20141203κυματα digital

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΥΜΑΤΑ

1. Το σημείο Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, που περιγράφεται από την εξίσωση . Το κύμα που δημιουργεί, διαδίδεται κατά μήκος ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά.

Αν είναι γνωστό ότι:

1) το σημείο Ο περνάει από τη θέση ισορροπίας του φορές το λεπτό,

2) η ολική ενέργεια ταλάντωσης της πηγής Ο είναι ,

3) κάθε στοιχειώδες τμήμα του ελαστικού μέσου θεωρείται υλικό σημείο μάζας και

4) το κύμα φτάνει στο σημείο Σ, που απέχει από το Ο απόσταση , τη χρονική στιγμή ,

να υπολογίσετε:

α) την περίοδο του κύματος.

β) το πλάτος του κύματος.

γ) την ταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος.

δ) Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύματος.

Δίνεται .

1α. Μια πηγή Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα , αρχίζει να εκτελεί τη χρονική

στιγμή , απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση (S.I.). Το

παραγόμενο γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα με

ταχύτητα σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο.

α) Να βρείτε την περίοδο, τη συχνότητα και το μήκος κύματος.β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.γ) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει να κινείται ένα σημείο Μ του άξονα που βρίσκεται στη θέση ;δ) Να βρείτε τη φάση του σημείου Μ τις χρονικές στιγμές: και .ε) Να γράψετε για το σημείο M την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

2. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την

θετική κατεύθυνση έχει εξίσωση , (S.I.). Η πηγή O

1


δημιουργίας αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση του άξονα . Θεωρούμε ότι ένα

σημείο Σ του ελαστικού μέσου βρίσκεται σε απόσταση από το Ο.

α) Nα υπολογισθούν το πλάτος , η περίοδος και το μήκος του κύματος.

β) Αν η πηγή του κύματος αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή :

1) Ποιά χρονική στιγμή φτάνει το κύμα στο σημείο Σ;

2) Να βρεθεί η φάση και η απομάκρυνση του Σ τη στιγμή .

γ) Nα γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ) Να βρεθεί η απόσταση κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος ενός ελαχίστου (κοιλάδας) και του μεθεπόμενου μεγίστου (όρους).

2α. Η πηγή Ο που βρίσκεταιστην αρχή του άξονα , αρχίζειτη χρονική στιγμή ναεκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση,που περιγράφεται από την εξίσωση

. Το κύμα πουδημιουργεί, διαδίδεται κατά μήκοςγραμμικού ομογενούς ελαστικούμέσου και κατά τη θετική φορά. Ένασημείο Σ απέχει από την πηγή Ο απόσταση και αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική . Στη γραφική παράσταση που ακολουθεί φαίνεται η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται . Να υπολογίσετε:

α) Την περίοδο του κύματος.β) Τη χρονική στιγμή και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.γ) Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης ταλάντωσης του σημείου Σ.δ) Tο μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Σ όταν θα βρίσκεται στη θέση

από τη θέση ισορροπίας του.

ε) Tη διαφορά φάσης του σημείου Σ μεταξύ των χρονικών στιγμών και .

3. Η φάση γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο με

πλάτος , δίνεται από τη σχέση: (S.I). Κάποια χρονική

στιγμή η φάση ενός σημείου Κ με απόσταση από την πηγή , είναι ίση

με .

2


α) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή .

β) Μέχρι που θα έχει διαδοθεί το κύμα εκείνη τη στιγμή;

γ) Αν τα στοιχειώδη τμήματα του ελαστικού μέσου θεωρηθούν υλικά σημεία

μάζας το καθένα, πόση είναι η ολική ενέργεια ταλάντωσης καθενός από αυτά;

δ) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή και να

υπολογίσετε την απευθείας απόσταση μεταξύ του σημείου Κ και ενός άλλου σημείου Λ με τότε.

3α. Η πηγήκύματος Ο αρχίζειτη χρονική στιγμή

ναεκτελεί απλήαρμονικήταλάντωσηπλάτους

. Τοαρμονικό κύμα πουδημιουργείταιδιαδίδεται κατάμήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, κατά τον άξονα . Στο παρακάτω διάγραμμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος μετά από χρόνο .

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος στο ελαστικό μέσο.β) Να βρείτε την περίοδο του αρμονικού κύματος.γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου.δ) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος.ε) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Κ και Λ τη χρονική στιγμή .

4. Οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στην ταλάντωση δύο σημείων Α και Β ενός ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα προς τη

θετική κατεύθυνση με ταχύτητα .

3


α) Να υπολογίσετε το πλάτος του κύματος.

β) Να προσδιορίσετε τις θέσεις και των σημείων Α και Β.

γ) Να βρείτε το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σημείου Α.

δ) Ποια είναι η φάση του σημείου Α την χρονική στιγμή ;

Δίνεται: . Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην θέση και τη χρονική στιγμή ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα.

4α. Το σχήμα παρουσιάζει τη

γραφική παράσταση της

φάσης των σημείων μιας ομογενούςελαστικής χορδής, στην οποία διαδίδεταιένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, τη χρονικήστιγμή . Το πλάτος τηςταλάντωσης των σημείων από τα οποίαπερνά το κύμα είναι . Δύοσημεία Κ και Λ της χορδής βρίσκονταιστις θέσεις και

, αντίστοιχα. Για το σημείο της θέσης γνωρίζουμε ότι τη χρονική στιγμή το σημείο αυτό διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα.

α) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος.

β) Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού

μέσου.γ) να βρεθούν οι χρονικές στιγμές και , στις οποίες τα σημεία Κ και Λ ξεκινούν ταλάντωση.δ) Να υπολογιστεί η διαφορά φάσης μεταξύ των ταλαντώσεων των σημείων Κ και Λ την ίδια

4


χρονική στιγμή.

ε) Να γίνει η γραφική παράσταση του σημείου Λ, μέχρι τη στιγμή που το σημείο Λ

έχει εκτελέσει μία πλήρη ταλάντωση.

στ) Να γίνει η γραφική παράσταση του σημείου Λ, μέχρι τη στιγμή που το σημείο Λ

έχει εκτελέσει 2 πλήρεις ταλαντώσεις.ζ) Να βρεθεί η φορά κίνησης του σημείου Λ, τη χρονική στιγμή .

η) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή .

5. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ελαστικό ομογενές μέσον κατά την

θετική κατεύθυνση και έχει εξίσωση: , (S.I.). Η πηγή O

παραγωγής αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση του ημιάξονα και τη χρονική στιγμή ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα.

