Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Συνήθεις ∆ιαφορικές ΕξισώσειςΑνώτερης ΤάξηςΓραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςΜιγαδικές ρίζες

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςΓραμμική Ανεξαρτησία

Μανόλης Βάβαλης

Τμήμα Μηχανικών ΗΥ Τηλεπικοινωνιών και ∆ικτύωνΠανεπιστήμιο Θεσσαλίας

17 Μαρτίου 2013 Βόλος

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

A(x)yprimeprime + B(x)yprime + C(x)y = F(x)

ήyprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x) (1)

Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

A(x)yprimeprime + B(x)yprime + C(x)y = F(x)

ήyprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x) (1)

Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

A(x)yprimeprime + B(x)yprime + C(x)y = F(x)

ήyprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x) (1)

Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime + k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = cos kx y2 = sin kxyprimeprime minus k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = ekx y2 = eminuskx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης

Αν y1 και y2 είναι δύο λύσεις της ομογενούς εξίσωσηςτότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

είναι επίσης λύση της για οποιεσδήποτε σταθερές C1και C2

Μπορούμε να προσθέσουμε λύσεις (ή ναπολλαπλασιάσουμε λύσεις με κάποιον αριθμό) και τοαποτέλεσμα να είναι επίσης λύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης - Απόδειξη

´Εστω y = C1y1 + C2y2 Τότε

yprimeprime + pyprime + qy = (C1y1 + C2y2)

primeprime + p(C1y1 + C2y2)prime + q(C1y1 + C2y2)

= C1yprimeprime1 + C2y

primeprime2 + C1py

prime1 + C2py

prime2 + C1qy1 + C2qy2

= C1(yprimeprime1 + py

prime1 + qy1) + C2(y

primeprime2 + py

prime2 + qy2)

= C1 middot 0+ C2 middot 0 = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

A(x)yprimeprime + B(x)yprime + C(x)y = F(x)

ήyprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x) (1)

Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

A(x)yprimeprime + B(x)yprime + C(x)y = F(x)

ήyprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x) (1)

Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

A(x)yprimeprime + B(x)yprime + C(x)y = F(x)

ήyprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x) (1)

Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime + k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = cos kx y2 = sin kxyprimeprime minus k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = ekx y2 = eminuskx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης

Αν y1 και y2 είναι δύο λύσεις της ομογενούς εξίσωσηςτότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

είναι επίσης λύση της για οποιεσδήποτε σταθερές C1και C2

Μπορούμε να προσθέσουμε λύσεις (ή ναπολλαπλασιάσουμε λύσεις με κάποιον αριθμό) και τοαποτέλεσμα να είναι επίσης λύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης - Απόδειξη

´Εστω y = C1y1 + C2y2 Τότε

yprimeprime + pyprime + qy = (C1y1 + C2y2)

primeprime + p(C1y1 + C2y2)prime + q(C1y1 + C2y2)

= C1yprimeprime1 + C2y

primeprime2 + C1py

prime1 + C2py

prime2 + C1qy1 + C2qy2

= C1(yprimeprime1 + py

prime1 + qy1) + C2(y

primeprime2 + py

prime2 + qy2)

= C1 middot 0+ C2 middot 0 = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

A(x)yprimeprime + B(x)yprime + C(x)y = F(x)

ήyprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x) (1)

Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

A(x)yprimeprime + B(x)yprime + C(x)y = F(x)

ήyprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x) (1)

Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime + k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = cos kx y2 = sin kxyprimeprime minus k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = ekx y2 = eminuskx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης

Αν y1 και y2 είναι δύο λύσεις της ομογενούς εξίσωσηςτότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

είναι επίσης λύση της για οποιεσδήποτε σταθερές C1και C2

Μπορούμε να προσθέσουμε λύσεις (ή ναπολλαπλασιάσουμε λύσεις με κάποιον αριθμό) και τοαποτέλεσμα να είναι επίσης λύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης - Απόδειξη

