2 HOMOTECIA Edición Aniversario Nº 1 – Año 2 Lunes, 2 de ...

2 HOMOTECIA Edición Aniversario Nº 1 – Año 2 Lunes, 2 de Febrero de 2004

HOMOTECIA Edición Aniversario Nº 1

Derivada de una función.-

Consideremos la siguiente gráfica:

Cuando 0,0 xxh →→ y PQ tiende a convertirse en

Luego:

xfLimmTg

xxPT

(

0

==→

↔θ

La derivada de una función f en un punto x0, geométricamente expresa la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto:

Como por cada punto de la curva que representa gráficamente a la función se puede trazar una recta tangente,

generalizar: Sea f una función real. Entonces,

que )()()(

0xf

h

xfhxfLimh

′=−+→

existe y es finito. El valor

Edición Aniversario Nº 1 – Año 2 Lunes, 2 de Febrero de 2004

TRABAJANDO EN CÁLCULO

tiende a convertirse en PT .

xfLim

xhx

xfhxfLim

xx

xfxhh

()()()() 0

000

00

00

0 =−+−+

=−−

→→

, geométricamente expresa la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto:

)( 0xfm ′=

Como por cada punto de la curva que representa gráficamente a la función se puede trazar una recta tangente,

una función real. Entonces, f es derivable o diferenciable en todo punto de su dominio

existe y es finito. El valor )(xf ′ de este límite se denomina derivada de la función

____PQ : Recta secante a f(x) en

___

PS : Recta secante a f(x) en P y S.

___

PT : Recta tangente a f(x) en

xx

xfxfTgm o

PQ

)()(

0−−

==↔ θ

3

h

xfh )() 00 −+

, geométricamente expresa la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto:

Como por cada punto de la curva que representa gráficamente a la función se puede trazar una recta tangente, esta definición se puede

es derivable o diferenciable en todo punto de su dominio )( fDomx ∈ si se cumple

este límite se denomina derivada de la función f.

Prof. Rafael Ascanio H.

en P y Q.

P y S.

en P.


RACIONALIZACIÓN

Br: Luis Alejandro Díaz Bayona. Correo-e: [email protected]

Ahora, continuando con la secuencia de publicación, toca el segundo caso.

Caso 2: Expresiones de la forma:

cb

an ±±±±

(siendo n el índice radical)

Trabajaremos solamente dos ejemplos: cuando n=2 y n=5.

Para n=2

a)

cb

a

−

Solución: Análogamente que en la forma nn cb

a

±±±±, se aplicará la definición de factor racionalizante, pero para simplificar cálculos lo aplicaremos de la siguiente forma: (((( )))) r

r1n1n

0r

n .cb−−−−−−−−−−−−

====∑∑∑∑

,

por ser el denominador una resta. El límite superior será 1:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) cb.cb.cb.cb 11-100-1rr-11

0r

++++====++++====∑∑∑∑====

Multiplicando y dividiendo la fracción original por el factor racionalizante: (((( ))))2c-b

cba.

cb

cb.

cb

a ++++====++++++++

−−−−

b)

cb

a

++++

Solución: El factor racionalizante es: (((( )))) (((( ))))rr1n1n

0r

n c-.b−−−−−−−−−−−−

====∑∑∑∑ , por ser el denominador una suma. El límite superior será 1.

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) cbc-.bc-.bc-.b 11-100-1rr-11

0r

−−−−====++++====∑∑∑∑====

Multiplicando y dividiendo la fracción original por el factor racionalizante: (((( ))))2c-b

cba.

cb

cb.

cb

a −−−−====−−−−−−−−

++++

Para n=5

a)

cb

a5 −−−−

Solución: El factor racionalizante es: (((( )))) rr1n1n

0r

n .cb−−−−−−−−−−−−

====∑∑∑∑ , por ser el denominador una resta. El límite superior será 4.

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 4535 225 35 444-4533-4522-4511-4500-45rr-44

0r

5 cb.cb.cbcb.cb.cb.cb.cb.cb.cb ++++++++++++++++====++++++++++++++++====∑∑∑∑====

Multiplicando y dividiendo la fracción original por el factor racionalizante:

(((( ))))5

*45

4535 225 35 4

4535 225 35 4

5 c-b

cba.

cb.cb.cbcb

cb.cb.cbcb.

cb

a ++++====++++++++++++++++++++++++++++++++

−−−−

b)

cb

a5 ++++

Solución: El factor racionalizante es: (((( )))) (((( ))))rr1n1n

0r

n c-.b−−−−−−−−−−−−

====∑∑∑∑ , por ser el denominador una suma. El límite superior será 4.

