ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

of 9 /9
20 3: 3.6: !" ! "" # # $ "" #%#& ’ ( "" ") "*) + "" *) "*) , "" *) "*) - "" *) "*) . "" *) "*) / "" *# 0 "" *# $ 1&# 2& *% $ 3*% ( 4" 2& $ 3*% + 4" &" 2&" $ 3*% !" !" , 5% 6%7 # 2& $ 3*% - 6% "%% $ 3*% 8 1 $ 19%) . #$% & $$’ (% ) Tarski !( ) !$& " (% ) Tarski. *& ) !$ $$’ + "$( !$ "$( #!") !$" #&"$ $$’ (-) !" !" ,$-&" ’! %$ " .(& $%(: $% %$ $& ( $!" , ’)’ /(% ) " .(% $". &$% %$ " " .0& -( & (! & Tarski. 1"(& ’! (! (!: B. 1. (% ) Tarski # !" !" (%: *( " , !$ $( . .& " !$ )! (" " " $( ()2 % " "$ " !$) .& " !$ ’" )! (" " " $( ()2 % " ’" "$ " !$) ’ " !$ )! "1 $% " $( )2 % " "2) . .& . 3 %" $%( )! "1 $% " $(, )2 % " " "2) .

Transcript of ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

Page 1: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

���20

������� 3:��������� ��� �

������ 3.6:

������ �������������� �������

�������� �!"��

����������������������� ��� �

�������

�� ������������� ����� !

�� ��� "�" �#����#

$� ��� "�" ����� #%��#� ���&����'����

(� ��� "�" ������"��)�������"*)������

+� ��� "�" ����*��)�������"*)������

,� ��� "�" ����*��)�������"*)������

-� ��� "�" ����*��)�������"*)������

.� ��� "�" ����*��)�������"*)������

/� ��� "�" ��������*���#��

0� ��� "�" ��������*���#��

$� 1&���#������� �2&���

�� ����*���%�

$� 3 � *��%�

(� 4� "����������2&��

�� �������

$� 3 � *��%�

+� 4� "�����������&"����2&��"

�� �������

$� 3 � *��%�

����������� ����������������������������� ������!"���� !"��

,��5%�������6�%��7���#���2&��

�� �������

$� 3 � *��%�

-��6�%������"�� %�%�

�� �������

$� 3 � *��%�

8��������

�� 1������

$� 19 ���%)

�. #��$%� ��& ���������

�$�$�'� �

����(�%� �)������ Tarski

� �!��(� �)������ �!$�& �� ��" ���(�% �)������ Tarski.

�*��&��� � ������ �)���� �!$��

�$�$�'� +

� ��"�$���(���� �!$��

� ��"�$���(��� #!"�)� �!$�"

� ������ #&"�$�����

�$�$�'�

� (-)

����������� ����������������������������� ������!"���� !"��

,$��-�&" '!� ��%$�� ��� "� ����.��(�&�� ��� $�%��(�:

• � ��$�����%� ��%$�� $�& ������ (�� $�����!��"� ��������, '�)�'� �� /�(��%

����)��� ��" ����.��(���% $�"���.

• � �&$��%� ��%$�� ��"�� "� ����.��0�&�� �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski.

�� 1���"�(�&�� �� '!� ��(�������!� ���(��!�:

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski

#���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

���(�%�:

• *(�� ����"��� �, �!$�� ��� �$�����(� .

• �� ���.�&�� � � � �" � �!$�� �)���!�� (��" ����"��� � �� ��"

�$�����(� ()2�� %�� � ����"��� ���"�$���� ��" �!$�)

• �� ���.�&�� � � � �" � �!$�� '�" �)���!�� (��" ����"��� � ��

��" �$�����(� ()2�� %�� � ����"��� '�" ���"�$���� ��" �!$�)

• ��'��� �" � �!$�� �)���!�� �"�1������ �$% ��" �$�����(� �� )2�� %�� � �

��"�� ��"�2)� ��� . ��� �� ���.�&�� � � .

• 3�� %��" � $�%��(� �)���!�� �"�1������ �$% ��" �$�����(�, �� )2�� %�� �

����"��� ��"�� ��"�2)� ��� .

Page 2: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

+. ������1. ���(�%� �)������ Tarski

�� ���(�%� �)������ ��& Tarski ����.��0�� ���� '��� �!$�&:

$���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

���������� ������������ � ����������������������������������� ��������!�����������������������������������" #$�%����������&�'�����!��������������(������)�*�&�+�)������� � �

���+��������,�����-� ���.$�/1. � � �� � ��� � �� � ����

2. � � ����� � � ���� � � �� � � � �� � � ��

3. � � �� � '�" �(-!�� %�� � � �

4. � � � �� � � � � ��� � � ��

5. � � � �� � � � � � � � ��

6. � � � �� � �" � � � �%�� � � ��

7. � � � �� � � � � �" ��� �%"� �" � � ��

8. � � ��� � ��� ���� � � � !!� � ���"#�

9. � � ��� � &$��-�� � � � !!� � ���"#�

• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� ��" �(%����., '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:

�� � ��

• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 1 � $�%��(�

����.��0���� (��":

���� � ����

• 4$�& ���� � �$�����(� ��& %��& �� ��� ���� � �$�����(� ��& %��& ��

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski1. � ��"%"�� ��� �(%�����

����������� ����������������������������� ������!"���� !"��

� ��"%"�� 1 ��& ���(��! Tarski:

� � �� � ��� � �� � ����

����'����� 1:

• #�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5", �� ��" �$%����(� � � $� % � & � $���(��(�

� � % � �!

• ����.��0���� �� -��(� ��& ��"%"� 1 (��" $���(��(� 2=1

����'����� 2:

• #�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5", �� ��" �$%����(� � � '� % � &, ��" ����"���

��" (&"����(���5" (&�/%)�" f(x,y): (� �� % � � ) % ��� g(x,y): *� �� % � � + % �

$���(��(�

� � (�* �� � � %� � *��� %�!

• ����.��0���� �� -��(� ��& ��"%"� 1 (��" $���(��(� 11=6

• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" ������% �!$� $�& �$���)����� �$% 2"� �������������%

(!�/�)�, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:

� � ����� � � ����

• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 1 � $�%��(�

����.��0���� (��":

� �� � � � �� � � ��

4$�& ��,� � �$�����(� ��& %��& �, ��� - � $� � � . ��� �� ��"�� � ����"��� ��&

������������� P (�� �))� )%��� %�� � '��������2"� n-�'� �� ��" �$�����(� ��" ���(����"

�"���� (��" (-2(� $�& ��.��0���� �$% �� �������������% (!�/�)�).

• ��2(�� ���� ��" �.������ ��& ��"%"� 2 ����.��0�&�� $�����2�� ��" $���$�"� $�%��(�

��:

��� �� � � � �� � �)��2�

��)�'� %�� �� �����%���� �� �� (&�������2"� ���(���� ��"�� �)��2�

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski2. � ��"%"�� ��& ��������������! (&�/%)�&

%���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

� ��"%"�� 2 ��& ���(��! Tarski:

� � ����� � � ���� � � �� � � � �� � � ��.

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski2. � ��"%"�� ��& ��������������! (&�/%)�&

&���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

����'����� �.������� ��& ��"%"� 2:

#�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5", �� ��" �$%����(� � � $� % � & ��� ��" ����"���

��& ������������� / ��� %�: /� ��� %� "� �)���!�� �" 0 / 1! � $���(��(�

� �/ �%� ��!

• ����.��0���� �� -��(� ��& ��"%"� 1 (��" $���(��(�

�&�$� �/�

• �� $�����2�� (����"�� ($�"�� .��"�&�� (�� 2� �$�$�'� %��" ����"�!�&��

�������������% (!�/�)�):

/� �&�$� �)��2�

• �$��2"�� (����"�� %��: 2<1

����'����� �.������� ��& ��"%"� 2:

• #�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5" �� � � '�!!��" ����"��� ��" (&"����(��" f(x,y):

(� �� % � � ) % ��� g(x,y): *� �� % � � + %, ��& ������������� 2��� %�: 2���� %� "�

�)���!�� �" 0 '��������� �$% �� y ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � $ � $���(��(�

� � 2�*��� ��� (�3� 3��!

• ����.��0���� �� -��(� ��& ��"%"� 1 (��" $���(��(�

�4�&� � 2�

• �� $�����2�� (����"�� 2��4�&� �)��2�

• �$��2"�� (����"�� %��: «�� 9 '��������� �$% �� 2»

Page 3: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& 2-�� ��" ���.� ��� ��"�(�� �"%�

�!$�&, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:

� � ��

• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 3 � $�%��(�

����.��0���� (��":

'�"6�(-!��6%��6� � �

• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)� ��"%"� ��� ��" �!$� .

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski3. � ��"%"�� ��& ��"��2(��& (&"'2(��& �

'���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

� ��"%"�� 3 ��& ���(��! Tarski:

� � �� � '�" �(-!�� %�� � � �

����'�����:

#�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5", �� ��" �$%����(� � � $� % � & "� ����.��(���

� $���(��(� ��% � ��! �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski:

�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:

!!� � ��% � ��! (�.���%0� ��"%"� 3)

� 567!89:;68!� � % � �! (�.���%0� ��"%"� 1)

� 567!89:;68!!& � $

• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& (&"'2�� '!� �!$�&� �� ��" )����%

(!"'�(�� � , '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:

� � � ��

• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 4 � $�%��(�

����.��0���� (��":

� � � 6���6� � ��

• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)�&� ��"%"�� ��� ��&� �!$�&� . ��� 7

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski4. � ��"%"�� ��& '��2(��& (&"'2(��& �

(����������� ����������������������������� ������!"���� !"��

� ��"%"�� 4 ��& ���(��! Tarski:

� � � �� � � � � ��� � � ��

����'�����:

#�� (!�$�" ��" .&(��5", ��" ����"��� ��& ������������� 2��� %�: 2���� %� "� �)���!��

�" 0 '��������� �$% �� y ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � $ ��� < !=� � ' �� -��(�

��& ���(��! ��& Tarski "� ����.��(��� ��" $�%��(�: 2�=� 3� � 3 � =

�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:

!!� � 2�=� 3� � 3 � = (�.���%0� ��"%"� 4)

� � � 2�=� 3�! !>�8!� � 3 � = (�.���%0� ��"%"�� 2 ��� 1)

� '�$ � ?�!>�8!$ � '

� ?� '�$ !�@ABCD!>�8!$ � '

� '!EFGFHIFJGF!GKL!JM!$!>�8!$ � '

• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& (&"'2�� '!� �!$�&� �� ��" )����%

(!"'�(�� 8, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:

� � � ��

• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 5 � $�%��(�

����.��0���� (��":

� � � 6�6� � ��

• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)�&� ��"%"�� ��� ��&� �!$�&� . ��� 7

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski5. � ��"%"�� ��& '��2(��& (&"'2(��& �

((���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

� ��"%"�� 5 ��& ���(��! Tarski:

� � � �� � � � � � � � ��

����'�����:

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� ����: ����� "� �)���!�� �" 0

��"�� $�5��� ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � & �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "�

����"�!(��� ��" $�%��(�: N�O� � ���3�

�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:

!!� � N�O� � ���3� (�.���%0� ��"%"� 5)

� � � N O !P!� � ���3� (�.���%0� ��"%"� 2 ��� 3)

� & � N�!P!567!89:;68!� � ��3� (�.���%0� ��"%"� 2)

� N� & !�@ABCD!P!567!89:;68! & � N�!

� JM!&!IFQGF!KHRJMS!P!567!89:;68!LT8!TU!&!6V7�8!WXRTUD

• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& (&"'2�� '!� �!$�&� �� ��" )����%

(!"'�(�� �, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:

� � � ��

• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 6 � $�%��(�

����.��0���� (��":

�"6� � � 6�%��66� � ��

• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)�&� ��"%"�� ��� ��&� �!$�&� . ��� 7

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski6. � ��"%"�� ��& '��2(��& (&"'2(��& �

(����������� ����������������������������� ������!"���� !"��

� ��"%"�� 6 ��& ���(��! Tarski:

� � � �� � �" � � � �%�� � � ��

����'�����:

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" �$�����(� ��� ����/)���� � � $ ��" ����"��� ���

(&"����(�� f(x): (� � � � ) & ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � & �� -��(� ��&

���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��3 � �� � (�3� � (�( � �

�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:

!!� � ��3 � �� � (�3� � (�( � � (�.���%0� ��"%"� 6)

� �7!!� � ��3 � �� !TLT6!� � (�3� � (�( � � (�.���%0� ��"%"� 3 ��� 1)

� �7!!567!89:;68!!� � 3 � � !TLT6!Y�Z (�.���%0� ��"%"� 1)

� �7!!567!89:;68!!& � $!TLT6!Y�Z

Page 4: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& (&"'2�� '!� �!$�&� �� ��" )����%

(!"'�(���, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:� � � ��

• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 7 � $�%��(�

����.��0���� (��":

� � � 6�"6���6�%"�6�"6� � ��

• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)�&� ��"%"�� ��� ��&� �!$�&� . ��� 7

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski7. � ��"%"�� ��& '��2(��& (&"'2(��& �

(����������� ����������������������������� ������!"���� !"��

� ��"%"�� 7 ��& ���(��! Tarski:

� � � �� � � � � �" ��� �%"� �" � � ��

����'�����:

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" �$�����(� ��� ����/)���� � � $ ��" ����"��� ���

(&"����(�� f(x): (� � � � ) & ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � & �� -��(� ��&

���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��3 � �� � (�3� � (�( � �

�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:

!!� � ��3 � �� � (�3� � (�( � � (�.���%0� ��"%"� 7)

� !� � � 3 � � !�7!>�8![L7U!�7!� � (�3� � (�( � � (�.���%0� ��"%"� 3 ��� 1)

� !567!89:;68!!� � 3 � � �7!>�8![L7U!�7 Y�Z (�.���%0� ��"%"� 1)

� 567!89:;68!!& � $!�7!>�8![L7U!�7!Y�Z

• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& 2-�� �� ���.� ���� , '�)�'� �"

2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:

� � ��!�

• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 8 � $�%��(�

����.��0���� (��":

���6����6� � "�" !� � ���"#�

• %$�& � $���(��(� ���"#� '��/�0���� «� �$�����(� ��� ����/)���� x ��"�� �» $�&

(����"�� %�� %��" ��"�&�� ��" �$�����(� ��� ����/)���� x �� ��" �"������(��(�&�� ��

�� �.

• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)� ��"%"� ��� ��" �!$� ..

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski8. � ��"%"�� ��& $�(�'����� �

(#���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

� ��"%"�� 8 ��& ���(��! Tarski:

� � ��� � ��� ���� � � "�" !� � ���"#�

����'�����:

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "� �)���!�� �"

0 /y �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��N 0� 0 !

�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:

!!� � ��N 0� 0 (�.���%0� ��"%"� 8)

� \8�!>]B6!� � � � � ���� ��� � # (�.���%0� ��"%"� 2)

� \8�!>]B6!� � � ! #� # � �� � \8�!>]B6!� � � !�� #� # !G^_`IS �� � \8�!>]B6!� � � � / �

• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& 2-�� �� ���.� ���� , '�)�'� �"

2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:

� � ��!�

• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 9 � $�%��(�

����.��0���� (��":

aW]X:68!!� � "�" !� � ���"#�

• %$�& � $���(��(� ���"#� '��/�0���� %$�� $��" «� �$�����(� ��� x ��"�� �»

• ��������(�� %�� � x ��"�� �)�!���� ���� ��" �.������ ��& ��"%"�.

• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)� ��"%"� ��� ��" �!$� ..

B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski9. � ��"%"�� ��& $�(�'����� �

($���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

� ��"%"�� 9 ��& ���(��! Tarski:

� � ��� � aW]X:68!!� � "�" !� � ���"#�

����'�����:

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "� �)���!�� �"

0 by �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��N 0� 0 !

�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:

!!� � ��N 0� 0 (�.���%0� ��"%"� 8)

� aW]X:68!� � � � � ���� ��� � # (�.���%0� ��"%"� 2)

� aW]X:68!� � � ! #� # � �� � aW]X:68!� � � !�� #� # !G^_`IS �� � aW]X:68!� � � � b �

• � '��'���(�� ��� ����.��(�� �"%� �!$�& �$���� "� ��"�� �� '!� ��%$�&�:

• (�) �� ��" ��%$� $�& ������ (�� 5 $�����!��"� ��������, '�)�'� 2-�"���

(�" /�(��� ����)��� ��" ����.��(���% $�"��� ��& ��������� 3.1

• (+) �� ��" ���(�% ��& Tarski

• �� '!� ��%$�� '�"�&" ��� ����.��(� '��.�������� �$����� ���.�� �� �� �'�� "%���.

• � �$%.�(� ��� �� �" 2"�� �!$�� ��"�� �)���� � 7�&'�� ��"���� �� ��&� ��%$�&�

$�& 2-�&�� ����� (�� $�����!��"� ��������.

• (-!�� %�� ���� '�" �� ��"�&�� �.������ ��& ���(��! ��& Tarski ��� "� ��"�&��

��" ����.��(� �"%� �!$�& ���%� ��� �" ��# �� 9���� ���� #��� �:;��#�

• �� -��(���$���!�� �&$��� ��" ���(�% ��& Tarski ��� "� ����.��(�&�� ��"

$�%��(�.

• �� ��" (�(�� �.������ ��" /�����" �(�� "� ��� .�"�� -��(��� "�

����(��&�(�&�� �� '�"'��'�������� ��& �!$�&, �.�! (� ���� /��� � �!$��

�� 2-�� ��� (&�������2"� ���.� �$% ��� 9 ���.2�.

• �� ����)�/�&�� �" ��"�� �/ �$% ��� �"5(��� ��� ��& ����.��(����! $�"���.

B. ������2. �!��(� �)������ �!$�&1. ����'�)����

(����������� ����������������������������� ������!"���� !"��

Page 5: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. ������2. ���(�%� �)������ �!$�&2. ����'�������

(%���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

����'����� 1:

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "� �)���!�� �"

0 / 1 �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ���1�N 0� 1 � �N 1� 0 !

�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:

!!� � ���1�N 0� 1 � �N 1� 0 (�.���%0� ��"%"� 8)

� \8�!>]B6!� � � � � �1�N 0� 1 � �N 1� 0 � � # (�.���%0� ��"%"� 8)

� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � � � � N 0� 1 � �N 1� 0 � #� %"e !!(�.���%0� ��"%"� 6)

� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � �

�7!!� � N 0� 1 � � #� %"e

TLT6!� � �N 1� 0 � � #� %"e (�.���%0� ��"%"� 2 ��� 3)

� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � �

�7! #� e � ��!TLT6!567!89:;68!!� � N 1� 0 � � #� %"e (�.���%0� ��"%"� 2)

� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � � !�7! #� e � ��!TLT6!567!89:;68! e� G � ��

� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � � !�7!�� #� e !G^_`6D!TLT6!567!89:;68!!�� e� G !G^_`IS

� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � � !�7!G / e!TLT6!567!89:;68!!e / G

��& ��"�� $��.�"5� �)����.

B. ������2. ���(�%� �)������ �!$�&2. ����'�������

(&���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

����'����� 2:

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "� �)���!�� �"

�!EFGFHI8T�8!�WL!TU!1� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � & ��� ��" �$�����(� ��� ����/)����

v(y)=1, �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��N�0� O� � ��N�0� 1�

�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:

!!� � ��N�0� O� � 6��N�0� 1� (�.���%0� ��"%"� 6)

� f7!� � ��N 0� O !JLJI � � ��N�0� 1� ! (�.���%0� ��"%"� 9 ��� 8)

� f7!aW]X:68!� � � !� � N 0� O � # !

JLJI \8�!>]B6!� � � � � N�0� 1� ��"#� (�.���%0� ��"%"� 2)

� f7!aW]X:68!� � � #� & � ��

JLJI \8�!>]B6!� � � #� $ � ��

� f7!aW]X:68!� � � �� #� & �@ABCD!JLJI \8�!>]B6!� � � �� #� $ !G^_`IS

� f7!aW]X:68!� � � !TIJMFM!RgJI!JM!G!QG!EFGFHIFJGF!hI!JM!&

JLJI \8�!>]B6!� � � JM!G!EFGFHIFJGF!hI!JM!$i

� �$��� �)���!��, �.�! � &$%��(� ��� (&"�$������ ��"�� �)���� ($.-. ��� �=4), �"5 ��� ��

(&�$2��(�� ��� (&"�$������ �)��2&�� (�.�! %)�� �� .&(���� '�����!"��� ����/5� �� �� 1). 3��

� �!$�� ��"�� �<�=�

(�� $�����2�� �1�(��(� /). �(�.����"��(�� 1-3)

B. ������3. ��"�$���(���� �!$��1. ���(�%� ��"�$���(���& �!$�&

('���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

���(�%�:

*"�� �!$�� �� )2�� %�� ��"�� ���"�$���(����, �" &$��-�� '��� (����"���) ���

�$�����(� $�& ���"�$���� ��" �!$�.

��� '��� $�& ���"�$���� ��" �!$� �� )2�� %�� ��"�� ��"�2)� ��& �!$�&

����'�)����:

��)����� �" 2"�� �!$�� ��"�� ���"�$���(���� '�����0�"��� ��� �"�(�2� ����"���� $�& 2-�&��

��)���(��.

#���"���%!! � ��)!���� ����"��� ��� "� �1���(�&�� �" � �!$�� ��"�� ���"�$���(���� ��"�� �

�)5((� ��" ����&�&"%��"�" ���.�����" (/).�$%��"� ������):

• �� "� �$�'��1�&�� %�� � �!$�� ��"�� ���"�$���(����:

• ����&$5"�&�� ��" ����"��� ��� ��" �$�����(� (�" �$��������), ����.��0�&�� ��"

$�%��(� ��� '��-"�&�� %�� ��"�� �)����.

• �� "� �$�'��1�&�� %�� � �!$�� '�" ��"�� ���"�$���(����:

• ���-"�&�� %�� � ��"�(� ��& �!$�& ��"�� )����� 2��&��� �!$�� (/)2$� ���(�% )�����

2��&��& �!$�&)

B. ������3. ��"�$���(���� �!$��2. ����'�������

������������ ����������������������������� ������!"���� !"��

����'����� 1:

*(�� P/2 �������������% (!�/�)�. �� �1���(��� �" � �!$�� ���1N 0� 1 ��"�� ���"�$���(����

�!(�:

*(�� � ����"��� �� (!�$�" ��&� .&(���!� ������!�: f � j ��� �� ����"��� ��&

��������������! (&�/%)�& P: ����� %� ��"�� �)��2� �"" � k %. �%�� � $�%��(� ����"�!���� ��:«,$��-�� .&(��%� $�& ��"�� ����%����� � �(�� �$% %)�&� ��&� .&(���!�»

�� ��"�� �)���� (��� x=0)

����'����� 2:

*(�� P/2 �������������% (!�/�)�, c:(������ ��� f/3 �������������% (!�/�)�. �� �1���(��� �"

� �!$�� ��N 0� l 0 � ����(���� 3� ��"�� ���"�$���(����

�!(�: *(�� � ����"��� �� (!�$�" ��&� .&(���!� ������!�: f � j ��� �� ����"��� ��&

��������������! (&�/%)�& P: ����� %� ��"�� �)��2� �"" � b % ��� ��" ����"��� ��& (&".(&�/. f:

(� � � �� ��� ��" ����"��� ��� (������� 3� � m

�%�� � $�%��(� ���.���� ��: ���0 b �� � ����� b m] ��� ����"�!����:

«�" &$��-�� .&(��%� $�& ��"�� ����)!����� � �(�� �$% �� �������"% ��&, �%�� �� �������"� ����

.&(���! ��"�� ����)!���� � �(� ��& ��'2"» ��� ��"�� �)���� ('�%�� ��"�� �<�=�)

(�� $�����2�� �1�(��(� /). �(�.����"��(�� 4)

Page 6: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. ������4. ��"�$���(��� #!"�)� �!$�"1. ���(�%� ��"�$���(���& #&"%)�& �!$�"

�(���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

���(�%�:

*"� (!"�)� �!$�" �� )2�� %�� ��"�� ���"�$���(���, �" &$��-�� '��� (����"���) ���

�$�����(� $�& ���"�$���� ���� �!$� ��& (&"%)�& �!$�".

��� '��� $�& ���"�$���� %)�&� ��&� �!$�&� �� )2�� %�� ��"�� ��"�2)� ��& (&"%)�& �!$�"

����'�)����:

��)����� �" 2"� (!"�)� �!$�" ��"�� ���"�$���(��� '�����0�"��� ��� �"�(�2� ����"���� $�&

2-�&�� ��)���(��.

#���"���%!! � ��)!���� ����"��� ��� "� �1���(�&�� �" %)�� �� �!$�� ��"�� ���"�$���(���� ��"��

� �)5((� ��" ����&�&"%��"�" ���.�����" (/).�$%��"� ������):

• �� "� �$�'��1�&�� %�� �� (!"�)� �!$�" ��"�� ���"�$���(���:

• ����&$5"�&�� ��" ����"��� ��� ��" �$�����(� (�" �$��������), ����.��0�&�� ���

$����(��� ��� '��-"�&�� %�� ��"�� �)����� %)�� �� �!$�� ��& (&"%)�& �!$�"

• �� "� �$�'��1�&�� %�� �� (!"�)� �!$�" '�" ��"�� ���"�$���(���:

• ���-"�&�� %�� � ��"�(� ��� (!0�&1�� %)�" ��" �!$�" ��"�� )����� 2��&��� �!$��

(/)2$� ���(�% )����� 2��&��& �!$�&)

B. ������4. ��"�$���(��� #!"�)� �!$�"2. ����'�������

������������ ����������������������������� ������!"���� !"��

����'����� 1:

*(�� P/2 �������������% (!�/�)�, R/1 �������������% (!�/�)�, �/1 �������������% (!�/�)�.

�� �1���(��� �" �� (!"�)� �!$�" ��"�� ���"�$���(���:

n���1N 0� 1 � ���1N 0� 1 � �� o 0 � �p � q��"�� ���"�$���(���

�!(�:

��"�� ���"�$���(���. #�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5" �� ��" ����"��� ��" (&�/%)�":

• P(x,y) ��"�� �)��2� �" x=y

• R(x) ��"�� �)��2� �" �� x ��"�� ������ �����%�

• T(x) ��"�� �)��2� �" �� x ��"�� $�����%� �����%�

�� ��" �$�����(� �&��� �� 3 �!$�� ��& (&"%)�& �!$�" 2-�&" ��" ����"���:

• 1�� �!$��: «,$��-�� .&(��%� $�& ��"�� ����%����� � �(�� �$% %)�&� ��& .&(���!�». ��"��

�)���� ( ��� x=0)

• 2�� �!$��: «��� .&(��%� ��"�� ����%����� � �(�� �$% ��&)�-�(��" 2"�" .&(��%». ��"�� �)����.

• 3�� �!$��: «��� ������ �����%� '�" ��"�� $�����%�». ��"�� �)����.

>

(�� $�����2�� �1�(��(� /). �(�.����"��(�� 5)

B. ������5. ������ *��&��� �!$��1. ���(�%� ������ *��&��& �!$�&

������������ ����������������������������� ������!"���� !"��

���(�%�:

• *"�� �!$�� �� )2�� %�� ��"�� )����� 2��&��� �!$�� (� )����� �)���� �!$��), �"

�)���!�� ��� �$���'�$��� ����"��� ��� �$���'�$��� �$�����(�.

• �� (&�/�)�0�&�� �� � 2"�" )����� 2��&�� �!$�.

• *"�� )����� 2��&��� �!$�� ��"�� ��� �&$��% ��5���� ��& ��������������!

)���(��!

����'�)����:

• �� "� �$�'��1�&�� %�� 2"�� �!$�� ��"�� )����� 2��&���:

• ���� '��-"�&�� %�� ��"�� (&"������� �"������(��(� (� "%�� $����(����� �

��������������� )������ � �1�������% (-��� ��& ��.

• ���� ��"�&�� �.������ ��& Tarski ��� �.�! ����)�1�&�� (��" ����.��(�

�$�'���"!�&�� %�� �)���!�� (� ���� '��� ��� (� ���� �$�����(� -��(���$��5"���

���������� �$�-��������.

• �� "� �$�'��1�&�� %�� 2"�� �!$�� '�" ��"�� )����� 2��&���:

• ���-"�&�� %�� &$��-�� '��� ��� �$�����(� $�& ��"�� ��" �!$� 7�&'� �� �1��

• ����&$5"�&�� ��� ����"��� ((!�$�", �������������� (!�/�)� �.)$.)

• ����.��0�&�� ��" $�%��(�.

• ���-"�&�� %�� ��"�� 7�&'��.

B. ������5. ������ *��&��� �!$��2. ����'�������

�#���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

����'����� 1:

*(�� P/2 �������������% (!�/�)�. �1���(��� �" � $������� �!$�� ��"�� )����� 2��&��� �!$��:

���1N 0� 1 � ����1N 0� 1

��"�� )����� 2��&��� �!$��

�!(�:

��"�� )����� 2��&��� �!$�� �� (&"������� �"������(��(� (��" "%�� �$��)��(��! �����& ���

$����(����� )������ � � �2��"��� %$�& r !���1N 0� 1

����'����� 2:

*(�� P/2 �������������% (!�/�)�. �1���(��� �" � $������� �!$�� ��"�� )����� 2��&��� �!$��:

��N 0� � � �� %� � � ��s� �� � ��N 0� � �

��"�� )����� 2��&��� �!$��

�!(�:

��"�� )����� 2��&��� �!$�� �� (&"������� �"������(��(� (�� �#1 ��& $����(����! )���(��!

�2��"��� %$�& r ��N 0� � ��� %$�& t N %� � � ��s� ��

Page 7: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. ������5. ������ *��&��� �!$��2. ����'�������

�$���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

����'����� 3:

*(�� P/1 �������������% (!�/�)� ��� c (������. �� �$�'��1��� %�� � �!$��

N O � ��N 0

��"�� )����� 2��&��� �!$��

�!(�:

*(�� �&-�!(� '��� ��� �&-�!(� �$�����(� v. �.���%0�&�� ��" ���(�% ��& Tarski:

!!!!!!!� � N O � ��N 0 (�.���%0� ��"%"� 6)

� f7!� � N�O� !JLJI � � ��N�0� ! (�.���%0� ��"%"� 2 ��� 9)

� f7!�3�� � ��!JLJI aW]X:68!G � � � � N�0� ��"#� ! (�.���%0� ��"%"� 2)

� f7!�� 3� !G^_`IS!JLJI aW]X:68!G � � !�G� � ��

� f7!�� 3� !G^_`IS!JLJI aW]X:68!G � � !�� G !G^_`IS

�$%'��1�:

�������� 2(�� %�� �� 3� !G^_`IS.

�%�� &$��-�� G � � !�� G !G^_`IS (�(-!�� ��� � � 3�)

B. ������5. ������ *��&��� �!$��2. ����'�������

������������ ����������������������������� ������!"���� !"��

����'����� 4:

*(�� P/1 �������������% (!�/�)� ��� c (������. �� �1���(��� �" � �!$��

N O � ��N 0

��"�� )����� 2��&��� �!$��

�!(�:

��" ��"�� )����� 2��&��� �!$��. ����5 ��" ����"���:

• ;� (!�$�" 2-�� ��&� .&(���!� ������!�

• P(x) �)���!�� �" �� x ��"�� $�5��� �����%�

• � (������ c ����"�!���� (��" .&(��% 3.

�%�� � $�%��(� ����"�!���� «�" �� 3 ��"�� $�5���, �%�� ���� .&(��%� ��"�� $�5���»

��"�� 7�&'��, 2-�&�� %�� �� 3 ��"�� $�5��� �))� '�" �(-!�� %�� ���� .&(��%� ��"�� $�5��� (���

��"�� �< = )

(�� $�����2�� �1�(��(� /). �.�����2� 2 ��� 3)

• � )����� (&"�$����� ��"�� �� �(�'!"��� ��� ��&��)������ (&"�$������ ��� $����(�����

)������.

• �� "� �(-!��:

• ��2$�� %��" �� &$��2(��� ��& (&"%)�& �!$�" ��"�� ����� #, "� �)���!�� ��� ��

(&�$2��(�� ��� )������ (&"�$������.

B. ������6. ������ #&"�$�����1. ���(�%� ������� #&"�$������

�%���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

���(�%�:

• �� )2�� %�� 2"� (!"�)� �!$�" � (&"�$������ )����� ��" �!$� .

• 8 %�� � . ��"�� (���(��)����� (&"2$��� ��& �

• �� �� (&�/�)�0�&�� �� p � (���/�0���� � )����� (&"�$����� .)

�� ��� ���� ��

• �� %)�� ��� '��2� ��� �$�����(��� $�& �� (!"�)� �!$�" � ��"�� ���"�$���(���,

���"�$������� ��� � �!$�� ..

B. ������6. ������ #&"�$�����1. ���(�%� ������� #&"�$������

�&���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

����'�)����:

• �� "� �$�'��1�&�� %�� �(-!�� ��� )����� (&"�$�����

• �’��%$��:

• �"�&�� Tarski (� %)�� ��� &$��2(���.

• �� +����,�� %)�� �� &$��2(��� "� ��"�� �)����� ��� �1���0�&�� ��� (&�$���(����

/���"�&".

• �������,�,�� %�� �� (&�$2��(�� ��� )������ (&"�$������ ��"�� �$�(�� �)��2�,

)%�� ��" (&�$���(����" ��& $�����!��"�& /������

• +’��%$��:

• �.-. �" 2-�&�� "� '��1�&�� %�� n�� �� uq � ����� "� '��1�&�� %�� � �!$��:

� � � � u � ��"�� )����� 2��&���.

• �� "� �$�'��1�&�� %�� '�" �(-!�� ��� )����� (&"�$�����:

• �$�)2��&�� ��� '��� ��� ��� �$�����(� $�& ��"�� ��� &$��2(��� �)����� ��� ��

(&�$2��(�� 7�&'2�.

• ����&$5"�&�� ��� ����"��� ((!�$�", �������������� (!�/�)� �.)$.)

• ����.��0�&�� &$��2(��� ��� (&�$2��(��.

• ���-"�&�� %�� �� &$��2(��� ��"�� �)����� ��� �� (&�$2��(�� ��"�� 7�&'2�.

(�� $�����2�� �1�(��(� /). �.�����2� 4 ��� 5)

Page 8: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

. �(��(���3(��(� ���"%�(�� 1

�'���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "�

�)���!�� �" �!EFGFHI8T�8!�WL!TU!1� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � m, �� -��(� ��&

���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��N�0� O� � ��N�O� 0�

. �(��(���3(��(� ���"%�(�� 2

������������ ����������������������������� ������!"���� !"��

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "�

�)���!�� �" � v 1� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � m, �� -��(� ��& ���(��! ��&

Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ���1N�1� 0� � ���3 � ��

. �(��(���3(��(� ���"%�(�� 3

�(���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "�

�)���!�� �" � / 1� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � m ��� (������� d !=� � $, ��� ��&

(&"����(����! l���: l � � � � ) $ �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��"

$�%��(�: ��0�N (�3�� 0 � � �� (�( = �

. �(��(���3(��(� ���"%�(�� 4

������������ ����������������������������� ������!"���� !"��

�1���(�� �" �� $������� �!$�� ��"�� ���"�$���(���� (P,Q ��"�� ��������������

(!�/�)�, c ��"�� (������)

� ���%���� %� � ���%���� %�

� � ������� � �w���]

x � ���3 � �� � ����3 � ��

Page 9: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

. �(��(����.������ 1

������������ ����������������������������� ������!"���� !"��

��'��2"�& ��& (&"%)�& �!$�": y � n��w �� 3 � �%� 3� % � �� 3� z � � 3� z q

1. ����� �� ���� �������� ����;

2. ���������� �������� ��� ��������� ���� ����� �� ������� �� �� ������ ���� ���

��� � ������

3. ���������� �������� ��� ��������� ��� �� ��� ������ ������� ��� ���� �����

��� ������ ����

. �(��(����.������ 2

�#���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

�$�'��1�� %�� � �!$��: �0�1{ 0� 1 � �0�1{�0� 1� ��"�� )����� 2��&��� ����5"��� %�� ��

Q ��"�� 2"� '���)2� �������������% (!�/�)�.

. �(��(����.������ 3

�$���������� ����������������������������� ������!"���� !"��

�$�'��1�� %�� � �!$��: ��0{ 0 � ��0{�0� ��"�� )����� 2��&��� ����5"��� %�� �� Q

��"�� 2"� ��"���)2� �������������% (!�/�)�.

. �(��(����.������ 4

������������ ����������������������������� ������!"���� !"��

�$�'��1�� %�� �(-!�� � ��%)�&�� )����� (&"�$�����: no O � �0{ 0 q � �0�o 0 � w �

%$�& �� R/1 ��� Q/1 ��"�� ��"��2(�� �������������� (!�/�)�.