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32 2 Approximation in speziellen Raumen

2 Approximation in speziellen Raumen

2.1 Satz von Weierstraß

zunachst : Approximation in C[a, b], −∞ < a < b <∞

Satz 2.1 (Weierstraß 1885)Sei f ∈ C[a, b]. Dann existiert eine Polynomfolge (pn)n, die gleichmaßig auf [a, b] gegen f konvergiert.

pn ==⇒glm.

f ⇐⇒ limn→∞

supx∈[a,b]

|f(x)− pn(x)| = 0

⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : ‖f − pn‖∞ = supx∈[a,b]

|f(x)− pn(x)| < ε

Bemerkung : Vergleich zum Satz von Taylor fur analytische Funktionen :

sei f : C −→ C analytisch in z ∈ C : |z| ≤ R ⊂ C =⇒m∑

k=0

akzk −−−−→

m→∞f(z)

gleichmaßig in z ∈ C : |z| ≤ R, setzen pm(z) :=m∑

k=0

akzk y pm ==⇒

glm.f ,

∀ ε > 0 ∃ m0 ∀ m ≥ m0 : sup|z|<R

|pm(z)− f(z)| < ε

=⇒ ∀ ε > 0 ∃ m0 ∀ m ≥ m0 : sup−R<x<R

|pm(x)− f(x)| < ε

aber : falls f nicht analytisch 99K ??

Weierstraß y sogar fur stetige Funktionen moglich

f analytisch 99K Entwicklung in gleichmaßig konvergente Potenzreihe moglich

f stetig, aber nicht analytisch 99K”Entwicklung“ in gleichmaßig konvergente Reihe allge-

meiner Polynome, die sich nicht zu Potenzreihe umordnen lassen

schonster Beweis von Satz 2.1 mit Bernstein-Polynomen

Definition 2.2 Seien f : [0, 1] −→ R, n ∈ N. Der n-te Bernstein-Operator Bn : f 7−→ Bnf ∈ Pn istgegeben als

(Bnf) (x) =n∑

k=0

(n

k

)f

(k

n

)xk(1− x)n−k, x ∈ [0, 1].

Bemerkung : • (Bnf) (x) . . . Bernstein-Polynom n-ter Ordnung zu f , Bnf ∈ Pn

• Fur alle f : [0, 1] −→ R, n ∈ N gilt

(Bnf)(0) = f(0), (Bnf)(1) = f(1)

fuhren weiter ein : Differenzen-Operatoren(∆k

hf)(x), k ∈ N, h ∈ R :

(∆hf) (x) =(∆1

hf)(x) = f(x+ h)− f(x),

(∆k+1

h f)(x) =

(∆1

h

(∆k

hf))

(x), x ∈ R

Ubung II-1 : Zeigen Sie : (∆mh f)(x) =

m∑

j=0

(m

j

)(−1)m−j f(x+ jh) fur m ∈ N, x, h ∈ R.

2.1 Satz von Weierstraß 33

Lemma 2.3 Seien n ∈ N, x ∈ [0, 1], f : [0, 1] −→ R. Dann gilt

(Bnf) (x) =n∑

k=0

(∆k

1/nf)

(0)(n

k

)xk .

Be w e i s :

(Bnf) (x) =n∑

k=0

(n

k

)f

(k

n

)xk

(1−x)n−k

︷︸︸︷n−k∑

j=0

(n− kj

)(−1)n−k−jxn−k−j

=n∑

k=0

n−k∑

j=0

f

(k

n

)(n

k

)(n− kj

)(−1)n−k−jxn−j

=n∑

`=0

x`∑

k=0

f

(k

n

) (n

k

)(n− kn− `

)

︸︷︷︸n!

k!(`−k)!(n−`)!=(n`)(`

k)

(−1)`−k =n∑

`=0

(n

`

)x`

∑

k=0

f

(k

n

) (`

k

)(−1)`−k

︸︷︷︸“∆`

1/nf”(0)

Ubung II-2 : Seien h0(x) ≡ 1, h1(x) = x, h2(x) = x2, f(x) = eαx, α ∈ R, g ∈ Pm, m ∈ N,x ∈ [0, 1]. Zeigen Sie

(a) Bnh0 = h0, d.h. (Bnh0)(x) ≡ 1, n ∈ N(b) Bnh1 = h1, d.h. (Bnh1)(x) = x, n ∈ N

(c) Bnh2 =(

1− 1n

)h2 +

1nh1, d.h. (Bnh2)(x) =

1nx+

(1− 1

n

)x2, n ∈ N

(d) (Bnf) (x) =(xe

αn + (1− x))n

, n ∈ N(e) (Bng) ∈ Pm, n ∈ N

Satz 2.4 (Bernstein)Sei f eine auf [0, 1] beschrankte Funktion. Dann gilt fur alle x ∈ [0, 1], in denen f stetig ist,

limn→∞

(Bnf) (x) = f(x).

Falls f ∈ C[0, 1] ist, konvergieren die Polynome Bnf auf [0, 1] gleichmaßig gegen f .

Be w e i s : 1. Schritt : zeigen die Identitat

n∑

k=0

(k − nx)2(n

k

)xk(1− x)n−k = nx(1− x) (12)

n∑

k=0

(k − nx)2(n

k

)xk(1− x)n−k

=n∑

k=0

k2

(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸n2(Bnx2)(x)=nx+n(n−1)x2, UA II-2(c)

− 2nxn∑

k=0

k

(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸n(Bnx)(x)=nx, UA II-2(b)

+ n2x2n∑

k=0

(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸(Bn1)(x)≡1, UA II-2(a)

= nx+ n(n− 1)x2 − 2n2x2 + n2x2 = nx(1− x)


2. Schritt : zeigen fur beliebiges δ > 0, 0 ≤ x ≤ 1,

∑

| kn−x|≥δ

(n

k

)xk(1− x)n−k ≤ 1

4nδ2(13)

∣∣∣∣k

n− x

∣∣∣∣ ≥ δ =⇒ (k − nx)2n2δ2

≥ 1 y

∑

| kn−x|≥δ

(n

k

)xk(1− x)n−k ≤ 1

n2 δ2

n∑

k=0

(k − nx)2(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸= nx(1−x), (12)

=

≤ 14︷︸︸︷

x(1− x)n δ2

≤ 14nδ2

3. Schritt : f beschrankt =⇒ |f(x)| ≤M , x ∈ [0, 1];

sei f stetig in x =⇒ ∀ ε > 0 ∃ δx > 0 ∀ y ∈ [0, 1], |y − x| < δx : |f(x)− f(y)| < ε

2

f(x) =n∑

k=0

f(x)(n

k

)xk(1− x)n−k y

f(x)− (Bnf) (x) =n∑

k=0

[f(x)− f

(k

n

)](n

k

)xk(1− x)n−k

=∑

| kn−x|<δx

[f(x)− f

(k

n

)](n

k

)xk(1− x)n−k +

∑

| kn−x|≥δx

[f(x)− f

(k

n

)](n

k

)xk(1− x)n−k

y |f(x)− (Bnf) (x)|

≤∑

| kn−x|<δx

∣∣∣∣f(x)− f(k

n

)∣∣∣∣︸︷︷︸

< ε2

(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸< ε

2

+∑

| kn−x|≥δx

∣∣∣∣f(x)− f(k

n

)∣∣∣∣︸︷︷︸

≤2M

(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸≤ 2M

4nδ2x

, (13)

≤ ε

2+

2M4nδ2x

< ε fur n ≥ n0(ε, x)

4. Schritt : sei jetzt f ∈ C[0, 1] =⇒ f gleichmaßig stetig auf [0, 1]

⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, y ∈ [0, 1], |y − x| < δ : |f(x)− f(y)| < ε

2,

weiter analog zum 3. Schritt y

|f(x)− (Bnf) (x)| ≤ ε

2+

2M4nδ2

< ε fur n ≥ n0(ε) und alle x ∈ [0, 1]

=⇒ limn→∞

supx∈[0,1]

|f(x)− (Bnf) (x)| = 0 ⇐⇒ (Bnf) ==⇒glm.

f

Folgerung 2.5 Seien f ∈ C[0, 1] und ε > 0. Dann existiert ein n0(ε), so dass fur alle n ≥ n0 gilt

supx∈[0,1]

|f(x)− (Bnf)(x)| < ε .

2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 35

B e w e i s : (Satz 2.1)

sei f ∈ C[a, b], setzen ξ :=x− ab− a , g(ξ) := f

( x︷︸︸︷a+ (b− a)ξ )

=⇒ g ∈ C[0, 1]

====⇒Folg. 2.5

∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0 : supξ∈[0,1]

|g(ξ)− (Bng) (ξ)| < ε

rn(x) := (Bng)( x− ab− a︸︷︷︸

ξ

)∈ Pn =⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0 : sup

x∈[a,b]

|f(x)− rn(x)| < ε

Ubung II-3 : • Sei g(t) = |2t− 1|, t ∈ [0, 1]. Berechnen Sie die zugehorigen Bernstein-Polynome(B4g) (t) und (B6g) (t). Zeigen Sie, dass fur n ∈ N

(B2ng)(

12

)=

122n

(2nn

)

gilt, und geben Sie eine Abschatzung fur den lokalen Fehler∣∣g (

12

)− (B2ng)(

12

)∣∣ furn→∞ an.

• Sei f ∈ C[a, b] mit den Momentenbedingungenb∫

a

tmf(t) dt = 0, m ∈ N0, gegeben.

Dann ist f ≡ 0 auf [a, b].

Hinweis : Verwenden Sieb∫

a

[f(t)]2 dt =b∫

a

[f(t)− p(t)] f(t) dt fur alle (algebraischen)

Polynome p(t), und den Satz von Weierstraß.

2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen

betrachten – vor Verallgemeinerung von Satz 2.1 – zunachst Approximation durch Bernstein-Polynome etwasgenauer

bemerkenswert : gleichzeitige Approximation von Funktion und Ableitungen !

Beispiele : (i) fn(x) =sin(nx)n

, n ∈ N, x ∈ [0, 2π] y |fn(x)| ≤ 1n, x ∈ [0, 2π] y fn ==⇒

glm.0

andererseits: f ′n(x) = cos(nx) nicht (gleichmaßig) konvergent, insbesondere f ′n 6==⇒glm.

0

(ii) Seien Tn(x) die Tschebyscheff-Polynome (erster Art) aus Bsp. (2) in Abschnitt 1.5,

gn(x) =Tn(x)n

, n ∈ N, x ∈ [−1, 1].

spater (Satz 2.51): Tn(x) =√

2π cos(n arccosx), T ′n(1) =

√2πn

2, n ∈ N

y ‖gn‖∞ ≤√

2n√π−−−−→n→∞

0, d.h. gn ==⇒glm.

0,

aber

‖g′n − g′2n‖∞ ≥ |g′n(1)− g′2n(1)| = n

√2π−−−−→n→∞

∞, d.h. g′n nicht glm. konv.


Beispiele : (iii) Seien r(z), p(z) in beschranktem Gebiet G ⊂ C analytische (komplexe) Funktionen mit|r(z)− p(z)| < ε auf ∂G (einfach geschlossene Kurve) ======⇒

Max.prinzip|r(z)− p(z)| < ε in G

seien m ∈ N, δ > 0, und Sδ := z ∈ G : dist (z, ∂G) ≥ δ ⊂ G

=⇒Cauchy-Ungl.22

∣∣∣r(m)(z)− p(m)(z)∣∣∣ ≤ m! |∂G|

2π δm+1ε, z ∈ Sδ

d.h. fur ε ↓ 0 (und festes Sδ, m ∈ N) 99K p(m)(z) approximiert r(m)(z) gleichmaßig(in C), falls p(z) bereits r(z) approximiert hat

Lemma 2.6 Seien k ∈ N0, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1]. Dann gilt

dk

dxk(Bn+kf) (x) = (Bn+kf)(k) (x) =

(n+ k)!n!

n∑

j=0

∆k1

n+kf

(j

k + n

)(n

j

)xj(1− x)n−j .

Be w e i s : Interpretation fur k = 0 : (Bnf)(0) (x) = (Bnf) (x)

verwenden Leibniz23-Formel : (uv)(m) =m∑

`=0

(m

`

)u(`)v(m−`)

dk

dxk(Bn+kf) (x)

=n+k∑

`=0

(n+ k

`

)f

(`

n+ k

)[x`(1−x)n+k−`](k)

︷︸︸︷k∑

ν=0

(k

ν

) [x`

](ν)

︸︷︷︸=

`!

(`−ν)! x`−ν , ν ≤ `

0 , ν > `

ff

[(1− x)n+k−`

](k−ν)

︸︷︷︸=

((−1)k−ν (n+k−`)!

(n−`+ν)! (1− x)n−`+ν , `− ν ≤ n

0 , `− ν > n

)

=n+k∑

`=0

min(k,`)∑

ν=max(0,`−n)

f

(`

n+ k

)(−1)k−ν

(n+ k

`

)(k

ν

)(n+ k − `)!(n− `+ ν)!

`!(`− ν)!x

`−ν(1− x)n−`+ν

=k∑

ν=0

n+ν∑

`=ν

f

(`

n+ k

)(−1)k−ν

(k

ν

)(n+ k

`

)`! (n+ k − `)!

(`− ν)! (n− `+ ν)!︸︷︷︸(n+k)! 1

n! ( n`−ν)

x`−ν(1− x)n−`+ν

=j = `− ν

(n+ k)!n!

k∑ν=0

n∑

j=0

f

(j + ν

n+ k

)(−1)k−ν

(k

ν

) (n

j

)xj(1− x)n−j

=(n+ k)!n!

n∑

j=0

k∑ν=0

f

(j + ν

k + n

)(−1)k−ν

(k

ν

)

︸︷︷︸∆k

1n+k

f( jk+n )

(n

j

)xj(1− x)n−j

=(n+ k)!n!

n∑

j=0

∆k1

n+kf

(j

k + n

)(n

j

)xj(1− x)n−j

22Cauchy-Ungleichungen : f : G −→ C holomorph, z0 ∈ G, Kr(z0) ⊂ G, r > 0 =⇒ ∀ δ, 0 < δ ≤ r ∀ z ∈ Kr−δ(z0) :˛˛f (m)(z)

˛˛ ≤ r

δ

m!

δmmax

|ζ−z0|=r|f(ζ)| , z ∈ Kr−δ(z0)

allg. Kurve γ ⊂ G (einfach, geschlossen) :˛f (m)(z)

˛≤ m! |γ|

2π δm+1 maxζ∈γ |f(ζ)|, dist (z, γ) ≥ δ

23Gottfried Wilhelm von Leibniz (∗ 1.7.1646 Leipzig † 14.11.1716 Hannover)


Satz 2.7 Seien k ∈ N0 und f ∈ Ck[0, 1]. Dann gilt

limn→∞

supx∈[0,1]

∣∣∣(Bnf)(k) (x)− f (k)(x)∣∣∣ = 0 .

Be w e i s : verwenden Lemma 2.6, betrachten zunachst ∆k1

n+kf

(j

k + n

)fur j = 0, . . . , n :

f ∈ Ck[0, 1] ===⇒MWS

∃ ξj ∈(

j

n+ k,j + k

n+ k

): ∆k

1n+k

f

(j

k + n

)=

1(n+ k)k

f (k)(ξj) (ξj =j

nfur k = 0)

======⇒Lemma 2.6

(Bn+kf)(k) (x) =(n+ k)!n!

n∑

j=0

1(n+ k)k

f (k)(ξj)︸︷︷︸

∆k1

n+k

f( jk+n )

(n

j

)xj(1− x)n−j

yn! (n+ k)k

(n+ k)!(Bn+kf)(k) (x)

=n∑

j=0

f (k)

(j

n

) (n

j

)xj(1− x)n−j

︸︷︷︸=(Bnf(k))(x)

+n∑

j=0

[f (k)(ξj)− f (k)

(j

n

)](n

j

)xj(1− x)n−j

j = 0, . . . , n yj

n∈

[j

n+ k,j + k

n+ k

]y

∣∣∣∣ξj −j

n

∣∣∣∣ <j + k

n+ k− j

n+ k=

k

n+ k< δ fur n ≥ n0(δ), d.h.

=======⇒f ∈ Ck[0, 1]

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, y ∈ [0, 1], |x− y| < δ :∣∣∣f (k)(x)− f (k)(y)

∣∣∣ < ε

3

=⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 ∀ j = 0, . . . , n :∣∣∣∣f (k) (ξj)− f (k)

(j

n

)∣∣∣∣ <ε

3

y∣∣∣(Bn+kf)(k) (x)− f (k)(x)

∣∣∣

≤∣∣∣∣1−

n! (n+ k)k

(n+ k)!

∣∣∣∣︸︷︷︸−−−−→

n→∞0

∣∣∣(Bn+kf)(k) (x)∣∣∣

︸︷︷︸≤ C

︸︷︷︸< ε

3 , n≥n1

+∣∣∣

n! (n+k)k

(n+k)! (Bn+kf)(k)(x)−(Bnf(k))(x)︷︸︸︷n∑

j=0

[f (k)(ξj)− f (k)

(j

n

)](n

j

)xj(1− x)n−j

∣∣∣

+∣∣∣(Bnf

(k))

(x)− f (k)(x)∣∣∣

︸︷︷︸< ε

3 , n≥n2, Satz 2.4

<23ε +

n∑

j=0

∣∣∣∣f (k)(ξj)− f (k)

(j

n

)∣∣∣∣︸︷︷︸

< ε3 , n≥n0

(n

j

)xj(1− x)n−j

︸︷︷︸< ε

3 , n≥n0

< ε fur n ≥ max(n0, n1, n2)

Ubung II-4 : Beweisen Sie, dass fur f ∈ Ck[0, 1], k ∈ N0, und 0 ≤ j ≤ n stets ein ξj ∈(

j

n+ k,j + k

n+ k

)

existiert, so dass gilt

∆k1

n+kf

(j

k + n

)=

1(n+ k)k

f (k)(ξj) .


Satz 2.8 Sei f auf [0, 1] gegeben.

(i) Fur n ∈ N, k ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n, existiere f (k)(x) fur alle x ∈ [0, 1], und es gelte

m ≤ f (k)(x) ≤ M fur alle x ∈ [0, 1].

Dann folgt

m ≤ (n− k)! nk

n!(Bnf)(k) (x) ≤ M fur alle x ∈ [0, 1],

insbesondere gilt

infx∈[0,1]

f (k)(x) ≥ 0 =⇒ infx∈[0,1]

(Bnf)(k) (x) ≥ 0 .

(ii) Seien f monoton nicht fallend auf [0, 1] und n ∈ N. Dann ist (Bnf)(x) monoton nicht fallendauf [0, 1].

(iii) Sei f eine auf [0, 1] konvexe Funktion, dann ist (Bnf)(x) konvex auf [0, 1], n ∈ N.

Be w e i s : zu (i) : Lemma 2.6 y (Bnf)(k) (x) =n!

(n− k)!n−k∑

j=0

∆k1/nf

(j

n

)(n− kj

)xj(1−x)n−k−j (∗)

========⇒MWS, UA II-4

∀ j, 0 ≤ j ≤ n−k ∃ ξj ∈(j

n,j + k

n

): ∆k

1/nf

(j

n

)=

1nk

f (k)(ξj) (mit ξj :=j

n, k = 0)

=⇒ (n− k)! nk

n!(Bnf)(k) (x) =

n−k∑

j=0

f (k)(ξj)(n− kj

)xj(1− x)n−k−j

︸︷︷︸≥0

===================⇒n−kPj=0

`n−kj

´xj(1− x)n−k−j = 1

(i)

zu (ii) : Sei f monoton nicht fallend

======⇒(∗), k = 1

(Bnf)′ (x) = n

n−1∑

j=0

∆1/nf

(j

n

)

︸︷︷︸f( j+1

n )−f( jn )≥0

(n− 1j

)xj(1− x)n−1−j

︸︷︷︸≥0

≥ 0, x ∈ [0, 1] =⇒ (ii)

zu (iii) : Sei f konvex auf [0, 1]

⇐⇒ ∀ λ ∈ [0, 1] ∀ x, y ∈ [0, 1] : f (λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)

λ :=12, x := x0 + 2h, y := x0 mit x0 ∈ [0, 1], h ∈ R und x0 + 2h ∈ [0, 1]

=⇒ (∆2

hf)(x0) = f(x0 + 2h)− 2f(x0 + h) + f(x0) ≥ 0

======⇒(∗), k = 2

(Bnf)′′ (x) = n(n−1)n−2∑

j=0

∆21/nf

(j

n

)

︸︷︷︸≥0

(n− 2j

)xj(1− x)n−2−j

︸︷︷︸≥0

≥ 0, x ∈ [0, 1] =⇒ (iii)

Satz 2.9 Sei f eine auf [0, 1] konvexe Funktion. Dann gilt fur n ∈ N, n ≥ 2,

(Bn−1f) (x) ≥ (Bnf) (x) , x ∈ (0, 1).

Fur f ∈ C[0, 1] gilt sogar (Bn−1f) (x) > (Bnf) (x), x ∈ (0, 1), falls f nicht in allen Teilintervallen[j−1n−1 ,

jn−1

], j = 1, . . . , n− 1, linear ist; in diesem Fall gilt dann (Bn−1f) (x) = (Bnf) (x).