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 4535 225 35 444-4533-4522-4511-4500-45rr-44

0r

5 cb.cb.cbcb.cb.cb.cb.cb.cb.cb ++++++++++++++++====++++++++++++++++====∑∑∑∑====

Multiplicando y dividiendo la fracción original por el factor racionalizante:

(((( ))))5

*45

4535 225 35 4

4535 225 35 4

5 cb

cba.

cb.cb.cbcb

cb.cb.cbcb.

cb

a

++++−−−−====

++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−

++++

L. A. D. B.

HOMOTECIA Edición Aniversario Nº 1

TRASLACIÓN DE ELEMENTOS

Se trata de trasladar cada uno de los elementos que forman una figura determinada a una nueva posición, es decir, llevarla deS´. Partiendo de que lo que se quiere obtener es un opuesto a la figura original, debemosfigura. Así:

Sin embargo, hay que tomar en cuenta que en la traslación de los elementos existen dos casos particulares. Utiempo, y el otro cuando la traslación está en función de la velocidad. A continuación se hará la demostración de la fórmula

Fórmula a demostrar:

−⋅⋅= 11

1

221 dd

T

Tl Hipóte

Partiendo de la hipótesis podemos despejar :l

(2

12211

dd2

22dddd

−=⇒=⇒ −+= lll

Luego al desconocer el valor de 2

d y trabajando en función de la velocidad, tenemos:

1

1

2

2

T

dv

T

dv == y

Igualando miembro a miembro:

)(11

22

1

1

2

2 IIdT

Td

T

d

T

d⋅=⇒=

Sustituyendo (II) en (I), tenemos:

( 112111

1

21

2

2dd

ddTTT

T

−⋅⋅=⇒−⋅

= ll

Luego, de forma análoga se obtiene la fórmula de traslación en función del tiempo:

( )1121

1

2 ddvv −⋅⋅=l

Estas fórmulas permiten indicar lo siguiente: en el caso en que la traslación esté en función del tiempo, los elementos extremos de la figura deben cubrir su nueva posición en un tiempo determinado pero que en este caso es igual para ambos elementos. Y cuando se dice que el tiempo eimplica que las velocidades deben ser distintas. En el caso en que la traslación esté en función de la velocidad, los elementposición a una misma velocidad, es decir, el tiempo para ambos elementos es distinto.

Edición Aniversario Nº 1 – Año 2 Lunes, 2 de Febrero de 2004

TRASLACIÓN DE ELEMENTOS

Br. Domingo E. Urbáez S. F. A .C. E. - Mención Matemática

Se trata de trasladar cada uno de los elementos que forman una figura determinada a una nueva posición, es decir, llevarla dee lo que se quiere obtener es un opuesto a la figura original, debemos tomar como datos importantes los elementos extremos de la

Sin embargo, hay que tomar en cuenta que en la traslación de los elementos existen dos casos particulares. Uno cuando la traslación está en función del tiempo, y el otro cuando la traslación está en función de la velocidad. A continuación se hará la demostración de la fórmula

Hipótesis: 1

2 dd2

+= l

)(I

y trabajando en función de la velocidad, tenemos:

)

Luego, de forma análoga se obtiene la fórmula de traslación en función del tiempo:

) siguiente: en el caso en que la traslación esté en función del tiempo, los elementos extremos de la figura deben cubrir su

nueva posición en un tiempo determinado pero que en este caso es igual para ambos elementos. Y cuando se dice que el tiempo eimplica que las velocidades deben ser distintas. En el caso en que la traslación esté en función de la velocidad, los elementposición a una misma velocidad, es decir, el tiempo para ambos elementos es distinto.

1

1

2 dd

dd

2

2

+=

++=

l

lldonde

5

Se trata de trasladar cada uno de los elementos que forman una figura determinada a una nueva posición, es decir, llevarla de un entorno S a un entorno tomar como datos importantes los elementos extremos de la

no cuando la traslación está en función del tiempo, y el otro cuando la traslación está en función de la velocidad. A continuación se hará la demostración de la fórmula en función de la velocidad.

siguiente: en el caso en que la traslación esté en función del tiempo, los elementos extremos de la figura deben cubrir su nueva posición en un tiempo determinado pero que en este caso es igual para ambos elementos. Y cuando se dice que el tiempo es igual para ambos, implica que las velocidades deben ser distintas. En el caso en que la traslación esté en función de la velocidad, los elementos extremos cubren su nueva

DEUS


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIAS VARIABLES (*) Br. Salvador Martínez – Br. Luis Velásquez

F. A. C. E. Mención Matemática

Durante el mes de septiembre de 2003, transcurría el curso especial de nivelación y avance de F. A. C. E., y por casualidad llegó a nuestras manos un cierto ejercicio por más decir interesante que nos llamó mucho la atención; se trataba de una función trigonométrica de dos variables, la cual se expresa de la siguiente forma:

yCosxSenyxf ⋅=),( .

