11. Τεχνικές ανασκαφής, καταγραφής και δημιουργίας βάσεων δεδομένων για τη μελέτη οστεολογικού υλικού

Ευθυμία Νικήτα-Χριστίνα Παπαγεωργοπούλου

11.1 Ανασκαφή ανθρώπινων σκελετικών καταλοίπωνΚατά την ανασκαφή σκελετικών καταλοίπων, όπως και κάθε αρχαιολογικού υλικού, είναι ιδιαίτερα σημαντι-κό να έχουμε υπόψη ότι επιτελούμε μία καταστρεπτική διαδικασία, η οποία δεν μπορεί να επαναληφθεί σε περίπτωση κάποιου σφάλματος. Βασικό μέλημα πρέπει να είναι τόσο η ασφαλής αποκάλυψη του σκελετικού υλικού, όσο και η καταγραφή και αποτύπωση όσο το δυνατόν περισσότερων πληροφοριών αναφορικά με το πλαίσιο εύρεσης αυτού. Γι’ αυτόν τον σκοπό, πρέπει να χρησιμοποιηθούν διαφορετικά μέσα, όπως η τήρηση ημερολογίου ανασκαφής και η αναλυτική φωτογράφιση και σχεδίαση του σκελετού και του περιβάλλοντος χώρου, από τη στιγμή της εύρεσης έως την ώρα της απομάκρυνσης των καταλοίπων από την αρχαιολογική θέση.

Σε αρχική φάση, στόχος είναι να αποκαλυφθεί ο σκελετός πλήρως χωρίς να διαταραχτεί η διάταξή του, είτε πρόκειται για πρωτογενή είτε για δευτερογενή ταφή. Γι’ αυτόν τον λόγο, τα οστά των χεριών και των ποδιών αποκαλύπτονται τελευταία, εφόσον λόγω μεγέθους και σχήματος είναι πιο εύκολο να μετατοπιστούν. Είναι πολύ σημαντικό να τηρούνται αναλυτικές σημειώσεις σχετικά με πιθανές αλλαγές στο χρώμα και την υφή του χώματος, ίχνη ζωικής δραστηριότητας, φυτικά κατάλοιπα και ταφικά κτερίσματα (Εικ. 11.1). Όταν ολοκλη-ρωθεί η αποκάλυψη του σκελετού, καταγράφονται τα οστά που είναι παρόντα και ο βαθμός διατήρησής τους, καθώς και στοιχεία για το φύλο και την ηλικία, στο βαθμό που είναι δυνατό να προσδιοριστούν εκείνη τη στιγ-μή. Επιπρόσθετα, καταγράφεται ο προσανατολισμός και η στάση του σώματος, καθώς και άλλες πληροφορίες που σχετίζονται με τα ταφικά έθιμα (Εικ. 11.2-3).

Αφού τα κατάλοιπα φωτογραφηθούν, σχεδιαστούν και καταγραφούν στο ημερολόγιο ανασκαφής, τα οστά συλλέγονται και μεταφέρονται στο εργαστήριο για περαιτέρω αναλύσεις. Στο στάδιο της συλλογής, μάζες χώματος αφήνονται πάνω στα οστά, όταν αυτές παίζουν υποστηρικτικό ρόλο, κυρίως σε εύθραυστα στοιχεία, όπως η λεκάνη ή οι ωμοπλάτες. Ιδιαίτερα εύθρυπτα οστά θα πρέπει να τυλίγονται με αλουμινόχαρτο μαζί με τον όγκο χώματος στον οποίο είναι θαμμένα. Ο λεπτομερής καθαρισμός των οστών θα γίνει στο εργαστήριο, οπότε σ’ αυτήν τη φάση απομακρύνεται μόνο όσο χώμα, εμφανώς, περισσεύει. Τα οστά πρέπει να αφαιρεθούν ένα-ένα και να τοποθετηθούν σε χάρτινες ή πλαστικές σακούλες με τις κατάλληλες ενδείξεις (π.χ. ημερομη-νία, αριθμός τάφου, αριθμός σκελετού, τύπος σκελετικού στοιχείου, αρχικά ονόματος ανασκαφέα). Ιδανικά, τα αριστερά και τα δεξιά στοιχεία θα πρέπει να τοποθετηθούν σε ξεχωριστές σακούλες, ενώ οι επιφύσεις νεαρών ατόμων που δεν έχουν ακόμη συνοστεωθεί με τη διάφυση θα πρέπει να τοποθετηθούν στις σακούλες με τις αντίστοιχες διαφύσεις. Όταν το υλικό προέρχεται από πρωτογενείς ομαδικές ταφές, θα πρέπει να μην αναμειχθούν, σε καμία περίπτωση, τα σκελετικά κατάλοιπα δύο ή περισσότερων ατόμων κατά τη συλλογή των οστών. Να σημειωθεί ότι οι χάρτινες σακούλες αποσυντίθενται μέσα σε σχετικά μικρό χρονικό διάστημα, άρα δεν είναι κατάλληλες για τη μακροπρόθεσμη αποθήκευση του υλικού. Ωστόσο, έχουν το πλεονέκτημα ότι επιτρέπουν την απομάκρυνση της υγρασίας, σε αντίθεση με τις πλαστικές που διατηρούνται για περισσότερα χρόνια, αλλά κατακρατούν την υγρασία.

Το χώμα που απομένει στον χώρο ταφής θα πρέπει να κοσκινιστεί, ώστε να εντοπιστούν μικρότερα σκελε-τικά στοιχεία (π.χ. φάλαγγες, δόντια, βρεφικά οστά). Τέλος, θα πρέπει να ληφθούν δείγματα χώματος από την περιοχή του κρανίου, του θώρακα και της κοιλιακής χώρας, για να εξεταστούν εργαστηριακά, καθώς και μια ποσότητα χώματος από την περιοχή των ποδιών, για να χρησιμοποιηθεί ως δείγμα ελέγχου. Τα δείγματα για τις βιοχημικές και ιστολογικές αναλύσεις θα πρέπει να λαμβάνονται με καθαρά εργαλεία και με χρήση γαντιών, για να αποφευχθεί η μόλυνσή τους.

Εικόνα 11.1 Ανασκαφή μεσαιωνικού νεκροταφείου (11ος-15ος αιώνας μ.Χ.) από την αρχαιολογική θέση Tomils, Sohn Murezi.

Εικόνα 11.2 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής ταφικών ευρημάτων.

Εικόνα 11.3 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής σκελετού.

11.2 Καταγραφή σκελετικού υλικού και δημιουργία βάσεων δεδομένωνΚατά τις τελευταίες δεκαετίες, έχει καταστεί ξεκάθαρο ότι η αναλυτική μελέτη και καταγραφή του σκελετικού υλικού είναι ύψιστης σημασίας, κυρίως, λόγω των πιέσεων επανενταφιασμού αυτού του υλικού σε αρκετές περιπτώσεις. Τέτοιες πιέσεις είναι πιο κοινές στο εξωτερικό με χαρακτηριστικό παράδειγμα το κίνημα για τον επανενταφιασμό ιθαγενών Αμερικάνων (NAGPRA - Native American Graves Protection and Repatriation Act). Ωστόσο, και στην Ελλάδα υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες, λόγω έλλειψης αποθηκευτικών χώρων αλλά και θρησκευτικών πεποιθήσεων (κυρίως στην περίπτωση υλικού της Βυζαντινής εποχής), το σκελετικό υλικό επανενταφιάζεται. Η συνακόλουθη αδυναμία να μελετηθεί το υλικό αυτό σε βάθος χρόνου με αναλυτι-κότερα μέσα, καθιστά επιτακτική την, όσο το δυνατόν, διεξοδική μελέτη του, την αποτύπωσή του υπό μορφή σημειώσεων, φωτογραφιών και άλλων μέσων, καθώς και τη λήψη σκελετικών και οδοντικών δειγμάτων για εργαστηριακές αναλύσεις, προκειμένου να είναι εφικτή η μελλοντική επανεξέτασή του, ακόμη και αν το υλικό καθεαυτό δεν είναι διαθέσιμο.

Συγχρόνως, έχουν εντατικοποιηθεί οι προσπάθειες να διαμορφωθούν ενιαία συστήματα καταγραφής, για να είναι δημοσιευμένα αποτελέσματα διαφορετικών ερευνητών άμεσα συγκρίσιμα μεταξύ τους. Ενδεικτικό παράδειγμα αυτής της τάσης είναι το έργο των Buikstra & Ubelaker (1994), το οποίο προτείνει συγκεκριμένα πρωτόκολλα καταγραφής που καλύπτουν ποικίλες πτυχές της οστεολογικής ανάλυσης και απευθύνονται πρω-τίστως (αλλά όχι αποκλειστικά) σε Αμερικανούς επιστήμονες. Αντίστοιχη προσπάθεια στην Ευρώπη έγινε από το British Association of Biological Anthropology and Osteoarchaeology (Brickley & McKinley, 2004). Τέλος,

πρέπει να σημειωθεί ότι, προς αυτήν την κατεύθυνση, το Smithsonian Institution δημιούργησε το Osteoware, ένα δωρεάν λογισμικό που επιτρέπει την ηλεκτρονική καταγραφή σκελετικών δεδομένων.

Θα πρέπει να τονιστεί ότι, παρά τις παραπάνω προσπάθειες και τη σπουδαιότητα της τυποποίησης των πρωτοκόλλων καταγραφής, στην πράξη, δεν μπορεί να υπάρξει ένα ενιαίο σύστημα που να καλύπτει πλή-ρως όλες τις ανάγκες. Αντίθετα, κάθε μελετητής είναι υποχρεωμένος να διαμορφώνει τα δικά του συστήμα-τα καταγραφής που θα περιλαμβάνουν περισσότερες ή λιγότερες λεπτομέρειες, ανάλογα με τα ερευνητικά ερωτήματα και τους πρακτικούς περιορισμούς, όπως ο διαθέσιμος χρόνος και τα τεχνικά μέσα. Παρακάτω, προσδιορίζονται κάποιες βασικές αρχές που πρέπει να διέπουν κάθε σκελετική μελέτη και δίνονται ενδεικτικά πρωτόκολλα καταγραφής.

