100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word

Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης

Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός

1

100

ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

(ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ)

ΘΕΜΑ 1ο

a) Δίνεται η δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f , με

f (x) 0 , για κάθε x . Αν 1 2 3 4a ,a ,a ,a είναι διαδοχικοί όροι μιας γνησίως

αύξουσας αριθμητικής προόδου, να δειχτεί ότι:

1 4 2 3f (a ) f (a ) f (a ) f (a )

b) Να λυθεί στο η εξίσωση: x x x x6 5 4 3 0

ΘΕΜΑ 2ο

α) Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο 0, για την οποία ισχύει:

x x xe f (x) 2e ημe , για κάθε x 0, .

Να δειχτεί ότι xlim f (x) 2

ΘΕΜΑ 3ο

a.) Να δειχτεί ότι η εξίσωση x 2e x x 1 0 έχει το πολύ τρεις ρίζες

πραγματικές.

b) Αν οι αριθμοί 1 2 va ,a ,...,a είναι πραγματικοί και οι αριθμοί 1 2 νβ ,β ,...,β είναι

θετικοί και ικανοποιείται η σχέση:

χ χ χ

1 1 2 2 v ν 1 2 να β α β ... a β α α ... α για κάθε χ να δειχτεί ότι: ν1 2 αα α

1 2 νβ β ...β 1

ΘΕΜΑ 4ο

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει 4xf (x) 3x ημ2x (x 1) x, x , να βρεθεί το f (0)

ΘΕΜΑ 5ο

α) Αν η συνάρτηση f : είναι δυο φορές παραγωγίσιμη καιf (x)f (x) a,a 0 για κάθε x , να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : που είναι παραγωγίσιμη και

ισχύει f (0) 0 . Να δειχτεί ότι υπάρχει 0

πx 0,

4

τέτοιος, ώστε:



2

00 0

0

1 ε χf (χ ) f (χ )

1 ε χ

.

ΘΕΜΑ 6ο

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( 1,+ ) για την οποία

ισχύει xf (x)

f (x) ln x2

Να δειχτεί ότι:

i) Η συνάρτηση 2g(x) f (x) ln x είναι σταθερή στο 1, .

ii) Αν f (e) 3 , να βρεθεί η συνάρτηση f .

iii) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία.

ΘΕΜΑ 7ο

α) i)΄Εστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (a) f (β) 0 και f (x) 0 ,

για κάθε χ a,β . Να δειχτεί ότι f (x) 0 , για κάθε χ α,β .

ii) Αν g (x) 0 ,για κάθε x α,β να δειχτεί ότι

g(β) g(a)g(a) (x a) g(x)

β α

,

για κάθε χ α,β .

β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: xxf (x) 1 e ημ2x για κάθε x , να δειχτεί ότι f (0) =3.

γ) Αν η συνάρτηση xf (x) e x 2005 παρουσιάζει στο σημείο 0x a ακρότατο,

τότε ισχύει 2002 2003 2004 2005a a a a 0

ΘΕΜΑ 8ο

α) Να δειχτεί ότι κάθε πολυώνυμο Ρ(Χ) βαθμού 3 παίρνει τη μορφή:

2 3x xP(x) P(0) xP (0) P (0) P (0).

2 6

β) Δίνεται η συνάρτηση 1

f (x) ln xx

με 2x e,e . Να δειχτεί ότι υπάρχει

μοναδικός 2

0x e,e τέτοιος, ώστε 0

3f (x )

2



3

ΘΕΜΑ 9o

α) Έστω ότι η ευθεία ψ 2χ 5 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας

συνάρτησης f στο . Να βρείτε τα όρια:

ι) x

f (x)lim

x και

xlim f (x) 2x

.

ιι) Να βρεθεί ό πραγματικός αριθμός μ, αν 2x

μf (x) 4xlim

xf (x) 2x 3x

=1

β) Να δειχτεί ότι:

ι) xe x 1 0 για κάθε x

ίί) Η εξίσωση x 22e 2x x 2 έχει ακριβώς μια λύση στο τη χ=0.

ΘΕΜΑ 10ο

Δίνεται o θετικός πραγματικός αριθμός α και η συνάρτηση:

2f (x) ax 2x ln x, με x 0, .

ι) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη.

ίί) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(1, f (1)) και να προσδιορίσετε το α, ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ΘΕΜΑ 11ο

Θεωρούμε τις συναρτήσεις 3x 2f (x) e και 2g(x) ln x , ορισμένες

στα σύνολα και 41,e αντιστοίχως.

ί) Να εξεταστεί αν ορίζεται η συνάρτηση h g f

ιι) Να βρεθεί το 2

x 0

h(x) ημ χ 4lim

χ

ΘΕΜΑ 12ο

ι) Να δειχτεί ότι η συνάρτηση 3f (x) x 3x a είναι γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα 1,1

ίί) Να βρεθεί τo σύνολο τιμών της f στο διάστημα 1,1

ιιι) Αν -2<α< 2, να δειχτεί ότι η εξίσωση 3x 3x a 0 έχει μια ακριβώς λύση στο

(-1,1).