Sumergiéndonos en las aguas de las aplicaciones matemáticas, se nos viene a la mente un enfoque funcional donde definimos las razones trigonométricas en R, con las medidas de los ejes coordenados “x” y “y” expresados en radianes. Así definimos en términos de las coordenadas de un punto sobre el lado final de un ángulo cuya relación para la función ),( yxf debe ser mayor ó igual que cero1.

Nos preguntamos cómo sería la función si en vez de ser un producto fuese una adición o sustracción de funciones trigonométricas y nos planteamos lo siguiente:

yCosxSenyxf +=),( .

Siendo ),( yxf una función radical, el campo de existencia se establece de la siguiente manera:

( ) { }0/2),(),(),( ≥+∈=⇒+= yCosxSenyxyxfDomyCosxSenDomyxfDom R ; por definición del dominio de funciones radicales de

índice par.

Estudiando las dos funciones por separado obtenemos lo siguiente:

Como el campo de existencia de las funciones trigonométricas Sinusoide y Cosinusoide no poseen restricciones sólo consideramos los rangos de las mismas: 1)(1)(1)(1)( ≤≤−⇒=≤≤−⇒= yfyCosyfxfxSenxf parayPara . Si sumamos estas dos funciones, el mínimo y el máximo valor de

2f(x,y)2yCosxSenyxf - ≤≤+= es),( , pero solo vamos a considerar la rama o subconjunto de 2f(x,y) ≤≤0 por ser f(x,y) una función radical de índice par.

Considerando que la solución de la inecuación se encuentra en R2, estudiamos sobre el eje “x” la función Seno y sobre el eje “y” la función Coseno;

tomando en cuenta la distancia que existe entre el eje “y” de la función Coseno a la distancia que hay del eje “x” de la función Seno, que al ser sumadas estas distancias deben ser positivas o iguales a cero.

Por otra parte se tiene que las funciones Seno y Coseno son semejantes: una respecto a la otra está trasladada medio pi ( )2π

o simplemente 90º; si

trasladamos cualquiera de ellas sus gráficas se superponen, por ello, las funciones tienen valores simétricos en sus ángulos que se repiten cada π2 (360º)

que viene a ser el periodo de la función. Esta particularidad de las funciones trigonométricas hace que el dominio de f(x,y)que evaluamos sea un haz de

funciones lineales que se repiten con un periodo igual a π2 ; es decir, es una relación de funciones lineales.

En la relación de funciones lineales es donde se hace cero la función: 00 =+⇒= yCosxSenf(x,y) .

Para encontrar este haz de rectas buscamos los valores simétricos de dichas funciones o, simplemente, donde se anulan las funciones, es decir donde ambas se hacen cero.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0,

23,,

2,0),(),(

,2

,0,2

,0),(),(

0)()(

00)()(

2

πππ

πππ

π

=⇔=⇒+=⇒

−=⇔=⇒+=⇒

=⇔=⇒=

=⇔=⇒=

yxyxfyCosxSenyxf

yxyxfyCosxSenyxf

yyfyCosyf

xxfxSenxf

Como es conocido, para la ecuación de la recta se puede utilizar la expresión )1(1 xxmyy −=− . Estas rectas forman ángulos con respecto al eje “y”

de 45º y -45º, por lo tanto, las pendientes son m1=1 y m2=-1. Entonces 23

221ππ +−=∧+= xyxy .

Ya hemos dicho que la periodicidad es π2 , por lo tanto el haz de rectas queda determinado así:

Z∈−+−=∧++= nnxynxy conππ ππ 22 23

221.

“n” representa el periodo de la función xSen .

1Es de aclararse que esta visión de la trigonometría es aplicada a la física, la electrónica, la medicina (electrocardiogramas, encefalogramas), en sí, para cualquier fenómeno cuyo análisis implica una periodicidad, como el estudio del sonido, la luz, ondas eléctricas, ciclos de finanzas e incluso movimientos planetarios.