B e w e i s∗ : seien n ≥ 2, 0 < x < 1,

(Bn−1f) (x)− (Bnf) (x)

=n−1∑

k=0

(n− 1k

)f

(k

n− 1

)xk(1− x)n−1−k −

n∑

k=0

(n

k

)f

(k

n

)xk(1− x)n−k

= (1− x)n−1n−1∑

k=0

(n− 1k

)f

(k

n− 1

)(x

1− x)k

− (1− x)nn∑

k=0

(n

k

)f

(k

n

)(x

1− x)k

=y = x

1−x

1− x = 11+y

(1− x)n

[(1 + y)

n−1∑

k=0

(n− 1k

)f

(k

n− 1

)yk −

n∑

k=0

(n

k

)f

(k

n

)yk

]

=⇒ (Bn−1f) (x)− (Bnf) (x)(1− x)n

= f(0) +n−1∑

k=1

(n− 1k

)f

(k

n− 1

)yk +

n−1P`=1

(n−1`−1)f( `−1

n−1 )y`

︷︸︸︷n−2∑

k=0

(n− 1k

)f

(k

n− 1

)yk+1

+ f(1)yn − f(0)−n−1∑

k=1

(n

k

)f

(k

n

)yk − f(1)yn

=n−1∑

k=1

[(n− 1k

)f

(k

n− 1

)+

(n− 1k − 1

)f

(k − 1n− 1

)−

(n

k

)f

(k

n

)]

︸︷︷︸=: ck

yk

=⇒ ck =(n

k

)[ (1− k

n

)

︸︷︷︸=1−λ

f( k

n− 1︸︷︷︸=:x

)+

k

n︸︷︷︸=:λ

f( k − 1n− 1︸︷︷︸=:y

)− f

( k

n︸︷︷︸=(1−λ)x+λy

)]

=(n

k

)[(1− λ)f(x) + λf(y)− f ((1− λ)x+ λy)]︸︷︷︸

≥0, f konvex

≥ 0 =⇒ (Bn−1f) (x) ≥ (Bnf) (x)

sei f linear in

[k − 1n− 1

,k

n− 1

]y ck = 0, k = 1, . . . , n− 1 =⇒ (Bn−1f) (x) = (Bnf) (x), x ∈ (0, 1)

(Bn−1f) (0) = (Bnf) (0) = f(0), (Bn−1f) (1) = (Bnf) (1) = f(1) y (Bn−1f) ≡ (Bnf) auf [0, 1]

sei (Bn−1f) ≡ (Bnf) auf [0, 1] y ck ≡ 0, k = 1, . . . , n− 1, f ∈ C[0, 1], f konvex y f linear

Beispiel : wesentlich : f konvex; Veranschaulichung der Approximation einer konkaven Funktion,

f : Polygonzug durch (0, 0),(

15,35

),

(35,45

),

(910,

710

), (1, 0)

y Bernstein-Polynome (siehe [Dav75, S. 116])

(B2f) (x) =32x− 3

2x2

(B4f) (x) =52x− 3x2 +

32x3 − x4

(B10f) (x) = 3x− 30x3 + 105x4 − 189x5 + 210x6 − 160x7 + 90x8 − 35x9 + 6x10


f(x)

x

(B4f) (x)

(B2f) (x)

(B10f) (x)

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.4 0.6 0.8 1

Bemerkung : geometrische Interpretation : Bernstein-Approximationen stetiger Funktionen beschranktzwischen Extremwerten der Funktion, analog fur Ableitungen hoherer Ordnung; monotoneund konvexe Funktionen haben monotone und konvexe Approximationen ; Bernstein-Approximation

”ahmen“ (Gestalt der) Funktion (in gewisser Hinsicht) nach,

”shape preservation“ : z.B.

• Positivitat

• Monotonie

• Konvexitat

• Variationsverminderung

Definition 2.10

(i) Eine Funktion ϕ : [a, b] −→ R heißt von beschrankter Variation auf [a, b], ϕ ∈ BV[a, b], wenn eseine Konstante M > 0 gibt, so dass fur jede Zerlegung Z = t0, t1, . . . , tm von [a, b] stets

V(ϕ,Z) :=m∑

k=1

|ϕ(tk)− ϕ(tk−1)| ≤ M

bleibt. Dann heißtVb

aϕ := supZV(ϕ,Z)

totale Variation von ϕ auf [a, b].

(ii) Sei ξ = (ξ0, . . . , ξm) ein Vektor, dann ist

V(ξ) :=m∑

k=1

|ξk − ξk−1|

die Variation des Vektors ξ.


Bemerkung : • Es gilt ϕ (stuckweise) Lipschitz-stetigϕ monotonϕ stuckweise stetig differenzierbar

=⇒ ϕ ∈ BV

• (nur) Stetigkeit nicht ausreichend

• Eine Funktion ϕ ist genau dann von beschrankter Variation auf [a, b], wenn sie dortals Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden kann.

• lokal : gilt ϕ(tk−1) ≤ ϕ(tk) ≤ ϕ(tk+1) y

· · ·+ (ϕ(tk)− ϕ(tk−1)) + (ϕ(tk+1)− ϕ(tk))︸︷︷︸+ · · · = · · ·+ (ϕ(tk+1)− ϕ(tk−1)) + · · ·

99K Zwischenstelle tk entfallt 99K”ausreichend“, uber lokale Extrema zu summieren

; gunstig bei nur endlich vielen, z.B. bei Polynomen

Ubung II-5 : (i) Seien ξ = (ξ0, . . . , ξm) ∈ Rm+1 ein Vektor, und hξ : [0, 1] −→ R die auf denIntervallen

[k−1m , k

m

], k = 1, . . . ,m, stuckweise lineare Funktion, fur die gilt

hξ

(k

m

)= ξk, k = 0, . . . ,m.

Zeigen Sie, dass daraus folgt: V10hξ = V(ξ).

(ii) Geben Sie eine stetige Funktion an, die nicht von beschrankter Variation ist.

(iii) Sei f ∈ C1[a, b], dann gilt

Vbaf =

b∫

a

|f ′(t)| dt .

Satz 2.11 Seien f ∈ C[0, 1] und n ∈ N. Dann gilt

V10(Bnf) ≤ V

(f

(j

n

), j = 0, . . . , n

)≤ V1

0f .

Be w e i s : f ∈ C[0, 1] ======⇒Lemma 2.6

(Bnf)′ (x) = n

n−1∑

j=0

∆1/nf

(j

n

)(n− 1j

)xj(1− x)n−1−j

======⇒UA II-5 (iii)

V10(Bnf) ≤

1∫

0

∣∣∣∣∣∣n

n−1∑

j=0

∆1/nf

(j

n

)(n− 1j

)tj(1− t)n−1−j

∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸

|(Bnf)′(t)|

dt

≤ n

n−1∑

j=0

∣∣∣∣∆1/nf

(j

n

)∣∣∣∣︸︷︷︸|f( j+1

n )−f( jn )|

(n− 1j

) 1∫

0

tj(1− t)n−1−j dt

︸︷︷︸1n

=n−1∑

j=0

∣∣∣∣f(j + 1n

)− f

(j

n

)∣∣∣∣︸︷︷︸

V(f( jn ), j=0,...,n)

≤ V10f


Nachteil : Approximations”geschwindigkeit“ sehr langsam (im Vergleich zu anderen Methoden)

y siehe z.B. Satz 2.13 unten

Lemma 2.12 Es existiert ein c > 0, so dass fur alle n ∈ N und alle x ∈ [0, 1] gilt

∑

| kn−x|≥n−1/4

(n

k

)xk(1− x)n−k ≤ c

n32.

Be w e i s : setzen Sm(x) :=n∑

k=0

(k − nx)m

(n

k

)xk(1− x)n−k , m ∈ N

=⇒ S0(x) =n∑

k=0

(n

k

)xk(1− x)n−k = 1, S2(x) =

(12)nx(1− x),

S1(x) = n

n∑

k=0

k

n

(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸(Bn id)(x)=x

− nx

n∑

k=0

(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸1

= nx− nx = 0

außerdem fur 0 < x < 1,

S′m(x) =n∑

k=0

(k − nx)m−1

(n

k

)xk−1(1− x)n−k−1

[−mnx(1− x) + k(1− x)(k − nx)− (n− k)x(k − nx)︸︷︷︸

(k−nx)2

]

= −mnSm−1(x) +Sm+1(x)x(1− x)

y Sm+1(x) = x(1− x) [S′m(x) +mnSm−1(x)] , m ∈ Ny Sm, m ∈ N, Polynome in x und n : S2, S3 ∈ P1(n), S4, S5 ∈ P2(n), S6, S7 ∈ P3(n), . . . , d.h.

∃ c > 0 ∀ x ∈ [0, 1] : |S6(x)| ≤ c n3

sei

∣∣∣∣k

n− x

∣∣∣∣ ≥ n−14 ⇐⇒ |k − nx| ≥ n 3

4 =⇒ (k − nx)6 ≥ n92 ⇐⇒ (k − nx)6

n92

≥ 1 y

∑

| kn−x|≥n−1/4

(n

k

)xk(1− x)n−k ≤ 1

n92

n∑

k=0

(k − nx)6(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸= S6(x) ≤ c n3

≤ c

n32

Satz 2.13 (Voronovskaya24, 1932)Seien f beschrankt in [0, 1], und x0 ∈ [0, 1], so dass f ′′(x0) existiert. Dann gilt

limn→∞

n [(Bnf)(x0)− f(x0)] =x0(1− x0)

2f ′′(x0) .

Be w e i s : verwenden Taylor-Entwicklung von f bei x0,

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2(x− x0)2 + r(x)(x− x0)2 mit lim

x→x0r(x) = 0

====⇒x := k

n

f

(k

n

)= f(x0) + f ′(x0)

k − nx0

n+f ′′(x0)

2(k − nx0)2

n2+ r

(k

n

)(k − nx0)2

n2

24Elizaveta Vladimirovna Voronovskaya (∗ 1898 † 197? )


(Bnf) (x0) =n∑

k=0

[f(x0) + f ′(x0)

k − nx0

n+

(f ′′(x0)

2+ r

(k

n

))(k − nx0)2

n2

]

︸︷︷︸f( k

n )

(n

k

)xk

0(1− x0)n−k

= f(x0)n∑

k=0

(n

k

)xk

0(1− x0)n−k

︸︷︷︸1

+f ′(x0)n

n∑

k=0

(k − nx0)(n

k

)xk

0(1− x0)n−k

︸︷︷︸0

+f ′′(x0)

2n2

n∑

k=0

(k − nx0)2(n

k

)xk

0(1− x0)n−k

︸︷︷︸nx0(1−x0), (12)

+n∑

k=0

r

(k

n

)(k

n− x0

)2 (n

k

)xk

0(1− x0)n−k

︸︷︷︸=:Rn(x0)

= f(x0) +x0(1− x0)

2nf ′′(x0) + Rn(x0)

y g.z.z. : limn→∞

nRn(x0) = 0

sei ε > 0 ========⇒lim

x→x0r(x) = 0

∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 ∀ x ∈ [0, 1], |x− x0| < n−14 : |r(x)| < ε

seien M := sup0≤x≤1

r(x)(x− x0)2, n ≥ n0 y

∑

| kn−x0|<n−14

∣∣∣∣r(k

n

)∣∣∣∣︸︷︷︸

<ε

(k

n− x0

)2 (n

k

)xk

0(1− x0)n−k < ε

n∑

k=0

(k

n− x0

)2 (n

k

)xk

0(1− x0)n−k

︸︷︷︸=

x0(1−x0)n , (12)

< ε

≤ 14︷︸︸︷

x0(1− x0)n

≤ ε

4n, n ≥ n0

∑

| kn−x0|≥n−14

∣∣∣∣r(k

n

)∣∣∣∣(k

n− x0

)2

︸︷︷︸≤M

(n

k

)xk

0(1− x0)n−k ≤ M∑

| kn−x0|≥n−14

(n

k

)xk

0(1− x0)n−k

︸︷︷︸≤ c n−

32 , Lemma 2.12

≤ Mc√n︸︷︷︸

< ε2 , n≥n1

1n

<ε

2n, n ≥ n1

=⇒ |n Rn(x0)| < ε

4+

ε

2< ε, fur n ≥ max(n0, n1)

Ubung II-6 : Verifizieren Sie Satz 2.13 durch direkte Berechnung fur

a) f(x) = ex b) g(x) = x3 .

y”langsame“ Konvergenz bzw.

”schlechte“ Approximationsordnung 99K Begriff der Saturation


Definition 2.14 Sei ϕ : R+ −→ R+ stetig mit limx→∞

ϕ(x) = 0. Eine Folge (Tn)n von Approximations-

operatoren heißt saturiert mit Ordnung ϕ, wenn gelten

(i) o-Klasse

limn→∞

‖Tnf − f‖∞ϕ(n)

= 0 ⇐⇒ Tnf = f, n ∈ N,

(ii) O-Klasse f : lim sup

n→∞‖Tnf − f‖∞

ϕ(n)<∞

\ f : Tnf = f 6= ∅.

Bemerkung : Deutung : (ii) ∼”optimale“ Approximationsordnung O (ϕ(n)) wird fur hinreichend große

Klasse von Funktionen erreicht,”bessere“ Ordnung o(ϕ(n)) nur von den unter Tn invari-

anten

Satz 2.15 Die Bernstein-Polynome (Bn)n auf C[0, 1] sind saturiert mit Ordnung ϕ(n) = 1n .

Be w e i s : O-Bedingung (ii) : Satz 2.13 y

∅ 6= f ∈ C2[0, 1] : f ′′ 6≡ 0

⊂f : lim sup

n→∞‖Bnf − f‖∞

ϕ(n)<∞

\ f : Bnf = f

(zur Erinnerung : f ∈ C2[0, 1], f ′′ ≡ 0 ⇐⇒ f linear)

n.z.z. : limn→∞

‖Bnf − f‖∞ϕ(n)

= 0 ⇐⇒ Bnf = f, n ∈ N

g.z.z. : limn→∞

n (Bnf − f) (x) = 0, x ∈ [0, 1] =⇒ f linear (−−−−−−−−→UA II-2 (a),(b)

Bnf = f , n ∈ N)

zeigen :lim sup

n→∞n (Bnf − f) (x) ≥ 0, x ∈ [0, 1] =⇒ f konvex (14)

Annahme : f nicht konvex, d.h.

∃ x0, x1 ∈ [0, 1], x0 < x1 ∃ λ ∈ (0, 1) : λf(x0) + (1− λ)f(x1) < f (λx0 + (1− λ)x1)

ξ := λx0 + (1− λ)x1 ∈ (0, 1) y

∃ ε > 0 : λf(x0) + (1− λ)f(x1) < λf(x0) + (1− λ)f(x1) + εξ(1− ξ) < f (ξ)

seien

h(x) := f(x0) +f(x1)− f(x0)

x1 − x0(x− x0) =⇒ h(xj) = f(xj), j = 0, 1, h(ξ) < f(ξ)

undg(x) = h(x) + ε x(1− x)︸︷︷︸

>0, x∈(0,1)

=⇒ g(xj) > f(xj), j = 0, 1, g(ξ) < f(ξ)

=⇒ ∃ [a, b] ⊂ [x0, x1] : (f − g)(a) = (f − g)(b) = 0, (f − g)(x) > 0, x ∈ (a, b)

=⇒ ∃ η ∈ (a, b) : (f − g)(η) = maxy∈[a,b]

(f − g)(y)

seien a < α < η < β < b, x ∈ [α, β] : (f − g)(x)− (f − g)(η) ≤ 0 y

f(x) ≤ k(x) := g(x) + (f − g)(η), x ∈ [α, β], f(η) = k(η)

2.3 Positive lineare Operatoren 45

setzen k fort zu k ∈ C2[0, 1] mit k(x) ≥ f(x), x ∈ [0, 1] ======⇒Satz 2.8 (ii)

(Bnk

)(x) ≥ (Bnf) (x)

lim supn→∞

n (Bnf − f) (η) ≤ lim supn→∞

n((Bnk

)(η)− f(η)︸︷︷︸

ek(η)

)

= limn→∞

n(Bnk − k

)(η)

=Satz 2.13

η(1− η)2

k′′(η)︸︷︷︸k′′(η)=g′′(η)≡−2ε

= − ε η(1− η) < 0

f

x0 ξ η x1

h

g

k

=⇒ lim supn→∞

n (Bnf − f) (η) < 0 99K Widerspruch zu (14)

sei jetzt 0 = limn→∞

n (Bnf − f) (x) = limn→∞

n (Bn(−f)− (−f))︸︷︷︸f−Bnf

(x), x ∈ [0, 1] ==⇒(14)

f,−f konvex

=⇒ f konvex & konkav ⇐⇒ f linear

Folgerung 2.16 Fur f ∈ C[0, 1] sind folgende Aussagen aquivalent :

(i) f linear, d.h. f(x) = ax+ b, a, b ∈ R(ii) Es gilt

limn→∞

n ‖Bnf − f‖∞ = 0 .

(iii) Fur jedes x ∈ [0, 1] istlim

n→∞n (Bnf − f) (x) = 0 .

Bemerkung :”Parabel-Methode“ im Beweis, Idee von Schwarz25, ursprunglich verwendet zum Nachweis

dafur, dass fur stetige f gilt

f konvex in I ⇐⇒ lim suph↓0

f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)h2

≥ 0, x ∈ I

99K f im Maximum η durch”passende“ Parabel k majorisiert (statt Tangente)

2.3 Positive lineare Operatoren

Verallgemeinerungen von Satz 2.4:

• Bernstein-Operatoren als spezielle positive lineare Operatoren in C[a, b] 99K Satz 2.18 :”Hauptsatz

der Theorie positiver linearer Approximationsverfahren“

• f ∈ C[a, b] 99K mehrdimensionaler Fall, bzw. f ∈ C(M), M kompakter topologischer Raum99K Satz 2.27 (Stone-Weierstraß)

25Hermann Amandus Schwarz (∗ 25.1.1843 Hermsdorf (Schlesien) † 30.11.1921 Berlin)


Definition 2.17 Seien −∞ < a < b <∞.

(i) Dann heißtC+ := f ∈ C[a, b] : f(x) ≥ 0, x ∈ [a, b]

positiver Kegel in C[a, b].

(ii) Ein linearer Operator T : C[a, b] −→ C[a, b] heißt positiver linearer Operator, falls gilt

T(C+

) ⊆ C+ .

Beispiel :Bn linear, n ∈ N ====⇒Satz 2.8

Bn, n ∈ N, positive, lineare Operatoren

Bemerkung : ‖Bn‖ = 1, n ∈ N : h0 ≡ 1 ∈ C[0, 1] =====⇒UA II-2(a)

Bnh0 = h0, ‖h0‖C[0,1] = 1 y ‖Bn‖ ≥ 1

andererseits :

‖Bnf‖C[0,1] ≤ supx∈[0,1]

n∑

k=0

∣∣∣∣f(k

n

)∣∣∣∣︸︷︷︸≤ ‖f‖C[0,1]

(n

k

)xk(1− x)n−k ≤ ‖f‖C[0,1]

n∑

k=0

(n

k

)xk(1− x)n−k

︸︷︷︸= 1

≤ ‖f‖C[0,1] =⇒ ‖Bn‖ ≤ 1

y ‖Bn‖ = 1, n ∈ N y ∀ f ∈ C[0, 1] ∀ n ∈ N : ‖Bnf‖C[0,1] ≤ ‖f‖C[0,1]

99K Bn ”Kontraktionen“ auf C[0, 1]

Ubung II-7 : Zeigen Sie folgende Eigenschaften eines positiven linearen Operators T : C[a, b] −→ C[a, b].

(a) Fur alle g, h ∈ C[a, b] gilt

|g| ≤ h =⇒ |Tg| ≤ Th,

d.h. |g(x)| ≤ h(x), x ∈ [a, b] =⇒ |(Tg)(x)| ≤ (Th)(x), x ∈ [a, b].

(b) T ist beschrankt, es gilt ‖T‖ = ‖Th0‖∞ mit h0 ≡ 1 in [a, b].

(c) Beweisen Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung,

|(T [fg]) (x)| ≤√

(T [f2]) (x)√

(T [g2]) (x), f, g ∈ C[a, b], x ∈ [a, b].

Satz 2.18 (Bohman-Korovkin)Sei (Ln)n eine Folge positiver linearer Operatoren, Ln : C[a, b] −→ C[a, b], n ∈ N, fur die zusatzlichgelte

limn→∞

‖hk − Lnhk‖∞ = 0, mit hk(x) = xk, k = 0, 1, 2. (15)

Dann folgt fur alle Funktionen f ∈ C[a, b]

limn→∞

‖f − Lnf‖∞ = 0.

