10. Funciones trigonométricas

“asdfasdfasdfasdfasdf.”

Wang Zhenyi (1768-1797)10.1 Funciones seno y cosenoEn este módulo nos ocuparemos, en primer lugar, de las funciones trigonométricas.

θ sen(θ) θ cos(θ)

Son funciones donde la variable independiente θ se refiere a la medida de un ángulo θ(medido en radianes); y donde los valores de las funciones, sen(θ) y cos(θ) se calculen con lasrelaciones trigonométricas usuales.

La primera observación que hacemos en el estudio de las funciones trigonométricas serefiere a que son funciones cuyos valores se repiten cada cierto intervalo de la variableindependiente. En el caso particular de las funciones sen(θ) y cos(θ) los valores se repitencada 2π.

sen(θ + 2π) = sen(θ) cos(θ + 2π) = cos(θ)

Durante todo el curso usaremosprincipalmente la medición deángulos en radianes.

Recuerden que π radiantes equi-vale a 180◦ sexagesimales. Laconversión del resto de los ángu-los, de un sistema al otro, se hacepor proporción directa.

π rad ≡ 180◦

1 rad ≡(

180π

)◦π

180 rad ≡ 1◦

Los valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) están determinados por las coordenadas delpunto sobre la circunferencia unidad (la circunferencia de radio 1 centrada en el origen)como se muestra en la Figura 10.1.

x

y

x2 + y2 = 1

x

y

r =1 θ radianes

(x, y) = (cos(θ), sen(θ))

Figura 10.1: Circunferencia unidad.

Las coordenadas del punto determinan los valores de las funciones trigonométricas.

Actividad 10.1 Completen la Tabla 10.1 con los valores de las funciones trigonométricassen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π. �

θ 0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π 7π

65π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6 2π

sen(θ)

cos(θ)

Tabla 10.1: Valores de las funciones sen(θ) y cos(θ) en los ángulos más usuales comprendidos entre 0 y 2π.

2 Capítulo 10. Funciones trigonométricas

Las gráficas de las funciones sen(θ) y cos(θ) se presentan en las Figuras 10.2 y 10.3.

Actividad 10.2 Utilicen las gráficas de las Figuras 10.2 y 10.3 para corroborar los valorescalculados de la Tabla 10.1. �

x

y

π6

π3

π4

π2

2π3

3π4

5π6

π

7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6 2π

1

−1

12

− 12

√2

2

−√

22

−√

32

√3

2

Figura 10.2: Gráfica de la función sen(x) en el intervalo [0, 2π].

x

y

π6

π3

π4

π2

2π3

3π4

5π6 π

7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

1

−1

12

− 12

√2

2

−√

22

−√

32

√3

2

Figura 10.3: Gráfica de la función cos(x) en el intervalo [0, 2π].

Actividad 10.3 Las funciones sen(θ) y cos(θ) pueden tomar valores positivos o negativossegún el cuadrante al que pertenezca el ángulo θ. Completen la Tabla 10.2.

Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

sen(θ) positiva

cos(θ) positiva

Tabla 10.2: Positividad y negatividad de las funciones sen(θ) y cos(θ).

�

10.1 Funciones seno y coseno 3

Al considerar la periodicidad de las funciones trigonométricas, la gráfica que tenemosen el intervalo [0, 2π] se copia en los intervalos (de longitud 2π) siguientes y anteriores paraocupar todo el eje horizontal como se ve en las Figuras 10.4 y 10.5.

θ

sen(θ)

−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π

Período 2π

1

Figura 10.4: Gráfica de la función sen(x) en todo R.

θ

cos(θ)

−3π −2π π π 2π 3π 4π 5π

Período 2π

Figura 10.5: Gráfica de la función cos(x) en todo R.

Las funciones trigonométricas cumplen las siguientes identidades básicas.Por convención se escribe

cos2(θ) = (cos(θ))2

= cos(θ). cos(θ)

que es diferente a

cos(θ2) = cos(θ.θ)

1

sen(θ)

cos(θ)x

y

Figura 10.6: Identidad principal.

