1.1 Predicción Espacial  

Sea el campo aleatorio  ( ){ }dRDssZ ⊂∈:  donde se ha observado el atributo Z en  las  ubicaciones  nsss ,,, 21   y  se  desear  predecir  dicho  atributo  en  una ubicación  no  observada,  basándose  en  los  valores  obtenidos  en  las muestras hechas.  Las técnicas de predicción espacial son modalidades de una familia de métodos  llamada Kriging.   El nombre se debe al Ingeniero minero D.G. Krige, quien  desarrolló  en  la  década  de  los  50,  métodos  empíricos  para  predecir características de una mina en alguna ubicación de interés donde no se conocían datos, usando las características conocidas en lugares cercanos donde si habían sido tomados.  Su método original es conocido como Kriging ordinario.      El Kriging aparece en muchas  formas de acuerdo a si se conocen  la media,  la distribución de probabilidad de Z(s), si las predicciones son hechas para puntos o áreas y así sucesivamente.    Sin embargo, es  importante recordar que el Kriging no es el único método de predicción  espacial;  existen métodos  determinísticos  como  distancia  inversa, interpolación  polinomial  global,  interpolación  polinomial  local,  triangulación lineal,  funciones de  base  radial  entre  otros.   La  ventaja del  kriging  sobre  los métodos determinísticos es la estimación de la varianza del error de predicción, lo cual permite además estimar  intervalos de confianza para dicha predicción además  de  que  el  kriging  es  un  método  de  estimación  que  da  el  mejor estimador  lineal  insesgado  (cuando  se  cumplen  todos  los  supuestos).  Inicialmente,  el  kriging  fue  desarrollado  para  aquellos  casos  donde  hay presencia de estacionariedad y posteriormente fue extendido para casos donde se cumple la hipótesis intrínseca.   

1.1.1 Generalidades sobre el kriging  La  toma de muestras da  la  información de  lo que  ocurre  en  cada punto.  Sin embargo, no da información acerca de la relación que pueda existir entre dichos puntos.  Se  requiere  de  una  forma  precisa  de  estimar  valores  en  puntos intermedios o en el caso de bloques, por ejemplo, estimar el promedio sobre el bloque.  La precisión del estimador usado depende de varios factores:  

El número de muestras tomadas  La calidad de la medición en cada punto  Las ubicaciones de  las muestras  en  la zona; si  las muestras son  igualmente espaciadas  se  alcanza  una mejor  cobertura,  dando mayor  información 

acerca  de  la  zona  que  aquella  que  se  obtendría  de  muestras  muy agrupadas  en  unos  sectores  y  separadas  en  otros.  Sin  embargo,  en  la práctica, debido a  las características de  las regiones de estudio, muchas veces es preciso tomar muestras irregularmente espaciadas. 

las distancias entre  las muestras;   para  la predicción es mas confiable usar muestras  vecinas  que muestras  distantes,  esto  es,  la  precisión mejora cuando  la cercanía de  las muestras aumenta, y se deteriora cuando esta disminuye.  La extrapolación no es aconsejable. 

La  continuidad  espacial  de  la  variable  o  atributo  en  estudio;  es  más  fácil estimar el valor de una variable bastante regular en una región que una que presenta grandes fluctuaciones.  

 

1.1.2 Introducción a la teoría del kriging  

Ejemplo  

 Supongamos  que  se  tienen  las  mediciones  Z(s1),  Z(s2),  Z(s3)  y  Z(s4),  en  los puntos s1, s2, s3   y  s4  respectivamente, y se  requiere predecir el valor Z(s0).   El valor a predecir se ubica mas cerca de s2 que de cualquier otra ubicación donde se  tenga medición; por  lo  tanto, es  lógico pensar que   Z(s0) es mas parecido a Z(s2)  que  a  cualquiera  de  los  otros  tres  valores medidos.    De  acuerdo  a  lo anterior,  se puede optar para  la predicción, por una media ponderada de  las cuatro mediciones, en la cual Z(s2) tiene mayor peso que cualquier otra, seguida en su orden por Z(s4), Z(s3) y por último Z(s1).  

