2 200...Ο Διογένης ο Λαέρτιος, ιστοριογράφος του 3ου μ. Χ....

200

-4email

kdortsigmail com

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 5 Ιανουαρίου 2011 14

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο

τ Σχ Σύμβουλο Μαθηματικών

Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων

Ο Αριστοτέλης και τα Μαθηματικά

Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα

Στη συνάντηση του Σωκράτη με τους Ελεάτες φιλοσόφους Παρμενίδη και Ζήνωνα όπως αυτή περιγράφεται από τον Πλάτωνα εκατό σχεδόν χρόνια μετά στο έργο του laquoΠαρμενίδηςraquo ο Ζήνων εμφανίζεται να διαβάζει ένα βιβλίο μέσα από το οποίο αναπτύσσει τις φιλοσοφικές του απόψεις για τον κόσμο Ειδικότερα ο Πλάτων γράφει laquoΤόν οὖν Σωκράτη ἀκούσαντα πάλιν τε κελεῦσαι τήν πρώτην ὑπόθεσιν τοῦ πρώτου λόγου ἀναγνῶναι καί ἀναγνωσθείσης - πῶς φάναι ὦ Ζήνων τοῦτο λέγεις εἰ πολλά ἔστι τά ὄντα ὡς ἄρα δεῖ αὐτά ὅμοιά τε εἶναι καί ἀνόμοια τοῦτο δέ δή ἀδύνατον οὔτε γάρ τά ἀνόμοια ὅμοια οὔτε τά ὅμοια ἀνόμοια οἶόν τε εἶναι - Οὐχ οὕτω λέγειςraquo (Παρμενίδης 127d6-127e5) Δηλαδή laquoΟ Σωκράτης έχοντας ακούσει μέχρι τέλους κάλεσε τον Ζήνωνα να ξαναδιαβάσει την πρώτη πρόταση του πρώτου βιβλίου Αφού έγινε αυτό (ο Σωκράτης)ξαναείπε -Πώς εννοείς αυτό εδώ Ζήνων Εάν τα όντα(τα υπαρκτά πράγματα) είναι πολλά πρέπει να είναι ταυτόχρονα όμοια και ανόμοια μεταξύ των Άρα αυτό είναι αδύνατο Διότι αυτό που είναι διαφορετικό δεν μπορεί να είναι όμοιο με κάτι άλλο ούτε αυτό που είναι όμοιο μπορεί να είναι και διαφορετικό - Ή δεν το εννοείς έτσιraquo Το συμπέρασμα που βγάζει ο σημερινός αναγνώστης της παραγράφου αυτής είναι πως ο Ζήνωνας είχε κατά την επίσκεψή του στην Αθήνα περισσότερα του ενός βιβλία από τα οποία διάβαζε και συζητούσε τις φιλοσοφικές του απόψεις Δεν ξεχνάμε βέβαια πως ο διάλογος αυτός διαδραματίζεται στα μέσα περίπου του πέμπτου προ Χριστού αιώνα και πριν από την ανάπτυξη της Σωκρατικής και Πλατωνικής φιλοσοφίας Είναι ακριβώς η εποχή της λεγόμενης προσωκρατικής φιλοσοφίας που λειτούργησε δυναμικά στην παραπέρα ανάπτυξη των ιδεών και της συλλογιστικής του ανθρώπου Από τα βιβλία αυτά του Ζήνωνα(πιθανότατα ήταν δύο) δεν σώθηκε κανένα Όμως για τις ιδέες του έγραψαν πολλοί Εκτός από τον Πλάτωνα ο Αριστοτέλης ομιλεί για τις ιδέες του Ζήνωνα αλλά κυρίως στο έργο του laquoΦυσικάraquo κάνει εκτενή αναφορά στα λεγόμενα laquoπαράδοξαraquo του Ακόμα και αργότερα στην εποχή του 6ου μ Χ αιώνα ο νεοπλατωνικός φιλόσοφος Σιμπλίκιος σχολιάζοντας το έργο του Αριστοτέλη laquoΤα Φυσικάraquo κάνει

No245


συχνές αναφορές στη φιλοσοφία των Ελεατών αναφερόμενος κυρίως στις απόψεις του Ζήνωνα Ο Διογένης ο Λαέρτιος ιστοριογράφος του 3ου μ Χ αιώνα στο έργο του laquoΒίοι φιλοσόφωνraquo γράφει για τον Ζήνωνα τον Ελεάτη laquoΓέγονε δε ἀνήρ γενναιότατος καί ἐν φιλοσοφίᾳ καί ἐν πολιτείᾳraquo

(Διογένης ΛαέρτιοςΒίοι φιλοσόφων9261)

Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις

317 Έστω ΑΒΓΔ ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R Να αποδείξετε ότι

24RΑΒsdotΑΔ +ΒΓ sdotΓΔ le (Μάγκος Θάνος Μαθηματικός 1ου ΕΠΑΛ Κοζάνης)

Λύση Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ και τα ύψη ΑΜ και ΓΝ Στα δύο τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ εφαρμόζουμε το θεώρημα

2R αβγ υ=

Άρα για το τρίγωνο ΑΒΔ είναι

( )2 1RΑΒsdotΑΔ = sdot ΑΜ για το τρίγωνο ΒΓΔ είναι

( )2 2RΒΓ sdotΓΔ = sdotΓΝ όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Προσθέτοντας τις (1) και (2) κατά μέλη έχουμε

2 2R RΑΒsdotΑΔ +ΒΓsdotΓΔ = sdotΑΜ + sdotΓΝ δηλαδή

( ) ( )2 3RΑΒsdotΑΔ +ΒΓ sdotΓΔ = ΑΜ +ΓΝ


Όμως

( )2 4RΑΜ +ΓΝ le Άρα η σχέση (3) λόγω της (4) γίνεται

( ) 22 4R RΑΒsdotΑΔ +ΒΓ sdotΓΔ = ΑΜ +ΓΝ le Δηλαδή

24RΑΒsdotΑΔ +ΒΓ sdotΓΔ le που είναι η ζητούμενη Παρατήρηση Η ισότητα ισχύει όταν η διαγώνιος του τετραπλεύρου γίνει διάμετρος του κύκλου και μάλιστα κάθετος(δηλ μεσοκάθετος) στη διαγώνιο ΒΔ 318 Δίνεται η συνάρτηση

( ) 4 34 3f x x x Rα με α= minus + isin

i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της

ii) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του α έτσι ώστε να ισχύει

( ) 0f x x Rge forall isin

iii) Για την τιμή αυτή του α που προκύπτει από το δεύτερο ερώτημα να δείξετε ότι ισχύει

( ) ( )0

23 4f x dxλ

λ λexist isin =int

iv) Με τo δεδομένo του δευτέρου ερωτήματος και την τιμή του λ για την οποία ισχύει το τρίτο ερώτημα να δείξετε ότι

( ) 4

0

13f x dxλ

λrang⎡ ⎤⎣ ⎦int

(Σωτηρίου Γεώργιος Μαθηματικός- Διευθυντής Γυμνασίου Μεσοποταμίας Καστοριάς) Λύση

i) Το πεδίο ορισμού της f είναι ολόκληρο το R ως πολυωνυμική η πρώτη παράγωγος της είναι

( ) ( )( )3 3 2 24 4 4 f x x a x a x ax a a Rprime = minus = minus + + isin και το πρόσημό της είναι

( )( )

0

0

f x x a

f x x a

αν

αν

prime lt lt

prime gt gt


γιατί το πρόσημο του τριωνύμου που βρίσκεται μέσα στη δεύτερη παρένθεση είναι πάντα θετικό εφόσον η διακρίνουσά του είναι αρνητική

Άρα για τη μονοτονία της f ισχύει

( ][ )

f x a

f x a

για

για

isin minusinfin

isin +infin

επομένως η συνάρτηση λαμβάνει ολικό ελάχιστο για x a= Δηλαδή

( ) ( )4min 3 1 f f a a a R= = minus minus isin

ii) Το πρόσημο αυτής της ελάχιστης τιμής προκύπτει από την ανάλυση

( ) ( )( ) ( )23 1 1 1f a a a a= minus + minus + και δίνεται από τον πίνακα

επομένως

( ) [ ]0 11f a age forall isin minus άρα η μέγιστη τιμή του a για την οποία ισχύει

( ) 0f x x Rge forall isin Είναι η

1a = Τα ερωτήματα iii iv στο επόμενο φύλλο

Για την άλλη φορά

366 Δίνεται κύβος ΑΒΓΔΕΖΗΘ Να δειχθεί ότι η διαγώνιος

ΔΖ τριχοτομείται από τα επίπεδα που ορίζουν τα τρίγωνα ΑΓΘ και ΒΕΗ

Παράρτημα της ΕΜΕ 2ο ΕνΛύκειο Κοζάνης

Κάλβου 50100 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά emekozanisyahoogr







Μετά την αναφορά του Πλάτωνα που γίνεται μέσα στο κείμενο του laquoΠαρμενίδηraquo απrsquo όπου μαθαίνουμε τη συζήτηση του νεαρού Σωκράτη με τον Παρμενίδη και το Ζήνωνα ο Αριστοτέλης αφιερώνει ένα μεγάλο έργο για την laquoανασκευήraquo των θέσεων των δύο αυτών Ελεατών φιλοσόφων Στα laquoΦυσικάraquo η αλλιώς laquoΦυσική ακρόασιςraquo ο Αριστοτέλης επιχειρεί και το καταφέρνει σε μεγάλο βαθμό να μελετήσει τη laquoφυσική πραγματικότηταraquo(φύση και φυσικά φαινόμενα) και με τη μελέτη του αυτή να αναδείξει τη φυσική ως ένα ιδιαίτερο επιστημονικό κλάδο Το έργο αυτό του Αριστοτέλη είναι γραμμένο περίπου μεταξύ του 335 και 323πΧ μετά τα laquoΑναλυτικάraquo και πριν τα laquoΗθικάraquo και laquoΜεταφυσικάraquo Είναι ένα έργο δυσνόητο και η μετάφραση στη σημερινή γλώσσα αρκετά δύσκολη Στην εισαγωγή των laquoΦυσικώνraquo από τις εκδόσεις laquoΚάκτοςraquo στον τόμο laquoΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ Φυσική Ακρόασις(Φυσικά) Βιβλία ΑΒσ35) διαβάζουμε laquoΜε τα Φυσικά ο Αριστοτέλης άνοιξε τον ουσιαστικό διάλογο με τη φύση τον οποίο φαίνεται να ξαναρχίζει σήμερα με πλήρη συνείδηση η επιστήμη στα πρόθυρα της μετανεωτερότηταςraquo Η λέξη laquoφυσικήraquo έχει για την ελληνική γλώσσα τη δικιά της διαδρομή Μια διαδρομή από τον Όμηρο μέχρι και σήμερα Η λέξη laquoφυσικήraquo προκύπτει από το ρήμα laquoφύωraquo ή το ουσιαστικό laquoφυτόνraquo που εκτός από τις Μυκηναϊκές πινακίδες της Πύλου τις συναντάμε αρχικά στα Ομηρικά έπη Στην Ιλιάδα διαβάζουμε

laquoΦύλλα τὰ μέν τ᾽ ἄνεμος χαμάδις χέει ἄλλα δέ θ᾽ ὕλη τηλεθόωσα φύει ἔαρος δ᾽ ἐπιγίγνεται ὥρηraquo

(Ιλιάδα Ζ148) δηλαδή

laquoΤων φύλλων άλλα ο άνεμος χαμαί σκορπά και άλλα φυτρώνουν ως η άνοιξη τα δένδρrsquo αναχλωραίνειraquo

(Μετάφραση ΙΠολυλάς) Αλλά και στην Οδύσσεια η λέξη αυτή βρίσκεται ως εξής

laquoὣς ἄρα φωνήσας πόρε φάρμακον ἀργεϊφόντης ἐκ γαίης ἐρύσας καί μοι φύσιν αὐτοῦ ἔδειξεraquo

(Οδύσσεια Κ303) και δηλώνει σε μετάφραση του Αργύρη Εφταλιώτη

laquoΕίπε και τράβηξε απ τη γης ο Αργοφονιάς βοτάνι και δίνοντάς το μου δειξε το κάθε φυσικό τουraquo

No246


Η λέξη laquoφύσιςraquo σύμφωνα με την ερμηνεία που αποδίδει σrsquo αυτήν ο φιλόσοφος Heidegger laquoσημαίνει αυτό που επιτρέπει να προέρχεται κάτι από τον εαυτό τουraquo Άρα οι λέξεις φύομαι φυτό φύση συνδέονται με τις έννοιες που συνδέονται με τις λέξεις γένεση παραγωγή προέλευση καταγωγή σκοπός προορισμός κατάληξη και πολλά άλλα Έτσι η φύση έχει μέσα της τη έννοια του laquoγίγνεσθαιraquo της laquoζωήςraquo και της laquoκίνησηςraquo


318 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 34 3f x x x Rα με α= minus + isin

i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της




( ) ( )0

23 4f x dxλ



( ) 4

0

13f x dxλ



Τα ερωτήματα i ii απαντήθηκαν στο προηγούμενο φύλλο iii) Από το ερώτημα ii) προέκυψε η τιμή 1α = για την οποία ισχύει

( ) 0f x x Rge forall isin που σημαίνει

4 4 3 0x x x Rminus + ge forall isin ή ακόμα

( )4 4 3 1x x x Rge minus forall isin Η σχέση

( )0

4f x dxλ

λ=int


γίνεται

( )5

4 2

0

4 3 4 2 3 45

x x dxλ λλ λ λ λminus + = hArr minus + =int

ή ακόμα 5 2 5 210 15 20 10 5 0λ λ λ λ λ λ λminus + = hArr minus minus =

τελικά η εξίσωση αυτή γίνεται

( )4 10 5 0 (2)λ λ λminus minus = Η εξίσωση (2) εκτός της μηδενικής λύσης έχει και ρίζα μεταξύ του 2 και 3

Αυτό δείχνεται με το θεώρημα του Bolzano εφαρμοζόμενο στο διάστημα [ ]23 για τη συνεχή συνάρτηση

( ) 4 10 5φ λ λ λ= minus minus πράγματι είναι

( )( )

4

4

2 2 10 2 5 9 0

3 3 10 3 5 46 0

φ

φ

= minus sdot minus = minus lt

= minus sdot minus = gt

Άρα δείχθηκε ότι

( ) ( )0

23 4f x dxλ


iv) (Λύση του ΘΜάγκου) Έστω ότι η ρίζα που εξασφαλίστηκε από το τρίτο ερώτημα και η οποία ανήκει μεταξύ του 2 και 3 είναι η 1λ

Τότε θα είναι ασφαλώς αληθής η σχέση

( ) ( )1

10

4 3f x dxλ

λ=int

και η ζητούμενη ανισότητα έχει τη μορφή

( ) ( )1

41

0

13 4f x dxλ


Έτσι με τη βοήθεια της (3) θα δείξουμε την (4) Πράγματι από την (1) έχουμε

( ) ( ) ( )44 3 5f x f xge minus⎡ ⎤⎣ ⎦

και τούτο γιατί Εφόσον η ανισότητα (1) αληθεύει για κάθε πραγματική τιμή του x άρα θα

ισχύει και για την τιμή ( )f x


Ολοκληρώνοντας την (5) από 0 μέχρι το 1λ θα έχουμε

( ) ( )1 1 1

4

0 0 0

4 3f x dx f x dx dxλ λ λ

ge minus⎡ ⎤⎣ ⎦int int int

Άρα λόγω της (3) η τελευταία γίνεται

( ) ( )( )1 1 1 34

1 1 10 0 0

4 3 4 4 3 13f x dx f x dx dxλ λ λ

λ λ λge minus = sdot minus =⎡ ⎤⎣ ⎦int int int

και τελικά

( )1

41

0

13f x dxλ

λge⎡ ⎤⎣ ⎦int

δηλαδή η ζητούμενη


367 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εσωτερικό του σημείο Ρ ώστε

3 5 7ΡΑ = ΡΒ = ΡΔ =

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τετραγώνου αυτού (Γιώργος Αποστολόπουλος Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)









Το έργο laquoΦυσική ακρόασιςraquo του Αριστοτέλη αποτελεί ένα μεγάλο έργο στην ιστορία της επιστήμης το οποίο αναδείχνει την επιστήμη της φυσικής κέντρο του γνωστικού ενδιαφέροντος του ανθρώπου και συστηματοποιεί για πρώτη φορά όλες εκείνες τις ιδέες και απόψεις της προαριστοτελικής περιόδου

Είναι αλήθεια πως για τη φύση μίλησαν πολλοί πριν από τον Αριστοτέλη Στους laquoορφικούς ύμνουςraquo βλέπει κανείς κοσμολογικές αντιλήψεις μέσα από ομιχλώδεις μυθικές αφηγήσεις όπως και στα έργα του Ησίοδου Όμως στα laquoΦυσικάraquo ο σταγειρίτης φιλόσοφος με πολύ εκτενή τρόπο οριοθετεί τη επιστήμη της laquoΦυσικήςraquo μιλώντας για τα χαρακτηριστικά και την laquoουσίαraquo της Φύσης Της Φύσης που σε αντίθεση με τους Ελεάτες πιστεύει πως έχει ως κύριο χαρακτηριστικό την κίνηση

laquoΟ Αριστοτέλης είναι ο πρώτος που τοποθέτησε με συστηματικό τρόπο τη φύση στο κέντρο του γνωστικού ενδιαφέροντος και ο πρώτος που θεώρησε την κίνηση ως ουσιαστικό της στοιχείο συμβάλλοντας έτσι καθοριστικά στην προβληματική που συνδέεται με την κατανόηση της ουσίας τηςraquo (Από την εισαγωγή στα laquoΦυσικά του Αριστοτέληraquo του ΗΠ Νικολούδη Εκδόσεις Κάκτος Σελ273)

Στο έργο αυτό του Αριστοτέλη διαβάζει κανείς τον τρόπο με τον οποίο ο φιλόσοφος αυτός αντιλαμβάνονταν την κίνηση μέσα στο χώρο και στο χρόνο Ή έννοιες αυτές αν και σημειώνονται σε έργα προσωκρατικών φιλοσόφων όπως για παράδειγμα στη laquoΘεογονίαraquo του Ησιόδου ή ακόμα στην Πυθαγορική σκέψη στα laquoΦυσικάraquo αναδείχνονται ώστε η προβληματική της κίνησης η μελέτη του χώρου και η μελέτη της γενικότερης ουσίας της φύσης παίρνουν πλέον τη μορφή μιας επιστημονικής θεωρίας

Μέσα στο έργο αυτό θεμελιώνονται για πρώτη φορά δύο δύσκολες έννοιες που απασχόλησαν του μαθηματικούς μέχρι και τις ημέρες μας Ο Αριστοτέλης διατυπώνει τις απόψεις του για την έννοια του laquoαπείρουraquo και για την έννοια του laquoσυνεχούςraquo Ο μεγάλος αυτός στοχαστής μπροστά στα επιχειρήματα και στα παράδοξα του ελεατών φιλοσόφων έφθασε στην ανάγκη να μελετήσει σε βάθος τα προβλήματα αυτά και να μιλήσει για το άπειρο και για τη συνέχεια των φυσικών ποσοτήτων

Η έννοια του laquoαπείρουraquo και ένταξη της ιδέας του στο ορθολογισμό του ανθρώπου είναι μια δύσκολη υπόθεση Το άπειρο αν προσέξει κανείς δεν το συναντά μόνο laquoκοιτάζονταςraquo στα μεγάλα μεγέθη για παράδειγμα στην απεραντοσύνη του ουρανού και γενικότερα του Σύμπαντος αλλά θα το βρει και σε πολύ μικρά αντικείμενα Χαρακτηριστική λέξη στην περίπτωση αυτή είναι η λέξη laquoαπειροελάχιστοraquo

No247


Εκτός από την εμπειρική σημασία του laquoμεγάλουraquo του laquoαπείρως μεγάλουraquo ή του laquoαπειροελάχιστουraquo η έννοια αυτή αποκτά μεγάλο ενδιαφέρον στο χώρο των μαθηματικών και γενικότερα της φιλοσοφίας Ο Αριστοτέλης είδε τη φύση ως μια συνεχή κίνηση Την είδε ως μια συνεχή μεταβολή Και η ματιά αυτή έγινε στην ιστορία της δυτικής σκέψης για πρώτη φορά Η Φύση συνεχώς μεταβάλλεται και αυτό είναι το πλέον σημαντικό Αργότερα η έννοια του συνεχούς θα αποκτήσει αναλυτικότερη έκφραση και αν τη προσέξει κανείς στο χώρο των μαθηματικών θα αντιληφθεί πως ακόμα και σήμερα αποτελεί μια από τις πλέον δύσκολες έννοιες της Ανάλυσης της Τοπολογίας και πολλών άλλων μαθηματικών κλάδων


319 Στο τρίγωνο ΑΒΓ αν είναι 1 ΑΔ=ΔΒ ΑΕ=ΕΓ ΑΖ=ΖΔ ΑΗ=ΗΕ

και 2 Το εμβαδόν του τραπεζίου ΔΕΗΖ είναι 12 τμ

τότε να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Λύση

Επειδή τα τρίγωνα (ΑΖΗ) και (ΑΔΕ) είναι όμοια ο λόγος των εμβαδών τους ικανοποιεί τη σχέση

( )

( )( )

21 1 12 4

ΑΖΗ

ΑΔΕ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠

από την οποία προκύπτει ισοδύναμα

( ) ( )

( ) ( )

114 1

ΑΖΗ

ΑΔΕ ΑΖΗ

ΕhArr = hArr

Ε minusΕ minus

( )

( )( ) ( )

1 13 3

ΑΖΗΑΖΗ ΔΕΗΖ

ΔΕΗΖ

ΕhArr = hArr Ε = Ε

Ε

άρα

( )1 12 4 3

τ μΑΖΗΕ = sdot =


Από την τελευταία προκύπτει

( ) ( ) ( ) 4 12 16 τ μΑΔΕ ΑΖΗ ΔΕΗΖΕ = Ε +Ε = + = Από την ομοιότητα των (ΑΔΕ) και (ΑΒΓ) ακόμα προκύπτει

( )

( )

21 12 4

ΑΔΕ

ΑΒΓ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠

από την οποία εύκολα υπολογίζεται ότι

( ) 64 τ μΑΒΓΕ = 320 Να βρεθεί η συνάρτηση f R Rrarr τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση

( ) ( )21 0 1f x xf x x Rx

⎛ ⎞minus + = forall isin minus⎜ ⎟⎝ ⎠

(Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών laquoΖήνωνraquo 1997) Λύση

Αν στην (1) θέσουμε x y= minus

τότε θα προκύψει

( ) ( )21 2f y yf yy

⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Όμοια αν στην (1) θέσουμε

1xy

=

τότε θα είναι ακόμα

( ) ( )2

1 1 1 3f f yy y y

⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύνοντας τις (2) και (3) ως προς αγνώστους τις τιμές

( ) 1f y fy

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

προκύπτει

( ) 22

1 1 1 1 12 2

f y y f yy y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Αν τώρα στον πρώτο τύπο θέσουμε αντί y το x και στο δεύτερο θέσουμε

όπου 1yminus το x τότε θα προκύψει ο τύπος της συνάρτησης f

Δηλαδή


( ) 21 1 02

f x x xx

⎛ ⎞= + ne⎜ ⎟⎝ ⎠

321 Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x y z ισχύει

1x y z+ + = Να δείξετε ότι

( )3 12

xy yz zxxy z yz x zx y

+ + le+ + +

(Γιώργος Αποστολόπουλος Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση

Είναι

( ) ( ) ( ) ( )2xy xy xyxy z xy z x y z x z y z

= =+ + + + + +

και σύμφωνα με την ανισότητα

( )1 02

ab a b a ble + gt

η (2) γίνεται

( )1 32

xy x yxy z x z y z

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

όμοια προκύπτει

( )

( )

1 42

1 52

yz y zyz x y x z x

zx z xzx y z y x y

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Με πρόσθεση κατά μέλη των (3) (4) και (5) προκύπτει η ζητούμενη


368 Αν x a y a z aημφημω ημφσυνω συνφ= = =

τότε να δείξετε ότι 2 2 2 2x y z a+ + =









Ο Αριστοτέλης στα Φυσικά του κάνει λεπτομερή αναφορά στα λεγόμενα laquoΠαράδοξα του Ζήνωναraquo κι η προσφορά του είναι πρωτοποριακή και από τις πλέον αξιόλογες στην ιστορία της φιλοσοφίας και όχι μόνο Με τα παράδοξα αυτά ο Ζήνωνας προσπαθεί να υπερασπισθεί τις μονιστικές απόψεις και τη θεωρία περί ακινησίας που διατύπωσε ο δάσκαλός του ο Παρμενίδης ενώ ο Αριστοτέλης μέσα από τη δική του θεώρηση προχωρά τη σκέψη μακρύτερα φθάνοντας στις δύσκολες πλέον φιλοσοφικές έννοιες του laquoαπείρουraquo και του laquoσυνεχούςraquo Ο Αριστοτέλης για το Ζήνωνα και για το ζήτημα της κίνησης αναφέρεται στα Φυσικά καθώς και στα Τοπικά Ξεκινώντας το θέμα αυτό ο Αριστοτέλης στα Φυσικά γράφει laquoτέτταρες δrsquo εἰσίν οἱ λόγοι περί κινήσεως Ζήνωνος οἱ παρέχοντες τάς δυσκολίας τοῖς λύουσινraquo(Φυσικά 239b9-11) Δηλαδή laquoΓύρω από το θέμα της κίνησης τέσσερις τώρα τον αριθμό είναι οι ισχυρισμοί του Ζήνωνος αυτοί που δημιουργούν τις δυσκολίες σε εκείνους οι οποίοι τους απορρίπτουνraquo (ΜετάφρασηΗΠ Νικολούδη Εκδόσεις Κάκτου) Επίσης στα Τοπικά γράφει laquoπολλούς γάρ λόγους ἔχομεν ἐναντίους ταῖς δόξαις οὓς χαλεπόν λύειν καθάπερ τόν Ζήνωνος ὃτι οὐκ ἐνδέχεται κινεῖσθαι οὐδέ τό στάδιον διελθεῖνraquo(Τοπικά 160b6-10) Στους στίχους αυτούς των Τοπικών ο φιλόσοφος λέει στη σημερινή γλώσσα laquoγιατί βρίσκουμε πολλούς ισχυρισμούς αντίθετους με τις δικές μας πεποιθήσεις που είναι δύσκολο να ανασκευάσουμε για παράδειγμα οι ισχυρισμοί του Ζήνωνα που ισχυρίζεται πως είναι αδύνατο να υπάρξει κίνηση κι ακόμα πως είναι αδύνατο να διατρέξει κανείς το στάδιοraquo Οι δύο αυτές εισαγωγικές νύξεις του Αριστοτέλη θα αντιμετωπιστούν με πολύ διεξοδικό τρόπο και θα ανασκευαστούν Η Ηρακλείτεια άποψη της συνεχούς μεταβολής του κόσμου από τη μια μεριά που αποτελούσε και τη βασική ιδέα των φιλοσόφων της Ιωνίας των φυσικών δηλαδή φιλοσόφων της προσωκρατικής περιόδου θα αντιπαρατεθεί με την Ελεατική ιδέα της απόλυτης ακινησίας και του ενός όντος και

No248


μέσα από την αριστοτελική ζύμωση θα δώσει νέες διαστάσεις στον ορίζοντα της ανθρώπινης σκέψης και του γενικότερου φιλοσοφικού στοχασμού Όπως έγινε και για πολλά άλλα θέματα έτσι και τα laquoπαράδοξαraquo αυτά κατά την εποχή του 4ου αιώνα πΧ θα περάσουν μέσα από δύο μεγάλες πνευματικές διάνοιες του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη και θα δώσουν νέα ώθηση για νέες προοπτικές Η προμηθεϊκή ιδέα θα πυρώσει την ανθρώπινη σκέψη και θα τη σπρώξει πιο μπροστά


322 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R για την οποίος ισχύει

( ) ( ) ( )2 1 0 1f x xf x+ minus = Αν

( ) ( )0 1 2f = τότε να βρεθεί ο τύπος της f

Λύση Έστω ότι για κάποιο πραγματικό αριθμό 0x ισχύει

( )0 0f x = τότε από την (1) θα είναι

( ) ( )20 0 0 01 0 0 0 1 0 1 0f x x f x x+ minus = rArr + sdot minus = rArr minus =

το οποίο είναι άτοπο Επειδή ακόμα η συνάρτηση f είναι συνεχής και ισχύει η (2) άρα θα παίρνει για κάθε πραγματική τιμή του x μόνο θετικές τιμές

Δηλαδή

( ) ( )0 3f x x Rgt forall isin Αν τώρα την (1) την αντιμετωπίσουμε ως μια δευτεροβάθμια εξίσωση μπορούμε να τη λύσουμε ως προς ( )f x Δηλαδή

( )2 2 24 4 1 1 4 0x xβ αγΔ = minus = minus sdot sdot minus = + gt άρα

( )2

12

42

x xf x minus plusmn +=

και λόγω της (3) η ζητούμενη τιμή για τη συνάρτηση αυτή είναι

( ) ( )2 4 4

2x xf x minus + +

=

Ο τύπος (4) δίνει πάντα θετικές τιμές διότι 2 2 24 4x x x x x x+ gt = ge rArr + gt

δηλαδή


2 4 0x x x R+ minus gt forall isin

323 Στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα δίνονται οι γωνίες των κυκλικών τομέων και οι τιμές xi i=1234 μιας μεταβλητής Χ i) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής σχετικών συχνοτήτων fi και αθροιστικών συχνοτήτων Fi ii) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο της κατανομής iii) Αν 18 παρατηρήσεις έχουν τιμή τουλάχιστον 30 να βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων

(Γ Μαυρίδης100 Θέματα Μαθηματικών και Στ Στατιστικής Γ΄ Λυκείου Σελ53) Λύση i) Οι γωνίες των κυκλικών τομέων είναι

0 01 4 290 54α α α= = =

και

( )0 0 0 0 03 360 90 90 54 126α = minus + + =

Εξάλλου είναι γνωστό ότι 0360i ifα =

Επομένως οι σχετικές συχνότητες των τιμών της μεταβλητής Χ θα είναι 0 0 0

1 4 2 30 0 0

90 54 126025 015 035360 360 360

f f f f= = = = = = =

Άρα ο ζητούμενος πίνακας κατανομής σχετικών και αθροιστικών συχνοτήτων είναι

ii) Η μέση τιμή της κατανομής είναι

4

110 0 25 20 015 30 035 40 025

25 3 105 10 26

i ii

x x f=

= = sdot + sdot + sdot + sdot =

= + + + =

sum

Δηλαδή

26x =

Xi fi Fi

10 025 025 20 015 040 30 035 075 40 025 1


iii) 1ος τρόπος Η διάμεσος δ είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50 των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50 των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από αυτήν Όμως η αθροιστική συχνότητα της τιμής 2x είναι

2 040 40F = = ενώ η αθροιστική συχνότητα της τιμής 3x είναι

3 075 75F = = Επομένως το 50 των παρατηρήσεων αντιστοιχεί στην τιμή 3 30x = Άρα η διάμεσος είναι 30δ = 2ος τρόπος Για τη διάμεσο της κατανομής αυτής θεωρούμε εφrsquo όσον έχουμε αναχθεί σε εκατοστιαία αναφορά με τις σχετικές συχνότητες τις εκατό παρατηρήσεις που δημιουργούν οι τιμές αυτές

Αυτές είναι 25 15 35 25

1010102020 203030304040 40

Επομένως η διάμεσος θα είναι το ημιάθροισμα

50 51 30 30 302 2

t tδ

+ += = =

iv) Οι παρατηρήσεις με τιμή τουλάχιστον 30 είναι εκείνες που έχουν τιμή ίση με 30 ή τιμή ίση με 40 Άρα για τις 18 αυτές παρατηρήσεις στο πραγματικό δείγμα ισχύει

3 4 18ν ν+ = Επομένως αν ν είναι το μέγεθος του δείγματος τότε θα είναι

3 4 18ν νν ν ν+ =

Δηλαδή

3 43 4

18 18 18 30060

f ff f

νν

+ = rArr = = =+

Δηλαδή οι συνολικές παρατηρήσεις είναι 30ν =


369 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόμος της γωνίας Α το ύψος που άγεται από την κορυφή Β προς την ΑΓ και η μεσοκάθετος της ΑΒ τέμνονται στο ίδιο σημείο Να βρεθεί η γωνία Α

(Probleme de geometie Competitiva A Ivanov-M Teleuca)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 2 Φεβρουαρίου 2011 14






Πρώτο παράδοξο

Στα Φυσικά όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο σημείωμα της στήλης μας ο Αριστοτέλης ξεκινά την αναφορά του στα παράδοξα του Ζήνωνα γράφοντας για το πρώτο laquoπρῶτος μέν ὁ περί τοῦ μή κινεῖσθαι διά τό πρότερον εἰς το ἣμισυ δεῖν ἀφικέσθαι τό φερόμενον ἤ πρός το τέλοςraquo

(Φυσικά239b11-13) Αυτό σημαίνει laquoκαι πρώτος είναι ο σχετικά με το ότι δεν μπορεί να κινείται ένα πράγμα για το λόγο ότι το σώμα το οποίο μετατοπίζεται πρέπει να φθάσει πρωτύτερα στο μισό της απόστασης προτού φθάσει στο τέλοςraquo

(Μετάφραση ΗΠ Νικολούδης Εκδ Κάκτου) Μέσα στην πρόταση αυτή καταγράφεται ο πρώτος συλλογισμός του Ζήνωνα ο οποίος στην ιστορία της φιλοσοφίας ονομάζεται laquoπαράδοξο του Σταδίουraquo ή laquoπαράδοξο της διχοτομίαςraquo(Φυσική ακρόασις β Ζ σχόλιο 59 Εκδ Κάκτου) Η λέξη διχοτομία χρησιμοποιείται από τον Αριστοτέλη για να δηλώσει το διαχωρισμό μιας ενότητας σε δύο άλλες ίσες Η λέξη προέρχεται από το ίδιο ρήμα το διχοτομώ από το οποίο προκύπτει και η λέξη διχοτόμος που δηλώνει την ευθεία εκείνη που χωρίζει μια γωνία σε δύο άλλες γωνίες ίσες μεταξύ των Στα σχόλια που διαβάζουμε για το χωρίο αυτό στο Ζ βιβλίο των Φυσικών από τις εκδόσεις Κάκτου μαθαίνουμε πως το παράδοξο της διχοτομίας λέει με άλλα λόγια τα εξής laquoΔεν υπάρχει κίνηση διότι ένα κινούμενο πράγμα πρέπει προτού φθάσει στο τέρμα να φθάσει στη μέση της διαδρομής Για να φθάσει ο δρομέας στο τέρμα της διαδρομής του πρέπει προηγουμένως να περάσει από μιαν άπειρη σειρά ενδιάμεσων σημείων που απαρτίζουν την ακολουθία

1 1 1 1 2 4 8 16

επειδή όμως είναι αδύνατο να περάσει κάποιος από άπειρα σημεία ο δρομέας είναι αδύνατον να φθάσει στο τέρμαraquo Αυτό σημαίνει ότι αν ένας δρομέας θέλει να διανύσει μια απόσταση ΑΒ όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα η οποία έστω πως είναι ίση με ένα στάδιο ξεκινώντας από την αρχή Α που αντιστοιχεί στη μηδενική απόσταση θα πρέπει για να φθάσει στο σημείο Β να περάσει πρώτα από το μέσο Μ1 του τμήματος ΑΒ Όμως για να φθάσει σrsquo

No249


αυτό το σημείο πάλι θα πρέπει να περάσει πρώτα από το μέσο Μ2 του τμήματος ΑΜ1 και ούτω καθεξής

Αυτή η υποχρέωση του δρομέα να περνάει από τα μέσα (hellipΜ4 Μ3 Μ2 Μ1) τα οποία αποτελούν μια laquoαπειρίαraquo σημείων καθιστά το γεγονός αυτό αδύνατο


324 Έστω η συνάρτηση με τύπο ( ) 3 4f x x=

Α Να βρεθούν (i) Το πεδίο ορισμού της (ii) Η παράγωγος ( )f xprime

Β Να δείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2 3 4 0ξ ξ ξ ξ α α με αisin minus rang

τέτοια ώστε ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f fξ ξ ξ ξprime prime prime prime+ + + =

Γ Θεωρούμε τα σημεία ( ) ( )( )1 ( 1) 8 8 f fκαιΑ minus minus Β

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία ΑΒ και το γράφική παράσταση fC της συνάρτησης f

(Αποστόλης Μπουρνής Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου) Λύση Αi) Το πεδίο ορισμού της είναι το R κι αυτό γιατί η υπόριζη ποσότητα είναι για

κάθε πραγματική τιμή του x μη αρνητική Έτσι η συνάρτηση γράφεται

( )( )

43

43

0

0

x xf x

x x

⎧ ge⎪= ⎨⎪ minus lt⎩

Αii) Για την παράγωγο της έχουμε τις περιπτώσεις bull Έστω 0x lt τότε είναι

( ) ( ) ( ) ( )4 113 3

4 43 3

f x x x xminus primeprime = minus minus = minus minus

bull Έστω 0x gt τότε όμοια θα είναι


( )134

3f x xprime =

bull Έστω 0x = τότε

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4 4

13 33

0 0 0 0

0lim lim lim lim 0

0x x x x

f x f x xx

x x xminus minus minus minusrarr rarr rarr rarr

minus minus minus= = minus = minus minus =

minus minus

( ) ( )4

133

0 0 0

0lim lim lim 0

0x x x

f x f x xx x+ + +rarr rarr rarr

minus= = =

minus Άρα

( )( )

( )

13

13

4 034 03

x xf x

x x

⎧ ge⎪⎪prime = Ι⎨⎪minus minus lt⎪⎩

Β) Έστω δύο τυχαία

( )1 2 0 0ξ ξ α αisin gt τότε θα είναι

( ) ( ) ( )1 13 3

1 1 2 24 4 13 3

f fξ ξ ξ ξprime prime= =

κι αν θεωρήσουμε ως

3 1 4 2ξ ξ ξ ξ= minus = minus τότε θα είναι

( )3 4 0ξ ξ αisin minus και από τον τύπο (Ι) της παραγώγου θα είναι

( ) ( ) ( )1133

3 3 14 4 23 3

f ξ ξ ξprime = minus minus = minus

και όμοια

( ) ( )13

4 24 33

f ξ ξprime = minus

έτσι από τις (1) (2) και (3) προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f fξ ξ ξ ξprime prime prime prime+ + + = Γ) Για το ζητούμενο εμβαδόν είναι

( ) ( ) ( )8 0 8

1 1 0

f x dx f x dx f x dxminus minus

Ε = = + =int int int


( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0

x dx x dx x dx x dxminus minus

= minus + = minus + =int int int int

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0

x dx x dx x d x x dxminus minus

= minus + = minus minus minus + =int int int int

( ) ( ) ( ) ( )

0 844 11 33

7 7

1 0

3 3 30 1 2 0 2 14 4 7 7 71 13 3

x x++

minus

minusminus + minus = minus minus + minus = minus

+ +

Δηλαδή 5529 τ μΕ asymp


370 Αν αβγ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 12 να δειχθεί ότι

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 412

4 4 4α β γ β γ α γ α β

αβ βγ γα

+ + ++ + ge

(71ος Πανελλήνιος Μαθ Διαγωνισμός ο Ευκλείδης ΕΜΕ Τάξη Γ Λυκείου 1512011)









Πρώτο παράδοξο Σχετικά με την ερμηνεία του συλλογισμού αυτού μέχρι και σήμερα γράφονται πολλές ερμηνείες και πολλά σχόλια Τα ερωτήματα που προβάλλονται είναι πολλά και μάλιστα σε μια τέτοια laquoπρόκλησηraquo του κοινού μυαλού Θα ρωτούσε κανείς - Μα τι ήθελε να πει με τον ισχυρισμό αυτό ο ελεάτης φιλόσοφος Ζήνων κι ακόμα - Δεν ήξερε πως οι αθλητές στους αγώνες στην Ολυμπία στα Πύθεια και σε πολλά άλλα σημεία κατάφερναν να τον διαψεύσουν Κι όμως η σκέψη των φιλοσόφων εκείνης της εποχής είχε προχωρήσει πολύ μπροστά Προσπαθούσαν μέσα από τις αμφισβητήσεις να δουν και να μελετήσουν τη βαθύτερη ουσία του κόσμου Οι αισθήσεις πλέον δεν ήταν ικανές να τους πείσουν για την αλήθεια του κόσμου Για το πρώτο παράδοξο ή αλλιώς το laquoπαράδοξο της διχοτομίαςraquo τι άλλο θα μπορούσε να πει κανείς σήμερα Ας δούμε τον ισχυρισμό του Ζήνωνα όπως τον κατανοούμε σήμερα Έστω πως ο δρομέας θέλει να τρέξει την απόσταση από το 0 στο 1 όπου το 0 και το 1 συμβολίζουν τα άκρα της οποιασδήποτε απόστασης δύο σημείων Ο δρομέας επομένως για να φθάσει ξεκινώντας από την αρχή(0) έως το τέρμα(1) θα πρέπει αρχικά να διανύσει το τμήμα από την αρχή(0) μέχρι και το

μέσο(12) αρχικού τμήματος Με την ίδια λογική για διανύσει την απόσταση ξεκινώντας από την αρχή(0) έως το μέσον(12) θα πρέπει να διανύσει αρχικά το τμήμα από την αρχή(0) μέχρι και το μέσον αυτού του τμήματος που είναι το μισό του μισού του αρχικού δηλαδή μέχρι και το σημείο που αντιστοιχεί στο (14) του αρχικού

Πάλι με το ίδιο επιχείρημα για να διανύσει την απόσταση από την αρχή(0) μέχρι και το σημείο που αντιστοιχεί στο (14) θα πρέπει να διανύσει το αρχικά την

απόσταση από την αρχή(0) μέχρι και το σημείο (18) που είναι πάλι το μισό του

μισού του μισού του αρχικού και ούτω καθεξής

No250


Έτσι δημιουργείται μια laquoάπειρηraquo ακολουθία τμημάτων που είναι

1 1 1 1 0 0 0 0 0116 8 4 2ν

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫Δ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Η ακολουθία αυτή εκτός του ότι έχει laquoάπειρους όρουςraquo ώστε να δημιουργεί μια laquoλογική αδυναμίαraquo δεν έχει αριστερά της αρχικό όρο από τον οποίο θα ξεκινήσει ο δρομέας


325 Έστω f μια παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]0 4 με ( ) ( ) [ ] ( )0 1 04 1f x f x xκαι primerang langminus forall isin

Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

1 3 1

x

x

F x f t dt f t dt f t dt f t dt= +int int int int

με [ ]04xisin και

( ) ( )3

2

1 2f x dx =int

i) Να δειχθεί ότι

( ) ( )1

x

F x f t dt= minusint

ii) Να βρεθεί το πρόσημο της F iii) Να δειχθεί ότι

( ) ( )23 1fξ ξexist isin = iv) Να δειχθεί ότι

( ) ( ) [ ]22 0 4F x f x xlang forall isin (Μπουρνής Απόστολος Μαθηματικά Κατνσης Γ΄Λυκείου))

Λύση i Είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 3 2

1 3 1 1

2 1 1 2

1 3 3 1

1

0

F f t dt f t dt f t dt f t dt

f t dt f t dt f t dt f t dt

= + =

= minus =

int int int int

int int int int

Δηλαδή

( ) ( )1 0 3F = Επίσης παραγωγίζοντας τη συνάρτηση αυτή θα έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 1

F x f x f t dt f x f t dtprime = minus =int int


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3

1 1 2 2

f x f t dt f x f t dt f t dt f x f t dt⎡ ⎤

= minus + = minus⎢ ⎥⎣ ⎦

int int int intκαι λόγω της (1) τελικά είναι

( ) ( ) ( )4F x f xprime = minus Η (4) λόγω της (3) δίνει

( ) ( )1

x


ii Η (4) λόγω της (1) δίνει τα πρόσημα της συνάρτησης F ως εξής

Άρα

( )0 1 0x F xνΑ le lt rArr gt

( )1 4 0x F xνΑ lt le rArr lt iii Θεωρούμε τη συνάρτηση G με τύπο

( ) ( ) [ ] 23G x F x x x= + isin για τη συνάρτηση αυτή ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )2

1

2 2 2 2 5G F f t dt= + = minus +int

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

3 2 3

1 1 22 22

1 1

3 3 3 3 3

1 3 2

G F f t dt f t dt f t dt

f t dt f t dt

= + = minus + = minus minus + =

=minus minus + = minus +

int int int

int int

δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )2

1


Από τις (5) και (6) προκύπτει

( ) ( )2 3G G= και επειδή η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )23ξ isin τέτοιο ώστε

( ) 0G ξprime = αυτό σημαίνει


( ) ( ) ( )1 0 1 1F f fξ ξ ξprime + = rArrminus = minus rArr =

iv Θεωρούμε τη συνάρτηση Η με τύπο

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2

1

2 2 0 4x

H x f x F x f x f t dt x= minus = + isinint

τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 2 2x

H x f x f x f t dt f x f x f xprime⎛ ⎞

prime prime prime= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠int

δηλαδή

( ) ( ) ( )( )1

2 1 0H x f x f xprime prime= + lt⎡ ⎤⎣ ⎦ Άρα η συνάρτηση Η είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της κα συνεπώς

( ) ( ) ( )0 4 4 7x H x Hαν le le rArr ge όμως

( ) ( ) ( )24 4 2 4H f F= minus

και επειδή λόγω του πίνακα τιμών του ερωτήματος ii είναι ( )4 0F lt άρα θα έχουμε

( ) ( ) ( )24 4 2 4 0H f F= minus gt επομένως από την (7) προκύπτει

( ) [ ]0 04H x xgt isin και συνεπώς

( ) ( ) ( )2 2 0H x f x F x= minus gt άρα

( ) ( ) [ ]2 2 04f x F x xgt isin


371 Να λυθεί στο R το σύστημα

( )

2 2 2

2

826

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +

(71ος Παν Μαθ Διαγωνισμός ο Ευκλείδης ΕΜΕ Τάξη Β΄ Λυκείου 1512011)









Πρώτο παράδοξο Το πρώτο παράδοξο ή αλλιώς το παράδοξο της διχοτομίας όπως το διατύπωνε ο Ζήνων τον 5ο αιώνα π Χ οδηγεί σε δύο λογικά αδιέξοδα Το πρώτο είναι πως για να φθάσει ο δρομέας στο πέρας της διαδρομής του σταδίου θα πρέπει να περάσει από laquoάπειραraquo σημεία που είναι μέσα διαδρομών(ΣΜ 249) και το δεύτερο πως για να φθάσει στο πέρας θα πρέπει να ξεκινήσει από κάποιο διάστημα που είναι ο απειροστός όρος της ακολουθίας των διαστημάτων που πρέπει κάθε φορά να διανύσει(ΣΜ250) Πριν αναφερθούμε πιο λεπτομερειακά στη σημασία του παράδοξου αυτού θα πρέπει να σημειώσουμε δύο τάσεις που προηγήθηκαν της εποχής του Αριστοτέλη Η πρώτη ανήκει στους Πυθαγόρειους οι οποίοι πίστευαν πως ο κόσμος αποτελείται από αδιαίρετα αντικείμενα Η όλη κοσμοθεωρία των φιλοσόφων αυτών ήθελε τον κόσμο φτιαγμένο από μικρότερα κομμάτια που όμως από ένα σημείο και μετά είναι αδιαίρετα Οδηγός στη σκέψη τους ήταν το σύνολο των Φυσικών αριθμών Ακόμα πίστευαν πως όλα τα μεγέθη ήταν μεταξύ τους σύμμετρα Έτσι γιrsquo αυτούς η ύλη ο χώρος και ο χρόνος αποτελούνται από κομμάτια που είναι αδιαίρετα Αντίθετα με του Πυθαγόρειους ο Αναξαγόρας από τις Κλαζομενές της Ιωνίας υποστήριζε το αντίθετο Η ύλη ο χώρος και ο χρόνος αποτελούν ποσότητες που είναι συνεχείς και μπορούν να διαιρεθούν επrsquo άπειρον Οι έννοιες βέβαια της συνέχειας και του απείρου όπως αναφέρθηκε(ΣΜ247) θα αναλυθούν αργότερα πολύ διεξοδικά από τον Αριστοτέλη Μέσα στο πλαίσιο των αντιλήψεων αυτών ο Ζήνων ο Ελεάτης διατυπώνει τα τέσσερα παράδοξα που σχολιάζει ο Αριστοτέλης στο έργο του Φυσικά(Βιβλίο Ζ) Το παράδοξο της διχοτομίας μπορεί κανείς να το δει και με διάφορες άλλες

διατυπώσεις Μια τέτοια είναι κι αυτή που μιλά για το βέλος του Αχιλλέα

No251

Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος 500-428πΧ


Ο Αχιλλέας ρίχνει το βέλος του προς το στόχο Β Το βέλος δεν θα φθάσει ποτέ στο στόχο του Το γιατί Πάλι η απειρία των διαδοχικών σημείων που βρίσκονται στο μέσο στο μέσο του μισού και ούτω καθεξής Μια θεώρηση σαν κι εκείνη που είδαμε στο παράδοξο της διχοτομίας


326 Δίνεται η συνάρτηση f R Rrarr για την οποία ισχύει

( ) ( ) ( )3 0 12xf x f x x R+ + = forall isin

να δειχθεί ότι αυτή αντιστρέφεται να βρεθεί ο τύπος της 1f minus και να λυθεί η ανίσωση

( ) ( ) ( )3 3 3 2f x x f xminus rang minus (Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Γιώργου Μιχαηλίδη)

Λύση Μονοτονία Έστω

( )1 2 1 2 3x x R x xisin lt Τότε από την (1) προκύπτει

και αφαιρώντας κατά μέλη θα έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 12 1 2 1 0

2x xf x f x f x f x minus

minus + minus + =

από την τελευταία προκύπτει

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 12 1 2 2 1 1 1

2x xf x f x f x f x f x f x minus⎡ ⎤minus + + + = minus⎣ ⎦

κι ακόμα

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2 12 2

2 1 2 2 1 1

1 0 62 1

f x f xx x f x f x f x f xminus

= minus ltminus ⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

Αυτό συμβαίνει γιατί η παράσταση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 7f x f x f x f xΑ = + +

αν θεωρηθεί ως τριώνυμο με μεταβλητή το ( )2f x έχει διακρίνουσα

( )213 0D f x= minus le

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις 1η) Έστω ότι

( )213 0D f x= minus lt

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 11 1

3 22 2

0 42

0 52

xf x f x

xf x f x

+ + =

+ + =


τότε το τριώνυμο (7) γίνεται ομόσημο του συντελεστή του δευτεροβαθμίου όρου του που είναι η μονάδα άρα θετικό και συνεπώς ισχύει η (6) 2η)Έστω τώρα ότι είναι

( )213 0D f x= minus =

τότε

( ) ( )1 0 8f x = στην περίπτωση αυτή τότε το τριώνυμο (7) γίνεται

( )22f xΑ =

και είναι πάντα θετικό γιατί αν 0Α =

τότε

( ) ( )2 0 9f x = όμως από τις (8) και (9) προκύπτει

1 2 0x x= = το οποίο είναι άτοπο λόγω της αρχικής υπόθεσης (3)

Έτσι λοιπόν δείχθηκε ότι

( ) ( )2 1

2 1

0f x f x

x xminus

ltminus

άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R και συνεπώς αντιστρέφεται Εύρεση του τύπου της 1f minus Επειδή ο τύπος (1) ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό άρα μπορούμε να

θέσουμε στη θέση του x το ( )1f xminus Άρα προκύπτει η σχέση

( )( ) ( )( ) ( )13 1 1 0

2f x

f f x f f xminus

minus minus+ + = η οποία στη συνέχεια δίνει

( )( ) ( )( ) ( )131 1 02

f xf f x f f x

minusminus minus⎡ ⎤ + + =⎣ ⎦

και τελικά

( )13 0

2f x

x xminus

+ + = δηλαδή

( )1 32 2f x x xminus = minus minus Λύση της ανίσωσης (2)

Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και η 1f minus θα είναι γνησίως φθίνουσα Άρα από τη (2) προκύπτει

( )( ) ( )( )1 3 1 3 3f f x x f f xminus minusminus lt minus


άρα 3 3 3x x xminus lt minus

η οποία ισοδυναμεί με 3 3 3 0x x x+ minus minus lt

και επειδή το πολυώνυμο του πρώτου μέλους της ανίσωσης αυτής έχει ρίζα το 1 θα είναι τελικά

( ) ( )21 3 0x x xminus + + lt η τελευταία έχει λύση

1x lt γιατί το τριώνυμο του δεύτερου παράγοντα είναι πάντα θετικό αφού έχει διακρίνουσα αρνητική Παραθέτουμε το γράφημα της συνάρτησης f που σχεδιάστηκε με το Geogebra αφού πρώτα σχεδιάστηκε το γράφημα της 1f minus και μετά η συμμετρική της

ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας που είναι το γράφημα της f


372 Έστω [ ] 01f Rrarr συνάρτηση παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο διάστημα [ ]01 και τέτοια ώστε

( ) ( )f x xf xprimege για κάθε [ ]01xisin Να δείξετε ότι

( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint

(ΓΛ Μαυρίδης Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Θετ amp Τεχν Κατνσης Σελ 244 Ασκ159)









Πρώτο παράδοξο Για το παράδοξο της διχοτομίας μπορεί να πει κανείς πως στηρίζεται σε δύο θεμελιώδεις παραδοχές()

bull 1η ) Ότι η απόσταση είναι διαιρετή επrsquo άπειρον bull 2η ) Ότι ο χρόνος δεν είναι διαιρετός επrsquo άπειρον Με βάση λοιπόν αυτές τις δύο παραδοχές οι Ελεάτες με κύριο εκφραστή τον

Ζήνωνα στήνουν τα παράδοξα και laquoαποδείχνουνraquo την αδυναμία της κίνησης του δρομέα Αν ξανασκεφτούμε το παράδοξο όπως αυτό εμφανίζεται στο παράδειγμα του βέλους του Αχιλλέα (ΣΜ 251)

τότε μπορούμε να το ερμηνεύσουμε με το ακόλουθο γράφημα

Έχει σημασία να εκτιμήσει κανείς πως στο ανωτέρω γράφημα όπου εμφανίζεται η εξέλιξη της σκέψης του Ζήνωνα οι μονάδες στον αριστερό κάθετο άξονα δηλώνουν την απόσταση που πρέπει να διανύσει το βέλος και ξεκινούν από τη

No252


μονάδα (d=1) για τη μηδενική χρονική στιγμή ενώ στη συνέχεια διαιρούνται κάθε φορά στη μέση κατά τις στιγμές 1 2 3 hellip nhellip Οι χρονικές στιγμές 1 2 3 hellip δηλώνουν μονάδες χρόνου που είναι αδιαίρετες Ακριβώς στη διαφοροποίηση της αντίληψης της διαιρετότητας της ποσότητας του χρόνου και της συνεχούς διαιρετότητας της ποσότητας της απόστασης δημιουργείται η αντίφαση του παραδόξου αυτού

() Andreacute Ross professeur de matheacutematiques Ceacutegep de Leacutevis ndash Lauzon Zeacutenon les paradoxes

Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις 327 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές αβγ Εάν μεταξύ των πλευρών του ισχύει

( )3 3 3

2 1α β γ αα β γ+ +

=+ +

τι μπορεί κανείς να συμπεράνει για τις γωνίες του τριγώνου αυτού(Centrale des Maths Problegraveme du mois Avril 2010) Λύση Η σχέση (1) προκύπτει

3α ( )3 3 2 3β γ α α β γ α+ + = + + = ( )2α β γ+ + κι ακόμα

( )3 3 2β γ α β γ+ = + rArr

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2β γ β βγ γ α β γ+ minus + = + και επειδή το άθροισμα

0β γ+ gt η σχέση (2) δίνει

2 2 2β βγ γ αminus + = Δηλαδή

( )2 2 2 3α β βγ γ= minus + κι από το νόμο των συνημιτόνων ακόμα για το τρίγωνο αυτό θα είναι ακόμα

( )2 2 2 2 4α β γ αβσυν= + minus Α Από τις σχέσεις (3) και (4) εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη προκύπτει

2 2β γ+ 22βγσυν βminus Α = 2βγ γminus + δηλαδή

12

συνΑ =


Η τελευταία σχέση σημαίνει ότι

060Α = και ότι για τις άλλες δύο ισχύει

0120Β+Γ =

328 Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί a τέτοιοι ώστε να ισχύει

( )3 12

ax

a

e dxminus

rangint

Λύση Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους της ανίσωσης (1) έχουμε τα ακόλουθα

1aax x a a a

aaa

e dx e e e ee

minus

minusminus

⎡ ⎤Ι = = = minus = minus⎣ ⎦int

δηλαδή

( )2 1 2

a ax

aa

ee dxeminus

minusΙ = =int

Η ανισότητα (1) σύμφωνα με τη (2) γίνεται ισοδύναμα

( )2 1 3 3

2

a

a

eeminusrang

Στη συνέχεια η λύνοντας την ανίσωση (3) θα έχουμε

( ) ( )( )

2

2

3 2 1 3

2 3 2 0 4

a a

a a

e e

e e

hArr minus rang hArr

hArr minus minus gt

Η ανίσωση (4) είναι της μορφής

( )22 3 2 0 5x xminus minus gt όπου

( )6ax e= Η ανίσωση (5) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις


1 21 22

x x= minus =

Επομένως η λύση της ανίσωσης (5) είναι οι τιμές του x που βρίσκονται έξω από το διάστημα των ριζών Άρα πρέπει

1 22

x xlt minus or gt

και λόγω της (6) πρέπει

1 22

a ae elt minus or gt

Από τις δύο αυτές ανισώσεις δεκτή είναι μόνον η δεύτερη γιατί η ποσότητα 0ae gt Άρα

2ae gt Από την τελευταία προκύπτει τέλος

( )ln 2 7Rα αgt isin Έτσι οι ζητούμενοι αριθμοί α είναι εκείνοι που ικανοποιούν την ανισοτική

σχέση (7)


373 Στο ακόλουθο σχήμα οι κύκλοι (C1) (C2) εφάπτονται μεταξύ των εξωτερικά στο σημείο Α και εσωτερικά ο καθένας με τον (C) στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα

Η κοινή εφαπτομένη των δύο εσωτερικών κύκλων τέμνει τον εξωτερικό στα Δ Ε

Αν Ν Μ είναι αντίστοιχα τα σημεία τομής των ΔΒ και ΔΓ με τους κύκλους (C1)(C2) τότε να δειχθεί ότι ΜΝ είναι κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δυο εσωτερικών κύκλων



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 2 Μαρτίου 2011 14






Πρώτο παράδοξο Ο Αριστοτέλης ανασκευάζει το παράδοξο της διχοτομίας προτείνοντας πως και η ποσότητα του χρόνου είναι διαιρετή όπως διαιρετή είναι και η ποσότητα του χώρου και της απόστασης

Έτσι σύμφωνα με την άποψη αυτή το βέλος του Αχιλλέα κινείται προς το στόχο σύμφωνα με τον εξής πίνακα τιμών Αν τώρα αυτές τις τιμές τις τοποθετήσουμε σε ένα γράφημα χρόνου ndash διαστήματος (td) τότε θα έχουμε το γράφημα

Παρατηρώντας το γράφημα αυτό βλέπουμε πως τα σημεία που εκφράζονται με τις συντεταγμένες χρόνου και διαστήματος βρίσκονται πάνω σε ευθεία που τέμνει τους άξονες σε συγκεκριμένα σημεία

No253


Αυτό σημαίνει πως μια συγκεκριμένη απόσταση d μπορεί να διανυθεί σε κάποια ποσότητα χρόνου t και είναι συνέπεια της άποψης πως και οι δύο αυτές ποσότητες είναι διαιρετές συνεχώς και επrsquo άπειρον Κάτι τέτοιο δεν το παρατηρούσε κανείς στο γράφημα όπου στον άξονα του χρόνου είχαμε μόνο ακέραιες τιμές του χρόνου κι όχι κλασματικές(ΣΜ252)


329 Στο παράπλευρο τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει γων(ΒΑΓ)=700 γων(ΓΑΔ)=400 γων(ΔΓΑ)=200 και γων(ΑΓΒ)=300

Τότε Να υπολογισθεί η γωνία

x=(ΒΔΓ) (Mathematicagr Μάιος 2010)

Λύση Κατασκευάζοντας ένα νέο σχήμα και προεκτείνοντας τις ΓΔ και ΒΑ οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ο παρατηρούμε ότι

Από το τρίγωνο ΟΑΓ υπολογίζουμε τη γωνία 0 0 0 0 0180 180 110 20 50ΒΟΓ = minusΟΑΓminusΑΓΟ = minus minus =

επομένως το τρίγωνο (ΟΒΓ) είναι ισοσκελές κατά τα σκέλη του ΟΒ ΒΓ καθώς επίσης και η γωνία Β είναι ίση με

080ΟΒΓ = Θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα (ΟΒΓ) και (ΒΓΔ) είναι όμοια


Πράγματι για τα τρίγωνα αυτά ισχύει ( )050 1ΒΟΓ = ΒΓΔ =

Αρκεί ακόμα να δείξουμε και την αναλογία των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές αντίστοιχα Δηλαδή

( )2ββ γ

ΟΓ ΒΓ ΟΓ= hArr =

ΒΓ ΓΔ

Απόδειξη της σχέσης (2) Εφαρμόζουμε το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ

( )0

0 0 0

70 370 80 80β λ λημβ

ημ ημ ημ= rArr =

Όμοια εφαρμόζουμε τον ίδιο νόμο στο τρίγωνο ΑΓΔ

( )0

0 0 0

40 440 120 120γ λ λημ

γημ ημ ημ

= rArr =

Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει

( )0 0

0 0

70 120 540 80

β ημ ημγ ημ ημ=

Όμως κι από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΟΒΓ θα έχουμε επίσης

( )0

0 0 0

80 680 50 50

β ημημ ημ β ημΟΓ ΟΓ

= hArr =

Άρα η ζητούμενη (2) σύμφωνα με τις (5) και (6) γίνεται

( )0 0 0

0 0 0

70 120 80 740 80 50

ημ ημ ημημ ημ ημ

=

Στη συνέχεια έχουμε

( ) 0 0 0 0 2 07 50 70 120 40 80ημ ημ ημ ημ ημhArr = hArr

0 050 70ημ ημhArr 0 0 0120 2 20 20ημ ημ συν= 2 080ημ hArr0 0 0 2 050 60 2 20 80ημ ημ ημ ημhArr = hArr

00 03 1 16050 2 20

2 2συνημ ημ

⎛ ⎞minushArr = hArr⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 0 0 03 50 2 20 2 20 160ημ ημ ημ συνhArr = minus hArr


0 0 0 03 50 2 20 2 20 20ημ ημ ημ συνhArr = + hArr 0 0 03 50 40 2 20ημ ημ ημhArr minus = hArr

0 0 03 150 40 202 2ημ ημ ημhArr minus = hArr

0 0 0 0 030 50 30 40 20συν ημ ημ ημ ημhArr minus = hArr 0 0 0 0 030 40 30 40 20συν συν ημ ημ ημhArr minus = hArr

( )0 0 030 40 20συν ημhArr + = hArr

( )0 070 20 8συν ημhArr = Η τελευταία σχέση (8) είναι αληθής και συνεπώς και η (7) Άρα και η αρχική σχέση (2)

Επομένως τα τρίγωνα

( ) ( )ΟΒΓ ΒΓΔ είναι όμοια Άρα η ζητούμενη γωνία είναι ίση με

080x =ΟΒΓ =


374 Να βρεθεί ο θετικός ακέραιος α ώστε να ισχύει

[ ] [ ]1 x ax x x Ra

⎡ ⎤+ = minus forall isin⎢ ⎥⎣ ⎦

όπου οι αγκύλες δηλώνουν το ακέραιο μέρος (Σπύρος Καπελλίδης mathematicagr 1222011)

375 Έστω η παραβολή 2 2y px= και μεταβλητό σημείο της Μ Η εφαπτομένη της παραβολής από το Μ τέμνει τους άξονες Οx Oy στα σημεία Α και Β Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Ν που έχει προβολές στους άξονες Ox Oy τα σημεία Α και Β

(ΔΓΚοντογιάννης Διανυσματικός Λογισμός τΙΙ σελ159)









