1

2. Κεφάλαιο: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Σύνοψη Σε πολλές περιπτώσεις, η απαρίθμηση των στοιχείων ενός συνόλου είναι χρονοβόρα και επίπονη εργασία. Αυτό οφείλεται στην ειδική μορφή που έχουν τα στοιχεία που συνθέτουν τέτοια σύνολα. Διαχρονικά, τέτοιες δυσκολίες απαρίθμησης αποτέλεσαν πρόκληση για τα μαθηματικά. Μια διαδικασία απαρίθμησης προϋποθέτει την κατανόηση της δομής του συνόλου, τα στοιχεία του οποίου επιθυμούμε να απαριθμήσουμε. Επιπλέον, απαιτείται και μια πιο σύνθετη αναλυτική προσέγγιση στη δομή των στοιχείων αυτών. Συνήθως, τα στοιχεία των συνόλων που επιθυμούμε να απαριθμήσουμε είναι συμπλέγματα στοιχείων κάποιου συνόλου. Οι ιδιότητες των συμπλεγμάτων θα πρέπει να είναι κατανοητές και οι ιδιότητές τους καλώς ορισμένες. Η θεωρία συνόλων υπήρξε η βάση από την οποία ξεκινά η ανάπτυξη της Συνδυαστικής και των μεθόδων της για τον υπολογισμό του πληθικού αριθμού τέτοιων συνόλων.

Η Συνδυαστική είναι η περιοχή των μαθηματικών που ασχολείται με την ανάπτυξη τεχνικών απαρίθμησης συμπλεγμάτων. Για τον λόγο αυτό, συχνά αναφέρεται και ως «Συμπλεκτική». Συμπλέγματα είναι οικογένειες συνόλων (συνήθως πεπερασμένες) με συγκεκριμένες χαρακτηριστικές δομές στα στοιχεία ή τα υποσύνολά τους. Οι μέθοδοι της Συνδυαστικής επιτρέπουν την ταχεία απαρίθμηση των στοιχείων τέτοιων συμπλεγμάτων. Ο όρος «απαρίθμηση των στοιχείων ενός συμπλέγματος», που χρησιμοποιούμε στο παρόν κείμενο, αναφέρεται σε αρκετές βασικές δομές συμπλεγμάτων, όπως εκείνη της απαρίθμησης όλων των δυνατών συνδυασμών n στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου που αποτελείται από μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων από το n. Συνεπώς, είναι δύσκολο να αναφέρουμε σ’ αυτή τη σελίδα όλα τα θέματα που μπορεί να αντιμετωπίσει κάποιος στην πρώτη του προσέγγιση στη Συνδυαστική. Επίσης, επειδή το θέμα είναι εξαιρετικά χρήσιμο, η Συνδυαστική αποτελεί προαπαιτούμενη γνώση για την κατανόηση της Στοιχειώδους Θεωρίας Πιθανοτήτων, της Στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών και της Θεωρίας Γραφημάτων. Για τη Θεωρία Πιθανοτήτων η χρησιμότητα της Συνδυαστικής εντοπίζεται κυρίως στην απαρίθμηση των στοιχείων των πεπερασμένων δειγματικών χώρων. Αυτό οφείλεται στην ειδική μορφή που έχουν τα στοιχεία που συνθέτουν τέτοια σύνολα. Τέτοιες δυσκολίες απαρίθμησης αποτέλεσαν πρόκληση για τα μαθηματικά, που σύντομα ανάπτυξαν μεθόδους υπολογισμού του αριθμού των στοιχείων τέτοιων συνόλων.

Η Συνδυαστική περιλαμβάνει τις ταξινομημένες αυτές μεθόδους. Έτσι, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο αποτελεσματικών μεθόδων τεχνικών απαρίθμησης.

Στη Συνδυαστική περιλαμβάνονται και πλέον πολύπλοκες μέθοδοι αρίθμησης συνόλων. Για παράδειγμα, οι δείκτες ακολουθιών συνόλων συχνά απεικονίζονται σε σειρές δυνάμεων που μορφοποιούν έτσι τις γεννήτριες συναρτήσεις, οι οποίες μπορούν μετά να αναλυθούν χρησιμοποιώντας τεχνικές της Μαθηματικής Ανάλυσης. Καθώς πολλές μέθοδοι απαρίθμησης περιλαμβάνουν διωνυμικούς συντελεστές, δεν εκπλήσσεται κανείς από την εμφάνιση της υπεργεωμετρικής συνάρτησης. Σε μερικές περιπτώσεις η αρίθμηση είναι ασυμπτωτική, όπως για παράδειγμα είναι οι εκτιμήσεις για το πλήθος των διαμερισμών ενός ακεραίου. Σε αρκετές περιπτώσεις η αρίθμηση μπορεί να γίνει με έναν καθαρά συνθετικό τρόπο, χρησιμοποιώντας «στοιχειώδη λογισμό». Συνδυαστικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό των συντελεστών χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό ταυτοτήτων μεταξύ συναρτήσεων, ειδικά μεταξύ απείρων αθροισμάτων ή γινομένων όπως οι γνωστές ταυτότητες Ramanujan.

Μια περιοχή της Συνδυαστικής, που δεν εντάσσεται όμως στην περιοχή των τεχνικών απαρίθμησης, είναι η μελέτη των μορφών σχεδίασης, δηλαδή συνόλων και των υποσυνόλων τους διατεταγμένων σε πολύ συμμετρικές ή ασύμμετρες μορφές. Από αυτές, ίσως τα πιο γνωστά είναι τα λατινικά τετράγωνα (διατάξεις στοιχείων σε ορθογώνιο πίνακα χωρίς επαναλήψεις σε σειρές ή στήλες). Επίσης γνωστό είναι το επίπεδο Fano (επτά σημεία που ανήκουν σε επτά «ευθείες», κάθε μία με τρία σημεία), που υποδεικνύει τη σχέση με πεπερασμένες γεωμετρίες. (Με κατάλληλη αξιωματική θεμελίωση, αυτά τείνουν να έχουν τη μορφή γεωμετριών υπέρ πεπερασμένων πεδίων, αν και τα πεπερασμένα επίπεδα είναι πιο ευέλικτα.) Τα μητροειδή (matroids) μπορούν να εξεταστούν ως γενικευμένες γεωμετρίες και γι’ αυτό συμπεριλαμβάνονται επίσης στη Συνδυαστική. Ας σημειωθεί ότι τα γραφήματα είναι μορφές αποτελούμενες από σύνολο σημείων και σύνολο ακμών που συνδέουν ζεύγη σημείων, και σε ό,τι αφορά τη Συνδυαστική συμπεριλαμβάνονται μόνο τα κανονικά γραφήματα, όπως τα πλήρη, τα γραφήματα Kuratovsky κ.ά.

2

Προαπαιτούμενη Γνώση Άλγεβρα Πινάκων, Στοιχειώδης θεωρία συνόλων, Άλγεβρα συνόλων.

2. Συμπλέγματα Σε πολλές περιπτώσεις, η απαρίθμηση των στοιχείων ενός συνόλου είναι χρονοβόρα και επίπονη εργασία. Αυτό οφείλεται στην ειδική μορφή που έχουν τα στοιχεία που συνθέτουν τέτοια σύνολα. Τέτοιες δυσκολίες απαρίθμησης αποτέλεσαν πρόκληση για τα μαθηματικά, που σύντομα ανέπτυξαν μεθόδους υπολογισμού του πληθικού αριθμού τέτοιων συνόλων.

Η Συμπλεκτική ή Συνδυαστική περιλαμβάνει τις ταξινομημένες αυτές μεθόδους. Έτσι, η Συνδυαστική μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο αποτελεσματικών μεθόδων τεχνικών απαρίθμησης. 2.1. Γενικά περί Συμπλεγμάτων Ορισμός 2.1.1 Μια συλλογή στοιχείων που σχηματίστηκε με έναν συγκεκριμένο τρόπο καλείται σύμπλεγμα.

