Α1. Παγκόσμιες σταθερές

GN (σταθερά βαρύτητας), h (σταθερά του Planck) και c (ταχύτητα του φωτός στο κενό)

Η κλασσική φυσική (Newton, σταθερά της βαρύτητας GN ) περιγράφει την

συμπεριφορά σωμάτων που είναι όχι πολύ μικρά και που κινούνται με όχι πολύ μεγάλες

ταχύτητες.

Η σταθερά του Planck, h≈ 6,626⋅10-34Js καθορίζει το ελάχιστο όριο δράσης στο

σύμπαν. Επειδή το κάτω αυτό όριο στην αλληλεπίδραση δεν είναι μηδέν (h≠0), η

αιτιοκρατία που χαρακτηρίζει την κλασσική φυσική και που όλοι αντιλαμβανόμαστε, δεν

ισχύει στον μικρόκοσμο, που χαρακτηρίζεται από πιθανολογική προβλεψιμότητα

(κβαντική φυσική).

Η ταχύτητα του φωτός στο κενό, c≈ 3⋅108ms-1, καθορίζει το πάνω όριο στη

ταχύτητα στο σύμπαν. Επειδή το πάνω αυτό όριο δεν είναι άπειρο (c≠∞) ο χώρος και ο

χρόνος που είναι μεγέθη ανεξάρτητα μεταξύ τους στην κλασσική φυσική, αντικαθίστανται

από συμβάντα (σχετικιστική φυσική).

Η φυσική θα ολοκληρωθεί όταν οι τρεις παγκόσμιες σταθερές GN (σταθερά της

βαρύτητας), h ( σταθερά του Planck) και c (ταχύτητα του φωτός στο κενό) θεωρηθούν

ταυτόχρονα (κβαντική βαρύτητα).

Α2. Ειδική θεωρία σχετικότητας (special theory of relativity)

Αναφέρεται σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς (όχι επιταχύνσεις). Θεμελιώθηκε

αξιωματικά από Einstein το 1905:

Οι νόμοι της φυσικής είναι ίδιοι σε κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς (άρα δεν μπορεί να

οριστεί απόλυτο σύστημα αναφοράς).

Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήματα και ανεξάρτητη

από την ταχύτητα της πηγής.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας, έχει σήμερα επιβεβαιωθεί πειραματικά

απολύτως. Αποτελεί μία γενίκευση της σχετικότητας του Γαλιλαίου (οι μετασχηματισμοί

Γαλιλαίου αντικαθίστανται από μετασχηματισμούς Lorentz).

Α3. Μάζα, Ορμή και Ενέργεια

Η μάζα m ενός σώματος εξαρτάται από την ταχύτητά του u:

0mm ×= γ (Α-1)

όπου 21

1β

γ−

= και cu

=β (με c την ταχύτητα του φωτός στο κενό)

Η μάζα mΟ, είναι η μάζα ηρεμίας του σώματος και αναφέρεται σε σύστημα

αναφοράς όπου το σώμα είναι ελεύθερο και ηρεμεί (u=0). Ό όρος γ (the Lorentz factor)

είναι ίσος ή μεγαλύτερος της μονάδας (αν u<< c τότε γ≈1 αν u≈c τότε γ→∞ ).

Η ορμή p ενός σώματος με μάζα ηρεμίας m0 και ταχύτητας u δίνεται από τη σχέση:

umump o ××=×= γ (A-2)

Η ενέργεια Ε ενός σώματος μάζας m, δίνεται από τη σχέση (ισοδυναμία μάζας-

ενέργειας): 2

02 cmcmE ××=×= γ (Α-3)

Άσκηση Α1

Να δείξετε ότι ισχύει: 22

022 )cm()cp(E ×+×= (Α-4)

(Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η ποσότητα E2-(pc)2 είναι αναλλοίωτο μέγεθος, δηλ. μπορεί

να υπολογιστεί ή να μετρηθεί σε οποιαδήποτε σύστημα αναφοράς. Αντίθετα φαίνεται ότι

ορμή ή/και ενέργεια εξαρτώνται από το σύστημα αναφοράς που θα χρησιμοποιηθεί. Βλέπε

π.χ.A8.φαινόμενο Doppler και άσκηση Α15).

Άσκηση Α2

Να υπολογίσετε τη ενέργεια ηρεμίας (σχέση Α-3) των: ηλεκτρονίου

(me=9,1093826⋅10-31 kg), πρωτονίου (mp=1,67262171⋅10-27 kg) και νετρονίου

(mn=1,6749286⋅10-27 kg).

Άσκηση Α3

Το ελεύθερο νετρόνιο δεν είναι σταθερό σωμάτιο, αλλά διασπάται σύμφωνα με την

αντίδραση −+++→ −β

νβ Qpn e . Να δείξετε ότι η αντίδραση αυτή είναι ενεργειακά

δυνατή (εξώθερμη, −βQ >0). [Για τον υπολογισμό της ενέργειας −β

Q της αντίδρασης να

χρησιμοποιηθούν οι τιμές που υπολογίστηκαν στην άσκηση Α2. Να θεωρήσετε ότι το

νετρίνο έχει μηδενική μάζα ηρεμίας]

Άσκηση Α4

Να δείξετε ότι ένα σωμάτιο με μηδενική μάζα ηρεμίας (π.χ. φωτόνιο) πρέπει να

κινείται με την ταχύτητα του φωτός. Πώς συνδέεται η ορμή με την ενέργεια ενός φωτονίου

στο κενό και πως σε ένα μέσο με δείκτη διάθλασης n > 1;

Α4. Κινητική ενέργεια

Η κινητική ενέργεια Κ ενός σώματος με μάζα ηρεμίας m0, ορμή p και ενέργεια Ε

δίνεται από τις σχέσεις: 2

02

0 c)1(mcmEK ×−×=×−= γ (Α-5)

Η σχέση (Α-4) μπορεί να γραφεί:

)cm2K(K)cm(E)cp( 20

220

22 ×+=×−=× (Α-6)

Η τελευταία σχέση (Α-6) δείχνει ότι για σωμάτιο που έχει ενέργεια ηρεμίας (m0c2)

πολύ μεγαλύτερη από την κινητική του ενέργεια K, η κλασσική σχέση p2=2m0K είναι

ικανοποιητική. Αντίθετα, όταν η κινητική ενέργεια του σωματίου δεν είναι αμελητέα σε

σχέση με την ενέργεια ηρεμίας του, πρέπει να χρησιμοποιηθούν σχετικιστικές σχέσεις.

Άσκηση Α5

Να δείξετε ότι η ενέργεια της αντίδρασης −βQ στην (άσκηση Α3) θα μοιραστεί σαν

κινητική ενέργεια στα προϊόντα της αντίδρασης. Να υπολογίσετε στην συνέχεια την

μέγιστη ενέργεια που μπορεί να πάρει το πρωτόνιο στη διάσπαση του νετρονίου καθώς και

την μέγιστη ενέργεια που μπορεί να πάρει το ηλεκτρόνιο. Γιατί τα φάσματα αυτά είναι

συνεχή και όχι γραμμικά;

Α5. Διαστολή χρόνου

Ο χρόνος δεν είναι ανεξάρτητος από τον χώρο (σύστημα αναφοράς). Αν Τ0 ο

χρόνος στο σύστημα ηρεμίας (ιδιοχρόνος), ο χρόνος Τ που θα μετρηθεί από παρατηρητή σε

σύστημα αναφοράς που κινείται με ταχύτητα u ως προς το σύστημα ηρεμίας θα είναι πάντα

μεγαλύτερος κατά τον όρο γ του Lorentz :

0TT ×= γ (Α-7)

Άσκηση Α6

Υποθέστε ότι σε ένα κοσμικό συμβάν που γίνεται σε απόσταση 104 έτη φωτός από

τη Γη, εκπέμπονται νετρόνια ενέργειας 1014 MeV. Τι πιθανότητα έχουν τα νετρόνια αυτά

να φτάσουν στη Γη, δεδομένου ότι ο ιδιοχρόνος του νετρονίου είναι Τ0 = (896 ± 10) s;

[Η πιθανότητα P(t) που έχει ένα ασταθές σωμάτιο με μέσο χρόνο ζωής Τ, να επιζήσει (να

μην διασπαστεί) σε χρόνο t, είναι P(t)=exp(-t/Τ)]

Άσκηση Α7

Όταν ένα φορτισμένο σωμάτιο κινείται σε ένα υλικό, με ταχύτητα μεγαλύτερη από

την ταχύτητα του φωτός στο υλικό αυτό (υ>c/n), εκπέμπεται ηλεκτρομαγνητική

ακτινοβολία (Cherenkov). Ποια πρέπει να είναι η κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου και

ποια ενός πρωτονίου για την εκπομπή ακτινοβολίας Cherenkov στο νερό, που έχει δείκτη

διάθλασης n = 1,33;

Άσκηση Α8

Να δείξετε ότι το φαινόμενο της δίδυμης γένεσης: γ → e+e- ΔΕΝ μπορεί να

πραγματοποιηθεί στο κενό.

Άσκηση Α9

Στη σκέδαση Rutherford (Coulomb) η γωνία σκέδασης φ σωματίου με κινητική

ενέργεια Κ, συναρτήσει της παραμέτρου κρούσης b, δίνεται από τη σχέση (βλέπε κεφ.Γ):

20

eZzb)επ4(2

2φcot

Κ= (Α-8)

α. Να προτείνετε μια αντίστοιχη σχέση για το βαρυτικό πεδίο, αναφέροντας

συνοπτικά το σκεπτικό σας.

β. Να υπολογίσετε την γωνία σκέδασης φωτονίου ενέργειας Ε=3 eV που διέρχεται

εφαπτομενικά από την επιφάνεια του Ηλίου [Μ =1,99 1030 kg, R = 6,96 108 m ].

A6. Φυσικό σύστημα μονάδων

Οι υπολογισμοί στον μικρόκοσμο (άτομο, πυρήνας) απλοποιούνται σημαντικά αν

χρησιμοποιήσουμε το φυσικό σύστημα μονάδων, που θεμελιώνεται με τη θεώρηση των

παγκοσμίων σταθερών π2/h=h και c ως αδιάστατων μεγεθών:

1c ==h (Α-9)

Με βάση την τελευταία σχέση τα θεμελιώδη μεγέθη της κλασσικής φυσικής (μήκος, μάζα,

χρόνος) συνδέονται διαστατικά:

[ ] [ ] [ ] 11 TLM −− == (Α-10)

Επομένως, στο φυσικό σύστημα μονάδων ένα μόνο θεμελιώδες μέγεθος αρκεί (συνήθως η

ενέργεια) και μία μονάδα (συνήθως το ΜeV). Έτσι η ενέργεια θα εκφράζεται σε ΜeV,

όπως και η μάζα (για ευκολία γράφουμε ΜeV/c2) και η ορμή (για ευκολία ΜeV/c). Το

μήκος και ο χρόνος θα εκφράζονται επομένως σε αντίστροφες μονάδες μάζας ή ενέργειας

(ΜeV-1). Το αποτέλεσμα εύκολα μπορεί να μετατραπεί στις μονάδες που

αντιλαμβανόμαστε κάνοντας χρήση του συντελεστή μετατροπής:

eVnm326968,197MeVfm326968,197c ==h (Α-11)

[Σημειώστε ότι MeV⋅fm=eV⋅nm και ότι στον πυρήνα οι ενέργειες είναι MeV και οι ακτίνες

fm (1 fm=10-15m) και αντίστοιχα στο άτομο eV και nm ].

Α7. Φορτίο του ηλεκτρονίου

Το φορτίο του ηλεκτρονίου e παρουσιάζεται σχεδόν πάντα στους υπολογισμούς

στην ατομική και πυρηνική φυσική (συνήθως σαν )4/(e 02 πε ). Για τους σχετικούς

υπολογισμούς κάνουμε χρήση της σταθεράς λεπτής υφής α (καθαρός αριθμός):

03599911,137/1c)4/(e 02 == hπεα (Α-12)

Επομένως η ποσότητα )4/(e 02 πε που συνήθως παρουσιάζεται στους

υπολογισμούς, θα αντικατασταθεί σύμφωνα με τη σχέση:

MeVfm44,1ca)4/(e 02 ≈= hπε (Α-13)

[Βλέπουμε ότι προκύπτει αδιάστατο μέγεθος!- βλέπε Α-10].

Άσκηση Α10

Η ενέργεια σύνδεσης Εn και η ακτίνα rn στο άτομο του υδρογόνου δίνονται

αντίστοιχα από τις σχέσεις (βλέπε κεφ.Δ):

[ ]2

20

2e

2n 2)4/(em

n1E

h

πε−= και 2

e

202

n em4nr hπε

= (Α-14)

Να υπολογίσετε την ενέργεια Ε1 και την ακτίνα r1 της βασικής κατάστασης του

υδρογόνου.

Α8. Φαινόμενο Doppler

Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που στο σύστημα ηρεμίας της χαρακτηρίζεται από

συχνότητα ν0 (ιδιοσυχνότητα) θα παρατηρηθεί με μεγαλύτερη συχνότητα ν, όταν η πηγή

πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα u:

ucuc

0 −+

=νν (Α-15)

και με μικρότερη συχνότητα ν αν η πηγή απομακρύνεται με ταχύτητα u (στην τελευταία

σχέση αντικαθίσταται το u με το –u):

ucuc

0 +−

=νν (Α-16)

[Επειδή η ενέργεια Ε ενός φωτονίου συχνότητας ν δίνεται (βλ. Σχ. Β-9) από τη σχέση

Ε=hν, η παρατηρούμενη αλλαγή της συχνότητας σημαίνει και αλλαγή στην ενέργεια του

φωτονίου που θα παρατηρηθεί. Στο σύστημα ηρεμίας του θα είναι Ε0=hν0 και στο σύστημα

του παρατηρητή θα είναι Ε=hν≠Ε0. Βλέπουμε δηλ. ότι η ενέργεια δεν είναι αναλλοίωτο

μέγεθος (βλέπε και ΆσκησηΑ1]

Άσκηση Α11

Οι σχέσεις (Α-15) και (Α-16) είναι σχετικιστικές. Να δείξετε ότι αν η ταχύτητα u είναι

πολύ μικρότερη από την ταχύτητα c του φωτός στο κενό, η παρατηρούμενη μετατόπιση

Doppler Δν=ν-ν0 δίνεται από την κλασσική σχέση (που ισχύει και για τα ηχητικά κύματα-

υπέρηχοι στην ιατρική φυσική):

βννΔ =≈ c/u/ (Α-17)

Εφαρμογές: Στην αστρονομία, μετατόπιση (red shift or blue shift) φασματικών γραμμών

στο φάσμα αστέρων-γαλαξιών και άρα μέτρηση της ταχύτητας απομάκρυνσης ή

προσέγγισης και από νόμο Hubble εκτίμηση της απόστασης (βλέπε Δ-3 και άσκηση ??).

Στην ατομική-πυρηνική φυσική, διαπλάτυνση (broadening) φασματικών γραμμών λόγω

θερμικής κίνησης. Στην ιατρική απεικόνιση με υπέρηχους και στη μέτρηση ταχύτητας

ροής αίματος. Στην λειτουργία των radar.

B1. Ακτινοβολία μέλανος σώματος (black body radiation)

Νόμος ακτινοβολίας του Planck (Planck's law)

Μέλαν σώμα, είναι ένα ιδανικό σώμα που απορροφά πλήρως (100%) κάθε

προσπίπτουσα ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Καμιά ακτινοβολία δεν το διαπερνά και

καμιά δεν ανακλάται από αυτό. Οι ιδιότητες αυτές καθιστούν ένα μέλαν σώμα, ιδανική

πηγή θερμικής ακτινοβολίας:

Η ποσότητα και το μήκος κύματος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που

εκπέμπεται από μέλαν σώμα, εξαρτάται αποκλειστικά από την θερμοκρασία του.

Ο νόμος του Planck περιγράφει την φασματική κατανομή Ι(λ,Τ), της εκπεμπόμενης

ισχύος (ενέργεια/χρόνο) της ακτινοβολίας από μέλαν σώμα θερμοκρασίας Τ:

Planck: )1e(

hc2)T,(I kT/hc5

2

−= λλ

πλ (B-1)

Στην τελευταία σχέση (Β-1) Ι(λ,Τ), είναι η ακτινοβολούμενη ισχύς, ανά μονάδα επιφανείας

και μήκους κύματος λ, h η σταθερά του Planck, c η ταχύτητα του φωτός στο κενό, και k η

σταθερά του Boltzmann: k=1,380 6504⋅10-23 J⋅K-1= 8,617343⋅10-5 eV⋅K-1.

Στο σχήμα Β-1 παρουσιάζονται φάσματα εκπομπής μελανού σώματος για διάφορες

θερμοκρασίες Τ. Παρατηρούμε πως:

α. Αυξανομένης της θερμοκρασίας Τ, το μέγιστο της κατανομής, μετατοπίζεται σε

μικρότερα μήκη κύματος (μεγαλύτερη ενέργεια), σύμφωνα με το νόμο του Wien:

Wien: Km102898,0T 2max ××=× −λ (B-2)

β. Αυξανομένης της θερμοκρασίας Τ, η συνολική εκπεμπόμενη ακτινοβολία

(εμβαδόν της κατανομής) αυξάνει, σύμφωνα με τον νόμο των Stefan - Boltzmann:

Stefan – Boltzmann: 432

454

0T

hc15kπ2Τd)Τ,(u)T(I === ∫

∞σλλ (B-3)

όπου σ = 5,6705 10-8 W m-2 K-4 , η σταθερά Stefan – Boltzmann.

Άσκηση Β1

Θεωρείστε τον Ήλιο σαν μέλαν σώμα με επιφανειακή θερμοκρασία Τ= 6000 K και

υπολογίστε α. Την ολική ακτινοβολούμενη ισχύ ανά μονάδα επιφανείας σε μονάδες W/m2

και β. Το μήκος κύματος μέγιστης έντασης, λmax.

Άσκηση Β2

Υπολογίστε την ολική ακτινοβολού-

μενη ισχύ ανά μονάδα επιφανείας σε

μονάδες W/m2 και το μήκος κύματος

μέγιστης έντασης, λmax, για το

ανθρώπινο σώμα στις θερμοκρασίες α.

35◦C και β. 40 ◦C. Σχολιάστε το

αποτέλεσμα (στο διπλανό σχήμα

παρουσιάζονται τα φάσματα για 30, 35

και 40◦C ).

Άσκηση Β3

Υπολογίστε την συνολική ισχύ (σε W) που ‘χάνει’ το ανθρώπινο σώμα όταν βρίσκεται σε

δωμάτιο που επικρατεί θερμοκρασία ΤΔ= 20 ◦C (θεωρείστε ότι η συνολική επιφάνεια του

σώματος είναι S=2 m2 , και η εξωτερική θερμοκρασία του σώματος λόγω των ρούχων

μειώνεται στους ΤΣ= 28 ◦C ). H ισχύς που ‘χάνεται’, είναι η διαφορά της ισχύος που

εκπέμπεται από την ισχύ που απορροφάται, δηλ. )TT(SI 44ΣΔσΔ −××= .

B2. Κλασσική - Κβαντική θεώρηση ακτινοβολίας μέλανος σώματος

Η φασματική κατανομή Ι(λ,Τ), της ακτινοβολίας μέλανος σώματος σε πολύ γενικές

γραμμές μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με τη σχέση:

4cE

VN

)T,(I st ××=λ (Β-4)

Όπου Νst είναι ο αριθμός στάσιμων κυμάτων στον όγκο V, E η μέση ενέργεια του κύματος

και ο όρος c/4 προκύπτει από κλασσική θερμοδυναμική-ηλεκτρομαγνητισμό και δίνει την

ακτινοβολούμενη ενέργεια ανά ενεργειακή πυκνότητα. Είναι:

4st 8

VN

λπ

= (Β-5)

Και η μέση ενέργεια E του κύματος, θεωρώντας ότι η ενέργεια ε του ταλαντωτή δίνεται με

σχετική πιθανότητα kT

exp ε− , υπολογίζεται ολοκληρώνοντας ως προς την ενέργεια ε από

μηδέν έως άπειρο :

kTd)kT/exp(

d)kT/exp(E

0

0 =×−

×−×=

∫

∫∞

∞

εε

εεε (Β-6)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (Β-5) και (Β-6) στην (Β-4) προκύπτει η κλασσική προσέγγιση

της ακτινοβολίας μέλανος σώματος, γνωστή σαν νόμος ακτινοβολίας των Rayleigh-Jeans:

Rayleigh-Jeans kTc2)T,(u 4 ×=λπλ (B-7)

Εύκολα μπορεί να δειχτεί ότι η τελευταία φασματική κατανομή ΔΕΝ μπορεί να εξηγήσει

τα πειραματικά αποτελέσματα (βλέπε σχήμα Β1), ούτε το νόμο του Wien (δεν υπάρχει

μέγιστο), ούτε το νόμο των Stefan – Boltzmann (το εμβαδόν γίνεται άπειρο).

Η προσέγγιση του Planck διαφέρει ως προς τον υπολογισμό της μέσης ενέργειας E του

κύματος. Δέχτηκε πως η ενέργεια ε του ταλαντωτή ΔΕΝ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

συνεχή τιμή, αλλά μόνο διακριτές τιμές, ακέραια πολλαπλάσια ενός κβάντου ενέργειας ε0,

δηλαδή ε=n⋅ ε0, όπου n=1,2,3…∞. Επομένως η ολοκλήρωση ως προς την ενέργεια από

μηδέν έως άπειρο στη σχέση (Β-6) θα πρέπει να αντικατασταθεί με άθροιση ως προς τον

αριθμό n που μπορεί να πάρει μόνο ακέραιες τιμές από μηδέν έως άπειρο:

1)kT/exp()kT/nexp(

)kT/nexp(nE

0

0

0n0

0n00

−=

−

−××=

∑

∑∞

=

∞

=

εε

ε

εε (Β-8)

Αν η τελευταία σχέση αντικατασταθεί στη σχέση (Β-4) (και για το κβάντο ενέργειας

αντικαταστήσουμε ε0=hc/λ ) προκύπτει ο νόμος ακτινοβολίας του Planck, σχέση (Β-1).

Β3. Τι είναι το φωτόνιο (σωμάτιο ή κύμα);

Η ερμηνεία του φάσματος τού μέλανος σώματος από τον Planck το 1900 και του

φωτοηλεκτρικού φαινομένου από τον Einstein το 1905 (φαινόμενα που η κλασσική φυσική

απέτυχε να προσεγγίσει) έδειξαν ότι η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία δεν έχει μόνο

κυματικές ιδιότητες (π.χ. παρουσιάζει φαινόμενα συμβολής) αλλά και σωματιδιακές: η

ενέργεια της ακτινοβολίας δεν εκπέμπεται και απορροφάται σαν συνεχή ροή κυμάτων,

αλλά σαν διακριτά σωματίδια-κβάντα που ονομάζονται φωτόνια (photons). Το φωτόνιο

είναι ένα σωμάτιο-κβάντο της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που εκπέμπεται ή/και

απορροφάται. Έχει ενέργεια Ε που δίνεται από τη σχέση:

Ε=hν=hc/λ (Β-9)

Όπου ν η συχνότητα, λ το μήκος κύματος (της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας) και c η

ταχύτητα του φωτός στο κενό. Η ορμή p του φωτονίου δίνεται από τη σχέση:

p=E/c=h/λ (Β-10)

Στο ερώτημα αν το φωτόνιο είναι τελικά σωμάτιο ή κύμα η απάντηση είναι και σωμάτιο

και κύμα. Συγκεκριμένα φαινόμενα (φωτοηλεκτρικό, φαινόμενο Compton) δεν μπορούν να

ερμηνευτούν παρά μόνο αν δεν δεχτούμε τη σωματιδιακή του υπόσταση, ενώ άλλα

(φαινόμενα συμβολής) επιβάλλουν την παραδοχή της κυματικής συμπεριφοράς. Το

δίλημμα σωμάτιο ή κύμα είναι γενικότερο: και τα σωματίδια παρουσιάζουν κυματικές

ιδιότητες. Το μήκος κύματος λ ενός σωματιδίου που έχει ορμή p, λέγεται μήκος κύματος

De Broglie και δίνεται σύμφωνα με τη σχέση (Β-10):

Μήκος κύματος De Broglie: λ=h/p (Β-11)

Το μήκος κύματος μακροσκοπικών σωμάτων είναι εξαιρετικά μικρό και επομένως οι

κυματικές ιδιότητες δεν μπορούν να παρατηρηθούν στον μακρόκοσμο, αλλά μόνο στο

μικρόκοσμο.

Άσκηση Β4

Το ορατό φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας εκτείνεται από 380-780 nm.

Υπολογίστε την αντίστοιχη ενέργεια των φωτονίων στην περιοχή αυτή.

Άσκηση Β5

Υπολογίστε το μήκος κύματος De Broglie

α. Ανθρώπου μάζας 70 kg που κινείται με ταχύτητα 1m/s και

β. Ενός ηλεκτρονίου που κινείται με ταχύτητα β=c/137 (ταχύτητα ηλεκτρονίου στην πρώτη

τροχιά Bohr στο άτομο του υδρογόνου).

Β5. Θερμογραφία (thermography). Θερμογραφία μαστού (breast thermography).

Θερμογραφία ή θερμική απεικόνιση (thermal imaging) είναι τεχνική απεικόνισης

στο υπέρυθρο: θερμογραφικές κάμερες ευαίσθητες στην υπέρυθρη ηλεκτρομαγνητική

ακτινοβολία (900-14000 nm) παράγουν εικόνες από την εκπεμπόμενη υπέρυθρη

ακτινοβολία των σωμάτων λόγω της θερμοκρασίας τους (ακτινοβολία μέλανος σώματος).

Σύμφωνα με το νόμο των Stefan – Boltzmann (B-3), η συνολική εκπεμπόμενη

ακτινοβολία αυξάνει δραματικά με την αύξηση της θερμοκρασίας (άσκηση Β2) και

επομένως η θερμογραφία επιτρέπει σε κάποιον να ‘δει’ στο περιβάλλον χωρίς να υπάρχει

ανάγκη για ορατό φως. Η τεχνική αυτή έχει προταθεί σαν εναλλακτική απεικόνιση για την

ανίχνευση καρκινικών όγκων στον μαστό

(χωρίς να απαιτείται οποιαδήποτε

εξωτερική πηγή ιονίζουσας ή μη

ιονίζουσας ακτινοβολίας / το σώμα

εκπέμπει ακτινοβολία λόγω της

θερμοκρασίας του), και στηρίζεται σε

θερμοκρασιακές μεταβολές στο σώμα

λόγω διαφορετικού μεταβολισμού ή/και

αγγειακής κυκλοφορίας (βλέπε εικόνα)

Είναι προφανές (άσκηση Β2) ότι μόνο μεγάλες επιφανειακές διαφορές θερμοκρασίας

μπορούν να αξιοποιηθούν (άρα μεγάλοι-επιφανειακοί όγκοι). Επομένως η τεχνική αυτή δεν

γίνεται αποδεκτή σαν αξιόπιστη εναλλακτική ιατρική απεικόνιση, παρότι είναι απολύτως

ακίνδυνη.

Β6. Μικροκυματική ακτινοβολία υποστρώματος

(cosmic microwave background radiation)

Το διαστελλόμενο σύμπαν (Hubble, άσκηση Δ1) και η μικροκυματική ακτινοβολία

υποστρώματος είναι οι κυριότερες ενδείξεις που συνηγορούν υπέρ της θεωρίας της

Μεγάλης Έκρηξης (Big-Bang) για τη δημιουργία του σύμπαντος. Όταν το σύμπαν πέρασε

“άπαξ δια παντός” από μία κατάσταση θερμικής ισορροπίας (όταν η ηλικία του ήταν

περίπου 380000 χρόνια) η ακτινοβολία υποστρώματος περιγραφόταν από το νόμο του

Planck για το μέλαν σώμα, σε μια θερμοκρασία Τ≈30000Κ. Με τη διαστολή του

σύμπαντος, το μήκος κύματος των φωτονίων μετατοπίστηκε κατά Doppler (βλέπε Α8). Η

ελεύθερα διαστελλόμενη ακτινοβολία εξακολουθεί να περιγράφεται από το νόμο του

Planck, αλλά με θερμοκρασία Τ′ που πέφτει

ανάλογα με τον παράγοντα διαστολής α του

σύμπαντος: Τ′= Τ/α (το σύμπαν διπλασιάζεται

όταν α = 2). Η ακτινοβολία που ανιχνεύεται

στην εποχή μας (Penzias, Wilson 1964)

αντιστοιχεί σε Τ′= (2,7 ± 0,2) 0Κ. (βλ. Σχήμα).

Επομένως το σύμπαν έχει διασταλεί από τότε

κατά ένα παράγοντα α=1000.

Γ1. Σκέδαση Rutherford (Rutherford scattering)

Το πρώτο ατομικό πρότυπο, προτάθηκε από τον Thomson που ‘ανακάλυψε’ το

ηλεκτρόνιο το 1897: φαντάστηκε το άτομο σαν μία θετικά φορτισμένη σφαίρα, στο

εσωτερικό της οποίας κινούνται τα ηλεκτρόνια (σταφιδόψωμο- plum pudding). Όπως

σχολιάζει ο Rutherford, για τη σκέδαση φορτισμένων σωματίων από τέτοιου είδους άτομα:

(E. Rutherford, F.R.S. “The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of

the Atom” Philosophical Magazine Series 6, vol. 21, May 1911, p. 669-688):

(…The theory of Sir J. J. Thomson is based on the assumption that the scattering due to a

single atomic encounter is small, and the particular structure assumed for the atom does

not admit of a very large deflexion of an a particle in traversing a single atom, unless it be

supposed that the diameter of the sphere of positive electricity is minute compared with the

diameter of the sphere of influence of the atom…).

Τα πειραματικά δεδομένα των H.Geiger και E.Marsted της σκέδασης σωματίων-α

από λεπτούς στόχους έδειξαν ότι ένα μικρό ποσοστό από τα σωμάτια-α σκεδάζονται σε

μεγάλες γωνίες. Η παρατήρηση αυτή υποδείκνυε την ύπαρξη πυρήνα στο άτομο και

διέψευδε το ατομικό πρότυπο του Thomson.

Στο σχήμα Γ-1 παρουσιάζεται σχηματικά η

πειραματική διάταξη (226Ra ραδιενεργός πηγή

σωματίων-α, F πολύ λεπτός στόχος χρυσού, θ=γωνία

σκέδασης. Η όλη διάταξη σε κενό, λόγω μικρή ς

εμβέλειας σωματίων-α). Λεπτομέρειες: H.Geiger and

E.Marsted “On a Diffuse Reflection of the a-Particles”

Proc. Roy. Soc. 1909 A vol. 82, p. 495-500

Σχήμα Γ-1: Σχηματική παράσταση

της σκέδασης σωματίων-α

Για να ερμηνεύσει τα πειραματικά δεδομένα ο Rutherford θεώρησε ότι η σκέδαση

γίνεται μεταξύ σημειακών φορτίων (στη φυσική γενικότερα σκέδαση Rutherford ή σκέδαση

Coulomb λέγεται η σκέδαση μεταξύ σημειακών φορτίων). Σύμφωνα με την υπόθεση αυτή

ο αριθμός Ν(θ) των σωματίων-α που σκεδάζονται σε γωνία θ (διαφορική ενεργός διατομή-

differential cross section) δίνεται από τη σχέση:

)2/(sin1

4e

K2Zz)(N 4

2

0

22

θπεθ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

∝ (Γ-1)

Όπου z=2, ο ατομικός αριθμός του σωματίου-α, Z ο ατομικός αριθμός του υλικού του

στόχου (για στόχο χρυσού, Z=79 ), Κ η κινητική ενέργεια του σωματίου-α (για 226Ra , K≈5

MeV) και θ η γωνία σκέδασης.

Στο σχήμα Γ-2 παρουσιάζονται πειραματικά αποτελέσματα σκέδασης σωματίων-α

(σημεία) και οι θεωρητικές προβλέψεις (συνεχής καμπύλη) :

Παρατηρούμε ότι τα

πειραματικά αποτελέσματα

είναι συμβατά με την υπόθεση

σκέδασης σημειακών φορτίων

(σχέση Γ-1). Αυτό σημαίνει πως

τα σωμάτιο-α (φορτίο ze) ΔΕΝ

πλησιάζουν στο φορτίο Ze του

ατόμου σε αποστάσεις τέτοιες

ώστε να ¨βλέπουν¨ κατανομή

φορτίου (βλέπε και Γ3 σκέδαση

ηλεκτρονίων).

Σχήμα Γ-2: Εξάρτιση του καταμετρούμενου ρυθμού

Ν(θ) σωματίων-α από γωνία σκέδασης θ.

Σχήμα Γ-3: Κινηματική σκέδασης.

Στο σχήμα Γ-3, παρουσιάζεται η κινηματική της

σκέδασης (b είναι η παράμετρος κρούσης/impact

parameter, K η κινητική ενέργεια, V η δυναμική

ενέργεια και l η στροφορμή των σωματίων-α). Η

ελάχιστη απόσταση προσέγγισης d σωματίου-α στον

πυρήνα συμβαίνει στην μετωπική κρούση

(παράμετρος κρούσης b=0, γωνία σκέδασης θ=180◦).

Στην απόσταση αυτή d η αρχική κινητική ενέργεια Κ

του σωματίου-α, έχει μετατραπεί σε δυναμική V.

Από διατήρηση ενέργειας προκύπτει:

Ελάχιστη απόσταση προσέγγισης: K

)4/e(Zzd2

02 πε⋅⋅

= (Γ-2)

Για σκέδαση σωματίων-α ενέργειας K≈5 MeV από άτομα χρυσού Z=79, η ελάχιστη

απόσταση προσέγγισης d (μετωπική σκέδαση), υπολογίζεται (βλέπε σχέση Α-13):

fm45MeV5

fmMeV44,1792d ≈⋅⋅⋅

≈

Το αποτέλεσμα αυτό δείχνει ότι το φορτίο Ze του ατόμου κατανέμεται σε ακόμη

μικρότερες διαστάσεις (45fm είναι πολύ μικρό σε σχέση με την ακτίνα του ατόμου που

είναι ≈10-10 m), αλλιώς η υπόθεση της σκέδασης σημειακών φορτίων (σχήμα Γ-2) δεν θα

περιέγραφε τα πειραματικά αποτελέσματα.

Τα πειράματα των H.Geiger και E.Marsted έδειξαν την ύπαρξη

πυρήνα στο άτομο, δεν μπόρεσαν όμως να μετρήσουν την ακτίνα

του, επειδή οι ενέργειες των σωματίων-α από ραδιενεργές πηγές

είναι σχετικά μικρές (<10ΜeV) και επομένως η ελάχιστη

απόσταση προσέγγισης (σχέση Γ-2) δεν γίνεται πολύ μικρή ώστε

να παρατηρηθούν αποκλίσεις από την υπόθεση της σκέδασης σημειακών φορτίων.

Στο σχήμα Γ-4 παρουσιάζονται

αποτελέσματα από σκέδαση

σωματίων-α μεγάλων ενεργειών

(από επιταχυντές). Στο πείραμα αυτό

μετρήθηκε η διαφορική ενεργός

διατομή σε γωνία σκέδασης θ=60◦.

Η ελάχιστη απόσταση προσέγγισης

rmin (σχήμα Γ-3) συναρτήσει της

γωνίας σκέδασης θ, δίνεται:

)2/sin(11(

2drmin θ

+= (Γ-3)

Άσκηση Γ1

Να υπολογίσετε την ελάχιστη

απόσταση προσέγγισης από τα

δεδομένα του σχήματος Γ-4 για την

ενέργεια των σωματίων-α από την

οποία αρχίζουν και παρουσιάζονται

αποκλίσεις από τη σκέδαση

Rutherford. Μπορείτε να εκτιμήσετε

την ακτίνα του πυρήνα 208Pb;

Σχήμα Γ-4: Απόκλιση από τη σκέδαση Rutherford

σωματίων-α μεγάλης ενέργειας από στόχο 208Pb.

Γ2. Ακτίνες πυρήνων

Λεπτομερή μελέτη των διαστάσεων των πυρήνων έγινε χρησιμοποιώντας δέσμες

σωματίων μεγάλης ενέργειας (γιατί;). Η σκέδαση ηλεκτρονίων υψηλών ενεργειών

(Κ>100MeV) ΔΕΝ μπορεί να περιγραφεί από σκέδαση Rutherford (σημειακά φορτία)

αλλά πρέπει να ληφθούν υπόψη φαινόμενα που σχετίζονται με την κατανομή του φορτίου

(παράγοντας μορφής/form factor) στις πολύ μικρές αποστάσεις προσέγγισης. Η σκέδαση

λέγεται σκέδαση Mott:

σκέδαση Mott=σκέδαση Rutherford x παράγοντας μορφής

δηλ. η απόκλιση από τη σκέδαση Rutherford (σκέδαση σημειακών φορτίων) δίνει

πληροφορίες για την κατανομή του φορτίου του πυρήνα (παράγοντας μορφής).

Τα πειραματικά αποτελέσματα από σκέδαση ηλεκτρονίων μεγάλων ενεργειών,

υποδεικνύουν ότι όλοι οι πυρήνες είναι σχεδόν σφαιρικοί και έχουν περίπου την ίδια

πυκνότητα (υπόδειγμα σταθερής πυκνότητας). Τα αποτελέσματα αυτά συνοψίζονται στην

έκφραση (Fermi model) για την ακτίνα rnucleus των πυρήνων, που δίνεται από τη σχέση:

fm2,1r,Arr 03/1

0nucleus ≈⋅≈ (Γ-4)

Όπου r0≈1,2fm η παράμετρος της πυρηνικής ακτίνας και A ο μαζικός αριθμός. Έτσι για το 40Ca βρίσκουμε ότι r≈4fm και για ένα βαρύ πυρήνα όπως το 235U βρίσκουμε r≈7,4fm.

Σύμφωνα με τη σχέση (Γ-4) ο όγκος V ενός πυρήνα είναι ανάλογος του μαζικού του

αριθμού ( AV ∝ ) και επειδή και η μάζα του Μ είναι ανάλογος του Α, σημαίνει πως η

πυκνότητα ρ=m/V όλων των πυρήνων είναι σταθερή και πολύ μεγάλη!

Άσκηση Γ2

Να δείξετε ότι η πυκνότητα ρ της πυρηνικής ύλης δίνεται από τη σχέση:

Πυκνότητα πυρήνων: 317 m/kg103,2 ⋅≈ρ (Γ-5)

Άσκηση Γ3

α. Εκτιμήστε την ελάχιστη αβεβαιότητα στην ορμή ηλεκτρονίου εάν είναι περιορισμένο

μέσα σε πυρήνα, π.χ. πυρήνα 137Cs.

β. Θεωρήστε αυτή την αβεβαιότητα στην ορμή, ως μια εκτίμηση του μεγέθους της ίδιας

της ορμής και υπολογίστε την (σχετικιστική) κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου που είναι

περιορισμένο μέσα στον πυρήνα.

γ. Το 137Cs διασπάται εκπέμποντας ηλεκτρόνια (β-διάσπαση) με ενέργειες που δεν

υπερβαίνουν τα 1,5 MeV. Θα μπορούσαν τα ηλεκτρόνια αυτά να υπάρχουν στον πυρήνα;

Δ1. Ατομικό πρότυπο του Bohr

Το ατομικό πρότυπο του Bohr θεωρεί το άτομο ως μικρογραφία του ηλιακού

συστήματος με τη δύναμη Coulomb να αντικαθιστά την βαρυτική: υπάρχει ένας θετικά

φορτισμένος πυρήνας με διαστάσεις ≈10-14 m γύρω από τον οποίον κινούνται τα

ηλεκτρόνια σε αποστάσεις ≈10-10 m (με συνολικό φορτίο ίσο και αντίθετο του θετικού

φορτίου του πυρήνα).

Στο ηλιακό σύστημα η ελκτική δύναμη της βαρύτητας εξισορροπεί την κεντρομόλο:

rum

rMmGF

2

2N =

⋅⋅= (Δ-1)

Η τελευταία σχέση δείχνει ότι π.χ. ένας δορυφόρος μάζας m μπορεί να τεθεί σε

οποιαδήποτε τροχιά σε απόσταση r από το κέντρο της Γης (μάζας Μ) αρκεί η ταχύτητά του

u να ικανοποιεί τη σχέση:

rMGu N2 ⋅

= (Δ-2)

Στο άτομο του Υδρογόνου το ηλεκτρόνιο μάζας m περιστρέφεται γύρω από το πρωτόνιο

μάζας M=∞, οπότε η σχέση (Δ-1) γίνεται:

rum

r4/eF

2

20

2

==πε (Δ-3)

Ένα τέτοιο άτομο δεν είναι δυνατόν να υπάρχει, αφού το ηλεκτρόνιο επιταχύνεται, άρα

πρέπει να χάνει ενέργεια και τελικά θα έπεφτε στον πυρήνα. Η σταθερότητα των ατόμων

και το γραμμικό φάσμα (εκπομπής ή/και απορρόφησης) που τα χαρακτηρίζει επιβάλλουν

την παραδοχή ότι το περιστρεφόμενο ηλεκτρόνιο μπορεί να βρεθεί μόνο σε συγκεκριμένες-

επιτρεπτές τροχιές στις οποίες δεν ακτινοβολεί και μόνο όταν μεταβεί σε άλλη τροχιά

ακτινοβολεί. Με βάση την αρχή της αντιστοιχίας (βλέπε άσκηση Δ1) ο Bohr πρότεινε την

κβάντωση της στροφορμής L:

∞=⋅=⋅⋅= ,,,,2,1n,nrumL h (Δ-4)

ότι δηλαδή η στροφορμή L του ηλεκτρονίου, στις επιτρεπτές τροχιές παίρνει τιμές που

είναι ακέραιο πολλαπλάσιο τουh .

[η κβάντωση αυτή προκύπτει εύκολα αν δεχτούμε ότι οι επιτρεπτές τροχιές αντιστοιχούν

σε στάσιμα κύματα De Broglie:

h⋅=⋅=⇒=⋅⇒⋅=⋅= nrpL2hnrp

phnnr2

πλπ

Ότι δηλ. η περιφέρεια = ακέραιο πολλαπλάσιο μήκους κύματος].

Αντικατάσταση της σχέσης (Δ-4) στη σχέση (Δ-3) δίνει (βλέπε και Α-12):

nnc

n4/euunu)rum(4/e n

02

02 αβαπεπε =⇒

⋅⋅

=⋅

=⇒⋅⋅=⋅⋅⋅=h

h

hh (Δ-5)

Ότι δηλ. η ταχύτητα u=βnc του ηλεκτρονίου στις επιτρεπτές τροχιές είναι κβαντισμένη (και

σχετικά όχι μεγάλη).

Αντικατάσταση της (Δ-5) στην (Δ-4) δίνει αμέσως τις επιτρεπτές τροχιές, που είναι

κβαντισμένες:

2e

202

n em4nr hπε

= (Δ-6)

Η ενέργεια Εn του ηλεκτρονίου στην τροχιά με κβαντικό

αριθμό n [δυναμική U=-(e2/4πε0)/r και κινητική

Κ=mu2/2=-U/2] είναι επίσης κβαντισμένη:

[ ]eV6,13

n1

2)4/(em

n1E 22

20

2e

2n −≈−=h

πε (Δ-7)

Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζονται οι ενεργειακές στάθμες

του ατομικού υδρογόνου και τα γραμμικά φάσματα που

παρατηρούνται (η σειρά Balmer είναι στο ορατό και

αντιστοιχεί σε μετάβαση από nι =3,4,5,6 σε nf =2).

Σχήμα Δ-1: Ενεργειακές

Στάθμες Υδρογόνου

Άσκηση Δ1

α. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ της ερυθράς γραμμής του υδρογόνου (Ηα στη σειρά

Balmer) που αντιστοιχεί στην μετάπτωση από n=3 στην n=2, και να συγκρίνετε με την

πειραματική τιμή που είναι 656,3 nm.

β. Σύμφωνα με το νόμο του Hubble, οι γαλαξίες απομακρύνονται ο ένας από τον άλλο με ταχύτητα u που είναι ανάλογη της μεταξύ τους απόστασης r (βλ.σχημα):

rHu 0 ⋅= (Δ-8) όπου H0 η σταθερά Hubble,

H0 = 65±2 kms−1 Mpc−1

[1pc=1parsec=1AU/1arcsec=

=3,085⋅1016 m=3,26 ly (έτη φωτός)] Σχήμα Δ-2: Νόμος Hubble

Το φάσμα εκπομπής του quasar 3C 273 δείχνει ότι η Ηα γραμμή της σειράς Balmer είναι

μετατοπισμένη προς το ερυθρό κατά Δλ/λ=0,158. Με τι ταχύτητα απομακρύνεται ο

γαλαξίας και ποια είναι η απόστασή του από εμάς;

Άσκηση Δ2

Σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας που διατύπωσε ο Bohr, η κβαντική μηχανική συμφωνεί με την κλασική στο όριο που οι κβαντικοί αριθμοί είναι πολύ μεγάλοι. Να δείξετε, ότι η συχνότητα του φωτονίου που εκπέμπεται κατά τη μετάπτωση του ηλεκτρονίου στο άτομο του Υδρογόνου μεταξύ δύο διαδοχικών (n και n+1) τροχιών Bohr με n » 1, είναι ίση με τη μέση συχνότητα περιφοράς του, όπως δηλ. προτείνει η κλασική

Φυσική. [ για μεγάλα n δεχτείτε πως (n≈n+1) ]

Άσκηση Δ3

Δορυφόρος μάζας m = 20 kg περιστρέφεται γύρω από την Γη με περίοδο T = 2 h. Η τροχιά

του είναι κυκλική και έχει ακτίνα r = 8060 km. Αν υποθέσουμε ότι ισχύει η συνθήκη του

Bohr για την κβάντωση της στροφορμής, L=nħ, για τον δορυφόρο, όπως για το ηλεκτρόνιο

στο άτομο του υδρογόνου, να βρεθεί ο κβαντικός αριθμός n που αντιστοιχεί στην

συγκεκριμένη τροχιά του δορυφόρου.

Δ2. Το κβαντομηχανικό ατομικό πρότυπο

Παρά την επιτυχία του στο να ερμηνεύσει τα παρατηρούμενα γραμμικά φάσματα του

υδρογόνου, το ατομικό πρότυπο του Bohr ΔΕΝ είναι συμβατό με βασικές αρχές της

φυσικής. Π.χ. η προτεινόμενη κβάντωση της στροφορμής (σχέση Δ-4) ΔΕΝ ικανοποιεί τη

διατήρηση της στροφορμής, που επιτρέπει μόνο μεταπτώσεις με Δn=±1 (το φωτόνιο έχει

στροφορμή-spin 1ħ). Ακόμη και η βασική κατάσταση του υδρογόνου (n=1) γνωρίζουμε ότι

έχει μηδενική στροφορμή και όχι 1ħ . Άλλο παράδειγμα είναι ότι, οι επιτρεπτές τροχιές

(σχέση Δ-6) αντιβαίνουν στην αρχή της αβεβαιότητας h≥⋅ rpr ΔΔ , αφού οι τροχιές Δ-6

είναι πλήρως καθορισμένες.

Οι ασυνέπειες αυτές ήρθησαν αυτόματα με την κβαντομηχανική προσέγγιση των

Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac και άλλων, που έδειξαν πως η

αιτιοκρατία της κλασσικής φυσικής δεν ισχύει στον μικρόκοσμο, που χαρακτηρίζεται από

πιθανολογική προβλεψιμότητα. Η πιθανότητα αυτή εκφράζεται μέσω μιας συνάρτησης, της

κυματοσυνάρτησης )r( rψ , που ικανοποιεί συγκεκριμένη εξίσωση, την εξίσωση του

Schrödinger, που αποτελεί τον θεμελιώδη νόμο της κβαντομηχανικής:

)r(E)r()r(V)r(m2

2 rrrrh ψψψΔ =+− (Δ-9)

Για το άτομο του υδρογόνου το δυναμικό r1

4e)r(V

0

2

rr

πε= όπου r είναι η ακτινική

απόσταση ηλεκτρονίου-πρωτονίου. Η λύση της εξίσωσης του Schrödinger για το άτομο

του υδρογόνου είναι η κυματοσυνάρτηση )r(lnlmr

ψ , όπου οι τρεις κβαντικοί αριθμοί n, l,

ml που αναδύονται από τη θεωρία είναι:

n, ο κύριος κβαντικός αριθμός (principal quantum number) που παίρνει τιμές n=1,2,3,..,∞

l, o κβαντικός αριθμός της τροχιακής στροφορμής (angular momentum quantum number)

που παίρνει τιμές l=0, 1, 2,.., n-1

ml, ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός (magnetic quantum number) που παίρνει τιμές ml=-l, -

l+1,…,l-1 ,l

Οι κβαντισμένες ενεργειακές στάθμες στο άτομο του υδρογόνου βρέθηκαν να

εξαρτώνται μόνο από τον κύριο κβαντικό αριθμό n και δίνονται, ακριβώς όπως στο

πρότυπο Bohr, από τη σχέση (Δ-7).

Η κβάντωση της στροφορμής όμως είναι τελείως διαφορετική από την πρόταση του

Bohr (σχέση Δ-4). Σύμφωνα με την κβαντομηχανική εικόνα η τροχιακή στροφορμή είναι

ένα άνυσμα Lr

, για το οποίο μπορούμε μόνο να καθορίσουμε το μέτρο του L και τις

πιθανές του προβολές Lz ως προς δοσμένο άξονα (π.χ. τη διεύθυνση ενός μαγνητικού

πεδίου). Ο κβαντικός αριθμός της τροχιακής στροφορμής l, καθορίζει το μέτρο της

στροφορμής σύμφωνα με τη σχέση:

h)1l(lL += (Δ-10)

ενώ ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός ml, καθορίζει τον προσανατολισμό του ανύσματος

στο χώρο. Για δοσμένο l , υπάρχουν 2l+1 δυνατές τιμές του ml και επομένως 2l+1 δυνατές

τιμές που παίρνει η (τρίτη) προβολή Lz:

h⋅= lz mL (Δ-11)

και 2l+1 δυνατές τιμές που παίρνει η γωνία θ που σχηματίζει το άνυσμα της στροφορμής

με τον z-άξονα:

)1l(lmcos l

+=ϑ (Δ-12)

Συνοψίζοντας για το άτομο του υδρογόνου, η ενέργεια σύνδεσης του ηλεκτρονίου

δίνεται όπως ακριβώς στο πρότυπο του Bohr από τη σχέση (Δ-7), ενώ η τροχιακή

στροφορμή του Lr

είναι άνυσμα κβαντισμένο στο χώρο: για δοσμένο n υπάρχουν n

ξεχωριστές τιμές του μέτρου L που δίνονται από τη σχέση (Δ-10). Για κάθε μια από αυτές

τις n ξεχωριστές τιμές του l , υπάρχουν 2l+1 , δηλ. συνολικά n(2l+1) διαφορετικοί

προσανατολισμοί στο χώρο, που δίνονται από τις σχέσεις (Δ-11) ή (Δ-12).

Στο σχήμα Δ-3 παρουσιάζονται οι δυνατοί

προσανατολισμοί στο χώρο του ανύσματος

Lrτης τροχιακής στροφορμής για l=1 (p-

κατάσταση).

Το μέτρο L της στροφορμής στην περίπτωση

αυτή είναι:

hh 2)1l(lL =+=

και οι τρεις δυνατές (ισο-πιθανές) προβολές

της Lz είναι hh =⋅+= 1Lz , 00Lz == h και

hh −=⋅−= 1Lz .

Οι τρεις αυτοί προσανατολισμοί αντιστοιχούν

σε γωνίες θ=45◦ , θ=0◦ και θ= - 45◦.

Σχήμα Δ-3: Κβάντωση p-κατάστασης

Για ιστορικούς λόγους, όλες οι καταστάσεις που αντιστοιχούν στον ίδιο κύριο

κβαντικό αριθμό n (και επομένως στην ίδια ενέργεια) θεωρούνται ότι δημιουργούν ένα

φλοιό (shell). Οι διάφοροι φλοιοί ονομάζονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού

αλφαβήτου, σύμφωνα με την αντιστοιχία: K(όταν n=1), L(2), M(3), N(4), O(5),

P(6)….Σύμφωνα με τον συμβολισμό αυτό, λέγοντας μια κατάσταση K, είναι ισοδύναμο με

το ότι η κατάσταση αυτή χαρακτηρίζεται από κύριο κβαντικό αριθμό n=1, ενώ μια

κατάσταση M αντιστοιχεί σε n=3. Παρόμοια, στις τιμές του κβαντικού αριθμού της

τροχιακής στροφορμής l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... αντιστοιχεί ο φασματοσκοπικός συμβολισμός

s, p, d, f, g, h, i…(τα τέσσερα πρώτα γράμματα είναι τα αρχικά από sharp, principal,

diffuse, και fundamental, δηλαδή από όρους που χρησιμοποιήθηκαν για την περιγραφή

των ατομικών φασμάτων, πριν την ανάπτυξη της ατομικής θεωρίας). Σύμφωνα με τον

συμβολισμό αυτόν μια κατάσταση s, αντιστοιχεί σε l=0, ενώ μια κατάσταση p, σε l=1.

Γενικότερα συμβολίζουμε μια κατάσταση με τον κύριο κβαντικό αριθμό n στην οποία

αντιστοιχεί (με την αντίστοιχη τιμή του n) ακολουθούμενο από το σύμβολο που

χαρακτηρίζει τον κβαντικό αριθμό της τροχιακής στροφορμής. Έτσι η βασική κατάσταση

του ατόμου του υδρογόνου είναι μια κατάσταση 1s ενώ η πρώτη του διεγερμένη είναι ή 2s-

κατάσταση ή 2p-κατάσταση. Ενεργειακά οι καταστάσεις 2s, 2p ΔΕΝ διαχωρίζονται, αφού

αντιστοιχούν στην ίδια ενέργεια (σχέση Δ-7 για n=2).

22=cosθ

−h

h2

h2

z

θ

h

h2

Διατήρηση της στροφορμής για τις επιτρεπτές μεταπτώσεις, επιβάλλει τον ‘κανόνα

επιλογής’

1l ±=Δ (Δ-13)

Επομένως η μετάπτωση 2p→1s (και γενικότερα κάθε μετάπτωση από p-κατάσταση σε s- ή

d-κατάσταση) είναι μια επιτρεπτή μετάπτωση, ενώ η μετάπτωση 2s→1s (και γενικότερα

s→s, p→p, d→d κ.λ.π. ή d→s, f→s, f→p κ.λ.π.) ΔΕΝ είναι επιτρεπτή. Στην τελευταία

περίπτωση της μη-επιτρεπτής μετάπτωσης π.χ. 2s→1s, η κατάσταση 2s λέγεται

‘μετασταθής’ και χαρακτηρίζεται από σχετικά μεγάλο χρόνο ζωής (οι μετασταθείς

καταστάσεις είναι αναγκαίες στην τεχνολογία των lasers).

Άσκηση Δ4

O (μέσος) χρόνος ζωής της βασικής κατάστασης 1s στο άτομο του υδρογόνου είναι τ=∞

ενώ της κατάστασης 2p είναι τ=10-8s. Να υπολογίσετε την ενέργεια Ε και το φυσικό

πλάτος ΔΕ της γραμμής που αντιστοιχεί στην μετάπτωση 2p→1s.

[η αρχή της αβεβαιότητας γράφεται και σαν h≥⋅ τΔΔE ]

Δ3. Ιδιο-στροφορμή (spin) του ηλεκτρονίου

Το ηλεκτρόνιο (κάθε ηλεκτρόνιο, δέσμιο σε άτομο ή ελεύθερο) παρουσιάζει και

ιδιοστροφορμή (spin). Κλασσικά μπορεί να θεωρηθεί ότι οφείλεται σε ιδιο-περιστροφή του

ηλεκτρονίου γύρω από τον άξονά του (όπως η Γη ), αλλά πρόκειται για τελείως

παραπλανητική εικόνα. Το spin είναι ένα καθαρά κβαντομηχανικό μέγεθος. Όπως η

τροχιακή στροφορμή Lr

, το spin Srείναι άνυσμα του οποίου μπορούμε να γνωρίζουμε

μόνο το μέτρο του S και τους πιθανούς προσανατολισμούς του στο χώρο.

Για ηλεκτρόνια (όπως και για τα πρωτόνια και

τα νετρόνια) ο κβαντικός αριθμός του spin έχει

μια απλή τιμή 21s = και ο μαγνητικός κβαντικός

αριθμός του spin 21ms ±= . Επομένως, σε

πλήρη αναλογία με τις σχέσεις (Δ-10, Δ-11 και

Δ-12), προκύπτουν οι αντίστοιχες σχέσεις:

Για το μέτρο S του spin:

hh23)1

21(

21S =+= (Δ-14)

Mε πιθανούς προσανατολισμούς στο χώρο:

hh21mS sz ±=⋅= (Δ-15)

33

)121(

21

mcos s ±=+

=ϑ (Δ-16)

Στο σχήμα Δ-4 παρουσιάζονται οι δύο

διαφορετικοί προσανατολισμοί του spin στο

χώρο (παράλληλα ή αντιπαράλληλα στο

μαγνητικό πεδίο. Βλέπε και Δ4, μαγνητικές

ροπές).

Σχήμα Δ-4: Κβάντωση του spin

Δ4. Μαγνητικές ροπές (magnetic moments), Λεπτή υφή (fine structure).

Το ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου παρουσιάζει (διπολική) μαγνητική ροπή

Lμr που είναι άνυσμα πάντοτε αντιπαράλληλο προς το άνυσμα της τροχιακής στροφορμής

Lr

, καθώς και μαγνητική ροπή Sμr που είναι άνυσμα πάντοτε αντιπαράλληλο προς το

άνυσμα του spin Sr

.

Η μαγνητική ροπή Lμr του ηλεκτρονίου λόγω τροχιακής στροφορμής, μπορεί να

υπολογιστεί κλασσικά σύμφωνα με το ατομικό πρότυπο του Bohr:

θ

33cosθ =

h⋅21

h21−

h23

h32

z

Το περιστρεφόμενο ηλεκτρόνιο σε μια τροχιά Bohr, ισοδυναμεί με βρόχο ρεύματος i=-e/T,

όπου –e είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου και Τ η περίοδος περιστροφής του στην τροχιά

ακτίνας r. Η περίοδος T=περιφέρεια/ταχύτητα=2πr/u=2πrm/p, όπου στην τελευταία σχέση

αντικαταστάθηκε η ταχύτητα u=p/m, με p την ορμή και m την μάζα του ηλεκτρονίου . Η

μαγνητική ροπή μ του βρόχου είναι το γινόμενο του ρεύματος ι επί το εμβαδόν Α(=πr2)

του βρόχου και επειδή p⋅r=L:

Lm2erp

m2er

mr2peAi 2 −

=⇒⋅−

=⋅⋅−

=⋅= μππ

μ

Γενικότερα, όπως δείχνεται και κβαντομηχανικά, η μαγνητική ροπή Lμr του ηλεκτρονίου

λόγω τροχιακής στροφορμής είναι άνυσμα πάντα αντιπαράλληλο με το άνυσμα Lrτης

τροχιακής στροφορμής:

Lm2e

L

rr −=μ (Δ-17)

Επομένως πάντα θα ακολουθεί την τροχιακή στροφορμή στον προσανατολισμό της στο

χώρο (π.χ. σχήμα Δ-3).

Παρουσία μαγνητικού πεδίου Br

(π.χ. εξωτερικού, ομογενούς –φαινόμενο Zeeman- ή

ανομοιογενούς-πείραμα Stern-Gerlach) η μαγνητική ροπή Lμr αλληλεπιδρά με το

μαγνητικό πεδίο και η ενέργεια ΔΕ της αλληλεπίδρασης δίνεται:

θμμΔ cosBBE LL ⋅⋅−=⋅−=rr (Δ-18)

Αντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση τις (Δ-17) και (Δ-10), (Δ-12) προκύπτει:

lBmm2

eE h⋅=Δ (Δ-19)

Η ποσότητα m2/eh είναι γνωστή σαν μαγνητόνη του Bohr, μΒ:

Μαγνητόνη του Bohr: T/eV10788,5m2

e 5B

−⋅=⋅

=hμ (Δ-20)

Η σχέση (Δ-19) δείχνει πως, μια ενεργειακή στάθμη που η ενέργειά της καθορίζεται από

τον αντίστοιχο κύριο κβαντικό αριθμό n, παρουσία μαγνητικού πεδίου Β διαχωρίζεται

ανάλογα με την τροχιακή της στροφορμή, λόγω της αλληλεπίδρασης του μαγνητικού

πεδίου Br

με την μαγνητική ροπή Lμr . Π.χ. μια p-κατάσταση θα διαχωριστεί σε τρεις που

αντιστοιχούν στις τρεις διαφορετικές τιμές του ml (=1, 0, -1). Η ενέργεια διαχωρισμού ΔΕ

θα είναι μΒΒ. Άρα στο παράδειγμα αυτό (της p-κατάστασης) η ενέργεια της κατάστασης

που αντιστοιχεί σε ml = 0 θα παραμείνει η ίδια δηλ. Εn , η ενέργεια της κατάσταση που

αντιστοιχεί σε ml = 1 θα γίνει Εn + μΒΒ και η ενέργεια της κατάσταση που αντιστοιχεί σε

ml = -1 θα γίνει Εn - μΒΒ . Ομοίως η σχέση (Δ-19) δείχνει ότι μια s-κατάσταση δεν θα

διαχωριστεί παρουσία μαγνητικού πεδίου, ενώ μια d-κατάσταση θα διαχωριστεί σε

(2⋅2+1)=5 καταστάσεις.

Άσκηση Δ5

α. Να υπολογίσετε την τιμή της μαγνητόνης του Bohr

[θυμίζω από ηλεκτρομαγνητισμό ότι m2s-1=VT-1 και άρα em2s-1=eVT-1]

β. Να υπολογίσετε την ενέργεια των φωτονίων κατά την μετάπτωση 2p→1s στο άτομο του

υδρογόνου, όταν τα άτομα υδρογόνου βρεθούν σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β=1Τ (να

αγνοηθεί το spin του ηλεκτρονίου/ βλέπε συνέχεια).

Κβαντομηχανικά αποδεικνύεται (εξίσωση Dirac) ότι

το ηλεκτρόνιο λόγω του spin που διαθέτει,

παρουσιάζει μαγνητική ροπή Sμr , που είναι άνυσμα

πάντοτε αντιπαράλληλο προς το άνυσμα του spin

Sr

:

Sm

eS

rr −=μ (Δ-21)

Η τελευταία σχέση είναι αντίστοιχη της σχέσης (Δ-

17) που δίνει την μαγνητική ροπή Lμr του

ηλεκτρονίου λόγω τροχιακής στροφορμής, με τη

διαφορά πως απουσιάζει ο όρος 2 στον

παρανομαστή. Στο σχήμα (Δ-5) παρουσιάζεται η

μαγνητική ροπή Sμr του ηλεκτρονίου, που είναι

άνυσμα πάντα αντιπαράλληλο προς το άνυσμα του

spin Sr

.

Σχήμα Δ-5: Κβάντωση Sr

, Sμr

Παρουσία μαγνητικού πεδίου Br

, η μαγνητική ροπή Sμr αλληλεπιδρά με το μαγνητικό

πεδίο και η ενέργεια ΔΕ της αλληλεπίδρασης δίνεται (αντίστοιχα με τη σχέση (Δ-19) και

επειδή 21ms ±= ):

BBmm

eE Bs μΔ =⋅

=h (Δ-22)

Η τελευταία σχέση δείχνει πως παρουσία μαγνητικού πεδίου Br

, οι δύο καταστάσεις με το

spin παράλληλο ή αντιπαράλληλο με το μαγνητικό πεδίο, διαχωρίζονται ενεργειακά και η

θ33cosθ =

zS

S = h32

z

Sr

uursμ

ενέργεια διαχωρισμού μεταξύ τους είναι 2μΒΒ (η μια θα ‘ανέβει’ κατά μΒΒ και η άλλη θα

‘κατεβεί’ κατά μΒΒ.

Μαγνητικό πεδίο υπάρχει στο εσωτερικό των ατόμων, το εσωτερικό μαγνητικό πεδίο

ΒΕΣ. Το εσωτερικό αυτό μαγνητικό πεδίο μπορείτε να το θεωρήσετε ότι οφείλετε στην

τροχιακή κίνηση του ηλεκτρονίου, άρα θα είναι ένα άνυσμα παράλληλο προς το άνυσμα

της τροχιακής στροφορμής Lr

. Το εσωτερικό αυτό μαγνητικό πεδίο ΒΕΣ, αλληλεπιδρά με

τη μαγνητική ροπή Sμr του ηλεκτρονίου, με αποτέλεσμα τον διαχωρισμό των ενεργειακών

σταθμών, ανάλογα με τη σχέση (Δ-22). Το φαινόμενο λέγεται ΄λεπτή υφή’ και

παρουσιάζεται στα φάσματα εκπομπής (ή απορρόφησης) του υδρογόνου, όταν αυτά

εξεταστούν με τεχνικές υψηλής διακριτικής ικανότητας (το πρώτο πειραματικό δεδομένο

που υποδεικνύει την ύπαρξη του spin του ηλεκτρονίου). Το φαινόμενο αυτό της λεπτής

υφής, είναι το αποτέλεσμα της σύζευξης του spin με την τροχιακή στροφορμή (spin-orbit

interaction). Έτσι, όλες οι καταστάσεις που δεν είναι s-καταστάσεις (στην s-κατάσταση η

τροχιακή στροφορμή είναι μηδενική) διαχωρίζονται σε δύο που διαφέρουν ενεργειακά

κατά 2μΒΒ.

Στο σχήμα (Δ-6) παρουσιάζεται σχηματικά

το φαινόμενο της λεπτής υφής στην

μετάπτωση 2p→1s στο άτομο του

υδρογόνου. Η 2p-κατάσταση διαχωρίζεται

(είναι διπλή) στην κατάσταση 2p3/2 και την

κατάσταση 2p1/2 (ο δείκτης κάτω δεξιά

δείχνει τον κβαντικό αριθμό j της ολικής

στροφορμής, j=l±1/2=3/2 ή1/2).

Η κατάσταση 2p3/2 έχει ενέργεια Ε2+ μΒΒΕΣ και αντίστοιχα η κατάσταση 2p1/2 έχει

ενέργεια Ε2- μΒΒΕΣ, με ΒΕΣ το εσωτερικό μαγνητικό πεδίο του υδρογόνου.

Άσκηση Δ6

Να υπολογίσετε το εσωτερικό μαγνητικό πεδίο ΒΕΣ στο άτομο του υδρογόνου με βάση τα

πειραματικά δεδομένα, που για την πρώτη γραμμή της σειράς Lymman υποδεικνύουν ένα

διαχωρισμό ΔΕ=4,54 10-5 eV.

Ε. Ασκήσεις

Άσκηση Ε1

α. Δώστε τον φασματοσκοπικό συμβολισμό των 11 ηλεκτρονίων (ηλεκτρονική δομή) του ατόμου του Νατρίου, τόσο στη βασική (θεμελιώδη) όσο και στην πρώτη διεγερμένη κατάσταση του. Δικαιολογείστε συνοπτικά την απάντησή σας. β. Αποδιέγερση ατόμων Νατρίου από την πρώτη διεγερμένη κατάσταση στην βασική παρουσιάζεται σαν μια διπλή γραμμή στο αντίστοιχο φάσμα, με μήκη κύματος λ1 = 589,00 nm και λ2 = 589,59 nm. Πώς ερμηνεύετε την παρουσία της διπλής γραμμής στο φάσμα του Na; Ποιο είναι το ενεργό (εσωτερικό) μαγνητικό πεδίο που δρα στο ηλεκτρόνιο στην κατάσταση αυτή; Να σχεδιάσετε το ενεργειακό διάγραμμα του νατρίου, όπου να φαίνονται η βασική και η πρώτη διεγερμένη κατάσταση καθώς και οι επιτρεπτές μεταπτώσεις μεταξύ τους.

Άσκηση Ε2

Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της έντασης συναρτήσει του μήκους κύματος για ακτίνες Χ που παράγονται σε λυχνία-Χ (1 pm=10-12m). α. Να υπολογίσετε το δυναμικό επιτάχυνσης από τα δεδομένα του σχήματος, δικαιολογώντας συνοπτικά την απάντησή σας. β. Τι είναι οι χαρακτηριστικές γραμμές Κα και Κβ; Πώς από τα δεδομένα του σχήματος μπορεί να καθοριστεί ο στόχος (άνοδος) της λυχνίας; Αν η ενέργεια σύνδεσης των Κ-ηλεκτρονίων στο υλικό του στόχου είναι 20 keV, να υπολογίσετε με βάση τα δεδομένα αυτά, τις ενέργειες σύνδεσης των L- και των M-ηλεκτρονίων.

Άσκηση Ε3

α. Να σχεδιάσετε προσεγγιστικά και να σχολιάσετε συνοπτικά τα κύρια χαρακτηριστικά του διαγράμματος που δείχνει την μέση ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο, ΕΒ/Α, συναρτήσει του μαζικού αριθμού Α. Τι εννοούμε με την έκφραση «οι πυρηνικές δυνάμεις παρουσιάζουν κορεσμό»; Πώς προκύπτει αυτό από το παραπάνω διάγραμμα; Οι δυνάμεις Coulomb παρουσιάζουν κορεσμό; β. Να ορίσετε την ατομική μονάδα μάζας u, και να δείξετε ότι 1u=(1g)/(NA mol)=931,5 MeV/c2. Να υπολογίσετε την πυκνότητα πυρηνικής μάζας στον πυρήνα 12C, σχολιάζοντας συνοπτικά τις παραδοχές που δέχεστε.

Άσκηση Ε3

α. Θεωρείστε τα δύο απλούστατα δέσμια συστήματα στην ατομική και πυρηνική φυσική: το άτομο του υδρογόνου και τον πυρήνα του δευτερίου, που στην βασική τους (θεμελιώδη) κατάσταση έχουν ενέργεια σύνδεσης 13,6 eV και 2,22 MeV αντίστοιχα. Ποιες αλληλεπιδράσεις είναι υπεύθυνες για την συγκρότηση καθενός συστήματος; Πώς ερμηνεύετε τη μεγάλη διαφορά (eV και MeV) που παρουσιάζεται στις αντίστοιχες ενέργειες σύνδεσης; β. Να υπολογίσετε την μάζα του ατόμου του υδρογόνου και τη μάζα του πυρήνα του δευτερίου σε ατομικές μονάδες μάζας u. Ποιες είναι οι αντίστοιχες ενέργειες ηρεμίας;

Άσκηση Ε4

Θεωρείστε τις αντιδράσεις: i. kJ48,39OCOC 22 +→+ (χημική αντίδραση) και ii. MeVOC 2,2? 16

8136 ++→+α (πυρηνική αντίδραση)

α. Να αναγνωρίσετε την αλληλεπίδραση που είναι υπεύθυνη σε κάθε αντίδραση και να σημειώσετε στην δεύτερη αντίδραση το σωμάτιο ? που λείπει αναφέροντας τους νόμους διατήρησης που το επιβάλλουν. β. Σε ποια από τις δύο αντιδράσεις ελευθερώνεται περισσότερη ενέργεια για κάθε άτομο (πυρήνα) άνθρακα που παίρνει μέρος στην αντίδραση; Πώς ερμηνεύετε τη διαφορά μεταξύ των δύο τιμών που υπολογίσατε; γ. Παρότι και οι δύο αντιδράσεις είναι εξώθερμες, δεν γίνονται αυθόρμητα, αλλά απαιτείται κάποια αρχική ενέργεια στα αντιδρώντα για να ξεκινήσει η αντίδραση. Πώς το εξηγείτε αυτό;

Άσκηση Ε5

Να σχεδιάσετε προσεγγιστικά και να σχολιάσετε συνοπτικά τα κύρια χαρακτηριστικά του διαγράμματος Segre, που δείχνει τον αριθμό νετρονίων συναρτήσει του αριθμού πρωτονίων για τα σταθερά ισότοπα. Ποιες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις (δυνάμεις) ασκούνται μεταξύ των νουκλεονίων και είναι υπεύθυνες για τη συγκρότηση του πυρήνα; Ποια είναι τα κύρια χαρακτηριστικά των δυνάμεων αυτών; Γιατί οι βαρύτεροι πυρήνες αποκλίνουν από τη συμμετρία Ζ = Ν; Τι λέμε “κοιλάδα σταθερότητας”; Με ποιες αυθόρμητες μεταπτώσεις οι ασταθείς (ραδιενεργοί) πυρήνες θα καταλήξουν στην κοιλάδα σταθερότητας;

Άσκηση Ε6

Οι κύριες πυρηνικές αντιδράσεις που τροφοδοτούν ενεργειακά τον Ήλιο είναι: MeV42,0?HHH)i 2

111

11 ++→+

MeV49,5?HeHH)ii 32

21

11 ++→+

MeV42,0?HeHeHe)iii 42

32

32 ++→+

Να συμπληρωθούν οι αντιδράσεις με το σωμάτιο ή σωμάτια (?) που λείπουν και να αναγνωρίσετε την αλληλεπίδραση που είναι υπεύθυνη για κάθε αντίδραση.

Άσκηση Ε7

Έστω ότι το ραδιονουκλίδιο Xe12554 , παράγεται σε ένα αντιδραστήρα σε αντιδράσεις (n,γ), με

σταθερό ρυθμό R=1010 πυρήνες ανά δευτερόλεπτο. α. Να δώσετε τον ατομικό αριθμό Ζ και τον μαζικό αριθμό Α του νουκλιδίου που χρησιμοποιείται σαν στόχος και β. Να υπολογίσετε την ενεργότητα του Xe125

54 τη χρονική στιγμή t=1900 ώρες και ενώ η παραγωγή του συνεχίζεται (Ο χρόνος υποδιπλασιασμού του Xe125

54 είναι t½=19 ώρες).

Άσκηση Ε8

Να υπολογίσετε το φράγμα δυναμικού Coulomb και την ενέργεια των σωματίων-α στην

διάσπαση: MeV75.6HeTlBi 42

20781

21183 ++→ .

Άσκηση Ε9

1. Ο θάνατος του Alexander Litvinenko(που απασχόλησε πρόσφατα τα ΜΜΕ) σύμφωνα με ιατρικές πηγές οφείλεται σε δηλητηρίαση με Πολώνιο-210. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το σχετικό διάγραμμα διάσπασης του 210Po. Να υπολογίσετε: α. Την ειδική ενεργότητα (σε Becquerel/g) και την ισχύ (σε watts/g ) του 210Po. β. Την ποσότητα του 210Po που αν απορροφηθεί από τον οργανισμό θα επιφέρει τον θάνατο (θεωρήστε μάζα ~70 kg, και θανατηφόρα δόση ~5Gy), και [NAv ≈ 6⋅1023 mol-1 , 1 eV ≈ 1.6⋅10-19 J]

Άσκηση Ε10

Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται το τμήμα εκείνο του διαγράμματος διάσπασης του 99Mo που σχετίζεται με την παραγωγή του 99mTc. Αν η αρχική ενεργότητα του 99Mo σε γεννήτρια (στήλη) 99Mo⇒99mTc είναι 3,7 Gbq, να υπολογίσετε την ποσότητα 99mTc που θα είναι διαθέσιμη σε ένα νοσοκομείο στο τέλος της πέμπτης ημέρας αν α. για πρώτη φορά απομακρυνθεί το 99mTc από τη γεννήτρια και β. αν έχει προηγηθεί απομάκρυνση του99mTc κατά την Τρίτη ημέρα.

Άσκηση Ε11 Οι ατομικές μάζες των ισοβαρών νουκλιδίων I125

53 και Te12552 είναι αντίστοιχα 124,9046242 u

και 124,9044247 u. Να βρεθεί το είδος της διάσπασης, η ενέργεια της αντίδρασης και οι ενέργειες των ακτινοβολιών που παράγονται. Άσκηση Ε12 Συμπληρώστε τις αντιδράσεις (ραδιενεργές διασπάσεις) με το σωμάτιο ή σωμάτια που λείπουν (?) και σημειώστε αν το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπεται σε κάθε μια είναι συνεχές ή γραμμικό. ?.

?.

?.

?.

19276

19277

19278

19277

2210

2211

22286

22688

+→

+→

+→

+→

OsIriv

PtIriii

NeNaii

RnRai

Άσκηση Ε13 Το 137Cs διασπάται στο σταθερό νουκλίδιο 137Ba σύμφωνα με την αντίδραση:

MeV1.1756 Ba Cs e13756

13755 +++⇒ − νβ

Η β-διάσπαση αυτή, 5,6% καταλήγει στην βασική κατάσταση του 137Ba και το υπόλοιπο 94,4% στην πρώτη του διεγερμένη κατάσταση (ενέργεια διέγερσης 662 keV). Παρότι όμως η διεγερμένη κατάσταση σχηματίζεται στο 94,4% των διασπάσεων, η παρατηρούμενη σχετική ένταση των ακτίνων-γ που εκπέμπονται, είναι 85.9% και όχι 94,4% . Ποιός είναι ο εναλλακτικός μηχανισμός αποδιέγερσης και με ποια πιθανότητα συμβαίνει;

210Po (Τ1/2 = 138,4 d)

Qα = 5,407 MeV

α = 5,304 MeV (100%)

206Pb