≈β

2TR ∝

Evoluzione delle stelle

Raggiunge al suo centro temperature K107≈T

Main sequence

Durata di una stella in sequenza principale?

Tempo di vita di una stella nella MS

L

cMt H

2

star ∝

� Le stelle massicce bruciano furiosamente il loro carburante e durano pochi milioni di anni� Le stelle poco massicce bruciano lentamente e durano miliardi di anni

In una popolazione stellare di età costante (e.g. ammasso) le stelle lasciano la sequenza principale in ordine di massa decrescente

Evoluzione delle stelle

Fase di Sequenza principale

Quindi la vita della stella è2

2.5star 3.5

HM ct M

M−∝ ∝

Dalle osservazioni, per le stelle di sequenza principale risulta essere

αML ∝ 3.5α ≈

Relazione massa-luminosità nella MS:

Relazione massa-luminosità

2 364 ( )( )

3 ( )

r T r dTL r

r dr

π σκρ

= −ɶ

2

( )( )

dP GM rr

dr rρ= −

)(4 2 rrdr

dM ρπ= 3M R ρ∝

MP

R

ρ∝

(1)

(2)

(3)

(4)

(4) + (2) �P M

TRρ

∝ ∝

+ (3) �

44 R M R

L TRρ ρ

∝ ∝

3M∝

Le leggi di equilibrio stellare giustificano una forte dipendenza della luminosità dalla massa:

4 3M RR

R M ∝

4T RL

ρ∝costanteκ ≈ɶ

Luminosità: non dipende dalle dimensioni R, cresce fortemente con la massa

Fase di Sequenza principale

TP ρ∝Equazione di stato:

Presto o tardi la stella esaurisce tutto l’H nel nucleo

� Anche gli strati immediatamente attorno al nucleo collassano e si riscaldano, fino a T~107K

L'energia termica persa non viene più rimpiazzata da quella nucleare

Il nucleo comincia a collassare (gas non degenere)

� Ci sono ancora enormi quantità di H negli strati adiacenti al nucleo

Energia potenziale gravitazionale � Energia cinetica � Agitazione termica

Il nucleo collassando si riscalda

La stella può produrre più energia in questa fase che nella sua fase di sequenza principale

Evoluzione stellareOltre la Sequenza principale

� Attorno al nucleo si forma uno strato in cui l'idrogeno continua a bruciare, sostenendo la luminosità della stella

He

H � He“Hydrogenburning shell”

Nucleo di He inerte(contrazione)

H

“Hydrogen burning shell”

Inviluppo di H inerte

La T centrale (inizialmente) non è sufficiente a fondere He

(Per stelle di massa < 0.5M definitivamente)

2.5star star,MSt t M −≈ ∝

2.5

10star 10 yr

Mt

M

−

≈ ⊙

2.5

start M

t M

−

≈ ⊙ ⊙

Temperaturasuperficiale?

24RTL ∝2 1/4 1/4 1/2( / )T L R L R−∝ ∝

La temperatura T diminuisceR aumenta, L rimane circa costante �

Cosa succede alle regioni esterne della stella?

L'energia generata viene trasferita all’esterno

(Trasporto radiativo)

� Pressione della radiazione: Espansione dell'inviluppo

� La stella aumenta di dimensioni mantenendo la sua luminosità L ∼ costante

He

H � He

H


Contrazione, senza fusione in corso

Cosa succede nel nucleo?

� condizioni per gas di He degenere

Dalla sequenza principale fino a T ~ 3000K con L ~ costante

He

H � He

H

• Uscita dalla MS: - R aumenta, L~costante � T diminuisce

Alla fine di questa fase la stella è detta “Sottogigante” (Sub-giant)

� Perché T non scende sotto ~ 3000K ?

