20 επαναληπτικά-θέματα-2015-2016

20 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου

(τεύχος 4 – σχολικό έτος 2015-2016)

Γράφουν οι μαθηματικοί: Βασιλόπουλος Κώστας

Βέρρας Οδυσσέας

Καρύμπαλης Νώντας

Κώνστας Χάρης

Λιτζερίνος Χριστόδουλος

Μπούζας Δημήτρης

Παπαπαναγιώτου Κώστας

Πετρόπουλος Βασίλης

ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς από:

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!


20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)

2

Θέμα 1ο

Δίνεται η συνάρτηση 2xf x e x x .

Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένας αριθμός 1,0 τέτοιος ώστε: 2 1 0e .

Β. Να δείξετε ότι 2 1f x , για κάθε x R , όπου ο αριθμός του ερωτήματος 1.

Γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2016

2015f x στο R .

Δ. Να αποδείξετε ότι: 2 2 2 21 2 3f x f x f x f x , για κάθε 0x .

Ε. Έστω ένα σημείο ,x t y t το οποίο διατρέχει τη γραφική παράσταση της f . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή ot , με 1,0ox t , ώστε ο ρυθμός μεταβολής της

τεταγμένης του Μ, ως προς το χρόνο t , να μηδενίζεται.

Θέμα 2ο

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R , με συνεχή πρώτη παράγωγο και 0 0f , για την

οποία ισχύει: 2f x

e e f x x , για κάθε x R .

Α. Να βρεθεί το 0f .

Β. Να δείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα.

Γ. Αν επιπλέον ισχύει ότι 0

0f x f

x

, για κάθε 0x , να δείξετε ότι η f είναι γνησίως

αύξουσα στο R .

Δ. Να αποδείξετε ότι 2 1 2ln 0f x f x , για κάθε 0x .



3

Θέμα 3ο

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το R και 0f x , για κάθε x R , για

την οποία ισχύει: ln f x f x x , για κάθε x R .

Α. Να δείξετε ότι:

Α.1

1

f xf x

f x

, για κάθε x R .

Α.2 Η f είναι κυρτή.

Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο 1, 1f

Γ. Να αποδείξετε ότι 6 2

2 15f x dx dt

Δ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 2,4 , τέτοιο ώστε

2

4

22

1

f xdx f f

f x

Θέμα 4ο

Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το διάστημα 1,4 .

Α. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, τότε να δειχθεί ότι:

1) η εξίσωση 0f x έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο R.

2) υπάρχει ένας τουλάχιστον R , τέτοιος ώστε f f

3) η εξίσωση 2xf x e x f x έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

Β. Έστω επιπλέον συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το R, παραγωγίσιμη με παράγωγο g

συνεχή και γνησίως μονότονη. Αν ισχύει 1 xg f x e f x , για κάθε x R , να δειχθεί ότι:

1g x g .



4

Θέμα 5ο

Δίνεται η συνάρτηση ln 1x

g xx

, με 0x και η συνάρτηση 2f x x x g , με

x R και 0 .

Α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Β. Για τις διάφορες τιμές του α, να βρεθεί πλήθος των ριζών της εξίσωσης 0f x .

Γ. Για 1 .

1) Να αποδειχθεί ότι από το σημείο 0, 2 άγονται ακριβώς δύο εφαπτομένες της fC .

2) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο ,x y της fC , με 0,1x , όπου κατά τη

χρονική στιγμή ot , ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του oy t είναι διπλάσιος από

αυτόν της τετμημένης του ox t , αν υποθέσουμε ότι , 0o ox t y t .

Δ. Να υπολογιστεί το όριο lim 1x

g x g x



5

Θέμα 6ο

Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση :f R R , με 0f x για κάθε x R , για την οποία

επιπλέον ισχύουν:

11

lim 20161x

fx

x

,

x

f xf x


Α. Να βρεθεί το 0f και στη συνέχεια να βρεθεί ο τύπος της f .

Β. Να βρεθεί το σημείο της fC που έχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο 1,0

Γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο R.

Δ. Να αποδείξετε, ότι για κάθε 0x , ισχύει 2 2 2

x x xf x f f

.

Ε. Να αποδειχθεί ότι 2

02 2f x dx



6

Θέμα 7ο

Δίνεται κύκλος C με κέντρο το σημείο 1,2 και ακτίνα 2 . Έστω συνάρτηση f ,

παραγωγίσιμη στο R, της οποίας η γραφική παράσταση fC διέρχεται από τα σημεία του

επιπέδου Κ και 4,1 .

Α. Να βρεθούν οι διαστάσεις του εγγεγραμμένου, στον κύκλο C, ορθογώνιου

παραλληλογράμμου που έχει το μέγιστο εμβαδό.