Propiedad 10.1.1 — Propiedades de las funciones sen(θ) y cos(θ).

Continuidad: Las funciones son continuas en todo R.

Identidad principal: sen2(θ) + cos2(θ) = 1

Los valores están acotados: −1 ≤ sen(θ) ≤ 1 − 1 ≤ cos(θ) ≤ 1

Simetrías: sen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ)

Suma y resta:

sen(θ1 ± θ2) = sen(θ1) cos(θ2) ± cos(θ1) sen(θ2)

cos(θ1 ± θ2) = cos(θ1) cos(θ2) ∓ sen(θ1) sen(θ2)

Desplazamiento: sen(θ + π2 ) = cos(θ)

No desarrollaremos las demostraciones de estas propiedades pero haremos algunoscomentarios y comparaciones como guías.

En primer lugar, para ángulos en el primer cuadrante, la identidad principal se deduce delteorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo de la Figura 10.6 dado que la hipotenusamide 1 unidad de longitud.

Respecto a las simetrías, en la Figura 10.7 se presenta la relación entre los valores de lafunción cos(θ) en ángulos opuestos.

4 Capítulo 10. Funciones trigonométricas

x

y

θ

−θ

θ

cos(θ)

θ−θ

Figura 10.7: Relación entre los valores de la función cos(θ) en ángulos opuestos θ y −θ.

Actividad 10.4 ¿Cómo realizarían un diagrama similar a la Figura 10.7 para analizar lasimetría de la función sen(θ)? Utilicen la Figura 10.8.

x

y

θ

sen(θ)

Figura 10.8: Relación entre los valores de la función sen(θ) en ángulos opuestos θ y −θ.

�

Por último, en la Figura 10.9 se presenta la relación de desplazamiento que relaciona losvalores sen(θ + π

2 ) y cos(θ).

x

y

θ

θ + π2

cos(θ)

sen(θ+

π 2)

θ

cos(θ)

sen(θ)

θ θ + π2

Figura 10.9: Relación entre los valores de la función sen(θ + π2 ) y cos(θ).

10.2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x) 5

10.2 Transformaciones de las gráficas sen(x) y cos(x)Definición 10.2.1 — Forma general de las funciones trigonométricas. La forma general delas funciones trigonométricas es

f (x) = A sen(ω(x − φ)) + c g(x) = A cos(ω(x − φ)) + c (10.1)

en donde utilizamos a x como variable independiente.

En todos los desarrollos anterio-res utilizamos como variable in-dependiente a θ porque conside-ramos necesario diferenciar losdiagramas con ejes coordenadosx-y donde θ se representa comoel ángulo, y los diagramas conejes coordenados θ- f (θ) dondese representaron las relacionesfuncionales.

Describiremos las constantes A, ω, φ y c presentes en la definición 10.1.

Amplitud:Representa un cambio en los valores máximos y mínimos de las funciones. Para los casos

A sen(x) A cos(x)

los valores máximos y mínimos son A y −A.Si A es positivo, la amplitud es A y se cumple que

−A ≤ A sen(ω(x − φ)) ≤ A − A ≤ A cos(ω(x − φ)) ≤ A

Si A es negativo, la amplitud es −A. La gráfica debe reflejarse también respecto al eje x.Ver Figura 10.11.

x

y

y = sen(x)

y = 2 sen(x)

y = 12 sen(x)

−π π 2π

12

1

2

Figura 10.10: Gráficas de las funciones sen(x), 2 sen(x) y 12 sen(x).

x

y

y = sen(x)

y = −2 sen(x)

Figura 10.11: Reflejo respecto aleje x en el caso de A < 0.

Valor promedio c:

x

y y = cos(x) + 2

π 2ππ2

1

2

3

Figura 10.12: Gráfica de la funcióncos(x) + 2 en [0, 2π].

Representa el promedio entre los valores máximos y mínimos que toma la función. Enel caso más sencillo, las funciones f (x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen valores máximos ymínimos iguales a 1 y −1 (respectivamente). Por lo tanto el valor promedio es 0. Gráficamente,el valor de c representa una traslación en sentido vertical en c unidades de la gráfica. Porejemplo,

h(x) = cos(x) + 2tiene un valor promedio c = 2; la gráfica de h(x) se obtiene trasladando la del cos(x) en 2unidades hacia arriba y sus valores máximos y mínimos de la función son 3 y 1 respectivamente.Ver Figura 10.12.

Período2πω

:

El cociente2πω

(para ω > 0) determina el tamaño del intervalo de periodicidad de lasfunciones f (x) y g(x).

Para ω > 0, las funciones f (x) y g(x) tienen período 2πω

de modo que

f (x) = f(x +

2πω

)g(x) = g

(x +

2πω

)

6 Capítulo 10. Funciones trigonométricas

x

y

y = sen(x)y = sen(2x)y = sen( 12 x)

π 2π 3π 4π

1

Figura 10.13: Gráficas de las funciones sen(2x), sen( 12 x) y sen(x).

Desplazamiento de la fase φ:El valor de φ produce un desplazamiento de la gráfica. Si φ es positivo el desplazamiento

se produce hacia la derecha. Si φ es negativo el desplazamiento se produce hacia la izquierda.

x

y

y = sen(x − π3 )

y = sen(x)

π 2ππ3

1

Figura 10.14: Gráfica de la función sen(x − π3 ) en [

π3 ,

7π3 ].

x

y

3π4

π2− π4

1

34

Figura 10.15: Gráfica de la función34 cos(2x + π

2 ).En la siguiente gráfica se representan los cuatro elementos mencionados: A, c, ω, φ.

x

y

c Valor promedio c

c + A

c − A

φDesplazamiento φ

φ + 2πω

Período 2πω

Amplitud A

Figura 10.16: Gráfica de la función f (x) = A sen (ω(x − φ)) + c. Caso A > 0.

10.3 Función trigonométrica tan(x) 7

� Ejemplo 10.1 Determinaremos la amplitud, el período y el desplazamiento de la función

f (x) = 34 cos(2x + π

2 )

y realizaremos su gráfica.Para ello, re-escribimos la función en la forma general sacando factor común 2 en laexpresión 2x + π

2 = 2(x + π4 ) para tener

f (x) = 34 cos

(2(x + π

4 ))= 3

4 cos(2(x − (− π4 ))

).

Por lo tanto, obtenemos que la amplitud es 34 , elperíodo es

2π2 = π y eldesplazamiento

de la fase es de π4 hacia la izquierda. La gráfica de la función se presenta en la

Figura 10.15. �

Actividad 10.5 Realicen la gráfica de las siguientes funciones determinando sus elementos.

a) f (x) = sen(3x) b) g(x) = − cos(2x)

c) h(x) = cos(x − π4 ) d) m(x) = 2 sen(3x + π)

�

Actividad 10.6 Determinen la forma general de las siguientes funciones que se presentanen forma gráfica.

a) b) c)

d) e) f )�

10.3 Función trigonométrica tan(x)

Otra función trigonométrica utilizada es la función tangente tan(x) =sen(x)cos(x)

que, en

la circunferencia unidad, representa la ±longitud (+ o − según el cuadrante) del segmentovertical como se muestra en la Figura 10.17. x

y

θ

tan(θ)

Figura 10.17: Circunferencia unidad.

Se diferencia principalmente de las funciones sen(x) y cos(x) porque su período es máscorto y porque su dominio ya no es todo el conjunto de números reales.

El dominio de la función tan(x) está determinado por todos los números reales que no

8 Capítulo 10. Funciones trigonométricas

anulan el denominador. Por lo tanto debemos excluir a todos los x tales que

cos(x) = 0.

Esta ecuación tiene infinitas soluciones de la forma π2 + kπ siendo k ∈ Z.