α) Nα υπολογισθούν το πλάτος , η περίοδος , το μήκος και η ταχύτητα διάδοσης τουκύματος.

β) Nα γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης και της φάσης ενός σημείου Σ που απέχει από το Ο σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις.

γ) Αν το Σ θεωρηθεί υλικό σημείο με μάζα να εκφραστεί η κινητική του ενέργεια

σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ) Πόσο απέχουν μεταξύ τους δύο σημεία Μ και Ν που έχουν την ίδια χρονική στιγμή

φάσεις και ;

ε) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή .

6. Μια πηγή Ο αρχίζει να εκτελεί, τη χρονική στιγμή , απλή αρμονική ταλάντωση. Το παραγόμενο από την πηγή γραμμικό αρμονικό κύμα, διαδίδεται σε ελαστικό ομογενές μέσο, προς τη θετική φορά . Τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται εξαιτίας του κύματος και έχουν

εξίσωση επιτάχυνσης: (S.I.).

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα του κύματος.

β) Να βρείτε την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου και την ταχύτηταδιάδοσης αυτού του κύματος.

5


γ) Πότε θα βρίσκεται για 1η φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του ένα σημείο Κ που βρίσκεται σε απόσταση από την πηγή Ο;

δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης ενός άλλου σημείου Λ που βρίσκεται σε απόσταση από την πηγή Ο, κάποια στιγμή που το Κ θα βρίσκεται στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του.

7. Η διπλανή γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο ενός σημείου Μ ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους προς τη θετική κατεύθυνση. Το σημείο Μ απέχει από την πηγή Ο παραγωγής κυμάτων απόσταση και μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο

μάζας . H πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση και ξεκινά να

ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή με .

α) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος.

β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος.

γ) Να παρασταθεί γραφικά η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ καθώς και ενός άλλου

σημείου Ν, που βρίσκεται δεξιά του Μ και απέχει από αυτό απόσταση , από τη θέση

ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο σε κοινό διάγραμμα.

δ) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή .

8. Η παρακάτω γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της φάσης σε συνάρτηση με την απόσταση από την πηγή γραμμικού αρμονικού κύματος, που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο κατά τη θετική κατεύθυνση , πλάτους κάποια χρονική

6


στιγμή .

H ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι .

α) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος.

β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος.

γ) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή .

δ) Να γίνει η γραφική παράσταση 1) της ταχύτητας ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους τη χρονική στιγμή και 2) της φάσης σε

συνάρτηση με το χρόνο για το σημείο M με .

Σημείωση: Η πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση και τη χρονική στιγμή , ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα.

9. Γραμμικό αρμονικό εγκάρσιο κύμα με πλάτος και

περίοδο , διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο με ταχύτητα . Η πηγή

παραγωγής αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση , αρχή του ημιάξονα και τη χρονική στιγμή ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με σταθερή ταχύτητα.

Κάθε μόριο του ελαστικού μέσου μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο μάζας .

α) Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύματος.

β) Να υπολογίσετε τη φάση του σημείου Σ που βρίσκεται στη θέση την

στιγμή .

7


γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή καθώς και τη χρονική

στιγμή .

δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή σε συνάρτηση με την απόστασή τους από το σημείο O

τη χρονική στιγμή .

10. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης ενός μορίου K ενός ομογενούς ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται γραμμικό αρμονικό εγκάρσιο κύμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος

είναι και έχει μηδενική αρχική φάση. Κάθε μικρό τμήμα του σχοινιού μπορεί να

θεωρηθεί υλικό σημείο μάζας .

α) Πόσο απέχει από την πηγή του κύματος το σημείο Κ στο οποίο αναφέρεται η παραπάνω γραφικήπαράσταση;

β) Να βρείτε το πλάτος και το μήκος κύματος αυτού του κύματος.

γ) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο και για ένα άλλο μόριο Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση .

Να θεωρήσετε: .

11. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές ταλαντώνονται με το ίδιο

πλάτος , κάθετα στην ελαστική επιφάνεια ενός υγρού, παράγοντας κύματα με μήκος

κύματος . Οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή με θετική

ταχύτητα. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά από την πηγή και

8


κατά από την πηγή . Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή .

α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό.

β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο, αφού συμβάλλουν σε αυτό τα κύματα.

γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του (Σ) τη χρονική στιγμή .

δ) Να υπολογίσετε το πηλίκο της κινητικής ενέργειας του σημείου Σ προς την ενέργεια ταλάντωσήςτου, τη χρονική στιγμή .

(Θεωρήστε ότι )

11α. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x’Ox διαδίδονται ταυτόχρονα δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με εξισώσεις:

και . Τα κύματα

συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα.

α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, των σημείων Α(

) και B( ).

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΔ της χορδής, όπου τη

χρονική στιγμή σε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων.

δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου όταν η απομάκρυνση του

σημείου A είναι μέγιστη θετική.

12. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές και βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά . Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα

μήκους τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα . H πηγή ισαπέχει από το

σημείο (Σ) της επιφάνειας και από το μέσο Μ του ΑΒ. Στο (Σ) τα κύματα φτάνουν με χρονική διαφορά . Το σημείο Μ ταλαντώνεται με πλάτος .

α) Να εξετάσετε το είδος της συμβολής που συμβαίνει στο (Σ).

β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις και .

9


γ) Να προσδιορίσετε τις θέσεις των σημείων απόσβεσης μεταξύ των Α και Β.

12α. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές και βρίσκονται στα σημεία Α και Β

αντίστοιχα, της ελαστικής επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά . Τη χρονική στιγμή οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την

απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση . Τα

παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος . Σημείο (Δ) απέχει κατά

από την πηγή και κατά από την πηγή . Το πλάτος ταλάντωσης του

σημείου (Δ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό ισούται με .

α) Να εξετάσετε εάν στο σημείο (Δ) συμβαίνει ενίσχυση ή απόσβεση των κυμάτων.β) Να υπολογίσετε το πλάτος των κυμάτων.γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου (Δ) σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό.δ) Να σχεδιάσετε σε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο του σημείου (Μ), το οποίο είναι το μέσο του ΑΒ.

13. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές και βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από

την εξίσωση . Τα κύματα που δημιουργούν διαδίδονται με

ταχύτητα . Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά από την πηγή και

κατά από την πηγή . Εξαιτίας του κύματος που προέρχεται από την

πηγή το (Σ) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με

εξίσωση .

α) Να υπολογίσετε την απόσταση .

β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σημείου (Σ).

γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών, ώστε το (Σ) να είναι σημείο απόσβεσης.

13α. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα της επιφάνειας ενός υγρού. Οι πηγές απέχουν μεταξύ τους κατά και ταλαντώνονται

κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, σύμφωνα με την . Τα

παραγόμενα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα . Σημείο (Γ) της επιφάνειας του

υγρού απέχει απόσταση από την και από την . Στο σημείο

(Γ) τα κύματα φτάνουν με χρονική διαφορά .

10


α) Να υπολογίσετε την απόσταση .β) Να εξετάσετε αν το σημείο (Γ) είναι σημείο ενίσχυσης ή απόσβεσης.γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου (Γ) σε σχέση με το χρόνο και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων.δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων ενίσχυσης που βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμαΑΒ.ε) Αν (Δ) σημείο του τμήματος ΑΒ, το οποίο ανήκει στην ίδια υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβεσης μετο σημείο (Γ) και (Ζ) σημείο του ΑΒ το οποίο είναι το πλησιέστερο στην πηγή σημείο ενίσχυσης, να υπολογίσετε την απόσταση (ΔΖ).


την εξίσωση . Τα κύματα που δημιουργούν έχουν μήκος

κύματος . Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά από την

πηγή και κατά από την πηγή . Αφού τα κύματα συμβάλλουν στο (Σ), αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα και πλάτος .

α) Να υπολογίσετε τη χρονική διαφορά άφιξης των κυμάτων στο (Σ) καθώς και τη διαφορά φάσης με την οποία φτάνουν.

β) Να υπολογίσετε το πλάτος των κυμάτων.

γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά τη συμβολή τωνκυμάτων σε αυτό.

δ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών, ώστε το (Σ) να είναι ακίνητο μετά τη συμβολή των κυμάτων.


αντίστοιχα, της ήρεμης επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά . Τη χρονική στιγμή οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση . Τα παραγόμενα κύματα

έχουν μήκος κύματος . Στο ακόλουθο διάγραμμα παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη

της απομάκρυνσης ενός σημείου (Σ) της επιφάνειας, το οποίο απέχει κατά από την πηγή

και κατά από την πηγή , με .

11


α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις και .β) Ένας σημειακός φελλός, μάζας , βρίσκεται στο σημείο Σ της επιφάνειας. Να γράψετετην εξίσωση της δυναμικής ενέργειας του φελλού εξαιτίας της ταλάντωσής του σε συνάρτηση με τοχρόνο.γ) Να υπολογίσετε τον αριθμό υπερβολών ενίσχυσης που τέμνουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου (Σ) από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο Μ, το οποίο είναι το μέσο του ΑΒ, βρίσκεται σε ακραία αρνητική απομάκρυνση για τέταρτη φορά.(Θεωρήστε ότι ).


την εξίσωση . Τα κύματα που δημιουργούν έχουν μήκος


πηγή και κατά από την πηγή . Τα δύο κύματα φτάνουν στο (Σ) με χρονική

διαφορά .

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων.

β) Να υπολογίσετε την απόσταση .

γ) Να εξετάσετε το είδος της συμβολής που συμβαίνει στο σημείο (Σ).

12


δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται ένα σημειακό κομμάτι ξύλου μάζας που αρχικά ισορροπούσε στο σημείο (Σ).



αντίστοιχα, της ελαστικής επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά . Τη χρονική στιγμή οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την

απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση . Τα

παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος . Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά

από την πηγή και κατά από την πηγή , με . Τα κύματα φτάνουν στο (Σ)

με χρονική διαφορά .

α) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό.β) Η υπερβολή σταθερής διαφοράς αποστάσεων στην οποία ανήκει το (Σ) τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που συνδέει τις πηγές σε σημείο (Γ). Να υπολογίσετε την απόσταση του (Γ) από το σημείο (Μ) το οποίο είναι το μέσο του ΑΒ.γ) Να υπολογίσετε το πλήθος σημείων ενίσχυσης του τμήματος ΜΓ.δ) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μέσο Μ φτάνει σε απομάκρυνση για πρώτη φορά.

16. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές και βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά . Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους κύματος και πλάτους . Σημείο (Λ) του ΑΒ ξεκινά να ταλαντώνεται τη

χρονική στιγμή και είναι το πλησιέστερο σημείο στην πηγή το οποίο μετά τη

συμβολή των κυμάτων σε αυτό ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος.

α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις του (Λ) από τις κυματικές πηγές.

β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του (Λ) τη στιγμή που τα κύματα συμβάλλουν στο μέσο Μ του ΑΒ.

γ) Να υπολογίσετε την απόσταση (ΚΛ) όπου (Κ) το πλησιέστερο στην ακίνητο σημείο του ΑΒ.

δ) Σημείο (Ζ) της επιφάνειας ανήκει στην ίδια υπερβολή απόσβεσης με το (Κ). Αν αυξήσουμε κατά % τη συχνότητα των πηγών, να υπολογίσετε το νέο πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Ζ).

Δίνεται .

13


17. Οριζόντια ελαστική χορδή μήκους έχει τα άκρα της στερεωμένα σε ακλόνητα εμπόδια. Στη χορδή έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, ως αποτέλεσμα της ταυτόχρονης διάδοσης στη χορδή δύο αντίρροπα διαδιδόμενων κυμάτων, με το ίδιο πλάτος και

το ίδιο μήκος κύματος .

α) Πόσες κοιλίες εμφανίζονται στη χορδή;

β) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή κατά την οποία η πλησιέστερη κοιλία στο αριστερό άκρο της χορδής βρίσκεται σε μέγιστη θετική απομάκρυνση.

γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της συχνότητας των κυμάτων που πρέπει να επιφέρουμε,ώστε στη χορδή να εμφανίζονται 5 κοιλίες.

17α. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους και ίδιου μήκους

κύματος διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις και ταχύτητα σε χορδή η

οποία ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο

κύμα με κοιλία στο σημείο .

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο κύμα.β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, των σημείων

και .

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ της χορδής τις χρονικές στιγμές και

.

18. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται μεαντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα

x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με κοιλία στο σημείο .

Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι: .

