Επιµέλεια: Γ. Πορταλάκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος … .. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ∆ΝΤ

(IMF: …4o µεσοπρόθεσµο ….) ( WWF: ….εξοικονόµηση πόρων….) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2001 ........................................................................1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 17 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ........................................................................2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 16 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2003 ........................................................................3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 16 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2004 ........................................................................4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΟΜΟΓΕΝΩΝ 13 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ........................................................................5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 12 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2006 ........................................................................6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 11 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2007 ........................................................................7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 09 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2008 ........................................................................8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 08 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2009 ........................................................................9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 14 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ......................................................................10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 06 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ......................................................................11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 04 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ......................................................................12

- 1 -

MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2001

ΘΕΜΑ 1 Α. α) Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σηµείο 0x του πεδίου ορισµού της; Μ: 3 β) Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]; Μ: 3 γ) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] και ( ) f( )f α β≠ , τότε να αποδείξετε ότι για

κάθε αριθµό η µεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον ( )0 ,x α β∈ τέτοιος, ώστε 0( )f x η= Μ: 6,5

Β. ∆ίνεται συνάρτηση f συνεχής στο 0 0x = για την οποία ισχύει: ( )( ) 2 2 µx f x x xη− + = , για κάθε *x R∈ .

α) Να αποδείξετε ότι f(0) = –1. Μ: 6

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα 0,2π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

. Μ: 6,5

ΘΕΜΑ 2

∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, w τέτοιοι, ώστε 31z iw

i−

=+

.

α) Αν w = 2 – 2i, τότε το µέτρο του µιγαδικού z είναι: Α) 3 Β) 4 Γ) 5 ∆) 2 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μ: 5 β) Αν 2 2w = , να αποδείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την

ακτίνα του. Μ: 7,5

Β. α) Αν z = x + yi µε x, y ,x y R∈ , να αποδείξετε ότι: 3 3Re( ) , Im( )2 2

x y x yw w+ − − + −= = Μ: 6

β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων Μ των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ( )4

Arg w π= M: 6,5

ΘΕΜΑ 3 ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ln 2f x x x x= − . α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f. Μ: 8

β) Να αποδείξετε ότι ln 2 exx

≥ − , για κάθε 0x > . Μ: 7

γ) Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των x και τις ευθείες x = 1 , x = e. Μ: 10 ΘΕΜΑ 4

∆ίνεται συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιµη στο µε ( ) ( )f x f x′′ = για κάθε x R∈ , f(0) = 1 και (0)=0f ′ . Να αποδείξετε ότι:

α) η συνάρτηση (x)+ (x)( ) x

f fg xe

′= είναι σταθερή Μ: 8

β) ( ) 2( ) x xf x e e′⋅ = για κάθε x R∈ Μ: 8

γ) ο τύπος της f είναι ( )2

x xe ef x−+

= Μ: 9

- 2 - ( 07/09/2012 20:45:17)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 17 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002

ΘΕΜΑ 1

Α. α) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0x , να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. M: 8,5 β) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f στο σηµείο Α( 0x , f( 0x )). M: 4 B. α) Αν z = x + yi ≠ 0, |z| = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή

( )z iρ συνθ ηµθ= ⋅ + M: 8,5

β) Αν 1 1 1 1 2 2 2 2( ), ( )z i z iρ συνθ ηµθ ρ συνθ ηµθ= + = + είναι η τριγωνοµετρική µορφή των µιγαδικών 1 2z ,z και

1 2z z= , τότε

1 2ρ ρ= και 1 2θ θ+ = 0 . Να γράψετε στο τετράδιό σας

1 2ρ ρ+ = 0 και 1 2θ θ= +2kπ, k∈Z. τον αριθµό που αντιστοιχεί

1 2ρ ρ= και 1 2θ θ− = 2kπ, k∈Z . στη σωστή απάντηση.

1 2ρ ρ− = 0 και 1 2θ θ+ = 2kπ, k∈Z.

