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Ecuaci Ecuaci ó ó n de n de Schr Schr ö ö dinger dinger -h 2 2m ( ) +V(x,y,z)(x,y,z,t) = i.h 2 Ψ 2 Ψ 2 Ψ x 2 y 2 z 2 Ψ t h = h / 2π ψ(x,y,z,t) ... función (compleja) de onda (x,y,z,t) | 2 ... puede entenderse como la probabilidad de encontrar la partícula en estudio en las coordenadas x,y,z,t. V(x,y,z) ... función de energía potencial i = (-1) 1/2

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EcuaciEcuacióón de n de SchrSchröödingerdinger

-h2

2m ( )+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2

∂Ψ ∂t

h = h / 2πψ(x,y,z,t) ... función (compleja) de onda

|ψ (x,y,z,t) |2 ... puede entenderse como la probabilidadde encontrar la partícula en estudio en las coordenadas x,y,z,t.

V(x,y,z) ... función de energía potencial

i = (-1)1/2

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EcuaciEcuacióón estacionaria n estacionaria de de SchrSchröödingerdinger

Ψ(x,t) = Ψ(x) e-iEt / hSolución unidimensional:

-h2

2m ( ) + V(x) Ψ = E Ψd2Ψdx2

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Oscilador ArmOscilador Armóóniconico

mk’

x

x

E

12V = k’ x2 V

Una masa m se mueve con energía E, en un campo:

Notar que la fuerza F = - dVdx

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SoluciSolucióón Cln Cláásica delsica delOscilador ArmOscilador Armóóniconico

E = 12 k’ x2 + 1

2 m v2 … la energía se conserva

haciendo ω = k’/m

2E/m = ω2 x2 + dxdt( )2

… ecuación diferencial (1)

de solución conocida:

x(t) = A sen (ωt + δ); con A = 2Ek’

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SoluciSolucióón Cun Cuáántica delntica delOscilador ArmOscilador Armóóniconico

Considerando la energía estacionaria E en la ecuación de Schrödinger, por separación de variables se tiene que:

Ψ(x,t) = Ψ(x) e-iEt / h

por lo que se deberá resolver la ecuación estacionaria:

)-h2

2m ( + V Ψ = Ed2 Ψdx 2

12V = k’ x2con

cuyas soluciones se basan en los polinomios de Hermite

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Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)

Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h

Derivando para verificar que es una solución:

y llevando este valor a la ecuación diferencial:

- k’m x / hd Ψdx

= C e- k’m x2 / 2 h( ) - k’m x / h= Ψ( )

d2Ψdx 2 = - k’m / h Ψ( ) - k’m x / h+ Ψ( )2

)(12

d2 Ψdx 2 = 2m

h2k’ x2 - E

resulta:Ψ

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Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)

Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h

Derivando para verificar que es una solución:

- k’m x / hd Ψdx

= C e- k’m x2 / 2 h( ) - k’m x / h= Ψ( )

d2Ψdx 2 = - k’m / h Ψ( ) - k’m x / h+ Ψ( )2

)(12

d2 Ψdx 2 = 2m

h2k’ x2 - E

resulta:

x2

Ψ

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Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)

Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h

Derivando para verificar que es una solución:

- k’m x / hd Ψdx

= C e- k’m x2 / 2 h( ) - k’m x / h= Ψ( )

d2Ψdx 2 = - k’m / h Ψ( ) - k’m x / h+ Ψ( )2

)(12

d2 Ψdx 2 = 2m

h2k’ x2 - E

resulta:

E0

Ψ

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La energía E0 del estado base es entonces:

E0 = h2

k’m = h.f

2= h.ω2

Un análisis similar de la Ecuación de Schrödinger demuestra que existen n niveles posibles de energía, donde:

En = (n + ½) hf ; n = 0, 1, 2, 3, ....

EV

xE0

E1=3 E0

E2=5 E0

La energía está cuantizada(ΔE= hf ). Su mínimo no es nulo, pues el reposo (p = 0) en x = 0, no atendería al principio de incertidumbre: Δp Δx ≥ h.

ΔE= hf

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Consideremos nuevamente el estado de mínima energía:

Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h ... con energía E0 = h f / 2

La constante C puede ser calculada a partir de la condición:

∫Ψ(x) 2 dx = 1 ∞

-∞

recordando la integral definida:∫ dx =∞

-∞e-ax2 π

a

de donde C4 = k’m / h

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Oscilador ArmOscilador ArmóóniconicoMecánica Clásica Mecánica Cuántica

La energía puede tener cualquier nivel continuo.

La energía solo puede tener valores discretosEn= (n+½) hf

Cambios en los niveles de energía pueden tomar cualquier valor.

Cambios en los niveles de energía solo ocurren en cuantos ΔE= hf

El cuerpo puede estar en reposo en x = 0.

El nivel de energía mínimo es E0=hf/2. No existe reposo absoluto en x=0.

El cuerpo no puede estar en

| x | > A = (2E / k’)1/2

El cuerpo si puede estar en | x | > A = (2E / k’)1/2

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El El ÁÁtomotomo

FÍSICA IIIFacultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Asunción

FÍSICA IIIFacultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Asunción

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EcuaciEcuacióón de n de SchrSchröödingerdinger-h2

2m ( )+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2

∂Ψ∂ t

Considerando el Laplaciano

Ψ =∇2 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2

Ψ =∇2 ∂∂r

1r2 ( )r2

∂Ψ∂ r + 1

r2 sen2 θ

∂2 Ψ∂ϕ2 + 1

r2 sen θ∂∂ θ( )sen ∂Ψ

∂ θ

y

x

z

en coordenadas esféricas

θ

ϕ

r

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Espectros AtEspectros Atóómicosmicos

H2

Fuente de luz Red de Difracción Espectro de líneas

Espectro de líneas del Hidrógeno [1885]:

1λ = R ( );1

m21

n2- m < n; m = 1,2,3, ...

constante de Raydberg: R = 1.09731 x 107 m-1

Serie de Lyman: m=1, n=2,3,4, .....Serie de Balmer: m=2, n=3,4,5, .....Serie de Brackett: m=3, n=4,5,6, .....

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ÁÁtomo detomo de Bohr Bohr (1913)(1913)rn

rm

de (2) y (1) En = - e2

8πεrn

12

e2

4πεrE = K + U = mv2 - (1)

F = e2

4πεr2 = mv2

r(2)

En - Em = - +e2

8πεrn

e2

8πεrm= hf

Cantidad de movimiento angular:Ln = mv.rn = n h / 2π; n = 1,2,3 ...

(A)

(B)Serie del H2

de (A) y (B)

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Niveles EnergNiveles Energééticos del ticos del ÁÁtomo de tomo de BohrBohr

-13.58 eV

-3.40 eV

-1.51 eV

-0.85 eV-0.54 eV

0.00 eV

Serie deLyman

Serie deBalmer(visible)

Serie dePaschen

(IR)

Serie deBracket

Número cuántico principal n = 1

n = 2

n = 3

Estado Base

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Experimento de Experimento de Zeeman Zeeman (1896)(1896)Se comparó el espectro de emisión de un átomo:

1. en condiciones normales (sin campo externo);2. en presencia de campo magnético externo en dirección Z.

… y se verificó que, conforme lo predice la física cuántica:

1. El Momentum Angular orbital está cuantizado:

⏐L⏐ = ( l(l+1))1/2 h l= 0, 1, ….., (n – 1)l…..número cuántico del momentum orbital angular

2. El Momentum Angular orbital en la dirección Z está cuantizado:

⏐Lz⏐ = ml h ml = l, (l-1), …, 1, 0, -1, …, -(l-1), -l

ml …..número cuántico magnético

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Niveles energéticos sin campo externo

Nivel Base

n

Niveles energéticos con campo magnético

Nivel Base

ml = 0ml = -1ml = -2

ml = 2ml = 1

Efecto de Efecto de ZeemanZeeman: : los niveles energéticos se degeneran en subniveles (o subcapas)

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Experimento de Experimento de Stern Stern y y GerlachGerlach (1921)(1921)Un haz de átomos de plata, pasó por un campo magnético no homogéneo y chocó con una placa fotográfica, verificándose la existencia de un momentum angular intrínseco S.

S

Goudsmit y Uhlenbeck (1925) sugirieron que el electrón posee un momentum intrínseco llamado spin.

⏐S⏐ = ( s(s+1))1/2 h s= ½ … para el electrón

⏐Sz⏐ = ms h ms = s,s-1

Nivel Base

n

Nivel Base

n; l n; l

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Principio de ExclusiPrincipio de Exclusióón de n de PauliPauli (1921)(1921)

Considerando que el comportamiento de un electrón queda determinado por 4 números cuánticos (n, l, ml, ms) y la imposibilidad de distinguir 2 electrones de igual comportamiento, Wolfgang Pauli, propuso en 1924 el siguiente principio:

Dos electrones no pueden tener el mismo conjunto de números cuánticos (n, l, ml, ms)

Esto explica la conformación de la tabla periódica de los elementos.

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NotaciNotacióón Espectroscn EspectroscóópicapicaValor de n: 1 2 3 4 …..Notación: K L M N ….. capa

Valor de l: 0 1 2 3 4 …..Notación: s p d f g …..

sub-capal= 0, 1, ….., (n – 1)

ml = l, (l-1), …, 1, 0, -1, …, -(l-1), -l

ms = ± ½

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Por el principio de exclusión de Pauli, una sub-capa l solo puede tener hasta 2(2l+1) electrones.

Valor de l: 0 1 2 3 4 …..Notación: s p d f g …..

Número máximo 2 6 10 14 18 …de electrones:

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K 1s

2s2pL

M

N

O

Capa

3s3p

4s3d4p

5s4d5p

NivelNúmeromáximo

NúmeroTotal

2

62

62

6102

6102

2

10

18

36

54

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Tabla PeriTabla Perióódica de los Elementosdica de los Elementos

EbulliciónFusión

Densidad

Peso atómicoValencia

Número atómico

Estructura atómica

http://www.mcgraw-hill.es/bcv/tabla_periodica/mc.html

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ElectrodinElectrodináámica Cumica Cuáánticantica

La Electrodinámica cuántica(o QED – Quantum ElectroDynamics)

mejora las ecuaciones de Schrödinger y representa a la fecha, el estado del arte en física moderna.

El estudio de partículas sub-atómicas (Física de Partículas) y la Cosmología, están dando origen a

nuevas fronteras de la física teórica, generando teorías, como “El modelo estándar de la historia del universo” y

la “Teoría de la Gran Unificación”.