ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : « ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ »

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛΙΔΑ1. ΠΡΟΛΟΓΟΣ 3 2. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ   ANA TOYΣ ΑΙΩΝΕΣ 43. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣ 114. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑ 15 5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΒΑΒΥΛΩΝΑ 166. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ 18 7. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ KINA 208. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑ --ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ 219. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΡΑΒΩΝ 2210. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΔΥΣΗ 23 11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝΔΙΑ 2512. ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ (1887-1920) [Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ] 2713. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ 3014. ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ 3215. ΑΝΑΞΙΜΑΝΔΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ 37

-1-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”16. ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ 3917. ΦΙΛΟΛΑΟΣ Ο ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ 4718. ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ Ο ΧΙΟΣ 4819. ΟΙΝΟΠΙΔΗΣ Ο ΧΙΟΣ 5020. ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒΔΗΡΙΤΗΣ 5121. ΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ 52 22. ΠΛΑΤΩΝ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ 53 23. ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ 5524. ΕΥΔΟΞΟΣ Ο ΚΝΙΔΙΟΣ 56 25. ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ 6126. ΠΥΘΕΑΣ Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣ 62 27. EΥΚΛΕΙΔΗΣ 6428. ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ 6729. ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ 7030. ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ 7431. ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΠΕΡΓΑΙΟΣ 7532. ΝΙΚΟΜΗΔΗΣ 7833. ΙΠΠΑΡΧΟΣ Ο ΝΙΚΑΕΥΣ 79 34. ΠΟΣΕΙΔΩΝΙΟΣ Ο ΡΟΔΙΟΣ 81

-2-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”35. ΔΙΟΝΥΣΟΔΩΡΟΣ Ο ΜΗΛΙΟΣ 8336. ΔΙΟΚΛΗΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΥΣ 84 37. ΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ    85 38. ΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ 8839. ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥΔΙΟΣ 8940. ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ   91   41. ΠΑΠΠΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ 95 42. ΥΠΑΤΙΑ Η ΘΕΩΝΟΣ   9643. ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ — ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 9744. ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ 10245. ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙΔΑΣ 10546. ΕΠΙΛΟΓΟΣ 107

-3-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

H επιλογή αυτού του θέματος έγινε, διότι μας φάνηκε ενδιαφέρον να ασχοληθούμε με την Ιστορία των Μαθηματικών και συγκεκριμένα με τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς . Η ενασχόληση με αυτήν την εργασία είναι εποικοδομητική, αφού μας προσφέρει γνώσεις για τα μαθηματικά, τις οποίες μέχρι σήμερα δεν γνωρίζαμε και οι οποίες θα μας βοηθήσουν στην κατανόησή τους . Η επιλογή αυτής της ερευνητικής εργασίας μεταξύ πολλών άλλων έγινε , αφενός μεν, γιατί μας αρέσουν τα μαθηματικά σαν επιστήμη και , αφετέρου δε , γιατί θελήσαμε να μάθουμε περισσότερα για τους προγόνους μας οι οποίοι με το ανήσυχοπνεύμα τους και τη διαρκή αναζήτηση της ερμηνείας των φαινομένων που συνέβαιναν γύρω τους ανακάλυψαν νόμους , θεωρήματα, προτάσεις και γεωμετρικές κατασκευές τα οποία έχουν εφαρμογή και στους σημερινούς νόμους επιστημών όπως τα Μαθηματικά , η Φυσική , η Μηχανική , η Αστρονομία κ.ά . Η εργασία αυτή μας βοήθησε πολύ στο να αποκτήσουμε ομαδικό πνεύμα συνεργασίας μεταξύ μας και να ανταλλάξουμε απόψεις πάνω σε θέματα που μας αφορούν . Ο

-4-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”διαχωρισμός της ομάδας σε επιμέρους υποομάδες μας δημιούργησε πνεύμα ευθύνης με τη λήψη σημαντικών αποφάσεων σε διαφορετικούς τομείς έρευνας με τη μορφή διαλόγου .

Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ ΤΟΥ 1ΟΥ ΓΕ.Λ ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ   ANA TOYΣ ΑΙΩΝΕΣ

3000 - 2000 π.Χ Αίγυπτος Εμφάνιση ιερογλυφικών αριθμών

Κατασκευή πυραμίδων  

Κίνα Πραγματεία Μεταθέσεων

Πραγματεία αριθμητικής σε 9 κεφάλαια

( υπολογισμοί εμβαδών)  

-5-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Προσέγγιση της τιμής του π Μεσοποτα

μία Εμφάνιση σφηνοειδούς γραφής

των αριθμών

2000 - 1000 π.Χ Αίγυπτος

 Πάπυροι Rhind και Μόσχας

Υπολογισμοί όγκων και εμβαδών Μεσοποτα

μία  

Υπολογισμοί εμβαδών και "επίλυση" εξισώσεων β΄ βαθμού

1000 - 500 π.Χ

Ελλάδα

Θαλής. Έννοια απόδειξης, Αποδεικτική Γεωμετρία

Πυθαγόρας -Πυθαγόρειοι. Θεωρία Αριθμών, γεωμετρία, μουσική

κλίμακα Ινδία Υπολογισμός τετραγωνικών ριζών

500 - 300 π.Χ

Ελλάδα Οινοπίδης ο Χίος: ΓεωμετρίαΙπποκράτης ο Χίος: ΤετραγωνισμόςΖήνων ο Ελεάτης: Παράδοξα κίνησης ( που περικλείουν έννοιες συνέχειας και ορίου)Λεύκιππος: Ατομική θεωρίαΑντιφών: Μέθοδος εξάντλησηςΙππίας ο Ηλείος: ΤετραγωνισμόςΘεόδωρος ο Κηρυναίος:

-6-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Ασύμμετρους αριθμούςΔημόκριτος: Ατομική Θεωρία, ΓεωμετρίαΑρχύτας: ΑναλογίεςΠλάτων: Θεμελίωση ΜαθηματικώνΘεαίτητος: ΓεωμετρίαΕύδοξος: ΑναλογίεςΜέναιχμος: ΚωνικέςΔεινόστρατος: ΤετραγωνίζουσαΑριστοτέλης: ΛογικήΕυκλείδης: Στοιχεία, Δεδομένα, Φαινόμενα

300 - 0 π.Χ

  Ελλάδα

Αρίσταρχος: Πρώτη διατύπωση της θεωρίας του ηλιοκεντρικού συστήματοςΕρατοσθένης: Πρώτοι αριθμοί, ΓεωδαισίαΑπολλώνιος: ΚωνικέςΑρχιμήδης: Γεωμετρία, Αρχές απειροστικού λογισμού, Θεωρητική φυσική, ΕφαρμογέςΊππαρχος: Αστρονομία, ΤριγωνομετρίαΣωσιγένης: Δημιουργία Ιουλιανού ημερολογίου

Κίνα Τετραγωνικές, κυβικές ρίζες. Γραμμικές εξισώσεις

0 - 200 μ.Χ

  Ήρων ο Αλεξανδρεύς: Γεωδαισία,

-7-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Ελλάδα

Μαθηματικά, ΕφαρμογέςΣερήνος: Κυλινδρικές τομέςΝικόμαχος: Θεωρία ΑριθμώνΘέων ο Σμυρναίος: Θεωρία ΑριθμώνΚλαύδιος Πτολεμαίος: Αστρονομία, Τριγωνομετρία, Γεωδαισία

Κίνα Αστρονομία, Γεωμετρία

200 - 400 μ.Χ

Ελλάδα

Διόφαντος: Άλγεβρα, Θεωρία ΑριθμώνΠάππος: ΓεωμετρίαΙαμβλίχος: Θεωρία ΑριθμώνΘέων ο Αλεξανδρεύς: Γεωμετρία

Κίνα Liu Hui: Τεχνικές μέτρησης. Αριθμητική

400 - 800 μ.Χ Ελλάδα Υπατία: Γεωμετρία, Αστρονομία

Πρόκλος: Γεωμετρία Μεξικό Ανάπτυξη της αρίθμησης και

αστρονομίας των Maya

Μέση Ανατολή

Με τον Χαρούν αλ Ρασίντ , προστάτη των Μαθηματικών, (βασίλευσε 786-808) αρχίζει η αραβική εποχή, αμάλγαμα δύο κόσμων (ελληνικού - αραβικού)

Ινδία

Aryabhata και ΤριγωνομετρίαBrahmagupta και απροσδιόριστη ανάλυση, ανάπτυξη του ινδοαραβικού συστήματος αρίθμησης

Ιταλία Boethius: Γεωμετρία και Θεωρία Αριθμών

Κίνα Αριθμητική, Μέτρηση κύκλου, Εξισώσεις 3ου βαθμού,

-8-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Αστρονομία

800 - 1000 μ.Χ

  Μέση

Ανατολή

al Khowârismi: ΆλγεβραHonein ibn Ishâq: Ελληνικά ΜαθηματικάTâbt ibn Qurra: Κωνικές, Ελληνικά ΜαθηματικάAbû Kâmil: Γεωμετρία, ΆλγεβραAl Nairizi: ΓεωμετρίαΑβικέννας: Γεωμετρία, Αριθμητική

Ινδία Mahâvira: Αριθμητική, Άλγεβρα Ισπανία Gerbert (Sylvester II): Αριθμητική

1000 - 1200 μ.Χ Βυζάντιο Μιχαήλ Ψελλός: Αστρονομία Περσία

 Ομάρ Καγιάμ: Γεωμετρική λύση κυβικών εξισώσεων, αίτημα των παραλλήλων, θεωρία αναλογιών

Ινδία Al Biruni: Σφαιρική τριγωνομετρίαBhâskara: Άλγεβρα

Ισπανία  

Αραβικά έργα μεταφράζονται σε λατινικά

Abraham ben Ezra: Συνδυαστική Ιταλία

 Μεταφράσεις αραβικών έργων στα

λατινικά (Πλάτων του Tivoli, Gerardo της Gremoma)

Κίνα Αριθμητική

-9-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

1200 - 1400 μ.Χ Αγγλία

 Μελέτη κίνησης, επιτάχυνσης

Calculatores

  Βυζάντιο

Ιωάννης Παχυμέρης: Περί των τεσσάρων μαθημάτωνΠαχυμερούς μεγάλου διδασκάλου: (Αριθμητική, μουσική, Γεωμετρία, Αστρονομία)Μάξιμος Πλανούδης: Θεωρία ΑριθμώνΕμμανουήλ Μοσχόπουλος: Μαγικά τετράγωναΝικόλαος Ραβδάς: Αριθμητική, Γεωμετρία

Γαλλία O Jordanus και προχωρημένη Άλγεβρα

Ιταλία Leonardo της Πίζας (FIbonacci):

Άλγεβρα, Αριθμητική, Γεωμετρία ( εισαγωγή αραβικών γνώσεων)

Κίνα Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων

Περού Κίπους: ( κόμβοι σε σχοινιά ) για μέτρηση

Περσία Nasir al Din Tusi και τριγωνομετρία

1400 - 1600 μ.Χ Αγγλία Τριγωνομετρία Γαλλία Ο Vieta και ο αλγεβρικός

συμβολισμός Γερμανία Reichenmeisters: Προοπτική

(Durer)

Ιταλία Αλγεβρική επίλυση εξισώσεων 3ου βαθμού (Ferrari, Tartaglia,

Carnano ). Γεωμετρία, Γεωμετρική προοπτική

-10-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Ινδία Υπολογισμοί ημx , συνx Κάτω Χώρες Stevin και τα δεκαδικά κλάσματα

Πορτογαλία N. Nuñez (Άλγεβρα, Γεωμετρία,

Ναυσιπλοΐα)

1600 - 1700 μ.Χ

  Ευρώπη

Kepler, Newton: Ουράνια μηχανικήDescartes-Fermat: Δημιουργία Αναλυτικής ΓεωμετρίαςNapier, Briggs: Ανακάλυψη λογαρίθμωνGirard-Descartes: Θεωρία εξισώσεωνPascal-Fermat: Θεωρία πιθανοτήτωνFermat-Pascal: Θεωρία ΑριθμώνPascal-Desargues: Προβολική ΓεωμετρίαNewton-Leibniz: Δημιουργία απειροστικού λογισμούΓαλιλαίος: Γεωμετρία, Αστρονομία, ΜηχανικήHuygens: Γεωμετρία, Φυσική, Αστρονομία, Θεωρία πιθανοτήτων.

Κίνα Ο Mateo Ricci μεταφράζει τα στοιχεία του Ευκλείδη στα

κινέζικα.

1700 - 1800 μ.Χ Ανάπτυξη τεχνικής για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων (Euler, D`Alembert, Clairaut, Bernoulli,

-11-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Lagrange) - Προσπάθεια αυστηρής θεμελίωσης του απειροστικού λογισμού (D`Alembert, Euler, Lagrange) - Θεωρία πιθανοτήτων (Bernoulli, de Moivre, Bayes, Laplace ) - Eπίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων (Lagrange, Ruffini) - Γεωμετρία: Μελέτη Καμπυλών (Euler, Clairaut, Monge, Dupin)-Λογισμός Μεταβολών (Euler, Lagrange)

1800 - 1900 μ.Χ Αλγεβρική Θεωρία αριθμών - Θεωρία Galois - Ομάδες και Σώματα - Quaternions και οι μη μεταθετικές άλγεβρες - Θεωρία Πινάκων - Η αριθμητικοποίηση της ανάλυσης - Διαφορική Γεωμετρία - Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες - Προβολική Γεωμετρία - Διανυσματική Ανάλυση - Θεμελίωση της Γεωμετρίας - Μαθηματική Λογική - Θεωρία πιθανοτήτων - Θεωρία Συναρτήσεων

1900 - 2000 μ.Χ Θεωρία Συνόλων - Ανάπτυξη της Τοπολογίας-Αυστηρή Θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων - Επίδραση των Η/Υ στα Μαθηματικά - Αλγεβροποίηση των Μαθηματικών - Επίλυση ανοιχτών προβλημάτων (το τελευταίο θεώρημα του Fermat, το πρόβλημα των 4 χρωμάτων) - Η γένεση της ομάδας N. Bourbaki - Η δημιουργία καινούριων κλάδων και θεωριών (συναρτησιακή ανάλυση, τανυστική ανάλυση, ολική διαφορική γεωμετρία, κυβερνητική, θεωρία

-12-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”γραφημάτων, θεωρία κατηγοριών, θεωρία κατανομών, θεωρία solitons κ.α) .

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΥΣ

Ήδη απ' την 8η χιλιετία π.Χ. οι κάτοικοι της περιοχής που έμελλε να κατοικήσουν οι Σουμέριοι, χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα αριθμητικής καταγραφής βασισμένο σε μικρές

-13-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”πήλινες "μάρκες" (tokens), τουλάχιστον όσον αφορά στην καταμέτρηση γεωργικών προϊόντων.Στην εποχή που κατοικούν την περιοχή οι Σουμέριοι, τα μαθηματικά φαίνονται να έχουν ένα καθαρά ωφελιμιστικό χαρακτήρα, εξυπηρετώντας τον σκοπό μιας "αναδιανεμητικής οικονομίας" που ήταν υπό τη διεύθυνση του Ιερατείου. Βέβαια αυτό δεν αποκλείει τη κατοχή και χρήση γνώσεων στον τομέα των Μαθηματικών, σε πιο θεωρητικό επίπεδο και για μη-ωφελιμιστικούς σκοπούς, απ' τους ίδιους τους ιερείς, όπως ακριβώς φαίνεται ότι συνέβαινε με κάθε είδος γνώσης. Η γνώση ήταν προνόμιο ενός κλειστού ιερατικού κύκλου στα πλαίσια των Μυστηρίων που άνθησαν και στη Μεσοποταμία. Μόνο οι πρακτικές όψεις κάθε επιστήμης (όπως η καταγραφή προϊόντων ή ο καταμερισμός της γης) εκλαϊκεύονταν. Αυτή είναι μια όψη που συχνά οι σύγχρονοι αρχαιολόγοι παραβλέπουν, θεωρώντας κάθε ανάπτυξη γνώσης, αποτέλεσμα υλιστικών και πρακτικών αναγκών και όχι εφαρμογή ενός θεωρητικού υπόβαθρου).Τα αρχαιολογικά ευρήματα της Μεσοποταμίας που ήρθαν στο φως τους τελευταίους αιώνες, περιλάμβαναν αρκετά κείμενα (χαραγμένα πάνω σε πήλινες πινακίδες) που αφορούσαν στις γνώσεις των λαών της περιοχής για τα Μαθηματικά. Η σφηνοειδής γραφή των πινακίδων αυτών αποκρυπτογραφήθηκε στα μέσα του 19ου αιώνα απ' τον γερμανό G.F. Grotefend (1775-1853) και τον άγγλο ταγματάρχη H. Rawlinson (1810-1895) .Από τις περίπου μισό εκατομμύριο πήλινες πινακίδες σφηνοειδούς γραφής που έχουν βγει στο φως σχεδόν 500 είναι αυτές που έχουν άμεσο μαθηματικό ενδιαφέρον. Οι πινακίδες αυτές βρίσκονται σε συλλογές σε διάφορα μουσεία της Ευρώπης, των Η.Π.Α. , καθώς και στο Αρχαιολογικό Μουσείο της Βαγδάτης. Αργότερα, στα τέλη της δεκαετίας του 1930, τα μαθηματικά αυτά κείμενα άρχισαν να αποκρυπτογραφούνται απ' τον αυστριακό Οttο Neugebauer (1899-1990), κορυφαίο ερευνητή των

-14-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”μαθηματικών και της αστρονομίας της Μεσοποταμίας. Αν και οι περισσότερες πινακίδες χρονολογούνται στην εποχή της Βαβυλωνιακής Αυτοκρατορίας, ωστόσο είναι γνωστό ότι οι γνώσεις της εποχής αυτής αποτελούν κληρονομιά και μετεξέλιξη των σουμεριακών μαθηματικών.

Φαίνεται λοιπόν ότι, βρισκόμαστε μπροστά σ' ένα υψηλό επίπεδο μαθηματικών γνώσεων που βασίζεται σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση τον αριθμό 60, αν και στα "ψηφία" φαίνεται η πρακτικότητα του αριθμού 10. Δύο σύμβολα, η απλή κατακόρυφη σφήνα που παριστάνει τη μονάδα (1) και η διπλή σφήνα που παριστάνει τη δεκάδα (10), αποτελούν τα μοναδικά "ψηφία" του συστήματος αυτού το όποιο ήταν θεσιακό, δηλ. η αξία ενός ή περισσότερων ψηφίων καθορίζονταν απ' τη θέση που αυτό κατείχε μέσα σ' ένα αριθμό. Οι αριθμοί απ' το 1 ως το 59 σχηματίζονται με συνδυασμό των δύο βασικών συμβόλων και αριθμοί απ' το 60 και πάνω γράφονται σαν δυνάμεις του 60.Αυτό είναι εύκολο να το κατανοήσουμε στο δικό μας δεκαδικό σύστημα, το οποίο είναι επίσης θεσιακό. Για παράδειγμα στον αριθμό 1858, το πρώτο "8" αναφέρεται σε εκατοντάδες (102), ενώ το δεύτερο "8" σε μονάδες (100). Όμοια κάθε ψηφίο φανερώνει μια αξία πολλαπλάσια κάποιας δύναμης του δέκα (10), ανάλογα με τη θέση που κατέχει μέσα σ' ένα αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει με τους σουμεριακούς αριθμούς, μόνο που η βάση είναι ο αριθμός 60. Μάλιστα ένα σύμβολο μπορεί να αναφέρεται και σε αρνητικές δυνάμεις του 60 (π.χ. 60-2 για το 1/600) οι οποίες χρησίμευαν όπως και σήμερα για της υποδιαιρέσεις της μονάδας, αλλά και στην τέλεση της πράξης της διαίρεσης (η διαίρεση α / β ισοδυναμούσε με τον πολλαπλασιασμό α β-1).   Μπορεί η χρήση ενός 60αδικού συστήματος να φαντάζει σήμερα περίεργη, αλλά ας σκεφτούμε ότι οδήγησε τους Σουμέριους και αργότερα τους Βαβυλώνιους στη

-15-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”μέτρηση του χρόνου με βάση κύκλους διαιρεμένους σε 60 μονάδες, τρόπο που χρησιμοποιούμε ακόμα και σήμερα (1 ώρα = 60 λεπτά = 3600 δευτ/πτα). Επίσης οδήγησε τους Σουμέριους στο να χωρίσουν τον κύκλο σε 3600 και κάθε μοίρα σε 60 λεπτά. Έτσι ο αριθμός 60 αποτελεί εδώ και 5.000 χρόνια τουλάχιστον τη βάση μέτρησης των κύκλων του Χώρου και του Χρόνου, δίνοντάς τους μια μυστηριακή βάση, αφού ο κύκλος θεωρούνταν τόσο απ' τους Σουμέριους ιερείς όσο και στα Ιερά Μαθηματικά των Πυθαγορείων, σαν το σύμβολο του σύμπαντος και της ολοκλήρωσης της Ζωής.Άλλο χαρακτηριστικό του αριθμητικού συστήματος είναι η έλλειψη υποδιαστολής, κάτι που γενικά θα μπορούσε να επιφέρει σύγχυση (π.χ. τα ψηφία 4321789 θα μπορούσαν να αναφέρονται στον αριθμό 4.321.789 αλλά και στον 43.217,89). Το πρόβλημα αυτό φαίνεται ότι παρακάμπτονταν απ' τα συμφραζόμενα στο κείμενο που περιέχονταν ο αριθμός. Επίσης παρείχε ευελιξία αφού στις αριθμητικές πράξεις όλοι οι αριθμοί αντιμετωπίζονται ως ακέραιοι .

(Το ίδιο συμβαίνει σήμερα με τους δεκαδικούς αριθμούς . Ο πολλαπλασιασμός τους γίνεται σαν να είναι ακέραιοι αριθμοί και το μόνο που χρειάζεται είναι να τοποθετηθεί στο τέλος, μετά την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού, η υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση) .Το μόνο χαρακτηριστικό που φαντάζει σαν μειονέκτημα είναι η έλλειψη συμβόλου για τον αριθμό "μηδέν" . Φανταστείτε τη σύγχυση που θα προέκυπτε σήμερα αν για να γράψουμε τον αριθμό δέκα, θα έπρεπε να σημειώσουμε απλά "1". Το "1" θα μπορούσε να συμβολίζει μία μονάδα αλλά και μία δεκάδα, μία εκατοντάδα, μία χιλιάδα κ.ο.κ.Άλλο στοιχείο ήταν η χρήση κειμένων πινάκων για την αποφυγή μακροσκελών υπολογισμών (όπως ο σημερινός πίνακας της προπαίδειας). Έχουν ανακαλυφθεί πίνακες

-16-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”αντίστροφων (χρήσιμοι στις διαιρέσεις), πίνακες τετραγώνων, κύβων και κυβικών ριζών, ακόμα και πίνακες με τις τιμές των παραστάσεων της μορφής α2 + β3, για διάφορες τιμές των α και β. Μια τέτοια γνωστή πινακίδα είναι η "Plimptοn 322", η οποία περιέχει τις γνωστές "πυθαγόρειες τριάδες", δηλ. τριάδες αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση β2 + γ2 = α2

, δηλ. τη σχέση που συνδέει τις κάθετες πλευρές και την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου.Το ότι η χρήση των αριθμητικών μεθόδων δεν περιορίζονταν σε εμπορικούς και οικονομικούς σκοπούς, αλλά προχωρούσε σε θεωρητικό επίπεδο μέσα από μια εκπαιδευτική διαδικασία, φαίνεται απ' την αρχαιολογική ανακάλυψη πολλών προβλημάτων που απαιτούν τη χρήση εξισώσεων για την επίλυσή τους.  Χαρακτηριστικό είναι το παρακάτω πρόβλημα. Είναι ένα απ' τα 22 προβλήματα που περιέχονται στην πινακίδα "YBC 4652" . "Βρήκα μια πέτρα. Δεν τη ζύγισα. Αφαίρεσα το ένα έβδομο. Πρόσθεσα το ένα ενδέκατο. Αφαίρεσα το ένα δέκατο τρίτο. Τη ζύγισα: 1 ma-na. Ποιο ήταν το αρχικό βάρος της πέτρας;" Η απάντηση στο πρόβλημα αυτό (1 ma-na, 9½ gin, 2½ se) θα προέκυπτε σήμερα με την λύση της εξίσωσης :  (x - x7 ) + 111 (x - x7 ) - 113 [111 (x - x7 )] = 1, όπου x είναι το αρχικό βάρος της πέτρας .

Η Γεωμετρία

-17-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Η σουμεριακή γεωμετρία περιλάμβανε τον υπολογισμό των εμβαδών, όγκων και μετρικών σχέσεων σε τρίγωνα και τραπέζια. Γνώριζαν να υπολογίζουν το εμβαδόν του ορθογωνίου και του ορθογωνίου τριγώνου και απ' αυτά και άλλων σχημάτων. Υπολόγιζαν επίσης σωστά τους όγκους πρισμάτων και κυλίνδρων. Για τους υπολογισμούς σε κύκλους και κυλίνδρους χρησιμοποιούσαν την προσέγγιση π = 3.Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η πινακίδα "Plimptοn 322", δείχνει ότι μπορούσαν να υπολογίσουν την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου με όμοιο τρόπο με το "Πυθαγόρειο θεώρημα".Το ότι τα Μαθηματικά και οι Γεωμετρία ήταν όχι μόνο θεωρητικές επιστήμες, αλλά εφαρμόσιμες και στην πράξη, αντικατοπτρίζεται στην Αρχιτεκτονική τους που ύψωσε κλιμακωτές πυραμίδες (ζιγκουράτ) και μεγαλοπρεπείς ναούς .

-18-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑ

Πρόκειται για τον πολιτισμό των Ίνκας που θα είχε βέβαια να μας προσφέρει ένα σύνολο μαθηματικών γνώσεων, αλλά, επειδή δεν υπάρχουν γραπτά μνημεία, δεν είναι δυνατή η ανασύστασή τους. Καλύτερες πληροφορίες έχουμε για τα μαθηματικά των Μάγια και για τους κληρονόμους του πολιτισμού τους, των Αζτέκων κι αυτό οφείλεται στη γραφή τους, πικτογραφική και ιερογλυφική, που τις συναντάμε στα μνημεία και στα χειρόγραφα, που μπορούμε σήμερα ν' αποκρυπτογραφούμε. Όλη τους η προσπάθεια φαίνεται ότι στρεφόταν στον υπολογισμό του χρόνου, στο πρόβλημα της καθιέρωσης ημερολόγιου και στην πρόβλεψη αστρονομικών γεγονότων. Η πρώτη μέρα στο ημερολόγιο των Αζτέκων ήταν η 12η Αυγούστου 3113 π.Χ. κι οι παρατηρήσεις τους αναφέρονται σε μια περίοδο τουλάχιστον 38 αιώνων.

Χρησιμοποιώντας σύμβολα όπως καρδιές, τόξα και χέρια, οι αρχαίοι Αζτέκοι χρησιμοποιούσαν ένα αριθμητικό σύστημα πολύ πιο περίπλοκο από όσο θεωρούσαν οι επιστήμονες μέχρι σήμερα.Η αυτοκρατορία των Αζτέκων στο κεντρικό Μεξικό αποτελούσε πάντα

σημείο αναφοράς σε ότι αφορά την αρχιτεκτονική, τη μηχανική, την αστρονομία αλλά και άλλα επιστημονικά πεδία, ενώ η νέα έρευνα επιβεβαιώνει ότι η αριθμητική ήταν κι αυτή ένα πεδίο ιδιαίτερα ανεπτυγμένο.Οι ερευνητές εξέτασαν εκατοντάδες σχέδια σε δύο χειρόγραφα που χρονολογούνται μεταξύ 1540 και 1544 τα οποία είχαν χρησιμοποιηθεί για να περιγράψουν αγροτικές ιδιοκτησίες των Αζτέκων στην αρχαία πόλη του Τεπετλαοζτόκ. Οι Αζτέκοι χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα που περιελάμβανε διάφορα σύμβολα σαν εναλλακτική στη

-19-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”χρήση κλασμάτων. Η έρευνα έδειξε ότι αυτά τα ιερογλυφικά ήταν μέρος της υπολογιστικής μεθόδου που χρησιμοποιούσαν για να προσδιορίσουν μία έκταση γης.Όπως εξηγεί η Μπάρμπαρα Γουίλιαμς, ερευνητής του πανεπιστημίου του Γουισκόνσιν των ΗΠΑ, οι Αζτέκοι χρησιμοποιούσαν τις τέσσερις μαθηματικές πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Όπως όμως σε όλες τις πρωτόγονες κοινωνίες, αυτές οι πράξεις ήταν αρκετές για τις ανάγκες τους . Το γεγονός ότι οι Αζτέκοι χρησιμοποιούσαν μαθηματικά για τον προσδιορισμό εδαφικών περιοχών είναι γνωστό ήδη από το 1980, ωστόσο λίγα ήταν γνωστά για τη μέθοδο που χρησιμοποιούσαν. « Η νέα ανακάλυψη αυξάνει το βαθμό κατανόησης μας για τον αρχαίο αυτό πολιτισμό και μας δείχνει ότι επρόκειτο για μια λογικά δομημένη κοινωνία σε όλα τα κοινωνικά της στρώματα » κατέληξε η Γουίλιαμς .

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΒΑΒΥΛΩΝΑΓια την επιστήμη η Βαβυλώνα ήταν μια πόλη που έφερε αλλαγή στον κόσμο. Η ίδια θεωρούσε τον εαυτό της «κοσμική πόλη» με ιστορία ώς πίσω την 3η χιλιετία π.Χ. και διάρκεια ώς τον θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου, το 323 π.Χ. Η Βαβυλώνα ανήκει στη Μεσοποταμία και είναι μια εύφορη πεδιάδα μεταξύ των ποταμών Τίγρη και Ευφράτη. Η περιοχή είχε στο κέντρο της τον Σουμεριακό πολιτισμό, που άκμασε πριν από το 3.500 π.Χ.. Ήταν ένας προηγμένος πολιτισμός έχοντας οικοδόμηση των πόλεων, υποστήριξη των κατοίκων με ταχυδρομική υπηρεσία. Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούν έχει βάση το 60. Περίπου το 2.300 π.Χ. οι Σημίτες εισβάλλουν στο χώρο και οι δύο πολιτισμοί αναμειγνύονται. Οι Σημίτες επινοούν τον άβακα ως εργαλείο για την καταμέτρηση και αναπτύσσουν κάπως αδέξια τις αριθμητικές μεθόδους με προσθήκη της αφαίρεσης , του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης σε όλους τους φορείς στους οποίους συμμετέχουν. Το 1.700

-20-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”π.Χ. έχουμε στοιχεία για τον υπολογισμό πυθαγόρειων τριάδων, καθώς και σύνθετων προβλημάτων που λύνονται με τη χρήση μεθόδων γραμμικής άλγεβρας ή αρκετά σύνθετων εξισώσεων. 2.000-538 π.Χ. Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό επίπεδο μαθηματικής κουλτούρας, μεγαλύτερη των σύγχρονων Αιγυπτίων. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, λύνανε προβλήματα πρώτου και δεύτερου βαθμού, υπολόγιζαν εμβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλόγραμμων, τραπεζίων καθώς και το εμβαδόν του κύκλου (π=3 αντί π=3,14) .Το αριθμητικό τους σύστημα ήταν μη ψηφιακό, θεσιακό, χωρίς υποδιαστολή και χωρίς μηδέν. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστημα.Το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στο μέτρημα του χρόνου. Έτσι π.Χ. όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εμείς σήμερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουμε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά.

Οι πρώτες παραστάσεις των αριθμών στη Μεσοποταμία

-21-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

• Την περίοδο 2350-2200 π.Χ. δημιουργήθηκε στη Μεσοποταμία η ακκαδική αυτοκρατορία και εισήγαγε δύο καινοτομίες στον διοικητικό μηχανισμό:

• Την εσωτερική συνοχή των μονάδων μέτρησης.• Την αντικατάσταση των κυκλικών ή κυκλοειδών

παραστάσεων για τους αριθμούς με σφηνοειδή χαρακτήρες.

Παραδείγματα θεσιακής εξάρτησης

48´60²+20´60+12

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ

-22-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Οι Αιγύπτιοι ήταν ο πρώτος λαός που ασχολήθηκε με την μαθηματική επιστήμη. Οι γνώσεις που κατείχαν ήταν απόρροια της αναγκαιότητας επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονταν με τις γεωργικές τους καλλιέργειες κατά μήκος του ποταμού Νείλου. Οι περισσότερες γνώσεις μας σε ότι αφορά τα Αιγυπτιακά μαθηματικά, προέρχονται από δυο διάσημους παπύρους, τον πάπυρο του Rhind που χρονολογείται περίπου το 1650 π.Χ. και του παπύρου της Μόσχας που χρονολογείται μεταξύ 2000π.Χ και 1800 π.Χ. Από αυτούς φαίνεται ότι οι Αιγύπτιοι κατείχαν αξιόλογες γνώσεις καθώς ασχολούνταν με συγκεκριμένες περιπτώσεις αριθμητικών προβλημάτων (υπολογισμός όγκων, επίλυση εξισώσεων κ.ά.) χωρίς ωστόσο να φαίνεται ότι είχαν αναπτύξει γενικές μεθόδους επίλυσης προβλημάτων. Το σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιείται στην αρχαία Αίγυπτο το δεκαδικό σύστημα, γραπτός μέσα hieroglyphs και ιερατικός. Και τα δύο συστήματα υπήρξαν από τουλάχιστον Πρόωρη δυναστική περίοδος. (Πρέπει να σημειωθεί ότι το ιερατικό σύστημα δεν διαφέρει από το ιερογλυφικό σύστημα πέρα από μια χρήση της απλούστευσης δεσμοί για το γρήγορο γράψιμο.)

Πάπυρος Rhind , είναι μια συλλογή 84 προβλημάτων που αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.Χ. από ένα πρωτότυπο του 1850 π.Χ. Ο μαθηματικός πάπυρος Rhind γράφεται σε ιερατικό Πάπυρος της Μόσχας, γράφτηκε γύρω στο 1850 π.Χ. Είναι μια συλλογή 25 προβλημάτων. Ο δερμάτινος κύλινδρος, που γράφτηκε γύρω στο 1650 π.Χ. και περιέχει 26 αθροίσματα μοναδιαίων κλασμάτων.Επίσης υπάρχει ο πάπυρος Kahun και ο πάπυρος του Βερολίνου, που είναι του 1850 π.Χ. περίπου και περιέχουν μαθηματικές πράξεις .

-23-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Πάπυρος Rhind Πάπυρος της Μοσχας

Πρόβλημα 26 του πάπυρου Πρόβλημα 26 του πάπυρου RhindRhind :Μια ποσότητα και το τέταρτο μέρος αυτής κάνουν μαζί 15.Ποια είναι η ποσότητα;Έστω 4. Τότε το 4 και 1 (το τέταρτο μέρος του 4) κάνει 5 και όχι 15.Για να βρεθεί το σωστό, πρώτα υπολογίζεται η απόκλιση και σημειώνεται ότι το 15 είναι τριπλάσιο του 5. Έτσι η διόρθωση της αρχικής αυθαίρετης παραδοχήςαυθαίρετης παραδοχής γίνεται μετριπλασιασμό της, 3 φορές το 4, δηλ. 12.Διαπιστώνεται ότι αυτό είναι σωστό, γιατί 12 και 3 (το τέταρτο του 12) κάνει 15.Η μέθοδος αυτή, που χρησιμοποιήθηκε και σε μεταγενέστερεςεποχές, ονομάζεται: μέθοδος της αυθαίρετης παραδοχήςμέθοδος της αυθαίρετης παραδοχής ήμέθοδος της λανθασμένης θέσηςμέθοδος της λανθασμένης θέσης.

-24-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Οι Έλληνες, που είχαν πάντοτε σχέσεις με τους Αιγυπτίους, τους ονόμασαν «αρπεδονάπτες», από το όργανο που χρησιμοποιούσαν για τις μετρήσεις τους, την αρπεδόνη. Η αρπεδόνη ήταν ένα κλειστό κορδόνι με κόμβους σε καθορισμένες θέσεις, που χώριζαν το σκοινί σε 12 ίσα τμήματα μονάδες μήκους. Με αυτό οι «αρπεδονάπτες» (αυτοί που άπτονται τις αρπεδόνης) κατασκεύαζαν την ορθή γωνία. Είναι αξιοσημείωτο ότι με το ίδιο ουσιαστικά εργαλείο οι σημερινοί οικοδόμοι «γωνιάζουν» τα οικόπεδα ή τα κτήρια που θέλουν να κατασκευάσουν σε σχήμα ορθογωνίου. Χρησιμοποιώντας 12 μέτρα ή 12 ίσα τμήματα μιας κορδέλας φτιάχνουν ένα τρίγωνο με πλευρές μέτρων 3, 4, 5, που προκύπτει ορθογώνιο έτσι εφαρμόζουν, χωρίς απαραίτητα να το ξέρουν, το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Με αυτό τον τρόπο οι Αιγύπτιοι πρέπει να κατάλαβαν ότι ένα τρίγωνο 3-4-5 είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο και έτσι, πιθανώς, να κατέληξαν στο γεγονός ότι 32 + 42 = 52 .

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ KINA2oς- 8ος ΑΙΩΝΑΣ Μ. Χ

Από τον 2ο μ. Χ. αιώνα και μέχρι τον 8ο στην Κίνα και στην Ινδία πραγματοποιείται σημαντική επιστημονική πρόοδος. Την ίδια περίοδο την Ευρώπη μαστίζουν διάφορες θρησκευτικές και πολιτικές διαμάχες που λειτουργούν σαν τροχοπέδη τόσο στην εξέλιξη όσο και στην ελεύθερη διακίνηση των ιδεών. Την περίοδο λοιπόν αυτή η Κίνα και η Ινδία αναγορεύονται σε δύο από τα σπουδαιότερα κέντρα ανάπτυξης της Μαθηματικής γνώσης. Είναι γνωστόν ότι τα Μαθηματικά , και μαζί και οι υπόλοιπες επιστήμες,“άνθισαν” στην αρχαία Κίνα ήδη από τα πανάρχαια χρόνια. Παρότι λοιπόν οι Κινέζοι ήδη από το 1200 πΧ. περίπου είχαν πραγματοποιήσει αρκετές έρευνες και είχαν προοδεύσει στα Μαθηματικά, χρησιμοποιούσαν (και

-25-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”συνέχισαν να χρησιμοποιούν για 12 περίπου αιώνες μετά) την τιμή 3, σαν προσέγγιση για το π.Πληροφορίες για τα αρχαία Κινεζικά Μαθηματικά παίρνουμε από το σύγγραμμα “Ιερόν βιβλίον της Αριθμητικής”, που γράφτηκε (όπως εικάζεται) από το 1100 πΧ περίπου, και μέχρι το 250 πΧ. Σ΄αυτό, τα διάφορα μαθηματικά αποτελέσματα δίνονται με τη μορφή συμπερασμάτων, χωρίς την απιτούμενη απόδειξη ή αιτιολόγηση, γεγονός που πιθανόν σημαίνει ότι κάποια από αυτά (ίσως) προστέθηκαν αργότερα κατά την περίοδο σχολιασμού ή αναδημοσίευσης του συγγράμματος. (Το έργο σχολιάστηκε την περίοδο από το 200 πΧ μέχρι το 250 μΧ. περίπου και αναδημοσιεύθηκε γύρω στα 600 μΧ. Έτσι οι Κινέζοι άρχισαν να ασχολούνται σοβαρά με τον τετραγωνισμό του κύκλου και τον προσδιορισμό του π μετά τον 1ο αιώνα μ. Χ.Στις αρχές λοιπόν του 1ο αιώνα μ. Χ , ο Κινέζος μαθηματικός Liu Hsiao, προσέγγιζε το π με την τιμή π=3,1547. Όμως επειδή δεν υπάρχουν καθόλου στοιχεία παραμένει παντελώς άγνωστη η μέθοδος που χρησιμοποίησε για να πάρει την τιμή αυτή.Οι πρώτες μαθηματικές έννοιες των Κινέζων χρονολογούνται από πολύ παλιά. Ήδη απ' τον 13ο αιώνα π.Χ. οι Κινέζοι είχαν σύστημα δεκαδικής αρίθμησης, ανάλογο μ' εκείνο που υπάρχει σήμερα κι απ' τον 3ο π.Χ. αιώνα οι Κινέζοι έδωσαν μια πρωτότυπη λύση του Πυθαγόρειου θεωρήματος . Υπολόγισαν κατά προσέγγιση τον αριθμό π κι έλυσαν τις εξισώσεις του πρώτου βαθμού . Η χρήση όμως του μηδενός άρχισε τον 8ο αιώνα μ.Χ. και κατά το 12ο και 13ο αιώνα μ.Χ. η κινεζική άλγεβρα γνώρισε μεγάλη ανάπτυξη. Ύστερα όμως απ' την κατάκτηση των Μαντσού, τα μαθηματικά τους περιορίζονται σ' ορισμένα πρακτικά θέματα .

-26-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑ --ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Η ιστορία των κινεζικών μαθηματικών και οι μαθηματικοί ήταν ως επί το πλείστον χαθεί ή καταστραφεί κατά τη διάρκεια των αιώνων. Για παράδειγμα, το δεσποτικό αυτοκράτορας Shih Huang-ti της Ch'in δυναστείας (221-207 π.Χ.) διέταξε το κάψιμο των βιβλίων στο 213 π.Χ. Οι μελετητές κατά την επόμενη περίοδο Χαν (206 π.Χ. έως 220 μ.Χ.) , για τη μεταγραφή της Κίνας λογοτεχνικών και scientifice παραδόσεις από τη μνήμη ή να παραμείνουν τμήματα της κύλισης. Η γνώση της αστρονομίας και σε άλλες περιοχές ήταν συχνά αποφάσεις που έχουν εκδοθεί από πατέρα σε γιο, και μόνο αργότερα καταγράφονται στα κείμενα. Δυστυχώς, πολύ λίγα κείμενα αφιερωμένη στη μαθηματική αστρονομία έχουν επιζήσει. Ωστόσο, υπάρχουν διάφορες υπάρχουσες κινεζικές εφαρμόζονται μαθηματικά κείμενα, τα οποία είναι συλλογές των προβλημάτων και των λύσεων που διοργανώθηκε σε κεφάλαια σύμφωνα με τις πρακτικές εφαρμογές τους. Τα κείμενα αυτά αποδεικνύει ότι οι Κινέζοι ήταν οι πρώτοι της κοινωνίας των πολιτών να χρησιμοποιούν ορισμένες από τις πιο βασικές και προηγμένες μαθηματικές αρχές και τις έννοιες που χρησιμοποιούνται στη σύγχρονη εποχή. Δύο από αυτά τα κείμενα είναι οι Chou Pei και Chiu Τσανγκ. Το παλαιότερο υπάρχοντα κινεζικά κείμενα που περιέχουν τυπικές μαθηματικές θεωρίες που παρήχθησαν κατά τη διάρκεια της περιόδου Han. Η κλασική Αριθμητική του Γνώμων και την Εγκύκλιο Μονοπάτια του Ουρανού (Chou Pei Suan Ching) είναι χρονολογούνται πριν από τον 3ο αιώνα π.Χ. και περιέχει διάφορες σύγχρονες μαθηματικές αρχές , όπως η εργασία με κλάσματα χρησιμοποιώντας έναν κοινό παρονομαστή , καθώς και αποδείξεις πολλές γεωμετρικές θεωρίες . Το κείμενο περιέχει μια ακριβή διαδικασία της διαίρεσης για να ανακαλύψει την τετραγωνική ρίζα των αριθμών.

-27-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” Στην πραγματικότητα, η Chou Pei παρουσιάζει η παλαιότερη γνωστή απόδειξη της δεξιάς γωνίας θεωρία τρίγωνο στην Hsuan-Πεμ διάγραμμα. Αυτή η θεωρία, commony γνωστό ως το "Πυθαγόρειο θεώρημα", δείχνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας ή α 2 + β 2 =γ 2. Άλλες σημαντικές κινεζικά κείμενα μαθηματικά περιλαμβάνουν την Μαθηματική Classic του Sun Tzu (Sun Tzu Suan Ching), γραμμένο με τον 3ο αιώνα μ.Χ.., Και Οι Δέκα Μαθηματική Εγχειρίδια (Suanjing Shi Shu). Οι 13 κείμενο αιώνα, η λεπτομερής ανάλυση των μαθηματικών κανόνων στην Εννέα Κεφάλαια (Hsiang Chieh Chiu Chang Suan Fa) , απέδειξε τη θεωρία είναι γνωστή ως «τρίγωνο του Pascal" 300 χρόνια πριν τη γέννηση του Pascal .

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΡΑΒΩΝ

Στους Άραβες οφείλουμε το ότι στράφηκαν προς όλους τους πολιτισμούς κι ότι δημιούργησαν απ' αυτούς μια σύνθεση, που μ' αυτή έγινε δυνατή η βάση για τη νέα ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης. Αναφέρουμε τώρα μερικούς Άραβες μαθηματικούς κι αστρονόμους που λάμπρυναν τη Βαγδάτη και πρώτα ο Al Κharezmi, που θεωρείται πατέρας της ΄Αλγεβρας , ο Αbu Al Mafa, σχολιαστής του Ευκλείδη και του Διοφάντη, που θεωρείται ένας απ' τους σκαπανείς της τριγωνομετρίας και ο αστρονόμος Al Zargali, που διάπρεψε κατά τα τέλη του 11ου αιώνα. Αίτια της παρακμής της αραβικής επιστήμης είναι η κατάκτηση του ανατολικού αραβικού κράτους απ' τους Μογγόλους κι η τουρκική κατάκτηση. Επινόησαν την άλγεβρα και εφεύραν τα ψηφία της αριθμητικής που απ' αυτούς έχουν πάρει τ' όνομά τους (αραβικά ψηφία) . Ο λέξη ΑΛΓΕΒΡΑ προέρχεται από τη λατινική Algebra η οποία με τη σειρά της προέρχεται από την αραβική λέξη al-jabr. Η αραβική λέξη πρωτοεμφανίζεται στο - γραμμένο γύρω στα 825- έργο του μεγάλου άραβα μαθηματικού al-

-28-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Khwârizmi «Hisâb al-jabr w’ al- mugâbalah» ένας τίτλος που σε ελεύθερη απόδοση είναι « Επιστήμη της συνένωσης και της αντίθεσης» και η λέξη al-jabr ήταν για πολλά χρόνια συνώνυμο του «επιστήμη των εξισώσεων». Το αραβικό κείμενο έγινε γνωστό στην Ευρώπη από λατινικές μεταφράσεις . Από τη λέξη al-jabr γεννήθηκε ο λατινικός όρος Algebra που αποδόθηκε στα ελληνικά με το «Άλγεβρα». Το 1857 βρέθηκε μια λατινική μετάφραση που άρχιζε με το « Έχει πει ο Αλγορίθμι . . .». το όνομα δηλαδή του αλ – Χαυαρίσμι έγινε « Αλγορίθμι » και από την παράφραση αυτή γεννήθηκε και η λέξη ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ που σημαίνει «μια τυπική διαδικασία υπολογισμού με συγκεκριμένο τρόπο» Το βιβλίο του al-Khwarizmi δεν χρησιμοποιεί τον σύγχρονο αλγεβρικό συμβολισμό ούτε και εξισώσεις. Το οτιδήποτε είναι γραμμένο με λέξεις . Διαπραγματεύεται κυρίως εξισώσεις . Μελετά έξι διαφορετικούς τύπους εξισώσεων. Ωστόσο τα ισλαμικά μαθηματικά δεν ασχολούνται με ΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣ αριθμούς. Στη δευτεροβάθμια λόγου χάρη εξίσωση οι αρνητικές ρίζες αγνοούνται. Το ίδιο όμως βιβλίο περιέχει και κανόνες Αριθμητικής που διαμορφώθηκαν με τα ινδικά πρότυπα για την εκτέλεση πράξεων με ινδικά ψηφία . Αναφέρεται επίσης σε τετραγωνικές και κυβικές ρίζες, σε κλάσματα και στη μέθοδο των τριών.   Στο βιβλίο του σχετικά με τους υπολογισμούς Κιταμπ Αλ-γκιαμπρ παρουσίασε για πρώτη φορά την συστηματική λύση της γραμμικής και δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Θεωρείται ο «πατέρας» της άλγεβρας , τιμή την οποία μοιράζεται με τον Διόφαντο. Στον δωδέκατο αιώνα, οι λατινικές μεταφράσεις του έργου του στους Ινδικούς αριθμούς παρουσίασαν το δεκαδικό θεσιακό σύστημα αριθμού στον Δυτικό Κόσμο. Αναθεώρησε την « Γεωγραφία » του Πτολεμαίου και έγραψε για την αστρονομία και την αστρολογία .

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΔΥΣΗ

Πραγματοποιείται με τον Ζερμπέρ ντ Ώριγιάκ (960-1003 μ.Χ.) , που αργότερα έγινε πάπας με το όνομα Συλβέστρος Β'

-29-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”. Στο έργο του Ζερμπέρ επιδρά η αριθμητική των Αράβων, όσο για τη γεωμετρία, βρίσκεται σε πολύ χαμηλότερο βαθμό απ' τη γεωμετρία του Ευκλείδη . Στο δυτικό μεσαίωνα οι γεωμετρικές γνώσεις είναι πρακτικές. Οι ιδιότητες των διάφορων γεωμετρικών σχημάτων αποδείχνονται εμπειρικά κι όχι με λογικούς επαγωγικούς συλλογισμούς . Το έτος 1494 εκτυπώνεται στη Βενετία ένα πραγματικά εκλαϊκευτικό μαθηματικό έργο . Πρόκειται για το βιβλίο του Λουκά Πατσιόλι , που στο κείμενό του θ' αναφέρονται όλοι οι μεγάλοι αλγεβριστές του επόμενου αιώνα . Χάρη σ' αυτούς τους αλγεβριστές, όπως ο Σκιπίωνας νταλ Φέρρο, ο Νικόλαος Ταρτάλια, ο Ιερώνυμος Καρντάνο, ο Λουδοβίκος Φερράρι κι ο Ραφαήλ Μπομπέλι, τα μαθηματικά αρχίζουν να αναπτύσσονται προς μια καινούρια κατεύθυνση . Η μαθηματική έρευνα έχει τόσο πολύ ωριμάσει απ' την άποψη της σαφήνειας της σκέψης και του ελέγχου των πράξεων, ώστε το πρόβλημα της λύσης μιας αλγεβρικής εξίσωσης μπορεί να τεθεί στη γενικότητά του. Οι μαθηματικοί ύστερα ασχολήθηκαν με τις εξισώσεις 5ου βαθμού και τη λύση τους και με το πώς μπορεί να τοποθετηθούν στις τετραγωνικές ρίζες οι αρνητικοί αριθμοί. Η μελέτη του τελευταίου βοήθησε στην ολοκλήρωση της μελέτης των μιγαδικών αριθμών. Ο Άμπελ, στη συνέχεια, απόδειξε ότι μια εξίσωση πέμπτου βαθμού δεν μπορεί να λυθεί με τη βοήθεια των ριζικών. Το έργο του συνέχισε ο Γκάους στις αρχές του 19ου αιώνα. Στη Γαλλία ο Βιετ (1540-1603), ο Καρτέσιος (1595-1650) κι ο Φερμά (1601 -1665) υπήρξαν οι συνεχιστές του έργου των Ιταλών αλγεβριστών του 15ου αιώνα. Οι μαθηματικοί αυτοί έδωσαν στον αλγεβρικό λογισμό την οριστική του μορφή κι αυτός υπάρχει μέχρι σήμερα όπως τον άφησαν, με ορισμένες αλλαγές που έγιναν πολύ πρόσφατα. Στον Καρτέσιο και στον Φερμά οφείλουμε μια πολύ χρήσιμη ιδέα, δηλαδή τη δημιουργία του συστήματος των συντεταγμένων. Οι δυνατότητες που δίνει στα μαθηματικά αυτή η ιδέα είναι τεράστιες . Αρχικά έκαναν τη γεωμετρία, από επιστήμη καθαρά των σχημάτων, απλό πεδίο εφαρμογής της άλγεβρας και την ονόμασαν αναλυτική γεωμετρία. Ο λογισμός αντικαθιστά τα λογικά

-30-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”συμπεράσματα, που προέρχονται απ' τα αξιώματα. Η μετάβαση απ' την επίπεδη αναλυτική γεωμετρία στη γεωμετρία του χώρου, πραγματοποιήθηκε απ' τον Παράν (1666-1713).

Αυτή η γενίκευση δημιούργησε την ιδέα του χώρου των "ν" διαστάσεων, που έγινε έργο του Σλαίφλι (1814-1895). Αυτοί οι χώροι των "ν" διαστάσεων πήραν την οριστική τους θέση στα μαθηματικά, όταν η μαθηματική έρευνα διάθετε αποτελεσματικά μέτρα. Για τα σύγχρονα μαθηματικά πρέπει να αναφέρουμε, σχετικά με την άλγεβρα και την ανάλυση, ότι αναπτύχθηκαν δύο νέοι κλάδοι των μαθηματικών κατά τον 19ο αιώνα. Πρόκειται για τη συμβολική λογική , με τους Μπουλ (1815-1864) , Σραίντερ (1841-1902) και Φρέγκε (1848-1925) , που είχε την πρόθεση να υποτάξει την άσκηση της λογικής σ' ένα αλγεβρικό λογισμό και για τη θεωρία των συνόλων. Η άλγεβρα, η ανάλυση καθώς και η γεωμετρία χρησιμοποιούσαν συχνά τη θεωρία αυτή και προσπαθούσαν να τη γενικέψουν. Και η έννοια αυτή αποτέλεσε αντικείμενο ιδιαίτερων ερευνών. Πρώτος ο Γ. Κάντορ (1845-1918) θεμελίωσε μια γενική θεωρία των συνόλων, που ασχολιόταν ιδιαίτερα με τα άπειρα σύνολα. Στη συνέχεια ο Μπρόουερ (1881), οι Γάλλοι Μπαιρ, Λεμπέγκ και Μπορέλ, ασχολήθηκαν με τη θεωρία των συνόλων. Σε κάθε φιλοσοφία λοιπόν που αποβλέπει στην ακρίβεια των νοημάτων και ιδιαίτερα σε ότι αφορά τις οδούς και τα μέσα της γνώσης, η ανάπτυξη των μαθηματικών απ' τα αρχαία χρόνια μέχρι τις μέρες μας πρέπει να θεωρηθεί λαμπρό παράδειγμα.

-31-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝΔΙΑΔιαπιστώθηκε ότι τα μαθηματικά των Ινδιών πήραν τη μεγαλύτερη ανάπτυξή τους απ' τον 1ο μέχρι τον 8ο μ.Χ. αιώνα, δηλαδή κατά την κλασική εποχή των Ινδιών. Ήδη πριν απ' την περίοδο αυτή, υπήρξαν πνευματικές ανταλλαγές με τον ελληνικό κόσμο και πρέπει να θυμηθούμε ότι η εκστρατεία του Μεγάλου Αλέξανδρου έφερε τους Έλληνες μέχρι τον Ινδό ποταμό. Ο κόσμος οφείλει στους Ινδούς μαθηματικούς τη θεμελιώδη ανακάλυψη του συστήματος δεκαδικής αρίθμησης , που βασίζεται στη χρήση εννιά διακριτών ψηφίων και του μηδενός . Το σύστημα αυτό επέμεναν να το αγνοούν οι Έλληνες , αλλά αργότερα διαδόθηκε στη Δύση από τους Άραβες . Το αριθμητικό αυτό σύστημα βοήθησε σημαντικά την όλη ανάπτυξη των μαθηματικών. Οι αρχαιολογικές ανασκαφές στο Μοχένζο Ντάρο έφεραν στο φως στοιχεία ενός πολύ ανεπτυγμένου πολιτισμού στην Ινδία, την ίδια εποχή περίπου που οι Αιγύπτιοι έκτιζαν τις περίφημες πυραμίδες τους . Η Ινδία όπως και η Αίγυπτος είχε τους δικούς της «αρπεδονάπτες» .

-32-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Οι πρώτες γεωμετρικές γνώσεις βρίσκονται καταχωρημένες στα Σουλβασούτρας, που ήταν παραρτήματα των Βεδών, των θρησκευτικών βιβλίων των Ινδών. Τα Σουλβασούτρας δίνουν κανόνες για την ακριβή κατασκευή βωμών, που ήταν απαραίτητη προϋπόθεση για την επιτυχή έκβαση μιας θυσίας. Επειδή ο χρόνος σύνθεσης του έργου είναι δύσκολο να προσδιοριστεί, οι χρονολογίες που δίνονται από τους διάφορους μελετητές, έχουν μεγάλη απόκλιση που είναι μεταξύ του 800 π.Χ. και 200 μ.Χ. Παρ’ όλα αυτά μπορούμε να πούμε, ότι τα Σουλβασούτρας είναι τααρχαιότερα κείμενα όπου ανιχνεύουμε τα πρώτα σπέρματα μαθηματικώνγνώσεων στην Ινδία.Την περίοδο των Σουλβασούτρας διαδέχεται μια άλλη, αυτή τωνΣιδχάντων ή συστημάτων αστρονομίας. Στις Σιδχάντες που γράφτηκανπερίπου στα τέλη του 4ου μ.Χ. αιώνα, διακρίνονται σαφή σημάδιαελληνικής επιρροής. Όμως οι Ινδοί καινοτομούν σε σχέση με τουςΈλληνες , αντικαθιστώντας την συναρτησιακή σχέση μεταξύ χορδών καιτων αντίστοιχων επίκεντρων γωνιών τους, με ημιχορδές και αντίστοιχεςεπίκεντρες γωνίες , δηλαδή με ημίτονα. Ακόμη και η λέξη ημίτονο προέρχεται από την παραποιημένη απόδοση της σανσκριτικής λέξης jyaardha, που σημαίνει μισή χορδή . Η εισαγωγή αυτής της ημιτονοειδούς συνάρτησης, είναι η βασική συνεισφορά των Σιδχάντων στην ιστορία των μαθηματικών.

Το έτος 476 μ.Χ. που θεωρείται βασικά σαν το τέλος της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας , γεννιέται στην Ινδία ο πρώτος

-33-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”σπουδαίος αστρονόμος , ο Αριαμπάτα. Είναι ο πρώτος Ινδός αστρονόμος που το έργο του περιέχει κεφάλαια με καθαρά μαθηματικό περιεχόμενο. Το έργο του που φέρει το όνομα Αριαμπατίγια, είναι μια πραγματεία αστρονομικού κυρίως περιεχομένου, περιέχει όμως κάποια κεφάλαια με καθαρά μαθηματικό περιεχόμενο και έτσι μας παρέχεται η δυνατότητα, να εκτιμήσουμε τοεπίπεδο των μαθηματικών γνώσεων στην Ινδία κατά τον 6ο μ.Χ. Μετά τον Αριαμπάτα αρχίζουν να εμφανίζονται στην Ινδία σημαντικοί μαθηματικοί, με μεγάλη προσφορά στα ινδικά μαθηματικά. Ένα σημαντικό επίτευγμα των Ινδών μαθηματικών είναι και η λύση των Διοφαντικών εξισώσεων. Ενώ ο Διόφαντος και η Υπατία ασχολήθηκαν με την εύρεση ρητών λύσεων των εξισώσεων αυτών, σταινδικά έργα για πρώτη φορά αναζητούνται ακέραιες λύσεις τέτοιωνεξισώσεων. Ένα άλλο αξιοσημείωτο επίτευγμα του ινδικού λαού είναι τα εννιάσύμβολα αρίθμησης , τα γνωστά σε όλους μας « αραβικά ψηφία », τα οποίαονομάσθηκαν έτσι, όχι γιατί προέρχονται από τους Άραβες , αλλά γιατίδιαδόθηκαν και έγιναν γνωστά από αυτούς στον υπόλοιπο κόσμο. Η Ινδικήπαράδοση αποδίδει τα σύμβολα αυτά, στον « Αγαθοεργό Δημιουργό τουσύμπαντος » . Παρόμοιες πεποιθήσεις περί θεϊκής έμπνευσης ισχύουνάλλωστε και για τα πρωιμότερα ινδικά έργα . Πάντως σήμερα επικρατεί ηαντίληψη ότι , αριθμητικά μας σύμβολα προέρχονται από τα δυτικο-αραβικά, που και αυτά με τη σειρά τους κατάγονται από τα ινδικά ψηφία .Τα ινδικά ψηφία εμφανίζονται για πρώτη φορά, σε διάφορες επιγραφέςπου χρονολογούνται τον 3ο αιώνα π.Χ.

-34-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ (1887-1920) [Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ]Ως άλλος Μότσαρτ, ο ινδός μαθηματικός Σρινιβάσα Ραμανουτζάν (1887 -1920) άφησε πίσω του μια πλούσια σοδειά 4.000 πρωτότυπων θεωρημάτων που μελετώνται ως σήμερα. Λιγότερο γνωστή είναι η μυθιστορηματική ζωή του, που ξεκίνησε από ένα μικρό χωριό της Ινδίας και έλαμψε στο Κέιμπριτζ για να καταλήξει στην πνευματική μοναξιά της αγαπημένης του πατρίδας .Ενα από τα σημαντικότερα πράγματα στη ζωή του Μότσαρτ είναι το τεράστιο και πολύπλευρο έργο του που πραγματοποιήθηκε σε σύντομο χρόνο. Ο Μότσαρτ πέθανε σε ηλικία 35 χρόνων και άφησε πίσω του 600 έργα. Μεταξύ αυτών 41 συμφωνίες , 27 κοντσέρτα για πιάνο , 23 κουαρτέτα εγχόρδων , 17 σονάτες για πιάνο και επτά όπερες . Το αντίστοιχο παράδειγμα στην ιστορία των μαθηματικών είναι ο αυτοδίδακτος ινδός μαθηματικός Σρινιβάσα Ραμανουτζάν. Ο Ραμανουτζάν πέθανε σε ηλικία 33 χρόνων και άφησε πίσω του 4.000 πρωτότυπα θεωρήματα τα οποία μελετώνται και ερευνώνται ως σήμερα.Ο δάσκαλος στο μικρό χωριό Εροντε της Ινδίας δίδασκε αριθμητική και μάλιστα την πράξη της διαίρεσης με

-35-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”παραδείγματα. Ρώτησε λοιπόν τους μαθητές πόσες μπανάνες αντιστοιχούν σε κάθε παιδί αν τρεις μπανάνες μοιραστούν σε τρία παιδιά. Οι μαθητές απάντησαν όλοι μαζί μία. Μετά έκανε την ίδια ερώτηση αν οι μπανάνες είναι 1.000 και τα παιδιά 1.000. Οι μαθητές απάντησαν και πάλι μία. Ξαφνικά ένας μαθητής ρώτησε τον δάσκαλο: Αν μηδέν μπανάνες μοιραστούν σε μηδέν παιδιά, πόσες αντιστοιχούν στο καθένα; Ολόκληρη η τάξη ξέσπασε σε γέλια θεωρώντας την ερώτηση ανόητη. Ο δάσκαλος όμως δεν γέλασε και αντιμετώπισε την ερώτηση σοβαρά. Στην ουσία ο μαθητής ρωτούσε για την έννοια του απείρου, μια έννοια που ταλαιπώρησε τους μαθηματικούς για αιώνες ώσπου να αποδειχθεί ότι η διαίρεση του μηδενός με το μηδέν δεν είναι μηδέν ή ένα, αλλά άπειρο. Ο μαθητής που έκανε την ερώτηση ήταν ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν.Ο Ραμανουτζάν γεννήθηκε το 1887 σε μια φτωχή οικογένεια βραχμάνων στο Εροντε της Ινδίας. Ο πατέρας του ήταν υπάλληλος σε ένα κατάστημα υφασμάτων. Πήγε στο σχολείο σε ηλικία επτά ετών και έμεινε ως τα 16 του. Αρχισε να ασχολείται με τα μαθηματικά από μικρή ηλικία και ήταν λαμπρός μαθητής. H πραγματική είσοδός του στον κόσμο των μαθηματικών έγινε όταν έφτασε στα χέρια του το βιβλίο « Μια σύνοψη αποτελεσμάτων στα καθαρά και εφαρμοσμένα μαθηματικά » του Τζωρτζ Καρ. Το βιβλίο περιείχε 6.000 θεωρήματα τα οποία ο Ραμανουτζάν μελετούσε με ενθουσιασμό και απεδείκνυε με δικό του τρόπο. Ισχυριζόταν ότι η θεά Ναμακάι τον ενέπνεε στα όνειρά του με μαθηματικούς τύπους .

Με βάση τις πολύ καλές επιδόσεις του στο γυμνάσιο κέρδισε μια υποτροφία για το πανεπιστήμιο, όπου τα πράγματα δεν εξελίχθηκαν καλά. Τα μαθηματικά, που ήταν η μεγάλη του αγάπη , ήταν η αιτία της αποτυχίας του στο πανεπιστήμιο. Ο Ραμανουτζάν ασχολούνταν μόνο με τα μαθηματικά και αγνοούσε τα υπόλοιπα μαθήματα. Απέτυχε στις εξετάσεις, έχασε την υποτροφία και δεν πήρε το πτυχίο του. Παντρεύτηκε στα 22 του αλλά δεν μπόρεσε να βρει δουλειά

-36-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”στο πανεπιστήμιο, παρά τις προσπάθειες επώνυμων Ινδών που είχαν εντυπωσιαστεί από τις ικανότητές του. Τελικά το 1912, σε ηλικία 25 ετών, βρήκε δουλειά στο Λιμενικό Ταμείο του Μαντράς. Οπως είναι φυσικό, η δουλειά του δεν τον ενδιέφερε καθόλου και όλον τον υπόλοιπο χρόνο ασχολούνταν με τα μαθηματικά. Εμενε ξάγρυπνος τις νύχτες παράγοντας και αποδεικνύοντας νέα θεωρήματα στη θεωρία των αριθμών. H περίοδος αυτή της ζωής του μοιάζει με την αντίστοιχη του Αϊνστάιν στο γραφείο ευρεσιτεχνιών της Ζυρίχης, όπου υπηρέτησε ως υπάλληλος . Εκείνη την περίοδο ο μεγάλος φυσικός συνέλαβε και δημοσίευσε τις σημαντικότερες εργασίες του χρησιμοποιώντας τον ελεύθερο χρόνο του.Ο προϊστάμενός του στο γραφείο διαπίστωσε το μεγάλο του ταλέντο στα μαθηματικά και τον προέτρεψε να έλθει σε επικοινωνία με τους βρετανούς μαθηματικούς . Ο Ραμανουτζάν έστειλε το 1913 μια επιστολή στον πιο γνωστό βρετανό μαθηματικό της εποχής, τον Τζ. Χάρντι . Όπως ανέφερε ο Χάρντι αργότερα, η επιστολή περιείχε 120 θεωρήματα χωρίς απόδειξη . Μερικά από αυτά ήταν γνωστά, μερικά μπορούσαν να αποδειχθούν με δυσκολία και μερικά ήταν εντελώς νέα και πρωτότυπα. Ο Χάρντι εντυπωσιάστηκε αναφέροντας πως δεν είχε δει ποτέ κάτι παρόμοιο στη ζωή του και αποφάσισε να καλέσει τον νεαρό Ινδό στο Κέιμπριτζ. Υστερα από δύσκολες προσπάθειες κατάφερε να φέρει τον Ραμανουτζάν στο Κέιμπριτζ το 1914.Ο Ραμανουτζάν και ο Χάρντι είχαν στενή συνεργασία. Ο Ραμανουτζάν είχε την τάση να επινοεί συνεχώς θεωρήματα χωρίς να τα αποδεικνύει και ο Χάρντι προσπαθούσε να του διδάξει τη διαδικασία της απόδειξης , η οποία είναι η βάση των μαθηματικών. H ζωή του στο Κέιμπριτζ ήταν δύσκολη, παρ' όλες τις προσπάθειες του Χάρντι να αισθάνεται άνετα στο ψυχρό περιβάλλον του πανεπιστημίου. Το 1917 αρρώστησε και νοσηλεύτηκε πολλές φορές στο νοσοκομείο. H μεγάλη του αγάπη και η ικανότητά του στη θεωρία των αριθμών φαίνεται από το εξής περιστατικό. Ο Χάρντι τον επισκέφθηκε κάποτε στο νοσοκομείο και όταν τον συνάντησε του ανέφερε ότι το ταξί που τον μετέφερε είχε τον αριθμό 1729. Τότε ο Ραμανουτζάν απάντησε

-37-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”αμέσως ότι ο αριθμός αυτός είναι ο μικρότερος ακέραιος που μπορεί να αντιπροσωπευθεί με το άθροισμα δύο κυβικών δυνάμεων κατά δύο τρόπους (1729=13+123=93+103). Λόγω της επιδείνωσης της υγείας του ο Ραμανουτζάν επέστρεψε στην Ινδία το 1919 και τον επόμενο χρόνο πέθανε.

Ο Ραμανουτζάν πήρε τελικά το πτυχίο του από το Κέιμπριτζ το 1916, ενώ το 1918 εκλέχθηκε εταίρος της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου και του Trinity College του Κέιμπριτζ . Κατά τη διάρκεια της πεντάχρονης παραμονής του εκεί δημοσίευσε 21 εργασίες , αλλά άφησε και μεγάλο αδημοσίευτο έργο σε σκόρπια τετράδια. Το 1976 , 56 χρόνια μετά τον θάνατό του , βρέθηκε στο Κέιμπριτζ ένα τετράδιο 138 σελίδων που περιείχε 600 θεωρήματα. Πρόκειται για τη δουλειά που εκπόνησε στον έναν χρόνο που έζησε στην Ινδία πριν από τον θάνατό του. Ο Ραμανουτζάν, παρ' όλο που γνώριζε ότι έφθανε το τέλος, δούλευε συνεχώς ως τον θάνατό του. Ο καθηγητής Μπ. Μπερντ του Πανεπιστημίου του Ιλινόι των ΗΠΑ, και οι συνεργάτες του ασχολήθηκαν επί δεκαετίες με την ταξινόμηση και τη μελέτη του έργου του (4.000 θεωρήματα) το οποίο δημοσιεύτηκε σε πέντε τόμους από τον εκδοτικό οίκο Springer. Στο Πανεπιστήμιο του Μαντράς ιδρύθηκε προς τιμήν του το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στα μαθηματικά ενώ στo Avvai Kalai Kazhagam μουσείο. .Ο Ραμανουτζάν θεωρείται ο μεγαλύτερος μαθηματικός της Ινδίας , καλύτερος από τον Χίλμπερτ, ισάξιος του Γκάους και του Οϊλερ, και η ζωή του αποτελεί την πλέον ρομαντική και συγκινητική ιστορία των σύγχρονων μαθηματικών.

-38-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

Πάρα πολλοί ήταν οι Αρχαίοι Έλληνες που ασχολήθηκαν συστηματικά με τα μαθηματικά και τέραστιο ήταν το έργο που άφησαν στις επόμενες γενιές ανθρώπωνόχι μόνο στην Ελλάδα , αλλά και σ’ ολόκληρο τον κόσμο .Παραθέτουμε παρακάτω τους σημαντικότερους από αυτούς , καθώς και τα πεδία των μαθηματικών με τα οποία κυρίως ασχολήθηκαν .Αρκεί να τονίσουμε ότι η “ Ευκλείδεια Γεωμετρία” , την οποία διδάσκονται οι μαθητές στα Ελληνικά σχολεία , είναι η μοναδική παγκοσμίως παραδεκτή θεμελίωση της Γεωμετρίας , παρότι πολλοί ξένοι μεταγεννέστεροι μαθηματικοίπροσπάθησαν να την καταρρίψουν .

-39-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ    (640-546 π.Χ.) ΑΝΑΞΙΜΑΝΔΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ    (611-546 π.Χ.) ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ    (580-500 π.Χ.) ΦΙΛΟΛΑΟΣ Ο ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ    (480-400 π.Χ.) ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ Ο ΧΙΟΣ    (470-400 π.Χ.) ΟΙΝΟΠΙΔΗΣ Ο ΧΙΟΣ    (440 π.Χ άκμασε) ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒΔΗΡΙΤΗΣ    (460-370 π.Χ.) ΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ    (428-365 π.Χ.) ΠΛΑΤΩΝ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ    (427-347 π.Χ.) ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ    (417-369 π.Χ.) ΕΥΔΟΞΟΣ Ο ΚΝΙΔΙΟΣ    (407-354 π.Χ.) ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ    (375 π.Χ γέννηση) ΠΥΘΕΑΣ Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣ    (330 π.Χ. άκμασε) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ    (300 π.Χ. άκμασε) ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ    (320-250 π.Χ.) ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ    (287-212 π.Χ.) ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ    (276-194 π.Χ.) ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΠΕΡΓΑΙΟΣ    (265-170 π.Χ.) ΝΙΚΟΜΗΔΗΣ    (200 π.Χ. άκμασε) ΙΠΠΑΡΧΟΣ Ο ΝΙΚΑΕΥΣ    (190-120 π.Χ.) ΠΟΣΕΙΔΩΝΙΟΣ Ο ΡΟΔΙΟΣ    (135-51 π.Χ.) ΔΙΟΝΥΣΟΔΩΡΟΣ Ο ΜΗΛΙΟΣ    (2-1 αι. π.Χ.) ΔΙΟΚΛΗΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΥΣ    (1 αι. π.Χ.) ΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ    (1 αι. π.Χ. - 1 αι. μ.Χ.) ΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ    (1-2 αι. μ.Χ.) ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥΔΙΟΣ    (100-178 μ.Χ.) ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ    (250 μ.Χ. άκμασε) ΠΑΠΠΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ    (300 μ.Χ. άκμασε) ΥΠΑΤΙΑ Η ΘΕΩΝΟΣ    (370-415 μ.Χ.)

-40-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ

Ο Θαλής ο Μιλήσιος ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος, που δραστηριοποιήθηκε στις αρχές του 6ου αιώνα π.Χ. στη Μίλητο, ενώ θεωρείται ως ο Ιδρυτής της Ιωνικής σχολής, ή της σχολής της Μιλήτου, που θεωρείται μια εμβρυώδης μορφή υλιστικής σχολής . Γεννήθηκε το 624/623 π.Χ. Σε αυτή τη χρονολογία κατέληξαν οι ερευνητές μελετώντας τον Απολλόδωρο, ο οποίος αναφέρει ότι ο Θαλής σε ηλικία σαράντα ετών πρόβλεψε μια έκλειψη του Ήλιου που έγινε το Μάιο του 585 π.Χ. Ο Θαλής , πάντα σύμφωνα με τους ισχυρισμούς του Απολλόδωρου, πέθανε το 547/546 π.Χ .Πληροφορίες λένε ότι δεν σπούδασε σε καμία σχολή ούτε μαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο. Μόνο όταν ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Βαβυλώνα , γνωρίζοντας από κοντά τους αρχαίους πολιτισμούς των λαών. Συναναστράφηκε με διάφορους ιερείς – σοφούς της Αιγύπτου. Σε όλη τη διάρκεια της ζωής του παρέμεινε άγαμος και αφοσιωμένος στην θεωρητική και πρακτική ενασχόληση με τη φιλοσοφία και τις άλλες επιστήμες .Ήταν μια πολύπλευρη προσωπικότητα. Ασχολήθηκε με την αστρονομία και τα μαθηματικά, τη φυσική και την φιλοσοφία. Για τα επιστημονικά του επιτεύγματα λέγονται πολλά και είναι δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς πόσα από αυτά δεν οφείλονται στον θρύλο που δημιουργήθηκε γύρω από την προσωπικότητά του. Αναδείχτηκε σε οξυδερκή

-41-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”διανοητική και πολιτικά. Σε καίριες στιγμές παρενέβη στα πολιτικά πράγματα, όπως όταν συνέστησε στους Μιλήσιους να μη συμμαχήσουν με τον Κροίσο ή ότανσυμβούλευσε τις ιωνικές πόλεις να συμμαχήσουν μεταξύ τους  για να αντιμετωπίσουν τους κοινούς πιθανούς εχθρούς .Του αποδίδεται το έργο Ναυτική Αστρολογία, αλλά θεωρείται μάλλον αμφίβολο αν το έγραψε ο ίδιος . Για την ανασύσταση της σκέψης του βασιζόμαστε αποκλειστικά σε μαρτυρίες . Η παράδοση κατατάσσει τον Θαλή μεταξύ των επτά σοφών και τον περιγράφει ως άνθρωπο με πλατιές γνώσεις και μεγάλη επινοητικότητα . Το σημαντικότερο είναι, ωστόσο, ότι μέσω της προβληματικής του για την αρχή του κόσμου ανήγαγε τα πολλαπλά φαινόμενα του κόσμου σε μία απρόσωπη , μοναδική ή ενιαία αρχή, γεγονός που τον κατατάσσει δίκαια στη χορεία των φιλοσόφων.

Ο Θαλής είναι γνωστός και για την επιτυχημένη πρόβλεψη της ηλιακής έκλειψης του 585. Ανακάλυψε τις τροπές (ηλιοστάσια), το ετερόφωτο της Σελήνης, καθώς και τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό, από τις ελκτικές ιδιότητες του ορυκτού μαγνητίτη και του ήλεκτρου (κεχριμπάρι), δίδαξε τον προσανατολισμό από τον αστερισμό της Μικράς Άρκτου, κατασκεύασε το περίφημο « διαστημόμετρο » για τον υπολογισμό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά, υπολόγισε και το ύψος των πυραμίδων στην Αίγυπτο μετρώντας τον ίσκιο τους, τη στιγμή ακριβώς που ο δικός του ίσκιος ήταν ίσος με το πραγματικό του ύψος . Υπήρξε πάνω απ’ όλα βαθύς μελετητής και διδάσκαλος στο κατ’ εξοχήν « ιωνικό » φιλοσοφικό ζήτημα, εκείνο δηλαδή της φυσικής συστάσεως του Συμ-Παντός Κόσμου .Πρώτος ο Θαλής αναζήτησε την αρχή των όντων όχι στον Θεό, αλλά σε κάποιο φυσικό είδος . Η προσπάθειά του Θαλή να εξηγήσει τη φύση και το πλήθος των φυσικών

-42-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”φαινομένων, όχι πια με το μύθο και τη θρησκεία, αλλά ορθολογικά, τον τοποθετεί ιστορικά στην πρώτη θέση της αρχαιοελληνικής φιλοσοφικής παραδόσεως.Στην κοσμολογία του φιλόσοφου σημαντικό ρόλο παίζει το νερό (ύδωρ). Του αποδίδονται δύο κοσμολογικές απόψεις: « Η Γη έχει τη μορφή ενός κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό » και την άποψη « Το νερό είναι η αρχή των πάντων».Η ζωτική δύναμη του νερού και η τεράστια σημασία του στη φύση ήταν η αιτία που έκανε τον Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο. Στην Ορφική μυθολογία βρίσκουμε το « Ύδωρ » και την « Ύλη » σαν τα πρωταρχικά στοιχεία δημιουργίας της πρώτης ύλης του σύμπαντος .Η « Ύλη » δεν ορίζεται με την σημερινή επιστημονική έννοια, αλλά αποτελεί μια μορφή κοσμικής ύλης . Το « Ύδωρ » (νερό) , ο αέρας είτε άλλο στοιχείο είναι κατά τους Προσωκρατικούς φιλοσόφους συνυφασμένο με την ζωή , την ψυχή και τη δύναμη της φύσεως που κινεί τα πάντα (φύεσθαι) . Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη στο (Περί Ουρανού Β 13) ήταν η αρχαιότερη θεωρία που είχε διατυπωθεί και είχε παραδοθεί από τον Θαλή . Τούτη η άποψη φέρει ίχνη των ομηρικών και των ησιόδειων κοσμολογικών αντιλήψεων, ιδιαίτερα της εικόνας του Ωκεανού ποταμού που περιβάλλει την Γη και είναι πηγή όλων των υδάτων. Η ιδέα, όμως ότι κάτω από τη γη υπάρχουν νερά , στρέφει το ενδιαφέρον της έρευνας προς την πλευρά της Βαβυλωνιακής και της Αιγυπτιακής μυθολογίας και υποδεικνύει ως ένα βαθμό μια άμεση επαφή του Θαλή με τις μυθολογίες της Εγγύς Ανατολής . Είτε θεωρούσε ότι το νερό εκτός από κοσμογονική αρχή συμμετέχει στη σύσταση του κόσμου είτε όχι, το σημαντικό είναι ότι ο φιλόσοφος αφαιρεί από το νερό τη θεϊκή του ιδιότητα και το αναγνωρίζει μόνον ως φυσικό σώμα.

-43-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Όπως μας παραδίδει ο Αριστοτέλης στο Περί Ψυχής Α5 και Α3 ο Θαλής πίστευε πως ο κόσμος είναι γεμάτος θεούς (πάντα πλήρη θεών είναι) και ότι η ψυχή είναι κάτι το κινητικό (κινητικόν τι) . Πρόκειται ουσιαστικά για μια αρχαϊκή διατύπωση της θεωρίας του υλοζωισμού , σύμφωνα με την οποία ο κόσμος είναι ζωντανός και έμψυχος , γεγονός που πιστοποιείται από την κινητικότητά του. Ο υλοζωισμός στην νεότερη έννοιά του θεωρεί ως δομικό στοιχείο του κόσμου το φυσικό στοιχείο εννοώντας το ως έμβιο, ως οντότητα στην οποία η ύλη και η ενέργεια είναι αδιάσπαστα ενωμένες .Ο Θαλής , εκτός από φιλόσοφος , υπήρξε μεγάλος αστρονόμος και μαθηματικός . Ο Ηράκλειτος γράφει: « Θαλής πρώτος αστρολογήσαι ». Ο Ηρόδοτος αναφέρει πώς ο Θαλής συνόδευσε τον Κροίσο σε εκστρατεία του και με κατάλληλη διοχέτευση των νερών του ποταμού Αλύ διευκόλυνε τα στρατεύματά του στη διάβαση τους . Ο Θαλής προείπε την έκλειψη ηλίου το 585 π.Χ., και έγραψε επικούς στίχους  για τα ουράνια σώματα.Ο Διογένης Λαέρτιος γράφει για τον Θαλή στο 1o Βιβλίο του: « Κάποιοι λένε ότι πρώτος αυτός είπε πως οι ψυχές είναι αθάνατες. Ένας απ’ αυτούς είναι ο ποιητής Χοιρίλος. Πρώτος βρήκε την πορεία του ήλιου από ηλιοστάσιο σε ηλιοστάσιο και διατύπωσε την άποψη πως το μέγεθος του ήλιου και της σελήνης είναι ίσο με τον ένα επτακοσιοστό της τροχιάς του. Πρώτος ονόμασε την τελευταία μέρα του μήνα τριακοστή και πρώτος, όπως λένε μερικοί, ασχολήθηκε με τη φύση. Ως πολιτικός επίσης υπήρξε διαπρεπής. Όταν ο Κροίσος έστειλε πρέσβεις στους Μιλήσιους για να ζητήσει συμμαχία, ο Θαλής τους εμπόδισε. Πράγμα το οποίο μετά την επικράτηση του Κοίρου αποδείχτηκε σωτήριο για την πόλη. Πρωταρχική αιτία όλων θεωρούσε το νερό και για τη φύση έλεγε πως είναι έμψυχη και γεμάτη θεότητες. Λένε πως αυτός βρήκε τις εποχές του χρόνου και τον διαίρεσε σε τριακόσιες εξήντα πέντε μέρες ».Ο Πλάτων στον Θεαίτητο (174 α) περιγράφει την παρακάτω ιστορία για τον Θαλή: 

-44-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”« Λέγεται ότι μία πνευματώδης και νόστιμη Θρακιώτισσα υπηρέτρια πείραξε τον Θαλή, που καθώς παρατηρούσε τ’ άστρα και χάζευε προς τα πάνω έπεσε σ’ ένα πηγάδι, του είπε δηλαδή ότι τον έτρωγε η επιθυμία να μάθει τι βρίσκεται στον ουρανό, αλλά του ξέφυγε ό,τι βρισκόταν πίσω του και πλάι στα πόδια του».

Συνοπτικά, ο Θαλής στη Αστρονομία: Ανακάλυψε (με σκιοθηρικό γνώμονα) την

ανισότητα των εξαμήνων (θερινού και χειμερινού) . Μέτρησε τη διάρκεια του έτους (365 ημέρες) . Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του

Ήλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος .

Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης Βορράς-Νότος .

Πρόβλεψε μία έκλειψη Ηλίου (Μάιος 585 π.Χ.) . Έγραψε τα βιβλία « Περί Τροπής και Ισημερίας

» και « Ναυτική Αστρολογία ». Διατύπωσε την άποψη ότι το σχήμα της Γης

είναι σφαιρικό, καθώς και ότι τα άστρα αποτελούνται από τα ίδια συστατικά με τη Γη .

Υπολόγισε τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την φαινόμενη τροχιά του γύρω από τη Γη, καθώς και της διαμέτρου της Σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την Γη και τους βρήκε 1/720.

Ως μαθηματικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωμετρία από το ομώνυμο θεώρημα για τα τμήματα που αποτέμνονται από παράλληλες ευθείες του επιπέδου πάνω

-45-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”σε δύο άλλες ευθείες του και το ανάλογο του στη γεωμετρία του χώρου . Το θεώρημα της γεωμετρίας πως οι γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους οφείλεται επίσης σ’ αυτόν. Η κυριότερη προσφορά του Θαλή στην επιστήμη των μαθηματικών, αυτή ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως , γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του«σκέπτεσθαι» μέχρι εκείνη την εποχή .

Συνοπτικά, ο Θαλής στη Γεωμετρία: Εισήγαγε την έννοια των παραλλήλων ευθειών . Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους

θεωρήματα . Μελέτησε τους Σκιοθηρικούς γνώμονες και τα τρίγωνά

τους με τις σκιές τους . Εισήγαγε την απόδειξη των γεωμετρικών προτάσεων,

στηριγμένη σε ορισμούς , αξιώματα και κοινές έννοιες της Λογικής .

Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνων.

Ανακάλυψε το ομώνυμό του, Θεώρημα του Θαλή: « Όταν οι παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες , τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης . Κάθε παράλληλη προς μια πλευρά τριγώνου χωρίζει τις άλλες πλευρές του, σε ίσους λόγους . Όμως ισχύει και το αντίστροφο αν σε ένα τρίγωνο χωρίζει σε ίσους λόγους τις δυο πλευρές , τότε είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά » .

Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης σε Ημικύκλιο .

Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τριγώνου .

Υπολόγισε με όμοια τρίγωνα το Ύψος των Πυραμίδων (περί το 565 π.Χ.) .

Υπολόγισε με όμοια τρίγωνα την απόσταση πλοίου από το λιμάνι.

-46-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Είναι ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο μαγνήτης (Fe 0) ή επιτεταρτοξέιδιο του σιδήρου ασκεί ελκτικές δυνάμεις σε σιδερένια αντικείμενα . Οι ανακαλύψεις των ηλεκτρικών και μαγνητικών ιδιοτήτων ορισμένων υλικών, ώθησαν το Θαλή στη διατύπωση τηςθεωρίας ότι καθετί που υπάρχει στην φύση έχει ψυχή . Από την εξήγηση που έδωσε ότι οι ετήσιες (μελτέμια) προκαλούν τις πλημμύρες του ποταμού Νείλου, πιθανολογείται ότι πρέπει να ασχολήθηκε και με τη μελέτη μετεωρολογικών φαινομένων, χωρίς όμως να σωθούν οι παρατηρήσεις και οι μελέτες που έκανε.Όσον αφορά την φυσική, με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε μάλλινο ρούχο , αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες μικρά φτερά κ.λ.π., ο Θαλής έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού. Αρκετούς αιώνες μετά η παραγωγή ηλεκτρισμού με τη χρήση της τριβής πραγματοποιήθηκε με τη βοήθεια των ηλεκτροστατικών μηχανών. Στο Θαλή οφείλετε και η ανακάλυψη του μαγνητισμού.Το σύνολο του έργου του προκάλεσε τον θαυμασμό όλων των Προσωκρατικών Φιλοσόφων, οι οποίοι από τον Θαλή και μετά θεωρούσαν υποχρέωσή τους να καταθέτουν γραπτά τις απόψεις τους, για τα τότε ερωτήματα, σε έργα με τον συνήθη τίτλο « Περί Φύσεως » . Έτσι από τον Θαλή και μετά όλοι οι Προσωκρατικοί Φιλόσοφοι χαρακτηρίστηκαν ως «Φυσικοί».Όταν τον ρωτούσαν γιατί δεν παντρεύεται έλεγε « ουδέπω καιρός », ενώ όταν πέρασαν τα χρόνια έλεγε « ουκέτι καιρός ».Ο Θαλής δεν ενδιαφερόταν για τα χρήματα. Γι’ αυτό, οι φίλοι και συγγενείς του τον κορόιδευαν ότι τάχα δεν μπορούσε να πλουτίσει. Ο Θαλής, όμως, σαν άριστος μετεωρολόγος, προέβλεψε ότι εκείνη τη χρονιά θα είχαν οι ελαιώνες καλή σοδειά , ενοικίασε τη σοδειά της Μιλήτου και της Χίου κι όταν έφτασε η συγκομιδή , κέρδισε πάρα πολλά χρήματα και τότε μπόρεσε να πει: «Εμείς μπορούμε να κερδίσουμε ότι ώρα θέλουμε χρήματα, αλλά προτιμούμε να ασχολούμαστε με πιο σοβαρά πράγματα».Κατά τον Έρμιππο ο Θαλής συνήθιζε να λέει: « Για τρία πράγματα ευγνωμονώ την τύχη. Ότι γεννήθηκα πρώτα

-47-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”άνθρωπος και όχι θηρίο, δεύτερον άντρας και όχι γυναίκα και τρίτο, Έλληνας και όχι βάρβαρος » .Ο Θαλής πέθανε σε ηλικία 78 ετών, παρακολουθώντας αθλητικούς αγώνες εξαιτίας της ζέστης, της δίψας και της εξάντλησης. Στον τάφο του, οι συμπολίτες του Μιλήσιοι χάραξαν στον τάφο του το εξής επίγραμμα: « Ει ολίγον το δε σήμα, το δε κλέος ουρανόμηκες », δηλαδή « Ο χώρος μεν που πιάνει ο τάφος σου είναι μικρός, αλλά η δόξα σου εκτείνεται μέχρι τον ουρανό » .

ΑΝΑΞΙΜΑΝΔΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ

Ο Αναξίμανδρος ήταν ο Έλληνας προσωκρατικός φιλόσοφος από τη Μίλητο (610 π.χ. - 546 π.χ.) . Υπάρχει ένα θέμα με τις χρονολογία γέννησης και θανάτου του . Υπάρχει η άποψη πως γεννήθηκε στη Μίλητο το 547 π.χ. και άλλοι το 611 π.Χ . Σίγουρο είναι ότι ήταν γιός του Πραξιάδη και μαθητής του Θαλή . Ασχολήθηκε με πολλές επιστήμες γεωγραφία, μαθηματικά. και ιδιαίτερα με την Αστρονομία . Εξήγησε την δημιουργία του κόσμου εκκινώντας από το άπειρο, το οποίο θεωρούσε την πρωταρχική υλική ουσία . Ήταν ο πρώτος φιλόσοφος που εισήγαγε τον όρο " αρχή " και πρέσβευε ότι το άπειρον δεν έχει αρχή , αλλά είναι η αρχή των πάντων είναι " αθάνατον και ανόλεθρον " , " περιέχει δε άπαντα και πάντα κυβερνά " . Θεωρούσε ότι από το άπειρο γεννιούνται και σε αυτό επιστρέφουν συνεχώς άπειροι κόσμοι .Ο Αναξίμανδρος είναι ο πρώτος που έκανε μία μεθοδική επιστημονική προσπάθεια να εξηγήσει φιλοσοφικά όλες τις πτυχές της ανθρώπινης εμπειρίας εγκαταλείποντας τις μέχρι τότε μυθολογικές διατυπώσεις για την αρχή, τη γένεση και την φθορά των όντων .

-48-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Από το άπειρο ξεχώρισε μια φλόγα και ο νεφελώδης αέρας . Στον πυρήνα του νεφελώματος συμπυκνώθηκε η Γη , ενώ φλόγα έζωνε τον αέρα . Κατόπιν η πύρινη σφαίρα εξερράγη και διαλύθηκε σε κύκλους τυλιγμένους από νεφελώδη αέρα . Οι κύκλοι απλώθηκαν και σχημάτισαν τα ουράνια σώματα . Ο κόσμος ως Όλον έχει μορφή σφαίρας και στο κέντρο του πίστευε ότι είναι τοποθετημένη η Γη , η οποία έχει κυλινδρική μορφή με πλάτος τριπλάσιο από το μήκος , δεν στηρίζεται πουθενά και βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος, απέχοντας ίσα από όλα τα σημεία του , ενώ οι άνθρωποι κατοικούν στην επάνω επιφάνεια .Ακόμα , γνώριζε τη λόξωση της εκλειπτικής , ( Λόξωση της εκλειπτικής ονομάζεται η γωνία 28 μοιρών που σχηματίζει το επίπεδο της εκλειπτικής με το επίπεδο του ουράνιου ισημερινού. Οι 4 εποχές του έτους οφείλονται στη λόξωση της εκλειπτικής ) πίστευε ότι ο Ήλιος είναι 28 φορές μεγαλύτερος από τη Γη και διάπυρος , πως η Σελήνη είναι ετερόφωτο σώμα που φωτίζεται από τον Ήλιο , σε αντίθεση με τους αστέρες που είναι αυτόφωτα σώματα . Λέγεται, ότι εισήγαγε τη χρήση του γνώμονα στην αρχαία Ελλάδα και ότι κατασκεύασε χάρτη του γνωστού τότε κόσμου .

Επιπλέον είναι ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος που έγραψε τις πραγματείες του σε πεζό λόγο (οι μέχρι τότε φιλόσοφοι έγραψαν σε στίχους) . Επίσης σ' αυτόν αποδίνεται ο όρος αρχή που καθιερώθηκε από τότε στη φιλοσοφική ορολογία .Ο Αναξίμανδρος λοιπόν είναι , από όσα ξέρουμε , ο πρώτος που προσπάθησε να εξηγήσει την προέλευση του ανθρώπου , γεγονός που μας οδηγεί στη σκέψη ότι ο φιλόσοφος είδε την γένεση του κόσμου και της ζωής ως μια ενιαία εξελικτική διαδικασία , που δεν απέχει πολύ από τη σύγχρονη εξελικτική θεωρία . Η θεωρία της εξελίξεως του Δαρβίνου , είναι φανερό , πως βρίσκει σπερματικά την αρχή της στην παραπάνω θεωρία του Αναξίμανδρου .Ο Αναξίμανδρος προσδιορίζει το άπειρον ως στοιχείο

-49-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”αγέννητο , άφθαρτο και αθάνατο . Το άπειρο δεν είναι μείγμα των υλικών στοιχείων ούτε άυλη νοητική αρχή: είναι ύλη που περιέχει τα πάντα . Από το άπειρο αποσπώνται οι αντίθετες ύλες " ψυχρόν " και " θερμόν " και από την ανάμιξή τους το νερό . Από το νερό προκύπτουν τα άλλα στοιχεία , η γη , ο αέρας και η φωτιά . Από τον αέρα και τη φωτιά σχηματίζονται τα αστέρια που έχουν την λάμψη της φωτιάς και την ρυθμική κίνηση των ρευμάτων του αέρα . Θεωρούσε ότι η γη δε στηρίζεται πουθενά , αλλά αιωρείται ελεύθερη στο διάστημα εξαιτίας δυνάμεων που ασκούνται πάνω της και αλληλοεξουδετερώνονται . Όσον αφορά το σχήμα της γης , έδωσε μια ενδιάμεση θεώρηση μεταξύ της θεωρίας του Θαλή - ότι η γη είναι δίσκος - και της θεωρίας των Πυθαγορείων - ότι η γη είναι σφαίρα - , ότι δηλαδή η γη είναι ένας ελλιπής κύλινδρος σε αναλογία με το σχήμα μιας κολόνας . Η εικόνα του κόσμου για τον Αναξίμανδρο είναι βασισμένη σε μαθηματικές έννοιες . Ο κόσμος ως Όλον έχει μορφή σφαίρας και στο κέντρο του είναι τοποθετημένη η γη , που έχει μορφή κυλίνδρου και το πλάτος της είναι τριπλάσιο από το βάθος της . Η γη αιωρείται στο σύμπαν και δεν μεταβάλλει ποτέ τη θέση της - ούτε είναι ριζωμένη σε ένα στέρεο υπόβαθρο , όπως λέει η μυθική κοσμολογία . Εφόσον η γη είναι τοποθετημένη στο κέντρο , έχει συμμετρική απόσταση από όλα στη σφαίρα του σύμπαντος . Ενώ η γη αιωρείται , ο ήλιος , η σελήνη και τα άστρα κινούνται κυκλικά. Ο κύκλος που διαγράφει ο ήλιος είναι είκοσι επτά φορές μεγαλύτερος από τη διάμετρο της γης , ο κύκλος της σελήνης δέκα οκτώ φορές και ο κύκλος των απλανών αστέρων εννέα φορές . Η ιδέα αυτής της μηχανικής ερμηνείας της κυκλικής αστρικής κινήσεως διασώζεται από τον Αέτιο και υπήρξε αποφασιστική στην ιστορία της αστρονομίας . Ο Αναξίμανδρος διατύπωσε επίσης και μια πρώιμη εξελικτική θεωρία, βάσει της οποίας οι πρώτοι οργανισμοί γεννήθηκαν μέσα στο υγρό στοιχείο, όταν αυτό εξ αιτίας της ηλιακής θερμότητας εξατμίσθηκε. Αρχικά τα πρώτα ζώα ήταν περιτυλιγμένα μέσα σε ένα αγκαθωτό φλοιό. Έπειτα βγήκαν από το υγρό στοιχείο στην ξηρά και

-50-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”αφού έσπασαν τον αγκαθωτό φλοιό, άρχισαν να προσαρμόζονται στο καινούργιο περιβάλλον .

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ

Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος , υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος , μαθηματικός , γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής . Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών και δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων, που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις . Γεννήθηκε σε χρονολογία που δεν μας είναι γνωστή , αλλά που εικάζεται πως είναι μεταξύ των ετών 580 - 572 π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάμος . Πέθανε στο Μεταπόντιον της Ιταλικής Λευκανίας σε μεγάλη ηλικία, περί το 500 - 490 π.Χ .Το αντικείμενο ενασχόλησης του Πυθαγόρα ήταν η καθοδήγηση μιας « εταιρείας ». Αυτή η εταιρεία ήταν μία μυστική , θρησκευτική κίνηση , που είχε αναπτύξει και έντονη πολιτική δραστηριότητα .Οι Πυθαγόρειοι του 5ου αιώνα π.Χ συγκαταλέγονται στους πιο σημαντικούς επιστήμονες του καιρού τους και ο Πυθαγόρας φαίνεται να ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για την επιστήμη . Στο Πυθαγόρειο σύστημα οι θρησκευτικοί και φιλοσοφικοί στόχοι είναι αλληλένδετοι .Από την εποχή του Doring έχει προβληθεί η σκέψη πως η ιδέα της κάθαρσης αποτελεί κλειδί για την κατανόηση της σχέσης θρησκείας και επιστήμης στον αρχικό Πυθαγορισμό . Η ιδέα της κάθαρσης δια της επιστήμης , απ΄ ό,τι είναι γνωστό , δεν αποδόθηκε στον Πυθαγόρα παρά μόνο από τον Ιάμβλιχο . Βέβαια ο Αριστόξενος , ο Ηρόδοτος , ο Εμπεδοκλής και ο Ίωνας από την Χίο αποκαλούν τον

-51-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Πυθαγόρα: « πολυμαθή, ιστορικό και σοφιστή » .Γύρω από το χαρακτηρισμό του Πυθαγόρα ως « σοφιστή » επικρατεί διχογνωμία. Μερικοί στη λέξη σοφιστής δίνουν την έννοια « επιστήμονας » , σημασιολόγηση που άλλοι απορρίπτουν. Η λέξη σοφιστής σύμφωνα με τους Liddel και Scott αρχικά σήμαινε από τη μια αυτόν που κατείχε καλά την τέχνη του και από την άλλη τον φρόνιμο, τον συνετό .Αρχικά είχαν αποδοθεί στον Πυθαγόρα οι ιδιότητες του « σαμάνου » : του εκστασιαζόμενου , δηλαδή , μάγου και θεραπευτή , του θαυματοποιού θεραπευτή.Ο Εκαταίος ο Αβδηρίτης και ο Αντικλείδης παρουσιάζουν τον Πυθαγόρα ως τον εισηγητή της γεωμετρίας στην Ελλάδα από την Αίγυπτο . Στον ίδιο τον Πυθαγόρα αποδίδονται οι βασικές ιδέες της « θεωρίας » του « κόσμου » και της « κάθαρσης » , ιδέες που συνέχουν τις δύο τάσεις της Πυθαγόρειας σχολής , την επιστημονική και τη θρησκευτική .

O Αέτιος λέει πως ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη « κόσμος » , αποδίδοντάς της την έννοια της « του όλου περιοχής » . Την άποψη του Αετίου αμφισβητούν οι Kirk και Raven, υποστηρίζοντας πως ο Πυθαγόρας χρησιμοποιούσε τη λέξη « κόσμος » με την έννοια της τάξης του σύμπαντος . Στοχαζόμενος την αρχή της τάξης , που αποκαλύπτεται ότι διέπει το σύμπαν και ρυθμίζει την κίνηση των ουράνιων σωμάτων, και εφαρμόζοντας την κοσμική τάξη στον εσωτερικό του κόσμο, ο άνθρωπος μπορεί προοδευτικά να αποκτήσει « αθανασία » .Μια πολύ σημαντική ανακάλυψη που έκανε ο Πυθαγόρας είναι η αριθμητική ερμηνεία του σύμπαντος . Μετρώντας τα κατάλληλα μήκη της χορδής ενός μονόχορδου, διαπίστωσε πως τα σύμφωνα μουσικά διαστήματα μπορεί να εκφρασθούν σε απλές αριθμητικές αναλογίες των τεσσάρων πρώτων ακεραίων αριθμών. Σ΄αυτόν αποδίδονται οι αριθμητικοί λόγοι της οκτάβας (2/1, δια πασών), της τέταρτης (4/3, δια τεσσάρων), της πέμπτης (3/2, δια πέντε) και του μείζονος

-52-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”τόνου (9/8 που είναι η διαφορά μεταξύ τέταρτης και πέμπτης) . Το ενδιαφέρον του Πυθαγόρα για τη μουσική αρμονία οδηγεί στη σκέψη σε αυτόν να αποδοθεί και η θεωρία της « Αρμονίας των Σφαιρών » . Επίσης έχουν αποδοθεί σε αυτόν διάφορες γεωμετρικές ανακαλύψεις με γνωστότερο το ομώνυμό του θεώρημα .Ορισμένοι αρχαίοι συγγραφείς απέδωσαν στον Πυθαγόρα την ανακάλυψη πως ο Εωσφόρος (Αυγερινός) και ο Έσπερος (Αποσπερίτης) είναι ένας και ο αυτός αστέρας της Αφροδίτης . Άλλοι απέδωσαν αυτήν την ανακάλυψη στον Παρμενίδη. Επειδή από παιδί ο Πυθαγόρας έδειχνε πως ήταν ικανός για κάθε σπουδή , ο Μνήσαρχος τον οδήγησε στην Τύρο και φρόντισε να μυηθεί στις διδασκαλίες των Χαλδαίων. Από εκεί ο Πυθαγόρας ήρθε ξανά στην Ιωνία και συναναστράφηκε αρχικά με τον Φερεκύδη από τη Σύρο κι έπειτα με τον Ερμοδάμαντα τον Κρεοφύλειο από την Σάμο . Όταν δε ο Μνήσαρχος απέπλευσε προς την Ιταλία , πήρε μαζί του τον νεαρό Πυθαγόρα στην Ιταλία , σύμφωνα με την εκδοχή του Νεάνθη.Όμως, η επικρατέστερη εκδοχή μεταξύ των αρχαίων συγγραφέων, που παραδίδουν οι Απολλώνιος στο " Περί Πυθαγόρου " , Πορφύριος στο " Πυθαγόρου Βίος " και Ιάμβλιχος στο " Περί του Πυθαγορείου βίου " θέλει τον Μνήσαρχο όχι μόνον Σάμιο αλλά και απόγονο του Αγκαίου, του πρώτου αποικιστή της Σάμου . Λέγεται λοιπόν ότι ο Μνήσαρχος και η Πυθαΐς, οι γονείς του Πυθαγόρα , προέρχονταν από τον οίκο και την γενιά που δημιουργήθηκε από τον Αγκαίο , τον ιδρυτή της αποικίας της Σάμου . Επειδή δε η ευγενική αυτή καταγωγή θρυλείτο μεταξύ των συμπολιτών του Πυθαγόρα, κάποιος Σάμιος ποιητής ισχυρίζεται ότι ο Πυθαγόρας ήταν γιος του Απόλλωνα και αναφέρει τα εξής σχετικά:

" Τον Πυθαγόρα , που εγέννησε από τον Απόλλωνα τον φίλο του Διός ,

-53-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”η Πυθαΐς , η ομορφότερη μεταξύ των Σαμίων " .Η φήμη αυτή επικράτησε για τον εξής λόγο: Όταν ο Μνήσαρχος βρέθηκε στους Δελφούς για εμπορικούς λόγους , μαζί με την γυναίκα του που δε γνώριζε ακόμη ότι ήταν έγκυος , ζήτησε χρησμό από την Πυθία σχετικά με το επικείμενο ταξίδι του προς την Συρία . Η Πυθία χρησμοδότησε ότι αυτός μεν θα δοκιμάσει μεγάλη ευχαρίστηση και θα αποκτήσει πολλά χρήματα , η δε γυναίκα του ότι εγκυμονεί ήδη και πως θα γεννήσει παιδί που θα διαφέρει κατά την ωραιότητα και τη σοφία από όλους τους ανθρώπους και θα καταστεί πάρα πολύ ωφέλιμο στο ανθρώπινο γένος . Ο Μνήσαρχος κατανοώντας πως κάτι σπουδαίο και θεόσταλτο θα προέκυπτε, μετονόμασε μάλιστα την γυναίκα του από Παρθενίδα σε Πυθαΐδα μετά το χρησμό . Κατόπιν επιχείρησε το ταξίδι που σχεδίαζε έχοντας λάβει τόσο ευνοϊκή προτροπή, με αποτέλεσμα όσο βρισκόταν στην φοινικική Σιδόνα να γεννήσει η Πυθαΐδα το γιο τους . Ο Μνήσαρχος ονόμασε το νεογέννητο Πυθαγόρα καθώς είχε προφητευτεί από τον Πύθιο Απόλλωνα .Πράγματι ήταν γεγονός αδιαμφισβήτητο από τους αρχαίους ότι η ψυχή του Πυθαγόρα είχε αποσταλεί από την ανώτατη αρχή του Απόλλωνα, είτε επειδή ήταν συναφής είτε κατ' άλλον τρόπο συνδεδεμένη με τον θεό. Η ίδια του η γέννηση και η ποικίλη σοφία της ψυχής του το αποδείκνυαν ολοφάνερα. Όταν ο Μνήσαρχος επέστρεψε στη Σάμο με πολλά κέρδη και μεγάλη περιουσία, έχτισε ιερό του Πύθιου Απόλλωνα και πρόσεξε ιδιαίτερα την ανατροφή του παιδιού του, αναθέτοντάς την παράλληλα πότε στον Κρεώφυλο , πότε στον Φερεκύδη από τη Σύρο καθώς επίσης και σε ιερείς .Ο νεαρός Πυθαγόρας μεγάλωνε με μεγάλη σεμνότητα και σωφροσύνη και έγινε όμορφος στην εμφάνιση πολύ περισσότερο από άλλους νέους. Απελάμβανε δε κάθε είδους σεβασμό ακόμη και από τους πολύ μεγαλύτερούς του σε ηλικία πολίτες . Όταν ομιλούσε μετέστρεφε τους πάντες με το μέρος του και εφαίνετο αξιοθαύμαστος ώστε από τους πολλούς να βεβαιώνεται με κάθε φυσικότητα πώς ήταν πράγματι υιός του θεού Απόλλωνος. Ενθαρρυνόμενος από τις σχετικές αυτές δοξασίες και την παιδεία που έλαβε από

-54-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”βρέφος και από τη φυσική του ομορφιά, ακόμη περισσότερο κατέβαλλε προσπάθεια να αποδεικνύει τον εαυτό του άξιο των προτερημάτων που τον διεκοσμούσαν. Όλα όσα έλεγε ή έπραττε τα έκανε με μειλιχιότητα , δίχως να κυριεύεται ούτε από οργή, ούτε από ζήλεια , ούτε από εριστικότητα ούτε από άλλη διαταραχή ή επιπολαιότητα . Μεγάλη θρησκευτικότητα χαρακτήριζε τη συμπεριφορά του και ακολουθούσε ιδιαίτερα σημαντικές δίαιτες, με ισορροπία ψυχής και εγκράτεια σώματος .