M: 4 ΘΕΜΑ 2

∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί 1z = 1 −2i και 2z = 3+4i

α) Αν 2

1

, ,z x yi x y Rz= + ∈ , να αποδείξετε ότι x = −1 και y = 2. M: 8

β) Αν µια ρίζα της εξίσωσης 2 2 0x xβ γ+ + = , όπου β, γ ∈ R, είναι η 2

1

zz

, να βρείτε τις τιµές των β και γ. M: 8

γ) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z για τους οποίους ισχύει 1 22z z z− =

M: 9 ΘΕΜΑ 3

∆ίνεται η συνάρτηση 1( ) 2 42 4

f x xx

= + ++

α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο που τέµνει τον άξονα y΄y . M: 7 β) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. M: 9 γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των x και τις ευθείες x = 0, x = 1. M: 9 ΘΕΜΑ 4 Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :(0,+∞) → R για την οποία ισχύουν f(1) = 0 και

( ) 2 ( )x f x f x x′ − = , για κάθε x∈(0,+∞).

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = 2

( )f xx

είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+∞). M: 7

β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. M: 8

γ) Να βρείτε το 121

( )lim

(ln )

x

x

f t dt

x→

∫ M: 10

- 3 -

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 16 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2003

ΘΕΜΑ 1 α) Έστω Α ένα υποσύνολο του R και µία συνάρτηση f: A → R , µε πεδίο ορισµού του Α. Πότε η f λέγεται συνάρτηση 1-1; M: 5 β) Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆. Αν η f είναι συνεχής στο ∆ και ( ) 0f x′ = για κάθε εσωτερικό σηµείο x του ∆, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα ∆. M: 12 γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς 1, 2, 3, 4 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη.

21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 11. , 2. , 3. , 4.z z z z z z z z z z z z z z z+ = + ⋅ = ⋅ ⋅ > ⋅ = ⋅

όπου 1z = α + βi και 2z = γ + δi είναι µιγαδικοί αριθµοί. M: 8 ΘΕΜΑ 2

∆ίνεται η συνάρτηση

43 ,3( )42 1 ,3

x xf x

x x

⎧− − ≤ −⎪⎪= ⎨⎪ + > −⎪⎩

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0x = 43

− . M: 5

β) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0x = 43

− M: 10

γ) Για 43

x ≠ − , να βρείτε την ( )f x′ και να λύσετε την εξίσωση 1( ) ( )2

f x f x′+ = M: 10

ΘΕΜΑ 3

∆ίνεται η συνάρτηση f µε f(z) = z iz+ , όπου z µιγαδικός αριθµός µε 0z ≠

α) Αν ( ) ( )f z f z= , να αποδείξετε ότι o z είναι πραγµατικός αριθµός. M: 6

β) Αν ( ) 1f z = , να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο. M: 9

γ) Αν Re(f(z)) = 2 , να αποδείξετε ότι οι εικόνες του µιγαδικού αριθµού z, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. M: 10 ΘΕΜΑ 4 ∆ίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύει f(0) = 0 και ότι η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (0, + ∞)

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 υπάρχει ξ ∈ (0, x) τέτοιος ώστε ( ) ( )f x x f ξ′= ⋅ M: 6

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( )( ) , 0xf xh x e xx

= + > είναι συνάρτηση 1-1 στο διάστηµα (0, + ∞) M: 10

γ) Αν 5( ) xh x e x x= + + , να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 1

1

( 1)e

I f x dx−

= +∫ M: 9

- 4 - ( 07/09/2012 20:45:17)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 16 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2004

ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα ∆. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο ∆, τότε να αποδείξετε ότι: • όλες οι συναρτήσεις της µορφής G(x) = F(x) + c , c ∈ R., είναι παράγουσες της f στο ∆ και • κάθε άλλη παράγουσα G της f στο ∆ παίρνει τη µορφή G(x) = F(x) + c , c∈R. M: 10 B. Έστω Α ένα υποσύνολο του R. , f µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α και 0x ∈A.

Πότε θα λέµε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο 0x (ολικό) µέγιστο, το f( 0x ); M: 5 Για καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις Γ, ∆, Ε, ΣΤ και Ζ να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασµένη. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. M: 2 ∆. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ' ένα σηµείο 0x του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. M: 2

Ε. Ισχύει ο τύπος xdxηµ∫ = συνx + c M: 2

ΣΤ. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σ' ένα διάστηµα ∆ & παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του ∆. Θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο ∆, αν η f ′ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του ∆. M: 2 Ζ. Έστω µια 1-1 συνάρτηση f και C, C΄ οι γραφικές παραστάσεις των f και 1f − στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Τότε οι

γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και 1f − είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x. M: 2

ΘΕΜΑ 2

∆ίνεται η συνάρτηση

2 , 0( ) ,0 1

1 ln , 1

x xf x x x

x x xα β⎧− ≤⎪= + < <⎨⎪ + ⋅ ≥⎩

όπου α, β ∈R

α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. M: 8 β) Αν, για τους πραγµατικούς αριθµούς α και β, ισχύει: α = 1 και β = 0, τότε:

i) Να υπολογίσετε το 2x +

f(x)limx→ ∞

M: 9 ii) Να υπολογίσετε τα όρια : 1

( ) (1)lim1x

f x fx+→

−−

, 1

( ) (1)lim1x

f x fx−→

−−

M: 8

ΘΕΜΑ 3

Έστω z µιγαδικός αριθµός, µε z i≠ ± και w = 2 1z

z +

α) Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγµατικός, τότε ο z είναι πραγµατικός ή 1z = M: 10

β) Να λύσετε, στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών, την εξίσωση 2

31 3

zz

=+

M: 10

γ) Αν 1 2,z z είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (β), να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 3

1 2

1 2

( )4 ( )

z z ikz z⋅ −

=+ +

M: 5

ΘΕΜΑ 4 ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµα ∆ = (0, +∞) για την οποία ισχύει:

2

1

1( ) 1 ( ) ,1

xf x x f t dt x

x= − + ∈∆

+ ∫ α) Να υπολογίσετε το f(1) M: 3

β) Να αποδείξετε ότι f ′ (x) = 3x − 1. M: 10 γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. M: 6 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 2 και x = 4 . M: 6

- 5 -

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΟΜΟΓΕΝΩΝ 13 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005

ΘΕΜΑ 1

α) Να αποδείξετε ότι αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ' ένα σηµείο 0x , τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Μ: 10 β) Έστω Μ(x, y) η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z = x + yi στο µιγαδικό επίπεδο. Τι ορίζουµε ως µέτρο του z; Μ: 5 γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς 1, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη.

1. Αν z µιγαδικός αριθµός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει: 2z z z= ⋅ Μ: 2

2. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο 0x , τότε ισχύει: 0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x→ →

= Μ: 2

3. Ισχύει (ηµx)΄ = − συνx . Μ: 2 4. Ισχύει 2 ,x xe dx e c c R= + ∈∫ Μ: 2

5. Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] µια µέγιστη τιµή Μ και µια ελάχιστη τιµή m. Μ: 2 ΘΕΜΑ 2

∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί 1 3z i= + και 2 1 3z i= − .

α) Να αποδείξετε ότι 1

2

z iz

= και 21 2 0.i z z⋅ + = Μ: 8

β) Να αποδείξετε ότι 2006 20061 2 0z z+ = . Μ: 8

γ) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό 1 2

2 2

, 1k z i zw k Rz k z⋅ − ⋅

= ∈ −− ⋅

Nα αποδείξετε ότι για κάθε 1k R∈ − ισχύει Im( ) 1w = − Μ: 9 ΘΕΜΑ 3

Θεωρούµε τη συνάρτηση , 0

( )ln , 0

xe xf x

x x xα⎧ + ≤

= ⎨>⎩

όπου Rα ∈

A) Να υπολογίσετε τον πραγµατικό αριθµό α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 0x = 0. M: 10 B) Αν για τον πραγµατικό αριθµό α ισχύει α = −1 : Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0x = 0. Μ: 5 Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f. Μ: 5 Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 1 και x = e. Μ: 5 ΘΕΜΑ 4

Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) ln , (1, )xf x x x e x= − + ∈ +∞ . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (1, +∞). Μ: 6

β) Να βρεθούν τα όρια lnlim , lim , lim ( )x

x x x

x e f xx x→∞ →∞ →∞

Μ: 6

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2005 έχει µοναδική λύση στο διάστηµα (1, +∞). Μ: 6

δ) Έστω ( ) 1

2 (2)( ) ( )

e f e

ff x dx f x dx−Π = +∫ ∫ .

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 2ln(2).Π − Μ: 7

- 6 - ( 07/09/2012 20:45:17)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 12 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2006

ΘΕΜΑ 1

α) Έστω η συνάρτηση ( )f x x= . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (0,+∞) και ισχύει 1( )2

f xx

′ =

Μ: 10 β) Έστω µία συνάρτηση f και το σηµείο 0x του πεδίου ορισµού της. Πότε θα λέµε ότι η f είναι συνεχής στο 0x Μ: 5 γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς 1, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη. 1. Αν 1 2,z z είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει 1 2 1 2 1 2z z z z z z− ≤ + ≤ + Μ: 2

2. Έστω η συνάρτηση f(x) = εφ x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο 1 / 0R R x xσυν= − = και ισχύει

2

1( )f xxσυν

′ = − Μ: 2

3. Αν 0

lim ( ) 0 x x

f x→

< , τότε ( ) 0 f x < κοντά στο 0x . Μ: 2

4. x dx x cσυν ηµ= +∫ . Μ: 2

5. Αν για µία συνάρτηση f, συνεχή στο διάστηµα [α, β] ισχύει ( ) 0 f x ≥ για κάθε [ , ]x α β∈ , τότε

( ) 0f x dxβ

α≥∫ . Μ: 2

ΘΕΜΑ 2

Έστω ότι για τον µιγαδικό αριθµό z ισχύει: ( ) ( )5 55 1 5z z− = −

α) Να δείξετε ότι 5 1 5z z− = − Μ: 5

β) Να δείξετε ότι: 1z = Μ:10

γ) Αν 5 1w z= + να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο µιγαδικό επίπεδο. Μ:10 ΘΕΜΑ 3 ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ln( - 5) 2 12f x x x= + − α) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f; M: 6 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Μ: 7 γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f. Μ: 6 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2006f x = έχει µοναδική λύση στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Μ: 6 ΘΕΜΑ 4

Έστω η συνεχής συνάρτηση f , για την οποία ισχύει ( ) 3 2 ( ) 0,f x f t dt x Rβ

α= + ≥ ∈∫

α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 2

( )( ) x

f xxe

φ = είναι σταθερή. Μ: 5

β) Να αποδειχθεί ότι 2( ) 3 xf x e= Μ: 5 γ) Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου Ε(λ) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 0, x = λ µε λ > 0 . Μ: 10

δ) Να βρεθεί το 0

( )lim Eλ

λλ+→

. Μ: 5

- 7 -

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 11 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2007

ΘΕΜΑ 1 Α. 1.Έστω η συνάρτηση ( )f x xηµ= . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει:

( )f x xσυν′ = . Μ:10 2. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της; Μ: 5 Β. Να γράψετε στο τετράδιο σας τους αριθµούς 1, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, η (Λ), αν είναι λανθασµένη.

1. Για κάθε µιγαδικό αριθµό ζ και κάθε θετικό ακέραιο ν, ισχύει: z zν ν= . Μ: 2

2. Ισχύει: 0

1lim 1x

xx

συν→

−= . Μ: 2

3.Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ' ένα εσωτερικό σηµείο ox ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της, τότε η

f δεν είναι παραγωγίσιµη στο ox . Μ: 2

4. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο ox και ( ) 0,og x ≠ τότε και η συνάρτηση fg

είναι παραγωγίσιµη στο

ox και ισχύει:( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

f x f x g x f x g xg x g x

΄ ΄′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= Μ: 2

5. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ' ένα διάστηµα ∆, ισχύει: ( ) ( ) ,f x dx f x c c R= − + ∈∫ . Μ: 2

ΘΕΜΑ 2

∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί 1 2, 1z i z= = και 3 1 .z i= +

α. Να αποδείξετε ότι: 2 2 21 2 3z z z+ − Μ: 5

β. Αν για το µιγαδικό ισχύει 2 1z z z z− = − , τότε να αποδείξετε ότι:

i. Re( ) ( )z m z= Ι . Μ:10

ii. για 0z ≠ , να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης .z zz z

Α = + Μ:10

ΘΕΜΑ 3

∆ίνεται η συνάρτηση ( )1( ) ln , 0,4

f x x xx

= + ∈ +∞

α. Να αποδείξετε ότι: ( )55

1 10, 0 0.4

f f f ee

και⎛ ⎞ ⎛ ⎞> < >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Μ: 6

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο ( , ( ))M l f l . Μ: 5 γ. Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f. Μ: 4 δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0f x = έχει ακριβώς δυο ρίζες στο διάστηµα ( )0,+∞ . Μ:10

ΘΕΜΑ 4

Έστω f µία παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R, για την οποία ισχύει 3( ) ( ) 4 xf x f x e−′ − = − και f(0) = 2 .

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 4( ) ( )x xh x e f x e− −= − είναι σταθερή. Μ: 5

β. Να αποδείξετε ότι 3

1( ) xxf x e

e= + : Μ: 6

γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα: 0

( ) ( )x

x f t dtΙ = ∫ Μ: 9

δ. Να βρείτε το 21

Ι(x)limxx +∞→

Μ: 5

- 8 - ( 07/09/2012 20:45:17)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 09 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2008

ΘΕΜΑ 1

Α. α. Αν 1 2,z z είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε να αποδείξετε ότι: 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ . M: 10

β. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; M: 5 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς 1, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη. 1. Για τον µιγαδικό αριθµό ,z i Rα β µε α β= + ∈ ισχύει z = 0 τότε και µόνον τότε, αν α = 0 και β = 0. M: 2 2. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε κοινό πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Τότε πάντα ισχύει: ( )

0 0 0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x g x f x g x→ → →

⋅ = ⋅ M: 2

3. Έστω µια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆. Αν ( ) 0f x′ < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆. M: 2

4. Αν είναι ( ) 0f x dxβ

α>∫ , τότε f(x) > 0 για κάθε x∈ [α, β]. M: 2

5. Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f, σε κάθε σηµείο του ∆ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους. M: 2 ΘΕΜΑ 2 Α. ∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί ( 1)z i Rκ κ µε κ= + + ∈ . α. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία y = x + 1. M: 6 β. Ποιοι από αυτούς τους µιγαδικούς αριθµούς έχουν z =1; M: 9

B. Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύει 2 2 4 48 (1 ) (1 )i iα β α+ + = − + , να δείξετε ότι α = 2 και β = −2. M: 10 ΘΕΜΑ 3

∆ίνεται η συνάρτηση f µε ln( ) ,x xf xx+

= x > 0.

α. Να µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. M: 10 β. Να υπολογίσετε το όριο lim ( )

xf x

→+∞ M: 8

γ. Να υπολογίσετε το ορισµένο ολοκλήρωµα: 2

1( )

eI f x dx= ∫ M: 7

ΘΕΜΑ 4

∆ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = ηµx, όπου x R∈ . α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας στο σηµείο (0, f(0)) της γραφικής παράστασης της f. M: 10 β. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y = x και y = 1. M: 10

γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει η ανισότητα 23x x x .2

ηµ > − M: 5

- 9 -

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 08 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2009

ΘΕΜΑ 1ο Α. α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο x0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιµη στο

x0, και ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f g x f x g x′ ′ ′+ = + M: 10 β. Πότε η ευθεία x=x0 λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f; M: 5 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς 1, 2, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. 1. Η διανυσµατική ακτίνα της διαφοράς των µιγαδικών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσµατικών ακτίνων τους. M: 2 2. Κάθε συνάρτηση που είναι 1-1 είναι γνησίως µονότονη. M: 2

3. Ισχύει:0

lim 0x

xx

ηµ→

= . M: 2

4.Η συνάρτηση ( ) lnf x x= x∈R*, είναι παραγωγίσιµη στο R* και ισχύει ( ) 1ln xx

′ = . M: 2

5. Ισχύει:1

1xx dx cα

α

α

+= +∫ +

, όπου α, c είναι πραγµατικοί αριθµοί και α≠-1. M: 2

ΘΕΜΑ 2ο

∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός ( 3)1

1 2i iz

i−= −

+.

α. Να αποδείξετε ότι: 1z i− = − + , 2 2z i= , 3 2 2z i= − + . M: 9 β. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των µιγαδικών 2 3,,z z z− αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. M: 9

γ. Να αποδείξετε ότι: 2 2 23 2 2 3-z z z z z z+ += + . M: 7

ΘΕΜΑ 3ο

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) xf x xe α−= , όπου α R∈ . α. Να βρεθεί η τιµή του α, ώστε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Α(0, f(0)) να είναι παράλληλη στην ευθεία y e x= M: 10 β. Για α=-1, i. να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, M: 10 ii. να αποδείξετε ότι ο άξονας x΄x είναι οριζόντια ασύµπτωτη της Cf στο −∞ . M: 5 ΘΕΜΑ 4ο ∆ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x-1 και g(x) = lnx, x>0. α. Να αποδείξετε ότι: f(x) ≥ g(x), για κάθε x>0. M: 8 β. Αν h(x) = f(x)-g(x), τότε: i. Να αποδείξετε ότι: 0 ≤ h(x) ≤ e-2, για κάθε x∈[1,e]. M: 7 ii. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 1 και x = e. M: 5

iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα [ ]( )1

( ) 1 ( )e h xI e h x h x dx′= +∫ . M: 5

- 10 - ( 07/09/2012 20:45:17)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 14 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω η συνάρτηση f(x) = εφx, x∈A, όπου Α = R – x /συνx≠0

Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και ισχύει ( ) 2

1xx

εφσυν

′ = , x∈A M: 10

Α2. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σηµείο ox του πεδίου ορισµού της; M: 5

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον πραγµατικό άξονα. β) Αν α > 1, τότε lim x

xα

→+∞= +∞

γ) Αν η συνάρτηση f : A R→ είναι 1–1, τότε ισχύει -1( ( )) f f x x= , x∈A

δ) xdx x cηµ συν= +∫ , c∈R

ε) Αν οι συναρτήσεις f΄, g΄ είναι συνεχείς σε ένα διάστηµα ∆, τότε ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx′ ′= +∫ ∫ , x∈∆ M: 10

ΘΕΜΑ Β

Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z για τους οποίους ισχύει | | | 2 |z z i= − Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία µε εξίσωση ψ = 1 M: 7

Β2. Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z, να βρείτε εκείνους που έχουν µέτρο ίσο µε 2 M: 10 Β3. Έστω 1z = 1 + i και 2z = –1 + i οι µιγαδικοί αριθµοί που βρήκατε στο ερώτηµα Β2.

Να αποδείξετε ότι 4 41 2 8z z = −+ M: 8

ΘΕΜΑ Γ

∆ίνεται η συνάρτηση 3( ) 3lnf x x x= − , x > 0 Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή. M: 8 Γ2. Να αποδείξετε ότι ο άξονας ψ΄ψ είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f M: 7 Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα (1, e) M: 10 ΘΕΜΑ ∆ Έστω η παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι σχέσεις

( ) ( ) , f x f x x x R′ = − + ∈ και f (0) = 0

∆1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( ( ) 1)xg x e f x x= − + , x∈R , είναι σταθερή. M: 5

∆2. Να αποδείξετε ότι -( ) 1xf x e x= + − , x∈R M: 7 ∆3. Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ 0, για κάθε x∈R M: 6 ∆4. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και την ευθεία x = 1 M: 7

- 11 -

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 06 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011

ΘΕΜΑ Α A1. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0x , τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Μ: 10 A2. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του ∆. Πότε λέµε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ∆; Μ: 5 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.

α. Αν z∈ , τότε ( ) ( )=ννz z , ν∈Ν*

β. Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof), τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει ho(gof) = (hog)of

γ. 0→

=x

συνx -1lim 1x

δ. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και α, β, γ ∈∆, τότε ισχύει ∫ ∫ ∫β γ β

α α γf(x)dx = f(x)dx + f(x)dx

ε. Αν 0<α<1, τότε xx 0lim→−∞

=α Μ: 10

ΘΕΜΑ Β

Έστω 4w zz

= + , όπου z µιγαδικός αριθµός µε z≠0

Β1. Να βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς 1z και 2z για τους οποίους ισχύει w = 2 Μ: 6

Β2. Αν 1z 1 i 3= + και 2z 1 i 3= − είναι οι µιγαδικοί αριθµοί που βρήκατε στο ερώτηµα Β1, τότε να αποδείξετε ότι 3 31 2 8z z = −= . Μ: 6

Β3. Αν 1z και 2z είναι οι µιγαδικοί αριθµοί του προηγούµενου ερωτήµατος, τότε να αποδείξετε ότι οι εικόνες των

µιγαδικών αριθµών 1z , 2z και 31

3 4

zz = στο µιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Μ: 8

Β4. Αν =z 2 , τότε να αποδείξετε ότι ο αριθµός w είναι πραγµατικός. Μ: 5

ΘΕΜΑ Γ ∆ίνεται η συνάρτηση x f (x) x ln(e 1), x R = − + ∈ Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Μ: 7 Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη. Μ: 8 Γ3. Να αποδείξετε ότι: xf (x) f (x) ln 2′ < + , για κάθε x∈(0, +∞) Μ: 10 ΘΕΜΑ ∆

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (1,+∞) → R για την οποία ισχύει: ( )( )+∫2x

02 dtf(t) = ln x 1 , x>-1

∆1. Να αποδείξετε ότι ( )ln 1( )

1x

f xx+

=+

, x > -1 Μ: 6

∆2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι: e x(x 1) e 1+ ≤ + , για κάθε x>-1 Μ: 6 ∆3. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και την ευθεία x =e-1 Μ: 6 ∆4. Να αποδείξετε ότι: 2 x 1(x 1) 2 f (x) f (1), x 1++ = ⇔ = > − και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση

2 1( 1) 2 , 1xx x++ = > − έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις x=1 και x=3 Μ: 7

- 12 - ( 07/09/2012 20:45:17)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 04 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)= x , x≥0 είναι παραγωγίσιµη στο (0, +∞) µε ′ 1f (x)=2 x

Μ:10

Α2. Πότε µια συνάρτηση f: Α → R λέγεται συνάρτηση 1-1; Μ:5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.

α) Αν z ∈ C, τότε =−z z 2Im(z)

α) Αν είναι 0

( )limx x

f x→

= −∞ , τότε 0

( )limx x

f x→

= +∞

β) Ισχύει =′ − 21(εφx)

συν x, x ∈ R - x/συνx ≠0

γ) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο 0x και g( 0x )≠0, τότε και η συνάρτηση fg

είναι παραγωγίσιµη

στο x0 και ισχύει: ( )

0 0 0 00

02

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

fg

f x g x f x g xxg x

′ ′⎛ ⎞ −=⎜ ⎟

⎝ ⎠

′

δ) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f(x)≥0 για κάθε x ∈[α, β], τότε ( ) 0f x dxβ

α≥∫ Μ:10

ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει | iz -1|= 1. Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z είναι ο κύκλος που έχει κέντρο το σηµείο Κ (0, -1) και ακτίνα ρ=1. Μ:9 Β2. Για τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z να αποδείξετε ότι 2z ≤ . Μ:8

Β3. Αν z1, z2 είναι δύο από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς µε 1 2 2z z− = και Α, Β οι εικόνες των z1, z2

αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ, όπου Κ(0,-1), είναι ορθογώνιο. Μ:8 ΘΕΜΑ Γ

∆ίνεται η συνάρτηση 2( ) 2 , xf x e x x R= − ∈ Γ1. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. Μ:8 Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή. Μ:5 Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 1, x ∈ R έχει ακριβώς µια ρίζα, το 0. Μ:5 Γ4. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y=1 και x=1. Μ:7 ΘΕΜΑ ∆

Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R → R για την οποία ισχύουν: →

−−x 2

f(x) 2lim =2x 2 f(0)=2 και η f ′ είναι γνησίως

αύξουσα ∆1. Να αποδείξετε ότι (2) (2) 2f f ′= = Μ:8 ∆2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ξ∈(0, 2) τέτοιο, ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα x΄x. Μ:5 ∆3. Να αποδείξετε ότι f(x) ≥ f(ξ) για κάθε x∈R. Μ:4

∆4. Αν επιπλέον δίνεται ότι f(ξ)>0, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση = −∫x

2

1f(t)dt x 2x , x ∈ R έχει µία τουλάχιστον

ρίζα στο διάστηµα (0, 1). Μ:8