  Así,             0 1 1 2 2 3 3 4 4Z(s )= Z(s )+ Z(s )+ Z(s )+ Z(s )λ λ λ λ   Donde  los  iλ ,  1,2,3,4i = son  los  factores  de  ponderación    o  pesos  tales  que 

2 4 3 1λ λ λ λ> > >   y  4

1

1ii

λ=

=∑ .   

 En general, para obtener una estimación de Z(s0),  se  realiza una  combinación lineal de los valores Z(si),  1i n= … : 

 

*s1 *s2 +s0

*s3 *s4

01

ˆ ( ) ( )n

i ii

Z s Z sλ=

= ∑  

 Los parámetros  iλ son los factores de ponderación o coeficientes de ponderación y son calculados de acuerdo a los siguientes criterios:  

0ˆ ( )Z s  sea insesgado 

0 0ˆ( ( ) ( ))Var Z s Z s− sea mínima 

 Note que   

2 20 0 0 0 0 0

22 20 0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

ˆ ˆ ˆ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

Var Z s Z s E Z s Z s E Z s Z s

E Z s Z s E Z s Z s E Z s Z s

− = − − −

⎡ ⎤= − − − = −⎣ ⎦ 

           Ahora 

[ ]

2 20 0 0 0

1 1 1

20 0

1 1 1

ˆ( ( ) ( )) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

n n n

i i j j i ii j i

n n n

i j i j i ii j i

E Z s Z s E Z s Z s Z s Z s Z s

E Z s Z s E Z s Z s E Z s

λ λ λ

λ λ λ

= = =

= = =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞− = − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ 

 Si ha estimado el semivariograma o bien se conoce la función de covarianza, también se tendrán los valores   

[ ] 20 0( ) ( ) , ( ) ( ) y ( )i j iE Z s Z s E Z s Z s E Z s⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦  

 Por  lo tanto, se encontrarán  los  iλ  minimizando esta varianza.   Del respectivo proceso de minimización se obtendrá un sistema de ecuaciones, que cambiará  de  acuerdo  a  las  hipótesis  que  se  tengan  sobre  la media  y  la  covarianza del proceso, y  la distribución de  la variable en estudio.   En  la próxima sección se mencionarán algunos de estos casos.  

1.1.3 Cálculo de los factores de ponderación para algunos casos    Kriging Simple  El  kriging  simple  asume  el  conocimiento  tanto  de  la  media  como  de  la covarianza del proceso.  Por supuesto, es poco práctico ya que en general   

estos dos parámetros  son desconocidos y es preciso estimarlos a partir de  los datos de la muestra.    Definamos la variable   

( ) ( )Y s Z s µ= −   

donde µ es la media de la variable en la región de estudio y por lo tanto   

( ) 0E Y s =⎡ ⎤⎣ ⎦ . 

 Entonces si ahora encontramos la predicción de  ( )0Y s , tendremos  

 

( ) ( )01

ˆn

i ii

Y s Y sλ=

= ∑ . 

 Ahora para encontrar  los  factores de ponderación vamos a minimizar el error de predicción  ( ) ( )( )0 0Y s Y s− .   Como  ( )0Y s   es desconocido,  se minimizará  el 

error cuadrático medio de predicción; esto es, hay que minimizar  

( ) ( )( )2

0 0ˆE Y s Y s−  

 Que según vimos en la sección anterior, se puede escribir como   

[ ]

[ ]

2 20 0 0 0

1 1 1

01 1 1

ˆ( ( ) ( )) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

2 (0)

n n n

i j i j i ii j i

n n n

i j i j i ii j i

E Y s Y s E Y s Z s E Y s Y s E Y s

Cov s s Cov s s Cov

λ λ λ

λ λ λ

= = =

= = =

⎡ ⎤⎡ ⎤− = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − − +⎣ ⎦

∑∑ ∑

∑∑ ∑ 

 Ahora,  se  aplica  el  proceso  clásico  de minimización  derivando  parcialmente respecto a cada uno de  los parámetros  iλ  e  igualando a cero estas derivadas, con lo que las ecuaciones quedan:  