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των οδεύοντων κυμάτων.

β) Να γράψετε τις εξισώσεις των οδεύοντων κυμάτων.

γ) Να υπολογίσετε την οριζόντια απόσταση μεταξύ του 3ου δεσμού του θετικού ημιάξονα και της 2ης κοιλίας του θετικού ημιάξονα η οποία βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την κοιλία που

σχηματίζεται στο σημείο .

14


δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου του οποίου η

απόσταση από το είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του 2ου δεσμού του θετικού

ημιάξονα από το κατά .

18α. Σε μία οριζόντια ελαστική χορδή (ΟΛ) μήκους , έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, ως αποτέλεσμα της συμβολής δύο εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα, που διαδίδονται όμως σε αντίθετες κατευθύνσεις στη χορδή. Το δεξί άκρο (Λ) της

χορδής είναι στερεωμένο σε ακλόνητο εμπόδιο, ενώ το αριστερό άκρο είναι

ελεύθερο και ταλαντώνεται με πλάτος . Μεταξύ των σημείων (Ο) και (Λ) εμφανίζονται 3 ακίνητα σημεία, ενώ η μέγιστη οριζόντια απόσταση μεταξύ δύο κοιλιών της χορδής ισούται με

.

α) Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής.β) Να προσδιορίσετε τις θέσεις των ακίνητων σημείων.γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη οριζόντια απόσταση μεταξύ δύο σημείων της χορδής, τα οποία ταλαντώνονται με πλάτος .δ) Έστω ότι μεταβάλλουμε τη συχνότητα ταλάντωσης του Ο, με αποτέλεσμα μεταξύ των (Ο) και (Λ) να εμφανίζονται 6 ακίνητα σημεία. Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της συχνότητας.

19. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος , μήκος κύματος και συχνότητα διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε χορδή η οποία ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν δημιουργώντας στάσιμο κύμα το οποίο στη

θέση της χορδής εμφανίζει κοιλία. Το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης των σημείων του

μέσου ισούται με .

α) Να γράψετε την εξίσωση του δημιουργούμενου στάσιμου κύματος.

β) Αν Δ υλικό σημείο της χορδής με μάζα , να υπολογίσετε τη

μέγιστη δύναμη επαναφοράς που δέχεται το Δ κατά την ταλάντωσή του.

γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σημείου Α τη στιγμή που το σημείο Β

διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα.

(Δίνεται )

19α. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα πλάτους και μήκους κύματος διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα

15


x΄Οx. Το κάθε κύμα αναγκάζει το σημείο σε ταλάντωση της μορφής .

Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με εξίσωση

.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο.

β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του υλικού σημείου της χορδής σε

συνάρτηση με το χρόνο, αν το Δ είναι κοιλία και μεταξύ του Ο και του Δ παρεμβάλλονται τρείς δεσμοί.γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΟΔ της χορδής, τη χρονική στιγμή .

δ) Να εξετάσετε αν το σημείο Δ και το υλικό σημείο βρίσκονται σε

συμφωνία ή αντίθεση φάσης.

20. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος , μήκος

κύματος και συχνότητα διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε ελαστική χορδή η οποία ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και

δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση εμφανίζει κοιλία. Τα σημεία Α και Β

της χορδής ταλαντώνονται με πλάτος και μεταξύ τους παρεμβάλλονται 3 δεσμοί.

α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.

β) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ.

γ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση και την ταχύτητα του σημείου Α όταν η απομάκρυνση του

σημείου Β είναι και η ταχύτητα του θετική.

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ τη χρονική στιγμή , όπου

χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο Α διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα.

21. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται μεαντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα

x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση

εμφανίζει κοιλία. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι: .

α) Να προσδιορίσετε τη θέση του δεσμού του θετικού ημιάξονα μεταξύ του οποίου και

του παρεμβάλλονται 2 ακόμα δεσμοί.

β) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β .

γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών μεταξύ των Α και Β.

16


22. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος και συχνότητα διαδίδονταιμε αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα

x΄Οx. Το κάθε κύμα εξαναγκάζει το σημείο σε ταλάντωση της

μορφής . Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα όπου δύο

διαδοχικές κοιλίες απέχουν κατά .

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των οδεύοντων κυμάτων.

β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.

γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των ακίνητων σημείων του τμήματος ΟΔ, όπου Δ .

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΟΔ της χορδής τη χρονική στιγμή .

23. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα xΌx,

διαδίδονται τα:

Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα.

α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.

β) Να γράψετε τη συνθήκη κοιλιών και τη συνθήκη δεσμών.

γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών μεταξύ του σημείου και του

σημείου .


την εξίσωση . Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος


πηγή και κατά από την πηγή .

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων που υποχρεώνεται να εκτελέσει το σημείο (Σ), εξαιτίας των δύο κυμάτων που φτάνουν σε αυτό από κάθε πηγή.

β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Σ), μετά τη συμβολή των κυμάτων σε

17


αυτό.

γ) Να γράψετε την εξίσωση επιτάχυνσης του υλικού σημείου (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο για .



την εξίσωση . Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά

από την πηγή και κατά από την πηγή . Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη

χρονική στιγμή ενώ από τη χρονική στιγμή και έπειτα σταματά νακινείται.

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα των κυμάτων και την απόσταση .

β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο και της ταχύτητας ταλάντωσης του σε συνάρτηση με το χρόνο.

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της επιτάχυνσης του (Σ) ως συνάρτηση του χρόνου σε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων.

δ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα των κυμάτων που μπορούμε να προκαλέσουμε ώστε στο σημείο (Σ) να υπάρχει ενίσχυση των κυμάτων.


26. Δύο σύγχρονες πηγές και βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ελαστικής επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά . Οι πηγές ξεκινούν τη χρονική στιγμή t = 0 να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση με συχνότητα και ίδιο πλάτος δημιουργώντας κύματα, τα οποία συμβάλλουν στην

επιφάνεια του υγρού. Σημείο (Σ) απέχει κατά από την πηγή και

κατά από την πηγή . Μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό, το (Σ)

ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση: .

Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι .

α) Να υπολογίσετε την απόσταση του (Σ) από την . β) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων ενίσχυσης που βρίσκονται πάνω στο τμήμα ΑΒ.

18


γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου (Κ) το οποίο βρίσκεται επί του ΑΒ και ανήκει στην ίδια υπερβολή με το (Σ). δ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου (Κ) σε συνάρτηση με το χρόνο.

27. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές και βρίσκονται στα σημεία Α και Β

αντίστοιχα, της επιφάνειας υγρού και απέχουν κατά . Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους κύματος και πλάτους , τα οποία και συμβάλλουν στην επιφάνεια του

υγρού. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά από την πηγή και κατά

από την πηγή . Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή και τη χρονική

στιγμή αφού εκτελέσει 2,5 ταλαντώσεις ακινητοποιείται. Το κύμα από την φτάνει

στην επίσης τη χρονική στιγμή .

α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις και .

β) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων του τμήματος ΑΣ που είναι ακίνητα τη χρονική στιγμή .

γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των υπερβολών ενίσχυσης που τέμνουν το τμήμα ΑΣ μετά τη συμβολή των κυμάτων στο (Σ).

28. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές και βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ελαστικής επιφάνειας ενός υγρού και ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, σύμφωνα με τις:

Τα δημιουργούμενα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα .

α) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης ενός σημείου (Σ) της επιφάνειας το οποίο απέχει κατά από την πηγή και κατά από την πηγή , αφού συμβάλλουν τα κύματα σε αυτό.

β) Να γράψετε τη συνθήκη ενίσχυσης για το (Σ).

γ) Αν ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης του (Σ) μετά τη συμβολή;

δ) Αν ποιά θα έπρεπε να είναι η αρχική φάση της , ώστε το (Σ) να είναι σημείο

19


απόσβεσης;

29.

Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με εξισώσεις

διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη

θέση εμφανίζει κοιλία. Στο σημείο Α είναι ο πέμπτος δεσμός του

θετικού ημιάξονα. Το σημείο Β διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του

ανά .

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων.


γ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Γ τη χρονική στιγμή που

το σημείο Δ βρίσκεται σε ακραία θετική απομάκρυνση.

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ της χορδής τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνση του Ο ισούται με .

30. Οριζόντια ελαστική χορδή μήκους έχει το δεξί άκρο της Α

στερεωμένο σε ακλόνητο εμπόδιο. Το αριστερό άκρο Ο είναι ελεύθερο να κινηθεί. Στη

χορδή έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, με το Ο να είναι κοιλία, η οποία ταλαντώνεται με πλάτος . Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του Ο ισούται

με , ενώ μεταξύ των Ο και Α εμφανίζονται δύο δεσμοί.

α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος των κυμάτων των οποίων η συμβολή παρήγαγε το στάσιμο.


γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή .

δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του υλικού σημείου Β(xΒ=0,9m) τη στιγμή που το υλικό σημείο Ο βρίσκεται σε ακραία αρνητική απομάκρυνση.

31. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με

20


αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα

x΄Οx. Το κάθε κύμα εξαναγκάζει το σημείο σε ταλάντωση της

μορφής . Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με

εξίσωση: . Το υλικό σημείο Γ

εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους .

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των οδεύοντων κυμάτων.

β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του υλικού σημείου Γ, τη στιγμή που το βρίσκεται

στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση.

γ) Υλικό σημείο Δ του θετικού ημιάξονα έχει εξίσωση

ταχύτητας . Αν το σημείο Δ βρίσκεται μεταξύ της

6ης κοιλίας και του 6ου δεσμού του θετικού ημιάξονα, να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη της θέσης του Δ.

δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων του τμήματος ΟΔ της χορδής, τα οποία κάθε χρονική στιγμή έχουν ίση απομάκρυνση και ίση ταχύτητα με το Δ.

32. Μονοχρωματική ακτινοβολία διαδίδεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x και η εξίσωση

της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι: .

α) Να αποδείξετε ότι η ακτινοβολία δεν διαδίδεται στο κενό.

β) Να εξετάσετε αν η ακτινοβολία ανήκει στο ορατό φάσμα.

γ) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου.

δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου τις χρονικές στιγμές που η ένταση του μαγνητικού πεδίου έχει μέτρο .

Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης στο κενό .

33. Η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου μονοχρωματικής ακτινοβολίας κατά τη διάδοση της στον οριζόντιο άξονα

είναι: .

α) Να εξετάσετε αν η ακτινοβολία είναι ορατή και να υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Να θεωρήσετε γνωστό ότι το ορατό φάσμα αφορά την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία της οποίας το μήκος κύματος στο κενό κυμαίνεται περίπου από τα 400nm έως τα 700nm.

21


β) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου.

γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου τις χρονικές στιγμές που το μέτρο

της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ισούται με .

Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης στο κενό: .

34. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται σε υλικό μέσο. Η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη διάδοση του κύματος στον οριζόντιο άξονα

είναι: , όπου θετική σταθερά (σε ). Σε

χρονικό διάστημα το κύμα διαδίδεται κατά 5mm.

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

β) Να υπολογίστε τη σταθερά .

γ) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου στην οριζόντια διεύθυνση, εντός του υλικού μέσου.

δ) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του διαδιδόμενου ηλεκτρικού πεδίου στην οριζόντια διεύθυνση, όταν το κύμα διαδίδεται στον αέρα, αν γνωρίζουμε ότι σε αυτή την περίπτωση το

πλάτος της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου ισούται με .


34α. Μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας διαδίδεται στην

οριζόντια διεύθυνση, εντός υλικού μέσου με ταχύτητα . Η μέγιστη τιμή της

έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι . Η ακτινοβολία εξέρχεται από το

υλικό στο κενό, με αποτέλεσμα η μέγιστη ένταση του μαγνητικού πεδίου να αυξηθεί κατά 2%, σε σχέση με την τιμή που είχε κατά τη διάδοση της ακτινοβολίας στο υλικό.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις της έντασης του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου κατά τη διάδοση της ακτινοβολίας στο υλικό μέσο. β) Να εξετάσετε εάν η ακτινοβολία ανήκει στο ορατό φάσμα. γ) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη διάδοση της ακτινοβολίας στο κενό.

22


35. Ένας ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει ραδιοκύματα που έχουν μήκος κύματος 3m, ενώ

το πλάτος της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου είναι .

α) Να υπολογίσετε τη συχνότητα των εκπεμπόμενων κυμάτων.

β) Να υπολογίσετε το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου.

γ) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος κατά τη διάδοση του στην οριζόντια διεύθυνση.

