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MOVIMENTO CIRCULAR ATIVIDADE 1 Professor Me.Claudemir C. Alves

1- Velocidade Angular (ω) Um ponto material “P”, descrevendo uma trajetória circular de raio “r”, apresenta uma variação angular (∆φ) em um determinado intervalo de tempo (∆t). A relação entre a variação angular (∆φ) e o intervalo de tempo (∆t) define a velocidade angular do movimento. Em que: ω = velocidade angular [rad/s] ∆φ = variação angular [rad] ∆t = variação de tempo [s]

2 – Período (T) É o tempo necessário para que um ponto material “P”, movimento-se em uma trajetória de raio “r”, complete um ciclo, ou uma volta.

Em que: T = período [s] ω = velocidade angular [rad/s]

π = constante trigonométrica 3,1415...

3 – Freqüência (f ) É o número de ciclos ou volta que o ponto material “P” descreve em um segundo, movimentando-se em trajetória circular de raio “r”. A freqüência (f) é o inverso do período “T”. Em que: f = freqüência [Hz] T = período [s] ω = velocidade angular [rad/s]

π = constante trigonométrica 3,1415...

4 – Radiano É o arco de circunferência cuja medida é o raio.

5 – Rotação (n) É o número de ciclos ou voltas que um ponto material “P”, movimentando-se em uma trajetória circular de raio “r”, descreve em um minuto. Desta forma, podemos escrever que: Como f = ω / 2 x π , tem-se: n = 60 x ω / 2 x π , portanto

Em que:

n = rotação [rpm] f = freqüência [Hz] ω = velocidade angular [rad/s]

π = constante trigonométrica 3,1415...

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6 – Velocidade Periférica ou Tangencial (v) A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de trajetória a cada instante, porém o seu módulo permanece constante.

A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade angular (ω) é definida pelo raio da peça.

v / ω = r , portanto v = ω x r mas, isolando-se ω na expressão da rotação, obtém-se:

substituindo-se ω na expressão anterior, obtém-se:

Em que: v = velocidade periférica [m/s]

π = constante trigonométrica 3,1415...

n = rotação [rpm] r = raio [m] ω = velocidade angular [rad/s]

Exercícios 1 – A roda da figura possui d = 300 mm, gira com velocidade angular ω = 10 π rad/s. Determinar para o movimento da roda:

a) Período (T) b) Freqüência (f) c) Rotação (n) d) Velocidade periférica (vp)

2 – O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação n = 1740 rpm. Determine as seguintes caracter´sticas de desempenho do motor:

a) Velocidade angular (ω) b) Período (T) c) Freqüência (f)

3 – O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d = 660 mm), viajando com um movimento que faz com que as rodas girem com n = 240 rpm. Qual a velocidade do ciclista? V [Km/h]

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MOVIMENTO CIRCULAR RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO (i) – ATIVIDADE 2

Professor Me. Claudemir Claudino Alves

7 – Relação de Transmissão (i) Transmissão por Correias

Transmissão redutora de velocidade Transmissão ampliadora de velocidade

Em que: i = relação de transmissão [adimensional] d1 = diâmetro da polia 1 (menor) [m,...] d2 = diâmetro da polia 1 (maior) [m,...] ω1 = velocidade angular 1 [rad/s] ω2 = velocidade angular 2 [rad/s] f1 = freqüência 1 [Hz] f2 = freqüência 2 [Hz] n1 = rotação 1 [rpm] n2 = rotação 2 [rpm] MT1 = torque 1 [Nm] MT2 = torque 2 [Nm]

Exercícios 4 – A transmissão por correias , representada na figura, é composta por duas polias com os seguintes diâmetros respectivamente: Polia 1 motora d1 = 100 mm Polia 2 movida d2 = 180 mm A polia 1 (motora) atua com

velocidade angular ω = 39 π rad/s.

Determinar para a transmissão:

a) Período da polia 1 (T1) b) Freqüência da polia 1 (f1) c) Rotação da polia 1 (n1) d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) e) Freqüência da polia 2 (f2)

f) Período da polia 2 (T2) g) Rotação da polia 2 (n2) h) Velocidade periférica da transmissão (vp) i) Relação de transmissão (i)

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MOVIMENTO CIRCULAR TORÇÃO SIMPLES – ATIVIDADE 3

Professor Me. Claudemir Claudino Alves Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção, quando sofre a ação de um torque (MT) em uma das extremidades e um contratorque (M’T) na extremidade oposta.

8 – Momento Torçor ou torque (MT) É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior). MT = torque (Nm) F = carga aplicada (N) S = distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (m) Exemplo 1: Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A carga

aplicada nas extremidades da haste é F = 80N. O comprimento da haste é l = 200 mm.