Κατά τη μελέτη του σκελετικού υλικού στο εργαστήριο, οι βασικές πληροφορίες που πρέπει να καταγρα-φούν, καταρχήν, σχετίζονται με τη διατήρηση του υλικού. Αυτές οι πληροφορίες περιλαμβάνουν τον βαθμό πληρότητας για κάθε σκελετό, δηλαδή ποια οστά (και ποια τμήματα οστών) είναι παρόντα (Εικ. 11.4). Η καταγραφή του βαθμού πληρότητας μπορεί να είναι υποτυπώδης, δηλαδή να σημειωθούν τα οστά που είναι παρόντα χωρίς να δευκρινίζεται αν είναι ακέραια ή αποσπασματικά, ή πιο αναλυτική, δηλαδή να δίνονται με λεπτομέρεια οι ανατομικές μονάδες που διατηρούνται ανά οστό. Σε κάθε περίπτωση, είναι βασικό να δίνονται αρκετές πληροφορίες για να μπορεί αργότερα να υπολογιστεί η συχνότητα διαφορετικών παθήσεων στο δείγ-μα. Για παράδειγμα, είναι βασικό να σημειωθούν οι αρθρικές επιφάνειες που σώζονται σε κάθε σκελετό για να υπολογιστεί, στη συνέχεια, η συχνότητα οστεοαρθρίτιδας στο σκελετικό σύνολο που εξετάζεται. Μία ακόμη βασική παράμετρος που πρέπει να σημειωθεί είναι ο βαθμός κατακερματισμού (fragmentation) των οστών, εφόσον δίνει στοιχεία για τις πληροφορίες που είμαστε σε θεση να αντλήσουμε από το υλικό που μελετάται και συνδέεται με μεταποθετικές δραστηριότητες ή πολιτισμικές πρακτικές. Τέλος, ο βαθμός διάβρωσης της επιφάνειας των οστών, επίσης, πρέπει να καταγραφεί εφόσον επηρεάζει την αναγνώριση διαφόρων παθήσεων και δεικτών δραστηριότητας. Για την καταγραφή των επιπέδων διατήρησης, εκτός από τη λήψη σημειώσεων, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν φωτογραφίες και, ενίοτε, ακτινογραφίες και διαγράμματα.

Παράλληλα με την καταγραφή των σκελετικών στοιχείων που διατηρούνται, θα πρέπει να γίνει κατάλογος και των δοντιών (Εικ. 11.5). Αυτό, μεταξύ άλλων, θα διευκολύνει αργότερα τον υπολογισμό της συχνότη-τας διαφορετικών οδοντικών παθήσεων. Κατά κανόνα, κάθε δόντι βαθμολογείται ως: 1) απόν μεταποθετικά (postmortem tooth loss), 2) παρόν, αλλά απουσιάζει το συνανήκον φατνίο (loose tooth), 3) απόν προθανάτια (antemortem tooth loss), 4) παρόν, αλλά θρυμματισμένο, 5) παρόν, αλλά με ίχνη παθήσεων που εμποδίζουν τη λήψη μετρήσεων και τη μελέτη μη μετρήσιμων χαρακτήρων, 6) υπό έκφυση (erupting), 7) στο φατνίο (unerupted).

Αφού ολοκληρωθεί ο κατάλογος οστών και δοντιών, πρέπει να προσδιοριστούν το φύλο και η ηλικία, να ληφθούν μετρήσεις από το κρανίο και τον μετακρανιακο σκελετό, να καταγραφούν παθολογικά ίχνη, μη μετρήσιμοι χαρακτήρες και δείκτες δραστηριότητας ανά σκελετό και οστό (Εικ. 11.6-12). Σε όλες τις περι-πτώσεις, πρέπει να διευκρινίζονται οι μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν, καθώς διαφορετικές μέθοδοι έχουν διαφορετικά επίπεδα ακριβείας.

Για τα σύνολα στα οποία τα σκελετικά στοιχεία δεν είναι αρθρωμένα, αλλά διάσπαρτα σε μη ανατομική διάταξη, η διαδικασία καταγραφής πρέπει να περιλαμβάνει αναλυτικό κατάλογο όλων των στοιχείων και του βαθμού διατήρησης του καθενός (ακέραιο ή τμηματικό, στην περίπτωση τμηματικής διατήρησης τα τμήματα που σώζονται). Επιπλέον, αλλοιώσεις λόγω φυσικού περιβάλλοντος, ζωικής δραστηριότητας, αλλά και ανθρώ-πινης δραστηριότητας, θα πρέπει να σημειωθούν αναφορικά με τον τύπο τους και την ανατομική θέση στην οποία εμφανίζονται. Η ανάγκη αναλυτικής καταγραφής του βαθμού διατήρησης των σκελετικών στοιχείων οφείλεται στο γεγονός ότι οι πληροφορίες αυτές μπορούν να δώσουν στοιχεία για τους παράγοντες που οδήγη-σαν στη διαμόρφωση του συνόλου που εξετάζεται. Μπορούμε, δηλαδή, να προσδιορίσουμε αν η ανάμειξη των οστών οφείλεται σε φυσικούς ή πολιτισμικούς παράγοντες. Επίσης, σε σύνολα με ανάμεικτα μη αρθρωμένα οστά πρέπει να προσδιοριστεί ο ελάχιστος αριθμός ατόμων (Minimum Number of Individuals – MNI) και, αν είναι δυνατόν, ο πλέον πιθανός αριθμός ατόμων (Most Likely Number of Individuals – MLNI). Το φύλο και η ηλικία των ατόμων που εκπροσωπούνται στο σύνολο πρέπει επίσης να δηλωθούν, ακόμη κι αν δεν είναι εφικτή η διάκριση των επιμέρους σκελετών. Η ύπαρξη παθολογικών αλλοιώσεων πρέπει να καταγραφεί ανά σκελετικό στοιχείο, ενώ μετρήσεις πρέπει να ληφθούν από το κρανίο και τον μετακρανιακό σκελετό για όλα τα επαρκώς διατηρημένα σκελετικά στοιχεία. Τέλος, μετρήσιμοι και μη μετρήσιμοι χαρακτήρες πρέπει να καταγραφούν ανά σκελετικό στοιχείο.

Εικόνα 11.4 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής σκελετικών στοιχείων.

Εικόνα 11.5 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής δοντιών.

Εικόνα 11.6 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής αλλοιώσεων στις ενθέσεις.

Εικόνα 11.7 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής οδοντικών διαστάσεων για τα νεογιλά δόντια.

Εικόνα 11.8 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής οδοντικών διαστάσεων για τα μόνιμα δόντια.

Εικόνα 11.9 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής οδοντικής φθοράς για τα μόνιμα δόντια.

Εικόνα 11.10 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής μετακρανιακών μετρήσεων.

Εικόνα 11.11 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής κρανιακών μετρήσεων.

Εικόνα 11.12 Ενδεικτικό φύλλο καταγραφής μη μετρήσιμων χαρακτήρων.

11.3 Στατιστική ανάλυση σκελετικών δεδομένων Στο υποκεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται συνοπτικά οι βασικές αρχές της στατιστικής ανάλυσης με οστεο-λογικά παραδείγματα. Επίσης, δίνονται σύντομες οδηγίες για την εφαρμογή των διάφορων αναλύσεων στο στατιστικό λογισμικό PAST, την τελευταία έκδοση του οποίου (PAST 3) μπορείτε να λάβετε δωρεάν από τον ιστότοπο: http://folk.uio.no/ohammer/past/

11.3.1 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής και ορισμοί Η στατιστική είναι ο επιστημονικός κλάδος που ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, αξιολόγηση και παρου-σίαση δεδομένων. Διακρίνεται σε δύο βασικούς κλάδους: την περιγραφική στατιστική και την εκτιμητική στατιστική. Η περιγραφική στατιστική περιλαμβάνει τεχνικές για τη συνοπτική περιγραφή και παρουσίαση αρχαιολογικών δεδομένων, ενώ η εκτιμητική στατιστική αφορά μεθόδους εξαγωγής συμπερασμάτων από την ανάλυση αρχαιολογικών δεδομένων.

Βασικές έννοιες της στατιστικής είναι το δείγμα (sample) και ο πληθυσμός (population). Δείγμα είναι μια συλλογή ομοειδών δεδομένων. Για παράδειγμα, αν σε 5 σκάμματα μίας αρχαιολογικής θέσης ανακαλύφθηκαν 50 ανθρώπινοι σκελετοί, αυτοί αποτελούν το δείγμα σκελετικού υλικού της θέσης αυτής. Πληθυσμός είναι

το πλήθος όλων των δυνατών δεδομένων που μπορούμε να συλλέξουμε. Στο παράδειγμα που αναφέραμε, ο πληθυσμός αποτελείται από τα σκελετικά κατάλοιπα όλων των ατόμων που έζησαν ποτέ στην αρχαιολογική θέση (όχι μόνο στα 5 σκάμματα που ερευνήσαμε).

