20 02 2013 Teoremas Probabilidade Total e Bayes

MATA44 - Estatística V

Prof. Gabriel Bahia Caldas

Departamento de EstatísticaInstituto de Matemática

Universidade Federal da BahiaBaseado em Material de Leila Amorim, Maristela Oliveira e Ângelo Sant’anna

20 de fevereiro de 2013

Copyright c©2012, G. B. Caldas MATA44 - Estatística V Fev/2013 1 / 20

Axiomas de Probabilidade

1. 0 ≤ p ≤ 1, para todo evento A ⊂ Ω;

2. P(Ω) = 1;

3. Se A e B eventos são mutuamente exclusivos,P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Propriedades

1. Se φ é um evento impossível, então P(φ) = 0;

2. Se A é o complementar de A, entãoP(A) = 1 − P(A);

3. Se A e B são eventos quaisquer em Ω, entãoP(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B);

4. Se A ⊂ B , então P(A) ≤ P(B)

5. Para quaisquer três eventos A, B e C em Ω,P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )− P(A ∩ B)−P(A ∩ C )− P(B ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C )


Probabilidade Condicional Motivação

Motivação

Suponha que a tabela a seguir resuma as informações de umlevantamento em relação a aprovação ou não de 1000 pessoas novestibular de uma universidade em determinado ano segundo oseu estado civil.

Estado Civil Resultado do Vestibular TotalAprovado Reprovado

Solteiro 120 80 200Casado 45 55 100

Separado 180 120 300Outros 255 145 400Total 600 400 1000

Qual a probabilidade de selecionarmos ao acaso uma pessoa aprovadano vestibular, sabendo que ela é separada?


Probabilidade Condicional Definição

Probabilidade Condicional

Dados dois eventos A e B associados a um mesmo espaço amostralΩ, sendo P(A) > 0 e P(B) > 0, a probabilidade de ocorrência doevento B , condicionada à ocorrência do evento A (ou probabilidadede B dado A), é definida por:

P(B |A) =P(A ∩ B)

P(A)

ou equivalentemente, a probabilidade de ocorrência de A dada aocorrência de B é:

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B).


Probabilidade Condicional Exercício

Exercício

1. Com os dados apresentados na tabela, calcule a probabilidade deo vestibulando ser casado dado que foi reprovado no vestibular.



Teorema do Produto

Às vezes queremos determinar a probabilidade de ocorrerem doiseventos ao mesmo tempo, ou um em seguida do outro;

Considere uma urna com 3 bolas brancas e 2 azuis;

Ao se retirar duas bolas da urna, sem reposição, qual a probabilidadede a primeira ser azul, e a segunda ser branca?



Teorema do Produto (ou da Multiplicação)

Se A e B são dois eventos quaisquer associados ao mesmo espaçoamostral, com probabilidades positivas, então, a probabilidade daocorrência simultânea de A e B , P(A ∩ B), é definida por:

P(A ∩ B) = P(A).P(B |A) = P(B).P(A|B)

2. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Retira-se 2 peçasdo lote, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidadede que ambas sejam boas?



Dizemos que dois eventos são estatisticamente independentes quando aocorrência de um não interfere na ocorrência do outro.

Independência Estatística

Se o evento A é estatisticamente independente do evento B , então,P(A|B)=P(A) e P(B|A)=P(B). Portanto,

P(A ∩ B) = P(A).P(B),

pelo teorema do produto.

8. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Retira-se 2 peçasdo lote, uma após a outra, com reposição. Qual a probabilidadede que:

a. ambas sejam boas;

b. a primeira seja defeituosa e a segunda seja boa.



Dados n eventos, diremos que eles são independentes se eles foremindependentes 2 a 2, 3 a 3, n a n.Isto é, se forem verificadas todas as seguintes igualdades:

1 2 a 2,

P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2), . . . ,P(An−1 ∩ An) = P(An−1)P(An)

2 3 a 3,P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2)P(A3), . . . ,

P(An−2 ∩ An−1 ∩ An) = P(An−2)P(An−1)P(An)

...

n-1 n a n,P(A1 ∩ A2 · · · ∩ An) = P(A1)P(A2) . . .P(An)



4. Certo aparelho eletrônico tem duas lâmpadas que podem estaracesas ou apagadas, tendo sido observadas as seguintes proba-bilidades:

Lâmpada 1 Lâmpada 2Acesa Apagada

Acesa 0, 15 0, 45Apagada 0, 10 0, 30

A tabela mostra, por exemplo, que ambas as lâmpadas estavamsimultaneamente apagadas 30% das vezes.

a) O fato de a lâmpada 1 estar acesa é independente de a lâmpada 2estar acesa?

b) O fato de a lâmpada 1 estar apagada é independente de a lâmpada 2estar acesa?



5. Dois dados são lançados simultaneamente. Definem-se os eventos:

A =Sair valor par em ambos

B =Sair valor ímpar em ambos

C =Sair soma igual a seis

a) A e B são mutuamente exclusivos? E A e C? E B e C?

b) A e B são independentes? E A e C? E B e C?

c) Quanto valem P(A|C ), P(C |A), P(A|B), P(B |C ), P(C |B)?


Teorema da Probabilidade Total

Considere o espaço amostra Ω associado a um experimento aleatório.Dizemos que uma partição desse espaço amostral é uma coleção de eventosmutuamente exclusivos, e tais que a união desses eventos resultam em todoo espaço amostral Ω.

Partição de Ω

Se os eventos A1,A2, . . . ,An são tais que:

1 (Ai ∩ Aj) = ∅, ∀i 6= j

2 ∪ni=1Ai = Ω

Então A1,A2, . . . ,An formam uma partição de Ω


Teorema da Probabilidade Total Definição

Inicialmente considere que o espaço amostral Ω está dividido poruma partição formada pelos eventos A e A. Sejam B , C e D even-tos quaisquer em Ω. Então, podemos encontrar as probabilidadesassociadas a estes eventos da seguinte forma:P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A) = P(B |A)P(A) + P(B |A)P(A)P(C ) = P(C |A)P(A) + P(C |A)P(A)P(B) = P(D|A)P(A) + P(D|A)P(A)



Exemplo

Exemplo

6. Considere que estejamos interessados em verificar a reação de um testelaboratorial para certa enfermidade. Sejam então os eventos a seguir:A=Ter a enfermidade =⇒ A=Não ter a enfermidadeB=Apresentar reação positiva no teste laboratorial para a referidaenfermidadeSuponha P(A) = 0, 2, P(B |A) = 0, 6 e P(B |A) = 0, 3, quanto valeP(B)?



Teorema da Probabilidade Total

De modo geral, se supusermos a seguinte partição de Ω :A1,A2, . . . ,An, tal que P(Ai ) 6= 0, para i = 1, 2, . . . , n, e sendo

F um evento qualquer de Ω, então:

P(F ) = P(F ∩ A1) + P(F ∩ A2) + · · ·+ P(F ∩ An)

= P(A1)P(F |A1) + P(A2)P(F |A2) + · · ·+ P(An)P(F |An)

=n∑

i=1

P(Ai )P(F |Ai ).


Teorema da Probabilidade Total Exercício

7. Suponha que temos 3 dados, um azul, um vermelho e um ama-relo. O dado vermelho tem duas faces de número 1 e quatrofaces de número 2. O dado azul tem quatro faces de número 1e duas número 2, e o dado amarelo tem 3 faces de número 1 e 3faces de número 2. Considere que a probabilidade de selecionarao acaso o dado azul seja de 2

3 e os dados vermelho e amarelotêm probabilidade 1

6 cada um. Então, selecione ao acaso umdos dados, jogue-o e observe a face voltada para cima. Qual aprobabilidade de sair a face 2?


Teorema de Bayes

Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionaisé dada pelo Teorema de Bayes. A versão mais simples desse teorema édada por:

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

P(B |A)P(A)

P(B)


Teorema de Bayes Motivação

Para generalizar o Teorema de Bayes, vamos utilizar o seguinte exemplo:8. Temos 5 urnas, cada uma com 6 bolas. Duas dessas urnas

(tipo C1) têm 3 bolas brancas, duas outras (tipo C2) têm 2bolas brancas, e a última urna (tipo C3) tem 6 bolas brancas.Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola aoacaso. Qual a probabilidade de a urna escolhida ter sido do tipoC3, sabendo-se qua a bola sorteada é branca?


Teorema de Bayes Definição

Generalizando o resultado, temos:

Teorema de Bayes

Seja C1,C2 . . . ,Cn uma partição do espaço amostral Ω. Considereum evento qualquer A em Ω. Supomos conhecidas as probabilidadesP(Ci ) e P(A|Ci ), i = 1, 2, . . . , n. Então temos o seguinte resultado:Teorema de Bayes: A probabilidade de ocorrência do evento Ci ,supondo-se a ocorrência do evento A é dada por:

P(Ci |A) =P(Ci ∩ A)

P(A)

=P(Ci )P(A|Ci )∑nj=1 P(Cj)P(A|Cj)

, i = 1, . . . , n.



Generalizando o resultado, temos:

Teorema de Bayes

Seja C1,C2 . . . ,Cn uma partição do espaço amostral Ω. Considereum evento qualquer A em Ω. Supomos conhecidas as probabilidadesP(Ci ) e P(A|Ci ), i = 1, 2, . . . , n. Então temos o seguinte resultado:Teorema de Bayes: A probabilidade de ocorrência do evento Ci ,supondo-se a ocorrência do evento A é dada por:

P(Ci |A) =P(Ci ∩ A)

P(A)

=P(Ci )P(A|Ci )∑nj=1 P(Cj)P(A|Cj)

, i = 1, . . . , n.

O teorema de Bayes é útil quando conhecemos as probabilidades dosCi e a probabilidade condicional de A dado Ci , mas não conhecemosdiretamente a probabilidade de A.



Exercício

9. Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatosum curso de treinamento durante uma semana. No final do curso, elessão submetidos a uma prova e 25% são classificados como bons, 50%são classificados como médios, e os restantes são classificados comofracos. Para facilitar a seleção, a empresa pretende substituir otreinamento por um teste contendo questões referentes aconhecimentos gerais e específicos. Para isso, gostaria de conhecerqual a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste serconsiderado fraco, caso fizesse o curso. Assim, neste ano, antes doinício do curso, os candidatos foram submetidos ao teste e receberamo conceito aprovado ou reprovado. No final do curso, foi verificadoque dentre os que foram classificados como bons no curso 80% foramaprovados no teste, dentre os que foram classificados como médios nocurso, 50% passaram no teste e dentre os que foram classificadoscomo fracos no curso, 20% foram aprovados no teste. Então qual ovalor da probabilidade de o candidato ser classificado como fraco nocurso dado que ele foi aprovado no teste?


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