Al bosquejar la gráfica del dominio de la función f(x,y)encontramos otro punto que también la hace cero: ( )ππ −=⇔= ,2

),(0 yxf(x,y) .

Al combinarlo con los puntos del eje de las abscisas encontramos las rectas: 242

33

ππ −−=∧−= xyxy .

Y los respectivos haces de rectas son: Z∈−−−=∧+−= nnxynxy conππ ππ 22 2223

3 .

Al representar estos haces de rectas, observamos que sólo algunos rombos cumplen con la condición de la función radical de índice par, por ello definimos el dominio así:

( )

∈

−−−≥−−≥−+−≤

++≤

∈= ZR n

nxy

nxy

nxy

nxy

yxyxfDom ,

2

2

2

2

/,),(

2

23

23

2

2

πππ

π

π

π

π

π

.

Si continuamos bosquejando, nos encontramos con la dificultad en cuanto a que “n” sólo realiza los haces de las rectas que se trasladan sobre el eje “x”, y sobre este eje no se ubica solamente la solución. En todo el plano existen puntos que satisfacen la condición y observamos que la traslación que nos hacía falta es la vertical; por ello agregamos otro parámetro el cual cumple con la misma periodicidad quedando expresado el dominio de la siguiente manera:

( )

∈

+−−−≥−−−≥+−+−≤

−++≤

∈= ZR mn

mnxy

mnxy

mnxy

mnxy

yxyxfDom ,,

)(2

)(2

)(2

)(2

/,),(

2

23

23

2

2

πππ

π

π

π

π

π

.

“m” representa el periodo de la función yCos .

El dominio de la función yCosxSenyxf +=),( conformado por todos los pares ),( yx que pertenezcan al área comprendida por el sistema de

ecuaciones planteado.

La gráfica del dominio finalmente es la siguiente:

El bosquejo de la función en R3 es el siguiente:

Creemos que es interesante el estudio de las funciones trigonométricas, por ello proponemos al lector realizar el cálculo del dominio y el rango con sus respectivas gráficas de la siguiente función:

xCosySenyxf −=),(

En una próxima oportunidad trabajaremos sobre el desarrollo matemático de lo que hoy les hemos mostrado y si es posible, también haremos el estudio de otras funciones trigonométricas similares a éstas.

SM - LV (*)

En agradecimiento a los profesores que nos motivaron a la resolución de este tipo de problemas matemáticos, consecuencia de su gran labor y gran desempeño educativo.


El Cognitivismo y el Constructivismo Arenas Vega, Cecilia García Zapico, Pilar

[Documento en línea – Monografías Newsletter # 139]

El paradigma cognoscitivista sustenta al aprendizaje como un proceso en el cual se sucede la modificación de significados de manera interna, producido intencionalmente por el individuo como resultado de la interacción entre la información procedente del medio y el sujeto activo. Dicha perspectiva surge a finales de los sesentas como una transición entre el paradigma conductista y las actuales teorías psicopedagógicas.

"Al cognoscitivismo le interesa la representación mental y por ello las categorías o dimensiones de lo cognitivo: la atención, la percepción, la memoria, la inteligencia, el lenguaje, el pensamiento y para explicarlo puede, y de hecho acude a múltiples enfoques, uno de ellos el de procesamiento de la información; y cómo las representaciones mentales guían los actos (internos o externos) de sujeto con el medio, pero también cómo se generan (construyen) dichas representaciones en el sujeto que conoce." (Ferreiro, 1996).

El Cognoscitivismo es, de manera simplificada, el proceso independiente de decodificación de significados que conduzcan a la adquisición de conocimientos a largo plazo y al desarrollo de estrategias que permitan la libertad de pensamiento, la investigación y el aprendizaje continua en cada individuo, lo cual da un valor real a cualquier cosa que se desee aprender. De aquí entonces se desprende el paradigma del Constructivismo, "un marco global de referencia para el crecimiento y desarrollo personal." (Ferreiro, 1996).

En el paradigma Constructivista, el alumno es quien aprende involucrándose con otros aprendientes durante el proceso de construcción del conocimiento (construcción social), tomando la retroalimentación como un factor fundamental en la adquisición final de contenidos.

PIAGET

Nacido en Ginebra en 1896, el psicólogo suizo se dedicó especialmente a la psicología infantil y genética. Uno de sus estudios más conocidos es, seguramente, el que lo llevó a concluir que todo niño atraviesa por una secuencia invariable de cuatro estadios para el dominio de su intelecto.