Β. Να αποδειχθεί ότι η fC τέμνει τον κύκλο σε τουλάχιστον ένα σημείο με τετμημένη

1,4ox .

Γ. Έστω ότι η fC και ο κύκλος C έχουν δύο κοινά σημεία με τετμημένες 1x και 2x αντίστοιχα,

όπου 1 21 4x x . Να δειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία της fC με τετμημένες

1 2, 1,4 στα οποία οι εφαπτομένες είναι μεταξύ τους κάθετες.



7

Θέμα 8ο

Έστω συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύουν: 1 1f και

2

f xf x xe


Α. Να βρεθεί ο τύπος και τα σημεία καμπής της f .

Β. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: 21 ln 1e x για τις διάφορες τιμές

της παραμέτρου α, με R .

Γ. Να αποδειχθεί ότι: 1

00 ln 2f x dx

Δ. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 1

2

0x f x dx

Ε. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει 2015,2016 τέτοιο ώστε

2ln2

2

1 2016 1ln

2015 1e

ΣΤ. Έστω η συνάρτηση 1

g x f x fx

, με 0x . Να αποδειχθεί ότι:

2 4 3 5g g g



8

Θέμα 9ο

Έστω συνεχής συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το διάστημα 0, , για την οποία ισχύει

ότι f xf x e x , για κάθε x .

Α. Να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α.

Β. Να αποδειχθεί ότι: ln

2

xf x x , για κάθε 0x .

Γ. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f .

Δ. Να βρεθεί η αντίστροφη της f και να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των fC και 1fC

έχουν κοινή εφαπτομένη στο 0ox .

Ε. Να λυθεί η εξίσωση: 2 2ln 1f f e , αν 0 .

ΣΤ. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: 0

e

f x dx



9

Θέμα 10ο

Έστω συνάρτηση f , δυο φορές παραγωγίσιμη στο 2,2 , για την οποία ισχύει ότι:

2 2 3 0f x x f x x , για κάθε 2,2x .

Α. Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο x , με 0 2 , να αποδειχθεί ότι 2f και

στη συνέχεια να προσδιοριστεί το .

Β. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f , fC , δεν έχει σημεία καμπής.

Γ. Αν επί πλέον η f είναι συνεχής στο R, τότε:

1) Να δειχθεί ότι η εξίσωση 1 1

22 2 2

x x xf f f

είναι αδύνατη.

2) Να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία

και τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της f .

3) Να αποδειχθεί ότι 2

04f x dx .



10

Θέμα 11ο

Έστω συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

1xf x f x e x f x f x , για κάθε x R .

Α. Αν επιπλέον ισχύει ότι 0 2f , να δειχθεί ότι ο τύπος της f είναι 1xf x e x .

Β. Αν 1 1

1f f

, με , R , να αποδειχθεί ότι 2 0f x dx

.

Γ. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί , ώστε να ισχύει 2x f x f x , για

κάθε x R .

Δ. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

2

1x

xg x

e x

, την κατακόρυφη ευθεία 1x και τους άξονες x x και y y .

Ε. Να αποδειχθεί ότι 2 0xe xe e x για κάθε 0x .



11

Θέμα 12ο

Έστω συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο R, με f συνεχή και 0f x για κάθε x R .

Α. Έστω

1

ln lne x f xI dx

x

1) Να δειχθεί ότι 1

1 02

I f f .

2) Αν ισχύει ότι 1

2I , να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή.

3) Αν επιπλέον ισχύει ότι 2016 0f , τότε να αποδειχθεί ότι 2015 2017 0f f .

Β. Επιπλέον ισχύει ότι

2

1

lnlim

1x

f x x x

x

, με R , τότε:

1) να βρεθεί το 1f

2) να βρεθεί το 1f

3) να δειχθεί ότι 1f x , για κάθε x R .



12

Θέμα 13ο

Έστω συνάρτηση : 0,f R για την οποία ισχύουν:

2 1 1f x y f x f y x y (1), για κάθε , 0,x y

Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 με 1 2f .

Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, .

Β. Αν 4

2f xx

, με 0x , τότε να μελετήσετε την f ως προς:

1) τη μονοτονία και το είδος των ακροτάτων.

2) την κυρτότητα.

Γ. Να βρεθεί ο τύπος της f .

Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC , τον x x και τις

κατακόρυφες ευθείες 1x , x με 0,1 .

Ε. Να υπολογιστεί το 0

limx



13

Θέμα 14ο

Έστω συνάρτηση f , δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει:

1 3f x f x x , για κάθε x R .

Α. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν , 0,1ox τέτοια ώστε:

1) 0f

2) 3of x

Β. Να δειχθεί ότι 1

3x f x dx

.

