ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

7
20 4: 4.5: Hamilton !" #$% & ’ ()* $ +* ,-./ +)$ !" 0 ’ ()* $ +* ,-./ (* +)$ !" 1 2+* %%$ !"#$% 3 %%$ %%$ */%/ & 4%$ 0 4.,+ . !"# $ "%"&’ () )*% ( Hamilton) **&): +*&) **&): **&) #* "%"&’ , **&): -.( & !"#$% **&): -.( "%"&’ **&): $(& **&) B. &+% 1. Hamilton 1. )*# !"#$% /**: ) "# "+ .- "&)(0$ Hamilton;

Transcript of ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 4.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

���20

������� 4:���� ��������

������ 4.5:

������ Hamilton������ Hamilton

�������� ��� ��

����������

������������� ��� �

�������

�� ���������� !"

�� #�$%��

&� '��(��)*������$�+* �,�-./� �+)�$������������ !"

0� '��(��)*������$�+* �,�-./� �(�*�+)�$������������ !"

1��2��+*���%��%�$

����������� ��������������������������� !"#$%

3���%��%�$

�� �%��%�$�� *�/%/

&� 4���%�$

0� 4. ���,+

�. !��"#� ��$ ���������

�"%"&'� �

� �(�) ��)*��% (������ Hamilton)

� �*��*&)�: ��+��*&)�

� �*��*&)�: �*��*&)� ���� #�*��

�"%"&'� ,

� �*��*&)�: �-����.(�

&���������� ��������������������������� !"#$%

� �*��*&)�: �-����.(�

�"%"&'�

� �*��*&)�: �$�( &� �*��*&)�

B. &+�%�1. ������ Hamilton1. ��)*�#�

����������� ��������������������������� !"#$%

/*��*�: ��)� �"# �� "������+ .��-����� "&�)(0�$ ����� Hamilton;

B. &+�%�1. ������ Hamilton1. ��)*�#�

����������� ��������������������������� !"#$%

���������: � 1(�+ #�) ( � .��-��� (0&) ����� Hamilton, �#�& �� "�("&) � *�(-����) #�) ��

.��-��� �"��&% � �"&)�� )*�&% *�� &"%"&'� +� &1��:

����'� &% �) �����#� ������ "�$ "&�)���2� &) #�&� �)� ���$-(� ��$ .��-������

• � ������ �"��&�&%��) �"# n ���(�.

• �� .��-��� �"��&% � (0&) ��) �*&*'�"��& &")"�(� ���(�

• ���& ���$-� (0&) 2���# ��$��0)*�� 2

B. &+�%�1. ������ Hamilton2. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� (0&) ����� Hamilton

'���������� ��������������������������� !"#$%

)� � '&%1+ #�) ( � .��-��� �� ��� � Hamilton (0+ 3 ��#"�$�:

1. ������������� ��� ��� ������� ('���'� ����.��-+ �� �����$�%� ���$-3

"�$ *$ '(� ��) �& ')�'�0)�(� ���(� ��) '��)�$�.�� �� ����� Hamilton

2. �&%0 � ��� #�) )*0�&) �o ������ Dirac:2. �&%0 � ��� #�) )*0�&) �o ������ Dirac:

1. «�� ���� ���� � �� ����� � n/2 ���� �� ������ � �� ����� Hamilton» (#"�$

n>3 &% �) �� "����� �+ ���$-3 ��$ .��-������)

3. �&%0 � ��� #�) )*0�&) �o ������ Ore:

1. «�� ���� ������ ����� � �� �������� ������ � n ���� �� ������ � �� �����

Hamilton» (#"�$ n>3 &% �) �� "����� �+ ���$-3 ��$ .��-������)

�� �&+������ �$�� &% �) �'� ��� (')#�) '& &% �) )*�'$ ��%&�) ��� '& �� �� '���& *$0 � �

0��*)��"�)�� ��) *�� "��1�. �����)�� &1�*-��%4�$ �%� *$ ���� �"��1�� ��$ �����$ Hamilton

&-#*� �� .��-��� (0&) "���(� ���(�, "�$ &% �) ��) ��.)�# � $"��0&) ������ Hamilton.