( ) ( ) ( )2

0 0 01

ˆ 2 2 0 i = 1 nn

j i j iji

E Y s Y s Cov s s Cov s sλλ =

∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − − − =⎣ ⎦⎣ ⎦∂ ∑ …  

 con lo cual queda definido un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.  Para j  ( )1j n= …  arbitraria la ecuación es: 

( )

( )

01

01

2 2 0

n

j i j ij

n

j i j ij

Cov s s Cov s s

Cov s s Cov s s

λ

λ

=

=

⎡ ⎤− − − =⎣ ⎦

⎡ ⎤− = −⎣ ⎦

∑

∑ 

Que es un sistema con única solución en virtud de la matriz de coeficientes la cual es definida positiva.  Así para predecir la variable original Z  

( ) ( )01

ˆn

i ii

Z s Zµ λ µ=

= + −∑  

 y la varianza del error de predicción queda  

( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 0 01

ˆn

i i ii

Var Z s Z s Var Z s Cov s sλ=

− = − −∑  

De donde podemos concluir que la varianza del error de predicción es menor a la varianza de la variable en estudio, lo cual es consecuencia del conocimiento de los parámetros del proceso.     Kriging Ordinario   El kriging ordinario  se usa  cuando  la variable  es  estacionaria  con  covarianza conocida  y media  desconocida.   Aunque  el  proceso  es  similar  al  del  kriging simple, no podemos  centrar  la variable, ya que no  conocemos  µ ,  así que  es necesario  trabajar directamente  con  la variable  en  estudio Z.   Nuevamente  la predicción es  

01

ˆ ( ) ( )n

i ii

Z s Z sλ=

= ∑  

 Al no conocer la media es necesario garantizar la propiedad de insesgamiento:  

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]

1 Cuando

01 01

0

1

11

110

01

00*

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⇔=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−=−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−

∑

∑∑

∑∑

∑

=

==

==

=

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

iii

sZEsZE

sZsZEsZsZE

λ

λλµ

µµλλ

λ

 

  

( )ˆE Z Z=  

De esta forma, 

( )1

( )n

i ii

E Z s E Zλ µ=

⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦∑  

   lo cual es equivalente a  

[ ]1 1

( )n n

i i ii i

E Z sλ λ µ µ= =

= =∑ ∑  

 Por tanto, es indispensable que se cumpla la condición de que  

1

1n

ii

λ=

=∑  

 para obtener un estimador insesgado.  Se mantiene igual la segunda condición que  es  la  de mínima  varianza;  partamos  de  la  expresión  ya  deducida  de  la varianza 

[ ]2 20 0 0 0

1 1 1

ˆ( ( ) ( )) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )n n n

i j i j i ii j i

E Z s Z s E Z s Z s E Z s Z s E Z sλ λ λ= = =

⎡ ⎤⎡ ⎤− = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑∑ ∑  

 Donde bajo las nuevas condiciones se tiene:  

 ( ) 2

2 2 2 20

( ) ( )

( ) (0)

i j i jE Z s Z s Cov s s

E Z s Cov

µ

µ σ µ

⎡ ⎤ = − +⎣ ⎦⎡ ⎤ = + = +⎣ ⎦

 

 Sustituyendo en la varianza queda  

( ) ( ) ( )2 20 0

1 1 1 1 1 1

ˆ( ( ) ( )) 2 0 2 1n n n n n n

i j i j i i j i j ii j i i j i

E Z s Z s Cov s s Cov s s Cλ λ λ µ λ λ λ= = = = = =

⎡ ⎤− = − − − + + − +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑∑ ∑ ∑∑ ∑

pero  

2

1 1 1 1

2 1 1 0n n n n

i j i ii j i i

λ λ λ λ= = = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∑∑ ∑ ∑  

  por la propiedad de insesgamiento.  Así que la expresión a minimizar es   

( ) ( ) ( )1 1 1

2 0n n n

i j i j i i ji j i

Cov s s Cov s s Cλ λ λ= = =

− − − +∑∑ ∑  

 bajo la restricción  

( )ˆE Z Z=  

Se utiliza para estos casos el método de los multiplicadores de Lagrange:  