Be w e i s : Seien f ∈ C[a, b], ε > 0; z.z. : ∃ n0 = n0(ε) ∀ n ≥ n0 : supx∈[a,b]

|f(x)− (Lnf)(x)|︸︷︷︸

‖f−Lnf‖∞

< ε


Sei x ∈ [a, b] beliebig =======⇒f glm. stetig

∃ δ > 0 ∀ y ∈ [a, b], |x− y| < δ : |f(x)− f(y)| < ε

o.B.d.A. δ <b− a

2, fuhren Hilfsfunktionen ein

ϕx(t) :=

χ[x−δ,x+δ]

(t), a+ δ < x < b− δχ

[x−δ,b](t), b− δ ≤ x ≤ b

χ[a,x+δ]

(t), a ≤ x ≤ a+ δ,

µx(t) := 1− ϕx(t), ψx(t) := (t− x)2 , t ∈ [a, b]

y h0 ≡ ϕx + µx, ψx ∈ C[a, b]; sei t ∈ [a, b] beliebig

y |f(t)− f(x)| = |(ϕx(t) + µx(t))(f(t)− f(x))| ≤≥0︷︸︸︷ϕx(t) |f(t)− f(x)|︸︷︷︸

<ε=ε h0(t)

+

≥0︷︸︸︷µx(t) |f(t)− f(x)|︸︷︷︸

≤ 2 ‖f‖∞< ε h0(t) + 2 ‖f‖∞ µx(t) (16)

wollen verwenden : u, v ∈ C[a, b], |u(y)| ≤ v(y) =====⇒UA II-7(a)

|(Lnu)(y)| ≤ (Lnv)(y)

y majorisieren unstetige Funktion µx durch (geeignete) stetige Funktion,

µx(t) ≤ 1δ2

ψx(t) =1δ2

[h2(t)− 2xh1(t) + x2h0(t)

]1

x

µx

x− δ x+ δ

1δ2ψx

u(t) := f(t)− f(x)h0(t), v(t) := ε h0(t) +2 ‖f‖∞δ2

[h2(t)− 2xh1(t) + x2h0(t)

]

==⇒(16)

|u(t)| ≤ v(t) =====⇒UA II-7(a)

|(Lnu)(t)| ≤ (Lnv)(t)

===⇒t = x

∣∣∣

(Lnu)(x)︷︸︸︷(Lnf)(x)− f(x) (Lnh0) (x)

∣∣∣ ≤

(Lnv)(x)︷︸︸︷ε (Lnh0)(x) +

2‖f‖∞δ2

(Ln

[h2 − 2xh1 + x2h0

])(x)

|(Lnf)(x)− f(x)| ≤ |(Lnf)(x)− f(x)(Lnh0)(x)|+ |f(x)(Lnh0)(x)− f(x)|

≤ ε‖Lnh0‖∞ +2‖f‖∞δ2

∥∥Ln

(h2 − 2xh1 + x2h0

)∥∥∞ + ‖f‖∞ ‖Lnh0 − h0‖∞

==⇒sup

‖Lnf − f‖∞ ≤ ε‖Lnh0‖∞ +2‖f‖∞δ2

∥∥Ln

(h2 − 2xh1 + x2h0

)∥∥∞ + ‖f‖∞ ‖Lnh0 − h0‖∞ (17)

‖Lnh0‖∞ ≤ ‖Lnh0 − h0‖∞︸︷︷︸<ε, n≥n1, (15)

+ ‖h0‖∞︸︷︷︸1

< 1 + ε fur n ≥ n1 (18)

o.B.d.A. f 6≡ 0, h2(x)− 2xh1(x) + x2h0(x) = 0 y∣∣Ln

(h2 − 2xh1 + x2h0

)(x)

∣∣

=∣∣[(Lnh2)(x)− h2(x)]− 2x [(Lnh1)(x)− h1(x)] + x2 [(Lnh0)(x)− h0(x)]

∣∣

≤ ‖Lnh2 − h2‖∞︸︷︷︸

<ε δ22‖f‖∞ , n≥n2, (15)

+ 2 supx∈[a,b]

|x|︸︷︷︸

=:c1

‖Lnh1 − h1‖∞︸︷︷︸

<ε δ22c1‖f‖∞ , n≥n3, (15)

+ supx∈[a,b]

x2

︸︷︷︸=:c2

‖Lnh0 − h0‖∞︸︷︷︸

<ε δ22c2‖f‖∞ , n≥n4, (15)

==⇒sup

2‖f‖∞δ2

∥∥Ln

(h2 − 2xh1 + x2h0

)∥∥∞ < 3 ε fur n ≥ max(n2, n3, n4)


=====⇒(17), (18)

‖Lnf − f‖∞ < ε(1 + ε) + 3 ε+ ‖f‖∞ ε = ε (4 + ε+ ‖f‖∞)︸︷︷︸=:c(f)

fur n ≥ n0 := maxi=1,...,4

ni

Bemerkung : [a, b] = [0, 1], (Bn)n positiv, linear, Ubungsaufgabe II-2 (a)-(c) y

Bnh0 − h0 ≡ 0, Bnh1 − h1 ≡ 0, ‖Bnh2 − h2‖∞ =1n

supx∈[0,1]

∣∣x− x2∣∣

︸︷︷︸14

=14n−−−−→n→∞

0,

d.h. Satz 2.18 =⇒ Satz 2.4

nachstes Ziel : 2. Approximationssatz von Weierstraß fur trigonometrische Polynome als Folgerung aus Ana-logon zu Satz 2.18

betrachten dazu Fejer26 -Polynome Fnf : sei f ∈ C2π(R), mit

Sn[f ](x) =a0(f)

2+

n∑

k=1

(ak(f) cos(kx) + bk(f) sin(kx))

undak(f) =

1π

π∫

−π

f(x) cos(kx) dx, k ∈ N0, bk(f) =1π

π∫

−π

f(x) sin(kx) dx, k ∈ N

Man betrachtet Fejer-Operatoren Fn : C2π(R) −→ Tn ⊂ C2π(R) mit

Fnf :=1n

n−1∑

k=0

Sk[f ], d.h. (Fnf) (x) =S0[f ](x) + · · ·+ Sn−1[f ](x)

n, x ∈ [−π, π], n ∈ N

Ubung II-8 : Zeigen Sie sukzessive :

(i) Fur x 6= 2mπ, m ∈ Z, und n ∈ N gilt :12

+n∑

k=1

cos(kx) =sin

(2n+1

2 x)

2 sin(

x2

)

(ii) Fur x 6= 2mπ, m ∈ Z, und n ∈ N gilt :n−1∑

k=0

sin(

2k+12 x

)

sin(

x2

) =

(sin

(nx2

)

sin(

x2

))2

(iii) Fur x ∈ R, n ∈ N0, und Dn(t− x) :=12

+n∑

k=1

cos (k(t− x)), D0(x) :=12, gilt :

Sn[f ](x) =1π

π∫

−π

Dn(t− x)f(t) dt

(iv) Fur x ∈ R, n ∈ N, und Kn(t− x) := 2n−1∑

k=0

Dk(t− x) gilt :

(Fnf) (x) =1

2nπ

π∫

−π

Kn(t− x)f(t) dt

(v) Es gilt : Fn1 ≡ 1, (Fn cos) (x) =n− 1n

cos(x), (Fn sin) (x) =n− 1n

sin(x), n ∈ N

26Lipot Fejer (∗ 9.2.1880 Pecs (Ungarn) † 15.10.1959 Budapest)


Bemerkung : • n-ter Dirichlet27-Kern, n ∈ N0

Dn(t− x) =12

+n∑

k=1

cos (k(t− x)) =

sin(

2n+12 (t− x))

2 sin(

t−x2

) , t 6= x+ 2mπ, m ∈ Z

2n+ 12

, t = x+ 2mπ, m ∈ Z

• n-ter Fejer -Kern, n ∈ N

Kn(t− x) = 2n−1∑

k=0

Dk(t− x) =

sin

(n(t−x)

2

)

sin(

t−x2

)

2

, t 6= x+ 2mπ, m ∈ Z

n2, t = x+ 2mπ, m ∈ Z

Definition 2.19

(i) Man nennt Cπ

+ := f ∈ C2π(R) : f(x) ≥ 0, x ∈ R positiven Kegel in C2π(R).

(ii) Ein linearer Operator T : C2π(R) −→ C2π(R) heißt positiver linearer Operator, falls gilt

T(C

π

+

)⊆ C π

+ .

Beispiel : Fn, n ∈ N, positive, lineare Operatoren (UA II-8 (iv))

trigonometrisches Analogon zu Satz 2.18 :

Satz 2.20 (Bohman-Korovkin)Sei (Ln)n eine Folge positiver linearer Operatoren, Ln : C2π(R) −→ C2π(R), n ∈ N, fur die zusatzlichgelte

limn→∞

‖gk − Lngk‖∞ = 0, k = 0, 1, 2, mit g0(x) ≡ 1, g1(x) = cosx, g2(x) = sinx. (19)

Dann folgt fur alle Funktionen f ∈ C2π(R)

limn→∞

‖f − Lnf‖∞ = 0.

Be w e i s : wesentlicher Trick im Beweis von Satz 2.18 : Majorisierung der unstetigen Funktion µx durcheine (geeignete) stetige Funktionen ψx, die sich als Linearkombination der

”Testfunktionen“ darstellen ließ,

µx(t) ≤ 1δ2

ψx(t) =1δ2

[h2(t)− 2xh1(t) + x2h0(t)

],

dann Ausnutzen des Positivitat & Linearitat der (Ln)n 99K passender”Ersatz“

27Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (∗ 13.2.1805 Duren † 5.5.1859 Gottingen)


ψx(t) :=12g0(t)︸︷︷︸

1

− cos(x)2

g1(t)︸︷︷︸cos(t)

− sin(x)2

g2(t)︸︷︷︸sin(t)

=1− cos(x− t)

2

= sin2

(x− t

2

), t ∈ R

=⇒ µx(t) ≤ 1sin2

(δ2

) ψx(t)

Rest analog zu Beweis vonSatz 2.18 . . .

1µx

xx− δ x+ δ

1

sin2( δ2 )ψx

x+2π x+2π+δx+2π−δ

Folgerung 2.21 Sei (Fn)n die Folge der Fejer-Operatoren. Dann gilt fur alle f ∈ C2π(R)

limn→∞

‖f −Fnf‖∞ = 0.

Be w e i s : folgt unmittelbar aus UA II-8 (iv),(v) und Satz 2.20

Bemerkung : • ursprunglicher Beweis von Fejer direkt

• Einfuhrung, Satz 0.1 y Folge der Partialsummen der Fourier-Reihe muß wedergleichmaßig noch punktweise gegen f ∈ C2π(R) konvergieren, aber Folge der arith-metischen Mittel der Partialsummen ( 99K Fejer-Polynome) stets gleichmaßig !

Folgerung 2.22 (2. Approximationssatz von Weierstraß)Sei f ∈ C2π(R). Dann existiert eine Folge trigonometrischer Polynome (tn)n, die gleichmaßig auf R gegenf konvergiert.

Bemerkung : Verallgemeinerung der Satze 2.18, 2.20 : Seien X ein kompakter Hausdorff28 -Raum29 mitmindestens zwei Elementen, m ∈ N, und f1, . . . , fm reellwertige, stetige Funktionen aufX mit der folgenden Eigenschaft :

∀ k = 1, . . . ,m ∃ ak ∈ C(X), reellwertig ∀ x ∈ X :

Py(x) :=m∑

k=1

ak(y) fk(x) ≥ 0, Py(x) = 0 ⇐⇒ x = y(20)

Sei nun (Ln)n eine Folge positiver, linearer Operatoren von C(X) in C(X), die zusatzlich

limn→∞

‖fk − Lnfk‖∞ = 0, k = 1, . . . ,m,

erfullen, dann folgt fur alle f ∈ C(X)

limn→∞

‖f − Lnf‖∞ = 0.

Beweis : siehe z.B. [Lor66, Ch. 1, Thm. 3]

28Felix Hausdorff (∗ 8.11.1868 Breslau † 26.1.1942 Bonn)29 topolog. Raum X Hausdorff - Raum ⇐⇒ ∀ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∃ V, V ′ ⊂ X offen : x ∈ V, x′ ∈ V ′, V ∩ V ′ = ∅

Hausdorff-Raum ∼ separierter topologischer Raum


Beispiele : X = [a, b] : m = 3, f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = x2, a1(y) = y2, a2(y) = −2y, a3(y) = 1

=⇒ Py(x) = (y − x)2 y (20) X 99K Satz 2.18

X = T : m = 3,

f1(x) = 1, f2(x) = cos(x), f3(x) = sin(x), a1(y) =12, a2(y) = − cos(y)

2, a3(y) = − sin(y)

2

=⇒ Py(x) = sin2

(y − x

2

)y (20) X in T 99K Satz 2.20

betrachten Verallgemeinerung von Fourier- und Fejer-Summen:

1m

n+m−1∑

k=n

Sk[f ] =

Fm, n = 0Sn[f ], m = 1

speziell m = n:

(Vnf) (x) =1n

2n−1∑

k=n

Sk[f ](x) = 2 (F2nf) (x)− (Fnf) (x), x ∈ [−π, π]

Vnf ∈ T2n−1 . . . de la Vallee-Poussin30-Polynome, Vn : C2π(R) −→ C2π(R) . . . de la Vallee-Poussin-Operatoren

Ubung II-9 : Zeigen Sie folgende Eigenschaften der de la Vallee-Poussin-Operatoren Vn, n ∈ N.

(i) Vn(t) = t, t ∈ Tn

(ii) limn→∞

‖f − Vnf‖∞ = 0, f ∈ C2π(R)

(iii) ‖Vn‖ ≤ 3

(iv) Sei g(x) = | cosx|. Dann existiert ein c > 0, so dass fur alle n ∈ N gilt

(Vng)(π

2

)− g

(π2

)≥ c

n.

Folgerung 2.23 (De La Vallee-Poussin-Operatoren)

Seien (Vn)n die de la Vallee-Poussin-Operatoren. Dann gilt fur n ∈ N,

‖f − Vnf‖∞ ≤ 4 δ (f, Tn) , f ∈ C2π(R).

Be w e i s : Seien f ∈ C2π(R), und tn ∈ Tn mit ‖f − tn‖∞ = δ(f, Tn)

y ‖f − Vnf‖∞ ≤ ‖f − tn‖∞︸︷︷︸δ(f,Tn)

+ ‖tn − Vntn‖∞︸︷︷︸0,UA II-9(i)

+ ‖Vn‖︸︷︷︸≤3,UA II-9(iii)

‖f − tn‖∞︸︷︷︸δ(f,Tn)

≤ 4δ(f, Tn)

30Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallee-Poussin (∗ 14.8.1866 Louvain / Belgien † 2.3.1962 Louvain)

2.4 Satz von Stone-Weierstraß, Muntz-Satze 53

y limn→∞

n (|b(x0)| − (Lnb)(x0)|)︸︷︷︸±|x0|(Lnh0)(x0)

≤ |x0| limn→∞

n |h0(x0)− (Lnh0)(x0)|︸︷︷︸

0, (21)

+ limn→∞

n |(Lnb)(x0)− |x0|(Lnh0)(x0)|︸︷︷︸

0, (23)

= 0

=====⇒glm. in x0

limn→∞

n ‖b− Lnb‖∞ = 0 y limn→∞

n δ(b,Pn) = 0 Bemerkung : • Deutung: positive lineare Operatoren (Ln)n saturiert mit Ordnung bestenfalls n−2

• langsame Approximationsgeschwindigkeit quasi unvermeidlich fur”shape properties“ :

seien (Tn)n : C[0, 1] −→ Pn Operatoren mit

f (k) ≥ 0 =⇒ (Tnf)(k) ≥ 0, n ∈ N, k ∈ N0

Dann existiert ein f ∈ C[0, 1], f = (· − x)2, so dass fur alle n ∈ N gilt

x(1− x)n

= (Bnf) (x) ≤ (Tnf)(x)

und”=“ ⇐⇒ Bn ≡ Tn (Berens/DeVore, 1980)

2.4 Satz von Stone-Weierstraß, Muntz-Satze

bisher : f ∈ C[a, b] (oder C2π(R)) 99K verallgemeinern auf hohere Dimensionen, z.B.

Q = [a1, b1]× · · · × [an, bn] ⊂ Rn ,

verallgemeinerte Bernstein-Polynome moglich,

(Bαf) (x) =α1∑

k1=0

· · ·αn∑

kn=0

f

(k1

α1, . . . ,

kn

αn

) n∏

j=1

(αj

kj

)x

kj

j (1− xj)αj−kj ,

fur x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn

wahlen gleich allgemeineren Zugang : C(X) reellwertig, d.h. f ∈ C(X) ⇐⇒ f : X −→ R, stetig

Idee : f, g ∈ C(X) =⇒ f + g, f · g ∈ C(X)

99K C(X) nicht nur Vektorraum, sondern sogar Algebra

Definition 2.26

(i) Eine Algebra A ist eine Menge, auf der Addition und Multiplikation definiert sind, und die unter diesenOperationen abgeschlossen ist.

(ii) Eine Subalgebra (Unteralgebra) U ⊂ A einer Algebra A ist eine Teilmenge von A, die unter Additionund Multiplikation abgeschlossen ist.

Beispiele : • P :=⋃n

Pn . . . Menge der algebraischen Polynome (beliebiger Ordnung)

=⇒ P ⊂ C(I) Unteralgebra von A = C(I)

• Pn ⊂ C(I) Subalgebra von C(I) ⇐⇒ n = 0


Satz 2.27 (Satz von Stone 31-Weierstraß)

Seien X ein kompakter metrischer Raum und A ⊂ C(X) eine Unteralgebra mit den beiden Eigenschaften

(i) A ist punktetrennend, d.h.

∀ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∃ f ∈ A : f(x) 6= f(x′)(ii) 1 ∈ ADann ist A dicht in C(X).

Bemerkung : • A dicht in C(X) ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∀ f ∈ C(X) ∃ a ∈ A : ‖f − a‖∞ < ε⇐⇒ A = C(X)

• Forderung (i) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig : sei A nicht punktetren-nend, d.h.

∃ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∀ a ∈ A : a(x) = a(x′)

sei jetzt f ∈ C(X) mit f(x) 6= f(x′)32 y

0 < |f(x)− f(x′)| ≤ |f(x)− a(x)|+ |a(x)− a(x′)|︸︷︷︸0

+|f(x′)− a(x′)| ≤ 2 ‖f − a‖∞

=⇒inf

δ(f,A) = infa∈A

‖f − a‖∞ ≥ 12|f(x)− f(x′)| > 0

y A nicht dicht in C(X)

noch einige Vorbereitungen vor dem Beweis von Satz 2.27

Lemma 2.28 Ein reeller Vektorraum V ⊂ C(X) mit 1 ∈ V ist genau dann punktetrennend, wenn es zubeliebigen x, x′ ∈ X mit x 6= x′, und y, y′ ∈ R eine Funktion f ∈ V gibt, so dass gilt

f(x) = y, f(x′) = y′.

Be w e i s :”⇐=“ klar, Umkehrung

seien jetzt x, x′ ∈ X, x 6= x′, y, y′ ∈ R gegeben, g.z.z. : ∃ f ∈ V : f(x) = y, f(x′) = y′

V punktetrennend =⇒(ii)∃ g ∈ V : g(x) 6= g(x′), setzen

f(t) := y′g(t)− g(x) · 1(t)g(x′)− g(x) + y

g(t)− g(x′) · 1(t)g(x)− g(x′)

Bezeichnungen : seien f, g ∈ C(X) (reellwertig) =⇒ |f |, max(f, g), min(f, g) ∈ C(X), gegeben durch

|f |(x) = |f(x)|, max(f, g)(x) = maxf(x), g(x), min(f, g)(x) = minf(x), g(x), x ∈ X

31Marshall Harvey Stone (∗ 8.4.1903 New York † 9.1.1989 Madras)

32Existenz von f : X metrisch, x ∈ V , x′ ∈ V ′, V ∩V ′ = ∅, o.B.d.A. V, V ′ ⊂ X abgeschlossen y f(y) :=δ(y, V )

δ(y, V ) + δ(y, V ′)=⇒ f(x) = 0, f(x′) = 1; i.a. : Lemma von Urysohn, siehe z.B. [Kot60, §6.4]


Lemma 2.29 Sei A ⊂ C(X) eine Unteralgebra zu C(X) mit 1 ∈ A.

(i) f ∈ A =⇒ |f | ∈ A(ii) f, g ∈ A =⇒ max(f, g) ∈ A, min(f, g) ∈ A(iii) Sei F ⊂ A eine endliche Teilmenge, dann gilt max f : f ∈ F ∈ A, min f : f ∈ F ∈ A

Be w e i s : zu (i) : sei f ∈ A, verwenden Satz von Weierstraß mit [a, b] = [−‖f‖∞, ‖f‖∞] fur h(x) = |x|

y h ∈ C [−‖f‖∞, ‖f‖∞] ====⇒Satz 2.1

∃ (pn)n, pn ∈ P : ‖pn − h‖∞glm.−−−−→

n→∞0; f ∈ A ====⇒

Algebrapn(f) ∈ A

y∥∥∥pn(f)− |f |︸︷︷︸

h(f)

∥∥∥C(X)

= supx∈X

|pn (f(x))− h (f(x))| ≤ξ = f(x)

sup|ξ|≤‖f‖∞

|pn(ξ)− h(ξ)|︸︷︷︸

‖pn−h‖∞

−−−−→n→∞

0

======⇒pn(f) ∈ A

|f | ∈ A

zu (ii), (iii) : max(f, g) =f + g + |f − g|

2, min(f, g) =

f + g − |f − g|2

außerdem : A Algebra ====⇒UA II-10

A Algebra =⇒(i)

(ii) ==⇒Ind.

(iii)

Ubung II-10 : Zeigen Sie, dass fur eine Algebra A ⊂ C(X) stets gilt A Algebra.

B e w e i s : (von Satz 2.27)

sei f ∈ C(X), z.z.: f ∈ A =========⇒A abgeschlossen

g.z.z. : ∀ ε > 0 ∃ aε ∈ A : ‖aε − f‖∞ < ε

seien ε > 0, x, ξ ∈ X, x 6= ξ ======⇒Lemma 2.28

∃ hx,ξ ∈ A ⊂ C(X) : hx,ξ(x) = f(x), hx,ξ(ξ) = f(ξ)

setzenΩx,ξ :=

y ∈ X : hx,ξ(y) < f(y) +

ε

2

⊂ X, x, ξ ∈ X

y x, ξ ⊂ Ωx,ξ, Ωx,ξ offen (als Urbild offener Mengen unter stetigen Funktionen), und

X ⊇⋃

ξ∈X, ξ 6=x

Ωx,ξ ⊇⋃

ξ∈X, ξ 6=x

x, ξ︸︷︷︸

X

=⇒ X︸︷︷︸

kompakt

=⋃

ξ∈X, ξ 6=x

Ωx,ξ

︸︷︷︸offen

, x ∈ X

=======⇒offene Uberd.

∀ x ∈ X ∃ Fx ⊂ X, #Fx <∞ : X =⋃

ξ∈Fx

Ωx,ξ

setzen hx := minhx,ξ : ξ ∈ Fx, x ∈ X ========⇒Lemma 2.29(iii)

hx ∈ A, hx(y) ≤ f(y) +ε

2, x, y ∈ X

definieren jetzt

Ωx :=y ∈ X : hx(y) > f(y)− ε

2

⊂ X, x ∈ X

y x ∈ Ωx, Ωx offen, und

X ⊇⋃

x∈XΩx ⊇

⋃

x∈Xx

︸︷︷︸X

=⇒ X︸︷︷︸

kompakt

=⋃

x∈XΩx

︸︷︷︸offen

=⋃

x∈FΩx fur ein F ⊂ X, #F <∞

mit aε := maxhx : x ∈ F ========⇒Lemma 2.29(iii)

aε ∈ A, aε(y) ≥ f(y)− ε

2, y ∈ X

y f(y)− ε < aε(y) < f(y) + ε, y ∈ X ⇐⇒ ‖f − aε‖∞ < ε


Beispiele : (1) Seien X ⊂ Rk, k ∈ N, X kompakt, A ⊂ C(X) Unteralgebra aller reellen Polynomein x1, . . . , xk, p(x) = p(x1, . . . , xk); dann gilt

(i) 1A = p0 ∈ A, p0(x1, . . . , xk) ≡ 1

(ii) x = (x1, . . . , xk), ξ = (ξ1, . . . , ξk) ∈ X, x 6= ξ =⇒ ∃ j ∈ 1, . . . , k : xj 6= ξjsetzen f := pj ∈ A mit pj(y1, . . . , yk) = yj , j = 1, . . . , k

y A punktetrennend =====⇒Satz 2.27

A dicht in C(X) y Verallgemeinerung von Satz 2.1

(2) Seien X = R ∪ ∞ (1-Punkt-Kompaktifizierung), und

C(X) =f ∈ C(R) : −∞ < lim

x→∞f(x) = lim

x→−∞f(x) <∞

,

A =g ∈ C(X) : ∃ p(x) ∈ P ∃ n ∈ N0 : g(x) =

p(x)(1 + x2)n

”rationale Funktionen“

y A ⊂ C(X) Unteralgebra,

(i) 1A = g0 ∈ A, g0 ≡ 1 =p0

(1 + x2)0

(ii) x, ξ ∈ X, x 6= ξ, A 3 f(y) :=

y

1 + y2, xξ 6= 1 ∧ (x, ξ) 6= (0,∞)

1− y2

1 + y2, xξ = 1 ∨ (x, ξ) = (0,∞)

y A punktetrennend =====⇒Satz 2.27

A dicht in C(X)

Folgerung 2.30 Die Menge der trigonometrischen Polynome ist dicht in C2π(R), d.h. jede stetige, 2π-periodische Funktion ist Limes einer gleichmaßig konvergenten Folge trigonometrischer Polynome.

Be w e i s : sei X = S1 = z ∈ C : |z| = 1, naturliche Isomorphie

f ∈ C(X) ←→ f ∈ C2π(R), f(eix

)= f(x), x ∈ R

setzen A = span<e (zk) = cos(kx), =m(zk) = sin(kx), k ∈ N0

y A ⊂ C2π(R) Unteralgebra,

1A = f ≡ 1 ∈ A; seien z, w ∈ X, z 6= w =⇒ <e z 6= <ew : g(ξ) := <e ξ=m z 6= =mw : g(ξ) := =m ξ

Bemerkung : siehe Folgerung 2.22

andere Verallgemeinerung des Satzes von Weierstraß :

verwenden span xα0 , xα1 , . . . ; 0 ≤ α0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ · · · , αi ∈ R als Approximationsraum fur C[0, 1]

Fur welche Folgen α := (αj)j∈N0 ist P(α) := spanR xαj : j ∈ N0 dicht in C[0, 1] ?

Bemerkung : Problem bearbeitet von Bernstein (1912) und Muntz33(1914)

33Hermann (Chaim) Muntz (∗ 1884 Lodz † 1956 )


Beispiele : • α = N0, d.h. αj = j =⇒ P(α) = P =⋃

n Pn

• α ≡ 1, d.h. αj = 1, j ∈ N0 =⇒ P(1) = ax : a ∈ R y keine Dichtheit,

analog : #y ∈ R : ∃ j ∈ N0 : αj = y <∞ y keine Dichtheit

• α = 2N0 =⇒ P(α) ⊂ C[0, 1] dicht, aber nicht in C[−1, 1]

betrachten P(α) als Algebra, A = P(α) y punktetrennend in [0, 1] :

P punktetrennend (siehe Bsp. (1)), d.h. ∀ x, ξ ∈ [0, 1], x 6= ξ ∃ q ∈ P : q(x2) 6= q(ξ2)

y ∃ p ∈ P(α) : p(x) = q(x2) 6= q(ξ2) = p(ξ) =====⇒Satz 2.27

P(2N0) dicht in C[0, 1]

P(2N0) nicht punktetrennend in C[−1, 1], denn

∃ x, x′ ∈ [−1, 1], x 6= x′ := −x ∀ p ∈ P(2N0) : p(x) = p(x′)

===========⇒Bem. nach Satz 2.27

P(2N0) nicht dicht in C[−1, 1]

• α = βN0, β ∈ R+ \ N0 =⇒ P(α) keine Polynome, aber

∀ p ∈ P(α) ∃ q ∈ P : p(x) = q(xβ)

=⇒s.o.P(α) punktetrennend =====⇒

Satz 2.27P(βN0) dicht in C[0, 1]

beweisen Dichtheit von P(α) ⊂ P fur”ausgedunnte“ Folgen α in C[0, 1] mittels Dichtheit von P(α′)

im Hilbertraum H = L2(0, 1),

〈f, g〉2 =

1∫

0

f(x)g(x) dx, ‖f‖2 =

1∫

0

|f(x)|2 dx

12

Lemma 2.31 (Determinantenformel von Cauchy)Seien a = (ak)k∈N, b = (bj)j∈N, ak, bj ∈ R mit ak + bj 6= 0, j, k ∈ N, und n ∈ N. Dann gilt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1a1+b1

1a1+b2

· · · 1a1+bn

1a2+b1

1a2+b2

· · · 1a2+bn

.... . .

...1

an+b11

an+b2· · · 1

an+bn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∏1≤j<k≤n

(aj − ak) (bj − bk)

n∏j,k=1

(aj + bk). (24)

B e w e i s∗ : setzen

Dn :=

1a1+b1

1a1+b2

· · · 1a1+bn

1a2+b1

1a2+b2

· · · 1a2+bn

.... . .

...1

an+b11

an+b2· · · 1

an+bn

, dn = detDn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1a1+b1

1a1+b2

· · · 1a1+bn

1a2+b1

1a2+b2

· · · 1a2+bn

.... . .

...1

an+b11

an+b2· · · 1

an+bn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

betrachten dn als Funktion von ai, bk, i, k = 1, . . . , n, dn = dn(a1, . . . , an, b1, . . . , bn)


sei qn :=n∏

j,k=1

(aj + bk) y qnDn Matrix mit Polynomen in ai, bk als Eintragen y dn =pn

qnrationale Funktion

betrachten Grade der Zahler- und Nenner-Polynome :

deg qn = n2, deg(

1ai + bk

)= −1 ==⇒

Det.deg dn ≤ −n ==⇒

Bem.deg pn ≤ n2 − n = n(n− 1)

außerdem gilt : falls

aj = ak , j 6= kbi = br , i 6= r

=⇒ dn = 0 =⇒ pn = 0

y pn = cn

deg(·)=n(n−1)︷︸︸︷( ∏

1≤j<k≤n

(aj − ak))

︸︷︷︸Anzahl Faktoren :

n(n− 1)

2

( ∏

1≤j<k≤n

(bj − bk))

︸︷︷︸Anzahl Faktoren :

n(n− 1)

2

===========⇒deg pn ≤ n(n− 1)

cn ≡ c ∈ R (unabh. von ai, bk)

n.z.z. : cn = c = 1, o.B.d.A. aj 6= an, j < n, bk 6= bn, k < n

multiplizieren dazu letzte Zeile von Dn mit an und betrachten liman→∞

bzw. limbn→∞

y

limbn→∞

liman→∞

an dn = limbn→∞

liman→∞

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1a1+b1

1a1+b2

· · · 1a1+bn

1a2+b1

1a2+b2

· · · 1a2+bn

.... . .

...an

an+b1an

an+b2· · · an

an+bn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= limbn→∞

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1a1+b1

1a1+b2

· · · 1a1+bn

1a2+b1

1a2+b2

· · · 1a2+bn

.... . .

...

1 1 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1a1+b1

1a1+b2

· · · 01

a2+b11

a2+b2· · · 0

.... . .

...

1 1 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= dn−1

andererseits :

dn =pn

qn= cn

∏1≤j<k≤n

(aj − ak)∏

1≤j<k≤n

(bj − bk)

n∏j,k=1

(aj + bk)

= cn

∏1≤j<k≤n−1

(aj − ak)n−1∏j=1

(aj − an)∏

1≤j<k≤n−1

(bj − bk)n−1∏j=1

(bj − bn)

n−1∏j,k=1

(aj + bk)n∏

k=1

(an + bk)n−1∏j=1

(aj + bn)

= cndn−1

cn−1

n−1∏j=1

(aj − an)n−1∏j=1

(bj − bn)

n∏k=1

(an + bk)n−1∏j=1

(aj + bn)

ycncn−1

=dn

dn−1

n∏k=1

(an + bk)n−1∏j=1

(aj + bn)

n−1∏j=1

(aj − an)n−1∏j=1

(bj − bn)=an dn

dn−1

an + bnan

n−1∏

j=1

an + bjaj − an︸︷︷︸−−−−→

an→∞−1

n−1∏

j=1

aj + bnbj − bn︸︷︷︸−−−−→

bn→∞−1


=⇒ cncn−1

= limbn→∞

liman→∞

cncn−1

= limbn→∞

liman→∞

an dn

dn−1

︸︷︷︸→ 1

an + bnan

︸︷︷︸→ 1

n−1∏

j=1

an + bjaj − an

︸︷︷︸→ (−1)n−1

n−1∏

j=1

aj + bnbj − bn

︸︷︷︸→ (−1)n−1

= (−1)2n−2 = 1

y cn = cn−1 = · · · = c1 = 1

Bemerkung : Der Grad einer rationalen Funktion f = gh sei definiert als deg f := deg g − deg h. Fur

rationale Funktionen f1, f2 gilt (wie fur Polynome) :

deg(f1 + f2) ≤ max deg f1, deg f2 , deg(f1f2) = deg f1 + deg f2.

Ubung II-11 : • Zeigen Sie, dass P dicht in L2(0, 1) ist.

• Sind γn < 0 (oder γn > 0) fur n ≥ n0, n ∈ N, so gilt :

∏

n∈N(1 + γn) konvergent34 ⇐⇒

∑

n∈Nγn konvergent.

Satz 2.32 (Muntz-Satz fur L2[0, 1])Sei α = (αj)j mit 0 ≤ α0 < α1 < α2 < · · · , αi ∈ R. Dann ist P(α) dicht in L2[0, 1] genau dann,falls gilt

∞∑

j=1

1αj

= ∞ .

Be w e i s : setzen hk(x) := xαk , k ∈ N0, x ∈ [0, 1] =========⇒αj 6= αk, j 6= k

jede endliche Teilmenge von hkk∈N0

ist linear unabhangig,

〈hj , hk〉2 =

1∫

0

xαj+αk dx =1

αj + αk + 1, k, j ∈ N0

P(α) dicht in L2(0, 1) ⇐⇒Def. 1.16

hkk∈N0, hk(x) := xαk , abgeschlossen im Hilbertraum H = L2(0, 1)

⇐⇒Satz 1.24

δ2n+1(f) =g(h0, . . . , hn, f)g(h0, . . . , hn)

−−−−→n→∞

0

fur alle f ∈ T mit span(T) ⊆ L2(0, 1) dicht; h0, . . . , hn lin. unabhangig ========⇒Lemma 1.23(iii)

g(h0, . . . , hn) > 0

wahlen T :=fk : fk(x) = xk, x ∈ [0, 1], k ∈ N0

====⇒UA II-11

span(T) = P dicht in L2(0, 1)

=⇒ 〈hj , fm〉2 =

1∫

0

xαj+m dx =1

αj +m+ 1, j,m ∈ N0

34∞Y

n=1

an heißt konvergent, falls p := limm→∞

mQn=1

an existiert und p 6= 0 gilt, d.h. 0 < limm→∞

mQn=1

|an| < ∞; o.B.d.A. an 6= 0.


y mussen g(h0, . . . , hn, fm), g(h0, . . . , hn) berechnen, m ∈ N0,

g(h0, . . . , hn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈h0, h0〉H 〈h0, h1〉H · · · 〈h0, hn〉H〈h1, h0〉H 〈h1, h1〉H · · · 〈h1, hn〉H

......

〈hn, h0〉H 〈hn, h1〉H · · · 〈hn, hn〉H

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

12α0+1

1α0+α1+1 · · · 1

α0+αn+1

1α1+α0+1

12α1+1 · · · 1

α1+αn+1

.... . .

...1

αn+α0+11

αn+α1+1 · · · 12αn+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

g(h0, . . . , hn, f) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

12α0+1 · · · 1

α0+αn+11

α0+m+1

.... . .

...1

αn+α0+1 · · · 12αn+1

1αn+m+1

1m+α0+1 · · · 1

m+αn+11

2m+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

verwenden dazu Determinantenformel von Cauchy (Lemma 2.31) mit ak = bk = αk−1 + 12 , k ∈ N

==⇒(24)

g(h0, . . . , hn) =

∏0≤j<k≤n

(αj − αk)2

n∏j,k=0

(αj + αk + 1), g(h0, . . . , hn, fm) =

g(h0, . . . , hn)2m+ 1

n∏

j=0

(m− αj

αj +m+ 1

)2

d.h. P(α) dicht in L2(0, 1) ⇐⇒ (hk)k∈N abgeschlossen in H = L2(0, 1)

⇐⇒ δn+1(fm) =1√

2m+ 1

n∏

j=0

|m− αj |αj +m+ 1

−−−−→n→∞

0, m ∈ N0

g.z.z. :∞∑

j=1

1αj

=∞ ⇐⇒n∏

j=0

|m− αj |αj +m+ 1

−−−−→n→∞

0, m ∈ N0

(i) falls α = (αk)k beschrankt, d.h. ∃ σ ∈ R ∀ k ∈ N0 : αk ≤ σ <∞

=⇒∞∑

j=1

1αj

=∞ undn∏

j=0

≤ m+σσ+m+1 <1︷︸︸︷|m− αj |αj +m+ 1

︸︷︷︸≤( m+σ

σ+m+1 )n+1

−−−−→n→∞

0, m ∈ N0

(ii) falls N0 ⊂ α, d.h. ∀ r ∈ N0 ∃ αjr : αjr = r

=⇒∞∑

j=1

1αj≥

∞∑r=1

1αjr︸︷︷︸

∞Pk=1

1k

= ∞ undn∏

j=0

|m− αj |αj +m+ 1

︸︷︷︸=0, n ≥ jm

−−−−→n→∞

0, m ∈ N0

(iii) sei jetzt limj→∞

αj =∞, m 6= αj , j ∈ N0

yn∏

j=0

|m− αj |αj +m+ 1

−−−−→n→∞

0 ⇐⇒∏

αj≥m+1

1− 2m+1αj+m+1︷︸︸︷

αj −mαj +m+ 1

= 0

⇐⇒UA II-11 bzw. Bem.

∑

αj≥m+1

1αj +m+ 1

= ∞

⇐⇒1

αj

>1

αj + m + 1≥ 1

2αj

, αj ≥ m + 1

∞∑

j=1

1αj

=∞


Bemerkung : (∗)direkt :∏

αj≥m+1

αj −mαj +m+ 1

= limk→∞

k∏

j=jm

αj −mαj +m+ 1

= limk→∞

k∏j=jm

(1− m

αj

)

k∏j=jm

(1 + m+1

αj

)

sei∑

j

1αj

=∞ y limk→∞

k∏

j=jm

(1 +

m+ 1αj

)≥ lim

k→∞

1 + (m+ 1)

k∑

j=jm

1αj

=∞

k∏

j=jm

(1− m

αj

)< 1 =⇒

∏

αj≥m+1

αj −mαj +m+ 1

= limk→∞

k∏

j=jm

αj −mαj +m+ 1

= 0

sei∑

j

1αj

<∞ y∑

j

1α2

j

<∞, αj 6= m, j ∈ N0 =⇒ limk→∞

k∏

j=jm

(1− m

αj

)

︸︷︷︸>0

> 0,

limk→∞

k∏

j=jm

(1 +

m+ 1αj

)<∞ y

∏

αj≥m+1

αj −mαj +m+ 1

= limk→∞

k∏

j=jm

αj −mαj +m+ 1

> 0

Satz 2.33 (Muntz-Satz fur C[0, 1])Sei α = (αj)j mit 0 ≤ α0 < α1 < α2 < · · · , αi ∈ R. Dann ist P(α) dicht in C[0, 1] genau dann,wenn gilt α0 = 0 und

∞∑

j=1

1αj

= ∞ .

Be w e i s : Sei wieder hk(x) := xαk , k ∈ N0, x ∈ [0, 1]

”=⇒“ : Sei P(α) dicht in C[0, 1] =====⇒

Def. 1.16hkk abgeschlossen in C[0, 1] =============⇒

UA I-1, ‖f‖2 ≤ ‖f‖∞hkk

abgeschlossen in L2(0, 1) =====⇒Satz 2.32

∞∑

j=1

1αj

= ∞; außerdem : f0 ≡ 1 ∈ C[0, 1]

=⇒ ∀ ε > 0 ∃ r ∈ N, ai ∈ R :

∥∥∥∥∥f0 −r∑

i=0

aihi

∥∥∥∥∥∞

= supx∈[0,1]

∣∣∣f0(x)−r∑

i=0

aihi(x)∣∣∣ < ε

=⇒∣∣∣ f0(0)︸︷︷︸

1

−r∑

i=0

ai hi(0)︸︷︷︸xαi=0,i 6=0

∣∣∣ =∣∣∣1− a0h0(0)

∣∣∣ < ε =⇒ h0(0) = xα0 |x=06= 0 =⇒ α0 = 0

”⇐=“ : betrachten wieder T :=

fk : fk(x) = xk, x ∈ [0, 1], k ∈ N0

====⇒Satz 2.1

span(T) = P dicht in

C[0, 1] ; ausreichend, fm ∈ T zu approximieren

f0 ≡ 1 ∈ T ====⇒α0 = 0

f0 ≡ h0, d.h. ∀ ε > 0 ∃ h = h0 ∈ P(α) : ‖f0 − h‖∞︸︷︷︸0

< ε

sei jetzt m ∈ N, wahlen λ ≥ 1 mit λ >1α1

y λαi > 1, i ≥ 1

y∞∑

i=1

1λαi − 1

≥ 1λ

∞∑

i=1

1αi

=Vor.∞ =====⇒

Satz 2.32P(β) dicht in L2(0, 1) mit βj = λαj − 1, j ∈ N, β0 = 0

=⇒ ∀ g ∈ L2(0, 1) ∀ ε > 0 ∃ r ∈ N, bi ∈ R, hi ∈ P(β) :∥∥∥g −

r∑

i=1

bi hi

∥∥∥2< ε


wahlen g(x) = gm,λ(x) := λmxλm−1 y

∀ ε > 0 ∃ r ∈ N, bi ∈ R :

∥∥∥∥∥λmxλm−1 −

r∑

i=1

bi xβi

∥∥∥∥∥

2

2

=

1∫

0

(λmxλm−1 −

r∑

i=1

bi xλαi−1

)2

dx ≤ ε2

sei s ∈ [0, 1] y∣∣∣∣∣s

λm −r∑

i=1

biλαi

sλαi

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣

s∫

0

(λmtλm−1 −

r∑

i=1

bi tλαi−1

)dt

∣∣∣∣ ≤Holder

∥∥∥∥∥λmtλm−1 −

r∑

i=1

bi tβi

∥∥∥∥∥2︸︷︷︸

≤ε

√s ≤ ε

====⇒x = sλ

sλm = xm = fm(x) =⇒∣∣∣∣∣fm(x)−

r∑

i=1

biλαi

xαi

∣∣∣∣∣ ≤ ε, 0 ≤ x ≤ 1

==⇒sup

∥∥∥∥∥fm −r∑

i=1

biλαi

hi

∥∥∥∥∥∞≤ ε, m ∈ N

Bemerkung : • sei P . . . Menge der Primzahlen, α = P ∪ 0 =====⇒Satz 2.33

P(α) dicht in C[0, 1] :∞∏

k=1

(1− 1

pk

)= 0 ====⇒

UA II-11

∞∑

k=1

1pk

=∞ (siehe z.B. [Fic74, S. 375])

• Man kann die Dichtheit der P(α) (auch ohne Monotonie-Voraussetzungα0 < α1 < α2 < · · · ) zeigen in

Lp(0, 1), 1 ≤ p <∞ ⇐⇒∑

k

αk + 1p

1 + α2k

= ∞, αk > −1p

C[0, 1] ⇐⇒∑

k

αk

1 + α2k

= ∞, αk ≥ 0, ∃ m : αm = 0

Lp(a, b), C[a, b], 0 < a < b, ⇐⇒∑

αk 6=0

1|αk| = ∞

2.5 Approximation in C[a, b], Der Haarsche Eindeutigkeitssatz

Problem : C[a, b] nicht strikt konvex 99K Eindeutigkeit ? 99K fur welche Teilraume U evtl. doch eindeutig ?

betrachten Spezialfall :

X = C[a, b] = CR[a, b], U ⊂ X endlich-dimensionaler Teilraum, U = spanu1, . . . , un, dimU = n

Bezeichnung : sei g0 ∈ U Bestapproximation zu f in U, ‖f − g0‖∞ = δ(f,U) = infg∈U‖f − g‖∞

A0 = A0(f, g0) = x ∈ [a, b] : |f(x)− g0(x)| = ‖f − g0‖∞ ⊂ [a, b]

Menge der Extremalpunkte von f − g0

Satz 2.34 (Kriterium von Kolmogorov35)g0 ∈ U ist Bestapproximation zu f ∈ C[a, b] in U genau dann, wenn fur alle g ∈ U gilt

maxx∈A0

(f(x)− g0(x)) g(x) ≥ 0. (25)

2.5 Approximation in C[a, b], Der Haarsche Eindeutigkeitssatz 63

B e w e i s : 1. Schritt : zeigen A0 kompakt=========⇒(f − g0)g stetig

supx∈A0

(f(x)− g0(x)) g(x) = maxx∈A0

(f(x)− g0(x)) g(x) existiert

A0 ⊂ [a, b] beschrankt y g.z.z. : A0 abgeschlossen; sei (xn)n ⊂ A0, limn→∞

xn = ξ ∈ [a, b]

=======⇒(xn)n ⊂ A0

‖f − g0‖∞ = |f(xn)− g0(xn)| |f−g0| stetig−−−−−−−−→n→∞

|f(ξ)− g0(ξ)| =⇒ ξ ∈ A0

2. Schritt :”=⇒“ : sei g0 ∈ U mit ‖f − g0‖∞ = δ(f,U), z.z. : (25)

Annahme : (25) falsch, d.h. ∃ g1 ∈ U ∃ ε > 0 : maxx∈A0

(f(x)− g0(x)) g1(x) = −2ε < 0

========⇒f, g0, g1 stetig

∃ G offen, A0 ⊂ G ⊂ [a, b] ∀ s ∈ G : (f(s)− g0(s)) g1(s) < −ε

sei λ > 0, betrachten hλ := g0 − λg1 ∈ U, s ∈ G y

=⇒ (f(s)− hλ(s))2 = (f(s)− g0(s))2︸︷︷︸δ2(f,U)

+ 2λ (f(s)− g0(s)) g1(s)︸︷︷︸<−ε, s∈G

+ λ2 g21(s)︸︷︷︸

≤‖g1‖2∞< δ2(f,U) − λε + λ

(λ‖g1‖2∞ − ε

)︸︷︷︸

<0, λ<ε ‖g1‖−2∞

< δ2(f,U) − λε

=⇒ |f(s)− hλ(s)| < δ(f,U), s ∈ G (26)

sei jetzt s ∈ H = [a, b] \G ⊂ [a, b] \ A0 ==⇒Def.

|f(s)− g0(s)| < ‖f − g0‖∞ = δ(f,U), s ∈ H;

G offen =⇒ H abgeschlossen ========⇒|f − g0| stetig

∃ s0 ∈ H : maxs∈H|f(s)− g0(s)| = |f(s0)− g0(s0)|

====⇒s0 ∈ H

∃ γ > 0 : maxs∈H|f(s)− g0(s)| = δ(f,U)− γ < δ(f,U), wahlen λ <

γ

2‖g1‖∞ y

|f(s)− hλ(s)| ≤ |f(s)− g0(s)|︸︷︷︸<δ(f,U)−γ, s∈H

+ λ|g1(s)|︸︷︷︸≤λ‖g1‖∞< γ

2

< δ(f,U) − γ

2< δ(f,U), s ∈ H (27)

=====⇒(26), (27)

∀ s ∈ G ∪H = [a, b] : |f(s)− hλ(s)| < δ(f,U), λ < min(

ε

‖g1‖2∞,

γ

2‖g1‖∞

)

=⇒ ∃ hλ ∈ U : ‖f − hλ‖∞ < δ(f,U) = infh∈U‖f − h‖∞ 99K Widerspruch

3. Schritt :”⇐=“ : seien g ∈ U, h := g0 − g ∈ U ==⇒

(25)∃ s0 ∈ A0 : (f(s0)− g0(s0))h(s0) ≥ 0 y

(f(s0)− g(s0)︸︷︷︸

g0(s0)−h(s0)

)2 = (f(s0)− g0(s0))2︸︷︷︸=‖f−g0‖2∞, s0∈A0

+ 2 (f(s0)− g0(s0))h(s0)︸︷︷︸≥0

+ h2(s0)︸︷︷︸≥0

≥ ‖f − g0‖2∞

=⇒ ‖f − g‖∞ ≥ ‖f − g0‖∞ ======⇒g ∈ U bel.

δ(f,U) = infg∈U

‖f − g‖∞ ≥ ‖f − g0‖∞ ≥ δ(f,U)

=⇒ g0 ∈ U Bestapproximation, ‖f − g0‖∞ = δ(f,U)

Bemerkung : • Satz 2.34 99K”Test“, ob gegebenes g ∈ U Bestapproximation ist; fur praktische

Anwendung auf spezielle U einschranken

• g0 Bestapproximation 99K fur beliebiges g ∈ U und alle x ∈ A0 darf nicht geltensgn 36 (f(x)− g0(x)) = − sgn (g(x)) ======⇒

g ∈ U bel.A0 ”

groß“, dort viele Vorzeichen-

wechsel von f − g0

35Andrey Nikolaevich Kolmogorov (∗ 25.4.1903 Tambov / Russland † 20.10.1987 Moskau)36sgn h(x) := 1 fur h(x) > 0; sgn h(x) := 0 fur h(x) = 0; sgn h(x) := −1 fur h(x) < 0


Definition 2.35 Eine Menge u1, . . . , un ⊂ C[a, b] heißt T -System auf [a, b], falls fur alle c1, . . . , cn ∈ Rmit

n∑i=1

|ci| > 0 die Funktion

c1 u1 + · · · + cn un

hochstens n− 1 verschiedene Nullstellen im Intervall [a, b] besitzt.

Bemerkung : Zahlung der Nullstellen zunachst ohne Berucksichtigung der Vielfachheiten; man kann aberzeigen, dass ein Element g ∈ spanu1, . . . , un eines T -Systems auf [a, b], g 6≡ 0, hochstensn− 1 Nullstellen unter Berucksichtigung der Vielfachheiten besitzt ([Mul78, Satz 2.3.5])

Beispiele : • uk(x) = xk, k = 0, . . . ,m

, m ∈ N, bilden T -System auf [a, b] :

p(x) :=m∑

k=0

ck uk(x) =m∑

k=0

ck xk ∈ Pm

y hochstens m verschieden Nullstellen (fur m+ 1 Funktionen uk)

• u1(x) = x, u2(x) = ex =⇒ u1, u2 kein T -System auf [0, 3], aber auf [0, 1] :

[0, 3] : c1 := 3, c2 := −1, h(x) := 3x− ex

=⇒ h(0) = −1, h(3) = 9− e3 < 0, h(ln 3) = 3(ln 3− 1) > 0

=⇒ ∃ ξ0 ∈ (0, ln 3), ξ1 ∈ (ln 3, 3) : h(ξ0) = h(ξ1) = 0

[0, 1] : g(x) = c1x+ c2ex, |c1|+ |c2| > 0; Ann. : ∃ ξ0 < ξ1 ∈ [0, 1] : g(ξ0) = g(ξ1) = 0

ξ0 = 0 =⇒ c2 = 0 ======⇒g(x) = c1x

g′(x) = c1 6= 0 =⇒ ∀ ξ1 ∈ (0, 1] : |g(ξ1)| > 0

ξ0 > 0 =====⇒g(ξ0) = 0

c1 = −c2 eξ0

ξ0=⇒ c1, c2 6= 0 =====⇒

g(ξ1) = 0

eξ0

ξ0=eξ1

ξ1

andererseits : h(y) =ey

ystreng monoton fallend auf (0, 1] =⇒ ξ0 = ξ1

Ubung II-12 : 1. Zeigen Sie, dass die Elemente eines T -Systems linear unabhangig sind.

2. Es seien uk(x) = xk, k = 0, . . . ,m−1, und f ∈ Cm[a, b], m ∈ N, mit f (m)(x) > 0,x ∈ [a, b]. Dann bildet f, uk, k = 0, . . . ,m− 1 ein T -System auf [a, b].

3. Beweisen Sie, dass die Mengen

(a) 1, sin(kx), cos(kx), k = 1, . . . ,m auf [0, 2π)

(b) 1, cos(kx), k = 1, . . . ,m auf [0, π]

(c) sin(kx), k = 1, . . . ,m auf (0, π)

jeweils T -Systeme bilden.

4. Seien s1, . . . , sn ∈ R, si 6= sk, i 6= k. Zeigen Sie, dass es1x, . . . , esnx auf jedemendlichen Intervall [a, b] ein T -System bildet.


Lemma 2.36 (Kriterium fur T -Systeme)Eine Menge u1, . . . , un ⊂ C[a, b] ist T -System auf [a, b] genau dann, wenn es zu jeder ZerlegungZ = t1, . . . , tn in [a, b], a ≤ t1 < · · · < tn ≤ b, und jedem y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn genau einenKoeffizientenvektor c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn gibt, so dass fur die Linearkombination

p(x) = c1 u1(x) + · · · + cn un(x)

gilt p(ti) = yi, i = 1, . . . , n.

Be w e i s∗ : p(ti) = yi, i = 1, . . . , n ⇐⇒

c1 u1(t1) + · · · + cn un(t1) = y1...

......

c1 u1(tn) + · · · + cn un(tn) = yn

(∗)

(∗) fur beliebige t1 < · · · < tn, (y1, . . . , yn) ∈ Rn eindeutig losbar ⇐⇒ ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣

u1(t1) · · · un(t1)...

...u1(tn) · · · un(tn)

∣∣∣∣∣∣∣6= 0

∆ = 0 ⇐⇒ ∃ c1, . . . , cn ∈ R,n∑

k=1

|ck| > 0 :

c1 u1(t1) + · · · + cn un(t1) = 0...

......

c1 u1(tn) + · · · + cn un(tn) = 0

⇐⇒ ∃ p :=n∑

k=1

ckuk mit mindestens n Nullstellen, p(tk) = 0, k = 1, . . . , n ⇐⇒ u1, . . . , un kein

T -System

Definition 2.37 Sei u1, . . . , un ⊂ C[a, b] ein T -System auf [a, b], dann ist U = spanu1, . . . , un einHaar37scher Teilraum von C[a, b].

Bemerkung : U Haarscher Teilraum ∼ U erfullt Haarsche Bedingung

Satz 2.38 (Haarscher Eindeutigkeitssatz)Es sei U ⊂ C[a, b] ein Haarscher Teilraum mit dim U = n. Dann besitzt jedes f ∈ C[a, b] , f /∈ U,genau eine Bestapproximation in U.

Bemerkung : f ∈ U =⇒ f Bestapproximation, δ(f,U) = 0, eindeutig

B e w e i s : Existenz folgt bereist aus Satz 1.2, n.z.z. : Unitat; f /∈ U =========⇒U abgeschlossen

δ(f,U) > 0

1. Schritt : sei h ∈ U Bestapproximation zu f , zeigen : #A0 ≥ n+ 1,

A0 = A0(f, h) = x ∈ [a, b] : |f(x)− h(x)| = δ(f,U) = ‖f − h‖∞Annahme : #A0 ≤ n, d.h. A0 = t1, . . . , tk, k ≤ n

U erfullt Haarsche Bedingung ======⇒Lemma 2.36

∃ p ∈ U : p(ti) = − (f(ti)− h(ti)), i = 1, . . . , k, mit

ti ∈ [a, b], p(ti) beliebig fur i = k + 1, . . . , n

=⇒ maxx∈A0

(f(x)− h(x)) p(x) = maxi=1,...,k

(f(ti)− h(ti)) p(ti)︸︷︷︸−(f(ti)−h(ti))

2

=ti ∈ A0

− δ2(f,U) < 0

37Alfred Haar (∗ 11.10.1885 Budapest † 16.3.1933 Szeged)


y Widerspruch zu Satz 2.34 =⇒ #A0 ≥ n+ 1

2. Schritt : seien g0, g1 ∈ U Bestapproximationen zu f an U, ‖f − g0‖∞ = ‖f − g1‖∞ = δ(f,U)====⇒Satz 1.8

h := 12 (g0 + g1) ∈ U Bestapproximation =====⇒

1. Schritt#A0(f, h) ≥ n+ 1, d.h.

∃ s1, . . . , sn ∈ A0(f, h) ⊂ [a, b] : |f(si)− h(si)| = δ(f,U), i = 1, . . . , n

außerdem : |f(si)− gk(si)| ≤ ‖f − gk‖∞ = δ(f,U), k = 0, 1, i = 1, . . . , n

=⇒ δ(f,U) = |f(si)− h(si)| ≤

≤δ(f,U)︷︸︸︷|f(si)− g0(si)|

2+

≤δ(f,U)︷︸︸︷|f(si)− g1(si)|

2≤ δ(f,U)

=⇒ |f(si)− gk(si)| = δ(f,U), k = 0, 1, ===============⇒|f(si)− h(si)| = δ(f, U)

g0(si) = g1(si), i = 1, . . . , n

=⇒ g := g0 − g1 ∈ U besitzt n Nullstellen s1, . . . , sn ======⇒U Haar-TR

g ≡ 0 ⇐⇒ g0 ≡ g1

Folgerung 2.39 Sei n ∈ N.

(i) Jedes f ∈ C[a, b] besitzt genau eine Bestapproximation in Pn.

(ii) Jedes f ∈ C2π(R) besitzt genau eine Bestapproximation in Tn.

Be w e i s : Beispiel & UA =⇒ U = Pn, U = Tn erfullen Haarsche Bedingung =====⇒Satz 2.38

(i),(ii)

Satz 2.40 Sei U ⊂ C[a, b] ein Teilraum mit dimU = n, und es existiere ein g0 ∈ U, g0 6≡ 0,das mindestens n Nullstellen in [a, b] besitzt. Dann existiert eine Funktion f ∈ C[a, b], die mehrereBestapproximationen in U hat.

Be w e i s : g0 6≡ 0, g0 ∈ U = span u1, . . . , un =⇒ ∃ a1, . . . , an ∈ R,n∑

i=1

|ai| > 0 : g0 =n∑

i=1

aiui

# y ∈ [a, b] : g0(y) = 0 ≥ n =⇒ ∃ t1, . . . , tn ∈ [a, b] : g0(ti) = 0, i = 1, . . . , n y

a1 u1(t1) + · · · + an un(t1) = 0...

......

a1 u1(tn) + · · · + an un(tn) = 0

=======⇒nP

i=1|ai| > 0

∆ :=

∣∣∣∣∣∣∣

u1(t1) · · · un(t1)...

...u1(tn) · · · un(tn)

∣∣∣∣∣∣∣= 0

1. Schritt : zeigen ∃ γ1, . . . , γn ∈ R,n∑

i=1

|γi| > 0 ∀ g ∈ U :n∑

i=1

γi g(ti) = 0

∆ = 0 ==⇒( )>

∃ c1, . . . , cn ∈ R,n∑

i=1

|ci| > 0 :

c1 u1(t1) + · · · + cn u1(tn) = 0...

......

c1 un(t1) + · · · + cn un(tn) = 0

(28)

sei g ∈ U beliebig, o.B.d.A. g 6≡ 0 =⇒ ∃ d1, . . . , dn ∈ R,n∑

k=1

|dk| > 0 : g =n∑

k=1

dkuk

====⇒γi := ci

n∑

i=1

γi g(ti) =n∑

i=1

ci

n∑

k=1

dkuk(ti) =n∑

k=1

dk

n∑

i=1

ciuk(ti)

︸︷︷︸0, (28)

= 0


2. Schritt : konstruieren f ∈ C[a, b] mit δ(f,U) = 1

o.B.d.A. ‖g0‖∞ = 1, definieren

h(x) :=

sgn γi , x = ti

linear , dazwischen

y ‖h‖∞ = 1

setzen f(x) := h(x)(

1− |g0(x)|2

), x ∈ [a, b]

1

a t1 t5t2γ5 < 0γ1 > 0

t4

γ4 < 0

‖g0‖∞ = 1

b

h

−1

t3γ2 = 0 γ3 > 0

=⇒ |f(x)| = |h(x)|︸︷︷︸

≤‖h‖∞=1

(1− |g0(x)|

2

)

︸︷︷︸12≤ · ≤1

≤ 1, x ∈ [a, b] =⇒ ‖f‖∞ ≤ 1

n∑

i=1

|γi| > 0 y ∃ i0 : |sgn γi0 | = |h(ti0)| = 1 =======⇒g0(ti0 ) = 0

|f(ti0)| = 1 ======⇒‖f‖∞ ≤ 1

‖f‖∞ = 1 y δ(f,U) ≤ 1

Annahme : δ(f,U) < 1 =⇒ ∃ g ∈ U : ‖f − g‖∞ < 1 =⇒ |f(ti)− g(ti)| < 1, i = 1, . . . , n

=⇒ 1 > (f(ti)− g(ti))2 = (f(ti))2 − 2f(ti)g(ti) + (g(ti))

2 =g0(ti) = 0

(h(ti))2 − 2h(ti)g(ti) + (g(ti))

2

γi > 0 : h(ti)= 1 y g(ti)> 12 (g(ti))

2 ≥ 0 y γig(ti) > 0

γi = 0 : h(ti)= 0 y γig(ti) = 0

γi < 0 : h(ti)=−1 y g(ti)<− 12 (g(ti))

2 ≤ 0 y γig(ti) > 0

=======⇒nP

i=1|γi| > 0

n∑

i=1

γig(ti) > 0

y Widerspruch zu 1. Schritt 99K Annahme falsch ⇐⇒ δ(f,U) = 1

3. Schritt : zeigen, alle gµ := µg0, |µ| ≤ 12 sind Bestapproximationen an f in U, d.h.

δ(f,U) = ‖f − gµ‖∞ = ‖f − µg0‖∞ , |µ| ≤ 12

sei x ∈ [a, b] y

|f(x)− µg0(x)| ≤ |f(x)|+ |µ| |g0(x)| =

≤‖h‖∞=1︷︸︸︷|h(x)|

≥0︷︸︸︷(1− |g0(x)|

2

)

︸︷︷︸|f(x)|

+ |µ| |g0(x)|

≤ 1 − |g0(x)|(

12− |µ|

)

︸︷︷︸≥0, |µ|≤ 1

2

≤ 1

==⇒sup

‖f − µg0‖∞ ≤ 1

2. Schritt y 1 = δ(f,U) = infg∈U

‖f − g‖∞ ≤ ‖f − µg0‖∞ ≤ 1

=⇒ ‖f − µg0‖∞ = δ(f,U) = 1, |µ| ≤ 12

Bemerkung : Satz 2.40 99K Haarsche Bedingung”scharf“

Tschebyscheff-Alternanten :”Ersatz“ fur Kolmogorov-Kriterium


Definition 2.41 Seien f ∈ C[a, b], U ⊂ C[a, b] ein Teilraum mit dimU = n, n ∈ N, und g0 ∈ U. EinePunktfolge a ≤ t1 < t2 < · · · < tn+1 ≤ b heißt Tschebyscheff-Alternante fur f − g0, falls

(i) f(ti)− g0(ti) = −[f(ti+1)− g0(ti+1)

], i = 1, . . . , n

(ii) |f(tk)− g0(tk)| = ‖f − g0‖∞, k = 1, . . . , n+ 1

gelten.

Bemerkung : • f(tk) − g0(tk) = (−1)k ‖f − g0‖∞ ∨ f(tk) − g0(tk) = (−1)k+1 ‖f − g0‖∞,k = 1, . . . , n+ 1

• falls gilt : sgn (f(ti)− g0(ti)) = −sgn (f(ti+1)− g0(ti+1)) , i = 1, . . . , ny a ≤ t1 < t2 < · · · < tn+1 ≤ b

”Referenz“ fur f − g0, d.h. Alternante ist spezielle

Referenz

Satz 2.42 Seien U ein Haarscher Teilraum von C[a, b], dimU = n, und f ∈ C[a, b]. Zu g0 ∈ Uexistiere eine (n + 1)-punktige Alternante zu f − g0. Dann ist g0 Bestapproximation zu f in U, d.h.‖f − g0‖∞ = δ(f,U).

Be w e i s : Sei a ≤ t1 < t2 < · · · < tn+1 ≤ b Alternante zu f − g0Annahme : g0 nicht Bestapproximation, d.h. ∃ g ∈ U : ‖f − g‖∞ < ‖f − g0‖∞

=⇒ ∀ k = 1, . . . , n+ 1 : |f(tk)− g(tk)| < |f(tk)− g0(tk)|

betrachten g − g0 = (f − g0)− (f − g) ∈ U

nach Voraussetzung y |f(t1)− g0(t1)| = ‖f − g0‖∞, o.B.d.A. f(t1)− g0(t1) = ‖f − g0‖∞=⇒ g(t1)− g0(t1) = f(t1)− g0(t1)− (f(t1)− g(t1))︸︷︷︸

≤|f(t1)−g(t1)|<f(t1)−g0(t1)

> 0

analog : f(t2)− g0(t2) = − ‖f − g0‖∞ =⇒ g(t2)− g0(t2) < 0, . . .

====⇒Iteration

sgn (g(tk)− g0(tk)) = (−1)k+1 ======⇒g0, g stetig

∃ s1, . . . , sn, si ∈ (ti, ti+1) : (g − g0) (si) = 0

d.h. # y ∈ [a, b] : (g − g0)(y) = 0 ≥ n ======⇒U Haar-TR

g − g0 ≡ 0 ⇐⇒ g ≡ g0y Widerspruch zu ‖f − g‖∞ < ‖f − g0‖∞ y Annahme falsch, d.h. g0 Bestapproximation

Bemerkung : • Tschebyscheff’s Alternantensatz : seien U ein Haarscher Teilraum von C[a, b],dimU = n, der die Konstanten enthalte; dann ist g0 ∈ U genau dann Bestapproxima-tion zu f ∈ C[a, b], wenn fur f − g0 eine (n+ 1)-punktige Alternante existiert

”=⇒“ technisch aufwendiger, siehe z.B. [Mul78, Satz 2.4.2], [Lor66, Ch. 2, §7]

• dimPn = n+ 1 =⇒ p ∈ Pn Bestapproximation zu f ∈ C[a, b] ⇐⇒ f − phat (n+ 2)-punktige Alternante auf [a, b]

• dim Tn = 2n+ 1 =⇒ t ∈ Tn Bestapproximation zu f ∈ C2π(R) ⇐⇒ f − that (2n+ 2)-punktige Alternante auf [0, 2π)


Beispiele : wenden Satz 2.42 zum qualifizierten”Raten“ einer Bestapproximation fur f ∈ C[a, b];

sei U = P1 y dimU = 2, d.h. falls wir g0 ∈ P1 finden, das 3-punktige Alternanteauf [a, b] bezuglich f−g0 hat =============⇒

Satz 2.42, Folg. 2.39(i)g0 eindeutig bestimmte Bestapproximation

(1) [a, b] = [0, π], f(x) = sinx, Vermutung : g0(x) =12

12

= supx∈[0,π]

∣∣∣∣sinx−12

∣∣∣∣︸︷︷︸‖sin(·)− 1

2‖∞

= −(

sin 0− 12

)=

(sin

π

2− 1

2

)

= −(

sinπ − 12

)

12

sin x

g0

π2 π

1

0 1 2 3

=⇒ t1 = 0, t2 =π

2, t3 = π ist 3-punktige Alternante =⇒ g0 Bestapproximation

zu sinx

(2) [a, b] = [−π, π], f(x) = sinx ungerade ====⇒UA II-13

suchen ungerades g0, d.h. g0(x) = αx

Vermutung : g0(x) =23πx

23

= supx∈[0,π]

∣∣∣∣sinx−23πx

∣∣∣∣︸︷︷︸

‖sin(·)−g0‖∞=(sin−g0) (−π) = − (sin−g0)

(−π

2

)

=(sin−g0)(π

2

)= − (sin−g0) (π)

g0

sin x

1

−1

0 π−π2

π2−π

=⇒ t1 = −π, t2 = −π2, t3 =

π

2bzw. τ1 = −π

2, τ2 =

π

2, τ3 = π sind 3-punktige

Alternanten zu =⇒ g0 Bestapproximation zu sinx in P1

Bemerkung : Beispiel (2) y Alternanten nicht notwendig eindeutig

Satz 2.43 (Satz von De La Vallee-Poussin)

Seien U ⊂ [a, b] ein Haarscher Teilraum, dimU = n, f ∈ C[a, b], g0 ∈ U, und a ≤ t1 < · · · < tn+1 ≤ bbilde eine Referenz fur f − g0. Dann gilt

δ(f,U) ≥ mink=1,...,n+1

|f(tk)− g0(tk)| .

Be w e i s : Annahme : ∃ g ∈ U : ‖f − g‖∞ < mink=1,...,n+1

|f(tk)− g0(tk)|

=⇒ ∀ k = 1, . . . , n+ 1 : |f(tk)− g(tk)| < |f(tk)− g0(tk)|

betrachten g − g0 = (f − g0)− (f − g) ∈ U, o.B.d.A. f(t1)− g0(t1) > 0

=⇒ g(t1)− g0(t1) = f(t1)− g0(t1)− (f(t1)− g(t1))︸︷︷︸≤|f(t1)−g(t1)|<f(t1)−g0(t1)

> 0


analog : f(t2)− g0(t2) < 0 =⇒ g(t2)− g0(t2) < 0, . . .

====⇒Iteration

sgn (g(tk)− g0(tk)) = (−1)k+1 ======⇒g0, g stetig

∃ s1, . . . , sn, si ∈ (ti, ti+1) : (g − g0) (si) = 0

d.h. # y ∈ [a, b] : (g − g0)(y) = 0 ≥ n ======⇒U Haar-TR

g − g0 ≡ 0 ⇐⇒ g ≡ g0 y Widerspruch zu

‖f − g‖∞ < ‖f − g0‖∞ y Annahme falsch, d.h. ∀ g ∈ U : ‖f − g‖∞ ≥ mink=1,...,n+1

|f(tk)− g0(tk)|=⇒inf

δ(f,U) ≥ mink=1,...,n+1

|f(tk)− g0(tk)|

Bemerkung : g0 ∈ U =====⇒Satz 2.43

mink=1,...,n+1

|f(tk)− g0(tk)| ≤ δ(f,U) ≤ ‖f − g0‖∞d.h. fur min

k=1,...,n+1|f(tk)− g0(tk)| . ‖f − g0‖∞ =⇒ g0 ”

fast“ Bestapproximation

Ubung II-13 : • Ist f ∈ C[−a, a] eine (un)gerade Funktion, d.h. f(x) = −f(−x) bzw. f(x) = f(−x),und U ⊂ C[−a, a] ein Teilraum, fur den gelte : g ∈ U =⇒ g− ∈ U bzw. g+ ∈ U,g−(x) = 1

2 (g(x)− g(−x)), g+(x) = 12 (g(x) + g(−x)), x ∈ [−a, a], dann gibt es

auch eine (un)gerade Bestapproximation an f in U.

• Finden Sie alle Bestapproximationen g0 ∈ U = P1 zu f(x) =√x auf [0, 1]; geben

Sie δ(f,U) an.

• Zeigen Sie, dass fur U = Tn und f(x) = a cos(mx) + b sin(mx), a, b ∈ R, m ∈ N,m > n, die Bestapproximation gegeben ist durch g0 ≡ 0. Wie groß ist δ(f,U) ?

• Beweisen Sie folgende Aussage : Das Polynom p ∈ Pn, n ∈ N, mit an = 1, das vonf ≡ 0 die kleinste Abweichung hat, besitzt die Darstellung

p(x) =1

2n−1Tn(x), x ∈ [−1, 1],

wobei Tn(x) = cos(n arccosx) die (standardisierten) Tschebyscheff-Polynome 1. Artsind.

• Zeigen Sie die”Extremaleigenschaft der Tschebyscheff-Polynome“: fur alle p ∈ Pn gilt :

|p(x)| ≤ |Tn(x)| supt∈[−1,1]

|p(t)|, |x| > 1.

2.6 Orthogonale Polynome

Die gewichteten Raume Lp,w

Seien 1 ≤ p <∞, w : R −→ [0,∞) messbar, dann definiert man den gewichteten Lp-Raum

Lp,w(R) :=f : R −→ C : f messbar,

∫

Rw(x)|f(x)|p dx <∞

mit

‖f‖p,w :=( ∫

Rw(x)|f(x)|p dx

) 1p

, 1 ≤ p <∞

;”Pseudo-Norm“, d.h.

‖f − g‖p,w = 0 ⇐⇒ g ∼w f ⇐⇒ g(x) = f(x) f.u. in Dw := x ∈ R : w(x) > 0

y Bildung von Aquivalenzklassen, [f ]w = g : g ∼w f,

Lp,w = Lp,w/h ∈ Lp,w : ‖h‖p,w = 0 =

[f ]w :∫

Rw(x)|g(x)|p dx <∞, g ∈ [f ]w

2.6 Orthogonale Polynome 71

Es sei 0 ( Lp,w, d.h. es gelte nicht w(x) = 0 f.u. in R; oft Identifizierung f ∼ [f ]w, bzw. Lp,w ∼ Lp,w

bekannt :

• Lp,w, 1 ≤ p <∞, sind mit ‖ · ‖p,w Banach-Raume, gleichmaßig konvex fur 1 < p <∞• Holder 38-Ungleichung: 1 < p <∞, 1

p + 1p′ = 1, f ∈ Lp,w, g ∈ Lp′,w y ‖fg‖1,w ≤ ‖f‖p,w ‖g‖p′,w

• p = 2 =⇒ L2,w Hilbert-Raum mit Skalar-Produkt

〈f, g〉w =∫

R

w(x)f(x)g(x) dx,

vollstandig bezuglich ‖ · ‖2,w =√〈·, ·〉w

• Sei w ∈ Lloc1 (R), d.h. ∀(c, d) ⊂ R :

∫ d

c

w(x) dx < ∞. Dann liegen die Treppenfunktionen dicht in

Lp,w, ebenso wie die stetigen Funktionen mit kompaktem Trager (siehe z.B. [Sch71, Satz 2.10]).

Bezeichnung :

• w ≡ 1 99K Lp,w = Lp, ‖ · ‖p,w = ‖ · ‖p, . . .

• falls Dw ≈ (a, b), d.h. ∃ −∞ ≤ a < b ≤ ∞ : w(x) > 0 f.u. in (a, b), w(x) = 0, x 6∈ (a, b)99K Lp,w =: Lp,w(a, b)

Orthogonale Polynome

seien jetzt p = 2, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, betrachten alle Gewichtsfunktionen w(x), so dass P ⊂ L2,w(a, b):

(i) −∞ < a < b <∞:

b∫

a

w(x) dx <∞ ⇐⇒ P ⊂ L2,w(a, b), wobei P dicht in L2,w(a, b) ist:

f ∈ L2,w(a, b), ε > 0 =⇒s.o.∃ gε ∈ C[a, b] : ‖f − gε‖2,w <

ε

2

=====⇒Weierstraß

∃ p ∈ P : ‖gε − p‖22,w ≤ ‖gε − p‖2∞b∫

a

w(x) dx <ε2

4y ‖f − p‖2,w < ε

(ii) −∞ ≤ a < b ≤ ∞: Momentenbedingungen

b∫

a

xm w(x) dx <∞, m ∈ N0 ⇐⇒ P ⊂ L2,w(a, b),

aber i.a. ist P nicht dicht in L2,w(a, b)

konnen Aquivalenzklassenbildung vernachlassigen, denn∫

R

w(x) dx > 0 =⇒ ∀ p, q ∈ P, ‖p− q‖2,w = 0 : #ξ ∈ R : p(ξ) = q(ξ) =∞ =====⇒p, q ∈ P

p ≡ q

y in jeder Aquivalenzklasse [f ] ∈ L2,w(a, b) liegt hochstens ein Polynom, d.h. U := p ∈ P : p ∈ L2,w(a, b) ⊂L2,w(a, b) isomorph zu U = [p] : p ∈ P : [p] ∈ L2,w(a, b) ⊂ L2,w(a, b)

seien hk(x) := xk, k ∈ N0, linear unabhangig, Un := spanh0, . . . , hn = Pn, n ∈ N0, dimUn = n+ 1;man setzt zusatzlich : U−1 := 0, deg(0) = −1 (Grad des Nullpolynoms),

hn ∈ Un \Un−1, U−1 ⊆ U0 ⊆ U1 ⊆ · · · , U =⋃n

Un

38Otto Ludwig Holder (∗ 22.12.1859 Stuttgart † 29.8.1937 Leipzig)


bestimmen orthonormierte Basiselemente (ek)k, ek ∈ Uk \Uk−1, 〈ej , ek〉w = δjk; sei

〈hj , hk〉w =

b∫

a

w(x)xj+k dx =: µj+k, j, k ∈ N0

=⇒ Γm := g(h0, . . . , hm) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 · · · µm

µ1 µ2 · · · µm+1

.... . .

...µm µm+1 · · · µ2m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣, m ∈ N0, Γ−1 := 1

========⇒Gram-Schmidt

em =1√

Γm−1Γm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 · · · µm−1 h0

µ1 µ2 · · · µm h1

.... . .

...µm µm+1 · · · µ2m−1 hm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(nach letzter Spalte entwickelt), d.h.

em(x) =1√

Γm−1Γm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 · · · µm−1 1µ1 µ2 · · · µm x...

. . ....

µm µm+1 · · · µ2m−1 xm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

Entw. nachletzter Spalte

√Γm−1

Γmxm + g(x), (29)

mit g ∈ Um−1, m ∈ N; Γ−1 = 1 =⇒ e0(x) =1√Γ0

=1√µ0

99K (em)m heißen normierte Orthogonalpolynome zum Gewicht w(x); gelegentlich andere Normierung (statt‖em‖w = 1) sinnvoller ; βnen, βn 6= 0, speziell :

e∗n(x) :=

√Γn

Γn−1en(x) = xn + · · · , n ∈ N0, e∗−1(x) := 0 (30)

Lemma 2.44 Seien n ∈ N0, p ∈ Pn mit p(x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a0. Dann ist 〈p, p〉w minimal

genau dann, wenn p = e∗n gilt.

Be w e i s : g := p− e∗n ∈ Un−1⊥ e∗n ======⇒p = e∗n + g

〈p, p〉w = ‖p‖2w = ‖e∗n‖2w + ‖g‖2w ≥ ‖e∗n‖2wy 〈p, p〉w minimal ⇐⇒ g = 0 ⇐⇒ p = e∗n

von wesentlichem praktischen & theoretischen Interesse :

Satz 2.45 (Rekursionsformel fur Orthogonalpolynome)Sei n ∈ N0, dann gilt

e∗n+1(x) = (x− σn)e∗n(x)− τ2ne∗n−1(x), x ∈ (a, b),

mit

σn =

b∫

a

w(x)x e2n(x) dx, n ∈ N0, und τn =

√ΓnΓn−2

Γn−1, n ∈ N, τ0 = 0 .

Be w e i s∗ : f(x) := e∗n+1(x)− x e∗n(x) =⇒ f ∈ Pn ============⇒Abschnitt 1.5, f = fn

f =n∑

k=0

〈f, ek〉w ek

〈f, ek〉w = 〈e∗n+1 − x e∗n︸︷︷︸f

, ek〉w = 〈e∗n+1, ek〉w︸︷︷︸=βn+1〈en+1,ek〉w=0, k≤n

− 〈x e∗n, ek〉w = −b∫

a

w(x) e∗n(x) x ek(x)︸︷︷︸=:gk(x)

dx

= − 〈e∗n, gk〉w, k ≤ n


gk ∈ Uk+1 ⊥ e∗n, k + 1 ≤ n− 1 =⇒ 〈f, ek〉w = − 〈e∗n, gk〉w = 0, k ≤ n− 2 (31)

gn−1(x) = x en−1(x) =(30)

√Γn−2

Γn−1x

xn−1+···︷︸︸︷e∗n−1(x) =

√Γn−2

Γn−1xn +

∈Un−1︷︸︸︷r1(x)

=(29)

√Γn−2

Γn−1

√Γn

Γn−1

(en(x)−

∈Un−1︷︸︸︷g(x)

)

︸︷︷︸xn

+ r1(x) =

√Γn−2

Γn−1

√Γn

Γn−1︸︷︷︸τn

en(x) + r2(x)︸︷︷︸∈Un−1

y gn−1 = τn en + r2

y 〈f, en−1〉w = −〈e∗n, gn−1〉w = −τn 〈e∗n, en〉w︸︷︷︸qΓn

Γn−1, (30)

−〈e∗n, r2〉w︸︷︷︸0, r2⊥e∗n

= −τn√

Γn

Γn−1= −τ2

n

√Γn−1

Γn−2(32)

〈f, en〉w = −〈e∗n, gn〉w = −√

Γn

Γn−1

b∫

a

w(x) x e2n(x) dx

︸︷︷︸σn

= − σn

√Γn

Γn−1(33)

y f =n∑

k=0

〈f, ek〉w ek =(31)

〈f, en−1〉w en−1 + 〈f, en〉w en

=(32),(33)

−τ2n

√Γn−1

Γn−2en−1

︸︷︷︸e∗n−1

− σn

√Γn

Γn−1en

︸︷︷︸e∗n

= −τ2n e∗n−1 − σne

∗n

y e∗n+1(x) = f(x) + x e∗n(x) = (x− σn) e∗n(x) − τ2n e∗n−1(x)

Folgerung 2.46 (Rekursionsformel fur Orthonormalpolynome)Seien n ∈ N, und σn, τn wie in Satz 2.45. Dann gilt

τn+1en+1(x) = (x− σn) en(x) − τn en−1(x), x ∈ (a, b). (34)

B e w e i s : ek =(30)

√Γk−1

Γke∗k, k ∈ N0 y

τn+1en+1(x) =

√Γn+1Γn−1

Γnen+1(x) =

√Γn−1

Γne∗n+1(x)

=Satz 2.45

√Γn−1

Γne∗n(x)

︸︷︷︸en(x)

(x− σn)− τ2n

√Γn−1

Γne∗n−1(x)

= (x− σn) en(x) − ΓnΓn−2

Γ2n−1︸︷︷︸τ2

n

√Γn−1

Γn

√Γn−1

Γn−2en−1(x)

︸︷︷︸e∗n−1(x)

= (x− σn) en(x) −√

Γn Γn−2

Γn−1︸︷︷︸τn

en−1(x)


Satz 2.47 (Nullstellen der Orthonormalpolynome)Die Orthonormalpolynome en, n ∈ N, zum Gewicht w uber (a, b) haben n einfache reelle Nullstellen

λ(n)1 < λ

(n)2 < · · · < λ

(n)n , die alle in (a, b) liegen. Die Nullstellen von en−1, n ≥ 2, trennen die von en

scharf, d.h.λ(n)

m < λ(n−1)m < λ

(n)m+1, 1 ≤ m ≤ n− 1.

Außerdem gilt

λ(n)1 ≤ σn−1 ≤ λ(n)

n , τn−1 ≤ λ(n)n − λ(n)

1

2, n ∈ N .

Be w e i s : 1. Schritt : alle Nullstellen sind einfach

Annahme : sgn en(x) = const, x ∈ (a, b), n ∈ N, o.B.d.A. en(x) > 0, x ∈ (a, b)

===⇒n ∈ N

0 = 〈en, e0〉w =

b∫

a

w(x)︸︷︷︸>0 f.u.

en(x)︸︷︷︸>0

dx > 0 y Widerspruch =⇒ ∃ ξ1 ∈ (a, b) : en(ξ1) = 0

Annahme : ξ1 mehrfache Nullstelle =⇒ en

(· − ξ1)2 ∈ Un−2 ⊥ en

=⇒ 0 =⟨en,

en

(· − ξ1)2⟩

w

=

b∫

a

w(x)e2n(x)

(x− ξ1)2 dx =∥∥∥∥

en

(· − ξ1)

∥∥∥∥2

w

> 0 y Widerspruch

2. Schritt : alle Nullstellen liegen in (a, b), o.B.d.A. a > −∞

Annahme : λ(n)1 ≤ a, betrachten h(x) :=

e∗n(x)

x− λ(n)1

=n∏

k=2

(x− λ(n)

k

), x ∈ (a, b) y h ∈ Un−1 ⊥ e∗n

=⇒ 〈h, e∗n〉w = 0

andererseits : e∗n(x)h(x) =(x− λ(n)

1

)

︸︷︷︸>0

n∏

k=2

(x− λ(n)

k

)2

︸︷︷︸>0, x 6=λ

(n)k

> 0 fast uberall in (a, b)

=⇒ 〈h, e∗n〉w =

b∫

a

w(x) h(x) e∗n(x)︸︷︷︸>0 f.u.

dx > 0 y Widerspruch =⇒ λ(n)1 > a

analog : λ(n)n < b fur b <∞

3. Schritt : alle Nullstellen sind reell, λ(n)m < λ

(n−1)m < λ

(n)m+1, 1 ≤ m ≤ n− 1

Rekursionsformel ========⇒e0 ≡ 1, τ0 = 0

e∗1(x) = x− σ0, e∗2(x) = (x− σ1) (x− σ0)︸︷︷︸e∗1(x)

−τ21 =

∣∣∣∣x− σ0 −τ1−τ1 x− σ1

∣∣∣∣

====⇒induktiv

e∗n(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x− σ0 −τ1 0 · · · · · · 0

−τ1 x− σ1 −τ2 0 · · · ...

0 −τ2. . .

. . .. . .

...

.... . .

. . .. . . −τn−2 0

... · · · 0 −τn−2 x− σn−2 −τn−1

0 · · · · · · 0 −τn−1 x− σn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= det(x id−An)


mit

An =

σ0 τ1 0 · · · 0

τ1 σ1 τ2. . .

...

0. . .

. . .. . . 0

.... . . τn−2 σn−2 τn−1

0 · · · 0 τn−1 σn−1

=⇒ Eigenwerte λ(n)1 ≤ λ(n)

2 ≤ · · · ≤ λ(n)n

e∗n charakteristisches Polynom zu An =⇒ e∗n(x) =n∏

k=1

(x− λ(n)

k

)

verwenden Sachverhalt aus linearer Algebra (siehe z.B. [Sch71, S. 57/58]):

sei B = (bij)ni,j=1 reelle, symmetrische n × n-Matrix mit Eigenwerten ϕ1 ≤ · · · ≤ ϕn, n ≥ 2,

Bk, k = 1, . . . , n, sei (n− 1)× (n− 1)-Matrix nach Weglassen der k-ten Zeile und k-ten Spaltevon B, mit Eigenwerten ψ1 ≤ · · · ≤ ψn−1; dann gelten

(i) ϕm ≤ ψm ≤ ϕm+1, 1 ≤ m ≤ n− 1,(ii) ϕ1 ≤ bii ≤ ϕn, i = 1, . . . , n,(iii) b2ij ≤ bii bjj , 1 ≤ i < j ≤ n, falls ϕ1 ≥ 0

setzen B = An, k = n =⇒ Bn = An−1 =⇒(i)

λ(n)m ≤ λ(n−1)

m ≤ λ(n)m+1, 1 ≤ m ≤ n− 1

Annahme : λ(n)m(+1) = λ

(n−1)m =: λ ⇐⇒ en(λ) = en−1(λ) = 0 = e∗n(λ) = e∗n−1(λ)

=====⇒Satz 2.45

e∗n−2(λ) =(λ− σn−1)

0︷︸︸︷e∗n−1(λ) −

0︷︸︸︷e∗n(λ)

τ2n−1

= 0 ====⇒Iteration

≡1︷︸︸︷e∗0(λ) = 0 y Widerspruch

4. Schritt : λ(n)1 ≤ σn−1 ≤ λ(n)

n , τn−1 ≤ λ(n)n − λ(n)

1

2, n ∈ N

e∗1(x) = x− σ0 =⇒ λ(1)1 = σ0; n ≥ 2, B = An =⇒

(ii)i = n

λ(n)1︸︷︷︸ϕ1

≤ σn−1︸︷︷︸bnn

≤ λ(n)n︸︷︷︸ϕn

B := An − λ(n)1 id =⇒ ϕ1 = 0 =⇒

(iii)i = n− 1

j = n

τ2n−1︸︷︷︸

eb2n−1,n

≤(σn−2 − λ(n)

1

)

︸︷︷︸ebn−1,n−1

(σn−1 − λ(n)

1

)

︸︷︷︸ebn,n

, n ≥ 2

B := λ(n)n id − An =⇒ ϕ1 = 0 =⇒

(iii)i = n− 1

j = n

τ2n−1︸︷︷︸

b2n−1,n

≤(λ(n)

n − σn−2

)

︸︷︷︸bn−1,n−1

(λ(n)

n − σn−1

)

︸︷︷︸bn,n

, n ≥ 2

=⇒ τ4n−1 ≤

(σn−2 − λ(n)

1

)(λ(n)

n − σn−2

)

︸︷︷︸≤

λ(n)n −λ

(n)1

2

!2

, (∗)

(σn−1 − λ(n)

1

)(λ(n)

n − σn−1

)

︸︷︷︸≤

λ(n)n −λ

(n)1

2

!2

, (∗)

≤(λ

(n)n − λ(n)

1

2

)4

wegen (∗) : 4(α− λ(n)

1

)

︸︷︷︸a

(λ(n)

n − α)

︸︷︷︸b

≤((

α− λ(n)1

)

︸︷︷︸a

+(λ(n)

n − α)

︸︷︷︸b

)2

⇐⇒ (a− b)2 ≥ 0

=⇒ τn−1 ≤ λ(n)n − λ(n)

1

2


Bemerkung : zur Verteilung der Nullstellen in (a, b) siehe z.B. [Sch71, Satz 3.5]

sei f ∈ H = L2,w(a, b), Un = Pn =======⇒Abschnitt 1.5

Proximum in Un eindeutig gegeben als fn =n∑

k=0

〈f, ek〉w ek,

d.h.

fn(x) =n∑

k=0

b∫

a

w(t)ek(t) f(t) dt

︸︷︷︸〈f,ek〉w

ek(x) =

b∫

a

w(t) f(t)n∑

k=0

ek(t)ek(x)

︸︷︷︸=:kn(x,t)

dt (35)

Definition 2.48 Seien (ek)k∈N0ein reelles Orthonormalsystem von Polynomen, n ∈ N. Dann heißt die

symmetrische Funktion

kn(x, t) =n∑

k=0

ek(t)ek(x), x, t ∈ (a, b),

Kern-Polynom der Ordnung n des Orthonormalsystems (ek)k∈N0.

betrachten Integraloperator Kn : L2,w(a, b) −→ Un = Pn, gegeben durch

(Knf) (x) :=

b∫

a

w(t) f(t) kn(x, t) dt = 〈f, kn(x, ·)〉w = 〈f, kn(·, x)〉w

y Knf = fn . . . orthogonale Projektion auf Un, d.h. Kng = g, g ∈ Un, bzw.

〈g, kn(x, ·)〉w = 〈g, kn(·, x)〉w = g(x), g ∈ Un = Pn, x ∈ (a, b)

99K”Reproduktions-Eigenschaft“ des Kern-Polynoms kn(x, t)

e0 ≡ 1 ∈ Un, n ∈ N0 y

1 = (Kne0) (x) =

b∫

a

w(t) kn(x, t) dt, n ∈ N0, x ∈ (a, b) (36)

Satz 2.49 (Formel von Christoffel39-Darboux40)Seien n ∈ N0, (ek)k∈N0

ein reelles Orthonormalsystem von Polynomen, und x, t ∈ (a, b) mit x 6= t.Dann gilt

kn(x, t) = τn+1en+1(x)en(t) − en+1(t)en(x)

x− t .

Be w e i s∗ : verwenden (34) : τj+1ej+1(s) = (s− σj) ej(s) − τj ej−1(s), j ∈ N

=======⇒s = x, ·ej(t)

(x− σj) ej(x)ej(t) = τj+1ej+1(x)ej(t) + τj ej−1(x)ej(t)

=======⇒s = t, ·ej(x)

(t− σj) ej(t)ej(x) = τj+1ej+1(t)ej(x) + τj ej−1(t)ej(x)

=====⇒Subtrakt.

(x− t) ej(x)ej(t) = τj+1 (ej+1(x)ej(t) − ej+1(t)ej(x))

+ τj (ej−1(x)ej(t) − ej−1(t)ej(x))

39Elwin Bruno Christoffel (∗ 10.11.1829 Monschau † 15.3.1900 Strasbourg)40Jean Gaston Darboux (∗ 14.8.1842 Nimes † 23.2.1917 Paris)


==⇒nP

j=0

(x− t)kn(x, t) =n∑

j=0

τj+1 (ej+1(x)ej(t)− ej+1(t)ej(x)) +n∑

j=0

τj (ej−1(x)ej(t)− ej−1(t)ej(x))

=τ0 = 0

n+1∑

`=1

τ` (e`(x)e`−1(t)− e`(t)e`−1(x))−n∑

`=1

τ` (e`(x)e`−1(t)− e`(t)e`−1(x))

= τn+1 (en+1(x)en(t)− en+1(t)en(x))

kn(x, x) als stetige Erganzung fur limt→x

kn(x, t),

kn(x, x) = τn+1 limt→x

en+1(x)en(t)− en+1(t)en(t) + en+1(t)en(t)− en+1(t)en(x)x− t

= τn+1

(e′n+1(x)en(x) − en+1(x)e′n(x)

)=

n∑

k=0

(ek(x))2

kn(x, x) ≥ e20(x) > 0, τn+1 > 0 =⇒ e′n+1(x)en(x) − en+1(x)e′n(x) > 0, n ∈ N0 (∗)

y ∀ x ∈ (a, b) : en(x) = 0 =⇒ en+1(x) 6= 0 (keine gemeinsame Nullstelle)

& e′n(x) 6= 0 (nur einfache Nullstellen)

e′n(x) = 0 =⇒ e′n+1(x) 6= 0 (keine gemeinsame Extremstelle)

außerdem : (∗) y(en+1(x)en(x)

)′> 0, x 6= λ

(n)k ====⇒

UA II-14Nullstellen von en+1 und en trennen einander scharf

Anwendung der Formel von Christoffel-Darboux auf punktweise Konvergenz

seien f ∈ L2,w(a, b), n ∈ N0, x ∈ (a, b)

=====⇒(35), (36)

f(x)− fn(x) =

b∫

a

w(t) (f(x)− f(t)) kn(x, t) dt

=Satz 2.49

b∫

a

w(t)f(x)− f(t)

x− t︸︷︷︸=:hx(t)

τn+1 (en+1(x)en(t) − en+1(t)en(x)) dt (37)

Satz 2.50 Seien w eine Gewichtsfunktion uber dem endlichen Intervall (a, b), x ∈ (a, b), hx ∈ L2,w(a, b),und (ek)k∈N0

ein reelles Orthonormalsystem von Polynomen, fur das (ek(x))k∈N0gleichmaßig beschrankt

ist. Dann gilt limn→∞

fn(x) = f(x).

Be w e i s : aus (37) folgt mit hx(t) :=

f(x)− f(t)

x− t , x 6= t

0, x = t


|f(x)− fn(x)| ≤ τn+1

∣∣∣∣∣∣

b∫

a

w(t) hx(t) (en+1(x)en(t) − en+1(t)en(x)) dt

∣∣∣∣∣∣

≤ τn+1

(|en+1(x)|

∣∣∣b∫

a

w(t) hx(t) en(t) dt

︸︷︷︸〈hx,en〉w

∣∣∣ + |en(x)|∣∣∣

b∫

a

w(t) hx(t) en+1(t) dt

︸︷︷︸〈hx,en+1〉w

∣∣∣)

= τn+1 (|en+1(x)| |〈hx, en〉w|+ |en(x)| |〈hx, en+1〉w|)

≤ τn+1

√e2n+1(x) + e2n(x)

√|〈hx, en〉w|2 + |〈hx, en+1〉w|2︸︷︷︸≤

∞X

k=n

|〈hx, ek〉w|2 ≤ δ2(hx, Un−1)

≤ τn+1

√e2n+1(x) + e2n(x)

︸︷︷︸≤ c, Vor.

δ(hx,Un−1) ≤ c τn+1 δ(hx,Un−1)

(a, b) endlich

=====⇒Satz 2.47

τn+1 ≤λ

(n+2)n+2 − λ(n+2)

1

2≤ b− a

2

=⇒ P = U dicht in L2,w(a, b) ======⇒hx ∈ L2,w

δ(hx,Un−1) −−−−→n→∞

0

y lim

n→∞|fn(x)− f(x)| = 0

Bemerkung : falls z.B. f ′(x) existiert =⇒ hx ∈ L2,w(a, b)

Ubung II-14 : • Beweisen Sie, dass die Polynome hk(x) = xk, k ∈ N0, auf [−1, 1] bezuglich keinerGewichtsfunktion w orthogonal sein konnen.

• Seien w eine Gewichtsfunktion mit w(x) = w(−x) auf [−1, 1], und pn orthogonalePolynome bezuglich 〈·, ·〉w auf [−1, 1]. Dann gilt pn(−x) = (−1)npn(x), x ∈ [−1, 1].

• Zeigen Sie, dass aus

(en+1(x)en(x)

)′> 0, x 6∈

λ

(n)1 , . . . , λ

(n)1

, fur die Nullstellen von

en+1 und en folgt : λ(n+1)m < λ

(n)m < λ

(n+1)m+1 , 1 ≤ m ≤ n.

Klassische Orthogonalpolynome – zwei Spezialfalle

Gewichtsfunktion w(x) ≥ 0 auf R gegeben, betrachten mit jeweils einem”klassischen“ Beispiel : w 6≡ 0

auf endlichem Intervall (Tschebyscheff-Polynome 1. Art) bzw. w 6≡ 0 auf unendlichem Intervall (Laguerre-Polynome)

1. Fall : Orthogonal-Polynome zu einer Gewichtsfunktion auf einem endlichem Intervall

(a, b) = (−1, 1), wα,β(x) = (1− x)α (1 + x)β , α > −1, β > −1 ==========⇒Orthogonalisierung

P(α,β)n Jacobi-Polynome

Beispiele : α = β = 0 : Legendre-Polynomeα = β = − 1

2 : Tschebyscheff-Polynome 1. Artα = β = 1

2 : Tschebyscheff-Polynome 2. Art

α = β : ultraspharische Polynome


hier nur Auflistung einiger wesentlicher Eigenschaften, dann als konkretes Beispiel : Tschebyscheff-Polynome1. Art (mit Beweisen)

(0) wα,β(x) = (1− x)α (1 + x)β , α > −1, β > −1, x ∈ (−1, 1)

(1) Rodrigues41-Formel : P (α,β)n (x) =

(−1)n

2n n!1

(1− x)α (1 + x)β

dn

dxn

((1− x)α+n (1 + x)β+n

), |x| < 1

explizite Darstellung : P (α,β)n (x) =

n∑

k=0

(α+ n

k

)(β + n

n− k)(

x− 12

)n−k (x+ 1

2

)k

=⇒ P (α,β)n (1) =

(α+ n

n

)=

Γ(α+ n+ 1)Γ(n+ 1)Γ(α+ 1)

, P (α,β)n (−1) = (−1)n

(β + n

n

)

(2) Normierung :∥∥∥P (α,β)

n

∥∥∥2

2,w=

⟨P (α,β)

n , P (α,β)n

⟩w

=

1∫

−1

wα,β(x)(P (α,β)

n (x))2

dx

= 2α+β+1 Γ(α+ n+ 1) Γ(β + n+ 1)Γ(α+ β + 2n+ 2)

(α+ β + 2n

n

)

Hauptkoeffizient : an(α, β) =12n

(α+ β + 2n

n

)

(3) Differentialgleichung : P(α,β)n (x) losen Differentialgleichung

(1− x2

)y′′ + ((β − α)− (α+ β + 2)x) y′ + n(n+ α+ β + 1)y = 0

Bemerkung : weitere Eigenschaften & Beweise dazu siehe z.B. [Sch71, Abschnitt 3.4], [Dav75, Sect. 10.3]

Ubung II-15 : Im Spezialfall α = β = 0, d.h. w(x) ≡ 1, x ∈ (−1, 1), bezeichnet man die Jacobi-Polynome

als Legendre-Polynome, P(0,0)n (x) =: Pn(x). Leiten Sie aus der zugehorigen Rodrigues-Formel

Pn(x) =1

2n n!dn

dxn

((x2 − 1

)n)

folgende Eigenschaften her bzw. verifizieren Sie diese :

(a) explizite Darstellung : Pn(x) =12n

[n2 ]∑

m=0

(−1)m

(n

m

)(2n− 2m

n

)xn−2m, Pn(1) = 1

(Hierbei ist [a] = max r ∈ Z : r ≤ a.)

(b) Rekursionsformel : (n+ 1)Pn+1(x) = (2n+ 1)xPn(x)− nPn−1(x)

(c) Normierung : ‖Pn‖22 =

1∫

−1

P 2n(x) dx =

22n+ 1

, Hauptkoeffizient : an =12n

(2nn

)

(d) y = Pn(x) lost die Differentialgleichung :(1− x2

)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0

41Benjamin Olinde Rodrigues (∗ 16.10.1794 Bordeaux † 17.12.1851 Paris)


Tschebyscheff-Polynome 1. Art

Orthogonalpolynome zum Gewicht w(x) =

1√1− x2

, x ∈ (−1, 1)

0 , sonst

; Standardisierung : Tn(1) = 1

Satz 2.51 (Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome 1. Art)

Seien n ∈ N0, x ∈ (−1, 1).

(i) Normierung : 〈Tn, Tm〉w =

0 , n 6= mπ , n = m = 0π2 , n = m ∈ N

; Hauptkoeffizient : an = 2n−1, n ∈ N

(ii) Rekursionsformel : T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x), n ∈ N(iii) trigonometrische Darstellung : Tn(x) = cos (n arccosx) , x ∈ [−1, 1]

(iv) Nullstellen : Tn hat einfache reelle Nullstellen in λ(n)k = cos

((2k + 1)π

2n

), k = 0, . . . , n− 1

(v) Alternante : Tn alterniert in ξk = cos(kπ

n

), d.h. Tn (ξk) = (−1)k, k = 0, . . . , n

(vi) Differentialgleichung : y = Tn(x) ist Losung von(1− x2

)y′′ − xy′ + n2y = 0

Be w e i s : aus der Rodrigues-Formel fur Tn (unter Berucksichtigung der Standardisierung)

Tn(x) = (−1)n

√π√

1− x2

2n Γ(n+ 1

2

) dn

dxn

((1− x2

)n− 12)

kann man ableiten

Tn(x) =n

2

[n2 ]∑

k=0

(−1)k (n− k − 1)!k! (n− 2k)!

(2x)n−2k, n ∈ N, σn = 0, τ2

1 =12, τ2

n =14, n ≥ 2 (38)

==⇒(38)

an =n

2(n− 1)!n!

2n = 2n−1 y T ∗n = 21−n Tn

zu (ii) ========⇒Satz 2.45, (38)

T ∗n+1(x)︸︷︷︸2−n Tn+1(x)

= (x− σn︸︷︷︸0

) T ∗n(x)︸︷︷︸21−nTn(x)

− τ2n︸︷︷︸14

T ∗n−1(x)︸︷︷︸22−n

==⇒·2n

Tn+1(x) = 2x Tn(x) − Tn−1(x)

zu (iii) trigonometrische Darstellung : z.z. : Tn(cosϕ) = cos(nϕ)

Induktion y n = 0, n = 1 X; mittels (ii) jetzt

Tn+1(cosϕ) =(ii)

2 cosϕ Tn(cosϕ)︸︷︷︸cos(nϕ), I.V.

− Tn−1(cosϕ)︸︷︷︸cos((n−1)ϕ), I.V.

= 2 cosϕ cos(nϕ)︸︷︷︸cos((n+1)ϕ)+cos((n−1)ϕ)

− cos((n− 1)ϕ) = cos((n+ 1)ϕ)

y Tn(x) = cos (n arccosx), x ∈ [−1, 1]

zu (iv) Tn(λ) = 0 ⇐⇒ n arccosλ =π

2+ kπ, k ∈ Z ⇐⇒ λ = cos

((2k + 1)π

2n

), k ∈ Z

===⇒Period.

λ(n)k = cos

((2k + 1)π

2n

), k = 0, . . . , n− 1


zu (v) Tn

(cos

(kπ

n

))=(iii)

cos (kπ) = (−1)k, k ∈ Z

zu (i) noch zu berechnen : 〈Tm, Tn〉w

〈Tm, Tn〉w =

1∫

−1

1√1− x2

Tn(x)Tm(x) dx =x = cos ϕ

π∫

0

cos(nϕ) cos(mϕ)︸︷︷︸12 (cos((n+m)ϕ)+cos((n−m)ϕ))

dϕ

=

12

(sin(n+m)ϕ

n+m+

sin(n−m)ϕn−m

)∣∣∣∣π

0

= 0 , n 6= m

π∫

0

dϕ = π , n = m = 0

π∫

0

1 + cos(2nϕ)2

dϕ =π

2, n = m ∈ N

zu (vi) . . . nachrechnen mit Darstellung (38) oder (iii)

Bemerkung : (i) y ‖T0‖2,w =√π, ‖Tn‖2,w =

√π

2, n ∈ N, d.h. zugehoriges Orthonormalsystem ist

(ek)k∈N0mit e0(x) =

1√π, en(x) =

√2πTn(x), x ∈ [−1, 1]

(iii) y |Tn(x)| ≤ 1 =⇒ |en(x)| ≤√

2π

, n ∈ N, x ∈ [−1, 1] 99K Satz 2.50

2. Fall : Orthogonal-Polynome zu einer Gewichtsfunktion auf einem unendlichem Intervall

(a, b) = (0,∞), wα(x) =xα e−x , x > 00 , x ≤ 0

, α > −1 ==========⇒

OrthogonalisierungL

(α)n Laguerre-Polynome

Momentenbedingung :

µk =

∞∫

0

w(x)xk dx =

∞∫

0

x(k+α+1)−1 e−x dx = Γ(k + α+ 1), k ∈ N0

existiert fur k + α+ 1 > 0 ====⇒k ∈ N0

α > −1

Bemerkung : weiteres Beispiel klassischer Orthogonalpolynome uber unendlichem Intervall : Hermite-

Polynome, w(x) = e−x2, x ∈ R ==========⇒

OrthogonalisierungHn

y kann man auch als Spezialfall der Laguerre-Polynome auffassen, fur n ∈ N0, x ∈ R,

H2n(x) = (−1)n 22n n! L(− 12 )

n (x2), H2n+1(x) = (−1)n 22n+1 n! x L( 12 )

n (x2)


Satz 2.52 (Eigenschaften der Laguerre-Polynome)

Seien n ∈ N0, x ∈ (0,∞).

(i) Normierung :⟨L(α)

n , L(α)m

⟩w

=

0 , n 6= m

Γ(α+ n+ 1)n!

, n = m ∈ N0

Hauptkoeffizient : an =(−1)n

n!, n ∈ N

(ii) Rekursionsformel : L(α)0 (x) = 1, L

(α)1 (x) = −x+ 1 + α,

(n+ 1)L(α)n+1(x) = [(2n+ 1 + α)− x]L(α)

n (x)− (n+ α)L(α)n−1(x), n ∈ N

(iii) Differentialgleichung : y = L(α)n (x) ist Losung von x y′′ + (α+ 1− x)y′ + ny = 0

Be w e i s∗ : Rodrigues-Darstellung : L(α)n (x) =

1n!

ex x−α dn

dxn

(e−xxα+n

)

=⇒ L(α)n (x) =

n∑

k=0

(α+ n

n− k)

(−x)k

k!=⇒ L(α)

n (0) =(α+ n

n

), an =

(−1)n

n!

man kann zeigen : σn(α) = 2n+ 1 + α, τ2n(α) = n(n+ α) =====⇒

Satz 2.45· · · (ii), . . .

Bemerkung : aus Rodrigues-Darstellung fur L(α)n folgt

ddx

(wα+1(x)L

(α+1)n−1 (x)

)=

1(n− 1)!

ddx

(dn−1

dxn−1

(e−xxα+n

))=

n

n!dn

dxn

(e−xxα+n

)

= n wα(x) L(α)n (x) (39)

zur Erinnerung : haben L2,w(a, b) betrachtet, so dass P ⊂ L2,w(a, b) gilt (y Momentenbedingung furunendliche Intervalle (a, b)), aber i.a. gilt fur unendliche Intervalle (a, b) nicht : P dicht in L2,w(a, b)

Satz 2.53 Sei wα(x) = xα e−x, x ∈ (0,∞), α > −1. Die Menge der Polynome P liegt dicht im RaumL2,wα(0,∞).

Be w e i s : verwenden : stetige Funktionen mit kompaktem Trager dicht in L2,w(a, b) (siehe z.B. [Sch71,Satz 2.10]) 99K ausreichend, solche Funktionen durch P zu approximieren in L2,wα(0,∞)

sei f ∈ C(0,∞), supp f ⊂ (0, r), r > 0 y h(x) :=f(− lnx) , e−r ≤ x ≤ 1

0 , 0 ≤ x ≤ e−r

∈ C[0, 1]


sei ε > 0 ====⇒Satz 2.1

∃ p ∈ P, p(x) =m∑

k=0

akxk ∀ x ∈ [0, 1] : |h(x)− p(x)| < ε

=====⇒x = e−y

∃ a0, . . . , am ∈ R ∀ y ≥ 0 :∣∣∣ f(y)

︸︷︷︸h(x)

−m∑

k=0

ake−yk

︸︷︷︸p(x)

∣∣∣ < ε

=⇒∞∫

0

yαe−y

︸︷︷︸wα(y)

(f(y)−

m∑

k=0

ake−yk

)2

dy < ε2 Γ(α+ 1)

=======⇒gk(y) := e−ky

∞∫

0

wα(y)(f(y)−

m∑

k=0

akgk(y))2

dy

︸︷︷︸‚‚‚‚f−mP

k=0akgk

‚‚‚‚2

2,wα

< ε2 Γ(α+ 1)

=⇒ span gm, m ∈ N0 dicht in L2,wα(0,∞)

verwenden Satz 1.21 mit H = L2,wα(0,∞), en =

√n!

Γ(α+ n+ 1)L(α)

n , n ∈ N0, T = gm, m ∈ N0 ⊆ H

y g.z.z. : ‖gk‖22,wα=

∞∑n=0

|〈gk, en〉wα |2, k ∈ N0 (40)

k = 0 : g0(y) ≡ 1 ≡ L(α)0 (y) =⇒ g0 =

√Γ(α+ 1) e0 =⇒ 〈g0, en〉wα = 0, n ∈ N y (40)

k ∈ N : ‖gk‖22,wα=

∞∫

0

e−yyα e−2ky︸︷︷︸g2

k(y)

dy =

∞∫

0

e−(1+2k)y yα dy =Γ(α+ 1)

(2k + 1)α+1(41)

〈gk, en〉wα =

√n!

Γ(α+ n+ 1)

∞∫

0

1n

ddy

“wα+1(y)L

(α+1)n−1 (y)

”, (39)

︷︸︸︷e−yyαL(α)

n (y) e−ky︸︷︷︸gk(y)

dy

=part. Int.

√n!

Γ(α+ n+ 1)

(1nwα+1(y)L

(α+1)n−1 (y)e−ky

∣∣∣∣∞

0︸︷︷︸0

+k

n

∞∫

0

e−yyα+1L(α+1)n−1 (y) e−ky dy

)

=Iteration

√n!

Γ(α+ n+ 1)kn

n!

∞∫

0

e−(k+1)yyα+n L(α+n)0 (y)︸︷︷︸

1

dy

=

√n!

Γ(α+ n+ 1)kn

n!Γ(α+ n+ 1)(k + 1)α+n+1

=kn

(k + 1)α+n+1

√Γ(α+ n+ 1)

n!

Γ(α+ n+ 1) = (α+ n)Γ(α+ n) = · · · = (α+ n) · · · (α+ 1) Γ(α+ 1) y

∞∑n=0

〈gk, en〉2wα=

∞∑n=0

k2n

(k + 1)2α+2n+2

Γ(α+ n+ 1)n!

=Γ(α+ 1)

(k + 1)2α+2

∞∑n=0

(k

k + 1

)2n (α+ n) · · · (α+ 1)n!

=q =

“k

k+1

”2

Γ(α+ 1)(k + 1)2α+2

∞∑n=0

qn (α+ n) · · · (α+ 1)n!


entwickeln ϕ(x) =1

(1− x)1+αin Taylorreihe um x0 = 0 =⇒ ϕ(n)(0) = (1 + α) · · · (n+ α) y

1(1− x)1+α

= ϕ(x) =∞∑

n=0

ϕ(n)(0)n!

xn =∞∑

n=0

(α+ n) · · · (α+ 1)n!

xn, |x| < 1

======⇒x = q < 1

∞∑n=0

〈gk, en〉2wα=

Γ(α+ 1)(k + 1)2α+2

∞∑n=0

qn (α+ n) · · · (α+ 1)n!