Μια µάλλον προφανής πρόταση, η οποία είναι γνωστή ως η βασική αρχή της απαρίθµησης, προκύπτει από μια διαδικασία η οποία μπορεί να χωριστεί σε δυο διακριτές φάσεις, έτσι ώστε η πρώτη φάση να είναι εφικτή με m τρόπους, ενώ η δεύτερη φάση να πραγματοποιείται με n τρόπους, τότε η διαδικασία αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με m×n τρόπους. Έστω τώρα ότι ένα έργο µπορεί να ολοκληρωθεί σε n στάδια. Υπάρχουν m1 τρόποι να υλοποιηθεί το πρώτο στάδιο. Για καθέναν από αυτούς τους m1 τρόπους υπάρχουν m2 τρόποι να εκτελέσουµε το δεύτερο στάδιο. Για καθέναν από αυτούς τους m2 τρόπους υπάρχουν m3 τρόποι να εκτελέσουµε το τρίτο στάδιο, κ.ο.κ. Τότε ο ολικός αριθµός των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορεί να ολοκληρωθεί το έργο αυτό δίνεται από το γινόµενο n≡m1×m2×…×mn. Ορισμός 2.1.2 Κανόνας του Γινομένου. Αν μια διαδικασία μπορεί να χωριστεί σε δυο διακριτές φάσεις, έτσι ώστε η πρώτη φάση να είναι εφικτή με m τρόπους ενώ η δεύτερη φάση να πραγματοποιείται με n τρόπους, τότε η διαδικασία αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με m×n τρόπους.

Η απαρίθμηση συμπλεγμάτων που αποτελούνται από ομοειδή υποσύνολα είναι ακριβώς η ίδια με την περίπτωση δημιουργίας συμπλεγμάτων από ένα σύνολο m στοιχείων, όπου όμως κάθε φορά που επιλέγεται ένα στοιχείο από τα m (για να ενταχθεί στο σύμπλεγμα), επανατοποθετείται στο σύνολο από το οποίο γίνεται η επιλογή. Παράδειγμα 2.1.1 Παράδειγμα δημιουργίας συμπλεγμάτων 13 θέσεων με επιλογή από σύνολο τριών συμβόλων είναι οι στήλες του ΠΡΟ ΠΟ. Το σύνολο από όπου αντλούνται τα σύμβολα που διαμορφώνουν τις στήλες (συμπλέγματα των 13 θέσεων) είναι το σύνολο 1,2,Χ. Μετά από κάθε επιλογή στη διαδικασία δημιουργίας μιας στήλης, το σύμβολο που επιλέχθηκε επανατοποθετείται. Έτσι, το σύνολο από όπου γίνεται η επιλογή, παραμένει αναλλοίωτο. Σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, το σύνολο των συμπλεγμάτων (στήλες 13 θέσεων) θα είναι ίσο με 3×3×…×3=313=1.594.323. Η διαδικασία αυτή, όπου η επιλογή γίνεται με επανατοποθέτηση και τα συμπλέγματα διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τη σειρά τοποθέτησης των συμβόλων στις αριθμημένες θέσεις, καλείται «μεταθέσεις με επανατοποθέτηση».

3

Σχήμα 2.1.1 Σχηματική παράσταση όπου διακρίνονται οι βασικές δομές της Συνδυαστικής που αναφέρονται στο Κεφάλαιο 2. 2.2. Απλές Μεταθέσεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν από τις εναλλαγές των θέσεων n διακεκριμένων στοιχείων. Οι μεταθέσεις αναφέρονται σε συμπλέγματα, όπου έχει σημασία η σειρά τοποθέτησης των n αυτών σημείων και τα στοιχεία αυτά δεν επαναλαμβάνονται μέσα στο σύμπλεγμα. Οι μεταθέσεις n στοιχείων δίνονται από τη σχέση Pn=n!.

Οι μεταθέσεις απαντούν συνήθως στο ερώτημα: με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε n διαφορετικά αντικείμενα σε n διαφορετικές αριθμημένες θέσεις, με τον περιορισμό ότι μία θέση δέχεται ένα μόνο αντικείμενο;

Ορισμός 2.2.1 Μεταθέσεις των n στοιχείων καλούνται τα συμπλέγματα που έχουν τα n στοιχεία σε ισάριθμες θέσεις. Οι μεταθέσεις διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τη θέση των n στοιχείων.

Για το πρώτο αντικείμενο υπάρχουν διαθέσιμες n επιλογές θέσεων, ενώ για το δεύτερο υπάρχουν n-1 επιλογές ελεύθερων θέσεων, καθώς η τοποθέτηση του προηγούμενου (πρώτου) έχει καταλάβει μια θέση. Τέλος, και για το τελευταίο αντικείμενο υπάρχει 1 τελευταία εναπομένουσα κενή θέση.

Συνολικά, σύμφωνα με τον πολλαπλασιαστικό κανόνα υπάρχουν n(n-1)(n-2)…1 διαφορετικές τοποθετήσεις. Το γινόμενο το n πρώτων κατά σειρά φυσικών αριθμών καλείται n-παραγοντικό και συμβολίζεται ως n!.

Άρα το πλήθος των μεταθέσεων n αντικειμένων είναι n!=1×2×…×n. Μερικά παραδείγματα συμπλεγμάτων που αντιστοιχούν σε απλές μεταθέσεις είναι: Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν σε μια σειρά 14 μαθητές; Αν καθίσουν γύρω από ένα

τραπέζι πόσοι τρόποι υπάρχουν; Πόσες «λέξεις» σχηματίζονται με τους αναγραμματισμούς της λέξης «ΑΡΗΣ»; Κατά πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια 5-μελής επιτροπή (πρόεδρος-αντιπρόεδρος-

γραμματέας-ταμίας-μέλος) από 5 μαθητές; Παράδειγμα 2.2.1 Το σύνολο των αριθμών δέκα ψηφίων του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης, στους οποίους κάθε ψηφίο, όταν χρησιμοποιηθεί, δεν επαναλαμβάνεται, είναι οι μεταθέσεις των 10 ψηφίων του συστήματος. Είναι

4

δηλαδή Ρν=10!=3.628.800. Ο αριθμός αυτός είναι πολύ μικρότερος από τον 9.999.999.999. των αριθμών δέκα ψηφίων. 2.3. Μεταθέσεις Στοιχείων Διαφορετικών Ειδών σε Αντίστοιχες Ομάδες Ας θεωρήσουμε n στοιχεία τα οποία ανήκουν σε r διαφορετικά είδη με k1,k2,k3,kr στοιχεία αντίστοιχα, όπου k1+k2+k3+...+kr=n. Το πρόβλημα της εύρεσης του αριθμού των διατάξεων των n αυτών στοιχείων λαμβανομένων ανά k, μελετάται πιο εύκολα με τη βοήθεια των γεννητριών συναρτήσεων. Για την ειδική περίπτωση όπου k=n, έχουμε το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 2.3.1 O αριθμός των μεταθέσεων n στοιχείων, τα οποία κατηγοριοποιούνται σε r διαφορετικά είδη με k1+k2+k3+...+kr=n, είναι ίσος με n!/(k1!k2!k3!...kr).

