2 ( ) 2 x,y,z .ψ x,y,z,t ∂Ψ - Facultad de IngenieríaEfecto de Zeeman: los niveles energéticos...

Click here to load reader

  • date post

    27-Dec-2019
  • Category

    Documents

  • view

    7
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 2 ( ) 2 x,y,z .ψ x,y,z,t ∂Ψ - Facultad de IngenieríaEfecto de Zeeman: los niveles energéticos...

  • EcuaciEcuacióón de n de SchrSchröödingerdinger

    -h22m ( )+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2 ∂Ψ ∂th = h / 2πψ(x,y,z,t) ... función (compleja) de onda

    |ψ (x,y,z,t) |2 ... puede entenderse como la probabilidadde encontrar la partícula en estudio en las coordenadas x,y,z,t.

    V(x,y,z) ... función de energía potencial

    i = (-1)1/2

  • EcuaciEcuacióón estacionaria n estacionaria de de SchrSchröödingerdinger

    Ψ(x,t) = Ψ(x) e-iEt / hSolución unidimensional:

    -h22m ( ) + V(x) Ψ = E Ψd2Ψdx2

  • Oscilador ArmOscilador Armóóniconico

    mk’

    x

    x

    E

    12V = k’ x

    2 V

    Una masa m se mueve con energía E, en un campo:

    Notar que la fuerza F = - dVdx

  • SoluciSolucióón Cln Cláásica delsica delOscilador ArmOscilador Armóóniconico

    E = 12 k’ x2 + 12 m v

    2 … la energía se conserva

    haciendo ω = k’/m

    2E/m = ω2 x2 + dxdt( )2 … ecuación diferencial (1)de solución conocida:

    x(t) = A sen (ωt + δ); con A = 2Ek’

  • SoluciSolucióón Cun Cuáántica delntica delOscilador ArmOscilador Armóóniconico

    Considerando la energía estacionaria E en la ecuación de Schrödinger, por separación de variables se tiene que:

    Ψ(x,t) = Ψ(x) e-iEt / h

    por lo que se deberá resolver la ecuación estacionaria:

    )-h22m ( + V Ψ = Ed2 Ψdx 2 12V = k’ x2concuyas soluciones se basan en los polinomios de Hermite

  • Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)

    Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h

    Derivando para verificar que es una solución:

    y llevando este valor a la ecuación diferencial:

    - k’m x / hd Ψdx

    = C e- k’m x2 / 2 h( ) - k’m x / h= Ψ( )

    d2Ψdx 2

    = - k’m / h Ψ( ) - k’m x / h+ Ψ( )2

    )(12d2 Ψdx 2 = 2mh2 k’ x2 - E resulta:Ψ

  • Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)

    Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h

    Derivando para verificar que es una solución:

    - k’m x / hd Ψdx

    = C e- k’m x2 / 2 h( ) - k’m x / h= Ψ( )

    d2Ψdx 2

    = - k’m / h Ψ( ) - k’m x / h+ Ψ( )2

    )(12d2 Ψdx 2 = 2mh2 k’ x2 - E resulta:x2

    Ψ

  • Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)

    Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h

    Derivando para verificar que es una solución:

    - k’m x / hd Ψdx

    = C e- k’m x2 / 2 h( ) - k’m x / h= Ψ( )

    d2Ψdx 2

    = - k’m / h Ψ( ) - k’m x / h+ Ψ( )2

    )(12d2 Ψdx 2 = 2mh2 k’ x2 - E resulta:E0

    Ψ

  • La energía E0 del estado base es entonces:

    E0 =h2

    k’m =

    h.f2=

    h.ω2

    Un análisis similar de la Ecuación de Schrödinger demuestra que existen n niveles posibles de energía, donde:

    En = (n + ½) hf ; n = 0, 1, 2, 3, ....

    EV

    xE0

    E1=3 E0

    E2=5 E0

    La energía está cuantizada(ΔE= hf ). Su mínimo no es nulo, pues el reposo (p = 0) en x = 0, no atendería al principio de incertidumbre: Δp Δx ≥ h.

    ΔE= hf

  • Consideremos nuevamente el estado de mínima energía:

    Ψ(x) = C e- k’m x2 / 2 h ... con energía E0 = h f / 2

    La constante C puede ser calculada a partir de la condición:

    ∫Ψ(x) 2 dx = 1 ∞

    -∞

    recordando la integral definida:∫ dx =∞

    -∞e-ax

    2 πa

    de donde C4 = k’m / h

  • Oscilador ArmOscilador ArmóóniconicoMecánica Clásica Mecánica Cuántica

    La energía puede tener cualquier nivel continuo.

    La energía solo puede tener valores discretosEn= (n+½) hf

    Cambios en los niveles de energía pueden tomar cualquier valor.

    Cambios en los niveles de energía solo ocurren en cuantos ΔE= hf

    El cuerpo puede estar en reposo en x = 0.

    El nivel de energía mínimo es E0=hf/2. No existe reposo absoluto en x=0.

    El cuerpo no puede estar en

    | x | > A = (2E / k’)1/2El cuerpo si puede estar en

    | x | > A = (2E / k’)1/2

  • El El ÁÁtomotomo

    FÍSICA IIIFacultad de Ingeniería

    Universidad Nacional de Asunción

    FÍSICA IIIFacultad de Ingeniería

    Universidad Nacional de Asunción

  • EcuaciEcuacióón de n de SchrSchröödingerdinger-h2

    2m ( )+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2 ∂Ψ∂ tConsiderando el Laplaciano

    Ψ =∇2 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ

    ∂x2 ∂y2 ∂z2

    Ψ =∇2 ∂∂r

    1r2 ( )r2 ∂Ψ∂ r + 1r2 sen2 θ ∂

    2 Ψ∂ϕ2

    + 1r2 sen θ

    ∂∂ θ( )sen ∂Ψ∂ θ

    y

    x

    z

    en coordenadas esféricas

    θ

    ϕ

    r

  • Espectros AtEspectros Atóómicosmicos

    H2

    Fuente de luz Red de Difracción Espectro de líneas

    Espectro de líneas del Hidrógeno [1885]:

    1λ = R ( );

    1 m2

    1 n2

    - m < n; m = 1,2,3, ...

    constante de Raydberg: R = 1.09731 x 107 m-1Serie de Lyman: m=1, n=2,3,4, .....Serie de Balmer: m=2, n=3,4,5, .....Serie de Brackett: m=3, n=4,5,6, .....

  • ÁÁtomo detomo de Bohr Bohr (1913)(1913)rnrm

    de (2) y (1) En = -e2

    8πεrn

    12

    e24πεr

    E = K + U = mv2 - (1)

    F = e2

    4πεr2 =mv2

    r(2)

    En - Em = - +e2

    8πεrne2

    8πεrm= hf

    Cantidad de movimiento angular:Ln = mv.rn = n h / 2π; n = 1,2,3 ...

    (A)

    (B)Serie del H2

    de (A) y (B)

  • Niveles EnergNiveles Energééticos del ticos del ÁÁtomo de tomo de BohrBohr

    -13.58 eV

    -3.40 eV

    -1.51 eV

    -0.85 eV-0.54 eV

    0.00 eV

    Serie deLyman

    Serie deBalmer(visible)

    Serie dePaschen

    (IR)

    Serie deBracket

    Número cuántico principal n = 1

    n = 2

    n = 3

    Estado Base

  • Experimento de Experimento de Zeeman Zeeman (1896)(1896)Se comparó el espectro de emisión de un átomo:

    1. en condiciones normales (sin campo externo);2. en presencia de campo magnético externo en dirección Z.

    … y se verificó que, conforme lo predice la física cuántica:

    1. El Momentum Angular orbital está cuantizado:

    ⏐L⏐ = ( l(l+1))1/2 h l= 0, 1, ….., (n – 1)l…..número cuántico del momentum orbital angular

    2. El Momentum Angular orbital en la dirección Z está cuantizado:

    ⏐Lz⏐ = ml h ml = l, (l-1), …, 1, 0, -1, …, -(l-1), -lml …..número cuántico magnético

  • Niveles energéticos sin campo externo

    Nivel Base

    n

    Niveles energéticos con campo magnético

    Nivel Base

    ml = 0ml = -1ml = -2

    ml = 2ml = 1

    Efecto de Efecto de ZeemanZeeman: : los niveles energéticos se degeneran en subniveles (o subcapas)

  • Experimento de Experimento de Stern Stern y y GerlachGerlach (1921)(1921)Un haz de átomos de plata, pasó por un campo magnético no homogéneo y chocó con una placa fotográfica, verificándose la existencia de un momentum angular intrínseco S.

    S

    Goudsmit y Uhlenbeck (1925) sugirieron que el electrón posee un momentum intrínseco llamado spin.

    ⏐S⏐ = ( s(s+1))1/2 h s= ½ … para el electrón

    ⏐Sz⏐ = ms h ms = s,s-1

    Nivel Base

    n

    Nivel Base

    n; l n; l

  • Principio de ExclusiPrincipio de Exclusióón de n de PauliPauli (1921)(1921)

    Considerando que el comportamiento de un electrón queda determinado por 4 números cuánticos (n, l, ml, ms) y la imposibilidad de distinguir 2 electrones de igual comportamiento, Wolfgang Pauli, propuso en 1924 el siguiente principio:

    Dos electrones no pueden tener el mismo conjunto de números cuánticos (n, l, ml, ms)

    Esto explica la conformación de la tabla periódica de los elementos.

  • NotaciNotacióón Espectroscn EspectroscóópicapicaValor de n: 1 2 3 4 …..Notación: K L M N ….. capa

    Valor de l: 0 1 2 3 4 …..Notación: s p d f g …..

    sub-capal= 0, 1, ….., (n – 1)

    ml = l, (l-1), …, 1, 0, -1, …, -(l-1), -l

    ms = ± ½

  • Por el principio de exclusión de Pauli, una sub-capa l solo puede tener hasta 2(2l+1) electrones.

    Valor de l: 0 1 2 3 4 …..Notación: s p d f g …..

    Número máximo 2 6 10 14 18 …de electrones:

  • K 1s

    2s2pL

    M

    N

    O

    Capa

    3s3p

    4s3d4p

    5s4d5p

    NivelNúmeromáximo

    NúmeroTotal

    2

    62

    62

    6102

    6102

    2

    10

    18

    36

    54

  • Tabla PeriTabla Perióódica de los Elementosdica de los Elementos

    EbulliciónFusión

    Densidad

    Peso atómicoValencia

    Número atómico

    Estructura atómica

    http://www.mcgraw-hill.es/bcv/tabla_periodica/mc.html

  • ElectrodinElectrodináámica Cumica Cuáánticantica

    La Electrodinámica cuántica(o QED – Quantum ElectroDynamics)

    mejora las ecuaciones de Schrödinger y representa a la fecha, el estado del arte en física moderna.

    El estudio de partículas sub-atómicas (Física de Partículas) y la Cosmología, están dando origen a

    nuevas fronteras de la física teórica, generando teorías, como “El modelo estándar de la historia del universo” y

    la “Teoría de la Gran Unificación”.