MT = 2 x F x s

MT = 2 x 80 Nm x 100 mm

MT = 16000 N mm

MT = 16 Nm

9 – Torque nas Transmissões Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a força tangencial (FT) e o raio da peça. Em que: MT = Torque [Nm] FT = Força tangencial [N] r = raio da peça [m]

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Exemplo 1 A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora 1 que possui diâmetro d1 = 100 mm e a polia movida 2 que possui diâmetro d2 = 240 mm. A transmissão é acionada por uma força tangencial FT = 600 N. Determinar para a transmissão:

a) Torque na polia 1 b) Torque na polia 2

Resolução;

a) Torque na polia 1

a1 – raio da polia 1 r1 = d1 / 2 = 100 mm / 2 r1 = 50 mm r1 = 0,05 mm a2 – Torque na polia 2 MT1 = FT x r1 MT1 = 600 N x 0,05 m MT1 = 30 Nm

b) Torque na polia 2 b1 - raio da polia 2 r2 = d2 / 2 = 240 mm / 2 r1 = 120mm r1 = 0,12 mm b2 – Torque na polia 2 MT2 = FT x r2 MT2 = 600 N x 0,12 m MT2 = 72 Nm

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10 – Potência (P) Define-se por meio do trabalho realizado na unidade de tempo. Tem-se então:

Como τ = F x s , conclui-se que :

Mas, vp = S / t , portanto P = F x vp

Unidade de [P] [ Nm / s = J / s = W ] Unidade de potência (P) no SI. Em que: P = potência [W] W = Watt FT = força tangencial [N] vp = velocidade periférica [m/s] No século XVIII ao inventar a máquina a vapor James Watt decidiu demonstrar ao povo inglês quantos cavalos equivalia a sua máquina.

Para isso, efetuou a seguinte experiência: F = Qmáx = 76 kgf Carga máxima que o cavalo elevou com velocidade V= 1 m/s. Resultando em: P = F x v P 76 kgf x 1 m/s P = 76 kgf x m/s Como: Kgf = 9,80665 N P = 76 x 9,80665 N x 1 m/s P = 745,... Nm/s, a unidade Nm/s = 1 W, homenagem a J. Watt, surgiu dessa a experiência o HP (horse power). hP = 745,....W – cuja utilização é vedada no SI. Após algum tempo a experiência foi repetida na França constatando-se que Q = 75 kgf. Resultou daí o cv (cavalo vapor) P = F x v P 75 kgf x 1 m/s P = 75 kgf x m/s Conclui-se então que: P = 75 x 9,80665 N m/s P = 735,5 W temporariamente permitida a utilização no SI.

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Relações Importantes hp = 745,... W (horse Power) – vedada a utilização no SI. ( unidade de potência ultrapassada) cv = 735,5 W (cavalo vapor) permitida temporariamente a utilização no SI.

11 – Torque x Potência Substituindo-se as equações II e III em I, tem-se: Em que: P = potência [W] MT = torque [Nm] ω = velocidade angular [rad/s] n = rotação [rpm]

Como: tem-se Ou

12 – Força Tangencial (FT) Em que: FT = força tangencial [N] MT = torque [Nm] r = raio da peça [m] P = potência [W] vp = velocidade periférica [m/s] ω = velocidade angular [rad/s]

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Cálculo da Potência do motor elétrico.

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Cálculo da Carga aplicada pelo operador.

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Exercícios

5 – A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico com potência P = 5.5 Kw com rotação n = 1720 rpm chavetando a polia 1 do sistema. As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: Polia 1 motora d1 = 120 mm Polia 2 movida d2 = 300 mm Desprezar as perdas. Determinar para a transmissão:

a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1) b) Freqüência da polia 1 (f1) c) Torque da polia 1 (MT 1) d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) e) Freqüência da polia 2 (f2) f) Rotação da polia 2 (n2) g) Torque da polia 2 (MT 2) h) Relação de transmissão (i) i) Velocidade periférica da transmissão (vp) j) Força tangencial da transmissão (FT)

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EXERCÍCIO PROPOSTO

1 – A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por meio da polia 1 por um motor elétrico com potência P = 7,5 kW (P = 10 cv) e rotação n = 1140 rpm. As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: Polia 1 motora d1 = 120 mm Polia 2 movida d2 = 220 mm Determinar para a transmissão:

a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1) b) Freqüência da polia 1 (f1) c) Torque da polia 1 (MT 1)

d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) e) Freqüência da polia 2 (f2) f) Rotação da polia 2 (n2) g) Torque da polia 2 (MT 2) h) Velocidade periférica da transmissão (vp) i) Força tangencial da transmissão (FT) j) Relação de transmissão (i)