En la evolución de Piaget podrían señalarse "grosso modo" tres etapas distintas. La primera corresponde a los años de juventud, una época de crisis que concluyó en 1918. La segunda comprende el periodo comprendido entre las dos Guerras Mundiales, durante la cual elaboró su teoría de la inteligencia infantil. La tercera comienza a finales de los años cuarenta y alcanza su clímax en 1956 con la fundación del Centro Internacional de Epistemología Genética de la Universidad de Ginebra.

Los trabajos de Piaget sobre el desarrollo infantil son un aspecto parcial de una obra más amplia que engloba muchas disciplinas, como la zoología, biología, teología, lógica, historia de la ciencia, sociología y sobretodo la epistemología genética. Piaget se consideró a si mismo como un epistemológico genético, es decir, un científico dedicado al estudio de los orígenes y desarrollo del conocimiento en todas sus dimensiones tanto individuales como colectivas. El desarrollo intelectual del niño estaba orientado a explicar las formas superiores del conocimiento y diferenciarlas de las inferiores.

Piaget fue una mezcla de científico y filósofo que dedicó buena parte de su vida a la psicología. Siendo joven, el contacto con la filosofía le produjo una intensa crisis personal al darse cuenta de la dificultad de conciliar dos mundos tan distintos como era el de la verdad científica y la creencia personal. Esta crisis se saldó con la decisión de estudiar el conocimiento desde una perspectiva biológica, siendo así la biología su primera vocación científica.

Principios básicos de las teorías

Piaget propuso una teoría racionalista frente a las tesis empiristas de la tabula rasa. El conocimiento era una interpretación activa de los datos de la experiencia por medio de unas estructuras o esquemas previos. Influido por la biología evolucionista, consideró estas estructuras no como algo fijo e invariable, sino como algo que evolucionaba a partir de las funciones básicas de la asimilación y la acomodación. La filosofía racionalista, la biología evolucionista y el pragmatismo funcionalista, constituyen las principales coordenadas de su pensamiento.

1. Racionalismo. Utilizó el método histórico – crítico en su epistemología genética y, por otra parte, descubrió las etapas del desarrollo cognitivo de niño en términos de estructuras lógicas y matemáticas. Fue criticado por construir un sistema lógico en lugar de uno psicológico, el interés por la lógica y las matemáticas es típicamente racionalista.

2. Biología evolucionista. Piaget consideró la evolución como sinónimo de progreso y para él el principio básico de la evolución era el equilibrio.

3. Pragmatismo y funcionalismo.

Teoría Completa del Desarrollo Cognoscitivo: desarrollado por Jean Piaget a través del estudio de sus propios hijos y de los ajenos. Su teoría estaba asentada en la forma en la que los niños llegan a conclusiones, buscando la lógica en las respuestas dadas a las preguntas formuladas.

Para Piaget, la inteligencia tiene dos atributos:

1. Organización: está formada por las etapas de conocimientos que conducen a conductas diferentes en situaciones específicas.

2. Adaptación: adquirida por la asimilación mediante la cual adquieren nueva información y también por la acomodación mediante la cual se ajustan a esa nueva información.

El desarrollo individual está dividido en cuatro etapas:

Etapa Sensomotora. Periodo: 0 – 2 años.

Características: la conducta del niño es esencialmente motora, no hay representación interna de los acontecimientos externos, ni piensa mediante conceptos.

Etapa Preoperacional. Periodo: 2 – 7 años

Características: es la etapa del pensamiento y la del lenguaje que gradúa su capacidad de pensar simbólicamente, imita objetos de conducta, juegos simbólicos, dibujo, imágenes mentales y el desarrollo del lenguaje hablado.

Etapa de las Operaciones Concretas. Periodo: 7 – 11 años.

Características: Los procesos de razonamiento se vuelven lógicos y pueden aplicarse a problemas concretos o reales. En el aspecto social, el niño ahora se convierte en un ser verdaderamente social y en esta etapa aparecen los esquemas lógicos de seriación, ordenamiento mental de conjuntos y clasifica los conceptos de casualidad, espacio, tiempo y velocidad.

Etapa Lógico Formal. Período: 12 – 16 años.

Características: En esta etapa el adolescente logra la abstracción sobre conocimientos concretos observados que le permiten emplear el razonamiento lógico inductivo y deductivo. Desarrolla sentimientos idealistas y se logra formación continua de la personalidad, hay un mayor desarrollo de los conceptos morales.