Απόδειξη Έστω x ο ζητούμενος αριθμός των μεταθέσεων. Αν τα k1 ταυτόσημα στοιχεία ήταν όλα διαφορετικά, τότε ο αριθμός των μεταθέσεων θα ήταν k!=x, διότι από κάθε παλιά μετάθεση θα προέκυπταν k1! μεταθέσεις οι οποίες αντιστοιχούν στις μεταθέσεις των k1 διακεκριμένων στοιχείων. Αν υποθέσουμε ότι και τα k2 ταυτόσημα στοιχεία του δεύτερου είδους ήταν διακεκριμένα, τότε με τον ίδιο παραπάνω συλλογισμό προκύπτει ότι ο αριθμός των μεταθέσεων θα ήταν ίσος με k1!k2!=x. Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία μέχρις ότου θεωρήσουμε τα r διακεκριμένα υποσύνολα ομοειδών στοιχείων στις οποίες έχουν κατηγοριοποιηθεί τα n στοιχεία, θα μας δώσει k1!k2!k3!…!kr=x διαφορετικές μεταθέσεις και επειδή ο αριθμός αυτός των μεταθέσεων v διακεκριμένων στοιχείων είναι ίσος με v! συνεπάγεται το συμπέρασμα του θεωρήματος. Παράδειγμα 2.3.1 Kατά πόσους διαφορετικούς τρόπους 20 νεοσύλλεκτοι μπορούν να τοποθετηθούν σε 4 διαφορετικά σώματα στρατού, 5 σε κάθε σώμα;

Έχουμε ν=20 και k1=k2=k3=k4=5 άρα υπάρχουν 20!/(5!)4=11.732.745.024 διαφορετικοί τρόποι. Παράδειγμα 2.3.2 Πόσες διαφορετικές διαδρομές υπάρχουν για να κινηθεί κανείς από το σημείο Α στο σημείο Β της σκακιέρας, αν σε κάθε μετακίνηση επιτρέπονται μόνο κινήσεις δεξιά και άνω;

5

Σχήμα 2.3.1 Μια από τις πολλές διαδρομές σημειώνεται με λευκή γραμμή. Παρατηρήστε ότι κάθε επιτρεπτή διαδρομή από το Α στο Β ορίζεται από μια διατεταγμένη αλληλουχία 14 «βημάτων» από τα οποία τα 7 προς τα δεξιά (Δ) και τα 6 προς τα πάνω (Π). Για παράδειγμα, η διαδρομή που έχει σημειωθεί στο σχήμα με λευκή γραμμή ορίζεται από τη διατεταγμένη 14-άδα, Π Π Δ Δ Δ Δ Π Π Δ Π Δ Π Π Δ. Πρόκειται για απαρίθμηση των μεταθέσεων 2 ειδών στοιχείων από τα οποία, τα 7 είναι είδους Π και τα 7 είναι είδους Π. Άρα υπάρχουν 14!/7!7!=3432 διαφορετικές διαδρομές. 2.4. Κυκλικές Μεταθέσεις Όταν το σύμπλεγμα έχει κυκλική δομή, δεν παρατηρείται αρχή και τέλος, σε αντίθεση με τα γραμμικά συμπλέγματα. Στην περίπτωση αυτή, το πλήθος των συμπλεγμάτων συμβολίζεται και είναι 0

nP =(n-1)!

Σε κάθε κυκλική μετάθεση, π.χ. των αντικειμένων α1,α2,α3,…,αn, αντιστοιχούν n το πλήθος απλές μεταθέσεις, όπως προκύπτει και από το παρακάτω σχήμα. Αυτές είναι οι εξής: (α1,α2,α3,…,αn),(α1,α2,…,αn,α1),(αn,α1,α2,α3,…,αn-1).

Επομένως το πλήθος όλων των δυνατών κυκλικών μεταθέσεων n αντικειμένων, έστω 0n

P θα είναι 0n

P

×n=Pn. Μερικά παραδείγματα συμπλεγμάτων που αντιστοιχούν σε κυκλικές μεταθέσεις είναι με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν 14 μαθητές γύρω από ένα τραπέζι; Με πόσους τρόπους 4 νέες και 5 νέοι μπορούν να χορέψουν σε κύκλο ελληνικούς χορούς; Παράδειγμα 2.4.1 Έχουμε n αντρόγυνα που κάθονται σε κυκλικό τραπέζι. Να βρεθεί η πιθανότητα σε k συγκεκριμένα από αυτά οι σύζυγοι να κάθονται ο ένας δίπλα στον άλλο.

Όλοι οι δυνατοί τρόποι τοποθέτησης 2n ατόμων γύρω από ένα τραπέζι είναι (2n-1)!, επειδή έχουμε κυκλικές 0

nP μεταθέσεις. Άρα n=(2n-1)!.

Οι ευνοϊκοί τρόποι έτσι ώστε τα k ανδρόγυνα να είναι μαζί, βρίσκονται ως εξής. Θεωρούμε τα k ανδρόγυνα που είναι μαζί, με τα 2n-2k άτομα των υπόλοιπων ανδρόγυνων σαν 2n-2k+k-2n-k αντικείμενα που τοποθετούνται σε κύκλο με (2n-k-1)! τρόπους. Σε κάθε τέτοια τοποθέτηση, όμως, τα άτομα των k ανδρόγυνων μπορούν να αντιμετατίθενται μεταξύ τους με 2k τρόπους. Άρα nA=2k(2n-k-1)!

6

Τελικά, σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, η πιθανότητα που ψάχνουμε θα είναι P=nA/n⟺P=2k(2n-k-1)!/(2n-1)! Ο σχηματισμός μιας διάταξης των n αντικειμένων ανά k μπορεί να γίνει σε k διαδοχικές φάσεις. Στην πρώτη επιλέγουμε το πρώτο στοιχείο της διάταξης με n τρόπους, αφού όλα τα στοιχεία είναι δυνατό να επιλεγούν. Στη δεύτερη φάση επιλέγουμε το δεύτερο στοιχείο. Παράδειγμα 2.4.2 Αν θεωρήσουμε τις μεταθέσεις των 12 ωρών επί του δίσκου του ωρολογίου, οι μεταθέσεις 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12 και 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1 δεν διαφέρουν μεταξύ τους, επειδή ακριβώς είναι τοποθετημένες σε κύκλο. Υπάρχουν λοιπόν 12 τέτοιες «αναγνώσεις» του ωρολογίου, όπως ακριβώς υπάρχουν 12 «αναγνώσεις» της μετάθεσης 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11, 12 ή της μετάθεσης 2, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 7, 8, 5, 6, 9, 10, 11, 12. 2.5. Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν από τις εναλλαγές των θέσεων ενός υποσυνόλου k διακεκριμένων στοιχείων που ανήκουν σε ένα υπερσύνολο n διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις των n-k στοιχείων του υπερσυνόλου. Οι διατάξεις i των k στοιχείων από το δεδομένο σύνολο n στοιχείων, δίνονται με τη σχέση k

nP =n!/(n-k)!. Οι διατάξεις των k από τα n στοιχεία

αναφέρονται σε συμπλέγματα όπου έχει σημασία η σειρά τοποθέτησης των n αυτών σημείων και τα στοιχεία αυτά δεν επαναλαμβάνονται μέσα στο σύμπλεγμα.

Θεωρούμε ένα πεπερασμένο σύνολο n αντικειμένων, τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους λόγω κάποιας χαρακτηριστικής ιδιότητας, όπως π.χ. χρώμα, μέγεθος, αύξων αριθμός κ.λπ. Σχηματίζουμε μια συλλογή k αντικειμένων (α1,α2,α3,…,αk), επιλέγοντας k από τα αντικείμενα που δόθηκαν.

Για να οδηγηθούμε σ’ αυτόν τον τύπο υπολογισμού, εργαζόμαστε ως εξής: Θα βρούμε πρώτα τον τύπο που μας δίνει το πλήθος μιας διάταξης των n πραγμάτων ανά k, έπειτα θα

αναγάγουμε αυτό τον τύπο για μια μετάθεση των n πραγμάτων και τον τελευταίο θα τον χρησιμοποιήσουμε για να αποδείξουμε τον επιθυμητό τύπο. Έχοντας επιλέξει το πρώτο στοιχείο, το δεύτερο έχει n-1 δυνατότητες. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, στην τρίτη φάση έχουμε n-2 δυνατότητες, ενώ στην k έχουμε n-k+1 δυνατότητες. Άρα το πλήθος όλων των δυνατών περιπτώσεων είναι: n(n-1)(n-k+1)=n!/(k-1)!. Εάν στον παραπάνω τύπο θέσουμε k=1, προκύπτει ο τύπος που δίνει το πλήθος των δυνατών απλών μεταθέσεων και ο οποίος είναι Pn=n!. Ορισμός 2.5.1 Κάθε σύμπλεγμα k στοιχείων που παίρνουμε από ένα σύνολο n (διαφόρων μεταξύ τους) στοιχείων και τα οποία (κατά συνέπεια) διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τη φύση και ως προς τη θέση θα καλείται απλή διάταξη.