Θεωρητικά, θα ήταν ιδανικό σε κάθε έρευνα να μελετήσουμε ολόκληρο τον πληθυσμό. Ωστόσο, αρκε-τές θέσεις και αρχαιολογικά κατάλοιπα έχουν καταστραφεί μεταποθετικά. Επίσης, η μελέτη ολόκληρου του πληθυσμού μπορεί να είναι χρονοβόρα και οικονομικά ασύμφορη, ενώ συγκεκριμένες αναλύσεις είναι κατα-στρεπτικές, οπότε είναι σκόπιμο να επιλέξουμε για την εφαρμογή τους μόνο ένα υποσύνολο. Για τους λόγους αυτούς, συνήθως, προτού προχωρήσουμε σε στατιστικές αναλύσεις, πραγματοποιούμε δειγματοληψία, δη-λαδή επιλέγουμε ένα υποσύνολο αντικειμένων απ’ αυτά που έχουν ανασκαφεί και εστιάζουμε τη μελέτη μας σ’ αυτά. Προκειμένου το δείγμα να είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται, θα πρέπει να είναι τυχαίο. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι σε μία αρχαιολογική θέση βρέθηκαν 500 σκελετοί, αλλά λόγω περιορισμένου χρόνου και χρηματοδότησης έχουμε το περιθώριο να μελετήσουμε μόνο τους 100. Εάν επιλέξουμε να μελετήσουμε μόνο ενήλικα άτομα, το δείγμα μας δεν είναι αντιπροσωπευτικό και οδηγεί σε εσφαλμένη δημογραφική εικόνα για τον πληθυσμό της αρχαιολογικής θέσης, εφόσον δίνει την εντύπωση ότι κανένα μέλος της κοινότητας δεν πέθανε προτού φτάσει στην ενηλικίωση. Αυτό με τη σειρά του οδηγεί σε λανθασμένα συμπεράσματα αναφορικά με το επίπεδο διαβίωσης του συγκεκριμένου πληθυσμού. Αντίθετα, εάν από τους 500 σκελετούς επιλέξουμε τυχαία τους 100, δηλαδή, χωρίς να γνωρίζουμε προκαταβολικά το φύλο, την ηλικία και άλλα στοιχεία αυτών, τότε έχουμε ένα τυχαίο δείγμα.

Στη στατιστική, μεταβλητή (variable) είναι κάθε χαρακτηριστικό ενός υλικού καταλοίπου. Οι μεταβλητές χωρίζονται σε ποσοτικές (quantitative) και ποιοτικές ή κατηγορικές (qualitative/categorical). Οι ποσοτικές μεταβλητές αντιστοιχούν σε μεγέθη που μπορούν να μετρηθούν, όπως το μήκος του μηριαίου, η μέγιστη διάμετρος της διάφυσης του βραχιόνιου κλπ. Οι ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές δεν αντιστοιχούν σε μετρήσιμα μεγέθη, αλλά εκφράζουν γενικά ποιοτικά χαρακτηριστικά του πληθυσμού. Διακρίνονται σε ονομα-στικές (nominal) και σειριακές (ordinal). Οι ονομαστικές δεν έχουν καμιά σειρά ή σχέση μεταξύ τους, π.χ. μια μεταβλητή που δηλώνει το φύλο ενός σκελετού και παίρνει τις τιμές ‘αρσενικό’ και ‘θηλυκό’. Σ’ αυτήν την περίπτωση, μπορεί να πάρει και τις τιμές 1 και 2, όπου το 1 αντιστοιχεί στο αρσενικό και το 2 στο θηλυκό. Οι σειριακές μεταβλητές υποδηλώνουν μια σειριακή σχέση, π.χ. σε παλαιοπαθολογικά δεδομένα, τα επίπεδα εκ-δήλωσης οστεοαρθρίτιδας μπορεί να πάρουν τις τιμές ‘ήπια’, ‘μέτρια’, ‘σοβαρή’ ή αντίστοιχα τις τιμές 1, 2, 3.

11.3.2 Περιγραφική ΣτατιστικήΗ περιγραφική στατιστική είναι ο κλάδος της στατιστικής που αναπτύσσει μεθόδους για τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίαση δεδομένων με τη χρήση: 1) αριθμητικών περιγραφικών μέτρων, 2) πινάκων συχνοτήτων και 3) γραφημάτων.

11.3.3 Αριθμητικά μέτραΓια να χαρακτηρίσουμε τις ιδιότητες ενός δείγματος, υπάρχει μία πληθώρα από αριθμητικά μέτρα. Τα πιο βασικά απ’ αυτά παρουσιάζονται στον Πίνακα 1, ομαδοποιημένα σε δύο κατηγορίες: μέτρα θέσης και μέτρα διασποράς. Τα μέτρα θέσης δίνουν πληροφορίες που σχετίζονται με τη θέση των δεδομένων, αν θεωρήσουμε ότι θέτουμε τα δεδομένα σε έναν άξονα. Τα μέτρα διασποράς ελέγχουν πόσο διασκορπισμένα είναι τα δεδομέ-να γύρω από κάποια κεντρική τιμή του δείγματος.

Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς

Μέση τιμή (mean)Διάμεσος (median)

Κορυφή (mode)Πρώτο τεταρτημόριο (1st quartile)Τρίτο τεταρτημόριο (3rd quartile)

Διασπορά (variance)Τυπική απόκλιση (standard deviation)

Μέγιστη τιμή (maximum)Ελάχιστη τιμή (minimum)

Ενδοτεταρτημοριακό εύρος (interquartile range)

Πίνακας 11.1 Αριθμητικά μέτρα

• Η μέση τιμή είναι η τιμή γύρω από την οποία βρίσκονται συγκεντρωμένες οι τιμές του δείγματος και συμβολίζεται με . Έστω το δείγμα τιμών x1, x2, ..., xm. Η μέση τιμή του δείγματος ορίζεται από τη σχέση:

(11.3.1)Για παράδειγμα, εάν έχουμε υπολογίσει το ύψος 5 σκελετών σε cm ως: 162, 158, 166, 171, 160, η μέση

τιμή είναι: (162 + 158 + 166 + 171 + 160)/5 = 817/5 = 163.4 cm• Η διασπορά συμβολίζεται με s2 και δείχνει τη διασπορά των τιμών ενός δείγματος γύρω από τη

μέση του τιμή. Αν η s2 έχει μεγάλες τιμές, τότε υπάρχει μεγάλη διασπορά στις τιμές του δείγματος. Η διασπορά ορίζεται από τη σχέση:

(11.3.2)Στο παραπάνω παράδειγμα με τα ύψη σκελετών, η διασπορά ισούται με: [(162-163.4)2 + (158-163.4)2 +

(166-163.4)2 (171-163.4)2 +(160-163.4)2 /(75-1) = 107.2 cm2

To πρόβλημα με τη διασπορά είναι ότι οι τιμές της είναι στο τετράγωνο, γεγονός που δεν έχει φυσική ση-μασία. Χαρακτηριστικά, στο παραπάνω παράδειγμα, η διασπορά του ύψους δίνεται σε τετραγωνικά εκατοστά. Για τον λόγο αυτόν, αντί της διασποράς, χρησιμοποιείται η τυπική απόκλιση. Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς, δηλαδή είναι η ποσότητα s. Είναι φανερό ότι και η τυπική απόκλιση είναι μέτρο των αποκλίσεων των τιμών του δείγματος από τη μέση τιμή. Πρέπει να σημειωθεί ότι στα δείγματα που ακολουθούν την κανονική κατανομή (βλέπε παρακάτω για ορισμό) ισχύει ότι το 68% των τιμών του δείγ-ματος βρίσκονται σε απόσταση μιας τυπικής απόκλισης από τη μέση τιμή και το 95% σε απόσταση περίπου δύο τυπικών αποκλίσεων. Η τυπική απόκλιση του παραδείγματος που εξετάζουμε είναι: = 10.35 cm.

• Η διάμεσος είναι η “μεσαία” τιμή ενός δείγματος, δηλαδή οι μισές τιμές του δείγματος είναι μικρό-τερες ή ίσες με τη διάμεσο και οι υπόλοιπες μισές μεγαλύτερες ή ίσες με τη διάμεσο. Το πλεονέκτη-μά της έναντι της μέσης τιμής είναι ότι δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές (outliers), δηλαδή τιμές που είναι πολύ μεγάλες ή πολύ μικρές σε σχέση με την πλειοψηφία των τιμών του δείγματος. Για να βρούμε τη διάμεσο στο παράδειγμα με τα σκελετικά ύψη, διατάσσουμε τις τιμές του δείγματος κατά αύξουσα σειρά (από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη): 158, 160, 162, 166, 171. Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή, δηλαδή 162 cm. Στην περίπτωση που το δείγμα αποτελείται από άρτιο αριθμό δεδομένων, η διάμεσος προκύπτει από το ημι-άθροισμα των δύο μεσαίων τιμών.

• Η κορυφή είναι η μέτρηση με τη μεγαλύτερη συχνότητα σε ένα δείγμα και αφορά κυρίως δείγματα με διακριτές τιμές, δηλαδή δείγματα που αποτελούνται από ακέραιους αριθμούς. Έτσι, στο παρά-δειγμα με τα ύψη δεν υπάρχει κορυφή, εφόσον η κάθε τιμή εμφανίζεται μόνο μια φορά.

• Κάθε δείγμα έχει τρία τεταρτημόρια (quartiles). Το πρώτο τεταρτημόριο (Q1) είναι η τιμή του δείγ-ματος για την οποία ισχύει ότι το 25% των τιμών του δείγματος είναι μικρότερες ή ίσες μ’ αυτήν. Το δεύτερο τεταρτημόριο είναι η διάμεσος. Το τρίτο τεταρτημόριο (Q3) είναι η τιμή του δείγματος για την οποία ισχύει ότι το 75% των τιμών του δείγματος είναι μικρότερες ή ίσες μ’ αυτήν. Η διαφορά Q3-Q1 είναι το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Τα τεταρτημόρια χρησιμοποιούνται, σχεδόν αποκλει-στικά, για την κατασκευή θηκογραμμάτων, όπως θα δούμε παρακάτω.

• Η μέγιστη τιμή είναι η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος, ενώ η ελάχιστη τιμή είναι η μικρότερη τιμή του δείγματος. Στο παράδειγμα με τα ύψη η μέγιστη τιμή είναι 171 cm και η ελάχιστη είναι 158 cm.

Για να διακρίνουμε τη μέση τιμή , διασπορά s2 και τυπική απόκλιση s ενός δείγματος από τα αντίστοιχα μέτρα του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται το δείγμα, η μέση τιμή, διασπορά και τυπική απόκλιση του πληθυσμού συμβολίζονται με μ, σ2 και σ αντίστοιχα.

