ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
-
Upload
dimitris-psounis -
Category
Education
-
view
99 -
download
0
Embed Size (px)
Transcript of ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

���20
������� 4:���� ��������
������ 4.5:
������ Hamilton������ Hamilton
�������� ��� ��
����������
������������� ��� �
�������
�� ���������� !"
�� #�$%��
&� '��(��)*������$�+* �,�-./� �+)�$������������ !"
0� '��(��)*������$�+* �,�-./� �(�*�+)�$������������ !"
1��2��+*���%��%�$
����������� ��������������������������� !"#$%
3���%��%�$
�� �%��%�$�� *�/%/
&� 4���%�$
0� 4. ���,+
�. !��"#� ��$ ���������
�"%"&'� �
� �(�) ��)*��% (������ Hamilton)
� �*��*&)�: ��+��*&)�
� �*��*&)�: �*��*&)� ���� #�*��
�"%"&'� ,
� �*��*&)�: �-����.(�
&���������� ��������������������������� !"#$%
� �*��*&)�: �-����.(�
�"%"&'�
� �*��*&)�: �$�( &� �*��*&)�
B. &+�%�1. ������ Hamilton1. ��)*�#�
����������� ��������������������������� !"#$%
/*��*�: ��)� �"# �� "������+ .��-����� "&�)(0�$ ����� Hamilton;

B. &+�%�1. ������ Hamilton1. ��)*�#�
����������� ��������������������������� !"#$%
���������: � 1(�+ #�) ( � .��-��� (0&) ����� Hamilton, �#�& �� "�("&) � *�(-����) #�) ��
.��-��� �"��&% � �"&)�� )*�&% *�� &"%"&'� +� &1��:
����'� &% �) �����#� ������ "�$ "&�)���2� &) #�&� �)� ���$-(� ��$ .��-������
• � ������ �"��&�&%��) �"# n ���(�.
• �� .��-��� �"��&% � (0&) ��) �*&*'�"��& &")"�(� ���(�
• ���& ���$-� (0&) 2���# ��$��0)*�� 2
B. &+�%�1. ������ Hamilton2. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� (0&) ����� Hamilton
'���������� ��������������������������� !"#$%
)� � '&%1+ #�) ( � .��-��� �� ��� � Hamilton (0+ 3 ��#"�$�:
1. ������������� ��� ��� ������� ('���'� ����.��-+ �� �����$�%� ���$-3
"�$ *$ '(� ��) �& ')�'�0)�(� ���(� ��) '��)�$�.�� �� ����� Hamilton
2. �&%0 � ��� #�) )*0�&) �o ������ Dirac:2. �&%0 � ��� #�) )*0�&) �o ������ Dirac:
1. «�� ���� ���� � �� ����� � n/2 ���� �� ������ � �� ����� Hamilton» (#"�$
n>3 &% �) �� "����� �+ ���$-3 ��$ .��-������)
3. �&%0 � ��� #�) )*0�&) �o ������ Ore:
1. «�� ���� ������ ����� � �� �������� ������ � n ���� �� ������ � �� �����
Hamilton» (#"�$ n>3 &% �) �� "����� �+ ���$-3 ��$ .��-������)
�� �&+������ �$�� &% �) �'� ��� (')#�) '& &% �) )*�'$ ��%&�) ��� '& �� �� '���& *$0 � �
0��*)��"�)�� ��) *�� "��1�. �����)�� &1�*-��%4�$ �%� *$ ���� �"��1�� ��$ �����$ Hamilton
&-#*� �� .��-��� (0&) "���(� ���(�, "�$ &% �) ��) ��.)�# � $"��0&) ������ Hamilton.
�(0�) *��&�� '& (0&) 2�&�&% ( �� �"�'��)�#� ��#"�� (��.#�)����) &1(��*�� ��$ � �� .��-���
(0&) ����� Hamilton. �� "�#2���� &% �) NP-Complete (2�("& ���30)
B. &+�%�1. ������ Hamilton3. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� ��� (0&) ����� Hamilton
(���������� ��������������������������� !"#$%
)� � '&%1+ #�) ( � .��-��� ��� �� ��� � Hamilton (0+ 4 "��� �"�� ��) "��-� �
��)���)�.
1. �� .��-��� �� �� �!��"���
2. �� .��-��� "&�)(0&) ��� � ��#$�
3. �� .��-��� "&�)(0&) ���!��3. �� .��-��� "&�)(0&) ���!��
4. 5*�+ � � ���!�$ �� %���" 1
5. �&%0 � ��� ����*�&$�*�)�� #�) �� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton
• !& ( � ����� Hamilton #�&� �) ���$-(� (0�$ 2���# 2
• �-�)����& ')�'�0)�� ���(� �"# ���& ���$-� �& 2���# > 2 �(0�) � �"����*&)
2���# 2 �& #��$� ��$� '$ ����� ��#"�$�
• � "�("&) *& ���& "&�%"�+*� �-�%�&*�� ���3 � �'�.����*�& #�) ��
.��-��� '& (0&) ����� Hamilton.
� �"#'&)1� #�) ( � .��-��� '& (0&) ����� Hamilton, � ��&) *�� ����.��%� �+ �"�'&%1&+
&1� ����)��� "&�)"�+*)���.%��.
����'� ')���% �$�& #�&� �)� '$ ��(� "&�)"�3*&)� .)� � �"����*&) �%� ���$-� 2���# 2 ��) ("&)��
.)� ���& �%� �"# �$�(� �"�'&)� ��$�& #�) '& .% &��) � (0&) ����� Hamilton.
B. &+�%�1. ������ Hamilton3. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� ��� (0&) ����� Hamilton
)���������� ��������������������������� !"#$%
����'&).�� 1: �"�'&%1�& #�) �� ��#��$�� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton:
5*�+ #�) �� .��-��� (0&) ����� Hamilton. �#�& *�� ����� Hamilton ���& ���$-� (0&) 2���# 2.
�")2���+ � ���$-� v1 � (0&) 2���# 2. ��("&) � �-�)�(*�$�& �%� ���� ��) ')���% + 3
"&�)"�3*&)�:
1. �-�)�3 �� ���� [v1,v4]. �#�& � ���$-� v4 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton
2. �-�)�3 �� ���� [v1,v5]. �#�& � ���$-� v5 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton
3. �-�)�3 �� ���� [v1,v3]. �#�& � ���$-� v3 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton
!$ &"3� �� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton

B. &+�%�1. ������ Hamilton3. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� ��� (0&) ����� Hamilton
*���������� ��������������������������� !"#$%
����'&).�� 2: �"�'&%1�& #�) �� ��#��$�� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton:
5*�+ #�) �� .��-��� (0&) ����� Hamilton. �#�& *�� ����� Hamilton ���& ���$-� (0&) 2���# 2.
�")2���+ � ���$-� v4 � (0&) 2���# 2. 6"��0�$ 6 '$ ��(� "&�%"�+*&)�:
1. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v1], [v4,v6]. �#�& � ���$-� v1 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton
2. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v1], [v4,v5]. �#�& � ���$-� v1 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton
B. &+�%�1. ������ Hamilton3. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� ��� (0&) ����� Hamilton
+����������� ��������������������������� !"#$%
(….*$ (0&)�…)
3. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v1], [v4,v2]. �#�& � ���$-� v1
�� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton
4. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v6], [v4,v5]. �#�& � ���$-� v3
&% �) *��&%� ��"��. �& $"��0&) �.Hamilton
5. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v6], [v4,v2]. �#�& � ���$-� v2
�� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton
6. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v5], [v4,v2]. �#�& � ���$-� v2
�� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton
!$ &"3� �� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton
� *& �)� "&�%"�+*� '& ��� �"�'&%1)�� #�) '& (0&) ����� Hamilton, �� *$ &0%4��& &")2���� ���
�%� ���� ���$-� 2�����>2 � (0&) 2���# 2, ')���% � ��� ��������&� $"�"&�)"�3*&)� �.�.�.
. �$�( &� �*��*&)�
�*��*� 1
++���������� ��������������������������� !"#$% 2008,
&+����& �� ���*� �+ �"�3 �� ���&$�$ #�& + .��-����+ �& ��$��0)*�� 4 ���$-(� "�$
(0�$ ����� Hamilton ��) ')������ �$�� �� )')#���� � �-�)�&�&% �"�)�'�"��& ���� ��$�.
�) �� ����*�&$�*&�& ( � �(��)� .��-��� �& 6 ���$-(� ��) 9 ���(�. �� � �-(�&�& 2 ')�-��&�)����
�����$� Hamilton *�� .��-��� "�$ ����*�&$�*��&.
2) 5*�+ G ( � �$��%�&�� &")�&.�( � .��-��� �$��� ��� ���*�� �& n ���$-(�. �� '&%1&�& #�) �� G
(0&) ��$��0)*�� 3n / 2 ���(�.
.) �� '&%1&�& #�) .)� ���& n 7 3, �� Kn,n � ��&) *& �$�� �� ���*� .��-����+ , '���'� *$ &0%4&) �
(0&) ����� Hamilton ��#�� ��) �-�� �-�)�&�&% �"�)�'�"��& ���� ��$.n,n
(0&) ����� Hamilton ��#�� ��) �-�� �-�)�&�&% �"�)�'�"��& ���� ��$.
��*�:
�) �� �3,3 &% �) ( � �(��)� .��-���. �% �$�& �� .��-��� ��) '�� �����$� Hamilton.
6
4
2
5
3
1
6
4
2
5
3
1 1 2
4
6
3
5
2) ���& ���$-� "�("&) � (0&) 2���# ��$��0)*�� 3, ')#�) � �-�)�(*�$�& �)� ���� "�$
"��*"%"�&) *’ �$�� "�("&) � (0&) 2���# ��$��0)*�� 2 3*�& � &1�����$�&% � $"��0&) ��) "��)
������ Hamilton. /�� *$ ��)�� (0�$�& ��$��0)*�� 3n ���(� �) &"&)'� ���& ���� �&��)(��) '��
-��(�, �� "����� �+ ���3 "�("&) � &% �) ��$��0)*�� 3n/2
. �$�( &� �*��*&)�
�*��*� 1
+����������� ��������������������������� !"#$% 2008,
.) �� Kn,n (0&) ����� Hamilton #"+� -�% &��) "������+.
5 6
3 4
21 1 2
43
65
2n-1 2n 2n-1 2n
� ������ Hamilton &% �) (1, 2, 3, 4, ..., 2n-1, 2n, 1). � ')�.��-&% �)� ���� "�$ � ��&) *�� ��0)�#
����� Hamilton, � {1, 2} .)� "���'&).��, �#�& �"�����& � �� «"������8�$�&»
0��*)��"�)3 ��� �� ')�'���� 1, 4, 3, 2, 5, ��) �&�� �����$�3 ��� �� ��0)�# ����� Hamilton.
5�*) "����"�&) � ������ (1, 4, 3, 2, 5, 6, …, 2n-1, 2n, 1) "�$ -�% &��) *�� *0���.
1 2
43
65
2n-1 2n

. �$�( &� �*��*&)�
�*��*� 2
+&���������� ��������������������������� !"#$% 2011�
!& ( � ���&$�$ �)�# .��-���, ( � ���&$�$ �)�# �� �"��) Hamilton &% �) ( � �� �"��)
"�$ 1&�) � �"# �)� ���$-� ��) �����$�3 ��� �� -��� �+ ���3 "�$ 0��*)��"�)&%,
������.&) *& ��"�)� ���� �-�� &")*�&-�&% #�&� �)� ���$-(� ��$ .��-������.
�) �3*�& ( � �$��%�&�� "��*� ����)*�# *�)� ���(� ��$ K5 ��) 2�&%�& ( � ���&$�$ �)�#
�� �"��) Hamilton *�� "����"�� .��-���.
2) �&%1�& �& &"�.+.� *�� #�) � *�� Kn '3*�$�& ( � �$��%�&�� "��*� ����)*�# *�)�
���(� ��$, �#�& *�� ���&$�$ �)�# .��-��� "�$ "����"�&) $"��0&) ���&$�$ �)�#���(� ��$, �#�& *�� ���&$�$ �)�# .��-��� "�$ "����"�&) $"��0&) ���&$�$ �)�#
�� �"��) Hamilton.
&'��:
�) 5 �� �$��%�&��� "��*� ����)*�#� �+ ���3 ��$ �5 -�% &��) "������+.
5 � ���&$�$ �)�# �� �"��) Hamilton &% �) ���� ��
����
��
2 5 1 4 3u u u u u− − − −
. �$�( &� �*��*&)�
�*��*� 2
+����������� ��������������������������� !"#$% 2011�
�) �� 2n = �� ��� ������ �� ����������� ������� Hamilton.
���� ��� ��� ����� ��� �nK , 2n ≥ , � !������ ��"���� ����������� ���� ��#� ���, ������ �����������
������� Hamilton. $����%�� ��1nK +�� #� ��"���� ����������� ���� ��#� ���. ���� u �� ���!����
���� � ���. &� �����" u , �� ��� � �� ��#��� �"�� �� (����������#��) nK �� ��"� �%� �� �� � �
����� � � ������ #��� ����������� ������� Hamilton p �� ��� #��� � � ���� � x �� #�� � � y . &� ������
��� ux (! �. � ��� � � �"�� � � � u �� � x ) ���� ���1nK +������ �� ������� Hamilton �� ��"'�� �� � �
u �� �#�� � � ux �����"'�� �� �� p . (�����, � ������ ��� yu ���� ��� 1nK +������ �� ������� Hamilton ��u �� �#�� � � ux �����"'�� �� �� p . (�����, � ������ ��� yu ���� ��� 1nK +������ �� ������� Hamilton ��
��"'�� �� �� p �� ��������� �� � � u . &��#��� ����� � �)�������� � � ��"��� ��� ��� ��� ���� ���)%
� � u �� � � x �"�� xu �� � � u �� � � y , uy . *� ��� � � ��"��� ���� (��#� ����), �� �� ��� ���
���� ���)% � � u �� ��� ���� �� ��� �������% ������# ��� ()����� �� ��� ���� � � u �� ������� �� ���
��� � � u ), � �#�� �������� � ������� ��� p !%� !�!����#� ���� #� v �� w , �� ��#� vu �� uw . +�
' ��%���� ������� ���1nK +����� )����� �� � � x �� �������" �� p �#��� � � v . *� ���#��� �� �������" ���
��#� vu �� uw �� �#��� �� ������"� ���� ��� p � � � w �#��� � � y .
�. �*��*&)�/*��*� ���� #�*�� 1
+����������� ��������������������������� !"#$%
�. �*��*&)�/*��*� ���� #�*�� 2
+'���������� ��������������������������� !"#$%
5 � �������� Hamilton &% �) ( � �� �"��) "�$ "&�)(0&) #�&� �)� ���$-(� & #�
.��-������. �� �"�'&)0�&% #�) &� ( � .��-��� "&�)(0&) ��&)� (3) ���$-(� 2����� 1
�#�& �� .��-��� �$�# '& "&�)(0&) ( � �� �"��) Hamilton.

�. �*��*&)�/*��*� ���� #�*�� 3
+(���������� ��������������������������� !"#$%
�� �"�'&%1&�& #�) ���& .��-��� "�$ "&�)(0&) ����� Hamilton '& "&�)(0&) *��&%�
��"�� (*��&%� ����3*&+�)
�. �*��*&)�/*��*� ���� #�*�� 4
+)���������� ��������������������������� !"#$%
, ���"�� �%����� Hamilton �� ����� �� ���:
*��� 2.
*��� 2.�
�. �*��*&)���+��*&)� 1
+*���������� ��������������������������� !"#$%
��)&� �"# �)� "������+ "����*&)� ����&��$ ;
1.1. !&!& ( � �"�# .��-��� �& �����$�( � �"�# .��-��� �& �����$� Euler Euler ��)��) HamiltonHamilton, � ������, � ������ EulerEuler (0&)(0&)
��$��0)*�� �#*&� ���(� #*&� � ��������$��0)*�� �#*&� ���(� #*&� � ������ HamiltonHamilton
2.2. !&!& ( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$ Hamilton Hamilton �� .��-��� "�$�� .��-��� "�$2.2. !&!& ( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$ Hamilton Hamilton �� .��-��� "�$�� .��-��� "�$
"����"�&) '& (0&) �����"����"�&) '& (0&) ����� HamiltonHamilton
3.3. !&!& ( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$ Euler Euler �� .��-��� "�$�� .��-��� "�$
"����"�&) '& (0&) �����"����"�&) '& (0&) ����� EulerEuler
4.4. ToTo .��-��� �.��-��� �m,nm,n (0&)(0&) ���������� EulerEuler � ��) �# � � ��� ��) �# � � �� m+nm+n &% �) ���)�� ��)��#�&% �) ���)�� ��)��#�
�. �*��*&)���+��*&)� 2
������������ ��������������������������� !"#$%
��)&� �"# �)� "������+ )')#���&� ')������ ��) #�� "��*�(��$�& ���(� *& ( �
.��-���; ����'�, .)� "�)&� �"# �)� "������+ )')#���&� )*0�&) #�) � G(V, E) &% �) ( �
.��-��� "�$ (0&) �� )')#���� �, ��) G'(V, E'), � ⊆ �', &% �) ( � .��-��� "�$ "����"�&)
�"# �� G �& �� "��*���� &")"�(� ���3 (#0) ���$-3 ), �#�& �� G' ')����&% ��
)')#���� �.
1.1. �� )')#���� #�) «�� .��-��� (0&) �����)')#���� #�) «�� .��-��� (0&) ����� HamiltonHamilton»»1.1. �� )')#���� #�) «�� .��-��� (0&) �����)')#���� #�) «�� .��-��� (0&) ����� HamiltonHamilton»»
2.2. �� )')#���� #�) «�� .��-��� &% �))')#���� #�) «�� .��-��� &% �) *$ '&#�& �».*$ '&#�& �».
3.3. �� )')#���� #�) «�� .��-��� (0&) �����)')#���� #�) «�� .��-��� (0&) ����� EulerEuler».».
4.4. �� )')#���� #�) «�� .��-��� '& (0&) *��&%� ��"��».)')#���� #�) «�� .��-��� '& (0&) *��&%� ��"��».

�. �*��*&)���+��*&)� 3
�+���������� ��������������������������� !"#$%
��! ���� �� ����������� ������ �� n≥2 ����� �� � �� ��� ����� Hamilton
��� ����� Euler.
1.1. � ���& ���$-� ��$ (0&) 2���# �&.����&�� ��$ 2, �#�& � �-�)�(*�$�& �)� ���(�� ���& ���$-� ��$ (0&) 2���# �&.����&�� ��$ 2, �#�& � �-�)�(*�$�& �)� ���(�
��$ �����$��$ �����$ Hamilton Hamilton �� $"��&)"#�& � .��-��� *$ &0%4&) � (0&) ������� $"��&)"#�& � .��-��� *$ &0%4&) � (0&) ����� EulerEuler. .
2.2. � � ���& ���$-� ��$ (0&) 2���# �&.����&�� ��$ 2, �#�& � �-�)�(*�$�& �)� ���(����& ���$-� ��$ (0&) 2���# �&.����&�� ��$ 2, �#�& � �-�)�(*�$�& �)� ���(�
��$ �����$��$ �����$ Euler Euler �� $"��&)"#�& � .��-��� *$ &0%4&) � (0&) ������� $"��&)"#�& � .��-��� *$ &0%4&) � (0&) ����� HamiltonHamilton..
3.3. � � �-�)�(*�$�& �%� ���� ��$ , �#�& �� $"��&)"#�& � .��-��� "��&) � (0&) ��)�-�)�(*�$�& �%� ���� ��$ , �#�& �� $"��&)"#�& � .��-��� "��&) � (0&) ��)
���������� Euler Euler ��) �������) ����� HamiltonHamilton..
4.4. � � ������� � ������ Hamilton Hamilton &% �) ���)��, �� "����� �+ ���$-3 ��$&% �) ���)��, �� "����� �+ ���$-3 ��$ .��-������ &% �).��-������ &% �)
���)�. ���)�.
�. �*��*&)��-����.� 1
������������ ��������������������������� !"#$%
����*�&$�*�& 4 �"�� �� ���&$�$ #�& � .��-����� 6 ���$-3 #"�$:
1. �� "�3�� (0&) ����� Hamilton ��) (0&) ����� Euler
2. �� '&��&�� '& (0&) ����� Hamilton ��) (0&) ����� Euler
3. �� ��%�� (0&) ����� Hamilton ��) '& (0&) ����� Euler
4. �� �(����� '& (0&) ����� Hamilton ��) '& (0&) ����� Euler
�. �*��*&)��-����.� 2
�&���������� ��������������������������� !"#$%
5 � ��)�&�(� .��-��� &% �) ( � .��-��� *�� �"�%� �) �#�2�) ��$ ')��&�%4� ��) *& ��%�
*� ��� � &1����*%��. �� Km,n,k &% �) �� ��)�&�(� .��-��� *�� �"�%� �� ��%� *� ���
� &1����*%�� �,,, (0�$ � �%*��)0� m,n ��) k ���$-(� ��) *�� �"�%� ���& ���$-� *&
���& *� ��� �"# �� �,, ��) &% �) *$ '&'&�( � �& #�&� �)� ���&� ���$-(� *�� ����
'�� *� ���.
1. �&%1�& #�) �� .��-��� �2,4,6 (0&) ����� Hamilton1. �&%1�& #�) �� .��-��� �2,4,6 (0&) ����� Hamilton
2. �&%1�& #�) �� Kn,2n,3n (0&) ����� Hamilton.
�. �*��*&)��-����.� 3
������������ ��������������������������� !"#$%
�&%1�& �& �������)�� &"�.+.� #�) �� .��-��� Kn (0&) ����� Hamilton .)� ���& n73.

�. �*��*&)��-����.� 4
������������ ��������������������������� !"#$%
�"�'&%1�& #�) �� ��#��$�� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton: