156 MEPOΣ II ...5.H ΠAPAΓΩΓOΣKAITOΔIAΦOPIKOTΩNΣYNAPTHΣEΩNMIAΣMETABΛHTHΣ 163 3....

156 MEPOΣ II: MONOMETABΛHTOΣ ΔIAΦOPIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ KAI BEΛTIΣTOΠOIHΣH

x

f (x)

P

lp

y = f (x)

Σχήμα 5.1: H εφαπτομένη

5.1 Oρισμός της εφαπτομένης

H εφαπτομένη (tangent) μιας καμπύλης είναι μία ευθεία γραμμή η οποία εφάπτεται επακριβώςστην καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο. Για παράδειγμα, η γραμμή lP είναι η εφαπτομένη τηςκαμπύλης y = f (x) στο σημείο P στο Σχήμα 5.1. Yπόψη ότι η γραμμή αυτή εφάπτεται απλώςστην καμπύλη στο σημείο P χωρίς να την τέμνει σε κάποιο άλλο σημείο. Eίναι εύκολο να δούμεότι σε κάθε σημείο της καμπύλης θα υπάρχει μία διαφορετική εφαπτομένη. Aν συμβολίσουμεμε ∆y/∆x τον λόγο της μεταβολής στην y για κάποια μεταβολή στην x, λέμε ότι η κλίση μιαςκαμπύλης σε ένα σημείο είναι ίση με αυτό τον λόγο, καθώς διαδοχικά λαμβάνουμε όλο καιμικρότερες τιμές για τη ∆x. Στην περίπτωση μιας λείας καμπύλης, όπως αυτή που φαίνεται στοΣχήμα 5.1, η κλίση της εφαπτομένης ταυτίζεται με την κλίση της καμπύλης στο σημείο επαφής.H κλίση της εφαπτομένης στο P ονομάζεται τιμή της παραγώγου της συνάρτησης y = f (x) στοσημείο P. H παράγωγος συνάρτηση δίνει την τιμή της κλίσης της εφαπτομένης σε διαφορετικάσημεία της συνάρτησης, όπως αυτά προσδιορίζονται από την τιμή του x.

Πριν δώσουμε γενικούς ορισμούς, είναι χρήσιμο προηγουμένως να μελετήσουμε ένα απλόπαράδειγμα που υπογραμμίζει την ιδέα ότι η παράγωγος έχει κάποια σχέση με τους ρυθμούςμεταβολής. Yποθέτουμε ότι κάποιος πηγαίνει στην εργασία του με το αυτοκίνητο περνώνταςμέσα από μια μεγάλη πόλη. Έστω ότι το y συμβολίζει τα χιλιόμετρα που διανύει και t το χρόνοπου χρειάζεται για να τα διανύσει, ενώ η y = f (t) δείχνει πόση απόσταση διάνυσε μετά απόt λεπτά οδήγησης. Yποθέτουμε ότι τα 5 πρώτα χιλιόμετρα που διανύει τα καλύπτει σε 20 λε-πτά. H μέση ταχύτητα στο διάστημα αυτό είναι ∆y/∆t = 5/20 = 0,25 χιλιόμετρα το λεπτόή 15 χιλιόμετρα την ώρα. Aυτή είναι μία μέση ταχύτητα, αλλά ο ρυθμός με τον οποίο οδηγείανά πάσα χρονική στιγμή σε αυτό το διάστημα μπορεί να διαφέρει σημαντικά. Yποθέτουμε,για παράδειγμα, ότι θέλουμε να μελετήσουμε την ταχύτητα στην αρχή του δέκατου λεπτού τηςδιαδρομής. Θα ξεκινήσουμε συμβολίζοντας τον ρυθμό της ταχύτητας κίνησης ανάμεσα στο δέ-κατο και το ενδέκατο λεπτό ως ∆y/∆t, όπου ∆y είναι η απόσταση που διανύθηκε σε αυτό τοχρονικό διάστημα και ∆t = 1 λεπτό είναι το μέγεθος αυτού του χρονικού διαστήματος. Όμωςτο πηλίκο αυτό συνεχίζει να είναι η μέση ταχύτητα. H διαδικασία καθορισμού μιας στιγμιαίαςταχύτητας ή του ρυθμού μεταβολής ∆y/∆t στην αρχή του δέκατου λεπτού της διαδρομής προϋ-ποθέτει να μελετήσουμε αυτούς τους λόγους, λαμβάνοντας διαδοχικά όλο και μικρότερες τιμές

5. H ΠAPAΓΩΓOΣ KAI TO ΔIAΦOPIKO TΩN ΣYNAPTHΣEΩN MIAΣ METABΛHTHΣ 157

Σχήμα 5.2: H τέμνουσα

του ∆t. Aυτό το συμβολίζουμε ως ∆t → 0 και λέμε ότι η μεταβολή στο χρόνο τείνει στο μηδέν.O λόγος ∆y/∆t καθώς ∆t → 0 είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής (instantaneous rate ofchange) της διανυόμενης απόστασης σε σχέση με τον χρόνο ή, με άλλα λόγια, η ταχύτητα τουοχήματος. Παρόλο που σε αυτό το πηλίκο φαίνεται να εμπλέκεται και μια διαίρεση με το μηδέν,δε συμβαίνει κάτι τέτοιο επειδή το ∆t ποτέ δεν είναι ίσο με το μηδέν, ενώ οι σχετικές τιμές του∆y γίνονται διαδοχικά μικρότερες. Έτσι ο λόγος ∆y/∆t δε γίνεται οσοδήποτε μεγάλος, ακόμηκι όταν ο παρονομαστής γίνεται όσο θέλουμε μικρός. Tο όριο της ακολουθίας των λόγων ∆y/∆tκαθώς το ∆t τείνει στο μηδέν (αν υφίσταται αυτό το όριο) είναι η παράγωγος της συνάρτησηςy = f (t) στο σημείο t. Tώρα θα αναπτύξουμε πιο τυπικά αυτή την έννοια.

Για να ορίσουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, αρχικά ορίζουμε μια τέ-μνουσα (secant), η οποία είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία στη γραφική πα-ράσταση της συνάρτησης. Παίρνοντας μια ακολουθία από τέμνουσες που σχηματίζονται ενώ-νοντας ένα σημείο P με μία ακολουθία σημείων, τα οποία προσεγγίζουν στο P χωρίς να συ-μπίπτουν με αυτό, σχηματίζουμε την εφαπτομένη στο σημείο P. Mε άλλα λόγια, η εφαπτομένηείναι η γραμμή που διέρχεται από το P και έχει την ίδια κλίση με το όριο της ακολουθίας τωντεμνουσών που σχηματίζονται με τον τρόπο που περιγράψαμε, αν το όριο αυτό υπάρχει. H πα-ράγωγος μιας συνάρτησης στο σημείο P ορίζεται, επομένως, ως η τιμή της κλίσης αυτής τηςεφαπτομένης.

O ευκολότερος τρόπος για να το κατανοήσουμε αυτό είναι να χρησιμοποιήσουμε μια γρα-φική παράσταση. Aς θεωρήσουμε μια συνάρτηση y = f (x) και δύο σημεία πάνω στη γραφικήτης παράσταση, που τα συμβολίζουμε με P = (x1, f (x1)) και Q = (x2, f (x2)) όπως στο Σχήμα5.2. Tην ευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία την ονομάζουμε τέμνουσα (secant line), ενώορίζουμε την κλίση της ως τη μεταβολή στο y, που συμβολίζουμε με ∆y = f (x2) − f (x1),


Σχήμα 5.3: Aκολουθία τεμνουσών

διαιρεμένη με τη μεταβολή στο x, που συμβολίζουμε με ∆x = x2 − x1. Δηλαδή:

mPQ =∆y∆x=

f (x2) − f (x1)x2 − x1

Ορισμός 5.1. Δίδονται δύο σημεία P= (x1, f (x1)) και Q = (x2, f (x2)) με x2 = x1 +∆x, πάνω στηγραφική παράσταση μιας συνάρτησης y = f (x). Oρίζουμε την τέμνουσαως το ευθύγραμμο τμήμαπου ενώνει αυτά τα σημεία. H κλίση της τέμνουσας είναι:

mPQ =f (x2) − f (x1)

x2 − x1=∆y∆x

θεωρούμε ως σταθερό το σημείο P= (x1, f (x1)) και παίρνουμε μία ακολουθία τιμών x2 έτσιώστε το x2 να πλησιάσει οσοδήποτε κοντά στο x1. Eπειδή x2 = x1 + ∆x, αυτό μπορούμε να τοθεωρήσουμε αντίστοιχο με τη δημιουργία μιας ακολουθίας τιμών ∆x που γίνονται οσοδήποτεμικρές (∆x → 0). Aν για οποιαδήποτε ακολουθία τιμών ∆x, όταν ∆x → 0, προκύπτει μίαακολουθία τιμών mPQ που συγκλίνει σε κάποιο όριο που θα ονομάσουμε m∗, τότε η γραμμήπου διέρχεται από το P και έχει κλίση m∗ ονομάζεται εφαπτομένη στο P. H ακολουθία των ∆xτιμών, ∆x → 0, οδηγεί στην ακολουθία των σημείων Q1,Q2,Q3, . . . που βλέπουμε στο Σχήμα5.3.

Ορισμός 5.2. Aν η συνάρτηση y = f (x) ορίζεται σε ένα ανοιχτό διάστημα στο οποίο ανήκει τοσημείο P= (x1, f (x1)) και υπάρχει lim

∆x→0mPQ, τότε η γραμμή που διέρχεται από το σημείο P και

έχει κλίση ίση με lim∆x→0

mPQ είναι η εφαπτομένη (tangent line) της συνάρτησης y = f (x) στο P.


Σχήμα 5.4: H κλίση μιας τέμνουσας εξαρτάται από το ∆x

Aς θεωρήσουμε, για παράδειγμα, τη συνάρτηση y = x2 που βλέπουμε στο Σχήμα 5.4. Aν συ-γκρίνουμε τα σημεία P = (2, 4) και Q = (4, 16), βλέπουμε ότι για να μεταβούμε από το Pστο Q η μεταβολή του x είναι ∆x = 2 και η μεταβολή του y είναι ∆y = 12. Eπομένως ο ρυθμόςμεταβολής του y σε σχέση με το x, μεταξύ αυτών των δύο σημείων, είναι ∆y/∆x = 12/2= 6,δηλ. η κλίση της τέμνουσας που ενώνει το P και το Q. Όμως, αν χρησιμοποιήσουμε το σημείοQ′= (5,25) αντί για το Q, παίρνουμε ∆y/∆x = 21/3 = 7. Eπομένως ο ρυθμός μεταβολής τουy σε σχέση με το x, ξεκινώντας από κάποιο σημείο P εξαρτάται από το μέγεθος κατά το οποίομεταβάλλεται το x. Mε άλλα λόγια, ο ρυθμός μεταβολής ∆y/∆x μεταβάλλεται καθώς μετα-κινούμαστε πάνω στη συνάρτηση. Για αυτό, το λόγο ∆y/∆x τον ονομάζουμε μέσο (average)ρυθμό μεταβολής ανάμεσα στα δύο σημεία.

Aν για τη συνάρτηση y = x2 σχηματίσουμε μία ακολουθία μεταβολών∆x του x, με∆x → 0,θα διαπιστώσουμε ότι η ακολουθία που προκύπτει από τις τιμές της κλίσης της τέμνουσας σεσυγκεκριμένο σημείο P συγκλίνει (δηλαδή τείνει προς μία μοναδική τιμή). Για παράδειγμα, θε-ωρούμε την ακολουθία ∆x = 1/n, n = 1,2,3, . . . . Kαθώς, n → ∞ έχουμε ∆x → 0. Yποθέτουμεότι αρχίζουμε στο σημείο P = (2,4) για τη συνάρτηση y = x2 και χρησιμοποιούμε ∆x = 1/n,που σημαίνει ότι x + ∆x = 2 + 1/n και f (x + ∆x) = (2 + 1/n)2. Tότε, από τον ορισμό 5.1, με τοx1 να έχει γραφεί ως x και το x2 ως x + ∆x, οδηγούμαστε στην ακόλουθη έκφραση:

mPQ =f (2 + 1/n) − f (2)(2 + 1/n) − 2 =

(2 + 1/n)2 − 221/n

(5.1)

=4 + 4/n + 1/n2 − 4

1/n= 4 +

1n

(5.2)


x

y

P = (2, 4)

y = x2

10

y = 4x – 4

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

1 2 3 4

Σχήμα 5.5: H εφαπτομένη για την y = x2 στην τιμή x = 2

Kαθώς n → ∞, έχουμε ∆x → 0 και η ακολουθία των τιμών της κλίσης mPQ συγκλίνει στοναριθμό 4. Eπομένως η κλίση της εφαπτομένης της συνάρτησης y = x2 στο σημειο x = 2 είναι4.

Γενικότερα, η κλίση της τέμνουσας για τη συνάρτηση y = x2 ανάμεσα σε ένα τυχαίο ζεύγοςτιμών P = (x1, f (x1)) και Q = (x2, f (x2)), όπου x2 = x1 + ∆x είναι:

mPQ =f (x2) − f (x1)

x2 − x1=(x1 + ∆x)2 − x21

∆x

=x21 + 2(∆x)x1 + ∆x2 − x21

∆x

=2(∆x)x1 + ∆x2

∆x= 2x1 + ∆x

Eπομένως, για οποιαδήποτε ακολουθία τιμών ∆x, καθώς ∆x → 0, έχουμε lim∆x→0

mPQ = 2x1, πουείναι η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο P. Για παράδειγμα, στο σημείο P = (2, 4), έχουμεx1 = 2 και συνεπώς η εφαπτομένη έχει κλίση 4 (δηλ. mPQ = 2x1 = 2(2) = 4). Xρησιμοποιώνταςτην εξίσωση y = 4x + b και το γεγονός ότι το σημείο P = (2,4) ανήκει σε αυτή την ευθεία,μπορούμε να υπολογίσουμε την τεταγμένη b της τομής της ευθείας με τον άξονα y (y-intercept)από τη σχέση 4 = 4(2) + b, που σημαίνει ότι b = −4. Eπομένως, η εξίσωση της εφαπτομένηςστο σημείο P είναι η y = 4x − 4. Aυτό φαίνεται στο Σχήμα 5.5. Eίναι πλέον φανερό ότι κάθεδιαφορετικό σημείο πάνω στη συνάρτηση συνδέεται με μία διαφορετική εφαπτομένη.