Υπολογισμός αριθμητικών μέτρων στο PAST

Έστω ότι έχουμε ένα δείγμα με τις τιμές σε cm του μήκους του μηριαίου οστού 20 σκελετών που αντιστοιχούν σε ενήλικους άνδρες και θέλουμε να προσδιορίσουμε τα αριθμητικά μέτρα του δείγματος αυτού:

Στο PAST οι τιμές του δείγματος που εξετάζουμε οργανώνονται σε μια στήλη (Εικ. 11.13-αριστερά). Επι-λέγουμε τη στήλη αυτή και χρησιμοποιούμε το μενού: Univariate → Summary statistics. Παίρνουμε τα απο-τελέσματα της Εικ.11.13-δεξιά.

Εικόνα 11.13 Διευθέτηση δεδομένων στο PAST (αριστερά) και υπολογισμός αριθμητικών μέτρων (δεξιά).

Παρατηρούμε ότι το PAST υπολογίζει 13 αριθμητικά μέτρα. Σ’ αυτά, 25 prcntil και 75 prcntil είναι το πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο, αντίστοιχα. Από τα αποτελέσματα του PAST παίρνουμε ότι η μέση τιμή του δείγματος και η τυπική απόκλιση είναι 45,79 cm και 7,14 cm, αντίστοιχα. Οι τιμές αυτές μαζί με την ελάχιστη και μέγιστη τιμή του δείγματος ουσιαστικά συμπυκνώνουν όλες τις ιδιότητές του, αν μάλιστα λάβουμε υπόψη ότι περίπου το 68% των τιμών του δείγματος βρίσκεται σε απόσταση μιας τυπικής απόκλισης από τη μέση τιμή, δηλαδή στο διάστημα από 45,79-7,14 = 38,65 έως 45,79+7,14 = 52,93.

11.3.4 Πίνακες συχνοτήτωνΟι πίνακες συχνοτήτων παρουσιάζουν με περιληπτικό τρόπο τα δεδομένα, όταν οι μεταβλητές είναι ποιοτι-κές/κατηγορικές. Έστω x1, x2, …, xm οι τιμές μιας μεταβλητής x σε ένα δείγμα. Ονομάζουμε συχνότητα της τιμής xi τον φυσικό αριθμό νi που δείχνει πόσες φορές επαναλαμβάνεται η τιμή xi στο δείγμα. Αν v = v1 + v2 + … + vm, τότε ο λόγος: fi = νi/ν ονομάζεται σχετική συχνότητα της τιμής xi, ενώ η ποσότητα 100 * νi/ν είναι η εκατοστιαία συχνότητα.

Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε ένα δείγμα από 25 ανδρικούς σκελετούς και 17 γυναικείους. Η συχνότητα των ανδρικών σκελετών είναι fα = 25/42, εφόσον υπάρχουν 25 ανδρικοί σκελετοί σε ένα σύνολο 42 σκελετών. Αντίστοιχα, η εκατοστιαία συχνότητα είναι 100*25/42 = 59.524%

11.3.5 ΓραφήματαΟι παραπάνω μέθοδοι είναι χρήσιμες για την περιληπτική απόδοση των χαρακτηριστικών ενός δείγματος. Ωστόσο, ο πλέον αποτελεσματικός τρόπος παρουσίασης ποσοτικών και ποιοτικών δεδομένων είναι τα γραφή-ματα. Τα πιο βασικά γραφήματα αφορούν ποσοτικά δεδομένα και είναι τα ιστογράμματα (histograms) και τα θηκογράμματα (boxplots).

Για να σχεδιάσουμε ιστογράμματα θα πρέπει, πρώτα, να διαιρέσουμε το εύρος των τιμών της μεταβλητής του δείγματος σε κλάσεις (classes). Συγκεκριμένα, αν xmin και xmax είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της μεταβλητής, διαιρούμε το διάστημα xmax - xmin σε k υποδιαστήματα εύρους Δx = (xmax-xmin)/k, που ονομάζονται κλάσεις και σε κάθε κλάση υπολογίζουμε το σύνολο των τιμών της μεταβλητής που ανήκουν σ’ αυτήν. Η πο-σότητα αυτή είναι η συχνότητα της κλάσης. Για να κατασκευάσουμε τώρα το ιστόγραμμα, τοποθετούμε στον οριζόντιο άξονα τις κλάσεις στις οποίες χωρίζονται οι τιμές του δείγματος και σε κάθε κλάση αντιστοιχίζουμε μια ορθογώνια στήλη με ύψος ίσο με τη συχνότητα της κλάσης.

Το θηκόγραμμα απαρτίζεται από ένα ορθογώνιο με δύο κεραίες, η μία στην κάτω βάση του ορθογωνίου και η άλλη στην επάνω βάση του. Οι κεραίες έχουν τη μορφή Τ και αντεστραμμένου Τ, αντίστοιχα. Η κάτω βάση του ορθογωνίου βρίσκεται στο Q1 και η επάνω στο Q3. Η διάμεσος αναπαρίσταται με ένα ευθύγραμμο ορι-ζόντιο τμήμα στο εσωτερικό του ορθογωνίου. Οι κεραίες, φράκτες (whiskers), εκτείνονται μέχρι τις οριακές τιμές που είναι η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος, η οποία (μεγαλύτερη τιμή) είναι μικρότερη ή ίση από Q3 + 1.5(Q3 - Q1), και η μικρότερη τιμή του δείγματος η οποία είναι μεγαλύτερη ή ίση από Q1 – 1.5(Q3 - Q1) (Εικ. 11.14). Αν η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή του δείγματος βρίσκονται εντός των περιοχών αυτών, τότε οι φράκτες μετατοπίζονται στη μέγιστη ή στην ελάχιστη τιμή. Αν υπάρχουν ακραίες τιμές, αυτές εμφανίζονται ως σημεία εκτός των κεραιών.

Εικόνα 11.14 Θηκογράμματα.

Σχεδίαση ιστογραμμάτων και θηκογραμμάτων στο PAST

Έστω ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε το ιστόγραμμα και το θηκόγραμμα των τιμών του δείγματος με τα μήκη των μηριαίων οστών. Για τη σχεδίαση του ιστογράμματος επιλέγουμε τη στήλη των τιμών του δείγματος και χρησιμοποιούμε το μενού: Plot → Histogram, ενώ για το θηκόγραμμα επιλέγουμε το μενού: Plot → Barchart/Boxplot. Στο παράθυρο διαλόγου που εμφανίζεται για τα θηκογράμματα, ενεργοποιούμε την επιλογή boxplot, αλλιώς το PAST σχεδιάζει ραβδογράμματα.

Εικόνα 11.15 Ιστόγραμμα του δείγματος με τα μήκη των 20 μηριαίων οστών.

Εικόνα 11.16 Θηκόγραμμα του δείγματος των μηριαίων οστών.

Παίρνουμε τα διαγράμματα των Εικ. 11.15 και 11.16.Παρατηρούμε και στις δύο εικόνες μία συμμετρική κατανομή των τιμών του δείγματος γύρω από τη μέση

τιμή. Αν στο ιστόγραμμα παρατηρηθούν δύο διακριτές κατανομές, είναι πιθανό το δείγμα να μην είναι ομοι-ογενές, που σημαίνει ότι τα δεδομένα προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς. Όμως σ’αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί, επειδή σε δείγματα με τιμές μικρότερες από 100, η μορφή του ιστογράμματος επηρεάζεται από τον αριθμό των κλάσεων που επιλέγουμε.

Αντίθετα, το πλήθος των τιμών του δείγματος δεν επηρεάζει τη μορφή των θηκογραμμάτων. Τα θηκογράμ-ματα μας επιτρέπουν να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα δείγματα και να διαπιστώσουμε αν υπάρχουν τιμές που μπορεί να θεωρηθούν ακραίες. Για τον σκοπό αυτόν, ενεργοποιούμε την επιλογή Outliers (Εικ. 15) και αν υπάρχουν ακραίες τιμές, αυτές θα εμφανιστούν ως σημεία έξω από τις κεραίες. Η ύπαρξη ακραίων τιμών παίζει καθοριστικό ρόλο στην επιλογή της στατιστικής ανάλυσης που θα εφαρμοστεί στα δεδομένα, όπως περιγράφεται παρακάτω.

11.4 Εκτιμητική Στατιστική

11.4.1 Εισαγωγικές έννοιεςΣυχνά, ως ανθρωπολόγοι, καλούμαστε να συγκρίνουμε τα χαρακτηριστικά δύο ή περισσότερων αρχαιολογι-κών πληθυσμών (π.χ. παθήσεις, ύψος, δημογραφικά στοιχεία) και να συνάγουμε συμπεράσματα σχετικά με τον τρόπο ζωής και την επίδραση του περιβάλλοντος. Σ’ αυτές τις περιπτώσεις, διατυπώνουμε στατιστικές υποθέσεις και, ακολούθως, τις ελέγχουμε για να δούμε αν θα τις αποδεχθούμε ή όχι και με ποιο τίμημα. Οι στατιστικές υποθέσεις που μπορούν να διατυπωθούν και μετά να ελεγχθούν είναι αυστηρά προσδιορισμένες και εξαρτώνται από το πρόβλημα που θέλουμε να αντιμετωπίσουμε. Έτσι, σε κάθε πρόβλημα διατυπώνονται δύο υποθέσεις: η μηδενική (null hypothesis), Η0, και η εναλλακτική της (alternative hypothesis), Η1. Κατά κανόνα, η μηδενική υπόθεση δέχεται ότι οι διαφορές σε δύο ή περισσότερα δείγματα οφείλονται μόνο σε τυ-χαία σφάλματα, δηλαδή δεν υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος παράγοντας που επιδρά στις τιμές των δειγμάτων και τα διαφοροποιεί. Αντίθετα, η εναλλακτική υπόθεση δέχεται ότι υπάρχει κάποιος παράγοντας που προξενεί τις παρατηρούμενες διαφορές, άρα οι διαφορές αυτές δεν είναι τυχαίες, αλλά είναι στατιστικά σημαντικές.

Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε δύο δείγματα με μέσες τιμές και και θέλουμε να ελέγξουμε αν αυ-τές οι μέσες τιμές παρουσιάζουν ή όχι στατιστικά σημαντική διαφορά. Οι μέσες τιμές , θα είναι στατιστι-κά ίσες, αν τα δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς που έχουν ίσες μέσες τιμές, μ1 = μ2, και διαφορετικές, αν μ1 ≠ μ2. Συνεπώς, οι στατιστικές υποθέσεις που μπορούμε να διατυπώσουμε είναι δύο:

Η0: Τα δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς με μέσες τιμές μ1 = μ2Η1: Τα δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς με μέσες τιμές μ1 ≠ μ2 ή μ1> μ2 ή μ1< μ2όπου από τις τρεις εναλλακτικές πρέπει να επιλέξουμε τη μία. Εναλλακτικά, για το ίδιο πρόβλημα θα μπο-

ρούσαμε να εξετάσουμε τη μηδενική υπόθεση:

Η0: Τα δείγματα προέρχονται από τον ίδιο πληθυσμόμε εναλλακτική:Η1: Τα δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς με διαμέσους d1 ≠ d2 ή την:Η1: Τα δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς με διαμέσους d1 > d2 (d1 < d2)Θα πρέπει να προσέξουμε ότι η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση εκφράζονται πάντα με όρους πληθυ-

σμού και όχι δείγματος. Όταν η εναλλακτική υπόθεση διατυπώνεται με το σύμβολο ≠, ο έλεγχος ονομάζεται δίπλευρος (two-tailed), ενώ, αν διατυπώνεται με το σύμβολο της ανισότητας, > ή <, ονομάζεται μονόπλευρος (one-tailed).

11.4.2 Έλεγχος της μηδενικής υπόθεσηςΠροκειμένου να εξετάσουμε κατά πόσο η μηδενική υπόθεση ισχύει, θέτουμε ένα όριο που ονομάζεται επίπε-δο ή στάθμη σημαντικότητας (significant level), συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα α, και είναι η μέγιστη πιθανότητα με την οποία δεχόμαστε να κάνουμε σφάλμα, απορρίπτοντας μια σωστή μηδενική υπόθεση. Η τιμή που συνήθως χρησιμοποιούμε στην ανθρωπολογία/αρχαιολογία είναι α = 0.05. Αυτό σημαίνει ότι η πιθα-νότητα να απορρίψουμε μια σωστή μηδενική υπόθεση είναι μικρότερη από 5%. Ακολούθως, με το κατάλληλο στατιστικό πρόγραμμα υπολογίζουμε την τιμή p (p-value), που είναι ένα μέτρο της μέγιστης πιθανότητας να κάνουμε λάθος απορρίπτοντας τη μηδενική υπόθεση, ενώ αυτή είναι σωστή.

Όταν η τιμή p-value είναι μικρότερη του α, η μηδενική υπόθεση μπορεί να απορριφθεί με κίνδυνο σφάλμα-τος 100α %. Όσο μικρότερη είναι η τιμή p-value σε σχέση με το επίπεδο σημαντικότητας α, τόσο πιο σίγουροι είμαστε για την απόφασή μας να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. Σ’ αυτήν την περίπτωση αποδεχόμαστε την εναλλακτική Η1. Αν p-value > α, δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση επειδή αυξάνεται πολύ ο κίνδυνος να κάνουμε λάθος. Όμως, ταυτόχρονα, αποφεύγουμε και να την αποδεχτούμε ως σωστή επει-δή δεν γνωρίζουμε τον κίνδυνο σφάλματος. Μόνο αν το δείγμα είναι πολύ μεγάλο μπορούμε να αποδεχτούμε τη μηδενική υπόθεση ως σωστή, αλλά και πάλι με επιφυλάξεις. Συνεπώς θα πρέπει να τονιστεί και να γίνει κατανοητό ότι οι στατιστικοί έλεγχοι απαντούν με τρόπο θετικό μόνο στην απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης,

Οι στατιστικοί έλεγχοι διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: σε παραμετρικούς και μη παραμετρικούς ελέγ-χους. Παραμετρικοί είναι εκείνοι οι έλεγχοι οι οποίοι για να εφαρμοστούν απαιτείται τα δεδομένα του δείγμα-τος να προέρχονται από πληθυσμούς που ακολουθούν την κανονική κατανομή. Ένας πληθυσμός είναι κανονι-κός ή ακολουθεί την κανονική κατανομή, όταν το ιστόγραμμα των τιμών του είναι συμμετρικό, κωδωνοειδές και επιπλέον το 68% των τιμών του βρίσκεται σε απόσταση μιας τυπικής απόκλισης από τη μέση τιμή, το 95% των τιμών σε απόσταση 1.96 τυπικών αποκλίσεων από τη μέση τιμή, και το 99% των τιμών σε απόσταση 2.576 τυπικών αποκλίσεων από τη μέση τιμή. Τις ίδιες ιδιότητες έχουν και τα δείγματα που προέρχονται από έναν κανονικό πληθυσμό. Για παράδειγμα, στην Εικόνα 17 δίνεται το ιστόγραμμα ενός δείγματος που αποτε-λείται από τις τιμές του πάχους του χείλους 40 νεολιθικών αγγείων.

Εικόνα 11.17 Παράδειγμα δείγματος που ακολουθεί την κανονική κατανομή.

Ως μη παραμετρικοί έλεγχοι ορίζονται εκείνες οι μέθοδοι της στατιστικής στις οποίες δεν απαιτούνται παρα-δοχές σχετικά με την κατανομή των δεδομένων. Μια ενδιαφέρουσα διαφοροποίηση των μη παραμετρικών

ελέγχων από τους παραμετρικούς είναι ότι στη μη παραμετρική στατιστική δεν αναλύουμε τα δεδομένα κα-θαυτά, αλλά δημιουργούμε και αναλύουμε κυρίως βαθμούς (ranks). Ονομάζουμε βαθμό της τιμής xi σε ένα δείγμα τον αριθμό ri των δεδομένων του δείγματος που είναι μικρότερα ή ίσα με το xi. Για παράδειγμα, το δείγμα Δ = (0.12, 0.09, 0.11, 0.10) μετατρέπεται στο δείγμα βαθμών Δ = (4, 1, 3, 2).

Στις περισσότερες στατιστικές υποθέσεις υπάρχει διαθέσιμος και παραμετρικός έλεγχος και μη παραμετρι-κός. Σ’ αυτές τις περιπτώσεις, προτιμάται πάντα ο παραμετρικός έλεγχος, επειδή είναι πιο ισχυρός, όμως θα πρέπει να είμαστε βέβαιοι ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις εφαρμογής του.

11.4.3 Έλεγχος κανονικότηταςΌπως προαναφέρθηκε, όλοι οι παραμετρικοί στατιστικοί έλεγχοι προϋποθέτουν την κανονικότητα των τιμών των δειγμάτων που αναλύονται. Με άλλα λόγια, πρέπει τα δείγματα να προέρχονται από πληθυσμούς που ακο-λουθούν την κανονική κατανομή. Έτσι, ο έλεγχος κανονικότητας πρέπει να είναι ο πρώτος και βασικότερος έλεγχος για μια σωστή ανάλυση των δεδομένων. Στον έλεγχο αυτόν, η μηδενική υπόθεση και η εναλλακτική της διατυπώνονται ως:

Η0: Τo δείγμα προέρχεται από κανονικό πληθυσμόΗ1: Τo δείγμα δεν προέρχεται από κανονικό πληθυσμόΌπως σε όλους τους ελέγχους, όταν η τιμή p-value είναι μικρότερη από α = 0.05, απορρίπτουμε τη μηδε-

νική υπόθεση, που σημαίνει ότι αποδεχόμαστε ότι το δείγμα δεν είναι κανονικό. Όταν όμως η τιμή p-value είναι μεγαλύτερη από α = 0.05, δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση, χωρίς όμως και να την αποδεχόμαστε. Έτσι, σ’ αυτήν την περίπτωση, δεχόμαστε ότι δεν έχουμε ενδείξεις ότι το δείγμα προέρχεται από μη κανονικό πληθυσμό και, με βάση αυτό το στοιχείο, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε σε παραμετρικούς ελέγχους, χωρίς όμως να μπορούμε να συμπεράνουμε με βεβαιότητα ότι το δείγμα είναι κανονικό.

Έλεγχος κανονικότητας στο PAST

Έστω ότι έχουμε μετρήσει τη μέγιστη διάμετρο (σε cm) του δεξιού βραχιόνιου σε 10 σκελετούς μιας αρχαι-ολογικής θέσης και θέλουμε να εξετάσουμε κατά πόσο τα δεδομένα που δίνονται παρακάτω ακολουθούν την κανονική κατανομή. Στόχος είναι να διευκρινίσουμε αν, προκειμένου να τα συγκρίνουμε με τα δεδομένα άλ-λων θέσεων, θα πρέπει να εφαρμόσουμε παραμετρικούς ή μη παραμετρικούς ελέγχους.

Τοποθετούμε τις τιμές της διαμέτρου σε μία στήλη (Εικ. 11.18-αριστερά), την επιλέγουμε και χρησιμοποι-ούμε το μενού: Univariate → Normality tests. Παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικ.11.18-δεξιά.

Εικόνα 11.18 Διευθέτηση δεδομένων στο PAST (αριστερά) και αποτελέσματα ελέγχου κανονικότητας (δεξιά).

Παρατηρούμε ότι το PAST εκτελεί τρεις ελέγχους: Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, και Jarque-Bera. Απ’ αυτούς, ισχυρότερος θεωρείται ο έλεγχος Shapiro-Wilk και η τιμή p-value που εξετάζουμε είναι η p-value = p(normal) = 0,1959. Ισχύει p-value = 0,1959 > 0.05 και, συνεπώς, συμπεραίνουμε ότι δεν έχουμε ενδείξεις που

να μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι το δείγμα προέρχεται από μη κανονικό πληθυσμό, αποφεύγοντας όμως να συμπεράνουμε ότι το δείγμα είναι κανονικό. Αυτό το συμπέρασμα είναι αρκετό για να χρησιμοποιήσουμε το δείγμα σε παραμετρικούς ελέγχους.

11.4.4 Έλεγχοι μεταξύ δύο δειγμάτωνΔύο ή περισσότερα δείγματα μπορεί να είναι ανεξάρτητα (independent), όταν το κάθε δείγμα έχει ληφθεί ανεξάρτητα από το άλλο. Χαρακτηριστική ιδιότητα των ανεξάρτητων δειγμάτων είναι ότι μπορεί να έχουν διαφορετικό πλήθος τιμών. Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να συγκρίνουμε την περίμετρο του δεξιού βραχιόνιου μεταξύ δύο νεολιθικών πληθυσμιακών ομάδων. Το ένα δείγμα περιλαμβάνει τις τιμές της μίας ομάδας και το άλλο τις τιμές της άλλης ομάδας. Άρα, οι τιμές κάθε δείγματος ανήκουν σε διαφορετικά άτομα. Αντίθετα, δύο ή περισσότερα δείγματα είναι εξαρτημένα ή συσχετιζόμενα (related/paired), όταν οι παρατη-ρήσεις του ενός δείγματος αντιστοιχίζονται μία προς μία με τις παρατηρήσεις των άλλων δειγμάτων μέσω μιας κοινής ιδιότητας. Συνεπώς, τα δείγματα αυτά έχουν το ίδιο πλήθος τιμών. Για παράδειγμα, έστω ότι μελετάμε τους νεολιθικούς σκελετούς μίας θέσης και θέλουμε να εξετάσουμε τα επίπεδα αμφιπλευρικής ασυμμετρίας ως προς την περίμετρο του βραχιόνιου. Το ένα δείγμα περιλαμβάνει τις τιμές των δεξιών οστών και το άλλο τις αντίστοιχες τιμές των αριστερών, ωστόσο τα δεξιά και αριστερά οστά ανήκουν στα ίδια άτομα.

11.4.5 Διαφορές μέσων τιμών ανεξάρτητων δειγμάτων Στόχος των ελέγχων της διαφοράς μέσων τιμών δειγμάτων είναι να συγκρίνουμε δύο ανεξάρτητα δείγματα και να δούμε εάν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων τιμών των πληθυσμών από τους οποίους προέρχονται. Για παράδειγμα, τέτοιοι έλεγχοι πρέπει να χρησιμοποιηθούν αν θέλουμε να εξετάσουμε κατά πόσο δύο σκελετικά σύνολα (π.χ. άνδρες-γυναίκες) διαφέρουν σημαντικά ως προς το ύψος.

Για τον παραμετρικό έλεγχο (independent samples t-test), η μηδενική υπόθεση που ελέγχεται και η εναλ-λακτική της είναι:

Η0: μ1 = μ2 Η1: μ1 ≠ μ2ενώ για τον μη παραμετρικό έχουμε: H0: τα δείγματα προέρχονται από τον ίδιο πληθυσμό H1: τα δείγματα προέρχονται από διαφορετικούς πληθυσμούςΤο ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του παραμετρικού ελέγχου είναι ότι η τιμή της p-value εξαρτάται από το αν

οι πληθυσμοί από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα έχουν ίσες ή διαφορετικές διασπορές. Έτσι, ταυτό-χρονα με τον έλεγχο των μέσων τιμών πρέπει να γίνεται και ο έλεγχος των διασπορών, δηλαδή ο έλεγχος των υποθέσεων:

Η0: σ12 = σ2

2

Η1: σ12 ≠ σ2

2

Τέλος, πρέπει να αναφερθεί ότι το PAST εκτελεί τρεις μη παραμετρικούς ελέγχους, τους ελέγχους Mann-Whitney, Monte Carlo permutation, και σε σχετικά μικρά δείγματα τον έλεγχο Exact permutation.

Διαφορές μέσων τιμών δειγμάτων στο PAST

Έστω ότι θέλουμε να συγκρίνουμε με βάση τα παρακάτω δεδομένα τη μέγιστη διάμετρο (σε cm) του δεξιού βραχιόνιου μεταξύ των ανδρικών σκελετών δύο αρχαιολογικών θέσεων, Α και Β, για να εξετάσουμε σε ποια από τις δύο θέσεις ο ανδρικός πληθυσμός ήταν πιο εύρωστος.

Οργανώνουμε τις τιμές κάθε δείγματος σε ξεχωριστές στήλες, τις επιλέγουμε και χρησιμοποιούμε το με-νού: Univariate → Two-sample tests. Στο παράθυρο αποτελεσμάτων που εμφανίζεται, η καρτέλα t test δίνει τα αποτελέσματα του παραμετρικού ελέγχου, η καρτέλα Mann-Whitney τα αποτελέσματα του μη παραμε-τρικού ελέγχου, ενώ η καρτέλα F test αφορά τον έλεγχο των διασπορών. Πρέπει να διευκρινιστεί ότι για τον παραμετρικό έλεγχο, το PAST δίνει δύο τιμές p, μία για την περίπτωση που τα δύο δείγματα που συγκρίνονται εμφανίζουν ίσες διασπορές και μία για την περίπτωση που οι διασπορές των δειγμάτων είναι σημαντικά δια-φορετικές. Το κατά πόσο οι διασπορές των δειγμάτων είναι ίσες ή όχι, δίνεται στην καρτέλα F test.

Εικόνα 11.19 Aποτελέσματα παραμετρικού ελέγχου.

Εικόνα 11.20 Αποτελέσματα μη-παραμετρικού ελέγχου.

Παρατηρούμε ότι όλοι οι έλεγχοι που εκτελεί το PAST, δηλαδή οι τιμές p (same value) στην Εικόνα 19, είναι πολύ μικρότερες από 0,05 και, συνεπώς, υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά ανάμεσα στη διάμετρο του δεξιού βραχιόνιου της θέσης Α (3,205) και της θέσης Β (2,454). Πάντως αυστηρά από τις δύο πρώτες τιμές, 0,0015788 και 0,0027724, ισχύει η πρώτη, επειδή ο έλεγχος των διασπορών στην καρτέλα F test δεί-χνει ότι δεν υπάρχουν ενδείξεις ότι οι πληθυσμοί έχουν στατιστικά σημαντική διαφορά στις διασπορές τους (p-value = p (same var.) = 0,27686 > 0,05).

Τα συμπεράσματα αυτά ισχύουν με την προϋπόθεση ότι τα δείγματα είναι κανονικά ή δεν αποκλίνουν πολύ από την κανονικότητα, κάτι που ισχύει για τα δείγματα που μελετάμε.

Σε περίπτωση που έχουμε σημαντικές αποκλίσεις από την κανονικότητα, πρέπει να στηριχθούμε στα απο-τελέσματα του μη παραμετρικού ελέγχου. Στο παράδειγμα που εξετάζουμε, παρατηρούμε ότι όλοι οι μη παρα-μετρικοί έλεγχοι οδηγούν στο ίδιο συμπέρασμα με τον παραμετρικό έλεγχο (Εικ. 11.20, p (same med.) < 0,05).

11.4.6 Σύγκριση ζευγών δειγμάτων Αυτή η ανάλυση χρησιμοποιείται προκειμένου να συγκρίνουμε δύο συσχετιζόμενα δείγματα και να δούμε εάν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ τους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η εξέταση της αμφιπλευρικής ασυμμετρίας στις διαστάσεις των άνω άκρων, η οποία μπορεί να σχετίζεται με τις καθημερινές δραστηριότητες των ατόμων, οι οποίες ενέπλεκαν περισσότερο τη δεξιά ή την αριστερή πλευρά του σώματος.

Για τον παραμετρικό έλεγχο (paired samples t-test), η μηδενική υπόθεση που ελέγχεται και η εναλλακτική της είναι:

Η0: μd = 0 και Η1: μ0 ≠ 0 ή Η1: μ0 < 0 ή Η1: μ0 > 0ενώ για τον μη παραμετρικό (Wilcoxon test) έχουμε:

H0: d = 0 και H1: d ≠ 0 ή Η1: d > 0 ή Η1: d < 0Βασική προϋπόθεση για την εφαρμογή του παραμετρικού ελέγχου είναι η κανονικότητα του δείγματος που

προκύπτει από τις διαφορές των τιμών των δύο δειγμάτων.

Σύγκριση ζευγών δειγμάτων στο PAST

Έστω ότι θέλουμε να εξετάσουμε τα επίπεδα αμφιπλευρικής ασυμμετρίας ως προς τη μέγιστη διάμετρο (σε cm) του βραχιόνιου με βάση τις ακόλουθες μετρήσεις:

Οργανώνουμε τις τιμές της δεξιάς και αριστερής πλευράς σε ξεχωριστές διαδοχικές στήλες, τις επιλέγουμε και χρησιμοποιούμε το μενού: Univariate → Two-sample paired tests. Παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικ. 11.21.

Εικόνα 11.21 Αποτελέσματα ελέγχων ζευγών δειγμάτων.

Παρατηρούμε ότι όλοι οι έλεγχοι, παραμετρικοί και μη παραμετρικοί, οδηγούν στο ίδιο συμπέρασμα: η (μέση) διάμετρος του δεξιού βραχιόνιου μπορεί να είναι λίγο μεγαλύτερη από την αριστερή (3,201 cm έναντι 3,125 cm), όμως η διαφορά αυτή είναι στατιστικά σημαντική (p < 0,05), υποδηλώνοντας ότι οι δραστηριότη-τες του πληθυσμού ασκούσαν μεγαλύτερη μηχανική πίεση στα δεξιά άνω άκρα.