Πρώτο παράδοξο Όπως φάνηκε μέχρι τώρα στις αναφορές του πρώτου παραδόξου του Ζήνωνα το πρόβλημα της λογικής που χρησιμοποιεί ο φιλόσοφος αυτός του 5ου πΧ αιώνα είναι η αντίληψη της διαιρετότητας των ποσοτήτων του χώρου και του χρόνου(ΣΜ 253) Όπως αναφέρει και ο καθηγητής Andreacute Ross(ΣΜ 252) η ανασκευή του παραδόξου αυτού από τον Αριστοτέλη έγκειται στην παραδοχή πως ο χώρος και ο χρόνος είναι ποσότητες διαιρετές laquoεπrsquo άπειρονraquo Η αντίληψη αυτή του Ζήνωνα οδήγησε και σε άλλα παρόμοια παράδοξα που συσχετίζονται με το παράδοξο της διχοτομίας Τέτοιο είναι το παράδοξο του βέλους του Αχιλλέα όπως αναφέρθηκε προηγούμενα(ΣΜ 251) Ας δούμε όμως κι ένα ακόμα που στηρίζεται στην ίδια αντίληψη της διαιρετότητας του χρόνου laquoΔιαθέτουμε μια ώρα για να προφέρουμε του φυσικούς αριθμούς ακολουθώντας την εξής διαδικασία Κατά τη διάρκεια του πρώτου μισού της ώρας αυτής προφέρουμε τον πρώτο φυσικό αριθμό Κατά τη διάρκεια του επόμενου τετάρτου της ώρας προφέρουμε τον δεύτερο φυσικό αριθμό Συνεχίζοντας έτσι διαιρώντας με το δύο το διάστημα που απομένει μέχρι το τέλος της ώρας προφέρουμε τους επόμενους διαδοχικούς αριθμούς Επειδή πάντοτε παραμένει ένα διάστημα του χρόνου μπορούμε να ισχυριστούμε πως μπορούμε με τη διαδικασία αυτή να προφέρουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς μέσα σε μια ώρα raquo Ποιο είναι το παράλογο στην περίπτωση αυτή Ποια είναι η αντίφαση στην οποία οδηγείται εκείνος που το διαβάζει Αν το δούμε πιο προσεκτικά τότε μπορούμε να ισχυριστούμε δύο πράγματα 1ο ) Εφόσον στα άπειρα χρονικά διαστήματα έχουμε προφέρει κι από έναν φυσικό αριθμό ξεκινώντας από τον πρώτο άρα έχουμε αντιστοιχίσει σ‛ αυτά άπειρους φυσικούς αριθμούς Αυτό δείχνει πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι 2ο) Εφόσον ο χρόνος που χρειαστήκαμε να προφέρουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς είναι πεπερασμένος(μία ώρα) άρα και οι φυσικοί αριθμοί είναι σε πλήθος πεπερασμένοι Αυτό είναι και το παράδοξο Δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι σε πλήθος άπειροι και ταυτόχρονα σε πλήθος πεπερασμένοι Αν προσέξουμε καλύτερα το παράδοξο αυτό τότε θα συμπεράνουμε πως για να προφέρει κανείς τον αριθμό laquoέναraquo θα χρειαστεί ένα χρονικό διάστημα ίσο με

No254


τριάντα λεπτά( 160

2 ) για να προφέρει τον αριθμό laquoδύοraquo θα χρειαστεί δεκαπέντε

λεπτά( 260

2 ) τον αριθμό laquoτρίαraquo εφτά και μισό λεπτά( 360

2 )

Έτσι όμως για να προφέρει τον αριθμό laquoεκατόraquo θα πρέπει να αξιοποιήσει χρόνο ίσο με τον αριθμό

29100 100

60 4733165431 10 min2

t minus= = Χ


330 Αν οι αριθμοί x y ω είναι θετικοί πραγματικοί να δειχθεί ότι

( ) ( )2

2 2 2 2 6 3x y x y x yω ω ω+ + + + + ge sdot sdot + (Γιώργος Αποστολόπουλος Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίουι)

Λύση Θεωρούμε μια γεωμετρική απεικόνιση των μεγεθών της άσκησης όπως

φαίνεται στο σχήμα 1

Στο τρίγωνο αυτό ισχύει

( )1x yα = +

( )2 2 2xβ ω= +

( )2 2 3x yγ = + Έτσι για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ θα ισχύει

( ) ( ) ( )1 42

y xωΑΒΓΕ = +

( ) ( ) ( )( )τ τ α τ β τ γΑΒΓΕ = minus minus minus =

Σχήμα 1


2 2 2 2α β γ α β γ α β γ α β γ+ + minus + + minus + + minus⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )( ) ( )14

α β γ α β γ α β γ α β γ= + + minus + + minus + + minus

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 54

α β γ α β γ α β γ α β γΑΒΓΕ = + + minus + + minus + + minus

Aν θεωρήσουμε την ανισότητα του Cauchy για τις θετικές ποσότητες α β γ α β γ α β γminus + + minus + + minus

θα έχουμε

( ) ( ) ( )( )( )( )33

α β γ α β γ α β γ


minus + + + minus + + + minus ge

ge minus + + minus + + minus

δηλαδή

( )( )( )33α β γ α β γ α β γ α β γ+ + ge minus + + minus + + minus κι ακόμα

( )( )( ) ( ) ( )3

3 63

α β γα β γ α β γ α β γ

+ +minus + + minus + + minus le

Η σχέση (5) σύμφωνα με την (6) γίνεται

( ) ( ) ( ) ( ) ( )14

α β γ α β γ α β γ α β γΑΒΓΕ = + + minus + + minus + + minus le

( ) ( ) ( )3

23

1 14 3 4 3 3

α β γα β γ α β γ

+ +le + + = + +

sdot

άρα

( ) ( ) ( )21 74 3 3

α β γΑΒΓΕ le + +sdot

Όμως η (7) σύμφωνα και με την (4) δίνει

( ) ( )21 12 4 3 3

y xω α β γ+ le + +sdot

Η τελευταία ισοδυναμεί

( ) ( )212 3 3

y xω α β γ+ le + + hArrsdot


( ) ( ) ( )26 3 8y xω α β γ+ le + + Η σχέση (8) σύμφωνα με τις (1)(2) (3) γίνεται ακόμα

( ) ( )22 2 2 26 3 y x y x x yω ω ω+ le + + + + +

η οποία αν γραφεί με τη σειρά

( ) ( )2

2 2 2 2 6 3y x x y y xω ω ω+ + + + + ge +είναι η ζητούμενη σχέση

Παρατήρηση Από τη σχέση (7) προκύπτει εύκολα ότι 1 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

2 3 3τ ge Ε όπου τ η ημιπερίμετρος και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 2 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

3 3τ ρge όπου τ η ημιπερίμετρος και ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓ


376 Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f R Rrarr

για την οποία ισχύει

( ) ( )0

4f x x f x xdxπ

ημ συν= + int

(ΓΛΜαυρίδης Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Θετ και Τεχ Κατνσης Σελ240)

377 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]1e με ( )0 1f xlt lt και ( ) 0f xprime ge για κάθε [ ]1x eisin να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνον ένας αριθμός ( )0 1x eisin τέτοιος ώστε

( )0 0 0 0lnf x x x x+ = (Πανελλήνιες εξετάσεις 1η Δέσμη 1994)










Αναλογιζόμενοι πάλι το παράδοξο που προέκυψε από την διαδικασία της προφοράς(ανάγνωσης) των φυσικών αριθμών στο διάστημα μιας ώρας προφέροντας τον πρώτο φυσικό αριθμό κατά τη διάρκεια του πρώτου μισού της ώρας τον δεύτερο κατά το πρώτο μισό του απομένοντος μισού της ώρας και ούτω καθεξής τότε όπως αναφέρθηκε προηγούμενα(ΣΜ254) για την προφορά(ανάγνωση) του εκατοστού φυσικού αριθμού(δηλ του αριθμού 100) θα χρειαστούμε ένα χρονικό διάστημα ίσο με

100

29

00005ί

tψηφ α

asymp

δηλαδή ένα πάρα πολύ μικρό χρονικό διάστημα Αν με τον ίδιο τρόπο υπολογίσουμε τους χρόνους που θα χρειαστούμε για την προφορά του 101 102 hellip ν ν+1 hellip τότε θα παρατηρήσουμε πως οι χρόνοι αυτοί όλο και μικραίνουν και γίνονται αμελητέες ποσότητες Σε ένα τέτοιο μικρό αμελητέο χρονικό διάστημα για να μπορέσει κανείς να προφέρει το όνομα ενός αριθμού θα πρέπει να έχει ταχύτητα ανάγνωσης ασύλληπτα μεγάλη τόσο που να ξεπερνά ακόμα και την ταχύτητα του φωτός Πράγμα που σύμφωνα με τη Θεωρία της Σχετικότητας είναι ακατόρθωτο Συνοψίζοντας όλα όσα αναφέραμε για το πρώτο παράδοξο του Ζήνωνα μπορούμε να πούμε ακόμα ότι ο ελεάτης αυτός φιλόσοφος laquoεκμεταλλεύεταιraquo την ανθρώπινη εκείνη laquoδιαίσθησηraquo σύμφωνα με την οποία

laquoένα άθροισμα από άπειρους όρους θα μας δώσει ένα άπειρο άθροισμαraquo η οποία όμως δεν είναι πάντα αληθής γιατί εξαρτάται κάθε φορά από το τί όρους προσθέτουμε Για παράδειγμα ένα άθροισμα από άπειρους αριθμούς laquoφαίνεταιraquo διαισθητικά ότι θα μας δώσει ένα laquoάπειροraquo άθροισμα Ας δούμε όμως ένα παράδειγμα από τη Γεωμετρία(Andreacute Ross Zeacutenon les paradoxes) Στο παρακάτω σχήμα διακρίνουμε τρεις φάσεις κατά την προσπάθειά μας να βάψουμε την επιφάνεια ενός τετραγώνου με ένα χρώμα Στην πρώτη φάση βάφουμε τα δύο από τέσσερα τετράγωνα Στη δεύτερη φάση συνεχίζουμε και βάφουμε με τον ίδιο τρόπο τα άλλα δύο τετράγωνα που απέμειναν Στην τρίτη φάση βάφουμε όμοια τα υπόλοιπα τέσσερα τετράγωνα και ούτω καθεξής Το άθροισμα των χρωματισμένων πια τετραγώνων δεν ξεπερνά το αρχικό τετράγωνο αν και είναι σε πλήθος άπειρο

No255



331 Έστω η έλλειψη

2 2

2 2 1x ya b+ =

και ( )0γΕ μια εστία αυτής όπου 2 0aγ rang rang Αν ΚΛ είναι μια τυχαία χορδή αυτής έλλειψης αυτής

με aΕΚ +ΕΛ =

τότε να δείξετε ότι το μέσο Μ αυτής χορδής αυτής ανήκει σε σταθερή ευθεία

(Mathematicagr 2852010) Λύση Πριν λύσουμε την άσκηση θα αναφερθούμε σε λίγη θεωρία

Α) Έστω η έλλειψη 2 2

2 2 1x ycα β

+ = με εστίες τις Ε1(-γ 0) και Ε2(γ 0) καθώς

και ένα τυχαίο σημείο ( )x yΜ πάνω σrsquo αυτή (Σχήμα 1) Τότε θα είναι

( ) ( )2 22 2 2 21 2r x y r x yγ γ= + + = minus +

Σχήμα 1


και επομένως

( ) ( ) ( )2 22 21 2 4 1r r x x xγ γ γminus = + minus minus =

Όμως από τον ορισμό της έλλειψης ισχύει ακόμα

( )1 2 2 2r r α+ = Θεωρώντας τις (1) και (2) ως σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους έχουμε

( )( )2 21 2 1 21 2

1 21 2

4422

r r r r xr r xr rr r

γγαα

+ minus =minus =hArr hArr

+ =+ =

( )1

1 2

1 2 2

23

2

xx rr rxr r r

γγ αααγα αα

= +minus =hArr hArr

+ = = minus

Β) Η εκκεντρότητα της έλλειψης δίνεται από τον τύπο

γεα

=

και για κάθε έλλειψη ισχύει 0 1εlt lt

bull Αν 1 22

ε α γ= hArr = τότε οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στα μέσα 1Μ και

2Μ των οριζόντιων ημιαξόνων ΟΑrsquo και ΟΑ αντίστοιχα(Σχ2)

bull Αν 1 22

ε α γlt hArr gt τότε η Ε1 βρίσκεται δεξιά του μέσου Μ1 του ημιάξονα

ΟΑrsquo και η Ε2 αριστερά του μέσου Μ2 του ημιάξονα ΟΑ(Σχ3)

Σχήμα 2


Στην περίπτωση αυτή η έλλειψη πλησιάζει σε μια εικόνα που τείνει να εξομοιωθεί με ένα κύκλο που έχει κέντρο το κέντρο της έλλειψης και ακτίνα τον μεγάλο ημιάξονά της

bull Αν 1 22

ε α γgt hArr lt τότε η Ε1 βρίσκεται αριστερά του μέσου Μ1 και η Ε2

δεξιά του μέσου Μ2(Σχ4) Τότε όπως φαίνεται και στο σχήμα η έλλειψη

απομακρύνεται πολύ από το κυκλικό σχήμα και έχει τη γνωστή της laquoελλειπτικήraquo μορφή


378 Αν

0x y z ge τότε να δειχθεί η σχέση

( )42xy yz zx xyz x y z+ + ge + + (Μπάμπης Στεργίου ndashΝ Σκομπρής Κλασικές ανισότητες Άσκ2036)



Σχήμα 3

Σχήμα 4







Πρώτο παράδοξο Η διαισθητική αντίληψη πως το άθροισμα άπειρων όρων μιας ποσότητας θα μας δώσει ως αποτέλεσμα άπειρη ποσότητα φαίνεται πως δεν είναι αξιόπιστη Στο παράδειγμα κατά το οποίο

στις διαδοχικές φάσεις (1) (2) (3)hellip χρωματισμού του τετραγώνου όπως φαίνεται στο σχήμα επαληθεύεται ο ισχυρισμός πως κάτι τέτοιο μπορεί και να μη συμβαίνει Ας εξετάσουμε αναλυτικότερα την επεξεργασία του χρωματισμού του τετραγώνου αυτού στις διαδοχικές του φάσεις 1η φάση Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα ίσα τετράγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα και χρωματίζουμε τα δύο από τα τέσσερα ίσα τετράγωνα Φυσικά έχουμε καλύψει με χρώμα το μισό του τετραγώνου Άρα αν το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου είναι Ε τότε στη φάση αυτή έχουμε καλύψει με χρώμα το εμβαδόν Ε1 που ικανοποιεί τη σχέση

( )112 1

4 2Ε

Ε = = Ε

2η φάση Χωρίζουμε στη συνέχεια το καθένα από τα δύο λευκά τετράγωνα σε τέσσερα ίσα όπως και στην προηγούμενη φάση και χρωματίζουμε τα δύο στο καθένα από αυτά Έτσι συνολικά έχουμε χρωματίσει τέσσερα από τα οχτώ τετράγωνα το καθένα από τα οποία είναι το 116 του αρχικού Έτσι έχουμε καλύψει κατά τη φάση αυτή επιπλέον επιφάνεια Ε2 η οποία είναι

( )2 2

14 216 2Ε

Ε = = Ε

3η φάση Όμοια στη φάση αυτή έχουμε χρωματίσει επιπλέον επιφάνεια ίση με

( )3 3

18 364 2Ε

Ε = = Ε

Αν συνεχίσουμε με τον ίδιο τρόπο στη ν-οστή φάση και προσθέσουμε τις επιμέρους επιφάνειες τότε θα προκύψει συνολική χρωματισμένη επιφάνεια ίση με

1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν νΣ = Ε + Ε +Ε + + Ε = Ε + Ε + Ε + + Ε

No256

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 23 Μαρτίου 2011 24 δηλαδή

1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν ν

⎛ ⎞Σ = Ε +Ε +Ε + +Ε = + + + + Ε⎜ ⎟⎝ ⎠

Αν τέλος συνεχίσουμε laquoεπrsquo άπειρονraquo το χρωματισμό αυτό τότε laquoπαρατηρούμεraquo ότι ίτε νει

νΣ rarr Ε δηλαδή

2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =

πράγμα που σημαίνει πως το άθροισμα άπειρων όρων δεν δίνει το άπειρο αλλά ένα συγκεκριμένο αριθμό



( )2 2

2 2 1 1x ya b+ =

και ( )0γΕ μια εστία αυτής όπου ( )2 0 2aγ rang rang Αν ΚΛ είναι μια τυχαία χορδή αυτής έλλειψης αυτής με

( )3aΕΚ +ΕΛ = τότε να δείξετε ότι το μέσο Μ αυτής χορδής αυτής ανήκει σε σταθερή ευθεία

(Mathematicagr 2852010) Λύση Η εξίσωση (1) παριστά την έλλειψη του σχήματος 1 και επειδή ισχύει η σχέση (2) η εστία

της έλλειψης αυτής θα είναι δεξιά του μέσου Μ2 του ημιάξονα ΟΑ (ΣΜ255) Σύμφωνα με τους τύπους

1 2x xr rγ γα αα α

= + = minus

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 23 Μαρτίου 2011 34 οι οποίοι δηλώνουν τις αποστάσεις ενός τυχαίου σημείουτης έλλειψης από τις εστίες Ε΄ και Ε έχουμε

( )1 2 4x xγ γα αα α

ΚΕ = minus ΕΛ = minus

όπου 1 2x x οι τετμημένες των σημείων Κ και Λ αντίστοιχα Έτσι η σχέση (3) σύμφωνα με την (4) γίνεται

1 2x xa γ γα α αα α

ΕΚ +ΕΛ = hArr minus + minus = κι ακόμα

21 2x xγ γ α+ =

και τελικά

( )2

1 2 52 2

x x αγ

+=

Το μέσο Μ της χορδής ΚΛ έχει συντεταγμένες

( )1 2 1 2 62 2

x x y yx yΜ Μ

+ += =

επομένως από τις (5) και (6) έχουμε 2

2x ctα

γΜ = = που δηλώνει ότι το μέσο Μ της χορδής ΕΛ προβάλλεται σε σταθερό σημείο και συνεπώς το σημείο αυτό κινείται στη σταθερή ευθεία

( )2

2

x αεγ

= η οποία είναι κάθετη στον άξονα των τετμημένων

332 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z wμε 0z ne και οι οποίοι συνδέονται με τη σχέση

( )1 1w zz

= + 1ο Αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο με ακτίνα ίση

με 2 να δείξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε έλλειψη 2ο Να δείξετε ότι η απόσταση των εικόνων των z w είναι

σταθερή 3ο Να δείξετε ότι για τις εικόνες του w ακόμα ισχύει

( )2 2 5 2w wminus + + = (Ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα Μαθηματικών Γ΄ τάξης του 3ου ΓΕΛ Κοζάνης)

Λύση

1ο ) Έστω ότι z x iy x y R= + isin Εφόσον η εικόνα Μ(z) κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(00) και ακτίνας ίσης με 2 θα είναι

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 23 Μαρτίου 2011 44 2 2 4 (3)x y+ =

Έστω ακόμα w a bi a b R= + isin Τότε από την (1) προκύπτει

1 4 45 3

a bi x yi x a y bx yi

+ = + + rArr = =+

και αντικαθιστώντας στην (3) προκύπτει

( ) ( )2 2

2 2 15 2 3

2

a b+ =

που δηλώνει πως η εικόνα Ν(w) κινείται σε έλλειψη με στοιχεία 5 2 3 2a b= =

2ο) Για την απόσταση ΜΝ ισχύει

( ) ( )( ) 1 1 12

d z w w z z zz z

ΜΝ = Μ Ν = minus = + minus = =

3ο) Από τη θεμελιώδη ιδιότητα της έλλειψης ισχύει

2 2 2 5w w aminus + + = ΝΕ +ΝΕ = =

Για την άλλη φορά 379 Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

1 1 1 4ημ ημ ημ ημ ημ ημ

+ + geΑ Β Β Γ Γ Α

όπου ΑΒΓ οι γωνίες του τριγώνου αυτού (Romanian Society for Mathematical Sciences MagazineJuly 1998)










Από το παράδειγμα του χρωματισμού ενός τετραγώνου όπως αυτό περιγράφηκε στο προηγούμενο φύλλο (ΣΜ 256) φάνηκε πως ένα laquoάθροισμα άπειρων όρωνraquo μπορεί να είναι ίσο με έναν πεπερασμένο αριθμό Ένα τέτοιο άθροισμα είναι της μορφής

2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =

και περιέχει τους άπειρους όρους

2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν

οι οποίοι προστιθέμενοι δίνουν αποτέλεσμα ίσο με τη μονάδα Τέτοια αθροίσματα άπειρων όρων υπάρχουν πολλά και μια κατηγορία σαν κι αυτή του παραδείγματος που αναφέραμε είναι εκείνα που προκύπτουν από τις λεγόμενες laquoαπολύτως φθίνουσες γεωμετρικές προόδουςraquo Αυτές οι πρόοδοι διδάσκονται στα Μαθηματικά της δευτέρας τάξης του Λυκείου Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή μια τέτοια πρόοδος είναι εκείνη που έχει όρους της μορφής

2 1 a a a a νω ω ω minus

όπου

1ω lt και έχει ως laquoάθροισμα άπειρων όρωνraquo τον αριθμό που προκύπτει από τον τύπο

1aωinfin= minussum

Όσο κι αν αυτό φαίνεται παράξενο ένα άθροισμα άπειρων όρων δεν δίνει αναγκαστικά άπειρο αποτέλεσμα Όμως υπάρχουν και laquoαθροίσματαraquo άπειρων όρων που δεν δίνουν πεπερασμένο αποτέλεσμα αλλά άπειρο Ένα τέτοιο άθροισμα είναι το ακόλουθο

1 1 1 11 2 3 4 ν

+ + + + + +

το οποίο αποδείχνεται ότι είναι ίσο με το άπειρο

No257


Η μελέτη τέτοιων αθροισμάτων αποτελεί ένα ενδιαφέρον θέμα των Μαθηματικών και ειδικότερα της θεωρίας των laquoακολουθιώνraquo και των laquoσειρώνraquo η οποία μελετά τα κριτήρια και τις συνθήκες ώστε τέτοια laquoαθροίσματαraquo να έχουν πεπερασμένο ή άπειρο αποτέλεσμα Τα παράδοξα του Ζήνωνα χωρίς καμιά αμφιβολία αποτέλεσαν την αφετηρία των θεμάτων αυτών και όχι μόνον


333 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒltΑΓ) και ο εγγεγραμμένος κύκλος αυτού ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές ΒΓ ΓΑ ΑΒ στα σημεία Δ Ε Ζ αντίστοιχα Η διχοτόμος της γωνίας ΖΔΕ τέμνει την ΖΕ στο σημείο Θ και η προέκταση της ΖΕ την προέκτασης της πλευράς ΒΓ στο σημείο Ο Να δείξετε ότι

1ο) το τρίγωνο ΟΔΘ είναι ισοσκελές

( )02 ) 1

2ΒminusΓ

ΔΟΕ = Λύση 1ο) Η εγγεγραμμένη γωνία ΖΕΔ είναι ίση με τη γωνία ΖΔΟ γιατί σχηματίζεται από τη χορδή ΖΔ και την εφαπτομένη ΟΔ του εγγεγραμμένου στο

τρίγωνο ΑΒΓ κύκλου Είναι δηλαδή

( )2φΖΕΔ = ΖΔΟ =

Επίσης από το τρίγωνο ΔΕΘ προκύπτει πως η εξωτερική γωνία ΖΘΔ είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου αυτού

Είναι δηλαδή

( )3φ ρΟΘΔ =ΘΕΔ +ΘΔΕrArr ΟΘΔ = + Όμως ακόμα είναι

Σχήμα 1


( )

4διχ

φ ρΔΘ=

ΟΔΘ =ΟΔΖ+ ΖΔΘ = + Από τις (3) και (4) προκύπτει

ΟΘΔ = ΟΔΘ Δηλαδή το τρίγωνο ΟΔΘ ισοσκελές 2ο) Στο τρίγωνο ΟΔΕ η εξωτερική γωνία ΓΔΕ είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι γωνιών Δηλαδή

x θ φΓΔΕ = ΔΕΟ+ΔΟΕrArr = minus και συνεπώς

0 0180 1802 2 2

x⎛ ⎞⎛ ⎞minus Γ minusΒ ΒminusΓ

= minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

δηλαδή η ζητούμενη σχέση (1)

334 Δίνεται ένα εγγράψιμο κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ Φέρουμε τη διαγώνιο ΑΓ και τους εγγεγραμμένους κύκλους στα τρίγωνα ΑΒΓ ΑΓΔ με ακτίνες ρ1ρ2 αντίστοιχα Αν φέρουμε την άλλη διαγώνιο ΒΔ και τους εγγεγραμμένους κύκλους στα τρίγωνα ΑΒΔ ΒΓΔ με ακτίνες ρ3ρ4 αντίστοιχα τότε να δείξετε ( )1 2 3 4 1ρ ρ ρ ρ+ = +

(Theacuteoregraveme ldquoJaponaisrdquo) Λύση Στο σχήμα 1 έχει σχεδιαστεί δύο φορές το εγγράψιμο τετράπλευρο καθώς και οι εγγεγραμμένοι κύκλοι που αναφέρονται στο πρόβλημα Έστω ακόμα R η ακτίνα

του περιγεγραμμένου κύκλου και x yα β γ δΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ = ΑΓ = ΒΔ =


Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει

( ) ( )

( )

44

2 2 22 2

RR

RR

αβγαβγ

αβγ αβγτρ ρτ

ΑΒΓ ΑΒΓ= Ε hArr Ε = hArr

hArr = hArr =

Αν ο τύπος (2) εφαρμοστεί στα τέσσερα τρίγωνα του σχήματος (1) επειδή αυτά έχουν κοινό περιγεγραμμένο κύκλο θα είναι

1 2

4 3

2 2

2 2

x xR Rx x

y yR Ry y

αβ γδρ ρα β γ δβγ δαρ ρ

β γ δ α

= =+ + + +

= =+ + + +

Άρα

( )

( )

1 2

3 4

2

2

x x Rx x

y y Ry y

αβ γδ ρ ρα β γ δβγ δα ρ ρ

β γ δ α

+ = ++ + + +

+ = ++ + + +

Επομένως για να ισχύει η (1) αρκεί

x x y yx x y y

αβ γδ βγ δαα β γ δ β γ δ α

+ = ++ + + + + + + +

Η τελευταία δείχνεται εύκολα μετά από πράξεις και αφού ληφθούν υπόψη τα δύο θεωρήματα του Πτολεμαίου Δηλαδή το 1ο Θεώρημα

( ) ( )x yαβ γδ αδ βγ+ = + και το 2ο Θεώρημα

xyαγ βδ+ =


380 Να βρεθεί η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [ )0+infin όταν

( ) ( ) ( )0

1x

x f t dt x f x+ = +int

(Μ Καραμαύρος Ολοκληρωτιός Λογισμός Σελ 92)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 6 Απριλίου 2011 14






Το δεύτερο παράδοξο

Το δεύτερο παράδοξο του Ελεάτη φιλοσόφου Ζήνωνα είναι το γνωστό στην ιστορία ως laquoπαράδοξο του Αχιλλέα και της χελώναςraquo Ο πολύς κόσμος έτσι το αναφέρει Το ομηρικό έπος της Ιλιάδας είναι αφιερωμένο στο laquoθυμόraquo( μῆνις ) του Αχιλλέα που είναι ένας από τους πρώτους ήρωες του Τρωικού Πολέμου ο πρώτος όλων

laquoΜῆνιν ἂειδε θεά Πηληϊάδεω Ἀχιλήοςraquo δηλαδή

laquoΨάλλε θεά τον τρομερό θυμόν του Αχιλλέωςraquo ( πρώτος στίχος της Ιλιάδας)

Ο πρώτος αυτός στίχος της πρώτης ραψωδίας της Ιλιάδας δηλώνει και το στόχο του έργου αυτού Θέλει να τραγουδήσει την οργή του Αχιλλέα του πρώτου ήρωα του Τρωικού Πολέμου του γιού του Πηλέα και της Θέτιδας Ένα από τα πολλά χαρίσματα του κεντρικού αυτού ήρωα από τη Φθία είναι και η ταχύτητα με την οποία έτρεχε Χαρακτηριστικές είναι οι λέξεις που χρησιμοποιεί ο Όμηρος για να δηλώσει την ικανότητα αυτή

ὠκύς ὠκύπους οι οποίες στις νεοελληνικές μεταφράσεις δηλώνουν

γρήγορος ταχύπους γοργοπόδης φτεροπόδης κά Αυτή τη γρηγοράδα που έχουν τα πόδια του μυθικού ήρωα Αχιλλέα ο Ζήνωνας την αντιπαραβάλλει με τη βραδύτητα που χαρακτηρίζει την κίνηση της χελώνας Η χελώνα είναι το αιώνια σύμβολο της βραδύτητας Ο Αριστοτέλης στο έργο του laquoΤων περί των ζώων ιστοριώνraquo (Historia animalium) χρησιμοποιεί πολλές φορές τη βραδύτητα αυτή της χελώνας ως μέτρο σύγκρισης για την γρηγοράδα ή τη βραδύτητα άλλων ζώων Για παράδειγμα όταν περιγράφει τις ιδιότητες του χαμελαίοντα και θέλει να τονίσει τη βραδύτητα (νωθρότητα) του ζώου αυτού γράφει το εξής

No258

Ο Αχιλλέας πάνω στη χελώνα συλλογίζεται το παράδοξο


laquoἩ δέ κίνησις αὐτοῦ νωθής ἰσχυρῶς ἐστι καθάπερ ἡ τῶν χελωνῶνraquo (HA503b8-9)

Ο ομηρικός Αχιλλέας καθώς και η χελώνα έγιναν σύμβολα της ταχύτητας από τη μια και της βραδύτητας από την άλλη Μέσα στο πλαίσιο αυτό ο Ζήνωνας στήνει το δεύτερο παράδοξο


335 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

( )2ln 1x dxΙ = minusint

Λύση Κατrsquo αρχήν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που ολοκληρώνεται είναι

( ) ( ) 1 1Α = minusinfin minus cup +infin Επειδή η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης νοείται σε διάστημα θα διακρίνουμε

δύο περιπτώσεις 1η περίπτωση

Έστω ότι

( ) 1xisin minusinfin minus τότε

( ) ( )2 2ln 1 ln 1x dx x x dxΙ = minus = minus =int int

( ) ( )2

2

2

1ln 1

1

xx x x dx

x

primeminus

= minus minus =minus

int

( )2

2

ln 1x x x= minus minus 2x2

2

11

x dxx

minus =minus

int

( )2

22ln 1

1xx x dx

x= minus minus =

minusint

( )2

22

1 1ln 11

xx x dxxminus +

= minus minus =minusint

( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx

x x= minus minus +

+ minusint int


Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )2 1ln 1 1 11 1

x x dx dxx x

Ι = minus minus ++ minusint int

Για τον υπολογισμό του δευτέρου ολοκληρώματος της σχέσης (1) θα αναλύσουμε το κλάσμα σε άθροισμα απλούστερων κλασμάτων

Έστω ότι είναι

( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 1 1x x x xΑ Β

= ++ minus + minus

τότε για κάθε τιμή του x ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1x x x= Α minus +Β + hArr Α+Β + ΒminusΑ = Άρα

10 21 1

2

Α = minusΑ +Β = ⎫hArr⎬ΒminusΑ = ⎭ Β =

Επομένως

( ) ( )2

1 1 11 2 1 2 1x x x= minus

minus minus +

και το ολοκλήρωμα που ζητούμε γίνεται

( ) ( )1 1 1

1 1 2 1 2 1dx dxdx

x x x x= minus =

+ minus minus +int int int

1 1 1 1ln 1 ln 1 ln2 2 2 1

xx x c cxminus

= minus minus + + = ++

Έτσι το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται

( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx

x xΙ = minus minus + =

+ minusint int

( )21

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus

Ι = minus minus + ++

όπου 1c σταθερή ποσότητα 2η περίπτωση

Έστω ότι

( )1xisin +infin τότε με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε και καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα


( )22

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus


όπου 2c σταθερή ποσότητα Συμπέρασμα Το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται

( )2 1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus


όπου c σταθερή ποσότητα 336 Αν

1 2 iz I Ri

λλminus

= isin isin+

τότε να βρείτε το 2010z Λύση Είναι

( )( )

( )( )

( ) ( )2

2 2

1 2 2 1 22 21 1

i i ii i izi i

λ λ λλ λλ λ λ λminus minus minus minus +minus minus +

= sdot = =+ minus + +

Άρα

2z I λisin hArr = και επομένως

( ) ( ) ( )2010 4 502 2 220101 2 12

iz i z i i ii

sdot +minus= = = minus rArr = minus = minus = minus = minus

+


381 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ στην πλευρά ΑΒ ώστε να ισχύει

ΜΑΜΔ =ΜΒΜΓ (mathematicagr)

382 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να εξεταστεί αν υπάρχει σημείο Μ στην πλευρά ΑΒ ώστε να ισχύει

ΜΑΜΒ =ΜΓΜΔ (mathematicagr)










Ο Αχιλλέας και η χελώνα αποτελούν τα δύο laquoπρόσωπαraquo που ο φιλόσοφος Ζήνωνας χρησιμοποιεί για τη διατύπωση του δεύτερου ισχυρισμού του με τον οποίο υπερασπίζονταν την ακινησία του κόσμου Ο Αριστοτέλης στο έργο του laquoΦυσική ακρόασιςraquo μετά την αναφορά που έκανε για το πρώτο παράδοξο συνεχίζει τη γραφή του για το δεύτερο παράδοξο λέγοντας τα εξής laquoΔεύτερος είναι αυτός που καλείται laquoΑχιλλεύςraquo και έγκειται[ο ισχυρισμός] αυτός στο ότι το πιο βραδύ όταν τρέχει δεν μπορεί ποτέ να το προλάβει[να το φτάσει] το πιο ταχύ διότι[για να το κάνει] είναι αναγκαίο αυτό που καταδιώκει να έλθει πρώτο εκεί απrsquo όπου ξεκίνησε αυτό που φεύγει έτσι ώστε αναγκαστικά το πιο βραδύ συμβαίνει να προπορεύεται πάντοτε κατά τιraquo

(Φυσική ακρόασις Βιβλίο Ζ στίχ 15-18 μετάφραση ΗΠΝικολούδης) Συνεχίζοντας την αναφορά του στο παράδοξο του laquoΑχιλλέαraquo ο Αριστοτέλης και θέλοντας να πει πως η αντίληψη του παραδόξου αυτού είναι η ίδια με εκείνη του πρώτου παραδόξου δηλαδή της διχοτομίας γράφει laquo(ἐν ἀμφοτέροις γάρ συμβαίνει μή αφικνεῖσθαι πρός το πέρας διαιρουμένου πως τοῦ μεγέθους άλλά πρόσκειται ἐν τούτῳ ὃτι οὐδέ τό τάχιστον τετραγῳδημένον ἐν τῷ διώκειν τό βραδύτατον)

(Φυσική Ακρόσις 239b 22-25) Δηλαδή σε σημερινή μετάφραση (Διότι και στις δύο περιπτώσεις συμβαίνει [ως αναγκαίο επακόλουθο] να μη φτάνει κανείς [ποτέ] στο τέρμα όταν το μέγεθος διαιρείται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο[συνεχώς] πλην προστίθεται σε τούτο[από τον δεύτερο αυτόν ισχυρισμό] ότι ούτε και το πιο ταχύ[απrsquo όλα τα όντα] το τραγουδισμένο[ο Αχιλλέας από τον Όμηρο] στην καταδίωξη του βραδύτερου απrsquo όλα[της χελώνας] [μπορεί να το προλάβει]) Απrsquo ότι φαίνεται στο σημερινό αναγνώστη στο κείμενο αυτό των laquoΦυσικώνraquo (Φυσική ακρόασις) ο Αριστοτέλης δεν χρησιμοποιεί πουθενά τη λέξη laquoχελώναraquo ενώ τη λέξη laquoΑχιλλεύςraquo τη χρησιμοποιεί μόνο μια φορά κι αυτή για να δηλώσει τον τίτλο του παραδόξου αυτού Τον Αχιλλέα ο Αριστοτέλης τον περιγράφει λέγοντας τη φράση

No259


τό τάχιστον τετραγῳδημένον ἐν τῷ διώκειν το πιο γρήγορο στην καταδίωξη που lsquoναι τραγουδισμένο

και εννοεί τον Όμηρο που τον τραγούδησε στην Ιλιάδα Από την άλλη μεριά με τη λέξη

το βραδύτατονraquo=το πιο αργό εννοεί το πιο αργό σε κίνηση ζώο που όπως αναφέρθηκε(ΣΜ 258) είναι η χελώνα Έτσι ως τα σήμερα το παράδοξο αυτό αποκαλείται ως laquoτο παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώναςraquo


337 Αν για το μιγαδικό z ισχύουν ( )2 1 1 1z + le

και

( )1 1 2z + le τότε να δείξετε

( )1 3z le (Γ Μαυρίδης Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου τ Α΄ ασκ139 σελ47)

Λύση Είναι

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 1 2 1

1 2 1

z z z z z z

z z z

= = minus = + minus minus minus =

= + minus + +

δηλαδή

( ) ( ) ( )222 1 1 4z z z= + minus +

Όμως από την τριγωνική ανισότητα και λόγω των δοσμένων σχέσεων (1) και (2) θα είναι ακόμα

( ) ( ) ( )2 22 21 1 1 1 1 1 2z z z z+ minus + le + + + le + =

δηλαδή

( ) ( ) ( )22 1 1 2 5z z+ minus + le

από τις (4) και (5) θα είναι

2 2 1z zle rArr le δηλαδή η ζητούμενη (3)


338 Αν για το μιγαδικό z ισχύει ( )1 1z =

τότε

( )2 31 1 1 2 2z z z+ + + + + ge (Γ Μαυρίδης Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου τ Α΄ ασκ-140 σελ47)

Λύση Από την (1) έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )3 22 2 2 1 1 1 3z z z z z z= = = + minus + minus +

και από την τριγωνική ανισότητα είναι

( ) ( ) ( )3 2 3 21 1 1 1 1 1z z z z z z z z+ minus + minus + le + + + + + και λόγω της (1) θα είναι ακόμα

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 21 1 1 1 1 1 4z z z z z z z+ minus + minus + le + + + + +Από τις (3) και (4) προκύπτει τελικά

3 22 1 1 1z z zle + + + + + που γράφεται

3 21 1 1 2z z z+ + + + + ge δηλαδή η ζητούμενη (1)

339 Αν η συνάρτηση f R Rrarr είναι γνησίως αύξουσα και για κάθε x Risin ισχύει η σχέση

( ) ( )12

x f xf x

+⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

τότε να δείξετε ότι

( ) ( )2f x x= για κάθε x Risin

(Γ Μαυρίδης Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου τ Α΄ ασκ62 σελ 123) Λύση Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο Υποθέτουμε πως ισχύει το αντίθετο του ζητούμενου Επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x Risin τέτοιο ώστε να μην ισχύει η ζητούμενη σχέση Δηλαδή γιrsquo αυτό το 0x θα ισχύει

( )0 0f x xne


έστω για παράδειγμα ότι θα ισχύει

( ) ( )0 0 3f x xgt Τότε θα είναι ακόμα

( )0 0 02x f x x+ gt δηλαδή

( ) ( )0 00 4

2x f x

x+

gt

τότε όμως επειδή συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R από την τελευταία αυτή σχέση (4) θα προκύψει

( ) ( )0 002

x f xf f x

+⎛ ⎞gt⎜ ⎟

⎝ ⎠

Η τελευταία σχέση λόγω της (1) οδηγεί στη

( )0 0x f xgt η οποία αντιφάσκει με την (3)

Επομένως η υπόθεσή μας είναι άτοπη Σε άτοπο θα καταλήξουμε αντί της (3) υποθέταμε πως

( )0 0f x xlt

Άρα για κάθε x Risin ισχύει ( )f x x=


383 Αν ένα σημείο Ε

ανήκει στο τόξο ΑΒ του περιγεγραμμένου κύκλου σrsquo ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ να δείξετε ότι οι αποστάσεις του από τις κορυφές του τετραγώνου ικανοποιούν τη σχέση

(AndIvanov-Marc Teleuca Probl de geometrie competitive)



( )( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ +ΕΒ








Το δεύτερο παράδοξο του Ζήνωνα με πιο απλά λόγια και όπως μπορεί σήμερα να διατυπωθεί μας λέει τα ακόλουθα Σε έναν αγώνα δρόμου ο γοργοπόδαρος Αχιλλέας βρίσκεται στη θέση Α και δίνει στην αργοκίνητη χελώνα ένα προβάδισμα επιτρέποντας την να

ξεκινήσει την laquoκούρσαraquo από ένα σημείο Χ που βρίσκεται πιο μπροστά από το σημείο της δικιάς του αφετηρίας Α(Σχ1) Με την έναρξη του αγώνα ο Αχιλλέας προσπαθώντας να φθάσει τη χελώνα θα πρέπει πρώτα να φθάσει στο σημείο Α1(Σχ2) όπου αρχικά ήταν η χελώνα ενώ

παράλληλα η χελώνα θα προπορευτεί στη νέα της θέση Χ1 Με την ίδια λογική ο Ζήνωνας υποστηρίζει ότι για να συνεχίσει ο Αχιλλέας την καταδίωξη της χελώνας και να τη φθάσει θα πρέπει να φθάσει στη νέα της θέση αλλά και πάλι η χελώνα θα προπορεύεται Έτσι ο Αχιλλέας στη απειρία των προσπαθειών αυτών θα έχει πάντα μπροστά του τη χελώνα χωρίς να καταφέρνει να τη φθάσει ποτέ Αν θέλαμε να δούμε το γεγονός αυτό σε ένα γράφημα διαστήματος - χρόνου δηλαδή σε ένα γράφημα πάνω σε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων όπου ο οριζόντιος άξονας θα μετρούσε το χρόνο και ο κατακόρυφος την απόσταση που θα διανύουν κάθε φορά η χελώνα και ο Αχιλλέας τότε θα βλέπαμε

No260


ένα γράφημα σαν κι αυτό του σχήματος 3 Στο γράφημα αυτό οι χρονικές μονάδες

1 0 2 1 3 2 t t t t t tminus minus minus θεωρήθηκαν ως αδιαίρετες και ίσες μεταξύ των για τούτο και οδηγούν στο γεγονός ότι το διάστημα της χελώνας είναι πάντα μεγαλύτερο του διαστήματος του Αχιλλέα


340 Έστω συνάρτηση [ ] ( ) f a b R a brarr lang

η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό και τέτοια ώστε

( ) ( )0 1f aprime lt και ( ) ( )0 2f bprime gt Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο ένα

( ) ( ) 0a b fξ ξprimeisin = (Θεώρημα Darboux)

Λύση Η συνάρτηση f ως παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα θα είναι και συνεχής

στο διάστημα αυτό Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα της μέγιστης και ελάχιστης τιμής η

συνάρτηση αυτή θα παίρνει στο διάστημα αυτό μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή Μ

Δηλαδή θα υπάρχουν

[ ]1 2 x x a bisin

τέτοια ώστε αν 1( )m f x= και ( )2M f x= να ισχύει

( )m f x Mle le

για κάθε [ ]x a bisin Επειδή

( ) ( ) ( ) limx a

f x f af a

x ararr +

minus=

minus

από την (1) προκύπτει

( ) ( )lim 0x a

f x f ax ararr +

minuslt

minus

Η τελευταία σχέση δηλώνει πως laquoπολύ κοντάraquo στο αριστερό άκρο του διαστήματος [ ]a b (από τα δεξιά) θα είναι

( ) ( ) 0f x f a

x aminus

ltminus


και επειδή 0x a x agt rArr minus gt

τελικά laquoπολύ κοντάraquo στο a θα είναι

( ) ( ) 0f x f aminus lt δηλαδή

( ) ( ) ( )3f x f alt Όμοια επειδή

( ) ( ) ( ) limx b

f x f bf b

x brarr minus

minus=

minus


( ) ( )lim 0x b

f x f bx brarr minus

minusgt

minus

και συνεπώς laquoπολύ κοντάraquo στο άκρο b του διαστήματος [ ]a b (από τα αριστερά) θα είναι

( ) ( ) 0f x f b

x bminus

gtminus

κι επειδή

0x b x blt rArr minus lt τελικά laquoπολύ κοντάraquo στο άκρο b θα ισχύει

( ) ( ) 0f x f bminus lt δηλαδή

( ) ( ) ( )4f x f blt Οι σχέσεις (3) και (4) δηλώνουν πως το 1x που δίνει το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης f δεν μπορεί να είναι ένα από τα δύο άκρα a b του διαστήματος [ ]a b (γιατί βρέθηκαν τιμές της συνάρτησης μικρότερες από τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα αυτά) αλλά ένα σημείο μεταξύ των άκρων αυτών


( ) ( )1 5x a bisin Αν θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση f τότε αυτή

bull Είναι ορισμένη στο διάστημα [ ]a b

bull Παρουσιάζει ολικό ακρότατο στο 1x που είναι εσωτερικό του [ ]a b bull Είναι παραγωγίσιμη στο 1x

κι επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει

( )1 0f xprime = Άρα το ζητούμενο ξ είναι το


( )1 x a bξ = isin Παρατηρήσεις

1η Με τον ίδιο τρόπο θα εργαστούμε αν ισχύουν αντίστροφα οι ανισότητες των παραγώγων στα a b Δηλαδή ισχύει η πρόταση Έστω συνάρτηση

[ ] ( ) f a b R a brarr lang η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό και τέτοια ώστε

( ) ( )0 1f aprime gt και ( ) ( )0 2f bprime lt Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο ένα

( ) ( ) 0a b fξ ξprimeisin =

2η Το θεώρημα του Darboux εξασφαλίζει τον μηδενισμό της πρώτης παραγώγου σrsquo ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος [ ]a b έχοντας ως μόνο δεδομένο το γεγονός ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και ότι στα άκρα του διαστήματος αυτού οι πρώτες παράγωγοι είναι ετερόσημες χωρίς η πρώτη παράγωγος να είναι συνεχής όπως γενικά ισχύει κατά την εφαρμογή του θεωρήματος του Bolzano

3η Μια άλλη έκφραση του θεωρήματος του Darboux είναι και η ακόλουθη laquoΑν η f είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο κλειστό διάστημα [ ]a b τότε για κάθε m ανάμεσα από το ( )f aprime και ( )f bprime υπάρχει c ανάμεσα από τα a και

b τέτοιο ώστε ( )f c mprime = raquo


384 Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ με εξισώσεις των πλευρών του

x y kx y kx y k

x y k

ΑΒ minus minus =ΒΓ minus =ΓΔ + =ΔΑ minus + =

όπου 0k gt Αν 1 1( )M a b σημείο της ΓΔ τότε να βρεθεί η εξίσωση της εγγεγραμμένης έλλειψης στο τετράγωνο που διέρχεται από το σημείο Μ









Το δεύτερο παράδοξο Στο προηγούμενο φύλλο αναφέρθηκε ότι κατά το παράδοξο του laquoΑχιλλέαraquo όπως το περιγράφει ο Αριστοτέλης στα Φυσικά του ή καλύτερα το παράδοξο του laquoΑχιλλέα και της Χελώναςraquo όπως το μετάφερε μέχρι σήμερα η παράδοση ο Ζήνωνας υποστηρίζει ότι ο Αχιλλέας αν και τρέχει με μεγαλύτερη ταχύτητα απrsquo αυτή της προπορευόμενης Χελώνας όχι μόνον δεν μπορεί ποτέ να την ξεπεράσει αλλά ούτε και να την φθάσει Το γράφημα του σχήματος 3 δείχνει τις δύο καμπύλες του Αχιλλέα χαμηλά και της Χελώνας υψηλότερα Κατά τη χρονική στιγμή 1t ο Αχιλλέας βρίσκεται στη

θέση 1Α ενώ η χελώνα ψηλότερα στη θέση 1Χ Το ίδιο συμβαίνει για κάθε χρονική στιγμή Έτσι η καμπύλη του Αχιλλέα θα είναι laquoπάντα χαμηλότεραraquo της καμπύλης της Χελώνας Αν όμως θελήσουμε να κάνουμε ένα σχήμα στο οποίο να εμφανίζονται τα

διαγράμματα διαστήματος- χρόνου όπου όμως τα διαστήματα του χρόνου δεν θα

No261

Σ


είναι μεταξύ των ίσα τότε θα έχουμε ένα διαφορετικό διάγραμμα όπως αυτό εμφανίζεται στο σχήμα 4 Στο σχήμα αυτό όπως παρατηρεί κανείς το διάγραμμα που δείχνει την καμπύλη που αντιπροσωπεύει την κίνηση του Αχιλλέα(αυτή που ξεκινάει από την αρχή Α) είναι ευθύγραμμη όπως κι αυτή της Χελώνας που ξεκινάει από το Χ και τέμνοται σrsquo ένα σημείο Σ που είναι το σημείο συνάντησης των δυο δρομέων


341 Στο παράπλευρο σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι τυχαίο και τα ισοσκελή τρίγωνα (ΑΕΒ) (ΒΖΓ) και (ΓΔΑ) έχουν τις ίσες των γωνίες ίσες με 300

Να δείξετε ότι το τρίγωνο (ΔΕΖ) είναι ισόπλευρο (International Mathematical Talent Search)

Λύση Από το τρίγωνο ΑΒΕ και από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε

( )( )2 2 2 2 συνΑΒ = ΑΕ +ΒΕ minus ΑΕ ΒΕ ΕrArr

( )2 2 2 2 02 120γ κ κ κ συν= + minus rArr

( )2 2 2 2 2 21 32 3 12 3

γγ κ κ κ γ κ κ⎛ ⎞= + minus minus rArr = rArr =⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμοια έχουμε

x

y ω


( ) ( )3 32 33 3

α βλ μ= =

Επίσης από το νόμο των συνημιτόνων για το τρίγωνο ΑΕΔ έχουμε

( )2 2 2 02 60x κ μ κμσυν= + minus Α + και λόγω των (1) και (2) θα είναι

( )2 2

2 03 32 603 3 3 3

x γ β β γ συν= + minus Α + rArr

( ) ( )2 2 2 03 2 60 4x β γ βγσυν= + minus Α + Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμενοι στα τρίγωνα ΒΕΖ και ΓΔΖ προκύπτει

( ) ( )2 2 2 03 2 60 5y aα γ γσυν= + minus Β +

( ) ( )2 2 2 03 2 60 6aω α β βσυν= + minus Γ + Ζητούμε

x y= άρα από τις (4) και (5) αρκεί

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 0 2 2 0

2 20 0

2 60 2 60

60 60 72

aβ γ βγσυν α β βσυν

α γ ασυν γσυνβ

+ minus Α + = + minus Γ + hArr

minushArr = Γ + minus Α +

το δεύτερο μέλος της (7) γίνεται

( ) ( )0 060 60ασυν γσυνΓ + minus Α + =

( ) ( )0 0 0 060 60 60 60α συν συν ημ ημ γ συν συν ημ ημ= Γ minus Γ minus Α minus Α =

1 3 1 32 2 2 2ασυν αημ γσυν γημ= Γ minus Γ minus Α + Α =

( )1 32 2ασυν γσυν αημ= Γ minus Α minus Γ γημminus Α( )

γιατί από το νόμο των ημιτόνων είναι

0 α βαημ γημ

ημ ημΓ minus Α = hArr =

Α Β

Άρα



( )12ασυν γσυν= Γ minus Α

( ) ( ) ( ) ( )0 0 160 60 82

ασυν γσυν ασυν γσυνΓ + minus Α + = Γ minus Α

Άρα η (7) ισοδυναμεί με

( )2 2 12 2

α γ ασυν γσυνβminus

= Γ minus Α

που στη συνέχεια γίνεται ( )2 2 9α γ βασυν βγσυνminus = Γ minus Α

Από το νόμο των συμημιτόνων όμως είναι

( )2 2 2 2 2 2

102 2

β α γ β γ αβασυν βγσυν+ minus + minusΓ = Γ =

άρα η ζητούμενη (9) σύμφωνα με την (10) γίνεται 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2β α γ β γ αα γ + minus + minus

minus = minus hArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 α γ β α γ β γ αminus = + minus minus + minus hArr

( ) ( )2 2 2 22 2α γ α γminus = minus η οποία αληθεύει Άρα

x y= Όμοια δείχνεται ότι και

y ω= Άρα

x y ω= = Δηλαδή το τρίγωνο ΔΕΖ ισόπλευρο


385 Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ ]1 2 και

[ ]1 2 1 2x x isin Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [ ]0 1 2x isin τέτοιο ώστε

( ) ( ) ( )1 2 02007 4 2011f x f x f x+ = ( Γ Μαυρίδης Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Σελ160)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 4 Μαΐου 2011 14







Μια άλλη διατύπωση με την οποία εμφανίζεται σε πολλά σημερινά βιβλία και η οποία περιγράφει με πιο συγκεκριμένο τρόπο το δεύτερο παράδοξο του Ζήνωνα είναι και η ακόλουθη laquoΟ Αχιλλέας αγωνίζεται στο τρέξιμο με τη χελώνα η οποία βρίσκεται εκατό μέτρα μπροστά του Ο Αχιλλέας τρέχει με ταχύτητα δεκαπλάσια από την ταχύτητα της χελώνας Θα φθάσει κάποτε ο Αχιλλέας τη χελώναraquo Η απάντηση από τον Ζήνωνα είναι αρνητική Και ο συλλογισμός είναι ο ακόλουθος

Όταν ο Αχιλλέας τρέξει τα πρώτα εκατό μέτρα η χελώνα θα τρέξει δέκα μέτρα Έτσι τη στιγμή που ο Αχιλλέας θα βρίσκεται στη θέση Α1 η χελώνα θα βρίσκεται στη θέση Χ1 δηλαδή δέκα μέτρα μπροστά από τον Αχιλλέα Όταν ο Αχιλλέας θα τρέξει τα επόμενα δέκα μέτρα τότε η χελώνα θα τρέξει ένα μέτρο και θα βρίσκεται πάλι μπροστά από τον Αχιλλέα Έτσι τη στιγμή που ο Αχιλλέας βρίσκεται στη θέση Χ1 τότε η χελώνα θα βρίσκεται ένα μέτρο μπροστά απrsquo αυτόν Όταν ο Αχιλλέας τρέξει το ένα μέτρο η χελώνα θα τρέξει τα δέκα εκατοστά του μέτρου και θα βρίσκεται πάλι μπροστά από τον Αχιλλέα Έτσι πάλι τη στιγμή εκείνη η ο Αχιλλέας θα βρίσκεται πίσω από τη χελώνα Άρα λοιπόν θα υπάρξουν άπειρες στιγμές κατά τις οποίες ο Αχιλλέας θα βρίσκεται διαδοχικά στις θέσεις που κατείχε λίγο πριν η χελώνα ενώ η χελώνα θα προηγείται Ο συλλογισμός αυτός δείχνει ότι ο Αχιλλέας θα πλησιάζει τη χελώνα όλο και περισσότερο χωρίς όμως να τη φθάνει ποτέ Ποιο είναι λοιπόν το σφάλμα στο συλλογισμό αυτό Τα γραφήματα που παρατέθηκαν προηγούμενα (ΣΜ 260 261) δείχνουν πως το θέμα εστιάζεται στην αντίληψη της διαιρετότητας του χρόνου σε απείρως μικρά διαστήματα και της άμεσης συνέπειας της laquoσυνέχειαςraquo των ποσοτήτων του διαστήματος και του χρόνου Η laquoσυνέχειαraquo αυτή όπως αναφέρθηκε και στο πρώτο παράδοξο ξεκινά από τον Αριστοτέλη και ουσιαστικά δίνει απάντηση στους laquoπαραλογισμούςraquo του Ζήνωνα Ας εξετάσουμε τώρα πιο προσεκτικά το συμπέρασμα του Ζήνωνα που διατυπώνεται με την πρόταση

No262


laquoΘα υπάρξουν άπειρες στιγμές κατά τις οποίες ο Αχιλλέας θα βρίσκεται διαδοχικά στις θέσεις που κατείχε λίγο πριν η χελώνα ενώ η χελώνα θα

προηγείταιraquo Το συμπέρασμα αυτό είναι λογικό και δεν μπορεί κανείς να το αμφισβητήσει Πράγματι θα υπάρξουν laquoάπειρεςraquo τέτοιες στιγμές κατά τις οποίες ο Αχιλλέας θα βρίσκεται πίσω από τη χελώνα Κανείς όμως δεν μπορεί να ισχυριστεί ότι αν αθροιστούν οι laquoάπειρεςraquo αυτές χρονικές στιγμές θα μας δώσουν ως αποτέλεσμα και laquoάπειροraquo χρόνο Είναι απλό σήμερα να σκεφθεί κανείς ότι μέσα σε ένα λεπτό υπάρχουν laquoάπειρεςraquo χρονικές στιγμές


342 Να υπολογιστεί η παράσταση 3 320 14 2 20 14 2A = + + minus

Λύση Θεωρούμε την ταυτότητα

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 33 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 3 2 3 2 2

3 2 3 2 2 2

6 3 2 2

a b a a b ab b

a a b ab b

a ab a b b

+ = + + sdot + =

= + + sdot + =

= + + + rArr

( ) ( ) ( )33 2 2 32 6 3 2 2 a b a ab a b b a b Z+ = + + + isin

Αναζητούμε τους ακέραιους αυτούς αριθμούς ώστε

( )( )

2 23 2

2 3 2 2

6 206 203 2 14 3 2 14

a a ba aba b b b a b

⎫+ =⎫+ = ⎪ ⎪hArr⎬ ⎬+ = + =⎪⎭ ⎪⎭

Οι τιμές των ακεραίων a b Zisin θα αναζητηθούν αντίστοιχα από τους διαιρέτες του 20 και του 14 Δηλαδή θα είναι

1 2 4 5 10aisin plusmn plusmn plusmn plusmn plusmn και

1 2 7bisin plusmn plusmn plusmn Από το έλεγχο όλων των περιπτώσεων εύκολα καταλήγει κανείς πως οι

τιμές των αγνώστων αυτών είναι οι εξής μοναδικές

2 1a b= = Άρα

( )32 2 20 14 2+ = +


Όμοια επίσης είναι

( )32 2 20 14 2+ = +

Επομένως η τιμή της παράστασης Α είναι

( ) ( )( ) ( )

3 33 3 3 320 14 2 20 14 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4

A = + + minus = + + minus =

= + + minus =

343 Να λυθεί η εξίσωση

( ) 99 12 1 3 2 4 3 16 15x x x x

+ + + + =+ + + +

(4ο Θερινό Μαθηματικό Σχολείο Πιερίας Τσαπακίδης Γιώργος Αγρίνιο)

Λύση Η εξίσωση (1) κάνοντας το μετασχηματισμό των παρονομαστών από άρρητη μορφή σε ρητή ισοδυναμεί

( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 16 15 99

2 1 3 2 4 3 16 15

x x x xminus minus minus minus+ + + + =

minus minus minus minusκι ακόμα

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 16 15 99 2x ⎡ ⎤minus + minus + minus + + minus =⎣ ⎦Η παράσταση

( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 16 15Α = minus + minus + minus + + minus γίνεται

2Α = ( )1 3minus + 2minus( ) 4+ 3minus( ) + 16 15+ minus( )και τελικά

16 1 4 1 3Α = minus = minus = Άρα η εξίσωση (2) γίνεται

3 99 33x x= hArr =

344 Δίνονται δύο κύκλοι (Οα) και (Κβ) με α βrang οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Μ Οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες ΑΒ και Α΄Β΄ αυτών τέμνονται στο σημείο Λ και σχηματίζουν τη γωνία

( )΄φ γων= ΑΛΑ Να δειχθεί ότι


( )( )2

4 α β αβημφ

α β

minus=

+

Λύση Αν θέσουμε xΑΒ = και yΚΛ = τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο (ΟΚΝ)

προκύπτει

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 1x xα β α β αβΟΝ +ΝΚ = ΟΚ rArr minus + = + rArr =Όμοια από την ομοιότητα των τριγώνων (ΟΑΛ) και (ΚΒΛ) προκύπτει

( )2y α ββ

α β+

= sdotminus

Άρα

( )2 2ημφ ημ θ ημθ συνθ= = sdot και σύμφωνα με τους τύπους (2) και (3) θα είναι τελικά

( )( )2

42 2 x

yα ββ

ημφ αβα β α β

minusΚΒ ΚΝ= sdot = sdot =

ΚΛ ΟΚ + +


386 Να βρείτε το διάστημα ( )0Δ sube +infin για το οποίο ισχύει

( )1 1 xxx x x+ gt + forall isinΔ

και στη συνέχεια να δείξετε ότι11

e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠

(Θανάσης Π Ξένος Γενικά Θέματα Μαθηματικών Σελ 144)










Το δεύτερο παράδοξο του Ζήνωνα μπορεί να το δει κανείς με τα σημερινά μαθηματικά και τους νόμους της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης των σωμάτων του κεφαλαίου laquoΚινηματικήraquo της Φυσικής Έτσι ένας μαθητής του Γυμνασίου μπορεί να επιλύσει το πρόβλημα αυτό και να υπολογίσει το χρόνο που θα χρειαστεί ο Αχιλλέας για να φθάσει την Χελώνα

Έστω ότι οι ταχύτητες του Αχιλλέα και της Χελώνας είναι αντίστοιχα οι υ υΑ Χ οι οποίες συνδέονται με τη σχέση

( )10 1υ υΑ Χ= δηλαδή η ταχύτητα του Αχιλλέα είναι δεκαπλάσια της ταχύτητας της Χελώνας Αν υποθέσουμε ότι ο Αχιλλέας φθάσει τη Χελώνα στο σημείο Σ μετά την πάροδο χρόνου t τότε τα διαστήματα που θα διανύσουν οι δύο αυτοί δρομείς θα είναι

( )( )

1

10 2S t tυ υΑ Α Χ= sdot = και

( )3S tυΧ Χ= Επειδή τα διαστήματα αυτά διαφέρουν κατά την ποσότητα S=100 μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

S S SΑ Χminus = η οποία λόγω των (2) και (3) γίνεται

10 100t tυ υΧ Χminus = κι ακόμα

No263

SA

SX

υA υX

S=100m


9 100tυΧ = Δηλαδή ο Αχιλλέας θα φθάσει τη Χελώνα σε χρόνο ίσο με

1009

t υΧ=


345 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ Θεωρούμε στις ΑΒ και ΓΔ τα σημεία Μ Ν τέτοια ώστε

( )1ΑΜ ΑΔ=

ΜΒ ΒΓ και ( )2ΔΝ ΑΔ

=ΓΝ ΒΓ

Αν Σ και Τ είναι τα συζυγή αρμονικά των Μ και Ν ως προς τα Α Β και Δ Γ αντίστοιχα τότε να δείξετε ότι

ΜΝ perp ΣΤ (Βαρβεράκης Ανδρέας Μαθηματικός Ηράκλειο)

Λύση 1η(Αλγεβρική) Έστω ότι το σημείο Α ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων και η ΑΒ κείται στον άξονα των Χ(Σχ 1)

Τότε σύμφωνα με το γνωστό τύπο που δίνει τις συντεταγμένες του σημείου που χωρίζει γνωστό τμήμα σε γνωστό μερικό λόγο έχουμε

Οι συντεταγμένες των Μ και Σ είναι

( ) ( ) 3 41 10 0

x x

y y

λβ λβλ λΜ Σ

Μ Σ

minus⎧ ⎧= =⎪ ⎪Μ Σ+ minus⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

όπου

( )5λ ΑΔ=ΒΓ

Οι συντεταγμένες των Ν και Τ θα είναι οι ακόλουθες

Α equiv

Σχήμα 1


( )1 2

1 2

1 6

1

x xx

y yy

λλλλ

Ν

Ν

+⎧ =⎪⎪ +Ν ⎨ +⎪ =⎪ +⎩

( )

1 2

1 2

1 7

1

x xx

y yy

λλλλ

Τ

Τ

minus⎧ =⎪⎪ minusΤ ⎨ minus⎪ =⎪ minus⎩

Σύμφωνα με τις σχέσεις αυτές οι συντελεστές διεύθυνσης των τμημάτων ΜΝ και ΣΤ είναι αντίστοιχα

( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Ν ΜΜΝ

Ν Μ

+minusminus ++= = =

+minus + minusminus+ +

δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

8y yx x

λλ

λ βΜΝ

+=

+ minus

και

( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Τ ΣΣΤ

Τ Σ

minus minusminus minusminus= = =minus minusminus minus minusminusminus minus

δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

9y yx x

λλλ βΣΤ

minus=

minus minus

Για να είναι η ΜΝ κάθετη στην ΣΤ θα πρέπει

1λ λΜΝ ΣΤsdot = minus και σύμφωνα με τις (8) και (9) θα πρέπει

( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

1y y y yx x x x

λ λλ β λ β+ minus

sdot = minus hArr+ minus minus minus


( )1 2

1

2 2 2

22 22

1y y

x x

λ

λ β

minus= minus hArr

minus minus

( )1 2 1

22 2 2 2 22y y x xλ λ βminus = minus + minus hArr

( )1 1 2

22 2 2 2 22y x y xλ λ β+ = + minus hArr

( )1 1 2

22 2 2 22x y x yλ β⎡ ⎤+ = minus + hArr⎣ ⎦

( )( )1 1

2

2 22

2 22

10x y

x yλ

β

+=

minus +

Όμως

1

2 21x yΑΔ = + και ( )2 2

2 2x yβΒΓ = minus + άρα η (5) γίνεται

( )( )

2 222 2 1 1

22 22 2

11x yx y

λ λ λβ+ΑΔ ΑΔ

= hArr = hArr =ΒΓ ΒΓ minus +

επομένως η (10) ισοδυναμεί με την

( ) ( )

2 2 2 21 1 1 1

2 22 22 2 2 2

x y x yx y x yβ β

+ +=

minus + minus +

η οποία ισχύει Άρα ΜΝ κάθετη στην ΣΤ


387 Αν 0a b c gt τότε να αποδειχθεί ότι

12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +

(Μπάμπης Στεργίου- Νίκος Σκομπρής Κλασσικές και Νέες ανισότητες Σελ186)

388 Αν 0x y z gt και 1xyz = να δείξετε ότι 2 2 2x y z x y z+ + ge + +











Ολοκληρώνοντας την αναφορά μας στο δεύτερο παράδοξο του Ζήνωνα μπορούμε να πούμε πως ο laquoπαραλογισμόςraquo στον οποίο οδηγείται ο ανθρώπινος νους έχει βάση στη λαθεμένη laquoδιαισθητικήraquo αντίληψη σύμφωνα με την οποία όταν προσθέτουμε laquoάπειρεςraquo ποσότητες χρόνου ή laquoάπειρεςraquo ποσότητες διαστήματος έχουμε αντίστοιχα ως αποτέλεσμα laquoάπειροraquo χρόνο ή laquoάπειροraquo διάστημα Μια τέτοια αντίληψη είδαμε πως κυριάρχησε και στο πρώτο παράδοξο δηλαδή στο παράδοξο της laquoδιχοτομίαςraquo(ΣΜ 255 256 257) Στην περίπτωση του πρώτου παράδοξου συναντήσαμε το άθροισμα

( )2 3

1 1 1 1 12 2 2 2

S ν= + + + + +

των διαστημάτων

2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν

τα οποία πρέπει να διανύσει το βέλος για να διανύσει μια συγκεκριμένη απόσταση ΑΒ ξεκινώντας από την αρχή Α ώστε να φθάσει στο πέρας Β διερχόμενο κάθε φορά από το μέσο του επόμενου διαστήματος (ΣΜ 250) Με την ίδια λογική αν σκεφτούμε και το παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας θα έχουμε αντίστοιχα το άθροισμα

( )2

1 1 1 100 10 1 210 10 10

S ν= + + + + + + +


2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν

τα οποία πρέπει να διανύσει ο Αχιλλέας για να φθάσει την προπορευόμενη Χελώνα Τα αθροίσματα (1) και (2) είναι αθροίσματα laquoπερίεργαraquo είναι δηλαδή αθροίσματα όχι με πεπερασμένο αλλά με laquoάπειροraquo πλήθος όρων Αυτή η laquoαπειρίαraquo των όρων οδηγεί την ανθρώπινη laquoδιαίσθησηraquo[1] η οποία είναι μια από τις βασικές λειτουργίες της γνωστικής αντίληψης του ανθρώπου σε λαθεμένα συμπεράσματα Εύκολα κανείς μπορεί να οδηγηθεί σε laquoπαραλογισμόraquo και να ισχυριστεί ότι τα αθροίσματα S και Srsquo είναι ίσα με το laquoάπειροraquo Αυτό θα σήμαινε ότι το βέλος του

No264


πρώτου παραδόξου καθώς κι ο Αχιλλέας του δεύτερου πρέπει για να επιτύχουν το στόχο τους να διανύσουν laquoάπειρηraquo απόσταση Όπως όμως είδαμε(ΣΜ 257) το πρώτο άθροισμα είναι 1S = ενώ για το δεύτερο σύμφωνα με τη γνωστή θεωρία της γεωμετρικής προόδου ισχύει

100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus

[1] intuition =διαίσθηση Από το λατινικό intuitio που σημαίνει τη διαδικασία εκείνη που κανείς βλέπει κάποια εικόνα μέσα από έναν καθρέφτη



( )1ΑΜ ΑΔ=


=ΓΝ ΒΓ



Λύση 2η (Διανυσματική)

θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Ο ως σημείο αναφοράς των διανυσμάτων θέσης

των διανυσμάτων Σύμφωνα με το τύπο που δίνει το διάνυσμα θέσης του σημείου που χωρίζει

ένα τμήμα σε γνωστό μερικό λόγο έχουμε για τα συζυγή αρμονικά Μ και Σ τους ακόλουθους τύπους

1λλ

ΟΑ + ΟΒΟΜ =

+

1λλ

ΟΑminus ΟΒΟΣ =

minus


Όμοια για τα σημεία Ν και Τ ισχύουν

1λλ

ΟΔ + ΟΓΟΝ =

+

1λλ

ΟΔ minus ΟΓΟΤ =

minus

Όπου ο λόγος λ σύμφωνα με τις (1) και (2) είναι

( )3λ ΑΔ=ΒΓ

Επομένως το διάνυσμα ΜΝ

είναι

1 1λ λλ λ

ΟΔ + ΟΓ ΟΑ + ΟΒΜΝ = ΟΝ minusΟΜ = minus =

+ +

( ) ( )1

λ

λ

ΟΔ minusΟΑ + ΟΓ minusΟΒ= =

+

( )1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓ=

+

δηλαδή

( )( )4

1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓΜΝ =

+

Όμοια το διάνυσμα ΣΤ

είναι

1 1λ λλ λ

ΟΔ minus ΟΓ ΟΑminus ΟΒΣΤ = ΟΤminusΟΣ = minus =

+ +

( ) ( )1

λ

λ

ΟΔ minusΟΑ minus ΟΓ minusΟΒ= =

minus

( )1

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus

κι επομένως

( )( )5

1

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓΣΤ =

minus


Για να είναι κάθετα τα διανύσματα ΜΝ

και ΣΤ

πρέπει το εσωτερικό τους γινόμενο να είναι ίσο με το μηδέν

Πράγματι

( ) ( )1 1

λ λ

λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ΑΔ minus ΒΓ ΑΔ + ΒΓ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ΜΝ sdotΣΤ = sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 22

21

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus

Δηλαδή

( ) ( )( )

2 22

2 61

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓΜΝ sdotΣΤ =

minus

Όμως από την (3) είναι

( )( )

( ) ( )2

2 22 22 0λ λ λ

ΑΔΑΔ= hArr = hArr ΑΔ minus ΒΓ =ΒΓ ΒΓ

Άρα η (6) γίνεται

0ΜΝ sdotΣΤ =


ΜΝ perp ΣΤ


389 Αν

21ν ημασυναεφβ

ν ημ α=

minus

τότε να δείξετε ότι ( ) ( )1εφ α β ν εφαminus = minus

390 Να γίνει απαλοιφή του θ από τις εξισώσεις 2 2

2x yx yημθ συνθ αημ θσυνθ ημθ ασυν θ

+ =minus =









Το τρίτο παράδοξο (το βέλος)

Το τρίτο παράδοξο του Ζήνωνα έτσι όπως το διατυπώνει ο Αριστοτέλης στο μεγάλο έργο Φυσική Ακρόασις (Φυσικά) και συγκεκριμένα στο βιβλίο Ζ΄ μιλά για την αδυναμία της κίνησης και στην ιστορία της φιλοσοφίας έμεινε ως laquoτο παράδοξο του βέλουςraquo Στο βιβλίο αυτό ο Αριστοτέλης συνεχίζοντας την αναφορά του στα παράδοξα του Ζήνωνα με σύντομο και ελλειμματικό λόγο γράφει laquoοὖτοι μέν οὖν οἱ δύο λόγοι τρίτος δrsquo ὁ νῦν ῥηθείς ὅτι ἡ ὀιστός φερομένη ἔστηκεν συμβαίνει δέ παρά τό λαμβάνειν τόν χρόνον συγκινεῖσθαι ἐκ τῶν νῦν μή δεδομένου γάρ τούτου οὐκ ἔσται ο συλλογισμόςraquo

(Αριστοτέλης Φυσική ακρόασις βιβλίο Ζ 239b 29-33) Δηλαδή laquoΑυτοί είναι λοιπόν οι δύο[πρώτοι] ισχυρισμοί τρίτος τώρα είναι αυτός που λίγο πριν μόλις αναφέρθηκε [ο ισχυρισμός δηλαδή] ότι το βέλος που εκτοξεύεται στάθηκε[έμεινε ακίνητο] Αυτό τώρα συμβαίνει[ως αναγκαίο επακόλουθο] από το γεγονός ότι λαμβάνεται ως δεδομένο ότι ο χρόνος σύγκειται από τα[προαναφερόμενα] τώρα διότι αν δεν θεωρηθεί ως δεδομένο τούτο δεν θα είναι δυνατός ο συλλογισμός[που οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το βέλος που εκτοξεύεται μένει ακίνητο]raquo (ΜεταφρΗ Π Νικολούδης Εκδόσεις Κάκτου) Όσο κι αν κανείς προσπαθήσει να ερμηνεύσει και να κατανοήσει τη σύντομη αυτή παράγραφο του Αριστοτέλη θα βρεθεί σε δύσκολη θέση Στη μακραίωνη ιστορία της Φιλοσοφίας της Φυσικής και των Μαθηματικών πολλοί ήταν αυτοί που ασχολήθηκαν με το τρίτο αυτό δυσνόητο παράδοξο του Ζήνωνα Κατrsquo αρχήν στην παράγραφο αυτή ο Αριστοτέλης διατυπώνει στη σκέψη του Ζήνωνα λέγοντας εν τέλει το εξής

laquoτο βέλος που εκτοξεύεται από το τόξο του πολεμιστή στάθηκε σε μια θέση κι έμεινε ακίνητοraquo

Μέσα στην πρόταση αυτή εμπεριέχεται ουσιαστικά το τρίτο παράδοξο του Ελεάτη φιλοσόφου Υποστηρίζει δηλαδή ο Ζήνωνας πως ένα βέλος που εκτοξεύτηκε σταματά σε μια θέση και παραμένει εκεί συνεχώς Κι είναι το παράδοξο αυτό ένας ακόμα laquoπαραλογισμόςraquo του Ζήνωνα

No265


Μια ακόμα δυσνόητη απόδοση του χωρίου αυτού στα σχόλια της φιλολογικής ομάδας του ΚΑΚΤΟΥ είναι και η ακόλουθη laquoΤο βέλος που κινείται μένει ακίνητο διότι αν καθετί ηρεμεί όταν καταλαμβάνει χώρο ίσο με τον εαυτό του και κάθε τι που κινείται βρίσκεται πάντα σε μια χρονική στιγμή σε ένα νῦν τότε το βέλος που κινείται είναι ακίνητοraquo


346 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β γrang Στις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία Γ΄ και Β΄ τέτοια ώστε

( ) ( ) ( ) 1΄ ΄ Rλ λΒΓ = ΓΒ = isin Αν Ο είναι το σημείο τομής των ΒΓ΄ και ΓΒ΄ τότε να βρεθεί η τιμή του αριθμού λ ώστε το τρίγωνο ( )ΟΒΓ να είναι ισοσκελές με κορυφή το σημείο Ο

(Αποστολόπουλος Γιώργος Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσσολογγίου) Λύση Από το θεώρημα του Stewart (Σχ1) στο τρίγωνο ΑΒΓ εύκολα υπολογίζουμε τα τμήματα ΒΒ΄ και ΓΓ΄ Έτσι αν οι πλευρές του τριγώνου αυτού είναι α β γ τότε

θα έχουμε

( ) ( ) ( )2 21 2΄ λγ β λ α βλ β λβ⎡ ⎤ΒΒ = + minus minus minus⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 21 3΄ λβ γ λ α γλ γ λγ⎡ ⎤ΓΓ = + minus minus minus⎣ ⎦


Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο (ΑΒΒ΄ ) και με διατέμνουσα την ΓΟΓ΄ προκύπτει

1΄ ΄΄ ΄

βλ

ΑΓ Β Ο ΒΓsdot sdot = rArr

ΓΒ ΟΒ Γ Α΄ λΟΒ

sdot sdotΟΒ

1γ λ

=minus

δηλαδή

΄β

γ λΟΒ

=ΟΒ minus

Ακόμα είναι

΄ ΄β β

γ λ β γ λΟΒ ΟΒ

= hArr =ΟΒ minus ΟΒ+ΟΒ + minus

Άρα

( ) ( )4΄ββ γ λ

ΟΒ = ΒΒ+ minus

Τέλος από τις σχέσεις (2) και (4) προκύπτει

( ) ( ) ( )2 21 5β λγ β λ α βλ β λβ γ λ β

⎡ ⎤ΟΒ = sdot + minus minus minus⎣ ⎦+ minus Όμοια από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο (ΑΓΓ΄) και με διατέμνουσα την ΒΟΒ΄ προκύπτει

1΄ ΄΄ ΄

β λλ

ΑΒ ΓΟ Γ Β minussdot sdot = rArr

Β Γ ΟΓ ΒΑ ΄λΓΟ

sdot sdotΟΓ

1γ=

δηλαδή

΄γ

β λΓΟ

=ΟΓ minus

όπως και προηγούμενα θα είναι ακόμα

΄ ΄γ γ

β λ β γ λΓΟ ΓΟ

= hArr =ΟΓ minus ΓΟ +ΟΓ + minus

άρα

( ) ( )6΄γβ γ λ

ΟΓ = ΓΓ+ minus


( ) ( ) ( )2 21 7γ λβ γ λ α γλ γ λβ γ λ γ

⎡ ⎤ΟΓ = sdot + minus minus minus⎣ ⎦+ minus Ζητούμε την τιμή του λ ώστε το τρίγωνο (ΟΒΓ) να είναι ισοσκελές Δηλαδή


( )8ΟΒ =ΟΓ Η σχέση (8) σύμφωνα με τις (5) και (7) ισοδυναμεί με

ββ γ λ

sdot+ minus

( ) ( )2 21 λγ β λ α βλ β λβ

γβ γ λ

⎡ ⎤+ minus minus minus =⎣ ⎦

=+ minus

( ) ( )2 21 λβ γ λ α γλ γ λγ⎡ ⎤sdot + minus minus minus⎣ ⎦

η τελευταία μετά από πράξεις γίνεται

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 0 9β γ λ α β γ βγ λ α β γ+ minus + + + + + = Η εξίσωση (9) έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2 0α β γ α β γΔ = + + minus minus gt και συνεπώς δύο λύσεις πραγματικές και άνισες

( )2

1 10αλβ γ

=+

( )2 11λ β γ= + Η πρώτη λύση 1( )λ για να είναι δεκτή επειδή γ βlt θα πρέπει

( )2

2 21 12αλ γ γ α βγ γ

β γlt hArr lt hArr lt +

+

Η δεύτερη λύση 2( )λ επειδή είναι μεγαλύτερη των β γ απορρίπτεται Συμπέρασμα Το πρόβλημα έχει λύση μόνον όταν ισχύει η σχέση (12) και η τιμή του λ τότε δίνεται από τον τύπο (10)


391 Να δείξετε ότι όποιο κι αν είναι το σύστημα αρίθμησης κανένας από τους αριθμούς

10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος

(ΘΝΚαζαντζής Αριθμοθεωρία σελ 70)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 1 Ιουνίου 2011 14






Το τρίτο παράδοξο (το βέλος) Το παράδοξο του βέλους όπως είναι διατυπωμένο στα Φυσικά του Αριστοτέλη σχετίζεται με την αντίληψη της συνέχειας του χώρου και του χρόνου Ο Ζήνωνας θεωρεί το χώρο και το χρόνο ότι είναι ποσότητες ασυνεχείς Αποτελούνται δηλαδή από μικρές μη διαιρετές περαιτέρω ποσότητες Ο χρόνος σύμφωνα με την αντίληψη αυτή που ξεκινά από την πυθαγόρεια φιλοσοφία αποτελείται από laquoστιγμέςraquo που είναι διακριτές μεταξύ των και οι οποίες δεν μπορούν να διαιρεθούν σε μικρότερες ποσότητες Το μοντέλο αυτό είναι παρόμοιο μrsquo εκείνο του χώρου Μια ευθύγραμμη απόσταση αποτελείται από laquoσημείαraquo που είναι διακριτά μεταξύ των Έτσι με την αντίληψη αυτή μια τέτοια laquoστιγμήraquo έχει μια αρχή κι ένα τέλος Για να κατανοήσουμε το παράδοξο του βέλους αρκεί να σκεφτούμε διάφορες διαδοχικές τέτοιες στιγμές όπως για παράδειγμα τις δύο στιγμές που φαίνονται στο σχήμα 1

Στο σχήμα αυτό έχουν σχεδιαστεί δύο χρονικές στιγμές που όπως αναφέρθηκε είναι τα δομικά στοιχεία του χρόνου και οι οποίες σύμφωνα με την αντίληψη του Ελεάτη φιλοσόφου είναι αδιαίρετες Αυτό σημαίνει πως ο χρόνος που παρεμβάλλεται ανάμεσα από το laquoσημείοraquo Α μέχρι το σημείο Β είναι ένα χρονικό διάστημα πολύ μικρό το οποίο όμως δεν μπορεί να διαιρεθεί σε μικρότερα διαστήματα Η αντίληψη αυτή είναι παρόμοια με την αντίληψη των ατομικών φιλοσόφων σχετικά με τη δομή της ύλης Για να καταλάβουμε το τρίτο παράδοξο πρέπει να προσέξουμε αυτήν ακριβώς την αντίληψη που θέλει το χρόνο να αποτελείται από μικρά laquoκομμάτιαraquo αδιαίρετα Έτσι ένα αντικείμενο όταν λέμε ότι κινείται σύμφωνα με τις σημερινή θεωρία της φυσικής εννοούμε πως με την πάροδο του χρόνου το αντικείμενο αυτό αλλάζει συνεχώς θέση στο χώρο Εφόσον όμως ο χρόνος κυλά με laquoστιγμέςraquo τη μια πίσω από την άλλη τότε και η κίνηση του βέλους αυτού στο χώρο δεν θα είναι συνεχής αλλά ασυνεχής Καθrsquo όλη τη διάρκεια της κάθε laquoστιγμήςraquo το βέλος θα παραμένει laquoακίνητοraquo και δε θα αλλάζει θέση στο χώρο αφού η στιγμή είναι η πιο μικρή κι αδιαίρετη ποσότητα ενώ την επόμενη στιγμή θα εκτινάσσεται σε μια άλλη γειτονική θέση Σύμφωνα με την αντίληψη αυτή που θέλει το βέλος να παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια κάθε στιγμής μπορεί κανείς να συμπεράνει πως το βέλος παραμένει συνεχώς ακίνητο μιας και όλος ο χρόνος αποτελείται από τέτοιες στιγμές

No266


Είναι πράγματι πολύ λεπτή η σημασία του παραδόξου αυτού και έχει να κάνει με την αλλαγή αυτή της θέσης του βέλους από τη μια στιγμή στην άλλη Η ασυνέχεια αυτή που δημιουργείται στο μεταίχμιο της μιας στιγμής με την άλλη η οποία εκτινάσσει το βέλος προς τη νέα του θέση αποτελεί και την κύρια βάση που στηρίζεται η σκέψη του Ζήνωνα Το παράδοξο στο σημείο αυτό μοιάζει με την κίνηση των εικόνων ndash στιγμών κατά την προβολή μιας κινηματογραφικής ταινίας η οποία δημιουργεί την ψευδή κίνηση στην οθόνη(μετείκασμα)


347 Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με 090Α = Στην υποτείνουσα ΒΓ παίρνουμε το εσωτερικό σημείο της Μ και στο τμήμα ΜΓ το εσωτερικό σημείο Ν τέτοιο ώστε να ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1ΒΜ + ΝΓ = ΜΝ Να υπολογίσετε τη γωνία ΜΑΝ

(Αποστολόπουλος Γιώργος Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση

1ος τρόπος Κατrsquo αρχήν θα κατασκευάσουμε τα σημεία Μ και Ν της υποτείνουσας ΒΓ του ορθογωνίου τριγώνου ώστε να ισχύει η σχέση (1) Θεωρούμε τυχαίο σημείο Α΄ στο τόξο ΒΓ του περιγεγραμμένου κύκλου και στη συνέχεια φέρουμε τις μεσοκαθέτους στις χορδές Α΄Β και Α΄Γ που ορίζουν στην υποτείνουσα ΒΓ τα σημεία Μ και Ν

Τότε εύκολα διαπιστώνεται η ισότητα

( ) ( )΄τριγ τριγΑΒΜ = ΑΜΑ διότι


ή ΄ ΄κοιν φΑΜ = ΑΒ = ΑΑ ΒΑΜ =ΜΑΑ = κι απrsquo την ισότητα αυτή προκύπτει

Όμοια από την ισότητα των τριγώνων ΑΓΝ και ΑΝΑ΄ προκύπτει

045΄ ΄καιΑΝ = ΝΑ ΝΑ Α = ΝΓΑ = επομένως είναι

0 0 0 45 45 90΄ΜΑ Ν =ΜΑ Α+ΑΑ Ν = + = και συνεπώς

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2΄ ΄ΜΑ + Α Ν = ΜΝ rArr ΒΜ + ΝΓ = ΜΝ

Υπολογισμός της γωνίας ΜΑΝ Από την ισότητα των τριγώνων αυτών εύκολα προκύπτουν και οι ισότητες των γωνιών

1 2 1 2φ φ ω ω= =

και επειδή 0

1 2 1 2 90φ φ ω ω+ + + = Άρα

0 0 02 1 2 12 2 90 45 45φ ω φ ω+ = rArr + = rArrΜΑΝ =

2ος τρόπος Έστω ότι στο σχήμα (2) τα σημεία Μ Ν ώστε να ικανοποιείται η σχέση (1) Εφαρμόζοντας το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΜΝ θα έχουμε

( )( ) ( )2 2 2 2 2συνφΜΝ = ΑΜ +ΑΝ minus ΑΜ ΑΝ

Όμοια από το τρίγωνο ΑΒΜ έχουμε

( )( ) ( )2 2 2 2 45 3οσυνΑΜ = ΑΒ +ΒΜ minus ΑΒ ΒΜ και τέλος από το τρίγωνο ΑΓΝ θα έχουμε

( )( ) ( )2 2 2 2 45 4οσυνΑΝ = ΑΓ +ΓΝ minus ΑΓ ΓΝ


Η σχέση (2) λόγω των (3)(4) και της προαπαιτούμενης (1) δίνει μετά από πράξεις

( )22 2 2 5

2συνφ

sdotΑΒ minus ΑΒsdotΒΜ sdot minus ΑΒsdotΓΝ sdot=

sdot ΑΜ sdotΑΝ

Επίσης έχουμε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ε ΜΑΝ = Ε ΑΒΓ minusΕ ΑΒΜ minusΕ ΑΓΝ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 145 452 2 2

ο οημ ημ= ΑΒ minus ΑΒ ΒΜ sdot minus ΑΓ ΓΝ sdot

και μετά πράξεις

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

64

ΑΒ minus ΑΒ ΒΜ minus ΑΒ ΓΝ⎛ ⎞Ε ΜΑΝ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως ακόμα είναι

( ) ( ) ( )1 72

ημφ⎛ ⎞Ε ΜΑΝ = ΑΜ ΑΝ⎜ ⎟⎝ ⎠


( )22 2 2 8

2ημφ

sdotΑΒ minusΑΒsdotΒΜ sdot minusΑΒsdotΓΝ sdot=

sdot ΑΜ sdotΑΝ


συνφ ημφ= και επειδή η γωνία φ είναι οξεία θα είναι

45οφ =


392 Αν η συνάρτηση f είναι n φορές παραγωγίσιμη όπου nisinΝ και 0x gt τότε να δειχθεί η σχέση

( )

( )( )

11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(ΜΚαραμαύροςΝΝιάνιοςΓΦράγγος Ανάλυση Γrsquo Λυκείου)

Παράρτημα της ΕΜΕ 2ο Εν Λύκειο Κοζάνης








Το τρίτο παράδοξο(το βέλος)

Κλείνοντας την αναφορά μας στο τρίτο παράδοξο του Ζήνωνα που σχετίζεται με την laquoακινησία του βέλουςraquo που laquoκινείταιraquo μπορούμε με μια πιο απλή διατύπωση να εκφράσουμε την κεντρική του ιδέα Αν φανταστεί κανείς ένα βέλος που πετά τότε σε κάθε χρονική στιγμή ti το βέλος θα βρίσκεται και σε μια συγκεκριμένη θέση S(ti) Η χρονική στιγμή όμως όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα αποτελεί κατά το συλλογισμό του Ζήνωνα μια χρονική περίοδο αρκετά μικρή και κυρίως αδιαίρετη στο εξής Όμως η κάθε στιγμή δεν παύει να αποτελεί μια στοιχειώδη χρονική περίοδο σύντομη μεν αλλά υπαρκτή Έτσι κατά τη διάρκεια μιας χρονικής στιγμής θα μπορούσαμε να πούμε απλά το βέλος laquoδεν έχει το χρόνοraquo για να μετακινηθεί και έτσι παραμένει ακίνητο Με πιο απλά λόγια ο χρόνος σταματά κατά τη διάρκεια της κάθε χρονικής στιγμής και κατά συνέπεια αν θεωρήσουμε ότι ο χρόνος laquoσυναρμολογείταιraquo από μια διαδοχή τέτοιων χρονικών στιγμών τότε το βέλος σrsquo όλες αυτές τις χρονικές στιγμές παραμένει ακίνητο

Σύμφωνα λοιπόν με την άποψη των αδιαίρετων χρονικών στιγμών η συλλογιστική του Ζήνωνα μπορεί να παρασταθεί σε ένα διάγραμμα διαστήματος ndash χρόνου όπως στο ανωτέρω σχήμα Παρατηρώντας το σχήμα αυτό τότε διαπιστώνουμε ότι κατά τις χρονικές στιγμές που αποτελούν μικρά διαστήματα t1 t2 hellip tnhellip στον άξονα του χρόνου το βέλος παραμένει ακίνητο στις θέσεις S1S2 hellip Sn hellip με αποτέλεσμα η συνολική συμπεριφορά να γίνεται με πηδήματα από τη θέση S1 στη θέση S2 από τη θέση S2 στη

No267


θέση S 3 και ούτω καθεξής Όμως αυτό το laquoτίναγμαraquo από τη μια θέση στην άλλη είναι αδύνατο γιατί ο Ζήνωνας θα επικαλούνταν το παράδοξο της διχοτομίας Από την παραπάνω συλλογιστική ο Ζήνωνας απορρίπτει το χρόνο κάτι εξάλλου που συμφωνεί με τη γενικότερη θέση του δασκάλου του Παρμενίδη που υποστήριζε την laquoακινησία του κόσμουraquo


348 Σε κύκλο (ΟR) είναι εγγεγραμμένο ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Φέρουμε τις διαμέτρους ΑΔ και ΒΕ Αν Ζ είναι το σημείο τομής των χορδών ΔΓ και ΑΕ Να δειχθεί ότι

( )β γαsdot

ΟΖ = Ι

όπου α β γ τα μήκη των πλευρών ΒΓ ΓΑ ΑΒ αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ


Επειδή οι ΑΔ και ΒΕ είναι διάμετροι του περιγεγραμμένου κύκλου οι χορδές ΑΕ και ΒΔ είναι κάθετες στην ΑΒ και συνεπώς παράλληλες(Σχήμα 1)

Άρα

ΑΒ = ΕΔ και συνεπώς

( )1Γ = ΖΑΔ

Επίσης είναι ( )2ΑΒΓ = ΑΔΖ


Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι το τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΖ είναι όμοια

Άρα

( )

( )

2 2 2

22 4R Rα αΑΒΓ

ΑΔΖ

Ε ΒΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ε ΑΔ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

κι ακόμα

( ) ( ) ( )2

2

4 3RαΑΔΖ ΑΒΓΕ = Ε

Όμως για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ισχύει

( ) 4Rαβγ

ΑΒΓΕ =

άρα η (3) γίνεται

( ) ( )

2

2

4 4RαΑΔΖ ΑΒΓΕ = Ε =

2R2α

αsdot

4βγR

Rβγα

= sdot

δηλαδή

( ) ( )4RβγαΑΔΖΕ = sdot

Επίσης είναι

( ) ( ) ( ) ( )1 1 22 2

R h R hΑΔΖΕ = ΑΔ ΖΘ = sdot = sdot


( )5R h R hβγ βγα α

sdot = sdot rArr =

Όμως από την καθετότητα του ύψους h προς την ΑΔ θα είναι ακόμα hΟΖ ge

οπότε από την (5) έχουμε τελικά

βγα

ΟΖ ge

δηλαδή η ζητούμενη σχέση (Ι)

Σχόλιο

Η ισότητα στη σχέση (Ι) ισχύει στην περίπτωση κατά την οποία το ύψος h = ΖΘ ταυτίζεται με τη διάμεσο ΖΟ


Τότε όμως το τρίγωνο ΖΑΔ γίνεται ισοσκελές και μάλιστα όπως αναφέρθηκε και στην ανωτέρω λύση παραμένει όμοιο με το ΑΒΓ (Σχήμα 2)

Αυτό σημαίνει

( ) ( ) 2 62h h RR

αα

ΟΖ ΑΜ ΑΜ= rArr = rArr = ΑΜ

ΑΔ ΒΓ

Όμως από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΑΜΓ και ΑΓΔ προκύπτει η αναλογία

( ) ( )2 2 72

RRβ β

βΑΜ ΑΓ ΑΜ

= rArr = rArr = ΑΜΑΓ ΑΔ

Από τις (6) και (7) προκύπτει πάλι η ζητούμενη 2

2h h βα β

α= rArr =


393 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

[ ] [ ] f a b a brarr όπου a b R+isin με a blt Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο

[ ]a bθ isin τέτοιο ώστε ( ) ( )2 22f fθ θ θ θ+ =

(Θεώρημα Bolzano Κ Γιαννιτσιώτη Α Καραγεώργος)









Το τρίτο παράδοξο(το βέλος) Αν σκεφθεί κανείς τα όσα αναφέρθηκαν μέχρι τώρα στη Στήλη μας σχετικά με το τρίτο παράδοξο του Ζήνωνα τότε θα οδηγηθεί ακόμα παραπέρα Η επιστήμη της Φυσικής μελετά γενικώς την κίνηση των σωμάτων την οποία θεωρεί θεμελιώδη υποχρέωση του ερευνητή για την κατανόηση των διαφόρων φαινομένων Για παράδειγμα δεν μπορεί κανείς να αντιληφθεί το ηλιακό μας σύστημα με τους πλανήτες και τα υπόλοιπα στοιχεία του(κομήτες μετεωρίτες δορυφόρους κά) χωρίς να μπορεί από πριν να κατανοήσει τις κινήσεις των σωμάτων αυτών Η επιστήμη βέβαια της φιλοσοφίας έχει υποχρέωση να εξετάσει βαθύτερα την ουσία της κίνησης και να δώσει απάντηση στο ερώτημα laquoτί είναι κίνησηraquo κι εκεί ακριβώς τα πράγματα δυσκολεύουν Το τρίτο παράδοξο μας φέρνει μπροστά σrsquo αυτό το ερώτημα Τι σημαίνει πως ένα βέλος που εκτοξεύεται από το τεντωμένο τόξο ενός πολεμιστή laquoστέκεταιraquo στον αέρα και δεν κινείται Τι σημαίνει πως δεν υπάρχει χρόνος Κι αν υπάρχει πως μπορεί κανείς να τον εννοήσει Τα πρόβλημα περιπλέχτηκε στις διάφορες εποχές και μάλιστα περισσότερο στα τέλη του 19ου αιώνα και κυρίως στον 20ό αιώνα με τις νέες ιδέες του λεγόμενου laquoχωρόχρονουraquo και της θεωρίας της Σχετικότητας Όσο πολύπλοκη κι αν είναι η κίνηση ενός σώματος χρειάζεται πρώτα απrsquo όλα να μελετηθεί η κίνηση στην απλή της μορφή Έτσι επινοήθηκαν έννοιες όπως το laquoυλικό σημείοraquo η laquoτροχιάraquo η laquoταχύτηταraquo η laquoεπιτάχυνσηraquo κά Αν προσπαθήσουμε σήμερα να προσεγγίσουμε την έννοια της ταχύτητας ενός

υλικού σημείου που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και η θέση του σχετίζεται με το χρόνο με ένα τρόπο όπως περιγράφεται από τη συνάρτηση ( )S S t= τότε θα

No268


οδηγηθούμε από τη μέση ταχύτητα ( ) ( )0

0

iS t S tt tminusminus

στη στιγμιαία ( ) ( )0

0

0

limi

i

t t

S t S tt trarr

minusminus

η

οποία εκφράζει το λεγόμενο ρυθμό αλλαγής(ρυθμό μεταβολής) της θέσης του κινητού σημείου κατά τη στιγμή 0t Οι έννοιες αυτές που είναι αποτελέσματα του διαφορικού λογισμού τακτοποιούν τα ερωτήματα της κίνησης των σωμάτων με πολύ λεπτομερειακό τρόπο ο οποίος θεωρεί το χρόνο laquoως ένα συνεχές σύνολο στιγμώνraquo όπως ακριβώς θεωρεί και την ευθεία των πραγματικών αριθμών ως ένα σύνολο σημείων για την περιγραφή του μονοδιάστατου χώρου


349 Τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν ίσο με 1τμ Στις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε τα εσωτερικά μεταβλητά σημεία Δ Ε αντίστοιχα Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΕ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο Ρ Να υπολογιστεί η μέγιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου ΡΔΕ

(Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση Θεωρούμε τους λόγους

( ) 0 1όλ μ που κ λΕΓ ΔΒ

= = gtΑΓ ΑΒ

Έστω επίσης τα εμβαδά

( ) ( ) ( ) 0 2x y ό x yπουΒΡΓ = ΡΔΕ = gt Επειδή είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με τη μονάδα δηλαδή

( ) 1ΑΒΓ = θα είναι

( ) ( )( ) ( ) ( )3λ λΒΕΓ ΕΓ

ΒΕΓ = = = rArr ΒΕΓ =ΑΒΓ ΑΓ


και

( ) ( )( ) ( ) ( )4μ μΒΓΔ ΔΒ

ΒΓΔ = = = rArr ΒΓΔ =ΑΒΓ ΑΒ

Επομένως

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ΑΔΕ = ΑΒΓ minus ΒΕΓ minus ΒΓΔ + ΒΡΓ minus ΡΔΕ rArr

( ) ( )1 5x yλ μΑΔΕ = minus minus + minus Επίσης είναι

( )( )

( ) ( )ΑΔΕ ΑΒminusΔΒ sdot ΑΓ minusΕΓΑΔsdotΑΕ= = rArr

ΑΒΓ ΑΒsdotΑΓ ΑΒsdotΑΓ

( ) ( )( ) ( )1 1 6μ λΑΔΕ = minus minus Από τις (5) και (6) έχουμε

( )( )1 1 1x yλ μ μ λminus minus + minus = minus minus δηλαδή

( )7x y λμ= + Ακόμα είναι

( )( )

( )( )

καιΡΒΔ ΡΒΓΒΡ ΒΡ

= =ΡΔΕ ΡΕ ΡΕΓ ΡΕ

δηλαδή

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )2 3 4 x xy x

μλ

ΡΒΔ ΡΒΓ minus= rArr =

ΡΔΕ ΡΕΓ minus

και μετά από πράξεις η τελευταία γίνεται

( ) ( )2 8x x xyλ μ λμminus + + = Αν τώρα μεταξύ των (7) και (8) γίνει απαλοιφή του x τότε θα προκύψει η σχέση

( )( )1 1y

λμ λ μλ μ λμminus minus

=+ minus

ή ακόμα

( )9y λμ λμλ μ λμ

= minus+ minus

Όμως επειδή 0λ μ gt θα είναι

2λ μ λμ+ ge και συνεπώς από την (9) προκύπτει


0 12

y λμλμ με λμ

λμle minus lt lt

minus

κι αν θέσουμε ω λμ= τότε είναι

( )2 0 1 102

y ω ω με ωω

le minus lt ltminus

Στη συνέχεια θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) ( )0 1 11y f ω με ωle lt lt Η μελέτη της συνάρτησης αυτής οδηγεί εύκολα στο σχήμα 2

Από τη μελέτη αυτή προκύπτει ότι

max3 5 5 5 11

2 2f f

⎛ ⎞minus minus= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Έτσι από τη (10) έχουμε

5 5 112

y minusle

που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του τριγώνου ΡΔΕ είναι

( )max

5 5 112minus

ΡΔΕ =


394 Να δειχθεί ότι ο αριθμός

99

999 1έφορ ς

α αΑ = isinΝ minus

δεν είναι πρώτος (T Andreescu-BEnescu Olimpiade de Matematica)



Σχήμα 2







Το τέταρτο παράδοξο

Συνεχίζοντας ο Αριστοτέλης την αναφορά του στους laquoπαραλογισμούςraquo του Ζήνωνα προχωρά στη διατύπωση του τέταρτου και τελευταίου παράδοξου που σήμερα συνηθίζεται να αποκαλείται και στάδιο Έτσι στη Φυσική Ακρόαση και στο βιβλίο Ζ΄ ο Αριστοτέλης γράφει laquoτέταρτος δrsquo ὁ περί τῶν ἐν τῷ σταδίῳ κινουμένων ἐξ ἐναντίας ἴσων ὄγκων παρrsquo ἴσους τῶν μέν ἀπό τέλους τοῦ σταδίου τῶν δrsquo ἀπό μέσου ἴσῳ τάχει ἐν ᾧ συμβαίνειν οἴεται ἴσον εἶναι χρόνον τῷ διπλασίῳ τόν ἥμισυν ἔστι δrsquo ὁ παραλογισμός ἐν τῷ τό μέν παρά κινούμενον τό δέ παρrsquo ήρεμοῦν τό ἴσον μέγεθος ἀξιοῦν τῷ ἴσῳ τάχει τόν ἴσον φέρεσθαι χρόνον τοῦτο δrsquo ἐστί ψεῦδοςraquo

(Αριστοτέλης Φυσική Ακρόασις βιβλίο Ζrsquo 239b34-240a4) Δηλαδή laquoΤέταρτος τέλος είναι [ο ισχυρισμός] ο σχετικός με δυο παράπλευρες ομάδες από ισάριθμα ισομεγέθη σώματα οι οποίες κινούνται μέσα στο στάδιο από αντίθετες κατευθύνσεις με την ίδια ταχύτητα η μία [συγκεκριμένα] από το τέλος του σταδίου [προς το μέσον] και η άλλη από το μέσον [προς το τέλος] προκειμένου για τον οποίο [ισχυρισμό] προκύπτει [ως αναγκαίο επακόλουθο] νομίζει [ο Ζήνων] το να είναι ίσος ο μισός χρόνος με τον διπλάσιό του Συνίσταται εδώ ο παραλογισμός στον ισχυρισμό ότι ένα σώμα [το οποίο κινείται] με την ίδια [πάντοτε] ταχύτητα [θέλει] τον ίδιο χρόνο για να πλευρίζει [και να προσπερνά] τόσο ένα σώμα που κινείται όσο και ένα ισομέγεθες σώμα που ηρεμεί τούτο όμως αποτελεί ψεύδοςraquo

(Μετάφραση ΗΠ Νικολούδης Εκδόσεις Κάκτου) Η δυσνόητη αυτή διατύπωση καθώς και η ελλειμματική έκφραση του Αριστοτέλη χρειάζεται αρκετή ανάλυση για να φανεί η λεπτή σημασία του παραδόξου αυτού Πριν ασχοληθούμε με μια πιο εκτενή ερμηνεία του συλλογισμού αυτού ας δούμε μια πιο σύντομη διατύπωση της πρότασης αυτής laquoΔύο παράπλευρες ομάδες από ισάριθμα ισομεγέθη σώματα κινούνται με την ίδια ταχύτητα μέσα στο στάδιο από αντίθετες κατευθύνσεις η μία από το τέλος του σταδίου προς το μέσον και η άλλη από το μέσον προς το τέλος Ο Ζήνων θεωρεί ότι έτσι συμβαίνει ώστε να είναι ίσος ο μισός χρόνος με το διπλάσιό τουraquo (Από το σχολιασμό της φιλολογικής ομάδας του ΚΑΚΤΟΥ Αριστοτέλης Φυσική Ακρόασις σ 241)

Για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε και σrsquo αυτήν την περίπτωση το συλλογισμό και τη βαθύτερη ιδέα του Ζήνωνα θα πρέπει προσέξουμε αρκετά το χωρίο αυτό του Αριστοτέλη και όχι μόνο Για το παράδοξο αυτό αντλούμε πληροφορίες και από έναν μεταγενέστερο φιλόσοφο σχολιαστή το Σιμπλίκιο Ο Σιμπλίκιος που έζησε τον έκτο μΧ αιώνα σχολιάζει παραθέτοντας υπομνήματα κυρίως για το έργο του Ευκλείδη καθώς και του Αριστοτέλη

No269

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 22 Ιουνίου 2011 24 Ο νεοπλατωνικός αυτό φιλόσοφος διέσωσε πολλά στοιχεία και διαβάζοντας κανείς το έργο του πληροφορείται αρκετά για τις ιδέες προγενέστερων φιλοσόφων Έτσι στο έργο του φιλοσόφου αυτού βλέπουμε μια εκτενή αναφορά για τα παράδοξα του Ζήνωνα καθώς και για τις απαντήσεις του Αριστοτέλη που ανέτρεπαν τους παραλογισμούς του Ελεάτη φιλοσόφου Ειδικότερα για το τέταρτο παράδοξο ο Σιμπλίκιος φωτίζει αρκετά με τις αναφορές και τα σχήματά του κι έτσι βοηθά στην κατανόησή του δύσκολου αυτού συλλογισμού του Ζήνωνα


350 Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε το περίκεντρό του Ο Οι ακτίνες ΑΟ ΒΟ ΓΟ τέμνουν τις πλευρές ΒΓ ΓΑ ΑΒ στα σημεία Α1 Β1 Γ1 αντίστοιχα Να δειχθεί ότι

1 1 1

1 1 1

3)2

1 1 1 6)

i R

iiR

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge

+ + geΟΑ ΟΒ ΟΓ

όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση i) Στο τρίγωνο ΑΒΓ (Σχήμα 1) ισχύει

( )( )

( )( )

( )( )

1 1 1

1 1 1

ΒΟΓ ΓΟΑ ΑΟΒΟΑ ΟΒ ΟΓ+ + = + + =

ΑΑ ΒΒ ΓΓ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1ΒΟΓ + ΓΟΑ + ΑΟΒ ΑΒΓ

= = =ΑΟΒ ΑΒΓ

Δηλαδή

( )1 1 1

1 1 1

1 1ΟΑ ΟΒ ΟΓ+ + =

ΑΑ ΒΒ ΓΓ

Από την (1) ακόμα έχουμε


1 1 1

1 1 1

1R R RΑΑ minus ΒΒ minus ΓΓ minus+ + = rArr

ΑΑ ΒΒ ΓΓ

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 2R R R R R Rminus + minus + minus = rArr + + = rArrΑΑ ΒΒ ΓΓ ΑΑ ΒΒ ΓΓ

1 1 1

2R R RR R R

+ + = rArr+ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ

( )2 2 2

2 2 21 1 1

2 2R R RR R R R R R

+ + =+ sdotΟΑ + sdotΟΒ + sdotΟΓ

Όμως σύμφωνα με την ταυτοανίσωση του T Andreescu () το πρώτο μέλος της (2) γίνεται

2 2 2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R

+ + ge+ sdotΟΑ + sdotΟΒ + sdotΟΓ

( )( ) ( ) ( )

2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R

+ +ge =

+ sdotΟΑ + + sdotΟΒ + + sdotΟΓ

( )2

21 1 1

93

RR R

=+ ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ

δηλαδή

( ) ( )

2 2 2

2 2 21 1 1

2

21 1 1

9 33

R R RR R R R R R

RR R


ge+ ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ

Από τη (2) και (3) προκύπτει

( )2

21 1 1

9 23

RR R

le+ ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ

δηλαδή

( )2 21 1 19 2 3R R R⎡ ⎤le + ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ⎣ ⎦

και τελικά

1 1 132R

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge

δηλαδή η ζητούμενη (i) ii) Η σχέση (1) γίνεται ακόμα


( )

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

1 1 1 1 41 1 1R R R

ΟΑ ΟΒ ΟΓ+ + = rArr

ΑΑ ΒΒ ΓΓ

rArr + + =+ + +

ΟΑ ΟΒ ΟΓ

Από την ταυτοανίσωση του T Andreescu() επίσης είναι

( )2

1 1 1 1 1 1

1 1 11 1 11 1 11 1 1 3

R R RR

+ ++ + ge

⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΑ ΟΒ ΟΓ⎝ ⎠

και σε συνδυασμό με την (4) προκύπτει

( )2

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 11 3 91 1 1 3

RR

+ + ⎛ ⎞ge rArr + + + ge⎜ ⎟ΟΑ ΟΒ ΟΓ⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ + +⎜ ⎟ΟΑ ΟΒ ΟΓ⎝ ⎠

και τελικά

1 1 1

1 1 1 6R


() Ανισότητα του Τ Andreescu Αν 1 2 2 x x x Rνν νisinΝ ge isin και 1 2 0να α α gt πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει

( )222 21 21 2

1 2 1 2

x x xxx x νν

ν να α α α α α+ + +

+ + + ge+ + +

Η ισότητα ισχύει όταν

1 2

1 2

xx x ν

να α α= = =


395 Έστω ο μιγαδικός αριθμός

( )( )1 1w z iz= minus minus Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z όταν

1ο) Ο αριθμός w Risin 2ο) Ο αριθμός w C Risin minus









Το τέταρτο παράδοξο(το στάδιο)

Ο Ζήνων με το τέταρτο παράδοξο υποστηρίζει τελικά ότι αν δεχθούμε την κίνηση των σωμάτων τότε εύκολα μπορεί να συμπεράνει κανείς πως

laquoἴσον εἶναι χρόνον τῷ διπλασίῳ τόν ἥμισυνraquo δηλαδή

laquoο μισός χρόνος είναι ίσος με τον διπλάσιό τουraquo

Πώς όμως είναι δυνατόν κάτι τέτοιο Πώς είναι δυνατόν ξεκινώντας από μια ποσότητα χρόνου να τη χωρίσουμε στη μέση ώστε να προκύψει το μισό της στη συνέχεια να τη διπλασιάσουμε και τέλος να διαπιστώσουμε ότι η διπλάσια αυτή ποσότητα να είναι ίση με το μισό της αρχικής Ας προσπαθήσουμε να περιγράψουμε τον ισχυρισμό του Ζήνωνα χρησιμοποιώντας τη διατύπωση του Αριστοτέλη την περιγραφή του Σιμπλίκιου καθώς και τη σύγχρονη ερμηνεία του καθηγητή μαθηματικών Andreacute Ross Έστω λοιπόν ότι μέσα σε ένα στάδιο υπάρχουν τρεις ομάδες από ισάριθμα ισομεγέθη σώματα laquoἐν τῷ σταδίῳ κινουμένων ἐξ ἐναντίας ἴσων ὄγκων παρrsquo ἴσουςraquo Σχηματικά αυτό φαίνεται με την παρακάτω διάταξη

Μέσα στο στάδιο αυτό οι κινούμενες παράπλευρες ομάδες είναι δύο Η ομάδα Β και η ομάδα Γ Η ομάδα Β κινείται από το τέλος του σταδίου προς την αρχή και η ομάδα Γ κινείται αντίθετα από την αρχή προς το τέλος Ακόμα θεωρούμε και την ομάδα Α που μένει ακίνητη στο κέντρο του σταδίου

Οι ομάδες αυτές αποτελούνται από laquoίσους όγκους παρrsquo ίσουςraquo δηλαδή από laquoισάριθμαraquo και laquoισομεγέθηraquo σώματα

No270


Στην περίπτωση του σχήματός μας αποτελούνται από 4 ισομεγέθη σώματα που είναι αριθμημένα με το 1234

Το σχήμα αυτό αναφέρει ο Σιμπλίκιος όταν σχολιάζει το τέταρτο παράδοξο του Ζήνωνα και το αποδίδει στον Αλέξανδρο τον Αφροδισιέα


351 Έστω η συνάρτηση f R Rrarr που ικανοποιεί τη σχέση ( )( ) ( )2 1 1f f x x x x R= minus + forall isin

Να δείξετε ότι ( ) ( )1 1 2f = (Εφημερίδα ΝΕΑ 26 Σεπτεμβρίου 2010)

Λύση Αντικαθιστώντας στην (1) όπου x τον αριθμό 1 θα έχουμε

( )( ) 21 1 1 1 1f f = minus + = Δηλαδή

( )( ) ( )1 1 3f f =

Όμοια αν αντικαταστήσουμε πάλι στη σχέση (1) όπου x τον αριθμό ( )1f θα έχουμε

( )( )( ) ( )( ) ( )21 1 1 1f f f f f= minus +

και λόγω της (3) θα είναι

( ) ( ) ( )21 1 1 1f f f= minus + δηλαδή

( ) ( ) ( )( )22 1 2 1 1 0 1 1 0f f fminus + = hArr minus = και τελικά

( )1 1f = Δηλαδή η ζητούμενη (2)

352 Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν 090Α ge και 090΄Α ge Αν ΄ ΄β γ β γ είναι τα μήκη των πλευρών ΑΓ ΑΒ Α΄Γ΄ Α΄Β΄ αντίστοιχα να δείξετε ότι

( )2 1΄ ΄ ΄ββ γγ υυge όπου ΄υ υ τα αντίστοιχα ύψη στις πλευρές ΒΓ και Β΄Γ΄

(Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ του σχήματος (1) στα οποία οι γωνίες της κορυφής Α και Α΄ είναι μεγαλύτερες ή ίσες από 90 μοίρες επομένως

0 0 090 90 90Α ge rArrΒ+Γ le rArr Β le minusΓ και επειδή η συνάρτηση του ημιτόνου στο πρώτο τεταρτημόριο είναι αύξουσα συνάρτηση θα είναι


( )90οημ ημΒ le minusΒ

δηλαδή ( )2ημ συνΒ le Γ

Όμοια είναι ( ) 3ημ συνΓ le Β

Ισχύει ακόμα

( ) 4

υ υ υ υ ημ ημ ημ ημβ β γ γsdot + sdot = Γ sdot Γ + Βsdot Β

Εξάλλου λόγω των σχέσεων (2) και (3) είναι ακόμα ( ) 5ημ ημ ημ ημ ημ συν συν ημΓ sdot Γ + Βsdot Β le Γ sdot Β + Γ sdot Β


( ) ( ) 1 6ημ συν συν ημ ημΓ sdot Β + Γ sdot Β = Β +Γ le

Η σχέση (4) λόγω των (5) και (6) γίνεται

1

υ υ υ υβ β γ γsdot + sdot le

ή ακόμα

( )1 1 1 7 υυ ββ γγge +

Όμως είναι επίσης

( )1 1 1 22 8 ββ γγ ββ γγ ββ γγ+ ge =

Η σχέση (7) λόγω της σχέσης (8) γίνεται

1 2 υυ ββ γγge

και τελικά

2 ββ γγ υυge δηλαδή η ζητούμενη (1)


353 Αν για τους μιγαδικούς 1 2 3 z z z ισχύουν ( )1 2 3 1 1z z z= = = ( )1 2 3 0 2z z z+ + ne

( )2 2 21 2 3 0 3z z z+ + =

Τότε να δείξετε ότι 1 2 3 2z z z+ + =

(Mathematicagr 10102010) Λύση Από την (3) έχουμε

( ) ( ) ( )21 2 3 1 2 2 3 3 12 4z z z z z z z z z+ + = + +

Ακόμα από τις (1) προκύπτει

1 2 31 2 3

1 1 1 z z zz z z

= = =

Έτσι η (3) στη συνέχεια γίνεται

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

1 2 3

2 2 21 2 2 3 3 1

21 2 2 3 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 10 0 0

0

2 5

z z z z z zz z z

z z z z z z

z z z z z z z z z z z z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = rArr + + = rArr + + = rArr⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr + + = rArr

rArr + + = + +Υψώνοντας την (4) στο τετράγωνο και σε συνδυασμό με την (5) προκύπτει

( ) ( ) ( )4 21 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 34 8z z z z z z z z z z z z z z z+ + = + + = + +

επειδή ακόμα είναι

1 2 3 0z z z+ + ne Άρα

( ) 331 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 38 8z z z z z z z z z z z z+ + = rArr + + =

1 2 3 2z z zrArr + + =


396 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι ΑΑ΄ΒΒ΄ ΓΓ΄ που τέμνονται στο σημείο Ι Αν ισχύει

ΑΓ +ΒΑ + ΓΒ = Γ Β +Α Β +Β Α να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές

(Ζανταρίδης Νικόλαος Μαθηματικός Έδεσσα)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 6 Ιουλίου 2011 14






Το τέταρτο παράδοξο(το στάδιο) Προχωρώντας την προσπάθεια για την κατανόηση του τέταρτου παράδοξου του Ζήνωνα ας θυμηθούμε το σχήμα που σχολιάζει ο Σιμπλίκιος ένας νεοπλατωνικός φιλόσοφος του 6ου μ Χ αιώνα (ΣΜ 270)

Στο ανωτέρω σχήμα η ομάδα Α είναι ακίνητη στο κέντρο του σταδίου η ομάδα Β κινείται προς τα αριστερά και η ομάδα Γ κινείται αντίθετα προς τα δεξιά Οι ομάδες αποτελούνται από laquoισάριθμαraquo και laquoισομεγέθηraquo σώματα Στην περίπτωση του σχεδίου μας οι ομάδες σχεδιάστηκαν να έχουν τέσσερα σώματα του ιδίου μεγέθους Θυμίζουμε για άλλη μια φορά πως ο Ζήνωνας θεωρεί το χρόνο και το χώρο ότι αποτελούνται από μικρά και αδιαίρετα κομμάτια Η πιο μικρή ταχύτητα με την οποία μπορούν να κινηθούν οι ομάδες Β και Γ είναι laquoμια μονάδαraquo του χώρου προς laquoμια μονάδαraquo χρόνου Οι μονάδες αυτές δεν μπορούν σύμφωνα με την άποψη του Ζήνωνα να διαιρεθούν σε μικρότερες μονάδες

Για το λόγο αυτό η ταχύτητα min

ά ώά ό

μια μον δα χ ρουυμια μον δα χρ νου

= είναι και η πιο μικρή

No271


Στο δεύτερο σχήμα έχουμε την εικόνα που οι δύο ομάδες έχουν ευθυγραμμιστεί πλήρως Πώς έγινε όμως αυτή η μετακίνηση Οι ομάδες από τη θέση που είχαν στο πρώτο σχήμα σε κάποια δεδομένη laquoστιγμήraquo έχουν βρεθεί την επόμενη laquoστιγμήraquo στη θέση της ευθυγράμμισης Τι σημαίνει αυτό

Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις 354 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

( )3

1 2 32

( ) ( )ln1 2 1

dx xdx dxI I Ix xx x x x

= Α = Β = Γ+ + + +int int int

Λύση Α) Θεωρώντας ότι [ ]23xisin κάνουμε αλλαγή μεταβλητής θέτοντας

( )1 1xω = + άρα

( ) 112 1

d x dx dxx

ω prime= + =+

και συνεπώς

( )2 1 2 2dx x d dx dω ω ω= + rArr = Από την (1) ακόμα είναι

( )2 1 3x ω= minus Τέλος τα νέα όρια ολοκλήρωσης είναι

12 3xγια ω= rArr =

23 2xγια ω= rArr = Έτσι σύμφωνα με τις (1) (2) και (3) και τα νέα όρια το ολοκλήρωμα 1Ι γίνεται

3

12

21

dxIx x

ω= =

+int ( )2 1dω

ω ωminus

2 2

23 3

21dω

ω=

minusint int

και επειδή

2

2 1 11 1 1ω ω ω= minus

minus minus +

άρα 2 2

1 23 3

2 1 11 1 1

I d dω ωω ω ω

⎛ ⎞= = minus =⎜ ⎟minus minus +⎝ ⎠int int

2 2

3 3ln 1 ln 1ω ω= minus minus + =

( ) ( ) ( ) ( )ln 2 1 ln 3 1 ln 2 1 ln 3 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤= minus minus minus minus + minus + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦


( ) ( ) ( )ln1 ln 3 1 ln 2 1 ln 3 1= minus minus minus + + + =

( ) ( )( ) ( )3 1 3 2ln 3 1 ln 3 3 1 ln ln

33 3 1+ +

= + minus minus = =minus

Β) Θεωρώντας ότι 1x ge minus έχουμε

( )( )

2

2 1 2

2 12 12 1 4

xdxI x x x dxx x

I x x dx x x dx

= = + minus + rArr+ + +

= + minus + =Κ minusΚ

int int

int int

Υπολογισμός του 1Κ Θέτουμε

2 2 0x x dx dω ω ω ω+ = rArr = minus rArr = gt Άρα

( )1 2 2 2x x dx d d dω ω ω ω ω ω ω ωΚ = + = minus = minusint int int intκι ακόμα

1 12 2

1 2d dω ω ω ω ωΚ = sdot minus =int int 1 1 3 112 2 2 22 2d d d dω ω ω ω ω ω ω ω

+= minus = minus =int int int int

3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

12 42 23 1 5 3 5 31 1

2 2 2 2

cω ω ω ω ω ω+ +

= minus = minus = minus ++ +

Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

1 12 42 2 55 3

x x cΚ = + minus + +


1 1 0x x dx dω ω ω ω+ = rArr = minus rArr = ge Άρα

( )2 1 1x x dx d d dω ω ω ω ω ω ω ωΚ = + = minus = minus =int int int intκι ακόμα

1 12 2

2 d dω ω ω ω ωΚ = sdot minus =int int 1 1 3 112 2 2 2d d d dω ω ω ω ω ω ω ω



3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

22 2

3 1 5 3 5 31 12 2 2 2



Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

2 22 21 1 55 3

x x cΚ = + minus + + Άρα η (4) λόγω των (5) και (6) γίνεται

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 3 5 32 2 2 2

2 1 2 2

5 3 5 32 2 2 2

1 2

2 4 2 22 2 1 15 3 5 3

2 4 2 22 2 1 1 ( )5 3 5 3

I x x c x x c

x x x x c c

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + minus + + minus Κ = + minus + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + minus + minus + + + + minus

Γ ) Θεωρώντας 1x gt και θέτοντας

1ln x d dx dx xdx

ω ω ω= rArr = rArr =

έχουμε

3 ln ln lnlndx xd dI c x c

x x xω ω ωω ω

= = = = + = +int int int

και επειδή 1 ln 0x xgt rArr gt άρα τελικά είναι

3 ln(ln )I x c= +


397 Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε

( ) [ )2 63 2 8 4 46xx x x f x x xημ+ minus + le sdot le + forall isin minus +infin

i) Να δείξετε ότι ( ) 106

f =

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο ένα ( ]01κ isin έτσι ώστε

( ) 6

6f κκ ημ κ= +

(Κ Γιαννιτσιώτης ΑΚαραγεώργος Θεώρημα Bolzano Σελ 44)










Στο τέταρτο παράδοξο όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο φύλλο(ΣΜ171) ο Ζήνων δέχεται ότι ο χώρος και ο χρόνος αποτελούνται από μικρά αδιαίρετα κομμάτια και συνεπώς η μικρότερη ταχύτητα που μπορεί να θεωρήσει είναι αυτή κατά την οποία ένα κινητό διανύει απόσταση ίση με την πιο μικρή και αδιαίρετη μονάδα μήκους σε χρόνο ίσο με την πιο μικρή αδιαίρετη μονάδα χρόνου Αυτό σημαίνει πως αν θεωρήσουμε το πρώτο στοιχειώδες κομμάτι Β1 της σειράς Β που κινείται από δεξιά προς τα αριστερά μέσα στο στάδιο και μπροστά από την ακίνητη σειρά Α τότε σύμφωνα με την άποψη του Ζήνωνα το κομμάτι αυτό θα χρειαστεί για να φθάσει από τη θέση 4 στη θέση 1 τέσσερις αδιαίρετες (και ασφαλώς ίσες) μονάδες χρόνου

Είναι σημαντικό να αντιληφθεί κανείς πως το στοιχειώδες κομμάτι Β1 κινείται με ένα ιδιαίτερο τρόπο και βέβαια πάντα σύμφωνα με την αντίληψη του Ελεάτη φιλοσόφου Ο τρόπος αυτός περιγράφεται στις σημειώσεις του βιβλίου laquoΑριστοτέλης Φυσικά Βιβλίο Ζ σημείωση 62 σελίδα 242raquo ως εξής laquoΟ Ζήνων δέχεται λανθασμένα ότι κάθε σώμα που κινείται πρέπει να βρίσκεται για ίσο χρόνο απέναντι στα σώματα που προσπερνάraquo Η παραπάνω πρόταση βέβαια ισχύει με την προϋπόθεση ότι τα σώματα αυτά είναι στοιχειώδη και αδιαίρετα Ας δούμε τη συνέχεια του συλλογισμού Αρχίζουμε να μετράμε τις στοιχειώδεις μονάδες χρόνου που θα περάσουν από τη στιγμή που το στοιχειώδες

τμήμα Β1 της ομάδας Β βρίσκεται μπροστά στο Α3 της ακίνητης ομάδας Α και το στοιχειώδες τμήμα Γ1 μπροστά από το Α2 όπως φαίνεται στο σχήμα 1 έως ότου οι τρείς ομάδες βρεθούν στη θέση του σχήματος 2

No272


Προσέχοντας το κομμάτι Β1 της ομάδας Β σε σχέση με την ακίνητη ομάδα Α παρατηρούμε ότι χρειάστηκε από την αρχή μέχρι το τέλος του laquoταξιδιούraquo αυτού δύο στοιχειώδεις μονάδες χρόνου Μια για κάθε ένα από τα τμήματα A1 και Α2 Κάνοντας τώρα τη μέτρηση του χρόνου σε σχέση με την κινούμενη ομάδα Γ παρατηρούμε ότι το Β1 εφόσον πέρασε μπροστά από το καθένα από τα τέσσερα κομμάτια της ομάδας Γ άρα χρειάστηκε συνολικά για το ίδιο laquoταξίδιraquo χρόνο ίσο με τέσσερις στοιχειώδεις μονάδες Κι αυτό είναι το παράδοξο Δηλαδή δύο μονάδες χρόνου είναι ίσες με τέσσερις Άρα άτοπο


355 Αν οι προβολές των δύο απέναντι πλευρών ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου ΑΒΓΔ πάνω σε μια διαγώνιό του είναι ίσες τότε η άλλη διαγώνιος του τετραπλεύρου αυτού θα είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου

(Χ Τσαρούχης Θεωρήματα και προβλήματα Γεωμετρίας Βιβλίο Ι τ Ιάσκ225) Λύση

1ος τρόπος Θεωρούμε το μέσο Μ της διαγωνίου ΒΔ Έστω ακόμα Β΄ Δ΄ και Μ΄ οι ορθές προβολές των Β Δ και Μ πάνω στη άλλη διαγώνιο του εγγράψιμου τετραπλεύρου ΑΒΓΔ (Σχ1)Έστω ακόμα ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου στο ΑΒΓΔ είναι το σημείο Ο

Επειδή οι προβολές των δύο απέναντι πλευρών ΑΒ και ΓΔ πάνω στη διαγώνιο ΑΓ είναι ίσες προκύπτει

( ) 1΄ΑΒ = ΓΔ Επειδή ακόμα το σημείο Μ είναι το μέσο της διαγωνίου ΒΔ και το τμήμα

Β΄Δ΄ είναι η προβολή της διαγωνίου αυτής πάνω στην ΑΓ το σημείο Μ΄ θα είναι το μέσο της προβολής Β΄Δ΄ Δηλαδή

( )2΄ ΄ ΄ ΄Β Μ =Μ Δ Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει

( ) 3΄ ΄ ΄ ΄ ΄ ΄ ΄ΑΒ +Β Μ =Μ Δ +Δ ΓrArrΑΜ =Μ Γ


Επομένως το σημείο Μ΄ είναι και μέσο της διαγωνίου ΑΓ Άρα η Μ΄Μ είναι η μεσοκάθετος της διαγωνίου ΑΓ του εγγράψιμου τετράπλευρου και συνεπώς θα διέρχεται από το κέντρο Ο του περιγεγραμμένου κύκλου και θα είναι

( )4ΟΜ perp ΑΓ Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις

1η περίπτωση Έστω ότι το κέντρο Ο του περιγεγραμμένου κύκλου ταυτίζεται με το μέσο Μ της διαγωνίου ΒΔ δηλαδή Ο equiv Μ

Τότε το ζητούμενο ισχύει Δηλαδή το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου είναι το μέσο της άλλης διαγωνίου ΒΔ 2η περίπτωση Έστω ότι το κέντρο Ο του περιγεγραμμένου κύκλου δεν ταυτίζεται με το μέσο Μ της διαγωνίου ΒΔ και είναι διαφορετικό του σημείου Μ δηλαδή Ο ne Μ

Τότε η ΟΜ επειδή συνδέει το κέντρο του κύκλου με το μέσο της χορδής ΒΔ η ΟΜ θα είναι θα είναι μεσοκάθετος προς τη χορδή αυτή Δηλαδή θα είναι

( )5ΟΜ perpΒΔ Από τις (4) και (5) θα είναι

ΑΓ ΒΔ το οποίο είναι άτοπο Άρα ισχύει μόνο η πρώτη περίπτωση και το σημείο Μ θα είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου στο ΑΒΓΔ κύκλου 2ος τρόπος Είναι γνωστό πως όταν έχουμε δύο μη παράλληλες χορδές ΑΒ και ΓΔ (Σχ2) σε ένα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ τότε οι μεσοκάθετοι (μ1) και (μ2) προς τις

χορδές αυτές τέμνονται σε ένα σημείο που είναι το κέντρο Ο του κύκλου Επανερχόμενοι στη λύση του αρχικού προβλήματος τότε όπως αναφέρθηκε η προβολή Μ΄ του μέσου Μ της ΒΔ (Σχ3) είναι το μέσο της διαγωνίου ΑΓ και η Μ΄Μ ορίζει τη μεσοκάθετο (κ1) της χορδής ΑΓ Θεωρούμε επίσης και τη μεσοκάθετο (κ2) της άλλης διαγωνίου η οποία θα διέρχεται από το μέσο Μ της ΑΒ και ασφαλώς θα είναι κάθετη στη διαγώνιο αυτή Η κάθε μια από τις δύο αυτές μεσοκαθέτους θα διέρχεται από το κέντρο Ο του περιγεγραμμένου κύκλου στο εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΒΓΔ και συνεπώς το σημείο τομής αυτών θα είναι το κέντρο Ο του κύκλου αυτού

Όμως το σημείο τομής των δύο αυτών μεσοκαθέτων είναι προφανώς το σημείο Μ δηλαδή το μέσο της ΒΔ Άρα το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου είναι το σημείο Μ(η περίπτωση της ταύτισης των κ1 κ2 αυτών είναι αδύνατη)


Άρα η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου είναι η άλλη διαγώνιος ΒΔ πράγμα που ζητούσε και το πρόβλημά μας


398 Δίνεται τρίγωνο ABC με εμβαδόν ίσο με Ε και σημείο Μ στο εσωτερικό του Οι τρεις διακεκομένες ευθείες που διέρχονται από το σημείο Μ τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου αυτού όπως δείχνει το σχήμα δημιουργώντας τρία τρίγωνα με εμβαδά Ε1Ε2Ε3 Να δειχθεί η σχέση

1 2 3

1 1 1 18+ + ge

Ε Ε Ε Ε

(Νίκος Ζανταρίδης Μαθηματικός Έδεσσα Από Ρουμάνικο βιβλίο)










Το τέταρτο παράδοξο του Ζήνωνα έχει σχέση με τη σχετικότητα των κινήσεων των υλικών σωμάτων και μrsquo ότι αυτή συνεπάγεται Το κεφάλαιο της φυσικής που μελετά τις κινήσεις των σωμάτων μας δίνει τη δυνατότητα να σκεφτούμε πιο πλατιά την ιδέα του Ζήνωνα που στηρίζει το παράδοξο του σταδίου Ας υποθέσουμε ότι σε ένα επίπεδο(στάδιο) έχουμε έναν ακίνητο παρατηρητή Α και δύο σώματα Β και Γ σε απόσταση 2Χ τα οποία κινούνται(ευθύγραμμα και ομαλά) με ταχύτητες ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς όπως φαίνονται στο ακόλουθο

σχήμα έως ότου να συναντηθούν Στην περίπτωση αυτή αν θεωρήσουμε τις μετρήσεις ως προς τον ακίνητο παρατηρητή Α τότε σε διάρκεια χρόνου ίσης με 1t οι αποστάσεις που θα διανύσουν τα δύο σώματα θα είναι ίσες με Χ και θα ισχύει

( )1 1 1t tυ υΒΟ = Χ = sdot ΓΟ = Χ = sdot Το συμπέρασμα σrsquo αυτή την περίπτωση είναι πως θα συναντηθούν στο μέσο της αρχικής των απόστασης θα διανύσουν την ίδια απόσταση και θα κινηθούν σε ίση χρονική διάρκεια Αν το ίδιο φαινόμενο το δούμε όχι ως προς τον ακίνητο παρατηρητή Α αλλά ως προς ακίνητο τον παρατηρητή που βρίσκεται στη θέση του κινητού Β τότε το ίδιο φαινόμενο θα φαίνεται όπως στο σχήμα 2

Στην περίπτωση αυτή το σημείο Α θα φαίνεται να κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα ίση με υ και το σώμα Γ να κινείται κι αυτό προς τα αριστερά αλλά με ταχύτητα ίση με 2υ Αν ο χρόνος που θα χρειαστεί το σώμα Γ να συναντήσει το σώμα Β είναι ίσος με 2t τότε θα ισχύει

( )2 22 2 2t tυ υΒΓ = Χ = rArr Χ =

No273

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 20 Ιουλίου 2011 24 Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει

1 2 1 2t t t tυ υ= rArr = Η τελευταία σχέση δηλώνει ότι ο χρόνος που μετρά ο ακίνητος παρατηρητής στην πρώτη περίπτωση όταν βρίσκεται στη θέση Α είναι ίσος με το χρόνο που μετρά κι ο ακίνητος παρατηρητής στη θέση Β Από την άλλη μεριά οι σχετικές ταχύτητες διαφοροποιούνται Ο πρώτος παρατηρητής στη θέση Α(πρώτη περίπτωση) τις βλέπει ίσες ενώ ο δεύτερος στο Β(δεύτερη περίπτωση) βλέπει το σώμα Γ να έχει διπλάσια ταχύτητα απrsquo αυτή της πρώτης περίπτωσης Αυτό λέει η σημερινή φυσική Όμως ο Ζήνωνας υποστήριζε ότι οι ταχύτητες και στη μια και στην άλλη είναι οι ίδιες(ΣΜ272)


356 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 7 P x x x ax b a b Z= minus + + isin

τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )22 0 13 0 7 1P P+ =

1ο ) Να βρείτε το ( )0P 2ο) Αν ισχύει η σχέση

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0 2P P Psdot sdot = Να λύσετε την εξίσωση

( ) 0P x = (Γ Λ Μαυρίδης Άλγεβρα Β΄ Λυκείου Γενικής Παιδείας σελ 141 Θέμα 22)

Λύση 1ο) Από τη σχέση (1) θεωρώντας την ως μια δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το ( )0P προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 13 0 7 2 0 13 0 7 0P P P P+ = hArr + minus = η εξίσωση αυτή έχει διακρίνουσα

( )2 24 13 4 2 7 225 0β αγΔ = minus = minus sdot sdot minus = gt Άρα

( )12

13 15 2 113 225 4 4 20

13 15 282 2 74 4

ZP

Z

minus +⎧ = = notin⎪minus plusmn ⎪= = ⎨minus minus minussdot ⎪ = = minus isin⎪⎩

Από τις δύο αυτές ρίζες δεχόμαστε αυτή που είναι ακέραια διότι

( ) ( )3 20 0 7 0 3P a o b b Z= minus sdot + sdot + = isin Άρα

( )0 7P = minus και από την (3) ακόμα θα είναι

7b = minus

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 20 Ιουλίου 2011 34 επομένως το πολυώνυμο γίνεται

3 2( ) 7 7P x x x ax a Z= minus + minus isin

2ο) Υπολογίζουμε ξεχωριστά τον καθένα από τους παράγοντες που υπάρχουν στη σχέση (2)

( ) ( ) ( )1 13 2 2 27 3 3 43P a P a P a= minus = minus = + άρα η εξίσωση (2) γίνεται

( ) ( )( )13 2 27 3 43 0a a aminus minus + = από την οποία προκύπτουν οι λύσεις

13272433

a Z

a Z

a Z

⎧⎪ = isin⎪⎪ = notin⎨⎪⎪ = minus notin⎪⎩

όμως επειδή ο a είναι ακέραιος από τις τρεις αυτές τιμές δεκτή είναι μόνο η πρώτη Άρα

13a = Έτσι τελικά το πολυώνυμο γίνεται

3 2( ) 7 13 7P x x x x= minus + minus Για να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου αυτού παρατηρούμε ότι από τους

διαιρέτες του σταθερού όρου η τιμή 1x = μηδενίζει το πολυώνυμο οπότε εκτελώντας τη διαίρεση ( ) ( ) 1P x x minus ή εκτελώντας τη γνωστή διαδικασία με το σχήμα Horner τελικά είναι

( )( )2( ) 1 6 7P x x x x= minus minus + Άρα

( ) ( )

( )

2

1

22 3

( ) 0 1 6 7 0

1

6 7 0 3 2 3 2

P x x x x

x

x x x x

= hArr minus minus + = hArr

=⎧⎪hArr ⎨ minus + = hArr = minus = +⎪⎩

357 Στις πλευρές ΟΧ και ΟΨ της γωνίας ΧΟΨ θεωρούμε τα σημεία Α και Β τέτοια ώστε να είναι

( )1λΟΑ+ΟΒ = όπου λ ένας σταθερός θετικός αριθμός

Επίσης στις ίδιες πλευρές θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία Γ και Δ τέτοια ώστε

( )( ) ( )( ) ( )2 2ct Rκ κΟΑ ΟΓ = ΟΒ ΟΔ = = isin


Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζει η ΓΔ διέρχεται από σταθερό σημείο Λύση Επειδή λόγω της (1) είναι

λΟΑ+ΟΒ = ο κύκλος (c) που διέρχεται από τα σημεία Ο Α Β διέρχεται κι από το σημείο Σ της

διχοτόμου της γωνίας ΑΟΒ το οποίο είναι σταθερό() Εξάλλου λόγω της σχέσης (2) τα σημεία Γ και Δ είναι οι εικόνες των σημείων

Α και Β ως προς το σημειακό μετασχηματισμό της αντιστροφής που έχει κέντρο το σημείο Ο και δύναμη το 2κ

Επειδή όμως τα σημεία Α και Β ανήκουν στον κύκλο (c) οι εικόνες Γ και Δ θα ανήκουν και στην εικόνα του κύκλου (c) Το ίδιο θα συμβεί και για την εικόνα Σrsquo του σταθερού σημείου Σ που τέμνει η διχοτόμος τον κύκλο (c) δηλαδή το Σ΄ θα ανήκει στην εικόνα του κύκλου (c) μέσω της αντιστροφής αυτής

Όμως επειδή ο κύκλος αυτός διέρχεται από τον πόλο της αντιστροφής Ο η εικόνα του θα είναι η ευθεία γραμμή (ε) Κατά συνέπεια η ΓΔ θα διέρχεται από το σταθερό σημείο Σ΄ που είναι η εικόνα του σταθερού Σ μέσω της αντιστροφής αυτής

() Γνωστή πρόταση


399 Να υπολογιστεί ο αριθμός 2 2 2999 999 999 888 888 888 111111111minus minus

(Gazeta mathematica Τόμος 4 2003)

400 Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ( ) ( ) ( )2 f x f y x y x y Rminus le minus forall isin

τότε η f είναι σταθερή στο R










Αν και η σημερινή φυσική θεωρώντας τη σχετικότητα των κινήσεων καταλήγει στη διαφοροποίηση των ταχυτήτων που μετρά κάθε φορά ο ακίνητος παρατηρητής σε σχέση με τον ακίνητο ο Ζήνων εκείνη την εποχή δέχεται με τον οξυδερκή συλλογισμό του το αντίθετο Όπως αναλύθηκε προηγούμενα(ΣΜ272) ο Ζήνων υποστηρίζει ότι ένα στοιχειώδες και αδιαίρετο σώμα που κινείται πρέπει να βρίσκεται για ίσο χρόνο απέναντι από ένα σώμα(στοιχειώδες και αδιαίρετο) όταν το προσπερνά Ουσιαστικά δηλαδή δέχεται ότι η ταχύτητα με την οποία το προσπερνά είναι πάντα η ίδια Παραμένει η ίδια ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή μrsquo εκείνη ως προς έναν ακίνητο Με άλλα λόγια ο Ζήνωνας δέχεται ότι η ταχύτητα είναι η ίδια απrsquo όπου κι αν μετρηθεί ή καλύτερα τη θεωρεί ίδια σε οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς Θα ήταν τολμηρό να υποστηρίξει κανείς την ομοιότητα του συλλογισμού αυτού με την ιδέα του Αϊνστάιν που στα αδιέξοδα της Νευτώνειας μηχανικής αντέταξε τη θεωρία της σχετικότητας Η ταχύτητα του φωτός σύμφωνα με τα πειράματα και τις μετρήσεις κυρίως του Δανού Remer(1676) καθώς και του Γάλλου Fizeau(1849) είναι σταθερή ως προς οποιονδήποτε παρατηρητή(ακίνητο ή κινούμενο) Τη σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός έθεσε ως αρχικό αξίωμα στη θεμελίωση και δημιουργία της θεωρίας της σχετικότητας κατόπιν στον εικοστό αιώνα ο Αϊνστάιν Αυτό βέβαια ισχύει μόνο για την ταχύτητα του φωτός Μέσα στο παράδοξο του σταδίου όμως ο Ζήνων θέλοντας να υποστηρίξει την ακινησία του σύμπαντος κόσμου υποστήριξε τη σταθερότητα της ταχύτητας του κινητού Β1Β2Β3Β4 ως προς το ακίνητο σώμα Α1Α2Α3Α4 αλλά και ως προς το κινούμενο αντίθετα μrsquo αυτό Γ1Γ2Γ3Γ4 Γυρίζοντας στην αναφορά του Αριστοτέλη στο έργο του Φυσική Ακρόασις(Φυσικά) βλέπουμε την αναίρεση των συλλογισμών του Ζήνωνα Ειδικότερα στο παράδοξο του σταδίου ο Αριστοτέλης κλείνει τον όλο συλλογισμό του αποκαλώντας για δεύτερη φορά ως ψευδή το συλλογισμό του Ζήνωνα λέγοντας

laquoὁ μέν οὖν λόγος οὗτος ἐστιν συμβαίνει δέ παρά το εἰρημένον ψεῦδοςraquo

(Αριστοτέλης Φυσική Ακρόασις 240α17-18) Δηλαδή

laquoΟ ισχυρισμός λοιπόν (του Ζήνωνα) αυτός είναι βέβαια όμως είναι αποτέλεσμα του προαναφερόμενου ψεύδουςraquo [1]

Η αναφορά αυτή στον παραλογισμό του Ζήνωνα γίνεται από τον Αριστοτέλη ύστερα από τη διεξοδική ανάπτυξη του συλλογισμού του ελεάτη φιλοσόφου στις παραγράφους 240α - 5 μέχρι και 240α ndash 17 Στις παραγράφους αυτές μπορεί κανείς

No274


να διαβάσει με αρκετή λεπτομέρεια την όλη διαδικασία της κίνησης των σωμάτων Β και Γ σε σχέση με το ακίνητο Α μέσα στο στάδιο [1] Ο πρώτη φορά που διαψεύδει το Ζήνωνα είναι λίγο πριν στη 240α - 4


358 Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )2010 21005 0 1x x αminus + =

όπου α ένας σταθερός πραγματικός αριθμός έχει το πολύ μια ρίζα στο διάστημα (01) Λύση Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο Έστω λοιπόν ότι η εξίσωση (1) έχει στο διάστημα αυτό δύο ρίζες

Δηλαδή έστω ότι υπάρχουν δύο αριθμοί

( )1 2 1 2 01 ρ ρ με ρ ρisin lt και τέτοιοι ώστε

( ) ( ) ( )1 2 0 2f fρ ρ= = Για τη συνάρτηση

( ) 2010 21005f f x x x aμε = minus + παρατηρούμε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle Δηλαδή για τη συνάρτηση αυτή ισχύει

bull Είναι ορισμένη και συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ]1 2ρ ρ

bull Είναι παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα ( )1 2ρ ρ bull Ισχύει η ισότητα

( ) ( )1 2 0f fρ ρ= = Επομένως υπάρχει τουλάχιστο ένα

( ) ( )1 2 01ξ ρ ρisin sub τέτοιο ώστε

( ) ( )0 3f ξprime = Όμως είναι

( )

( ) ( )

2009

2009

2009 2008

2010 1005 2 0

2010 2010 0

0 1 0 4

f x x x

x x

x x x x

prime = minus sdot = hArr

hArr minus = hArr

hArr minus = hArr minus =

Η εξίσωση (4) ακόμα ισοδυναμεί με την

( )( ) ( )2007 20061 1 0 5x x x x xminus + + + + =


Η εξίσωση (5) δεν έχει καμία ρίζα που να ανήκει στο διάστημα ( )01 γιατί για

κάθε ( )01xisin είναι 2007 20060 1 0 1 0x x x x xgt minus lt + + + + gt

Άρα η (3) είναι αδύνατη και συνεπώς η υπόθεσή μας είναι άτοπη Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση (1) έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα ( )01

359 Να υπολογισθούν τα όρια των συναρτήσεων f g όταν το χ τείνει στο μηδέν

( )

( )

2

2

1)

2 1)1

n xi f x n Nx

ii g xx x

συν

ημ συν

minus= isin

= minusminus

Λύση i) Η συνάρτηση ( )f x γράφεται ως εξής

( ) 2

1 n xf xxσυνminus

= =

( )( )2 1

2

1 1 nx x x xx

συν συν συν συν minusminus + + + += =

( ) ( )2 12

11 nx

x x xxσυν

συν συν συν minusminus= + + + + =

( )2

2 12

22 1

42

n

x

x x xx

ημσυν συν συν minus= + + + + =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

2 12

1 2 1 2

2

n

x

x x xx

ημσυν συν συν minus= + + + +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα από τον τελευταίο τύπο έχουμε

( ) 20 0

1lim limn

x x

xf xxσυν

rarr rarr

minus= =

( )2

2 120

1 2lim 1 2

2

n

x

x

x x xx

ημσυν συν συν minus

rarr

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦


( )2

2 120 0

1 2lim lim 1 2

2

n

x x

x

x x xx


rarr rarr

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡ ⎤= + + + + =⎣ ⎦⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1 1 1 12 2

n έn

φορ ς⎡ ⎤⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

Άρα

( )0

lim2x

nf xrarr

=

ii) Όμοια είναι

( ) 2 20 0 0 2

2 1 2 1lim lim lim1 2

2x x x

g x xx x xημ συν ημ ημrarr rarr rarr

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

= minus = minus =⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

20 02 2 2 2

2 1 2 1lim lim2 4 2

2 2 2 2x xx x x xxημ ημ ημ συν ημrarr rarr

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22

0 02 2

11 1 22lim lim2 2

2 2x x

xx

x x

ημσυν

ημ συνrarr rarr

minus= =

sdot 2

2xημ 2

1 1 12 1 2

2xσυν= sdot =

sdot

Άρα

( )0

1lim2x

g xrarr

=



( ) ( ) 1log log4x x x xx xημ συν ημ συνημ συνsdot sdotsdot =

(Ι Πανάκης Τριγωνομετρία 3ος τόμος σελ154)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 3 Αυγούστου 2011 14






Η σκέψη του Τολστόι Τα τέσσερα παράδοξα του Ζήνωνα απασχόλησαν και απασχολούν και σήμερα πολλούς γιατί αγγίζουν τα όρια της ανθρώπινης λογικής και πολλές φορές έγιναν αφορμή για νέες ιδέες και νέες διαδρομές της επιστήμης και της φιλοσοφίας Ο Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος που αντιφώνησε και έβαλε τις βάσεις θεώρησης του κόσμου σε ότι αφορά τη laquoκίνησηraquo την έννοια του laquoσυνεχούςraquo και την έννοια του laquoαπείρουraquo Πολλοί στην ύστερη διαδρομή είπαν περισσότερα Αξίζει να αναφέρουμε τις απόψεις που διατύπωσε ο μεγάλος Ρώσος λογοτέχνης του 19ου αιώνα ο Λέων Τολστόι(1828-1910) σχετικά με τα παράδοξα του Ζήνωνα και ειδικότερα με το δεύτερο που μιλά για τον ταχύποδα Αχιλλέα και τη βραδυκίνητη χελώνα Ο σπουδαίος αυτός συγγραφέας κι από τους σημαντικότερους εκπροσώπους της ρεαλιστικής λογοτεχνίας στο κορυφαίο έργο του laquoΠόλεμος και Ειρήνηraquo στην προσπάθεια να αναλύσει το βάθος της ανθρώπινης σκέψης και ψυχολογίας ανατρέχει στους αρχαίους και μάλιστα ακουμπά στη σκέψη του Ζήνωνα Ο Τολστόι θέλοντας να μελετήσει τους νόμους της laquoιστορικής κίνησηςraquo ανατρέχει στους νόμους της laquoφυσικής κίνησηςraquo και στους αρχαίους που τη μελέτησαν πρώτοι Γράφει λοιπόν ο Τολστόι όταν συλλογίζεται στο τρίτο μέρους του έργου αυτού laquoΓια το ανθρώπινο μυαλό είναι ακατανόητο το απόλυτα συνεχές της κίνησης Στον άνθρωπο γίνονται κατανοητοί οι νόμοι οποιασδήποτε κίνησης όταν εξετάζει αυθαίρετα μονάδες της κίνησης αυτής Όμως ταυτόχρονα απrsquo αυτή ακριβώς την αυθαίρετη διαίρεση της αδιάκοπης κίνησης σε διακοπτές μονάδες πηγάζουν κατά το μεγαλύτερο μέρος οι ανθρώπινες πλάνεςraquo

(Λέων Τολστόι Πόλεμος και Ειρήνη Τρίτο μέρος σελίδα 7 Εκδόσεις Το Βήμα βιβλιοθήκη του κόσμου Ρώσοι λογοτέχνες 17)

Στην εισαγωγική αυτή πρόταση του Τολστόι βλέπει κανείς να μπαίνει αμέσως το laquoπρόβλημα του συνεχούςraquo Ένα πρόβλημα που οι εξελίξεις των μαθηματικών και της φυσικής του 18ου και 19ου αιώνα θα οδηγήσουν στην καλύτερη κατανόηση Ο διαφορικός και ο ολοκληρωτικός λογισμός θα γίνουν εργαλεία για τη λύση των γρίφων του Ζήνωνα και του αδιεξόδου των παραδόξων αυτών Πράγματι στην πρόταση αυτή ο ρώσος συγγραφέας παρατηρεί την ανθρώπινη αδυναμία στην κατανόηση της οποιασδήποτε κίνησης Οι πλάνες στις οποίες

No275

Λέων Τολστόι (1828-1910)

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 3 Αυγούστου 2011 24 οδηγείται ο ανθρώπινος νους εστιάζονται στο γεγονός ότι το laquoόλονraquo τεμαχίζεται σε laquoαυθαίρετες μονάδεςraquo που η μια με την άλλη δεν έχουν καμιά σχέση Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η laquoαδιάκοπη κίνησηraquo να μετασχηματίζεται σε laquoδιακοπτές μονάδεςraquo και να οδηγεί σε αδιέξοδα και σε ανθρώπινες πλάνες


360 Τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς ίσης με τη μονάδα είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (c) Αν Ρ τυχαίο σημείο του κύκλου (c) να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης

F = ΡΑ sdotΡΒ sdotΡΓ sdotΡΔ (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση Επειδή η πλευρά του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι ίση με τη μονάδα η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου θα είναι

( )2 12

R =

Αν θέσουμε θΑΔΡ =

τότε θα είναι θΑΒΡ =

γιατί είναι εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο και βαίνουν στην ίδια χορδή ΑΡ Ακόμα το μικρό τόξο που αντιστοιχεί στην πλευρά του τετραγώνου ΑΒ είναι 90ο και επειδή το αντίστοιχο μικρό τόξο που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΡ είναι 2θ άρα το μικρό τόξο που αντιστοιχεί στη χορδή ΡΒ θα είναι 90 2ο θminus και συνεπώς η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σrsquo αυτό θα είναι ίση με 45ο θminus Άρα

45ο θΡΑΒ = minus Εφαρμόζουμε το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΡΑΒ και θεωρώντας τις

γωνίες όπως αυτές εμφανίζονται στο σχήμα 1 θα είναι


( )( )1 22 2 2

245R

οημθ ημ θΡΑ ΡΒ

= = = =minus

( ) ( )2 245οημθ ημ θ

ΡΑ ΡΒ= =

minus

Από τη σχέση (2) προκύπτει

( )2 3ημθΡΑ = και

( )2 45 2 45 2 45ο ο οημ θ ημ συνθ συν ημθΡΒ = minus = minus =

2 22 22 2συνθ ημθ συνθ ημθ= sdot minus sdot = minus

δηλαδή

( )4συνθ ημθΡΒ = minus Όμοια εφαρμόζουμε το θεώρημα των ημιτόνων στο τρίγωνο ΡΓΔ και

προκύπτει η σχέση

( ) ( ) ( )2 590 45ο οημ θ ημ θΡΓ ΡΔ

= =minus +

από την οποία όμοια προκύπτει

( )2 6συνθΡΓ =

( )7συνθ ημθΡΔ = + Από τις (3) (4) (6) και (7) προκύπτει

( )2 22F ημθ συνθ συν θ ημ θ= ΡΑsdotΡΒsdotΡΓ sdotΡΔ = sdot sdot minusδηλαδή

( ) ( ) ( )1 12 2 22 2

ημ θ συν θ ημ θΡΑ sdotΡΒ sdotΡΓ sdotΡΔ = sdot = le

Άρα η μέγιστη τιμή της παράστασης αυτής είναι το 1 2 και συμβαίνει όταν το σημείο Ρ είναι το μέσο του τόξου ΑΒ ή του ΒΓ ή του ΓΔ ή του ΔΑ 361 Έστω η συνάρτηση f R Rrarr η οποία είναι παραγωγίσιμη και κοίλη Να αποδείξετε ότι

1 Για κάθε a b Risin με a blt ισχύει

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1f b f a

f a f bb aminus

gt gtminus


2 Για κάθε 0x gt ισχύει

( )1 1 1ln 21

xx x x

+gt gt

+ (ΓΛΜαυρίδης Μαθηματικά Γrsquo Λυκείου Θετ και Τεχν Κατνσης Τεύχος βrsquo σελ61) Λύση 1 Εφόσον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο R η παράγωγος f prime θα είναι μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο R Ακόμα από το θεώρημα της μέσης τιμής για τη συνάρτηση αυτή στο διάστημα [ ]a b προκύπτει ότι θα υπάρχει αριθμός

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3f b f a

a b fb a

ξ ξminus

primeisin =minus

Άρα από τη μονοτονία της f prime και από τη σχέση a bξlt lt θα είναι

( ) ( ) ( ) ( )4f a f f bξprime primegt gt Από την (3) και (4) προκύπτει η ζητούμενη (1)

2 Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) ln 0f x x x= gt

η οποία είναι κοίλη στο διάστημα ( )0+infin και συνεπώς σύμφωνα με την (1) για το

διάστημα [ ] 1x x + θα είναι

( ) ( ) ( )( )ln 1 lnln ln 1

1x x

x x+ minus primeprime gt gt +

δηλαδή 1 1 1ln

1x

x x x+

gt gt+


402 Στις πλευρές ΑΒ ΑΔ του παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε Κ αντίστοιχα τέτοια ώστε να ισχύει

2ΑΕ ΑΚsdot =

ΕΒ ΚΔ Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ που τέμνεται από τα τμήματα ΓΕ ΓΚ στα σημεία P Q αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι

2 2 2Q PQΒΡ + Δ = (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)









Η σκέψη του Τολστόι Ο συλλογισμός του μεγάλου Ρώσου λογοτέχνη του Λέοντος Τολστόι που ξεδιπλώνεται στο έργο laquoΠόλεμος και Ειρήνηraquo και σχετίζεται με το παράδοξο του laquoΑχιλλέα και της χελώναςraquo έχει μεγάλη σημασία γιατί απεικονίζει την αντίληψη της ελεατικής σκέψης που διαχέεται στους σκεπτόμενους ανθρώπους του 19ου αιώνα Αξίζει ακόμα να δούμε την απλότητα της περιγραφής του παραδόξου αυτού από το μεγάλο αυτό συγγραφέα

laquoΕίναι γνωστό το λεγόμενο laquoσόφισμα των αρχαίωνraquo που έγκειται στο ότι ο Αχιλλέας ποτέ δε θα φτάσει τη χελώνα που προηγείται παρόλο που ο Αχιλλέας βαδίζει δέκα φορές πιο γρήγορα απrsquo τη χελώνα μόλις ο Αχιλλέας περάσει την απόσταση που τον χωρίζει απrsquo τη χελώνα αυτή θα τον ξεπεράσει κατά το δέκατο της απόστασης Ο Αχιλλέας θα περάσει το δέκατο αυτό η χελώνα θα περάσει το ένα εκατοστό και ούτω καθεξής χωρίς τέλοςraquo


Ο Τολστόι δεν αναφέρει καθόλου το όνομα του Ζήνωνα Το παράδοξο αυτό το αποκαλεί laquoσόφισμα των αρχαίωνraquo και με τη φράση αυτή εννοεί ασφαλώς τους Αρχαίους Έλληνες και ειδικότερα τους Ελεάτες Παρμενίδη και Ζήνωνα Μέσα στις λίγες αυτές γραμμές ο συγγραφέας καταφέρνει να περιγράψει το παράδοξο αυτό και μάλιστα χωρίς μαθηματικές διατυπώσεις και άλλες δύσκολες έννοιες από το χώρο της κινηματικής φυσικής Μπορεί κι ο πιο απλός αναγνώστης να αντιληφθεί αυτό που και Ζήνωνας πρότεινε Να τεμαχίσει την laquoσυνέχεια της κίνησηςraquo σε laquoδιακοπτές μονάδεςraquo κι από κει και πέρα να δημιουργήσει το αδιέξοδο στον τελικό συλλογισμό Ένα αδιέξοδο που οδηγεί στην παραδοξότητα και στην αντίφαση προς την καθημερινή εμπειρία και πρακτική Και συνεχίζοντας ο Τολστόι γράφει laquoΤο πρόβλημα αυτό φαινόταν στους αρχαίους άλυτο Το ανόητο της λύσης (πως ο Αχιλλέας δε θα ΄φτανε ποτέ τη χελώνα) προερχόταν μονάχα απrsquo το ότι αυθαίρετα εισχώρησαν διακοπτές μονάδες της κίνησης ενώ η κίνηση και του Αχιλλέα και της χελώνας γινόταν συνεχώςraquo Στην παράγραφο αυτή ο Τολστόι εξηγεί χωρίς πολλές περιστροφές και δίχως τη χρήση μαθηματικών εννοιών τη λαθεμένη συλλογιστική του Ζήνωνα χρησιμοποιώντας τη φράση laquoτο ανόητο της λύσηςraquo Η φράση αυτή είναι παρόμοια μrsquo εκείνη που διαβάζουμε στα laquoΦυσικάraquo του Αριστοτέλη όπου ο φιλόσοφος αυτός

No276


λέει πως laquoο Ζήνωνας παραλογίζεταιraquo(Φυσικά 239b-5) όταν δηλώνει ότι ο ταχύπους Αχιλλεύς δεν θα φθάσει ποτέ τη βραδυκίνητη χελώνα που προηγείται απrsquo αυτόν Κι όμως ο παραλογισμός αυτός και το laquoανόητοraquo της λύσης που δίνει ο Ζήνωνας οδήγησαν τον ανθρώπινο νου σε μεγάλες και δημιουργικές περιπλανήσεις


362 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f R Rrarr

τέτοια ώστε

( )99 (1)2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο R

(Νίκος Ζανταρίδης Μαθηματικός Έδεσσα) Λύση Θεωρούμε έναν πραγματικό αριθμό α τέτοιο ώστε 0α gt Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ ]α αminus θα παρουσιάζει στο διάστημα αυτό μια ελάχιστη τιμή μ και μια μέγιστη τιμή Μ

Θα είναι δηλαδή

[ ] ( )( ) 2f x xμ α αle leΜ forall isin minus

Έστω [ ]0 x α αisin minus η θέση του μεγίστου της f Τότε θα είναι

( ) ( )0 3f x =Μ και επειδή

[ ]0 0 0 2 3 100x x x

α αisin minus

λόγω της (2) θα είναι

( )0 0 0 42 3 100x x xf f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞le Μ leΜ leΜ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Υποθέτουμε τώρα πως είναι

( )0 52xf ⎛ ⎞ ltΜ⎜ ⎟

⎝ ⎠

τότε από την δοθείσα σχέση (1) για 0x x= θα ισχύει

( )( ) ( )3 5

0 0 0099

2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

99

99 έφορ ς

Μ ltΜ +Μ + +ΜrArr


99 99Μ lt Μ το οποίο είναι άτοπο Δηλαδή η σχέση (5) είναι άτοπη άρα σύμφωνα με την (4) θα είναι

0

2xf ⎛ ⎞ =Μ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Με αναδρομική διαδικασία μπορούμε ακόμα να δείξουμε

0 0 02 3

2 2 2x x xf f f ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=Μ =Μ =Μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

αυτό σημαίνει ότι

( )0 62xf ν ν⎛ ⎞Μ = forall isinΝ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Από την (6) θα είναι ακόμα

( )

0

0

lim lim2

lim 72

xf

xf

νν ν

νν

rarr+infin rarr+infin

rarr+infin

⎛ ⎞Μ = rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Μ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

κι επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής θα είναι ακόμα

( ) ( )0

20lim lim 0

2

x

xf f fνω

νν νω

=


⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( )0 8fΜ = Όμοια δείχνεται ότι

( ) ( )0 9fμ = άρα

( ) ( )0 10fμ =Μ = Τελικά από τη (2) κι από τη (10) θα είναι

( ) ( ) [ ]0 f x f x α α= forall isin minus όπου α οποιοσδήποτε θετικός αριθμός Επομένως

( ) ( )0 f x f x R= forall isin δηλαδή η f είναι σταθερή στο R



403 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα εσωτερικά σημεία Ε και Ζ των πλευρών ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα έτσι ώστε

45οΕΑΖ =

Αν Κ και Λ είναι οι προβολές του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΕΖ στις πλευρές ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα τότε i) Να βρεθεί ο γ τόπος της προβολής της κορυφής Α πάνω στην ΕΖ ii) Να δειχθεί ότι

( ) ( )12

Ε ΑΚΜΛ = Ε ΑΒΓΔ (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

404 Αν

0αβ βγ γα αβγ+ + = ne και

3 3 3 3 3 3 3 3 3α β β γ γ α α β γ+ + = τότε να υπολογιστεί η παράσταση

( ) ( )( )α β β γ γ αΠ = + + + (Γιώργος Τσαπακίδης 5ο Θερινό Μαθηματικό Σχολείο ΕΜΕ Λεπτοκαρυάς)









Η σκέψη του Τολστόι Συνεχίζοντας ο Τολστόι την αναφορά στο παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας προσπαθεί να δώσει απάντηση κάνοντας χρήση τις νεώτερες κατακτήσεις της μαθηματικής επιστήμης του 19ου αιώνα σχετικά με τον απειροστικό λογισμό Ο Τολστόι χωρίς να είναι μαθηματικός ή φυσικός επιστήμονας εν τούτοις είναι καλά ενημερωμένος για τις νεώτερες εξελίξεις των επιστημών αυτών Έτσι στο κείμενο αυτό με το οποίο ξεκινά το τρίτο μέρος του έργου του laquoΠόλεμος και Ειρήνηraquo συνεχίζει να γράφει laquoΠαίρνοντας ολοένα και μικρότερες μονάδες της κίνησης πλησιάζουμε μονάχα στη λύση του ζητήματος όμως δεν την πετυχαίνουμε ποτέ Μονάχα αν παραδεχτούμε το απειροστό και την απrsquo αυτό προκύπτουσα πρόοδο με λόγο το ένα δέκατο και μονάχα αν πάρουμε το άθροισμα αυτής της γεωμετρικής προόδου πετυχαίνουμε τη λύση του προβλήματοςraquo


Η έννοια του laquoαπειροστούraquo είναι μια μαθηματική έννοια που θεμελιώνεται κυρίως στις αρχές του 18ου αιώνα από τους Νεύτωνα και Λάιμπνιτς και προσπαθεί να δώσει λύση στα ανοιχτά θέματα που ξεκινούν από την αρχαιότητα και έχουν σχέση με την μελέτη της κίνησης των σωμάτων και στον υπολογισμό του εμβαδού διαφόρων χωρίων όπως του κύκλου και άλλων καμπυλόγραμμων σχημάτων Με τη σημερινή αντίληψη η έννοια του laquoαπειροστούraquo ορίζεται ως εξής Ορισμός Η συνάρτηση f λέγεται απειροστό σε μια περιοχή ( ) ( ) π ξ ε ξ ε ξ ε= minus + (ή σε μια περιοχή του plusmninfin ) αν ισχύει

( ) ( )( )lim 0 lim 0x x

f x ή f xξrarr rarrplusmninfin

= = Ένα τέτοιο απειροστό είναι η συνάρτηση του

xημ στην περιοχή του μηδενός διότι το όριο της συνάρτησης αυτής στο μηδέν είναι μηδέν Δηλαδή

No277

Gottfried W Leibniz (1646-1716)


( )0

lim 0x

xημrarr

=

Ένα ακόμα απειροστό είναι και η συνάρτηση που εκφράζει το γενικό όρο μιας απολύτως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου γιατί σε μια τέτοια πρόοδο ο γενικός όρος τείνει πάντα προς το μηδέν όταν η τάξη του τείνει στο άπειρο


363 Αν 0x y z gt και ( )3 1x y z+ + = να δειχθεί ότι

( )3 3

3 3 22 3 2y zx + + ge

Λύση Για την απόδειξη της (2) θα στηριχτούμε στην ανισότητα του Houmllder η οποία εμφανίζεται με διάφορες μορφές

1 Έστω 0a b x y gt και 0p q gt τέτοιοι ώστε 1 1 1p q+ = τότε

( ) ( )1 1

p p q qp qa b x y ax by+ + ge + Η ισότητα ισχύει όταν

a bx y=

2 Έστω 0a b c x y z gt και 0p q gt τέτοιοι ώστε 1 1 1p q+ = τότε

( ) ( )1 1

p p p q q qp qa b c x y z ax by cz+ + + + ge + + Η ισότητα ισχύει όταν

Γενικά 3 Έστω 1 2 1 2 0 0n na a a b b bgt gt και 0p q gt τέτοιοι ώστε

1 1 1p q+ = τότε

( ) ( )1 1

1 2 1 2 1 1 2 2 p p p q q qp qn n n na a a b b b a b a b a b+ + + + + + ge + + +


1 2

1 2

n

n

aa ab b b= = =

a b cx y z= =


4 Έστω 1 2 1 2 1 2 0 0 0n n na a a b b b c c cgt gt gt και

0p q r gt τέτοιοι ώστε 1 1 1 1p q r+ + =

τότε

( ) ( ) ( )1 1 1

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

p p p q q q r r rp q rn n n

n n n

a a a b b b c c c

a b c a b c a b c

+ + + + + + + + + ge

ge + + +Η ισότητα ισχύει όταν

1 2 1 2

1 2 1 2

n n

n n

a aa a a ab b b c c c

και= = = = = =

Γενικευμένη μορφή

5 Αν οι αριθμοί 1 2 1 2ija i k j nμε = = είναι θετικοί και

1 2 1 2 0 1k kp p p p p pμεgt + + + = τότε

( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 2

11 12 1 21 22 2 1 2

11 21 1 12 22 2 1 2

k

k k k

p p pn n k k kn

p p pp p p p p pk k n n kn

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

+ + + + + + + + + ge

ge + + + Η ισότητα ισχύει όταν

( ) ( ) ( )11 12 1 1 21 22 2 1 1 2 n n na a a a a a a a aκ κ κ κλ λ minus= = = δηλαδή οι αριθμοί όλων των ν-άδων ανά δύο αντίστοιχα να είναι ανάλογοι

Λύση της άσκησης

Εφαρμόζουμε τη γενικευμένη μορφή της ανισότητας του Houmllder(5η περίπτωση) για τις τριάδες των θετικών αριθμών

( ) ( )3 3

3111 1232 3y zx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

και με θετικούς εκθέτες τους 1 1 1 3 3 3

οι οποίοι έχουν άθροισμα 1 1 1 13 3 3+ + =

άρα


( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1 1

1 1 1 1 1 11 3 33 333 3 3 3 3 331 1 1 2 1 3

2 3y zx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ge sdot sdot + sdot sdot + sdot sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )13x y z= + + =

Άρα

( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠


( ) ( )1

3 3 3 31 133 3 33 3

3 3 3 33 3

3 6 3 18 32 3 2 3

27 3 32 3 18 2 2 3 2

y z y zx x

y z y zx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge rArr + + ge rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

rArr + + ge = rArr + + ge⎜ ⎟⎝ ⎠

δηλαδή η ζητούμενη (2) Η ισότητα στη ζητούμενη σχέση (2) δεν ισχύει διότι οι αριθμοί 111 της

πρώτης τριάδας δεν είναι ανάλογοι των αριθμών 123 της τρίτης τριάδας


405 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α=90ο) και ΒΔ ΓΕ εσωτερικές διχοτόμοι που τέμνονται στο Ι Φέρουμε ΑΡ perp ΒΔ και ΑΤ perp ΓΕ

Να δειχθεί ότι

1ΑΡ ΑΤ+ =

ΒΙ ΓΙ (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)









Η σκέψη του Τολστόι

Αναφερόμενος ο Τολστόι στην προσπάθεια του ανθρώπου να κατανοήσει την κίνηση γράφει πως ο άνθρωπος έδωσε οριστική λύση όταν με τη συλλογιστική του επινόησε την έννοια του laquoαπειροστούraquo(ΣΜ 277) Ακόμα ο μεγάλος αυτός ρώσος λογοτέχνης του 19ου αιώνα μιλά και για το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου που σχετίζεται με το δεύτερο αυτό παράδοξο του Ζήνωνα το γνωστό ως παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας Η γεωμετρική πρόοδος στην οποία αναφέρεται ο συγγραφέας αυτός είναι η γνωστή πρόοδος που συναντήσαμε σχολιάζοντας το πρώτο παράδοξο(διχοτομία) καθώς και το δεύτερο του ταχύποδα Αχιλλέα (ΣΜ250 264) Είναι η γεωμετρική πρόοδος που έχει λόγο απολύτως μικρότερο της μονάδας ή αλλιώς είναι η γνωστή ως η απολύτως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος Ακολουθώντας το συλλογισμό του Τολστόι σκεφτόμαστε την πρόοδο αυτή η οποία έχει όρους

2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν

και είναι τα διαστήματα που διανύει κάθε φορά ο Αχιλλέας προσπαθώντας να φθάσει τη χελώνα που προηγείται στο ξεκίνημα του αγώνα από τον Αχιλλέα κατά 100 μέτρα

Ο λόγος της γεωμετρική αυτής προόδου είναι 1 1

10λ με λ= lt

και ο γενικός όρος της ακολουθίας αυτής είναι 1 100 ν

να λ νminus= sdot isinΝ Σύμφωνα με τον ορισμό που δόθηκε(ΣΜ277) μπορεί ο γενικός αυτός όρος

να θεωρηθεί ως ένα laquoαπειροστόraquo καθώς είναι lim 0νν

αrarr+infin

=

Επομένως το άθροισμα όλων αυτών των όρων που ουσιαστικά είναι laquoαπειροστέςraquo ποσότητες υπολογίζεται από το γνωστό τύπο

100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus

Αυτό ακριβώς εννοούσε και ο Τολστόι στην αρχή του τρίτου μέρους του έργου του laquoΠόλεμος και Ειρήνηraquo όταν έγραφε

No278


laquoΜονάχα αν παραδεχτούμε το απειροστό και την απrsquo αυτό προκύπτουσα πρόοδο με λόγο το ένα δέκατο και μονάχα αν πάρουμε το άθροισμα αυτής της γεωμετρικής προόδου πετυχαίνουμε τη λύση του προβλήματοςraquo


364 Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση

( ) ( ) 0 0f +infin rarr +infin για την οποία ισχύει

( )( ) ( )2

lim 1 1x

f xf xrarr+infin

=

τότε να δείξετε ( )( ) ( )3

lim 1 22x

f xf xrarr+infin

=

(Γιώργος Μιχαηλίδης Συλλογή Θεμάτων) Λύση Έστω ( )0xisin +infin τότε θα είναι

( )2 3 4 0x x x xlt lt gt κι επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει ακόμα

( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 3f x f x f xlt lt Όμως επειδή οι τιμές της συνάρτησης είναι θετικές από την (3) συνεπάγεται

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )2 3 4

2 02 2 2

f x f x f xf x

f x f x f xlt lt gt

Άρα

( )( )

( )( ) ( )3 4

1 42 2

f x f xf x f x

lt lt


( )( )

( )( )( )

( )( )

( )122 24 2lim lim lim 1

2 2

x u

x x u

f xf x f uf x f x f u

=

rarr+infin rarr+infin rarr+infin= = =

δηλαδή

( )( ) ( )4

lim 1 52x

f xf xrarr+infin

=



( )( )3

lim 12x

f xf xrarr+infin

=

δηλαδή η ζητούμενη (2) 365 Δίνεται κύκλος Κ(Ορ) και σταθερό σημείο Α στο εσωτερικό του Δύο σημεία Β Γ βρίσκονται στον κύκλο και με ένα τέταρτο Δ το τετράπλευρο που δημιουργείται από τα σημεία ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο

Να βρεθεί ο γτ του σημείου Δ (Πούλος Ανδρέας Μαθηματικός Θεσσαλονίκη)

Λύση Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις 1η περίπτωση Τα σημεία των κορυφών του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι όπως στο σχήμα 1

Δηλαδή τα Β Γ στον κύκλο ( ) ρΚ Ο και το σημείο Δ στο εσωτερικό του κύκλου αυτού

Τότε η μεσοκάθετος στη χορδή ΒΓ είναι και μεσοκάθετος στην άλλη πλευρά του ορθογωνίου ΑΒΓΔ και συνεπώς

( )d d ctΚΔ = ΚΑ = Κ Α = = άρα ο γεωμετρικό τόπος του σημείου Δ είναι κύκλος με κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα ίση με d =ΚΑ

Έτσι το σημείο Δ κινείται στον κύκλο ( )C dΚ 2η περίπτωση

Στην περίπτωση αυτή τα σημεία Β και Γ βρίσκονται πάλι στον κύκλο ( ) ρΚ Ο όμως το σημείο Δ βρίσκεται εκτός του κύκλου αυτού όπως αυτό

εμφανίζεται στο σχήμα 2 Τότε θα είναι

( )2 2 2 2 2 2 2 1ρΚΔ =ΚΜ +ΜΔ =ΚΜ +ΓΝ sdotΝΕ =ΚΜ + minusΚΝ


Όμως

( )2 2 2 2 2 2 2 2d d=ΚΑ =ΚΝ +ΑΝ rArrΚΝ = minusΑΝ

Από τις (1) και (2) έχουμε

( )2 2 2 2 2dρΚΔ = ΚΜ + minus minusΑΝ ή ακόμα

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22d d d ctρ ρ ρΚΔ = minus + ΚΜ +ΑΝ = minus + ΚΜ +ΒΜ = minus =

Άρα ο γ τόπος του σημείου Δ είναι ο κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα 2 22 dρ minus Ερώτημα Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου του ορθογωνίου και στις δύο αυτές περιπτώσεις


406 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 45οΒ = και 75οΓ = Στην πλευρά ΒΓ θεωρούμε εσωτερικό σημείο Δ έτσι ώστε

12

ΒΔ=

ΔΓ Να υπολογισθεί η γωνία

x = ΑΔΓ (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 7 Σεπτεμβρίου 2011 14






Η σκέψη του Τολστόι Αξίζει στο σημείο αυτό να παρακολουθήσει κανείς τη σκέψη του Λέοντος Τολστόι που αν και δεν είναι μαθηματικός όμως εκφράζει τη αντίληψη ενός ανθρώπου που παρακολουθούσε την εξέλιξη των ιδεών και των επιστημονικών επιτευγμάτων Αναφερόμενος λοιπόν στα επιτεύγματα του απειροστικού λογισμού ο Λέων Τολστόι γράφει laquoΑυτός ο καινούργιος ο άγνωστος στους αρχαίους κλάδος των μαθηματικών με το να παραδέχεται κατά την εξέταση των ζητημάτων της κίνησης τα απειροστά μεγέθη δηλαδή εκείνα που μrsquo αυτά αποκαθίσταται ο κυριότερος όρος της κίνησης(το απόλυτα συνεχές) με την παραδοχή αυτή διορθώνει εκείνο το αναπόφευκτο λάθος που ο ανθρώπινος νους δεν μπορεί να μην κάνει καθώς εξετάζει αντί για την αδιάκοπη κίνηση τις χωριστές μονάδες της κίνησηςraquo και καταλήγει laquoΣτην αναζήτηση των νόμων της ιστορικής κίνησης συμβαίνει ακριβώς το ίδιο Η κίνηση της ανθρωπότητας πηγάζοντας από αναρίθμητες ανθρώπινες θελήσεις συντελείται αδιάκοπαraquo (Λέων Τολστόι Πόλεμος και Ειρήνη Τρίτο μέρος σελίδα 7-8 Εκδόσεις Το Βήμα βιβλιοθήκη του

κόσμου Ρώσοι λογοτέχνες 17) Εκείνο βέβαια που ενδιαφέρει τον ρώσο λογοτέχνη γράφοντας το μεγάλο έργο laquoΠόλεμος και Ειρήνηraquo είναι η ερμηνεία της ανθρώπινης μοίρας και ανθρώπινης ιστορικής κίνησης Ο 19ος αιώνας βαθιά επηρεασμένος από τη Γαλλική επανάσταση κι από τις εκστρατείες του Ναπολέοντα αποτελεί για τον Τολστόι το πλαίσιο αναφοράς και σκέψης Έτσι δηλώνει συμπερασματικά ότι σκοπός της Ιστορίας είναι η

No279

Πόλεμος και Ειρήνη


κατανόηση των νόμων της κίνησης αυτής Κι έτσι κάνει το μεγάλο παραλληλισμό μεταξύ της φυσικής κίνησης των σωμάτων και της ιστορικής κίνησης laquoΗ κατανόηση των νόμων της κίνησης αυτής είναι ο σκοπός της Ιστορίας Όμως για να κατανοήσει τους νόμους της αέναης κίνησης του αθροίσματος όλων των θελήσεων των ανθρώπων ο ανθρώπινος νους παραδέχεται αυθαίρετα διακεκομμένες μονάδεςraquo Ο τρόπος αυτός της ιστορικής επιστήμης σύμφωνα με τη σκέψη αυτή του ρώσου λογοτέχνη είναι αυτός που οδηγεί όπως και τον Ζήνωνα στην παραδοξότητα και στον παραλογισμό των συμπερασμάτων της Ιστορίας


366 Δίνεται κύβος ΑΒΓΔΕΖΗΘ Να δειχθεί ότι η διαγώνιος ΔΖ τριχοτομείται από τα επίπεδα που ορίζουν τα τρίγωνα ΑΓΘ και ΒΕΗ

Λύση Υποθέτουμε πως η πλευρά του κύβου είναι αΑΒ = Αν από την κορυφή Α του κύβου φέρουμε την κάθετη ΑΜ προς τη διαγώνιο ΔΖ τότε από το ορθογώνιο

τρίγωνο ΑΔΖ θα είναι

( ) ( )( ) ( )2 1ΑΔ = ΔΜ ΔΖ και επειδή είναι

3α αΑΔ = ΔΖ = ο τύπος (1) δίνει

( )2 3α α= ΔΜ και τελικά

( ) ( ) ( )3 1 23 3

αΔΜ = = ΔΖ

Σχήμα 1


Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε πως και οι προβολές των κορυφών Γ και Θ ικανοποιούν τη ίδια σχέση (2) και συνεπώς το επίπεδο που ορίζουν τα τρία αυτά σημεία είναι κάθετο στη διαγώνιο του ΔΖ του κύβου και μάλιστα το επίπεδο αυτό τέμνει τη διαγώνιο αυτή στο σημείο Μ που ικανοποιεί τη σχέση (2) Όμοια και τα σημεία ΒΕΗ ορίζουν επίπεδο που κόβει κάθετα τη διαγώνιο ΔΖ στο σημείο Ν το οποίο απέχει από την κορυφή Ζ απόσταση ίση με το 13 της ΔΖ

Άρα τα δύο αυτά επίπεδα τριχοτομούν κάθετα τη διαγώνιο ΔΖ Όπως φαίνεται στο σχήμα 2 367 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εσωτερικό του σημείο Ρ ώστε

3 5 7ΡΑ = ΡΒ = ΡΔ = Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τετραγώνου αυτού

(Γιώργος Αποστολόπουλος Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση Θεωρώ το σημείο Ρ΄ εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε τα τρίγωνα (ΑΒΡ) και (ΑΔΡ΄) να είναι ίσα

Από την ισότητα αυτή των τριγώνων προκύπτει

90΄ οΡΑΡ = και από το ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο (ΡΑΡ΄) προκύτπει

( )45 3 2 1΄ ΄ο καιΑΡΡ = ΡΡ = Εφαρμόζουμε το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο (ΡΡ΄Δ)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2΄ ΄ ΄ ΄συνΔΡ = ΡΡ + ΡΔ minus ΡΡ ΡΔ ΔΡΡ rArr

( )

( ) ( )1 2

2 25 3 2 7 2 3 2 ΄συνrArr = + minus sdot ΔΡΡ rArr

Σχήμα 2

Μ

Ν


( ) 2 452

΄ ΄ οσυνrArr ΔΡΡ = rArrΔΡΡ =

επομένως είναι

45 45 90΄ ΄ ο ο οΑΡΔ = ΑΡΡ +Ρ ΡΔ = + = δηλαδή το τρίγωνο (ΑΡΔ) είναι ορθογώνιο

Επομένως 2 2 27 3 58 58ΑΔ = + = rArrΑΔ =

και τελικά

( ) 2 58 τ μονΕ ΑΒΓΔ = ΑΔ =


407 Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ( )ΑΒΓ ΑΒ = ΑΓ με 020Α = Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε ένα εσωτερικό σημείο Μ τέτοιο ώστε ΑΜ = ΒΓ Να υπολογιστεί η γωνία ΒΜΓ

(Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

408 Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 )οΑΒΓ Α = έχει όλες τις πλευρές του φυσικούς αριθμούς

Να δειχθεί ότι η ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου του είναι κι αυτός φυσικός αριθμός




Σχήμα 3








Η κατανόηση των νόμων της laquoιστορικής κίνησηςraquo που αποτελεί τον κυριότερο στόχο της Ιστορίας και που απασχολεί τον Τολστόι είναι εξίσου δύσκολη όσο και η κατανόηση της κίνησης των σωμάτων γενικά στη φύση που έθεσε κατά την αρχαιότητα ο Ελεάτης Ζήνων Για το θέμα αυτό οι ιστορικοί συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο Ο Τολστόι παραλληλίζοντας τη στάση αυτή των ιστορικών μrsquo εκείνη των άλλων ανθρώπων γράφει laquoΗ ιστορική επιστήμη στην κίνησή της διαρκώς παίρνει όλο και πιο μικρές μονάδες για εξέταση και μrsquo αυτό τον τρόπο προσπαθεί να πλησιάσει την αλήθεια Όμως όσο μικροσκοπικές κι αν είναι οι μονάδες που παίρνει η Ιστορία νιώθουμε ότι η παραδοχή της αρχής κάποιου φαινομένου και η παραδοχή του ότι οι θελήσεις όλων των ανθρώπων εκφράζονται στις ενέργειες ενός ιστορικού προσώπου είναι σφαλερές αυτές καθαυτέςraquo


Στα λόγια αυτά βρίσκει κανείς τον παραλληλισμό εκείνο που μας οδηγεί στην ίδια ακριβώς συμπεριφορά Όταν θέλουμε να ερμηνεύσουμε το παράδοξο του Αχιλλέα με τη Χελώνα σκεφτόμαστε κάθε φορά τα διαστήματα

2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν

έτσι κι όταν η Ιστορία αναλύει σε μικροσκοπικές αναλύσεις τα γεγονότα χωρίς να εντάσσει μέσα στη laquoσυνεχήraquo τους δομή καταλήγει σε σφαλερά συμπεράσματα Η laquoαδιάκοπηraquo αλληλουχία των γεγονότων μοιάζει μrsquo εκείνη την αλληλουχία των σημείων της ευθείας των πραγματικών αριθμών Η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν είναι μια αλυσίδα διαδοχικών σημείων αλλά κάτι παραπάνω πολύ διαφορετικό Η θεμελίωση των πραγματικών αριθμών προέκυψε από τον ανθρώπινο νου μετά από μακρά διαδρομή Για τα συμπεράσματα της Ιστορίας η οποία λειτουργεί με μια τέτοια αντίληψη δηλαδή να μελετά τα γεγονότα τεμαχίζοντας αυτά σε laquoμικρές διακοπτές μονάδεςraquo ο Τολστόι συνεχίζει να λέει laquoΚάθε τέτοιο συμπέρασμα της Ιστορίας χωρίς την παραμικρότερη προσπάθεια από μέρους της κριτικής σκορπίζεται σα σκόνη χωρίς νrsquo αφήνει

No280


τίποτα μονάχα εξαιτίας τού ότι η κριτική διαλέγει για αντικείμενο παρατήρησης πιο μεγάλη ή πιο μικρή διακοπτή μονάδα κάτι που έχει πάντα το δικαίωμα να κάνει γιατί η παρμένη ιστορική μονάδα είναι πάντα αυθαίρετηraquo Και σrsquo αυτή την περίπτωση η αποσπασματική μελέτη των laquoμονάδωνraquo αυτών χωρίς τη φυσική τους laquoσυνέχειαraquo οδηγεί σε σφάλματα


368 Αν

( )1x ay az a

ημφημωημφσυνωσυνφ

= ⎫⎪= ⎬⎪= ⎭

τότε να δείξετε ότι ( )2 2 2 2 2x y z a+ + = Λύση Υψώνοντας στο τετράγωνο τις ισότητες (1) έχουμε

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1x ay a x y zz a

ημ φημ ω

ημ φσυν ω

συν φ

⎫=⎪

rArr = rArr + + =⎬⎪= ⎭

2 2 2 2 2 2 2 2a a aημ φημ ω ημ φσυν ω συν φ= + + =

( )1

2 2 2 2 2 2a aημ φ ημ ω συν ω συν φ= + + =

( )1

2 2 2 2 2 2 2 2a a a aημ φ συν φ ημ φ συν φ= + = + =

Άρα

2 2 2 2x y z a+ + = Δηλαδή η ζητούμενη σχέση (2)

Γεωμετρική ερμηνεία

Ενδιαφέρον είναι να σημειωθεί πως του τύποι (1) είναι οι τύποι που συνδέουν τις καρτεσιανές συντεταγμένες ( )x yz με την τριάδα των αριθμών ( )aωφ που θα μπορούσαν να θεωρηθούν ένα είδος πολικών συντεταγμένων στο χώρο


Οι συντεταγμένες αυτές για ένα σημείο Μ(Σχήμα 1) εκφράζουν αντίστοιχα τα εξής μεγέθη 1ο) Την πολική ακτίνα a του σημείου Μ η οποία εκφράζει τη γεωμετρική απόσταση του σημείου Μ από την αρχή Ο του συστήματος αναφοράς Δηλαδή

0a =ΟΜ gt 2ο) Την γωνία ω η οποία είναι η γωνία που σχηματίζει ο θετικός ημιάξονας

Oy με την προβολή 1OM της πολικής ακτίνας OM πάνω στο επίπεδο xOy Για τη γωνία αυτή ισχύει

π ω πminus lt le

3ο) Τη γωνία φ που σχηματίζει η πολική ακτίνα ΟΜ με τον θετικό άξονα Oz και ικανοποιεί τη σχέση

0 φ πle le Ύστερα απrsquo αυτά ισχύει

( ) ( )1x OM OM aημω ημφημω ημφημω= = =

( ) ( )1y OM OM aσυνω ημφσυνω ημφσυνω= = =

( )z OM συνφ ασυνφ= =

369 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόμος της γωνίας Α το ύψος που άγεται από την κορυφή Β προς την ΑΓ και η μεσοκάθετος της ΑΒ τέμνονται στο ίδιο σημείο

Να βρεθεί η γωνία Α (Probleme de geometie Competitiva A Ivanov-M Teleuca)

Λύση Στο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος 2 η διχοτόμος ΑΔ της γωνίας Α το ύψος ΒΕ και η μεσοκάθετος ΣΖ της πλευράς ΑΒ διέρχονται από το ίδιο σημείο Σ

Σχήμα 1


Στο σχήμα αυτό παρατηρούνται τα εξής

bull Το τρίγωνο ΑΒΣ είναι ισοσκελές διότι η ΣΖ είναι μεσοκάθετος της ΑΒ bull Το τετράπλευρο ΑΖΣΕ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς

( )1φ ω= bull Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ η ΕΖ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην

υποτείνουσα Άρα χωρίζει το ορθογώνιο αυτό τρίγωνο σε δύο άλλα ισοσκελή Άρα

( )2 2x φ= bull Ακόμα είναι

( )2 3y φ= ως εξωτερική γωνία του ισοσκελούς τριγώνου ΒΖΕ Από τις (1) (2) και (3) προκύπτει ότι το τρίγωνο ΑΖΕ είναι ισόπλευρο Συνεπώς

60οΑ =


409 Ορθογώνιο τρίγωνο oABC(A 90 )= με BC a CA b= = και AB c= Να δειχθεί ότι η ελάχιστη τιμή της παράστασης

( )( )2a bc

a b a c+ +

είναι 2δ όπου δ η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)









Η σκέψη του Τολστόι Συνεχίζοντας ο Τολστόι στο μεγάλο έργου του laquoΠόλεμος και Ειρήνηraquo να αναπτύσσει τις απόψεις του σχετικά με τη μελέτη της ιστορικής κίνησης και των νόμων που διέπουν την κίνηση αυτή δηλαδή των νόμων εκείνων που laquoκανονίζουνraquo και διαμορφώνουν το laquoιστορικό γίγνεσθαιraquo της ανθρωπότητας καταλήγει στην πρόταση εκείνη που έκαναν οι μαθηματικοί και οι φυσικοί του 18ου αιώνα Υιοθετεί δηλαδή την άποψη πως μόνο με τη μελέτη των μικρών και απειροστών μονάδων της laquoιστορικής κίνησηςraquo ο άνθρωπος έχει ελπίδα να φθάσει στην κατανόηση των νόμων της Ιστορίας Συγκεκριμένα γράφει laquoΜονάχα όταν παραδεχτούμε την απειροστή μονάδα για παρακολούθηση - το διαφορικό της Ιστορίας δηλαδή τις ομοιογενείς τάσεις των ανθρώπων ndash και κατορθώσουμε νrsquo αποχτήσουμε την τέχνη της ολοκλήρωσης(νrsquo αθροίζουμε αυτά τα απειροστά) μονάχα τότε μπορούμε να ελπίζουμε πως θα φθάσουμε στην κατανόηση των νόμων της Ιστορίαςraquo

(Λέων Τολστόι Πόλεμος και Ειρήνη Τρίτο μέρος σελίδα 8-9 Εκδόσεις Το Βήμα βιβλιοθήκη του κόσμου Ρώσοι λογοτέχνες 17)

Στην όλη αυτή θεώρηση του ρώσου λογοτέχνη και στοχαστή βρίσκεται το ολοκλήρωμα ένα πάρα πολύ χρήσιμο εργαλείο των μαθηματικών Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζεται μια καμπύλη γραμμή ( )c και ο άξονας των x x Στην προσπάθεια του ο μαθηματικός να υπολογίσει το εμβαδόν που περιέχεται ανάμεσα από την καμπύλη ( )c και τον οριζόντιο άξονα κατασκευάζει ορθογώνια με ίσες βάσεις όπως

No281


φαίνονται στο σχήμα αυτό Κι ο πιο απλός παρατηρητής αντιλαμβάνεται πως το άθροισμα των ορθογωνίων αυτών είναι πάντα μικρότερο από το ζητούμενο εμβαδόν Αν όμως τα ορθογώνια αρχίσουν και πληθαίνουν τότε όλο και περισσότερο το άθροισμά τους θα πλησιάζει στο ακριβές εμβαδόν Κι αν ο αριθμός των ορθογωνίων τείνει προς το άπειρο τότε το άθροισμά τους θα γίνει ίσο με το ζητούμενο εμβαδόν



( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 4

12 14 4 4

α β γ β γ α γ α β

αβ βγ γα

+ + ++ + ge

(71ος Πανελλήνιος Μαθ Διαγωνισμός ο Ευκλείδης ΕΜΕ Τάξη Γ Λυκείου 1512011) Λύση Κατrsquo αρχήν είναι

( )12 0 0 0 2α β γ με α β γ+ + = gt gt gt Θα χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή ταυτοανισότητα

( )2 2 2 3x y xy x y R+ ge forall isin όπου η ισότητα ισχύει στην περίπτωση που είναι

x y= Σύμφωνα λοιπόν με την (3) είναι

( )22 2 24 2 2 2 4α β α β α β αβ+ = + ge sdot sdot = Δηλαδή

( )2 24 4 4α β αβ+ ge όπου η ισότητα ισχύει όταν

2α β= Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (4) με το θετικό γ προκύπτει η

σχέση

( )2 24 4α β γ αβγ+ ge από την οποία διαιρώντας και τα δύο μέλη της με το θετικό 4αβ προκύπτει τελικά η σχέση

( ) ( )2 24

54

α β γγ

αβ

+ge

η οποία ισχύει ως ισότητα όταν 2α β=

Όμοια προκύπτει ( ) ( )

2 246

4β γ α

αβγ

+ge


( ) ( )2 24

74

γ α ββ

γα

+ge

Με πρόσθεση κατά μέλη των (5) (6) και (7) προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 24 4 412


α β γαβ βγ γα

+ + ++ + ge + + =

Δηλαδή η ζητούμενη (1) Η ισότητα ισχύει όταν

2 2 2α β β γ γ α= = = απrsquo αυτές με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει

( )2 0α β γ α β γ α β γ+ + = + + rArr + + = το οποίο είναι σύμφωνα με την (2) άτοπο 371 Να λυθεί στο R το σύστημα

( )( )2 2 2

2

826 1

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +

(71ος Παν Μαθ Διαγωνισμός ο Ευκλείδης ΕΜΕ Τάξη Β΄ Λυκείου 1512011) Λύση

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2 2

8 81 2 26 19

1 1

x y z x y zx y z xy yz zx xy yz zx

xy xz yz xy xz yz

+ + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + minus + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+ = + + = +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( )

2 2

8 819 19 2

19 1 3 18 0

x y z x y zxy yz zx xy yz zx

yz yz yz yz

⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + = + + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

minus = + + minus =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Η τρίτη εξίσωση του συστήματος (2) είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς yz και έχει δύο λύσεις τις ( )3 3yz = και ( )6 4yz = minus

Έστω ότι ισχύει η (3) Τότε το σύστημα (2) ισοδυναμεί

( )( )

8 819 19

3 3

x y z x y zxy yz zx x y z yz

yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭


( )( )

8 819 19

3 3


yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )( )

( )( )

8 816 8 16

3 3

x y z x y zx y z x x

yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + = hArr minus = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( ) ( )( )22

888 16 0 4 0

3 3

x y zx y zx x x

yz yz

+ + =⎧ ⎫+ + =⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr minus + = hArr minus = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) 8 44 43 3

x y z y zx xyz yz

+ + = + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr = hArr = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭⎩ ⎭

( ) 2

4 44 4

4 3 4 3 0

z y z yx x

y y y y

= minus = minus⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr = hArr =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪minus = minus + =⎩ ⎭⎩ ⎭

Η τρίτη εξίσωση του τελευταίου συστήματος έχει λύσεις 1 1y = και 2 3y = άρα αυτό έχει λύσεις

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 413 431 5x y z x y zκαι= = Έστω ότι ισχύει η (4) Τότε ακολουθώντας τα ίδια βήματα καταλήγουμε σε αδυναμία εύρεσης

λύσης Άρα οι μοναδικές λύσεις του συστήματος (1) είναι οι (5)


410 Να δειχθεί ότι σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η μεσοκάθετος του τμήματος που ενώνει το ορθόκεντρο με το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου διέρχεται από μια απrsquo τις τρεις κορυφές του τριγώνου αν και μόνον εάν μια από τις γωνίες του τριγώνου είναι ίση με 60ο

(Dominique Roux Diophante les recreations matheacutematiques)









Η σκέψη του Τολστόι Αν θέλαμε να σχολιάσουμε και να ερμηνεύσουμε τη σκέψη του μεγάλου ρώσου λογοτέχνη ο οποίος φιλοσοφώντας σχετικά με τη λεγόμενη laquoιστορική κίνησηraquo μιλά για απειροστά για διαφορικά κι ακόμα για την τέχνη της laquoολοκλήρωσηςraquo θα μπορούσαμε να πούμε πως οι laquoνέεςraquo αυτές ιδέες των μαθηματικών του 18ου και 19ου αιώνα έχουν επηρεάσει πολλούς από τους πνευματικούς ανθρώπους των εποχών αυτών ακόμα και τους λογοτέχνες Ο Τολστόι κλείνοντας την αναφορά του αυτή στο laquoσόφισμαraquo των αρχαίων ελλήνων και συγκεκριμένα στο παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας που το υποστήριζε ο ελεάτης Ζήνων καταλήγει laquoΓια να μάθουμε τους νόμους της Ιστορίας οφείλουμε νrsquo αλλάξουμε ολότελα αντικείμενο μελέτης νrsquo αφήσουμε ήσυχους τους ηγεμόνες υπουργούς και στρατηγούς και να μελετήσουμε τrsquo απειροστά κοινά στοιχεία που κυβερνούν τις μάζεςraquo


Ποια όμως είναι αυτά τα απειροστά κοινά στοιχεία που κυβερνούν τις μάζες Η απάντηση σrsquo αυτήν την πρόταση δεν είναι απλή Ο εικοστός αιώνας με τις μεγάλες του επιστημονικούς κατακτήσεις αλλά και τους μεγάλους και αιματηρούς πολέμους δεν έδωσε απάντηση Η ψυχολογία η βιολογία τα μαθηματικά η κοινωνιολογία η κοινωνική ανθρωπολογία και πολλοί άλλοι επιστημονικοί κλάδοι δεν κατάφεραν να δώσουν απάντηση στο ερώτημα αυτό Η πρόταση που διατυπώνει ο Τολστόι στο μεγάλο του έργο laquoΠόλεμος και Ειρήνηraquo τελικά συνοψίζεται στις ακόλουθες γραμμές laquoΚανείς δεν μπορεί να πει κατά πόσον είναι δυνατόν στον άνθρωπο να πετύχει με τη μέθοδο αυτή την κατανόηση των ιστορικών νόμων Μα είναι ολοφάνερο πως μονάχα στο δρόμο αυτό βρίσκεται η δυνατότητα της σύλληψής τους Και πάνω στο δρόμο αυτό δεν καταβλήθηκε ακόμα από τον ανθρώπινο νου ούτε το εκατομμυριοστό απrsquo τις προσπάθειες εκείνες που έχουν καταβάλει οι ιστορικοί για να περιγράψουν τα έργα των διαφόρων ηγεμόνων στραταρχών και υπουργών και για τις δικές τους κρίσεις πάνω στα έργα αυτάraquo Στις γραμμές αυτές ο Τολστόι δηλώνει ξεκάθαρα την άποψη πως ο μόνος

No282


δρόμος για να μπορέσει ο ιστορικός ερευνητής να αγγίζει την γενεσιουργό αιτία των γεγονότων και να ανακαλύψει τις νομοτέλειες εκείνες που ακολουθεί η Ιστορία είναι η μελέτη των απειροστών στοιχείων που κυβερνούν τις μάζες κι όχι η περιγραφή των έργων και των κατορθωμάτων των ηγεμόνων και των στρατηγών Αξίζει ύστερα απrsquo αυτές τις ιδέες να θαυμάσει κανείς τη μεγάλη συνεισφορά της μαθηματικής σκέψης στην όλη φιλοσοφική θεώρηση του κόσμου



( ) ( ) ( )1f x xf xprimege για κάθε [ ]01xisin Να δείξετε ότι

( ) ( ) ( )1

0

2 1 2f x dx fgeint

(ΓΛ Μαυρίδης Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Θετ amp Τεχν Κατνσης Σελ 244 Ασκ159) Λύση Το πρώτο μέλος της ζητούμενης σχέσης (2) γίνεται

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

0 0

11

00

1

0

2 2

2 2

2 1 2

f x dx x f x dx

xf x xf x dx

f xf x dx

prime= =

prime= minus =

prime= minus

int int

int

int

Δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

2 2 1 2 3f x dx f xf x dxprime= minusint int

Όμως από την (1) προκύπτει επίσης

( ) ( ) ( )1 1

0 0

1 f x dx xf x dxprimerArr ge rArrint int

( ) ( )1 1

0 0

2 2xf x dx f x dxprimerArr minus ge minusint int



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

2 1 2 2 1 2 4f xf x dx f f x dxprimeminus ge minusint int

Η σχέση (3) σύμφωνα με την (4) γίνεται τελικά

( ) ( ) ( )1 1

0 0

2 2 1 2f x dx f f x dxge minusint int

από την οποία προκύπτει

( ) ( )1

0

4 2 1f x dx fgeint

και τέλος

( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint

η οποία είναι και η ζητούμενη



Αν Ν Μ είναι αντίστοιχα τα σημεία τομής των ΔΒ και ΔΓ με τους κύκλους (C1)(C2) τότε να δειχθεί ότι ΜΝ είναι κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δυο εσωτερικών κύκλων Λύση Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντιστροφής Σύμφωνα με τον γεωμετρικό αυτό μετασχηματισμό η εικόνα ενός κύκλου που διέρχεται από τον πόλο της αντιστροφής είναι ευθεία ενώ η εικόνα ενός άλλου κύκλου που δεν διέρχεται από τον πόλο αυτό είναι κύκλος Θεωρούμε την αντιστροφή με πόλο το σημείο Δ και με δύναμη αντιστροφής

Σχήμα 1


τη δύναμη του σημείου αυτού ως προς τους δύο κύκλους ( )1c και ( )2c δηλαδή

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1k = ΔΑ = ΔΝ ΔΒ = ΔΜ ΔΓ

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι οι εικόνες των δύο κύκλων ( )1c και ( )2c

είναι αντίστοιχα οι κύκλοι ( )1c και ( )2c και η εικόνα του κύκλου ( )c είναι η ευθεία

( )ε που ενώνει τα σημεία Μ και Ν γιατί αυτά είναι εικόνες των Γ και Β αντίστοιχα Ο κύκλος ( )c και ο κύκλος ( )1c εφάπτονται στο σημείο Β έχουν δηλαδή ένα

κοινό σημείο κατά συνέπεια και οι εικόνες αυτών δηλαδή η ευθεία ( )ε και ο κύκλος

( )1c θα έχουν ένα μόνον κοινό σημείο δηλαδή το Ν το οποίο όπως αναφέρθηκε

είναι η εικόνα του σημείου Β Άρα η ευθεία ( )ε είναι εφαπτομένη του κύκλου ( )1c

Με τον ίδιο συλλογισμό διαπιστώνεται πως και η ( )ε είναι εφαπτομένη στον

κύκλο ( )2c

Έτσι τελικά η ΜΝ είναι η κοινή εξωτερική εφαπτομένη των κύκλων ( )1c

και ( )2c


411 Έστω οι ακέραιοι x y τέτοιοι ώστε

( )33 3 30 2000x y x y xy+ + + + = Να δείξετε ότι

10x y+ = (Βαλκανιάδα Νέων 2000)



Σχήμα 2

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 5 Οκτωβρίου 2011 14






Οι απόψεις του Δημόκριτου

Συνεχίζοντας τη μελέτη των απόψεων σχετικά με τα παράδοξα του Ζήνωνα θα επιστρέψουμε πάλι στα χρόνια της ελληνικής αρχαιότητας Όπως και για πολλά άλλα θέματα έτσι και για τούτο μπορεί κανείς να βρει ενδιαφέροντα θέματα διαβάζοντας τον βιογράφο και φιλόσοφο Πλούταρχο(45-120 μΧ) Έτσι στο έργο του βιογράφου αυτού από τη Χαιρώνεια της Βοιωτίας το οποίο φέρει τον τίτλο laquoΠερί των κοινών εννοιών προς τους Στωικούςraquo διαβάζει κανείς ένα ενδιαφέρον θέμα που σχετίζεται με τις ίδιες περίπου ιδέες και αμφισβητήσεις που πρότεινε ο Ζήνων ο Ελεάτης Εκεί ο Πλούταρχος γράφει laquoἔτι τοίνυν ὅρα τίνα τρόπον ἀπήντησε[Χρύσιππος] Δημοκρίτωι διαποροῦντι φυσικῶς καί επιτυχώςmiddot εἰ κῶνος τέμνοιτο παρά τήν βάσιν ἐπιπέδωι τί χρή διανοεῖσθαι τάς τῶν τμημάτων ἐπιφανείας ἴσας ἤ ἀνίσους γιγνομένας ἄνισοι γάρ οὖσαι τόν κῶνον ἀνώμαλον παρέξουσι πολλάς ἀποχαράξεις λαμβάνοντα βαθμοειδεῖς και τραχύτητας ἴσων δrsquo οὐσῶν ἴσα τμήματα ἔσται καί φανεῖται τό τοῦ κυλίνδρου πεπονθώς ὁ κῶνος ἐξ ἴσων συγκείμενος καί οὐκ ἀνίσων κύκλων ὅπερ ἐστίν ἀτοπώτατονraquo

( TLGDe communibus notitiis adversus Stoicos 1079E1 to 1079E9) Το αξιόλογο αυτό χωρίο στο οποίο ο Πλούταρχος παρουσιάζει τις ιδέες του στωικού Χρύσιππου στη σημερινή γλώσσα ερμηνεύεται ως εξής laquoΚοίτα επίσης πώς απάντησε [ο Χρύσιππος] με επιτυχία και με τρόπο αντάξιο ενός φυσικού φιλοσόφου στον Δημόκριτο όταν έθεσε εκείνος το ακόλουθο πρόβλημα - Αν τεμνόταν ένας κώνος από ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση του πώς θά ΄πρεπε να εννοηθούν οι επιφάνειες των τομών Θα ΄ναι ίσες ή άνισες - Αν είναι άνισες θα παρουσιάσουν τον κώνο ανώμαλο με πολλές κλιμακωτές χαρακιές και προεξοχές - Αν πάλι είναι ίσες τότε θα είναι ίσες και οι τομές και ο κώνος θα φαίνεται σαν

No283

Χρύσιππος ο Σολεύς (280-206 π Χ)


κύλινδρος σα να αποτελείται δηλαδή από ίσους και όχι άνισους κύκλους πράγμα ολότελα άτοποraquo Ο Χρύσιππος για τον οποίο γίνεται αναφορά στο χωρίο αυτό είναι ο φιλόσοφος εκείνος του 3ουπΧ αιώνα που θεωρείται ως ο κυριότερος εκπρόσωπος της Στοάς των Αθηνών Στη σχολή αυτή που λειτούργησε από τον 4ο μέχρι τον 2ο πΧ αιώνα θεμελιώθηκε η λεγόμενη στωική φιλοσοφία



[ ] [ ] ( )1 1x ax x x Ra



Λύση Στη δοθείσα σχέση (1) θέτουμε 0x = Τότε θα προκύψει

( )1 10 0 1 2a a⎡ ⎤ = rArr lt lt⎢ ⎥⎣ ⎦

γιατί ο αριθμός a είναι ένας θετικός ακέραιος Άρα

( )1 3a gt με άλλα λόγια ο θετικός και ακέραιος αυτός αριθμός a δεν μπορεί να γίνει ίσος με τη μονάδα

Δηλαδή θα είναι

234aisin Όμοια στη δοθείσα αυτή θέτουμε 1x = Τότε όμοια θα προκύψει

[ ]( )

[ ] [ ]211 1 1 1 2a a a

a⎡ ⎤+ = minus rArr = minus rArr =⎢ ⎥⎣ ⎦

Αυτό σημαίνει ότι

( )2 3 4ale lt Τέλος αν στη δοθείσα θέσουμε 1x = minus τότε θα προκύψει

[ ] [ ]( )

[ ] ( ) [ ]211 1 1 1 1 1a a a

a⎡ ⎤minus + = minus minus minus rArrminus = minus minus minus rArr minus = minus +⎢ ⎥⎣ ⎦

δηλαδή

[ ] ( )2 5aminus = minus Η τελευταία σχέση (5) ερμηνεύεται με την σχέση


( )2 1 1 2 6a aminus le minus lt minus rArr lt le Από τις σχέσεις (3) και (6) προκύπτει η μοναδική τιμή

2a = Πράγματι η τιμή αυτή ικανοποιεί τη δοθείσα (1)

(Η λύση είναι του Χρήστου Κυριαζή)


(ΔΓ Κοντογιάννης Διανυσματικός Λογισμός τ ΙΙ Σελ159) Λύση

Θεωρούμε τυχαίο σημείο ( )( ) 00α βΜ ne Ο το οποίο κινείται πάνω στην παραβολή

( )2( ) 2 1c y px=

Η εξίσωση τότε της εφαπτομένης της καμπύλης ( )c στο σημείο Μ θα προκύψει σύμφωνα με το γνωστό τύπο

( ) ( )1 1y y p x x+ = +


δηλαδή

( ) ( ) ( ) 2y p xε β α= + Η εφαπτομένη αυτή θα τμήσει τους άξονες x x και y y αντίστοιχα στα σημεία

( 0) 0 0pαα και με α ββ

⎛ ⎞Α minus Β ne⎜ ⎟

⎝ ⎠

Οι συντεταγμένες τώρα του σημείου Ν θα είναι

( )0 0 3px y ααβΝ Ν= minus ne = ne


( ) 4pxxy

α β ΝΝ

Ν

= minus = minus

Επειδή όμως το σημείο ( )α βΜ ανήκει στην παραβολή με εξίσωση την (1) θα ισχύει

2 2 pβ α= και σύμφωνα με τις σχέσεις (4) θα είναι

( )2

2 2 22 2px p x p x px yy

ΝΝ Ν Ν Ν

Ν

⎛ ⎞minus = minus rArr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

και επειδή 0xΝ ne τελικά είναι

( )2 1 52

y pxΝ Ν= minus

Άρα οι συντεταγμένες του σημείου Ν ικανοποιούν την (5) που είναι

παραβολή με παράμετρο 14

p pprime = minus

Αν τέλος Μ equivΟ τότε Ν equiv Ο και συνεπώς ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία της παραβολής (5)(Το αντίστροφο είναι εύκολο)


412 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ Από το Δ φέρουμε την κάθετη ΔΕ προς την ΑΓ και στο τμήμα ΔΕ χαράσσουμε το σημείο Ζ τέτοιο ώστε

σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β

Να δειχθεί ότι ΒΕ perp ΑΖ









Οι απόψεις του Δημόκριτου Ο Χρύσιππος και ο Δημόκριτος έζησαν σε διαφορετικές εποχές Ο Δημόκριτος γνωστός ως ατομικός φιλόσοφος θεωρείται ως προσωκρατικός φιλόσοφος ενώ ο Χρύσιππος γνωστός ως στωικός φιλόσοφος που ζει αργότερα κατά τον 3ο πΧ αιώνα Ο Πλούταρχος όπως αναφέραμε(ΣΜ 283) διασώζει ένα σημαντικό στοιχείο που φωτίζει το μαθηματικό έργο του Δημόκριτου Πιο αναλυτικές πληροφορίες για το έργο του Δημόκριτου διαβάζουμε τελικά και στα κείμενα του ιστορικού Διογένη του Λαέρτιου του 3ου μΧ αιώνα Ο Δημόκριτος όπως αναφέρει ο Διογένης ο Λαέρτιος γεννήθηκε στα Άβδηρα της Θράκης και από μικρός μυήθηκε στη Θεολογία και στην Αστρολογία Αργότερα ταξίδεψε στην Αίγυπτο όπου από τους ιερείς διδάχθηκε γεωμετρία Τέλος ο Δημόκριτος υπήρξε κατά τον ιστοριογράφο αυτό μαθητής του Λεύκιππου και του Αναξαγόρα Το μαθηματικό έργο του Δημόκριτου όπως αναφέρεται από τον Διογένη το Λαέρτιο περιελάμβανε τα εξής βιβλία

1) Περί διαφορῆς γνώμης(γνώμονας)

(ἤ Περί ψαύσιος κύκλου καί σφαίρης)

2) Περί γεωμετρίης

3) Γεωμετρικῶν

4) Ἀριθμοί

5) Περί ἀλόγων γραμμῶν καί ναστῶν αrsquo βrsquo

6) Εκπετάσματα

Από τα βιβλία αυτά τα οποία έχουν σχέση με το μαθηματικό έργο του φιλοσόφου αυτού δε διασώθηκε τίποτα εκτός από ελάχιστες αναφορές Η πλέον σημαντική είναι αυτή που κατέγραψε ο Πλούταρχος τον 1ο αι μΧ και η οποία αναφέρεται στο συλλογισμό που διατύπωσε ο Δημόκριτος σχετικά με τις κωνικές τομές(ΣΜ 283)

No284

Δημόκριτος ο Αβδηρίτης (470-370 πΧ)


Κατά την άποψη του άγγλου ιστορικού των ελληνικών μαθηματικών sir Thomas L Heath (1861-1940) παρόλο που ο Δημόκριτος ήταν υπερβολικά καλός μαθηματικός η φυσική του θεωρία περί ατόμων δεν τον βοήθησε να λύσει το δίλημμα που διατύπωσε στην τομή του κώνου μ΄ ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση του Η έννοια του συνεχούς και η αντίληψη του απειροστού ήταν για την εποχή του πρωτόγνωρες έννοιες και ξένες προς την ατομική του θεωρία




( ) ( ) ( )0

4 1f x x f x xdxπ

ημ συν= + int

(ΓΛΜαυρίδης Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Θετ και Τεχ Κατνσης Σελ240) Λύση Από την (1) παραγωγίζοντας τη συνάρτηση f έχουμε

( ) ( ) ( )0

4 4f x x f x xdx xπ

ημ συν συνprime⎛ ⎞primeprime = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠int

Δηλαδή

( ) 4 f x x x Rσυνprime = forall isin ή ακόμα

( ) ( )4 ( ) 2f x x c c R ά x Rημ σταθερ και= + isin isin Η σχέση (1) σύμφωνα με τη (2) γίνεται

( ) ( )

( )

0

0

0 0

4

4 4

4 4

f x x f x xdx

x x c xdx

x x xdx c xdx

π

π

π π

ημ συν

ημ ημ συν

ημ ημ συν συν

= + =

= + + =

= + + =

int

int

int int

( )( ) ( )0 0

4 2x x dx c x dxπ π

ημ συν ημprime prime= + minus + =int int


( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) [ ][ ] [ ]

004 2

4 2 0 0

4 1 1 0 0 4

x x c x

x c c

x c c x

π πημ συν ημ

ημ συν π συν ημπ ημ

ημ ημ

= + minus + =

⎡ ⎤= + minus minus minus + minus =⎣ ⎦= + minus + + sdot minus sdot =

Τελικά

( ) 4 f x x x Rημ= forall isin

377 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]1e με ( ) ( )0 1 1f xlt lt και ( ) ( )0 2f xprime ge για κάθε [ ]1x eisin να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνον ένας αριθμός ( )0 1x eisin τέτοιος ώστε

( ) ( )0 0 0 0ln 3f x x x x+ = (Πανελλήνιες εξετάσεις 1η Δέσμη 1994)

Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο

( ) ( ) lnx f x x x xΗ = + minus

η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ]1e Επιπλέον για τη συνάρτηση αυτή σύμφωνα με την (1) θα ισχύει

( ) ( ) ( )( ) ( )00

1 1 1 0e f f egtlt

Η Η = minus lt

επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ox που θα ανήκει στο ανοιχτό διάστημα ( )1e για το οποίο θα ισχύει

( ) 0oxΗ = δηλαδή

( )0 0 0 0lnf x x x x+ = Θα δείξουμε ότι ο αριθμός αυτός ox του διαστήματος αυτούς είναι μοναδικός

Πράγματι Αν ( )1x eisin τότε

( ) ( ) 00

ln 0x f x xgtge

prime primeΗ = + gt

άρα η συνάρτηση ( )xΗ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ ]1e και συνεπώς η

ρίζα ( )1ox eisin είναι μοναδική


378 Αν 0x y z ge

τότε να δειχθεί η σχέση


Λύση Υποθέτουμε χωρίς να στερούμαστε γενικότητας ότι οι πραγματικές μεταβλητές x y z ικανοποιούν τη διάταξη

x y zge ge Τότε θα είναι

2

2 2

x zxy z xy z

y z

xy z x y xy x y z

ge ⎫rArr ge rArr ge rArr⎬ge ⎭

rArr ge rArr + + ge + + rArr

( )2x y x y z x y x y z+ ge + + rArr + ge + +

και τελικά

( )2 1xz yz xz yz z+ ge + + Εξάλλου ισχύει ακόμα

( )2244 0xy xz yz zminus + + ge


( )2 42 ( ) 2xy xz yz z xyz x y z+ + + ge + + Προσθέτοντας τις (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει

42 ( )xz yz xy xyz x y z+ + + ge + + δηλαδή ή ζητούμενη


413 Να λυθούν οι εξισώσεις

( ) ( )2 22 2) 3 2 3 2 ) 8 5 5 1 8i x x ii x x+ minus = minus minus = minus (Από κινέζικο βιβλίο wwwmathvncom)









Οι απόψεις του Δημόκριτου Ας προσέξουμε καλύτερα το συλλογισμό του Δημόκριτου όπως ακριβώς τον διατύπωσε ο Πλούταρχος (ΣΜ 283) laquoΑν τεμνόταν ένας κώνος από ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση του πώς θα

΄πρεπε να εννοηθούν οι επιφάνειες των τομών Θα ΄ναι ίσες ή άνισεςraquo Στην υποθετική αυτή πρόταση ο Δημόκριτος δίνει δύο απαντήσεις από τις οποίες καταλήγει σε σχεδόν σε άτοπο

Πριν δούμε τις απαντήσεις αυτές αναλυτικά ας προσέξουμε πρώτα το σχήμα 1 Στο σχήμα αυτό έχουμε σχεδιάσει έναν κώνο(ορθό κυκλικό) που στηρίζεται στο επίπεδο της βάσης του και ο οποίος τέμνεται από παράλληλα προς τη βάση του επίπεδα Οι τομές της κωνικής επιφάνειας με τα επίπεδα αυτά θα είναι κύκλοι ενώ οι τομές του κώνου με τα επίπεδα αυτά θα είναι κυκλικοί δίσκοι Στο σχήμα 2 έχουμε σχεδιάσει πολλές τέτοιες τομές και όπως φαίνεται ο κώνος έχει laquoπεριτυλιχτείraquo από κύκλους Το σχήμα θυμίζει κάποιο παιδικό παιχνίδι όπου οι laquoδιάφοροιraquo κρίκοι διαφόρων χρωμάτων μπορούν και καλύπτουν όλη την κυρτή επιφάνεια του κώνου Οι laquoκλιμακωτές χαρακιές και προεξοχέςraquo που

No285

Σχήμα 1

Σχήμα 2


αναφέρει ο Δημόκριτος στο κείμενο του Πλούταρχου (ΣΜ 283) είναι αυτοί ακριβώς οι κύκλοι που έχουν χαραχθεί από τις τομές των παράλληλων προς τη βάση επιπέδων και της κυρτής κωνικής επιφάνειας Αυτοί οι κύκλοι - χαρακιές φαίνονται σε μια μεγέθυνση (όπως δείχνει το σχήμα 2) ως προεξοχές που μετασχηματίζουν την κυρτή αυτή επιφάνεια σε μια κλιμακωτή μορφή Πάνω σrsquo αυτή την εντύπωση των παραλλήλων τομών ο Δημόκριτος στηρίζει και τους συλλογισμούς του στο κείμενο που διέσωσε ο Πλούταρχος


379 Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

( )1 1 1 4 1ημ ημ ημ ημ ημ ημ



Λύση Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

2 2 2R R Rα β γημ ημ ημΑ = Β = Γ =

άρα

2 2 2 4 4 4R R Rαβ βγ γαημ ημ ημ ημ ημ ημΑ Β = Β Γ = Γ Α =

κι ακόμα 2 2 21 4 1 4 1 4 R R R

ημ ημ αβ ημ ημ βγ ημ ημ γα= = =

Α Β Β Γ Γ ΑΈτσι η ζητούμενη σχέση (1) ισοδυναμεί

2 2 24 4 4 4R R Rαβ βγ γα

+ + ge hArr

2

1 1 1 1Rαβ βγ γα

hArr + + ge hArr

2

1 2R

α β γ ταβγ+ +

hArr ge hArr4Rρ τ ( ) 2 2

1 1 12 R R Rρ

ge hArr ge hArr

( )2

1 1 2 22

RR R

ρρ

hArr ge hArr ge


όπου R και ρ οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ Η σχέση (2) είναι αληθής() και συνεπώς και η ζητούμενη σχέση (1) είναι κι αυτή συνεχής

() Διότι 4 4R Rαβγ τρ= Ε =

() Ως πόρισμα από το θεώρημα του Euler bull Η απόσταση μεταξύ του περίκεντρου Ο και του έγκεντρου Ι τριγώνου ΑΒΓ

είναι

( )2 2 3R RρΟΙ = minus Η ισότητα στον τύπο (3) ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο

bull Πόρισμα Από τον τύπο (3) προκύπτει

( )2 4R ρge (για τη σχέση (4) υπάρχουν κι άλλες αποδείξεις)


( ) ( ) ( ) ( )0

1 1x


(Μ Καραμαύρος Ολοκληρωτιός Λογισμός Σελ 92) Λύση Το πρώτο μέλος της δοθείσης σχέσης (1) είναι

( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

1x x x x

x f t dt dt f t dt f t dt+ = + = +int int int int

άρα η (1) ισοδυναμεί με την ακόλουθη

( )( ) ( ) ( ) ( )0

1 1 2x

f t dt x f x+ = +int


[ ) 0g R+infin rarr με τύπο

( ) ( )( )0

1x

g x f x dt= +int

τότε η συνάρτηση αυτή g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ )0+infin τέτοια ώστε

( ) ( )1g x f xprime = +


Επομένως από τη (2) προκύπτει

( )( ) ( ) ( )( )0

1 1x

f t dt x f xprime⎛ ⎞ prime+ = + rArr⎜ ⎟

⎝ ⎠int

( ) ( ) ( ) ( )1 1f t f x x f xprimerArr + = + + rArr

( ) ( )1 1

1f x x

xprimerArr = gt minus

+

επομένως

( ) ( ) ( )ln 1 3f x x c c ct= + + = Από τη (2) για 0x = είναι

( )( ) ( ) ( ) ( )0

0

1 0 1 0 0 0f t dt f f+ = + rArr =int

άρα από την (3) θα είναι ακόμα

( ) ( )0 ln 0 1 0f c c= + + rArr = επομένως τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι

( ) ( ) [ )ln 1 0f x x x= + isin +infin


414 Αν 0a b c gt και 1 1 1a b ca b c

+ + ge + + τότε να δείξετε ότι

3a b cabc

+ + ge (mateforumro)

415 Να υπολογιστεί το άθροισμα 201 601 1201 90012 6 12 90

S = + + + +

(mateforumro)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 2 Νοεμβρίου 2011 14







Συνεχίζοντας την αναφορά μας στο μαθηματικό έργο του Δημόκριτου μπορούμε να διακρίνουμε τη σημασία των μαθηματικών συλλογισμών του φιλοσόφου αυτού Ειδικότερα στο σχολιασμό που κάνει ο Πλούταρχος στο έργο του laquoΠερί των κοινών εννοιών προς τους Στωικούςraquo σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο ο Δημόκριτος θεωρούσε τις τομές ενός κώνου με επίπεδα παράλληλα προς τη βάση του(ΣΜ 283) μπορούμε να σκεφτούμε την εικόνα της τομής ενός κώνου με πολλά

παράλληλα προς τη βάση του επίπεδα όπως ακριβώς φαίνονται στα σχήματα 1 και 2 Ο Δημόκριτος έχοντας πάντα ως κέντρο της φιλοσοφίας του την ατομική θεωρία και στην περίπτωση αυτή βλέπει τις τομές της κυρτής επιφάνειας ενός κώνου με τα παράλληλα προς τη βάση του επίπεδα ως διακεκριμένα άτομα και με δεδομένο αυτό αναπτύσσει το συλλογισμό του Ένα συλλογισμό με μεγάλο θεωρητικό βάθος που ξεφεύγει από τον εμπειρισμό και την πρωτογενή αντίληψη Ένα συλλογισμό που θέτει τα θεμέλια για την ανάπτυξη των γεωμετρικών ιδεών που θα συνεχίσει αργότερα ο Ευκλείδης Στο συλλογισμό αυτό ο Δημόκριτος διακρίνει δύο περιπτώσεις που οδηγούν και οι δύο σε άτοπο

No286

Σχ 1

Σχ 2


Στο πρώτο σχήμα οι κύκλοι φαίνονται όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο σημείωμα(ΣΜ 285) ως άνισοι δακτύλιοι που καθιστούν την κυρτή επιφάνεια laquoανώμαλη και με πολλές κλιμακωτές χαρακιές και προεξοχέςraquo Στο δεύτερο σχήμα οι κύκλοι θεωρούνται πως είναι ίσοι Στην περίπτωση αυτή όμως laquoο αρχικός κώνος θα έπρεπε να φαίνεται σαν κύλινδρος σα να αποτελείται δηλαδή από ίσους και όχι από άνισους κύκλους πράγμα ολότελα άτοποraquo



( ) 1ΜΑΜΒ =ΜΓΜΔ (mathematicagr)

Λύση Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με α β γΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = και δΔΑ =

Θεωρούμε ένα μεταβλητό σημείο Μ επί της ΑΒ Αν είναι

x yΑΜ = ΜΒ = τότε θα είναι

( ) ( )2

24axy x a xΜΑsdotΜΒ = = minus le

Το γινόμενο όμως

ΜΓsdotΜΔ σε ένα τυχαίο τετράπλευρο μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή και συνεπώς ένα τέτοιο σημείο που να εξισώνει τα δύο αυτά γινόμενα δεν μπορεί να βρεθεί

Θεωρούμε συνεπώς εκείνα τα τετράπλευρα που ικανοποιούν την ιδιότητα bull Κάθε σημείο Μ της πλευράς ΑΒ ικανοποιεί τη σχέση

( )2

34α

ΜΓsdotΜΔ lt


(ή τουλάχιστον τη σχέση (3) να την ικανοποιεί το μέσο 0Μ του τμήματος ΑΒ ) Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο

( ) ( ) ( )F x f x g x= minus όπου

( ) ( )f x x a x= minus και

( ) ( ) ( )22 2 22 cos 2 cosg x x x a x a xδ δ ω β β φ= + minus sdot minus + minus minus Έτσι για τη συνεχή συνάρτηση F στο διάστημα [ ]0 a είναι

( ) ( )2 20 2 cos 0 4F a aδ β β φ δ= minus + minus = minus sdotΑΓ lt καθώς

2 2 22 22 cos 2 cos

2 4 4 2 4 2a a a a a aF δ δ ω β β φ⎛ ⎞ = minus + minus + minus⎜ ⎟

⎝ ⎠δηλαδή

( )2

0 0 0 52 4a aF ⎛ ⎞ = minusΜ Δ sdotΜ Γ gt⎜ ⎟

⎝ ⎠

Από τις (4) και (5) και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano θα υπάρχει τουλάχιστο ένα σημείο ( )0 aξ isin και συνεπώς ένα σημείο ξΜ μεταξύ του σημείου Α και του μέσου 0Μ του τμήματος ΑΒ που να ισχύει η ζητούμενη ισότητα (1) Όμοια τέτοιο σημείο υπάρχει και μεταξύ των 0Μ και του Β


( ) 1ΜΑΜΔ =ΜΒΜΓ (mathematicagr)

Λύση Η δοθείσα σχέση (1) σύμφωνα και με το σχήμα (2) ισοδυναμεί με την

( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 cos 2 cos 2x x x a x a x a xδ δ ω β β φ+ minus = minus minus + minus minus


Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο

( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 cos 2 cosf x x x x a x a x a xδ δ ω β β φ= + minus minus minus minus + minus minusμε

[ ]0x aisin

Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα [ ]0a κι ακόμα

( ) ( ) ( )2 20 2 cos 0 3f a a a aβ β φ= minus + minus = minus ΑΓ lt Επίσης

( ) ( ) ( )2 2 2 cos 0 4f a a a a aδ δ ω= + minus = ΒΔ gt Από τις (3) και (4) κι από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )0 0x aisin τέτοιο ώστε

( )0 0f x = Το σημείο Μ που αντιστοιχεί στην τιμή αυτή είναι αυτό που ικανοποιεί τη ζητούμενη σχέση (1)


416 Δίνονται δύο κύκλοι ( )1 1 1C O R και ( )2 2 2C O R οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Α και Β Η διάμετρος ΑΓ του πρώτου τέμνει τον δεύτερο στο σημείο Δ και Μ τυχαίο σημείο του πρώτου κύκλου

Αν η ΜΑ τέμνει τον δεύτερο κύκλο στο σημείο Ν τότε να δειχθεί ότι

ctΜΓ=

ΝΔ (wwwmathvn)









Οι απόψεις του Δημόκριτου Ο παραλογισμός που διατυπώνεται από το Δημόκριτο σχετικά με τις κωνικές τομές από επίπεδα παράλληλα προς τη βάση του κώνου(ΣΜ286) πιθανότατα να υπήρχε σε ένα από τα δύο βιβλία Περί Γεωμετρίης ή Γεωμετρικά(ΣΜ 284) σύμφωνα με την άποψη του Sir Thomas L Heath[1] Από τα βιβλία αυτά βέβαια δεν γνωρίζουμε τίποτα σχετικά με το περιεχόμενό τους και για την άποψη αυτή μας μιλά αργότερα ο Πλούταρχος με βάση τις πηγές του Χρύσιππου Αξίζει στο σημείο αυτό να δούμε τη μετάφραση που παραθέτει ο άγγλος αυτός ιστορικός για τον παραλογισμό αυτό laquoΑνraquo είπε ο Δημόκριτος laquoένας κώνος τμηθεί από ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση [το οποίο επίπεδο εννοείται σαφώς απειροστά κοντά στη βάση] τι πρέπει να σκεφτούμε για τις επιφάνειες που σχηματίζουν οι τομές Είναι ίσες ή άνισες Γιατί αν είναι άνισες θα έχουν ως αποτέλεσμα έναν ακανόνιστο κώνο ο οποίος θα εμφανίζει πολλές εγκοπές θα έχει δηλαδή κλιμακωτή δομή και ανωμαλίες Όμως αν οι επιφάνειες είναι ίσες τότε οι τομές θα είναι ίσες και ο κώνος θα έχει κατά τα φαινόμενα την ιδιότητα του κυλίνδρου και θα αποτελείται από ίσους όχι από άνισους κύκλους γεγονός το οποίο είναι αρκετά παράλογοraquo Τα σχήματα που παρατέθηκαν στη Στήλη μας(ΣΜ 286) καταδεικνύουν σε αρκετά μεγάλο βαθμό την ιδέα αυτή του Δημόκριτου Όπως αναφέρθηκε στην πρώτη περίπτωση οι τομές αυτές θεωρούνται πως είναι άνισες και μοιάζουν αν τις δούμε σε μια μεγέθυνση με άνισους δακτυλίους πολύ κοντά ο ένας με τον άλλο Οι τομές αυτές δείχνουν να μετασχηματίζουν την κυρτή επιφάνεια του κώνου η οποία έχει μια laquoομαλότηταraquo σε μια laquoανώμαληraquo και σε μια επιφάνεια με laquoκλιμακωτή δομήraquo Στη δεύτερη περίπτωση οι τομές αυτές θεωρούνται ίσες και δείχνουν πως η κωνική επιφάνεια έχει την ίδια ιδιότητα μrsquo εκείνη που έχει και η κυλινδρική επιφάνεια Δηλαδή η κυρτή κυλινδρική επιφάνεια είναι εκείνη που όλες οι επίπεδες τομές οι παράλληλες προς τη βάση της είναι μεταξύ των ίσες Έτσι ο Δημόκριτος στις δυο αυτές περιπτώσεις καταλήγει σε έναν παραλογισμό σε μια αντίφαση που είναι απόρροια ενός θεωρητικού συλλογισμού

No287


Και στις δύο περιπτώσεις ξεκινά από μια laquoυπόθεσηraquo και καταλήγει σε ένα laquoσυμπέρασμαraquo το οποίο όμως τελικά απορρίπτει Η λογική αυτή του Δημόκριτου αποτελεί σημαντική κατάκτηση για την εποχή του όπου ο τρόπος σκέψης των φιλοσόφων δεν είχε λάβει την μορφή μια αυστηρής λογικής σκέψης Θα λέγαμε αποτελεί μια σημαντική προδρομική σκέψη που θα λάβει μεγάλες διαστάσεις αργότερα την εποχή του Αριστοτέλη κι αργότερα στην εποχή του Ευκλείδη [1]Sir Thomas Heath Ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών Τόμος Ι Σελ227


383 Αν ένα σημείο Ε ανήκει στο τόξο ΑΒ του περιγεγραμμένου κύκλου σrsquo ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ να δείξετε ότι οι αποστάσεις του από τις κορυφές του τετραγώνου ικανοποιούν τη σχέση

( ) ( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ+ΕΒ

(AndIvanov-Marc Teleuca Probl de geometrie competitive) Λύση Εφαρμόζουμε το Αrsquo Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο

τετράπλευρο ΑΕΒΓ Άρα

ΑΕ sdotΒΓ + ΕΒsdotΑΓ = ΑΒsdotΕΓrArr

ΑΕsdot ΒΓ +ΕΒsdot ΑΒ 2 = ΑΒ sdotΕΓrArr


( )2 1ΑΕ +ΕΒsdot = ΕΓ Όμοια το ίδιο Θεώρημα το εφαρμόζουμε στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΕΒΔ

Άρα ΑΕ sdotΒΔ + ΕΒsdotΑΔ = ΕΔ sdotΑΒrArr

ΑΕsdot ΑΒ 2 +ΕΒsdot ΑΔ = ΕΔ sdot ΑΒ rArr

( )2 2ΑΕsdot + ΕΒ = ΕΔ Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει

( ) 2ΑΕ +ΕΒ + ΕΒ +ΑΕ = ΕΓ +ΕΔ

( ) ( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ+ΕΒ δηλαδή η ζητούμενη 384 Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ με εξισώσεις των πλευρών του

x y k x y k x y k x y kΑΒ minus minus = ΒΓ minus = ΓΔ + = ΔΑ minus + =όπου 0k gt Αν 1 1( )M a b σημείο της ΓΔ τότε να βρεθεί η εξίσωση της εγγεγραμμένης έλλειψης στο τετράγωνο που διέρχεται από το σημείο Μ Λύση Θεωρούμε την έλλειψη εκείνη που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και

Σχήμα 1

( C )


εφάπτεται στην πλευρά x y kΓΔ + = του τετραγώνου ΑΒΓΔ και μάλιστα στο σημείο 1 1( )a bΜ Η εξίσωση της έλλειψης αυτής θα είναι

2 2

2 2 1 0x yC a ba b+ = gt

και επειδή αυτή διέρχεται από το σημείο 1 1( )a bΜ θα είναι ακόμα

( )2 2

1 12 2 1 1a b

a b+ =

Ακόμα η εφαπτομένη της έλλειψης αυτής στο σημείο 1 1( )a bΜ θα είναι

( )1 12 2 1 2xa yb

a b+ =

και θα ταυτίζεται με την

( ) 3x y kΓΔ + = Από τις (2) και (3) προκύπτει

( )1 12 2

2 21 1

1 41 1

a ba b a ka b kb

k= = rArr = =

Από τις (4) η εξίσωση της έλλειψης ( )C θα είναι

( )2 2

1 1

1 5x yCka kb

+ =

Λόγω της συμμετρίας των πλευρών του τετραγώνου ως προς τους δύο άξονες του συστήματος αναφοράς η έλλειψη αυτή θα εφάπτεται και στις τρεις υπόλοιπες πλευρές του τετραγώνου Άρα η (5) είναι η εξίσωση της ζητούμενης έλλειψης


417 Δίνεται η σχέση

( ) ( ) (2011 ) 1ax bx x x Rσυν συν συν+ minus le forall isin και με a b Risin Να βρεθεί η μικρότερη δυνατή τιμή του αθροίσματος 2 2a b+

(mathematicagr)










Είναι αλήθεια πως ο Δημόκριτος ήταν ένας καλός μαθηματικός και μάλιστα ο Αρχιμήδης αργότερα αποδίδει σrsquo αυτόν τις ακόλουθες δύο προτάσεις

bull Ένας κώνος αποτελεί το ένα τρίτο του κυλίνδρου με τον οποίο έχει την ίδια βάση και ίσο ύψος (Σχ1)

bull Μια πυραμίδα αποτελεί το ένα τρίτο του πρίσματος με το οποίο έχει την ίδια βάση και ίσο ύψος (Σχ2)

Ειδικότερα για τις προτάσεις αυτές ο Heath στο δεύτερο τόμο της Ιστορίας των Ελληνικών Μαθηματικών στη σελίδα 39 γράφει laquoΟι αποδείξεις τις οποίες επινόησε πρώτος ο Εύδοξος πρέπει να αποδίδονται εξίσου στο Δημόκριτο ο οποίος υπήρξε ο πρώτος που διετύπωσε το γεγονός χωρίς όμως απόδειξηraquo Σύμφωνα με τις απόψεις του Sir Thomas L Heath του ιστορικού των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών ο παραλογισμός στον οποίο καταλήγει ο Δημόκριτος με την τομή ενός κώνου από παράλληλα επίπεδα προς τη βάση του όπως αυτός περιγράφηκε προηγούμενα (ΣΜ 285-87) δείχνει πως ο Δημόκριτος με τις τομές του κώνου με επίπεδα παράλληλα προς τη βάση του έχει δημιουργήσει την άποψη των απείρως

No288

Σχήμα 1 Σχήμα 2

Σχήμα 3


λεπτών στρωμάτων δηλαδή των κόλουρων κώνων (Σχ3) που αργότερα θα δώσει στήριγμα στον Αρχιμήδη για πιο γόνιμα αποτελέσματα (Sir Thomas L Heath Ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών Τόμος Ι Σελ 227) Το συμπέρασμα στο οποίο μπορεί κανείς να καταλήξει είναι πως ο Δημόκριτος είναι ο πρώτος που έθεσε το προβληματισμό για τη μέτρηση των όγκων των στερεών αυτών σχημάτων που αργότερα μελέτησε διεξοδικά ο Αρχιμήδης Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις




Λύση 1ος τρόπος Η συνάρτηση f επειδή είναι συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα [ ]1 2 θα παρουσιάζει στο διάστημα αυτό ένα ολικό ελάχιστο (m) κι ένα ολικό

μέγιστο (Μ) Δηλαδή θα ισχύει

( ) [ ] ( ) 12 1m f x M xle le forall isin κι ακόμα για το πεδίο τιμών της θα ισχύει

[ ]( ) [ ] ( )12 2f m M=

Επειδή [ ]1 2 1 2x x isin λόγω της (1) θα είναι

( )( )

1

2

m f x M

m f x M

le le

le le

άρα

( )( )

( )1

2

2007 2007 20073

4 4 4

m f x M

m f x M

le le ⎫⎪⎬

le le ⎪⎭

Προσθέτοντας τις σχέσεις (3) κατά μέλη προκύπτει

( ) ( )1 22011 2007 4 2011m f x f x Mle + le κι ακόμα

( ) ( ) ( )1 22007 44

2011f x f x

m M+

le le

Η τελευταία σχέση (4) δηλώνει ότι

( ) ( ) [ ]1 22007 4

2011f x f x

y m M+

= isin


Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός αυτός y ανήκει στο πεδίο τιμών της συνάρτησης f και λόγω της (2) θα υπάρχει τουλάχιστον ένα [ ]0 1 2x isin τέτοιο ώστε

( )oy f x= δηλαδή

( ) ( ) ( )1 22007 42011 o

f x f xf x

+=

ή ακόμα

( ) ( ) ( )1 22007 4 2011 of x f x f x+ =

2ος τρόπος (με χρήση του Θ Bolzano) Χωρίς να στερούμαστε την γενικότητα υποθέτουμε ότι ισχύει

( )1 2 x xlt Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22007 45

2011f x f x

G x f x+

= minus

Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ ]1 2 και συνεπώς

συνεχής και στο διάστημα [ ]1 2x x Άρα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 2

2007 4 4 62011 2011

f x f xG x f x f x f x

+= minus = minus⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 1

2007 4 2007 72011 2011




( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 14 2007 0

2011G x G x f x f xsdot

= minus minus le⎡ ⎤⎣ ⎦

Επομένως από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον [ ]1 2ox x xisin άρα και [ ]1 2ox isin τέτοιο ώστε ( ) 0oG x = Άρα από την (5) προκύπτει τελικά πως γιrsquo αυτό το ox ισχύει

( ) ( ) ( )1 22007 40

2011o

f x f xf x

+minus =

δηλαδή

( ) ( ) ( )1 22007 4 2011 of x f x f x+ = που είναι η ζητούμενη () Η περίπτωση να είναι 1 2x x= δίνει 1 2ox x x= = Γενίκευση


Η άσκηση αυτή θα μπορούσε να γενικευθεί και να εκφραστεί ως εξής laquoΈστω η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ ]1 2 και [ ]1 2 1 2x x isin Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [ ]0 1 2x isin τέτοιο

ώστε

( ) ( ) ( ) ( )1 2 0mf x nf x m n f x+ = + όπου οι τα m n είναι δύο θετικοί ακέραιοι αριθμοί(ακόμα και δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί)raquo Η απόδειξη γίνεται με δύο τρόπους όπως ακριβώς πραγματοποιήθηκε και στην ειδική περίπτωση που είχαμε 2007 4m nκαι= =


418 Δίνονται τρεις κύκλοι

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 C O R C O R C O R οι οποίοι εφάπτονται μεταξύ των καθώς και στην ευθεία (ε)

Να δειχθεί ότι ισχύει η σχέση 22 1 3R R R=

419 Να αποδειχθεί ότι

3k aba b ka bminus

+ + ge+

για κάθε a b Risin και 0a b R a bisin + ne (Δημ Μάγκος Τριώνυμο Σελ44 Θεσσαλονίκη 1976)










Με τις ιδέες του Δημόκριτου ασχολήθηκε ο Αριστοτέλης κυρίως στο έργο του laquoΠερί Ουρανούraquo Σrsquo αυτό το έργο αυτό ο Αριστοτέλης ασχολείται με τη φύση τις μεταβολές και τις κινήσεις των σωμάτων και γενικότερο τον ευρύτερο κόσμο Εκεί βρίσκει την ευκαιρία να αναφερθεί σε όλες τις θεωρίες που διατυπώθηκαν από την εποχή των Πυθαγορείων μέχρι και τις μέρες του Όμως κι αργότερα ο Σιμπλίκιος (6ος αι μ Χ) σχολιάζοντας τον Αριστοτέλη και ιδιαίτερο αυτό το έργο laquoΠερί Ουρανούraquo μας μεταφέρει σημαντικές πληροφορίες και απόψεις για το μαθηματικό έργο του Δημόκριτου Το ερώτημα που αναδύεται από τα σχόλια αυτά καθώς κι από το κείμενο του Πλούταρχου(ΣΜ 283) είναι κατά πόσο ο Δημόκριτος ο οποίος θεωρείται μαζί με τον Λεύκιππο θεμελιωτής της λεγόμενης laquoατομικής θεωρίαςraquo είχε εκφράσει τις απόψεις του γράφοντας το έργο laquoΠερί αλόγων γραμμών και ναστώνraquo[1] σχετικά με τις laquoαπειροστές ποσότητεςraquo και τη laquoσυνέχειαraquo που εμπεριέχονται στη φύση των σωμάτων Η ατομική θεωρία του Δημόκριτου και η έννοια του απειροστού και της συνέχειας φαίνονται εκ πρώτης απόψεως δύο ιδέες αντίθετες Σχετικά με το ερώτημα αυτό ο Sir Thomas L Heath γράφει laquoΌσον αφορά το έργο Περί αλόγων γραμμών και ναστών πρέπει να παρατηρηθεί ότι εφόσον η μελέτη του κώνου έφερε το Δημόκριτο συνειδητά αντιμέτωπο με τις απειροστές ποσότητες δεν πρέπει να μας εκπλήσσει ότι έγραψε περί ασυμμέτρων Αντιθέτως ο Δημόκριτος είναι πιθανό να είχε δείξει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για ένα αντικείμενο όπως αυτόraquo Κι ακόμα laquoΔεν ξέρουμε ποια απάντηση έδωσε στην απορία του σχετικά με τον κώνο αλλά η διατύπωση του διλήμματος από τον ίδιο δείχνει ότι αντιλαμβανόταν πλήρως τις δυσκολίες που σχετίζονταν με την έννοια του συνεχούς όπως ερμηνεύεται στη συγκεκριμένη περίπτωσηraquo Και συμπεραίνει laquoΆρα ο Δημόκριτος δεν μπορεί να έλυσε το πρόβλημα με τρόπο ανάλογο της φυσικής θεωρίας του περί ατόμων υποθέτοντας την ύπαρξη αδιαίρετων γραμμών αφού κάτι τέτοιο θα περιείχε το συμπέρασμα ότι οι

No289


διαδοχικές παράλληλες τομές του κώνου είναι άνισες οπότε η επιφάνεια θα ήταν(όπως έλεγε) ασυνεχής με κλιμακωτή δομή όπως και ήτανraquo

(Sir Thomas L Heath Ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών Τόμ Ι σελ228-9) Έτσι βλέπουμε σήμερα πως ο Δημόκριτος ήταν ένας από τους υπερβολικά καλούς μαθηματικούς της αρχαιότητας και ίσως αν διασώζονταν τα γραπτά του να μπορούσαμε να αντιληφθούμε περισσότερα για τη μεγάλη και ιδιοφυή σκέψη του





e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠


Λύση bull Θεωρούμε ένα θετικό αριθμό x Τότε από τη δοθείσα σχέση λογαριθμίζοντας

προκύπτει

( ) ( )1 ln ln 1x x x x+ gt + η οποία ισοδυναμεί με την

( ) ( )ln 1ln 11

xxx x

+gt

+ Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο

( ) ( )ln 0 2xf x xx

= gt άρα τότε η ισοδύναμη με τη δοθείσα σχέση (1) για τα x στα οποία ορίζεται και ισχύει γράφεται κι αυτή ισοδύναμα

( ) ( )1f x f xgt + όπου 0 1x xlt lt + Άρα ζητούμε εκείνα τα 0x gt για τα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

Μελέτη της f Το πεδίο ορισμού είναι

( )0D = +infin Η πρώτη παράγωγος της επίσης είναι

( ) 2

1 ln xf xxminusprime =

Εύκολα μπορεί κανείς να μελετήσει το πρόσημο της παραγώγου αυτής μελετώντας το πρόσημο του αριθμητή

Έτσι ο πίνακας μεταβολής των προσήμων της παραγώγου και των τιμών της συνάρτησης είναι


Από τον πίνακα αυτό προκύπτει ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

[ )1 D e= +infin το οποίο είναι και το ζητούμενο διάστημα για το οποίο ισχύει η σχέση (1) και συνεπώς η ζητούμενη

bull Αν στη δοθείσα σχέση θέσουμε

1x e D= isin τότε προκύπτει

( )1 1 eee e+ gt + άρα

( ) ( )1 11 1e e

eee

ee e e e e

e e+ ⎛ ⎞gt + rArr gt rArr gt +⎜ ⎟

⎝ ⎠

δηλαδή

11e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠

που είναι η ζητούμενη


( )1 12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +

(Μπάμπης Στεργίου- Νίκος Σκομπρής Κλασσικές και Νέες ανισότητες Σελ186) Λύση Κατrsquo αρχήν δείχνουμε την ανισότητα

( ) ( )( ) ( )2 2 2 2a b c a b c b+ + ge + + Απόδειξη

( ) 2 22 a bhArr + 2 2c ab+ + 2bc+ 2 4 2ca ac ab+ ge + 2bc+ 2b+ hArr

( ) ( )22 22 2 0 0a c ca a chArr + minus ge hArr minus ge η οποία ισχύει

( )max1f f ee

= =

+infin


Από τη (2) προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2 21 2 2 32 2

c b b b bcb a b aa b c a b c

+ +ge rArr ge

+ ++ + + +

Όμοια δείχνεται ότι

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 2

2 22 24 5

2 2c c ca a a ab

c b a ca b c a b c+ +

ge ge+ ++ + + +

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (3) (4) και (5) προκύπτει

( )

2 2 2

22 2 2 1

2 2 2b c a a b c ab bc ca

b a c b a c a b c+ + + + +

+ + ge =+ + + + +

δηλαδή

12 2 2

b c ab a c b a c

+ + ge+ + +

κι ακόμα

1 1 1 1 32 2 2

b c ab a c b a c

minus + minus + minus ge minus rArr+ + +

2 2 2 22 2 2

b b a c c b a a cb a c b a cminus minus minus minus minus minus

rArr + + ge minus rArr+ + +

2 2 2 22 2 2a b c

b a c b a cminus minus minus

rArr + + ge minus+ + +

και τελικά

12 2 2

a b cb a c b a c

rArr + + le+ + +



420 Να εξεταστεί ποιος από τους δύο ακόλουθους αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος

( )2 2010201120102011 20102011x y= = (Centrale des Maths Problegraveme du mois Deacutecembre 2010)









Αναφερθήκαμε με εκτενή τρόπο στο έργο του Δημόκριτου με αφορμή το γνωστό κείμενο του Πλούταρχου(ΣΜ283) καθώς και στις ιδέες του Τολστόι θέλοντας να τονίσουμε τη μεγάλη σημασία που είχε η σκέψη των Ελεατών φιλοσόφων και κυρίως τη διαχρονική επίδραση που άσκησαν στην εξέλιξη των επιστημών και κυρίως των μαθηματιών τα τέσσερα παράδοξα του Ζήνωνα Όπως ειπώθηκε και προηγούμενα εκείνο που προκύπτει από τον όλο προβληματισμό του Ζήνωνα είναι η ανάδειξη στη όλη μέχρι τώρα πορεία της ανθρώπινης σκέψης των δύο βασικών εννοιών που σήμερα είναι κυρίαρχες στη φιλοσοφική και ειδικότερα στη μαθηματική σκέψη δηλαδή της laquoσυνέχειαςraquo και του laquoαπείρουraquo - laquoαπειροστούraquo Ξαναγυρίζοντας στα τέσσερα παράδοξα του Ζήνωνα από τα οποία δημιουργήθηκε ο αρχικός προβληματισμός για μια εμπεριστατωμένη μελέτη της κίνησης των σωμάτων αξίζει να δούμε τελικά την όλη ανασκευή και την τελική απάντηση που αντέταξε ο μεγάλος φιλόσοφος Αριστοτέλης στο έβδομο βιβλίο του έργου του laquoΦυσική Ακρόασιςraquo Στο πρώτο και στο δεύτερο παράδοξο ο Ζήνων καταλήγει με το δικό του σκεπτικό πως ο χρόνος που θα χρειαστεί κάθε φορά ένα σώμα για να διανύσει μια πεπερασμένη απόσταση είναι άπειρος Ο Αριστοτέλης αυτό ακριβώς προσπαθεί να ανατρέψει και να αποδείξει πλέον ότι

(Πρ1) laquoΈνα κινούμενο σώμα για να διανύσει μια πεπερασμένη απόσταση χρειάζεται πάντα έναν πεπερασμένο χρόνοraquo

Όπως ακριβώς φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα

Όσο απλή κι αν φαίνεται η πρόταση αυτή για την εποχή εκείνη αποτέλεσε σημείο έριδας των φιλοσόφων και εφαλτήριο για νέες ιδέες και προτάσεις που σιγά ndash σιγά άρχισαν να θεμελιώνουν γερά το επιστημονικό οικοδόμημα Ο Αριστοτέλης στην περίπτωση αυτή όπως και σε πολλές άλλες φαίνεται καθαρά να χρησιμοποιεί ένα αποδεικτικό τρόπο που ανά τους αιώνες όχι μόνο δεν αμφισβητήθηκε αλλά και καθιερώθηκε με το όνομα laquoαπαγωγή σε άτοποraquo Στην προσπάθεια του αυτή όπου θέλει να ανατρέψει τους laquoπαραλογισμούςraquo του Ζήνωνα παρατηρεί κανείς τον τρόπο με τον οποίο ο φιλόσοφος αυτός χρησιμοποιεί την αποδεικτική αυτή μέθοδο με δεξιότητα και αποτελεσματικότητα

No290


Αργότερα τη μέθοδο αυτή θα την αναδείξει ακόμα περισσότερο ο Ευκλείδης και θα τη χρησιμοποιήσει πλέον στην απόδειξη καθαρών μαθηματικών προτάσεων Διαβάζοντας κανείς το έβδομο βιβλίο της laquoΦυσικής Ακρόασηςraquo αντιλαμβάνεται έστω και μέσα από έναν laquoελλειμματικό λόγοraquo ότι τα επιχειρήματα του Αριστοτέλη ξεκινούν πάντα με τις φράσεις

Εἰ δrsquo ἐστί hellip εἰ γάρhellip ἔστω γάρhellip οι οποίες εισάγουν υποθετικές προτάσεις τις οποίες τελικά σκοπεύει να ανατρέψει

Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις 388 Αν 0x y z gt και

1xyz = να δείξετε ότι

( )2 2 2 1x y z x y z+ + ge + + (Μπάμπης Στεργίου- Νίκος Σκομπρής Κλασσικές και Νέες ανισότητες Σελ202)

Λύση Από την ταυτοανίσωση του Schwartz για τους x y z προκύπτει

( ) ( ) ( )21 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1x y z x y z+ + + + ge sdot + sdot + sdot δηλαδή

( ) ( ) ( )22 2 23 2x y z x y z+ + ge + + Από την ταυτοανίσωση του Cauchy επίσης για τους θετικούς αριθμούς x y z ισχύει

( )33 3x y z xyz+ + ge και επειδή

1xyz = η (3) γίνεται

( )3 4x y z+ + ge Άρα

( ) ( ) ( )( )

( )4

2 3x y z x y z x y z x y z+ + = + + + + ge + + δηλαδή

( ) ( ) ( )2 3 5x y z x y z+ + ge + + Από τη (2) και την (5) προκύπτει

( ) ( )2 2 23 3x y z x y z+ + ge + + και τελικά

2 2 2x y z x y z+ + ge + + δηλαδή η ζητούμενη


389 Αν

( )2 11ν ημασυναεφβ

ν ημ α=

minus

τότε να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )1 2εφ α β ν εφαminus = minus

Λύση Λύνουμε την (1) ως προς ν

( ) 21 εφβ νημ α εφβ νημα συναhArr minus sdot = sdot

( )2εφβ ν ημ α εφβ ημα συναhArr = sdot + sdot hArr

2

εφβνημ α εφβ ημα συνα

hArr = hArrsdot + sdot

21 1 εφβνημ α εφβ ημα συνα

hArr minus = minus hArrsdot + sdot

2

21 ημ α εφβ ημα συνα εφβνημ α εφβ ημα συνα

sdot + sdot minushArr minus = hArr

sdot + sdot

( )2

2

11

ημα συνα εφβ ημ αν

ημ α εφβ ημα συνα

sdot minus minushArr minus = hArr

sdot + sdot

( )2

21 3ημα συνα εφβ συν ανημ α εφβ ημα συνα

sdot minus sdothArr minus =

sdot + sdot

Όμως

( )( )

11

εφα εφβεφ α β εφα εφβεφα εφβ

εφα εφα εφα εφα εφβ

minusminus minus+ sdot= = =

+ sdot

1

ημα εφβσυνα

ημα ημα εφβσυνα συνα

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠


2

2

ημα συνα εφβσυνα

ημα συνα ημ α εφβσυν α

minus sdot

= =sdot + sdot

( )2

συνα ημα συνα εφβημα συνα ημ α εφβ

minus sdot=

sdot + sdot

δηλαδή

( ) ( )2

2 4εφ α β ημα συνα εφβ συν α

εφα ημ α εφβ ημα συναminus sdot minus sdot

=sdot + sdot


( )1εφ α β

νεφα

minusminus =

δηλαδή

( ) ( )1εφ α β ν εφαminus = minus που είναι η ζητούμενη σχέση (2)


421 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

( ) 52 3 2 2 02

συν συν συνΑ + Β+ Γ + = Να βρεθούν οι γωνίες του

(MATHVNCOM)

422 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3 4 z z z z τέτοιοι ώστε

1 2 3 4 0z z z z r= = = = gt Εάν

1 2 3 4 0z z z z+ + + = τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης

2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + +

(Mateforum)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 14 Δεκεμβρίου 2011 14






Εύδοξος ο Κνίδιος Προτού αναφερθούμε στη συλλογιστική του Αριστοτέλη σύμφωνα με την οποία ανέτρεψε τα αδιέξοδα που εμφανίζονταν από τα παράδοξα του Ζήνωνα και κυρίως από τα δύο πρώτα δηλαδή της laquoδιχοτομίαςraquo και του laquoΑχιλλέα με τη Χελώναraquo τα οποία όπως είναι γνωστό οδηγούσαν στον laquoπαραλογισμόraquo πως για να διανυθεί μια πεπερασμένη απόσταση από ένα κινητό χρειάζεται άπειρο χρόνο θα πρέπει να γνωρίσουμε την προσφορά ενός άλλου φιλοσόφου και μαθηματικού της εποχής εκείνης Αυτός είναι ο Εύδοξος ο Κνίδιος Ο μεγάλος αυτός μαθηματικός γεννημένος από φτωχούς γονείς έμεινε στην ιστορία των μαθηματικών για το πολύτιμο έργο που έχει σχέση με τη θεμελίωση των ασύμμετρων μεγεθών Μαθητής του μεγάλου Αρχύτα του Ταραντίνου γνώρισε την Πυθαγορική σκέψη και τα αδιέξοδα αυτής τα οποία είχαν σχέση με τους άρρητους αριθμούς Στη συνέχεια βρίσκεται στην Αθήνα όπου έρχεται σε επαφή με την Κυρηναϊκή φιλοσοφία(Αρίστιππος) και κυρίως με τον Πλάτωνα Υπήρξε μαθητής αλλά και συνεργάτης του διδάσκει στην laquoΑκαδημίαraquo κι έχει μαθητές μεταξύ άλλων τον Μέναιχμο και το Δεινόστρατο Πεθαίνει νεότατος σε ηλικία 53 ετών αλλά αφήνει ένα μεγάλο έργο το οποίο στη συνέχεια θα δώσει τη δυνατότητα για την παραπέρα ανάπτυξη τωνΜαθηματικών Αξίζει αναφερόμενοι για το μεγάλο αυτό μαθηματικό της κλασσικής αρχαιότητας να καταγράψουμε μερικά ακόμα στοιχεία που έχουν σχέση με το έργο του Κατrsquo αρχήν ο Εύδοξος παρόλο που διδάχτηκε την Πυθαγορική σκέψη καθώς και την Πλατωνική από τον ίδιο τον Πλάτωνα διαμορφώνει τη δικιά του θέση και τη δικιά του αντίληψη για τα Μαθηματικά Για το λόγο αυτό ο σύγχρονος καθηγητής της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης Walter Burket λέει

laquoΟ Εύδοξος δεν είναι ούτε ένας αληθινός πυθαγορικός ούτε ένας αληθινός πλατωνικός είναι ένα πνεύμα αυθεντικό και πρωτότυποraquo

Εξάλλου ο Αρχιμήδης στο έργο του laquoΠρος Ερατοσθένην έφοδοςraquo μας παρέχει σπουδαία πληροφορία που έχει σχέση με το έργο του Ευδόξου Διαβάζοντας κανείς το έργο αυτό πληροφορείται πως ο Εύδοξος ήταν εκείνος που βρήκε πρώτος την απόδειξη των δύο θεωρημάτων που αναφέρονται στον όγκο του κώνου και της πυραμίδας Απόδειξε δηλαδή ο Εύδοξος ότι ο όγκος του κώνου και της πυραμίδας

No291

Εύδοξος ο Κνίδιος (408-353πΧ)


είναι το ένα τρίτο του αντίστοιχου κυλίνδρου και του αντίστοιχου πρίσματος Ειδικότερα στο έργο αυτό ο Αρχιμήδης κάνει αναφορά και στο έργο του Δημόκριτου(ΣΜ288) λέγοντας πως αν και ο Εύδοξος απόδειξε τα θεωρήματα αυτά στο Δημόκριτο αξίζει μεγάλη τιμή που μίλησε γιrsquo αυτά χωρίς απόδειξη laquoού μικράν ἀπονείμαι ἄν τις Δημοκρίτῳ μερίδα πρώτῳ τήν ἀπόφασιν τήν περί τοῦ εἰρημένου σχήματος χωρίς ἀποδείξεως ἀποφηναμένῳraquo

(TLG Ad Etatosthenem methodus 3843-10)


390 Να γίνει απαλοιφή του θ από τις εξισώσεις ( )( )

2 2 1

2 2

x y

x y

ημθ συνθ αημ θ

συνθ ημθ ασυν θ

+ =

minus =

Λύση Θεωρώντας τις σχέσεις (1) και (2) ως ένα γραμμικό σύστημα των δύο αγνώστων x y θα προχωρήσουμε στη λύση του ελέγχοντας πρώτα την ορίζουσά του

( )2 2 1 0 3Dημθ συνθ

ημ θ συν θσυνθ ημθ

= = minus minus = minus neminus

επομένως το σύστημα αυτό έχει μια ακριβώς λύση Στη συνέχει υπολογίζουμε της ορίζουσες των αγνώστων x y x yD D Αυτές είναι

2 22 2 2

2xDαημ θ συνθ

αημ θημθ ασυν θσυνθασυν θ ημθ

= = minus minus =minus

( )2 2 24αημ θσυνθ ασυνθ συν θ ημ θ= minus minus minus =

( )2 2 24ασυνθ ημ θ συν θ ημ θ= minus minus + =

( )2 23ασυνθ ημ θ συν θ= minus + Δηλαδή

( ) ( )2 23 4xD ασυνθ ημ θ συν θ= minus + Επίσης

2 22 2 2

2yDημθ αημ θ

αημθσυν θ ασυνθημ θσυνθ ασυν θ

= = minus =

( )2 2 4αημθ συν θ ημ θ ασυνθημθσυνθ= minus minus = 2 2 2( 4 )αημθ συν θ ημ θ συν θ= minus minus =

2 2(3 )αημθ συν θ ημ θ= minus +


Δηλαδή

( )2 2(3 ) 5yD αημθ συν θ ημ θ= minus + Επομένως η μοναδική λύση του συστήματος των εξισώσεων (1) και (2)

δίνεται από τους τύπους

yx DDx yD D

= =

Έτσι σύμφωνα με τις σχέσεις (3) (4) και (5) προκύπτει Για τον άγνωστο x

( )2 231

xDxD

ασυνθ ημ θ συν θminus += =

minus

δηλαδή

( ) ( )2 23 6x ασυνθ ημ θ συν θ= + Και όμοια για τον άγνωστο y

2 2(3 )1

yDy

Dαημθ συν θ ημ θminus +

= =minus

δηλαδή

( )2 2(3 ) 7y αημθ συν θ ημ θ= + Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (6) και (7) προκύπτει ακόμα

x y+ =

( )2 2 2 23 (3 )ασυνθ ημ θ συν θ αημθ συν θ ημ θ= + + + =

( )2 2 2 23 (3 )α συνθ ημ θ συν θ ημθ συν θ ημ θ⎡ ⎤= + + + =⎣ ⎦

( )2 3 2 33 3α ημ θσυνθ συν θ ημθσυν θ ημ θ= + + + =

( )3 2 2 33 3α ημ θ ημ θσυνθ ημθσυν θ συν θ= + + + Όμως η παράσταση μέσα στην παρένθεση είναι το ανάπτυγμα κύβου ώστε

τελικά να έχουμε

( ) ( )3 8x y α ημθ συνθ+ = + Όμοια αν τις σχέσεις (6) και (7) τις αφαιρέσουμε κατά μέλη θα προκύψει μια αντίστοιχη σχέση η οποία θα είναι

( ) ( )3 9x y α ημθ συνθminus = minus Στη συνέχεια υψώνουμε και τα δύο μέλη της (8) στο τετράγωνο Οπότε θα προκύψει

( ) ( )22 32x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦

κι ακόμα


( ) ( )32 22x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = + hArr⎣ ⎦

( ) ( )32 2 2 22x y α ημ θ ημθσυνθ συν θhArr + = + + hArr

( ) ( )2 32 1 2x y α ημ θhArr + = + και τελικά

( ) ( ) ( )2233 1 2 10x y α ημ θ+ = +

Όμοια αν υψώσουμε και τα δύο μέλη της (9) στο τετράγωνο θα προκύψει αντίστοιχα

( ) ( ) ( )2233 1 2 11x y α ημ θminus = minus

Τέλος προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (10) και (11) προκύπτει η ζητούμενη σχέση

( ) ( )22 233 3 2x y x y α+ + minus =

στην οποία δεν υπάρχει θ


423 Δίνονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΓΔ ώστε τα σημεία Β Γ Δ να είναι συνευθειακά

Αν η ΒΕ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Κ και η ΑΔ τέμνει την ΓΕ στο σημείο Λ τότε να δείξετε ότι η ΚΛ είναι παράλληλη προς την ευθεία των Β Γ Δ

(Μπάμπης Στεργίου Από το περιοδικό Crux Nov 2005)

424 Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α β γ που ικανοποιούν τη σχέση 1αβγ = Να δειχθεί ότι

( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +

(BMO 2011 1ο πρόβλημα Λάρνακα Κύπρου)









Εύδοξος ο Κνίδιος Είναι γενικά αποδεκτό σήμερα ότι το πέμπτο βιβλίο(V) από τα Στοιχεία του Ευκλείδη το οποίο περιέχει τη θεωρία των αναλογιών στηρίζεται καθαρά στις εργασίες του μεγάλου μαθηματικού από την Κνίδο της Μικράς Ασίας του Ευδόξου Στον πρόλογο του δεύτερου τόμου των laquoΣτοιχείωνraquo που περιλαμβάνει τα βιβλία VVI VII VIII IX του Οργανισμού Εκδόσεως Σχολικών Βιβλίων(Αθήνα 1963) ο Ευάγγελος Σταμάτης γράφει laquoὉ δεύτερος τόμος τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδου περιλαμβάνει τά βιβλία V VI VII VIII καί IX Το V βιβλίον περιέχει τήν θεωρίαν τῶν ἀναλογιῶν ὁποία θεωρεῖται ἔργον τοῦ διασήμου Κνιδίου μαθηματικοῦ Εὐδόξου κατά την ὁμόφωνην γνώμην τῶν παλαιῶν σχολιαστῶν τῶν Στοιχείωνraquo Ο Κνίδιος αυτός φιλόσοφος του τέταρτου αιώνα π Χ είναι εκείνος ο οποίος έδωσε λύση στο αδιέξοδο των πυθαγορείων όταν αυτοί μελετώντας τους ακέραιους βρέθηκαν μπροστά στους αριθμούς 2 3 5 δηλαδή μπροστά στους άρρητους αριθμούς Οι νέοι αυτοί αριθμοί ήταν κάτι το διαφορετικό κι ακατανόητο γιrsquo αυτούς Η κοσμοθεωρία των πυθαγορείων ήθελε την όλη αρμονία του κόσμου και των διαφόρων φαινομένων να συντίθεται με δομικά υλικά τους ακέραιους Οι νέοι αυτοί αριθμοί οι άρρητοι ή ασύμμετροι όπως ονομάζονται δημιουργούσαν πρόβλημα Για το έργο του Ευδόξου στην περίπτωση αυτή γράφει ο Ε Σταμάτης στα σχόλια του δευτέρου τόμου των laquoΣτοιχείων του Ευκλείδηraquo τα εξής laquoἸδού λοιπόν πῶς ὁ Εὑδοξος ἐγεφύρωσε τό χάσμα μεταξύ τῶν συμμέτρων καί ἀσύμμετρων μαθηματικῶν ἀντικειμένων κατά τούς ὁρισμούς 345 τοῦ V βιβλίου τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδου τό ὁποῖον ὡς ἐμνημονεύθη ἤδη ὁλόκληρον ἀποδίδεται εἰς αὐτόνraquo (Ε ΣταμάτηςΕυκλείδου Γεωμετρία Θ Αριθμών Τ ΙΙ ΟΕΣΒ Αθήνα 1953 Σελ 19) Το γεφύρωμα αυτό μεταξύ των ασύμμετρων και των σύμμετρων μεγεθών ανήκει αποκλειστικά στον Εύδοξο Αυτό δηλώνει ο μεγάλος έλληνας μελετητής των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Ε Σταμάτης χρησιμοποιώντας τη φράση

laquoκατά την ὁμόφωνην γνώμην τῶν παλαιῶν σχολιαστῶν τῶν Στοιχείωνraquo

Σε ότι αφορά τους παλαιούς αυτούς σχολιαστές μπορούμε να αναφέρουμε το απόσπασμα του Ιωάννη του Φιλόπονου ενός χριστιανού φιλοσόφου ο οποίος έζησε τον έκτο μ Χ αιώνα στην Αλεξάνδρεια το οποίο καταγράφει ο Ε Σπανδάγος στο βιβλίο του laquoΤα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνωνraquo laquoΤοῦτο το βιβλίον Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου τοῦ μαθηματικοῦ τοῦ κατά τούς Πλάτωνος χρόνους γεγονότος εἶναι λέγεται ἐπιγέγραπται

No292


δrsquo ὅμως Εὐκλείδουraquo (Ε ΣπανδάγοςΜαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων σελ 132 Εκδόσεις Αίθρα) Το απόσπασμα αυτό δηλώνει στη σημερινή γλώσσα laquoΤούτο το βιβλίο(δηλαδή το V των Στοιχείων του Ευκλείδη) κατά την παράδοση είναι έργο του Ευδόξου του Κνιδίου του μαθηματικού ο οποίος έζησε κατά τους χρόνους του Πλάτωνος η επιγραφή όμως το αποδίδει στον Ευκλείδηraquo



10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος

(ΘΝΚαζαντζής Αριθμοθεωρία σελ 70) Λύση Έστω πως η βάση του συστήματος αρίθμησης των αριθμών αυτών είναι

2a N aμεisin ge Τότε οι αριθμοί αυτοί γράφονται με τη μορφή

2 3 41 10101 1 0 0x a a a a= = + sdot + + sdot +

δηλαδή

( )2 41 1 1x a a= + +

Όμοια και οι άλλοι

( )2 4 6 82 1 2x a a a a= + + + +

( )2 4 6 8 10 123 1 3x a a a a a a= + + + + + + Από τους τύπους αυτούς συμπεραίνουμε ότι και ο γενικός όρος είναι της

μορφής

( )2 4 4 1 4nnx a a a n N= + + + + forall isin

Ο γενικός αυτός όρος ως άθροισμα διαδοχικών όρων γ προόδου γράφεται ως εξής

4 22 4 4

2

4 2

2

11 1

11

nn

n

n

n

a ax a a aa

axa

+

sdot minus= + + + + =

minusminus

=minus


κι ακόμα

( )22 14 2 2 1 2 1

2 2

11 1 11 1 1 1

nn n n

n

aa a axa a a a

++ + +minusminus minus += = = sdot

minus minus minus +

δηλαδή

( )2 1 2 11 1 5

1 1

n n

na ax

a a

+ +minus += sdot

minus +

Συνεχίζοντας την επεξεργασία της μορφής αυτής του τύπου (5) έχουμε την εξής μορφή

( ) ( )2 2 1 2 2 2 1 2 1 1m n

n n n nnx a a a a a a a aminus minus= + + + + + minus + + minus +

Άρα ο αριθμός αυτός έχει αναλυθεί σε γινόμενο δύο άλλων Αυτό δε σημαίνει ακόμα πως είναι σύνθετος

Για να δειχθεί αυτό θα πρέπει κάποιος από τους δύο παράγοντες να είναι γνήσιος Δηλαδή μεγαλύτερος της μονάδας και μικρότερος του nx

Πράγματι 2 2 1 2 1 1n nm a a a aminus= + + + + + gt

γιατί 2a ge Ακόμα για τον ίδιο λόγο είναι

2

2 2 2 4 42 4

2 4

1 1

1 1

n n

n n

a aa a a a a aa a

a a

+

= ⎫⎪lt ⎪⎪rArr + + + + lt + + + +lt ⎬⎪⎪

lt ⎪⎭δηλαδή

2nm x nlt forall ge Εφόσον ο ένας παράγοντας είναι γνήσιος τότε κι ο άλλος θα είναι γνήσιος

Άρα ο αριθμός nx είναι σύνθετος για κάθε τιμή του 2n ge

Σχόλιο

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η κατηγορία των αριθμών αυτών από τη στιγμή που δείχθηκε πως είναι σύνθετοι Η μορφή των παραγόντων που εμφανίζονται στην ανάλυσή τους έχει ενδιαφέρον

Η περίπτωση που ακολουθεί μελετά μια ειδική κατηγορία τέτοιων αριθμών οι οποίοι εμφανίζουν το σταθερό παράγοντα 101 σε οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης


Ειδικότερα ισχύει laquoΟι αριθμοί της μορφής

10101010101010101n

nx =

όπου

4 3n k k N= + isin είναι πολλαπλάσιο του αριθμού 101

Λύση Ο αριθμός αυτός γράφεται στο δεκαδικό σύστημα ως εξής

4 2 4 1 4

4 2 4 3 4 4

4

4 1

4 5

4 52 4 3 4 4

6 5 4 3

10 10 10

10 10 10

10 1

10 0

10 0

10 010 0

0 1010

1 0 1

1 0 1

1 0 11 0 110 10

k

k

k k kn

k k k

k k kk

x + +

minus minus minus

minus minus

minus

minus

minus

minus

= sdot + sdot + sdot + +

+ sdot + sdot + sdot + +

+ sdot + sdot + sdot +

+ sdot + sdot +

sdot

sdot +

sdot

sdot +

sdot2 1 010 110

+

+ sdot + sdot +

δηλαδή 4 4 4 4101 110 10 01 101 11 010k k

nx minus= sdot + sdot + + sdot + και τελικά

( )4 4 4 410 10 10 1 01 1 101k knx πολminus= + + + + sdot =

Με τον ίδιο τρόπο αντί του δεκαδικού δείχνεται σε κάθε σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό 2a N aμεisin ge


425 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ όπου ΑΒ lt ΑΓ Στο εσωτερικό του τριγώνου αυτού θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ και έστω Ζ η τομή της ΑΒ με την προέκτασης της ΓΜ καθώς και Ε η τομή της ΑΓ με την προέκταση της ΒΜ

Αν το τετράπλευρο ΑΕΜΖ είναι περιγράψιμο σε κύκλο τότε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ

(mateforum un loc geometric)









Εύδοξος ο Κνίδιος Τα laquoΣτοιχείαraquo έργο του Ευκλείδη(325-265πΧ) αποτελεί το μεγάλο και διαχρονικό έργο της ανθρώπινης διανόησης στο οποίο ο συγγραφέας συγκέντρωσε όλη τη μαθηματική γνώση που προηγήθηκε της εποχής του Σημαντική θέση σrsquo αυτά όπως αναφέρθηκε κατέχει το έργο του Ευδόξου Για το θέμα αυτό εκτός των laquoπαλαιών σχολιαστώνraquo που επικαλείται ο Ε Σταμάτης στο πρόλογο του δεύτερου τόμου των laquoΣτοιχείωνraquo καθώς και της αναφοράς του Ιωάννη του Φιλόπονου του 6ου αι μΧ (ΣΜ 292) υπάρχει και η καταγραφή του Πρόκλου του 5ου αι μΧ η οποία λέει laquoοὐ πόλυ δέ τούτων νεώτερός ἐστινltΕὐκλείδηςgt ὁ τά στοιχεῖα συναγαγών καί πολλά μέν τῶν Εὐδόξου συντάξας πολλά δέ τῶν Θεαιτήτου τελεωσάμενος ἔτι δέ τά μαλακώτερον δεικνύμενα τοῖς ἀνεξελέγκτους ἀποδείξεις ἀναγαγών Γέγονε δέ οὗτος ὁ ἀνήρ ἐπί τοῦ πρώτου Πτολεμαίουraquo ( In primum Euclides elementorum librum commentaria 686-6811) Το χωρίο αυτό επικαλείται κι ο Ευάγγελος Σταμάτης στην εισαγωγή του πρώτου τόμου των Στοιχείων του Ευκλείδη(ΟΕΔΒ 1975) μεταφράζοντας αυτό ως εξής laquoΝεώτερος τῶν περί τήν Ἀκαδημίαν τοῦ Πλάτωνος εἶναι ὁ Εὐκλείδης ὁ συναθροίσας τά Στοιχεῖα καί διατάξας μέν πολλά εὑρεθέντα ὑπό τοῦ Εὐδόξου τελειοποιήσας δέ πολλά εὑρεθέντα ὑπό τοῦ Θεαιτήτου προσέτι δέ ὁ ἀναγαγών εἰς ἀλανθάστους ἀποδείξεις ἐκείνα τά θεωρήματα τά ὁποία πρό αὐτού δεν εἶχον αὐστηρῶς ἀποδειχθεῖ Ἔζησε δέ ὁ ἀνήρ οὗτος ἐπί βασιλείας Πτολεμαίου τοῦ πρώτουraquo Φαίνεται λοιπόν καθαρά η επίδραση των ιδεών του Ευδόξου στην θεμελίωση της Γεωμετρίας και ειδικότερα όπως αναλύεται από τον Ε Σταμάτη στην εισαγωγή και στα σχόλια του πέμπτου βιβλίου για τους ορισμούς 3 4 και 5 καθώς και στο όγδοο θεώρημα του πέμπτου αυτού βιβλίου Οι ορισμοί αυτοί ουσιαστικά θεμελιώνουν τη σημερινή θεωρία των αναλογιών μεταξύ οποιονδήποτε μεγεθών Είτε αυτά είναι μεταξύ των σύμμετρα είτε αυτά είναι ασύμμετρα Ενοποιείται στη θεωρία αυτή και laquoγεφυρώνεταιraquo το χάσμα που ήταν σε εκκρεμότητα από την εποχή των Πυθαγορείων Εξάλλου και τα θέματα του δέκατου(Χ) καθώς και δέκατου τρίτου(ΧΙΙΙ) βιβλίου των Στοιχείων στηρίζονται στους Πυθαγόρειους καθώς επίσης και στις εργασίες του Εύδοξου καθώς και του Θεαίτητου Επίσης και τα θεωρήματα 11 -15 του δωδέκατου(XII) κατά μαρτυρία του Αρχιμήδη στο έργο του laquoΠερί σφαίρας και κυλίνδρουraquo αποδίδονται στον Εύδοξο (Ευκλείδου Γεωμετρία Ε Σταμάτη σελ20)

No293


Εκείνο όμως που έχει ιδιαίτερη σημασία και αξίζει κανείς να το προσέξει είναι το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo το οποίο αποδίδεται στον Εύδοξο Το αξίωμα αυτό όπως συνάγεται από τον τέταρτο ορισμό του πέμπτου βιβλίου καθώς κι από το όγδοο θεώρημα του ίδιου βιβλίου λέει laquoΑν δοθούν δύο άνισα μεγέθη η διαφορά αυτών πολλαπλασιασμένη με κάποιον

αριθμό ξεπερνά το μεγάλο μέγεθοςraquo



( )

( )( )

( )11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus Α⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(ΜΚαραμαύρος ΝΝιάνιος ΓΦράγγος Ανάλυση Γrsquo Λυκείου) Λύση Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της τέλειας επαγωγής bull Ελέγχουμε την περίπτωση για 1n =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 22

11 1 1 1 1

f xx f x f x f x x

xprimeprime prime prime⎡ ⎤ = minus hArr = minus⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

Άρα ισχύει bull Έστω πώς η (1) ισχύει για το φυσικό αριθμό n δηλαδή

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

1

11 1 1

nn nn

n

f xx f x

xminus

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦

Θα δείξουμε ότι ισχύει και για τον επόμενο φυσικό τον 1n+ δηλαδή

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 1

2

11 1 2

nn nn

n

f xx f x

x

++ +

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦

Πράγματι το πρώτο μέλος της ζητούμενης (2) γίνεται

( ) ( ) ( )( )( )

1 11 1n

nn nx f x x x f x+ minus⎡ ⎤prime⎡ ⎤ = sdot =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )( )

( ) ( )( )( )

1 1 11 1 1n n

n n nx x f x x f x x x f xminus minus minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤prime prime= sdot = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( )( )( )

( )1 11 1n

nn nx f x x x f xminus minus⎛ ⎞prime= + =⎜ ⎟⎝ ⎠


( )( ) ( )( )( 1)

( )1 11 1

n

nn nx f x x x f x

minus

minus minus⎛ ⎞prime⎡ ⎤prime⎜ ⎟= + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 1 1n

nn n nx f x x f x x x f xminus

minus minus minus⎡ ⎤prime primeprime= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)( 1)

( )1 1 11 1 1nn

nn n nx f x x f x x x f xminusminus

minus minus minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤prime primeprime= + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( ) ( )1 1 11 1 1n

n nn n nx f x x f x x x f xminus

minus minus minus⎡ ⎤primeprime= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( )( )( 1)

( )1 12 1 1n

nn nx f x x x f xminus

minus minus⎡ ⎤primeprime= + ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 2 1 1n

nnn n nx f x x f x x x f xminus

+ minus minus⎡ ⎤primeprime⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Συνεχίζοντας τις παραγωγίσεις με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 2 )

( )1 1 11 3 1 1n


+ minus minus⎡ ⎤primeprimeprime⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ και τελικά

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 11 1 1 3n nnn n nx f x n x f x x x f x

+ minus minus prime⎡ ⎤⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Κι ακόμα

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1

( ) ( 1) ( )1 1 1

1

1 1 1

nn

n n nn n n

x f x

n x f x x f x x x f x

+

+minus minus minus

⎡ ⎤ =⎣ ⎦prime⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 11 1 1n nn nn x f x x x f xminus minus prime⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )(1)

1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +

prime⎡ ⎤= + minus + minus =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦


( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +

prime⎡ ⎤= minus + + minus =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 1

2( 1)

11 1

1 1 1 11

nn

n

n nn nn

n

f xn

xf x x x n x f x

xx

+

+ +

+

= minus + +

minus sdot minus ++ minus =

( )( ) ( ) ( )1

11 1

nn

n

f xn

x += minus +

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

2 2 2 2

1 1 1 11 1

n n nnn n

n n

f x x x n x f xx x

x x

+ +

+ +

+

minus sdot +minus minus minus

Άρα τελικά είναι

( ) ( )11

nnx f x+

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ( )( ) ( )1 1

12

11

n nn

n

f x xx

+ ++

+

sdotminus

Δηλαδή η (2) Συνεπώς η ζητούμενη σχέση (Α) ισχύει για κάθε n Nisin


426 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )90οΑΒΓ Α = με πλευρές αντίστοιχα α β γ Να δειχθεί η σχέση

3 2γ β α+ le

427 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )90οΑΒΓ Α = και αΙ το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου στην ορθή γωνία του τριγώνου Φέρουμε το τμήμα αΑΙ που τέμνει την υποτείνουσα ΒΓ στο σημείο Δ Να δειχθεί ότι

2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ









Στη συνάντηση του Σωκράτη με τους Ελεάτες φιλοσόφους Παρμενίδη και Ζήνωνα όπως αυτή περιγράφεται από τον Πλάτωνα εκατό σχεδόν χρόνια μετά στο έργο του laquoΠαρμενίδηςraquo ο Ζήνων εμφανίζεται να διαβάζει ένα βιβλίο μέσα από το οποίο αναπτύσσει τις φιλοσοφικές του απόψεις για τον κόσμο Ειδικότερα ο Πλάτων γράφει laquoΤόν οὖν Σωκράτη ἀκούσαντα πάλιν τε κελεῦσαι τήν πρώτην ὑπόθεσιν τοῦ πρώτου λόγου ἀναγνῶναι καί ἀναγνωσθείσης - πῶς φάναι ὦ Ζήνων τοῦτο λέγεις εἰ πολλά ἔστι τά ὄντα ὡς ἄρα δεῖ αὐτά ὅμοιά τε εἶναι καί ἀνόμοια τοῦτο δέ δή ἀδύνατον οὔτε γάρ τά ἀνόμοια ὅμοια οὔτε τά ὅμοια ἀνόμοια οἶόν τε εἶναι - Οὐχ οὕτω λέγειςraquo (Παρμενίδης 127d6-127e5) Δηλαδή laquoΟ Σωκράτης έχοντας ακούσει μέχρι τέλους κάλεσε τον Ζήνωνα να ξαναδιαβάσει την πρώτη πρόταση του πρώτου βιβλίου Αφού έγινε αυτό (ο Σωκράτης)ξαναείπε -Πώς εννοείς αυτό εδώ Ζήνων Εάν τα όντα(τα υπαρκτά πράγματα) είναι πολλά πρέπει να είναι ταυτόχρονα όμοια και ανόμοια μεταξύ των Άρα αυτό είναι αδύνατο Διότι αυτό που είναι διαφορετικό δεν μπορεί να είναι όμοιο με κάτι άλλο ούτε αυτό που είναι όμοιο μπορεί να είναι και διαφορετικό - Ή δεν το εννοείς έτσιraquo Το συμπέρασμα που βγάζει ο σημερινός αναγνώστης της παραγράφου αυτής είναι πως ο Ζήνωνας είχε κατά την επίσκεψή του στην Αθήνα περισσότερα του ενός βιβλία από τα οποία διάβαζε και συζητούσε τις φιλοσοφικές του απόψεις Δεν ξεχνάμε βέβαια πως ο διάλογος αυτός διαδραματίζεται στα μέσα περίπου του πέμπτου προ Χριστού αιώνα και πριν από την ανάπτυξη της Σωκρατικής και Πλατωνικής φιλοσοφίας Είναι ακριβώς η εποχή της λεγόμενης προσωκρατικής φιλοσοφίας που λειτούργησε δυναμικά στην παραπέρα ανάπτυξη των ιδεών και της συλλογιστικής του ανθρώπου Από τα βιβλία αυτά του Ζήνωνα(πιθανότατα ήταν δύο) δεν σώθηκε κανένα Όμως για τις ιδέες του έγραψαν πολλοί Εκτός από τον Πλάτωνα ο Αριστοτέλης ομιλεί για τις ιδέες του Ζήνωνα αλλά κυρίως στο έργο του laquoΦυσικάraquo κάνει εκτενή αναφορά στα λεγόμενα laquoπαράδοξαraquo του Ακόμα και αργότερα στην εποχή του 6ου μ Χ αιώνα ο νεοπλατωνικός φιλόσοφος Σιμπλίκιος σχολιάζοντας το έργο του Αριστοτέλη laquoΤα Φυσικάraquo κάνει

No245








2R αβγ υ=








Όμως









( ) ( )0

23 4f x dxλ



( ) 4

0

13f x dxλ





( )( )

0

0

f x x a

f x x a

αν

αν

prime lt lt

prime gt gt




( ][ )

f x a

f x a

για

για

isin minusinfin

isin +infin





επομένως























No246









( ) ( )0

23 4f x dxλ



( ) 4

0

13f x dxλ







( )0

4f x dxλ

λ=int


γίνεται

( )5

4 2

0

4 3 4 2 3 45







( )( )

4

4

2 2 10 2 5 9 0

3 3 10 3 5 46 0

φ

φ




( ) ( )0

23 4f x dxλ




( ) ( )1

10

4 3f x dxλ

λ=int


( ) ( )1

41

0

13 4f x dxλ



( ) ( ) ( )44 3 5f x f xge minus⎡ ⎤⎣ ⎦





( ) ( )1 1 1

4

0 0 0




( ) ( )( )1 1 1 34

1 1 10 0 0

4 3 4 4 3 13f x dx f x dx dxλ λ λ


και τελικά

( )1

41

0

13f x dxλ





3 5 7ΡΑ = ΡΒ = ΡΔ =
















No247








( )

( )( )

21 1 12 4

ΑΖΗ

ΑΔΕ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠


( ) ( )

( ) ( )

114 1

ΑΖΗ

ΑΔΕ ΑΖΗ

ΕhArr = hArr

Ε minusΕ minus

( )

( )( ) ( )

1 13 3


ΔΕΗΖ


Ε

άρα

( )1 12 4 3





( )

( )

21 12 4

ΑΔΕ

ΑΒΓ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠



( ) ( )21 0 1f x xf x x Rx





( ) ( )21 2f y yf yy


⎝ ⎠


1xy

=


( ) ( )2

1 1 1 3f f yy y y

⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) 1f y fy

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

προκύπτει

( ) 22

1 1 1 1 12 2

f y y f yy y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Δηλαδή


( ) 21 1 02

f x x xx

⎛ ⎞= + ne⎜ ⎟⎝ ⎠



( )3 12


+ + le+ + +


Είναι


= =+ + + + + +


( )1 02

ab a b a ble + gt


( )1 32

xy x yxy z x z y z

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠


( )

( )

1 42

1 52

yz y zyz x y x z x

zx z xzx y z y x y

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠














No248





( ) ( ) ( )2 1 0 1f x xf x+ minus = Αν






Δηλαδή



( )2

12

42



( ) ( )2 4 4

2x xf x minus + +

=


δηλαδή





0 01 4 290 54α α α= = =

και

( )0 0 0 0 03 360 90 90 54 126α = minus + + =



1 4 2 30 0 0

90 54 126025 015 035360 360 360

f f f f= = = = = = =



4

110 0 25 20 015 30 035 40 025

25 3 105 10 26

i ii

x x f=


= + + + =

sum

Δηλαδή

26x =

Xi fi Fi

10 025 025 20 015 040 30 035 075 40 025 1






1010102020 203030304040 40


50 51 30 30 302 2

t tδ

+ += = =



3 4 18ν νν ν ν+ =

Δηλαδή

3 43 4

18 18 18 30060

f ff f

νν

+ = rArr = = =+

















1 1 1 1 2 4 8 16


No249













( )( )

43

43

0

0

x xf x

x x



( ) ( ) ( ) ( )4 113 3

4 43 3




( )134

3f x xprime =


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4 4

13 33

0 0 0 0

0lim lim lim lim 0

0x x x x

f x f x xx



minus minus

( ) ( )4

133

0 0 0

0lim lim lim 0

0x x x


minus= = =

minus Άρα

( )( )

( )

13

13

4 034 03

x xf x

x x




( ) ( ) ( )1 13 3

1 1 2 24 4 13 3





( ) ( ) ( )1133

3 3 14 4 23 3


και όμοια

( ) ( )13

4 24 33




( ) ( ) ( )8 0 8

1 1 0




( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0



( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0



( ) ( ) ( ) ( )

0 844 11 33

7 7

1 0

3 3 30 1 2 0 2 14 4 7 7 71 13 3

x x++

minus


+ +




( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 412


αβ βγ γα

+ + ++ + ge















No250



1 1 1 1 0 0 0 0 0116 8 4 2ν

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫Δ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭





( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

1 3 1

x

x



( ) ( )3

2

1 2f x dx =int


( ) ( )1

x






( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 3 2

1 3 1 1

2 1 1 2

1 3 3 1

1

0



= + =

= minus =

int int int int

int int int int

Δηλαδή


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 1



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3

1 1 2 2





( ) ( )1

x



Άρα




( ) ( ) ( ) ( )2

1


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

3 2 3

1 1 22 22

1 1

3 3 3 3 3

1 3 2


f t dt f t dt



int int int

int int

δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )2

1








( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2

1

2 2 0 4x


τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 2 2x



δηλαδή

( ) ( ) ( )( )1



( ) ( ) ( )24 4 2 4H f F= minus





( ) ( ) [ ]2 2 04f x F x xgt isin



( )

2 2 2

2

826

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +












No251












( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 12 1 2 1 0


minus + minus + =


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 12 1 2 2 1 1 1


κι ακόμα

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2 12 2

2 1 2 2 1 1

1 0 62 1




( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 7f x f x f x f xΑ = + +





( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 11 1

3 22 2

0 42

0 52

xf x f x

xf x f x

+ + =

+ + =



( )213 0D f x= minus =

τότε


( )22f xΑ =


τότε




( ) ( )2 1

2 1

0f x f x

x xminus

ltminus



( )( ) ( )( ) ( )13 1 1 0

2f x

f f x f f xminus


( )( ) ( )( ) ( )131 1 02

f xf f x f f x


και τελικά

( )13 0

2f x

x xminus

+ + = δηλαδή














( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint















No252





( )3 3 3

2 1α β γ αα β γ+ +

=+ +



( )3 3 2β γ α β γ+ = + rArr







12

συνΑ =




0120Β+Γ =


( )3 12

ax

a

e dxminus

rangint


1aax x a a a

aaa

e dx e e e ee

minus

minusminus


δηλαδή

( )2 1 2

a ax

aa

ee dxeminus

minusΙ = =int


( )2 1 3 3

2

a

a

eeminusrang


( ) ( )( )

2

2

3 2 1 3

2 3 2 0 4

a a

a a

e e

e e


hArr minus minus gt





1 21 22

x x= minus =


1 22

x xlt minus or gt


1 22





σχέση (7)
















No253














( )2ββ γ


ΒΓ ΓΔ


( )0

0 0 0

70 370 80 80β λ λημβ



( )0

0 0 0

40 440 120 120γ λ λημ

γημ ημ ημ

= rArr =


( )0 0

0 0

70 120 540 80



( )0

0 0 0

80 680 50 50


= hArr =


( )0 0 0

0 0 0

70 120 80 740 80 50


=




00 03 1 16050 2 20

2 2συνημ ημ


⎝ ⎠






( )0 0 030 40 20συν ημhArr + = hArr




080x =ΟΒΓ =



[ ] [ ]1 x ax x x Ra














No254




λεπτά( 260


2 )


29100 100

60 4733165431 10 min2

t minus= = Χ



( ) ( )2





( )1x yα = +

( )2 2 2xβ ω= +


( ) ( ) ( )1 42

y xωΑΒΓΕ = +


Σχήμα 1



( )( )( ) ( )14


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 54



θα έχουμε

( ) ( ) ( )( )( )( )33





δηλαδή


( )( )( ) ( ) ( )3

3 63




( ) ( ) ( ) ( ) ( )14


( ) ( ) ( )3

23

1 14 3 4 3 3


+ +le + + = + +

sdot

άρα

( ) ( ) ( )21 74 3 3



( ) ( )21 12 4 3 3



( ) ( )212 3 3




( ) ( )22 2 2 26 3 y x y x x yω ω ω+ le + + + + +


( ) ( )2








( ) ( )0

4f x x f x xdxπ

ημ συν= + int














100

29

00005ί

tψηφ α

asymp



No255




2 2

2 2 1x ya b+ =


με aΕΚ +ΕΛ =




2 2 1x ycα β



( ) ( )2 22 2 2 21 2r x y r x yγ γ= + + = minus +

Σχήμα 1






( )( )2 21 2 1 21 2

1 21 2

4422


γγαα


+ =+ =

( )1

1 2

1 2 2

23

2

xx rr rxr r r


= +minus =hArr hArr

+ = = minus


γεα

=


bull Αν 1 22



bull Αν 1 22



Σχήμα 2



bull Αν 1 22





378 Αν





Σχήμα 3

Σχήμα 4









( )112 1

4 2Ε

Ε = = Ε


( )2 2

14 216 2Ε

Ε = = Ε


( )3 3

18 364 2Ε

Ε = = Ε


1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν νΣ = Ε + Ε +Ε + + Ε = Ε + Ε + Ε + + Ε

No256


1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν ν

⎛ ⎞Σ = Ε +Ε +Ε + +Ε = + + + + Ε⎜ ⎟⎝ ⎠



2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =




( )2 2

2 2 1 1x ya b+ =






= + = minus







21 2x xγ γ α+ =

και τελικά

( )2

1 2 52 2

x x αγ

+=


( )1 2 1 2 62 2

x x y yx yΜ Μ

+ += =


2x ctα


( )2

2

x αεγ



( )1 1w zz





Λύση




1 4 45 3


+ = + + rArr = =+


( ) ( )2 2

2 2 15 2 3

2

a b+ =



( ) ( )( ) 1 1 12

d z w w z z zz z



2 2 2 5w w aminus + + = ΝΕ +ΝΕ = =















2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =


2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν



όπου


1aωinfin= minussum


1 1 1 11 2 3 4 ν

+ + + + + +


No257






( )02 ) 1

2ΒminusΓ







Σχήμα 1


( )

4διχ

φ ρΔΘ=




0 0180 1802 2 2


= minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠







( ) ( )

( )

44

2 2 22 2

RR

RR

αβγαβγ



hArr = hArr =


1 2

4 3

2 2

2 2

x xR Rx x

y yR Ry y


β γ δ α

= =+ + + +

= =+ + + +

Άρα

( )

( )

1 2

3 4

2

2

x x Rx x

y y Ry y


β γ δ α

+ = ++ + + +

+ = ++ + + +


x x y yx x y y


+ = ++ + + + + + + +



xyαγ βδ+ =



( ) ( ) ( )0

1x


















No258











Έστω ότι



( ) ( )2

2

2

1ln 1

1

xx x x dx

x

primeminus


int

( )2

2


2

11

x dxx

minus =minus

int

( )2

22ln 1

1xx x dx

x= minus minus =

minusint

( )2

22

1 1ln 11

xx x dxxminus +


( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx

x x= minus minus +

+ minusint int


Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )2 1ln 1 1 11 1

x x dx dxx x




( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 1 1x x x xΑ Β

= ++ minus + minus



10 21 1

2


Επομένως

( ) ( )2

1 1 11 2 1 2 1x x x= minus

minus minus +


( ) ( )1 1 1

1 1 2 1 2 1dx dxdx

x x x x= minus =


1 1 1 1ln 1 ln 1 ln2 2 2 1

xx x c cxminus



( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx


+ minusint int

( )21

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



Έστω ότι



( )22

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



( )2 1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



1 2 iz I Ri

λλminus

= isin isin+


( )( )

( )( )

( ) ( )2

2 2

1 2 2 1 22 21 1

i i ii i izi i



Άρα


( ) ( ) ( )2010 4 502 2 220101 2 12

iz i z i i ii


+


















No259







και



Λύση Είναι

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 1 2 1

1 2 1

z z z z z z

z z z


= + minus + +

δηλαδή

( ) ( ) ( )222 1 1 4z z z= + minus +


( ) ( ) ( )2 22 21 1 1 1 1 1 2z z z z+ minus + le + + + le + =

δηλαδή

( ) ( ) ( )22 1 1 2 5z z+ minus + le





τότε










( ) ( )12

x f xf x

+⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠




( )0 0f x xne





( ) ( )0 00 4

2x f x

x+

gt


( ) ( )0 002

x f xf f x

+⎛ ⎞gt⎜ ⎟

⎝ ⎠




( )0 0f x xlt








( )( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ +ΕΒ











No260













[ ]1 2 x x a bisin


( )m f x Mle le


( ) ( ) ( ) limx a

f x f af a

x ararr +

minus=

minus


( ) ( )lim 0x a

f x f ax ararr +

minuslt

minus


( ) ( ) 0f x f a

x aminus

ltminus






( ) ( ) ( ) limx b

f x f bf b

x brarr minus

minus=

minus


( ) ( )lim 0x b


minusgt

minus


( ) ( ) 0f x f b

x bminus

gtminus

κι επειδή





















x y kx y kx y k

x y k














No261

Σ









( )2 2 2 2 2 21 32 3 12 3



x

y ω


( ) ( )3 32 33 3

α βλ μ= =



( )2 2

2 03 32 603 3 3 3



( ) ( )2 2 2 03 2 60 5y aα γ γσυν= + minus Β +



( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 0 2 2 0

2 20 0

2 60 2 60

60 60 72













Α Β

Άρα




( ) ( ) ( ) ( )0 0 160 60 82



( )2 2 12 2


= Γ minus Α



( )2 2 2 2 2 2

102 2



2 2


minus = minus hArr




y ω= Άρα

















No262







( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 33 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 3 2 3 2 2

3 2 3 2 2 2

6 3 2 2

a b a a b ab b

a a b ab b

a ab a b b

+ = + + sdot + =

= + + sdot + =

= + + + rArr



( )( )

2 23 2

2 3 2 2

6 206 203 2 14 3 2 14


⎫+ =⎫+ = ⎪ ⎪hArr⎬ ⎬+ = + =⎪⎭ ⎪⎭





2 1a b= = Άρα

( )32 2 20 14 2+ = +



( )32 2 20 14 2+ = +


( ) ( )( ) ( )

3 33 3 3 320 14 2 20 14 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4


= + + minus =


( ) 99 12 1 3 2 4 3 16 15x x x x

+ + + + =+ + + +



( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 16 15 99

2 1 3 2 4 3 16 15







3 99 33x x= hArr =




( )( )2

4 α β αβημφ

α β

minus=

+


προκύπτει


( )2y α ββ

α β+

= sdotminus

Άρα


( )( )2

42 2 x

yα ββ



ΚΛ ΟΚ + +





e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠














( )( )

1





No263

SA

SX

υA υX

S=100m



1009

t υΧ=



( )1ΑΜ ΑΔ=


=ΓΝ ΒΓ






( ) ( ) 3 41 10 0

x x

y y

λβ λβλ λΜ Σ

Μ Σ

minus⎧ ⎧= =⎪ ⎪Μ Σ+ minus⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

όπου

( )5λ ΑΔ=ΒΓ


Α equiv

Σχήμα 1


( )1 2

1 2

1 6

1

x xx

y yy

λλλλ

Ν

Ν

+⎧ =⎪⎪ +Ν ⎨ +⎪ =⎪ +⎩

( )

1 2

1 2

1 7

1

x xx

y yy

λλλλ

Τ

Τ



( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Ν ΜΜΝ

Ν Μ

+minusminus ++= = =


δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

8y yx x

λλ

λ βΜΝ

+=

+ minus

και

( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Τ ΣΣΤ

Τ Σ


δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

9y yx x

λλλ βΣΤ

minus=

minus minus



( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

1y y y yx x x x




( )1 2

1

2 2 2

22 22

1y y

x x

λ

λ β

minus= minus hArr

minus minus

( )1 2 1


( )1 1 2


( )1 1 2


( )( )1 1

2

2 22

2 22

10x y

x yλ

β

+=

minus +

Όμως

1

2 21x yΑΔ = + και ( )2 2


( )( )

2 222 2 1 1

22 22 2

11x yx y




( ) ( )

2 2 2 21 1 1 1

2 22 22 2 2 2

x y x yx y x yβ β

+ +=

minus + minus +




12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +














( )2 3

1 1 1 1 12 2 2 2

S ν= + + + + +


2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν


( )2

1 1 1 100 10 1 210 10 10

S ν= + + + + + + +


2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν


No264



100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus




( )1ΑΜ ΑΔ=


=ΓΝ ΒΓ







1λλ

ΟΑ + ΟΒΟΜ =

+

1λλ


minus



1λλ

ΟΔ + ΟΓΟΝ =

+

1λλ


minus


( )3λ ΑΔ=ΒΓ


είναι

1 1λ λλ λ


+ +

( ) ( )1

λ

λ


+

( )1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓ=

+

δηλαδή

( )( )4

1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓΜΝ =

+


είναι

1 1λ λλ λ


+ +

( ) ( )1

λ

λ


minus

( )1

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus


( )( )5

1

λ

λ


minus



και ΣΤ


Πράγματι

( ) ( )1 1

λ λ

λ λ


( ) ( )2 22

21

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus

Δηλαδή

( ) ( )( )

2 22

2 61

λ

λ


minus


( )( )

( ) ( )2

2 22 22 0λ λ λ



0ΜΝ sdotΣΤ =


ΜΝ perp ΣΤ


389 Αν


ν ημ α=

minus




+ =minus =














No265







θα έχουμε





1΄ ΄΄ ΄

βλ



sdot sdotΟΒ

1γ λ

=minus

δηλαδή

΄β

γ λΟΒ

=ΟΒ minus


΄ ΄β β



Άρα

( ) ( )4΄ββ γ λ

ΟΒ = ΒΒ+ minus


( ) ( ) ( )2 21 5β λγ β λ α βλ β λβ γ λ β


1΄ ΄΄ ΄

β λλ



sdot sdotΟΓ

1γ=

δηλαδή

΄γ

β λΓΟ

=ΟΓ minus


΄ ΄γ γ



άρα

( ) ( )6΄γβ γ λ

ΟΓ = ΓΓ+ minus


( ) ( ) ( )2 21 7γ λβ γ λ α γλ γ λβ γ λ γ




ββ γ λ

sdot+ minus

( ) ( )2 21 λγ β λ α βλ β λβ

γβ γ λ


=+ minus





( )2

1 10αλβ γ

=+


( )2



+




10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος












No266

















1 2 1 2φ φ ω ω= =


1 2 1 2 90φ φ ω ω+ + + = Άρα









( )22 2 2 5

2συνφ


sdot ΑΜ sdotΑΝ



( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 145 452 2 2



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

64



( ) ( ) ( )1 72



( )22 2 2 8

2ημφ


sdot ΑΜ sdotΑΝ



45οφ =



( )

( )( )

11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦













No267





( )β γαsdot

ΟΖ = Ι




Άρα


( )1Γ = ΖΑΔ




Άρα

( )

( )

2 2 2

22 4R Rα αΑΒΓ

ΑΔΖ

Ε ΒΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ε ΑΔ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

κι ακόμα

( ) ( ) ( )2

2



( ) 4Rαβγ

ΑΒΓΕ =


( ) ( )

2

2


2R2α

αsdot

4βγR

Rβγα

= sdot

δηλαδή



( ) ( ) ( ) ( )1 1 22 2




sdot = sdot rArr =



βγα

ΟΖ ge


Σχόλιο





( ) ( ) 2 62h h RR

αα


ΑΔ ΒΓ


( ) ( )2 2 72

RRβ β

βΑΜ ΑΓ ΑΜ



2h h βα β

α= rArr =
















No268



0



0

0

limi

i

t t

S t S tt trarr

minusminus

η






= = gtΑΓ ΑΒ




( ) ( )( ) ( ) ( )3λ λΒΕΓ ΕΓ



και

( ) ( )( ) ( ) ( )4μ μΒΓΔ ΔΒ


Επομένως



( )( )






( )( )

( )( )



δηλαδή

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )2 3 4 x xy x

μλ


ΡΔΕ ΡΕΓ minus



( )( )1 1y


=+ minus

ή ακόμα


= minus+ minus




0 12


λμle minus lt lt

minus


( )2 0 1 102

y ω ω με ωω

le minus lt ltminus




max3 5 5 5 11

2 2f f


⎝ ⎠


5 5 112

y minusle


( )max

5 5 112minus

ΡΔΕ =



99

999 1έφορ ς





Σχήμα 2












No269




1 1 1

1 1 1

3)2

1 1 1 6)

i R

iiR

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge




( )( )

( )( )

( )( )

1 1 1

1 1 1



( ) ( ) ( )( )

( )( )


= = =ΑΟΒ ΑΒΓ

Δηλαδή

( )1 1 1

1 1 1

1 1ΟΑ ΟΒ ΟΓ+ + =

ΑΑ ΒΒ ΓΓ



1 1 1

1 1 1


ΑΑ ΒΒ ΓΓ

1 1 1 1 1 1


1 1 1

2R R RR R R


( )2 2 2

2 2 21 1 1

2 2R R RR R R R R R



2 2 2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R


( )( ) ( ) ( )

2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R

+ +ge =


( )2

21 1 1

93

RR R

=+ ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ

δηλαδή

( ) ( )

2 2 2

2 2 21 1 1

2

21 1 1

9 33

R R RR R R R R R

RR R




( )2

21 1 1

9 23

RR R


δηλαδή

( )2 21 1 19 2 3R R R⎡ ⎤le + ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ⎣ ⎦

και τελικά

1 1 132R

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge



( )

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

1 1 1 1 41 1 1R R R


ΑΑ ΒΒ ΓΓ

rArr + + =+ + +

ΟΑ ΟΒ ΟΓ


( )2

1 1 1 1 1 1

1 1 11 1 11 1 11 1 1 3

R R RR

+ ++ + ge

⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΑ ΟΒ ΟΓ⎝ ⎠


( )2

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 11 3 91 1 1 3

RR


και τελικά

1 1 1

1 1 1 6R



( )222 21 21 2

1 2 1 2

x x xxx x νν


+ + + ge+ + +


1 2

1 2

xx x ν

να α α= = =




















No270








( )( ) 21 1 1 1 1f f = minus + = Δηλαδή

( )( ) ( )1 1 3f f =


( )( )( ) ( )( ) ( )21 1 1 1f f f f f= minus +


( ) ( ) ( )21 1 1 1f f f= minus + δηλαδή












( ) 4






1


ή ακόμα

( )1 1 1 7 υυ ββ γγge +


( )1 1 1 22 8 ββ γγ ββ γγ ββ γγ+ ge =



και τελικά




( )2 2 21 2 3 0 3z z z+ + =



( ) ( ) ( )21 2 3 1 2 2 3 3 12 4z z z z z z z z z+ + = + +


1 2 31 2 3

1 1 1 z z zz z z

= = =


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

1 2 3

2 2 21 2 2 3 3 1

21 2 2 3 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 10 0 0

0

2 5

z z z z z zz z z

z z z z z z


⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = rArr + + = rArr + + = rArr⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr + + = rArr




1 2 3 0z z z+ + ne Άρα


1 2 3 2z z zrArr + + =
















ά ώά ό



No271




( )3

1 2 32

( ) ( )ln1 2 1




( )1 1xω = + άρα

( ) 112 1

d x dx dxx

ω prime= + =+






3

12

21

dxIx x

ω= =

+int ( )2 1dω

ω ωminus

2 2

23 3

21dω

ω=

minusint int

και επειδή

2

2 1 11 1 1ω ω ω= minus

minus minus +

άρα 2 2

1 23 3

2 1 11 1 1

I d dω ωω ω ω


2 2





( ) ( )( ) ( )3 1 3 2ln 3 1 ln 3 3 1 ln ln

33 3 1+ +



( )( )

2

2 1 2

2 12 12 1 4

xdxI x x x dxx x

I x x dx x x dx

= = + minus + rArr+ + +


int int

int int




1 12 2



3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

12 42 23 1 5 3 5 31 1

2 2 2 2



Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

1 12 42 2 55 3





1 12 2




3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

22 2

3 1 5 3 5 31 12 2 2 2



Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

2 22 21 1 55 3


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 3 5 32 2 2 2

2 1 2 2

5 3 5 32 2 2 2

1 2

2 4 2 22 2 1 15 3 5 3

2 4 2 22 2 1 1 ( )5 3 5 3

I x x c x x c

x x x x c c




1ln x d dx dx xdx


έχουμε


x x xω ω ωω ω

= = = = + = +int int int


3 ln(ln )I x c= +





f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +














No272


























1 2 3

1 1 1 18+ + ge

Ε Ε Ε Ε















( )2 22 2 2t tυ υΒΓ = Χ = rArr Χ =

No273





τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )22 0 13 0 7 1P P+ =







( )12

13 15 2 113 225 4 4 20

13 15 282 2 74 4

ZP

Z





7b = minus






13272433

a Z

a Z

a Z







( ) ( )

( )

2

1

22 3

( ) 0 1 6 7 0

1

6 7 0 3 2 3 2

P x x x x

x

x x x x


































No274















( )

( ) ( )

2009

2009

2009 2008

2010 1005 2 0

2010 2010 0

0 1 0 4

f x x x

x x

x x x x


hArr minus = hArr



( )( ) ( )2007 20061 1 0 5x x x x xminus + + + + =






( )

( )

2

2

1)

2 1)1

n xi f x n Nx

ii g xx x

συν

ημ συν

minus= isin

= minusminus


( ) 2


= =

( )( )2 1

2

1 1 nx x x xx


( ) ( )2 12

11 nx

x x xxσυν


( )2

2 12

22 1

42

n

x

x x xx


⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

2 12

1 2 1 2

2

n

x

x x xx


⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) 20 0

1lim limn

x x

xf xxσυν

rarr rarr

minus= =

( )2

2 120

1 2lim 1 2

2

n

x

x

x x xx


rarr

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦


( )2

2 120 0

1 2lim lim 1 2

2

n

x x

x

x x xx


rarr rarr

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡ ⎤= + + + + =⎣ ⎦⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1 1 1 12 2

n έn

φορ ς⎡ ⎤⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

Άρα

( )0

lim2x

nf xrarr

=


( ) 2 20 0 0 2


2x x x


⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞


20 02 2 2 2

2 1 2 1lim lim2 4 2


⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22

0 02 2

11 1 22lim lim2 2

2 2x x

xx

x x

ημσυν


minus= =

sdot 2

2xημ 2

1 1 12 1 2

2xσυν= sdot =

sdot

Άρα

( )0

1lim2x

g xrarr

=
















No275







( )2 12

R =







( )( )1 22 2 2

245R


= = = =minus

( ) ( )2 245οημθ ημ θ

ΡΑ ΡΒ= =

minus





δηλαδή



( ) ( ) ( )2 590 45ο οημ θ ημ θΡΓ ΡΔ

= =minus +





( ) ( ) ( )1 12 2 22 2




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1f b f a

f a f bb aminus

gt gtminus



( )1 1 1ln 21

xx x x

+gt gt


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3f b f a

a b fb a

ξ ξminus

primeisin =minus




( ) ln 0f x x x= gt



( ) ( ) ( )( )ln 1 lnln ln 1

1x x



1x

x x x+

gt gt+



2ΑΕ ΑΚsdot =















No276






( )99 (1)2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟







[ ]0 0 0 2 3 100x x x

α αisin minus



⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( )0 52xf ⎛ ⎞ ltΜ⎜ ⎟

⎝ ⎠


( )( ) ( )3 5

0 0 0099

2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

99

99 έφορ ς




0

2xf ⎛ ⎞ =Μ⎜ ⎟

⎝ ⎠


0 0 02 3

2 2 2x x xf f f ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=Μ =Μ =Μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎝ ⎠


( )

0

0

lim lim2

lim 72

xf

xf

νν ν

νν


rarr+infin

⎛ ⎞Μ = rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Μ = ⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( )0

20lim lim 0

2

x

xf f fνω

νν νω

=


⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠



( ) ( )0 9fμ = άρα







45οΕΑΖ =


( ) ( )12


404 Αν















( ) ( )( )lim 0 lim 0x x




No277



( )0

lim 0x

xημrarr

=




( )3 3

3 3 22 3 2y zx + + ge



( ) ( )1 1


a bx y=


( ) ( )1 1



1 1 1p q+ = τότε

( ) ( )1 1



1 2

1 2

n

n

aa ab b b= = =

a b cx y z= =




τότε

( ) ( ) ( )1 1 1

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2


n n n

a a a b b b c c c

a b c a b c a b c

+ + + + + + + + + ge


1 2 1 2

1 2 1 2

n n

n n


και= = = = = =




( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 2

11 12 1 21 22 2 1 2

11 21 1 12 22 2 1 2

k

k k k

p p pn n k k kn


a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

+ + + + + + + + + ge





( ) ( )3 3

3111 1232 3y zx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



άρα


( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1 1

1 1 1 1 1 11 3 33 333 3 3 3 3 331 1 1 2 1 3

2 3y zx


⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )13x y z= + + =

Άρα

( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠


( ) ( )1

3 3 3 31 133 3 33 3

3 3 3 33 3

3 6 3 18 32 3 2 3

27 3 32 3 18 2 2 3 2

y z y zx x

y z y zx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge rArr + + ge rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

rArr + + ge = rArr + + ge⎜ ⎟⎝ ⎠






1ΑΡ ΑΤ+ =












2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν



10λ με λ= lt




αrarr+infin

=


100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus


No278






( )( ) ( )2

lim 1 1x

f xf xrarr+infin

=


lim 1 22x

f xf xrarr+infin

=




( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )2 3 4

2 02 2 2

f x f x f xf x

f x f x f xlt lt gt

Άρα

( )( )

( )( ) ( )3 4

1 42 2

f x f xf x f x

lt lt


( )( )

( )( )( )

( )( )

( )122 24 2lim lim lim 1

2 2

x u

x x u


=


δηλαδή

( )( ) ( )4

lim 1 52x

f xf xrarr+infin

=



( )( )3

lim 12x

f xf xrarr+infin

=












Όμως








12

ΒΔ=













No279











( ) ( ) ( )3 1 23 3

αΔΜ = = ΔΖ

Σχήμα 1










( )

( ) ( )1 2


Σχήμα 2

Μ

Ν


( ) 2 452





και τελικά










Σχήμα 3











2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν


No280




368 Αν

( )1x ay az a


= ⎫⎪= ⎬⎪= ⎭


( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1x ay a x y zz a

ημ φημ ω

ημ φσυν ω

συν φ

⎫=⎪

rArr = rArr + + =⎬⎪= ⎭


( )1


( )1


Άρα








π ω πminus lt le









Σχήμα 1








60οΑ =



( )( )2a bc

a b a c+ +













No281





( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 4

12 14 4 4


αβ βγ γα

+ + ++ + ge








σχέση


( ) ( )2 24

54

α β γγ

αβ

+ge



2 246

4β γ α

αβγ

+ge


( ) ( )2 24

74

γ α ββ

γα

+ge


( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 24 4 412



+ + ++ + ge + + =




( )( )2 2 2

2

826 1

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2 2

8 81 2 26 19

1 1


xy xz yz xy xz yz

+ + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + minus + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+ = + + = +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( )

2 2

8 819 19 2

19 1 3 18 0


yz yz yz yz

⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + = + + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

minus = + + minus =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭



( )( )

8 819 19

3 3


yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭


( )( )

8 819 19

3 3


yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )( )

( )( )

8 816 8 16

3 3


yz yz


( ) ( )( )22

888 16 0 4 0

3 3

x y zx y zx x x

yz yz


⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) 8 44 43 3

x y z y zx xyz yz

+ + = + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr = hArr = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭⎩ ⎭

( ) 2

4 44 4

4 3 4 3 0

z y z yx x

y y y y



















No282






( ) ( ) ( )1

0

2 1 2f x dx fgeint


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

0 0

11

00

1

0

2 2

2 2

2 1 2

f x dx x f x dx

xf x xf x dx

f xf x dx

prime= =

prime= minus =

prime= minus

int int

int

int

Δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( ) ( )1 1

0 0


( ) ( )1 1

0 0




( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( )1

0

4 2 1f x dx fgeint

και τέλος

( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint





Σχήμα 1



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1k = ΔΑ = ΔΝ ΔΒ = ΔΜ ΔΓ








κύκλο ( )2c


και ( )2c







Σχήμα 2










No283






[ ] [ ] ( )1 1x ax x x Ra




( )1 10 0 1 2a a⎡ ⎤ = rArr lt lt⎢ ⎥⎣ ⎦





[ ]( )

[ ] [ ]211 1 1 1 2a a a




[ ] [ ]( )

[ ] ( ) [ ]211 1 1 1 1 1a a a


δηλαδή









( )2( ) 2 1c y px=


( ) ( )1 1y y p x x+ = +


δηλαδή




⎝ ⎠




( ) 4pxxy

α β ΝΝ

Ν

= minus = minus



( )2


ΝΝ Ν Ν Ν

Ν



( )2 1 52

y pxΝ Ν= minus



p pprime = minus




σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β















4) Ἀριθμοί




No284







( ) ( ) ( )0

4 1f x x f x xdxπ

ημ συν= + int


( ) ( ) ( )0



⎝ ⎠int

Δηλαδή



( ) ( )

( )

0

0

0 0

4

4 4

4 4

f x x f x xdx

x x c xdx

x x xdx c xdx

π

π

π π

ημ συν

ημ ημ συν


= + =

= + + =

= + + =

int

int

int int

( )( ) ( )0 0




( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) [ ][ ] [ ]

004 2

4 2 0 0

4 1 1 0 0 4

x x c x

x c c

x c c x



ημ ημ

= + minus + =


Τελικά







( ) ( ) ( )( ) ( )00

1 1 1 0e f f egtlt

Η Η = minus lt





( ) ( ) 00

ln 0x f x xgtge





378 Αν 0x y z ge





2

2 2

x zxy z xy z

y z

xy z x y xy x y z




και τελικά




















No285

Σχήμα 1

Σχήμα 2










άρα


κι ακόμα 2 2 21 4 1 4 1 4 R R R



2 2 24 4 4 4R R Rαβ βγ γα

+ + ge hArr

2


hArr + + ge hArr

2

1 2R



1 1 12 R R Rρ

ge hArr ge hArr

( )2

1 1 2 22

RR R

ρρ

hArr ge hArr ge





είναι





( ) ( ) ( ) ( )0

1 1x



( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

1x x x x



( )( ) ( ) ( ) ( )0

1 1 2x




( ) ( )( )0

1x

g x f x dt= +int


( ) ( )1g x f xprime = +



( )( ) ( ) ( )( )0

1 1x


⎝ ⎠int


( ) ( )1 1

1f x x


+

επομένως


( )( ) ( ) ( ) ( )0

0

1 0 1 0 0 0f t dt f f+ = + rArr =int







3a b cabc



S = + + + +

(mateforumro)












No286

Σχ 1

Σχ 2









( ) ( )2





( )2

34α

ΜΓsdotΜΔ lt







2 2 22 22 cos 2 cos


⎝ ⎠δηλαδή

( )2


⎝ ⎠









[ ]0x aisin








ctΜΓ=

ΝΔ (wwwmathvn)










No287





( ) ( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ+ΕΒ













Σχήμα 1

( C )



2 2

2 2 1 0x yC a ba b+ = gt


( )2 2

1 12 2 1 1a b

a b+ =


( )1 12 2 1 2xa yb

a b+ =



( )1 12 2

2 21 1

1 41 1

a ba b a ka b kb

k= = rArr = =


( )2 2

1 1

1 5x yCka kb

+ =





(mathematicagr)














No288


Σχήμα 3









[ ]( ) [ ] ( )12 2f m M=


( )( )

1

2

m f x M

m f x M

le le

le le

άρα

( )( )

( )1

2

2007 2007 20073

4 4 4

m f x M

m f x M

le le ⎫⎪⎬

le le ⎪⎭



( ) ( ) ( )1 22007 44

2011f x f x

m M+

le le


( ) ( ) [ ]1 22007 4

2011f x f x

y m M+

= isin




( ) ( ) ( )1 22007 42011 o

f x f xf x

+=

ή ακόμα

( ) ( ) ( )1 22007 4 2011 of x f x f x+ =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22007 45

2011f x f x

G x f x+

= minus



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 2

2007 4 4 62011 2011



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 1

2007 4 2007 72011 2011




( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 14 2007 0




( ) ( ) ( )1 22007 40

2011o

f x f xf x

+minus =

δηλαδή




ώστε







3k aba b ka bminus

+ + ge+












No289








e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠



προκύπτει


( ) ( )ln 1ln 11

xxx x

+gt


( ) ( )ln 0 2xf x xx





( ) 2










( ) ( )1 11 1e e

eee

ee e e e e


⎝ ⎠

δηλαδή

11e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠



( )1 12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +





( )max1f f ee

= =

+infin



( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2 21 2 2 32 2


+ +ge rArr ge

+ ++ + + +


( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 2

2 22 24 5

2 2c c ca a a ab


ge ge+ ++ + + +


( )

2 2 2

22 2 2 1


b a c b a c a b c+ + + + +

+ + ge =+ + + + +

δηλαδή

12 2 2

b c ab a c b a c

+ + ge+ + +

κι ακόμα

1 1 1 1 32 2 2

b c ab a c b a c


2 2 2 22 2 2



2 2 2 22 2 2a b c



και τελικά

12 2 2

a b cb a c b a c

rArr + + le+ + +

















No290












( )3 4x y z+ + ge Άρα

( ) ( ) ( )( )

( )4






389 Αν


ν ημ α=

minus





2





2



sdot + sdot

( )2

2

11




sdot + sdot

( )2



sdot + sdot

Όμως

( )( )

11




+ sdot

1



⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠


2

2



minus sdot

= =sdot + sdot

( )2


minus sdot=

sdot + sdot

δηλαδή

( ) ( )2



=sdot + sdot


( )1εφ α β

νεφα

minusminus =

δηλαδή




( ) 52 3 2 2 02


(MATHVNCOM)


1 2 3 4 0z z z z r= = = = gt Εάν


2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + +

(Mateforum)












No291







2 2 1

2 2

x y

x y



+ =

minus =


( )2 2 1 0 3Dημθ συνθ




2 22 2 2








2 22 2 2

2yDημθ αημ θ


= = minus =




Δηλαδή



yx DDx yD D

= =


( )2 231

xDxD


minus

δηλαδή


2 2(3 )1

yDy


= =minus

δηλαδή


x y+ =








( ) ( )22 32x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦

κι ακόμα


( ) ( )32 22x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = + hArr⎣ ⎦



( ) ( ) ( )2233 1 2 10x y α ημ θ+ = +




( ) ( )22 233 3 2x y x y α+ + minus =







( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +













No292





10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος



2 3 41 10101 1 0 0x a a a a= = + sdot + + sdot +

δηλαδή

( )2 41 1 1x a a= + +


( )2 4 6 82 1 2x a a a a= + + + +


μορφής



4 22 4 4

2

4 2

2

11 1

11

nn

n

n

n

a ax a a aa

axa

+


minusminus

=minus


κι ακόμα

( )22 14 2 2 1 2 1

2 2

11 1 11 1 1 1

nn n n

n

aa a axa a a a


minus minus minus +

δηλαδή

( )2 1 2 11 1 5

1 1

n n

na ax

a a

+ +minus += sdot

minus +


( ) ( )2 2 1 2 2 2 1 2 1 1m n






2

2 2 2 4 42 4

2 4

1 1

1 1

n n

n n

a aa a a a a aa a

a a

+

= ⎫⎪lt ⎪⎪rArr + + + + lt + + + +lt ⎬⎪⎪




Σχόλιο





10101010101010101n

nx =

όπου



4 2 4 1 4

4 2 4 3 4 4

4

4 1

4 5

4 52 4 3 4 4

6 5 4 3

10 10 10

10 10 10

10 1

10 0

10 0

10 010 0

0 1010

1 0 1

1 0 1

1 0 11 0 110 10

k

k

k k kn

k k k

k k kk

x + +

minus minus minus

minus minus

minus

minus

minus

minus




+ sdot + sdot +

sdot

sdot +

sdot

sdot +

sdot2 1 010 110

+

+ sdot + sdot +

δηλαδή 4 4 4 4101 110 10 01 101 11 010k k

















No293






( )

( )( )

( )11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus Α⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 22

11 1 1 1 1

f xx f x f x f x x



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

1

11 1 1

nn nn

n

f xx f x

xminus

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 1

2

11 1 2

nn nn

n

f xx f x

x

++ +

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦


( ) ( ) ( )( )( )

1 11 1n


( )( )( )

( ) ( )( )( )

1 1 11 1 1n n


( )( ) ( )( )( )

( )1 11 1n



( )( ) ( )( )( 1)

( )1 11 1

n

nn nx f x x x f x

minus


( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 1 1n



( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)( 1)

( )1 1 11 1 1nn



( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( ) ( )1 1 11 1 1n



( )( ) ( )( )( 1)

( )1 12 1 1n



( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 2 1 1n



( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 2 )

( )1 1 11 3 1 1n





( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1

( ) ( 1) ( )1 1 1

1

1 1 1

nn

n n nn n n

x f x


+

+minus minus minus

⎡ ⎤ =⎣ ⎦prime⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦


( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )(1)

1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +


⎢ ⎥⎣ ⎦


( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +


⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 1

2( 1)

11 1

1 1 1 11

nn

n

n nn nn

n

f xn

xf x x x n x f x

xx

+

+ +

+

= minus + +


( )( ) ( ) ( )1

11 1

nn

n

f xn

x += minus +

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

2 2 2 2

1 1 1 11 1

n n nnn n

n n

f x x x n x f xx x

x x

+ +

+ +

+



( ) ( )11

nnx f x+

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ( )( ) ( )1 1

12

11

n nn

n

f x xx

+ ++

+

sdotminus




3 2γ β α+ le


2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ










2R αβγ υ=








Όμως









( ) ( )0

23 4f x dxλ



( ) 4

0

13f x dxλ





( )( )

0

0

f x x a

f x x a

αν

αν

prime lt lt

prime gt gt




( ][ )

f x a

f x a

για

για

isin minusinfin

isin +infin





επομένως























No246









( ) ( )0

23 4f x dxλ



( ) 4

0

13f x dxλ







( )0

4f x dxλ

λ=int


γίνεται

( )5

4 2

0

4 3 4 2 3 45







( )( )

4

4

2 2 10 2 5 9 0

3 3 10 3 5 46 0

φ

φ




( ) ( )0

23 4f x dxλ




( ) ( )1

10

4 3f x dxλ

λ=int


( ) ( )1

41

0

13 4f x dxλ



( ) ( ) ( )44 3 5f x f xge minus⎡ ⎤⎣ ⎦





( ) ( )1 1 1

4

0 0 0




( ) ( )( )1 1 1 34

1 1 10 0 0

4 3 4 4 3 13f x dx f x dx dxλ λ λ


και τελικά

( )1

41

0

13f x dxλ





3 5 7ΡΑ = ΡΒ = ΡΔ =
















No247








( )

( )( )

21 1 12 4

ΑΖΗ

ΑΔΕ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠


( ) ( )

( ) ( )

114 1

ΑΖΗ

ΑΔΕ ΑΖΗ

ΕhArr = hArr

Ε minusΕ minus

( )

( )( ) ( )

1 13 3


ΔΕΗΖ


Ε

άρα

( )1 12 4 3





( )

( )

21 12 4

ΑΔΕ

ΑΒΓ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠



( ) ( )21 0 1f x xf x x Rx





( ) ( )21 2f y yf yy


⎝ ⎠


1xy

=


( ) ( )2

1 1 1 3f f yy y y

⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) 1f y fy

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

προκύπτει

( ) 22

1 1 1 1 12 2

f y y f yy y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Δηλαδή


( ) 21 1 02

f x x xx

⎛ ⎞= + ne⎜ ⎟⎝ ⎠



( )3 12


+ + le+ + +


Είναι


= =+ + + + + +


( )1 02

ab a b a ble + gt


( )1 32

xy x yxy z x z y z

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠


( )

( )

1 42

1 52

yz y zyz x y x z x

zx z xzx y z y x y

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠














No248





( ) ( ) ( )2 1 0 1f x xf x+ minus = Αν






Δηλαδή



( )2

12

42



( ) ( )2 4 4

2x xf x minus + +

=


δηλαδή





0 01 4 290 54α α α= = =

και

( )0 0 0 0 03 360 90 90 54 126α = minus + + =



1 4 2 30 0 0

90 54 126025 015 035360 360 360

f f f f= = = = = = =



4

110 0 25 20 015 30 035 40 025

25 3 105 10 26

i ii

x x f=


= + + + =

sum

Δηλαδή

26x =

Xi fi Fi

10 025 025 20 015 040 30 035 075 40 025 1






1010102020 203030304040 40


50 51 30 30 302 2

t tδ

+ += = =



3 4 18ν νν ν ν+ =

Δηλαδή

3 43 4

18 18 18 30060

f ff f

νν

+ = rArr = = =+

















1 1 1 1 2 4 8 16


No249













( )( )

43

43

0

0

x xf x

x x



( ) ( ) ( ) ( )4 113 3

4 43 3




( )134

3f x xprime =


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4 4

13 33

0 0 0 0

0lim lim lim lim 0

0x x x x

f x f x xx



minus minus

( ) ( )4

133

0 0 0

0lim lim lim 0

0x x x


minus= = =

minus Άρα

( )( )

( )

13

13

4 034 03

x xf x

x x




( ) ( ) ( )1 13 3

1 1 2 24 4 13 3





( ) ( ) ( )1133

3 3 14 4 23 3


και όμοια

( ) ( )13

4 24 33




( ) ( ) ( )8 0 8

1 1 0




( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0



( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0



( ) ( ) ( ) ( )

0 844 11 33

7 7

1 0

3 3 30 1 2 0 2 14 4 7 7 71 13 3

x x++

minus


+ +




( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 412


αβ βγ γα

+ + ++ + ge















No250



1 1 1 1 0 0 0 0 0116 8 4 2ν

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫Δ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭





( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

1 3 1

x

x



( ) ( )3

2

1 2f x dx =int


( ) ( )1

x






( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 3 2

1 3 1 1

2 1 1 2

1 3 3 1

1

0



= + =

= minus =

int int int int

int int int int

Δηλαδή


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 1



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3

1 1 2 2





( ) ( )1

x



Άρα




( ) ( ) ( ) ( )2

1


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

3 2 3

1 1 22 22

1 1

3 3 3 3 3

1 3 2


f t dt f t dt



int int int

int int

δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )2

1








( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2

1

2 2 0 4x


τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 2 2x



δηλαδή

( ) ( ) ( )( )1



( ) ( ) ( )24 4 2 4H f F= minus





( ) ( ) [ ]2 2 04f x F x xgt isin



( )

2 2 2

2

826

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +












No251












( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 12 1 2 1 0


minus + minus + =


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 12 1 2 2 1 1 1


κι ακόμα

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2 12 2

2 1 2 2 1 1

1 0 62 1




( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 7f x f x f x f xΑ = + +





( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 11 1

3 22 2

0 42

0 52

xf x f x

xf x f x

+ + =

+ + =



( )213 0D f x= minus =

τότε


( )22f xΑ =


τότε




( ) ( )2 1

2 1

0f x f x

x xminus

ltminus



( )( ) ( )( ) ( )13 1 1 0

2f x

f f x f f xminus


( )( ) ( )( ) ( )131 1 02

f xf f x f f x


και τελικά

( )13 0

2f x

x xminus

+ + = δηλαδή














( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint















No252





( )3 3 3

2 1α β γ αα β γ+ +

=+ +



( )3 3 2β γ α β γ+ = + rArr







12

συνΑ =




0120Β+Γ =


( )3 12

ax

a

e dxminus

rangint


1aax x a a a

aaa

e dx e e e ee

minus

minusminus


δηλαδή

( )2 1 2

a ax

aa

ee dxeminus

minusΙ = =int


( )2 1 3 3

2

a

a

eeminusrang


( ) ( )( )

2

2

3 2 1 3

2 3 2 0 4

a a

a a

e e

e e


hArr minus minus gt





1 21 22

x x= minus =


1 22

x xlt minus or gt


1 22





σχέση (7)
















No253














( )2ββ γ


ΒΓ ΓΔ


( )0

0 0 0

70 370 80 80β λ λημβ



( )0

0 0 0

40 440 120 120γ λ λημ

γημ ημ ημ

= rArr =


( )0 0

0 0

70 120 540 80



( )0

0 0 0

80 680 50 50


= hArr =


( )0 0 0

0 0 0

70 120 80 740 80 50


=




00 03 1 16050 2 20

2 2συνημ ημ


⎝ ⎠






( )0 0 030 40 20συν ημhArr + = hArr




080x =ΟΒΓ =



[ ] [ ]1 x ax x x Ra














No254




λεπτά( 260


2 )


29100 100

60 4733165431 10 min2

t minus= = Χ



( ) ( )2





( )1x yα = +

( )2 2 2xβ ω= +


( ) ( ) ( )1 42

y xωΑΒΓΕ = +


Σχήμα 1



( )( )( ) ( )14


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 54



θα έχουμε

( ) ( ) ( )( )( )( )33





δηλαδή


( )( )( ) ( ) ( )3

3 63




( ) ( ) ( ) ( ) ( )14


( ) ( ) ( )3

23

1 14 3 4 3 3


+ +le + + = + +

sdot

άρα

( ) ( ) ( )21 74 3 3



( ) ( )21 12 4 3 3



( ) ( )212 3 3




( ) ( )22 2 2 26 3 y x y x x yω ω ω+ le + + + + +


( ) ( )2








( ) ( )0

4f x x f x xdxπ

ημ συν= + int














100

29

00005ί

tψηφ α

asymp



No255




2 2

2 2 1x ya b+ =


με aΕΚ +ΕΛ =




2 2 1x ycα β



( ) ( )2 22 2 2 21 2r x y r x yγ γ= + + = minus +

Σχήμα 1






( )( )2 21 2 1 21 2

1 21 2

4422


γγαα


+ =+ =

( )1

1 2

1 2 2

23

2

xx rr rxr r r


= +minus =hArr hArr

+ = = minus


γεα

=


bull Αν 1 22



bull Αν 1 22



Σχήμα 2



bull Αν 1 22





378 Αν





Σχήμα 3

Σχήμα 4









( )112 1

4 2Ε

Ε = = Ε


( )2 2

14 216 2Ε

Ε = = Ε


( )3 3

18 364 2Ε

Ε = = Ε


1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν νΣ = Ε + Ε +Ε + + Ε = Ε + Ε + Ε + + Ε

No256


1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν ν

⎛ ⎞Σ = Ε +Ε +Ε + +Ε = + + + + Ε⎜ ⎟⎝ ⎠



2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =




( )2 2

2 2 1 1x ya b+ =






= + = minus







21 2x xγ γ α+ =

και τελικά

( )2

1 2 52 2

x x αγ

+=


( )1 2 1 2 62 2

x x y yx yΜ Μ

+ += =


2x ctα


( )2

2

x αεγ



( )1 1w zz





Λύση




1 4 45 3


+ = + + rArr = =+


( ) ( )2 2

2 2 15 2 3

2

a b+ =



( ) ( )( ) 1 1 12

d z w w z z zz z



2 2 2 5w w aminus + + = ΝΕ +ΝΕ = =















2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =


2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν



όπου


1aωinfin= minussum


1 1 1 11 2 3 4 ν

+ + + + + +


No257






( )02 ) 1

2ΒminusΓ







Σχήμα 1


( )

4διχ

φ ρΔΘ=




0 0180 1802 2 2


= minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠







( ) ( )

( )

44

2 2 22 2

RR

RR

αβγαβγ



hArr = hArr =


1 2

4 3

2 2

2 2

x xR Rx x

y yR Ry y


β γ δ α

= =+ + + +

= =+ + + +

Άρα

( )

( )

1 2

3 4

2

2

x x Rx x

y y Ry y


β γ δ α

+ = ++ + + +

+ = ++ + + +


x x y yx x y y


+ = ++ + + + + + + +



xyαγ βδ+ =



( ) ( ) ( )0

1x


















No258











Έστω ότι



( ) ( )2

2

2

1ln 1

1

xx x x dx

x

primeminus


int

( )2

2


2

11

x dxx

minus =minus

int

( )2

22ln 1

1xx x dx

x= minus minus =

minusint

( )2

22

1 1ln 11

xx x dxxminus +


( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx

x x= minus minus +

+ minusint int


Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )2 1ln 1 1 11 1

x x dx dxx x




( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 1 1x x x xΑ Β

= ++ minus + minus



10 21 1

2


Επομένως

( ) ( )2

1 1 11 2 1 2 1x x x= minus

minus minus +


( ) ( )1 1 1

1 1 2 1 2 1dx dxdx

x x x x= minus =


1 1 1 1ln 1 ln 1 ln2 2 2 1

xx x c cxminus



( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx


+ minusint int

( )21

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



Έστω ότι



( )22

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



( )2 1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



1 2 iz I Ri

λλminus

= isin isin+


( )( )

( )( )

( ) ( )2

2 2

1 2 2 1 22 21 1

i i ii i izi i



Άρα


( ) ( ) ( )2010 4 502 2 220101 2 12

iz i z i i ii


+


















No259







και



Λύση Είναι

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 1 2 1

1 2 1

z z z z z z

z z z


= + minus + +

δηλαδή

( ) ( ) ( )222 1 1 4z z z= + minus +


( ) ( ) ( )2 22 21 1 1 1 1 1 2z z z z+ minus + le + + + le + =

δηλαδή

( ) ( ) ( )22 1 1 2 5z z+ minus + le





τότε










( ) ( )12

x f xf x

+⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠




( )0 0f x xne





( ) ( )0 00 4

2x f x

x+

gt


( ) ( )0 002

x f xf f x

+⎛ ⎞gt⎜ ⎟

⎝ ⎠




( )0 0f x xlt








( )( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ +ΕΒ











No260













[ ]1 2 x x a bisin


( )m f x Mle le


( ) ( ) ( ) limx a

f x f af a

x ararr +

minus=

minus


( ) ( )lim 0x a

f x f ax ararr +

minuslt

minus


( ) ( ) 0f x f a

x aminus

ltminus






( ) ( ) ( ) limx b

f x f bf b

x brarr minus

minus=

minus


( ) ( )lim 0x b


minusgt

minus


( ) ( ) 0f x f b

x bminus

gtminus

κι επειδή





















x y kx y kx y k

x y k














No261

Σ









( )2 2 2 2 2 21 32 3 12 3



x

y ω


( ) ( )3 32 33 3

α βλ μ= =



( )2 2

2 03 32 603 3 3 3



( ) ( )2 2 2 03 2 60 5y aα γ γσυν= + minus Β +



( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 0 2 2 0

2 20 0

2 60 2 60

60 60 72













Α Β

Άρα




( ) ( ) ( ) ( )0 0 160 60 82



( )2 2 12 2


= Γ minus Α



( )2 2 2 2 2 2

102 2



2 2


minus = minus hArr




y ω= Άρα

















No262







( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 33 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 3 2 3 2 2

3 2 3 2 2 2

6 3 2 2

a b a a b ab b

a a b ab b

a ab a b b

+ = + + sdot + =

= + + sdot + =

= + + + rArr



( )( )

2 23 2

2 3 2 2

6 206 203 2 14 3 2 14


⎫+ =⎫+ = ⎪ ⎪hArr⎬ ⎬+ = + =⎪⎭ ⎪⎭





2 1a b= = Άρα

( )32 2 20 14 2+ = +



( )32 2 20 14 2+ = +


( ) ( )( ) ( )

3 33 3 3 320 14 2 20 14 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4


= + + minus =


( ) 99 12 1 3 2 4 3 16 15x x x x

+ + + + =+ + + +



( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 16 15 99

2 1 3 2 4 3 16 15







3 99 33x x= hArr =




( )( )2

4 α β αβημφ

α β

minus=

+


προκύπτει


( )2y α ββ

α β+

= sdotminus

Άρα


( )( )2

42 2 x

yα ββ



ΚΛ ΟΚ + +





e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠














( )( )

1





No263

SA

SX

υA υX

S=100m



1009

t υΧ=



( )1ΑΜ ΑΔ=


=ΓΝ ΒΓ






( ) ( ) 3 41 10 0

x x

y y

λβ λβλ λΜ Σ

Μ Σ

minus⎧ ⎧= =⎪ ⎪Μ Σ+ minus⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

όπου

( )5λ ΑΔ=ΒΓ


Α equiv

Σχήμα 1


( )1 2

1 2

1 6

1

x xx

y yy

λλλλ

Ν

Ν

+⎧ =⎪⎪ +Ν ⎨ +⎪ =⎪ +⎩

( )

1 2

1 2

1 7

1

x xx

y yy

λλλλ

Τ

Τ



( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Ν ΜΜΝ

Ν Μ

+minusminus ++= = =


δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

8y yx x

λλ

λ βΜΝ

+=

+ minus

και

( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Τ ΣΣΤ

Τ Σ


δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

9y yx x

λλλ βΣΤ

minus=

minus minus



( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

1y y y yx x x x




( )1 2

1

2 2 2

22 22

1y y

x x

λ

λ β

minus= minus hArr

minus minus

( )1 2 1


( )1 1 2


( )1 1 2


( )( )1 1

2

2 22

2 22

10x y

x yλ

β

+=

minus +

Όμως

1

2 21x yΑΔ = + και ( )2 2


( )( )

2 222 2 1 1

22 22 2

11x yx y




( ) ( )

2 2 2 21 1 1 1

2 22 22 2 2 2

x y x yx y x yβ β

+ +=

minus + minus +




12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +














( )2 3

1 1 1 1 12 2 2 2

S ν= + + + + +


2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν


( )2

1 1 1 100 10 1 210 10 10

S ν= + + + + + + +


2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν


No264



100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus




( )1ΑΜ ΑΔ=


=ΓΝ ΒΓ







1λλ

ΟΑ + ΟΒΟΜ =

+

1λλ


minus



1λλ

ΟΔ + ΟΓΟΝ =

+

1λλ


minus


( )3λ ΑΔ=ΒΓ


είναι

1 1λ λλ λ


+ +

( ) ( )1

λ

λ


+

( )1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓ=

+

δηλαδή

( )( )4

1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓΜΝ =

+


είναι

1 1λ λλ λ


+ +

( ) ( )1

λ

λ


minus

( )1

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus


( )( )5

1

λ

λ


minus



και ΣΤ


Πράγματι

( ) ( )1 1

λ λ

λ λ


( ) ( )2 22

21

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus

Δηλαδή

( ) ( )( )

2 22

2 61

λ

λ


minus


( )( )

( ) ( )2

2 22 22 0λ λ λ



0ΜΝ sdotΣΤ =


ΜΝ perp ΣΤ


389 Αν


ν ημ α=

minus




+ =minus =














No265







θα έχουμε





1΄ ΄΄ ΄

βλ



sdot sdotΟΒ

1γ λ

=minus

δηλαδή

΄β

γ λΟΒ

=ΟΒ minus


΄ ΄β β



Άρα

( ) ( )4΄ββ γ λ

ΟΒ = ΒΒ+ minus


( ) ( ) ( )2 21 5β λγ β λ α βλ β λβ γ λ β


1΄ ΄΄ ΄

β λλ



sdot sdotΟΓ

1γ=

δηλαδή

΄γ

β λΓΟ

=ΟΓ minus


΄ ΄γ γ



άρα

( ) ( )6΄γβ γ λ

ΟΓ = ΓΓ+ minus


( ) ( ) ( )2 21 7γ λβ γ λ α γλ γ λβ γ λ γ




ββ γ λ

sdot+ minus

( ) ( )2 21 λγ β λ α βλ β λβ

γβ γ λ


=+ minus





( )2

1 10αλβ γ

=+


( )2



+




10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος












No266

















1 2 1 2φ φ ω ω= =


1 2 1 2 90φ φ ω ω+ + + = Άρα









( )22 2 2 5

2συνφ


sdot ΑΜ sdotΑΝ



( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 145 452 2 2



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

64



( ) ( ) ( )1 72



( )22 2 2 8

2ημφ


sdot ΑΜ sdotΑΝ



45οφ =



( )

( )( )

11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦













No267





( )β γαsdot

ΟΖ = Ι




Άρα


( )1Γ = ΖΑΔ




Άρα

( )

( )

2 2 2

22 4R Rα αΑΒΓ

ΑΔΖ

Ε ΒΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ε ΑΔ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

κι ακόμα

( ) ( ) ( )2

2



( ) 4Rαβγ

ΑΒΓΕ =


( ) ( )

2

2


2R2α

αsdot

4βγR

Rβγα

= sdot

δηλαδή



( ) ( ) ( ) ( )1 1 22 2




sdot = sdot rArr =



βγα

ΟΖ ge


Σχόλιο





( ) ( ) 2 62h h RR

αα


ΑΔ ΒΓ


( ) ( )2 2 72

RRβ β

βΑΜ ΑΓ ΑΜ



2h h βα β

α= rArr =
















No268



0



0

0

limi

i

t t

S t S tt trarr

minusminus

η






= = gtΑΓ ΑΒ




( ) ( )( ) ( ) ( )3λ λΒΕΓ ΕΓ



και

( ) ( )( ) ( ) ( )4μ μΒΓΔ ΔΒ


Επομένως



( )( )






( )( )

( )( )



δηλαδή

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )2 3 4 x xy x

μλ


ΡΔΕ ΡΕΓ minus



( )( )1 1y


=+ minus

ή ακόμα


= minus+ minus




0 12


λμle minus lt lt

minus


( )2 0 1 102

y ω ω με ωω

le minus lt ltminus




max3 5 5 5 11

2 2f f


⎝ ⎠


5 5 112

y minusle


( )max

5 5 112minus

ΡΔΕ =



99

999 1έφορ ς





Σχήμα 2












No269




1 1 1

1 1 1

3)2

1 1 1 6)

i R

iiR

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge




( )( )

( )( )

( )( )

1 1 1

1 1 1



( ) ( ) ( )( )

( )( )


= = =ΑΟΒ ΑΒΓ

Δηλαδή

( )1 1 1

1 1 1

1 1ΟΑ ΟΒ ΟΓ+ + =

ΑΑ ΒΒ ΓΓ



1 1 1

1 1 1


ΑΑ ΒΒ ΓΓ

1 1 1 1 1 1


1 1 1

2R R RR R R


( )2 2 2

2 2 21 1 1

2 2R R RR R R R R R



2 2 2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R


( )( ) ( ) ( )

2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R

+ +ge =


( )2

21 1 1

93

RR R

=+ ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ

δηλαδή

( ) ( )

2 2 2

2 2 21 1 1

2

21 1 1

9 33

R R RR R R R R R

RR R




( )2

21 1 1

9 23

RR R


δηλαδή

( )2 21 1 19 2 3R R R⎡ ⎤le + ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ⎣ ⎦

και τελικά

1 1 132R

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge



( )

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

1 1 1 1 41 1 1R R R


ΑΑ ΒΒ ΓΓ

rArr + + =+ + +

ΟΑ ΟΒ ΟΓ


( )2

1 1 1 1 1 1

1 1 11 1 11 1 11 1 1 3

R R RR

+ ++ + ge

⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΑ ΟΒ ΟΓ⎝ ⎠


( )2

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 11 3 91 1 1 3

RR


και τελικά

1 1 1

1 1 1 6R



( )222 21 21 2

1 2 1 2

x x xxx x νν


+ + + ge+ + +


1 2

1 2

xx x ν

να α α= = =




















No270








( )( ) 21 1 1 1 1f f = minus + = Δηλαδή

( )( ) ( )1 1 3f f =


( )( )( ) ( )( ) ( )21 1 1 1f f f f f= minus +


( ) ( ) ( )21 1 1 1f f f= minus + δηλαδή












( ) 4






1


ή ακόμα

( )1 1 1 7 υυ ββ γγge +


( )1 1 1 22 8 ββ γγ ββ γγ ββ γγ+ ge =



και τελικά




( )2 2 21 2 3 0 3z z z+ + =



( ) ( ) ( )21 2 3 1 2 2 3 3 12 4z z z z z z z z z+ + = + +


1 2 31 2 3

1 1 1 z z zz z z

= = =


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

1 2 3

2 2 21 2 2 3 3 1

21 2 2 3 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 10 0 0

0

2 5

z z z z z zz z z

z z z z z z


⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = rArr + + = rArr + + = rArr⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr + + = rArr




1 2 3 0z z z+ + ne Άρα


1 2 3 2z z zrArr + + =
















ά ώά ό



No271




( )3

1 2 32

( ) ( )ln1 2 1




( )1 1xω = + άρα

( ) 112 1

d x dx dxx

ω prime= + =+






3

12

21

dxIx x

ω= =

+int ( )2 1dω

ω ωminus

2 2

23 3

21dω

ω=

minusint int

και επειδή

2

2 1 11 1 1ω ω ω= minus

minus minus +

άρα 2 2

1 23 3

2 1 11 1 1

I d dω ωω ω ω


2 2





( ) ( )( ) ( )3 1 3 2ln 3 1 ln 3 3 1 ln ln

33 3 1+ +



( )( )

2

2 1 2

2 12 12 1 4

xdxI x x x dxx x

I x x dx x x dx

= = + minus + rArr+ + +


int int

int int




1 12 2



3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

12 42 23 1 5 3 5 31 1

2 2 2 2



Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

1 12 42 2 55 3





1 12 2




3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

22 2

3 1 5 3 5 31 12 2 2 2



Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

2 22 21 1 55 3


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 3 5 32 2 2 2

2 1 2 2

5 3 5 32 2 2 2

1 2

2 4 2 22 2 1 15 3 5 3

2 4 2 22 2 1 1 ( )5 3 5 3

I x x c x x c

x x x x c c




1ln x d dx dx xdx


έχουμε


x x xω ω ωω ω

= = = = + = +int int int


3 ln(ln )I x c= +





f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +














No272


























1 2 3

1 1 1 18+ + ge

Ε Ε Ε Ε















( )2 22 2 2t tυ υΒΓ = Χ = rArr Χ =

No273





τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )22 0 13 0 7 1P P+ =







( )12

13 15 2 113 225 4 4 20

13 15 282 2 74 4

ZP

Z





7b = minus






13272433

a Z

a Z

a Z







( ) ( )

( )

2

1

22 3

( ) 0 1 6 7 0

1

6 7 0 3 2 3 2

P x x x x

x

x x x x


































No274















( )

( ) ( )

2009

2009

2009 2008

2010 1005 2 0

2010 2010 0

0 1 0 4

f x x x

x x

x x x x


hArr minus = hArr



( )( ) ( )2007 20061 1 0 5x x x x xminus + + + + =






( )

( )

2

2

1)

2 1)1

n xi f x n Nx

ii g xx x

συν

ημ συν

minus= isin

= minusminus


( ) 2


= =

( )( )2 1

2

1 1 nx x x xx


( ) ( )2 12

11 nx

x x xxσυν


( )2

2 12

22 1

42

n

x

x x xx


⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

2 12

1 2 1 2

2

n

x

x x xx


⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) 20 0

1lim limn

x x

xf xxσυν

rarr rarr

minus= =

( )2

2 120

1 2lim 1 2

2

n

x

x

x x xx


rarr

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦


( )2

2 120 0

1 2lim lim 1 2

2

n

x x

x

x x xx


rarr rarr

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡ ⎤= + + + + =⎣ ⎦⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1 1 1 12 2

n έn

φορ ς⎡ ⎤⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

Άρα

( )0

lim2x

nf xrarr

=


( ) 2 20 0 0 2


2x x x


⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞


20 02 2 2 2

2 1 2 1lim lim2 4 2


⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22

0 02 2

11 1 22lim lim2 2

2 2x x

xx

x x

ημσυν


minus= =

sdot 2

2xημ 2

1 1 12 1 2

2xσυν= sdot =

sdot

Άρα

( )0

1lim2x

g xrarr

=
















No275







( )2 12

R =







( )( )1 22 2 2

245R


= = = =minus

( ) ( )2 245οημθ ημ θ

ΡΑ ΡΒ= =

minus





δηλαδή



( ) ( ) ( )2 590 45ο οημ θ ημ θΡΓ ΡΔ

= =minus +





( ) ( ) ( )1 12 2 22 2




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1f b f a

f a f bb aminus

gt gtminus



( )1 1 1ln 21

xx x x

+gt gt


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3f b f a

a b fb a

ξ ξminus

primeisin =minus




( ) ln 0f x x x= gt



( ) ( ) ( )( )ln 1 lnln ln 1

1x x



1x

x x x+

gt gt+



2ΑΕ ΑΚsdot =















No276






( )99 (1)2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟







[ ]0 0 0 2 3 100x x x

α αisin minus



⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( )0 52xf ⎛ ⎞ ltΜ⎜ ⎟

⎝ ⎠


( )( ) ( )3 5

0 0 0099

2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

99

99 έφορ ς




0

2xf ⎛ ⎞ =Μ⎜ ⎟

⎝ ⎠


0 0 02 3

2 2 2x x xf f f ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=Μ =Μ =Μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎝ ⎠


( )

0

0

lim lim2

lim 72

xf

xf

νν ν

νν


rarr+infin

⎛ ⎞Μ = rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Μ = ⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( )0

20lim lim 0

2

x

xf f fνω

νν νω

=


⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠



( ) ( )0 9fμ = άρα







45οΕΑΖ =


( ) ( )12


404 Αν















( ) ( )( )lim 0 lim 0x x




No277



( )0

lim 0x

xημrarr

=




( )3 3

3 3 22 3 2y zx + + ge



( ) ( )1 1


a bx y=


( ) ( )1 1



1 1 1p q+ = τότε

( ) ( )1 1



1 2

1 2

n

n

aa ab b b= = =

a b cx y z= =




τότε

( ) ( ) ( )1 1 1

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2


n n n

a a a b b b c c c

a b c a b c a b c

+ + + + + + + + + ge


1 2 1 2

1 2 1 2

n n

n n


και= = = = = =




( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 2

11 12 1 21 22 2 1 2

11 21 1 12 22 2 1 2

k

k k k

p p pn n k k kn


a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

+ + + + + + + + + ge





( ) ( )3 3

3111 1232 3y zx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



άρα


( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1 1

1 1 1 1 1 11 3 33 333 3 3 3 3 331 1 1 2 1 3

2 3y zx


⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )13x y z= + + =

Άρα

( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠


( ) ( )1

3 3 3 31 133 3 33 3

3 3 3 33 3

3 6 3 18 32 3 2 3

27 3 32 3 18 2 2 3 2

y z y zx x

y z y zx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge rArr + + ge rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

rArr + + ge = rArr + + ge⎜ ⎟⎝ ⎠






1ΑΡ ΑΤ+ =












2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν



10λ με λ= lt




αrarr+infin

=


100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus


No278






( )( ) ( )2

lim 1 1x

f xf xrarr+infin

=


lim 1 22x

f xf xrarr+infin

=




( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )2 3 4

2 02 2 2

f x f x f xf x

f x f x f xlt lt gt

Άρα

( )( )

( )( ) ( )3 4

1 42 2

f x f xf x f x

lt lt


( )( )

( )( )( )

( )( )

( )122 24 2lim lim lim 1

2 2

x u

x x u


=


δηλαδή

( )( ) ( )4

lim 1 52x

f xf xrarr+infin

=



( )( )3

lim 12x

f xf xrarr+infin

=












Όμως








12

ΒΔ=













No279











( ) ( ) ( )3 1 23 3

αΔΜ = = ΔΖ

Σχήμα 1










( )

( ) ( )1 2


Σχήμα 2

Μ

Ν


( ) 2 452





και τελικά










Σχήμα 3











2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν


No280




368 Αν

( )1x ay az a


= ⎫⎪= ⎬⎪= ⎭


( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1x ay a x y zz a

ημ φημ ω

ημ φσυν ω

συν φ

⎫=⎪

rArr = rArr + + =⎬⎪= ⎭


( )1


( )1


Άρα








π ω πminus lt le









Σχήμα 1








60οΑ =



( )( )2a bc

a b a c+ +













No281





( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 4

12 14 4 4


αβ βγ γα

+ + ++ + ge








σχέση


( ) ( )2 24

54

α β γγ

αβ

+ge



2 246

4β γ α

αβγ

+ge


( ) ( )2 24

74

γ α ββ

γα

+ge


( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 24 4 412



+ + ++ + ge + + =




( )( )2 2 2

2

826 1

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2 2

8 81 2 26 19

1 1


xy xz yz xy xz yz

+ + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + minus + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+ = + + = +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( )

2 2

8 819 19 2

19 1 3 18 0


yz yz yz yz

⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + = + + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

minus = + + minus =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭



( )( )

8 819 19

3 3


yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭


( )( )

8 819 19

3 3


yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )( )

( )( )

8 816 8 16

3 3


yz yz


( ) ( )( )22

888 16 0 4 0

3 3

x y zx y zx x x

yz yz


⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) 8 44 43 3

x y z y zx xyz yz

+ + = + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr = hArr = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭⎩ ⎭

( ) 2

4 44 4

4 3 4 3 0

z y z yx x

y y y y



















No282






( ) ( ) ( )1

0

2 1 2f x dx fgeint


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

0 0

11

00

1

0

2 2

2 2

2 1 2

f x dx x f x dx

xf x xf x dx

f xf x dx

prime= =

prime= minus =

prime= minus

int int

int

int

Δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( ) ( )1 1

0 0


( ) ( )1 1

0 0




( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( )1

0

4 2 1f x dx fgeint

και τέλος

( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint





Σχήμα 1



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1k = ΔΑ = ΔΝ ΔΒ = ΔΜ ΔΓ








κύκλο ( )2c


και ( )2c







Σχήμα 2










No283






[ ] [ ] ( )1 1x ax x x Ra




( )1 10 0 1 2a a⎡ ⎤ = rArr lt lt⎢ ⎥⎣ ⎦





[ ]( )

[ ] [ ]211 1 1 1 2a a a




[ ] [ ]( )

[ ] ( ) [ ]211 1 1 1 1 1a a a


δηλαδή









( )2( ) 2 1c y px=


( ) ( )1 1y y p x x+ = +


δηλαδή




⎝ ⎠




( ) 4pxxy

α β ΝΝ

Ν

= minus = minus



( )2


ΝΝ Ν Ν Ν

Ν



( )2 1 52

y pxΝ Ν= minus



p pprime = minus




σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β















4) Ἀριθμοί




No284







( ) ( ) ( )0

4 1f x x f x xdxπ

ημ συν= + int


( ) ( ) ( )0



⎝ ⎠int

Δηλαδή



( ) ( )

( )

0

0

0 0

4

4 4

4 4

f x x f x xdx

x x c xdx

x x xdx c xdx

π

π

π π

ημ συν

ημ ημ συν


= + =

= + + =

= + + =

int

int

int int

( )( ) ( )0 0




( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) [ ][ ] [ ]

004 2

4 2 0 0

4 1 1 0 0 4

x x c x

x c c

x c c x



ημ ημ

= + minus + =


Τελικά







( ) ( ) ( )( ) ( )00

1 1 1 0e f f egtlt

Η Η = minus lt





( ) ( ) 00

ln 0x f x xgtge





378 Αν 0x y z ge





2

2 2

x zxy z xy z

y z

xy z x y xy x y z




και τελικά




















No285

Σχήμα 1

Σχήμα 2










άρα


κι ακόμα 2 2 21 4 1 4 1 4 R R R



2 2 24 4 4 4R R Rαβ βγ γα

+ + ge hArr

2


hArr + + ge hArr

2

1 2R



1 1 12 R R Rρ

ge hArr ge hArr

( )2

1 1 2 22

RR R

ρρ

hArr ge hArr ge





είναι





( ) ( ) ( ) ( )0

1 1x



( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

1x x x x



( )( ) ( ) ( ) ( )0

1 1 2x




( ) ( )( )0

1x

g x f x dt= +int


( ) ( )1g x f xprime = +



( )( ) ( ) ( )( )0

1 1x


⎝ ⎠int


( ) ( )1 1

1f x x


+

επομένως


( )( ) ( ) ( ) ( )0

0

1 0 1 0 0 0f t dt f f+ = + rArr =int







3a b cabc



S = + + + +

(mateforumro)












No286

Σχ 1

Σχ 2









( ) ( )2





( )2

34α

ΜΓsdotΜΔ lt







2 2 22 22 cos 2 cos


⎝ ⎠δηλαδή

( )2


⎝ ⎠









[ ]0x aisin








ctΜΓ=

ΝΔ (wwwmathvn)










No287





( ) ( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ+ΕΒ













Σχήμα 1

( C )



2 2

2 2 1 0x yC a ba b+ = gt


( )2 2

1 12 2 1 1a b

a b+ =


( )1 12 2 1 2xa yb

a b+ =



( )1 12 2

2 21 1

1 41 1

a ba b a ka b kb

k= = rArr = =


( )2 2

1 1

1 5x yCka kb

+ =





(mathematicagr)














No288


Σχήμα 3









[ ]( ) [ ] ( )12 2f m M=


( )( )

1

2

m f x M

m f x M

le le

le le

άρα

( )( )

( )1

2

2007 2007 20073

4 4 4

m f x M

m f x M

le le ⎫⎪⎬

le le ⎪⎭



( ) ( ) ( )1 22007 44

2011f x f x

m M+

le le


( ) ( ) [ ]1 22007 4

2011f x f x

y m M+

= isin




( ) ( ) ( )1 22007 42011 o

f x f xf x

+=

ή ακόμα

( ) ( ) ( )1 22007 4 2011 of x f x f x+ =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22007 45

2011f x f x

G x f x+

= minus



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 2

2007 4 4 62011 2011



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 1

2007 4 2007 72011 2011




( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 14 2007 0




( ) ( ) ( )1 22007 40

2011o

f x f xf x

+minus =

δηλαδή




ώστε







3k aba b ka bminus

+ + ge+












No289








e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠



προκύπτει


( ) ( )ln 1ln 11

xxx x

+gt


( ) ( )ln 0 2xf x xx





( ) 2










( ) ( )1 11 1e e

eee

ee e e e e


⎝ ⎠

δηλαδή

11e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠



( )1 12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +





( )max1f f ee

= =

+infin



( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2 21 2 2 32 2


+ +ge rArr ge

+ ++ + + +


( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 2

2 22 24 5

2 2c c ca a a ab


ge ge+ ++ + + +


( )

2 2 2

22 2 2 1


b a c b a c a b c+ + + + +

+ + ge =+ + + + +

δηλαδή

12 2 2

b c ab a c b a c

+ + ge+ + +

κι ακόμα

1 1 1 1 32 2 2

b c ab a c b a c


2 2 2 22 2 2



2 2 2 22 2 2a b c



και τελικά

12 2 2

a b cb a c b a c

rArr + + le+ + +

















No290












( )3 4x y z+ + ge Άρα

( ) ( ) ( )( )

( )4






389 Αν


ν ημ α=

minus





2





2



sdot + sdot

( )2

2

11




sdot + sdot

( )2



sdot + sdot

Όμως

( )( )

11




+ sdot

1



⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠


2

2



minus sdot

= =sdot + sdot

( )2


minus sdot=

sdot + sdot

δηλαδή

( ) ( )2



=sdot + sdot


( )1εφ α β

νεφα

minusminus =

δηλαδή




( ) 52 3 2 2 02


(MATHVNCOM)


1 2 3 4 0z z z z r= = = = gt Εάν


2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + +

(Mateforum)












No291







2 2 1

2 2

x y

x y



+ =

minus =


( )2 2 1 0 3Dημθ συνθ




2 22 2 2








2 22 2 2

2yDημθ αημ θ


= = minus =




Δηλαδή



yx DDx yD D

= =


( )2 231

xDxD


minus

δηλαδή


2 2(3 )1

yDy


= =minus

δηλαδή


x y+ =








( ) ( )22 32x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦

κι ακόμα


( ) ( )32 22x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = + hArr⎣ ⎦



( ) ( ) ( )2233 1 2 10x y α ημ θ+ = +




( ) ( )22 233 3 2x y x y α+ + minus =







( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +













No292





10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος



2 3 41 10101 1 0 0x a a a a= = + sdot + + sdot +

δηλαδή

( )2 41 1 1x a a= + +


( )2 4 6 82 1 2x a a a a= + + + +


μορφής



4 22 4 4

2

4 2

2

11 1

11

nn

n

n

n

a ax a a aa

axa

+


minusminus

=minus


κι ακόμα

( )22 14 2 2 1 2 1

2 2

11 1 11 1 1 1

nn n n

n

aa a axa a a a


minus minus minus +

δηλαδή

( )2 1 2 11 1 5

1 1

n n

na ax

a a

+ +minus += sdot

minus +


( ) ( )2 2 1 2 2 2 1 2 1 1m n






2

2 2 2 4 42 4

2 4

1 1

1 1

n n

n n

a aa a a a a aa a

a a

+

= ⎫⎪lt ⎪⎪rArr + + + + lt + + + +lt ⎬⎪⎪




Σχόλιο





10101010101010101n

nx =

όπου



4 2 4 1 4

4 2 4 3 4 4

4

4 1

4 5

4 52 4 3 4 4

6 5 4 3

10 10 10

10 10 10

10 1

10 0

10 0

10 010 0

0 1010

1 0 1

1 0 1

1 0 11 0 110 10

k

k

k k kn

k k k

k k kk

x + +

minus minus minus

minus minus

minus

minus

minus

minus




+ sdot + sdot +

sdot

sdot +

sdot

sdot +

sdot2 1 010 110

+

+ sdot + sdot +

δηλαδή 4 4 4 4101 110 10 01 101 11 010k k

















No293






( )

( )( )

( )11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus Α⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 22

11 1 1 1 1

f xx f x f x f x x



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

1

11 1 1

nn nn

n

f xx f x

xminus

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 1

2

11 1 2

nn nn

n

f xx f x

x

++ +

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦


( ) ( ) ( )( )( )

1 11 1n


( )( )( )

( ) ( )( )( )

1 1 11 1 1n n


( )( ) ( )( )( )

( )1 11 1n



( )( ) ( )( )( 1)

( )1 11 1

n

nn nx f x x x f x

minus


( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 1 1n



( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)( 1)

( )1 1 11 1 1nn



( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( ) ( )1 1 11 1 1n



( )( ) ( )( )( 1)

( )1 12 1 1n



( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 2 1 1n



( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 2 )

( )1 1 11 3 1 1n





( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1

( ) ( 1) ( )1 1 1

1

1 1 1

nn

n n nn n n

x f x


+

+minus minus minus

⎡ ⎤ =⎣ ⎦prime⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦


( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )(1)

1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +


⎢ ⎥⎣ ⎦


( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +


⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 1

2( 1)

11 1

1 1 1 11

nn

n

n nn nn

n

f xn

xf x x x n x f x

xx

+

+ +

+

= minus + +


( )( ) ( ) ( )1

11 1

nn

n

f xn

x += minus +

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

2 2 2 2

1 1 1 11 1

n n nnn n

n n

f x x x n x f xx x

x x

+ +

+ +

+



( ) ( )11

nnx f x+

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ( )( ) ( )1 1

12

11

n nn

n

f x xx

+ ++

+

sdotminus




3 2γ β α+ le


2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ




Όμως









( ) ( )0

23 4f x dxλ



( ) 4

0

13f x dxλ





( )( )

0

0

f x x a

f x x a

αν

αν

prime lt lt

prime gt gt




( ][ )

f x a

f x a

για

για

isin minusinfin

isin +infin





επομένως























No246









( ) ( )0

23 4f x dxλ



( ) 4

0

13f x dxλ







( )0

4f x dxλ

λ=int


γίνεται

( )5

4 2

0

4 3 4 2 3 45







( )( )

4

4

2 2 10 2 5 9 0

3 3 10 3 5 46 0

φ

φ




( ) ( )0

23 4f x dxλ




( ) ( )1

10

4 3f x dxλ

λ=int


( ) ( )1

41

0

13 4f x dxλ



( ) ( ) ( )44 3 5f x f xge minus⎡ ⎤⎣ ⎦





( ) ( )1 1 1

4

0 0 0




( ) ( )( )1 1 1 34

1 1 10 0 0

4 3 4 4 3 13f x dx f x dx dxλ λ λ


και τελικά

( )1

41

0

13f x dxλ





3 5 7ΡΑ = ΡΒ = ΡΔ =
















No247








( )

( )( )

21 1 12 4

ΑΖΗ

ΑΔΕ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠


( ) ( )

( ) ( )

114 1

ΑΖΗ

ΑΔΕ ΑΖΗ

ΕhArr = hArr

Ε minusΕ minus

( )

( )( ) ( )

1 13 3


ΔΕΗΖ


Ε

άρα

( )1 12 4 3





( )

( )

21 12 4

ΑΔΕ

ΑΒΓ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠



( ) ( )21 0 1f x xf x x Rx





( ) ( )21 2f y yf yy


⎝ ⎠


1xy

=


( ) ( )2

1 1 1 3f f yy y y

⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) 1f y fy

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

προκύπτει

( ) 22

1 1 1 1 12 2

f y y f yy y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Δηλαδή


( ) 21 1 02

f x x xx

⎛ ⎞= + ne⎜ ⎟⎝ ⎠



( )3 12


+ + le+ + +


Είναι


= =+ + + + + +


( )1 02

ab a b a ble + gt


( )1 32

xy x yxy z x z y z

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠


( )

( )

1 42

1 52

yz y zyz x y x z x

zx z xzx y z y x y

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠














No248





( ) ( ) ( )2 1 0 1f x xf x+ minus = Αν






Δηλαδή



( )2

12

42



( ) ( )2 4 4

2x xf x minus + +

=


δηλαδή





0 01 4 290 54α α α= = =

και

( )0 0 0 0 03 360 90 90 54 126α = minus + + =



1 4 2 30 0 0

90 54 126025 015 035360 360 360

f f f f= = = = = = =



4

110 0 25 20 015 30 035 40 025

25 3 105 10 26

i ii

x x f=


= + + + =

sum

Δηλαδή

26x =

Xi fi Fi

10 025 025 20 015 040 30 035 075 40 025 1






1010102020 203030304040 40


50 51 30 30 302 2

t tδ

+ += = =



3 4 18ν νν ν ν+ =

Δηλαδή

3 43 4

18 18 18 30060

f ff f

νν

+ = rArr = = =+

















1 1 1 1 2 4 8 16


No249













( )( )

43

43

0

0

x xf x

x x



( ) ( ) ( ) ( )4 113 3

4 43 3




( )134

3f x xprime =


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4 4

13 33

0 0 0 0

0lim lim lim lim 0

0x x x x

f x f x xx



minus minus

( ) ( )4

133

0 0 0

0lim lim lim 0

0x x x


minus= = =

minus Άρα

( )( )

( )

13

13

4 034 03

x xf x

x x




( ) ( ) ( )1 13 3

1 1 2 24 4 13 3





( ) ( ) ( )1133

3 3 14 4 23 3


και όμοια

( ) ( )13

4 24 33




( ) ( ) ( )8 0 8

1 1 0




( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0



( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0



( ) ( ) ( ) ( )

0 844 11 33

7 7

1 0

3 3 30 1 2 0 2 14 4 7 7 71 13 3

x x++

minus


+ +




( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 412


αβ βγ γα

+ + ++ + ge















No250



1 1 1 1 0 0 0 0 0116 8 4 2ν

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫Δ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭





( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

1 3 1

x

x



( ) ( )3

2

1 2f x dx =int


( ) ( )1

x






( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 3 2

1 3 1 1

2 1 1 2

1 3 3 1

1

0



= + =

= minus =

int int int int

int int int int

Δηλαδή


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 1



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3

1 1 2 2





( ) ( )1

x



Άρα




( ) ( ) ( ) ( )2

1


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

3 2 3

1 1 22 22

1 1

3 3 3 3 3

1 3 2


f t dt f t dt



int int int

int int

δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )2

1








( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2

1

2 2 0 4x


τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 2 2x



δηλαδή

( ) ( ) ( )( )1



( ) ( ) ( )24 4 2 4H f F= minus





( ) ( ) [ ]2 2 04f x F x xgt isin



( )

2 2 2

2

826

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +












No251












( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 12 1 2 1 0


minus + minus + =


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 12 1 2 2 1 1 1


κι ακόμα

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2 12 2

2 1 2 2 1 1

1 0 62 1




( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 7f x f x f x f xΑ = + +





( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 11 1

3 22 2

0 42

0 52

xf x f x

xf x f x

+ + =

+ + =



( )213 0D f x= minus =

τότε


( )22f xΑ =


τότε




( ) ( )2 1

2 1

0f x f x

x xminus

ltminus



( )( ) ( )( ) ( )13 1 1 0

2f x

f f x f f xminus


( )( ) ( )( ) ( )131 1 02

f xf f x f f x


και τελικά

( )13 0

2f x

x xminus

+ + = δηλαδή














( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint















No252





( )3 3 3

2 1α β γ αα β γ+ +

=+ +



( )3 3 2β γ α β γ+ = + rArr







12

συνΑ =




0120Β+Γ =


( )3 12

ax

a

e dxminus

rangint


1aax x a a a

aaa

e dx e e e ee

minus

minusminus


δηλαδή

( )2 1 2

a ax

aa

ee dxeminus

minusΙ = =int


( )2 1 3 3

2

a

a

eeminusrang


( ) ( )( )

2

2

3 2 1 3

2 3 2 0 4

a a

a a

e e

e e


hArr minus minus gt





1 21 22

x x= minus =


1 22

x xlt minus or gt


1 22





σχέση (7)
















No253














( )2ββ γ


ΒΓ ΓΔ


( )0

0 0 0

70 370 80 80β λ λημβ



( )0

0 0 0

40 440 120 120γ λ λημ

γημ ημ ημ

= rArr =


( )0 0

0 0

70 120 540 80



( )0

0 0 0

80 680 50 50


= hArr =


( )0 0 0

0 0 0

70 120 80 740 80 50


=




00 03 1 16050 2 20

2 2συνημ ημ


⎝ ⎠






( )0 0 030 40 20συν ημhArr + = hArr




080x =ΟΒΓ =



[ ] [ ]1 x ax x x Ra














No254




λεπτά( 260


2 )


29100 100

60 4733165431 10 min2

t minus= = Χ



( ) ( )2





( )1x yα = +

( )2 2 2xβ ω= +


( ) ( ) ( )1 42

y xωΑΒΓΕ = +


Σχήμα 1



( )( )( ) ( )14


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 54



θα έχουμε

( ) ( ) ( )( )( )( )33





δηλαδή


( )( )( ) ( ) ( )3

3 63




( ) ( ) ( ) ( ) ( )14


( ) ( ) ( )3

23

1 14 3 4 3 3


+ +le + + = + +

sdot

άρα

( ) ( ) ( )21 74 3 3



( ) ( )21 12 4 3 3



( ) ( )212 3 3




( ) ( )22 2 2 26 3 y x y x x yω ω ω+ le + + + + +


( ) ( )2








( ) ( )0

4f x x f x xdxπ

ημ συν= + int














100

29

00005ί

tψηφ α

asymp



No255




2 2

2 2 1x ya b+ =


με aΕΚ +ΕΛ =




2 2 1x ycα β



( ) ( )2 22 2 2 21 2r x y r x yγ γ= + + = minus +

Σχήμα 1






( )( )2 21 2 1 21 2

1 21 2

4422


γγαα


+ =+ =

( )1

1 2

1 2 2

23

2

xx rr rxr r r


= +minus =hArr hArr

+ = = minus


γεα

=


bull Αν 1 22



bull Αν 1 22



Σχήμα 2



bull Αν 1 22





378 Αν





Σχήμα 3

Σχήμα 4









( )112 1

4 2Ε

Ε = = Ε


( )2 2

14 216 2Ε

Ε = = Ε


( )3 3

18 364 2Ε

Ε = = Ε


1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν νΣ = Ε + Ε +Ε + + Ε = Ε + Ε + Ε + + Ε

No256


1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν ν

⎛ ⎞Σ = Ε +Ε +Ε + +Ε = + + + + Ε⎜ ⎟⎝ ⎠



2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =




( )2 2

2 2 1 1x ya b+ =






= + = minus







21 2x xγ γ α+ =

και τελικά

( )2

1 2 52 2

x x αγ

+=


( )1 2 1 2 62 2

x x y yx yΜ Μ

+ += =


2x ctα


( )2

2

x αεγ



( )1 1w zz





Λύση




1 4 45 3


+ = + + rArr = =+


( ) ( )2 2

2 2 15 2 3

2

a b+ =



( ) ( )( ) 1 1 12

d z w w z z zz z



2 2 2 5w w aminus + + = ΝΕ +ΝΕ = =















2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =


2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν



όπου


1aωinfin= minussum


1 1 1 11 2 3 4 ν

+ + + + + +


No257






( )02 ) 1

2ΒminusΓ







Σχήμα 1


( )

4διχ

φ ρΔΘ=




0 0180 1802 2 2


= minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠







( ) ( )

( )

44

2 2 22 2

RR

RR

αβγαβγ



hArr = hArr =


1 2

4 3

2 2

2 2

x xR Rx x

y yR Ry y


β γ δ α

= =+ + + +

= =+ + + +

Άρα

( )

( )

1 2

3 4

2

2

x x Rx x

y y Ry y


β γ δ α

+ = ++ + + +

+ = ++ + + +


x x y yx x y y


+ = ++ + + + + + + +



xyαγ βδ+ =



( ) ( ) ( )0

1x


















No258











Έστω ότι



( ) ( )2

2

2

1ln 1

1

xx x x dx

x

primeminus


int

( )2

2


2

11

x dxx

minus =minus

int

( )2

22ln 1

1xx x dx

x= minus minus =

minusint

( )2

22

1 1ln 11

xx x dxxminus +


( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx

x x= minus minus +

+ minusint int


Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )2 1ln 1 1 11 1

x x dx dxx x




( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 1 1x x x xΑ Β

= ++ minus + minus



10 21 1

2


Επομένως

( ) ( )2

1 1 11 2 1 2 1x x x= minus

minus minus +


( ) ( )1 1 1

1 1 2 1 2 1dx dxdx

x x x x= minus =


1 1 1 1ln 1 ln 1 ln2 2 2 1

xx x c cxminus



( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx


+ minusint int

( )21

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



Έστω ότι



( )22

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



( )2 1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



1 2 iz I Ri

λλminus

= isin isin+


( )( )

( )( )

( ) ( )2

2 2

1 2 2 1 22 21 1

i i ii i izi i



Άρα


( ) ( ) ( )2010 4 502 2 220101 2 12

iz i z i i ii


+


















No259







και



Λύση Είναι

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 1 2 1

1 2 1

z z z z z z

z z z


= + minus + +

δηλαδή

( ) ( ) ( )222 1 1 4z z z= + minus +


( ) ( ) ( )2 22 21 1 1 1 1 1 2z z z z+ minus + le + + + le + =

δηλαδή

( ) ( ) ( )22 1 1 2 5z z+ minus + le





τότε










( ) ( )12

x f xf x

+⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠




( )0 0f x xne





( ) ( )0 00 4

2x f x

x+

gt


( ) ( )0 002

x f xf f x

+⎛ ⎞gt⎜ ⎟

⎝ ⎠




( )0 0f x xlt








( )( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ +ΕΒ











No260













[ ]1 2 x x a bisin


( )m f x Mle le


( ) ( ) ( ) limx a

f x f af a

x ararr +

minus=

minus


( ) ( )lim 0x a

f x f ax ararr +

minuslt

minus


( ) ( ) 0f x f a

x aminus

ltminus






( ) ( ) ( ) limx b

f x f bf b

x brarr minus

minus=

minus


( ) ( )lim 0x b


minusgt

minus


( ) ( ) 0f x f b

x bminus

gtminus

κι επειδή





















x y kx y kx y k

x y k














No261

Σ









( )2 2 2 2 2 21 32 3 12 3



x

y ω


( ) ( )3 32 33 3

α βλ μ= =



( )2 2

2 03 32 603 3 3 3



( ) ( )2 2 2 03 2 60 5y aα γ γσυν= + minus Β +



( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 0 2 2 0

2 20 0

2 60 2 60

60 60 72













Α Β

Άρα




( ) ( ) ( ) ( )0 0 160 60 82



( )2 2 12 2


= Γ minus Α



( )2 2 2 2 2 2

102 2



2 2


minus = minus hArr




y ω= Άρα

















No262







( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 33 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 3 2 3 2 2

3 2 3 2 2 2

6 3 2 2

a b a a b ab b

a a b ab b

a ab a b b

+ = + + sdot + =

= + + sdot + =

= + + + rArr



( )( )

2 23 2

2 3 2 2

6 206 203 2 14 3 2 14


⎫+ =⎫+ = ⎪ ⎪hArr⎬ ⎬+ = + =⎪⎭ ⎪⎭





2 1a b= = Άρα

( )32 2 20 14 2+ = +



( )32 2 20 14 2+ = +


( ) ( )( ) ( )

3 33 3 3 320 14 2 20 14 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4


= + + minus =


( ) 99 12 1 3 2 4 3 16 15x x x x

+ + + + =+ + + +



( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 16 15 99

2 1 3 2 4 3 16 15







3 99 33x x= hArr =




( )( )2

4 α β αβημφ

α β

minus=

+


προκύπτει


( )2y α ββ

α β+

= sdotminus

Άρα


( )( )2

42 2 x

yα ββ



ΚΛ ΟΚ + +





e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠














( )( )

1





No263

SA

SX

υA υX

S=100m



1009

t υΧ=



( )1ΑΜ ΑΔ=


=ΓΝ ΒΓ






( ) ( ) 3 41 10 0

x x

y y

λβ λβλ λΜ Σ

Μ Σ

minus⎧ ⎧= =⎪ ⎪Μ Σ+ minus⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

όπου

( )5λ ΑΔ=ΒΓ


Α equiv

Σχήμα 1


( )1 2

1 2

1 6

1

x xx

y yy

λλλλ

Ν

Ν

+⎧ =⎪⎪ +Ν ⎨ +⎪ =⎪ +⎩

( )

1 2

1 2

1 7

1

x xx

y yy

λλλλ

Τ

Τ



( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Ν ΜΜΝ

Ν Μ

+minusminus ++= = =


δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

8y yx x

λλ

λ βΜΝ

+=

+ minus

και

( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Τ ΣΣΤ

Τ Σ


δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

9y yx x

λλλ βΣΤ

minus=

minus minus



( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

1y y y yx x x x




( )1 2

1

2 2 2

22 22

1y y

x x

λ

λ β

minus= minus hArr

minus minus

( )1 2 1


( )1 1 2


( )1 1 2


( )( )1 1

2

2 22

2 22

10x y

x yλ

β

+=

minus +

Όμως

1

2 21x yΑΔ = + και ( )2 2


( )( )

2 222 2 1 1

22 22 2

11x yx y




( ) ( )

2 2 2 21 1 1 1

2 22 22 2 2 2

x y x yx y x yβ β

+ +=

minus + minus +




12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +














( )2 3

1 1 1 1 12 2 2 2

S ν= + + + + +


2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν


( )2

1 1 1 100 10 1 210 10 10

S ν= + + + + + + +


2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν


No264



100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus




( )1ΑΜ ΑΔ=


=ΓΝ ΒΓ







1λλ

ΟΑ + ΟΒΟΜ =

+

1λλ


minus



1λλ

ΟΔ + ΟΓΟΝ =

+

1λλ


minus


( )3λ ΑΔ=ΒΓ


είναι

1 1λ λλ λ


+ +

( ) ( )1

λ

λ


+

( )1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓ=

+

δηλαδή

( )( )4

1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓΜΝ =

+


είναι

1 1λ λλ λ


+ +

( ) ( )1

λ

λ


minus

( )1

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus


( )( )5

1

λ

λ


minus



και ΣΤ


Πράγματι

( ) ( )1 1

λ λ

λ λ


( ) ( )2 22

21

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus

Δηλαδή

( ) ( )( )

2 22

2 61

λ

λ


minus


( )( )

( ) ( )2

2 22 22 0λ λ λ



0ΜΝ sdotΣΤ =


ΜΝ perp ΣΤ


389 Αν


ν ημ α=

minus




+ =minus =














No265







θα έχουμε





1΄ ΄΄ ΄

βλ



sdot sdotΟΒ

1γ λ

=minus

δηλαδή

΄β

γ λΟΒ

=ΟΒ minus


΄ ΄β β



Άρα

( ) ( )4΄ββ γ λ

ΟΒ = ΒΒ+ minus


( ) ( ) ( )2 21 5β λγ β λ α βλ β λβ γ λ β


1΄ ΄΄ ΄

β λλ



sdot sdotΟΓ

1γ=

δηλαδή

΄γ

β λΓΟ

=ΟΓ minus


΄ ΄γ γ



άρα

( ) ( )6΄γβ γ λ

ΟΓ = ΓΓ+ minus


( ) ( ) ( )2 21 7γ λβ γ λ α γλ γ λβ γ λ γ




ββ γ λ

sdot+ minus

( ) ( )2 21 λγ β λ α βλ β λβ

γβ γ λ


=+ minus





( )2

1 10αλβ γ

=+


( )2



+




10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος












No266

















1 2 1 2φ φ ω ω= =


1 2 1 2 90φ φ ω ω+ + + = Άρα









( )22 2 2 5

2συνφ


sdot ΑΜ sdotΑΝ



( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 145 452 2 2



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

64



( ) ( ) ( )1 72



( )22 2 2 8

2ημφ


sdot ΑΜ sdotΑΝ



45οφ =



( )

( )( )

11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦













No267





( )β γαsdot

ΟΖ = Ι




Άρα


( )1Γ = ΖΑΔ




Άρα

( )

( )

2 2 2

22 4R Rα αΑΒΓ

ΑΔΖ

Ε ΒΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ε ΑΔ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

κι ακόμα

( ) ( ) ( )2

2



( ) 4Rαβγ

ΑΒΓΕ =


( ) ( )

2

2


2R2α

αsdot

4βγR

Rβγα

= sdot

δηλαδή



( ) ( ) ( ) ( )1 1 22 2




sdot = sdot rArr =



βγα

ΟΖ ge


Σχόλιο





( ) ( ) 2 62h h RR

αα


ΑΔ ΒΓ


( ) ( )2 2 72

RRβ β

βΑΜ ΑΓ ΑΜ



2h h βα β

α= rArr =
















No268



0



0

0

limi

i

t t

S t S tt trarr

minusminus

η






= = gtΑΓ ΑΒ




( ) ( )( ) ( ) ( )3λ λΒΕΓ ΕΓ



και

( ) ( )( ) ( ) ( )4μ μΒΓΔ ΔΒ


Επομένως



( )( )






( )( )

( )( )



δηλαδή

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )2 3 4 x xy x

μλ


ΡΔΕ ΡΕΓ minus



( )( )1 1y


=+ minus

ή ακόμα


= minus+ minus




0 12


λμle minus lt lt

minus


( )2 0 1 102

y ω ω με ωω

le minus lt ltminus




max3 5 5 5 11

2 2f f


⎝ ⎠


5 5 112

y minusle


( )max

5 5 112minus

ΡΔΕ =



99

999 1έφορ ς





Σχήμα 2












No269




1 1 1

1 1 1

3)2

1 1 1 6)

i R

iiR

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge




( )( )

( )( )

( )( )

1 1 1

1 1 1



( ) ( ) ( )( )

( )( )


= = =ΑΟΒ ΑΒΓ

Δηλαδή

( )1 1 1

1 1 1

1 1ΟΑ ΟΒ ΟΓ+ + =

ΑΑ ΒΒ ΓΓ



1 1 1

1 1 1


ΑΑ ΒΒ ΓΓ

1 1 1 1 1 1


1 1 1

2R R RR R R


( )2 2 2

2 2 21 1 1

2 2R R RR R R R R R



2 2 2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R


( )( ) ( ) ( )

2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R

+ +ge =


( )2

21 1 1

93

RR R

=+ ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ

δηλαδή

( ) ( )

2 2 2

2 2 21 1 1

2

21 1 1

9 33

R R RR R R R R R

RR R




( )2

21 1 1

9 23

RR R


δηλαδή

( )2 21 1 19 2 3R R R⎡ ⎤le + ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ⎣ ⎦

και τελικά

1 1 132R

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge



( )

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

1 1 1 1 41 1 1R R R


ΑΑ ΒΒ ΓΓ

rArr + + =+ + +

ΟΑ ΟΒ ΟΓ


( )2

1 1 1 1 1 1

1 1 11 1 11 1 11 1 1 3

R R RR

+ ++ + ge

⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΑ ΟΒ ΟΓ⎝ ⎠


( )2

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 11 3 91 1 1 3

RR


και τελικά

1 1 1

1 1 1 6R



( )222 21 21 2

1 2 1 2

x x xxx x νν


+ + + ge+ + +


1 2

1 2

xx x ν

να α α= = =




















No270








( )( ) 21 1 1 1 1f f = minus + = Δηλαδή

( )( ) ( )1 1 3f f =


( )( )( ) ( )( ) ( )21 1 1 1f f f f f= minus +


( ) ( ) ( )21 1 1 1f f f= minus + δηλαδή












( ) 4






1


ή ακόμα

( )1 1 1 7 υυ ββ γγge +


( )1 1 1 22 8 ββ γγ ββ γγ ββ γγ+ ge =



και τελικά




( )2 2 21 2 3 0 3z z z+ + =



( ) ( ) ( )21 2 3 1 2 2 3 3 12 4z z z z z z z z z+ + = + +


1 2 31 2 3

1 1 1 z z zz z z

= = =


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

1 2 3

2 2 21 2 2 3 3 1

21 2 2 3 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 10 0 0

0

2 5

z z z z z zz z z

z z z z z z


⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = rArr + + = rArr + + = rArr⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr + + = rArr




1 2 3 0z z z+ + ne Άρα


1 2 3 2z z zrArr + + =
















ά ώά ό



No271




( )3

1 2 32

( ) ( )ln1 2 1




( )1 1xω = + άρα

( ) 112 1

d x dx dxx

ω prime= + =+






3

12

21

dxIx x

ω= =

+int ( )2 1dω

ω ωminus

2 2

23 3

21dω

ω=

minusint int

και επειδή

2

2 1 11 1 1ω ω ω= minus

minus minus +

άρα 2 2

1 23 3

2 1 11 1 1

I d dω ωω ω ω


2 2





( ) ( )( ) ( )3 1 3 2ln 3 1 ln 3 3 1 ln ln

33 3 1+ +



( )( )

2

2 1 2

2 12 12 1 4

xdxI x x x dxx x

I x x dx x x dx

= = + minus + rArr+ + +


int int

int int




1 12 2



3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

12 42 23 1 5 3 5 31 1

2 2 2 2



Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

1 12 42 2 55 3





1 12 2




3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

22 2

3 1 5 3 5 31 12 2 2 2



Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

2 22 21 1 55 3


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 3 5 32 2 2 2

2 1 2 2

5 3 5 32 2 2 2

1 2

2 4 2 22 2 1 15 3 5 3

2 4 2 22 2 1 1 ( )5 3 5 3

I x x c x x c

x x x x c c




1ln x d dx dx xdx


έχουμε


x x xω ω ωω ω

= = = = + = +int int int


3 ln(ln )I x c= +





f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +














No272


























1 2 3

1 1 1 18+ + ge

Ε Ε Ε Ε















( )2 22 2 2t tυ υΒΓ = Χ = rArr Χ =

No273





τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )22 0 13 0 7 1P P+ =







( )12

13 15 2 113 225 4 4 20

13 15 282 2 74 4

ZP

Z





7b = minus






13272433

a Z

a Z

a Z







( ) ( )

( )

2

1

22 3

( ) 0 1 6 7 0

1

6 7 0 3 2 3 2

P x x x x

x

x x x x


































No274















( )

( ) ( )

2009

2009

2009 2008

2010 1005 2 0

2010 2010 0

0 1 0 4

f x x x

x x

x x x x


hArr minus = hArr



( )( ) ( )2007 20061 1 0 5x x x x xminus + + + + =






( )

( )

2

2

1)

2 1)1

n xi f x n Nx

ii g xx x

συν

ημ συν

minus= isin

= minusminus


( ) 2


= =

( )( )2 1

2

1 1 nx x x xx


( ) ( )2 12

11 nx

x x xxσυν


( )2

2 12

22 1

42

n

x

x x xx


⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

2 12

1 2 1 2

2

n

x

x x xx


⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) 20 0

1lim limn

x x

xf xxσυν

rarr rarr

minus= =

( )2

2 120

1 2lim 1 2

2

n

x

x

x x xx


rarr

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦


( )2

2 120 0

1 2lim lim 1 2

2

n

x x

x

x x xx


rarr rarr

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡ ⎤= + + + + =⎣ ⎦⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1 1 1 12 2

n έn

φορ ς⎡ ⎤⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

Άρα

( )0

lim2x

nf xrarr

=


( ) 2 20 0 0 2


2x x x


⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞


20 02 2 2 2

2 1 2 1lim lim2 4 2


⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22

0 02 2

11 1 22lim lim2 2

2 2x x

xx

x x

ημσυν


minus= =

sdot 2

2xημ 2

1 1 12 1 2

2xσυν= sdot =

sdot

Άρα

( )0

1lim2x

g xrarr

=
















No275







( )2 12

R =







( )( )1 22 2 2

245R


= = = =minus

( ) ( )2 245οημθ ημ θ

ΡΑ ΡΒ= =

minus





δηλαδή



( ) ( ) ( )2 590 45ο οημ θ ημ θΡΓ ΡΔ

= =minus +





( ) ( ) ( )1 12 2 22 2




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1f b f a

f a f bb aminus

gt gtminus



( )1 1 1ln 21

xx x x

+gt gt


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3f b f a

a b fb a

ξ ξminus

primeisin =minus




( ) ln 0f x x x= gt



( ) ( ) ( )( )ln 1 lnln ln 1

1x x



1x

x x x+

gt gt+



2ΑΕ ΑΚsdot =















No276






( )99 (1)2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟







[ ]0 0 0 2 3 100x x x

α αisin minus



⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( )0 52xf ⎛ ⎞ ltΜ⎜ ⎟

⎝ ⎠


( )( ) ( )3 5

0 0 0099

2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

99

99 έφορ ς




0

2xf ⎛ ⎞ =Μ⎜ ⎟

⎝ ⎠


0 0 02 3

2 2 2x x xf f f ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=Μ =Μ =Μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎝ ⎠


( )

0

0

lim lim2

lim 72

xf

xf

νν ν

νν


rarr+infin

⎛ ⎞Μ = rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Μ = ⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( )0

20lim lim 0

2

x

xf f fνω

νν νω

=


⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠



( ) ( )0 9fμ = άρα







45οΕΑΖ =


( ) ( )12


404 Αν















( ) ( )( )lim 0 lim 0x x




No277



( )0

lim 0x

xημrarr

=




( )3 3

3 3 22 3 2y zx + + ge



( ) ( )1 1


a bx y=


( ) ( )1 1



1 1 1p q+ = τότε

( ) ( )1 1



1 2

1 2

n

n

aa ab b b= = =

a b cx y z= =




τότε

( ) ( ) ( )1 1 1

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2


n n n

a a a b b b c c c

a b c a b c a b c

+ + + + + + + + + ge


1 2 1 2

1 2 1 2

n n

n n


και= = = = = =




( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 2

11 12 1 21 22 2 1 2

11 21 1 12 22 2 1 2

k

k k k

p p pn n k k kn


a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

+ + + + + + + + + ge





( ) ( )3 3

3111 1232 3y zx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



άρα


( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1 1

1 1 1 1 1 11 3 33 333 3 3 3 3 331 1 1 2 1 3

2 3y zx


⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )13x y z= + + =

Άρα

( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠


( ) ( )1

3 3 3 31 133 3 33 3

3 3 3 33 3

3 6 3 18 32 3 2 3

27 3 32 3 18 2 2 3 2

y z y zx x

y z y zx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge rArr + + ge rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

rArr + + ge = rArr + + ge⎜ ⎟⎝ ⎠






1ΑΡ ΑΤ+ =












2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν



10λ με λ= lt




αrarr+infin

=


100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus


No278






( )( ) ( )2

lim 1 1x

f xf xrarr+infin

=


lim 1 22x

f xf xrarr+infin

=




( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )2 3 4

2 02 2 2

f x f x f xf x

f x f x f xlt lt gt

Άρα

( )( )

( )( ) ( )3 4

1 42 2

f x f xf x f x

lt lt


( )( )

( )( )( )

( )( )

( )122 24 2lim lim lim 1

2 2

x u

x x u


=


δηλαδή

( )( ) ( )4

lim 1 52x

f xf xrarr+infin

=



( )( )3

lim 12x

f xf xrarr+infin

=












Όμως








12

ΒΔ=













No279











( ) ( ) ( )3 1 23 3

αΔΜ = = ΔΖ

Σχήμα 1










( )

( ) ( )1 2


Σχήμα 2

Μ

Ν


( ) 2 452





και τελικά










Σχήμα 3











2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν


No280




368 Αν

( )1x ay az a


= ⎫⎪= ⎬⎪= ⎭


( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1x ay a x y zz a

ημ φημ ω

ημ φσυν ω

συν φ

⎫=⎪

rArr = rArr + + =⎬⎪= ⎭


( )1


( )1


Άρα








π ω πminus lt le









Σχήμα 1








60οΑ =



( )( )2a bc

a b a c+ +













No281





( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 4

12 14 4 4


αβ βγ γα

+ + ++ + ge








σχέση


( ) ( )2 24

54

α β γγ

αβ

+ge



2 246

4β γ α

αβγ

+ge


( ) ( )2 24

74

γ α ββ

γα

+ge


( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 24 4 412



+ + ++ + ge + + =




( )( )2 2 2

2

826 1

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2 2

8 81 2 26 19

1 1


xy xz yz xy xz yz

+ + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + minus + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+ = + + = +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( )

2 2

8 819 19 2

19 1 3 18 0


yz yz yz yz

⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + = + + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

minus = + + minus =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭



( )( )

8 819 19

3 3


yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭


( )( )

8 819 19

3 3


yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )( )

( )( )

8 816 8 16

3 3


yz yz


( ) ( )( )22

888 16 0 4 0

3 3

x y zx y zx x x

yz yz


⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) 8 44 43 3

x y z y zx xyz yz

+ + = + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr = hArr = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭⎩ ⎭

( ) 2

4 44 4

4 3 4 3 0

z y z yx x

y y y y



















No282






( ) ( ) ( )1

0

2 1 2f x dx fgeint


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

0 0

11

00

1

0

2 2

2 2

2 1 2

f x dx x f x dx

xf x xf x dx

f xf x dx

prime= =

prime= minus =

prime= minus

int int

int

int

Δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( ) ( )1 1

0 0


( ) ( )1 1

0 0




( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( )1

0

4 2 1f x dx fgeint

και τέλος

( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint





Σχήμα 1



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1k = ΔΑ = ΔΝ ΔΒ = ΔΜ ΔΓ








κύκλο ( )2c


και ( )2c







Σχήμα 2










No283






[ ] [ ] ( )1 1x ax x x Ra




( )1 10 0 1 2a a⎡ ⎤ = rArr lt lt⎢ ⎥⎣ ⎦





[ ]( )

[ ] [ ]211 1 1 1 2a a a




[ ] [ ]( )

[ ] ( ) [ ]211 1 1 1 1 1a a a


δηλαδή









( )2( ) 2 1c y px=


( ) ( )1 1y y p x x+ = +


δηλαδή




⎝ ⎠




( ) 4pxxy

α β ΝΝ

Ν

= minus = minus



( )2


ΝΝ Ν Ν Ν

Ν



( )2 1 52

y pxΝ Ν= minus



p pprime = minus




σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β















4) Ἀριθμοί




No284







( ) ( ) ( )0

4 1f x x f x xdxπ

ημ συν= + int


( ) ( ) ( )0



⎝ ⎠int

Δηλαδή



( ) ( )

( )

0

0

0 0

4

4 4

4 4

f x x f x xdx

x x c xdx

x x xdx c xdx

π

π

π π

ημ συν

ημ ημ συν


= + =

= + + =

= + + =

int

int

int int

( )( ) ( )0 0




( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) [ ][ ] [ ]

004 2

4 2 0 0

4 1 1 0 0 4

x x c x

x c c

x c c x



ημ ημ

= + minus + =


Τελικά







( ) ( ) ( )( ) ( )00

1 1 1 0e f f egtlt

Η Η = minus lt





( ) ( ) 00

ln 0x f x xgtge





378 Αν 0x y z ge





2

2 2

x zxy z xy z

y z

xy z x y xy x y z




και τελικά




















No285

Σχήμα 1

Σχήμα 2










άρα


κι ακόμα 2 2 21 4 1 4 1 4 R R R



2 2 24 4 4 4R R Rαβ βγ γα

+ + ge hArr

2


hArr + + ge hArr

2

1 2R



1 1 12 R R Rρ

ge hArr ge hArr

( )2

1 1 2 22

RR R

ρρ

hArr ge hArr ge





είναι





( ) ( ) ( ) ( )0

1 1x



( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

1x x x x



( )( ) ( ) ( ) ( )0

1 1 2x




( ) ( )( )0

1x

g x f x dt= +int


( ) ( )1g x f xprime = +



( )( ) ( ) ( )( )0

1 1x


⎝ ⎠int


( ) ( )1 1

1f x x


+

επομένως


( )( ) ( ) ( ) ( )0

0

1 0 1 0 0 0f t dt f f+ = + rArr =int







3a b cabc



S = + + + +

(mateforumro)












No286

Σχ 1

Σχ 2









( ) ( )2





( )2

34α

ΜΓsdotΜΔ lt







2 2 22 22 cos 2 cos


⎝ ⎠δηλαδή

( )2


⎝ ⎠









[ ]0x aisin








ctΜΓ=

ΝΔ (wwwmathvn)










No287





( ) ( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ+ΕΒ













Σχήμα 1

( C )



2 2

2 2 1 0x yC a ba b+ = gt


( )2 2

1 12 2 1 1a b

a b+ =


( )1 12 2 1 2xa yb

a b+ =



( )1 12 2

2 21 1

1 41 1

a ba b a ka b kb

k= = rArr = =


( )2 2

1 1

1 5x yCka kb

+ =





(mathematicagr)














No288


Σχήμα 3









[ ]( ) [ ] ( )12 2f m M=


( )( )

1

2

m f x M

m f x M

le le

le le

άρα

( )( )

( )1

2

2007 2007 20073

4 4 4

m f x M

m f x M

le le ⎫⎪⎬

le le ⎪⎭



( ) ( ) ( )1 22007 44

2011f x f x

m M+

le le


( ) ( ) [ ]1 22007 4

2011f x f x

y m M+

= isin




( ) ( ) ( )1 22007 42011 o

f x f xf x

+=

ή ακόμα

( ) ( ) ( )1 22007 4 2011 of x f x f x+ =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22007 45

2011f x f x

G x f x+

= minus



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 2

2007 4 4 62011 2011



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 1

2007 4 2007 72011 2011




( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 14 2007 0




( ) ( ) ( )1 22007 40

2011o

f x f xf x

+minus =

δηλαδή




ώστε







3k aba b ka bminus

+ + ge+












No289








e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠



προκύπτει


( ) ( )ln 1ln 11

xxx x

+gt


( ) ( )ln 0 2xf x xx





( ) 2










( ) ( )1 11 1e e

eee

ee e e e e


⎝ ⎠

δηλαδή

11e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠



( )1 12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +





( )max1f f ee

= =

+infin



( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2 21 2 2 32 2


+ +ge rArr ge

+ ++ + + +


( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 2

2 22 24 5

2 2c c ca a a ab


ge ge+ ++ + + +


( )

2 2 2

22 2 2 1


b a c b a c a b c+ + + + +

+ + ge =+ + + + +

δηλαδή

12 2 2

b c ab a c b a c

+ + ge+ + +

κι ακόμα

1 1 1 1 32 2 2

b c ab a c b a c


2 2 2 22 2 2



2 2 2 22 2 2a b c



και τελικά

12 2 2

a b cb a c b a c

rArr + + le+ + +

















No290












( )3 4x y z+ + ge Άρα

( ) ( ) ( )( )

( )4






389 Αν


ν ημ α=

minus





2





2



sdot + sdot

( )2

2

11




sdot + sdot

( )2



sdot + sdot

Όμως

( )( )

11




+ sdot

1



⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠


2

2



minus sdot

= =sdot + sdot

( )2


minus sdot=

sdot + sdot

δηλαδή

( ) ( )2



=sdot + sdot


( )1εφ α β

νεφα

minusminus =

δηλαδή




( ) 52 3 2 2 02


(MATHVNCOM)


1 2 3 4 0z z z z r= = = = gt Εάν


2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + +

(Mateforum)












No291







2 2 1

2 2

x y

x y



+ =

minus =


( )2 2 1 0 3Dημθ συνθ




2 22 2 2








2 22 2 2

2yDημθ αημ θ


= = minus =




Δηλαδή



yx DDx yD D

= =


( )2 231

xDxD


minus

δηλαδή


2 2(3 )1

yDy


= =minus

δηλαδή


x y+ =








( ) ( )22 32x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦

κι ακόμα


( ) ( )32 22x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = + hArr⎣ ⎦



( ) ( ) ( )2233 1 2 10x y α ημ θ+ = +




( ) ( )22 233 3 2x y x y α+ + minus =







( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +













No292





10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος



2 3 41 10101 1 0 0x a a a a= = + sdot + + sdot +

δηλαδή

( )2 41 1 1x a a= + +


( )2 4 6 82 1 2x a a a a= + + + +


μορφής



4 22 4 4

2

4 2

2

11 1

11

nn

n

n

n

a ax a a aa

axa

+


minusminus

=minus


κι ακόμα

( )22 14 2 2 1 2 1

2 2

11 1 11 1 1 1

nn n n

n

aa a axa a a a


minus minus minus +

δηλαδή

( )2 1 2 11 1 5

1 1

n n

na ax

a a

+ +minus += sdot

minus +


( ) ( )2 2 1 2 2 2 1 2 1 1m n






2

2 2 2 4 42 4

2 4

1 1

1 1

n n

n n

a aa a a a a aa a

a a

+

= ⎫⎪lt ⎪⎪rArr + + + + lt + + + +lt ⎬⎪⎪




Σχόλιο





10101010101010101n

nx =

όπου



4 2 4 1 4

4 2 4 3 4 4

4

4 1

4 5

4 52 4 3 4 4

6 5 4 3

10 10 10

10 10 10

10 1

10 0

10 0

10 010 0

0 1010

1 0 1

1 0 1

1 0 11 0 110 10

k

k

k k kn

k k k

k k kk

x + +

minus minus minus

minus minus

minus

minus

minus

minus




+ sdot + sdot +

sdot

sdot +

sdot

sdot +

sdot2 1 010 110

+

+ sdot + sdot +

δηλαδή 4 4 4 4101 110 10 01 101 11 010k k

















No293






( )

( )( )

( )11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus Α⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 22

11 1 1 1 1

f xx f x f x f x x



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

1

11 1 1

nn nn

n

f xx f x

xminus

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 1

2

11 1 2

nn nn

n

f xx f x

x

++ +

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦


( ) ( ) ( )( )( )

1 11 1n


( )( )( )

( ) ( )( )( )

1 1 11 1 1n n


( )( ) ( )( )( )

( )1 11 1n



( )( ) ( )( )( 1)

( )1 11 1

n

nn nx f x x x f x

minus


( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 1 1n



( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)( 1)

( )1 1 11 1 1nn



( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( ) ( )1 1 11 1 1n



( )( ) ( )( )( 1)

( )1 12 1 1n



( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 2 1 1n



( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 2 )

( )1 1 11 3 1 1n





( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1

( ) ( 1) ( )1 1 1

1

1 1 1

nn

n n nn n n

x f x


+

+minus minus minus

⎡ ⎤ =⎣ ⎦prime⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦


( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )(1)

1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +


⎢ ⎥⎣ ⎦


( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +


⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 1

2( 1)

11 1

1 1 1 11

nn

n

n nn nn

n

f xn

xf x x x n x f x

xx

+

+ +

+

= minus + +


( )( ) ( ) ( )1

11 1

nn

n

f xn

x += minus +

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

2 2 2 2

1 1 1 11 1

n n nnn n

n n

f x x x n x f xx x

x x

+ +

+ +

+



( ) ( )11

nnx f x+

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ( )( ) ( )1 1

12

11

n nn

n

f x xx

+ ++

+

sdotminus




3 2γ β α+ le


2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ






( ][ )

f x a

f x a

για

για

isin minusinfin

isin +infin





επομένως























No246









( ) ( )0

23 4f x dxλ



( ) 4

0

13f x dxλ







( )0

4f x dxλ

λ=int


γίνεται

( )5

4 2

0

4 3 4 2 3 45







( )( )

4

4

2 2 10 2 5 9 0

3 3 10 3 5 46 0

φ

φ




( ) ( )0

23 4f x dxλ




( ) ( )1

10

4 3f x dxλ

λ=int


( ) ( )1

41

0

13 4f x dxλ



( ) ( ) ( )44 3 5f x f xge minus⎡ ⎤⎣ ⎦





( ) ( )1 1 1

4

0 0 0




( ) ( )( )1 1 1 34

1 1 10 0 0

4 3 4 4 3 13f x dx f x dx dxλ λ λ


και τελικά

( )1

41

0

13f x dxλ





3 5 7ΡΑ = ΡΒ = ΡΔ =
















No247








( )

( )( )

21 1 12 4

ΑΖΗ

ΑΔΕ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠


( ) ( )

( ) ( )

114 1

ΑΖΗ

ΑΔΕ ΑΖΗ

ΕhArr = hArr

Ε minusΕ minus

( )

( )( ) ( )

1 13 3


ΔΕΗΖ


Ε

άρα

( )1 12 4 3





( )

( )

21 12 4

ΑΔΕ

ΑΒΓ

Ε ⎛ ⎞= =⎜ ⎟Ε ⎝ ⎠



( ) ( )21 0 1f x xf x x Rx





( ) ( )21 2f y yf yy


⎝ ⎠


1xy

=


( ) ( )2

1 1 1 3f f yy y y

⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) 1f y fy

⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠

προκύπτει

( ) 22

1 1 1 1 12 2

f y y f yy y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus = minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Δηλαδή


( ) 21 1 02

f x x xx

⎛ ⎞= + ne⎜ ⎟⎝ ⎠



( )3 12


+ + le+ + +


Είναι


= =+ + + + + +


( )1 02

ab a b a ble + gt


( )1 32

xy x yxy z x z y z

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠


( )

( )

1 42

1 52

yz y zyz x y x z x

zx z xzx y z y x y

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞le +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠














No248





( ) ( ) ( )2 1 0 1f x xf x+ minus = Αν






Δηλαδή



( )2

12

42



( ) ( )2 4 4

2x xf x minus + +

=


δηλαδή





0 01 4 290 54α α α= = =

και

( )0 0 0 0 03 360 90 90 54 126α = minus + + =



1 4 2 30 0 0

90 54 126025 015 035360 360 360

f f f f= = = = = = =



4

110 0 25 20 015 30 035 40 025

25 3 105 10 26

i ii

x x f=


= + + + =

sum

Δηλαδή

26x =

Xi fi Fi

10 025 025 20 015 040 30 035 075 40 025 1






1010102020 203030304040 40


50 51 30 30 302 2

t tδ

+ += = =



3 4 18ν νν ν ν+ =

Δηλαδή

3 43 4

18 18 18 30060

f ff f

νν

+ = rArr = = =+

















1 1 1 1 2 4 8 16


No249













( )( )

43

43

0

0

x xf x

x x



( ) ( ) ( ) ( )4 113 3

4 43 3




( )134

3f x xprime =


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4 4

13 33

0 0 0 0

0lim lim lim lim 0

0x x x x

f x f x xx



minus minus

( ) ( )4

133

0 0 0

0lim lim lim 0

0x x x


minus= = =

minus Άρα

( )( )

( )

13

13

4 034 03

x xf x

x x




( ) ( ) ( )1 13 3

1 1 2 24 4 13 3





( ) ( ) ( )1133

3 3 14 4 23 3


και όμοια

( ) ( )13

4 24 33




( ) ( ) ( )8 0 8

1 1 0




( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0



( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 8 0 84 4 4 4

3 3 3 3

1 0 1 0



( ) ( ) ( ) ( )

0 844 11 33

7 7

1 0

3 3 30 1 2 0 2 14 4 7 7 71 13 3

x x++

minus


+ +




( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 412


αβ βγ γα

+ + ++ + ge















No250



1 1 1 1 0 0 0 0 0116 8 4 2ν

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫Δ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭





( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

1 3 1

x

x



( ) ( )3

2

1 2f x dx =int


( ) ( )1

x






( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 3 2

1 3 1 1

2 1 1 2

1 3 3 1

1

0



= + =

= minus =

int int int int

int int int int

Δηλαδή


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 1



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3

1 1 2 2





( ) ( )1

x



Άρα




( ) ( ) ( ) ( )2

1


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

3 2 3

1 1 22 22

1 1

3 3 3 3 3

1 3 2


f t dt f t dt



int int int

int int

δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )2

1








( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2

1

2 2 0 4x


τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 2 2x



δηλαδή

( ) ( ) ( )( )1



( ) ( ) ( )24 4 2 4H f F= minus





( ) ( ) [ ]2 2 04f x F x xgt isin



( )

2 2 2

2

826

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +












No251












( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 12 1 2 1 0


minus + minus + =


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 12 1 2 2 1 1 1


κι ακόμα

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2 12 2

2 1 2 2 1 1

1 0 62 1




( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 7f x f x f x f xΑ = + +





( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 11 1

3 22 2

0 42

0 52

xf x f x

xf x f x

+ + =

+ + =



( )213 0D f x= minus =

τότε


( )22f xΑ =


τότε




( ) ( )2 1

2 1

0f x f x

x xminus

ltminus



( )( ) ( )( ) ( )13 1 1 0

2f x

f f x f f xminus


( )( ) ( )( ) ( )131 1 02

f xf f x f f x


και τελικά

( )13 0

2f x

x xminus

+ + = δηλαδή














( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint















No252





( )3 3 3

2 1α β γ αα β γ+ +

=+ +



( )3 3 2β γ α β γ+ = + rArr







12

συνΑ =




0120Β+Γ =


( )3 12

ax

a

e dxminus

rangint


1aax x a a a

aaa

e dx e e e ee

minus

minusminus


δηλαδή

( )2 1 2

a ax

aa

ee dxeminus

minusΙ = =int


( )2 1 3 3

2

a

a

eeminusrang


( ) ( )( )

2

2

3 2 1 3

2 3 2 0 4

a a

a a

e e

e e


hArr minus minus gt





1 21 22

x x= minus =


1 22

x xlt minus or gt


1 22





σχέση (7)
















No253














( )2ββ γ


ΒΓ ΓΔ


( )0

0 0 0

70 370 80 80β λ λημβ



( )0

0 0 0

40 440 120 120γ λ λημ

γημ ημ ημ

= rArr =


( )0 0

0 0

70 120 540 80



( )0

0 0 0

80 680 50 50


= hArr =


( )0 0 0

0 0 0

70 120 80 740 80 50


=




00 03 1 16050 2 20

2 2συνημ ημ


⎝ ⎠






( )0 0 030 40 20συν ημhArr + = hArr




080x =ΟΒΓ =



[ ] [ ]1 x ax x x Ra














No254




λεπτά( 260


2 )


29100 100

60 4733165431 10 min2

t minus= = Χ



( ) ( )2





( )1x yα = +

( )2 2 2xβ ω= +


( ) ( ) ( )1 42

y xωΑΒΓΕ = +


Σχήμα 1



( )( )( ) ( )14


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 54



θα έχουμε

( ) ( ) ( )( )( )( )33





δηλαδή


( )( )( ) ( ) ( )3

3 63




( ) ( ) ( ) ( ) ( )14


( ) ( ) ( )3

23

1 14 3 4 3 3


+ +le + + = + +

sdot

άρα

( ) ( ) ( )21 74 3 3



( ) ( )21 12 4 3 3



( ) ( )212 3 3




( ) ( )22 2 2 26 3 y x y x x yω ω ω+ le + + + + +


( ) ( )2








( ) ( )0

4f x x f x xdxπ

ημ συν= + int














100

29

00005ί

tψηφ α

asymp



No255




2 2

2 2 1x ya b+ =


με aΕΚ +ΕΛ =




2 2 1x ycα β



( ) ( )2 22 2 2 21 2r x y r x yγ γ= + + = minus +

Σχήμα 1






( )( )2 21 2 1 21 2

1 21 2

4422


γγαα


+ =+ =

( )1

1 2

1 2 2

23

2

xx rr rxr r r


= +minus =hArr hArr

+ = = minus


γεα

=


bull Αν 1 22



bull Αν 1 22



Σχήμα 2



bull Αν 1 22





378 Αν





Σχήμα 3

Σχήμα 4









( )112 1

4 2Ε

Ε = = Ε


( )2 2

14 216 2Ε

Ε = = Ε


( )3 3

18 364 2Ε

Ε = = Ε


1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν νΣ = Ε + Ε +Ε + + Ε = Ε + Ε + Ε + + Ε

No256


1 2 3 2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν ν ν

⎛ ⎞Σ = Ε +Ε +Ε + +Ε = + + + + Ε⎜ ⎟⎝ ⎠



2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =




( )2 2

2 2 1 1x ya b+ =






= + = minus







21 2x xγ γ α+ =

και τελικά

( )2

1 2 52 2

x x αγ

+=


( )1 2 1 2 62 2

x x y yx yΜ Μ

+ += =


2x ctα


( )2

2

x αεγ



( )1 1w zz





Λύση




1 4 45 3


+ = + + rArr = =+


( ) ( )2 2

2 2 15 2 3

2

a b+ =



( ) ( )( ) 1 1 12

d z w w z z zz z



2 2 2 5w w aminus + + = ΝΕ +ΝΕ = =















2 3

1 1 1 1 12 2 2 2ν+ + + + + =


2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν



όπου


1aωinfin= minussum


1 1 1 11 2 3 4 ν

+ + + + + +


No257






( )02 ) 1

2ΒminusΓ







Σχήμα 1


( )

4διχ

φ ρΔΘ=




0 0180 1802 2 2


= minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠







( ) ( )

( )

44

2 2 22 2

RR

RR

αβγαβγ



hArr = hArr =


1 2

4 3

2 2

2 2

x xR Rx x

y yR Ry y


β γ δ α

= =+ + + +

= =+ + + +

Άρα

( )

( )

1 2

3 4

2

2

x x Rx x

y y Ry y


β γ δ α

+ = ++ + + +

+ = ++ + + +


x x y yx x y y


+ = ++ + + + + + + +



xyαγ βδ+ =



( ) ( ) ( )0

1x


















No258











Έστω ότι



( ) ( )2

2

2

1ln 1

1

xx x x dx

x

primeminus


int

( )2

2


2

11

x dxx

minus =minus

int

( )2

22ln 1

1xx x dx

x= minus minus =

minusint

( )2

22

1 1ln 11

xx x dxxminus +


( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx

x x= minus minus +

+ minusint int


Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )2 1ln 1 1 11 1

x x dx dxx x




( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 1 1x x x xΑ Β

= ++ minus + minus



10 21 1

2


Επομένως

( ) ( )2

1 1 11 2 1 2 1x x x= minus

minus minus +


( ) ( )1 1 1

1 1 2 1 2 1dx dxdx

x x x x= minus =


1 1 1 1ln 1 ln 1 ln2 2 2 1

xx x c cxminus



( ) ( )( )2 1ln 1 1

1 1x x dx dx


+ minusint int

( )21

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



Έστω ότι



( )22

1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



( )2 1 1ln 1 ln2 1

xx x x cxminus



1 2 iz I Ri

λλminus

= isin isin+


( )( )

( )( )

( ) ( )2

2 2

1 2 2 1 22 21 1

i i ii i izi i



Άρα


( ) ( ) ( )2010 4 502 2 220101 2 12

iz i z i i ii


+


















No259







και



Λύση Είναι

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 1 2 1

1 2 1

z z z z z z

z z z


= + minus + +

δηλαδή

( ) ( ) ( )222 1 1 4z z z= + minus +


( ) ( ) ( )2 22 21 1 1 1 1 1 2z z z z+ minus + le + + + le + =

δηλαδή

( ) ( ) ( )22 1 1 2 5z z+ minus + le





τότε










( ) ( )12

x f xf x

+⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠




( )0 0f x xne





( ) ( )0 00 4

2x f x

x+

gt


( ) ( )0 002

x f xf f x

+⎛ ⎞gt⎜ ⎟

⎝ ⎠




( )0 0f x xlt








( )( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ +ΕΒ











No260













[ ]1 2 x x a bisin


( )m f x Mle le


( ) ( ) ( ) limx a

f x f af a

x ararr +

minus=

minus


( ) ( )lim 0x a

f x f ax ararr +

minuslt

minus


( ) ( ) 0f x f a

x aminus

ltminus






( ) ( ) ( ) limx b

f x f bf b

x brarr minus

minus=

minus


( ) ( )lim 0x b


minusgt

minus


( ) ( ) 0f x f b

x bminus

gtminus

κι επειδή





















x y kx y kx y k

x y k














No261

Σ









( )2 2 2 2 2 21 32 3 12 3



x

y ω


( ) ( )3 32 33 3

α βλ μ= =



( )2 2

2 03 32 603 3 3 3



( ) ( )2 2 2 03 2 60 5y aα γ γσυν= + minus Β +



( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 0 2 2 0

2 20 0

2 60 2 60

60 60 72













Α Β

Άρα




( ) ( ) ( ) ( )0 0 160 60 82



( )2 2 12 2


= Γ minus Α



( )2 2 2 2 2 2

102 2



2 2


minus = minus hArr




y ω= Άρα

















No262







( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 2 33 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 3 2 3 2 2

3 2 3 2 2 2

6 3 2 2

a b a a b ab b

a a b ab b

a ab a b b

+ = + + sdot + =

= + + sdot + =

= + + + rArr



( )( )

2 23 2

2 3 2 2

6 206 203 2 14 3 2 14


⎫+ =⎫+ = ⎪ ⎪hArr⎬ ⎬+ = + =⎪⎭ ⎪⎭





2 1a b= = Άρα

( )32 2 20 14 2+ = +



( )32 2 20 14 2+ = +


( ) ( )( ) ( )

3 33 3 3 320 14 2 20 14 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4


= + + minus =


( ) 99 12 1 3 2 4 3 16 15x x x x

+ + + + =+ + + +



( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 16 15 99

2 1 3 2 4 3 16 15







3 99 33x x= hArr =




( )( )2

4 α β αβημφ

α β

minus=

+


προκύπτει


( )2y α ββ

α β+

= sdotminus

Άρα


( )( )2

42 2 x

yα ββ



ΚΛ ΟΚ + +





e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠














( )( )

1





No263

SA

SX

υA υX

S=100m



1009

t υΧ=



( )1ΑΜ ΑΔ=


=ΓΝ ΒΓ






( ) ( ) 3 41 10 0

x x

y y

λβ λβλ λΜ Σ

Μ Σ

minus⎧ ⎧= =⎪ ⎪Μ Σ+ minus⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

όπου

( )5λ ΑΔ=ΒΓ


Α equiv

Σχήμα 1


( )1 2

1 2

1 6

1

x xx

y yy

λλλλ

Ν

Ν

+⎧ =⎪⎪ +Ν ⎨ +⎪ =⎪ +⎩

( )

1 2

1 2

1 7

1

x xx

y yy

λλλλ

Τ

Τ



( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Ν ΜΜΝ

Ν Μ

+minusminus ++= = =


δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

8y yx x

λλ

λ βΜΝ

+=

+ minus

και

( )

1 2

1 2

1 2 1 2

01

1 1

y yy y y y

x xx x x x

λλλλ

λ λβ λ βλ λ

Τ ΣΣΤ

Τ Σ


δηλαδή

( ) ( )1 2

1 2

9y yx x

λλλ βΣΤ

minus=

minus minus



( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

1y y y yx x x x




( )1 2

1

2 2 2

22 22

1y y

x x

λ

λ β

minus= minus hArr

minus minus

( )1 2 1


( )1 1 2


( )1 1 2


( )( )1 1

2

2 22

2 22

10x y

x yλ

β

+=

minus +

Όμως

1

2 21x yΑΔ = + και ( )2 2


( )( )

2 222 2 1 1

22 22 2

11x yx y




( ) ( )

2 2 2 21 1 1 1

2 22 22 2 2 2

x y x yx y x yβ β

+ +=

minus + minus +




12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +














( )2 3

1 1 1 1 12 2 2 2

S ν= + + + + +


2 3

1 1 1 1 2 2 2 2ν


( )2

1 1 1 100 10 1 210 10 10

S ν= + + + + + + +


2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν


No264



100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus




( )1ΑΜ ΑΔ=


=ΓΝ ΒΓ







1λλ

ΟΑ + ΟΒΟΜ =

+

1λλ


minus



1λλ

ΟΔ + ΟΓΟΝ =

+

1λλ


minus


( )3λ ΑΔ=ΒΓ


είναι

1 1λ λλ λ


+ +

( ) ( )1

λ

λ


+

( )1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓ=

+

δηλαδή

( )( )4

1

λ

λ

ΑΔ + ΒΓΜΝ =

+


είναι

1 1λ λλ λ


+ +

( ) ( )1

λ

λ


minus

( )1

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus


( )( )5

1

λ

λ


minus



και ΣΤ


Πράγματι

( ) ( )1 1

λ λ

λ λ


( ) ( )2 22

21

λ

λ

ΑΔ minus ΒΓ=

minus

Δηλαδή

( ) ( )( )

2 22

2 61

λ

λ


minus


( )( )

( ) ( )2

2 22 22 0λ λ λ



0ΜΝ sdotΣΤ =


ΜΝ perp ΣΤ


389 Αν


ν ημ α=

minus




+ =minus =














No265







θα έχουμε





1΄ ΄΄ ΄

βλ



sdot sdotΟΒ

1γ λ

=minus

δηλαδή

΄β

γ λΟΒ

=ΟΒ minus


΄ ΄β β



Άρα

( ) ( )4΄ββ γ λ

ΟΒ = ΒΒ+ minus


( ) ( ) ( )2 21 5β λγ β λ α βλ β λβ γ λ β


1΄ ΄΄ ΄

β λλ



sdot sdotΟΓ

1γ=

δηλαδή

΄γ

β λΓΟ

=ΟΓ minus


΄ ΄γ γ



άρα

( ) ( )6΄γβ γ λ

ΟΓ = ΓΓ+ minus


( ) ( ) ( )2 21 7γ λβ γ λ α γλ γ λβ γ λ γ




ββ γ λ

sdot+ minus

( ) ( )2 21 λγ β λ α βλ β λβ

γβ γ λ


=+ minus





( )2

1 10αλβ γ

=+


( )2



+




10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος












No266

















1 2 1 2φ φ ω ω= =


1 2 1 2 90φ φ ω ω+ + + = Άρα









( )22 2 2 5

2συνφ


sdot ΑΜ sdotΑΝ



( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 145 452 2 2



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

64



( ) ( ) ( )1 72



( )22 2 2 8

2ημφ


sdot ΑΜ sdotΑΝ



45οφ =



( )

( )( )

11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦













No267





( )β γαsdot

ΟΖ = Ι




Άρα


( )1Γ = ΖΑΔ




Άρα

( )

( )

2 2 2

22 4R Rα αΑΒΓ

ΑΔΖ

Ε ΒΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ε ΑΔ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

κι ακόμα

( ) ( ) ( )2

2



( ) 4Rαβγ

ΑΒΓΕ =


( ) ( )

2

2


2R2α

αsdot

4βγR

Rβγα

= sdot

δηλαδή



( ) ( ) ( ) ( )1 1 22 2




sdot = sdot rArr =



βγα

ΟΖ ge


Σχόλιο





( ) ( ) 2 62h h RR

αα


ΑΔ ΒΓ


( ) ( )2 2 72

RRβ β

βΑΜ ΑΓ ΑΜ



2h h βα β

α= rArr =
















No268



0



0

0

limi

i

t t

S t S tt trarr

minusminus

η






= = gtΑΓ ΑΒ




( ) ( )( ) ( ) ( )3λ λΒΕΓ ΕΓ



και

( ) ( )( ) ( ) ( )4μ μΒΓΔ ΔΒ


Επομένως



( )( )






( )( )

( )( )



δηλαδή

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )2 3 4 x xy x

μλ


ΡΔΕ ΡΕΓ minus



( )( )1 1y


=+ minus

ή ακόμα


= minus+ minus




0 12


λμle minus lt lt

minus


( )2 0 1 102

y ω ω με ωω

le minus lt ltminus




max3 5 5 5 11

2 2f f


⎝ ⎠


5 5 112

y minusle


( )max

5 5 112minus

ΡΔΕ =



99

999 1έφορ ς





Σχήμα 2












No269




1 1 1

1 1 1

3)2

1 1 1 6)

i R

iiR

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge




( )( )

( )( )

( )( )

1 1 1

1 1 1



( ) ( ) ( )( )

( )( )


= = =ΑΟΒ ΑΒΓ

Δηλαδή

( )1 1 1

1 1 1

1 1ΟΑ ΟΒ ΟΓ+ + =

ΑΑ ΒΒ ΓΓ



1 1 1

1 1 1


ΑΑ ΒΒ ΓΓ

1 1 1 1 1 1


1 1 1

2R R RR R R


( )2 2 2

2 2 21 1 1

2 2R R RR R R R R R



2 2 2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R


( )( ) ( ) ( )

2

2 2 21 1 1

R R RR R R R R R

+ +ge =


( )2

21 1 1

93

RR R

=+ ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ

δηλαδή

( ) ( )

2 2 2

2 2 21 1 1

2

21 1 1

9 33

R R RR R R R R R

RR R




( )2

21 1 1

9 23

RR R


δηλαδή

( )2 21 1 19 2 3R R R⎡ ⎤le + ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ⎣ ⎦

και τελικά

1 1 132R

ΟΑ +ΟΒ +ΟΓ ge



( )

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

1 1 1 1 41 1 1R R R


ΑΑ ΒΒ ΓΓ

rArr + + =+ + +

ΟΑ ΟΒ ΟΓ


( )2

1 1 1 1 1 1

1 1 11 1 11 1 11 1 1 3

R R RR

+ ++ + ge

⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΑ ΟΒ ΟΓ⎝ ⎠


( )2

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 11 3 91 1 1 3

RR


και τελικά

1 1 1

1 1 1 6R



( )222 21 21 2

1 2 1 2

x x xxx x νν


+ + + ge+ + +


1 2

1 2

xx x ν

να α α= = =




















No270








( )( ) 21 1 1 1 1f f = minus + = Δηλαδή

( )( ) ( )1 1 3f f =


( )( )( ) ( )( ) ( )21 1 1 1f f f f f= minus +


( ) ( ) ( )21 1 1 1f f f= minus + δηλαδή












( ) 4






1


ή ακόμα

( )1 1 1 7 υυ ββ γγge +


( )1 1 1 22 8 ββ γγ ββ γγ ββ γγ+ ge =



και τελικά




( )2 2 21 2 3 0 3z z z+ + =



( ) ( ) ( )21 2 3 1 2 2 3 3 12 4z z z z z z z z z+ + = + +


1 2 31 2 3

1 1 1 z z zz z z

= = =


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

1 2 3

2 2 21 2 2 3 3 1

21 2 2 3 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 10 0 0

0

2 5

z z z z z zz z z

z z z z z z


⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = rArr + + = rArr + + = rArr⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rArr + + = rArr




1 2 3 0z z z+ + ne Άρα


1 2 3 2z z zrArr + + =
















ά ώά ό



No271




( )3

1 2 32

( ) ( )ln1 2 1




( )1 1xω = + άρα

( ) 112 1

d x dx dxx

ω prime= + =+






3

12

21

dxIx x

ω= =

+int ( )2 1dω

ω ωminus

2 2

23 3

21dω

ω=

minusint int

και επειδή

2

2 1 11 1 1ω ω ω= minus

minus minus +

άρα 2 2

1 23 3

2 1 11 1 1

I d dω ωω ω ω


2 2





( ) ( )( ) ( )3 1 3 2ln 3 1 ln 3 3 1 ln ln

33 3 1+ +



( )( )

2

2 1 2

2 12 12 1 4

xdxI x x x dxx x

I x x dx x x dx

= = + minus + rArr+ + +


int int

int int




1 12 2



3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

12 42 23 1 5 3 5 31 1

2 2 2 2



Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

1 12 42 2 55 3





1 12 2




3 1 5 31 1 5 32 2 2 22 2

22 2

3 1 5 3 5 31 12 2 2 2



Και τελικά

( ) ( ) ( )5 32 2

2 22 21 1 55 3


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 3 5 32 2 2 2

2 1 2 2

5 3 5 32 2 2 2

1 2

2 4 2 22 2 1 15 3 5 3

2 4 2 22 2 1 1 ( )5 3 5 3

I x x c x x c

x x x x c c




1ln x d dx dx xdx


έχουμε


x x xω ω ωω ω

= = = = + = +int int int


3 ln(ln )I x c= +





f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +














No272


























1 2 3

1 1 1 18+ + ge

Ε Ε Ε Ε















( )2 22 2 2t tυ υΒΓ = Χ = rArr Χ =

No273





τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )22 0 13 0 7 1P P+ =







( )12

13 15 2 113 225 4 4 20

13 15 282 2 74 4

ZP

Z





7b = minus






13272433

a Z

a Z

a Z







( ) ( )

( )

2

1

22 3

( ) 0 1 6 7 0

1

6 7 0 3 2 3 2

P x x x x

x

x x x x


































No274















( )

( ) ( )

2009

2009

2009 2008

2010 1005 2 0

2010 2010 0

0 1 0 4

f x x x

x x

x x x x


hArr minus = hArr



( )( ) ( )2007 20061 1 0 5x x x x xminus + + + + =






( )

( )

2

2

1)

2 1)1

n xi f x n Nx

ii g xx x

συν

ημ συν

minus= isin

= minusminus


( ) 2


= =

( )( )2 1

2

1 1 nx x x xx


( ) ( )2 12

11 nx

x x xxσυν


( )2

2 12

22 1

42

n

x

x x xx


⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

2 12

1 2 1 2

2

n

x

x x xx


⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) 20 0

1lim limn

x x

xf xxσυν

rarr rarr

minus= =

( )2

2 120

1 2lim 1 2

2

n

x

x

x x xx


rarr

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦


( )2

2 120 0

1 2lim lim 1 2

2

n

x x

x

x x xx


rarr rarr

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡ ⎤= + + + + =⎣ ⎦⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1 1 1 12 2

n έn

φορ ς⎡ ⎤⎢ ⎥= + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

Άρα

( )0

lim2x

nf xrarr

=


( ) 2 20 0 0 2


2x x x


⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞


20 02 2 2 2

2 1 2 1lim lim2 4 2


⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= minus = minus =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟sdot⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22

0 02 2

11 1 22lim lim2 2

2 2x x

xx

x x

ημσυν


minus= =

sdot 2

2xημ 2

1 1 12 1 2

2xσυν= sdot =

sdot

Άρα

( )0

1lim2x

g xrarr

=
















No275







( )2 12

R =







( )( )1 22 2 2

245R


= = = =minus

( ) ( )2 245οημθ ημ θ

ΡΑ ΡΒ= =

minus





δηλαδή



( ) ( ) ( )2 590 45ο οημ θ ημ θΡΓ ΡΔ

= =minus +





( ) ( ) ( )1 12 2 22 2




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1f b f a

f a f bb aminus

gt gtminus



( )1 1 1ln 21

xx x x

+gt gt


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3f b f a

a b fb a

ξ ξminus

primeisin =minus




( ) ln 0f x x x= gt



( ) ( ) ( )( )ln 1 lnln ln 1

1x x



1x

x x x+

gt gt+



2ΑΕ ΑΚsdot =















No276






( )99 (1)2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟







[ ]0 0 0 2 3 100x x x

α αisin minus



⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( )0 52xf ⎛ ⎞ ltΜ⎜ ⎟

⎝ ⎠


( )( ) ( )3 5

0 0 0099

2 3 100x x xf x f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

99

99 έφορ ς




0

2xf ⎛ ⎞ =Μ⎜ ⎟

⎝ ⎠


0 0 02 3

2 2 2x x xf f f ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=Μ =Μ =Μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎝ ⎠


( )

0

0

lim lim2

lim 72

xf

xf

νν ν

νν


rarr+infin

⎛ ⎞Μ = rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Μ = ⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( )0

20lim lim 0

2

x

xf f fνω

νν νω

=


⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠



( ) ( )0 9fμ = άρα







45οΕΑΖ =


( ) ( )12


404 Αν















( ) ( )( )lim 0 lim 0x x




No277



( )0

lim 0x

xημrarr

=




( )3 3

3 3 22 3 2y zx + + ge



( ) ( )1 1


a bx y=


( ) ( )1 1



1 1 1p q+ = τότε

( ) ( )1 1



1 2

1 2

n

n

aa ab b b= = =

a b cx y z= =




τότε

( ) ( ) ( )1 1 1

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2


n n n

a a a b b b c c c

a b c a b c a b c

+ + + + + + + + + ge


1 2 1 2

1 2 1 2

n n

n n


και= = = = = =




( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 2

11 12 1 21 22 2 1 2

11 21 1 12 22 2 1 2

k

k k k

p p pn n k k kn


a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

+ + + + + + + + + ge





( ) ( )3 3

3111 1232 3y zx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



άρα


( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1 1

1 1 1 1 1 11 3 33 333 3 3 3 3 331 1 1 2 1 3

2 3y zx


⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )13x y z= + + =

Άρα

( ) ( )1

3 31 1333 31 1 1 1 2 3 3

2 3y zx

⎛ ⎞+ + + + + + ge⎜ ⎟

⎝ ⎠


( ) ( )1

3 3 3 31 133 3 33 3

3 3 3 33 3

3 6 3 18 32 3 2 3

27 3 32 3 18 2 2 3 2

y z y zx x

y z y zx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge rArr + + ge rArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

rArr + + ge = rArr + + ge⎜ ⎟⎝ ⎠






1ΑΡ ΑΤ+ =












2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν



10λ με λ= lt




αrarr+infin

=


100 1000 1111111 91 10S α

ω= = = =

minus minus


No278






( )( ) ( )2

lim 1 1x

f xf xrarr+infin

=


lim 1 22x

f xf xrarr+infin

=




( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )2 3 4

2 02 2 2

f x f x f xf x

f x f x f xlt lt gt

Άρα

( )( )

( )( ) ( )3 4

1 42 2

f x f xf x f x

lt lt


( )( )

( )( )( )

( )( )

( )122 24 2lim lim lim 1

2 2

x u

x x u


=


δηλαδή

( )( ) ( )4

lim 1 52x

f xf xrarr+infin

=



( )( )3

lim 12x

f xf xrarr+infin

=












Όμως








12

ΒΔ=













No279











( ) ( ) ( )3 1 23 3

αΔΜ = = ΔΖ

Σχήμα 1










( )

( ) ( )1 2


Σχήμα 2

Μ

Ν


( ) 2 452





και τελικά










Σχήμα 3











2

1 1 1100 10 1 10 10 10ν


No280




368 Αν

( )1x ay az a


= ⎫⎪= ⎬⎪= ⎭


( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1x ay a x y zz a

ημ φημ ω

ημ φσυν ω

συν φ

⎫=⎪

rArr = rArr + + =⎬⎪= ⎭


( )1


( )1


Άρα








π ω πminus lt le









Σχήμα 1








60οΑ =



( )( )2a bc

a b a c+ +













No281





( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 4

12 14 4 4


αβ βγ γα

+ + ++ + ge








σχέση


( ) ( )2 24

54

α β γγ

αβ

+ge



2 246

4β γ α

αβγ

+ge


( ) ( )2 24

74

γ α ββ

γα

+ge


( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 24 4 412



+ + ++ + ge + + =




( )( )2 2 2

2

826 1

1

x y zx y z

xy xz yz

+ + =+ + =

+ = +


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2 2

8 81 2 26 19

1 1


xy xz yz xy xz yz

+ + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + minus + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+ = + + = +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( )

2 2

8 819 19 2

19 1 3 18 0


yz yz yz yz

⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + = + + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr + + = hArr + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

minus = + + minus =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭



( )( )

8 819 19

3 3


yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭


( )( )

8 819 19

3 3


yz yz

+ + = + + =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = hArr + + = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )( )

( )( )

8 816 8 16

3 3


yz yz


( ) ( )( )22

888 16 0 4 0

3 3

x y zx y zx x x

yz yz


⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) 8 44 43 3

x y z y zx xyz yz

+ + = + =⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪hArr = hArr = hArr⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭⎩ ⎭

( ) 2

4 44 4

4 3 4 3 0

z y z yx x

y y y y



















No282






( ) ( ) ( )1

0

2 1 2f x dx fgeint


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

0 0

11

00

1

0

2 2

2 2

2 1 2

f x dx x f x dx

xf x xf x dx

f xf x dx

prime= =

prime= minus =

prime= minus

int int

int

int

Δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( ) ( )1 1

0 0


( ) ( )1 1

0 0




( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( ) ( )1 1

0 0



( ) ( )1

0

4 2 1f x dx fgeint

και τέλος

( ) ( )1

0

2 1f x dx fgeint





Σχήμα 1



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1k = ΔΑ = ΔΝ ΔΒ = ΔΜ ΔΓ








κύκλο ( )2c


και ( )2c







Σχήμα 2










No283






[ ] [ ] ( )1 1x ax x x Ra




( )1 10 0 1 2a a⎡ ⎤ = rArr lt lt⎢ ⎥⎣ ⎦





[ ]( )

[ ] [ ]211 1 1 1 2a a a




[ ] [ ]( )

[ ] ( ) [ ]211 1 1 1 1 1a a a


δηλαδή









( )2( ) 2 1c y px=


( ) ( )1 1y y p x x+ = +


δηλαδή




⎝ ⎠




( ) 4pxxy

α β ΝΝ

Ν

= minus = minus



( )2


ΝΝ Ν Ν Ν

Ν



( )2 1 52

y pxΝ Ν= minus



p pprime = minus




σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β















4) Ἀριθμοί




No284







( ) ( ) ( )0

4 1f x x f x xdxπ

ημ συν= + int


( ) ( ) ( )0



⎝ ⎠int

Δηλαδή



( ) ( )

( )

0

0

0 0

4

4 4

4 4

f x x f x xdx

x x c xdx

x x xdx c xdx

π

π

π π

ημ συν

ημ ημ συν


= + =

= + + =

= + + =

int

int

int int

( )( ) ( )0 0




( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) [ ][ ] [ ]

004 2

4 2 0 0

4 1 1 0 0 4

x x c x

x c c

x c c x



ημ ημ

= + minus + =


Τελικά







( ) ( ) ( )( ) ( )00

1 1 1 0e f f egtlt

Η Η = minus lt





( ) ( ) 00

ln 0x f x xgtge





378 Αν 0x y z ge





2

2 2

x zxy z xy z

y z

xy z x y xy x y z




και τελικά




















No285

Σχήμα 1

Σχήμα 2










άρα


κι ακόμα 2 2 21 4 1 4 1 4 R R R



2 2 24 4 4 4R R Rαβ βγ γα

+ + ge hArr

2


hArr + + ge hArr

2

1 2R



1 1 12 R R Rρ

ge hArr ge hArr

( )2

1 1 2 22

RR R

ρρ

hArr ge hArr ge





είναι





( ) ( ) ( ) ( )0

1 1x



( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

1x x x x



( )( ) ( ) ( ) ( )0

1 1 2x




( ) ( )( )0

1x

g x f x dt= +int


( ) ( )1g x f xprime = +



( )( ) ( ) ( )( )0

1 1x


⎝ ⎠int


( ) ( )1 1

1f x x


+

επομένως


( )( ) ( ) ( ) ( )0

0

1 0 1 0 0 0f t dt f f+ = + rArr =int







3a b cabc



S = + + + +

(mateforumro)












No286

Σχ 1

Σχ 2









( ) ( )2





( )2

34α

ΜΓsdotΜΔ lt







2 2 22 22 cos 2 cos


⎝ ⎠δηλαδή

( )2


⎝ ⎠









[ ]0x aisin








ctΜΓ=

ΝΔ (wwwmathvn)










No287





( ) ( )1 2ΕΓ +ΕΔ = + ΕΑ+ΕΒ













Σχήμα 1

( C )



2 2

2 2 1 0x yC a ba b+ = gt


( )2 2

1 12 2 1 1a b

a b+ =


( )1 12 2 1 2xa yb

a b+ =



( )1 12 2

2 21 1

1 41 1

a ba b a ka b kb

k= = rArr = =


( )2 2

1 1

1 5x yCka kb

+ =





(mathematicagr)














No288


Σχήμα 3









[ ]( ) [ ] ( )12 2f m M=


( )( )

1

2

m f x M

m f x M

le le

le le

άρα

( )( )

( )1

2

2007 2007 20073

4 4 4

m f x M

m f x M

le le ⎫⎪⎬

le le ⎪⎭



( ) ( ) ( )1 22007 44

2011f x f x

m M+

le le


( ) ( ) [ ]1 22007 4

2011f x f x

y m M+

= isin




( ) ( ) ( )1 22007 42011 o

f x f xf x

+=

ή ακόμα

( ) ( ) ( )1 22007 4 2011 of x f x f x+ =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22007 45

2011f x f x

G x f x+

= minus



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 2

2007 4 4 62011 2011



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 1

2007 4 2007 72011 2011




( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 14 2007 0




( ) ( ) ( )1 22007 40

2011o

f x f xf x

+minus =

δηλαδή




ώστε







3k aba b ka bminus

+ + ge+












No289








e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠



προκύπτει


( ) ( )ln 1ln 11

xxx x

+gt


( ) ( )ln 0 2xf x xx





( ) 2










( ) ( )1 11 1e e

eee

ee e e e e


⎝ ⎠

δηλαδή

11e

ee

⎛ ⎞+ lt⎜ ⎟⎝ ⎠



( )1 12 2 2

a b ca b b c c a

+ + le+ + +





( )max1f f ee

= =

+infin



( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2 21 2 2 32 2


+ +ge rArr ge

+ ++ + + +


( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 2

2 22 24 5

2 2c c ca a a ab


ge ge+ ++ + + +


( )

2 2 2

22 2 2 1


b a c b a c a b c+ + + + +

+ + ge =+ + + + +

δηλαδή

12 2 2

b c ab a c b a c

+ + ge+ + +

κι ακόμα

1 1 1 1 32 2 2

b c ab a c b a c


2 2 2 22 2 2



2 2 2 22 2 2a b c



και τελικά

12 2 2

a b cb a c b a c

rArr + + le+ + +

















No290












( )3 4x y z+ + ge Άρα

( ) ( ) ( )( )

( )4






389 Αν


ν ημ α=

minus





2





2



sdot + sdot

( )2

2

11




sdot + sdot

( )2



sdot + sdot

Όμως

( )( )

11




+ sdot

1



⎛ ⎞minus⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠


2

2



minus sdot

= =sdot + sdot

( )2


minus sdot=

sdot + sdot

δηλαδή

( ) ( )2



=sdot + sdot


( )1εφ α β

νεφα

minusminus =

δηλαδή




( ) 52 3 2 2 02


(MATHVNCOM)


1 2 3 4 0z z z z r= = = = gt Εάν


2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + +

(Mateforum)












No291







2 2 1

2 2

x y

x y



+ =

minus =


( )2 2 1 0 3Dημθ συνθ




2 22 2 2








2 22 2 2

2yDημθ αημ θ


= = minus =




Δηλαδή



yx DDx yD D

= =


( )2 231

xDxD


minus

δηλαδή


2 2(3 )1

yDy


= =minus

δηλαδή


x y+ =








( ) ( )22 32x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦

κι ακόμα


( ) ( )32 22x y α ημθ συνθ⎡ ⎤+ = + hArr⎣ ⎦



( ) ( ) ( )2233 1 2 10x y α ημ θ+ = +




( ) ( )22 233 3 2x y x y α+ + minus =







( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +













No292





10101 101010101 1010101010101 δεν είναι πρώτος



2 3 41 10101 1 0 0x a a a a= = + sdot + + sdot +

δηλαδή

( )2 41 1 1x a a= + +


( )2 4 6 82 1 2x a a a a= + + + +


μορφής



4 22 4 4

2

4 2

2

11 1

11

nn

n

n

n

a ax a a aa

axa

+


minusminus

=minus


κι ακόμα

( )22 14 2 2 1 2 1

2 2

11 1 11 1 1 1

nn n n

n

aa a axa a a a


minus minus minus +

δηλαδή

( )2 1 2 11 1 5

1 1

n n

na ax

a a

+ +minus += sdot

minus +


( ) ( )2 2 1 2 2 2 1 2 1 1m n






2

2 2 2 4 42 4

2 4

1 1

1 1

n n

n n

a aa a a a a aa a

a a

+

= ⎫⎪lt ⎪⎪rArr + + + + lt + + + +lt ⎬⎪⎪




Σχόλιο





10101010101010101n

nx =

όπου



4 2 4 1 4

4 2 4 3 4 4

4

4 1

4 5

4 52 4 3 4 4

6 5 4 3

10 10 10

10 10 10

10 1

10 0

10 0

10 010 0

0 1010

1 0 1

1 0 1

1 0 11 0 110 10

k

k

k k kn

k k k

k k kk

x + +

minus minus minus

minus minus

minus

minus

minus

minus




+ sdot + sdot +

sdot

sdot +

sdot

sdot +

sdot2 1 010 110

+

+ sdot + sdot +

δηλαδή 4 4 4 4101 110 10 01 101 11 010k k

















No293






( )

( )( )

( )11

11 1

nn

nnn

fxx f

x xminus

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= minus Α⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 22

11 1 1 1 1

f xx f x f x f x x



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

1

11 1 1

nn nn

n

f xx f x

xminus

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 1

2

11 1 2

nn nn

n

f xx f x

x

++ +

+⎡ ⎤ = minus⎣ ⎦


( ) ( ) ( )( )( )

1 11 1n


( )( )( )

( ) ( )( )( )

1 1 11 1 1n n


( )( ) ( )( )( )

( )1 11 1n



( )( ) ( )( )( 1)

( )1 11 1

n

nn nx f x x x f x

minus


( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 1 1n



( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)( 1)

( )1 1 11 1 1nn



( )( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( ) ( )1 1 11 1 1n



( )( ) ( )( )( 1)

( )1 12 1 1n



( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 1)

( )1 1 11 2 1 1n



( ) ( ) ( )( ) ( )( )( 2 )

( )1 1 11 3 1 1n





( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1

( ) ( 1) ( )1 1 1

1

1 1 1

nn

n n nn n n

x f x


+

+minus minus minus

⎡ ⎤ =⎣ ⎦prime⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦


( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )(1)

1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +


⎢ ⎥⎣ ⎦


( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1 11 1 1

n nn n

n n

f x f xn x

x x+ +


⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 1

2( 1)

11 1

1 1 1 11

nn

n

n nn nn

n

f xn

xf x x x n x f x

xx

+

+ +

+

= minus + +


( )( ) ( ) ( )1

11 1

nn

n

f xn

x += minus +

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

2 2 2 2

1 1 1 11 1

n n nnn n

n n

f x x x n x f xx x

x x

+ +

+ +

+



( ) ( )11

nnx f x+

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ( )( ) ( )1 1

12

11

n nn

n

f x xx

+ ++

+

sdotminus




3 2γ β α+ le


2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ



2 200...Ο Διογένης ο Λαέρτιος, ιστοριογράφος του 3ου μ. Χ....

Documents

Transcript of 2 200...Ο Διογένης ο Λαέρτιος, ιστοριογράφος του 3ου μ. Χ....