Σχήμα 5.6:Mία συνάρτηση με την ίδια εφαπτομένη σε δύο σημεία

Γενικότερα μία συνάρτηση δεν έχει την ίδια εφαπτομένη σε κάθε σημείο, παρόλο που συμ-πτωματικά η ίδια γραμμή μπορεί να είναι εφαπτομένη μιας συνάρτησης σε περισσότερα απόένα σημεία της, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.6.

Mία γραμμική συνάρτηση είναι μία πολύ ειδική περίπτωση στην οποία η τέμνουσα πουπροσδιορίζεται από δύο οποιαδήποτε σημεία συμπίπτει πάντα με την ίδια τη γραμμή της συ-νάρτησης. Για να το δούμε αυτό, ας θεωρήσουμε τη γενική γραμμική εξίσωση y = mx + bόπου m και b είναι σταθερές. H κλίση της τέμνουσας ανάμεσα σε δύο οποιαδήποτε σημείαP = (x1, f (x1)) και Q = (x2, f (x2)) είναι:

mPQ =∆y∆x=

f (x2) − f (x1)x2 − x1

όπου x2 = x1 + ∆x

=(m(x1 + ∆x) + b) − (mx1 + b)

(x1 + ∆x) − x1

=mx1 + m∆x + b − mx1 − b

x1 + ∆x − x1

=m∆x∆x= m

που είναι σταθερή. Eπομένως η τέμνουσα σαφώς βρίσκεται πάνω στη γραμμή και η κλίση τηςείναι ανεξάρτητη από το μέγεθος του ∆x καθώς και από το συγκεκριμένη σημείο αρχής, τοP, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.7. Άρα, για μία γραμμική συνάρτηση μπορούμε να γράψουμετη σχέση ανάμεσα στο ∆x και το ∆y ως εξής: ∆y/∆x = m ή ∆y = m∆x. Mε άλλα λόγια,μία μεταβολή του x κατά ποσό ∆x οδηγεί σε μια μεταβολή του y κατά ποσό m φορές το ∆x.Eπιπλέον, η σχέση αυτή ισχύει ανεξάρτητα από το μέγεθος της μεταβολής ∆x ή τη θέση τουσυγκεκριμένου σημείου P. Aυτό γενικά αληθεύει μόνο για μία γραμμική συνάρτηση.


Σχήμα 5.7: Eφαπτομένη πάνω σε μία γραμμική συνάρτηση

AΣKHΣEIΣ

1. Yποθέστε ότι επιλέγουμε το σημείο P = (20,400) πάνω στην καμπύλη της συνάρτησηςy = x2. Bρείτε το λόγο ∆y/∆x για κάθε ένα από τα ευθύγραμμα τμήματα (τέμνουσες) πουβρίσκουμε ενώνοντας το P αντίστοιχα με τα σημεία Q1 = (25,625),Q2 = (24,576),Q3 =

(23,529),Q4 = (22,484), και Q5 = (21,441). Tοποθετήστε τις τιμές σε ένα Πίνακα, όπωςφαίνεται παρακάτω.

Qi (25, 625) (24, 576) (23, 529) (22, 484) (21, 441)

∆x∆y

H ακολουθία τιμών φαίνεται ότι θα συγκλίνει καθώς ∆x → 0 ; Eξηγήστε την απάντησήσας με μια γραφική παράσταση.

2. Όπως στην άσκηση 1, υπολογίστε μία ακολουθία λόγων ∆y/∆x για τη συνάρτηση y = x2

σε σχέση με το σταθερό σημείο P= (20,400). Aυτή τη φορά χρησιμοποιήστε ∆xn = 1/n,n = 1,2,3, . . ., για να δημιουργήσετε μία ακολουθία σημείωνQn = ((20+1/n), (20+1/n)2)και συνεπώς μία ακολουθία λόγων:

∆yn

∆xn=(20 + 1/n)2 − (20)2

(20 + 1/n) − (20)

Δείξτε ότι καθώς n → ∞ (δηλαδή ∆xn → 0) ο λόγος ∆yn/∆xn συγκλίνει. Xρησιμοποιώ-ντας αυτό το αποτέλεσμα βρείτε την εφαπτομένη στη συνάρτηση y = x2 που διέρχεταιαπό το σημείο P = (20,400).


3. H κλίση της εφαπτομένης για τη συνάρτηση y = x2 είναι 2x. Bρείτε την εξίσωση τηςεφαπτομένης στο σημείο x = 3. Kατασκευάστε μια γραφική παράσταση.

4. H κλίση της εφαπτομένης για τη συνάρτηση y =√

x είναι 1/(2√

x). Bρείτε την εξίσωσητης εφαπτομένης στο σημείο x = 1. Kατασκευάστε μια γραφική παράσταση.

5.2 Oρισμός της παραγώγου και του διαφορικού

H παράγωγος μιας συνάρτησης y = f (x) σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της είναι απλάη κλίση της εφαπτομένης. Oι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται για να δείξουν την παράγωγοσε ένα σημείο x, στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (x) είναι διάφοροι, αλλά οι πιο συνήθεις1είναι dy/dx ή f ′(x). Eπειδή, όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα, η κλίση της εφαπτομένηςγενικά εξαρτάται από την τιμή της μεταβλητής x, το ίδιο συμβαίνει και με την τιμή της παρα-γώγου. Eπομένως, η συνάρτηση της παραγώγου, η f ′, είναι η συνάρτηση που δείχνει την τιμήτης παραγώγου της συνάρτησης σε κάθε σημείο x του πεδίου ορισμού της f . Mόνο στην περί-πτωση μιας γραμμικής συνάρτησης, y = mx + b, η τιμή της παραγώγου είναι ανεξάρτητη απότην τιμή του x. Σε αυτή την περίπτωση η παράγωγος είναι f ′(x) = m σε κάθε σημείο x του πε-δίου ορισμού και συνεπώς η συνάρτηση της παραγώγου είναι η f ′ = m, η σταθερή συνάρτηση.(Σημειώστε ότι, όπως και στο Kεφάλαιο 4, υποθέτουμε ότι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησηςείναι το R, εκτός αν προσδιοριστεί κάτι διαφορετικό.)

Ορισμός 5.3. H παράγωγος (derivative) μιας συνάρτησης y = f (x) στο σημείο P = (x1, f (x1))είναι η κλίση της εφαπτομένης σε αυτό το σημείο.

f ′(x1) = lim∆x→0

mPQ = lim∆x→0

f (x2) − f (x1)x2 − x1

όπου ∆x = x2 − x1. Eπίσης μπορούμε να γράψουμε:

f ′(x1) = lim∆x→0

mPQ = lim∆x→0

f (x1 + ∆x) − f (x1)∆x

Στην προηγούμενη ενότητα δείξαμε ότι η κλίση της εφαπτομένης για τη συνάρτηση y = x2 είναι2x και το ίδιο ισχύει για την παράγωγό της, δηλαδή f ′(x)= 2x ή dy/dx = 2x. Mε μια διαισθη-τική προσέγγιση, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το dy και το dx αντικατοπτρίζουν την έννοιατων μεταβολών του y και του x, όπως το ∆y και το ∆x αντίστοιχα. Στην ουσία, για μία συγκε-κριμένη τιμή του dx μπορούμε να θεωρήσουμε το dy/dx ως μία εκτίμηση του λόγου ∆y/∆x.Συνεπώς το dy/dx = 2x μπορεί να γραφεί ως dy = (2x)dx, όπου το dy θα αντιπροσωπεύειμία εκτίμηση του ∆y για εκείνη την τιμή του dx που επιλέξαμε να είναι ίση με ∆x. H έκφρασηdy = (2x) dx είναι γνωστή ως διαφορικό της συνάρτησης y = x2. Ένας τυπικός ορισμός τουδιαφορικού δίνεται στη συνέχεια.

1Σ.τ.E. O συμβολισμός df /dx οφείλεται στον Γερμανό G. Leibniz και ο f ′(x) στον Γαλλο-Iταλό J. Lagrange.Eπίσης από πολλούς συγγραφείς χρησιμοποιείται ο συμβολισμός D f (x) του Γάλλου A. Cauchy.


Σχήμα 5.8: H dy = f ′(x) dx ως προσέγγιση μιας μεταβολής στο y

Ορισμός 5.4. Aν f ′(x0) είναι η παράγωγος της συνάρτησης y = f (x) στο σημείο x0, τότε το ολικόδιαφορικό (total differential) στο σημείο είναι:

dy = df (x0,dx) = f ′(x0) dx

Eπομένως το διαφορικό είναι συνάρτηση του x και του dx.

Tο διαφορικό μας εξασφαλίζει μια μέθοδο εκτίμησης της επίπτωσης που έχει στο y μιαμεταβολή του x ίση με dx = ∆x. Tο ∆y είναι η ακριβής μεταβολή του y ενώ το dy είναι ηκατά προσέγγιση μεταβολή. Mε βάση τον ορισμό της παραγώγου, αυτό ισοδυναμεί με το ναχρησιμοποιήσουμε την εφαπτομένη μιας συνάρτησης για να εκτιμήσουμε την επίπτωση μιαςμεταβολής του x επί του y. Για τη συνάρτηση f (x) = x2, το διαφορικό είναι dy = f ′(x) dx =2x dx. Για να διαπιστώσουμε ότι η έκφραση αυτή αντιπροσωπεύει μία προσέγγιση μόνο τηςπραγματικής σχέσης ανάμεσα στη μεταβολή του x και τη μεταβολή του y, αρκεί να κοιτάξουμετο Σχήμα 5.8. Bλέπουμε ότι από το σημείο P = (2, 4), μία αύξηση του x ίση με ∆x = dx = 2,οδηγεί σε μια μεταβολή στο y ίση με ∆y = 12. Aν χρησιμοποιήσουμε την εφαπτομένη στοσημείο P = (2, 4) για να εκτιμήσουμε τη μεταβολή στο y που προκύπτει από μία μεταβολήστο x κατά 2 μονάδες, διαπιστώνουμε ότι dy = 8 (δηλαδή dy = f ′(x) dx = (2x) dx = 4 dx,με dx = 2). Σε αυτή την περίπτωση, αν χρησιμοποιήσουμε το διαφορικό, οδηγούμαστε σε μίαπολύ χαμηλή εκτίμηση του ∆y.


f (x)

P

∆y = 5dy = 4

y = 4x – 4

1 2 3 4

4

y = x2

ǫ = 18

9

x

Σχήμα 5.9: H ακρίβεια της dy = f ′(x) dx ως προσέγγιση του ∆y

Πράγματι, είτε ως παράγωγος, είτε ως διαφορικό, η σχέση ανάμεσα στο dx και το dy μπορείνα θεωρηθεί ως μία εκτίμηση για την πραγματική σχέση ανάμεσα στις μεταβολές του x και τουy (δηλαδή ανάμεσα στο ∆x και στο ∆y). Aυτό αποσαφηνίζεται καλύτερα αν φανταστούμε τησχέση με την εξής μορφή:

∆y = dy + ϵ (5.3)

όπου το ϵ είναι το σφάλμα προσέγγισης. Για το παράδειγμα που παρουσιάζεται στο Σχήμα5.8 το σφάλμα είναι ϵ = 4. Eπομένως, ως μία προσέγγιση της πραγματικής μεταβολής του y,ο μαθηματικός τύπος της εξίσωσης (5.3) δεν είναι πολύ εντυπωσιακός. Όμως, μπορούμε ναδούμε ότι για μικρότερες μεταβολές του x, η έκφραση dy = f ′(x) dx μας δίνει μία καλύτερηπροσέγγιση. Για παράδειγμα, αρχίζοντας πάλι με x = 2 (δηλ. P = (2, 4)), βρίσκουμε ότι ανεπιλέξουμε οδηγούμαστε σε ∆x = dx = 1 και ∆y = 5 και dy = 4 (βλ. Σχήμα 5.9). Όχι μόνο τοdy είναι πιο κοντά στο∆y σε απόλυτους όρους, αλλά το ποσοστό σφάλματος μειώνεται από 33%(4/12) σε 20% (1/5) όταν μεταβούμε από ∆x = 2 σε ∆x = 1. Eπιπλέον, μπορούμε να δείξουμεότι η εξίσωση (5.3) μπορεί να γίνει όσο θέλουμε ακριβής (δηλαδή το ποσοστό σφάλματος ϵ/∆yμπορεί να γίνει όσο θέλουμε μικρό) απαιτώντας η μεταβολή του x να είναι μικρή. Tυπικά αυτόσημαίνει ότι lim

∆x=dx→0ϵ/∆y = 0.

Mπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στο παράδειγμα y = x2, χρησιμοποιώντας την εφαπτο-μένη ή την έκφραση dy = f ′(x) dx για να προσεγγίσουμε την επίπτωση μιας μεταβολής τουx επί του y, οδηγηθήκαμε σε μία υποεκτίμηση (underestimate). Φυσικά είναι επίσης πιθανό ηχρήση της εφαπτομένης να οδηγήσει σε μια υπερεκτίμηση (overestimate) της επίδρασης του∆x επί του ∆y. Aυτό συμβαίνει σαφέστατα στην περίπτωση της συνάρτησης που φαίνεταιστο Σχήμα 5.10. Για την περίπτωση μιας γραμμικής συνάρτησης, y = mx + b, η έκφρασηdy = f ′(x) dx = m dx παρέχει μία ακριβή προσέγγιση της επίπτωσης μιας μεταβολής του xίσης με dx ή ∆x επί του y (δηλ. dy = m dx και ∆y = m∆x). H περίπτωση αυτή παρουσιάζεταιστο Σχήμα 5.11.


Σχήμα 5.10: Περίπτωση στην οποία το διαφορικό είναι μία υπερεκτίμηση

Σχήμα 5.11: Περίπτωση στην οποία το διαφορικό είναι μία ακριβής προσέγγιση


y

C (y)

∆C = 240

880

640

400

160

852 11

∆y = 3∆y = 3

∆C =

240

C = 80y

Σχήμα 5.12:Mία γραμμική συνάρτηση κόστους

Oι συναρτήσεις συνολικού και οριακού κόστουςH συνάρτηση συνολικού κόστους μιας επιχείρησης, C = C(y), δείχνει το κόστος παραγω-γής της ποσότητας y προϊόντος. Eπομένως, με δεδομένη την C = C(y), ο λόγος ∆C/∆y =(C(y + ∆y) − C(y))/∆y εκφράζει το (μέσο) ρυθμό μεταβολής του κόστους ανά προστιθέμενημονάδα παραγόμενου προϊόντος. Aν υπολογίσουμε το όριο του λόγου αυτού καθώς ∆y → 0,βρίσκουμε τον στιγμιαίο (instantaneous) ρυθμό μεταβολής, που γενικά ονομάζεται οριακό κό-στος παραγωγής (marginal-cost of production):

lim∆y→0

∆C∆y= lim∆y→0

C(y + ∆y) − C(y)∆y

= C′(y)

και είναι η παράγωγος της συνάρτησης συνολικού κόστους.Aς ξεκινήσουμε με την απλούστερη μορφή παραδείγματος, την περίπτωση μιας γραμμικής

συνάρτησης κόστους. Πιο συγκεκριμένα, έστω C = 80y. H συνάρτηση αυτή σημαίνει ότι όποιοκι αν είναι το σημερινό ύψος παραγωγής, το κόστος για την παραγωγή μιας επιπλέον μονάδαςπροϊόντος είναι 80 (δηλ., εφόσον C′(y) ή dC/dy = 80). Tο διαφορικό dC = C′(y) dy παίρνειτη μορφή dC = 80 dy, γεγονός που δείχνει ότι κάθε μεταβολή του y κατά dy οδηγεί σε μετα-βολή του κόστους κατά 80 φορές το dy (π.χ. όταν παράγουμε 3 επιπλέον μονάδες προϊόντος,δηλ. dy = 3, οδηγούμαστε σε αύξηση του κόστους κατά dC = 80(3) = 240). Όπως είπαμε καινωρίτερα στην ενότητα αυτή (βλ. Σχήμα 5.11), σε περίπτωση γραμμικής συνάρτησης το δια-φορικό αντιπροσωπεύει μία ακριβή εκτίμηση της σχέσης ανάμεσα στην πραγματική μεταβολήτου C (δηλ. ∆C) και την πραγματική μεταβολή του y (δηλ. ∆y). Eπιπλέον, το γεγονός ότι ηπαράγωγος είναι μία σταθερά σημαίνει ότι το οριακό κόστος παραγωγής είναι ανεξάρτητο απότο υφιστάμενο ύψος παραγωγής. Aυτό απεικονίζεται στο Σχήμα 5.12.Mία επιχείρηση θα έχει γραμμική συνάρτηση κόστους μόνο αν οι επιπλέον μονάδες προϊόντοςαπαιτούν την ίδια πάντοτε επιπλέον ποσότητα εισροών, ακόμη κι όταν η κλίμακα παραγωγής γί-νει πολύ μεγάλη. Aυτή είναι η περίπτωση των σταθερών αποδόσεων κλίμακας (constant returnsto scale), αλλά μπορεί να μην ισχύει για όλες τις διαδικασίες παραγωγής. Eίναι ιδιαίτερα απί-θανο να ισχύει βραχυχρόνια, όταν ορισμένες εισροές, όπως για παράδειγμα ο κεφαλαιουχικός


Σχήμα 5.13: H σχέση ανάμεσα στις συναρτήσεις οριακού και συνολικού κόστους για τηνC(y) = y2

εξοπλισμός, είναι σταθερές σε ποσότητα. Aς υποθέσουμε ότι θεωρούμε την εργασία ως τηνμόνη μεταβλητή εισροή που χρησιμοποιείται. Kαθώς η επιχείρηση χρησιμοποιεί μεγαλύτερεςποσότητες εργασίας για να αυξήσει την παραγωγή της, οι επιπλέον μονάδες εργασίας τελικάγίνονται λιγότερο παραγωγικές λόγω του ότι υπάρχει όλο και λιγότερο κεφάλαιο με το οποίοθα συνεργαστεί κάθε μονάδα εργασίας. Όταν ήδη παράγονται υψηλά επίπεδα προϊόντος, τότεη παραγωγή επιπλέον μονάδων προϊόντος γίνεται πιο δαπανηρή. H συνάρτηση C(y) = y2 έχειαυτή την ιδιότητα.

H συνάρτηση C(y) = y2 έχει παράγωγο C′(y) = 2y (βλ. Σχήμα 5.13). Σύμφωνα με τηνπαράγωγο αυτή, το οριακό κόστος παραγωγής είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς y. Για παρά-δειγμα, αν η ποσότητα παραγομένου προϊόντος είναι y = 200, τότε το οριακό κόστος παραγω-γής μιας επιπλέον μονάδας προϊόντος είναι C′(y) = 2(200) = 400, ενώ αν το υφιστάμενο ύψοςπαραγωγής είναι 300, τότε το οριακό κόστος παραγωγής μιας επιπλέον μονάδας προϊόντος εί-ναι C′(y)= 2(300)= 600. Φυσικά, εισάγουμε σφάλμα όταν χρησιμοποιήσουμε την παράγωγογια να υπολογίσουμε την αύξηση του κόστους παραγωγής για μία επιπλέον διακριτή μονάδαπροϊόντος (βλ. Σχήμα 5.8 και Σχήμα 5.9). Για παράδειγμα, αν y = 300 και παραχθεί μία επι-πλέον μονάδα προϊόντος, τότε η ακριβής αύξηση του κόστους είναι ∆C = C(301) − C(300) =90.601 − 90.000 = 601. Yπόψη ότι το ακριβές κόστος παραγωγής μιας μεγαλύτερης επιπλέονποσότητας, π.χ. 100 επιπλέον μονάδων προϊόντος, είναι ∆C = C(400) − C(300) = 160.000 −90.000 = 70.000, ενώ αν χρησιμοποιήσουμε το διαφορικό για να εκτιμήσουμε αυτό το αυξη-μένο κόστος οδηγεί στο εξής αποτέλεσμα: dC = C′(y) dy = 2y dy = 2(300)(100) = 60.000. Tοσφάλμα για τη μεγαλύτερη μεταβολή είναι (10.000/70.000) × 100 = 14,3%, ενώ το σφάλμαγια τη μικρότερη μεταβολή είναι μόνο (1/600) × 100 = 0,17%. Tο παράδειγμα αυτό δείχνει ότιόσο μικρότερες μεταβολές του y χρησιμοποιούμε (δηλαδή ∆y → 0), το ποσοστό σφάλματοςτείνει στο μηδέν.

Tο βασικό νόημα αυτής της ενότητας είναι ότι κάθε συνάρτηση που έχει παράγωγο σε δε-δομένο σημείο μπορεί να προσεγγιστεί σε μία κατάλληλα μικρή περιοχή αυτού του σημείουμε μία γραμμική συνάρτηση (της οποίας η γραφική παράσταση είναι μία εφαπτόμενη ευθεία).Δεδομένου ότι οι γραμμικές συναρτήσεις γίνονται σχετικά εύκολα κατανοητές και μπορούμε


να τις χειριζόμαστε ευκολότερα, το συμπέρασμα αυτό είναι πολύ χρήσιμο. Πιο συγκεκριμένα,αν εστιάσουμε την προσοχή μας σε κάποια μικρή περιοχή μιας λύσης ενός προβλήματος, όπουεμπλέκονται μη γραμμικές συναρτήσεις, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλά Mαθηματικάγραμμικών συναρτήσεων για να πετύχουμε χρήσιμα αποτελέσματα. Συνεπώς μπορούμε να χρη-σιμοποιήσουμε τις τεχνικές της Γραμμικής Άλγεβρας (Kεφάλαια 7 έως 10) για να οδηγηθούμεσε συγκριτικά στατικά αποτελέσματα για συστήματα σχέσεων που περιγράφονται από μη γραμ-μικές συναρτήσεις. Aυτό θα γίνει φανερό στα επόμενα Kεφάλαια.

AΣKHΣEIΣ

1. Mε βάση τον ορισμό (5.3) της παραγώγου, βρείτε την παράγωγο καθεμιάς από τις επό-μενες συναρτήσεις:

(α) f (x) = 3x − 5(β) f (x) = 8x

(γ) y = 3x2

2. Mε βάση τον ορισμό (5.3) της παραγώγου, βρείτε την παράγωγο καθεμιάς από τις επό-μενες συναρτήσεις:

(α) f (x) = 6x

(β) f (x) = 12x − 2(γ) f (x) = k x2, για μία σταθερά k

3. Eπιστρέψτε στο παράδειγμα της άσκησης 1 της ενότητας 5.1. Yπόψη ότι η παράγω-γος αυτής της συνάρτησης f (x) = x2 είναι f ′(x) = 2x. Xρησιμοποιήστε το διαφο-ρικό για να εκτιμήσετε τις μεταβολές του y ανάμεσα στο P = (20,400) και καθενόςαπό τα 5 σημεία Qn, όπου n = 1, . . . ,5. Bρείτε το ποσοστό σφάλματος που ορίζεται ωςϵ = (∆y − dy)/(∆y) × 100 για κάθε περίπτωση, όπου dy = f ′(x) dx και dx ≡ ∆x. Xρη-σιμοποιήστε τον παρακάτω Πίνακα:

Qi (25, 625) (24, 576) (23, 529) (22, 484) (21, 441)

∆x ≡ dx∆ydy = f ′(x) dxϵ

Tι συνεπάγεται αυτό το παράδειγμα για τη χρήση του διαφορικού προς εκτίμηση τηςπραγματικής μεταβολής στην τιμή της συνάρτησης καθώς μεταβάλλεται το x; Eξηγήστετην απάντησή σας.

156 MEPOΣ II ...5.H ΠAPAΓΩΓOΣKAITOΔIAΦOPIKOTΩNΣYNAPTHΣEΩNMIAΣMETABΛHTHΣ 163 3....

Documents

Transcript of 156 MEPOΣ II ...5.H ΠAPAΓΩΓOΣKAITOΔIAΦOPIKOTΩNΣYNAPTHΣEΩNMIAΣMETABΛHTHΣ 163 3....