�(0�) *��&�� '& (0&) 2�&�&% ( �� �"�'��)�#� ��#"�� (��.#�)����) &1(��*�� ��$ � �� .��-���

(0&) ����� Hamilton. �� "�#2���� &% �) NP-Complete (2�("& ���30)

B. &+�%�1. ������ Hamilton3. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� ��� (0&) ����� Hamilton

(���������� ��������������������������� !"#$%

)� � '&%1+ #�) ( � .��-��� ��� �� ��� � Hamilton (0+ 4 "��� �"�� ��) "��-� �

��)���)�.

1. �� .��-��� �� �� �!��"���

2. �� .��-��� "&�)(0&) ��� � ��#$�

3. �� .��-��� "&�)(0&) ���!��3. �� .��-��� "&�)(0&) ���!��

4. 5*�+ � � ���!�$ �� %���" 1

5. �&%0 � ��� ����*�&$�*�)�� #�) �� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton

• !& ( � ����� Hamilton #�&� �) ���$-(� (0�$ 2���# 2

• �-�)����& ')�'�0)�� ���(� �"# ���& ���$-� �& 2���# > 2 �(0�) � �"����*&)

2���# 2 �& #��$� ��$� '$ ����� ��#"�$�

• � "�("&) *& ���& "&�%"�+*� �-�%�&*�� ���3 � �'�.����*�& #�) ��

.��-��� '& (0&) ����� Hamilton.

� �"#'&)1� #�) ( � .��-��� '& (0&) ����� Hamilton, � ��&) *�� ����.��%� �+ �"�'&%1&+

&1� ����)��� "&�)"�+*)���.%��.

����'� ')���% �$�& #�&� �)� '$ ��(� "&�)"�3*&)� .)� � �"����*&) �%� ���$-� 2���# 2 ��) ("&)��

.)� ���& �%� �"# �$�(� �"�'&)� ��$�& #�) '& .% &��) � (0&) ����� Hamilton.

B. &+�%�1. ������ Hamilton3. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� ��� (0&) ����� Hamilton

)���������� ��������������������������� !"#$%

����'&).�� 1: �"�'&%1�& #�) �� ��#��$�� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton:

5*�+ #�) �� .��-��� (0&) ����� Hamilton. �#�& *�� ����� Hamilton ���& ���$-� (0&) 2���# 2.

�")2���+ � ���$-� v1 � (0&) 2���# 2. ��("&) � �-�)�(*�$�& �%� ���� ��) ')���% + 3

"&�)"�3*&)�:

1. �-�)�3 �� ���� [v1,v4]. �#�& � ���$-� v4 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton

2. �-�)�3 �� ���� [v1,v5]. �#�& � ���$-� v5 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton

3. �-�)�3 �� ���� [v1,v3]. �#�& � ���$-� v3 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton

!$ &"3� �� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton

B. &+�%�1. ������ Hamilton3. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� ��� (0&) ����� Hamilton

*���������� ��������������������������� !"#$%

����'&).�� 2: �"�'&%1�& #�) �� ��#��$�� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton:

5*�+ #�) �� .��-��� (0&) ����� Hamilton. �#�& *�� ����� Hamilton ���& ���$-� (0&) 2���# 2.