Παράδειγμα 2.5.1 Προκειμένου να συγκροτηθεί μια τριμελής επιτροπή με συμμετοχή ενός Ηλεκτρολόγου Μηχανικού, ενός Συγκοινωνιολόγου και ενός Στατιστικού, διατίθενται 7 Ηλεκτρολόγοι, 3 Συγκοινωνιολόγοι και 4. Στατιστικοί. Η επιτροπή μπορεί να συσταθεί με 7x3x4=84 τρόπους, γιατί σε κάθε 1. Συγκοινωνιολόγο αντιστοιχούν 4. Στατιστικοί, ενώ σε κάθε ζεύγος συγκοινωνιολόγων-στατιστικών αντιστοιχούν 7. Ηλεκτρολόγοι Μηχανικοί. Οι συνθέσεις των επιτροπών αυτών απεικονίζονται και με το ακόλουθο δένδρο (Σχήμα 2.5.1), όπου η κάθε γενεά αντιστοιχεί σε μια επαγγελματική ειδικότητα.

i Permutations.

7

Σχήμα 2.5.1 To πλήθος των καταληκτικών κορυφών είναι 7×3×4. Το παράδειγμα απαντά στο ερώτημα: Με πόσους τρόπους είναι δυνατό να τοποθετηθούν k διαφορετικά αντικείμενα σε n διαφορετικά αριθμημένες θέσεις με τον περιορισμό ότι σε μία θέση αντιστοιχεί μόνο ένα αντικείμενο; Για το πρώτο αντικείμενο έχουμε n επιλογές θέσεων, για το δεύτερο αντικείμενο υπάρχουν n-1 επιλογές ελεύθερων θέσεων και συνεχίζοντας έτσι κάθε φορά που καταλαμβάνεται μια από τις αριθμημένες θέσεις, παρατηρούμε ότι για το k αντικείμενο υπάρχουν (n-k+1) ελεύθερες θέσεις.

Συνεπώς υπάρχουν n(n-1)(n-2)…(n-k+1) διαφορετικές ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ των k από n αντικείμενα. Για το γινόμενο αυτό χρησιμοποιούμε το σύμβολο k

nP .

Παράδειγμα 2.5.2 Οι διατάξεις των v-4 γραμμάτων α,β,γ,δ ανά k=2 είναι οι ακόλουθες: αβ,βα,αγ,γα,αδ,δα,βγ,γβ,βδ,δβ,γδ,δγ. Επειδή υπάρχουν 4 τρόποι εκλογής του πρώτου γράμματος και 3 τρόποι εκλογής του δεύτερου, προκύπτει σύμφωνα με την κανόνα του γινομένου ότι υπάρχουν 4.3=12 διατάξεις των 4 γραμμάτων ανά 2. Με την απαρίθμησή τους μπορεί εύκολα αυτό να επαληθευθεί. Παράδειγμα 2.5.3 Με πόσους τρόπους μπορούν να σχηματιστούν συμβολοσειρές από τέσσερα διαφορετικά γράμματα;

Εδώ υπονοείται ότι πρόκειται για το ελληνικό αλφάβητο των 24 γραμμάτων. Έτσι το πρόβλημα ανάγεται σε ένα πρόβλημα διάταξης 4 από 24 αντικείμενα. Επειδή τα γράμματα σε κάθε συμβολοσειρά (λέξη) πρέπει να είναι διαφορετικά, αντιλαμβανόμαστε ότι πρόκειται για διαδικασία άνευ επαναλήψεων (χωρίς επανατοποθέτηση γραμμάτων που επιλέχθηκαν). Όπως και πριν, θεωρούμε ότι για τη πρώτη θέση υπάρχουν 24 επιλογές γραμμάτων, για τη δεύτερη θέση υπάρχουν 23 επιλογές γραμμάτων (από τα υπόλοιπα 23 γράμματα), για τη τρίτη θέση υπάρχουν 22 επιλογές γραμμάτων (από τα υπόλοιπα 22 γράμματα), και για τη τέταρτη θέση υπάρχουν 21 επιλογές (από τα υπόλοιπα 21 γράμματα). Άρα ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών συμβολοσειρών με τέσσερα διαφορετικά γράμματα είναι k

nP =24×23×22×21=25502.

Παράδειγμα 2.5.4 Σε συνέχεια του Παραδείγματος 2.5.3, θα μπορούσε να υπολογιστεί το πλήθος των τετραψήφιων αριθμών που είναι μικρότεροι από 3.000; Ένας τετραψήφιος αριθμός είναι μικρότερος από 3.000 όταν το πρώτο ψηφίο του είναι μικρότερο του 3. Άρα θα πρέπει πρώτα να τοποθετήσουμε στη θέση του πρώτου ψηφίου έναν από τους αριθμούς 1 και 2 και στη συνέχεια να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις θέσεις των υπόλοιπων ψηφίων.

Πρώτα υπολογίζονται οι τρόποι τοποθέτησης ενός από τους αριθμούς 1 και 2 στη πρώτη θέση; Η προφανής απάντηση είναι 1

3P =2.

Στη συνέχεια υπολογίζονται οι τρόποι τοποθέτησης των υπόλοιπων αριθμών στις τρεις υπόλοιπες θέσεις; Η απάντηση είναι 2

22P =22×21=462.

8

Από τον κανόνα του γινομένου υπάρχουν 2×462=924 αριθμοί μικρότεροι του 4000. Ορισμός 2.5.2 Δύο διατάξεις θεωρούνται διάφοροι, όταν δεν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία ή (στην περίπτωση που αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία) διαφέρουν ως προς την κατάταξή τους.

Πόρισμα 2.5.1 Δύο διατάξεις θεωρούνται διάφοροι, όταν δεν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία ή (στην περίπτωση που αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία) διαφέρουν ως προς την κατάταξή τους. O αριθμός των μεταθέσεων n διακεκριμένων στοιχείων είναι ίσος με n

nP =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.

Προφανώς, όταν οι διαθέσιμες θέσεις είναι όσες και τα στοιχεία που θα τοποθετηθούν οι απλές διατάξεις γίνονται απλές μεταθέσεις των n στοιχείων.

Πόρισμα 2.5.2 Ο αριθμός n

nP =n! των μεταθέσεων των ν στοιχείων ικανοποιεί την αναγωγική εξίσωση Ρ(ν)=νΡ(ν-1),ν=1,2

με αρχική συνθήκη Ρ(0)=1. Θεώρημα 2.5.1 Για τον αριθμό k

nP των διατάξεων n διακεκριμένων στοιχείων λαμβανομένων ανά k, ισχύει η αναγωγική

σχέση: −− −= +

11 1

k k kn n n

P kP P . Απόδειξη Παρατηρούμε ότι κάθε μια από τις k

nP διατάξεις των n διακεκριμένων στοιχείων λαμβανομένων ανά k, είτε

θα περιλαμβάνει ένα συγκεκριμένο στοιχείο, έστω το α1 είτε δεν θα το περιλαμβάνει. Ο αριθμός των διατάξεων k

nP των n ανά k θα είναι ίσος με το άθροισμα του αριθμού −− −= +

11 1

k k kn n n

P kP P .