Γ. Αν επιπλέον ισχύει 2

02f x dx , τότε να:

1) υπολογιστεί η τιμή του 1

0f x dx

2) δειχθεί ότι 24 1 4 6 1F x F x x , για κάθε x R , όπου F μια αρχική της f στο

R.



14

Θέμα 15ο

Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα 0,2fD . Δίδεται ότι:

η f είναι παραγωγίσιμη στο fD με f συνεχή.

0

lim ln 2016x

f x x x x

2

limx

f x

Έστω, επίσης, συνάρτηση

, 0,2

0 , 0

0 , 2

f xe x

K x x

x

Α.

1) Να βρεθεί το

0lim

f x

xe

2) Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον 0,2 ώστε 0f

Β. Αν επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2 , 1f και

5

9 5

15 1 1x f x dx f f

, τότε να δειχθεί ότι:

1) 1

2) η g είναι κυρτή, όπου 3 3 2112 2 ln 6

3g x f x x x x x , με 0,2x



15

Θέμα 16ο

Δίνεται συνάρτηση :f R R με τύπο: 3

2 1

4, 0

1

2 3 , 0

x

x

x x

ef x x

ef x

e e x

Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η f είναι συνεχής στο ,0 τότε:

Α. Να δειχθεί ότι:

1) η f είναι γνησίως φθίνουσα και κυρτή στο 0, .

2) 0, 2,f

Β. Να δειχθεί ότι:

1) η f είναι γνησίως αύξουσα στο ,0

2) ,0 0,1f

Γ. Να αποδειχθεί ότι η f είναι "1 1" και να βρεθεί η 1f .

Δ. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3 2f x f x έχει ακριβώς δύο ρίζες.

Ε. Να αποδειχθεί ότι για κάθε 0x υπάρχει μοναδικό 0,1 τέτοιο ώστε:

2 1

22 2 2f x f x e e f f x f f x



16

Θέμα 17ο

Δίνονται οι συναρτήσεις ,f g για τις οποίες ισχύει: 1f x x x x , με , x R και

και 2

lng x

g x xx

για κάθε 1x .

Α. Αν 1 0f x , για κάθε x R , τότε να βρείτε την τιμή του α και τον τύπο της f .

Β. Αν 1g e να βρεθεί ο τύπος της g στο 1, .

Γ. Αν 2

lng x x σε όλο το διάστημα 0, , τότε να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδική

τιμή 0,1ox για την οποία η διαφορά f x g x να γίνεται ελάχιστη.

Δ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό ζευγάρι σημείων 1 , f της fC και

2 , g της gC , με 0, , στα οποία οι ,f gC C να δέχονται παράλληλες

εφαπτομένες.

Ε. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις ,f gC C και τις κατακόρυφες

ευθείες 1x και x e .

ΣΤ. Να υπολογιστεί το όριο

1

1lim

1

x

x

x

g xx

f x



17

Θέμα 18ο

Έστω η συνάρτηση 1 31 12 2

3 3

xf x g x e x x , με τη συνάρτηση g παραγωγίσιμη και

κυρτή για κάθε x R .

Α. Δίνεται η συνάρτηση 1 22 2xw x e x . Να δειχθεί ότι:

1) η w είναι γνησίως αύξουσα στο R.

2) ισχύει 222 2

lnxx e

x xe e , για κάθε 0x .

Β. Επιπλέον για τη g ισχύει 2

1

3 1lim

1 2x

g x x

x

.

1) να υπολογιστούν τα 1g και 1g .

2) να δειχθεί ότι η f είναι κυρτή.

3) να δειχθεί ότι 3f x x , για κάθε x R .

4) Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC , τους άξονες ,x x y y και την

1x , να αποδειχθεί ότι 2 5 .



18

Θέμα 19ο

Έστω οι συναρτήσεις ,f g παραγωγίσιμες και κυρτές σε όλο το R.

Α. Αν η g έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την ευθεία y l , με l R , τότε να αποδειχθεί

ότι:

1) 0g x , για κάθε x R .

2) η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

3) g x l , για κάθε x R .

Β. Αν η f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο την ευθεία : y x , με *R και R ,

τότε να αποδειχθεί ότι f x x για κάθε x R .

Θέμα 20ο

Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το 0, , για την οποία ισχύει

ότι: f είναι συνεχής , 0f x και 2

ln 0f x f x x f x , για κάθε x R .

Α. Να δειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η 1f .

Β. Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό 1

1,ox ee

τέτοιο ώστε 2of x .

Γ. Να βρεθεί η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .

Δ. Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1ox και ότι 11 1 1f f

Ε. Να υπολογιστεί το όριο 1limx

f x f x

.

20 επαναληπτικά-θέματα-2015-2016

Education

Transcript of 20 επαναληπτικά-θέματα-2015-2016