´Εστω y = C1y1 + C2y2 Τότε

yprimeprime + pyprime + qy = (C1y1 + C2y2)

primeprime + p(C1y1 + C2y2)prime + q(C1y1 + C2y2)

= C1yprimeprime1 + C2y

primeprime2 + C1py

prime1 + C2py

prime2 + C1qy1 + C2qy2

= C1(yprimeprime1 + py

prime1 + qy1) + C2(y

primeprime2 + py

prime2 + qy2)

= C1 middot 0+ C2 middot 0 = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης

A(x)yprimeprime + B(x)yprime + C(x)y = F(x)

ήyprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x) (1)

Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime + k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = cos kx y2 = sin kxyprimeprime minus k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = ekx y2 = eminuskx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης

Αν y1 και y2 είναι δύο λύσεις της ομογενούς εξίσωσηςτότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

είναι επίσης λύση της για οποιεσδήποτε σταθερές C1και C2

Μπορούμε να προσθέσουμε λύσεις (ή ναπολλαπλασιάσουμε λύσεις με κάποιον αριθμό) και τοαποτέλεσμα να είναι επίσης λύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης - Απόδειξη

´Εστω y = C1y1 + C2y2 Τότε

yprimeprime + pyprime + qy = (C1y1 + C2y2)

primeprime + p(C1y1 + C2y2)prime + q(C1y1 + C2y2)

= C1yprimeprime1 + C2y

primeprime2 + C1py

prime1 + C2py

prime2 + C1qy1 + C2qy2

= C1(yprimeprime1 + py

prime1 + qy1) + C2(y

primeprime2 + py

prime2 + qy2)

= C1 middot 0+ C2 middot 0 = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime + k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = cos kx y2 = sin kxyprimeprime minus k2y = 0 ∆υο λύσεις y1 = ekx y2 = eminuskx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης

Αν y1 και y2 είναι δύο λύσεις της ομογενούς εξίσωσηςτότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

είναι επίσης λύση της για οποιεσδήποτε σταθερές C1και C2

Μπορούμε να προσθέσουμε λύσεις (ή ναπολλαπλασιάσουμε λύσεις με κάποιον αριθμό) και τοαποτέλεσμα να είναι επίσης λύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης - Απόδειξη

´Εστω y = C1y1 + C2y2 Τότε

yprimeprime + pyprime + qy = (C1y1 + C2y2)

primeprime + p(C1y1 + C2y2)prime + q(C1y1 + C2y2)

= C1yprimeprime1 + C2y

primeprime2 + C1py

prime1 + C2py

prime2 + C1qy1 + C2qy2

= C1(yprimeprime1 + py

prime1 + qy1) + C2(y

primeprime2 + py

prime2 + qy2)

= C1 middot 0+ C2 middot 0 = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης

Αν y1 και y2 είναι δύο λύσεις της ομογενούς εξίσωσηςτότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

είναι επίσης λύση της για οποιεσδήποτε σταθερές C1και C2

Μπορούμε να προσθέσουμε λύσεις (ή ναπολλαπλασιάσουμε λύσεις με κάποιον αριθμό) και τοαποτέλεσμα να είναι επίσης λύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης - Απόδειξη

´Εστω y = C1y1 + C2y2 Τότε

yprimeprime + pyprime + qy = (C1y1 + C2y2)

primeprime + p(C1y1 + C2y2)prime + q(C1y1 + C2y2)

= C1yprimeprime1 + C2y

primeprime2 + C1py

prime1 + C2py

prime2 + C1qy1 + C2qy2

= C1(yprimeprime1 + py

prime1 + qy1) + C2(y

primeprime2 + py

prime2 + qy2)

= C1 middot 0+ C2 middot 0 = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα Υπέρθεσης - Απόδειξη

´Εστω y = C1y1 + C2y2 Τότε

yprimeprime + pyprime + qy = (C1y1 + C2y2)

primeprime + p(C1y1 + C2y2)prime + q(C1y1 + C2y2)

= C1yprimeprime1 + C2y

primeprime2 + C1py

prime1 + C2py

prime2 + C1qy1 + C2qy2

= C1(yprimeprime1 + py

prime1 + qy1) + C2(y

primeprime2 + py

prime2 + qy2)

= C1 middot 0+ C2 middot 0 = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας´Εστω ότι οι p q f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οιa b0 b1 είναι σταθερές Η εξίσωση

yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = f(x)

έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξήςαρχικές συνθήκες

y(a) = b0 yprime(a) = b1

Παραδείγματαbull yprimeprime + y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cos x+ b1 sin x

bull yprimeprime minus y = 0 με y(0) = b0 και yprime(0) = b1 rArry(x) = b0 cosh x+ b1 sinh x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστέςyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τοτε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6

Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0

y1 = e2x και y2 = e4xy = C1e

2x + C2e4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμαyprimeprime minus 6yprime + 8y = 0 y(0) = minus2 y

prime(0) = 6Μαντεψιά y = erx Τότε yprime = rerx και yprimeprime = r2erx

yprimeprime minus 6yprime + 8y = 0

r2erx minus 6rerx + 8erx = 0r2 minus 6r + 8 = 0

(r minus 2)(r minus 4) = 0y1 = e2x και y2 = e4x

y = C1e2x + C2e

4x

minus2 = y(0) = C1 + C2 6 = yprime(0) = 2C1 + 4C2

y = minus7e2x + 5e4x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γενικά

ayprimeprime + byprime + cy = 0

Μαντεψιά y = erx

ar2erx + brerx + cerx = 0

χαρακτηριστική εξίσωση ar2 + br + c = 0

Θεώρημα ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικήςεξίσωσης(i) Αν r1 6= r2 isin R rArr y = C1er1x + C2er2x(ii) Αν r1 = r2 isin R rArr y = (C1 + C2x) er1x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0

rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0

rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0

rArr r2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x

rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παραδείγματα

yprimeprime minus k2y = 0 rArr r2 minus k2 = 0 rArr y = C1eminuskx + C2ekx

yprimeprime minus 8yprime + 16y = 0 rArr r

2 minus 8r + 16 = (r minus 4)2 = 0

y = (C1 + C2x) e4x = C1e

4x + C2xe4x

Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις

y = xe4x rArr yprime = e4x + 4xe4x yprimeprime = 8e4x + 16xe4x

yprimeprimeminus8yprime+16y = 8e4x+16xe4xminus8(e4x+4xe4x)+16xe4x = 0

xe4x = Ce4x rArr x = C

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύση

bull ´Εστω r1 6= r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύση

bull ´Οταν r1 rarr r2 τότε er2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παρατηρήσεις

1 Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικάσπάνιο στην πράξη

2 Γιατί η xerx είναι λύσηbull ´Εστω r1 6= r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

είναι μια λύσηbull ´Οταν r1 rarr r2 τότε e

r2xminuser1xr2minusr1

rarr (erx)prime = xerx επίσηςλύση

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Τύπος του Euler

eiθ = cos θ+ i sin θ e

minusiθ = cos θminus i sin θ

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Μιγαδικές ρίζεςar2 + br + c = 0 με b2 minus 4ac lt0 rArr r12 = minusb

2a plusmn iradicb2minus4ac2a

y = C1e(α+iβ)x + C2e

(αminusiβ)x

Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(αminusiβ)x έχουμεy1 = e

αx cosβx+ ieαx sinβxy2 = e

αx cosβxminus ieαx sinβx

Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτόςλύση

y3 =y1 + y22 = eαx cosβx

y4 =y1 minus y22i = eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τηςδιαφορικής εξίσωσης

ayprimeprime + byprime + cy = 0

είναι οι αplusmn iβ τότε η γενική της λύση είναι

y = C1eαx cosβx+ C2eαx sinβx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime + k2y = 0 k gt0

bull Χαρακτηριστική εξίσωση r2 + k2 = 0bull Ρίζες r = plusmnikbull Γενική λύση

y = C1 cos kx+ C2 sin kx

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprime minus 6yprime + 13y = 0 y(0) = 0 yprime(0) = 10

Χαρακτηριστική εξίσωση r2 minus 6r + 13 = 0 με ρίζεςr = 3plusmn 2i και γενική λύση

y = C1e3x cos 2x+ C2e3x sin 2x

0 = y(0) = C1e0 cos 0+ C2e0 sin 0 = C1

Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2e3x sin 2x οπότε

yprime = 3C2e3x sin 2x+ 2C2e3x cos 2x

10 = yprime(0) = 2C2 ή C2 = 5 Αρα y = 5e3x sin 2x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 Cn

Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξηςy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = 0 (2)

Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 y2 yn είναι λύσεις τηςομογενούς εξίσωσης τότε η

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + middot middot middot+ Cnyn(x)είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 CnΘεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οισυναρτήσεις p0p1 pnminus1 και f είναι συνεχείς και οιa b0 b1 bnminus1 είναι σταθερές Η εξίσωσηy(n) + pnminus1(x)y

(nminus1) + middot middot middot+ p1(x)yprime + p0(x)y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τιςπαρακάτω αρχικές συνθήκεςy(a) = b0 y

prime(a) = b1 y(nminus1)(a) = bnminus1

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός y1 y2 yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν ηεξίσωση

c1y1 + c2y2 + middot middot middot+ cnyn = 0έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = middot middot middot = cn = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex eminusx cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες

sinh x = ex minus eminusx

2

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες

1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 0

3 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Είναι οι ex e2x e3x γραμμικά ανεξάρτητες1 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1z+ c2z2 + c3z3 = 0 μεz = ex

2 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1eminus2x + c2eminusx + c3 = 03 c1ex + c2e2x + c3e3x = 0 rArr c1 + c2ex + c3e2x = 0Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε

c2ex + 2c3e2x = 0

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0

y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

yprimeprimeprime minus 3yprimeprime minus yprime + 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 2 yprimeprime(0) = 3

r3erx minus 3r2erx minus rerx + 3erx = 0rArr r3 minus 3r2 minus r + 3 = 0

y = C1eminusx + C2e

x + C3e3x

1 = y(0) = C1 + C2 + C32 = yprime(0) = minusC1 + C2 + 3C33 = yprimeprime(0) = C1 + C2 + 9C3

C1 = minus14 C2 = 1 και C3 = 14

y =minus14 e

minusx + ex +14 e3x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 3yprimeprimeprime + 3yprimeprime minus yprime = 0

r4 minus 3r3 + 3r2 minus r = 0 rArr r(r minus 1)3 = 0

y = (c0 + c1x+ c2x2) ex︸ ︷︷ ︸

όροι προερχόμενοι από την r = 1

+ c4︸︷︷︸από την r = 0

(c0+c1x+middot middot middot+ckminus1xk) eαx cosβx+(d0+d1x+middot middot middot+dkminus1xk) eαx sinβx

όπου c0 ckminus1 d0 dkminus1 είναι τυχαίες σταθερές

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia

Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση y(4) minus 4yprimeprimeprime + 8yprimeprime minus 8yprime + 4y = 0

r4 minus 4r3 + 8r2 minus 8r + 4 = 0

(r2 minus 2r + 2)2 = 0((r minus 1)2 + 1)2 = 0

y = (c0 + c1x) ex cos x+ (d0 + d1x) e

x sin x

• Grammikec SDE 2hc taxhc
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• SDE 2hc taxhc me stajerouc suntelestec
• Migadikec rizec
• Grammikec SDE uyhloterhc taxhc
• Grammikh Anexarthsia