11.4.7 Μονοπαραγοντική ανάλυση διασποράς

H μονοπαραγοντική ανάλυση διασποράς χρησιμοποιείται για να εξετάσουμε αν υπάρχουν στατιστι-κά σημαντικές διαφορές μεταξύ των μέσων τιμών τριών ή περισσότερων ανεξάρτητων δειγμάτων. Για παράδειγμα, αυτός είναι ο τύπος ανάλυσης που πρέπει να εφαρμόσουμε εάν θέλουμε να συγκρί-νουμε το ύψος μεταξύ των σκελετών που βρέθηκαν σε τρεις ή περισσότερες αρχαιολογικές θέσεις.

Η μηδενική υπόθεση διατυπώνεται ως: H0: μ1 = μ2 = μ3 = …= μKενώ η Η1 είναι:Η1: τουλάχιστον μία μέση τιμή διαφοροποιείται από τις υπόλοιπες.Εάν τουλάχιστον μία από τις παραπάνω προϋποθέσεις δεν ισχύει, εφαρμόζουμε μη παραμετρικό έλεγχο

(Kruskal-Wallis test). Σ’ αυτήν την περίπτωση, οι στατιστικές υποθέσεις είναι:H0: Όλα τα δείγματα προέρχονται από τον ίδιο πληθυσμό H1: Δεν ισχύει η H0Προκειμένου να εφαρμοστεί ο παραμετρικός έλεγχος (One-way ANOVA), πρέπει να ισχύουν δύο προ-

ϋποθέσεις: 1) τα δείγματα πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανομή και 2) δεν πρέπει να υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές στις διασπορές των δειγμάτων, δηλαδή θα πρέπει να υπάρχει ομοιογένεια της διασποράς (homogeneity of variance). Συνεπώς, πρώτα ελέγχουμε την κανονικότητα των δειγμάτων από το μενού Univariate → Normality tests, όπως έχει ήδη περιγραφεί. Ο έλεγχος της ομοιογένειας της διασπο-ράς στο PAST γίνεται ταυτόχρονα με τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης με δύο παραλλαγές του κριτηρίου Levene, στο οποίο χρησιμοποιούνται μέσες τιμές (means) και διάμεσοι (medians).

Όταν ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης οδηγεί στην απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης, τότε μεταξύ κάποιων ή όλων των δειγμάτων υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές. Για να βρούμε μεταξύ ποιων δειγμάτων εντοπίζονται αυτές οι διαφορές εκτελούμε post hoc ελέγχους. Απ’ αυτούς, ο ισχυρότερος είναι ο παραμετρικός έλεγχος Tukey. Αντίθετα, δεν υπάρχει ισχυρός μη παραμετρικός post hoc έλεγχος. Σ’ αυτήν την περίπτωση, το PAST χρησιμοποιεί το κριτήριο Mann-Whitney εξετάζοντας μ’ αυτό όλα τα ζεύγη δειγμάτων. Στους ελέγχους αυτούς θα πρέπει να ενεργοποιούμε την επιλογή Bonferroni corrected p values, διαφορετικά υπάρχει σημαντική υποεκτίμηση των υπολογιζόμενων τιμών p-value. Μια εναλλακτική λύση είναι να κατα-σκευάσουμε τα θηκογράμματα των δειγμάτων και, με τη βοήθεια αυτών, να προσπαθήσουμε να διαπιστώσου-με πού εντοπίζονται οι στατιστικά σημαντικές διαφορές.

Μονοπαραγοντική ανάλυση διασποράς στο PAST

Έστω ότι θέλουμε και πάλι να συγκρίνουμε τη μέγιστη διάμετρο (σε cm) του δεξιού βραχιόνιου μεταξύ αν-δρικών σκελετών από διαφορετικές θέσεις αλλά αυτή τη φορά η σύγκριση αφορά τρεις αρχαιολογικές θέσεις αντί για δύο, Α, Β, Γ, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα:

Διευθετούμε τα δείγματα σε τρεις ξεχωριστές διαδοχικές στήλες, τις επιλέγουμε και χρησιμοποιούμε το με-νού: Univariate → Several-sample tests (ANOVA, Kru-Wal). Στο παράθυρο αποτελεσμάτων που εμφανίζεται, η καρτέλα One-way ANOVA δίνει τα αποτελέσματα του παραμετρικού ελέγχου (Εικ. 11.22-αριστερά), ενώ η καρτέλα Kruskal-Wallis τα αποτελέσματα του μη παραμετρικού ελέγχου. Οι καρτέλες Tukey’s pairwise (Εικ. 11.22-δεξιά) και Mann-Whitney pairwise δίνουν τα αποτελέσματα των post hoc ελέγχων για κάθε ζεύγος δειγ-μάτων ξεχωριστά. Όπως αναφέρθηκε, στην καρτέλα Mann-Whitney pairwise είναι σημαντικό να επιλέξουμε Bonferroni corrected p values από τη λίστα των διαθέσιμων επιλογών.

Εικόνα 11.22 Αποτελέσματα ANOVA παραμετρικού ελέγχου (αριστερά) και πολλαπλών ελέγχων (δεξιά).

Να διευκρινιστεί ότι ο έλεγχος της κανονικότητας που προηγήθηκε δεν εντόπισε ζητήματα με την κανονι-κότητα των δειγμάτων, ενώ και ο έλεγχος Levene της ομοιογένειας της διασποράς (Εικ. 11.22-αριστερά) δεί-χνει ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις εφαρμογής παραμετρικού ελέγχου. Συνεπώς, η τιμή p-value = 0,0002269 από τον παραμετρικό έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης της ANOVA είναι αξιόπιστη και δείχνει ότι μεταξύ των δειγμάτων υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές. Από τους πολλαπλούς ελέγχους με το κριτήριο Tukey προκύπτει ότι οι στατιστικά σημαντικές διαφορές εντοπίζονται μεταξύ των δειγμάτων των θέσεων Α-Β (p-value = 0,001344 < 0,05) και B-Γ (p-value = 0,0008532 < 0,05). Τα αποτελέσματα αυτά φαίνονται εποπτικά στην Εικ. 11.23, που απεικονίζει τα θηκογράμματα των τριών δειγμάτων.

Εικόνα 11.23 Θηκογράμματα δειγμάτων.

Τα ίδια αποτελέσματα παίρνουμε και από τον μη παραμετρικό έλεγχο με το κριτήριο Kruskal-Wallis (p-value = 0,001129) και τα αποτελέσματα των post hoc ελέγχων με το κριτήριο Mann-Whitney για κάθε ζεύ-γος δειγμάτων ξεχωριστά (p-value (Α-Β) = 0,01677 < 0,05 και (p-value (Β-Γ) = 0,001738 < 0,05).

Βασική παρατήρηση. Τα θηκογράμματα δίνουν μια καλή εποπτική εικόνα των διαφορών μεταξύ δειγμά-των, δεν απαντούν όμως στο ερώτημα αν οι παρατηρούμενες διαφορές είναι στατιστικά σημαντικές.

11.4.8 Έλεγχοι σε κατηγορικά δεδομέναΟι στατιστικοί έλεγχοι που εξετάσαμε μέχρι τώρα αφορούν ποσοτικά δεδομένα. Πολλές φορές, όμως, είναι απαραίτητο να αναλύσουμε κατηγορικά δεδομένα. Τα κατηγορικά δεδομένα προκύπτουν, όταν, με βάση κά-ποιο ποιοτικό ή και ποσοτικό κριτήριο, ταξινομούμε τα δεδομένα σε κατηγορίες. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, σ’ αυτήν την περίπτωση τα δεδομένα παρουσιάζονται με πίνακες συχνοτήτων. Για παράδειγμα, στον Πίν. 2 δίνεται η συχνότητα του μη-μετρικού χαρακτηριστικού ‘ραφή άνωθεν των ρινικών οστών’ σε 3 δείγματα.

Δείγμα

Παρουσία ραφής άνωθεν των ρινικών οστών 1 2 3

Ναι 11 1 4

Όχι 3 8 14

Πίνακας 11.2 Πίνακας συχνοτήτων για τη ραφή άνωθεν των ρινικών οστών

Στους ελέγχους κατηγορικών δεδομένων εξετάζουμε γενικά κατά πόσο μια μεταβλητή ποιοτική ή σειριακή έχει στατιστικά σημαντική επίδραση σε μια άλλη. Στο παράδειγμα του Πίνακα 2 εξετάζουμε αν το χαρακτη-ριστικό ‘ραφή άνωθεν των ρινικών οστών’ διαφοροποιείται στα τρία δείγματα. Ο πιο κοινός έλεγχος για κα-τηγορικά δεδομένα στηρίζεται στο κριτήριο χ2 (chi square test). Απαραίτητη προϋπόθεση για να εφαρμοστεί αυτό το κριτήριο είναι το ποσοστό των κελιών με συχνότητα μικρότερη του 5 να είναι μικρότερο από 20%. Εάν υπάρχουν περισσότερα κελιά με μικρές συχνότητες, τότε πρέπει να εφαρμόσουμε τον ακριβή έλεγχο του Fisher (Fisher’s exact test) που χρησιμοποιείται κυρίως στις περιπτώσεις που εξετάζονται 2 μεταβλητές, κα-θεμία από τις οποίες έχει 2 κατηγορίες (π.χ. μεταβλητές ‘φύλο’ και ‘αρθρίτιδα’, με κατηγορίες ‘άνδρας’-‘γυ-ναίκα’, ‘παρούσα’-‘απούσα’, αντίστοιχα). Σε περιπτώσεις που έχουμε περισσότερες μεταβλητές ή κατηγορίες και μικρές συχνότητες στα κελιά, εφαρμόζεται ο έλεγχος Monte-Carlo.

Έλεγχοι σε κατηγορικά δεδομένα στο PAST

Έστω ότι θέλουμε να εξετάσουμε κατά πόσο η συχνότητα οστεοαρθρίτιδας εξαρτάται από το φύλο στους σκελετούς μιας πληθυσμιακής ομάδας. Οργανώνουμε τις τιμές έτσι ώστε η κάθε στήλη να εκφράζει μία δια-φορετική κατηγορία της μίας μεταβλητής και η κάθε σειρά μία κατηγορία της άλλης μεταβλητής:

Στο PAST τα παραπάνω δεδομένα εισάγονται με την εξής διευθέτηση:

Ακολούθως, επιλέγουμε τις μεταβλητές που εξετάζουμε και χρησιμοποιούμε το μενού: Univariate → Contingency tables. Το PAST δίνει ταυτόχρονα τα αποτελέσματα με το κριτήριο χ2, τον ακριβή έλεγχο του Fisher και τον έλεγχο Monte-Carlo, οπότε πρέπει να κρίνουμε εμείς με βάση τα δεδομένα μας και το μέγεθος του δείγματος ποια τιμή p-value θα εξετάσουμε.

Εικόνα 11.24 Αποτελέσματα ελέγχου κατηγορικών δεδομένων.

Στην Εικ. 11.24 δίνονται τα αποτελέσματα των διαφόρων ελέγχων. Παρατηρούμε ότι όλοι οι έλεγχοι, κρι-τήριο χ2, έλεγχος Monte Carlo, και έλεγχος Fisher, δίνουν τιμές p-value (0,17788, 0,2227, 0,21848) που είναι μεγαλύτερες από 0,05. Συνεπώς, δεν έχουμε ενδείξεις ότι η συχνότητα οστεοαρθρίτιδας εξαρτάται από το φύλο, τουλάχιστον με βάση τα δεδομένα που αναλύσαμε.

11.5 ΠαλινδρόμησηΗ παλινδρόμηση (regression) μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε την εξίσωση που περιγράφει τα πειραματικά δεδομένα μιας μεταβλητής y που εξαρτάται από μία ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές x. Το κριτήριο που ορίζει την καλύτερη εξίσωση ονομάζεται κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων. Σύμφωνα μ’ αυτό, η καλύτερη εξίσωση είναι εκείνη για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των υπολοίπων είναι ελάχιστο. Το υπόλοιπο (residual) είναι η διαφορά μεταξύ πειραματικής και θεωρητικής τιμής y για μια ορισμένη τιμή x και εποπτικά δίνεται στην Εικ.11.25.

Εικόνα 11.25 Ορισμός υπολοίπων και η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων.

Σε μία οστεολογική μελέτη, παλινδρόμηση θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί προκειμένου να βρούμε την εξίσωση που περιγράφει τη σχέση μεταξύ του μήκους του βραχιόνιου και της ηλικίας βρεφών, βασισμένοι σε σύγχρονο δείγμα γνωστής ηλικίας, ώστε στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την εξίσωση για να προ-βλέψουμε την ηλικία βρεφών από αρχαιολογικά σύνολα βάση του μήκους των οστών τους. Επίσης, χρησιμο-ποιείται εκτεταμένα για να εκτιμήσουμε το ύψος ενός ατόμου από το μήκος ή το πλάτος των μακρών οστών, κυρίως του μηριαίου και της κνήμης.

Η απλούστερη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x και y είναι η γραμμική. Αυτή η σχέση περιγράφεται από την εξίσωση:

y = a + bx (11.5.1)

Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις η σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών περιγράφεται από μία καμπυλη αντί για ευθεία, οπότε καταλήγουμε σε εξισώσεις της μορφής:

y = a + bx + cx2 (11.5.2)

ήy = a + bx + cx2 + dx3

(11.5.3)ή και ακόμη πιο σύνθετες.

Παλινδρόμηση στο PAST

Έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε την εξίσωση που περιγράφει τη σχέση μεταξύ του μήκους x του βρα-χιόνιου οστού και της ηλικίας y βρεφών, ώστε να μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία βρεφών από αρχαι-ολογικά σύνολα. Για να προσδιορίσουμε την εξίσωση, μετρήσαμε το μήκος του βραχιόνιου (σε mm) σε ένα σύγχρονο δείγμα βρεφών γνωστής ηλικίας (σε εβδομάδες) και έστω ότι πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα:

Οργανώνουμε τα δεδομένα ώστε οι τιμές κάθε μεταβλητής να βρίσκονται σε ξεχωριστές αλλά διαδοχικές στήλες με τις τιμές x αριστερά και τις y δεξιά. Επιλέγουμε τις δύο στήλες και χρησιμοποιούμε το μενού: Model → Polynomial. Στο παράθυρο των αποτελεσμάτων ελαττώνουμε τη μεταβλητή Οrder στο 1 και στη συνέχεια την αυξάνουμε, ώστε να δούμε ποιο μοντέλο περιγράφει ακριβέστερα τη σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Το καλύτερο μοντέλο είναι αυτό που εμφανίζει τη μικρότερη τιμή Akaike ICc. Στο παράδειγμα που μελετάμε, η καλύτερη εξίσωση είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού με εξίσωση (Εικ. 11.26):

y = 0,008414x2 – 0,4683x +32,06Με βάση αυτήν την εξίσωση, μπορούμε τώρα εύκολα να εκτιμήσουμε την ηλικία ενός βρέφους, αν έχουμε

μετρήσει το μήκος του βραχιόνιου οστού του. Για παράδειγμα, αν x = 52 mm, τότε το βρέφος έχει ηλικία:y = 0,008414*522 – 0,4683*52 +32,06 = 30,46 εβδομάδες.

Εικόνα 11.26 Αποτελέσματα εφαρμογής του προγράμματος Polynomial fit.

11.6 ΣυσχέτισηΗ συσχέτιση (correlation) εξετάζει κατά πόσο δύο μεταβλητές σχετίζονται ή όχι γραμμικά μεταξύ τους. Αν δηλαδή υπάρχει μεταξύ των μεταβλητών μια σχέση της μορφής y = a + bx με b ≠ 0, που σημαίνει ότι η μετα-βολή της μιας μεταβλητής μεταβάλλει και την άλλη. Αν τα δεδομένα ακολουθούν την κανονική κατανομή, για να ελέγξουμε αν δύο μεταβλητές, x και y, σχετίζονται, υπολογίζουμε τον συντελεστή Pearson, r. Ο συντελε-στής r παίρνει τιμές από –1 έως 1: r < 0 σημαίνει ότι όταν η μεταβλητή x αυξάνεται, η y ελαττώνεται και το αντίστροφο, r = 0 σημαίνει παντελή έλλειψη συσχέτισης, r > 0 σημαίνει ότι, όταν η μια μεταβλητή αυξάνεται, αυξάνεται και η άλλη. Όταν τα δεδομένα δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή ή όταν έχουμε κατηγορικά δεδομένα, υπολογίζουμε το συντελεστή Spearman, ρ, ο οποίος επίσης παίρνει τιμές στο διάστημα από –1 έως 1 και έχει την ίδια σημασία με τον συντελεστή Pearson.

Συσχέτιση στο PAST

Αρκετοί συγγραφείς υπολογίζουν τη σωματική μάζα από τα σκελετικά κατάλοιπα με βάση το πλάτος της πυ-έλου. Για τον ίδιο σκοπό, χρησιμοποιείται επίσης η διάμετρος της κεφαλής του μηριαίου, αν και δε θεωρείται εξίσου καλός δείκτης με το πυελικό πλάτος. Θέλουμε να εξετάσουμε αν με βάση τα παρακάτω δεδομένα, που δείχνουν τη διάμετρο (σε cm) της κεφαλής του μηριαίου και το πλάτος (σε cm) της πυέλου σε 21 σκελετούς, υπάρχει συσχέτιση μεταξύ αυτών των δύο μεταβλητών.

Τοποθετούμε τα δεδομένα σε δύο στήλες, τις επιλέγουμε και εξετάζουμε την κανονικότητά τους. Παρότι το πλάτος της πυέλου φαίνεται να ακολουθεί την κανονική κατανομή, η διάμετρος της κεφαλής του μηριαίου παραβιάζει αυτήν την προϋπόθεση (p-value = 0.006). Για να εξετάσουμε τη συσχέτιση μεταξύ των δύο μετα-βλητών, χρησιμοποιούμε το μενού: Univariate → Correlation. Στο παράθυρο των αποτελεσμάτων (Εικ. 11.27) οι τιμές του πίνακα κάτω από τη διαγώνιο είναι ο συντελεστής συσχέτισης και πάνω από τη διαγώνιο η τιμή p-value που δηλώνει κατά πόσο η συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών είναι στατιστικά σημαντική ή όχι. Το PAST αυτόματα δίνει τα αποτελέσματα του παραμετρικού ελέγχου.

Εικόνα 11.27 Αποτελέσματα παραμετρικής συσχέτισης.

Εικόνα 11.28 Αποτελέσματα μη παραμετρικής συσχέτισης.

Εφόσον διαπιστώσαμε ήδη ότι μία από τις δύο μεταβλητές παραβιάζει την αρχή της κανονικότητας, πρέπει να υπολογίσουμε τις τιμές του μη παραμετρικού ελέγχου. Γι’ αυτόν τον σκοπό, ενεργοποιούμε την επιλογή Spearman’s rs στο πλαίσιο Correlation statistic του παραθύρου των αποτελεσμάτων (Εικ. 11.28). Παρατη-ρούμε ότι ρ = 0,38732 με p-value = 0,0828 > 0,05. Δηλαδή, υπάρχει θετική συσχέτιση των δύο μεταβλητών η οποία όμως δεν είναι στατιστική σημαντική.

Κατά συνέπεια, αν και η κεφαλή του μηριαίου οστού συσχετίζεται με τη διάμετρο της πυέλου, η οποία με τη σειρά της είναι καλός δείκτης της σωματικής μαζας, η συσχέτιση αυτή δεν φαίνεται να είναι στατιστικά σημαντική.

Βιβλιογραφία/Αναφορές

Brickley M, McKinley J. (eds.) 2004. Guidance to Standards for Recording Human Skeletal Remains University of Reading: Institute of Field Archaeologists, British Association of Biological Anthropology and Osteoarchaeology.

Buikstra JE, Ubelaker DH. 1994. Standards for data collection from human skeletal remains. Fayetteville, Arkansas: Arkansas Archaeological Survey Report Number 44.