των διατάξεων των n ανά k που περιλαμβάνουν το α1 και του αριθμού −1k

nP των διατάξεων των n ανά k που

δεν περιλαμβάνουν το α1. Η αναγωγική αυτή σχέση μπορεί να ελεγχθεί και αναλυτικά με τη βοήθεια του προηγούμενου

θεωρήματος: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−− − + = − − … − + + − − … − = + − − − … − + = 11 1 1 2 1 1 2 1 2 1k k kn n nkP P k n n n k n n n k k n k n n n k P

Παράδειγμα 2.5.5 Στο δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιούνται, εκτός από τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος, και τα γράμματα A,B,C,D,E και F. Σε έναν αριθμό με 16 ψηφία, στον οποίο όμως τα ψηφία καταλαμβάνουν τη θέση τους χωρίς τη δυνατότητα επανατοποθέτησης, οι δυνατές τοποθετήσεις των 6 αλφαβητικών ψηφίων είναι 16

6P

=16!/10!=5.13.15.13.10. Παράδειγμα 2.5.6 Από μια κληρωτίδα που περιέχει ν κλήρους (λαχνούς) αριθμημένους από το 1 μέχρι το ν κληρώνονται διαδοχικά κ κλήροι χωρίς, μετά από κάθε κλήρωση να επανατοποθετείται στην κληρωτίδα ο αριθμός που κληρώνεται. Ο πρώτος λαχνός που κληρώνεται κερδίζει ένα μεγάλο σε αξία δώρο, ενώ οι επόμενοι κερδίζουν δώρα κάθε φορά μικρότερης αξίας από τον προηγούμενο. Έστω ότι μας ενδιαφέρει το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων της κλήρωσης. Για τον υπολογισμό του αριθμού αυτού παρατηρούμε ότι ένα οποιοδήποτε δυνατό αποτέλεσμα συγκροτείται από κ αριθμούς από τους {1,2….Ν} Η σειρά με την οποία εξάγονται οι αριθμοί από την κληρωτίδα ενδιαφέρει επειδή αυτή καθορίζει και τα διανεμόμενα δώρα. Επομένως, σε κάθε δυνατό αποτέλεσμα αντιστοιχεί μία και μόνη διάταξη των ν ανά κ, και έτσι το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων της κλήρωσης είναι ίσο με (ν)κ=ν(ν-1)(ν-2)….(ν-κ+1), το πλήθος των διατάξεων των ν ανά κ.

9

2.6. Επαναληπτικές Διατάξεις Ας θεωρήσουμε v διαφορετικά είδη με απεριόριστο αριθμό στοιχείων από κάθε είδος. Οι διατάξεις που σχηματίζονται από τα στοιχεία αυτά καλούνται επαναληπτικές διατάξεις, γιατί κάθε στοιχείο μπορεί να εμφανίζεται σε μια διάταξη απεριόριστο αριθμό φορών. Έτσι, λέμε ότι Επαναληπτικές Διατάξεις είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν από τη χρήση k .διακεκριμένων προς άλληλα στοιχείων σε συμπλέγματα m στοιχείων. Η χρήση κάθε στοιχείου μπορεί να επαναληφθεί μέχρι και m φορές και για τον λόγο αυτό αναφερόμαστε σε επαναληπτική διαδικασία. Ο αριθμός των επαναληπτικών διατάξεων k από m στοιχεία ενός συνόλου προσδιορίζεται με τη σχέση E k

mP =mk.

Θεώρημα 2.6.1 Ο αριθμός των διατάξεων n διακεκριμένων στοιχείων λαμβανομένων ανά k, αν κάθε στοιχείο μπορεί να επαναλαμβάνεται απεριόριστο αριθμό φορών, είναι nk.

Απόδειξη Κάθε ένα από τα στοιχεία μιας διάταξης μπορεί να επιλεγεί κατά n διαφορετικούς τρόπους και επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, το πλήθος των διατάξεων αυτών είναι nk. Παράδειγμα 2.6.1 Κατά τη ρίψη νομίσματος 3 φορές υπάρχουν 23=8 συνολικά διαφορετικά αποτελέσματα. Πραγματικά, εδώ v=2, δηλαδή K, Γ και κ=3 και τα δυνατά αποτελέσματα είναι: ΚΚΚ, ΓΚΚ, ΚΓΚ, ΚΚΓ, ΓΓΚ, ΓΚΓ, ΚΓΓ, ΓΓΓ. Παράδειγμα 2.6.2 Οι πινακίδες κυκλοφορίας που μπορεί να δοθούν από το Υπουργείο Συγκοινωνιών χρησιμοποιούν τα 14 γράμματα που είναι κοινά στο ελληνικό και λατινικό αλφάβητο. Δεδομένου ότι σε κάθε πινακίδα χρησιμοποιούνται 3 γράμματα, το σύνολο των πινακίδων αυτών έχει 314=4.782.969 στοιχεία. Αν τώρα σκεφτεί κανείς ότι στις ίδιες πινακίδες χρησιμοποιούνται και τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος για να καταλάβουν 4 άλλες θέσεις, ο αριθμός των επαναληπτικών διατάξεων για τη δημιουργία τετραψήφιων αριθμών ανέρχεται σε 1.048.576. Συνολικά, και επειδή σε κάθε μία διάταξη των 14 αλφαβητικών χαρακτήρων αντιστοιχεί το σύνολο των διατάξεων των αριθμών που προαναφέρθηκαν, το σύνολο των πινακίδων αυτοκινήτων στην Ελλάδα μπορεί να ανέλθει με το παρόν σύστημα αριθμοδότησης σε 5.015.306.502.144, όταν ο πληθυσμός είναι 10,5 εκατομμύρια μόνο. 2.7. Συνδυασμοί Αν από ένα σύνολο με n στοιχεία επιλεγεί ένα υποσύνολο k στοιχείων και αν η σειρά επιλογής των στοιχείων αυτών δεν ενδιαφέρει, τότε το σύνολο αυτό αποτελεί ένα σύμπλεγμα που καλείται συνδυασμός των k στοιχείων από τα n στοιχεία του συνόλου. Ορισμός 2.7.1 Συνδυασμοί ενός αριθμού στοιχείων που επιλέγονται από ένα σύνολο μεγαλύτερου αριθμού στοιχείων καλούνται τα συμπλέγματα στα οποία δεν ενδιαφέρει η θέση (ή σειρά τοποθέτησης), αλλά μόνο ο χαρακτήρας των στοιχείων.

Σύμφωνα με τον ορισμό δεν καταμετριέται το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν από τις εναλλαγές των θέσεων ενός υποσυνόλου k διακεκριμένων στοιχείων που ανήκουν σε ένα υπερσύνολο n διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ ενδιαφέρει το σύνολο των n-k στοιχείων του συμπληρωματικού συνόλου, καθώς για κάθε σύνολο που επιλέγεται από αυτά για να αντικαταστήσει ισάριθμα στοιχεία του συμπλέγματος, προκύπτει ένας διαφορετικός συνδυασμός. Αυτό σημαίνει ότι συμπλέγματα συγκεκριμένου πλήθους k στοιχείων του υπερσυνόλου, που διαφέρουν ως προς τη θέση τους στο σύμπλεγμα, δεν καταμετριούνται ως

10

διαφορετικά στοιχεία του συνόλου των συμπλεγμάτων. Οι συνδυασμοί των k στοιχείων από το δεδομένο

σύνολο n στοιχείων δίνονται με τη σχέση: ( )

= = −

!

!( !kn

n nC

k k n k

Οι διατάξεις των k από τα n στοιχεία αναφέρονται σε συμπλέγματα όπου έχει σημασία η σειρά τοποθέτησης των n αυτών σημείων και τα στοιχεία αυτά δεν επαναλαμβάνονται μέσα στο σύμπλεγμα. Παράδειγμα 2.7.11 Αν στις πινακίδες κυκλοφορίας που μπορεί να δοθούν από το Υπουργείο Συγκοινωνιών χρησιμοποιηθούν τα 14 γράμματα που είναι κοινά στο ελληνικό και λατινικό αλφάβητο, αλλά χωρίς επανάληψη, και δεδομένου ότι σε κάθε πινακίδα χρησιμοποιούνται 3 γράμματα, το σύνολο των πινακίδων αυτών έχει 14!/(3!)(11!)=364 συνδυασμούς γραμμάτων. (Στην πραγματικότητα αυτό δεν συμβαίνει και σε πολλές περιπτώσεις παρατηρούμε πινακίδες με επανάληψη γραμμάτων, όπως ΝΒΝ κ.λπ.). Παράδειγμα 2.7.2

Πέντε διακεκριμένα σημεία επί της περιφερείας ενός κύκλου ορίζουν ( )

= = = −

5 5! 2010

3 23! 5 3 ! τρίγωνα.