Teoría de la Epistemología Genética. La epistemología genética trata de la ciencia, teoría del conocimiento científico. Piaget lo designa como el estudio de conocimientos especiales: su formación, desarrollo, etc. Es el estudio del aumento de los conocimientos y de sus leyes. El objeto y los métodos de la epistemología genética han sido definidos por Piaget y comprende tanto el estudio de la formación de los conocimientos en el sujeto como el análisis histórico-crítico de la evolución de las nociones científicas. Piaget introduce el término de equilibración el cual expresa la tendencia de contradicción. Debemos señalar ante todo que el pensamiento del niño se encuentra ante la realidad de lo que se le presenta, con sus correspondientes tesis y antitesis, en desequilibrio consigo mismo. La motivación a la superación de esta situación es tanto o más poderosa, según Piaget, que la motivación a la satisfacción de las necesidades elementales y conduce a procesos específicos de equilibración. La acomodación y asimilación son descritas como el proceso parcial en la interacción entre el organismo y los contenidos del medio ambiente.

Acomodación: Especialmente de la adaptación del ojo a distancias diversas mediante la variación del poder de refracción del cristalino. Mediante la cual el sujeto se ajusta a las condiciones externas. Asimilación: El hecho de que el organismo adopte las sustancias tomadas del medio ambiente a sus propias estructuras. Incorporación de los datos de la experiencia en las estructuras innatas del sujeto.

"La asimilación mental consiste en la incorporación de los objetos dentro de los esquemas del comportamiento, esquemas que no son otra cosa sino el armazón de acciones que el hombre puede reproducir activamente en la realidad". (Piaget, 1948, citado en Dorch, 1994) VYGOTSKY Lev Semionovich Vygotsky (1896-1934) es considerado el precursor del constructivismo social. A partir de él, se han desarrollado diversas concepciones sociales sobre el aprendizaje. Algunas de ellas amplían o modifican algunos de sus postulados, pero la esencia del enfoque constructivista social permanece. Lo fundamental del enfoque de Vygotsky consiste en considerar al individuo como el resultado del proceso histórico y social donde el lenguaje desempeña un papel esencial. Para Vygotsky, el conocimiento es un proceso de interacción entre el sujeto y el medio, pero el medio entendido social y culturalmente, no solamente físico también rechaza los enfoques que reducen la Psicología y el aprendizaje a una simple acumulación de reflejos o asociaciones entre estímulos y respuestas. Existen rasgos específicamente humanos no reducibles a asociaciones, tales como la conciencia y el lenguaje, que no pueden ser ajenos a la Psicología. A diferencia de otras posiciones (Gestalt, Piagetiana), Vygotski no niega la importancia del aprendizaje asociativo, pero lo considera claramente insuficiente. Vygotsky establece que hay dos tipos de funciones mentales: las inferiores y las superiores. Las funciones mentales inferiores son aquellas con las que nacemos, son las funciones naturales y están determinadas genéticamente. El comportamiento derivado de las funciones mentales inferiores es limitado; está condicionado por lo que podemos hacer. Estas funciones nos limitan en nuestro comportamiento a una reacción o respuesta al ambiente. Las funciones mentales superiores se adquieren y se desarrollan a través de la interacción social. Puesto que el individuo se encuentra en una sociedad específica con una cultura concreta. Las funciones mentales superiores están determinadas por la forma de ser de esa sociedad: Las funciones mentales superiores son mediadas culturalmente. Para Vygotsky, a mayor interacción social, mayor conocimiento, más posibilidades de actuar, más robustas funciones mentales. La atención, la memoria, la formulación de conceptos son primero un fenómeno social y después, progresivamente, se transforman en una propiedad del individuo. Cada función mental superior, primero es social (ínter psicológica) y después es individual, personal (intra psicológica). A la distinción entre estas habilidades o el paso de habilidades ínter psicológicas a intra psicológicas se le llama interiorización. (Frawley, 1997). El desarrollo del individuo llega a su plenitud en la medida en que se apropia, hace suyo, interioriza las habilidades ínter psicológicas. En un primer momento, dependen de los otros; en un segundo momento, a través de la interiorización, el individuo adquiere la posibilidad de actuar por sí mismo y de asumir la responsabilidad de su actuar. Mediación Vygotsky considera que el desarrollo humano es un proceso de desarrollo cultural, siendo la actividad del hombre el motor del proceso de desarrollo humano. El concepto de actividad adquiere de este modo un papel especialmente relevante en su teoría. Para él, el proceso de formación de las funciones psicológicas superiores se dará a través de la actividad práctica e instrumental, pero no individual, sino en la interacción o cooperación social. La instrumentalización del pensamiento superior mediante signos, específicamente los verbales, clarifica la relación entre el lenguaje y el pensamiento. (Frawley, 1997). El pensamiento y la palabra no están cortados por el mismo patrón. En cierto sentido existen mas diferencias que semejanzas entre ellos (Vygotsky, 1962, Pág. 126). El habla es un lenguaje para el pensamiento, no un lenguaje del pensamiento. Vygotsky propone que el sujeto humano actúa sobre la realidad para adaptarse a ella transformándola y transformándose a sí mismo a través de unos instrumentos psicológicos que le denomina "mediadores". Este fenómeno, denominado mediación instrumental, es llevado a cabo a través de "herramientas" (mediadores simples, como los recursos materiales) y de "signos" (mediadores más sofisticados, siendo el lenguaje el signo principal). También establece que la actividad es un conjunto de acciones culturalmente determinadas y contextualizadas que se lleva a cabo en cooperación con otros y la actividad del sujeto en desarrollo es una actividad mediada socialmente. A diferencia de Piaget, la actividad que propone Vygotsky, es una actividad culturalmente determinada y contextualizada, es el propio medio humano el mediador que se emplea en la relación con los objetos, tanto las herramientas como los signos, pero especialmente estos últimos, puesto que el mundo social es esencialmente un mundo formado por procesos simbólicos, entre los que destaca el lenguaje hablado. El lenguaje es la herramienta que posibilita el cobrar conciencia de uno mismo y el ejercitar el control voluntario de nuestras acciones. Ya no imitamos simplemente la conducta de lo demás, ya no reaccionamos simplemente al ambiente, con el lenguaje ya tenemos la posibilidad de afirmar o negar, lo cual indica que el individuo tiene conciencia de lo que es, y que actúa con voluntad propia. En ese momento empezamos a ser distintos y diferentes de los objetos y de los demás.