4

ΘΕΜΑ 13ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2f (x) x ln x.

ί) Να δειχτεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής της παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ.

ιί) Να δειχτεί ότι 2x 1

ln x2e

, για κάθε x 0,

ΘΕΜΑ 14ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : παραγωγίσιμη σ’ όλο το πεδίο ορισμού της, για την οποία ισχύει ότι:

x yf (x y) e f (y) e f (x) , για κάθε x, y πραγματικούς αριθμούς και f (0) 2

ι) Να αποδείξετε ότι f (0) 0 και 2xf (3x) 3e f (x), για κάθε x

ιι) Να βρείτε τα x 0 x 0

f (x) f (2x)lim ,lim

x 2x

ιιι) Να βρεθεί η f (x).

ΘΕΜΑ 15ο

Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : a,β με α>0 και

f (a) f (β) 0 . Να δειχτεί ότι

i) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ε (α,β) τέτοιο ώστε ξf (ξ) f (ξ) .

ii) Αν f (x) 0 για κάθε χ(α,β), τότε το ξ είναι μοναδικό.

iii) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο Μ(ξ, f (ξ))

περνά από την αρχή των αξόνων.

ΘΕΜΑ 16ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : a,β με f (x) 0 , για κάθε x a,β και

f (a) f (β) . Να δειχτεί ότι f (a)f (β) 0

ΘΕΜΑ 17ο

Να βρεθεί μια συνάρτηση f , ορισμένη στο (0,2π) για την οποία ισχύουν οι σχέσεις

2

1 1f (x) f (x) ημ χ

x x και

2πf ( ) 0

4 (Ολοκλήρωμα).

ΘΕΜΑ 18ο

ι) Αν a β2α e 2β e τότε είναι α = β.



5

ίί) Να λυθεί στο η εξίσωση 2x 2 x 2e e x x 2

ΘΕΜΑ 19o

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f με f (0) 0 . Υποθέτουμε ότι για

κάθε x ισχύει ότι xf (x) 8e συνx 7 , να υπολογισθεί το x 0

f (x)lim

x.

ΘΕΜΑ 20ο

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : a,a ) με α>0 , που είναι δυο φορές

παραγωγίσιμη στο (-α,α) , με f (a) f ( a)

f (0)2

.

Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ε (-α,α) ώστε f (ξ) 0 .

ΘΕΜΑ 21o

ι) Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:

2 2f (x y) f (x) f (y)

για κάθε x, y με f (0) 0 . Να δειχτεί ότι f είναι συνεχής.

ίί) Δίνεται η συνάρτηση g : για την οποία ισχύει:

3g (x) g(x) x

Να δειχτεί ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται και ότι η 1g είναι συνεχής.

ΘΕΜΑ 22o

α) Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση f : a,β με f (α) f (β) . Αν κ,λ

να

δειχτεί ότι υπάρχει ξ α,β ώστε κf (α) λf (β)

f (ξ)κ λ

β) Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία υπάρχει η f και είναι f (x) 0 ,

για κάθε x με f (0) 0 . Να δειχτεί ότι η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [0,+ )

και τα κοίλα κάτω στο (- ,0].

ΘΕΜΑ 23o

α) Να λυθεί η εξίσωση: 2ln(x 1) x x 6 0

β) Θεωρούμε τις συνεχείς στο [α,β] συναρτήσεις f , g , που είναι παραγωγίσιμες στο

(α,β), με f (x) 0 , για κάθε x a,β και ln f (a) ln f (β) g(β) g(a) . Να δειχτεί

ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιος, ώστε f (ξ) f (ξ)g (ξ) 0

ΘΕΜΑ 24ο



6

α) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , για την οποία f (1) 1 και 3 2 3 4x x f (x) f (x) 5 , για κάθε χ . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

γραφικής παράστασης της f στο σημείο

Μ(1, 1).

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : 1, , με f (x) x f (x)x e , για κάθε x 1 . Να

βρεθεί η f (x) .

ΘΕΜΑ 25ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f :Δ που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη ώστε

f (x) 0 , για κάθε x Δ . Θεωρούμε και τη συνάρτηση g : f Δ που είναι δυο

φορές παραγωγίσιμη, με g (x) 0 και g (x) 0 , για κάθε x f (Δ) . Να δειχτεί ότι

η συνάρτηση g f στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ.

ΘΕΜΑ 26ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : που είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει xf (x) (x 1)f (x) , για κάθε x και f (1) e ,1

f ( 1)e

. Να βρεθεί ο

τύπος της συνάρτησης f και κατόπιν το x 0lim f (x)

.

ΘΕΜΑ 27ο

Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : . Υποθέτουμε ότι η f είναι κυρτή και ότι η f δεν έχει σημεία καμπής. Να δειχτεί ότι η f είναι 1-1.

ΘΕΜΑ 28ο

α) Αν για τη συνάρτηση f : ισχύουν τα εξής: f (x) 0 , για κάθε x

και f (0) 0 , να δειχτεί ότι το σημείο 0,f (0) είναι σημείο καμπής του

διαγράμματος της f .

β) Η συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με

2

g(x) f (x) . Αν οι συναρτήσεις f και g παρουσιάζουν καμπή στο σημείο 0x ,

τότε είναι 0f x 0 .

ΘΕΜΑ 29ο

α) Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , με f (x) f (x) 0

, για κάθε x και f (0) f (0) 0 . Να βρεθεί ο τύπος της f



7

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : . Να βρεθεί το x 0limf (x)

και να μελετηθεί η f

ως προς τη μονοτονία, αν xf (x)f (A) (0, ), 1 e

f (x)

, για κάθε x και

f (ln 3) 3 .

ΘΕΜΑ 30ο

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ,g : . Αν ισχύουν οι ισότητες:

x 2lim xf (x) 2g(x) 3

και x 2lim f (x) 1 4χg(x) 5

.

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα x 2 x 2limf (x), limg(x)

.

ΘΕΜΑ 31ο

α) Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , με f (2) 2 και

f (2) 3 . Θεωρούμε και τη συνάρτηση g : , με 2g(x) f (3x x) , για κάθε

x . Να βρεθεί η g (1).

β) Έστω f : μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, με f γνησίως αύξουσα στο .

Να δειχτεί ότι f (x 1) f (x 1) f (x) f (x), για κάθε x

ΘΕΜΑ 32ο

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν 2xf (x) x e 1 f (x)

και 1

f (x) x f (x)4

.

ι) Να δειχτεί ότι xlim f (x)

ιι) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ( 0,f (0)) .

ιιι) Να δειχτεί ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της fπαράλληλη προς τον άξονα χ΄χ

ιν) Να δειχτεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση και κυρτή στο

.

ΘΕΜΑ 33ο

Θεωρούμε τη συνάρτησηπ

g : 0,2

για την οποία ισχύουν



8

2

1g (x) ,g(0) 2

συν (x) και ότι η εφαπτόμενη της γραφικής της παράστασης στο

σημείο 0

πx

4 είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 2χ ψ 3 0 . Να δειχτεί

ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής.

ΘΕΜΑ 34ο

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : a,β , για την οποία ισχύει f (α) f (β) 0 .

Να δειχτεί ότι η f έχει ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού στο [α,β].

ΘΕΜΑ 35ο

Θεωρούμε την συνάρτηση f : 0, με 2f (x) x 2a ln x , με a .

ι) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει εφαπτομένη

παράλληλη προς τον άξονα χ΄χ.

ιι) Να δειχτεί ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία με

τετμημένη 0x 0 για τις διάφορες τιμές του a περνούν από το ίδιο σημείο.

ΘΕΜΑ 36ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 βχf (x) x ax e με α,β ,β 0 . Να δειχτεί ότι έχει

δυο κρίσιμα σημεία.

ΘΕΜΑ 37ο

Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο [0,1] με f (0) 0

και f (x) 0, για κάθε x (0,1) . Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ 0,1 ώστε

f (ξ) f (1 ξ)2

f (ξ) f (1 ξ)

.

ΘΕΜΑ 38ο

Εστω f ,g : 0,1 δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις ώστε f (x) 0,g(x) 0 για κάθε

x 0,1 και f (0) g(1) 0 αποδείξτε ότι υπάρχει ξ 0,1 , ώστε f (ξ) g (ξ)

0f (ξ) g(ξ)

.

ΘΕΜΑ 39ο

Η συνάρτηση f :[1,4] είναι παραγωγίσιμη στο [1,4]. Για κάθε



9

x[0,4] ισχύει ότι f (4x) 4f (x) και 25

f 1100

. Να δειχτεί ότι

υπάρχουν 1 2 3x ,x ,x 1,4 ώστε1 2 3f (x ) f (x ) f (x ) 12 .

ΘΕΜΑ 40ο

Θεωρούμε την συνάρτηση f : που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη

f (x) f (x) για κάθε x . Αν η f παρουσιάζει για0x 0 τοπικό ακρότατο το

f (0) 0 να δειχτεί ότι:

ι) Αν x 0 ,τότε f (x) f (x)

ιι) Αν x 0 , τότε f (x) f (x)

ΘΕΜΑ 41ο

α) Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,2 με

f (0) f (2) 0 και 2g(x) f (1)(2x x )

ι) Να δειχτεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία 1 2 1 2ξ ,ξ (ξ ξ ) του (0,2) ώστε

1 1g (ξ ) f (ξ ) και2 2g (ξ ) f (ξ )

ιι) Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ε (0,2) τέτοιο ώστε1

f (1) f (ξ)2

.

β) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : που στρέφει τα κοίλα

άνω στο . Αν υπάρχει 0x ώστε 0f (x ) 0 , τότεxlim f (x)

.

ΘΕΜΑ 42ο

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : που η γραφική της παράσταση στρέφει τα κοίλα άνω και περνά από την αρχή των αξόνων. Να δειχτεί ότι για κάθε

x ισχύει3x

3f (x) 4f ( )4

ΘΕΜΑ 43ο

Αν x 0

xf (x) f

3lim c,c

2x

, να δειχτεί ότι f 0 3c .

ΘΕΜΑ 44ο

Θεωρούμε την συνάρτηση f : που είναι παραγωγίσιμη στο 0 και για την

οποία ισχύει f x f y

f x y1 f (x)f (y)



10

για κάθε x, y . Αν για κάθε x, y ισχύει ότι f (x)f (y) 1 , να δειχτεί ότι η f

είναι παραγωγίσιμη.

ΘΕΜΑ 45ο

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,π για την οποία ισχύει

2

f (x) x 1 .

Να αποδειχθεί ότι:

ι) f (1) 0 .

ιι) x 1limf (x) 0

ιιι) π

x2

lim f (ημχ) 0

ίν) π

x2

πf (ημχ) χf (1)

f (1)2lim2x π 2

ΘΕΜΑ 46ο

Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την

οποία ισχύουν x x xlimf (x) limf (x) limf (x)

και

x

xf (x)lim 2

f (x)

.

Να δειχτεί οτι x

xf (x)lim 0

f (x)

.

ΘΕΜΑ 47ο

ι) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με τις ιδιότητες

f (0) 0 ,και 2 πf (x) (2x a)ημ(x β) (x αx)συν(x β),a,β 0,

2

Να

βρεθεί ο τύπος της f .

ιι) Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιος ώστε εφ(ξ — β) =2αξ ξ

2ξ α

.

ΘΕΜΑ 48ο



11

Αν το διάγραμμα της συνάρτησης f : έχει πλάγια ασύμπτωτη τήν ευθεία ψ =

2χ+ 1 όταν χ να υπολογιστεί το 2

2 3 2x

xf (x) 5x 1lim

x f (x) 2x 3x 3

.

ΘΕΜΑ 49o

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:

2(x 1)f (x) 4xf (x) 2f (x) 0 για κάθε x

ι) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης φ: για την οποία ισχύει

φ( 2x) 2xf (x) (x 1)f (x) .

ιι) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f αν γνωρίζουμε ότι η γραφική της παράσταση περνά από την αρχή των αξόνων και ότι η εφαπτομένη της στην αρχή των αξόνων είναι κάθετη στην ευθεία :x 2y 1 0 .

ΘΕΜΑ 50ο

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, ) , για την οποία ισχύουν

2x f (ln x) xημx 2συνx και f (0) συν1 . Να δειχτεί ότι π

2π

συνef (π)

e.

ΘΕΜΑ 51ο

α) Δίνεται η συνάρτηση F με 3 2F(x) λx μx κx , που παρουσιάζει στο σημείο

x 1 τοπικό μέγιστο και στο σημείο x 2 καμπή.

Να δειχτεί ότι: μ 6λ,κ 9λ .

β) Δίνεται η συνάρτηση f : που είναι συνεχής στο 0 και για την οποία ισχύει

f (x y) f (x)συνy f (y)συνx . Να δειχτεί ότι η f είναι συνεχής.

ΘΕΜΑ 52ο

ι) Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη και f (x) f (x) 0 , τότε είναι xf (x) ce (c : σταθερά).

Ιι) Δίνεται η συνάρτηση g : (1, ) για την οποία ισχύει:

x

x

g(x)(ln x 1)g (x)

ln x

με g(2) 1 . Να δειχτεί ότι

xlim g(x) 0

.

ΘΕΜΑ 53ο

Να δειχτεί ότι 2 2ln x x 1 .



12

ΘΕΜΑ 54ο

Δίνεται η συνάρτηση x xa β

f (x) ln( )2

με α,β >0 και α β. Να

δειχτεί ότι:

ι) Η f είναι κυρτή στο .

ιι) Αν f (x) x για κάθε x , τότε αβ = 2e

ΘΕΜΑ 55ο

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύ ει

f (ln a) f (lnβ) . Αν ισχύει lnα ln γ lnβ , με α, β, γ >0 και 2γ β

eα γ ,να δειχθεί

ότι υπάρχουν αριθμοί 1 2ξ ,ξ τέτοιοι ώστε

1 2f (ξ ) f ξ ) 0 .

ΘΕΜΑ 56ο

Θεωρούμε την συνεχή στο διάστημα πe,πe συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

2 2 2 2 2x π f (x) π e .

ι) Να δειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-πe , π e).

ii) Αν f (χ) 0 για κάθε x πe,πe , να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο

πe,πe .

ΘΕΜΑ 57ο

Θεωρούμε την συνεχή στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

x 1e 1 (x 1)f (x) ε (x 1) για κάθε x . Αν είναι x 2

f (x)lim 2

x 2

,τότε:

ι) Να βρεθούν οι αριθμοί f ( 1) και f (2) .

ιι) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με την γραφική

παράσταση της συνάρτησης 22 x x 1g(x) (x 1)e ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με

τετμημένη 0x ( 1, 2).

ΘΕΜΑ 58ο

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο

0, και τη συνάρτηση xh(x) 2 f (x) . Αν ισχύει

xf (x) x2 (ln 2)f (x) , τότε:



13

ι) Να υπολογιστεί ο τύπος της f αν είναι γνωστό ότι παρουσιάζει τοπικό ακρότατο

στο σημείο 0x 1.

ιι) Να δειχθεί ότι η h δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη.

ΘΕΜΑ 59ο

Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f και για τις οποίες ισχύει: xe f (x) g (x) g(x) και g(0) f (0) 0 .

ι) Να δειχθεί ότι x

g(x)f (x)

e .

ιι) Αν η f έχει πλάγια ασύμπτωτη στην περιοχή του την ευθεία y x 2 , να

δειχθεί ότι 2 xx

g(x) 1lim .

xg(x) x e 2

ΘΕΜΑ 60ο

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο 0x 2 για την οποία ισχύει

2f (x) ln(x 1) (x 2) για κάθε x 1

ΘΕΜΑ 61ο

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (x)

f (x)2

για κάθε x . Να δειχθεί ότι:

ι) Η συνάρτηση 2xh(x) f (x)e έχει παράγωγο μηδέν.

ιι) Αν f (0) 1945 , η f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ αν f (0) 2000 , η f είναι

γνησίως αύξουσα.

ΘΕΜΑ 62ο

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο με f (x) 0 και f (x) 0, x και

ισχύει: f (xy) f (x)f (y), x, y .

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g για την οποία ισχύει:

2g (x)f (x) f (x) 1 lnf (x) με g(0) 0 . Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (0,1) τέτοιος

ώστε f (ξ) e.

ΘΕΜΑ 63ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει x f (x) 2ln x f (x)f (x) e e



14

για κάθε x 0, και f (0) 0. Να δειχθεί ότι:

ι) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατο σε κανένα σημείο του διαστήματος 0, .

ιι)Το θεώρημα του Rolle δεν ισχύει σε κανένα διάστημα της μορφής 00,x

ιιι) Η f δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες.

ίν) Η ευθεία (ε): 3e 1

y x 13e 3

είναι κάθετη στην εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f στο σημείο 0x 1 .

ΘΕΜΑ 64ο

Θεωρούμε τη θετική συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο e, και για την οποία

ισχύει: f (x)f (x)e x

και f (e) 0 . Να δειχθεί ότι:

ι) Η f αντιστρέφεται.

ιι) Η γραφική παράσταση της f συναντά τον άξονα χ΄χ σ’ ένα σημείο, ενώ δεν συναντά τον άξονα ψ΄ψ.

ΘΕΜΑ 65ο

Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει

f (a) f (β) 0 και f (c) 0 για ένα c που ανήκει στο διάστημα (α, β). Να δειχθεί

ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε f (ξ) 0 .

ΘΕΜΑ 66o

Αν f :[α,β] είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α,

β) και 1 2x , x (με 1 2x x ) είναι δύο διαδοχικές ρίζες της f , να δειχθεί ότι:

ι) Υπάρχει το πολύ μια ρίζα της f στο διάστημα 1 2x ,x .

ιι) Αν 1 2f (x )f (x ) 0 , τότε υπάρχει ακριβώς μια ρίζα της f στο διάστημα 1 2x ,x .

ΘΕΜΑ 67ο

Να βρεθεί ο τύπος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f : (0, ) για την οποία

ισχύει: xf (x) f (x) ln f (x) 0 , με f (x) 1 ,

για κάθε x 0, και f (1) e .

ΘΕΜΑ 68ο

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f διάστημα [α, β] (με α,β (1, ) ) για την

οποία ισχύει f (x) 0 για κάθε x [α, β]. Αν 1 2f (ξ ), f (ξ ) είναι αντίστοιχα το



15

ελάχιστο και το μέγιστο της f στο διάστημα [α, β] και ισχύει 2 1f (ξ ) f (ξ )βe

α

και

ακόμα για τη συνάρτηση h(x) f (x) ln x ισχύουν οι προϋποθέσεις του

θεωρήματος του Rolle , να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε

f (ξ) 0 .

ΘΕΜΑ 69ο

ι) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση f :

για την όποία ισχύουν:

f (x)xf (x) e (1 f (x) f (x)) xf (x) x 0 (1)

και 1 f (x) 0 για κάθε x (0, ) .

ιι) Αν y f (x) είναι η λύση της (1) που δεν είναι εκθετική συνάρτηση και για την

οποία είναι f (1) 0 , να δειχθεί ότι μεταξύ δύο ριζών της εξίσωσης f (x)ημχ 1 0

υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης xημx ln x συνx 0 .

ΘΕΜΑ 70ο

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 2 22 2 4α 1 4β 1f (2α) f (2β) e e .Να δειχθεί οτι υπάρχει

0x (2α,2β) τέτοιο ώστε

20x 10 0

0

f (x )f (x )e

x

(δίνεται ότι 0(α , β)).

ΘΕΜΑ 71ο

Να υπολογισθούν οι οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f που είναι

παραγωγίσιμη στο

όταν ισχύει:

2

x

2xf (x) x f (x)1

e

και f (1) 1 .

ΘΕΜΑ 72ο

Δίνεται η συνάρτηση ln x

f (x)x

ορισμένη στο [e, )

ι) Να δειχθεί ότι: x 1821 xx (x 1821)

ιι) Να δειχθεί ότι: 1821 π1821

π [1 ].π

ΘΕΜΑ 73ο

Αν οι συναρτήσεις f και φ και οι παράγωγοί τους f και είναι



16

συνεχείς στο [α,β] , η συνάρτηση f f είναι θετική στο διάστημα αυτό και η f

είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] , να δειχθεί ότι μεταξύ 2 ριζών της εξίσωσης

f (x) 0 υπάρχει μια ρίζα της φ(χ)=0.

ΘΕΜΑ 74ο

Θεωρούμε την τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι ορι σμένη στο 0,1

για την οποία ισχύει f (x) 2 , για κάθε x 0,1 .Να δειχθεί ότι η γραφική

παράσταση της συνάρτησης 3x

g(x) f (x)3

που είναι ορισμένη στο 0,1

βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. Δίνεται ότι 1

f (0) 0, f (0) 0, f (1)3

.

ΘΕΜΑ 75ο

Δίνεται η συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο με συνεχή παράγωγο σε

αυτό και για την οποία ισχύουν:x

x

ef (x) 2

e 1

και f (0) ln 2

Να δειχθεί ότι:

ι) x

x

lim f (x) ,

lim f (x)

ιι) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατα.

ιιι) Η γραφική παράσταση της f συναντά τον άξονα χ΄χ σ’ ένα ακριβώς σημείο.

ιν) f (1) ln(1 e) 2

ΘΕΜΑ 76ο

Δίνεται η συνάρτηση g(x)f (x) g(x)e , όπου g(x) είναι παραγωγίσιμη στο [α,β]

συνάρτηση, με συνεχή παράγωγο σ’ αυτό. Υποθέτουμε ότι:

g (x)(1 g(x)) 0 , για κάθε x[α,β]

Να δειχθεί ότι:

ι) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β].

ιι) Αν g(α) g(β) , να δειχθεί ότι υπάρχει 0χ α,β τέτοιος, ώστε 0f (x ) 0 .

ιιι) Αν είναι f (x) 0 , για κάθε x[α,β] , να δειχθεί ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει

μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα (α ,β).



17

ΘΕΜΑ 77ο

Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [α, β] και που έχει δεύτερη παράγωγο στο διάστημα αυτό. Αν ακόμα ισχύει

g(x) xf (x) , για κάθε x[α,β] και x α x β

αlimf (x) β limf (x)

να δειχθεί ότι υπάρχει ξ

(α,β) τέτοιο ώστε g (ξ) 0 .

ΘΕΜΑ 78ο

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο διάστημα 0, . Η γραφική

παράσταση της συνάρτησης έχει δύο κοινά σημεία με την

πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης 22x 1

g(x)x

. Να αποδειχθεί ότι

υπάρχει ένας τουλάχιστον θετικός αριθμός 0x τέτοιος, ώστε:

0 0 0f (x ) x f (x ) .

ΘΕΜΑ 79ο

Να προσδιοριστεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

f (x y) f (x) yln x cy , για κάθε x 0, y ,c και f (1) 0 καιf (e) e .

ΘΕΜΑ 80

α) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : α,β που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη

στο (α, β), με f (α) f (β) 0 και η οποία παρουσιάζει ακρότατο σε ένα σημείο 0x

του (α, β). Με ποια προϋπόθεση μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχει ξ (α, β)

τέτοιο, που f (ξ) 0 ;

β) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το και f (x) 0,g(x) 0, ,

για κάθε x , να δειχθεί ότι: 2

2 2 38f (x) g (x) 16f (x)g(x) , για κάθε x .

ΘΕΜΑ 81ο

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο [α, β] συνάρτηση f με f (x) 0, για κάθε x α,β , για

την οποία ισχύει: 2 2β ln f (α) α ln f (β)

Να δειχθεί ότι υπάρχει 0x α,β τέτοιος, ώστε

2

0 00

0

f (x ) ln[f (x )]f (x )

x

είναι α,β

.

ΘΕΜΑ 82ο



18

Δίνεται η συνάρτηση f : (1, )

για την οποία ισχύει:

f (x) 1 x ln x

f (x) x ln x

και

ef (e) e .

ι) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι γινόμενο δύο συναρτήσεων των

οποίων οι γραφικές παραστάσεις, με κοινό πεδίο ορισμού το (1, ), δεν έχουν κοινά

σημεία.

ιι) Να δειχθεί ότι: x 1lim f (x) 0

ΘΕΜΑ 83ο

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : και οι α ριθμοί α, β, γ, δ

για τους οποίους υποθέτουμε ότι α<β<γ<δ και f (γ) f (β) f (δ) f (γ)

λ 0f (β) f (α) f (γ) f (β)

. Να

δείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

ΘΕΜΑ 84ο

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

2 2 1f (x ) f (x)

4 για κάθε x . Να δειχθεί ότι:

ι) Η f δεν αντιστρέφεται.

ιι) Υπάρχει ξ (0,1) τέτοιος, ώστε f (ξ)= 0.

ιιι) x 0

2f (x) 1lim 0

2x

.

ΘΕΜΑ 85ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και για την

οποία ισχύει η σχέση x 2000 x1997x2 [f (x)] 2xf (x) 2(2 1)

για κάθε x .

ι) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0 0x (x 0) , να βρεθεί το είδος του

ακρότατου.( Υπόδειξη: Με κριτήριο 2ης παραγώγου, το οποίο είναι εκτός ύλης)

Ιι) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0, να δειχθεί ότι x 0limf (x) ln 2

.

ΘΕΜΑ 86ο



19

Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x) ln f (x), που είναι ορισμένη στο διάστημα 0, με

f (x) 0 , για κάθε x 0, και f (e) e . Η f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη, με

f (x) 0 ,για κάθε x 0, .

ι) Να βρεθεί ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης ln f (x)

g(x)f (x)

.

ιι) Έστω 0x το στάσιμο σημείο(σημεία μηδενισμού της 1ης παραγώγου) της

συνάρτησης g . Να δειχθεί ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων ln f (x) και f (x) στα σημεία 1 0 0M (x , ln f (x )) και

2 0 0M (x ,f (x ))

αντίστοιχα, τέμνονται σε ένα σημείο που βρίσκεται στον άξονα χ΄χ.

ΘΕΜΑ 87ο

Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο και για την οποία

ισχύει: v v v vf (x) 2x x ημ x , για κάθε x

όπου ν είναι φυσικός περιττός αριθμός διάφορος του 1. Να δειχθεί ότι:

Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0.

ΘΕΜΑ 88ο

Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο και για την οποία

ισχύει: f (x y) f (x) f (y) λxy x

για κάθε x με λ . Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f (0) 3

και η συνάρτηση 0

0

f (x) f (x )h(x)

x x

είναι συνεχής στο σημείο 0x να δειχθεί ότι η

εξίσωση h(x) 1821x 4 0 έχει μία τούλάχιστον ρίζα στο .

ΘΕΜΑ 89ο

Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο διάστημα [0,1] συναρτήσεις f και g για τις οποίες

ισχύουν: 2g(x) f (x) ,g (0)f (1)

1, (f (1) 0).g (1)f (0)

Να δείξετε ότι: .

ι) f (0) f (1)

ιι) Υπάρχουν 1 2 3ξ ,ξ ,ξ 0,1 τέτοιοι ώστε:

1 2 3f (ξ ) f (ξ ) f (ξ ) 0 .

ΘΕΜΑ 90ο



20

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β] συνάρτηση f . Θεωρούμε το σημείο ξ

(α,β), που είναι το σημείο που εφαρμόζονται τα συμπεράσματα των θεωρημάτων

μέσης τιμής και Fermat . Να δειχθεί ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του

Rolle . Το ίδιο σημείο είναι σημείο εφαρμογής του συμπεράσματος του θεωρήματος

του Rolle ;

ΘΕΜΑ 91ο

Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f και για τις οποίες

ισχύει : f (x) g(x) 2(λ 2)x 0,(λ ) . Να δειχθεί ότι η εξίσωση g(x) 0 έχει

μία τουλάχιστον ρίζα πραγματική στις εξής περιπτώσεις:

ι) 2 2f (x) (ax βx γ) ln(x 2000),αγ 0 .

ιι) Για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [κ,μ] και για τον μιγαδικό αριθμό z 2000 f (μ)i ισχύει z 0 .

ΘΕΜΑ 92ο

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g , με g(x) 0 , για κάθε x . Να

δειχθεί ότι:

ι) Υπάρχει ξ 0,1 τέτοιο, ώστε να ισχύει:

2

2

ξ ξ

ξ ξ

g (ξ) e 2ξe

g(ξ) e e

. ιι) Υπάρχει

1ξ 1,2 , τέτοιο, ώστε 2 4

1h (ξ ) g(2)(e e ) , όπου h είναι κατάλληλη συνάρτηση

που ορίζεται από το (ι) ερώτημα.

ΘΕΜΑ 93ο

ι) Να δειχθεί ότι: 4 3 23x 8x 6x 24x 19 0 ,για κάθε x 1, .

ιι) Να δειχθεί ότι η εξίσωση: 4 3 212x 14x 3x 5 0 έχει μόνο μία θετική ρίζα.

ιιι) Να δειχθεί ότι: 4 3 212x 14x 3x 5 0 , για κάθε x 1, .

ΘΕΜΑ 94ο

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f , g , που είναι ορισμένες στο 0,3 και για τις οποίες

ισχύει g(x) 2xf (x) , για κάθε x 0,3 . Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο

σημείο 0x 2 και η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0x 2 , να δειχθεί ότι:

g (2) 2f (2)

ΘΕΜΑ 95ο



21

Δίνεται η συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] , με

f (x)f (x) 0 για κάθε x[α,β] . Δίνεται ακόμα ότι: f (β) f (β)

f (α) f (α)

. Να δειχθεί ότι

υπάρχει ξ (α,β) τέτοιος, ώστε να ισχύει f (ξ)f (ξ) 0 .

ΘΕΜΑ 96ο

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

2

x

f (x)x 3x 3,

e

με f (0) 2 .

ι) Να δειχθεί ότι: f (1997) f (2000) .

ιι) Να δειχθεί ότι για τη συνάρτηση f δεν ισχύει το θεώρημα του Bolzano σε κανένα κλειστό διάστημα του .

ΘΕΜΑ 97ο

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,1 για την οποία ισχύει:

2 2f (1) f (0) 2f (0) 5f (x)

2

για κάθε x 0,1 . Να βρείτε:

α) τους αριθμούς f (0) και f (1) ,

β) τον τύπο της f .

ΘΕΜΑ 98

1. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, , με f (0) f (0) 0

,για την οποία ισχύει f (x) f (x) για κάθε x 0, Να αποδείξετε ότι:

α. Η συνάρτηση h :[0, ) με τύπο xh(x) f (x)e , είναι γνησίως αύξουσα και

β. Να αποδείξετε ότι η 2f είναι κυρτή.

2. Να βρείτε τον a , αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 2f (x) ax

και g(x) ln x έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο.

ΘΕΜΑ 99

Αν f : 0, παραγωγίσιμη συνάρτηση, ώστε η εφαπτομένη της fC σε τυχαίο

σημείο της Μ 0 0x ,f (x ) να τέμνει τους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ στα σημεία Α 1x ,0 και

Β( 10,y ), με 10

xx

2 , να αποδείξετε ότι

cf (x) ,c

x σταθερά.



22

ΘΕΜΑ 100

1. Αν f συνεχής στο α,β , με f (a) a και f (β) β , ώστε f (x) 1, x α,β , να

αποδείξετε ότι f (x) x,x α,β .

2. Να αποδείξετε ότι 2 π

ημχ χ, χ 0,π 2

.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ALIGNIAC

ALIGNIAC 36 44α 70 93β

1 6 37 42α 71 96α

2 8a 38 47 72 100α

3 11αβ 39 148α 73 108α

4 17β/8γ 40 150α 74 109α

5 27 41 151 75 122

6 147β 42 152α 76 123

7 28/124γ 43 155α 77 149

8 29 44 158 78 169β

9 33 45 159 79

10 34 46 165α 80 178α/181β

11 35β 47 166α 81 176β

12 38β 48 177α

100

82 85

13 37γ 49 178α 83 70

14 36β 50 184β 84 52

15 160β 51 179α

16 58β 51 190β

17 39β 52 189α 85 39

18 174γ 53 194α 86 124α

19 54 169β 87 129

20 74α

DENIDOVICH

55 10A 88 130

21 196 56 12a 89 139

22 185β 57 14α 90 141β

23 65 58 18αγ 91 142 10

24 78β 59 28α 92 35

25 75β 60 34β 93 30α

26 79α 61 41β 94 31

27 82α 62 46β 95 27



23

28 93α 63 60α 96 11αβ

29 98 64 61α 97

30 104β 65 66γ

31 100β 66 67α

32 99β 67 72α

33 115β 68 84α

34 122α 69 86β

100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word

Education

Transcript of 100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word