︸︷︷︸“1− k2

(k+1)2

”−1−α=“

(k+1)22k+1

”α+1

=Γ(α+ 1)

(2k + 1)α+1=

(41)‖gk‖22,wα

Bemerkung : • analoge Aussage zu Satz 2.53 gilt auch fur L2,wH(R) mit wH(x) = e−x2

(Hermite-Polynome)

• Fur beliebige Gewichte v(x) auf (0,∞), die alle Momentenbedingungen

µk =

∞∫

0

v(x)xk dx, k ∈ N0,

erfullen, gilt Analogon zu Satz 2.53 aber i.a. nicht !

Gegenbeispiel : sei v(x) := e− ln2 x, x ∈ (0,∞)

y µk =

ek+2∫

0

e− ln2 x︸︷︷︸≤1

xk dx +

∞∫

ek+2

e− ln2 x︸︷︷︸≤x−(k+2)

xk dx ≤ ck +

∞∫

ek+2

dxx2≤ Ck <∞, k ∈ N0

betrachten f(x) = sin(4π lnx) =⇒ f beschrankt, messbar, f ∈ L2,v(0,∞)

seien hn(x) = xn, n ∈ N0; Beh. : 〈f, hn〉v = 0, n ∈ N0

〈f, hn〉v =

∞∫

0

e− ln2 x sin(4π lnx)xn dx =ln x = u + n+1

2

e(n+1)2

4

∞∫

−∞e−u2

sin(4πu)︸︷︷︸ungerade

du = 0

y∞∑

n=0

〈f, hn〉2v = 0 6= ‖f‖22,v

=====⇒Satz 1.21

span hn, n ∈ N0︸︷︷︸P

nicht dicht in L2,v(0,∞)

2.7 Hilbertraume mit reproduzierendem Kern

‘reproducing kernel Hilbert spaces’, (siehe z.B. [Aro50])

Seien S ⊂ Cn, F = f : S −→ C Funktionen auf S, H ⊂ F ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 ,vollstandig bezuglich ‖f‖ =

√〈f, f〉, H = f ∈ F : 〈f, f〉 <∞

2.7 Hilbertraume mit reproduzierendem Kern 85

Definition 2.54 Eine Funktion K : S × S −→ C heißt reproduzierender Kern fur H, falls folgendeBedingungen erfullt sind :

(i) Fur jedes y ∈ S gilt : K(·, y) ∈ H.

(ii) Fur jedes f ∈ H und jedes y ∈ S gilt die Reproduktionseigenschaft

f(y) = 〈f,K(·, y)〉 .

Beispiel : Seien S = (a, b) ⊂ R, H = Pn ⊂ L2,w(a, b) mit Orthonormalsystem (ek)nk=0, d.h.

〈ej , ek〉w = δjk, und kn(x, t) Kern-Polynom der Ordnung n d.h.

kn(x, t) =n∑

k=0

ek(t)ek(x), x, t ∈ (a, b)

sei g ∈ Pn y g =n∑

j=0

〈g, ej〉w ej

y 〈g, kn(x, ·)〉w =

b∫

a

g(t)kn(x, t)w(t) dt =n∑

j=0

n∑

k=0

〈g, ej〉w ek(x)

〈ej ,ek〉w=δjk︷︸︸︷b∫

a

ej(t)ek(t)w(t) dt

=n∑

j=0

〈g, ej〉w ej(x) = g(x) = 〈g, kn(·, x)〉w , g ∈ Pn, x ∈ (a, b)

y kn(·, ·) ist reproduzierender Kern bezuglich H

Satz 2.55 (Aronszajn42-Bergman43)H besitzt einen reproduzierenden Kern genau dann, wenn fur jedes feste y ∈ S das lineare Funktional

Ly(f) = f(y)

beschrankt ist, d.h. es existiert ein cy > 0, so dass fur alle f ∈ H gilt

|Ly(f)| ≤ cy ‖f‖ . (42)

B e w e i s :”=⇒“ : sei y ∈ S =====⇒

Def. 2.54Ly(f) = f(y) = 〈f,K(·, y)〉

y |Ly(f)|2 = |〈f,K(·, y)〉|2 ≤ ‖f‖2 〈K(·, y),K(·, y)〉︸︷︷︸K(·,y)|

y=K(y,y)

= ‖f‖2K(y, y) ========⇒c2y := K(y, y)

(42)

”⇐=“ : sei (42) fur alle y ∈ S erfullt y 44 ∃ gy ∈ H : f(y) = Ly(f) = 〈f, gy〉

K(·, y) := gy, d.h. K(x, y) := gy(x), x ∈ S =⇒ K(·, ·) ist reproduzierender Kern fur H

42Nachman Aronszajn (∗ 1907 † 1980 )43Stefan Bergman (∗ 5.5.1895 Czestochowa / Polen † 6.6.1977 Palo Alto / USA)44Satz von Frechet45-Riesz46 : L ∈ L(H) =⇒ ∃ ! h0 ∈ H ∀ h ∈ H : L(h) = 〈h, h0〉, ‖L‖ = ‖h0‖45Maurice Rene Frechet (∗ 2.9.1878 Maligny/Frankreich † 4.6.1973 Paris)46Frigyes (Frederic) Riesz (∗ 22.1.1880 Gyor † 28.2.1956 Budapest)


Beispiel : S = (a, b), H = Pn ⊂ L2,w(a, b) mit reproduzierendem Kern kn(x, t), x, t ∈ (a, b)

f ∈ H, x0 ∈ (a, b) =⇒ f(x0) =n∑

k=0

〈f, ek〉wek(x0)

y |Lx0f | = |f(x0)| ≤n∑

k=0

|〈f, ek〉w| |ek(x0)| ≤Holder

(n∑

k=0

|〈f, ek〉w|2) 1

2

︸︷︷︸≤‖f‖, Bessel-Ungl.

(n∑

k=0

e2k(x0)

) 12

︸︷︷︸=:cx0

≤ cx0 ‖f‖

Satz 2.56 H besitze einen reproduzierenden Kern.

(i) Dieser Kern ist eindeutig.

(ii) Fur alle ξ1, . . . , ξn ∈ C und y1, . . . , yn ∈ S gilt

n∑

k,j=1

K(yk, yj) ξj ξk ≥ 0, (43)

insbesondere also K(x, y) = K(y, x), K(x, x) ≥ 0, |K(x, y)|2 ≤ K(x, x)K(y, y), x, y ∈ S.

(iii) Aus limn→∞

‖f − fn‖ = 0 folgt limn→∞

fn(x) = f(x) fur alle x ∈ S.

Diese Konvergenz gilt gleichmaßig fur jede Menge S′ ⊂ S, auf der K(x, x) beschrankt ist.

(iv) Sei (ek)k∈N0ein vollstandiges Orthonormalsystem in H. Dann konvergiert die Fourier-Entwicklung

einer Funktion f ∈ H,∞∑

k=0

〈f, ek〉 ek

punktweise gegen f und gleichmaßig auf allen S′ ⊂ S, auf denen K(x, x) beschrankt ist.

Be w e i s : zu (i) : seien K(x, y), J(x, y) reproduzierende Kerne fur H, sei y ∈ S y

‖K(·, y)− J(·, y)‖2 = 〈K(·, y)− J(·, y),K(·, y)− J(·, y)〉= 〈K(·, y)− J(·, y),K(·, y)〉︸︷︷︸

K(·,y)−J(·,y)|y=K(y,y)−J(y,y)

− 〈K(·, y)− J(·, y), J(·, y)〉︸︷︷︸K(·,y)−J(·,y)|

y=K(y,y)−J(y,y)

= 0

=⇒ K(·, y) = J(·, y) fur jedes feste y ∈ S =⇒ K(·, ·) ≡ J(·, ·)

zu (ii) :n∑

k,j=1

K(yk, yj) ξj ξk =n∑

k,j=1

〈K(·, yj),K(·, yk)〉︸︷︷︸K(yk,yj)

ξj ξk =

⟨n∑

j=1

K(·, yj)ξj ,n∑

k=1

K(·, yk)ξk

⟩

=∥∥∥∥

n∑

k=1

K(·, yk)ξk

∥∥∥∥2

≥ 0

n = 1, ξ = 1 y K(x, x) ≥ 0, K(x, y) = 〈K(·, y),K(·, x)〉︸︷︷︸K(·,y)|

x=K(x,y)

= 〈K(·, x),K(·, y)〉︸︷︷︸K(·,x)|

y=K(y,x)

= K(y, x)

o.B.d.A. K(x, y) 6= 0, verwenden (43) mit n = 2, y1 = x, y2 = y, ξ1 = −1, ξ2 = λ, falls K(x, x) > 0 y47

0 ≤ K(x, x)− λK(x, y)− λK(y, x) + |λ|2K(y, y)

=λ =

K(x,x)K(x,y)

K(x, x)−K(x, x)−K(x, x) +K(x, x)2K(y, y)|K(x, y)|2 =

≥0︷︸︸︷K(x, x)|K(x, y)|2

(K(x, x)K(y, y)− |K(x, y)|2)︸︷︷︸

y · ≥ 0


zu (iii) : sei x ∈ S y

|f(x)− fn(x)|2 = |〈f − fn,K(·, x)〉|2 ≤ ‖f − fn‖2 〈K(·, x),K(·, x)〉︸︷︷︸K(·,x)|

x=K(x,x)

= ‖f − fn‖2 K(x, x) −−−−→n→∞

0

K(x, x) ≤M , x ∈ S′ =⇒ |f(x)− fn(x)|2 ≤ M ‖f − fn‖2 gleichmaßig auf S′

zu (iv) : Folge aus (iii) und der generellen Aussage∥∥∥f −

m∑

k=0

〈f, ek〉 ek

∥∥∥ −−−−→m→∞

0

Satz 2.57 H besitze einen reproduzierenden Kern K(·, ·), L ∈ L(H) sei ein beschranktes linearesFunktional auf H. Dann ist

h := LxK(x, ·) ∈ H, d.h. h(y) = LxK(x, y), y ∈ S,

und es gelten L(f) = 〈f, h〉 fur alle f ∈ H, und ‖L‖2 = LyLxK(x, y) .

Be w e i s : LxK(x, y) bedeutet : sei y ∈ S fest, gy := K(·, y) y LxK(x, y) = Lgy, x ∈ SL ∈ L(H) =⇒

Satz von Frechet-Riesz48∃ h ∈ H ∀ f ∈ H : L(f) = 〈f, h〉, ‖L‖ = ‖h‖

=⇒ LxK(x, y) = Lgy = 〈gy, h〉 = 〈h, gy〉 = 〈h,K(·, y)〉︸︷︷︸h(y)

= h(y)

y ‖L‖2 = ‖h‖2 = 〈h, h〉 = Lh = Ly

LxK(x,y)︷︸︸︷h(y) = LyLxK(x, y)

Satz 2.58 H besitze einen reproduzierenden Kern K(·, ·), und hnn sei ein vollstandiges Orthonormal-system in H. Dann gilt

K(x, y) =∞∑

n=1

hn(x) hn(y) , x, y ∈ S.

Fur jede Folge (αn)n ∈ `2 gilt∞∑

n=1

|αn| |hn(x)| ≤√K(x, x)

( ∞∑n=1

|αn|2) 1

2

, x ∈ S.

Be w e i s : y ∈ S =⇒ K(·, y) ∈ H =⇒ K(·, y) =∞∑

n=1

〈K(·, y), hn〉︸︷︷︸〈hn,K(·,y)〉 = hn(y)

hn =∞∑

n=1

hn(y) hn

y K(x, y) =∞∑

n=1

hn(x) hn(y), x, y ∈ S

=⇒49

∞∑n=1

|hn(x)|2 ≤ ‖K(x, x)‖2 = 〈K(x, x),K(x, x)〉︸︷︷︸K(·,x)|

x=K(x,x)

= K(x, x), x ∈ S

y∞∑

n=1

|αn| |hn(x)| ≤( ∞∑

n=1

|αn|2) 1

2( ∞∑

n=1

|hn(x)|2) 1

2

︸︷︷︸≤√

K(x,x)

≤√K(x, x)

( ∞∑n=1

|αn|2) 1

2

, x ∈ S

47K(x, x) = 0 : fur K(y, y) > 0 99K analog (x ↔ y); fur K(y, y) = 0 99K λ = ±1,±i y <e K(x, y) = =m K(x, y) = 048siehe 44, S. 8549Bessel-Ungleichung, S. 24


Beispiel : Sei G ⊂ C ein Gebiet50, speziell : G = z ∈ C : |z| < 1, und

A2(G) :=f : G ⊂ C −→ C : f analytisch51 in G,

∫∫

G

|f(x+ iy)|2 dxdy <∞

A2(G) heißt Bergman - Raum, mit 〈·, ·〉A Hilbert-Raum, vollstandig bezuglich ‖ · ‖A,

〈f, g〉A =∫∫

G

f(x+ iy)g(x+ iy) dxdy, ‖f‖A =( ∫∫

G

|f(x+ iy)|2 dxdy) 1

2

A2(G) ist abgeschlossener Teilraum von L2(G) (siehe z.B. [Yos78, Prop. I.9.3, S. 53])

seien z0 ∈ G, 0 < r < dist (z0, ∂G) = 1− |z0|, f ∈ A2(G)

=⇒ f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n, |z − z0| ≤ r

y ‖f‖2A ≥∫∫

|z−z0|≤r

|f(x+ iy︸︷︷︸z

)|2 dx dy =

r∫

0

2π∫

0

∞∑n=0

an%neinϕ

︸︷︷︸f(%eiϕ+z0)

∞∑

k=0

ak %ke−ikϕ

︸︷︷︸f(%eiϕ+z0)

% dϕ d%

= 2π∞∑

n=0

|an|2r∫

0

%2n+1 d% = 2π∞∑

n=0

|an|2 r2n+2

2n+ 2≥ 2π |a0|2︸︷︷︸

|f(z0)|2

r2

2= π r2 |f(z0)|2

y |f(z0)| ≤ 1√π r

‖f‖A

betrachten Lz0(f) := f(z0), z0 ∈ G, f ∈ A2(G) y Lz0 ∈ L (A2(G)) , |Lz0(f)| ≤ 1√π r︸︷︷︸

cz0

‖f‖A

=====⇒Satz 2.55

A2(G) besitzt einen reproduzierenden Kern KA(z, w)

=====⇒Def. 2.54

f(w) = 〈f,KA(·, w)〉A =∫∫

G

f(z)KA(z, w) dxdy =Satz 2.56(ii)

∫∫

G

f(z)KA(w, z) dxdy

mit z = x+ iy

hA

n

n

mit hAn (z) =

√n+ 1π

zn, n ∈ N0, vollstandiges Orthonormalsystem in A2(G):

〈hAk , h

An 〉A =

√(n+ 1)(k + 1)

π

∫∫

G

zn zk dx dy

=

√(n+ 1)(k + 1)

π

1∫

0

rn+k+1

2π∫

0

ei(n−k)ϕ dϕ

︸︷︷︸2πδnk

dr = 2(n+ 1)

1∫

0

r2n+1 dr = δnk

Vollstandigkeit : siehe z.B. [Dav75, Thm. 11.4.3]

50offen, beschrankt, zusammenhangend

51f analytisch in z0 ∈ G ⇐⇒ f(z) =∞P

n=0an(z− z0)n fur |z− z0| < r(z0); ausreichend ware auch f holomorph in G


=====⇒Satz 2.58

KA(z, w) =∞∑

n=0

hAn (z) hA

n (w)

=1π

∞∑n=0

(n+ 1) [zw]n

︸︷︷︸ddη ( 1

1−η )|η=zw

=1

π(1− zw)2, z, w ∈ G

y KA(z, z) =1

π(1− |z|2)2 , |z| < 1

K(x, x)

1

10

8

6

4

2

−1 0

f ∈ A2(G), w ∈ G =⇒s.o.

f(w) =1π

∫∫

G

f(z)(1− wz)2 dx dy, z = x+ iy

Bemerkung : KA(z, w) heißt Bergman-Kern fur G, z, w ∈ G ⊂ C

Folgerung 2.59 Seien H ein Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K(·, ·), und Lkk ⊂ L(H) mitder Eigenschaft, dass aus f ∈ H, Lk(f) = 0, k ∈ N, stets folgt f ≡ 0. Dann ist hnn, gegeben durch

hn(y) = LnK(·, y), n ∈ N, y ∈ S,

vollstandig in H, d.h. aus 〈g, hn〉 = 0, n ∈ N, folgt g ≡ 0.

Be w e i s : Ln ∈ L(H) =====⇒Satz 2.57

hn = Ln,xK(x, ·) ∈ H, Ln(f) = 〈f, hn〉, f ∈ Hy 0 = 〈g, hn〉 = Ln(g) ==⇒

Vor.g ≡ 0

Folgerung 2.60 Seien H ein Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K(·, ·) und Orthonormalsystemhnn. Das System hnn ist vollstandig genau dann, wenn gilt

K(x, x) =∞∑

k=1

|hk(x)|2 , x ∈ S.

Be w e i s :”=⇒“ : folgt aus Satz 2.58

”⇐=“ : sei hnn nicht vollstandig y ∃ gkk ⊂ H : hnn ∪ gkk vollstandig, orthonormal in H

(siehe z.B. [Dav75, Thm. 9.3.12], [Wer00, Satz V.4.9])

=====⇒Satz 2.58

K(x, x) =∞∑

n=1

|hn(x)|2 +

>0︷︸︸︷∑

k

|gk(x)|2 >

∞∑n=1

|hn(x)|2 fur ein x ∈ S


Beispiel :H =F : [0, 1] −→ R : ∃ f ∈ L2[0, 1] : F (x) =

x∫0

f(t) dt, x ∈ [0, 1]

mit

〈F,G〉 :=

1∫

0

f(t)g(t) dt =

1∫

0

F ′(t)G′(t) dt, F,G ∈ H,

mit G(x) =x∫0

g(t) dt, F (x) =x∫0

f(t) dt; suchen K(·, ·)

======⇒Def. 2.54(ii)

〈F,K(·, x)〉 =

1∫

0

F ′(t)ddtK(t, x) dt = F (x) =

x∫

0

F ′(t) dt, x ∈ [0, 1], F ∈ H

yddtK(t, x) = χ

[0,x](t) y K(t, x) = (t+ c1(x))χ[0,x]

(t) + c2(x)χ[x,1](t)

==========⇒K(t, x) = K(x, t)

(t+ c1(x))χ[0,x](t) + c2(x)χ[x,1]

(t) = c2(t)χ[t,1](x)

︸︷︷︸χ

[0,x](t)

+(x+ c1(t))χ[0,t](x)

︸︷︷︸χ

[x,1](t)

y (t+ c1(t)− c2(t))χ[0,x](t) = (x+ c1(t)− c2(x))χ[x,1]

(t) y c1(x) = c, c2(x) = x+ c

y K(t, x) = t χ[0,x]

(t) + x χ[x,1]

(t) + c = min(x, t) + c

K(x, x) = 〈K(·, x),K(·, x)〉 =

1∫

0

(ddtK(t, x)

)2

︸︷︷︸χ

[0,x](t)

dt = x ===⇒c = 0

K(t, x) = min(x, t), x, t ∈ [0, 1]

=====⇒Satz 2.55

|F (x)|2 ≤ K(x, x) ‖F‖2 = x 〈F, F 〉 = x

1∫

0

|F ′(t)|2 dt, x ∈ [0, 1], F ∈ H

Bemerkung : K(t, x) . . . Green 52sche Funktion53 zur Differentialgleichung y′ = 0, y(0) = 0 auf [0, 1]

Beispiel : S = [−π, π], H = Tn ⊂ L2[−π, π], Kn(x, y) :=1πDn(x− y) =

sin(n+ 12 )(x− y)

2π sin x−y2

======⇒UA II-8 (iii)

Sn[f ](x) =1π

π∫

−π

Dn(t− x)f(t) dt = 〈f,Kn(·, x)〉 , x ∈ R, n ∈ N0

d.h. f(x) = 〈f,Kn(·, x)〉, f ∈ Tn, x ∈ R, n ∈ N0

52George Green (∗ Juli 1793 Nottingham † 31.5.1841 Nottingham)

53 Sei Ly :=nP

k=0ak(x)y(k) = y0 lineare DGL n-ter Ordnung, mit Randbed. Rjy :=

n−1Pk=0

`ckjy(k)(a) + dkjy(k)(b)

´= 0,

j = 1, . . . , n, y0 ∈ C[a, b]; y eind. best. G(s, t) ∈ C`[a, b]2

´mit y(x) =

bRa

G(x, τ)y0(τ) dτ , x ∈ [a, b], (und weiteren Vor.)

heißt zugehorige Greensche Funktion.


jetzt H = L2[−π, π] y statt Funktionen ; Aquivalenzklassen

y L ∈ L(H), L(f) = f(x0), x0 ∈ [−π, π], f ∈ H

nicht definiert ! y Satz 2.55 nicht anwendbar; analog fur Satz 2.58, denn∞∑

n=1

hn(x) hn(y)

nicht konvergent :

limn→∞

Kn(x, y) =1π

limn→∞

(12

+n∑

k=1

cos(k(x−y))︷︸︸︷(cos(kx) cos(ky) + sin(kx) sin(ky))

)

︸︷︷︸sin(n + 1

2)(x− y)

2 sin x−y2

= Dn(x− y)

existiert nicht

formal : K(x, y) := δ(x− y) . . . Dirac54sche Delta-”Funktion“ ( 99K singulare Distribution) mit

Reproduktionseigenschaft

f(y) =

π∫

−π

f(x)δ(y − x) dx = 〈f, δ(y − ·)〉

und divergenter Darstellung δ(x− y) = limn→∞

Kn(x, y) =12π

+1π

∞∑

k=1

cos(k(x− y))

Ubung II-16 : (i) Beweisen Sie den Satz von Vitali55 : Das Orthonormalsystem fnn∈N0⊂ L2[a, b]

ist genau dann vollstandig, wenn gilt

∞∑n=0

( t∫

a

fn(x) dx)2

= t− a, a ≤ t ≤ b .

(ii) Welcher Zusammenhang besteht zu Folgerung 2.60 ?

(iii) Zeigen Sie unter Verwendung von (i) die Vollstandigkeit des Systems cos(nx), n ∈ N0in L2[0, π].

54Paul Adrien Maurice Dirac (∗ 8.8.1902 Bristol † 20.10.1984 Tallahassee / Florida)55Guiseppe Vitali (∗ 26.8.1875 Ravenna † 29.2.1932 Bologna)

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