Zona de desarrollo próximo La zona de desarrollo próximo, está determinada socialmente. Aprendemos con la ayuda de los demás, aprendemos en el ámbito de la interacción social y esta interacción social como posibilidad de aprendizaje es la zona de desarrollo próximo. (Frawley, 1997) La teoría vygotskyana es muy específica respecto a cómo se deben estudiar las perspectivas del crecimiento individual en cualquier caso de actividad ínter subjetiva. Esto se hace examinando la zona del desarrollo próximo (ZDP). La ZDP surge generalmente como el contexto para el crecimiento a través de la ayuda. Dos rasgos de la ZDP hablan directamente sobre nuestra preocupación general de la unificación de la mente tanto cultural como computacional a través del lenguaje, como son:

1. La ZDP se puede construir de forma natural o deliberada, reflejando precisamente la diferencia entre el crecimiento real y el potencial. Vygotsky hace énfasis en el juego, ya que este permite que el niño se comprometa a actividades que se hayan muy por encima de su cabeza pero sin ninguna consecuencia directa social derivada del fracaso.

2. Es la estructura más sutil de la ZDP, la cual debe de ser ínter subjetiva pero asimétrica en la cual un individuo debe de comprometerse a un esfuerzo atencional con al menos otra persona. Respecto a la asimetría, una de las personas debe de estar más capacitada en la tarea y por lo tanto conducir al otro más allá del nivel real de desarrollo. Lo importante es que la ínter subjetividad y la asimetría se construyen y mantienen mediante el lenguaje.

La teoría de la actividad y la ZDP nos ofrecen una manera de analizar las relaciones del individuo con el mundo.


EL DISEÑO CREADOR

Br. Dioselys Gutiérrez – Br. Adrián Olivo F. A. C. E. – Mención Matemática

Al igual que lo definió Rutherford la materia está compuesta por átomos

y estos por un núcleo denso y con carga positiva

rodeado de electrones de carga negativa que giran en torno al núcleo

como los planetas alrededor del Sol.

Es decir que una galaxia está concebida

de la misma manera que un átomo;

ahora imaginemos que este es el planeta Tierra

el cual está poblado de miles de millones de seres vivos:

“Estos son los electrones”

que están en continuo movimiento.

¡Luchando por la vida!

¡Ahora imaginemos mucho más!

Nuestro universo está compuesto

por innumerables galaxias. Visto de un punto más alto

este sería un átomo más

donde cada galaxia sería un electrón.

Por simple lógica puede existir

innumerables universos (átomos) que conforman una materia

más definida que nos develaría

el diseño del Creador

En palabras de Newton:

“No sé lo que yo le parezca al mundo pero ante mi mismo

parezco haber sido solo un muchacho que juega en la playa, divirtiéndose,

entonces como ahora, en encontrar

un guijarro más pulido o una concha más preciosa que los ordinarios

mientras que el gran océano de la verdad permanece inescrutable para mí”

Generalmente hablando

la genialidad de Newton

sería la sabiduría de la humanidad que todavía no conoce el

inmenso océano de la verdad.

PRIMER CONGRESO REGIONAL DE MATEMÁTICA

“Construyendo la Matemática en el aula”

Br. María Ferreira – Br. Liliana Mayorga

F. A. C. E. – Mención Matemática

El día martes 09-12-2003 se realizó exitosamente el Primer Congreso Regional de Matemática, auspiciado por la Red de Matemática de la Secretaría de Educación del Estado Carabobo, en conjunto con la Universidad de Carabobo.

Dicho evento tuvo lugar en los salones del Hotel Guaparo Inn, Naguanagua, desde las 8:00 AM hasta las 7:00 PM.

En este evento se contó con las ponencias de personajes destacados en esta área: Dr. Karim Afcha, Prof(a). Fanny Fuguet, Dra. Aleida de Montañez, Msc. Rosa Talavera, Prof. Félix Santamaría, Prof. Vicente Bolaños, Lic(a). Nayibe Rodríguez, Lic(a). Mariela Cova, Lic(a). Custodia Mendoza, entre otros.

Las diversas ponencias aportaron información sobre significativos elementos para mejorar la enseñanza de la matemática dentro de un proceso más humanizado.

Finalizado el evento, se realizó una actividad artística que consistió en un concierto de aguinaldos por parte de la Coral de la Escuela Básica Antonio Guzmán Blanco.

PRIMER CONGRESO PEDAGÓGICO BOLIVARIANO DE CARABOBO

Br. María Ferreira – Br. Liliana Mayorga


El Ministerio de Educación, Cultura y Deportes auspició la realización del primer Congreso pedagógico Bolivariano, actividad enmarcada dentro de la discusión curricular que tiene como finalidad sistematizar la propuesta para construir un Proyecto Educativo Nacional, orientando hacia el camino de una Educación Transformadora.

Este evento se realizó del 11 al 13 de diciembre pasado, en las diferentes sedes de cada distrito escolar de Carabobo. En cada uno de ellos se contó con las palabras iniciales del Lic. Miguel Da Silva, Director de la Zona Educativa del Estado Carabobo.

Los conferencistas participantes condujeron a los asistentes al intercambio de experiencias significativas, las cuales tuvieron peso en los resultados de las diferentes mesas de trabajo que se realizaron al finalizar el ciclo de ponencias.

El final del evento fue el día Sábado 13-12-2003, en la sede de la Zona Educativa, consistente en una actividad artística.

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

Br. Adrián Olivo


El número misterioso

¿Qué número natural comprendido entre el 0 y el 9 inclusive, cumple con la siguiente proposición: Se multiplica por otro número natural entre 0 y 9, y del producto resultante se suman los últimos dígitos resultando el mismo número. Respuesta: El 9. ¡Compruébalo!

La malignidad del número 13

Se dice que en el siglo XV las persecuciones de carácter religioso eran constantes. Por eso hemos oído decir que quienes pertenecían a ciertas sectas o religiones corrían el riesgo de ser quemados vivos, crucificados o arrojados a las calderas.

En aquel entonces apareció un listo personaje que dijo conocer el número malo, con el propósito de atemorizar a la gente y hacerla participar de sus creencias. La clave principal para encontrar el número eran los doce discípulos de Jesucristo, debiéndose sumar el puesto que cada uno ocupó en la Última Cena en la que Cristo fue traicionado. Si asignamos el número de cada puesto, vemos que al escribir los seis primeros en orden natural y al frente en la mesa de la cena los otros seis en el sentido de las agujas del reloj, al sumar el número correspondiente de los puestos enfrentados, resulta 13:

131313131313

6

7

5

8

4

9

3

10

2

11

1

12 ++++++

Desde aquellos tiempos la humanidad cree en la fatalidad del 13. Pero sin embargo a muchos le fascina como signo de buena suerte. AO

2 HOMOTECIA Edición Aniversario Nº 1 – Año 2 Lunes, 2 de ...

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