2 ( ) 2 x,y,z .ψ x,y,z,t ∂Ψ - Facultad de IngenieríaEfecto de Zeeman: los niveles energéticos...
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EcuaciEcuacióón de n de SchrSchröödingerdinger
-h2
2m ( )+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2
∂Ψ ∂t
h = h / 2πψ(x,y,z,t) ... función (compleja) de onda
|ψ (x,y,z,t) |2 ... puede entenderse como la probabilidadde encontrar la partícula en estudio en las coordenadas x,y,z,t.
V(x,y,z) ... función de energía potencial
i = (-1)1/2
EcuaciEcuacióón estacionaria n estacionaria de de SchrSchröödingerdinger
Ψ(x,t) = Ψ(x) e-iEt / hSolución unidimensional:
-h2
2m ( ) + V(x) Ψ = E Ψd2Ψdx2
Oscilador ArmOscilador Armóóniconico
mk’
x
x
E
12V = k’ x2 V
Una masa m se mueve con energía E, en un campo:
Notar que la fuerza F = - dVdx
SoluciSolucióón Cln Cláásica delsica delOscilador ArmOscilador Armóóniconico
E = 12 k’ x2 + 1
2 m v2 … la energía se conserva
haciendo ω = k’/m
2E/m = ω2 x2 + dxdt( )2
… ecuación diferencial (1)
de solución conocida:
x(t) = A sen (ωt + δ); con A = 2Ek’
SoluciSolucióón Cun Cuáántica delntica delOscilador ArmOscilador Armóóniconico
Considerando la energía estacionaria E en la ecuación de Schrödinger, por separación de variables se tiene que:
Ψ(x,t) = Ψ(x) e-iEt / h
por lo que se deberá resolver la ecuación estacionaria:
)-h2
2m ( + V Ψ = Ed2 Ψdx 2
12V = k’ x2con
cuyas soluciones se basan en los polinomios de Hermite
Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)
Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h
Derivando para verificar que es una solución:
y llevando este valor a la ecuación diferencial:
- k’m x / hd Ψdx
= C e- k’m x2 / 2 h( ) - k’m x / h= Ψ( )
d2Ψdx 2 = - k’m / h Ψ( ) - k’m x / h+ Ψ( )2
)(12
d2 Ψdx 2 = 2m
h2k’ x2 - E
resulta:Ψ
Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)
Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h
Derivando para verificar que es una solución:
- k’m x / hd Ψdx
= C e- k’m x2 / 2 h( ) - k’m x / h= Ψ( )
d2Ψdx 2 = - k’m / h Ψ( ) - k’m x / h+ Ψ( )2
)(12
d2 Ψdx 2 = 2m
h2k’ x2 - E
resulta:
x2
Ψ
Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)
Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h
Derivando para verificar que es una solución:
- k’m x / hd Ψdx
= C e- k’m x2 / 2 h( ) - k’m x / h= Ψ( )
d2Ψdx 2 = - k’m / h Ψ( ) - k’m x / h+ Ψ( )2
)(12
d2 Ψdx 2 = 2m
h2k’ x2 - E
resulta:
E0
Ψ
La energía E0 del estado base es entonces:
E0 = h2
k’m = h.f
2= h.ω2
Un análisis similar de la Ecuación de Schrödinger demuestra que existen n niveles posibles de energía, donde:
En = (n + ½) hf ; n = 0, 1, 2, 3, ....
EV
xE0
E1=3 E0
E2=5 E0
La energía está cuantizada(ΔE= hf ). Su mínimo no es nulo, pues el reposo (p = 0) en x = 0, no atendería al principio de incertidumbre: Δp Δx ≥ h.
ΔE= hf
Consideremos nuevamente el estado de mínima energía:
Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h ... con energía E0 = h f / 2
La constante C puede ser calculada a partir de la condición:
∫Ψ(x) 2 dx = 1 ∞
-∞
recordando la integral definida:∫ dx =∞
-∞e-ax2 π
a
de donde C4 = k’m / h
Oscilador ArmOscilador ArmóóniconicoMecánica Clásica Mecánica Cuántica
La energía puede tener cualquier nivel continuo.
La energía solo puede tener valores discretosEn= (n+½) hf
Cambios en los niveles de energía pueden tomar cualquier valor.
Cambios en los niveles de energía solo ocurren en cuantos ΔE= hf
El cuerpo puede estar en reposo en x = 0.
El nivel de energía mínimo es E0=hf/2. No existe reposo absoluto en x=0.
El cuerpo no puede estar en
| x | > A = (2E / k’)1/2
El cuerpo si puede estar en | x | > A = (2E / k’)1/2
El El ÁÁtomotomo
FÍSICA IIIFacultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Asunción
FÍSICA IIIFacultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Asunción
EcuaciEcuacióón de n de SchrSchröödingerdinger-h2
2m ( )+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2
∂Ψ∂ t
Considerando el Laplaciano
Ψ =∇2 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2
Ψ =∇2 ∂∂r
1r2 ( )r2
∂Ψ∂ r + 1
r2 sen2 θ
∂2 Ψ∂ϕ2 + 1
r2 sen θ∂∂ θ( )sen ∂Ψ
∂ θ
y
x
z
en coordenadas esféricas
θ
ϕ
r
Espectros AtEspectros Atóómicosmicos
H2
Fuente de luz Red de Difracción Espectro de líneas
Espectro de líneas del Hidrógeno [1885]:
1λ = R ( );1
m21
n2- m < n; m = 1,2,3, ...
constante de Raydberg: R = 1.09731 x 107 m-1
Serie de Lyman: m=1, n=2,3,4, .....Serie de Balmer: m=2, n=3,4,5, .....Serie de Brackett: m=3, n=4,5,6, .....
ÁÁtomo detomo de Bohr Bohr (1913)(1913)rn
rm
de (2) y (1) En = - e2
8πεrn
12
e2
4πεrE = K + U = mv2 - (1)
F = e2
4πεr2 = mv2
r(2)
En - Em = - +e2
8πεrn
e2
8πεrm= hf
Cantidad de movimiento angular:Ln = mv.rn = n h / 2π; n = 1,2,3 ...
(A)
(B)Serie del H2
de (A) y (B)
Niveles EnergNiveles Energééticos del ticos del ÁÁtomo de tomo de BohrBohr
-13.58 eV
-3.40 eV
-1.51 eV
-0.85 eV-0.54 eV
0.00 eV
Serie deLyman
Serie deBalmer(visible)
Serie dePaschen
(IR)
Serie deBracket
Número cuántico principal n = 1
n = 2
n = 3
Estado Base
Experimento de Experimento de Zeeman Zeeman (1896)(1896)Se comparó el espectro de emisión de un átomo:
1. en condiciones normales (sin campo externo);2. en presencia de campo magnético externo en dirección Z.
… y se verificó que, conforme lo predice la física cuántica:
1. El Momentum Angular orbital está cuantizado:
⏐L⏐ = ( l(l+1))1/2 h l= 0, 1, ….., (n – 1)l…..número cuántico del momentum orbital angular
2. El Momentum Angular orbital en la dirección Z está cuantizado:
⏐Lz⏐ = ml h ml = l, (l-1), …, 1, 0, -1, …, -(l-1), -l
ml …..número cuántico magnético
Niveles energéticos sin campo externo
Nivel Base
n
Niveles energéticos con campo magnético
Nivel Base
ml = 0ml = -1ml = -2
ml = 2ml = 1
Efecto de Efecto de ZeemanZeeman: : los niveles energéticos se degeneran en subniveles (o subcapas)
Experimento de Experimento de Stern Stern y y GerlachGerlach (1921)(1921)Un haz de átomos de plata, pasó por un campo magnético no homogéneo y chocó con una placa fotográfica, verificándose la existencia de un momentum angular intrínseco S.
S
Goudsmit y Uhlenbeck (1925) sugirieron que el electrón posee un momentum intrínseco llamado spin.
⏐S⏐ = ( s(s+1))1/2 h s= ½ … para el electrón
⏐Sz⏐ = ms h ms = s,s-1
Nivel Base
n
Nivel Base
n; l n; l
Principio de ExclusiPrincipio de Exclusióón de n de PauliPauli (1921)(1921)
Considerando que el comportamiento de un electrón queda determinado por 4 números cuánticos (n, l, ml, ms) y la imposibilidad de distinguir 2 electrones de igual comportamiento, Wolfgang Pauli, propuso en 1924 el siguiente principio:
Dos electrones no pueden tener el mismo conjunto de números cuánticos (n, l, ml, ms)
Esto explica la conformación de la tabla periódica de los elementos.
NotaciNotacióón Espectroscn EspectroscóópicapicaValor de n: 1 2 3 4 …..Notación: K L M N ….. capa
Valor de l: 0 1 2 3 4 …..Notación: s p d f g …..
sub-capal= 0, 1, ….., (n – 1)
ml = l, (l-1), …, 1, 0, -1, …, -(l-1), -l
ms = ± ½
Por el principio de exclusión de Pauli, una sub-capa l solo puede tener hasta 2(2l+1) electrones.
Valor de l: 0 1 2 3 4 …..Notación: s p d f g …..
Número máximo 2 6 10 14 18 …de electrones:
K 1s
2s2pL
M
N
O
Capa
3s3p
4s3d4p
5s4d5p
NivelNúmeromáximo
NúmeroTotal
2
62
62
6102
6102
2
10
18
36
54
Tabla PeriTabla Perióódica de los Elementosdica de los Elementos
EbulliciónFusión
Densidad
Peso atómicoValencia
Número atómico
Estructura atómica
http://www.mcgraw-hill.es/bcv/tabla_periodica/mc.html
ElectrodinElectrodináámica Cumica Cuáánticantica
La Electrodinámica cuántica(o QED – Quantum ElectroDynamics)
mejora las ecuaciones de Schrödinger y representa a la fecha, el estado del arte en física moderna.
El estudio de partículas sub-atómicas (Física de Partículas) y la Cosmología, están dando origen a
nuevas fronteras de la física teórica, generando teorías, como “El modelo estándar de la historia del universo” y
la “Teoría de la Gran Unificación”.