10.3 Polar Functions complete.notebook

7
10.3 Polar Functions complete.notebook March 25, 2016 Feb 158:09 PM 10.3 Polar Functions Polar coordinate system is a plane with point O, the pole and a ray form O, the polar axis. A polar coordinate (r, θ) has a directed distance r (from O to P) and a directed angle θ, whose initial side is on the polar axis and whose terminal side is the line OP. If then P is on the terminal side of If then P is on the terminal side of Each polar coordinate determines a unique point, but the polar coordinates of a point P in the plane are not unique. Ex. 1 Find all polar coords for P(3,π/3) If P has polar coords (r, θ), any other polar coord of P must be (r, θ+2nπ) or (r, θ+(2n+1)π) Where n is any integer. The pole would be (0,θ), whereθ is any angle. Polar > Rectangular Conversion Formulae

Transcript of 10.3 Polar Functions complete.notebook

Page 1: 10.3 Polar Functions complete.notebook

10.3 Polar Functions complete.notebook March 25, 2016

Feb 15­8:09 PM

10.3 Polar Functions

Polar coordinate system is a plane with point O, the pole and a ray form O, the polar axis.

 A polar coordinate (r,θ) has a directed distance r (from O to P) and a directed angle θ, whose initial side is on the polar axis and whose terminal side is the line OP.

If    then P is on the terminal side of If    then P is on the terminal side of 

Each polar coordinate determines a unique point, but the polar coordinates of a point P in the plane are not unique.

Ex. 1

Find all polar coords for P(3, π/3)

If P has polar coords (r,θ), any other polar coord of P must be (r,θ+2nπ) or (­r,θ+(2n+1)π)

Where n is any integer. The pole would be (0, θ),  where θ is any angle.

Polar ­> Rectangular Conversion Formulae

Page 2: 10.3 Polar Functions complete.notebook

10.3 Polar Functions complete.notebook March 25, 2016

Feb 15­8:09 PM

Ex. 2Plot the given polar coordinates and find their rectangular equivalents.

(a) P(2,3π/2)   (b) Q(6,π/3) 

(c) R(4,­5π/6) (d) S(­1, 3π/4)

Ex. 3Plot the given rectangular coordinates and find their polar equivalents.

(a) P(2,0)   (b) Q(0,­3)  (c) R(­2,2)

Page 3: 10.3 Polar Functions complete.notebook

10.3 Polar Functions complete.notebook March 25, 2016

Feb 15­8:09 PM

Ex.4

Graph all points in the plane that satisfy the given polar equation

(a) r=4 (b) r=­5 (c) θ= ­π/3

Ex.5

Graph the following pairs of polar curves and discuss the differences with your neighbor. you may wish to graph them independently first  or get your neighbor to graph one and you graph the other. Sketch what you see.

(a) r=cos4θ and  r=sin4θ

(b) r=1­3sinθ and r=1­3cosθ

(c) r=5cosθ and r=5sinθ

Page 4: 10.3 Polar Functions complete.notebook

10.3 Polar Functions complete.notebook March 25, 2016

Feb 15­8:09 PM

Coordinate Conversion

Let point P have polar coordinates (r,θ) and rectangularcoordinates (x,y). Then:

Ex6

Convert r=8sinθ to rectangular coordinates to determine the well known polar function.

TRY

Convert r=­2cscθ to rectangular coordinates to determine the well known polar function.

Page 5: 10.3 Polar Functions complete.notebook

10.3 Polar Functions complete.notebook March 25, 2016

Feb 15­8:09 PM

Slopes of Polar Curves

As in parametric mode the slopes of polar curves are still

and the slope is defined by

Ex7

Find the slope of the rose curve r=2 sin3θ at the point where θ =π/6 and use it to find the equation of the tangent line.

Page 6: 10.3 Polar Functions complete.notebook

10.3 Polar Functions complete.notebook March 25, 2016

Feb 15­8:09 PM

Areas in Polar Curves

The are of the region between the origin and the curve for r=f(θ) for α≤θ≤β is 

Ex.8Find the area of the region in the plane enclosed by  the cardioid r=4(1+cosθ).

Ex.9

Find the area inside the smaller loop of the limaçon r=2cosθ+1

Page 7: 10.3 Polar Functions complete.notebook

10.3 Polar Functions complete.notebook March 25, 2016

Feb 15­8:09 PM

Area Between Polar Curves

The area of the region between r1(θ) and r2(θ) for α≤θ≤β is

Ex. 10

Find the area of the region that lies inside the circle r=3 and outside the cardioid r=3(1­cosθ).

Ex. 11Find the area of the region that lies inside the circle r=3 AND inside the cardioid r=3(1­cosθ).