1.1.2.- El oscilador armónico Ejemplos de osciladores ... · 1 1.1.2.- El oscilador armónico...
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1 1.1.2.- El oscilador armónico Ejemplos de osciladores harmónicos clásicos 2 2 dt x d m kx = - Segunda Ley de Newton a m F = m k x dt x d = = + 2 2 2 2 , 0 ω ω ) cos( ) ( ϕ ω + = t A t x 0 x Amplitud Ley de Hooke f π 2 = péndulo m k f π 2 1 = Frecuencia Ejemplos de osciladores harmónicos cuánticos Molécula de HCl Molécula de agua Enlaces O-H, N-H, C-H en todo tipo de biomoléculas Tratamiento clásico (continuación) ) cos( ) ( ϕ ω + = t A t x (=0 en la fig.) En 1 dimensión: dx dV F - = V: potencial asociado a la fuerza ( ) 2 0 0 0 ) ( 2 1 ) ( ) ( x x k dx x x k dV V dx x x k dV dx F dV - = - = = - - - = - = Hooke Energía potencial: ) ( ) ( 2 1 0 2 0 x x k F x x k V - - = ⇔ - = 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 V r /Å k E A tot 2 = A E tot E c V 2 0 2 ) ( 2 1 2 1 x x k mv V E E c tot - + = + =
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1.1.2.- El oscilador armónico Ejemplos de osciladores harmónicos clásicos
2
2
dtxd
mkx =−
Segunda Ley de Newton
amF��
=�
mkx
dtxd ==+ 222
2,0 ωω
)cos()( ϕω += tAtx
0 x
Amplitud
Ley de Hooke
fπ2=
péndulo
mk
fπ21=
Frecuencia
Ejemplos de osciladores harmónicos cuánticos
Molécula de HCl Molécula de agua
Enlaces O-H, N-H, C-H en todo tipo de biomoléculas
Tratamiento clásico (continuación)
)cos()( ϕω += tAtx
�(=0 en la fig.)
En 1 dimensión:
dxdV
F −= V: potencial asociado a la fuerza
( )2
00
0
)(21
)(
)(
xxkdxxxkdVV
dxxxkdV
dxFdV
−=−==
−−−=−=
��
Hooke
Energía potencial:
)(
)(21
0
20
xxkF
xxkV
−−=⇔
−=
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
V
r /Å
kE
A tot2=
A
EtotEc
V
20
2 )(21
21
xxkmvVEE ctot −+=+=
2
Tratamiento cuántico
2
21
kxV =Operador V:
Schrödinger:
ψψ
ψψ
E�kxxm
EH
=+−
=
22
22
21
dd
2�
mk
ynnEn ==��
���
� += ωω ... ,1 ,0con 21
�
Soluciones:
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
V
r /Å
n=0n=1n=2n=3n=4
ω�=−=∆ + nn EEE 1
Energía de punto 0
Funciones de onda asociadas a los distintos niveles:
)(
con )( 2/1
4/12/2
�
mkxyeyHN y
nnn ==Ψ −
24
2
1
22
1
0
−=
==
yH
yH
HPolinomios de Hermite
Nn: Constante de normalización de la función de onda
Comparativa entre el oscilador harmónico clásico y el cuántico
o?
¿
¿Cuales son las diferencias entre el oscilador harmónico clásicoy el cuántico?
¿Como se comporta una biomolécula?
Comparativa entre el oscilador harmónico clásico y el cuántico
22
22
ddd
22)sin(cos
cossin
22sin)sin(
xA
xvx
t
ttAAtA
tAvtAx
−==
≤≤−−=
==
≤≤−−=+
ω
πωπωω
ωωω
πθπθπθ
Cálculo de la densidad de probabilidad de estar en la posición x:
1||
arcsin1d
dd2/
22
22
2
2
=
��
�=−
=
−==
−−
−−
�
��
A
A
A
A
A
A
Ax
xA
xp
xA
xtT
πωπω
ω
ωπ
ωπ
22
1 de densidad
xAp
−=
π
Comprobando que la probabilidad total suma a 1 sobre el intervalo:
2
2/1
4/12
0)()(
|| yemk −=Ψ
π�
clásica
cuántica
3
Densidad de probabilidades de encontrar el oscilador harmónico en xx/�
|�|2
o de
nsid
ad d
e pr
ob c
lási
ca
E0
clás.E5
Comparativa entre el oscilador harmónico clásico y el cuántico
cuánt. clás.
cuánt.
Sistemas de dos partículas (moléculas diatómicas)
Muelles en serie y en paralelo
x0x
x0/2 x
k’=k/2
x0x
k k
k’=2k
m m
centro de masa
k’
0 BA mm
kmk
111
2
+=
==
µ
µω
-x0/2
k
BA mm
k
111 +=
=
µ
µω
Válido para cualquier molécula diátomica y cualquier vibración que se puede tratar como diatómica
Consecuencias para los espectros vibracionales
E=h�
�
�� 2�� 3�� 4�� …
Regla de selección: 1±=∆n
�=f
n: 0�1n: 1�2n: 2�3…
0�2…
…
Potenciales menos idealizados
Enlace rígido
Enlace fuerte
Enlaces y energía de vibración
C O 1700 cm-1
C F 1100 cm-1
C Cl 650 cm-1
H C 3000 cm-1
H O 3600 cm-1
H N 3350 cm-1
C C 900 cm-1
C C 1650 cm-1
C C 2050 cm-1
Enlace Frec. (aproximada)
Muchos modos de vibración se pueden aproximar a vibraciones de determinados enlaces o grupos funcionales
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OO H
R
O H
R
Aplicación del IR al estudio de proteinas
H
CααααCO
NH
HR
H+
H
Cαααα CO
N
R
O-H
NH H
CααααCO
R
N-H bending725V
C-N torsion200VII
C=O bending600VI
40% O=C-N bending; 60% other627IV
30% C-N stretching; 30% N-H bending; 10% C=O stretching; 10%O=C-N bending; 20% other
1299III
60% N-H bending; 40% C-N stretching
1567II
80% C=O stretching; 10% C-N stretching; 10% N-H bending1653I
N-H stretching, in resonance withovertone (2 x amide II)
33003110
AB
Nature of vibrationApproximate frecuency (cm-1)Designation
Characteristic amide infrared bands of proteins El enlace peptídico
Frequency (cm -1) A ssignm ent1621-1627 β -S tructure1628-1634 β -S tructure1635-1640 β -S tructure1641-1647 R andom coil1651-1657 α -H elix1658-1666 Turns and bends1668-1671 Turns and bends1671-1679 β -S tructure1681-1685 Turns and bends1687-1690 Turns and bends1692-1696 Turns and bends
Characteristic amide I band frequencies of protein secondary structures
Frequency (cm-1) Assignment Frequency(cm-1) % area Assignment1621-1627 β-Structure 1623 1 β-Structure1628-1634 β-Structure 1632 15 β-Structure1635-1640 β-Structure 1640 16 Random coil1641-1647 Random coil 1648 24 3-turn Helix1651-1657 α-Helix 1657 24 α-Helix1658-1666 Turns and bends 1667 11 Turns and bends1668-1671 Turns and bends1671-1679 β-Structure 1675 7 β-Structure1681-1685 Turns and bends 1684 2 Turns and bends1687-1690 Turns and bends1692-1696 Turns and bends
Lysozymein D2O
XRD:∃ 2 ≠
helices
General assignments
Obtained by fit