Por lo tanto elDom(tan(x)) = R −

{π2 + kπ : k ∈ Z

}.

En cuanto al período, se tiene que

tan(x + π) =sen(x + π)cos(x + π)

=− sen(x)− cos(x)

=sen(x)cos(x)

= tan(x).

El intervalo principal donde se grafica la función tangente es (− π2 ,π2 ). Dado que

lı́mx→

π2

sen(x) = 1 y lı́mx→

π2

cos(x) = 0

ylı́m

x→−π2

sen(x) = −1 y lı́mx→−

π2

cos(x) = 0

se concluye que tan(x) tiene asíntotas verticales en las rectas x = π2 y x = − π2 . Y recordando

la Tabla 10.2 tenemos

lı́mx→

π2−

tan(x) = +∞ y lı́mx→−

π2+

tan(x) = −∞

La gráfica de la función tan(x) en todo su dominio se presenta en la Figura 10.18.

x

tan(x)

3π2

π π 2π− π2π2

5π2

3π

Período π

Figura 10.18: Gráfica de la función tan(x) en todo su dominio.

10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 9

10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x)Para estudiar la existencia de la derivada de la función sen(x) utilizamos la definición y las

Propiedades 10.1.1 (la propiedad de la suma y resta)

d sen(x)dx

= lı́m∆x→0

sen(x + ∆x) − sen(x)∆x

= lı́m∆x→0

sen(x) cos(∆x) + cos(x) sen(∆x) − sen(x)∆x

= lı́m∆x→0

[sen(x) cos(∆x) − sen(x)

∆x+

cos(x) sen(∆x)∆x

]= lı́m

∆x→0sen(x)

[cos(∆x) − 1∆x

+ cos(x)sen(∆x)∆x

]= lı́m

∆x→0sen(x) lı́m

∆x→0

cos(∆x) − 1∆x

+ lı́m∆x→0

cos(x) lı́m∆x→0

sen(∆x)∆x

Para que el último paso sea válido necesitamos saber que los cuatro límites involucradosexisten (porque propusimos aplicar las propiedades algebraicas del límite). Dos de estos límitesson sencillos de calcular:

lı́m∆x→0

sen(x) = sen(x) y lı́m∆x→0

cos(x) = cos(x)

porque tanto el sen(x) como el cos(x) son constantes con respecto a ∆x.

D

θ

O A

B

x

y

1

C

Figura 10.19: Comparación entre lastres áreas mencionadas en el desa-rrollo.

Ellı́m∆x→0

sen(∆x)∆x

no puede calcularse por evaluación. Encontraremos su valor utilizando un argumento geométrico.Supongamos, en primer lugar, que θ se encuentra entre 0 y π/2. La Figura 10.19 muestra unsector de un círculo con centro O, ángulo θ y radio 1 y dos triángulos (el tríangulo OBA y elOAD). El valor del área de ese sector circular es mayor al valor del área del triángulo OBA ymenor que el área del triángulo OAD.

Área del triángulo OBA ≤ Área del sector circular AOB ≤ Área del triángulo OAD

Respecto al inciso b), se calcu-la el área de un sector circularde ángulo θ tomando proporcióndirecta:

Círculo completo de radio r:

2π → π × r2

Sector de ángulo θ:

θ →θ × π × r2

2π=θr2

2

Calculamos las áreas mencionadas:

a) El triángulo más pequeño tiene una base que mide |OA| = 1 y una altura que mide

|CB| = sen(θ). Luego su área es1 × sen(θ)

2.

b) El área de un sector circular de ángulo θ se calcula por proporción directa:θ

2.

c) La base del triángulo más grande también mide |OA| = 1 pero su altura mide |AD| =

tan(θ) =sen(θ)cos(θ)

. Luego su área es12

sen(θ)cos(θ)

.

Obtenemos

sen(θ)2

<θ

2<

12

sen(θ)cos(θ)

.

Como sen(θ) > 0 para 0 < θ < π/2, si multiplicamos por2

sen(θ)a cada miembro de la

desigualdad tenemos que

1 <θ

sen(θ)<

1cos(θ)

,

o, en forma equivalente (dado que son todos términos positivos),

cos(θ) <sen(θ)θ

< 1.

10 Capítulo 10. Funciones trigonométricas

Sabemos que lı́mθ→0

1 = 1 y que lı́mθ→0

cos(θ) = 1. Ambos límites existen y son iguales.Concluimos (usando el Teorema 10.4.1 del Sandwich que enunciamos a continuación) que

lı́mθ→0+

sen θθ= 1.

x

yf (x)

h(x)

a

Lg(x)

Figura 10.20: Teorema del Sand-wich.

Teorema 10.4.1 — Teorema del Sandwich. Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) cuando x es cercana a a(excepto posiblemente en x = a) y

lı́mx→a

f (x) = lı́mx→a

h(x) = L

entonces lı́mx→a

g(x) = L.

El Teorema del Sandwich, que a veces recibe el nombre de Teorema de Contracción o deCompresión, se ilustra en la Figura 10.20. No lo demostraremos. Nos dice que si g(x) estáatrapada entre f (x) y h(x) cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, entonces g esforzada a tener el mismo límite L en a.

Con un razonamiento muy similar para valores θ → 0− se obtiene que

lı́mθ→0+

sen θθ= lı́mθ→0−

sen(θ)θ

.

Luego,

lı́mθ→0

sen(θ)θ= 1.

El límitelı́mθ→0

cos(θ) − 1θ

tampoco puede calcularse por evaluación. Lo haremos de la siguiente manera:

lı́mθ→0

cos(θ) − 1θ

= lı́mθ→0

(cos(θ) − 1

θ

).

(cos(θ) + 1cos(θ) + 1

)= lı́mθ→0

cos2(θ) − 1θ (cos(θ) + 1)

= lı́mθ→0

− sen2(θ)

θ (cos(θ) + 1)= − lı́m

θ→0

sen(θ)θ︸ ︷︷ ︸→ 1

(ya lo calculamos)

.sen(θ)

cos(θ) + 1︸ ︷︷ ︸→ 0

(se calcula porevaluación)

= (−1).(

01 + 1

)= 0.

Retomando el cálculo de la derivada que estábamos realizando,

f ′(x) = lı́m∆x→0

sen(x) lı́m∆x→0

cos(∆x) − 1∆x

+ lı́m∆x→0

cos(x) lı́m∆x→0

sen(∆x)∆x

= (sen(x)).0 + (cos(x)).1 = cos(x).

Hemos demostrado la fórmula para la derivada de la función seno:

Teorema 10.4.2 — Derivada de la función sen(x). La función sen(x) es derivable en todo R y

ddx

sen(x) = cos(x)

10.4 Derivada de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x) 11

� Ejemplo 10.2 Calculamos la derivada de la función f (x) = x2 sen(x) utilizando el Teorema10.4.2 y la regla del producto.

ddx[x2 sen(x)] =

ddx(x2). sen(x) + x2 d

dx(sen(x)) = 2x sen(x) + x2 cos(x)

�

Siguiendo el mismo camino que usamos en la demostración del Teorema 10.4.2 se puededemostrar

Teorema 10.4.3 — Derivada de la función cos(x). La función cos(x) es derivable en todo R y

ddx

cos(x) = − sen(x)

Actividad 10.7 Realicen la demostración del Teorema 10.4.3. �

La función g(x) = tan(x) también se puede derivar para x en su dominio usando ladefinición de derivada, pero es más sencillo en este caso usar la regla del cociente para derivarlaaprovechando que ya conocemos la derivada de las funciones sen(x) y cos(x):

ddx(tan(x)) =

ddx

(sen(x)cos(x)

)=

ddx (sen(x)) cos(x) − sen(x) d

dx (cos(x))(cos(x))2

=cos(x) cos(x) − sen(x) (− sen(x))

(cos(x))2

=cos2(x) + sen2(x)(cos(x))2

=1

cos2(x)= sec2(x)

Tomando como base las funcio-nes sen(x), cos(x) y tan(x) se de-finen tres nuevas funciones

Secante: sec(x) =1

cos(x)

Cosecante: cosec(x) =1

sen(x)

Cotangente: cot(x) =1

tan(x)Teorema 10.4.4 — Derivada de la función tan(x). La función tan(x) es derivable en todo sudominio y

ddx(tan(x)) = sec2(x)

Actividad 10.8 Determinen el dominio de las funciones sec(x), cosec(x) y cot(x). �

Actividad 10.9 Hallen, usando las reglas de derivación, la derivada de las siguientesfunciones:

a) g1(x) = sec(x) b) g2(x) = ex cos(x)

c) g3(x) = x + cos(x) d) g4(x) = sen(a + x3), a ∈ R constante�

Actividad 10.10 Indiquen para que valores de x la gráfica de las siguientes funciones tienenuna recta tangente horizontal.

a) f (x) = x + sen(x) b) g(x) = ex cos(x)�

12 Capítulo 10. Funciones trigonométricas

Actividad 10.11a) ¿En qué intervalos es creciente f (x) = x − 2 sen(x)? Con 0 ≤ x ≤ 2πb) ¿En qué intervalos es cóncava hacia abajo g(x) = 2x−2 tan(x)? Con−π/2 < x < π/2.

�

10.5 Límites que involucran funciones trigonométricasYa hemos estudiado y calculado los siguientes límites

lı́mθ→0

sen(θ)θ= 1 (10.2) lı́m

θ→0

cos(θ) − 1θ

= 0 (10.3)

En esta sección calcularemos algunos límites que involucran algunas de las funciones tri-gonométricas e identificaremos algunos comportamientos asintóticos horizontales y verticales.

Para estar atentos y atentas

sen(3x) , 3 sen(x)

� Ejemplo 10.3 Calculemos el lı́mx→0

sen(3x)x

.

lı́mx→0

sen(3x)x

= lı́mx→0

sen(3x)x

33= lı́m

x→03

sen(3x)3x

= lı́mu→0

3sen(u)

u= 3 lı́m

u→0

sen(u)u= 3.1 = 3

Realizamos la sustitución u = 3x observando que x → 0⇐⇒ u→ 0 para re-escribirel límite original como un límite de la forma 10.2 que ya sabemos cuanto vale. �

x

y

Figura 10.21: Gráfica de la funciónsen

( πx

)en el intervalo (0,+∞).

� Ejemplo 10.4 Investiguemos el lı́mx→0

sen( π

x

).

Dado que no podemos calcular el límite evaluando en x = 0 analizaremos elcomportamiento de la función f (x) = sen

( πx

)cerca de x = 0 (en x = 0 no está

definida). Si evaluamos la función en algunos valores pequeños de x, obtenemos

f (1) = sen(π) = 0 f (1/2) = sen(2 π) = 0

f (1/3) = sen(3 π) = 0 f (1/4) = sen(4 π) = 0

f (0.1) = sen(10 π) = 0 f (0.01) = sen(100 π) = 0

Por otro lado, si calculamos f (0.001) = f (0.00001) = 0. En base a eso alguienpodría estar tentado a pensar que el lı́m

x→0sen

( πx

)= 0 pero esa respuesta no es correcta.

Observemos que aunque f (1/n) = sen(n π) = 0 para todo n entero, también es ciertoque f (x) = 1 para infinitos valores de x cercanos a 0. En la Figura 10.21 podemos verla gráfica de la función.

La línea entrecortada cerca del eje-y indica que los valores del sen(π/x) oscilaninfinitamente tomando valores entre −1 y 1 cuando x se acerca a 0. Como los valoresde f (x) no se aproximan a un número fijo cuando x se aproxima a 0 decimos que

lı́mx→0

sen( π

x

)no existe.

�

10.5 Límites que involucran funciones trigonométricas 13

� Ejemplo 10.5 Calculemos ahora el lı́mx→0

x sen(

1x

).

Este límite tampoco puede calcularse por evaluación. Pero, a diferencia del Ejemplo 10.4la función tiene un factor x delante

x︸︷︷︸→0

. sen(

1x

)︸ ︷︷ ︸

Varía entre -1 y 1

.

De modo que los valores de x. sen(

1x

)se irán acercando a 0 si x → 0. Lo desarrolla-

remos usando el Teorema del Sandwich, multiplicando por x (positivo o negativo) atodos los miembros de la desigualdad

−1 ≤ sen(

1x

)≤ 1

obteniendo

−x ≤ x sen(

1x

)≤ x si x > 0

−x ≥ x sen(

1x

)≥ x si x < 0.

Tanto en el caso en que x > 0 y x < 0, los valores de la función x sen(

1x

)se

encuentran acotados por arriba y por abajo por funciones que tienden a cero cuando xse acerca a cero, es decir

f1(x) ≤ x sen(

1x

)≤ f2(x)

con lı́mx→0

f1(x) = 0 y lı́mx→0

f2(x) = 0, y entonces por el Teorema del Sandwichpodemos asegurar que

lı́mx→0

x sen(

1x

)= 0.

En la Figura 10.22 podemos ver la gráfica de la función f (x) = x sen(

1x

). Tiene

una discontinuidad evitable en x = 0. Podemos definirla como f (0) = 0 para queresulte una función continua en todo R.

f̃ (x) =

x sen

(1x

)si x , 0

0 si x = 0.�

x

y

Figura 10.22: Gráfica de la funciónx sen

( πx

)en el intervalo (0,+∞).

Definición 10.5.1 — Límites oscilantes. Los casos similares al presentado en el Ejemplo10.4 se denominan límites oscilatorios y corresponden a discontinuidades inevitables delas funciones.

14 Capítulo 10. Funciones trigonométricas

Actividad 10.12 Calculen los siguientes límites.

a) lı́mx→0

cos(x) + 3tan(x) + 3

b) lı́mx→0

sen(7x)4x

c) lı́mx→0

tan(x)2x

d) lı́mx→π

x − πsen(x − π)

e) lı́mt→0

sen2(3t)t2

�

Actividad 10.13 Prueben que el lı́mt→0

t4 cos(

2t

)= 0. ¿Cómo corresponde re-definir la función

g(t) = t4 cos(

2t

)para que resulte continua en todo R? �

10.6 Funciones trigonométricas inversasDado que ninguna de las 3 funciones sen(x), cos(x) y tan(x) es una función 1-1 en

sus respectivos dominios se definen las funciones trigonométricas inversas tomando sub-intervalos como se detalla a continuación.

Las fórmulas presentadas paralas derivadas de las funciones tri-gonométricas inversas se dedu-cen de lo aprendido en elMódulo7.

Definición 10.6.1 — Funciones trigonométricas inversas. Se definen las siguientes funcionescomo las inversas de las funciones sen(x), cos(x) y tan(x).

Función Función inversasen(x) : [− π2 ,

π2 ] −→ [−1, 1] arc sen(x) : [−1, 1] −→ [− π2 ,

π2 ]

cos(x) : [0, π] −→ [−1, 1] arc cos(x) : [−1, 1] −→ [0, π]

tan(x) : (− π2 ,π2 ) −→ R arctan(x) : R −→ (− π2 ,

π2 )

La función arctan(x) es derivable en todo su dominio

ddx

arctan(x) =1

1 + x2 para x ∈ R

Las funciones arc sen(x) y arc cos(x) no son derivables en todo su dominio. Se tiene que

ddx

arc sen(x) =1

√1 − x2

para x ∈ (−1, 1)

ddx

arc cos(x) =−1

√1 − x2

para x ∈ (−1, 1)

Actividad 10.14 Realicen las gráficas de las funciones arc sen(x), arc cos(x) y arctan(x)considerando que son funciones inversas (repasar el Módulo 8). �