17.6 – MHS e movimento circular uniformeMHS pode ser visto como a projeção do MCU em um dos eixos cartesianos

Galileu e as luas de Júpiter

MCU MHS

ωt + φ Ângulo no instante t Fase

φ Ângulo inicial Constante de fase

xm Raio do círculo Amplitude

ω Velocidade angular Freqüência angular

txtx m cos)(

, Se mxrr

Velocidade:

Aceleração:

txtv msen)(

,mxrv

txta mcos)( 2

,22mxra

17.7 – Movimento harmônico amortecido

Em sistemas reais, há sempre dissipação de energia (amortecimento)

Resultado esperado qualitativamente (em condições de baixo amortecimento):

x(t)

t

/te (envelope)

:Constante de tempo de amortecimento (tempo necessário para a amplitude cair a 1/e do seu valor inicial)

Solução matemática:Para baixas velocidades a força de amortecimento pode ser aproximada por:

bvFa (proporcional e contrária à velocidade)

2a. Lei: 2

2

dt

xdmF 2

2

dt

xdm

dt

dxbkx

Vamos propor a solução: )cos()( textx at

m

02

2

kxdt

dxb

dt

xdm

Verificamos (quadro-negro) que esta é uma solução possível da equação diferencial nas seguintes condições:

mkb 4(amortecimento pequeno ou subcrítico)

b

m2 (tempo de amortecimento)

m

b

m

ka 4

2

(pequena redução da freqüência de oscilação em relação à freqüência natural)

x(t)

t

Desta forma, temos: )cos()( 2 textx ambt

m

Amplitude decai exponencialmente com o tempo

Energia mecânica também decai exponencialmente:

Sem amortecimento: )(constante 2

1 2mkxE

Com amortecimento: 2

1)(

22/ mbtmexktE mbt

mekx /2

2

1 Energia é dissipada!

17.8 – Oscilações forçadas e ressonânciaOscilador com freqüência natural m

k0

Força externa periódica com freqüência ω: tFFext cos0

2a. Lei: 2

2

dt

xdmF

2

2

0 cosdt

xdmtFkx

tm

Fx

dt

xd cos0202

2

(desprezando por enquanto os termos dissipativos)

tm

Fx

dt

xd cos0202

2

Precisamos resolver a equação diferencial:

- Trata-se agora de uma equação inomogênea

- Espera-se que a solução geral seja uma combinação de funções oscilatórias com freqüência ω0 e ω

- Na presença de atrito, apenas a solução com freqüência ω vai sobreviver para tempos longos (regime estacionário)

- A solução com freqüência ω0 vai desaparecer depois de um curto intervalo a partir do início do movimento (regime transiente)

tAtx cos)(Assim, vamos tentar a seguinte solução particular:

Substituindo na equação diferencial:

tm

FtAtA coscoscos 02

02

tm

FtA

coscos

220

0

tm

FtA

coscos

220

0

220

0 )(amplitude 0

m

FAAConvenção:

0 Se 0 (oscilador em fase com a força externa)

-coscos que lembrando(

Se 0

(oscilador em oposição de

fase com a força externa)

Quando ω=ω0, a amplitude diverge:

ressonância

Kits LADIF: ressonância no trilho de ar e sistema massa-mola

sem amortecimento

com amortecimento

com mais amortecimento

20

0

m

F

A

A ponte de Tacoma

http://www.youtube.com/watch?v=P0Fi1VcbpAI

Quebrando um copo de vinho com som ressonante

http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E

17.9 – Oscilações de dois corpos e modos normais

Discussão qualitativa: Kit LADIF de pêndulos acoplados