�")2���+ � ���$-� v4 � (0&) 2���# 2. 6"��0�$ 6 '$ ��(� "&�%"�+*&)�:

1. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v1], [v4,v6]. �#�& � ���$-� v1 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton

2. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v1], [v4,v5]. �#�& � ���$-� v1 �� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton

B. &+�%�1. ������ Hamilton3. �+� '&%0 + #�) ( � .��-��� ��� (0&) ����� Hamilton

+����������� ��������������������������� !"#$%

(….*$ (0&)�…)

3. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v1], [v4,v2]. �#�& � ���$-� v1

�� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton

4. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v6], [v4,v5]. �#�& � ���$-� v3

&% �) *��&%� ��"��. �& $"��0&) �.Hamilton

5. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v6], [v4,v2]. �#�& � ���$-� v2

�� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton

6. �-�)�3 �)� ���(� [v4,v5], [v4,v2]. �#�& � ���$-� v2

�� (0&) 2���# 1. �& $"��0&) �.Hamilton

!$ &"3� �� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton

� *& �)� "&�%"�+*� '& ��� �"�'&%1)�� #�) '& (0&) ����� Hamilton, �� *$ &0%4��& &")2���� ���

�%� ���� ���$-� 2�����>2 � (0&) 2���# 2, ')���% � ��� ��������&� $"�"&�)"�3*&)� �.�.�.

. �$�( &� �*��*&)�

�*��*� 1

++���������� ��������������������������� !"#$% 2008,

&+����& �� ���*� �+ �"�3 �� ���&$�$ #�& + .��-����+ �& ��$��0)*�� 4 ���$-(� "�$

(0�$ ����� Hamilton ��) ')������ �$�� �� )')#���� � �-�)�&�&% �"�)�'�"��& ���� ��$�.

�) �� ����*�&$�*&�& ( � �(��)� .��-��� �& 6 ���$-(� ��) 9 ���(�. �� � �-(�&�& 2 ')�-��&�)����

�����$� Hamilton *�� .��-��� "�$ ����*�&$�*��&.

2) 5*�+ G ( � �$��%�&�� &")�&.�( � .��-��� �$��� ��� ���*�� �& n ���$-(�. �� '&%1&�& #�) �� G

(0&) ��$��0)*�� 3n / 2 ���(�.

.) �� '&%1&�& #�) .)� ���& n 7 3, �� Kn,n � ��&) *& �$�� �� ���*� .��-����+ , '���'� *$ &0%4&) �

(0&) ����� Hamilton ��#�� ��) �-�� �-�)�&�&% �"�)�'�"��& ���� ��$.n,n

(0&) ����� Hamilton ��#�� ��) �-�� �-�)�&�&% �"�)�'�"��& ���� ��$.

��*�:

�) �� �3,3 &% �) ( � �(��)� .��-���. �% �$�& �� .��-��� ��) '�� �����$� Hamilton.

6

4

2

5

3

1

6

4

2

5

3

1 1 2

4

6

3

5

2) ���& ���$-� "�("&) � (0&) 2���# ��$��0)*�� 3, ')#�) � �-�)�(*�$�& �)� ���� "�$

"��*"%"�&) *’ �$�� "�("&) � (0&) 2���# ��$��0)*�� 2 3*�& � &1�����$�&% � $"��0&) ��) "��)

������ Hamilton. /�� *$ ��)�� (0�$�& ��$��0)*�� 3n ���(� �) &"&)'� ���& ���� �&��)(��) '��

-��(�, �� "����� �+ ���3 "�("&) � &% �) ��$��0)*�� 3n/2

. �$�( &� �*��*&)�

�*��*� 1

+����������� ��������������������������� !"#$% 2008,

.) �� Kn,n (0&) ����� Hamilton #"+� -�% &��) "������+.

5 6

3 4

21 1 2

43

65

2n-1 2n 2n-1 2n

� ������ Hamilton &% �) (1, 2, 3, 4, ..., 2n-1, 2n, 1). � ')�.��-&% �)� ���� "�$ � ��&) *�� ��0)�#

����� Hamilton, � {1, 2} .)� "���'&).��, �#�& �"�����& � �� «"������8�$�&»

0��*)��"�)3 ��� �� ')�'���� 1, 4, 3, 2, 5, ��) �&�� �����$�3 ��� �� ��0)�# ����� Hamilton.

