ΠΛΗ20ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί ΤύποιΠροτασιακοί Τύποι

∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Β.Θεωρία

1. Προτασιακή Λογική

1. Προτασιακή Γλώσσα

2. Προτασιακοί Τύποι

1. Προτεραιότητα Συνδέσµων

2. ∆ενδροδιάγραµµα Τύπου

2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

2. ∆ενδροδιάγραµµα Τύπου

3. Αποτίµηση Τύπου

2. Χαρακτηρισµός Τύπων

1. Ταυτολογία

2. Αντίφαση

3. Ικανοποιήσιµος Τύπος

3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή

Γ.Ασκήσεις

1. Ασκήσεις Κατανόησης

2. Ερωτήσεις

3. Εφαρµογές

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Επίπεδο Α� Η προτασιακή γλώσσα� Προτασιακοί τύποι και χαρακτηρισµοί τους� Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή ΤύπουΕπίπεδο Β� (-)

3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� (-)Επίπεδο Γ� (-)

B. ΘεωρίαΜαθηµατική Λογική

4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� Η Μαθηµατική Λογική είναι η προσπάθεια να µοντελοποιήθουν µε µαθηµατικά:� Η ανθρώπινη γλώσσα, και το συντακτικό της.� Ο τρόπος µε τον οποίο συνδυάζουµε επιχειρήµατα προκειµένου να εξάγουµε συµπεράσµατα.

� Προκειµένου να επιτευχθεί αυτός ο (δύσκολος) στόχος, κατασκευάζονται σε στάδια γλώσσες που µπορούν να µοντελοποιήσουν ολοένα και πιο περίπλοκες δοµές της συµπερασµατολογίας, αλλά και της περιγραφής του κόσµου:� Η Προτασιακή Γλώσσα ( Γ0-Γλώσσα Βαθµού 0) είναι απλή λογική που µοντελοποιεί προτάσεις που είναι Α(ληθείς) ή Ψ(ευδέις).

� Η Γλώσσα της Κατηγορηµατικής Λογικής (Γ1-Γλώσσα Βαθµού 1) είναι προχωρηµένη λογική που µπορεί να µοντελοποιήσει περίπλοκες προτάσεις των µαθηµατικών.

� ….και πολλές ακόµη που είναι εκτός ύλης….

B. Θεωρία1. Προτασιακή Λογική1. Προτασιακή Γλώσσα

5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

B. Θεωρία1. Προτασιακή Λογική2. Προτασιακοί Τύποι

6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

)(),(),(),(),( ψφψφψφψφφ ↔→∧∨¬

B. Θεωρία1. Προτασιακή Λογική2. Προτασιακοί Τύποι (1.Προτεραιότητα συνδέσµων)

7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� Καθορίζεται προτεραιότητα των λογικών τελεστών, ώστε να µην είναι αναγκαία η πλήρης παρενθετοποίηση των προτασιακών τύπων:

� Παραδείγµατα:

1. Ο τύπος µε βάση την προτεραιότητα των συνδέσµων παρενθετοποιείται:

2. Ο τύπος µε βάση την προτεραιότητα των συνδέσµων παρενθετοποιείται:

3. Ο τύπος µε βάση την προτεραιότητα των συνδέσµων παρενθετοποιείται ως εξής:

qp ∧¬ ))(( qp ∧¬

rqp ∨→ ( ))( rqp ∨→

rqqp ¬∨↔¬∧

( )( ) ( )( )( )rqqp ¬∨↔¬∧

B. Θεωρία1. Προτασιακή Λογική2. Προτασιακοί Τύποι (2.∆ενδροδιάγραµµα Τυπου)

8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� Η προτεραιότητα των λογικών συνδέσµων υποδεικνύεται και µε το δενδροδιάγραµµα του τύπου που υποδεικνύει την προτεραιότητα των λόγικών πράξεων.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να κατασκευαστεί το δενδροδιάγραµµα του τύπου: ( ) qrpqp ¬∨→→¬∧

( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧

� Πρακτικά στο δενδροδιάγραµµα σε κάθε µετάβαση «διώχνουµε» τον λογικό σύνδεσµο µε την χαµηλότερη προτεραιότητα.

( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧

qp ¬∧ ( ) ( )qrp ¬∨→

p q¬ rp → q¬

qq p r

B. Θεωρία1. Προτασιακή Λογική3. Αποτίµηση Τύπου

9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

Αποτίµηση των µεταβλητών είναι να αναθέσουµε τιµές Α (=αλήθεια) ή Ψ (=Ψέµα) στις προτασιακές µεταβλητές ενός τύπου. Είναι δηλαδή µια συνάρτηση α που δίνει τιµές στις προτασιακές µεταβλητές:

Η αποτίµηση ενός τύπου είναι η διαδικασία που εφαρµόζουµε προκειµένου να καταλήξουµε ότι ένας τύπος είναι Αληθής ή Ψευδής ανάλογα µε την αποτίµηση

},{)(: 0 ΨΑ→ΓMa

� Με µια αποτίµηση των µεταβλητών, µπορούµε να αποτιµήσουµε έναν προτασιακό τύπο, µε βάση τον αληθοπίνακα των προτασιακών συνδέσµων:

καταλήξουµε ότι ένας τύπος είναι Αληθής ή Ψευδής ανάλογα µε την αποτίµηση των προτασιακών µεταβλητών.

Α Α Ψ Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ

Ψ Α Α Α Ψ Α Ψ

Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α

φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔

B. Θεωρία1. Προτασιακή Λογική3. Αποτίµηση Τύπου

10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� Χρήσιµες παρατηρήσεις για τον αληθοπίνακα των συνδέσµων:

Α Α Ψ Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ

Ψ Α Α Α Ψ Α Ψ

Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α

φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔

� Χρήσιµες παρατηρήσεις για τον αληθοπίνακα των συνδέσµων:� Ο τύπος έχει την αντίθετη τιµή από τον τύπο � Ο τύπος είναι Ψ µόνο όταν

είναι Α αν έστω ένα από τα είναι Α� Ο τύπος είναι Α µόνο όταν

είναι Ψ αν έστω ένα από τα είναι Ψ� Ο τύπος είναι Ψ µόνο όταν (δηλαδή )

είναι Α σε κάθε άλλη περίπτωση και ισχύουν:και

� Ο τύπος είναι Α όταν (έχουν την ίδια τιµή)είναι Ψ όταν (έχουν διαφορετική τιµή)

φ¬ φ

ψφ ∧ Α==ψφψφ,

ψφ ∨ Ψ==ψφψφ,

ψφ → Ψ=Α= ψφ , Ψ=Ψ→Α

Α=→Ψ ... Α=Α→...ψφ ↔ ψφ =

ψφ ≠

B. Θεωρία1. Προτασιακή Λογική3. Αποτίµηση Τύπου

11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� Με χρήση του πίνακα αλήθειας των προτασιακών συνδέσµων µπορούµε να αποτιµήσουµε οποιονδήποτε προτασιακό τύπο, όταν έχουµε γνώση της αποτίµησης των προτασιακών µεταβλητών:� Χρήσιµη θα φανεί η προτεραιότητα των τελεστών έτσι ώστε να κάνουµε σωστά την σειρά των λογικών πράξεων:

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1: Να αποτιµηθεί ο τύπος: υπό την αποτίµηση των µεταβλητών: Λύση:

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2: Να αποτιµηθεί ο τύπος: υπό την αποτίµηση των µεταβλητών: Λύση:

rqqp ¬∨→¬∧Ψ=Ψ=Α= )(,)(,)( raqapa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Α=Α∨Ψ→Α∧Α=Ψ¬∨Ψ→Ψ¬∧Α=¬∨→¬∧ rqqp

rqqp ¬∨→¬∧

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α∨Α→Ψ∧Ψ=Ψ¬∨Α→Α¬∧Ψ=¬∨→¬∧ rqqp

Ψ=Α=Ψ= )(,)(,)( raqapa

B. Θεωρία2. Χαρακτηρισµός Τύπων

12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� Ένας προτασιακός τύπος θα χαρακτηρίζεται:

� Ταυτολογία: Αν είναι Αληθής για κάθε αποτίµηση

� Αντίφαση: Αν είναι Ψευδής για κάθε αποτίµηση

� Ικανοποιήσιµος: Αν υπάρχει αποτίµηση για την οποία είναι αληθής.

B. Θεωρία2. Χαρακτηρισµός Τύπων1. Ταυτολογία

13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� Για να εξακριβώσουµε ότι ένας τύπος είναι ταυτολογία, πρέπει: � Είτε να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας.

� Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Α(ληθής)

Ορισµός:Ένας προτασιακός τύπος είναι ταυτολογία αν είναι αληθής για όλες τις αποτιµήσεις των µεταβλητών.

� Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Α(ληθής)� Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπουΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ο τύπος είναι ταυτολογίαΑ’ τρόπος:Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:

Συνεπώς είναι ταυτολογίαΒ’ τρόπος: Παρατηρούµε ότι είναι πάντα Ψ, άρα ο τύπος είναι άρα είναι πάντα αληθής

( ) qpp →¬∧

Α Α

Α Ψ

Ψ Α

Ψ Ψ

( ) qpp →¬∧qp

( ) AAAAA =→Ψ=→¬∧( ) AAA =Ψ→Ψ=Ψ→¬∧( ) AAA =→Ψ=→Ψ¬∧Ψ( ) A=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ

( )pp ¬∧ ...→Ψ

B. Θεωρία2. Χαρακτηρισµός Τύπων2. Αντίφαση

14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� Για να εξακριβώσουµε ότι ένας τύπος είναι αντίφαση, πρέπει: � Είτε να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας.

� Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Ψ(ευδής)

Ορισµός:Ένας προτασιακός τύπος είναι αντίφαση αν είναι ψευδής για όλες τις αποτιµήσεις των µεταβλητών.

� Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Ψ(ευδής)� Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπουΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ο τύπος είναι αντίφασηΑ’ τρόπος:Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:

Συνεπώς είναι αντίφασηΒ’ τρόπος: Αν p=Ψ, τότε ο τύπος είναι Αν p=A, τότε ο τύπος είναι . ‘Αρα είναι αντίφαση.

( )pqp →¬∧

Α Α

Α Ψ

Ψ Α

Ψ Ψ

qp ( )pqp →¬∧( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Α¬∧Α( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Ψ¬∧Α( ) Ψ=Ψ¬∧Ψ=Ψ→Α¬∧Ψ( ) Ψ=Α¬∧Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ

Ψ=∧Ψ ...( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→¬∧Α q

B. Θεωρία2. Χαρακτηρισµός Τύπων3. Ικανοποιήσιµος Τύπος

15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

� Για να εξακριβώσουµε ότι ένας τύπος είναι ικανοποιήσιµος, πρέπει: � Είτε να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας.

� Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε τουλάχιστον µία γραµµή: Α(ληθής)� Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπου

Ορισµός: Ένας προτασιακός τύπος είναι ικανοποιήσιµος αν είναι αληθής για τουλάχιστον µία αποτίµηση των προτασιακών µεταβλητών.

� Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπουΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ο τύπος είναι ικανοποιήσιµοςΛύση:Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:

Άρα είναι ένας ικανοποιήσιµος τύπος (γιατί π.χ. ικανοποιείται µε την αποτίµηση p=A, q=A)

( )qpp →→

Α Α

Α Ψ

Ψ Α

Ψ Ψ

qp ( )qpp →→( ) ( ) Α=Α→Α=Α→Α→Α=→→ qpp( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Α→Α=→→ qpp

( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α→Ψ→Ψ=→→ qpp

( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Ψ→Ψ=→→ qpp

Σηµαντικό! Κάθε ταυτολογία είναι ικανοποιήσιµος τύπος!

B. Θεωρία3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή

16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

Ορισµός:Ένας τύπος είναι σε κανονική διαζευκτική µορφή (Κ∆Μ), αν είναι της µορφής:

όπου κάθε ψi είναι της µορφής:

Και τα xij είναι µεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών µεταβλητών

nψψψ ∨∨∨ ...21

1 2...

mi i ix x x∧ ∧ ∧

� Κάθε τύπος γράφεται σε κανονική διαζευκτική µορφή µε την εξής διαδικασία:

Και τα xij είναι µεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών µεταβλητών

B. Θεωρία3. Κανονική ∆ιαζευκτική ΜορφήΒήµα 1: Κατασκευή Αληθοπίνακα

17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί η Κ.∆.Μ. του τύπου: Λύση:Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:

( )rqp →¬→

Α Α Α

Α Α Ψ

qp ( )rqp →¬→r

( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Α¬→Α=→¬→ rqp

( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp

Ο πίνακας αληθεύει στην 2η, την 5η, την 6η, την 7η και την 8η γραµµή.

Α Α Ψ

Α Ψ Α

Α Ψ Ψ

Ψ Α Α

Ψ Α Ψ

Ψ Ψ Α

Ψ Ψ Ψ

( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp

( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Ψ¬→Α=→¬→ rqp

( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Ψ¬→Α=→¬→ rqp

( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Α¬→Ψ=→¬→ rqp

( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Α¬→Ψ=→¬→ rqp( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp

( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp

B. Θεωρία3. Κανονική ∆ιαζευκτική ΜορφήΒήµατα 2-3: Εξαγωγή Κανονικής ∆ιαζευκτικής Μορφής

18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

(…συνέχεια…)Γράφουµε κάθε γραµµή που αληθεύει ο τύπος σαν σύζευξη:

• Η 2η γραµµή:

• Η 5η γραµµή:

• Η 6η γραµµή:

rqp ¬∧∧

rqp ¬∧∧¬

rqp ∧∧¬

• Η 6 γραµµή:

• Η 7η γραµµή:

• Η 8η γραµµή:

Συνεπώς η κανονική διαζευκτική µορφή του τύπου είναι:

rqp ¬∧∧¬

rqp ∧¬∧¬

rqp ¬∧¬∧¬

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rqprqprqprqprqp ¬∧¬∧¬∨∧¬∧¬∨¬∧∧¬∨∧∧¬∨¬∧∧

( )rqp →¬→

Γ. Μεθοδολογία1. Γνωστές Μορφές Τύπων

19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί

Γ. Μεθοδολογία1. Γνωστές Μορφές Τύπων

20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί

Γ. Μεθοδολογία1. Γνωστές Μορφές Τύπων

21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί

∆. ΑσκήσειςΆσκηση Κατανόησης 1

22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

1. Να αποτιµηθεί ο τύπος:

∆εδοµένης της αποτίµησης α(p)=A, α(q)=Ψ, α(r)=Ψ

2. Να αποτιµηθεί ο τύπος:

)( qrpp ¬→↔¬∧

2. Να αποτιµηθεί ο τύπος:

∆εδοµένης της αποτίµησης α(p)=Ψ, α(q)=Ψ, α(r)=Ψ

)()( rqqp ∧¬∨∧¬

∆. ΑσκήσειςΆσκηση Κατανόησης 2

23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

Να κατασκευάσετε τον πίνακα αλήθειας των τύπων:

Α)

Β)

)()(1 qpqp ∨↔∧=φ

))(()(2 ppqpp →→→→=φ

Γ)

Και µε βάση τον πίνακα αλήθειας να εξετάσετε για κάθε τύπο, αν είναι ταυτολογία, αντίφαση ή ικανοποιήσιµος.

)()(3 qrrp →∨¬∧=φ

∆. ΑσκήσειςΆσκηση Κατανόησης 3

24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

Να εξετάσετε αν ο ακόλουθος τύπος είναι ταυτολογία, αντίφαση ή ικανοποιήσιµος κατασκευάζοντας τον πίνακα αλήθείας του:

( )rqp →→=1φ

∆. ΑσκήσειςΆσκηση Κατανόησης 4

25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

Να βρείτε την κανονική διαζευκτική µορφή του τύπου:

qpqp ∧→∨=1φ

∆. ΑσκήσειςΕρωτήσεις 1

26∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

Οι παρακάτω τύποι είναι ταυτολογίες.

1. 1 2 1( )p p p∨ →

2.

3.

4.

1 1 2( )p p p→ ∨

1 1 1 2( ( ))p p p p↔ ∨ ∧

1 1 2( )p p p→ →

∆. ΑσκήσειςΕρωτήσεις 2

27∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

Στους παρακάτω τύπους τα p1, p2 είναι προτασιακές µεταβλητές

1.1. Ο τύπος Ο τύπος είναι ταυτολογίαείναι ταυτολογία

2.2. Ο Ο τύπος τύπος είναι είναι ταυτολογίαταυτολογία

1 2 1( )p p p∨ →

1 2 1( )p p p∧ →2.2. Ο Ο τύπος τύπος είναι είναι ταυτολογίαταυτολογία

3.3. Ο τύπος Ο τύπος είναι είναι ταυτολογίαταυτολογία

4.4. Ο Ο τύπος τύπος είναι ταυτολογίαείναι ταυτολογία

1 2 1( )p p p∧ →

1 2 1 2( ) ( )p p p p∧ → ∨

( )212 ppp →→

∆. ΑσκήσειςΕφαρµογή 1

28∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

(Α) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις είναι τύποι της ΠΛ:

i) (p → ¬q) → (p¬q) ii) p ∧ q → (p → r) ∨ ¬q iii) p → (¬q → r ∨ q)iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q)) iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q)) v) p → q → rvi) p ∨ q → (¬q → r ∧ q)

(Β) Ποιές από τις εκφράσεις του ερωτήµατος 1 που είναι τύποι, είναι της µορφής: i) φ → ψ, ii) φ → (ψ → χ). Σε κάθε µια από τις περιπτώσεις, εξηγείστε ποιοι είναι οι αντίστοιχοι υποτύποι φ, χ, ψ.

∆. ΑσκήσειςΕφαρµογή 2

29∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

Βρείτε µία αποτίµηση που να ικανοποιεί την πρόταση

Αιτιολογήστε Αιτιολογήστε την απάντησή σας.την απάντησή σας.

3 3 1 1 1 2 1 2 3 4

1 4 2 2 4 5 6 3 2 3 6 5

(( ) ) (( ) ) ( )

( ) ( ) ( )

p p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p p p

∨ ¬ → ∧ ∨ ¬ → ∧ ∧ ∧ →∧ ∧ → ¬ ∧ ∧ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬ → ∧ ∧ ¬ ∧ → ¬

Αιτιολογήστε Αιτιολογήστε την απάντησή σας.την απάντησή σας.