Diagramma HR• Nella fase Main Sequence la stella è “ferma” nel diagramma HR


- HR? Tratto orizzontale, verso destra

T superficiale diminuisce

gradiente di temperatura |dT/dr| aumenta

Il flusso di energia verso l’esterno, L(r), aumentaR rimane costante

T superficiale aumenta

Limite di Hayashi


2 364 ( )( )

3 ( )

r T r dTL r

r drλ

π σκ ρ

= −ɶ

Il limite è imposto dall’equazione del trasporto radiativo:

Si instaura equilibrio intorno a T ∼ 3000 K

C’è un limite al raffreddamento della temperatura superficiale

La stella continua a espandersi ma, raggiunto il limite di Hayashi, la T superficiale rimane costante (T∼3000K)

dr

dT

r

rTrrL

)(

)(

3

64)(

'

32

ρκσπλ

−=

24RTL ∝ La luminosità aumenta

� diviene una Gigante rossa (red giant)RRG ~ 50-100 RMS

La stella evolve lungo la verticale sul diagramma HR

Altra conseguenza del forte gradiente di temperatura |dT/dr|:

Il trasporto dell’energia nell’inviluppo della red giant è convettivo

La gravità superficiale è molto bassa

� Perdita di materia dagli strati superficiali


Main sequence

Red giant

Subgiant

Evoluzione sul diagramma HRStella con massa M M≈

⊙

Sole come gigante rossaStella con massa

RRG ~ 100 RSun ~ 0.5 AU~ 100 x (0.7 x 106)km ~ 7 x 107km

M M≈⊙

Evoluzione del nucleo nella fase di Gigante Rossa

Innesco della reazione 3αStelle : contrazione del nucleo, K108≈T

Come per l'accensione H, anche l'accensione He dipende dallo stato di degenerazione della materia del nucleo

� Dipende dalla massa della stella

L'accensione dell’He è esplosiva“Helium Flash”


0.5M M>⊙

La pressione degli elettroni degeneri ferma il collasso del nucleo prima dell'accensione del He

0.5M M<⊙

3-α si accende in un nucleo dominato da pressione degenere

4023 Tρε α ∝Estrema dipendenza dell’innesco

della 3-alpha dalla temperatura

In un gas non degenere: produzione energia � aumento della pressione � espansione � rallentamento della reazione

La pressione degli elettroni degeneri non dipende da T

3/52 )/(05.0 ee nmhP ≈

0.5 2.25M M M< <⊙ ⊙

L'elio si accende nel nucleo non degenere, in modo non esplosivo

2.25M M>⊙

• La stella si trova nella zona del “braccio orizzontale” del diagramma HR

2/3

2

24

≈

h

kTmn e

Q

π

• Flash dell'elio � T cresce� Si ferma quando T rimuove la degenerazione degli elettroni

- Espansione del nucleo, contrazione dell'inviluppo

� La T cresce leggermente

• Dopo una fase di assestamento:

He � C,O in nucleo non degenere

H � He in uno strato circostante

Nucleo: non degenere, convettivo,in espansione

- Il guscio di H che fonde in He (che fornisce la maggior parte dell'energia) si è assottigliato:

� La luminosità diminuisce


⊙

• Diagramma HR: “horizontal branch” (braccio orizzontale)

Nel braccio orizzontale

• La posizione precisa dipende dalla massa perduta nella fase di gigante

• Più massa perde la stella, meno inviluppo circonda il nucleo, e più la superficie della stella è calda

Helium flash


⊙

• Quando anche He si esaurisce, il nucleo si contrae � Nucleo di C e O (degenere)� Due shell concentriche (H�He, He�C) continuano a dare energia

• L'inviluppo si dilata � La stella evolve con L∼costante fino al limite di Hayashi

• Si instaura la convezione. La stella diventa molto luminosa con T ∼ costante“Ramo asintotico”

• Quando la stella raggiunge la sommità del braccio asintotico: ”Supergigante rossa”

RSG ~ 300 RS

• Grande perdita di massa massa, fino a perdere tutto l'inviluppo

In stelle di massa solare il C non arriva ad accendersiIl bruciamento dell‘He nello strato interno diventa instabile

La convezione può portare alla superficie il C dal nucleo “Dredge-up” � Stelle di classe spettrale R ed N, ricche di Carbonio

� Inviluppo: Nebulosa planetaria� Nucleo: molto caldo e degenere, di C e O,

privo di reazioni termonucleari: Nana Bianca


⊙


⊙

Il nucleo di C e O diviene completamente degenere

Nebulosa planetaria• Espansione degli strati esterni, debole legame gravitazionale

2

GR

GMU

R= −

• In competizione con il trasferimento di momento dei fotoni cEp /=

km/s 5010shell −≈v

Sunshell 1.0 MM ≈

K104shell ≈T

Materiale disponibile per successive generazioni di stelle


⊙

- Espansione: evidenza spettroscopicaRighe mostrano doppio spostamento Doppler (blueshift + redshift)

osservatore

Bluesh

ift

Redsh

ift

- Forma anulare: profondità ottica ai bordi della “bolla”

osservatore

Line

a di vi

sta

Line

a di vi

sta

Abell 39

Ring Nebula (M57)Colstellazione Lyra

Distanza ∼ 1kpc

Diametro ∼ 0.3pc

Eskimo Nebula (NGC 2392)Medusa nebula (Abell 21)Old planetary nebula

1010 yrs

109 yrs104 yrs

1010 yrs

Tempi scala


⊙

LPN

PN = fase di massima luminosità nella vita di una stella


⊙

Stelle di massa superiore a una certa soglia(8 masse solari) evolvono diversamente

I valori massimi di luminosità nella classe PN hanno limite superiore ben definito

Nebulose planetarie come indicatori di distanza

Usando nebulose planetarie:

%665.20/ 31 ±=MVirgo DD

• Supergiant stars

• Dominant Galaxy in clusters

Approcci simili (LF cut-off) usati con altre classi di oggetti, e.g.:

Funzione di Luminosità (LF)

La LF cade bruscamente, individuando una luminosità massima ben precisa

PNe nella galassia di Andromeda (M31)

Merrett et al. (2006)

La stella è divenuta una nana bianca� Sostenuta unicamente dalla pressione degli elettroni degeneri

Valori tipici di: Dimensione, densità, pressione?

4WD 10L L−≈

⊙ WDT T≈⊙

2WD / 10R R −≈

⊙

Densità: 33

WD 8 3

(2 10 g)

(4 / 3)(7 10 cm)ρ

π×=

×

cm107 8WD ×≈R

36g/cm10≈

5/327 2 6 3

28 24

(6.63 10 erg s) 10 g/cm0.05 0.5

9.11 10 g 1.67 10 g-

−

−

× ⋅≈ ⋅ × ×

22 23 10 dyn/cm≈ ×

42TRL ∝Raggio: 22/1 −∝ TLR

Pressione:

ep mmA

ZhP

105.0

3/53/52

⋅≈ ρ


⊙

• Relazione tra massa e raggio di una nana bianca

5/35/3 5/322

4 3

1 10.05

4e p

GM Z Mh

R m A m R

⋅ ≃

5/35/32 (5/3) 4 5 2 1 1

0.054e p

ZGM R h

m A m− − + ⋅

≃

5/35/321/3 1

0.054e p

h ZM R

Gm A m

⋅ ≃

Nota la massa per una nana bianca (e.g. sistema binario), il suo raggio è precisamente determinato

Evoluzione stellare

Nana bianca

2

( )( )

dP GM rr

dr rρ= −

2

4

GMP

R≃

Pressione necessaria all’equilibrio gravitazionale

5/35/32 1

0.05p e

ZP h

A m m

ρ ≈ ⋅ Regime non-relativistico

34

M

Rρ ≃

Per masse maggiori si hanno raggi inferiori1/3

4000 kmM

RM

−

≈ ⊙ (per Z/A = 0.5)

5/3 5/321/31

0.054e p

h ZR M

Gm m A− ⋅

≃

Sirius B

1.018 0.011M M= ±⊙

Nota con precisione (sistema bunario)

5880km 3%R = ±

(H.E. Bond et al. 2017, arXiv:1703.10625v1)

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