5�*) "����"�&) � ������ (1, 4, 3, 2, 5, 6, …, 2n-1, 2n, 1) "�$ -�% &��) *�� *0���.

1 2

43

65

2n-1 2n

. �$�( &� �*��*&)�

�*��*� 2

+&���������� ��������������������������� !"#$% 2011�

!& ( � ���&$�$ �)�# .��-���, ( � ���&$�$ �)�# �� �"��) Hamilton &% �) ( � �� �"��)

"�$ 1&�) � �"# �)� ���$-� ��) �����$�3 ��� �� -��� �+ ���3 "�$ 0��*)��"�)&%,

������.&) *& ��"�)� ���� �-�� &")*�&-�&% #�&� �)� ���$-(� ��$ .��-������.

�) �3*�& ( � �$��%�&�� "��*� ����)*�# *�)� ���(� ��$ K5 ��) 2�&%�& ( � ���&$�$ �)�#

�� �"��) Hamilton *�� "����"�� .��-���.

2) �&%1�& �& &"�.+.� *�� #�) � *�� Kn '3*�$�& ( � �$��%�&�� "��*� ����)*�# *�)�

���(� ��$, �#�& *�� ���&$�$ �)�# .��-��� "�$ "����"�&) $"��0&) ���&$�$ �)�#���(� ��$, �#�& *�� ���&$�$ �)�# .��-��� "�$ "����"�&) $"��0&) ���&$�$ �)�#

�� �"��) Hamilton.

&'��:

�) 5 �� �$��%�&��� "��*� ����)*�#� �+ ���3 ��$ �5 -�% &��) "������+.

5 � ���&$�$ �)�# �� �"��) Hamilton &% �) ���� ��

����

��

2 5 1 4 3u u u u u− − − −

. �$�( &� �*��*&)�

�*��*� 2

+����������� ��������������������������� !"#$% 2011�

�) �� 2n = �� ��� ������ �� ����������� ������� Hamilton.

���� ��� ��� ����� ��� �nK , 2n ≥ , � !������ ��"���� ����������� ���� ��#� ���, ������ �����������

������� Hamilton. $����%�� ��1nK +�� #� ��"���� ����������� ���� ��#� ���. ���� u �� ���!����

���� � ���. &� �����" u , �� ��� � �� ��#��� �"�� �� (����������#��) nK �� ��"� �%� �� �� � �

����� � � ������ #��� ����������� ������� Hamilton p �� ��� #��� � � ���� � x �� #�� � � y . &� ������

��� ux (! �. � ��� � � �"�� � � � u �� � x ) ���� ���1nK +������ �� ������� Hamilton �� ��"'�� �� � �

u �� �#�� � � ux �����"'�� �� �� p . (�����, � ������ ��� yu ���� ��� 1nK +������ �� ������� Hamilton ��u �� �#�� � � ux �����"'�� �� �� p . (�����, � ������ ��� yu ���� ��� 1nK +������ �� ������� Hamilton ��

��"'�� �� �� p �� ��������� �� � � u . &��#��� ����� � �)�������� � � ��"��� ��� ��� ��� ���� ���)%

� � u �� � � x �"�� xu �� � � u �� � � y , uy . *� ��� � � ��"��� ���� (��#� ����), �� �� ��� ���

���� ���)% � � u �� ��� ���� �� ��� �������% ������# ��� ()����� �� ��� ���� � � u �� ������� �� ���

��� � � u ), � �#�� �������� � ������� ��� p !%� !�!����#� ���� #� v �� w , �� ��#� vu �� uw . +�

' ��%���� ������� ���1nK +����� )����� �� � � x �� �������" �� p �#��� � � v . *� ���#��� �� �������" ���

��#� vu �� uw �� �#��� �� ������"� ���� ��� p � � � w �#��� � � y .

�. �*��*&)�/*��*� ���� #�*�� 1

+����������� ��������������������������� !"#$%

�. �*��*&)�/*��*� ���� #�*�� 2

+'���������� ��������������������������� !"#$%

5 � �������� Hamilton &% �) ( � �� �"��) "�$ "&�)(0&) #�&� �)� ���$-(� & #�

.��-������. �� �"�'&)0�&% #�) &� ( � .��-��� "&�)(0&) ��&)� (3) ���$-(� 2����� 1

�#�& �� .��-��� �$�# '& "&�)(0&) ( � �� �"��) Hamilton.

�. �*��*&)�/*��*� ���� #�*�� 3

+(���������� ��������������������������� !"#$%

�� �"�'&%1&�& #�) ���& .��-��� "�$ "&�)(0&) ����� Hamilton '& "&�)(0&) *��&%�

��"�� (*��&%� ����3*&+�)

�. �*��*&)�/*��*� ���� #�*�� 4

+)���������� ��������������������������� !"#$%

, ���"�� �%����� Hamilton �� ����� �� ���:

*��� 2.

*��� 2.�

�. �*��*&)���+��*&)� 1

+*���������� ��������������������������� !"#$%

��)&� �"# �)� "������+ "����*&)� ����&��$ ;

1.1. !&!& ( � �"�# .��-��� �& �����$�( � �"�# .��-��� �& �����$� Euler Euler ��)��) HamiltonHamilton, � ������, � ������ EulerEuler (0&)(0&)

��$��0)*�� �#*&� ���(� #*&� � ��������$��0)*�� �#*&� ���(� #*&� � ������ HamiltonHamilton

2.2. !&!& ( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$ Hamilton Hamilton �� .��-��� "�$�� .��-��� "�$2.2. !&!& ( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$ Hamilton Hamilton �� .��-��� "�$�� .��-��� "�$

"����"�&) '& (0&) �����"����"�&) '& (0&) ����� HamiltonHamilton

3.3. !&!& ( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$( � �"�# .��-��� � �-�)�&�&% �%� ���� & #� �����$ Euler Euler �� .��-��� "�$�� .��-��� "�$

"����"�&) '& (0&) �����"����"�&) '& (0&) ����� EulerEuler

4.4. ToTo .��-��� �.��-��� �m,nm,n (0&)(0&) ���������� EulerEuler � ��) �# � � ��� ��) �# � � �� m+nm+n &% �) ���)�� ��)��#�&% �) ���)�� ��)��#�

�. �*��*&)���+��*&)� 2

������������ ��������������������������� !"#$%

��)&� �"# �)� "������+ )')#���&� ')������ ��) #�� "��*�(��$�& ���(� *& ( �

.��-���; ����'�, .)� "�)&� �"# �)� "������+ )')#���&� )*0�&) #�) � G(V, E) &% �) ( �

.��-��� "�$ (0&) �� )')#���� �, ��) G'(V, E'), � ⊆ �', &% �) ( � .��-��� "�$ "����"�&)

�"# �� G �& �� "��*���� &")"�(� ���3 (#0) ���$-3 ), �#�& �� G' ')����&% ��

)')#���� �.

1.1. �� )')#���� #�) «�� .��-��� (0&) �����)')#���� #�) «�� .��-��� (0&) ����� HamiltonHamilton»»1.1. �� )')#���� #�) «�� .��-��� (0&) �����)')#���� #�) «�� .��-��� (0&) ����� HamiltonHamilton»»

2.2. �� )')#���� #�) «�� .��-��� &% �))')#���� #�) «�� .��-��� &% �) *$ '&#�& �».*$ '&#�& �».

3.3. �� )')#���� #�) «�� .��-��� (0&) �����)')#���� #�) «�� .��-��� (0&) ����� EulerEuler».».

4.4. �� )')#���� #�) «�� .��-��� '& (0&) *��&%� ��"��».)')#���� #�) «�� .��-��� '& (0&) *��&%� ��"��».

