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  • 32 2 Approximation in speziellen Räumen

    2 Approximation in speziellen Räumen

    2.1 Satz von Weierstraß

    zunächst : Approximation in C[a, b], −∞ < a < b 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : ‖f − pn‖∞ = sup

    x∈[a,b] |f(x)− pn(x)| < ε

    Bemerkung : Vergleich zum Satz von Taylor für analytische Funktionen :

    sei f : C −→ C analytisch in {z ∈ C : |z| ≤ R} ⊂ C =⇒ m∑

    k=0

    akz k −−−−→

    m→∞ f(z)

    gleichmäßig in {z ∈ C : |z| ≤ R}, setzen pm(z) := m∑

    k=0

    akz k y pm ==⇒

    glm. f ,

    ∀ ε > 0 ∃ m0 ∀ m ≥ m0 : sup |z| 0 ∃ m0 ∀ m ≥ m0 : sup −R

  • 2.1 Satz von Weierstraß 33

    Lemma 2.3 Seien n ∈ N, x ∈ [0, 1], f : [0, 1] −→ R. Dann gilt

    (Bnf) (x) = n∑

    k=0

    ( ∆k1/nf

    ) (0)

    ( n

    k

    ) xk .

    Be w e i s :

    (Bnf) (x) = n∑

    k=0

    ( n

    k

    ) f

    ( k

    n

    ) xk

    (1−x)n−k︷ ︸︸ ︷ n−k∑

    j=0

    ( n− k j

    ) (−1)n−k−jxn−k−j

    = n∑

    k=0

    n−k∑

    j=0

    f

    ( k

    n

    )( n

    k

    )( n− k j

    ) (−1)n−k−jxn−j

    = n∑

    `=0

    x` ∑̀

    k=0

    f

    ( k

    n

    ) ( n

    k

    )( n− k n− `

    )

    ︸ ︷︷ ︸ n!

    k!(`−k)!(n−`)!=(n`)(`k)

    (−1)`−k = n∑

    `=0

    ( n

    `

    ) x`

    ∑̀

    k=0

    f

    ( k

    n

    ) ( `

    k

    ) (−1)`−k

    ︸ ︷︷ ︸“ ∆`1/nf

    ” (0)

    Übung II-2 : Seien h0(x) ≡ 1, h1(x) = x, h2(x) = x2, f(x) = eαx, α ∈ R, g ∈ Pm, m ∈ N, x ∈ [0, 1]. Zeigen Sie

    (a) Bnh0 = h0, d.h. (Bnh0)(x) ≡ 1, n ∈ N (b) Bnh1 = h1, d.h. (Bnh1)(x) = x, n ∈ N

    (c) Bnh2 = (

    1− 1 n

    ) h2 +

    1 n h1, d.h. (Bnh2)(x) =

    1 n x+

    ( 1− 1

    n

    ) x2, n ∈ N

    (d) (Bnf) (x) = ( xe

    α n + (1− x))n, n ∈ N

    (e) (Bng) ∈ Pm, n ∈ N

    Satz 2.4 (Bernstein) Sei f eine auf [0, 1] beschränkte Funktion. Dann gilt für alle x ∈ [0, 1], in denen f stetig ist,

    lim n→∞

    (Bnf) (x) = f(x).

    Falls f ∈ C[0, 1] ist, konvergieren die Polynome Bnf auf [0, 1] gleichmäßig gegen f .

    Be w e i s : 1. Schritt : zeigen die Identität

    n∑

    k=0

    (k − nx)2 ( n

    k

    ) xk(1− x)n−k = nx(1− x) (12)

    n∑

    k=0

    (k − nx)2 ( n

    k

    ) xk(1− x)n−k

    = n∑

    k=0

    k2 ( n

    k

    ) xk(1− x)n−k

    ︸ ︷︷ ︸ n2(Bnx2)(x)=nx+n(n−1)x2, ÜA II-2(c)

    − 2nx n∑

    k=0

    k

    ( n

    k

    ) xk(1− x)n−k

    ︸ ︷︷ ︸ n(Bnx)(x)=nx, ÜA II-2(b)

    + n2x2 n∑

    k=0

    ( n

    k

    ) xk(1− x)n−k

    ︸ ︷︷ ︸ (Bn1)(x)≡1, ÜA II-2(a)

    = nx+ n(n− 1)x2 − 2n2x2 + n2x2 = nx(1− x)

  • 34 2 Approximation in speziellen Räumen

    2. Schritt : zeigen für beliebiges δ > 0, 0 ≤ x ≤ 1, ∑

    | kn−x|≥δ

    ( n

    k

    ) xk(1− x)n−k ≤ 1

    4nδ2 (13)

    ∣∣∣∣ k

    n − x

    ∣∣∣∣ ≥ δ =⇒ (k − nx)2 n2δ2

    ≥ 1 y

    | kn−x|≥δ

    ( n

    k

    ) xk(1− x)n−k ≤ 1

    n2 δ2

    n∑

    k=0

    (k − nx)2 ( n

    k

    ) xk(1− x)n−k

    ︸ ︷︷ ︸ = nx(1−x), (12)

    =

    ≤ 14︷ ︸︸ ︷ x(1− x) n δ2

    ≤ 1 4nδ2

    3. Schritt : f beschränkt =⇒ |f(x)| ≤M , x ∈ [0, 1]; sei f stetig in x =⇒ ∀ ε > 0 ∃ δx > 0 ∀ y ∈ [0, 1], |y − x| < δx : |f(x)− f(y)| < ε2

    f(x) = n∑

    k=0

    f(x) ( n

    k

    ) xk(1− x)n−k y

    f(x)− (Bnf) (x) = n∑

    k=0

    [ f(x)− f

    ( k

    n

    )]( n

    k

    ) xk(1− x)n−k

    = ∑

    | kn−x| 0 ∀ x, y ∈ [0, 1], |y − x| < δ : |f(x)− f(y)| < ε 2 ,

    weiter analog zum 3. Schritt y

    |f(x)− (Bnf) (x)| ≤ ε2 + 2M 4nδ2

    < ε für n ≥ n0(ε) und alle x ∈ [0, 1]

    =⇒ lim n→∞

    sup x∈[0,1]

    |f(x)− (Bnf) (x)| = 0 ⇐⇒ (Bnf) ==⇒ glm.

    f

    Folgerung 2.5 Seien f ∈ C[0, 1] und ε > 0. Dann existiert ein n0(ε), so dass für alle n ≥ n0 gilt

    sup x∈[0,1]

    |f(x)− (Bnf)(x)| < ε .

  • 2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 35

    B e w e i s : (Satz 2.1)

    sei f ∈ C[a, b], setzen ξ := x− a b− a , g(ξ) := f

    ( x︷ ︸︸ ︷ a+ (b− a)ξ ) =⇒ g ∈ C[0, 1]

    ====⇒ Folg. 2.5

    ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0 : sup ξ∈[0,1]

    |g(ξ)− (Bng) (ξ)| < ε

    rn(x) := (Bng) ( x− a b− a︸ ︷︷ ︸

    ξ

    ) ∈ Pn =⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0 : sup

    x∈[a,b] |f(x)− rn(x)| < ε

    Übung II-3 : • Sei g(t) = |2t− 1|, t ∈ [0, 1]. Berechnen Sie die zugehörigen Bernstein-Polynome (B4g) (t) und (B6g) (t). Zeigen Sie, dass für n ∈ N

    (B2ng) (

    1 2

    ) =

    1 22n

    ( 2n n

    )

    gilt, und geben Sie eine Abschätzung für den lokalen Fehler ∣∣g ( 12

    )− (B2ng) (

    1 2

    )∣∣ für n→∞ an.

    • Sei f ∈ C[a, b] mit den Momentenbedingungen b∫

    a

    tmf(t) dt = 0, m ∈ N0, gegeben. Dann ist f ≡ 0 auf [a, b].

    Hinweis : Verwenden Sie b∫

    a

    [f(t)]2 dt = b∫

    a

    [f(t)− p(t)] f(t) dt für alle (algebraischen) Polynome p(t), und den Satz von Weierstraß.

    2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen

    betrachten – vor Verallgemeinerung von Satz 2.1 – zunächst Approximation durch Bernstein-Polynome etwas genauer

    bemerkenswert : gleichzeitige Approximation von Funktion und Ableitungen !

    Beispiele : (i) fn(x) = sin(nx) n

    , n ∈ N, x ∈ [0, 2π] y |fn(x)| ≤ 1 n , x ∈ [0, 2π] y fn ==⇒

    glm. 0

    andererseits: f ′n(x) = cos(nx) nicht (gleichmäßig) konvergent, insbesondere f ′ n 6==⇒

    glm. 0

    (ii) Seien Tn(x) die Tschebyscheff-Polynome (erster Art) aus Bsp. (2) in Abschnitt 1.5,

    gn(x) = Tn(x) n

    , n ∈ N, x ∈ [−1, 1].

    später (Satz 2.51): Tn(x) = √

    2 π cos(n arccosx), T

    ′ n(1) =

    √ 2 πn

    2, n ∈ N

    y ‖gn‖∞ ≤ √

    2 n √ π −−−−→ n→∞

    0, d.h. gn ==⇒ glm.

    0,

    aber

    ‖g′n − g′2n‖∞ ≥ |g′n(1)− g′2n(1)| = n √

    2 π −−−−→ n→∞

    ∞, d.h. g′n nicht glm. konv.

  • 36 2 Approximation in speziellen Räumen

    Beispiele : (iii) Seien r(z), p(z) in beschränktem Gebiet G ⊂ C analytische (komplexe) Funktionen mit |r(z)− p(z)| < ε auf ∂G (einfach geschlossene Kurve) ======⇒

    Max.prinzip |r(z)− p(z)| < ε in G

    seien m ∈ N, δ > 0, und Sδ := {z ∈ G : dist (z, ∂G) ≥ δ} ⊂ G

    =⇒ Cauchy-Ungl.22

    ∣∣∣r(m)(z)− p(m)(z) ∣∣∣ ≤ m! |∂G|

    2π δm+1 ε, z ∈ Sδ

    d.h. für ε ↓ 0 (und festes Sδ, m ∈ N) 99K p(m)(z) approximiert r(m)(z) gleichmäßig (in C), falls p(z) bereits r(z) approximiert hat

    Lemma 2.6 Seien k ∈ N0, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1]. Dann gilt

    dk

    dxk (Bn+kf) (x) = (Bn+kf)

    (k) (x) = (n+ k)! n!

    n∑

    j=0

    ∆k 1 n+k

    f

    ( j

    k + n

    )( n

    j

    ) xj(1− x)n−j .

    Be w e i s : Interpretation für k = 0 : (Bnf) (0) (x) = (Bnf) (x)

    verwenden Leibniz23-Formel : (uv)(m) = m∑

    `=0

    ( m

    `

    ) u(`)v(m−`)

    dk

    dxk (Bn+kf) (x)

    = n+k∑

    `=0

    ( n+ k `

    ) f

    ( `

    n+ k

    ) [x`(1−x)n+k−`](k)︷ ︸︸ ︷

    k∑ ν=0

    ( k

    ν

    ) [ x`

    ](ν)

    ︸ ︷︷ ︸ =

     `!

    (`−ν)! x `−ν , ν ≤ `

    0 , ν > `

    ff

    [ (1− x)n+k−`](k−ν)

    ︸ ︷︷ ︸ =

    ( (−1)k−ν (n+k−`)!(n−`+ν)! (1− x)n−`+ν , `− ν ≤ n

    0 , `− ν > n

    )

    = n+k∑

    `=0

    min(k,`)∑

    ν=max(0,`−n) f

    ( `

    n+ k

    ) (−1)k−ν

    ( n+ k `

    )( k

    ν

    ) (n+ k − `)! (n− `+ ν)!

    `! (`− ν)!x

    `−ν(1− x)n−`+ν

    = k∑

    ν=0

    n+ν∑

    `=ν

    f

    ( `

    n+ k

    ) (−1)k−ν

    ( k

    ν

    )( n+ k `

    ) `! (n+ k − `)!

    (`− ν)! (n− `+ ν)!︸ ︷︷ ︸ (n+k)! 1n! ( n`−ν)

    x`−ν(1− x)n−`+ν

    = j = `− ν

    (n+ k)! n!

    k∑ ν=0

    n∑

    j=0

    f

    ( j + ν n+ k

    ) (−1)k−ν

    ( k

    ν

    ) ( n

    j

    ) xj(1− x)n−j

    = (n+ k)! n!

    n∑

    j=0

    k∑ ν=0

    f

    ( j + ν k + n

    ) (−1)k−ν

    ( k

    ν

    )

    ︸ ︷︷ ︸ ∆k 1

    n+k f( jk+n )

    ( n

    j

    ) xj(1− x)n−j

    = (n+ k)! n!

    n∑

    j=0

    ∆k 1 n+k

    f

    ( j

    k + n

    )( n

    j

    ) xj(1− x)n