Σχήμα 2.7.1 Το Διώνυμο του newton: Αριστερά στο επίπεδο διακρίνονται δυο τετράγωνα και ένα δυο ίσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Δεξιά στον τρισδιάστατο χώρο, διακρίνονται δύο άνισοι κύβοι και έξι παραληλεπίεδα (3α2β και 3αβ2). Επειδή: (α+β)ν=(α+β)(α+β)...(α+β)=(αα...α)+(αα...αβ)+(αα...βα)+(βα...ααα)+...+(αα...ββ)+...+(ββ...ββ). Είναι προφανές ότι κάθε όρος του αναπτύγματος σε άθροισμα έχει v παράγοντες. Διακρίνουμε:

11

• 1 όρο με ν παράγοντες, που είναι όλοι τους α • ν όρους με ν παράγοντες, όπου ν-1 εξ αυτών είναι α και ένας μόνο είναι β • περισσότερους όρους με ν-2 παράγοντες α και 2 παράγοντες β • … • 1 όρο με ν παράγοντες, που είναι όλοι τους β

Παρατηρούμε ότι οι όροι των v παραγόντων με κ α και ν-κ β έχουν τα α και τα β σε διάφορες θέσεις. Οι δυνατοί συνδυασμοί των κ α από ν συνολικά παράγοντες, απαριθμούν το σύνολο των όρων που έχουν κ ακριβώς α και τα υπόλοιπα ν-κ είναι β στη θέση των παραγόντων αυτών των όρων.

Γράφουμε λοιπόν ότι: ( ) ( ) ( )α β α βν ν κ ν κ

να β

ν κ κ−

=

+ = + = −

∑i 0

!

! !

n

.

Παρατηρούμε τη συμμετρία των διωνυμικών συντελεστών ως προς τον κεντρικό ή τους δύο κεντρικούς όρους (όταν ν άρτιο ή περιττό αντιστοίχως). 2.8. Επαναληπτικοί Συνδυασμοί Συνδυασμός με επαναλήψεις, μεγέθους m από ένα σύνολο S n στοιχείων, ορίζεται από μία αλληλουχία m στοιχείων του S, που δεν είναι απαραίτητα διακριτά μεταξύ τους. Επειδή δεν λαμβάνεται υπόψη η σειρά επιλογής των στοιχείων, δύο αλληλουχίες που διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά επιλογής των στοιχείων είναι αντιπρόσωποι του ίδιου συμπλέγματος.

Έτσι, για τον υπολογισμό του αριθμού των m συμπλεγμάτων στα οποία κατανέμονται τα n στοιχεία του S δεν λαμβάνονται υπόψη διαφορετικές διατάξεις εναπόθεσης σε των στοιχείων σε κάθε σύμπλεγμα αλλά λαμβάνονται υπόψη η διάταξη των συμπλεγμάτων ως προς το πλήθος των στοιχείων που τοποθετούνται σε κάθε ένα από αυτά (π.χ.: αν το S περιέχει 5 στοιχεία που θα κατανεμηθούν σε τρία αποθετήρια, οι αποθέσεις {2,1,2} και {1,2,2}) εκλαμβάνονται ως διαφορετικές κατανομές).

Οι Επαναληπτικοί Συνδυασμοί των m στοιχείων του S σε n συμπληρωματικά υποσύνολα αυτού

συμβολίζονται με

n

m και υπολογίζεται με τη βοήθεια των συνδυασμών των m+n-1 ανά n

+ − =

1n m n

m n. Είναι προφανές ότι ισχύει

+ − + −= −

1 1

1

m n m n

n m.

Παράδειγμα 2.8.1 Δεκαέξι όμοιες σφαίρες τοποθετούνται σε εννέα κάλπες. Να υπολογιστούν οι τρόποι με τους οποίους μπορεί να κατανεμηθούν οι σφαίρες στις κάλπες.

Οι κάλπες είναι διακριτές και αριθμούνται από 1 έως 9. Έτσι, στην 16 σφαίρες μπορεί να τοποθετηθούν στην 1η κάλπη, ενώ οι λοιπές θα μείνουν κενές. Το ίδιο μπορεί να συμβεί αν οι 16 σφαίρες τοποθετηθούν σε μια από τις λοιπές. Αν εξακολουθήσουμε αυτού του τύπου την ανάλυση, θα βρούμε ότι 15 σφαίρες μπορεί να τοποθετηθούν σε μία κάλπη, ενώ η εναπομείνασα μπορεί να τοποθετηθεί σε μία από τις λοιπές 8. Συνολικά αυτές δίνουν 9×8 περιπτώσεις. Πρόκειται λοιπόν για την ανάπτυξη συμπλεγμάτων που είναι συνδυασμοί με επανάληψη.

Ο υπολογισμός θα γίνει με χρήση της σχέσης: + −

= =

16 9 1 241+307+504

9 9.

Ορισμός 2.8.1 Προσέγγιση του n! κατά Stirling. Μία βοηθητική και ευρέως εφαρμοζόμενη προσεγγιστική σχέση για τον υπολογισμό του παραγοντικού «μεγάλων αριθμών» είναι η προσέγγιση του Stirling: π−≈! e 2n nn n n

12

Μία βοηθητική και ευρέως εφαρμοζόμενη προσεγγιστική σχέση για τον υπολογισμό του παραγοντικού «μεγάλων αριθμών» είναι η προσέγγιση του Stirling: π−≈! e 2n nn n n

Μία ελαφρώς πιο ακριβής προσέγγιση είναι η ακόλουθη: π−

≈ +

1! e 2 1

12n nn n n

n

αλλά στις περισσότερες των περιπτώσεων η διαφορά είναι μικρή. Αυτός ο επιπρόσθετος όρος μπορεί να συντελέσει στην αποτίμηση για το κατά πόσο η προσέγγιση παρουσιάζει μεγάλο σφάλμα.

Η προσέγγιση του Stirling είναι επίσης χρήσιμη στον προσεγγιστικό υπολογισμό του λογαρίθμου (1og) του παραγοντικού ενός αριθμού, που βρίσκει εφαρμογή στον υπολογισμό της εντροπίας

σχετικά με τη θεωρία της πολυπλοκότητας. Ο λογάριθμος του παραγοντικού αριθμού n ισούται με:

( )π= − + 1 n ! n1 n n 1 2n n n n αλλά ο τελευταίος όρος μπορεί, και συνήθως παραλείπεται, ώστε μια λειτουργική προσέγγιση να είναι η εξής: 1n n!=n1n n-n.

Θυμίζουμε ότι Ν!=Ν(Ν-1)(Ν-2)...3×2×1. Ενώ ο Stirling παρουσίασε την εξής υπέροχη σχέση: n!≈(2π/Ν+1)1/2eN+1(N+1)(n+1).

Αυτή η σχέση παρουσιάζει σφάλμα περίπου 8% για το 1!, και 0,8% για το 10! και ολοένα και καλύτερες προσεγγίσεις για το n!, καθώς ο αριθμός n όλο και μεγαλώνει. Στην πραγματικότητα, το κλασματικό λάθος πλησιάζει αρκετά την ποσότητα 1/12n: αν η σχέση του Stirling πολλαπλασιασθεί με 1+1/12n, προκύπτει μια νέα βελτιωμένη και ταχύτερη σχέση (με σφάλμα ανάλογο του 1/n2.

Σημειώνεται εδώ ότι 0!=1, επειδή ισχύει ότι Ν!=Ν×(Ν-1)!, οπότε (n–1)!=n!/n, επομένως συνεπάγεται ότι 0!=1. (Για παράδειγμα: 3!=3×2×1=6, 2!-2=3!/3, 1!=1=2!/2, άρα 0!=1!/1=1). Αν εφαρμόσουμε τη σχέση σε αρνητικούς ακέραιους, παρατηρούμε ότι (-1)!=1/0=∞, (-2)!=(-1)!/(-1)=∞, (-3)!=(-2)!/(-2)=∞/2=∞.