�. �*��*&)���+��*&)� 3

�+���������� ��������������������������� !"#$%

��! ���� �� ����������� ������ �� n≥2 ����� �� � �� ��� ����� Hamilton

��� ����� Euler.

1.1. � ���& ���$-� ��$ (0&) 2���# �&.����&�� ��$ 2, �#�& � �-�)�(*�$�& �)� ���(�� ���& ���$-� ��$ (0&) 2���# �&.����&�� ��$ 2, �#�& � �-�)�(*�$�& �)� ���(�

��$ �����$��$ �����$ Hamilton Hamilton �� $"��&)"#�& � .��-��� *$ &0%4&) � (0&) ������� $"��&)"#�& � .��-��� *$ &0%4&) � (0&) ����� EulerEuler. .

2.2. � � ���& ���$-� ��$ (0&) 2���# �&.����&�� ��$ 2, �#�& � �-�)�(*�$�& �)� ���(����& ���$-� ��$ (0&) 2���# �&.����&�� ��$ 2, �#�& � �-�)�(*�$�& �)� ���(�

��$ �����$��$ �����$ Euler Euler �� $"��&)"#�& � .��-��� *$ &0%4&) � (0&) ������� $"��&)"#�& � .��-��� *$ &0%4&) � (0&) ����� HamiltonHamilton..

3.3. � � �-�)�(*�$�& �%� ���� ��$ , �#�& �� $"��&)"#�& � .��-��� "��&) � (0&) ��)�-�)�(*�$�& �%� ���� ��$ , �#�& �� $"��&)"#�& � .��-��� "��&) � (0&) ��)

���������� Euler Euler ��) �������) ����� HamiltonHamilton..

4.4. � � ������� � ������ Hamilton Hamilton &% �) ���)��, �� "����� �+ ���$-3 ��$&% �) ���)��, �� "����� �+ ���$-3 ��$ .��-������ &% �).��-������ &% �)

���)�. ���)�.

�. �*��*&)��-����.� 1

������������ ��������������������������� !"#$%

����*�&$�*�& 4 �"�� �� ���&$�$ #�& � .��-����� 6 ���$-3 #"�$:

1. �� "�3�� (0&) ����� Hamilton ��) (0&) ����� Euler

2. �� '&��&�� '& (0&) ����� Hamilton ��) (0&) ����� Euler

3. �� ��%�� (0&) ����� Hamilton ��) '& (0&) ����� Euler

4. �� �(����� '& (0&) ����� Hamilton ��) '& (0&) ����� Euler

�. �*��*&)��-����.� 2

�&���������� ��������������������������� !"#$%

5 � ��)�&�(� .��-��� &% �) ( � .��-��� *�� �"�%� �) �#�2�) ��$ ')��&�%4� ��) *& ��%�

*� ��� � &1����*%��. �� Km,n,k &% �) �� ��)�&�(� .��-��� *�� �"�%� �� ��%� *� ���

� &1����*%�� �,,, (0�$ � �%*��)0� m,n ��) k ���$-(� ��) *�� �"�%� ���& ���$-� *&

���& *� ��� �"# �� �,, ��) &% �) *$ '&'&�( � �& #�&� �)� ���&� ���$-(� *�� ����

'�� *� ���.

1. �&%1�& #�) �� .��-��� �2,4,6 (0&) ����� Hamilton1. �&%1�& #�) �� .��-��� �2,4,6 (0&) ����� Hamilton

2. �&%1�& #�) �� Kn,2n,3n (0&) ����� Hamilton.

�. �*��*&)��-����.� 3

������������ ��������������������������� !"#$%

�&%1�& �& �������)�� &"�.+.� #�) �� .��-��� Kn (0&) ����� Hamilton .)� ���& n73.

�. �*��*&)��-����.� 4

������������ ��������������������������� !"#$%

�"�'&%1�& #�) �� ��#��$�� .��-��� '& (0&) ����� Hamilton: