Facultad de Ingeniería

Geológica Geofísica y Minas.

ESCUELA: INGENIERÍA DE MINAS.

TRABAJO DOMICILIARIO Nº1ANALISIS DIMENSIONAL, HIDRAULICA EN

CONDUCTO CERRADO

Integrantes:-Arapa Mamani, Diego Elard-Ramos Uscca, Tony BrusCurso: Hidráulica

AREQUIPA-2014

TEOREMA DE VASCHY-BUCKINGHAM

El Teorema de Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales.

Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. De todas formas la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico.

Introducción

Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una función f tal que:

(a)

en donde Ai  son las n  variables o magnitudes físicas relevantes, y se expresan en términos de k  unidades físicas independientes. Entonces la anterior ecuación se puede reescribir como:

en donde   son los parámetros adimensionales construidos de n − k  ecuaciones de la forma:

en donde los exponentes mi  son números enteros. El número de términos adimensionales construidos n - k es igual a la nulidad de la matriz dimensional en donde k es el rango de la matriz.

Ejemplo

Imaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinámica o fuerza aerodinámica Fa sobre un cuerpo, por ejemplo una esfera o cualquier otra forma geométrica, en función de su tamaño o dimensión característica d, la densidad del fluido ρ, la viscosidad η del mismo y la velocidad del cuerpo v en el seno de dicho fluido. Dado que parece que esas variables deberían explicar por sí mismas la resistencia aerodinámica se tiene relación matemática del tipo:

2

Puesto que tenemos 5 variables relevantes  . Estas cinco variables no son dimensionalmente independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en términos de masa, tiempo y longitud que:

en este caso se tiene por tanto   ya que todas las magnitudes son reducibles a sólo 3 magnitudes dimensionales independientes. Esto implica que existen combinaciones adimensionales tales que la relación (2) se puede reducir a la forma:

Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cinco magnitudes originales como "básicas" y se forman junto con las otras dos consideradas "dependientes" productos adimensionales. En este caso se toman como básicas por ejemplo ρ, v y d (aunque podría haberse hecho otra elección). Ahora buscamos exponentes enteros tales que los siguientes productos sean adimensionales:

(4)

La condición de adimensionalidad para   lleva a que por ejemplo:

(5)

Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros:

(6)

Análogamente para el parámetro , se llega a que:   y por tanto la relación buscada es:

(3b)

Si se asumen cierta condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la función anterior, podrá usarse el teorema de la función implícita para escribir las relaciones:

(7a)

3

Esta última ecuación dice es consistente con la expresión común para la resistencia aerodinámica:

Donde,   y   es una función del número de Reynolds que

precisamente es proporcional al parámetro  . Obviamente el teorema no es capaz de darnos todos los factores de proporcionalidad requeridos, ni la forma funcional exacta de algunas partes de la fórmula, pero simplifica mucho el conjunto de expresiones a partir de la cual tenemos que buscar los datos.

TEORÍA DE LAS SEMEJANZAS

La teoría de las semejanzas es aquella que se emplea para el trabajo con modelos a escala en túneles aerodinámicos con el objetivo de que el comportamiento de los mismos sea lo más cercano posible a como se comportaría en una situación real el objeto en cuestión. Manifiesta que los criterios fundamentales para establecer la semejanza de un modelo a escala con el objeto real son los del número de Reynolds y el número de Mach. Los objetos de estudio pueden ser vehículos espaciales,aviones, puentes y edificaciones.

SEMEJANZA DINÁMICA

Dos fenómenos son dinámicamente semejantes si con la semejanza cinemática tiene

lugar la proporcionalidad y orientación igual de los vectores fuerzas en todos los puntos

adecuados de dichos fenómenos hablando en rigor, la semejanza dinámica se consigue

solo si tiene lugar la semejanza completa de fenómenos cuando todas las magnitudes

físicas similares son iguales en todos los puntos correspondientes. Para obtener en la

práctica la similitud de fenómenos aerodinámicos basta lograr la proporcionalidad de las

fuerzas de rozamiento y presión lo que simplifica mucho este problema

Por número de Reynolds

Supongamos que hemos logrado la similitud de dos fenómenos aerodinámicos. Por

ejemplo, fenómenos de derrame alrededor del ala del avión en vuelo y el de su modelo.

Que sean determinadas por vía experimental las fuerzas aerodinámicas que actúan en el

modelo. Para aplicar estos resultados a un planeador real es necesario establecer la

ecuación que podría relacionar las fuerzas aerodinámicas en dos fenómenos semejantes.

Con el fin de deducir tal ecuación vamos a despejar cerca del ala real una partícula de

aireelemental con masa   (Todas las magnitudes referentes al planeador las

designaremos con el subíndice 1 y al modelo con 2). Que sobre la partícula despejada

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desde el lado del aire ambiente actúe la fuerza  . Entonces dicha partícula en su

movimiento adquirirá la aceleración   y según la Segunda ley de Newton:

Obtenemos:

La relación adimensional de la fuerza de inercia a las de rozamiento viscoso:

Según la ecuación anterior, en los fenómenos semejantes por fuerzas de

rozamiento los números de Reynolds son iguales. Repitiendo las operaciones en

la sucesión inversa es posible convencerse de que la igualdad de los números de

Reynolds ( ) es no solo la condición necesaria sino suficiente para la

similitud de fenómenos aerodinámicos por fuerza de rozamiento. En otras

palabras, el número de Reynolds es el criterio de similitud de los fenómenos

aerodinámicos por fuerza de rozamiento. Cuanto menor sea elnúmero de

Reynolds, tanto mayores serán las fuerzas de rozamiento que obligan a la

partícula a variar su velocidad, comparadas, con las fuerzas de inercia que

impiden variar la velocidad.

PÉRDIDA DE CARGA

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La pérdida de carga en una tubería o canal, es la pérdida de presión en un fluido debido a la fricción de las partículas del fluido entre sí y contra las paredes de la tubería que las conduce. Las pérdidas pueden ser continuas, a lo largo de conductos regulares, o accidentales o localizadas, debido a circunstancias particulares, como un estrechamiento, un cambio de dirección, la presencia de una válvula, etc.

Pérdida de carga en conducto rectilíneo

Si el flujo es uniforme, es decir que la sección es constante, y por lo tanto la velocidad también es constante, el principio de Bernoulli, entre dos puntos puede escribirse de la siguiente forma:

donde:

 = aceleración de la gravedad;

 = altura geométrica en la dirección de la gravedad en la sección   ó  ;

 = presión a lo largo de la línea de corriente;

 = densidad del fluido;

 = velocidad del fluido;

 = perdida de carga;

La pérdida de carga se puede expresar como  ; siendo   la distancia entre las secciones 1 y 2; y,   la variación en la presión manométrica por unidad de longitud o pendiente piezométrica, valor que se determina empíricamente para los diversos tipos de material, y es función del radio hidráulico, de la rugosidad de las paredes de la tubería, de la velocidad media del fluido y de su viscosidad.

Expresiones prácticas para el cálculo

Existen diversos métodos, obtenidas empíricamente, para calcular la pérdida de carga a lo largo de tuberías y canales abiertos:

Ecuación de Darcy-Weisbach.

Factor de fricción de Darcy.

Ecuación de Colebrook-White.

Fórmula de Hazen-Williams.

Diagrama de Moody.

Fórmula de Bazin.

Para tubos llenos, donde , la fórmula de Bazin se transforma en:

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Los valores de   son:

0,16 para tubos de acero sin soldadura

0,20 para tubos de cemento

0,23 para tubos de hierro fundido

Simplificando la expresión anterior para tubos de hierro fundido:

La fórmula de Kutter, de la misma forma se puede simplificar:

Con m = 0,175; 

Con m = 0,275; 

Con m = 0,375; 

Perdidas de carga localizadas

Las pérdidas de carga localizadas, debidas a elementos singulares, se expresan como una fracción o un múltiplo de la llamada "altura de velocidad" de la forma:

Dónde:

 = pérdida de carga localizada;

 = velocidad media del agua, antes o después del punto singular, conforme el

caso;

= Coeficiente determinado en forma empírica para cada tipo de punto singular

La siguiente tabla da algunos de los valores de K para diferentes tipos de punto

singulares:

Tipo de singularidad K

Válvula de compuerta totalmente abierta 0,2

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Válvula de compuerta mitad abierta 5,6

Curva de 90º 1,0

Curva de 45º 0,4

Válvula de pie 2,5

Emboque (entrada en una tubería) 0,5

Salida de una tubería 1,0

Ensanchamiento brusco (1-(D1/D2)2)2

Reducción brusca de sección

(Contracción)0,5(1-(D1/D2)2)2

Aplicaciones

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Ecuación de Darcy-Weisbach

Introducción

Es una ecuación empírica que relaciona la pérdida de carga hidraúlica (o pérdida de presión) debido a la fricción a lo largo de una tubería dada con la velocidad media del flujo del fluido. La ecuación obtiene su nombre en honor al francés Henry Darcy y al alemán Julius Weisbach (ingenieros que proporcionaron las mayores aportaciones en el desarrollo de tal ecuación).

Definición

La ecuación de Darcy-Weisbach es una ecuación ampliamente usada en hidráulica. Permite el cálculo de la pérdida de carga debida a la fricción dentro una tubería llena. La ecuación fue inicialmente una variante de la ecuación de Prony, desarrollada por el francés Henry Darcy. En 1845 fue refinada por Julius Weisbach, de Sajonia.

Esta fórmula permite la evaluación apropiada del efecto de cada uno de los factores que inciden en la pérdida de energía en una tubería. Es una de las pocas expresiones que agrupan estos factores. La ventaja de esta fórmula es que puede aplicarse a todos los tipos de flujo hidráulico (laminar, transicional y turbulento), debiendo el coeficiente de fricción tomar los valores adecuados, según corresponda.

Fórmula general

La forma general de la ecuación de Darcy-Weisbach es:

Siendo:

 = pérdida de carga debida a la fricción. (m)

 = factor de fricción de Darcy. (adimensional)

 = longitud de la tubería. (m)

 = diámetro de la tubería. (m)

 = velocidad media del fluido. (m/s)

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Fórmula en función del caudal

La fórmula de Darcy–Weisbach puede ser escrita, en función del caudal , como:

La formula de Darcy–Weisbach puede ser re-escrita en el formato estándar de pérdida de carga como:

Fórmula estándar de la pérdida de carga

La pérdida de carga hidráulica o de energía en una conducción forzada o tubería es igual a:

siendo:

 ~ Pérdida de carga o de energía en una tubería.

 ~ Coeficiente en función del diámetro de tubería y de un factor de pérdida adimensional (En algunos casos se considera el Número de Reynolds).

 ~ Longitud de tubería.

 ~ Caudal que circula por la tubería.

 ~ Exponente que afecta al caudal. Usualmente este toma el valor de 2, como en la fórmula de Darcy-Weisbach. En otros casos adquiere un valor fraccionario o decimal, como en la fórmula de Hazen-Williams (lo que hace alusión a su origen estadístico).

La fórmula estándar de la pérdida de carga hidráulica o de energía en una conducción forzada debe ser re-escrita en la forma resumida:

(1)

siendo:

 ~ Pérdida de Carga o de energía en una tubería

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 ~ Rugosidad hidráulica, cuyo valor está en función de la Longitud, el Diámetro de tubería y de un factor de pérdida adimensional, según diversos autores.

 ~ Caudal que circula por la tubería.

 ~ Exponente que afecta al caudal. Usualmente este toma el valor de 2, como en la formula de Darcy-Weisbach. En otros casos adquiere un valor fraccionario o decimal, como en la fórmula de Hazen-Williams.

La expresión estándar presentada aquí, es una forma general de agrupar a casi todas las fórmulas existentes para el cálculo de la pérdida de carga en una conducción cerrada.

La pérdida de carga por rugosidad hidráulica

Para comprender el concepto de Rugosidad Hidráulica, se deben considerar las siguientes observaciones:

-la viscosidad del fluido es uniforme a través del sistema de tubería. Esta magnitud física solo es afectada directamente por la temperatura del mismo fluido;

-la temperatura del fluido es uniforme a través del sistema de tuberías, mientras circula a través del sistema de tuberías;

-los efectos combinados de la viscosidad y de la temperatura no ejercen influencia sobre el comportamiento físico del flujo en el sistema de tuberías.

La “rugosidad hidráulica”, en su nueva concepción debe ser igual a:

Reescribiendo la fórmula de la pérdida de carga hidráulica o de energía, esta toma la forma:

(2)

Que es la forma reducida de la fórmula de la pérdida de carga hidráulica o de energía, presentada en (1)

Factor de fricción

El factor de fricción   es adimensional y varía de acuerdo a los parámetros de la tubería (rugosidad y diámetro) y del tipo de flujo (número de Reynolds).

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Para flujos laminares

Como consecuencia de la Ley de Poiseuille,   se relaciona con el número de Reynolds () como:

Para flujo en transición y turbulento

Para un número de Reynolds 2000 <   < 4000, se considera que el fluido presenta

régimen de flujo transicional. En la zona de transición, los valores de   son inciertos, ya que el flujo se comporta de manera dual, laminar y turbulentamente, mostrando gran inestabilidad.

Para   > 4000, en el régimen de flujo turbulento, muchos investigadores se han

esforzado en calcular   tanto a partir de resultados de experimentos propios como de resultados obtenidos por otros investigadores.

Ejemplo

En una tubería de 1000 m de longitud y 45 cm de diámetro se transporta un fluido. Se ha determinado que el factor de fricción de la tubería es de 0,03 y que la velocidad media de flujo es de 2,5 m/s, si el valor de la gravedad se supone de 9,81 m/s^2

Calcule la pérdida por fricción. Reemplazando los valores se llega a:

hf=

0.03∗100045/100

∗2.52

2∗9.81=21.24m

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Diagrama de Moody

El diagrama de Moody es la representación gráfica en escala doblemente logarítmica del factor de fricción en función del número de Reynolds y la rugosidad relativa de una tubería. En la ecuación de Darcy-Weisbach aparece el término   que representa el factor de fricción de Darcy, conocido también como coeficiente de fricción. El cálculo de este coeficiente no es inmediato y no existe una única fórmula para calcularlo en todas las situaciones posibles. Se pueden distinguir dos situaciones diferentes, el caso en que el flujo sea laminar y el caso en que el flujo sea turbulento.

En el caso de flujo laminar el factor de fricción depende únicamente del número de Reynolds. Para flujo turbulento, el factor de fricción depende tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa de la tubería, por eso en este caso se representa

mediante una familia de curvas, una para cada valor del parámetro  , donde k es el valor de la rugosidad absoluta, y k/D es igual a la rugosidad relativa.

NUMERO DE REYNOLDS

El número de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión

típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos

problemas de dinámica de fluidos. Dicho número o combinación adimensional

aparece en muchos casos relacionado con el hecho de que el flujo pueda

considerarse laminar (número de Reynolds pequeño) o turbulento (número de

Reynolds grande).

Para un fluido que circula por el interior de una tubería circular recta, el número de

Reynolds viene dado por:

o equivalentemente por:

donde:

: densidad del fluido

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: velocidad característica del fluido

: diámetro de la tubería a través de la cual circula el fluido o longitud

característica del sistema

: viscosidad dinámica del fluido

: viscosidad cinemática del fluido

Como todo número adimensional es un cociente, una comparación. En este caso

es la relación entre los términos convectivos y los términos viscosos de

las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el movimiento de los fluidos.

Por ejemplo, un flujo con un número de Reynolds alrededor de 100.000 (típico en

el movimiento de una aeronave pequeña, salvo en zonas próximas a la capa

límite) expresa que las fuerzas viscosas son 100.000 veces menores que las

fuerzas convectivas, y por lo tanto aquellas pueden ser ignoradas. Un ejemplo del

caso contrario sería un cojinete axial lubricado con un fluido y sometido a una

cierta carga. En este caso el número de Reynolds es mucho menor que 1

indicando que ahora las fuerzas dominantes son las viscosas y por lo tanto las

convectivas pueden despreciarse. Otro ejemplo: En el análisis del movimiento de

fluidos en el interior de conductos proporciona una indicación de la pérdida de

carga causada por efectos viscosos.

Presenta regiones características:

Región laminar (Re<2000);

Región de transición (2000<Re<4000);

Región Turbulenta (Re > 4000)

--En la siguiente imagen se puede observar el diagrama de Moody

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