Με την προσωπικότητα και την ευφράδεια της ομιλίας του, κέρδισε τον θαυμασμό και την εκτίμηση όλων και κατέστη κοινωνός των διδασκαλιών των. Μάλιστα ο Θαλής διακρίνοντας την μεγάλη διαφορά του Πυθαγόρα εν συγκρίσει με τους άλλους νέους , του παραστάθηκε με ευχαρίστηση και του μετέδωσε όσες γνώσεις κατείχε, που ήταν δυνατόν να μεταδοθούν. Κοντά στον Θαλή ο Πυθαγόρας έλαβε την πρώτη του σοβαρή εκπαίδευση πάνω στα μαθηματικά, τη γεωμετρία και όσα έχουν σχέση με τους αριθμούς και τους υπολογισμούς .Ήταν ο Θαλής που προέτρεψε τον Πυθαγόρα να μεταβεί στην Αίγυπτο και να συναναστραφεί με τους ιερείς της Μέμφιδος και της Διοσπόλεως , από τους οποίους ο ίδιος ο Θαλής είχε λάβει πολλές γνώσεις , προλέγοντας πως εάν ο Πυθαγόρας ερχόταν σε επαφή μαζί τους , θα γινόταν θεϊκότερος και σοφότερος από όλους τους ανθρώπους . Ο νεαρός Πυθαγόρας έχοντας βελτιώσει τις διατροφικές του συνήθειες κοντά στον Θαλή , χρησιμοποιώντας με άριστο μέτρο ελαφρές και ευκολοχώνευτες τροφές, δίχως υπερβολές στην οινοποσία, απέκτησε πολύ καλή υγεία, την ικανότητα να κοιμάται λίγο καθώς και διαύγεια και καθαρότητα ψυχής . Ακολουθώντας την προτροπή του διδασκάλου του, απέπλευσε προς την Σιδώνα θεωρώντας πως από εκεί θα μετέβαινε ευκολότερα προς την Αίγυπτο . Εκεί συνάντησε τους απογόνους του Μώχου, του φυσιολόγου-μάντη , και τους άλλους ιεροφάντες της

-55-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Φοινίκης και μυήθηκε στα ιερά μυστήρια της Βύβλου και της Τύρου και εις τις τελετουργίες που ιερουργούνται σε πολλά μέρη της Συρίας . Όχι από λόγους δεισιδαιμονίας αλλά από μεγάλη επιθυμία και όρεξη για μάθηση, για να μην του διαφύγει κάτι αξιοσπούδαστο που υποκρύπτεται στα απόρρητα μυστήρια των Θεών και στις ιερές τελετές . Εκεί έμαθε πως τα περισσότερα τελετουργικά στοιχεία είναι " άποικα " , δηλαδή προέρχονται από αλλού και ότι κατάγονται από τα ιερά της Αιγύπτου . Έτσι, αποφάσισε να διαπλεύσει προς την Αίγυπτο ελπίζοντας ότι εκεί θα μετάσχει σε μυστήρια θειότερα και γνησιότερα .Ο Ιάμβλιχος διηγείται πως κατά το ταξίδι οι αιγύπτιοι ναύτες είχαν σκεφθεί να τον πουλήσουν διότι πίστευαν πως θα βγάλουν μεγάλο κερδος από την πώληση ενός τέτοιου νέου, όμως εντός ολίγων ημερών άλλαξαν γνώμη βλέποντας την ασυνήθιστα ήρεμη και επιβλητική συμπεριφορά του Πυθαγόρα , καθώς και την μεγάλη του ικανότητα εγκράτειας στην τροφή το ποτό και τον ύπνο . Επιπλέον, το πλοίο φαινόταν να προχωρεί με ευθύτητα και ομαλά , σαν να παραστεκόταν κάποιος θεός . Έτσι οι ναύτες πίστεψαν πώς είναι θείος δαίμονας και διήνυσαν το υπόλοιπο ταξίδι με ευχάριση διάθεση, συμπεριφερόμενοι σεμνότερα προς τον φιλόσοφο, ώσπου το πλοίο έφθασε στα παράλια της Αιγύπτου δίχως να συναντήσει τρικυμία.

Αυτή την εκδοχή παραδίδει ο Ιάμβλιχος , ο Πορφύριος όμως γράφει ότι ο Πυθαγόρας για να μεταβή εις την Αίγυπτο εξασφάλισε συστατικές επιστολές από τον τύραννο της Σάμου Πολυκράτη για τον βασιλέα της Αιγύπτου Άμασι με τον οποίο ο Πολυκράτης συνδεόταν με δεσμούς φιλοξενίας , ώστε να μπορέσει να γίνει δεκτός από τους Αιγύπτιους ιερείς για να διδαχθεί .Όπως και να έχει, φαίνεται πως πρώτα ήλθε εις την Ηλιούπολη και από εκεί ταξίδεψε προς την Μέμφιδα και κατόπιν έφθασε εις την Διόσπολη . Οι Αιγύπτιοι ιερείς για να δοκιμάσουν την αντοχή του τον υπέβαλλαν σε δύσκολα

-56-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”προστάγματα εντελώς αντίθετα με την ελληνική αγωγή , νομίζοντας ότι ως ξένος δεν θα τα κατάφερνε στην σκληρή αιγυπτιακή ιερατική εκπαίδευση . Όμως ο Πυθαγόρας επιτέλεσε όλα τα προστάγματα με μεγάλη προθυμία και τόσο πολύ θαυμάστηκε που έλαβε την άδεια να θυσιάζει στους Θεούς και να παίρνει μέρος στις φροντίδες γι'αυτούς , προνόμιο που δεν αναφέρεται να παραχωρήθηκε σε κανέναν άλλο ξένο . Εκεί εντρύφησε ακόμη περισσότερο στη γεωμετρία και την αστρονομία τελειοποιώντας τις γνώσεις του κι έφθασε στο απόγειο της μάθησης της επιστήμης των αριθμών και της μουσικής .Σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο ο Πυθαγόρας έμεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο και κατόπιν μεταφέρθηκε στη Βαβυλώνα , αιχμάλωτος από τους στρατιώτες του Καμβύση και ότι εκεί πέρασε ευχάριστα , συναναστρεφόμενος τους Μάγους , δηλαδή τους Πέρσες ιερείς και διδασκόμενος θεολογικά και αστρονομικά θέματα για άλλα δώδεκα έτη , επιστρέφοντας στη Σάμο άγων ήδη το πεντηκοστό έκτο έτος της ηλικίας του. Ο Πορφύριος όμως παραλαμβάνοντας την πληροφορία από τον Αριστόξενο αναφέρει πως ήταν περίπου 40 ετών όταν έφυγε από τη Σάμο για την Ιταλία. Όταν ο Πυθαγόρας επέστρεψε στη Σάμο, κατασκεύασε διδασκαλείο ημικυκλικό που για αιώνες αργότερα διατηρήθηκε με την ονομασία « ημικύκλιο του Πυθαγόρα » , στο οποίο οι Σάμιοι συσκέπτονταν για τα κοινά . Το λίγο διάστημα που έμεινε στην πατρίδα του, ασχολήθηκε με τη διδασκαλία κάποιων νέων, μεταξύ των οποίων ήταν ο Ευρυμένης ο Σάμιος , αθλητής που νίκησε πολλούς και μεγάλους αθλητές στους Ολυμπιακούς Αγώνες . Ενώ οι άλλοι αθλητές σύμφωνα ακόμη με τον αρχαίο τρόπο τρέφονταν με τυρί και σύκα , εκείνος υπακούοντας στον Πυθαγόρα έτρωγε καθημερινά μια ορισμένη ποσότητα κρέατος , δυναμώνοντας το σώμα του. Ο δε Πυθαγόρας του σύστηνε να γυμνάζεται, αλλά να μην αποβλέπει στην νίκη ώστε να αποφεύγει τους φθόνους που αυτή επιφέρει. Φέρεται να δίδασκε την αρχή της Ύβρεως και της Νέμεσης και γι' αυτό επινόησε τη Δικαία Κούπα. Είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί .

-57-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Επίσης φέρεται να υποκίνησε την μάθηση της γεωμετρίας σε έναν νέο με το τέχνασμα να πληρώνει το νέο τρεις οβολούς για κάθε μάθημα που παρακολουθούσε.

Όταν ο νέος είχε αντιληφθεί πλέον την υπεροχή των μαθηματικών και με ευχαρίστηση τα μάθαινε, ο Πυθαγόρας προφασίστηκε αδυναμία καταβολής των τριών οβολών . Όπως το περίμενε, ο νέος αρνήθηκε να σταματήσει τα μαθήματα , δίχως να τον ενδιαφέρει πλέον ο μισθός . Τότε ο Πυθαγόρας προφασίστηκε πως έπρεπε να εργαστεί για τα αναγκαία και δεν είχε άλλο χρόνο διαθέσιμο για να τον διδάσκει , αλλά ο νέος τόσο πολύ είχε αγαπήσει τα μαθηματικά που πρότεινε ο ίδιος μισθό τριών οβολών στον Πυθαγόρα για κάθε μάθημα . Λέγεται πως ο νέος ήταν συνονόματος του Πυθαγόρα (και υιός του Ερατοκλέους) και πως απέπλευσε μαζί με το δάσκαλό του, όταν αυτός αποφάσισε να φύγει από την Σάμο .Ο Πυθαγόρας επιχειρούσε με κάθε τρόπο να μεταδώσει στους συμπατριώτες του τα μαθήματα των αριθμών καθώς και άλλες γνώσεις της πολύ πλούσιας παιδείας του . Όμως οι Σάμιοι δεν έδειξαν το απαιτούμενο ενδιαφέρουν ούτε και ακολούθησαν τις διδασκαλίες του στον τρόπο ζωής τους με αποτέλεσμα ο Πυθαγόρας να παραιτηθεί εν τέλει από τις προσπάθειες διαπαιδαγώγησης τους . Τον θαύμαζαν βεβαίως και του προσέφεραν αξιώματα και μάλιστα τον ανάγκαζαν να συμμετέχει σε όλες τις δημόσιες λειτουργίες , ενώ η φήμη του τόσο είχε απλωθεί σε όλη την Ελλάδα που άλλοι μεγάλοι φιλόσοφοι επίσης ήλθαν εις την Σάμο , ζητώντας να τον συναντήσουν. Ο Πυθαγόρας διεπίστωσε ότι η συμμόρφωσή του προς τα πρόσθετα αυτά καθήκοντα προς την πατρίδα δυσχέραινε τη δυνατότητα να φιλοσοφεί . Επιπλέον η τυραννίδα του Πολυκράτους είχε πλέον επικρατήσει και ο φιλόσοφος την θεωρούσε εν μέρει υπεύθυνη για την αδιαφορία των Σαμίων προς τα μαθηματικά και την φιλοσοφία . Θεωρώντας πως δεν είναι σωστό ένας άνδρας φιλόσοφος με ελεύθερα φρονήματα να

-58-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”ζει κάτω από ένα τέτοιο πολίτευμα , αποφάσισε να μετοικίσει προς την νότια Ιταλία - είχε δε την γνώμη πως πατρίδα του είναι η χώρα εκείνη όπου περισσότεροι άνθρωποι είναι δυνατόν να βρεθούν με καλή διάθεση να μαθαίνουν. Όταν έφθασε εις την Ιταλία , πήγε πρώτα στον Κρότωνα , όπου έκανε μεγάλη εντύπωση στους εκεί κατοίκους . Ήταν ένας άνδρας με μακρόχρονες περιπλανήσεις και εξαιρετικός από την ίδια του τη φύση , καλά προικισμένος από την τύχη , φιλελεύθερος στα φρονήματα και μεγάλος , με πολλή χάρη και ευπρέπεια στον λόγο και στο ήθος και σε όλα τα άλλα , με αποτέλεσμα να γοητεύσει τους ανώτατους άρχοντες της πόλεως . Και αφού είπε πολλά καλά, κατά διαταγή των αρχόντων άρχισε να συμβουλεύει τους νέους . Μετά απ' αυτά , οι νέοι προσέρχονταν αθρόα κοντά στον Πυθαγόρα και ύστερα οι γυναίκες και έτσι ιδρύθηκε από αυτόν σύλλογος γυναικών. Η φήμη του μεγάλωσε ακόμη περισσότερο και απέκτησε πολλούς οπαδούς ακόμη και βασιλείς και δυνάστες από την γειτονική βάρβαρη χώρα .

Εκείνα που έλεγε στους μαθητές του δεν είναι γνωστά με βεβαιότητα διότι υπήρχε σκόπιμη σιωπή. Κυρίως γινόταν γνωστά σε όλους πρώτον ότι η ψυχή είναι αθάνατη και έπειτα ότι η ψυχή μεταβιβάζεται σε άλλα γένη ζώων (μετενσάρκωση) . Επίσης δίδασκε ότι σε μερικές περιόδους εμφανίζονται πάλι εκείνα που υπήρξαν κάποτε , τίποτε νέο δεν υπάρχει και ότι όλα όσα γίνονται έμψυχα πρέπει να τα θεωρούμε σαν ομογενή . Αναφέρεται πως πρώτος ο Πυθαγόρας έφερε στην Ελλάδα αυτά τα δόγματα .Με την πρώτη του δημόσια ομιλία, ενώπιον του δήμου μετέστρεψε τους πάντες υπέρ του και όπως παραδίδει ο Νικόμαχος περισσότεροι από δύο χιλιάδες παρακολούθησαν τους λόγους του . Γοητεύτηκαν δε τόσο που δεν επέστρεψαν στις ιδιαίτερες πατρίδες τους αλλά μαζί με τα παιδιά και τις γυναίκες τους έκτισαν ένα τεράστιο οίκημα ομαδικής ακροάσεως , το Ομακοείον και ίδρυσαν την ονομαζόμενη απ'

-59-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”όλους Μεγάλη Ελλάδα στην Ιταλία , γινόμενοι πολίτες της . Και αφού αποδέχθηκαν ορισμένους Νόμους και παραγγέλματα απ' αυτόν σαν να ήταν θείες υποθήκες έξω από τις οποίες τίποτε δεν έκαναν, παρέμειναν με ομόνοια μαζί με το σύνολο των μαθητών επευφημούμενοι και μακαριζόμενοι από όλους τους γύρω των. Τις δε περιουσίες τους έθεταν σε κοινή χρήση και συγκατέλεγαν τον Πυθαγόρα μεταξύ των Θεών. Γι' αυτό ένα απ' τα απόρρητα που παρεδόθησαν σ' αυτούς κατά τα μαθήματα, είναι η λεγόμενη Τετρακτύς με την οποία ορκίζονταν για όλα όσα ήθελαν να βεβαιώσουν επικαλούμενοι τον Πυθαγόρα σαν κάποιο θεό:Ού, μα τον αμετέραι γενεάι παραδόντα τετρακτύν,παγάν αενάου φύσεως ριζώματ' έχουσαν .(Όχι, μα τον παραδόσαντα και στη δική μας γενεά την τετρακτύν, την πηγή αενάου φύσεως που ρίζες έχει) .Ο Πυθαγόρας για πολύ χρόνο , τόσο θαυμάσθηκε στην Ιταλία αυτός και οι μαθητές του, ώστε οι πόλεις να εμπιστεύονται την πολιτειακή διοίκηση σε Πυθαγορείους . Ύστερα όμως από πολλά έτη έγιναν αντικείμενο μεγάλου φθόνου και εξυφάνθηκε εναντίον τους η εξής συνωμοσία:Υπήρχε ένας άντρας από τον Κρότωνα, ο Κύλων, που παρότι καταγόταν από αριστοκρατική γενεά και διέθετε πλούτο μεγαλύτερο από των άλλων πολιτών, δεν διέθετε ευγενή χαρακτήρα αλλά ήταν φορτικός , βίαιος και τυρρανικός . Χρησιμοποιούσε τον κύκλο των φίλων του και την δύναμη του πλούτου του για να μπορεί να αδικεί και όντας άπληστος είχε την αξίωση να κατέχει οτιδήποτε του φαινόταν καλό . Αυτός λοιπόν πίστευε πως έπρεπε να γίνει μέτοχος και στην φιλοσοφία του Πυθαγόρα και να γίνει δεκτός μεταξύ των μαθητών . Προσήλθε στον Πυθαγόρα αυτοεπαινούμενος και επιθυμώντας να γίνει μαθητής του . Όμως ο Πυθαγόρας διακρίνοντας από τη φυσιογνωμία του ανδρός και από άλλα σημάδια το ποιόν του, τον διέταξε αμέσως να φύγει και να επιστρέψει στις ασχολίες του .

Ο Κύλων το εξέλαβε ως μεγάλη προσβολή και οργίσθηκε -60-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”πολύ. Συγκέντρωσε τους φίλους του , όπου κατηγόρησε τον Πυθαγόρα και μαζί τους άρχισε να προετοιμάζεται για να βλάψει αυτόν και τους μαθητές του . Φαίνεται πως υπήρχαν και πολιτικά αίτια όμως για το μίσος του Κύλωνος διότι ήθελε να μεταβάλει το πατροπαράδοτο πολίτευμα του Κρότωνος που όριζε ορισμένο αριθμό πολιτών με το δικαίωμα να συμμετέχουν στην εκκλησία του δήμου (οι «χίλιοι») . Ο Κύλων ήθελε να συμμετέχουν όλοι , ώστε να μπορεί να εξαγοράζει πολιτική δύναμη , δωροδοκώντας πολλούς από εκείνους . Όμως, σε αυτά του τα σχέδια εναντιώθηκαν οι Πυθαγόρειοι Κροτωνιάτες Αλκίμαχος , Δείναρχος , Μέτων και Δημοκίδης .Υποβοηθούμενος από τον ρήτορα Νίνονα , που συνέγραψε βιβλίο που υποτίθεται πως περιείχε τις μυστικές διδασκαλίες των Πυθαγορείων, ο Κύλων έβαλε να αναγνώσουν το πλαστό σύγγραμμα και άρχισε να συκοφαντεί τους Πυθαγόρειους πως ετοιμάζουν τυραννίδα . Εντός ολίγων ημερών με δημαγωγία και συκοφαντία ξεσήκωσε τον λαό εναντίον των Πυθαγορείων και ο ίδιος με τους υποστηρικτές του επιτέθηκαν στους συντρόφους την ημέρα που είχαν συγκεντρωθεί στην οικία του Μίλωνα. Ο Πυθαγόρας έλειπε σε ταξίδι προς την Σύρο , για να περιποιηθεί τον άρρωστο Φερεκύδη που υπήρξε δάσκαλός του . Επακολούθησε συμπλοκή κατά την οποία σκοτώθηκαν πολλοί από τους συντρόφους του Πυθαγόρα και πυρπόλησαν το οίκημα . Μόνον ο Άρχιππος και ο Λύσις κατάφεραν να διαφύγουν με κάποιο τρόπο. Ο Λύσις έφθασε εις την Θήβα όπου έζησε τον υπόλοιπο βίο του και μάλιστα συναναστράφηκε με τον νεαρό τότε Επαμεινώνδα του οποίου έγινε και διδάσκαλος , μεταφυτεύοντας εκεί τα σπέρματα της Πυθαγορείου φιλοσοφίας . Ο Πυθαγόρας μαζί με τους υπόλοιπους διέφυγαν αρχικώς μεταβαίνοντας προς τους Λοκρούς . Οι εκεί πολίτες όμως φοβούμενοι πιθανό πόλεμο αρνήθηκαν να τους δεχθούν και αφού τους προμήθευσαν τα αναγκαία , ο Πυθαγόρας έπλευσε προς τον Τάραντα κι από εκεί προς το Μεταπόντιο . Εκεί λέγεται ότι τελείωσε τη ζωή του, αποσυρόμενος στο ιερό των Μουσών και παραμένοντας εκεί για σαράντα ημέρες δίχως τροφή .

-61-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” Ο Αριστόξενος διηγείται πως σχεδόν όλοι έφυγαν από την Ιταλία εκτός από τον Αρχύτα τον Ταραντίνο και πως αρκετοί εξ αυτών συγκεντρώθηκαν εις το Ρήγιο , διαφυλάσσοντας τα παραδοσιακά ήθη και φιλοσοφία μέχρις ότου πέθαναν με αξιοπρέπεια . « Οι Πυθαγόρειοι έδιωξαν απ' αυτούς , τους θρήνους , τα δάκρυα και κάθε τι παρόμοιο . Απείχαν κι από τις παρακλήσεις , τις ικεσίες και απ' όλες τις τέτοιου είδους δουλοπρεπείς κολακείες ». Ο Νικόμαχος γράφει πως οι διασκορπισμένοι Πυθαγόρειοι διατήρησαν ακέραια την φιλία μεταξύ των και απέφευγαν την επικοινωνία με τους ανθρώπους . Φοβούμενοι μήπως εκλείψει το όνομα της φιλοσοφίας από τους ανθρώπους και οι ίδιοι μισηθούν από τους Θεούς γι' αυτό , συνέταξαν κεφαλαιώδη υπομνήματα με τα συγγράμματα των παλαιοτέρων και όσα θυμόντουσαν, ορκίζοντας τις γυναίκες και τους απογόνους τους .

ΦΙΛΟΛΑΟΣ Ο ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ

'Eζησε στο διάστημα (480-400 π.Χ.) . Κορυφαίος Πυθαγόρειος των μέσων του 5 αι. π.Χ. ,

εποχής κατά την οποία διαλύθηκε βιαίως ο Πυθαγόρειος σύλλογος . Αναφέρεται ότι ο ίδιος έγραψε τρία βιβλία με τα Πυθαγόρεια δόγματα , τα οποία αγόρασε από τους απογόνους του ο Πλάτωνας . Από τα βιβλία αυτά έγιναν γνωστές οι απόψεις του συλλόγου συνολικά , και σ' αυτά μάλλον στηρίχτηκαν όλες οι αβέβαιες βιογραφίες του Πυθαγόρα .

Η προσφορά του στα Μαθηματικά βρίσκεται στο ότι: o Μελέτησε και διέσωσε τις μαθηματικές αναλογίες

της Πυθαγόρειας κλίμακας του 4-χορδου και της μουσικής κλίμακας της μεταγενέστερης 8-χορδης λύρας .

o Μέτρησε τις ταχύτητες των πλανητών και πρότεινε νέα διάταξη των πλανητών, αμφισβητώντας τη Γη - κέντρο και το δόγμα ότι ο 'Hλιος βρίσκεται στο μέσον της διάταξης των σωμάτων του Ουρανού , που πρότειναν οι πρώτοι Πυθαγόρειοι .

-62-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”o Έδωσε το πρώτο μαθηματικό μοντέλο της κίνησης

των Πλανητών και του Ουρανού , με τη μορφή 8 ομόκεντρων και συνεπίπεδων σφονδύλων (Πλάτων, "Πολιτεία" 375 π.Χ.) .

ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ Ο ΧΙΟΣ

Ο Ιπποκράτης ο Χίος ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός , που διακρίθηκε στη Γεωμετρία και έζησε τον 5ο αιώνα π.Χ . (περίπου στο διάστημα 470 - 410 π.Χ.) , ήταν δηλαδή σχεδόν σύγχρονος του Σωκράτη . Ο Ιπποκράτης γεννήθηκε στο νησί Χίος , όπου , καθώς μας πληροφορεί ο Αριστοτέλης στα « Ηθικά Ευδήμεια » , ήταν αρχικώς έμπορος ή εφοπλιστής . Απώλεσε την περιουσία του στο Βυζάντιο εξαιτίας απάτης των τελωνειακών υπαλλήλων (ή ληστεύθηκε από Αθηναίους πειρατές) και πήγε στην Αθήνα για δικαστική διεκδίκηση αποζημιώσεως . Εκεί όμως εξελίχθηκε σε κορυφαίο μαθηματικό . Ο Πλούταρχος στο έργο του Βίοι παράλληλοι (και συγκεκριμένα στον « Βίο του Σόλωνος »)

-63-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”αναφέρει τον Ιπποκράτη τον Χίο ως « μαθηματικό και έμπορο » . Για την ιδιότητα του σπουδαίου μαθηματικού γράφει και πάλι ο Αριστοτέλης στα Μετεωρολογικά του , όπου τον κατατάσσει ως ισάξιο των Αναξαγόρα , Δημοκρίτου και των κορυφαίων πυθαγορίων φιλοσόφων . Αλλά και ο Πρόκλος χαρακτηρίζει τον Ιπποκράτη τον Χίο σπουδαίο μαθηματικό και τον τοποθετεί στον κατάλογο των μαθηματικών μετά τον Οινοπίδη .Στη Χίο, ο Ιπποκράτης ίσως να υπήρξε προσωπικά μαθητής του μαθηματικού Οινοπίδη . Στην Αθήνα όμως άνοιξε ο ίδιος σχολή , στην οποία δίδασκε Γεωμετρία . Στο μαθηματικό έργο του Ιπποκράτους πιθανώς υπάρχει και κάποια πυθαγόρεια επίδραση , καθώς η Χίος γειτονεύει με τη Σάμο , την πατρίδα του Πυθαγόρα και κέντρο της πυθαγόρειας σκέψεως: ο Ιπποκράτης έχει χαρακτηρισθεί ως « παρα-πυθαγόρειος », ένας φιλοσοφικός « συνταξιδιώτης » των πυθαγόρειων στον κόσμο των ιδεών. Η «Εις άτοπον απαγωγή» (Reductio ad absurdum) ως μέθοδος μαθηματικών αποδείξεων έχει αποδοθεί σε αυτόν. Στην Αθήνα ο Ιπποκράτης παρέμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του και πέθανε εκεί .Το βασικό έργο ζωής του Ιπποκράτη του Χίου είναι ότι υπήρξε ο πρώτος στην Ιστορία της Επιστήμης που συνέγραψε μια συστηματικά οργανωμένη πραγματεία Γεωμετρίας , τα « Στοιχεία»  (δηλαδή τα θεμελιώδη θεωρήματα ή οι « δομικοί λίθοι » της μαθηματικής θεωρίας) . Αυτό ήταν ένα πολύ σημαντικό βήμα προόδου επειδή από τότε και μετά οι μαθηματικοί σε όλο τον αρχαίο κόσμο θα μπορούσαν να « χτίζουν » τις ιδέες τους πάνω σε ένα κοινό για όλους πλαίσιο βασικών εννοιών, μεθόδων και θεωρημάτων, γεγονός που συνετέλεσε στην πρόοδο των Μαθηματικών .

-64-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Μόνο ένα, αλλά διάσημο, απόσπασμα των « Στοιχείων » του Ιπποκράτη (που δεν πρέπει να συγχέονται με τα « Στοιχεία » του Ευκλείδη) διασώθηκε μέχρι τις ημέρες μας , ενσωματωμένο σε έργο τουΣιμπλίκιου . Σε αυτό το απόσπασμα υπολογίζεται το εμβαδό των σχημάτων που είναι σήμερα γνωστά διεθνώς ως  Μηνίσκοι του Ιπποκράτους  (ημισεληνοειδή τμήματα που περικλείονται από δύο κυκλικά τόξα) . Αυτό εντασσόταν τότε σε ένα ερευνητικό πρόγραμμα για την επίτευξη του « τετραγωνισμού του κύκλου» . Προφανώς η στρατηγική ήταν να υποδιαιρεθεί ένας κυκλικός δίσκος σε ημισεληνοειδή μέρη: αν ήταν δυνατός ο υπολογισμός του εμβαδού του καθενός από αυτά τα μέρη , τότε το εμβαδό ολόκληρου του δίσκου θα μπορούσε να εξαχθεί . Μόλις το 1882 μ.Χ. αποδείχθηκε ότι αυτή η προσέγγιση δεν είχε ελπίδα επιτυχίας , επειδή ο συντελεστής π είναι ένας υπερβατικός αριθμός.Στον αιώνα μετά τον Ιπποκράτη , τουλάχιστον 4 άλλοι μαθηματικοί συνέγραψαν τα δικά τους « Στοιχεία » , βελτιώνοντας σταθερά την ορολογία και τη λογική τους δομή . Με αυτό τον τρόπο, η πρωτοπόρα δουλειά του Ιπποκράτη έθεσε τα θεμέλια και για τα « Στοιχεία » του Ευκλείδη (περ. 325 π.Χ.) , που παρέμεινε το πρότυπο εγχειρίδιο Γεωμετρίας μέχρι σχεδόν την εποχή μας .Δύο άλλες συνεισφορές του Ιπποκράτη αξίζει να σημειωθούν . Ανεκάλυψε μια (άγνωστη σε εμάς) μέθοδο χειρισμού του προβλήματος του « διπλασιασμού του κύβου » , δηλαδή του προβλήματος της κατασκευής της κυβικής ρίζας του 2 . Αυτό ήταν το άλλο μεγάλο μαθηματικό πρόβλημα της αρχαιότητας . Ο Ιπποκράτης επίσης επενόησε τη μέθοδο της μετατροπής ειδικότερων μαθηματικών προβλημάτων σε ένα γενικότερο πρόβλημα που είναι ευκολότερο να επιλυθεί . Η λύση στο γενικότερο πρόβλημα δίνει τότε αυτομάτως τη λύση του αρχικού προβλήματος .

-65-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΟΙΝΟΠΙΔΗΣ Ο ΧΙΟΣ 'Eζησε και άκμασε περί το 440 π.Χ..

Μαθηματικός και αστρονόμος ο Οινοπίδης έγινε γνωστός κυρίως με τις μελέτες και μετρήσεις του στην αστρονομία .

Συγκεκριμένα μαρτυρείται ότι στα μαθηματικά: o Πρότεινε κάποιες γεωμετρικές κατασκευές , με

χάρακα και διαβήτη , με γνωστότερη εκείνη της κατασκευής ευθείας καθέτου σε άλλη .

o Διέθετε σκοπευτικό όργανο (Διόπτρα) με τη βοήθεια της οποίας μέτρησε την κλίση του ζωδιακού κύκλου ως προς τον Ισημερινό (την βρήκε ίση με το της περιφέρειας) . Η μέτρηση αυτή επιτρέπει την υπόθεση ότι η υποδιαίρεση του κύκλου σε 15 ίσα τόξα (Στοιχεία IV/16) είναι δική του κατασκευή , και η υλοποίησή της στο σκοπευτικό του όργανο .

o Πραγματοποίησε με νυχτερινές μετρήσεις την " διάζωση " του ζωδιακού κύκλου (Θέων) . Με τον όρο " Διάζωση " πιστεύεται ότι νοείται η χαρτογράφηση των ζωδιακών αστερισμών, η εικονογράφηση και ονομασία τους , και μάλλον η υποδιαίρεση του ζωδιακού σε 12 ίσες περιοχές .

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

-66-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” Ενώ οι αστρονομικές συνεισφορές του Οινοπίδη

αφορούν κυρίως πρακτικά θέματα , αντιθέτως ως γεωμέτρης φαίνεται ότι υπήρξε μάλλον θεωρητικός και μεθοδολόγος , που είχε θέσει ως στόχο υψηλότερα πρότυπα θεωρητικής καθαρότητας για τη Γεωμετρία: Εισήγαγε τη διάκριση ανάμεσα σε θεωρήματα και « προβλήματα » , με την έννοια ότι θεώρημα είναι ένας θεωρητικός δομικός λίθος που πρέπει να χρησιμεύει ως το θεμέλιο για παραπέρα ανάπτυξη της θεωρίας , ενώ ένα πρόβλημα είναι απλώς μια απομονωμένη άσκηση χωρίς παραπέρα ανάπτυξη ή σημασία .

Ο Οινοπίδης επίσης φαίνεται ότι θέσπισε τον κανόνα ότι οι γεωμετρικές κατασκευές πρέπει να μη χρησιμοποιούν άλλα μέσα εκτός από τον κανόνα και τον διαβήτη . Το όνομά του συνδέθηκε με δύο συγκεκριμένες στοιχειώδεις γεωμετρικές κατασκευές: 1) Να αχθεί από δοσμένο σημείο ευθεία γραμμή κάθετη προς άλλη , δοσμένη , ευθεία. 2) Σε δοσμένο σημείο δοσμένης ευθείας γραμμής να κατασκευασθεί ορθή γωνία .

ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒΔΗΡΙΤΗΣ 'Eζησε στο διάστημα (460-370 π.Χ.) .

Μεγάλος φιλόσοφος και μαθηματικός ταξίδεψε στον γνωστό τότε κόσμο και έγραψε πλήθος έργων ποικίλου περιεχομένου . Αναφέρεται ένα πλήθος 60 περίπου έργων του , από τα οποία σώζονται περί τα 300 αποσπάσματα . Εισηγητής , μαζί με τον δάσκαλό του Λεύκιππο , της Ατομικής θεωρίας , δέχτηκε ότι όλα στον κόσμο δημιουργούνται

-67-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”από την ένωση μικρότατων υλικών μονάδων , των Ατόμων (που δεν μπορούν πλέον να τμηθούν) .

Η προσφορά του στα μαθηματικά ήταν μεγάλη , όπως βεβαιώνουν οι τίτλοι των αντίστοιχων έργων του . Το περιεχόμενό τους όμως μας είναι άγνωστο.

o Κύρια Μαθηματικά του έργα ήταν τα: " Περί Γεωμετρίης " και " Γεωμετρών " . " Αριθμοί " . " Περί Αλόγων γραμμών και Νασιών α', σ "

(Περί Ασυμμέτρων) . " Περί Γεωργίης ή Γεωμετρικόν "

(Τοπογραφία) . o Στην Γεωμετρία σημαντικότατο

θεωρείται το θεώρημά του κατά το οποίο: " Κάθε κώνος έχει όγκο ίσο με το τρίτο του περιγεγραμμένου του κυλίνδρου " (Στοιχεία 10/XII, Αρχιμήδης) .

o Αστρονομικά του έργα: " Μέγας διάκοσμος " και " Ουρανογραφίη "

(Σχέδιο του Ουρανού) . " Άμιλλα Κλεψύδρας (και Ουρανού) "

(Χρονομέτρηση Ουρανίων φαινομένων) . " Μέγας ενιαυτός ή Αστρονομίη " και "

Παράπηγμα " (Ημερολόγιο). " Περί Πλανήτων " και " Αιτίαι Ουράνιαι "

(Ουράνια φαινόμενα) . " Γεωγραφίη " και " Ωκεανού Περίπλους " .

Τα πιο πάνω έργα, καθώς και άλλα ειδικότερου περιεχομένου, δείχνουν την πολυμάθεια και το εύρος των ενδιαφερόντων του σοφού μας . Στην Αστρονομία εκτός των άλλων:

o Ανακάλυψε ότι όλα τα νυχθήμερα έχουν ίδια διάρκεια, και μέτρησε τη διάρκεια των μεγίστων ημερών στην Μακεδονία (τις βρήκε ίσες με τα 5/8 του σταθερού χρόνου του νυχθημέρου) .

o Πρότεινε στο έργο του " Πολογραφίη " μέθοδο για τον σχεδιαστικό προσδιορισμό του αόρατου ουράνιου Πόλου , με τη βοήθεια γεωμετρικής κατασκευής .

-68-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ

Έζησε στο διάστημα (428-365 π.Χ.) . Γενικά ο Αρχύτας θεωρείτο στην αρχαιότητα ως μεγάλος μετρητής (και υπολογιστής), με μεγάλη προσφορά στους υπολογισμούς διαφόρων μεγεθών .

Αναφέρονται δύο έργα του, το " Αρμονικός " και το " Διατριβαί " , από τα οποία σώζονται λίγα αποσπάσματα . Στον Αρχύτα και στα τρία βιβλία του Φιλολάου (που αγόρασε ο Πλάτων) , οφείλεται η αρχαία γνώση των επιτευγμάτων .Αναφέρεται σαν ο τελευταίος των Πυθαγορείων. 'Hταν εξαιρετική προσωπικότητα του Τάραντα με ξεχωριστές πολιτικές και μαθηματικές ικανότητες . Θαυμάζεται ως Φιλόσοφος , Μαθηματικός , Αστρονόμος και Μηχανικός . Υπήρξε δάσκαλος του Πλάτωνα (388 π.Χ.) και αργότερα και του Ευδόξου (365 π.Χ.) . Η προσφορά στα μαθηματικά της εποχής του ήταν σημαντικότατη . Συγκεκριμένα:

Έλυσε πρώτος το Δήλιο πρόβλημα με μια πολύ ωραία θεωρητική κατασκευή . Η λύση πρόκυπτε από την τομή ενός ημικυλίνδρου ενός ημικώνου και μιας σπείρας (στερεό εκ περιστροφής κύκλου περί άξονα που δεν τον τέμνει) . Ανέπτυξε τις μεθόδους της Λογιστικής (μαθηματικής τέχνης) , με τηνανακάλυψη μιας ευφυέστατης μεθόδου υπολογισμού οποιωνδήποτε τετραγωνικών ριζών , στηριγμένης στην μουσική αναλογία ων Πυθαγορείων .

Εφάρμοσε πρώτος τα μαθηματικά στην επίλυση προβλημάτων της Μηχανικής (μαθηματικής τέχνης) .

'Eλυσε γεωμετρικά προβλήματα με τη βοήθεια κινητικής γεωμετρίας (οργάνων , των οποίων η κίνηση ενός στελέχους έδινε το ζητούμενο μήκος) . Είναι πιθανό η φερόμενη ως λύση του Πλάτωνος του Δηλίου προβλήματος να είναι δική του ιδέα .

-69-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΠΛΑΤΩΝ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ

'Eζησε στο διάστημα (427-347 π.Χ.) . Αθηναίος φιλόσοφος, αριστοκρατικής καταγωγής, ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο του Ελληνισμού, την Ακαδημία, για 40 περίπου χρόνια, μέχρι τον θάνατό του .

Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η Πυθαγόρεια τοποθέτησή του, και ο άκρατος θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς τη Γεωμετρία .

'Eλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με τη βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση.

Έδωσε γενική μορφή στην Αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των Γεωμετρικών τόπων.

Προσδιόρισε ένα πλήθος των Πυθαγορείων τριάδων, δηλαδή των τριάδων ακεραίων αριθμών, που επαληθεύουν την ισότητα του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Για τις τριάδες αυτές έδωσε την έκφραση μ, και , όπου μ άρτιος . (Αποδίδεται στον Λεωδάμαντα τον Θάσιο) . Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του Ουρανού , θέση , σχήμα και κίνηση της γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις (Φαίδων ,

-70-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Τίμαιος) , γεγονός που φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα , και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός .Η κύρια λοιπόν συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπε τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες , και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά , τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία . Η προτροπή αυτή φαίνεται , εκτός των άλλων , και στις απόψεις του ότι τα Μαθηματικά είναι " δόσις θεών εις ανθρώπους " και ότι "οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο " . Το αληθινό του όνομα ήταν Αριστοκλής και τον αποκαλούσαν Πλάτωνα επειδή είχε πλατύ μέτωπο (κατ’ άλλους επειδή είχε πλατιούς ώμους) . Ο Πλάτων υπήρξε ο δεύτερος της μεγάλης τριάδας των Αρχαίων Ελλήνων σοφών – Σωκράτης Πλάτων και Αριστοτέλης – που έθεσαν σε συνάφεια ο ένας προς τον άλλον τα φιλοσοφικά θεμέλια του Δυτικού πολιτισμού . Ήταν ο σπουδαιότερος μαθητής του Σωκράτη , ο κατεξοχήν ιδεαλιστής φιλόσοφος και θεμελιωτής της Πολιτικής Φιλοσοφίας παρόλο που απείχε της πολιτικής . Ταξίδεψε σε διάφορες χώρες της τότε μεγάλης Ελλάδας και στην Αίγυπτο για να διευρύνει τους πνευματικούς του ορίζοντες . Γύρω στο 380 π.Χ. ιδρύει την ομώνυμη Ακαδημία του στον σημερινό Κολωνό , διότι θεωρούσε ότι ο γόνιμος διάλογος για να οικοδομηθεί ορθότερα πρέπει να απέχει από τον θόρυβο της αγοράς και σε αντίθεση με τον Σωκράτη που τον προτιμούσε δημόσια .

Εξάλλου τα ερείπια που άφησε πίσω του ο Πελοποννησιακός πόλεμος στην Αθήνα απαιτούσαν μια νέα πολιτική θεώρηση των πραγμάτων . Την ίδια εποχή λειτουργούσε στην Αθήνα η σχολή του ρήτορα Ισοκράτη που δίδασκε επαγγέλματα λαμβάνοντας χρήματα . Η ακαδημία του Πλάτωνα δίδασκε επιστήμη και φιλοσοφία χωρίς χρήματα . Στην ακαδημία , εκτός του Πλάτωνα δίδασκαν ο Θεαίτητος , ο Εύδοξος , ο Αριστοτέλης και άλλοι , ενώ μετά τον θάνατο του Πλάτωνα ανέλαβε διευθυντής ο ανιψιός του Σπεύσιππος ο Αθηναίος . Ο Αριστοτέλης κάποια στιγμή , αποχώρησε από την ακαδημία και επιστρέφοντας από τη Μακεδονία , ίδρυσε τη δική του Σχολή , το Λύκειον . 

-71-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Ο ίδιος έχει μεγάλο συγγραφικό έργο και επιπρόσθετα έχουμε πολλά στοιχεία γι αυτόν από τον Αριστοτέλη, τον Ισοκράτη και τον Διογένη τον Λαέρτιο. Ο Πλάτωνας ασχολήθηκε με όλες σχεδόν τις πλευρές του ευρύτερου επιστητού της ανθρώπινης σκέψης και διανόησης . Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον 60-χρονο πια Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και την διδασκαλία του . Από το συνολικό του έργο σώζονται 36 έργα , τα οποία εκτός από την " Απολογία του Σωκράτη " έχουν τη μορφή διαλόγου . Σε όλα εκτός των " Νόμων " τη συζήτηση διευθύνει ο Σωκράτης , ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή .Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η Πυθαγόρεια τοποθέτησή του, και ο άκρατος θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς τη Γεωμετρία.Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα π.Χ. είναι σημαντικότατη , ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου , Μεναίχμου και Ευδόξου .

ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ

-72-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”• Έζησε στο διάστημα 417-369 π.Χ.

Μαθητής του Πλάτωνα και αργότερα καθηγητής της Ακαδημίας, συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών της σχολής, προ του Ευδόξου .Μετά τον πρόωρο θάνατό του, ο Πλάτωνας του αφιέρωσε τον διάλογο " Θεαίτητος " , στον οποίο φαίνεται ο θαυμασμός του ιδίου και της σχολής για το έργο του .Η συμβολή του στα Μαθηματικά πιστεύεται ότι είναι η παρακάτω :* Είναι , κατά μεγάλο μέρος , ο συγγραφέας του 10ου βιβλίου των " Στοιχείων " , του Ευκλείδη, στο οποίο μελετά και παρουσιάζει την θεωρία των ασυμμέτρων μεγεθών , σε 115 προτάσεις .* Στον διάλογο "Θεαίτητος" φαίνεται να παρουσιάζει στον Σωκράτη και τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο, τον δάσκαλο στα μαθηματικά του Πλάτωνα, μία μέθοδο έκφρασης όλων των "δυνάμεων" (τετραγωνικών ριζών, 147D). Αυτή είναι πιθανό να είναι μία γενίκευση της Πυθαγόρειας μεθόδου των πλευρικών και διαμετρικών αριθμών .* Ανακάλυψε τα δύο κανονικά πολύεδρα, το 8-εδρο και το 20-εδρο (κατασκευή και μάλλον υπολογισμός τους) . Τα άλλα τρία , ο κύβος , το 4-εδρο και το 12-εδρο , ήταν ευρήματα των Πυθαγορείων . Τα πέντε αυτά μοναδικά κανονικά πολύεδρα ονομάστηκαν Πλατωνικά (Τίμαιος) ή Ευκλείδεια , λόγω της ένταξης και μελέτης τους στο 13ο βιβλίο των « Στοιχείων» .Ο διάλογος " Θεαίτητος " του Πλάτωνος είναι φανερό ότι είναι ένα αφιέρωμα στον μεγάλο μαθηματικό και φίλο , και βέβαια είναι φανταστικό , αφού ο Σωκράτης είχε πεθάνει το 399 π.Χ. , όταν ο Θεαίτητος ήταν 18 ετών. Δεν μπορεί όμως να ήταν φανταστική η παρουσίαση από τον Θεαίτητο της νέας μεθόδου έκφρασης των " δυνάμεων " , η οποία μάλλον θα παρουσιάστηκε γύρω στο 380 π.Χ. .

-73-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΕΥΔΟΞΟΣ Ο ΚΝΙΔΙΟΣ

Πρόκειται για μια εξαιρετική και πολύπλευρη φυσιογνωμία, που έζησε την ίδια εποχή με τον Πλάτωνα (5 αι π.Χ.) . Στο πρόσωπό του συνδύαζε τις ιδιότητες του μαθηματικού , του αστρονόμου , του γεωμέτρη , του γεωγράφου , του μηχανικού , του μετεωρολόγου , του νομοθέτη , του γιατρού και φυσικά του φιλοσόφου .Γεννήθηκε στην Κνίδο της νοτιοδυτικής Μικρά Ασίας περίπου στο 408 π.Χ . Ο πατέρας του ήταν ο Αισχίνης , ο οποίος δεν είχε περιουσία , κι έτσι ο Εύδοξος μεγάλωσε μέσα στη φτώχεια . Καταγόταν από οικογένεια ιατρών και σπούδασε μαθηματικά και ιατρική στην φημισμένη Σχολή της Κνίδου .Αρχικά , ακολουθούσε τους συναδέλφους του , τους γιατρούς , στις περιοδείες τους . Έτσι , ταξίδεψε στη Μεγάλη Ελλάδα , όπου παρακολούθησε μαθήματα από το διάσημο πυθαγόρειο μαθηματικό τον Αρχύτα τον Ταραντίνο και από το Φιλιστίωνα στη Σικελία . Κάποια στιγμή όμως , ένας πλούσιος γιατρός , ο Θεομέδωνας , εντυπωσιασμένος από τις ικανότητές του , πλήρωσε για λογαριασμό του τα έξοδα του ώστε να μεταβεί στην Αθήνα για σπουδές στην Ακαδημία του Πλάτωνα . Έτσι, σε ηλικία είκοσι τριών χρόνων βρέθηκε στον Πειραιά , όπου η ζωή ήταν πιο φτηνή και έτσι λόγω χρημάτων διέμενε εκεί . Έτσι, καθημερινά πήγαινε στην Αθήνα για να ακούσει τον Πλάτωνα και άλλους σωκρατικούς φιλοσόφους . Γυρίζοντας στην Κνίδο έφυγε με το γιατρό Χρύσσιπο για την

-74-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Αίγυπτο , εφοδιασμένος με μια συστατική επιστολή του Αγησιλάου , για το Φαραώ Νεκτανεβώ. Αυτός τον έφερε σε επαφή με το ιερατείο της Ηλιούπολης , όπου και μυήθηκε στη σοφία και την επιστήμη των Αιγυπτίων ιερέων .Εκεί σπούδασε μαθηματικά , αστρονομία , μηχανική , μουσική και ιατρική . Παρέμεινε στην Αίγυπτο για δεκαέξι μήνες και έγραψε το πρώτο του σημαντικό έργο « Οκταετηρίδα » , το οποίο αναφερόταν σε ένα ημερολόγιο βασισμένο σε ένα οκταετή κύκλο , προερχόμενο από τη μελέτη του πλανήτη Αφροδίτη . Από την Αίγυπτο έφερε γνώσεις αστρονομίας και πρότεινε μια μεταρρύθμιση του ελληνικού ημερολογίου η οποία συνάντησε μεγάλη επιτυχία και υποστήριξη .Μετά την επιστροφή του από την Αίγυπτο έμεινε λίγο καιρό κοντά στον Μαύσωλο , δυνάστη της Αλικαρνασσού . Στη συνέχεια , επέστρεψε στην Ελλάδα και ίδρυσε την περίφημη Σχολή της Κυζίκου που του έδωσε μεγάλη φήμη και στην οποία δίδασκε φιλοσοφία , γεωμετρία , αριθμητική , γραμματική , μουσική , ρητορική και γεωγραφία . Μετά από μερικά χρόνια , επέστρεψε στην Αθήνα ακολουθούμενος από μαθητές του , μεταφέροντας εκεί την έδρα της Σχολής του . Απέκτησε μεγάλη φήμη σε όλη την Ελλάδα ως νομοθέτης και για κάποιο διάστημα ανταγωνίστηκε ακόμα και τον Πλάτωνα .

Φαίνεται πως κάποια στιγμή πείστηκε από τον Πλάτωνα να διαλύσει τη Σχολή του Κυζίκου και να διδάξει στην Ακαδημία του αστρονομία , μαθηματικά και ιατρική . Τέλος, επέστρεψε στην πατρίδα του όπου τον υποδέχτηκαν με μεγάλες τιμές και φτιάχνει νόμους για την πατρίδα του . Ο Εύδοξος πέθανε το 335 π.Χ. Τα λίγα βιογραφικά του στοιχεία μας είναι γνωστά κυρίως από τα κείμενα του Διογένη του Λαέρτιου καθώς και από τα έργα του έχουν μείνει μόνο κάποια λιγοστά αποσπάσματα. Για το υπόλοιπο έργο του έχουμε πληροφορίες από τον Αρχιμήδη , τον Ερατοσθένη , τον Εύδημο ,

-75-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”τον Πρόκλο , τον Ευτόκιο και τον Βυζαντινό Ιωάννη τον Φιλόπονο . Ο Εύδοξος ο Κνίδιος ήταν μαθητής του Ευκλείδη . Η συνεισφορά του στην εξέλιξη των μαθηματικών ήταν μεγάλη , πράγμα που παραδέχονται μεταγενέστεροι μαθηματικοί όπως ο Αρχιμήδης . Πιο συγκεκριμένα , έγινε γνωστός για τη μέθοδο της εξάντλησης , την οποία εισήγαγε ο Ευκλείδης και επεξέτεινε αργότερα ο Αρχιμήδης . Με αυτή τη μέθοδο έδειξε ότι δεν είναι ανάγκη να υποθέσουμε την « ύπαρξη » απείρως μικρών ποσοτήτων, αλλά για τους σκοπούς των μαθηματικών να μπορεί να φτάσει κάποιος σε ένα μέγεθος όσο μικρό θέλει , με συνεχιζόμενη διαίρεση ενός δοθέντος μεγέθους . Επίσης, ο Εύδοξος χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο της εξάντλησης , δηλαδή , τη χρήση τύπων για τη μέτρηση τρισδιάστατων σχημάτων , έδωσε για τον όγκο της πυραμίδας και του κώνου τέλειες αποδείξεις . Απέδειξε , δηλαδή , ότι οι όγκοι των πυραμίδων και των κώνων ισούνται με το ένα τρίτο των όγκων των πρισμάτων και των κυλίνδρων, αντίστοιχα, που έχουν τις ίδιες βάσεις και τα ίδια ύψη .Επίσης, απέδειξε ότι τα εμβαδά δύο κύκλων είναι ανάλογα των τετραγώνων των διαμέτρων τους . Ο Εύδοξος και ο Αρχιμήδης θεωρούνται οι θεμελιωτές του ολοκληρωτικού λογισμού . Δεν ήταν δυνατόν να επιχειρήσουν αποδείξεις θεωρημάτων θεωρώντας το άπειρο ως κάτι συγκεκριμένο . Τα τελικά αποτελέσματα των αποδείξεων τα λάμβαναν δια της εις άτοπον απαγωγής . Ο Εύδοξος , ακόμα , ανέπτυξε μια πρώιμη μέθοδο ολοκλήρωσης , για τη χρήση των αναλογιών στα προς επίλυση προβλήματα . Ανακάλυψε , δηλαδή , τη θεωρία των αναλογιών . Αυτή η θεωρία επέτρεψε στον Εύδοξο να ασχοληθεί , με τη βοήθεια ρητών προσεγγίσεων , με μετρήσεις που συνεπάγονται άρρητους αριθμούς . Απέδειξε ότι οι άρρητοι αυτοί αριθμοί μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια κατάλληλων προσεγγίσεων ρητών και επέτρεψε στους μαθηματικούς να χειριστούν τους άρρητους με την

-76-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”ίδια αυστηρότητα με τους ρητούς . Αυτή ήταν ουσιαστικά η αφετηρία μιας μοντέρνας θεωρίας των αρρήτων.

Επιπροσθέτως , ο Εύδοξος προώθησε σημαντικά τη θεωρία των αριθμών πέρα από την πυθαγόρεια παράδοση , αποδεικνύοντας την ύπαρξη ασύμμετρων μεγεθών και επινοώντας διάφορες τεχνικές για τη μέτρηση καμπύλων επιφανειών . Χρησιμοποιώντας αυτές τις καμπύλες κατάφερε να λύσει το Δήλιο πρόβλημα , δηλαδή το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου , το οποίο είχε χαρακτηριστεί ως άλυτο , επειδή η λύση του αποκλειστικά με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη ήταν και παραμένει αδύνατη . Είναι γενικά παραδεκτό ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε το έργο του Ευδόξου στο κείμενο των « Στοιχείων » του και πιο συγκεκριμένα στα βιβλία V και ΧΙΙ και σε τμήματα των βιβλίων VI , Χ και ΧΙΙΙ , πράγμα που αναφέρεται και από τους σχολιαστές του βιβλίου . Επίσης , είναι πολύ πιθανό η αξιωματική μέθοδος του Ευκλείδη να αναπτύχθηκε αρχικά από τον Εύδοξο . Ο Εύδοξος ήταν και διάσημος αστρονόμος . Η Σχολή που ίδρυσε στο Κύζικο άκμασε για πολύ καιρό και τα γραπτά του χρησίμευσαν για πρωτότυπο στη συλλογή « Μικρή Αστρονομία » , που παρουσίαζε σε γεωμετρική μορφή το σύνολο των θεωρημάτων που αναφέρονται στη σφαίρα και στην ημερήσια περιστροφή . Πρώτος αυτός εφάρμοσε τη μέθοδο , που ακολούθησε ο Αρίσταρχος ο Σάμιος , για να υπολογίσει την απόσταση της Γης από τη Σελήνη και τον Ήλιο . Και το κυριότερο συνέλαβε την πρώτη γεωμετρική θεωρία για την κίνηση των πλανητών, χρησιμοποιώντας ομόκεντρες σφαίρες που περιστρέφονται η μια μέσα στην άλλη . Στο έργο του « Φαινόμενα και Διοσημία » περιέγραφε τους αστερισμούς του Ισημερινού και των Τροπικών και έδωσε όνομα στους σχηματισμούς τους . Παράλληλα έδινε

-77-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”και οδηγίες προς τους γεωργούς , τους ποιμένες και τους ναυτιλλόμενους για την πρακτική χρησιμοποίηση των αστερισμών . Το σύγγραμμα αυτό δε διασώθηκε αλλά το γνωρίζουμε από σχόλια του Άρατου και του Ίππαρχου . Ο Εύδοξος άξια κατέκτησε τον τίτλο του πατέρα της ουράνιας μηχανικής , της επιστημονικής αστρονομικής παρατήρησης και της μαθηματικής έρευνας καθώς ήταν γνώστης της σφαιρικής γεωμετρίας και χρησιμοποιούσε επιστημονικές μεθόδους για την έρευνα μαθηματικών και αστρονομικών θεμάτων . Έτσι , απέδειξε τη σφαιρικότητα της γης και μάλλον πρώτος μέτρησε την περίμετρο της . Ακόμα , έγραψε αστρονομία και γεωγραφία κατά το πρότυπο των ομηρικών επών καθώς και πραγματείες νομικού , πολιτικού και ιατρικού περιεχομένου . Εκτός των άλλων ανέφερε ότι κάθε πλανήτης ακολουθεί τέσσερις διαφορετικές σφαίρες . Μία για την κίνηση της ημέρας , μία για τη διαδρομή του ζωδιακού και δύο για τις ανώμαλες κινήσεις . Οπότε , έτσι , υπάρχουν είκοσι επτά σφαίρες συνολικά , είκοσι για τους πλανήτες , τρεις για τον Ήλιο , τρεις για τη Σελήνη και μία για τους απλανείς .

Ο Εύδοξος περιφρονούσε τις θεωρητικολογίες για το φυσικό σύμπαν που δεν μπορούσαν να επιβεβαιωθούν με την παρατήρηση και την εμπειρία , γι’ αυτό και αφιερώθηκε με μεγάλο ζήλο στην αποκάλυψη των μυστικών της φύσης . Μάλιστα μας είναι γνωστό ότι είχε πει: « Αν μπορούσα να πάω στον Ήλιο προκειμένου να βεβαιωθώ για το σχήμα του , το μέγεθός του και τη φύση του , τότε ευχαρίστως θα μοιραζόμουν την τύχη του Φαέθοντα (να λιώσει) , ως τότε δε θα μπορούσα να μαντέψω » . Το « Ένοπτρο » και το « Φαινόμενο » είναι δύο σημαντικά έργα του τα οποία χρησιμοποίησε ο Άρατος σαν βάση για την περιγραφή του ουρανού . Επίσης , μετέφρασε τους « Διαλόγους Νεκρών » από τα Αιγυπτιακά , αλλά έγραψε και μια πραγματεία αστρονομίας « Τέχνη Ευδόξου » , που βρέθηκε σε έναν πάπυρο του Λούβρου . Άλλα έργα του - που χάθηκαν - είναι « Αράχνη » που περιλαμβάνει τον καθορισμό της ώρας που κατάφερε να τελειοποιήσει , « Γης

-78-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”περίοδος » το οποίο θεωρείται το σπουδαιότερο έργο γεωγραφίας και « Περί Ταχών » στο οποίο εξηγείται η θεωρία των ομόκεντρων σφαιρών .

Καταλήγοντας ο Εύδοξος ανέλαβε να ερμηνεύσει μαθηματικά τις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων και προ παντός να ερμηνεύσει τις παρατηρούμενες ανωμαλίες , εξηγώντας αυτές ως αποτέλεσμα αρμονικών νόμων, ανέλαβε δηλαδή να διασώσει τα φαινόμενα μαθηματικώς .

-79-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Οι τρεις μορφές της Ιπποπέδης του Ευδόξου: η μορφή 3 , το ανεστραμμένο 8 είναι εκείνη με την οποία ερμηνευόταν η φαινόμενη τροχιά των πλανητών . Σύμφωνα με επιστημονικές μελέτες ελλήνων και ξένων επιστημόνων , ο μηχανισμός του υπολογιστή – εκτός των άλλων – αναπαριστά τις κινήσεις των πλανητών Ερμή και Αφροδίτης , με όλες τις ιδιαιτερότητες των κινήσεών τους και υλοποιεί απολύτως τα πρώιμα θεωρητικά πρότυπα , που είχε αναπτύξει ο Εύδοξος. Ο Εύδοξος με τα έργα του εξασφάλισε μια πολύ τιμητική θέση μεταξύ των μεγαλυτέρων μυημένων σοφών της αρχαιότητας . Θεωρείται ένας από τους μεγαλοφυέστερους άνδρες της αρχαίας Ελλάδας και ο μεγαλύτερος Μαθηματικός της κλασσικής αρχαιότητας , δεύτερος δε μεταξύ των αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών με πρώτο τον Αρχιμήδη .

ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ

-80-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Ο Μέναιχμος γεννήθηκε γύρω στο 375 π.Χ. στην Αλωπεκόννησο ή Προκόννησο της Προποντίδας και ήταν αδερφός του Δεινόστρατου .Ήταν μαθητής του Ευδόξου στη σχολή της Κυζίκου . Έπειτα τον ακολούθησε στην Αθήνα , στην οποία μαθήτευσε στην Ακαδημία του Πλάτωνα με τον οποίο συνδέονταν φιλικά . Ακόμα υπήρξε δάσκαλος του Μ. Αλεξάνδρου στα μαθηματικά . Αργότερα εξελίχθηκε σε έναν από τους σημαντικότερους καθηγητές της Ακαδημίας Πλάτωνα και έπειτα διευθυντής της σχολής της Κυζίκου .Ο Μέναιχμος θεωρείται ο πρώτος που ανακάλυψε και ξεχώρισε τις τρεις κωνικές τομές (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή) . Η αρχική ονομασία των καμπύλων ήταν "Μεναίχμιος τριάς " ( = Τριάδες του Μεναίχμου ) , ονομασία που έδωσε ο Ερατοσθένης προς τιμήν του . Δεύτερη κορυφαία γεωμετρική προσφορά του Μέναιχμου στα Μαθηματικά υπήρξε η καινούρια λύση που έδωσε στο Δήλιο πρόβλημα , με τη βοήθεια των κωνικών τομών . Δεν γνωρίζουμε αν η μελέτη του Δηλίου προβλήματος τον οδήγησε στις κωνικές ή αντίστροφα , πάντως είναι βέβαιο ότι οι λύσεις του στηρίχτηκαν στην αναγωγή που έκανε για το πρόβλημα ο Ιπποκράτης ο Χίος .

-81-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΠΥΘΕΑΣ Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣ

'Άκμασε γύρω στο 330 π.Χ . .Ο Πυθέας ήταν αρχαίος Έλληνας Μαθηματικός , θαλασσοπόρος και αστρονόμος που γεννήθηκε στη Μασσαλία κα έζησε κατά μτο δεύτερο μισό του 4ου αιώνα π.Χ . Έγινε ευρέως γνωστός με το περίφημο εξερευνητικό ταξίδι του στον βόρειο Ωκεανό . Το ταξίδι αυτό έγινε οργανωμένα με πλήθος πλοίων και στόχο την εξερεύνηση των Βόρειων ακτών της Ευρώπης για κοιτάσματα χαλκού και πετρελαίου και τη μέτρησή τους . Η εκτέλεση αυτού του πολύχρονου , πολυδάπανου και στρατηγικά σημαντικού ταξιδιού εκτιμάται ότι χρηματοδοτήθηκε από τον Μ. Αλέξανδρο . Την αποστολή αυτή ανέλαβε και πραγματοποίησε με επιτυχία ο Πυθέας . Κατά τη διάρκεια του ταξιδιού του απέδειξε ότι η Ευρώπη μέχρι την Βαλτική είναι περίβρεκτη , ότι η Βρετανία είναι νήσος και ακόμα ότι βόρειά της , σε έξι μέρες πλεύση , βρίσκεται η νήσος Θούλη σε απόσταση από τον πόλο της γης όσο η απόσταση του Τροπικού από τον Ισημερινό (24°) . Το ημερολόγιο και τις παρατηρήσεις του τις περιέλαβε στο έργο του " Περί του Ωκεανού " . Εκτός από το περίφημο ταξίδι του η μαθηματική του ανακάλυψη με την οποία έγινε γνωστός στον Ελληνισμό ήταν εκείνη της μέτρησης του γεωγραφικού πλάτους ενός

-82-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”τόπου με την μέτρηση του λόγου (Γνώμονα) : (Σκιά) το μεσημέρι των Τροπών ή των Ισημεριών . Η μέθοδος αυτή στηριζόταν στις παραδοχές ότι η γη είναι " σφαιροειδής " και ότι οι ακτίνες του Ηλίου φτάνουν σε όλα τα σημεία της επιφανείας της γης " παράλληλα " οι οποίες διατυπώθηκαν από το Θαλή . Έτσι η γωνία φ προσδιοριζόταν από το ορθογώνιο τρίγωνο του γνώμονα προς την σκιά του , το μεσημέρι μιας Ισημερίας (ανάλογη μέτρηση γινόταν κατά τις Τροπές) . Με τη μέθοδο αυτή υπολόγισε το γεωγραφικό πλάτος της γενέτειράς του Μασσαλίας με σχεδόν απόλυτη ακρίβεια . (Βρήκε τιμή που αντιστοιχεί σε 43°3' έναντι της πραγματικής των 43°17') . Είναι πιθανό , με τη βοήθεια των τριγώνων γνωμόνων και σκιάς , να υπολόγισε την περίμετρο της Γης , και να έδωσε την τιμή 300.000 σταδίων , την οποία αναφέρει ο Αρχιμήδης , χωρίς να δηλώνει την πατρότητά της .

Σημαντική θεωρείται και η κατασκευή Διόπτρας δικής του έμπνευσης με την οποία πραγματοποιούσε νυχτερινές και ημερήσιες ουράνιες σκοπεύσεις . Με αυτήν πιστεύεται ότι έδωσε τα πλάτη των βορείων τόπων και κυρίως της Βρετανίας , μετρώντας το τροπικό ύψος του Ηλίου , γιατί δεν μπορούσε να έχει πάντοτε τον λόγο (Γνώμ.) : (Σκιά) , μάλλον λόγω συννεφιάς . Ήταν έμπειρος ναυτικός , είχε γνώσεις αστρονομίας και μαθηματικών και θεωρείται ο πρώτος Έλληνας που επισκέφθηκε και περιέγραψε τα βρετανικά νησιά . Δεν ήταν λίγοι όμως αυτοί που δεν πίστεψαν στο έργο και τις ανακαλύψεις του . Μη έχοντας βγει ποτέ έξω από την Μεσόγειο δεν μπορούσαν να πιστέψουν στην ύπαρξη των μεγάλων παλιρροιών ύψους 11 μέτρων , στο χλιαρό θαλασσινό ποτάμι το οποίο άλλαζε

-83-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”σημαντικά την ταχύτητα των πλοίων ανάλογα με την φορά που αυτά έπλεαν, και ότι ο ήλιος έμενε στον ουρανό σχεδόν και τις 24 ώρες , όπως υποστήριξε και κατέγραψε ο ίδιος . Αρκετοί , μάλιστα , αμφισβήτησαν το ταξίδι του . Σήμερα , όμως έχει αποδειχθεί πως και το ταξίδι του ήταν πραγματικό και οι παρατηρήσεις του αξιόλογες και σημαντικές .

EΥΚΛΕΙΔΗΣ

Το όνομα του Ευκλείδη είναι συνώνυμο με την γεωμετρία . Τα « στοιχεία » είναι ένα από τα πιο σημαντικά έργα στην ιστορία των Μαθηματικών . Έχουν χρησιμοποιηθεί σαν βάση για την γεωμετρική εκπαίδευση όλης της Δύσης για τα

-84-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”τελευταία 2000 χρόνια .Δεν υπάρχουν πολλές αναφορές στη ζωή του Ευκλείδη . Δεν ξέρουμε τις ακριβείς ημερομηνίες γέννησης και θανάτου του . Γεννήθηκε περίπου το 325 π.Χ. και πέθανε το 265 π.Χ . Αν και υπάρχουν αμφιβολίες λέγεται ότι μαθήτευσε στην ακαδημία του Πλάτωνα και έμεινε εκεί μέχρις ότου ο Πτολεμαίος τον προσκάλεσε να διδάξει στο νέο του πανεπιστήμιο στην Αλεξάνδρεια . Εκεί ο Ευκλείδης ίδρυσε τη μαθηματική σχολή του και έμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του .Οι μέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εμπνευστεί από αυτές του Αρχιμήδη . Είχε τη φήμη ότι ήταν δίκαιος , υπομονετικός , έντιμος και ευγενικός . Παρόλα αυτά ήταν και σαρκαστικός : Μια ιστορία λέει ότι ένας από τους σπουδαστές του παραπονέθηκε ότι δεν είχε κανένα κέρδος από τα μαθηματικά που μάθαινε . Τότε ο Ευκλείδης κάλεσε γρήγορα στο σκλάβο του για να δώσει στο αγόρι ένα νόμισμα επειδή " έπρεπε να κερδίσει από αυτά που μαθαίνει " . Μια άλλη ιστορία λέει ότι ο Πτολεμαίος τον ρώτησε εάν υπάρχει κάποιος ευκολότερος τρόπος να μάθει γεωμετρία απ' ό,τι με την εκμάθηση όλων των θεωρημάτων . Ο Ευκλείδης απάντησε ότι « δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος στη γεωμετρία » και έστειλε το βασιλιά στη μελέτη . Έργα του εκτός από τα στοιχεία :Άλλα έργα του εκτός από τα στοιχεία είναι τα « δεδομένα » , τα « τμήματα των αριθμών », τα « φαινόμενα » και τα « οπτικά » . Όλα είναι στα αρχαία Ελληνικά εκτός από τα « τμήματα των αριθμών » που έχουν διατηρηθεί μόνο μέρη τους στα Αραβικά . Όλα έχουν την βασική δομή των « στοιχείων » με ορισμούς και αυστηρά αποδεδειγμένες προτάσεις. Τα « δεδομένα » είναι άμεσα συσχετιζόμενα με τα πρώτα τέσσερα βιβλία από τα στοιχεία καθώς αφορούν ορισμούς , αξιώματα . Τα « τμήματα των αριθμών » αποτελούνται από 36 προτάσεις – υποδείξεις για τον διαχωρισμό διάφορων σχημάτων σε ένα ή δύο ίσα μέρη ή με συγκεκριμένες αναλογίες . Τα φαινόμενα έχουν να κάνουν με τα σφαιρικά σχήματα και έχουν σα σκοπό να εξηγήσουν τις κινήσεις των πλανητών . Τα « οπτικά » είναι το πιο πρόσφατο διασωθείς .

-85-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Στους ορισμούς του ακολουθεί την Πλατωνική παράδοση που λέει ότι η όραση προέρχεται από ιδιαίτερες ακτίνες που προέρχονται από το μάτι . Σχετίζει το μέγεθος των αντικειμένων με την απόσταση και την γωνία θέασης .

Στα δεκατρία βιβλία των « Στοιχείων » ο Ευκλείδης παρουσιάζει όλη την στοιχειώδη Ελληνική γεωμετρική γνώση . Περιλαμβάνει θεωρήματα και σύνταξη της επίπεδης και στερεάς γεωμετρίας , μαζί με την θεωρία των αναλογιών , συμμετριών, αριθμών και έναν τύπο γεωμετρικής άλγεβρας . Δεν ήταν ο μόνος που έγραψε στοιχεία γεωμετρίας . Υπήρχαν και άλλοι πριν από αυτόν όπως ο Ιπποκράτης από τη Χίο και άλλοι . Ωστόσο τα έργα του Ευκλείδη αναγνωρίστηκαν γρήγορα ως ανώτερα . Δεν είναι γνωστό κατά πόσο όλα τα θεωρήματα ήταν δικά του. Υπάρχουν επιρροές από τον Θαλή , τον Ιπποκράτη και τον Πυθαγόρα . Παρόλα αυτά η διαμόρφωση των στοιχείων είναι αποκλειστικά δική του . Κάθε τόμος απαριθμεί διάφορους ορισμούς και αξιώματα που ακολουθούνται από τα θεωρήματα , τα οποία ακολουθούνται από τις αποδείξεις . Κάθε δήλωση αποδείχθηκε , ανεξάρτητα αν είναι προφανής . Ο Ευκλείδης επέλεξε τα αξιώματά του προσεκτικά , επιλέγοντας μόνο τις πιο βασικές και αυτονόητες προτάσεις ως βάση της εργασίας του .Πριν , οι άλλες σχολές είχαν ένα διαφορετικό σύνολο αξιωμάτων η κάθε μία . Μερικά από τα οποία ήταν πολύ αμφισβητήσιμα . Το έργο αυτό βοήθησε πολύ στο να τυποποιήσει τα Ελληνικά Μαθηματικά . Όσον αφορά στο περιεχόμενο , κάλυψε την κλίμακα της αρχαίας σκέψης .Τα θέματα περιλαμβάνουν: το πυθαγορικό θεώρημα , αλγεβρικές ταυτότητες , κύκλοι , εφαπτομένες , επίπεδη γεωμετρία , η θεωρία των αναλογιών , πρωταρχικοί αριθμοί , τέλειοι αριθμοί , ιδιότητες των θετικών ακέραιων αριθμών , των άρρητων αριθμών , των τρισδιάστατων αριθμών , των εγγραμμένων και περιγραμένων αριθμών ,

-86-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”της κατασκευής των κανονικών στερεών κ.α. Ειδικά τα αξιοσημείωτα θέματα περιλαμβάνουν τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο , που χρησιμοποιήθηκαν από τον Αρχιμήδη στην εφεύρεση του ακέραιου υπολογισμού , και της απόδειξης ότι το σύνολο όλων των πρωταρχικών αριθμών είναι άπειρο ." Τα στοιχεία " μεταφράστηκαν και σε Λατινικά και σε Αραβικά και αυτή είναι η πρώτη εργασία για να επιζήσουν , από τις καταστροφές που έγιναν αργότερα , όπως η καταστροφή της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας . Επειδή ήταν μακράν ανώτερο από οτιδήποτε προηγούμενο . Το πρώτο τυπωμένο αντίγραφο βγήκε το 1482 και ήταν το εγχειρίδιο γεωμετρίας τα λογικά θεμέλια από το 1700 . Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ο Ευκλείδης ιδιαίτερα σεβαστός και τα « στοιχεία » θεωρήθηκαν μια από τις καλύτερες μαθηματικές εργασίες όλων των χρόνων .Στα στοιχεία , υπάρχουν ελλιπείς περιοχές που συμπλήρωσαν οι επόμενοι μαθηματικοί . Επιπλέον έχουν βρεθεί κάποιες αμφισβητήσιμες ιδέες . Οι πιο γνωστή είναι αυτά στο πέμπτο αξίωμα του , επίσης γνωστό ως παράλληλο αξίωμα .

Η πρόταση δηλώνει ότι για μια ευθεία γραμμή και ένα σημείο έξω από τη γραμμή , υπάρχει μόνο μια γραμμή που περνά μέσω του σημείου παράλληλη στην αρχική γραμμή . Ο Ευκλείδης δεν μπόρεσε να αποδείξει αυτήν την δήλωση και επειδή το χρειαζόταν για τις περαιτέρω αποδείξεις του , το υπέθεσε σαν αληθινό . Οι μελλοντικοί μαθηματικοί δεν μπορούσαν να δεχτούν ότι μια τέτοια δήλωση δεν έχει αποδειχθεί και ξόδεψαν πολλά χρόνια ψάχνοντας την απόδειξη η οποία όμως δεν έχει βρεθεί μέχρι σήμερα .Εντούτοις , παρά αυτά τα προβλήματα , ο Ευκλείδης κρατά τη διάκριση ως ένα από τα πρώτα πρόσωπα που προσπάθησαν να τυποποιήσουν τα μαθηματικά και τα καθορίσουν επάνω σε ένα ίδρυμα των αποδείξεων . Η εργασία του ενέργησε ως αφετηρία για τις μελλοντικές γενεές .

-87-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ

Ο 'Αρίσταρχος ο Σάμιος' (310 π.Χ. - περίπου 230 π.Χ.) ήταν Έλληνας αστρονόμος και μαθηματικός , που γεννήθηκε στη Σάμο . Είναι ο πρώτος καταγεγραμμένος άνθρωπος ο οποίος πρότεινε ηλιοκεντρικό μοντέλο του Ηλιακού Συστήματος, θέτοντας τον Ήλιο και όχι τη Γη, στο κέντρο του γνωστού Σύμπαντος (για το λόγο αυτό είναι συχνά γνωστός ως ο " Έλληνας Κοπέρνικος ") . Οι ιδέες του περί Αστρονομίας δεν είχαν γίνει αρχικά αποδεκτές και θεωρήθηκαν κατώτερες

-88-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”από εκείνες του Αριστοτέλη και του Πτολεμαίου , έως ότου αναγεννήθηκαν επιτυχώς και αναπτύχθηκαν από τον Κοπέρνικο περίπου 2000 χρόνια μετά .

Πρωτοπόρος μαθηματικός και αστρονόμος έγινε γνωστός με την ανακάλυψη και προβολή του Ηλιοκεντρισμού. Έζησε στην Αθήνα και σπούδασε στην περιπατητική σχολή του Αριστοτέλη , και αργότερα στην Αλεξάνδρεια . Αναφέρεται ότι περί το 280 π.Χ. μελέτησε το θερινό ηλιοστάσιο στην Αθήνα (Πτολεμαίος) .

Την Ηλιοκεντρική του θεωρία δεν γνωρίζουμε πως την ανακάλυψε αφού είναι αντίθετη προς τα φαινόμενα, ούτε σε πιο σύγγραμμά του την διατύπωσε . Μαρτυρείται όμως ότι γι' αυτήν καταδικάστηκε " επί ασεβεία " στην Αθήνα και έτσι αναγκάστηκε να φύγει στην Αλεξάνδρεια . Πριν από τον Αρίσταρχο πάντως είχε αμφισβητήσει τη Γη ως κέντρο ο Φιλόλαος , ο οποίος την είχε τοποθετήσει μαζί με την Αντι-γη (Αντίχθων) να περιφέρεται γύρω από κάποιο πυρ . Η θεωρία του αυτή, της οποίας δεν σώθηκε απόδειξη , έλεγε ότι: " Η γη στρέφεται γύρω από τον άξονά της και γύρω από τον ακίνητο ήλιο , μαζί με τους πλανήτες , μέσα στην Απέραντη σφαίρα των απλανών " (Πλούταρχος , Αρχιμήδης) .

Από τα έργα του Αρίσταρχου σώζεται μόνο μια μικρή πραγματεία με αστρονομικούς υπολογισμούς και τον τίτλο " Περί μεγεθών και αποστημάτων Ηλίου και Σελήνης " . Αυτή αναφέρεται στον Γεωκεντρισμό και με κάποιες παραδοχές διδάσκει μεθόδους υπολογισμού των πιο πάνω αποστάσεων . Σημαντική παρουσία στο έργο είναι το για πρώτη φορά εμφανιζόμενο ανισοτικό (τριγωνομετρικό) θεώρημα , με τη βοήθεια της οποίας υπολογίζονται ανισοτικά οι λόγοι των προβλημάτων , που ο ίδιος θέτει . Το έργο αυτό σώθηκε , γιατί μαζί με άλλα και υπό τον τίτλο " Μικρός Αστρονομούμενος " εκδίδονταν και χρησιμοποιούνταν ως εισαγωγική γνώση για την κατανόηση της " Μαθηματικής Σύνταξης " του Πτολεμαίου (Πάππος) .

-89-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Ηλιοκεντρισμός : Η μοναδική εργασία του Αρίσταρχου η οποία έχει διασωθεί μέχρι σήμερα, « Περί μεγεθών και αποστημάτων Ηλίου και Σελήνης » (Περί των μεγεθών και αποστάσεων του Ήλιου και της Σελήνης) , βασίζεται σε γεωκεντρικό μοντέλο . Παρόλα αυτά , γνωρίζουμε από διάφορες παραπομπές ότι ο Αρίσταρχος είχε γράψει ένα άλλο βιβλίο στο οποίο πρότεινε την εναλλακτική υπόθεση του ηλιοκεντρικού μοντέλου . Ο Αρχιμήδης έγραψε: « Συ βασιλιά Γέλων γνωρίζεις ότι ο κόσμος είναι το όνο?α που δίνουν οι περισσότεροι αστρονόμοι σε μία σφαίρα , που στο κέντρο της βρίσκεται η Γη και ότι η ακτίνα της σφαίρας αυτής είναι ίση προς την απόσταση μεταξύ του Ήλιου και της Γης . Αυτή είναι η εξήγηση την οποία δίνουν οι αστρονόμοι . Αλλά ο Αρίσταρχος έγραψε ένα βιβλίο , που περιέχει ορισμένες προτάσεις , από τις οποίες συμπεραίνεται ότι ο πραγματικός κόσμος είναι πολύ μεγαλύτερος . Πιστεύεται ότι οι απλανείς αστέρες και ο Ήλιος είναι ακίνητοι , ότι η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο σε κυκλική τροχιά, που στο κέντρο της βρίσκεται ο Ήλιος . Ακόμη ότι η σφαίρα των απλανών αστέρων , που βρίσκεται στο ίδιο με τον Ήλιο κέντρο , είναι τόσο μεγάλη , ώστε ο κύκλος γύρω από τον οποίο περιστρέφεται η Γη απέχει από τους απλανείς αστέρες , όσο απέχει το κέντρο μιας σφαίρας από την επιφάνεια της ... Ο Αρίσταρχος δηλαδή εννοεί το εξής : αφού πιστεύουμε ότι η Γη είναι , ας πούμε , το κέντρο του κόσμου , η σχέση της Γης προς εκείνο που ονομάζουμε « κόσμο » είναι ίση προς τη σχέση της σφαίρας , που περιέχει τον κύκλο πάνω στον οποίο διατείνεται ότι περιστρέφεται η Γη , προς τη σφαίρα των απλανών αστέρων . » Ως εκ τούτου , ο Αρίσταρχος πίστευε ότι τα αστέρια βρίσκονται σε άπειρη απόσταση, και αυτό το θεωρούσε ως εξήγηση για την απουσία ορατής παράλλαξης , δηλαδή της παρατηρούμενης κίνησης των αστέρων καθώς η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο .

-90-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Στην πραγματικότητα τα αστέρια βρίσκονται πολύ πιο μακριά από όσο είχε υποτεθεί στην αρχαιότητα , το οποίο ερμηνεύει το γεγονός ότι η αστρική παράλλαξη είναι ανιχνεύσιμη μόνο με τηλεσκόπια . Αλλά είχε υποτεθεί ότι το γεωκεντρικό μοντέλο ήταν μια απλούστερη και καλύτερη εξήγηση για την έλλειψη παράλλαξης . Ο Αρίσταρχος υπέθετε ότι ο ουρανός παραμένει ακίνητος και η Γη γυρίζει πάνω σε ένα επικλινή κύκλο, ενώ ταυτόχρονα περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της .

Μέγεθος της ΣελήνηςΟ Αρίσταρχος παρατήρησε την κίνηση της Σελήνης διαμέσου της σκιάς της Γης κατά τη διάρκεια μιας έκλειψης Σελήνης . Εκτίμησε ότι η διάμετρος της Γης ήταν 3 φορές μεγαλύτερη από τη διάμετρο της Σελήνης . Χρησιμοποιώντας τον υπολογισμό του Ερατοσθένους ότι η περιφέρεια της Γης ήταν 42.000 χλμ. , συμπέρανε ότι η Σελήνη έχει περιφέρεια ίση με 14.000 χλμ . Σήμερα, είναι γνωστό ότι η Σελήνη έχει περιφέρεια περίπου ίση με 10.916 χλμ .

Απόσταση και μέγεθος του ΉλιουΜελέτη του Αρίσταρχου περί μεγέθους της γης, του ήλιου και της σελήνης (αντίγραφο του 10ου αι.) .Ο Αρίσταρχος παρατήρησε / υποστήριζε ότι ο Ήλιος , η Σελήνη και η Γη σχηματίζουν σχεδόν μια ορθή γωνία τη στιγμή του πρώτου ή του τελευταίου τετάρτου της Σελήνης . Εκτίμησε ότι η γωνία ήταν 87° . Χρησιμοποιώντας σωστά τη Γεωμετρία , αλλά με λανθασμένα στοιχεία παρατήρησης , ο Αρίσταρχος συμπέρανε ότι ο Ήλιος ήταν 20 φορές πιο μακριά από ό,τι η Σελήνη . Στην πραγματικότητα ο Ήλιος είναι περίπου 390 φορές πιο μακριά . Εντόπισε ότι η Σελήνη και ο Ήλιος έχουν

-91-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”σχεδόν το ίδιο φαινόμενο μέγεθος από τη Γη και συμπέρανε ότι οι διάμετροί τους θα είναι ανάλογοι με την απόστασή τους από τη Γη . Έτσι κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο Ήλιος είχε 20 φορές μεγαλύτερη διάμετρο από τη Σελήνη , κάτι που είναι υπολογιστικά λογικό και σωστό , αλλά επίσης λάθος (αφού στηρίζεται σε λάθος δεδομένα) . Η εκτίμησή του όμως αυτή υποδεικνύει ότι ο Ήλιος είναι ξεκάθαρα μεγαλύτερος από τη Γη , κάτι που υποστηρίζει το ηλιοκεντρικό μοντέλο .

  

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ Ο Αρχιμήδης (287 π.Χ.-212 π.Χ.) ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς , φυσικούς και μηχανικούς

-92-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”της αρχαιότητας . Γεννήθηκε , έζησε και πέθανε στις Συρακούσες , τη μεγάλη ελληνική αποικία της Σικελίας .Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας , ενώ συγγενής του ήταν και ο βασιλιάς των Συρακουσών, Ιέρων Α΄ . Παρ' όλο που καταγόταν από ευγενική γενιά , ο Αρχιμήδης αρνήθηκε να πάρει οποιοδήποτε αξίωμα , επιμένοντας να διαθέτει όλο του τον χρόνο στη σπουδή και τη μάθηση . Γι' αυτόν τον λόγο ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους Ερατοσθένη και Δοσίθεο , ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου .Το έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο , τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά , και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία , οπτική (κατοπτρική) , υδραυλική , μηχανική , αρχιτεκτονική και την πολιορκητική . Συνέδεσε το όνομά του με τη γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα , τη λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων , καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του , τις Συρακούσες. Ο Αρχιμήδης έγραψε τα πρώτα βιβλία για την επίπεδη γεωμετρία και στερεομετρία, την αριθμητική και τα μαθηματικά . Επίσης ανακάλυψε την αρχή του ειδικού βάρους και του μοχλού . Μία μέρα ο βασιλιάς παρήγγειλε στο μεγαλύτερο καλλιτέχνη των Συρακουσών να του φτιάξει μία κορώνα από καθαρό χρυσάφι . Όταν ο βασιλιάς πήρε την κορώνα , άρχισαν να διαδίδονται φήμες πως ο καλλιτέχνης τον είχε κοροϊδέψει, παίρνοντας ένα μέρος από το χρυσάφι και αντικαθιστώντας το με άλλο μέταλλο . Ωστόσο, η τελειωμένη κορώνα είχε το ίδιο βάρος με το χρυσάφι του βασιλιά . Ο βασιλιάς κάλεσε τότε τον Αρχιμήδη να εξετάσει το ζήτημα . Στα πειράματά του , ο Αρχιμήδης βρήκε τον νόμο του ειδικού βάρους . Ανακάλυψε πως όταν ένα στερεό σώμα μπει μέσα σε υγρό χάνει τόσο βάρος όσο είναι το βάρος του όγκου του νερού που εκτοπίζει .Ο Αρχιμήδης επινόησε το σύστημα να παίρνει το ειδικό βάρος των στερεών σωμάτων. Ζύγιζε πρώτα το στερεό στον αέρα και έπειτα το ζύγιζε μέσα στο νερό . Και αφού το στερεό ζύγιζε λιγότερο μέσα στο νερό , αφαιρούσε το βάρος που είχε μέσα στο νερό από το βάρος που είχε στον αέρα .

-93-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Τέλος , διαιρούσε το βάρος του στερεού σώματος στον αέρα με την απώλεια βάρους που είχε το σώμα μέσα στο νερό . Έμαθε έτσι , πως ένας δοσμένος όγκος από χρυσάφι ζυγίζει 19,3 φορές τον ίσο όγκο νερού .

Όμως, καθώς δεν μπόρεσε να προχωρήσει περισσότερο στο πρόβλημα της βασιλικής κορώνας , ο Αρχιμήδης σηκώθηκε να πάει στα λουτρά για να ξεκουραστεί . Εκεί βρήκε τη λύση . Μέσα στον ενθουσιασμό του βγήκε από το λουτρό γυμνός στο δρόμο φωνάζοντας « Εύρηκα! Εύρηκα! ».O Αρχιμήδης γύρισε στο σπίτι του , ζύγισε την κορώνα στον αέρα και ύστερα τη ζύγισε μέσα στο νερό . Με τη μέθοδο αυτή βρήκε το ειδικό βάρος της κορώνας . Το ειδικό βάρος της δεν ήταν 19,3. Δεν μπορούσε, λοιπόν, η κορώνα να είναι από καθαρό χρυσάφι . Ο Αρχιμήδης απέδειξε πως ο καλλιτέχνης ήταν απατεώνας .Η αποκάλυψη ενός απατεώνα ήταν πολύ μικρή εξυπηρέτηση σε σύγκριση με εκείνες που θα προσέφερε αργότερα ο Αρχιμήδης στο βασιλιά του . Όταν άρχισαν να κυκλοφορούν στις Συρακούσες φήμες πως οι Ρωμαίοι βάδιζαν εναντίον τους , ο Αρχιμήδης εξακολουθούσε τις μελέτες και τις εφευρέσεις . Σ' αυτήν την περίοδο και στο χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής , ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους . Εφηύρε τον ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) , το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία (έλιξ του Αρχιμήδους) , που ήταν ένας σωληνοειδής κοχλίας που χρησίμευε για την άντληση νερού. Επίσης κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας .Όταν άρχισε η πολιορκία των Συρακουσών από τους Ρωμαίους , οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αποδείχτηκαν εξαιρετικά χρήσιμες αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού) , καταπέλτες , άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά ηλιακά

-94-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ιωάννη Σακκά , ο οποίος το 1973 απέδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον ρωμαϊκό στόλο) .Ωστόσο οι Ρωμαίοι όλο και πλησίαζαν . Ο Αρχιμήδης μισούσε τους εισβολείς αλλά δεν τους φοβότανε . Σύμφωνα με την παράδοση , όταν η πόλη μετά από τριετή αντίσταση των Ελλήνων , κατελήφθη με προδοσία, ένας Ρωμαίος στρατιώτης μπήκε μέσα στο σπίτι του Αρχιμήδη την ώρα που μελετούσε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα . Ο Αρχιμήδης είπε στον στρατιώτη να βγει έξω και να μη διαταράξει τη σκέψη του , λέγοντάς το περίφημο « Μη μου τους κύκλους τάραττε » . Όμως ο στρατιώτης έβγαλε το σπαθί του και τον σκότωσε .Ο Αρχιμήδης αγαπούσε τόσο πολύ την εργασία του « Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου » ώστε είπε ότι θα ήθελε όταν πεθάνει να χαραχτεί στον τάφο του το σχήμα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο . Ο κατακτητής Μάρκελλος είχε αναπτύξει τέτοιο θαυμασμό και εκτίμηση για τον Αρχιμήδη ως αντίπαλο , ώστε όταν έμαθε πως σκοτώθηκε , τον έθαψε με μεγάλη μεγαλοπρέπεια και τελετές και έστησε στον τάφο του μια πέτρινη στήλη πάνω στην οποία ήταν σκαλισμένο το σχήμα που είχε ζητήσει ο Αρχιμήδης .

Πολλά χρόνια αργότερα , όταν ο Κικέρωνας επισκέφτηκε τις Συρακούσες σαν Ρωμαίος έφορος , κανείς δεν ήξερε να τον οδηγήσει στον τάφο του Αρχιμήδη . Μετά από πολλές έρευνες βρήκε την ταφόπετρα ανάμεσα σε ψηλούς βάτους και ξανάφτιαξε το έδαφος γύρω από τον τάφο . Με το πέρασμα του χρόνου όμως , ο τάφος παραμελήθηκε και όλα έδειχναν ότι με την αύξηση της πόλης ο τάφος θα χανόταν οριστικά . Όμως το 1965 , σκάβοντας για τη θεμελίωση ενός νέου ξενοδοχείου στις Συρακούσες , ένας εκσκαφέας σήκωσε μία ταφόπετρα με σκαλισμένο πάνω της το σχήμα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο σκαλισμένο . Έτσι ανακαλύφτηκε ο τάφος του Αρχιμήδη .Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη , καθώς και τους Άραβες επιστήμονες , οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα Αραβικά ,

-95-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά , αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί . Διασωθέντα συγγράμματα : Στα Βικιφθέγματα υπάρχει υλικό σχετικό με το άρθρο ΑρχιμήδηςΠερί σφαίρας και κυλίνδρου Βιβλίο α' και β' .

Κύκλου μέτρησις Σώζονται τρία θεωρήματα . Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων (32 θεωρήματα , 1

πόρισμα) Περί ελίκων (28 θεωρήματα , 6 πορίσματα) Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή

Μηχανικά Βιβλία α' και β' . Βιβλίο λημμάτων Πρόβλημα Βοεικόν Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο

επταγώνου Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα Αραβικά) Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλων Αρχαί της Γεωμετρίας Ψαμμίτης Τετραγωνισμός παραβολής

Πρόσφατα (2006) διαβάστηκαν από το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη αποσπάσματα από τα έργα που διασώθηκαν σε αυτό

Οστομάχιον Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος

(=μέθοδος) Περί των επιπλεόντων σωμάτων Οχουμένων (Υδροστατική επιπλεόντων σωμάτων)

Συγγράμματα μη διασωθέντα (ή συγράμματα μη αποκαλυφθέντα μέχρι σήμερα)

Αριθμητικά Βαρουλκός , Υδροσκοπίαι , Πνευματική Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής -

Τζέτζης)-96-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” Περί τριγώνων Περί τετραπλεύρου Περί ζευγών Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων Ισοπεριμετικά Ισορροπίαι Καύσις δια κατόπτρων (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές

πείραμα στο Ν.Σ.) Περί Αρχιτεκτονικής Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα -

Αραιόμετρα) Περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων) Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικά Κατοπρικά Περί παραλλήλων γραμμών Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρων Προοπτική Στοιχεία μηχανικών Πλινθίδες και Κύλινδροι Στοιχεία επί των στηρίξεων Σφαιροποιΐα

Εφευρέσειςo Αστρονομική συσκευήo Βαρουλκόςo Γερανοί (Αρπάγες)o Καταπέλτεςo Κάτοπτραo Κοχλίας ή έλιξo Οδόμετρο (δρομόμετρο)o Πλανητάριον (σφαίρα)o Πολύσπαστον (Βαρούλκο), τρίσπαστοo Σίφωνo Οστομάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)o Τηλεβόλον Αρχιμήδουςo Χαριστίων (μοχλός)o Ωρολόγιο υδραυλικό

ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ-97-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

'Eζησε στο διάστημα (276-194 π.Χ.) Μαθηματικός , Φυσικός , Γεωγράφος , Αστρονόμος , Ιστορικός και Φιλόλογος . Αν και ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη (στη σημερινή Λιβύη) , σπούδασε και αργότερα δίδαξε στην Αλεξάνδρεια , στο περίφημο Μουσείο της . Από το 235 π.Χ. και επί 40 χρόνια διετέλεσε διευθυντής της περίφημης βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Επιστήθιος φίλος του Αρχιμήδη διατηρούσε επαφή μαζί του και συμμετείχε στα γεωμετρικά ζητούμενα της εποχής του . Από τα ποικίλα έργα του δεν σώθηκε κανένα εκτός από λίγους τίτλους , όπως:

" Χρονογραφίαι " (9 βιβλία): Χρονολογική ταξινόμηση ανθρώπων και γεγονότων .

" Γεωγραφικά " (3 βιβλία): Η Μαθηματική γεωγραφία και η ιστορία της .

" Περί της Αρχαίας κωμωδίας " : Κριτική , ιστορία και χρονολόγηση .

" Καταστερισμοί " : Μελέτη των αστερισμών . " Περί Μεσοτήτων " : Μελέτη της Αριθμητικής

Γεωμετρικής και Αρμονικής αναλογίας . Επινόησε και κατασκεύασε το περίφημο όργανο "

Μεσολάβιον " , με τη βοήθεια του οποίου έλυε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) , και ταυτόχρονα μπορούσε να παρεμβάλει ανάμεσα σε δύο δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα δύο μέσες αναλόγους , σε συνεχή αναλογία .

Κατασκεύασε τον πρώτο παγκόσμιο μαθηματικό χάρτη της τότε οικουμένης , την οποία σχεδίασε πάνω σε ένα πλέγμα καθέτων ευθειών (μεσημβρινών και παραλλήλων κύκλων) .

Αναφέρεται από τον Κλεομήδη στο « Περί της κυκλικής κινήσεως των ουρανίων σωμάτων » ότι γύρω στο 240 π.Χ. υπολόγισε την περιφέρεια της Γης χρησιμοποιώντας το ύψος του Ηλίου κατά την εαρινή ισημερία σε δύο διαφορετικά γεωγραφικά σημεία , που όμως βρίσκονταν στον ίδιο (περίπου) μεσημβρινό: κοντά στην

-98-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Αλεξάνδρεια και στη νήσο Ελεφαντίνη και κοντά στη Συήνη (σημερινό Ασουάν, Αίγυπτος) . Ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περιφέρεια της Γης σε 252.000 στάδια . Δεν ξέρουμε όμως την ακρίβεια της μέτρησης , καθώς δεν ξέρουμε ποιο είδος σταδίου χρησιμοποίησε . Αν χρησιμοποίησε το αττικό στάδιο (184,98 μέτρα) τότε υπολόγισε την περιφέρεια σε 46.615 χιλιόμετρα . Αν χρησιμοποίησε το οδοιπορικό στάδιο (157,50 μέτρα) τότε την υπολόγισε σε 39.690 χιλιόμετρα που είναι αρκετά καλός υπολογισμός, με δεδομένο ότι σήμερα υπολογίζεται σε 40.007,86 χιλιόμετρα.

 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΠΕΡΓΑΙΟΣ

Έζησε, κατά πάσα πιθανότητα, στο διάστημα (265-170 π.Χ.) .

Μεγάλος μελετητής της γεωμετρίας έζησε, σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Καθηγητής του Μουσείου της πόλης του, θεωρείται σαν ο τρίτος μεγαλύτερος Μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη .

Ο Απολλώνιος αν και κορυφαίος μελετητής του Μουσείου, αναφέρεται ως ματαιόδοξος και υπερόπτης. Από το πλήθος των έργων του ελάχιστα σεβάστηκε ο χρόνος με κορυφαίο από αυτά τα " Κωνικά " του .

Ενδεικτικός είναι ο κατάλογος των έργων του, που μνημονεύτηκαν. 

Έργα του :

Σώθηκαν ΧάθηκανΚωνικά (8 βιβλία) Περί χωρίου

αποτομής (2 βιβλία)

Περί λόγου αποτομής (2 Περί επαφών (2

-99-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

βιβλία) βιβλία)Κατασκευή δύο μέσων αναλόγων

Περί νεύσεων (2 βιβλία)

Σύγκριση 12/εδρου και

20/εδρου

Επίπεδοι τόποι (2 βιβλία)

κωνικό ηλιακό

ωρολόγιο

Περί ατάκτων αλόγωνΩκυτόκιοΠερί κοχλίου ή ελίκωνΗ καθόλου πραγματεία

Περί του πυρίουΠερί της κατασκευής υδραυλικού αρμονίουΑστρονομικό σύγγραμμα αγνώστου τίτλουΘεωρία αριθμώνΠερί λογιστικώνΑναλυόμενος

-100-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

τόποςΚατασκευές ωρολογίωνΟπτικήΔιωρισμένη τομή

Τα Κωνικά είχαν διαιρεθεί σε οχτώ βιβλία , από τα οποία διασώζονται επτά , τα τέσσερα πρώτα στην ελληνική γλώσσα και τα τρία επόμενα σε αραβική μετάφραση (το όγδοο χάθηκε) . Τις κωνικές τομές πρώτοι μελέτησαν οι Πυθαγόρειοι , σε συνέχεια η Ακαδημία του Πλάτωνος και τέλος ο Ευκλείδης .Ο Απολλώνιος ανέπτυξε σημαντικά την επιστημονική έρευνα και ανακάλυψε πολλά νέα θεωρήματα των κωνικών τομών. Μεγάλη εκτίμηση για τον Απολλώνιο τρέφουν οι Γερμανοί κυρίως μαθηματικοί , οι οποίοι τον θεωρούν θεμελιωτή της αναλυτικής και της προβολικής γεωμετρίας . Αλλά και στην αστρονομία είχε κάνει σπουδαίες έρευνες ο Απολλώνιος . Δεν μπορούμε όμως να καθορίσουμε τις έρευνες αυτές, γιατί από τα αστρονομικά του συγγράμματα δε διασώζεται τίποτε .Το έργο του Απολλώνιου ήταν μεγάλο , από αυτό διασώζονται:α) 7 Κωνικά βιβλία β) Το θεώρημα Ο κύκλος του Απολλώνιου , διασώθηκε από τους σχολιαστές του . Πολλά από τα θεωρήματα που περιλαμβάνονται στα Κωνικά είναι , βέβαια , γνωστά στον Ευκλείδη , αλλά τα πιο πολλά έχουν διατυπωθεί για πρώτη φορά από τον Απολλώνιο .

-101-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Στην Αστρονομία ο σοφός μας υπήρξε ο εισηγητής του γεωκεντρικού συστήματος των " εκκέντρων κύκλων και επικύκλων " , για την ερμηνεία των κινήσεων του ουρανού κατά τρόπο σύμφωνο προς τις παρατηρήσεις .Το Δήλιο πρόβλημα αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης του , το οποίο και το έλυσε με τη βοήθεια της τομής ενός κύκλου και μιας υπερβολής . Επίσης διατύπωσε σπουδαία θεωρήματα κυρίως περί των κωνικών τομών και ήταν ο πρώτος μαθηματικός που χρησιμοποίησε τους όρους « κατηγμένη » ( σήμερα λέγεται τεταγμένη ) και « άξονας συντεταγμένων » . Έθεσε τις βάσεις της Αναλυτικής Γεωμετρίας γράφοντας σπουδαίες μαθηματικές πραγματείες από τις οποίες δυστυχώς μόνο μια σώθηκε κι αυτή όχι πλήρης φέρει δε τον τίτλο « κωνικά » .

-102-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΝΙΚΟΜΗΔΗΣ

'Aκμασε γύρω στο 200 π.Χ.Μαθηματικός , αγνώστου καταγωγής , έγινε γνωστός από

τις αναφορές του Πάππου και του Πρόκλου , από τις οποίες συνάγουμε ότι εκείνος ανακάλυψε την περίφημη Κογχοειδή (ή Κοχλοειδή) καμπύλη με τη βοήθεια της οποίας έλυσε και το Δήλιο πρόβλημα και την Τριχοτόμηση γωνίας .

Για την χάραξη της καμπύλης ο Νικομήδης ανακάλυψε και σχετικό όργανο , με τη βοήθεια του οποίου την σχεδίαζε με συνεχή κίνηση (Ευτόκιος) .

Η Κογχοειδής καμπύλη

Έστω σταθερή ευθεία (ε) (βάση) σταθερό σημείο Π (Πόλος) ,

εκτός της (ε) και σταθερό μήκος μ (διάστημα) .

Φέρουμε από το Π το σύνολο των ευθειών, που τέμνουν

την (ε) σ' ένα σημείο Β, και επάνω τους λαμβάνουμε τμήματα ΒΝ= ΒΜ εκατέρωθεν της (ε) . Ο γεωμετρικός τόπος των Μ και Ν είναι οι δύο κλάδοι της

Κογχοειδούς .Με τη βοήθεια της καμπύλης αυτής λύνεται και το Δήλιο

και η Τριχοτόμηση και μάλιστα και με τους δύο κλάδους της

καμπύλης .

-103-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Απλούστερη είναι η τριχοτόμηση του διπλανού σχήματος.'Eστω η γωνία  . Γράφουμε τυχαία ευθεία  και την Κογχοειδή με πόλο Ο και διάστημα μ=2.ΟΒ= ΔΓ. Αν τώρα φέρουμε την  τότε η ΓΟ θα ορίζει γωνία  .

Ο Νικομήδης για να λύσει το πρόβλημα  της τριχοτόμησης της γωνίας και του τετραγωνισμού του κύβου επινόησε  μια καμπύλη , την  κογχοειδή  την  οποία παρουσιάζουμε παρακάτω στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου –η λύση του Νικομήδη .

ΙΠΠΑΡΧΟΣ Ο ΝΙΚΑΕΥΣ Έζησε στο διάστημα (190-120 π.Χ.) . Μεγάλος μαθηματικός, γεωγράφος μετρητής και κυρίως Αστρονόμος . Δίδαξε και εκτέλεσε παρατηρήσεις ακριβείας στη Ρόδο και την Αλεξάνδρεια , με όργανα , τα οποία ανακάλυψε ή βελτίωσε ο ίδιος . Παρότι δέσμιος του γεωκεντρικού συστήματος , συνέβαλε εξαιρετικά στην μαθηματικοποίηση της ελληνικής αστρονομίας και στην ολοκλήρωση της μαθηματικής Γεωγραφίας . Ενδεικτικοί είναι οι σωσμένοι τίτλοι μερικών από τα έργα του .

" Των Αράτου και Ευδόξου Φαινομένων εξηγήσεως βιβλία γ " (σώθηκε) .

" Εις Αστερισμούς ή περί των Απλανών... " (σώθηκε) .

" Περί μεγεθών και αποστημάτων Ηλίου και Σελήνης " .

-104-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” " Περί μηνιαίου χρόνου " . " Περί εμβολίμων μηνών τε και ημερών " . " Παραλακτικών βιβλία δύο " . " Περί της των ιβ ζωδίων αναφοράς " . " Περί της μεταπτώσεως " . " Περί της των συνανατολών πραγματείας " . " Περί εκλείψεων Ηλίου κατά τα επτά κλίματα " . " Περί της πραγματείας της εν κύκλω ευθειών

βιβλία ιβ " . " Προς τον Ερατοσθένη και τα εν τη Γεωγραφία

αυτού λεχθέντα " .

Από τα δύο σωσμένα έργα του και τους σχολιασμούς των υπολοίπων μαθαίνουμε ότι ο κορυφαίος αυτός αστρονόμος :

Συνέταξε έναν πίνακα 1022 αστέρων, ορατών από την Αλεξάνδρεια , και τα κατέταξε σε 49 αστερισμούς (21 Β, 16 Ν και 12 ζωδιακούς) και σε 6 μεγέθη λαμπρότητας .

Εισήγαγε την υποδιαίρεση του κύκλου σε 360° . Συγκρότησε πίνακα χορδών κύκλου , στον οποίο

έδινε τα μήκη των χορδών δοσμένου κύκλου (ίσως R=60) , συναρτήσει των επίκεντρων γωνιών τους (και ίσως ανά μισή μοίρα) (Πτολεμαίος) . Ο πίνακας αυτός είναι πιθανό να είναι πύκνωση αντίστοιχου πίνακα του Αρχιμήδη .

Συγκρότησε πίνακα γεωγραφικών πλατών ανά 1° (700 στάδια) , τον οποίο συνόδευε με τους λόγους του (γνώμονα) : (Σκιά) και τις διάρκειες των αντίστοιχων μεγίστων ημερών .

Αναφέρεται ότι επινόησε όργανα ακριβείας και ότι εφάρμοσε ειδικές μεθόδους μετρήσεων και υπολογισμού . Τα κυριότερα όργανα δικής του έμπνευσης ήταν ο Αστρολάβος , η Τετραπήχυς Διόπτρα και το Μετεωροσκόπιο .

-105-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Από τους υπολογισμούς του κυριότεροι είναι εκείνοι που έδωσαν:

Την περίμετρο της Γης (252.000 στάδια) , η οποία μάλλον είναι στρογγυλοποίηση των τιμών του Αρχιμήδη και του Ερατοσθένη .

Τη διάρκεια των σεληνιακών μηνών (29 ημ. 31'50''8''') .

Τη διάρκεια του ενιαυτού (έτους = 365,2466 ημέρες, με πραγματ. 365,2422 ημέρες) .

Τη διάρκεια των εποχών (Γεμίνος - 'Aνοιξη 94,5 ημ., Καλ. 92,5 ημ., Φθιν. 88+1/8 ημ., Χειμ. 90+1/8 ημ.) .

Την εκκεντρότητα της γης (1/24 με πραγματική την 1/60 του Ηλίου) .

Την Μετάπτωση των Ισημεριών , δηλαδή την αργή κίνηση του άξονα της γης . Την υπολόγισε ίση με 48'' το έτος , με πραγματική την 50'',2 της μοίρας .

Την απόσταση του Ηλίου και της Σελήνης (αντίστοιχα 1210 και 59 γήινες ακτίνες) . Μέσες πραγματικές αντίστοιχες τιμές είναι οι: 23.500 και 60 γήινες ακτίνες .

Το σύνολο των μεθόδων , των υπολογισμών και των ανακαλύψεων του Ιππάρχου , του διασημότερου και μεγαλοφυέστερου των Ελλήνων αστρονόμων της αρχαιότητας, έγινε αιτία αυτός να θεωρείται ως ο ερευνητής εκείνος , που , αν και προσηλωμένος στον Γεωκεντρισμό , κατέστησε την αστρονομία πραγματική μαθηματική επιστήμη .

-106-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΠΟΣΕΙΔΩΝΙΟΣ Ο ΡΟΔΙΟΣ Ο Ποσειδώνιος ο Ρόδιος ή ο Απαμεύς (περ. 135 π.Χ. – 51 π.Χ.) ήταν Έλληνας πολυμαθής Στωικός φιλόσοφος ,  αστρονόμος , γεωγράφος , πολιτικός , ιστορικός και δάσκαλος που γεννήθηκε στην Απάμεια της Συρίας . Τον θεωρούσαν τον πολυμαθέστερο άνθρωπο του κόσμου για την εποχή του . Τίποτα από το τεράστιο έργο του δεν έχει σωθεί ως ολότητα σήμερα, αλλά μόνο αποσπάσματα .Οι αντιλήψεις του για τη φυσική :Ο Ποσειδώνιος υπoστήριζε τη θεωρία της κοσμικής (συμπαντικής) « συμπαθείας » , της οργανικής διασυνδέσεως όλων των φαινομένων στο Σύμπαν, από τον ουρανό ως τη Γη , ως ένα μέρος ενός λογικού σχεδιασμού που ένωνε την ανθρωπότητα με όλα τα πράγματα στο Σύμπαν , ακόμα και όσα ήταν χρονικά και χωρικά απομακρυσμένα μεταξύ τους . Παρά το ότι ο δάσκαλός του Παναίτιος αμφισβητούσε τη μαντεία , ο Ποσειδώνιος χρησιμοποίησε τη θεωρία της κοσμικής συμπαθείας για να υποστηρίξει την πίστη του στη μαντεία (είτε την αστρολογική , είτε τα « προορατικά » όνειρα) ως ένα είδος επιστημονικής προβλέψεως .Στην αστρονομία :Αποσπάσματα από το αστρονομικό έργο του Ποσειδωνίου σώζονται μέσα από την πραγματεία του Κλεομήδη « Κυκλική θεωρία μετεώρων » , όπου το πρώτο κεφάλαιο του δεύτερου βιβλίου φαίνεται ότι έχει στο μεγαλύτερο μέρος του αντιγραφεί από τον Ποσειδώνιο . Ο Ποσειδώνιος πίστευε ότι ο Ήλιος εξέπεμπε μια « ζωτική δύναμη » που διαπερνούσε το Σύμπαν, ενώ προσπάθησε να μετρήσει την απόσταση και τις

-107-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”διαστάσεις του . Περί το 90 π.Χ. ο Ποσειδώνιος εξετίμησε την αστρονομική μονάδα ως 9893 φορές την ακτίνα της Γης , που είναι περί το ήμισυ της πραγματικής της τιμής . Ωστόσο, για τη διάμετρο του Ηλίου βρήκε μία τιμή μεγαλύτερη και ακριβέστερη από αυτές που πρότειναν άλλοι αρχαίοι Έλληνες αστρονόμοι , μεταξύ των οποίων και ο Αρίσταρχος ο Σάμιος . Ο Ποσειδώνιος έκανε επίσης ένα υπολογισμό της διαμέτρου και της αποστάσεωςτης Σελήνης .

Γνωρίζουμε επίσης ότι είχε κατασκευάσει ένα φορητό υπολογιστή των κινήσεων των ουράνιων σωμάτων , παρόμοιο με τον Μηχανισμό των Αντικυθήρων όπως αυτός αποκαλύφθηκε μετά την πρόσφατη ανάλυση (2006-2008) , και ίσως τον ίδιο τον μηχανισμό αυτό , που χρονολογείται στην ίδια περίπου περίοδο . Σύμφωνα με τον Κικέρωνα , το φορητό « πλανητάριο » του Ποσειδωνίου έδειχνε τις ημερήσιες κινήσεις του Ηλίου, της Σελήνης και των 5 γνωστών τότε πλανητών .Ο Ποσειδώνιος μέτρησε την περιφέρεια της Γης με βάση τη θέση του aστέρα Κανώπου . Καθώς εξηγεί ο Κλεομήδης , ο Ποσειδώνιος παρατήρησε ότι ο Κάνωπος δεν ανέβαινε ποτέ πάνω από τον ορίζοντα στη Ρόδο , ενώ στην Αλεξάνδρεια τον είδε να ανεβαίνει μέχρι 7,5 μοίρες πάνω από τον ορίζοντα ... (το τόξο που αντιπροσωπεύει τη διαφορά του γεωγραφικού πλάτους των δύο τόπων είναι στην πραγματικότητα ίσο με 5 μοίρες και 14΄) . Ο Ποσειδώνιος εκτιμούσε ότι η Ρόδος απείχε 5000 στάδια και βρισκόταν ακριβώς βόρεια της Αλεξανδρείας , οπότε η διαφορά στο ύψος του αστέρα σήμαινε ότι αυτή η απόσταση ισούται με το 1/48 της

-108-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”περιφέρειας της Γης . Ο υπολογισμός του επομένως για την περιφέρεια της Γης έδωσε ως αποτέλεσμα 240.000 στάδια . Οι περισσότεροι ιστορικοί της Επιστήμης θεωρούν ότι το στάδιο που χρησιμοποιούσε ο Ποσειδώνιος ήταν ίσο με 161 m , οπότε η τιμή αυτή αντιστοιχεί σε 38.600 χιλιόμετρα , πολύ κοντά στην πραγματική τιμή της περιφέρειας που περνά από τους πόλους (40.074 χιλιόμετρα) .

ΔΙΟΝΥΣΟΔΩΡΟΣ Ο ΜΗΛΙΟΣ 'Eζησε στο διάστημα 2-1 αι. π.Χ. , και μάλλον ήταν σύγχρονος του Ποσειδωνίου . Οι αναφορές σε αυτόν δείχνουν ότι ήταν γεωμέτρης , διάσημος στο πανελλήνιο και ότι καταγόταν από τη Μήλο (Στράβων, Πλίνιος) . Γνωστά είναι δύο έργα του το " Συμβολαί " (αναφέρεται σε έρευνες του Αρχιμήδη) και το " Περί Σπείρας " (Σαμπρέλλας) . Σήμερα, από το συνολικό μαθηματικό του έργο, γνωρίζουμε δύο μόνο γεγονότα .

Πρώτον, τη μέτρηση της περιμέτρου της Γης . Συγκεκριμένα ο Πλίνιος αναφέρει ότι μετά το θάνατό του οι γυναίκες , που πήγαν να τελέσουν στον τάφο του τα καθιερωμένα , βρήκαν ένα γράμμα υπογεγραμμένο από τον ίδιο , που έλεγε ότι έφτασε στο κέντρο της γης και ότι αυτό απέχει από την επιφάνεια

-109-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”42.000 στάδια (ακτίνα της γης-σφαίρας) . Ανεξάρτητα τώρα από τον θρύλο βλέπουμε ότι αυτός θεωρούσε την περίμετρο της γης ίση προς: στάδια (Αρχιμήδης: ) Η πραγματική τιμή ήταν η Γ=252.000 στάδια

(του Ιππάρχου) . Δεύτερο μαθηματικό γεγονός είναι η έκφραση του

όγκου και του εμβαδού μιας Σπείρας . (Στερεό που προκύπτει από την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από έναν άξονα που δεν την τέμνει) (Ήρωνος " Μετρικά " ΙΙ) . Πιστεύεται ότι αυτό έγινε με τον τεμαχισμό της Σπείρας σε ίσες φέτες με επίπεδα που περνούν από τον άξονά της . Οι φέτες αυτές , τοποθετημένες η μία πάνω στην άλλη , κατ' αντίθετη φορά , σχηματίζουν έναν " κίονα " , που ο όγκος και η επιφάνειά του προσεγγίζουν τα αντίστοιχα της Σπείρας , όσο πιο λεπτές είναι οι φέτες . Στο όριο όμως ο κίων αυτός θα γίνεται κύλινδρος με βάση τον περιστρεφόμενο κύκλο και ύψος το μήκος της περιφέρειας που γράφει κατά την περιστροφή το κέντρο του . Έτσι ο όγκος: και το εμβαδόν: (Αρχιμήδης) .

Οι δύο σημαντικές αυτές προτάσεις πρέπει να αποτέλεσαν αιώνες μετά την αιτία της ανακάλυψης των αντίστοιχων θεωρημάτων του Πάππου (3-4 αι. μ.Χ.) , για τα στερεά εκ περιστροφής που παράγονται από ευθύγραμμα σχήματα .

ΔΙΟΚΛΗΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΥΣ

 Διοκλής ο Αλεξανδρεύς (περ. 240 π.Χ. - περ. 180 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και γεωμέτρης .

-110-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Ο Διοκλής έζησε την εποχή του Απολλώνιου και άκμασε στο τέλος του 2ου αιώνα π.Χ. και την αρχή του 1ου αιώνα π.Χ. Έιναι ο πρώτος γνωστός επιστήμονας που απόδειξε την εστιακή ιδιότητα του παραβολικού κάτοπτρου . Χρησιμοποίησε τη γεωμετρική καμπύλη αποκαλούμενη κισσοειδές του Διοκλή για να λύσει το πρόβλημα της Δήλου , όπως αναφέρει ο Πρόκλος στα σχόλιά του περί του Ευκλείδη και αποδόθηκε στον Διοκλή από τον Γεμίνο .Αποσπάσματα μιας εργασίας του Διοκλή περί εστίασης των κατόπτρων διασώθηκαν στα σχόλια του Ευτόκιου γύρω από το σύγγραμμα του Αρχιμήδη « Περί Σφαίρας και κύλινδρου » Η εστίαση των κατόπτρων είχε μεγάλη επιρροή στους Άραβες μαθηματικούς , ιδιαίτερα στον Αλαζηνό . Η πραγματεία περιέχει δεκαέξι θεωρήματα που αποδεικνύονται με κωνικές τομές . Ένα από τα αποσπάσματα περιέχει τα θεωρήματα επτά και οκτώ , τα οποία δίνουν λύση στο πρόβλημα της τομής μιας σφαίρας και ένα επίπεδο έτσι ώστε οι προκύπτοντες δύο όγκοι να είναι σε μια δεδομένη αναλογία . Το θεώρημα δέκα δίνει λύση στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου και ισοδυναμεί με την επίλυση μιας ορισμένης κυβικής εξίσωσης . Ένα άλλο απόσπασμα περιέχει τις προτάσεις ένδεκα και δώδεκα , που χρησιμοποιούνται κισσοειδή για να λύσουν το πρόβλημα της εύρεσης δύο μεσαίων αναλογιών ανάμεσα σε δύο μεγέθη . Δεδομένου ότι αυτή η πραγματεία καλύπτει περισσότερα θέματα από την εστίαση των κατόπτρων , ίσως το έργο « Περί εστίασης των Κατόπτρων » να είναι επακόλουθο τριών πιο σύντομων εργασιών του Διοκλή .

-111-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

 

ΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ Ο Ήρων της Αλεξάνδρειας έζησε περίπου το 100 μ.Χ.Ήταν μαθητής του Κτησίβιου και του Φίλωνα και εξελίχτηκε σ’ έναν από τους σημαντικότερους και πιο γνωστούς μηχανικούς και μαθηματικούς . Οι κατασκευές και οι αυτοματισμοί του τον κάνουν να βρίσκεται ανάμεσα στις μεγαλύτερες και πιο σημαντικές μορφές της επιστήμης στην αρχαιότητα και μάλιστα δικαίως θεωρείται από ορισμένους ως πνευματικός πρόγονος του Λεονάρντο Ντα Βίντσι , ο οποίος φαίνεται να τον είχε μελετήσει διεξοδικά . Το τεράστιο έργο του αποτελείται από 16 πραγματείες . Από αυτές έχουν διασωθεί ολόκληρες οι δέκα , οι τρεις είναι αποσπασματικές και τρεις δεν διασώθηκαν .Μεγάλο μέρος του έργου του , κυρίως της Αυτοματοποιητικής που αποτελείται από 39 χειρόγραφα και διασώθηκε ολόκληρο κατά τα ρωμαϊκά και βυζαντινά χρόνια , αξιοποιήθηκε από τους Άραβες αλλά και από τους μηχανικούς του μεσαίωνα στην Ευρώπη και μεταφράστηκε στα αραβικά , τα ιταλικά , τα γαλλικά και τα γερμανικά. Επίσης έγιναν πολλές προσπάθειες να κατασκευαστούν αυτόματα θέατρα με βάση τα σχέδια του Ήρωνα πάνω στην Αυτοματοποιητική . Η σημαντικότερη ίσως συμβολή του Ήρωνα στην επιστήμη είναι το έργο του « Πνευματικά » , που αφορά στις εφαρμογές της ενέργειας του ατμού .Ο ίδιος κάνει αναφορές στα βιβλία του σε παλαιότερα συγγράμματα σχετικά με την ενέργεια του ατμού και μας δίνει παραδείγματα αυτοκίνητων συστημάτων . Τα παλαιότερα όμως κείμενα που έχουν διασωθεί ως πρωτότυπα και είναι σχετικά με τις διάφορες εφαρμογές υδραυλικών και πνευματικών αυτόματων συστημάτων είναι

-112-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”τα « Πνευματικά » του Ήρωνα . Αυτό το έργο χωρίζεται σε δυο βιβλία και περιλαμβάνει 42 και 37 προτάσεις το καθένα αντίστοιχα .Στο πρώτο αναφέρονται διάφορα φαινόμενα τα οποία προκαλούνται από την υδροστατική και αεροστατική πίεση και από την αυξομείωση της πίεσης των ατμών , ανάλογα με την μεταβολή της θερμοκρασίας τους . Στο δεύτερο αναλύονται διάφοροι μηχανισμοί που λειτουργούν με την πίεση των ατμών , που σίγουρα αποτέλεσαν τον προάγγελο των ατμομηχανών του περασμένου αιώνα . Γενικά σε όλο το έργο των « Πνευματικών » περιγράφονται διάφορες μηχανές αλλά και πιο σύνθετα συστήματα , τα οποία κινούνται με την πίεση νερού , ατμού και αέρα .Από τα 2 αυτά βιβλία φαίνονται οι απόψεις του Ήρωνα που αφορούν στη μη ύπαρξη του συνεχούς κενού στη φύση και στη συμπεριφορά των υγρών σε σχέση με τη βαρύτητα .Επίσης φαίνεται ότι συνδυάζει δύο διαφορετικές σχολές σκέψης : τον ορθολογισμό του Αριστοτέλη , με ολοκληρωμένα επιχειρήματα και παρουσιάσεις , προκειμένου να εξηγήσει ή να τεκμηριώσει τις θεωρίες του , αλλά και τις σχεδόν δογματικές αλλά σίγουρες υποθέσεις πάνω στη φύση των υγρών , θυμίζοντάς μας τον Αρχιμήδη .

Στα « Πνευματικά » ο Ήρωνας περιγράφει 80 κατασκευές , στην πλειοψηφία τους διακοσμητικές .Μερικά παραδείγματα αυτών των αυτόματων μηχανισμών είναι: η αυτόματη σπονδή , οι αυτόματες πύλες ναού , η ύδραυλις , το γνωστό μουσικό όργανο , υπολείμματα του οποίου έχουν βρεθεί , η σφαίρα του Αιόλου , που είναι ο πρόδρομος της ατμομηχανής , η αυτόματη κρήνη .Επίσης αξίζει να αναφέρουμε τα κλειστά συστήματα ελέγχου , τα οποία ρύθμιζαν αυτόματα τη λειτουργία τους , όπως είναι : ο αυτόματος έλεγχος στάθμης υγρού , ο αυτόματος έλεγχος ροής υγρού , ο αυτόματος έλεγχος βάρους . Άλλο σημαντικό έργο του είναι η « Διόπτρα » , που αναφέρεται στη γεωδαισία και είναι ίσως από τα τελειότερα στο είδος του . Στο έργο αυτό περιγράφεται η κατασκευή του αντίστοιχου ομώνυμου οργάνου , η εξέλιξη του οποίου είναι ο σημερινός θεοδόλιχος .

-113-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Η Αυτοματοποιητική είναι το αρχαιότερο κείμενο στο οποίο περιγράφονται αυτόματα μηχανικά συστήματα τα οποία μπορούν να εκτελέσουν προγραμματισμένες κινήσεις . Σε αυτό το έργο , ο Ήρωνας περιγράφει τα μορφικά στοιχεία και αναλύει διεξοδικά τον τρόπο και την τέχνη κατασκευής αυτόματων θεάτρων , τα οποία χωρίζει σε 2 κατηγορίες : το σταθερό (στατόν ) και το κινητό (υπάγον) .Όλες οι κινήσεις γίνονταν με τη βοήθεια διαφόρων αντίβαρων , σχοινιών τυλιγμένων σε άξονες , τροχαλίες , τροχούς και έμβολα που έπαιρναν κίνηση από τη ροή υγρών ή την πίεση ατμού , αφού προηγουμένως είχαν λυθεί δύο βασικά προβλήματα: του κινητήριου μηχανισμού και του προγραμματισμού των κινήσεων, έτσι ώστε η όλη κατασκευή να είναι αισθητική αλλά και λειτουργική , για να μπορεί να παίξει θεατρικά έργα τα οποία πολλές φορές απαιτούσαν την εναλλαγή πολλών προσώπων με διάφορες κινήσεις , σπονδές , άναμμα φωτιάς , ήχους διαφόρων ζώων , πτηνών και τυμπάνων , βροντές και κεραυνούς και ήχους εργαλείων ανάλογα με τις κινήσεις των μηχανικών μορφών που έπαιρναν τη θέση των ηθοποιών . Σε ορισμένες περιπτώσεις τα έργα αυτά είχαν μέχρι 5 πράξεις . Όλη αυτή η αυτόματη κατασκευή μπορούσε να κινηθεί και να καλύψει κάποια απόσταση πάνω σε κατάλληλες ράγιες και τροχούς .Για άλλη μια φορά ο Ήρωνας ο Αλεξανδρέας γίνεται προάγγελος των σημερινών ψηφιακών ρομποτικών , αφού η ποικιλία και η πληθώρα των κινήσεων , ακόμα και ταυτόχρονων , ήταν μεγάλη: ευθύγραμμη πορεία με επιστροφή , κυκλικές κινήσεις , κίνηση σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο , ελικοειδής κίνηση , ανεξάρτητη κίνηση 4 τροχών , αυτόματο άναμμα φωτιάς , εκροές γάλακτος και κρασιού για σπονδές και πολλές άλλες κινήσεις και ήχοι .

Τα αυτόματα του Ήρωνα εκτός από το υψηλό επίπεδο τεχνολογίας , τον προγραμματισμό , τον έλεγχο της ενέργειας και τη λειτουργικότητά τους , ήταν και

-114-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”πραγματικά έργα τέχνης, καλαισθησίας και αρμονίας , στοιχεία χαρακτηριστικά του αρχαιοελληνικού πνεύματος .Η συμβολή του τόσο στην ανακάλυψη νέων τεχνολογικών επιτευγμάτων όσο και στη βελτίωση των ήδη υπαρχόντων ήταν πολύ σημαντική .

-115-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ

Μαθηματικός και μετρητής αστρονόμος αναφέρεται ότι το 98 μ.Χ. έκανε αστρονομικές παρατηρήσεις στην Ρώμη . Από τα γεωμετρικά και αστρονομικά έργα του σώθηκε μόνο ένα με θέμα του τη Σφαιρική γεωμετρία .Το έργο αυτό είναι προϊόν των εκτεταμένων ερευνών του Μενελάου , φέρει τον τίτλο " Σφαιρική " και σώθηκαν μόνο οι μεταφράσεις του στην Αραβική και Εβραϊκή .Συνοπτικά οι γνωστές μας προσφορές του Μενελάου στα αρχαία μαθηματικά είναι: Το έργο " Σφαιρική " σε 3 βιβλία , με περιεχόμενο : -- Το πρώτο θεμελιώνει την πρώτη μη Ευκλείδεια γεωμετρία , τη Σφαιρική , στην οποία πρωτεύοντα ρόλο παίζουν οι μέγιστοι κύκλοι σφαίρας , ενώ στην Ευκλείδεια γεωμετρία τον έπαιζαν οι ευθείες . Εδώ εισάγονται για πρώτη φορά στην επιστήμη τα σφαιρικά τρίγωνα και μελετώνται διάφορες προτάσεις ισότητας και ανισότητας των στοιχείων τους .-- Το δεύτερο είναι καθαρά αστρονομικού περιεχομένου . -- Το τρίτο θεμελιώνει τη Σφαιρική Τριγωνομετρία .Στο έργο του αυτό ο Μενέλαος παρουσιάζει πολλές ομοιότητες και αντιστοιχίες των σφαιρικών τριγώνων με τα επίπεδα , τονίζοντας τις εξαιρέσεις . Το περίφημο Θεώρημα των διατεμνουσών , που φέρει το όνομά του . Το θεώρημα αυτό εμφανίζεται στα σφαιρικά τρίγωνα , ως σχέση χορδών των τόξων - πλευρών τους . Του θεωρήματος αυτού ο Μενέλαος δίνει πολλές εφαρμογές . Εκτός αυτού όμως του θεωρήματος , του οποίου το αντίστοιχο επίπεδο πιστεύεται ότι υπήρχε στα " Πορίσματα " του Ευκλείδη , ο σοφός μας δίνει τα σφαιρικά θεωρήματα των τόξων - διχοτόμων των τόξων - υψών και άλλα .Η συγκρότηση πινάκων χορδών κύκλου είναι η τρίτη γνωστή προσφορά του , αν και προϋπήρχε ο αντίστοιχος πίνακας του Ιππάρχου . Οι πίνακες αυτοί περιέχονται στο χαμένο έργο του " Περί υπολογισμού των χορδών κύκλου "

-116-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”σε 6 βιβλία , από το οποίο μάλλον άντλησε αργότερα ο Πτολεμαίος .Σήμερα ο Μενέλαος θεωρείται ως ο κύριος θεμελιωτής της σφαιρικής τριγωνομετρίας , με προσφορά του ένα έργο , τη " Σφαιρική " , το οποίο αποτελεί την τελική μορφή των προγενέστερων σφαιρικών, με μία σχεδόν πλήρη αναλογία θεωρημάτων προς τα αντίστοιχα της τότε γεωμετρίας του επιπέδου .

ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥΔΙΟΣΔιάσημος μαθηματικός , αστρονόμος και γεωγράφος έζησε και έδρασε στην Αλεξάνδρεια . Στο έργο του συνόψισε και παρουσίασε συστηματικά τα επιτεύγματα των προγενέστερων στους διάφορους τομείς της επιστήμης , ελέγχοντας μεθόδους και μετρήσεις και προσθέτοντας δικά του συμπεράσματα . Τα κύρια γνωστά μαθηματικά έργα του είναι:

Η Μαθηματική Σύνταξη. (13 βιβλία) Η Γεωγραφική Υφήγηση. ( 8 βιβλία) Αρμονικά. ( 8 βιβλία) Οπτική πραγματεία. ( σώθηκαν τα βιβλία 2-5)

Το κορυφαίο από τα έργα του είναι η Μαθηματική Σύνταξη του (η Μεγίστη ή Al- Magest των Αράβων) , ένα τεράστιο ολοκληρωμένο έργο , με όλες τις μέχρι τότε γνώσεις του

-117-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Γεωκεντρισμού και των ουρανίων φαινομένων . Το περιεχόμενο του έργου είναι η μελέτη του Ήλιου , της Σελήνης και των πλανητών , των αστέρων της Μετάπτωσης των Ισημεριών και των εκλείψεων . Στο έργο αυτό κεντρική θέση κατέχει ο πίνακας χορδών , ο οποίος δίνει τα μήκη όλων των χορδών ενός κύκλου , ακτίνας R=60 , συναρτήσει της επίκεντρης γωνίας , και ανα 0,5 μοίρας . Ο πίνακας αυτός είναι ουσιαστικά ένας πίνακας ημιτόνων σε κύκλο ακτίνας R=60 . Ο Πτολεμαίος εχει επισης αφήσει στην γεωμετρία 3 ή και περισσοτερα θεωρήματα . Το λεγόμενο « θεώρημα τού Πτολεμαίου » , που πιθανον ειναι το 1ο και σημαντικοτερο θεωρημα , αναφερει πως το γινόμενο των διανωνίων τετραπλεύρου εγγεγραμμένου μεσα σ’εναν κύκλο είναι ίσο με το γινόμενο των απέναντι πλευρών του.Στην Μαθηματικήν Σύνταξιν διατυπωνεται το θεώρημα αυτό με βαση το διπλανό σχήμα . ΑΓ . ΒΔ = ΑΒ . ΔΓ + ΑΔ .ΒΓ

Ο Πτολεμαίος υπήρξε επίσης ένας καταξιωμένος γεωγράφος . Ασχολήθηκε συστηματικά με τη μαθηματική γεωγραφία και συνέταξε ένα έργο ορόσημο για τον προσδιορισμό των τόπων του τότε γνωστού κόσμου , καθώς και τη χαρτογράφησή του . Το δεύτερο μεγάλο έργο του είναι η Γεωγραφική Υφήγηση , με περιεχόμενό του οδηγίες για σύνταξη γεωγραφικών χαρτών και έναν κατάλογο 8000 τοπωνυμιών με τα γεωγραφικά πλάτη και μήκη τους . Το έργο εκτός απο τις διάφορες τοποθεσίες , απο τους καταρράκτες του Νείλου μέχρι τη βόρεια Ευρώπη και από την Ισπανία μέχρι την Κίνα , περιλαμβάνει και 27 χάρτες , εκ των οποίων ο ένας παγκόσμιος . Η συμβολή του στην αστρονομία , ολοκληρώνεται με την Τετράβιβλο (Μαθηματική - η Αποτελεσματική - σύνταξις τετράβιβλος) , στην οποία παρουσιάζονται συνοπτικά οι επιδράσεις των πλανητών και των αστερισμών στην ανθρώπινη φύση . Συνέγραψε επίσης αποσπασματικές

-118-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”πραγματείες που περιγράφουν την κατασκευή ενός μετεωρολογικού ημερολογίου , ενός ηλιακού ρολογιού και ενός πλανισφαίρειου. Επισης συνέγραψε μια σειρά έργων ιδιαίτερου ενδιαφέροντος , όπως η αρμονική και η οπτική , τα οποία τα πραγματεύτηκε με συστηματικό τρόπο και τα παρουσίασε σε σχέση με προηγούμενες μελέτες , τις αστρονομικές γνώσεις και τις πεποιθήσεις του .Ο Πτολεμαίος κατάφερε να συνοψίσει και να παρουσιάσει πολλά θέματα των προγενέστερων μαθηματικών , και έτσι να τα διδάξει και να τα διαδώσει . Αυτά μαζί με τα δικά του επιτεύγματα , τον κατατάσουν μεταξύ των μεγάλων μελετητών των αρχαίων μαθηματικών , αν και παρέμεινε πιο προσηλωμένος στο Γεωκεντρισμό .Το έργο του θεωρείται εξίσου σημαντικό με τα « Στοιχεία » του Ευκλείδη για την Γεωμετρία .

ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ

-119-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα (περίπου 210 – 290) , ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου . Η Αριθμητικη είναι το κύριο έργο του Διόφαντου και το πιο σημαντικό έργο για την άλγεβρα στα ελληνικά μαθηματικά . Πρόκειται για μια συλλογή από προβλήματα αριθμητικές λύσεις των δύο ισοστατικών και υπερστατικών εξισώσεων . Από την αρχή δεκατρία βιβλία από τα οποία αποτελούνταν η Αριθμητική , μόνο έξι έχουν διασωθεί, αν και υπάρχουν μερικοί που πιστεύουν ότι διασόθηκαν και τέσσερα αραβικα βιβλία τα οποία τα ανακάλυψε το 1968 ο Διόφαντος . Ορισμένα Διοφαντικα προβλήματα όπως η Αριθμητικη έχουν βρεθεί στις αραβικές πηγές .Μετά το θάνατο του Διόφαντου , το Μεσαίωνα, άρχισε να σκορπίζεται μια σκιά στα μαθηματικά και την επιστήμη και , προκαλώντας τις γνώσεις του Διόφαντου και της Αριθμητικής , να χαθούν στην Ευρώπη για περίπου 1500 χρόνια . Η Sir Heath αναφέρεται στο έργο του Διόφαντου της Αλεξάνδρειας , " Μετά την απώλεια της Αιγύπτου , το έργο του Διόφαντου καιρό παρέμεινε σχεδόν άγνωστο στους Βυζαντινούς , ίσως ένα αντίγραφο μόνο επέζησε (η κριτική αναθεώρηση Ηπατιαν), το οποίο θεωρήθηκε από τον Michael Psellus και , ενδεχομένως , από την σχολιάστροια σε Ιάμβλιχος , αλλά από τα οποία κανένα ίχνος δεν μπορεί να βρεθεί μετά από την άλωση της Κωνσταντινούπολης το 1204 ." Ίσως ο μόνος λόγος που μερικά από τα έργα του έχουν επιζήσει είναι ότι πολλοί Άραβες μελετητές μελέτησαν τα έργα του για να διατηρηθεί αυτή η γνώση για τις επόμενες γενιές . Το 1463 , ο Γερμανός μαθηματικός Regiomontanus έγραψε: « Κανείς δεν έχει ακόμα μεταφράσει από τα ελληνικά στα λατινικά τα δεκατρία βιβλία του Διόφαντου , στις οποίες το συνόλο της αριθμητικής βρίσκεται κρυμμένο .... " .Η πρώτη λατινική μετάφραση της Αριθμητικής ήταν από τον Bombelli που μετέφρασε ένα μεγάλο μέρος του έργου το 1570 , αλλά ποτέ δεν δόθηκε στη δημοσιότητα . Ο Bombelli , ωστόσο , δανείζεται πολλά από τα προβλήματα του Διόφαντου για το βιβλίο , του Άλγεβρα . Η editio princeps των Αριθμητικών δημοσιεύθηκε το 1575 , από τον

-120-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Xylander . Η πιο διάσημη λατινική μετάφραση της Αριθμητικης ήταν από τον Bachet το 1621 , η οποία ήταν η πρώτη μετάφραση της Αριθμητικης στη διάθεση του κοινού .

Το πρόβλημα II.8 στην Αριθμητική (έκδοση του 1670) , σχολιασμένο απο τον Fermat το οποίο έγινε το τελευταίο θεώρημα του .Το 1621 έκδοση της Αριθμητικής από τον Bombelli κέρδισε τη φήμη του Pierre de Fermat και έγραψε ενα περίφημο « τελευταίο θεώρημα » του στο περιθώριο του αντιγράφου του:« Αν ένας ακέραιος , τότε η εξίσωση : δεν έχει λύσεις σε μη μηδενικoύς ακεραίους α , β και γ . Έχω μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη αυτής της πρότασης , που αυτό το περιθώριο είναι πολύ μικρό για να χωρέσει . "Απόδειξη του Φερμά δεν βρέθηκε ποτέ , και το πρόβλημα της εξεύρεσης μια απόδειξη για το θεώρημα πήγε άλυτο εδώ και αιώνες . Μια απόδειξη βρέθηκε τελικά το 1994 , από τον Andrew Wiles αφού εργαζόταν σε αυτό για επτά χρόνια . Πιστεύεται ότι ο Fermat δεν είχε στην πραγματικότητα την απόδειξη που ισχυριζόταν ότι είχε . Αν και το πρωτότυπο στο οποίο ο Fermat έγραψε αυτό έχει χαθεί σήμερα , ο γιος του Fermat επιμελήθηκε την επόμενη έκδοση του Διόφαντου , που δημοσιεύθηκε το 1670 . Ακόμα κι αν το κείμενο είναι διαφορετικά κατώτερο από την έκδοση 1621 , στους σχολιασμούς , συμπεριλαμβανομένων του Φερμά το περίφημο « τελευταίο θεώρημα » του - τυπώθηκαν σε αυτή την έκδοση . Ο Διόφαντος δεν έγραψε μόνο Αριθμητική , αλλά πολύ λίγα από άλλα έργα του έχουν διασωθεί . Έχει συγγράψει ένα σωλήνα , το " Περι πολυγωνικών Αριθμών " , και μια συλλογή από προτάσεις , που ονομάζονται Πορισματα .

-121-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” Ο Διόφαντος ο ίδιος αναφέρεται σε ένα έργο το οποίο αποτελείται από μια συλλογή των λημμάτων που ονομάζεται Πορισματα , αλλά αυτό το βιβλίο έχει εντελώς χαθεί . Πολλοί μελετητές και οι ερευνητές πιστεύουν ότι τα Πορίσματα μπορεί να ήταν στην πραγματικότητα ένα τμήμα που περιλαμβάνονται μέσα στην Αριθμητική ή μπορεί να ήταν το υπόλοιπο της Αριθμητικης . Παρά το γεγονός ότι τα Πορίσματα χάθηκαν, τρία λήμματα που περιέχονται σε Πορίσματα είναι γνωστό γιατί ο Διόφαντος αναφέρεται σ 'αυτά στην Αριθμητική .Ένα τέτοιο λήμμα είναι ότι η διαφορά των κύβων των δύο ρητών αριθμών είναι ίση με το άθροισμα των κύβων των άλλων δύο ρητών αριθμών. Είναι, δεδομένο ότι για κάθε αριθμούς α , β υπάρχουν αριθμοί γ και δ , έτσι ώστε να ισχύει : .Στους πολυγωνικούς αριθμούς και τα γεωμετρικά στοιχεία ο Διόφαντος είναι επίσης γνωστό ότι έχει γραμμένο πολυγωνικό αριθμό . Θραύσματα από ένα από τα βιβλία του Διόφαντου σε πολυγωνικό αριθμό , ένα θέμα μεγάλου ενδιαφέροντος για τον Πυθαγόρα και τους οπαδούς του , έχει επιβιώσει . Ένα σωζόμενο έργο που ονομάζεται Προκαταρκτικά στα γεωμετρικά στοιχεία , που έχει αποδοθεί σε Ήρωας της Αλεξάνδρειας , έχει μελετηθεί πρόσφατα και προτείνεται να αποδίδεται στο Διόφαντο της Αλεξάνδρειας που ήταν ένας Έλληνας μαθηματικός .

Είναι μερικές φορές που αποκαλείται « ο πατέρας της Άλγεβρας » , ένας τίτλος που μοιράζεται με Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi . Είναι συγγραφέας μιας σειράς κλασικών μαθηματικών βιβλίων που ονομάζεται , η Αριθμητική και εργάστηκε με εξισώσεις οι οποίες ονομάζονται τώρα Διοφαντικες εξισώσεις , της μεθόδου για την επίλυση αυτών των προβλημάτων που καλείται τώρα ο Διοφαντος να αναλύσει . Η μελέτη των Διοφαντικων εξισώσεων είναι μια από τις κεντρικές περιοχές της θεωρίας των αριθμών . Ο Διόφαντος συνέγραψε επίσης ένα σύστημα « Περί Πολυγώνων Αριθμών

-122-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”» και μια συλλογή των προτάσεων που ονομάζονται Πορίσματα . Τα ευρήματα και τα έργα του Διόφαντου έχουν επηρεάσει σε μεγάλο βαθμό τα μαθηματικά και προκάλεσαν πολλές άλλες ερωτήσεις που θα προκύψουν . Το πιο διάσημο από αυτά είναι το τελευταίο θεώρημα του Fermat . Το έργο του Διόφαντου είχε μια μεγάλη επιρροή στην ιστορία . Εκδόσεις της Αριθμητικης άσκησαν βαθιά επίδραση στην ανάπτυξη της ;Aλγεβρας στην Ευρώπη στα τέλη της δεκαετίας δέκατο έκτο και μέσα από το δέκατο έβδομο και τον δέκατο όγδοο αιώνα . Ο Διόφαντος και τα έργα του έχουν επηρεάσει επίσης Αραβικά μαθηματικά και ήταν μεγάλη φήμη μεταξύ των αραβικών μαθηματικών . Το έργο του Διόφαντου δημιούργησε ένα ίδρυμα για την εργασία στην άλγεβρα και , στην πραγματικότητα , ένα μεγάλο μέρος των προηγμένων μαθηματικών βασίζεται στην άλγεβρα . Ο Διόφαντος συχνά αποκαλείται « ο πατέρας της Άλγεβρας » γιατί συνέβαλε τα μέγιστα στην θεωρία αριθμών , τη μαθηματική σημειογραφία , και επειδή η Αριθμητική περιέχει την αρχαιότερη γνωστή χρήση του συνκόπτεται σημειογραφία . Ωστόσο , φαίνεται ότι πολλές από τις μεθόδους για την επίλυση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται από Διόφαντο να εχουν επιστρέψει στα βαβυλώνια μαθηματικά . Σύμφωνα με κάποιους ιστορικούς των μαθηματικών , όπως ο Florian Cajori, ο Διόφαντος πήρε την πρώτη γνώση της άλγεβρας από την Ινδία, αν και διαφωνούν άλλοι ιστορικοί .Ο Διόφαντος έκανε σημαντικές προόδους στην μαθηματική σημειογραφία . Ήταν ο πρώτος άνθρωπος που χρησιμοποίησε αλγεβρική σημειογραφία και συμβολισμό . Ο Διόφαντος εισήγαγε ένα αλγεβρικό συμβολισμό που χρησιμοποιεί ένα απλουστευμένο συμβολισμό για συχνές πράξεις , και μια συντομογραφία για το άγνωστο και για τις εξουσίες του αγνώστου . Αν και ο Διόφαντος έκανε σημαντικές προόδους στον συμβολισμό , δεν είχε και πάλι τα απαραίτητα σύμβολα για να εκφράσουν τις πιο γενικές μεθόδους . Αυτό προκάλεσε το έργο του να ασχολείται περισσότερο με συγκεκριμένα προβλήματα και όχι με γενικές καταστάσεις . Για

-123-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”παράδειγμα , ο Διόφαντος δεν είχε σύμβολα για τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού . Αυτό πιθανότατα έγινε τέτοιο από συντελεστές του για έχει πιο σαφής αριθμούς ή κλάσματα , και τα αποτελέσματα καταγράφονται , χωρίς να δείχνουν προηγούμενες εργασίες που οδήγησαν στο αποτέλεσμα .

Ορισμένοι από τους περιορισμούς της σημειογραφίας του Διόφαντου είναι ότι είχε μόνο συμβολισμό για ένα άγνωστο και , όταν τα προβλήματα που εμπλέκονται περισσότερες από μία άγνωστες , ο Διόφαντος ήταν μειωμένος στην έκφραση « πρώτο άγνωστο » , « δεύτερο άγνωστο » , κλπ. στις λέξεις . Εκείνος δεν είχε επίσης ένα σύμβολο για ένα γενικό αριθμό n . Σε περίπτωση που κάποιος θα γράψει : (12 + 6 n ) / ( 2n – 3) , ο Διόφαντος πρέπει να καταφύγει σε κατασκευές όπως : ... έξι φορές ο αριθμός αυξήθηκε από δώδεκα , ο οποιος χωρίζεται από τη διαφορά με την οποία η πλατεία του αριθμού υπερβαίνει τα τρία .Η Heath δήλωσε, ότι " ο Διόφαντος προφανώς διατυπώνει εξισώσεις του , κατά τη συνήθη πορεία της γραφής , δηλαδή γράφτηκαν ευθεία , όπως είναι τα βήματα της τις προτάσεις του Ευκλείδη , και να μην τεθεί σε ξεχωριστές γραμμές και για κάθε βήμα στη διαδικασία της απλοποίησης . "

-124-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΠΑΠΠΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣΈζησε και άκμασε γύρω στο 300 μ.Χ . Μαθηματικός του τέλους της Έλληνικής αρχαιότητας , ένοιωσε την ανάγκη λίγο πριν το σκοτάδι του μεσαίωνα να υπομνήσει έργα αρχαίων Έλληνων μαθηματικών , μεταξύ των οποίων ο Ευκλείδης , ο Διόδωρος ο Αλεξανδρινός και ο Πτολεμαίος .Κορυφαίο από τα έργα του υπήρξε το με τίτλο " Μαθηματική Συναγωγή " , σε 8 βιβλία , από τα οποία χάθηκαν το πρώτο και η αρχή του δευτέρου . Το περιεχόμενο του έργου αυτού ήταν θεωρήματα , προβλήματα και κατασκευές των περιφημότερων Ελλήνων Μαθηματικών της αρχαιότητας , με θέμα τους ενδιαφέροντα ζητήματα της τότε ανώτερης Γεωμετρίας ( Διπλασιασμός του κύβου , τετραγωνισμός του κύκλου , κέντρο βάρους , γεωμετρικοί τόποι και άλλα) .Το έργο αυτό όμως δεν αποτελεί απλώς μία συλλογή σχολίων . Ο Πάππος , αναφερόμενος στα αρχαία ζητήματα της Γεωμετρίας , κριτικάρει , διορθώνει και γενικεύει πολλές από τις προτάσεις των παλαιοτέρων γεωμετρών προσφέροντας ταυτόχρονα ένα τεράστιο όγκο ιστορικών και βιβλιογραφικών πληροφοριών . Οι περισσότερες πληροφορίες για τα χαμένα έργα των μεγάλων Έλλήνων Μαθηματικών περιέχονται στο έργο αυτό , στο οποίο ο ίδιος προσθέτει μεγάλο πλήθος δικών του Λημμάτων .

-125-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Σημαντικά τμήματα του περιεχομένου του είναι:-- Το περίφημο θεώρημα που φέρει το όνομα του . Αυτό μάλλον αποτελεί γενίκευση μιας ιδέας του Διονυσόδωρου του Μήλιου .-- Η θεωρία των Ισοπεριμέτρων σχημάτων για τις σχέσεις που συνδέουν τα εμβαδά τους . -- Κατάλογος 33 έργων που αποτελούσαν τον λεγόμενο αναλυόμενο τόπο . Στον κατάλογο αυτό περιέχονται έργα του Ευκλείδη , του Απολλώνιου, του Ερατοσθένη και άλλων . -- Οι καμπύλες που λύνουν τα τρία διάσημα προβλήματα της αρχαιότητας (Δήλιο πρόβλημα , Τετραγωνισμός του κύκλου και Τριχοτόμηση γωνίας) . Αναφέρεται στην Έλικα του Αρχιμήδη και την Τετραγωνίζουσα του Ιππία , με την βοήθεια των οποίων δίνονται γενικές λύσεις του προβλήματος υποδιαίρεσης γωνίας σε ίσα μέρη . Η " Μαθηματική Συναγωγή " του Πάππου αποτελεί τον επίλογο της Έλληνικής Γεωμετρίας , της οποίας νοιώθει ότι πλησιάζει το τέλος . Είναι μία αγωνιώδης ίσως προσπάθεια διατήρησης της επαφής με το παρελθόν , το οποίο με ασφαλή βήματα χανόταν στο σκοτάδι του επερχόμενου μεσαίωνα .

ΥΠΑΤΙΑ Η ΘΕΩΝΟΣ Η Υπατία (370-415 μ.Χ.) υπήρξε Ελληνίδα νεοπλατωνική φιλόσοφος , αστρονόμος και μαθηματικός . Έζησε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια όπου και δολοφονήθηκε από όχλο που αποτελείτο από φανατικούς χριστιανούς . Κόρη του μαθηματικού και αστρονόμου Θέωνα , έλαβε με τις φροντίδες του πατέρα της την καλύτερη δυνατή εκπαίδευση και ταξίδεψε στην Αθήνα και στην Ιταλία . Στην Αθήνα παρακολούθησε μαθήματα στη νεοπλατωνική σχολή του Πλούταρχου του Νεότερου και της κόρης του

-126-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Ασκληπιγένειας , αλλά μαθήτευσε και κοντά στο Πρόκλο και τον Ιεροκλή . Επιστρέφοντας στην Αλεξάνδρεια , έγινε επικεφαλής της εκεί σχολής των Πλατωνιστών (400 μ.Χ.) , δίδαξε φιλοσοφία και μαθηματικά και αποτέλεσε πόλο έλξης για τους διανοούμενους της εποχής , ενώ έκανε και εκτενή και ουσιώδη σχόλια στα μαθηματικά έργα του Διόφαντου και του Απολλώνιου . Δυστυχώς παρότι η ίδια η Υπατία υπήρξε πολυγραφότατη κανένα από τα έργα της δεν σώζεται και έχουμε μόνο αναφορές για αυτά . Πολλοί από τους μαθητές της ανήκαν στους ανώτατους κύκλους της αριστοκρατίας της πόλης και έγιναν σημαντικές προσωπικότητες , όπως ο επίσκοπος Κυρήνης Συνέσιος και ο έπαρχος της Αλεξανδρείας Ορέστης . Η ίδια επηρεάστηκε φιλοσοφικά από τους νεοπλατωνικούς Πλωτίνο και Ιάμβλιχο . Η Υπατία τελικά δολοφονήθηκε , σύμφωνα με το Σωκράτη σχολαστικό , από μερίδα πλήθους χριστιανών οι οποίοι πίστευαν ότι ήταν υπαίτια για τη μη συμφιλίωση του επάρχου Ορέστη και του Επισκόπου Αλεξανδρείας Κύριλλου , οι οποίοι βρίσκονταν σε διένεξη και παρότι είχε πολλούς χριστιανούς φίλους . Ο φανατισμένος όχλος την ξεγύμνωσε, την κατέκοψε με θραύσματα αγγείων ή κοφτερά όστρακα και μετά έκαψαν τα σκορπισμένα και αιμόφυρτα μέλη της , πρακτική που ακολουθούσε ο όχλος της περιοχής και σε άλλες περιπτώσεις , όπως στην περίπτωση του Πατριάρχη Προτέριου .Ο αστεροειδής 238 Υπατία , που ανακαλύφθηκε το 1884 , πήρε το όνομά του από την ιστορική αυτή μορφή . Έργα της Υπατίας :

Αριθμητικά του Διόφαντου (σχόλια) Σχόλια για τον Αστρονομικό Κανόνα του Πτολεμαίου Περί των Κωνικών του Απολλώνιου .

-127-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ — ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Φτιάξαμε ένα ερωτηματολόγιο σχετικά με το τί γνωρίζουν οι μαθητές της Α΄ Λυκείου του 1ου ΓΕ.Λ Αλεξ/πολης για τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς και τη σημασία των επιτευγμάτων τους στη σύγχρονη εποχή ! Το παρακάτω ερωτηματολόγιο είναι ενδεικτικό του πως οι σημερινοί νέοι αντιμετωπίζουν ή εμβαθύνουν τις γνώσεις τους στα Μαθηματικά !

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

ΑΓΟΡΙ ΚΟΡΙΤΣΙ

Το θέμα της εργασίας μας είναι : « Ιστορία των Mαθηματικών - Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί και το έργο τους » . Θεωρείται το θέμα της εργασίας μας Βαρετό Eνδιαφέρον Aσήμαντο Άγνωστο

Θα σας ενδιέφερε να αποκτήσετε γνώσεις για το έργο των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών ;

Πολύ Αρκετά Λίγο Καθόλου

Το να γνωρίζουν οι μαθητές την ιστορία των μαθηματικών θα τους βοηθήσει στην εκμάθηση και στην κατανόηση τους ;

Πιστεύω πως ναι Δεν είμαι βέβαιος/α Δεν γνωρίζω Καθόλου

Αντιμετωπίζετε τα Μαθηματικά ως

-128-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”α. ένα ευχάριστο και χρήσιμο μάθημα β. ένα μάθημα που είμαι αναγκασμένος/η να διαβάσωγ. ένα μάθημα που θα ήθελα να ασχοληθώ περισσότεροδ. ένα μάθημα που δεν με ενδιαφέρει καθόλου

Ποιόν θεωρείτε πιο σπουδαίο Μαθηματικό της Αρχαιότητας ;

Γιατί ;

Ποιοί είναι οι παράγοντες που εμποδίζουν τους σημερινούς νέους να ασχοληθούν σε βάθος με τα Μαθηματικά ;

Έλλειψη ελεύθερου χρόνου Νέα τεχνολογικά μέσα Άγνοια για το αντικείμενο Η δυσκολία κατανόησής τους

Πιστεύετε ότι οι σημερινοί νέοι μπορούν να ανακαλύψουν νέα στοιχεία/προτάσεις στα Μαθηματικά ;

Ίσως Καθόλου Ναι Δε γνωρίζω

Θα θέλατε κάποτε να ασχοληθείτε με μια ερευνητικη εργασία παρόμοιου θέματος ;

Πολύ Aρκετά Δεν ειμαι βέβαιος/α Καθόλου

Πιστεύετε ότι η προσπάθεια για ανακάλυψη νέων στοιχείων στα Μαθηματικά επιβραβεύεται την σημερινή εποχή ;

-129-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Πολύ Αρκετά Λίγο Καθόλου

Μαθητές Α΄ Λυκείου Της ερευνητικής εργασίας Του 1ου ΓΕ.Λ Αλεξανδρούπολης

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

1 η Ερώτηση :

Αγόρια : Βαρετό 32,1% (18/56) , Ενδιαφέρον 60,7% (34/56) , Ασήμαντο 7,1% (4/56) , Άγνωστο 0% Κορίτσια : Βαρετό 30,9% (21/68) , Ενδιαφέρον 55,9% (38/68) , Ασήμαντο 5,9% (4/68) , Άγνωστο 7,3% (5/68)

2 η Ερώτηση :

Αγόρια : Πολύ 19,6% (11/56) , Αρκετά 28,6% (16/56) , Λίγο 39,3% (22/56) ,Καθόλου 12,5% (7/56)Κορίτσια : Πολύ 13,2% (9/68) , Αρκετά 29,4% (20/68) , Λίγο 39,7% (27/68) ,Καθόλου 17,7% (12/68)

3 η Ερώτηση :

-130-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Αγόρια : Πιστεύω πως ναι 46,4% (26/56) , Δεν είμαι βέβαιος 35,8% (20/56) ,Δε γνωρίζω 1,8% (1/56) , Καθόλου 16% (9/56)Κορίτσια : Πιστεύω πως ναι 41,2% (28/68) , Δεν είμαι βέβαια 38,2% (26/68) ,Δε γνωρίζω 8,8% (6/68) , Καθόλου 11,8% (8/68)

4 η Ερώτηση :

Αντιμετωπίζετε τα Μαθηματικά ως α. ένα ευχάριστο και χρήσιμο μάθημα Αγόρια : 44,7% (25/56) , Koρίτσια : 35,3% (24/68)β. ένα μάθημα που είμαι αναγκασμένος/η να διαβάσωΑγόρια : 12,5% (7/56) , Koρίτσια : 27,9% (19/68)γ. ένα μάθημα που θα ήθελα να ασχοληθώ περισσότεροΑγόρια : 30,3% (17/56) , Koρίτσια : 11,8% (8/68)δ. ένα μάθημα που δεν με ενδιαφέρει καθόλου Αγόρια : 12,5% (7/56) , Koρίτσια : 25% (17/68)

5 η Ερώτηση : Πυθαγόρας Αγόρια : 25% (14/56) , Κορίτσια : 45,6% (31/68) Ευκλείδης Αγόρια : 16% (9/56) , Κορίτσια : 26,5 (18/68)Θαλής Αγόρια : 26,7% (15/56) , Κορίτσια : 14,7 % (10/68)Αρχιμήδης Αγόρια : 0% , Κορίτσια : 2,9% (2/68) Δε γνωρίζουν/Δεν απαντούν Αγόρια : 32,1% (18/56) , Κορίτσια : 10,3 (7/68)

-131-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Για ποιο λόγο επιλέξατε το συγκεκριμένο μαθηματικό; Για τη σημερινή χρησιμότητα των θεωρημάτων του Αγόρια : 16% (9/56) , Κορίτσια : 14,7% (10/68) Τον γνωρίζουν από το Θεώρημα που ασχολήθηκε και απέδειξεΑγόρια : 26,8% (15/56) , Κορίτσια : 29,4% (20/68)

Ο συγκεκριμένος μαθηματικός ασχολήθηκε τόσο με τα Μαθηματικά όσο και με

την Αστρονομία

Αγόρια : 0% , Κορίτσια : 5,9% (4/68) Δε γνωρίζουν/ Δεν απαντούν Αγόρια : 57,1% (32/56) , Κορίτσια : 50% (34/68)

6 η Ερώτηση : Έλλειψη ελεύθερου χρόνου : Αγόρια : 35,7% (20/56) , Κορίτσια : 33,8% (23/68) Νέα τεχνολογικά μέσα : Αγόρια : 12,5% (7/56) , Κορίτσια : 7,3% (5/68) Αγνοια για το αντικείμενο : Αγόρια : 10,7% (6/56) , Κορίτσια : 5,9% (4/68) Η δυσκολία κατανόησής τους : Αγόρια : 41% (23/56) , Κορίτσια : 52,9% (36/68)

7 η Ερώτηση :

Ίσως Αγόρια : 33,9% (19/56) , Κορίτσια : 44,1% (30/68) Καθόλου Αγόρια : 17,8% (10/56) , Κορίτσια : 14,7% (10/68) Ναι Αγόρια : 39,3% (22/56) , Κορίτσια : 26,5%

-132-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”(18/68)Δε γνωρίζω Αγόρια : 8,9% (5/56) , Κορίτσια : 14,7% (10/68)

8 η Ερώτηση :

Πολύ Αγόρια : 16% (9/56) , Κορίτσια : 10,3% (7/68) Αρκετά Αγόρια : 28,6% (16/56) , Κορίτσια : 30,9% (21/68)Δεν είμαι βέβαιος/α Αγόρια : 26,8% (15/56) , Κορίτσια : 29,4% (20/68)Καθόλου Αγόρια : 28,6% (16/56) , Κορίτσια : 29,4% (20/68)

9 η Ερώτηση :

Πολύ Αγόρια : 17,8% (10/56) , Κορίτσια : 22% (15/68) Αρκετά Αγόρια : 32,1% (18/56) , Κορίτσια : 35,3% (24/68)Λίγο Αγόρια : 25% (14/56) , Κορίτσια : 33,8% (23/68)Καθόλου Αγόρια : 25% (14/56) , Κορίτσια : 8,8% (6/68)

-133-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ

Στα πλαίσια της έρευνας καλέσαμε τη σύμβουλο των Μαθηματικών κυρία ΣμάρωΑλεξάνδρου για να μας μιλήσει για τη συμβολή των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών και του έργου τους στη σημερινή εποχή . Της ζητήσαμε να κάνει μιασύγκριση των επιτευγμάτων των Μαθηματικών της τότε εποχής , με τους νέους της σύγχρονης εποχής με τα ποικίλα τεχνολογικά μέσα που διαθέτουν! Η συζήτηση επεκτάθηκε και σε κοινωνικούς και παιδαγωγικούς παράγοντες της ψυχολογίας των νεαρών μαθητών, οι οποίοι τους εμποδίζουν την πνευματική ανάπτυξη και καλλιέργεια! Σας παραθέτουμε παρακάτω μέρος του διαλόγου που κάναμε και τις ερωτήσεις που υποβάλαμε στη σύμβουλο , οι απαντήσεις της οποίας μας κράτησαν αμείωτο το ενδιαφέρον καθόλη τη διάρκεια της συνέντευξης !ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ : Tί σας παρότρυνε να ασχοληθείτε με τα Μαθηματικά ;

A ΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ : To κίνητρο με τα Μαθηματικά ήταν ότι θα είχα τη δυνατότητα να μάθω να σκέφτομαι καλύτερα. Πήγα στο Πρακτικό Λύκειο γιατί οι μαθητές λέγανε ότι ο συγκεκριμένος καθηγητής μαθαίνει τους μαθητές να σκέφτονται! Αγαπούσα τα Μαθηματικά και έπαιρνα ευχαρίστηση όταν σκεφτόμουν και έλυνα δύσκολα προβλήματα! Στην εποχή μας εσείς δέχεστε περισσότερες πληροφορίες, αλλά δεν έχετε το χρόνο, ούτε έχετε συνηθίσει στις διαδικασίες να σκέφτεστε και να παίρνετε ευχαρίστηση από τη σκέψη . Εγώ βασικά ήθελα να σπουδάσω φιλοσοφία , ψυχολογία και μαθηματικά . Επέλεξα τα Μαθηματικά με κριτήριο ότι μου έδιναν μια σιγουριά ότι υπάρχει μία και μονάδική λύση στις ερωτήσεις και σταπροβλήματα όπως ότι 2 + 2 = 4 , ενώ οι ερωτήσεις στην ψυχολογία δεχόταν ένα πλήθος απαντήσεων που η

-134-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”συνισταμένη τους προσέγγιζε τη λύση , κάτι που μου δημιουργούσε ανασφάλεια! Τα μαθηματικά σύμβολα και τις έννοιες τα αντιλαμβάνεται ο καθένας με το δικό του τρόπο , όπου προβάλει τα αντικείμενα από τον εσωτερικό του κόσμο. Υπάρχει δηλαδή ένας ιδιωτικός κώδικας , όπου ο καθηγητής και ο μαθητής προβάλουν ένα διαφορετικό τμήμα του εαυτού τους με δικές τους κάθε φορά σκέψεις και συναισθήματα και ένας δημόσιος κώδικας , όπου το άτομο μπορεί με τη βοήθεια των συμβόλων να επικοινωνεί με τα άλλα άτομα , διαμορφώνοντας ένα νόημα ενός αριθμού που μπορεί να σημαίνει κάτι γι’ αυτό!

ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ : Ποιό Μαθηματικό της Αρχαιότητας έχετε ξεχωρίσει για το έργο του και γιατί ;

A ΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ : Έχω ξεχωρίσει τον Πυθαγόρα γιατί έχει ασχοληθεί με την έννοια του αριθμού, την οποία θεωρώ πολύ βασική έννοια για τη συγκρότηση της μαθηματικής σκέψης και για την κατανόηση του κόσμου. Στη Σάμο υπάρχει ένα πολύ μεγάλο άγαλμα του Πυθαγόρα που στη βάση γράφει τη φράση : « το νόημα του κόσμου είναι ο αριθμός 3 » . Για μένα αυτό ίσως συμβολίζει ότι το δυαδικό σύστημα , καλό — κακό , που χρησιμοπούμε για να δώσουμε νόημα στο αντί — κείμενο κόσμο δεν αρκεί και χρειάζεται να προχωρήσουμε σε μία Τρίτη διάσταση για να προσεγγίσουμε την αλήθεια .

ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ : Ήταν δύσκολη η πορεία σας για να γίνετε Μαθηματικός ;

A ΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ : Δεν ήταν δύσκολη η πορεία μου να γίνω Μαθηματικός , γιατί αγαπούσα τα Μαθηματικά από μικρή ηλικία και χαιρόμουν πολύ όταν έλυνα προβλήματα Πρακτικής Αριθμητικής .

-135-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Ακόμη με βοήθησε ο πατέρας μου να κατανοήσω τα μαθηματικά στο δημοτικό !ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ : Πιστεύετε ότι αν βρισκόσασταν στην αρχαία εποχή θα γινόσασταν αποδεκτή ως επιστήμονας από το ευρύ ανδρικό κοινό ;

A ΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ : Δε μπορώ να δώσω συγκεκριμένη απάντηση! Όταν όμως σπουδάζεις Μαθηματικά κάνεις υπέρβαση του φύλου άνδρας – γυναίκα και τα αντιμετωπίζεις σαν ένα σκεπτόμενο άτομο . Στο Πρακτικό Λύκειο ήμασταν λίγα κορίτσια και στο Πανεπιστήμιο ήμασταν πολύ λιγότερα τα κορίτσια . Έμαθα να με αντιμετωπίζουν σαν άνθρωπο και όχι μέσα από το ρόλο κορίτσι — αγόρι . Η επίδοση αγοριών και κοριτσιών στα Μαθηματικά έχει διαφοροποιήσεις ! Τα κορίτσια είναι πιο μεθοδικά,Διαβάζουν περισσότερο στο σπίτι και στις μικρότερες τάξεις έχουν καλές επιδόσεις . Τα αγόρια μπορεί να έχουν καλύτερες επιδόσεις στις μεγαλύτερες τάξεις όταν χρειάζεται μεγαλύτερη αφαιρετική ικανότητα της σκέψης .

ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ : Θα θέλατε να ανακαλύψετε έναν καινούργιο νόμο στα Μαθηματικά , χρήσιμο για τα επόμενα χρόνια της ανθρωπότητας ; Πόσο εύκολο ή δύσκολο το θεωρείτε αυτό ;

A ΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ : Aυτό είναι μία καλή ιδέα. Αν είχα μία καλή έμπνευση θα ήταν κάτι που θα με ενδιέφερε . Στην εποχή μας συνεχώς ανακαλύπτονται καινούργιες ιδέες στα Μαθηματικά οι οποίες μπορεί να έχουνε εφαρμογή στην πραγματικότητα ή όχι!

-136-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”Δεν είναι εύκολο να κάνω κάτι τέτοιο γιατί δεν είναι μέσα στα επιστημονικά μουενδιαφέροντα . Εμένα με ενδιαφέρει περισσότερο να επαναπροσδιορίσω τι είναι ταΜαθηματικά στην εποχή μας , το πως συνδέονται οι μαθηματικές έννοιες με τον τρόπο αντίληψης των μαθητών και τη συναισθηματική τους γλώσσα και πως μπορούν οι μαθητές να τα συνειδητοποιήσουν καλύτερα . ΕΡΏΤΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ : Ποιές συμβουλές θα δίνατε στους μαθητές για το πως θα αντιμετωπίσουν τα Μαθηματικά ως μάθημα ή ως τρόπο ζωής ;

A ΠΑΝΤΗΣΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ : Οι μαθητές μπορούν να αντιμετωπίσουν τα Μαθηματικά και ως μάθημα και ως τρόπο ζωής ! Ως μάθημα γιατί πρέπει να κατανοήσουν με τον καθηγητή τους τα Μαθηματικά και στη συνέχεια να τα επεξεργαστούν μόνοι τους . Τα Μαθηματικά πρέπει να τα μαθαίνουμε μαζί με άλλους , αλλά και μόνοι μας . Το πιο σημαντικό είναι όμως όταν τα μαθαίνουμε να κάνουμε μεταφορά της γνώσης από την πραγματικότητα στο αφαιρετικό επίπεδο ! όταν κατανοήσουμε τα Μαθηματικά ή μάθουμε να λύνουμε ένα πρόβλημα να μπορούμε να μεταφέρουμε αυτή τη γνώση στο να λύσουμε τα προσωπικά μας προβλήματα και να διαμορφώσουμε καλύτερα την ποιότητα ζωής μας ! Συμπερασματικά τα Μαθηματικά μας δίνουν ευκαιρίες να μάθουμε να σκεφτόμαστε , βελτιώνουν τις συνθήκες διαβίωσής μας !Οι μαθητές πρέπει να διαμορφώσουν δική τους άποψη για το πως θέλουν να διδάσκονται τα Μαθηματικά ! Το πιο σημαντικό είναι να συνδέσουν τη λογική , το συναίσθημα και το πνεύμα στην προσωπική τους ζωή σαν τρία κλαδιά ενός δέντρου τα οποία βρίσκονται σε αρμονία . Το συναίσθημα είναι κινητήρια δύναμη για να ενδιαφερθείτε να κατανοήσετε τα Μαθηματικά !

-137-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙΔΑΣ

1. -- -- -- -- -- -- -- -- --2. -- -- -- -- -- -- -- -- -- --3. -- -- -- -- -- -- -- --4. -- -- -- -- -- -- -- -- 5. -- -- -- -- -- -- -- --6. -- -- -- -- -- -- -- --7. -- -- -- -- -- -- --

8. -- -- -- -- -- -- -- -- --9. -- -- -- -- -- -- -- -- --10. -- -- -- --11. -- -- --12. -- -- -- -- -- -- -- -- --13. -- -- -- -- --14. -- -- -- -- --15. -- -- -- -- -- -- -- --16. -- -- -- -- -- -- -- --17. -- -- -- -- --18. -- -- -- -- -- -- -- -- --

1. Κορυφαίος Μαθηματικός και Αστρονόμος ο πρώτος που πρότεινε το ηλιοκεντρικό μοντέλο του Ηλιακού Συστήματος .2. Μαθηματικός και Γεωγράφος ο οποίος υπολόγισε την περιφέρεια της Γης με μεγάλη ακρίβεια.3. Μαθηματικός από τις Συρακούσες της Κάτω Ιταλίας . Είπε το περίφημο: « Μη μου τους κύκλους τάραττε » .4. Από τους γνωστότερους Μαθηματικούς της αρχαιότητας , ο οποιός απέδειξε

-138-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” θεώρημα που αναφέρεται στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου .5. Μαθηματικός ο οποίος ανακάλυψε την περίφημη Κογχοειδή καμπύλη με τη βοήθεια της οποίας έλυσε και το Δήλιο πρόβλημα και την Τριχοτόμηση γωνίας.6. Θεωρείται από πολλούς ειδικούς ως « ο πατέρας της Άλγεβρας » .7. Θεωρείται από πολλούς ειδικούς ως « ο πατέρας της Αστρονομίας » .8. Μεγάλος φιλόσοφος και Μαθηματικός εισηγητής της Ατομικής θεωρίας .

9. Μεγάλος Μαθηματικός γνωστός για την μελέτη του και απόδειξη θεωρημάτων πάνω στις κωνικές τομές .10. Από τους μεγαλύτερος Μαθηματικούς της Αρχαιότητας γνωστός για το θεώρημα του που αναφέρεται σε αναλογίες που προκύπτουν, όταν παράλληλες ευθείες τέμνονται από άλλες ευθείες . 11. Ένας από τους σημαντικότερους και πιο γνωστούς μηχανικούς και Μαθηματικούς . Πολύ γνωστός τύπος του αναφέρεται στο εμβαδόν του τριγώνου .12. Δίασημος Μαθηματικός , Αστρονόμος με σημαντική σύμβολή στη Γεωμετρία. Πολύ γνωστό του θεώρημα, αναφερει πως το γινόμενο των διανωνίων τετραπλεύρου εγγεγραμμένου μεσα σ’εναν κύκλο είναι ίσο με το γινόμενο των απέναντι πλευρών του .13. Μεγάλη Ελληνίδα Μαθηματικός και φιλόσοφος , η οποί έκανε και εκτενή και ουσιώδη σχόλια στα μαθηματικά έργα του Διόφαντου και του Απολλώνιου .14. Αθηναίος φιλόσοφος , ο οποίος έλυσε το Δήλιο πρόβλημα και συνέβαλε στη

-139-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” μελέτη των Γεωμετρικών Τόπων .15. Μαθηματικός και Αστρονόμος , ο οποίος διέθετε διόπτρα με τη βοήθεια της οποίας μέτρησε την κλίση του ζωδιακού κύκλου ως προς τον Ισημερινό .16. Είναι ο Θεμελιωτής της Γεωμετρίας , τα θεωρήματά του διδάσκονται όχι μόνο στα Ελληνικά σχολεία, αλλά και παγκοσμίως . 17. Μαθηματικός της νεότερης γενιάς των μεγάλων συναδέλφων του , του οποίο το έργο « Μαθηματική Συναγωγή » περιείχε θεωρήματα και προβλήματα των περιφημότερων Ελλήνων Μαθηματικών της αρχαιότητας .18. Εξαίρετος Γεωμέτρης , ο πρώτος στην Ιστορία της Επιστήμης που συνέγραψε μια συστηματικά οργανωμένη πραγματεία Γεωμετρίας . Υπολόγισε το εμβαδό των  Μηνίσκων, τα οποία είναι ημισεληνοειδή τμήματα που περικλείονται από δύο κυκλικά τόξα .

Να συμπληρώσετε την παραπάνω ακροστοιχίδα . ( Για βοήθεια σας δίνουμε στον παρακάτω πίνακα τα ζητούμενα ονόματα των παραπάνω Μαθηματικών σε τυχαία σειρά . )

Ποιές λέξεις σχηματίζονται στα παραπάνω κουτάκια; ΛΥΣΗ : Α-Ρ-Χ-Α-Ι-Ο-Ι Μ-Α-Θ-Η-Μ-Α-Τ-Ι-Κ-Ο-Ι

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

-140-

ΝΙΚΟΜΗΔΗΣ—ΥΠΑΤΙΑ—ΠΛΑΤΩΝ—ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ—ΘΑΛΗΣ—ΗΡΩΝ—ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ—ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ—ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ—ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ—ΙΠΠΑΡΧΟΣ—ΟΙΝΟΠΙΔΗΣ—ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ—ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ—ΠΑΠΠΟΣ—ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ—ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ—ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” Τα οφέλη που αποκομίσαμε από την εργασία μας σχετικά με τα Μαθηματικά στην Αρχαιότητα ήταν πολλά και σημαντικά . Οι Αρχαίοι Έλληνες , αλλά και γενικότερα οι αρχαίοι λαοί και πολιτισμοί μας διδάσκουν ακόμη και σήμερα ότι τονα μην επαναπαυόμαστε στα ήδη γνωστά αντικείμενα μελέτης , αλλά να αναζητούμε το άγνωστο, είναι ένας διαρκής αγώνας για κάλυτερη επιβίωση με την ανακάλυψηνέων στοιχείων τεχνολογίας , τα οποία οποία κάνουν την ύπαρξη μας βιώσιμη . Η λύση των προβλημάτων της καθημερινής μας ζωής είναι άμεσα συνδεδεμένημε την αντίληψη και τη μεθοδικότητα των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών . Υπάρχει ελπίδα για όλους εμάς κάποια στιγμή να γίνουμε και εμείς ερευνητές σε βάθος και να θεμελιώσουμε νέες σημαντικές προτάσεις , οι οποίες μπορούν να γίνουν χρήσιμες σε βάθος χρόνου για τις επόμενες γενιές ανθρώπων . Μπορούμε και μεις να κλέψουμε λίγη από τη δόξα του Θαλή , του Πυθαγόρα , του Ευκλείδη και των υπολοίπων Αρχαίων αναζητητών της Μαθηματικής αλήθειας . Η παρατήρηση , το πείραμα και η προσπάθεια πάντα κάπου καρποφορεί ύστερα από αρκετό καιρό βέβαια . Η καθημερινότητα του ανθρώπου είναι άμεσα συνδεδεμένη με τη γνώση γιαεπίλυση των προβλημάτων που προκύπτουν , καθώς και τη δίψα του ανθρώπου να καταφέρει αυτό που θεωρητικά φαντάζει αδύνατο στη δημιουργία και εκτέλεση . Η έρευνα για τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς που μας απασχόλησε το προηγούμενο χρονικό διάστημα , μας οδήγησε στο συμπέρασμα πως η έρευνα σε βάθος εννοιών που θεωρούνται δεδομένες θα μπορούσε να αποτελέσει ένα ακόμη λιθαράκι γνώσης για τις επόμενες γενιές ανθρώπων , που έχουν στα χέρια τους προηγμένο τεχνολογικά εξοπλισμό για να ανταπεξέλθουν σε κάθε δυνατή δοκιμασία!

-141-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ”

Η ΔΙΑΡΚΗΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΚΤΗΣΗ ΤΗΣ ΚΟΡΥΦΗΣ ΘΑ ΣΤΕΦΘΕΙ ΚΑΠΟΙΑ ΣΤΙΓΜΗ ΣΤΟ ΜΕΛΛΟΝ ΜΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΥ 1ΟΥ ΓΕ.Λ ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣ

1. ΒΟΓΙΑΤΖΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 2. ΓΑΪΤΑΝΙΔΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 3. ΓΕΡΑΝΤΙΔΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ 4. ΓΙΑΚΟΥΜΠΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 5. ΚΟΠΕΛΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 6. ΜΑΛΑΚΟΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 7. ΜΑΡΓΑΡΙΤΙΔΗΣ ΙΣΙΔΩΡΟΣ 8. ΜΑΤΣΑ ΜΑΡΙΝΑ 9. ΜΠΟΥΦΙΔΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 10. ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΑΝΝΑ 11. ΧΕΡΚΕΛΕΤΖΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ 12. ΓΙΑΡΕΝΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 13. ΕΥΘΥΜΙΑΔΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ 14. ΕΦΡΑΙΜΙΔΟΥ ΖΩΗ 15. ΖΙΩΓΑ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ 16. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΙΔΟΥ ΖΩΗ

-142-

Ιστορία των Μαθηματικών : “ Aρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και το έργο τους ” 17. ΚΑΡΑΜΠΟΥΝΑΡΙΩΤΗ ΜΑΡΙΑ 18. ΜΑΡΤΟΝ ΕΛΙΣΑΒΕΤ 19. ΜΙΚΑΕΛΙΑΝ ΑΜΑΛΙΑ 20. ΤΕΝΤΕ ΘΑΛΕΙΑ

-143-