( ) ( ) ( )1

, ni

i i j i jii

Cov s s Cov s sφ λ µ

λ µλ =

∂= − − − −

∂ ∑  

( ) ( ) ( )1

, ni

i i j i jii

Cov s s Cov s sφ λ µ

λ µλ =

∂= − − − −

∂ ∑  

( ) ( )1

0n

i i j i ji

Cov s s Cov s sλ µ=

− − − − =∑  

( ) ( )1

n

i i j i ji

Cov s s Cov s sλ µ=

− − = −∑  

( )1

,1

ni

ii

φ λ µλ

µ =

∂ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦∑  

1

1 0n

iiλ

=

− =∑  

1

1n

iiλ

=

=∑  

 Dando como resultado el sistema de  1n +  ecuaciones del kriging ordinario:  

( ) ( )1

n

i i j i ji

Cov s s Cov s sλ µ=

− − = −∑  

 

1

1n

ii

λ=

=∑  

 a partir de  las cuales se encuentran  los valores de  los  factores de ponderación para llevar a cabo la predicción.  Por último, la varianza del error de predicción para este caso es  

( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 0 01

ˆn

i i ii

Var Z s Z s Var Z s Cov s sλ µ=

− = − − +∑  

 que  tal  como  es  de  esperarse  es mayor  que  la  del  kriging  simple,  debido  al desconocimiento de la media de la variable en estudio.   Kriging Ordinario para variables intrínsecas  Este es un caso más general, en el cual  la varianza no existe y  las condiciones impuestas sobre la variable regionalizada son:  

( ) ( ) 0E Z s h Z s+ − =⎡ ⎤⎣ ⎦  

( ) ( ) ( )12

h Var Z s h Z sγ = + −⎡ ⎤⎣ ⎦  

 Nuevamente, hay que imponer las siguientes restricciones  

Estimación lineal 

01

ˆ ( ) ( )n

i ii

Z s Z sλ=

= ∑  

Insesgamiento 

( )ˆE Z Z=  

Mínima varianza  

( ) ( ) ( ) ( )2

0 0 0 0ˆ ˆVar Z s Z s E Z s Z s⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦  es mínima 

 Aplicando  nuevamente  el  método  de  los  multiplicadores  de  Lagrange,  se obtienen los factores de ponderación y la varianza del error de predicción es  

( ) ( )( ) ( )0 0 01

ˆn

i ii

Var Z s Z s s sλγ µ=

− = − +∑  

Este es el caso más general ya que es válido  tanto para variables estacionarias como para variables intrínsecas. 

 En general, el kriging es òptimo cuando la variable en estudio proviene de una población con distribución normal.   La alternativa con cual se debe trabajar es aplicarle a la variable una transformación que la lleve a una normal y a partir de la  nueva  variable  transformada  estimar  el  semivariograma  y  aplicarle  las ecuaciones del kriging. Al final, el análisis requiere llevar la variable a su escala original.  Un caso que surge bastante en casos prácticos es el de la distribución log‐normal.    

 

1. Análisis de normalidad 

 1.1 ANÁLISIS GRÁFICO  

  

GRÁFICOS GENERALES   Características de la distribución de probabilidad normal tales como simetría y apuntamiento, pueden  ser  ilustradas por  los gráficos clásicos de  la estadística descriptiva, como el histograma, el diagrama de caja y bigotes, y el diagrama de tallo y hojas; a  continuación  estos gráficos para una muestra de una variable aleatoria con distribución de probabilidad normal:  

5560

6570

7580

85

Histogram of x

x

Freq

uenc

y

50 55 60 65 70 75 80 85

050

100

150

 Gráfico 1. Diagrama de caja e histograma de una muestra aleatoria proveniente de una 

distribución de probabilidad normal 

  Es  importante  recordar  que  el  histograma  no  es  único.    Por  lo  tanto,  para esperar  un  comportamiento  acampanado  del  histograma,  una  opción  es construir  los  intervalos  de  la  forma  ksx ± 1  con  3,2,1,0=k según  hasta  donde existan datos.  En algunas disciplinas se usa la construcción de los histogramas con  base  en  intervalos  “equiprobables”;  luego  en  este  caso  se  esperaría  un histograma con todos los rectángulos a la misma altura. 

1 El procedimiento de verificar que a 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media se encuentra respectivamente, el 68.26%, el 95.44% y el 99.74% de las observaciones se conoce como regla empírica.

 Gráfico 2. Diagrama de Tallo y hojas de una muestra aleatoria proveniente de una 

distribución de probabilidad normal 

 En este diagrama de tallo y hojas se observa claramente  la figura acampanada de forma horizontal.  Sin  embargo,  existe  un  gráfico  diseñado  exclusivamente  para  el  análisis  de normalidad:  

GRÁFICO QXQ  El gráfico cuantil‐cuantil, consiste en la comparación de los cuantiles muestrales con los poblacionales, de tal forma que entre mas similares sean estas dos series de  datos, mejor  será  el  ajuste  y  por  lo  tanto,  se  espera  que  el  diagrama  de dispersión entre ellos se aproxime bastante a una línea recta.  Los pasos para la construcción de este gráfico son los siguientes:  

1. Cuantiles  muestrales:  Se  ordenan  las  observaciones  nxxx ,,, 21 … de 

menor a mayor  )()2()1( ,,, nxxx … . El dato  )(ix   corresponderá al  cuantil 

(proporción) ni.  Por ejemplo, si la muestra tuviera 200 observaciones, el 

dato  )10(x  corresponderá al cuantil  (proporción)  %505.020010

== , ya 

que  el  5%  de  las  observaciones  son  inferiores  al  dato  )10(x .  Se  suele 

utilizar para corrección por continuidad  n

i )( 2/1− . 

2. Cuantiles poblacionales: Sean  nqqq ,,, 21 …  los cuantiles poblaciones, es 

decir,  iq  es el valor por debajo del cual se encuentran, una proporción de 

ni )( 2/1−  de datos de  la población. estos se encuentran aplicando a cada 

proporciòn muestral la distribución normal inversa:  

( )ii pq 1−Φ=   3. Se  ubican  en  el  plano  cartesiano  las  parejas  ordenadas  ( )( )ii xq ,   y  se 

analiza la cercanía a la linealidad de dicho gráfico. 

 Gráfico 3.  Cuantil‐Cuantil en el caso en el que la distribución normal ajusta adecuadamente 

los datos de la muestra. 

 En este caso, las observaciones se aproximan bastante a la recta y por lo tanto, se puede pensar en que el supuesto de normalidad es válido.  Todo el software estadístico lo tiene implementado.  A continuación un gráfico cuyo comportamiento evidencia que  la muestra no proviene de una distribución de probabilidad normal.     

-3 -2 -1 0 1 2 3

2000

040

000

6000

080

000

1000

0012

0000

norm quantiles

sala

rio

 Gráfico 4.  Cuantil‐Cuantil en el caso en el que la distribución normal no representa un buen 

ajuste para los datos de la muestra. 

 Si bien, el análisis gráfico, es muy importante e ilustrativo, continúa siendo una herramienta de estadística descriptiva y por  tanto no es concluyente.    Incluso cuando  se  tiene  prácticamente  la  certeza  sobre  el  comportamiento aproximadamente normal de  los datos, es necesaria  la aplicación de  inferencia estadística, ya que  la conclusión es acerca de  la distribución de  la variable de donde  proviene la muestra.   A continuación, se relacionan varias pruebas de normalidad.    

1.2 PRUEBAS DE HIPÓTESIS  

PRUEBA DE SHAPIRO Y WILK  Esta prueba se centra en determinar la bondad del ajuste de una recta al gráfico QQ.  Es exclusiva para probar normalidad.  

  

Donde     es la varianza muestral,  

   son los coeficientes tabulados para esta prueba y 

  es el j‐ésimo elemento de la muestra ordenada 

  

PRUEBAS BASADAS EN ASIMETRÍA Y CURTOSIS   

ASIMETRÍA  Si  50>n , el coeficiente de asimetría, tiene una distribución de probabilidad asintóticamente normal con parámetros  

( ) 0=AsE   y   ( )n

AsVar 6=  

Por lo tanto,      ( )0,1N~6n

AsZ =  

  

( )0,1N~6

nAsZ =  

  

CURTOSIS    Si  200>n ,  el  coeficiente de  curtosis,  tiene una distribución de probabilidad asintóticamente normal con parámetros  

( ) 3=kE   y  ( )n

kVar 24=  

 

Por lo tanto,      ( )0,1N~24

3

n

kZ −=  

  

( ) ( )0,1N~243 nkZ −

=  

  

PRUEBA DE JARQUE Y BERA (JB)   También  llamada  prueba  Ómnibus,  esta  involucra  simultáneamente  los coeficientes de asimetría y curtosis.  Se requiere que la muestra tenga al menos 200 observaciones.  

   

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI‐CUADRADO DE PEARSON  Algoritmo  

1. Construir una tabla de frecuencias, la cual en lo posible no tenga menos de 5 intervalos y además, no haya menos de 5 datos en cada intervalo. 

2. Encontrar  las  frecuencias  “esperadas”  según      ,  esto  es,  encontrar  , donde   es la probabilidad del intervalo i 

3. Calcular  el  estadístico  de  prueba  y  comparar  con  el  cuantil  teórico correspondiente   

   

PRUEBA DE KOLMOGOROV SMIRNOV  Esta prueba calcula la distancia entre la función de distribución muestral   y la función de distribución teórica supuesta en la  ,    Algoritmo 

 1. Encontrar la distribución de frecuencias muestral  

  Con base en la muestra ordenada   

 2. Encontrar la correspondiente distribución teórica 3. Calcular el estadístico de prueba  

  Su distribución exacta se encuentra tanto en los programas estadísticos como en varios libros de estadística no paramétrica.  

Nota 1 

 Cuando los parámetros de la función son estimados de la muestra, es necesario aplicar la corrección de Lilliefors a la distribución del  .  

TRANSFORMACIÓN BOX COX  La  familia de  transformaciones Box Cox, es de mucha utilidad cuando se han detectado  problemas  de  heterocedasticidad,  falta  de  normalidad  o  falta  de linealidad,   y  se buscan métodos para  realizar  las  respectivas  correcciones;  la muy  conocida  transformación  logarítmica  es  un  caso  particular  de  esta importante familia;  incluso, en muchas ocasiones se utiliza de forma mecánica sin tener en cuenta otras posibilidades.  La forma general de la familia de transformaciones Box Cox es la siguiente:  Si  0>iy  ; i∀ ,  ni ,,1…= .  Se define la nueva variable  ( )λy  como  

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

= 0 para log

0 para 1)(

λ

λλ

λ

λ

y

yy  

 En el caso en el cual no se cumpla  0>iy ;     i∀ , ni ,,1…=  se puede realizar una traslación de la variable y; en este caso quedaría 

 

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

≠−+

=+ 0 para log

0 para 1)(

λ

λλ

λ

λ

my

mymy  

La justificación para que la transformación sea  logy 0 para =λ es el uso de la regla de L’hospital:

   El valor de   que  logra  la mejor transformación de  la variable de  interés, es el que  maximiza la cantidad 

  

   es la estimación máximo verosímil de la varianza de la variable  .