δ) Για τη λήψη του ραδιοφωνικού σήματος, ένας δέκτης χρησιμοποιεί κύκλωμα LC στο οποίο ο συντελεστής αυτεπαγωγής έχει τιμή . Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα C του πυκνωτή, έτσι ώστε ο δέκτης να συντονιστεί με το εκπεμπόμενα ραδιοκύματα.

Δίνονται η ταχύτητα διάδοσης στο κενό: και .

36. Μονοχρωματική ακτινοβολία διαδίδεται εντός υλικού μέσου κατά τη διεύθυνση του οριζόντιου άξονα και η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του

είναι:

α. Να υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

β. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου.

γ. Να βρείτε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο κενό και να εξετάσετε αν η ακτινοβολία είναι ορατή. Να θεωρήσετε γνωστό ότι το ορατό φάσμα αφορά την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία της οποίας το μήκος κύματος στο κενό κυμαίνεται περίπου από τα 400nm έως τα 700nm.

δ. Αν το κύμα διέλθει από το υλικό μέσο στον αέρα, τότε το πλάτος της έντασης του μαγνητικού πεδίου αυξάνεται κατά 2%. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου όταν το κύμα διαδίδεται στο κενό.


37. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα διαδίδεται σε οπτικό μέσο (1) δείκτη διαθλάσεως . Η ακτίνα συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια του μέσου με οπτικό μέσο (2) δείκτη

διαθλάσεως υπό γωνία πρόσπτωσης . Μέρος της ακτινοβολίας ανακλάται

και η υπόλοιπη διαθλάται, έτσι ώστε η ανακλώμενη ακτίνα να σχηματίζει με τη διαθλώμενη γωνία .

α) Να σχεδιάσετε την προσπίπτουσα, την ανακλώμενη και τη διαθλώμενη ακτίνα στο σημείο

23


πρόσπτωσης.

β) Να υπολογίσετε τη γωνία κατά την οποία εκτρέπεται η διαθλώμενη ακτίνα σε σχέση με την προσπίπτουσα ακτίνα.

γ) Να υπολογίσετε το λόγο των δεικτών διαθλάσεως .

δ) Να υπολογίσετε το λόγο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο (1) προς το μήκος

κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο (2), .

37α. Μονοχρωματική δέσμη παράλληλων ακτίνων φωτός διαδίδεται στον αέρα όπου έχει μήκος κύματος λ0=600nm. Η δέσμη συναντά την ήρεμη επιφάνεια μίας λίμνης υπό γωνία

πρόσπτωσης 60ο, όπου μέρος της διαθλάται. Η γωνία διάθλασης ισούται με 30o.

α) Να υπολογίσετε τη γωνία κατά την οποία η διαθλώμενη ακτίνα εκτρέπεται σε σχέση με την προσπίπτουσα, καθώς και το δείκτη διαθλάσεως του νερού. β) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο νερό. γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας στο νερό. δ) Αν το φως διαδιδόταν από το νερό προς τον αέρα με την ίδια γωνία πρόσπτωσης να υπολογίσετε ποια θα ήταν τότε η γωνία εκτροπής της δέσμης.

Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό: .

38. Μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας διαδίδεται σε οπτικό

μέσο (1) με δείκτη διαθλάσεως . Η ακτίνα συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια του μέσου με οπτικό μέσο (2) που έχει δείκτη διαθλάσεως . Το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο (2)είναι κατά % μικρότερο από το αντίστοιχο στο μέσο (1).

α) Να υπολογίσετε το λόγο των δεικτών διαθλάσεως .

β) Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της ταχύτητας διάδοσης της ακτινοβολίας κατά την αλλαγή μέσου διάδοσης.

γ) Αν η ακτινοβολία διαδίδεται αντίστροφα, δηλαδή από το μέσο (2) προς το μέσο (1) και συναντά την διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων υπό γωνία πρόσπτωσης , να υπολογίσετε τη γωνία κατά την οποία εκτρέπεται.

δ) Να εξετάσετε αν η ακτινοβολία είναι ορατή, αν θεωρήσετε γνωστό ότι το ορατό φάσμα αφορά την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία της οποίας το μήκος κύματος στο κενό κυμαίνεται περίπου απότα έως τα .

Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα και .

24


38α. Μονοχρωματική ακτίνα φωτόςδιαδίδεται στο κενό με μήκος κύματος

και προσπίπτει σε γυάλινοπρίσμα του οποίου η τομή είναι ορθογώνιο

ισοσκελές τρίγωνο .

Το φώς προσπίπτει κάθετα στη μία κάθετηπλευρά του πρίσματος, στο μέσο αυτής καιδιαθλάται. Η κρίσιμη γωνία της ακτινοβολίας γιατο συγκεκριμένο πρίσμα ισούται με (

και

).Να υπολογίσετε: α) τη γωνία κατά την οποία έχει εκτραπεί ηεξερχόμενη από το πρίσμα ακτίνα σε σχέση με τηδιεύθυνση της προσπίπτουσας στην πλευρά ΑΓ. β) το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όσο αυτή βρίσκεται εντός του πρίσματος. γ) το χρόνο που χρειάζεται η ακτίνα από τη στιγμή που εισέρχεται στο πρίσμα μέχρι να εξέλθει. δ) τη γωνία που πρέπει να σχηματίζει η προσπίπτουσα δέσμη με την πλευρά ΑΓ, ώστε το φώς να διέρχεται εφαπτομενικά της ΒΓ.

Δίνονται: ,

39. Μονοχρωματική ακτίνα συχνότητας προσπίπτει στη διαχωριστική

επιφάνεια μεταξύ του αέρα και ενός οπτικού μέσου με δείκτη διαθλάσεως , χωρίς να

γνωρίζουμε από ποιο μέσο προέρχεται. Η διαθλώμενη ακτίνα εκτρέπεται σε σχέση με τη διεύθυνσητης προσπίπτουσας κατά γωνία , ενώ η γωνία διάθλασης είναι μικρότερη της γωνίας πρόσπτωσης.

α) Να εξετάσετε αν η ακτινοβολία διέρχεται από τον αέρα στο μέσο ή αντίστροφα και να σχεδιάσετε την πορεία των ακτίνων.

β) Να υπολογίσετε τη γωνία πρόσπτωσης και τη γωνία διάθλασης.

γ) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όταν διαδίδεται στον αέρα και όταν διαδίδεται στο οπτικό μέσο.

Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα .

Επίσης: ,

και .

25


39α. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα διαδίδεται στον αέρα όταν προσπίπτει στην έδρα ΑΒ του πρίσματος του σχήματος υπό γωνία . Ο δείκτης

διαθλάσεως ισούται με , ενώ το πρίσμα περιβάλλεται από αέρα.

α) Να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ ανακλώμενης και διαθλώμενης στο σημείο (Σ). β) Να εξετάσετε αν το φώς προσπίπτοντας στην ΔΓ του πρίσματος, εξέρχεται στον αέρα. γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό μείωσης της ταχύτητας της ακτινοβολίας όταν αυτή εισέρχεται από τον αέρα στο πρίσμα.

Δίνεται: .

40. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα διαδίδεται στο κενό με μήκος κύματος και

προσπίπτει στη λεία επιφάνεια ενός υαλότουβλου, με δείκτη διαθλάσεως . Η

ανακλώμενη δέσμη είναι κάθετη με την προσπίπτουσα. Να υπολογίσετε:

α) την ταχύτητα διάδοσης της φωτεινής ακτίνας εντός του υαλότουβλου.

β) τη γωνία διάθλασης.

γ) την επί τοις εκατό μεταβολή του μήκους κύματος της ακτινοβολίας κατά την είσοδο της στο υαλότουβλο.

26


δ) την επί τοις εκατό μεταβολή της μέγιστης έντασης του διαδιδόμενου ηλεκτρικού πεδίου κατά τηνείσοδο της ακτινοβολίας στο υαλότουβλο, αν το πλάτος της έντασης του μαγνητικού πεδίου μειώθηκε κατά 5% σε σχέση με το κενό.


Για τις πράξεις να θεωρήσετε ότι .

40α. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός διαδίδεται εντός γυάλινου πλακιδίου δείκτη διαθλάσεως το οποίο είναι βυθισμένο σε νερό. Το πλακίδιο είναι οπτικά πυκνότερο του

νερού. Το φώς συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια των μέσων υπό γωνία πρόσπτωσης

. Η κρίσιμη γωνία ισούται με . Να υπολογίσετε:

α) το δείκτη διαθλάσεως του νερού. β) τη γωνία διαθλάσεως και τη γωνία εκτροπής της ακτίνας. γ) το ποσοστό μεταβολής του μήκους κύματος της ακτίνας, καθώς αυτή διέρχεται από το πλακίδιο στο νερό.

Δίνεται .

41. Μονοχρωματική φωτεινήακτινοβολία διαδίδεται σε γυάλινοσώμα, όπου το μήκος κύματος τηςακτινοβολίας ισούταιμε . Η ακτινοβολίαπροσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνειατου σώματος με τον αέρα με γωνίαπρόσπτωσης και ένα μέροςτης διαθλάται. Η διαθλώμενηακτινοβολία διαδίδεται με ταχύτητακατά 40% μεγαλύτερη από τηναντίστοιχη εντός του γυάλινου σώματος.Να υπολογίσετε:

α) το δείκτη διαθλάσεως του γυάλινου σώματος.

β) το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όταν αυτή διαδίδεται στον αέρα.

γ) τη γωνία διάθλασης.

δ) την τιμή που θα έπρεπε να έχει η γωνία πρόσπτωσης, ώστε η ακτίνα να διαθλαστεί εφαπτόμενα της διαχωριστικής επιφάνειας.

27




42. Μονοχρωματική φωτεινή ακτινοβολία διαδίδεται στον αέρα και συναντά υπό γωνία

πρόσπτωσης την έδρα ΚΛ ενός γυάλινου πλακιδίου πάχους . Εντός του

πλακιδίου το φώς διαδίδεται με ταχύτητα . Να υπολογίσετε:α) το λόγο του

μήκους κύματος της ακτινοβολίας όταν διαδίδεται στον αέρα, προς το αντίστοιχο μήκος κύματος όταν διαδίδεται στο πλακίδιο.β) τη γωνία διαθλάσεως κατά την είσοδο της ακτινοβολίας από τον αέρα στο πλακίδιο.γ) το απαιτούμενο χρονικό διάστημα για να διασχίσει η ακτινοβολία το πλακίδιο.δ) τη γωνία που σχηματίζεται μεταξύ της ακτίνας που εισέρχεται στο πλακίδιο και της ακτίνας που εξέρχεται από αυτό.


42α. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα

διαδίδεται στο κενό όπου έχει μήκος

κύματος . H ακτίνα προσπίπτει

κάθετα στην έδρα ενός πρίσματος όπως φαίνεται στο

σχήμα. Εντός του πρίσματος, το μήκος κύματος της

ακτινοβολίας ισούται με .

Α) Να υπολογίσετε:

i) τη συχνότητα της ακτινοβολίας.

ii) το δείκτη διαθλάσεως του πρίσματος.

iii) την ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας εντός του πρίσματος.

Β) Να σχεδιάσετε την πορεία της φωτεινής

28


ακτίνας και να υπολογίσετε την γωνία κατά την οποία εκτρέπεται τελικά η φωτεινή ακτίνα σε

σχέση με την ακτίνα που εισέρχεται στο πρίσμα.



43. Δύο πρίσματα με ίσες ορθογώνιες τριγωνικές τομές εφάπτονται όπως φαίνεται στο

σχήμα, σχηματίζοντας ένα «διπλό» πρίσμα με τομή ισόπλευρου τριγώνου. Το πρίσμα (1) έχει

δείκτη διαθλάσεως ενώ το πρίσμα (2) έχει δείκτη διαθλάσεως . Βυθίζουμε το

διπλό πρίσμα σε δοχείο το οποίο περιέχει υγρό με δείκτη διαθλάσεως .

Μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας που διαδίδεται στο υγρό,

προσπίπτει κάθετα στην έδρα ΑΒ του πρίσματος (1) και ακολουθεί την πορεία που φαίνεται στο

σχήμα.

Α) Να υπολογίσετε το δείκτη διαθλάσεως .

Β) Αλλάζουμε το πρίσμα με δείκτη διαθλάσεως με άλλο πρίσμα που έχει δείκτη

διαθλάσεως έτσι ώστε η ακτινοβολία να διέρχεται σε αυτό και συναντώντας

την έδρα ΜΓ να διαθλάται στο υγρό με γωνία διαθλάσεως .

29


i) Να υπολογίσετε το δείκτη διαθλάσεως .

ii) Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής του μήκους κύματος της ακτινοβολίας κατά τη

διέλευση της από το πρίσμα (1) στο πρίσμα (3) (Για τις πράξεις να θεωρήσετε

ότι ).

iii) Να εξετάσετε αν και σε ποιο οπτικό μέσο η ακτινοβολία είναι ορατή αν θεωρήσετε γνωστό

ότι το ορατό φάσμα αφορά την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία της οποίας το μήκος κύματος

στο κενό κυμαίνεται περίπου από τα 400nm έως τα 700nm.

Δίνονται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα και η τριγωνομετρική

ιδιότητα .

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ1. [T=4s, A=0,4m λ=8m, y=0,4ημ2π(t/4-x/8) ]2. [A=0,04m, T=2s, λ=0,4m, t=1,5s, φ=π/2rad, y=0,04m, y=0,04ημ2π(t/2-0,2/0,4),

Δx=0,6m]3. [t1=1,8s, d=5,4m, E=4π210-2j, ΚΛ=0,5m]4. [A=0,04m, xA=12m, xB=24m, amaxA=2,5·10-2m/s2, φ=3π/2rad]5. [A=0,06m, T=1s, λ=0,2m, u=0,2m/s, uΣ=12π·10-2συν2π(t-2), t≥2s, (S.I.)

K=72π210-7συν22π(t-2), t≥2 (S.I), d=1/60m]6. [ω=π rad/s, umax=π10-4m/s, u=2m/s, t=5,5s, uΛ=-π10-4m/s]7. [T=16s, λ=48cm, y=0,1ημ2π(t/16-25x/12), U=7,81·10-8π2j]8. [T=8s, λ=4cm, y=2·10-2ημ2π(t/8-25x) (S.I.), t1=18s]9. [y=4·10-3ημ2π(t/2-25x) (S.I.), φ=3π rad, K=8π2·10-9συν22π(4,5/2-25x), x≤9·10-2m (S.I.)]10. [xK=12m, A=4·10-2m, λ=16m, y=4·10-2ημ2π(t/8-x/16) (S.I.),

UM=10-6ημ22π(t/8-16/16) , t≥8s]11. [AΣ=0,2m, yΣ=-0,2ημ2π/3(2t-31) (S.I.), aΣ=16√2/9 m/s, K/E=1/2]12. [Ενίσχυση, r1=2m, r2=3,6m, N=10 σημεία (3,8 3,4 3, ..... 1, 0,6 0,2) ]13. [r1=1,75m, uΣ=0, 0≤t≤0,875 uΣ=16π·συνπ(4t-3,5), 0.875≤t≤1,

uΣ=16√2π·συνπ(4t-3,75), t≥1s, fmin=4Hz]14. [Δt=0,75s, Δφ=0 rad, A=√2/2m, yΣ=ημπ(10t-16,25) (S.I.), fmin=2/3Hz]15. [u=2m/s, r2=3,1m, Απόσβεση, Fεπ=-ημ2π(5t-6,25), 1,25≤t≤1,55]16. [x1=1,6m, x2=0,4m, uΛ=-10π/3 m/s, ΚΛ=1,5m, AZ=1,62m]17. [6 κοιλίες, 16,7%]18. [u=8m/s, y=0,2ημπ(20t±2,5x) (S.I.), d=0,6m, uZ=4π m/s]19. [y=0,016συν(5πx)ημ(2πt) (S.I.), Fεπ(max)=64·10-5N, umax=0,016√2πm/s]20. [y=0,8συν(5πx)ημ(8πt) (S.I.), AB=0,6m, yA=-0,2√7m, uA=-4,8π m/s]21. [xA=1m, yB=0,4ημ(20πt) (S.I) N=5 δεσμοί]22. [u=2m/s, y=1,6συν(5πx)ημ(10πt) (S.I), N=4 σημεία]

30


23. [y=0,4ημ(5πx)συν(2πt) (S.I), κοιλίες x=2k+1/10, δεσμοί x=k/5 k=0,±1, N=24 σημεία]24. y=0,2ημ2π(2t±3) (S.I) AΣ=0.4m, aΣ=-32ημ2π(2t-3) 1,5≤t≤4,

aΣ=64ημ2π(2t-5,5) t≥4, ]25. [u=4m/s, r2=6,2m, y=0,2ημπ(10t-10,5), u=2πσυν2π(5t-5,25), 1,05≤t≤1,55

aΣ=-200ημ2π(5t-5,25) 1,05≤t≤1,55, fmin=2Hz]26. [r2=4m, N=17 σημεία, x1K=2m, x2K=3m, y=0,4ημ2π(5t-20/3) 4/3≤t≤2

y=0,4ημ2π(5t-25/3) t≥2s]27. [r1Σ=2,8m, r2S=4,8m, N=7 σημεία, yΣ=0,5ημ7π(10t/11-1) 1,1≤t≤66/35 N=3]28. [y=0,4συνπ((r1-r2)/0,4 +1/6)ημπ(2t/T – (r1+r2)/0,4 +1/6) (S.I), r1-r2=(6N-1)/15 N=0, ±1, ..

AΣ=0,2√3m, φ0=π rad]29. [u=0,5m/s, y=0,4συν(10πx)ημ(5πt) (S.I), yΓ=+0,2m]30. [λ=0,8m, y=1,6συν(5πx/2)ημ(10πt) (SI), yB=-0,8√2m]31. 32. [u=2,5·108m/s, λ0=600nm, B=2·10-10ημπ(1015t-4·106x) (S.I), E=2,5·10-6V/m]33. [λ=500nm, u=3·108m/s, B=2·10-11ημ2π(6·1014t-2·106x) (S.I), B=√3·10-11T]34. [u=5·107m/s, k=800π m-1, B=10-12ημ2π(2·1010t-400x) (S.I), E=24·10-5ημ400π(108t-x/3)]35. [f=100MHz, Emax=1,5·10-2V/m, E=1,5·10-2ημ2π(108t-x/3) (S.I), C=2,5·10-12F]36. [u=2·108m/s, B=2·10-10ημ2π/3·107(2·108t-x) (S.I), λ0=450nm,

E=6,12·10-2ημ4π/3·107(108t-x/3]37. [θε=15ο, √2, √2/2]38. [8/10, -20%, 60ο, 250nm]39. [αέρας → υλικό, 60ο, 30ο, 500nm, 500√3/3nm]40. [1,5√2·108m/s, 300, -30%, -32,14%]41. [√2, 700nm, 45o, 45o]42. [√2/1, 30o, 36·10-11s, 45o]43. [3/7·1015Hz, 7/5≈√2, 3√2/2·108m/s, 45o]

[3/2, 3√3/3, 15%, 500nm]

31

20141203κυματα digital

Education

Transcript of 20141203κυματα digital