Δηλαδή, n! είναι άπειρο, όταν ο αριθμός n είναι αρνητικός ακέραιος. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι η σχέση για τον αριθμό (z-1)! (όπου z=n+1) έχει μηδενική ακτίνα σύγκλισης, ακριβώς όπως οι σειρές της ποσότητας 1/z, ιδιότητα που οφείλεται στα παραπάνω άπειρα μεγέθη. Μια μη μηδενική ακτίνα σύγκλισης του 1/z θα έπρεπε να περιλαμβάνει μερικές αρνητικές τιμές οι οποίες βρίσκονται κοντά στο μηδέν που συνεπάγεται και μεγάλους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Από τότε που αυτή η συνάρτηση με το παραγοντικό (z-1)! (γνωστή και ως Gamma συνάρτηση) έχει ως αποτέλεσμα το άπειρο για όλους τους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς, δεν είναι δυνατό να περιγραφεί από συγκλίνουσες σειρές. Δεν μπορεί να συγκλίνει για 10!, διότι δεν πρέπει να συγκλίνει για (-12)!. Παράδειγμα 2.8.2

Υπολογίστε το 50!. Για μεγάλο n ισχύει π−≈! e 2n nn n n άρα 50!≈sqrt(2π50)×5050×e-50=n. Χρησιμοποιώντας δεκαδικούς λογάριθμους, βρίσκουμε 1ogn=1og[sqrt(100π)×5050×e-50]=1/2×1og100+1/2×1ogπ+501og50-501oge=64,4836 οπότε προκύπτει ότι n=3,04×1064. Θεώρημα 2.8.1 Η Βασική Αρχή του Περιστερώνα (Pigeon-Hole Principle). Αν n αντικείμενα τοποθετηθούν μέσα σε k κιβώτια, όπου n και k είναι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε n>k, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα κιβώτιο, στο οποίο θα πρέπει να μπουν τουλάχιστον δυο αντικείμενα.

Απόδειξη Έστω ότι δεν ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος, δηλαδή, έστω ότι δεν υπάρχει κανένα κιβώτιο με τουλάχιστον δυο αντικείμενα. Αυτό σημάνει ότι κάθε κιβώτιο περιέχει ένα ή κανένα αντικείμενο. Έστω ότι m είναι το πλήθος των κενών κιβώτιων, οπότε 0≤m≤k. ´Αρα, προφανώς, το πλήθος των κιβώτιων που περιέχουν ένα ακριβώς αντικείμενο είναι k-m, που σημαίνει ότι το συνολικό πλήθος των αντικείμενων είναι k-m. Αλλά, τότε k-m≤k

13

Απόδειξη Ας συμβολίσουμε την ακολουθία αυτή με {αn}n=1,2,…, όπου, λόγω της (δεκαδικής) αναπαράστασης των

όρων της, −

=

= ×∑1

0

7 10n

kn

k

a για κάθε θετικό ακέραιο n. Βασικά, θα αποδείξουμε κάτι το ισχυρότερο: μεταξύ

των πρώτων 2003 όρων της ακολουθίας αυτής, υπάρχει κάποιος όρος διαιρετός με το 2003. Ας υποθέσουμε όμως το αντίθετο, δηλαδή, ότι, μεταξύ των πρώτων 2003 όρων της ακολουθίας αυτής, κανένας όρος δεν είναι διαιρετός με το 2003. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε 1≤ n≤2003, αν το rn συμβολίζει το υπόλοιπο της διαίρεσης του αn με το 2003, τότε θα είναι 1≤rn≤2002. Επειδή όμως συνολικά έχουμε 2003 υπόλοιπα (αντικείμενα του θεωρήματος) και 2002 τιμές που το καθένα τους μπορεί να πάρει (κιβώτια), η αρχή του περιστερώνα συνεπάγεται ότι υπάρχουν δύο (διαφορετικοί) όροι, μεταξύ των πρώτων 2003 όρων της ακολουθίας αυτής, οι οποίοι έχουν το ίδιο ακριβώς υπόλοιπο. Ας συμβολίσουμε με αi και αj τους όρους αυτούς, για 1≤irm, για n, m, r θετικούς ακεραίους. Τότε, υπάρχει τουλάχιστον μια θήκη, στην οποία θα πρέπει να τοποθετηθούν τουλάχιστον r+1 αντικείμενα.

Έστω ότι ισχύει το αντίθετο, δηλαδή, ισχύει ότι κάθε θήκη μπορεί να περιέχει το πολύ r αντικείμενα. Αυτή η υπόθεση οδηγεί στο συμπέρασμα ότι σε όλες τις θήκες, θα μπορούσαν να τοποθετηθούν το πολύ rm αντικείμενα. Ένα τέτοιο όμως συμπέρασμα αντίκειται στην υπόθεση επειδή rm

14

Απόδειξη Διαμερίζεται το μοναδιαίο τετράγωνο σε 9 μικρότερα τετράγωνα (μήκους πλευράς 1/3 της μονάδας το καθένα). Σύμφωνα με τη γενικευμένη Αρχή του Περιστερώνα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα από τα 9 μικρότερα τετράγωνα που περιέχει δυο από τα 10 σημεία. Τότε η μέγιστη απόσταση των δυο αυτών σημείων θα φράζεται από τη διαγώνιο του τετράγωνου μήκους ακμής 1/3, δηλαδή, από √2/3

15

Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Balakrishnan, V. K. (1995). Schaum's Outline of Combinatorics, including Concepts of Graph Theory. new

York: McGraw-Hill.

Erickson, M. J. (1996). Introduction to Combinatorics. new York: Wiley.

Graham, R. L., Knuth, D. E., & Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley.

Knuth, D. E. (ed.) (1997). Stable Marriage and Its Relation to Other Combinatorial Problems. Providence, RI: Amer. Math. Soc.

Marcus, D. (1998). Combinatorics: A Problem Oriented Approach. Washington, DC: Math. Assoc. Amer.,

Rosen, K. H. (ed.) (2000). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, FL: CRC Press.

Stanley, R. P. (1997, 1999). Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2. Cambridge University Press. ISBn 0-521-55309-1, ISBn 0-521-56069-1.

Uspensky, J. V. (1931). On Ch. Jordan's Series for Probability. Annals of Mathematics. Second Series 32 (2): 306–312.

Γεωργίου, Δ. Α. (1994). Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά για την Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Ξάνθη: Εταιρεία Αξιοποίησης Πανεπιστημιακής Περιουσίας του Δ.Π.Θ.

Μπουντουρίδης Μ. Α. ∆ιακριτά Μαθηματικά: ΙΙ. Συνδυαστική.

http://www.slideshare.net/MosesBoudourides/ss-34860742

Παπαδόπουλου, Γ., http://www.aua.gr/gpapadopoulos/files/combin-13.pdf

https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter3.pdf

http://www.softlab.ntua.gr/~fotakis/discrete_math_2008_2009/data/16_Counting%282%29.pdf

http://www.mathpages.com/home/icombina.htm.

http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/007003575X/ref=nosim/weisstein-20http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0471154083/ref=nosim/weisstein-20http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0201558025/ref=nosim/weisstein-20http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0201558025/ref=nosim/weisstein-20http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0821806033/ref=nosim/weisstein-20http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_P._Stanleyhttp://www-math.mit.edu/~rstan/ec/http://www.slideshare.net/MosesBoudourides/ss-34860742http://www.aua.gr/gpapadopoulos/files/combin-13.pdfhttps://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter3.pdfhttp://www.softlab.ntua.gr/~fotakis/discrete_math_2008_2009/data/16_Counting%282%29.pdfhttp://www.mathpages.com/home/icombina.htm

16

Κριτήρια Αξιολόγησης

Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Αν χρησιμοποιηθούν τα 5 ψηφία του πενταδικού συστήματος αρίθμησης, πόσες «λέξεις» μήκους n

με άρτιο πλήθος από 1 μπορεί κανείς να δημιουργήσει;

Απάντηση: Ο αριθμός των «λέξεων» χωρίς 0 και 1 είναι 3n. Από τις υπόλοιπες 5n–3n, οι μισές περιέχουν άρτιο πλήθος 1. Καθεμία από αυτές, περιέχει μια υπακολουθία με 0 και 1. Έτσι, οι μισές υπακολουθίες έχουν άρτιο πλήθος 1. Τελικά: 3n+(5n-3n)/2=(5n+3n)/2

Κριτήριο Αξιολόγησης 2

Πόσες δυνατότητες επιλογής 3 αριθμών από το σύνολο Ν∩[1,300] υπάρχουν, ώστε το άθροισμά τους

να είναι διαιρετό με το 3;

Απάντηση: Οι ακέραιοι 1 έως 300 κατηγοριοποιούνται σε τρία υποσύνολα των 100 στοιχείων. Η κατηγοριοποίηση γίνεται με το mod3. Για να είναι το άθροισμά τους διαιρετό με τρία θα πρέπει να προέρχονται είτε 3 από ίδια ομάδα (εκείνη της οποίας τα στοιχεία διαιρούνται με με 3 δηλαδή xmod3=0 είτε με επιλογή ενός από κάθε ομάδα.

Έτσι, + =100 33

3 100 1+485+100C .

Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Πόσοι διψήφιοι αριθμοί υπάρχουν; Πόσοι τριψήφιοι άρτιοι αριθμοί υπάρχουν; Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί υπάρχουν με άθροισμα των δύο πρώτων ψηφίων του 5; Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να κρεμάσουμε σε μια κρεμάστρα με 7 θέσεις 10 σακάκια; Σε μία κάλπη υπάρχουν 4 ερυθρά και 5 μαύρα σφαιρίδια. Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να

επιλέξουμε 4 σφαιρίδια, ώστε: α) και τα τρία να είναι ερυθρά; β) δύο να είναι ερυθρά; γ) ένα τουλάχιστον να είναι ερυθρό; δ) το πολύ ένα να είναι ερυθρό;

Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Στο τυχερό παιχνίδι του ΛΟΤΤΟ “6 από 49”, πόσες είναι οι δυνατές επιλογές των 6 στοιχείων από τα

49; Στο τυχερό παιχνίδι του JOCKER “5+1 από 39+10”, πόσες είναι οι δυνατές επιλογές των 5 στοιχείων

από τα 39, πόσες οι επιλογές του ενός αριθμού (Jocker) από του 10 και τελικά, πόσες είναι οι δυνατές επιλογές που δίνονται σε έναν παίκτη για να επιλέξει;

Κριτήριο Αξιολόγησης 5

Αν κάποιος διαθέτει 3 σακάκια, 4 παντελόνια, 5 πουκάμισα, 10 ζευγάρια κάλτσες και 2 ζευγάρια

παπούτσια, με πόσους τρόπους μπορεί να ντυθεί, φορώντας από όλα τα είδη; Ποια είναι η πιθανότητα να φοράει ένα ορισμένο σακάκι;

17

Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Πόσες «λέξεις» μήκους 24 χαρακτήρων μπορούν να συντεθούν από 7 Α, 8 Β, 5 Γ, και 4 Δ όπου

συναντάται το διατεταγμένο ζεύγος ΓΑ ;

Απάντηση: Οι «λέξεις» μήκους 19 (προς το παρόν εξαιρούνται τα 5 Γ) είναι 19!/(7!8!4!). Σε αυτές τις λέξεις διακρίνονται 20 διακεκριμένες θέσεις για τα 5 Γ( μία πριν από κάθε γράμμα και μια μετά). Από αυτές πρέπει να εξαιρεθούν 7 θέσεις πριν από κάθε Α, οπότε απομένουν 13 διακεκριμένες «υποδοχές» στις οποίες μπορεί να διανεμηθούν τα 5 Γ με 17

5C . Τέλος με χρήση του κανόνα του γινομένου: [19!/(7!8!4!)]×[17!/(5!12!)].

Κριτήριο Αξιολόγησης 7

Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν σε μια σειρά 12 μαθητές; Αν καθίσουν κυκλικά πόσοι

τρόποι υπάρχουν;

Κριτήριο Αξιολόγησης 8 Να υπολογιστεί ο αριθμός των ακεραίων διατεταγμένων τετράδων (x1,x2,x3,x4) που είναι λύσεις της

εξίσωσης x1+x2+x3+x4=20.

Απάντηση: Αν xi≥0 τότε, + − = =20 4 1 23 2320 20 3C C C .

Αν xi≥1 τότε, + − = =16 4 1 19 1916 16 3C C C .

Αν τέλος, xi≥2, x2≥4, x3≥1 και x4≥5, τότε + − = =8 4 1 118 3 165C C .

Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες α και β. Στην α ορίζουμε 10 σημεία και στην β 20 σημεία.

Λαμβάνονται ως κορυφές τριγώνων μια κορυφή από τη μία ευθεία και δυο κορυφές από την άλλη. Πόσα τρίγωνα ορίζουν τα σημεία αυτά;

Κριτήριο Αξιολόγησης 10

Από έναν σύλλογο καθηγητών με 7 άνδρες και 6 γυναίκες επιλέγουμε τυχαίως 4 άτομα. Να βρείτε με

πόσους τρόπους μπορούν να συντεθεί μια ομάδα από 4 γυναίκες, μια ομάδα από 2 γυναίκες και δυο άνδρες

Κριτήριο Αξιολόγησης 11

Σε έναν κύκλο δίνονται 8 σημεία A1, A2,..., A8. Πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν τα σημεία αυτά;

Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Κατά πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια 5-μελής επιτροπή (πρόεδρος-αντιπρόεδρος-

γραμματέας-ταμίας-μέλη) από 12 αιρετούς δημοτικούς συμβούλους;

18

Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Μία ομάδα συνέδρων αποτελείται από 5 Έλληνες, 4 Ρώσους, 6 Τούρκους, και 2 Ιταλούς. Κατά

πόσους τρόπους μπορούν οι σύνεδροι αυτοί να καθίσουν έτσι, ώστε τα μέλη κάθε εθνικότητας να βρίσκονται μαζί:

α) στα καθίσματα μιας σειράς ενός αμφιθεάτρου και β) γύρω από ένα κυκλικό τραπέζι.

Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τα στοιχεία του συνόλου Ω={1,2,3,4,α,β} σε μία

γραμμή, έτσι ώστε τα γράμματα να είναι μαζί (όμοια για κυκλική τοποθέτηση);

Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Πόσοι διψήφιοι αριθμοί δεν περιλαμβάνουν το ψηφίο 4;

Απάντηση: 72

Κριτήριο Αξιολόγησης 16

Πόσους διψήφιους αριθμούς (χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία) μπορείτε να δημιουργήσετε αν

επιλέγετε στοιχεία από το σύνολο {1,2,…,5};

Απάντηση: 20

Κριτήριο Αξιολόγησης 17

Σε έναν επιστημονικό σύλλογο συμμετέχουν 8 μαθηματικοί, 10 Πληροφορικοί και 14 εκπαιδευτικοί.

Με πόσους τρόπους μπορεί να εκλεγεί πενταμελές προεδρείο αν όλοι πρέπει να είναι από τον ίδιο επιστημονικό κλάδο.

Απάντηση: 2.312

Κριτήριο Αξιολόγησης 18

Α. Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία είναι δυνατόν να σχηματιστούν από τα ψηφία

2,3,5,7,8; Β. Πόσοι από αυτούς είναι άρτιοι;

Απάντηση: Α.

64

P =5×4×3×2=120 Β. Στη θέση του τελευταίου ψηφίου τοποθετείται ένας από τους αριθμούς 2, και 8 και στη συνέχεια οι υπόλοιποι αριθμοί τοποθετούνται στις προηγούμενες θέσεις.

Υπολογίζουμε με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν από τους αριθμούς 2 και 8 στη τελευταία θέση; Η προφανής απάντηση είναι 2

1P =2×1.

19

Στη συνέχεια υπολογίζουμε με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις. Η απάντηση είναι 5

3P =4×3×2.

Σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου υπάρχουν 2×24=48 άρτιοι αριθμοί.

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης

http://appliedmaths2.ee.duth.gr/ebook/auxciliary_text/Evaluation_chapter2.htm

2. Κεφάλαιο: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ2. Συμπλέγματα2.1. Γενικά περί Συμπλεγμάτων2.2. Απλές Μεταθέσεις2.3. Μεταθέσεις Στοιχείων Διαφορετικών Ειδών σε Αντίστοιχες Ομάδες2.4. Κυκλικές Μεταθέσεις2.5. Διατάξεις2.6. Επαναληπτικές Διατάξεις2.7. Συνδυασμοί2.8. Επαναληπτικοί Συνδυασμοί

Οδηγός για Περαιτέρω ΜελέτηΚριτήρια ΑξιολόγησηςΑπάντηση:Απάντηση:Απάντηση:Απάντηση:Απάντηση:Απάντηση:Απάντηση:Απάντηση:

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης