Elettromagnetismo quasi stazionario

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 23-2-2008)

2

Elettromagnetismo non stazionario

● Equazioni fondamentali

● Equazioni di legame materiale per un mezzo lineare isotropo

( )iEEJ

HB

ED

+σ=μ=ε=

t

t

t

c

c

∂ρ∂

−=⋅∇

=⋅∇+∂∂

=×∇

ρ=⋅∇∂∂

−=×∇

J

BJD

H

DΒ

E

0

3

Elettromagnetismo non stazionario

● Il campo elettrico E non è conservativoL’integrale di linea del campo elettrico (tensione) tra due punti A e B dipende dal percorsoNon può essere espresso come differenza di potenziale

● La densità di corrente J non è solenoidale

● E’ solenoidale la densità di corrente totale JT costituita dalla somma delle densità di corrente di conduzione e di spostamento

tc

∂ρ∂

−=⋅∇ J

cρ=⋅∇ D0=⋅∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⋅∇ TtJ

DJ

tT ∂∂

+=D

JJ

∫Γ

⋅=ΓAB

dlTAB tE ˆ)(

4

Elettromagnetismo non stazionario

● E non è conservativo

Non si può definire in modo univoco la tensione tra due terminali

Non vale la legge di Kirchhoff per le tensioni

● J non è solenoidale

La corrente attraverso la sezione trasversale di un tubo di flusso di Jin generale non è costante

Non vale la legge di Kirchhoff per le correnti

● Le interazioni tra i componenti di un sistema elettromagnetico non possono essere descritte in termini di tensioni e correnti

● In particolare, non è possibile esprimere la potenza assorbita o erogata da un componente mediante le tensioni e le correnti ai terminali

In condizioni non stazionarie il modello circuitale non è valido

5

Potenziali elettromagnetici

● B è solenoidale può essere espresso come rotore di un potenziale vettore A

● Dalla legge di Faraday si ottiene

Si può esprimere il vettore E + ∂A/∂ t come gradiente di un potenziale scalare V

V−∇=∂∂

+t

AE

0=⋅∇ B AB ×∇=

t∂∂

−=×∇B

Et∂×∇∂

−=×∇)( A

E 0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+×∇t

AE

6

Campo elettrico non stazionario

● Il campo elettrico può essere espresso come somma di un componente conservativo e uno non conservativo

● Valutando l’integrale di E su una linea chiusa si ottiene

ncctEE

AE +=

∂∂

−−∇= V

4342143421

∫

∫∫∫

⋅∂∂

−=

⋅∂∂

−

=

⋅∇−=⋅ΓΓΓ

S

dSt

dlt

dldl

nΒ

tA

ttE

ˆ

ˆ

0

ˆVˆ

7

Determinazione dei potenziali

● In un mezzo lineare isotropo omogeneo la legge di Ampere-Maxwell può essere posta nella forma

● Si inseriscono le espressioni di B e di E in funzione dei potenziali A e V

t∂∂

με+μ=×∇E

JB

2

22 V

)(tt ∂

∂με−

∂∂∇

με−μ=⋅∇∇+∇−A

JAA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∇−∂∂

με+μ=×∇×∇tt

AJA V

JAA

A μ−=∂

∂με+⋅∇∇−

∂∂

με−∇ )V

(2

22

tt

8

Determinazione dei potenziali

● Per definire in modo univoco il potenziale vettore si deve assegnare il valore della sua divergenza

● In questo caso conviene imporre la condizione

● In questo modo si ha

Il potenziale vettore magnetico soddisfa un’equazione delle onde non omogenea

t∂∂

με−=⋅∇V

A Scelta di Lorentz

JA

A μ−=∂∂

με−∇2

22

tJA

AA μ−=

=∂

∂με+⋅∇∇−

∂∂

με−∇44 344 21

0

)V

(2

22

tt

9

Determinazione dei potenziali

● In un mezzo lineare isotropo omogeneo la legge di Gauss può essere posta nella forma

● Si inserisce nell’equazione l’espressione di E in funzione dei potenziali A e V, quindi, tenendo conto della scelta di Lorentz, si ottiene

Anche il potenziale scalare elettrico soddisfa un’equazione delle onde non omogenea

ερ

=⋅∇ cE

ερ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∇−⋅∇ c

t

AV

ερ

−=∂

⋅∂∇+∇ c

t

AV2

ερ

−=∂

∂με−∇ c

t 2

22 V

Vt∂

∂με−=⋅∇

VA

10

Determinazione dei potenziali

● Si può dimostrare che le soluzioni delle equazioni delle onde sono

● La costante c rappresenta la velocità della luce nel mezzo in cui ha sede il campo elettromagnetico

● In particolare nel vuoto si ha

ερ

−=∂

∂με−∇

μ−=∂∂

με−∇

c

t

t

2

22

2

22

VV

JA

A

με=

1c

m/s2997924581

00

0 =εμ

=c

τ−ρ

πε=

τ−

πμ

=

∫

∫

τ

τ

dr

crtt

dr

crtt

c

PQ

PQ

PQ

PQ

)/(Q,

4

1)V(P,

)/(Q,

4)(P,

JA

11

Confronto con il caso stazionario

ερ

−=∇

μ−=∇

cV2

2 JA

τρ

πε=

τπ

μ=

∫

∫

τ

τ

dr

dr

c

PQ

PQ

(Q)

4

1V(P)

(Q)

4(P)

JA

Condizioni stazionarie

τ−ρ

πε=

τ−

πμ

=

∫

∫

τ

τ

dr

crtt

dr

crtt

c

PQ

PQ

PQ

PQ

)/(Q,

4

1)V(P,

)/(Q,

4)(P,

JA

ερ

−=∂

∂με−∇

μ−=∂∂

με−∇

c

t

t

2

22

2

22

VV

JA

A

Condizioni non stazionarie

12

Potenziali ritardati

● A e V sono costituiti dalla somma di infiniti contributi ciascuno dei quali rappresenta un’onda sferica generata nel punto Q che si propaga con velocità c

● Il campo elettrico e il campo magnetico nel punto P all’istante t non sono determinati dai valori all’istante t di J e ρc

● L’effetto della presenza di una densità di corrente o di carica in un punto Q viene avvertito nel punto P con un ritardo proporzionale alla distanza tra i punti considerati

τ−ρ

πε=

τ−

πμ

=

∫

∫

τ

τ

dr

crtt

dr

crtt

c

PQ

PQ

PQ

PQ

)/(Q,

4

1)V(P,

)/(Q,

4)(P,

JA

13

Approssimazione quasi stazionaria

● Si considera il caso in cui le grandezze elettromagnetiche variano nel tempo con legge sinusoidale e quindi si ha

● Variazioni di tipo più generale possono essere espresse mediante sovrapposizione di funzioni sinusoidali (serie o integrali di Fourier)

● Le considerazioni relative al caso sinusoidale possono essere estese a situazioni più generali riferendole alla massima frequenza che occorre considerare

[ ][ ](Q)cos(Q))(Q,

(Q)cos(Q))(Q,

JM

Mc

tt

tt

ϕ+ω=

ϕ+ωρ=ρ ρ

JJ

Tf

π=π=ω

22

ω = pulsazionef = frequenzaT = periodo

14

Approssimazione quasi stazionaria

● Se ρc varia con legge sinusoidale si ha

● T indica il periodo e tD il tempo di ritardo dal punto Q al punto P

● Un’espressione analoga vale per J

[ ] [ ]

[ ] [ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πϕ+ωρ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πϕ+ωρ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωϕ+ωρ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ωϕ+ωρ=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ωρ=−ρ

ρρ

ρρ

ρ

T

tt

T

tt

c

rt

c

rt

c

rt

c

rt

DM

DM

PQM

PQM

PQM

PQC

2sen(Q)sen(Q)2cos(Q)cos(Q)

sen(Q)sen(Q)cos(Q)cos(Q)

(Q)cos(Q))(Q,

c

rt PQ

D =ωπ

=2

T

15

Approssimazione quasi stazionaria

● Se in tutti i punti del sistema vale la condizione

risulta

Quindi si ha

QP ∀∀=>>c

rtT PQ

D

[ ]

[ ] )(Q,(Q)cos(Q))(Q,

)(Q,(Q)cos(Q))(Q,

ttc

rt

ttc

rt

JMPQ

cMPQ

c

JJJ =ϕ+ω≅−

ρ=ϕ+ωρ≅−ρ ρ

02sen

12cos

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

T

t

T

t

D

D

τρ

πε≅

τπ

μ≅

∫

∫

τ

τ

dr

tt

dr

tt

c

PQ

PQ

)(Q,

4

1)V(P,

)(Q,

4)(P,

JA In ogni istante t il campo elettromagnetico

coincide con il campo stazionario generato da distribuzioni di carica e di corrente co-stanti con densità J(Q,t) e ρc(Q,t)

16

Limiti di validità dell’approssimazione quasi stazionaria

● Se la massima distanza tra due punti del sistema è dmax, il massimo ritardo di propagazione è

L’approssimazione quasi stazionaria è valida se, alla massima frequenza che interessa considerare, il periodo delle grandezze elettromagnetiche è molto grande rispetto al massimo ritardo di propagazione

● La condizione può essere posta nella forma

La massima dimensione del sistema deve essere molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda corrispondente alla massima frequenza che interessa considerare

maxDtT >>

λ==<<f

ccTdmax

c

dtD

maxmax =

λ = lunghezza d’onda

17

Limiti di validità dell’approssimazione quasi stazionaria

30 mm100 ps10 GHz

300 mm1 ns1 GHz

3 m10 ns100 MHz

30 m100 ns10 MHz

300 m1 μs1 MHz

3 km10 μs100 kHz

15 km50 μs20 kHz

30 km100 μs10 kHz

300 km1 ms1 kHz

3000 km10 ms100 Hz

6000 km20 ms50 Hz

λ = c0ΤTf

18

Limiti di validità dell’approssimazione quasi stazionaria

● In condizioni quasi stazionarie si approssimano i potenziali con le soluzioni delle equazioni

Le derivate seconde rispetto a t dei potenziali devono essere trascurabili

● La presenza di queste derivate dipende dalla presenza simultanea delle derivate temporali di B e D nelle equazioni di Maxwell

Se si annulla almeno una di queste derivate si annullano le derivate seconde

Le derivate seconde sono trascurabili se in ogni punto è verificata almeno una delle condizioni

ερ

−=∇μ−=∇)(

)V()()( 22 tttt cJA

0V

02

2

2

2

≅∂

∂≅

∂∂

tt

A

00 ≅∂∂

≅∂∂

tt

BDoppure

19

Limiti di validità dell’approssimazione quasi stazionaria

● Si considera il caso in cui B e D sono funzioni sinusoidali del tempo

● In questo caso le loro derivate sono funzioni sinusoidali del tempo con ampiezza proporzionale all’ampiezza di B e D

In queste condizioni si può assumere che le derivate siano trascurabili nelle regioni in cui B e D sono trascurabili

[ ][ ](P)cos(P))(P,

(P)cos(P))(P,

DM

BM

tt

tt

ϕ+ω=ϕ+ω=

DD

BB

[ ]

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+ϕ+ωω=ϕ+ωω−=∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+ϕ+ωω=ϕ+ωω−=∂∂

2(P)cos(P)(P)sen(P)

2(P)cos(P)(P)sen(P)

DMDM

BMBM

ttt

ttt

DDD

BBB

20

Esempio

Induttore

Generatore

Condensatore

Resistori

0≠∂∂

t

Β

0

0

≅∂∂

≅∂∂

t

tD

Β

0≠∂∂

t

D0≠

∂σ∂tC

0≅∂σ∂tC

Conduttoreideale

21

Circuiti in condizioni quasi stazionarie

● Se la frequenza è sufficientemente bassa, si può assumere che sia

● In queste condizioni il sistema può essere ancora descritto mediante un modello circuitale a condizione che le superfici limite dei componenti siano definite in modo che derivate di B e di D siano diverse da zero solo al loro interno (Ad esempio, non si può racchiudere in una superficie limite una sola armatura di un condensatore)

● In questo modo, anche le derivate dei flussi di B e di D attraverso le superfici limite sono nulle

0≠∂∂

t

Βnegli induttori nelle rimanenti regioni0≅

∂∂

t

Β

0≠∂∂

t

Dnei condensatori nelle rimanenti regioni0≅

∂∂

t

D

22

Circuiti in condizioni quasi stazionarie

Regione esterna:

00 ≅∂∂

≅∂∂

tt

DΒeComponenti:

All’interno delle superfici limite, in ogni puntoè verificata almeno una delle condizioni

00 ≅∂∂

≅∂∂

tt

DΒoppure

23

Circuiti in condizioni quasi stazionarie

● Nella regione esterna e sulle superfici limite E è conservativo e Jè solenoidale

Si possono definire in modo univoco le tensioni e le correnti aiterminali dei componenti

Valgono le leggi di Kirchhoff (se si considerano linee chiuse e superfici chiuse interamente contenute nella regione esterna)

● Come in regime stazionario, si può esprimere il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie limite di un componente nella forma

Sono ancora valide le espressioni delle potenze scambiate dai componenti in funzione delle tensioni e delle correnti che sono state ricavate nel caso stazionario

∫∫ ⋅=⋅×SS

dSdS nJnHE ˆVˆ

24

Induttore

● Ipotesi:

Avvolgimento costituito da un conduttore filiforme Γ con sezione Δse conducibilità σLa derivata di B rispetto a t assume valori apprezzabilmente diversi da zero solo all’interno della superficie chiusa S

La derivata di D rispetto a t può essere considerata ovunque nulla

0≠∂∂

t

Β

S

Γ

Superficie limite

00 ≅∂∂

≅∂∂

tt

DΒ

A

B

25

Induttore

● J è ovunque solenoidale la corrente ha lo stesso valore i = JΔs in ogni sezione del conduttore

● All’esterno di S E è irrotazionale la tensione tra i terminali A e Bdell’induttore può essere valutata integrando il campo elettrico lungo una linea arbitraria Γ0 esterna alla superficie S

∫Γ

⋅=B

A 0

ˆ dlvAB tE

0≠∂∂

t

Β

00 ≅∂∂

≅∂∂

tt

DΒ

0Γ

S

Γ

Superficie limite

A

B

i

26

Induttore

● Applicando la legge di Ohm al conduttore Γ si ha

● Si sottrae e si somma a primo membro l’integrale di E su Γ0

● I primi due termini della rappresentanola circuitazione di E sulla linea chiusa formata da Γ e Γ0

Ris

dlidl

s

sJdl =

Δσ=

ΔΔ

σ=⋅ ∫∫∫

ΓΓΓ

B

A

B

A

B

A

t̂E

0Γ

S

Γ

A

B

i

Ridldldl =⋅+⋅−⋅ ∫∫∫ΓΓΓ

B

A

B

A

B

A 00

ˆˆˆ tEtEtE

Ridldl =⋅+⋅ ∫∫ΓΓ∪Γ

B

A 00

ˆˆ tEtE

27

0Γ

S

Γ

A

B

i

Induttore

● Per la legge di Faraday

● All’esterno di S la derivata di B rispetto a t è trascurabile il valore dell’integrale non dipende dalla particolare linea Γ0 considerata

Quindi si ottiene

dove

rappresenta l’induttanza dell’avvolgimento Γ

dt

diLRivRiv

dt

dABAB +==+

Φ−

iL

Φ=

dt

ddl

Φ−=⋅∫

Γ∪Γ 0

t̂E Φ = flusso di B concatenato con la linea Γ∪Γ0

28

Induttore ideale

● Se la resistenza dell’avvolgimento, R, è trascurabile è possibile rappresentare il componente con un induttore ideale

● Se la resistenza non è trascurabile si può rappresentareil componente mediante un bipolo equivalente formatoda un induttore ideale e un resistore collegati in serie

dt

diLRiv +=

(v e i orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore)

)()( tLit =Φ

dt

dtv

Φ=)(

Simbolo

dt

diLtv =)(

Equazione caratteristica

29

Induttore ideale

● Integrando l’equazione caratteristica a partire da un istante iniziale t0si può esprimere la corrente in funzione della tensione

● In generale si può assumere che valga la condizione

(in pratica esiste sempre un istante iniziale prima del quale la correntee la tensione sono identicamente nulle)

L’espressione della corrente può essere posta nella forma

∫∞−

ττ=t

dvL

ti )(1

)(

0)(lim =−∞→

tit

∫∫∫ ττ+=τττ

=ττt

t

t

t

t

t

dvL

titidd

diLdv

000

)(1

)()()(

)( 0

30

AB

Energia magnetica di un circuito filiforme

● Si considera un circuito costituito da un conduttore filiforme Γ con sezione Δs e conducibilità σ, sede di un campo impresso Ei che agisce tra le sezioni A e B

● Si assume che per t = 0 la corrente e il campo magnetico siano nulli

● Mediante un processo quasi stazionario, nell’intervallo [0 t0] la corrente viene portatada zero fino al valore i0

● Il lavoro compiuto nell’intervallo [0 t0]dalle forze del campo impresso è

dove

∫∫ ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ⋅

Γ

00

00 A

tt B

i eidtdtsdlJE

sidleB

A

i Δ⋅=⋅= ∫Γ

tJtE ˆˆ

31

Energia magnetica di un circuito filiforme

● Si applica la legge di Faraday

● Facendo uso della relazione costitutiva

si ottiene

● Questa relazione si può porre nella forma

dove

∫ ∫Γ

⋅−=⋅ dSdt

ddl

S

nBtE ˆˆ

ii EJ

EEEJ −σ

=⇒+σ= )(

∫∫∫ ⋅+ΔΔ

⋅σ

=⋅ΓΓ S

B

A

i dSdt

ddl

s

sdl nBt

JtE ˆˆˆ

AB

dt

dRie

Φ+=

∫Γ Δσ

=s

dlR

32

Energia magnetica di un circuito filiforme

● Il lavoro compiuto del campo impresso nell’intervallo [0 t0] è quindi

● Il primo integrale a secondo membro rappresenta l’energia dissipata per effetto Joule (e dipende dall’andamento della corrente tra 0 e t0)

● Se la relazione tra i e Φ è biunivoca ( mezzo privo di isteresi) l’ultimo integrale dipende solo dal valore del flusso all’istante t0 e rappresenta l’energia accumulata nel campo magnetico

corrisponde al lavoro compiuto dal campo impresso per creare il campo magnetico prodotto dalla corrente i0

viene restituita interamente se la corrente viene riportata a zero

● In un mezzo lineare isotropo ( Φ = Li) l’energia magnetica vale

∫∫∫Φ

Φ+=000

00

2

0

iddtRieidttt

2000

20

0 2

1

2

1

2

10

LiiL

dL

WM =Φ=Φ

=ΦΦ

= ∫Φ

33

Energia magnetica di un insieme di circuiti filiformi

● Si può dimostrare che, nel caso di un sistema costituito da N circuiti filiformi, l’espressione dell’energia magnetica è

● Se il campo magnetico ha sede in un mezzo lineare isotropo si ha

● Nel caso particolare di due soli circuiti, l’espressione dell’energia è

∑∑∑∑=

≠===

+=Φ=N

k

N

kjj

jkkj

N

kkk

N

kkkM iiMiLiW

1 11

2

1 2

1

2

1

2

1

∑ ∫=

Φ

Φ=N

kM

k

idW1 0

22221

211 2

1

2

1iLiMiiLWM ++=

34

Energia del campo magnetico

● L’energia magnetica di un circuito filiforme può essere espressa anche in funzione dei campi B e H

● Il flusso concatenato con il circuito è

● L’elemento di area dS individua un tubodi flusso di B concatenato con il circuito

● Si può esprimere la corrente i in funzione di H applicando la legge di Ampere ad una linea di campo γ di B coincidente con l’asse del tubo di flusso (se il mezzo è isotropo γ è anche una linea di campo di H)

∫Φ

Φ=0

0

idWM

∫∫ ⋅=⋅=ΦSS

dSBdS ntnB ˆˆˆ

∫∫γγ

=⋅= Hdldli tH ˆ

35

Energia del campo magnetico

● Utilizzando le espressioni di i e Φ e tenendo conto del fatto che il volume di un tratto infinitesimo di tubo di flusso èsi ottiene

Quindi l’espressione dell’energia magnetica è

● Questa espressione vale anche per mezzi non lineari, purché la relazione tra B è H sia biunivoca (mezzi privi di isteresi)

● Per un mezzo lineare isotropo (B = μH) si ha

● Si può dimostrare che queste espressioni, ottenute per un circuito filiforme, valgono anche per distribuzioni di corrente più generali

dSdld nt ˆˆ ⋅=τ

∫∫ ∫∫∫τγγ

τ=⋅=⋅=ΦC

HdBddSdBHdldSdBHdlidSS

ntnt ˆˆˆˆ

∫ ∫∫τ

Φ

τ=Φ=C

HdBdidWM

B

00

0

∫∫∫τττ

τμ

=τ=τμ=CCC

dB

HBddHWM

22

2

1

2

1

2

1

36

Energia del campo magnetico

● Si può interpretare come densità di energia associata al campo elettrostatico la quantità

● wM rappresenta l’area compresa tra la curva B(H) e l’asse delle ordinate

∫=τ

=0B

0

HdBd

dWw M

M

Mezzo lineare Mezzo non lineare

37

Perdite per isteresi

● Nel caso di un mezzo con isteresi, l’energia spesa per creare il campo è(partendo da i e H nulli) è maggiore di quella che viene restituita se la corrente i, e quindi H, sono riportati a zero

In questo caso viene assorbita in modo irreversibile, e quindi dissipata, l’energia per unità di volume

∫∫ΓΓ

−=R

HdBHdBwD

B

B

B

0 20

0

1

Densitàdi energiaassorbita Densità

di energiadissipata

Densitàdi energiarestituita

38

Perdite per isteresi

● Si fa variare periodicamente la corrente in modo che il materiale ferromagnetico siasoggetto a cicli di isteresi

● Complessivamente in ogni ciclo viene as-sorbita, per unità di volume, l’energia

Dissipazione di energia (convertita in calore)

● Il valore dell’energia dissipata in un ciclo corrisponde all’area delimitata dal ciclo di isteresi

∫Γ

= BHw dD

39

Perdite per isteresi

∫Γ12

BH d ∫Γ21

BH d

1 → 2 2 → 1

40

Forza di un elettromagnete

● F = risultante delle forze agenti sull’ancora dovute all’elettromagnete

● Fe = forza esterna necessaria a mantenere l’ancora in equilibrio

● Si può valutare Fe (e quindi F) applicando uno spostamento virtuale dx(nella direzione di Fe) all’ancora

● Bilancio energetico:

dLm = lavoro meccanico compiuto da Fe

dLE = vidt = idΦ = lavoro elettrico (fornito da generatori esterni)

Φ = Nϕ = flusso concatenato

dWM = variazione dell’energia magnetica

MEm dWdLdL =+

0μ>>μ

41

Forza di un elettromagnete

● Quindi si ha

● Per calcolare Fe (e quindi F) si può considerare una trasformazione infinitesima nella quale il flusso viene mantenuto costante (dΦ = 0)

● Il risultato non dipende dalla particolare trasformazione considerata, infatti nel caso generale si ottiene

dLiLidiidLLdiidxFe2

2

1)( +=++

dx

dLiFF e

2

2

1−==

)2

1( 2LididdxFe =Φ+

Me dWiddxF =Φ+

dx

dLi

dx

dL

LLdx

d

dx

dWFF M

e2

2

22

cost 2

1

2

1

2

1−=

Φ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ===

=Φ

42

Forza di un elettromagnete

● Facendo uso della legge di Hopkinson

(R = riluttanza del circuito magnetico)

e della definizione di induttanza

si può esprimere la forza agente sull’ancoranella forma

R

2N

i

N

iL =

ϕ=

Φ=

dx

d

dx

diN

dx

dLiF

RRR

22

222

2

1

2

1

2

1ϕ==−=

Ni=ϕR

0μ>>μ

43

Forza di un elettromagnete

● Se è possibile trascurare la riluttanza dei tratti formati dal materiale ad alta permeabilità, R è data la somma delle riluttanze dei due traferri

● Se il campo magnetico è uniforme si ha

● Quindi si può esprimere F come

● La forza è data dal prodotto dell’area dei traferri (2S) per la quantità

S

x

0

2

μ=R

HB

S oo

=μ

=μϕ

20

22

0

22

42

1

x

SiN

Sdx

dF

μ=

μϕ

=ϕ=R

SHF 22

1 20 ⋅μ=

202

1HPM μ= (pressione magnetica)

44

Condensatore

● Ipotesi:

La derivata di D rispetto a t assume valori apprezzabilmente diversi da zero solo all’interno della superficie chiusa SLa densità di carica assume valori apprezzabilmente diversi da zero solo sulle armature del condensatore

La derivata di B rispetto a t può essere considerata ovunque nulla

00 ≅∂∂

≅∂∂

tt

DΒ 0≠∂∂

t

D

Superficie limiteA

B

iA

iB

n̂

S

45

Condensatore

● La corrente di spostamento attraverso la superficie S è nullaSu S J è solenoidaleLa corrente iA è uguale in ogni istante alla corrente iB

● Il campo elettrico è identico, in ogni istante, ad un campo stazionario

Vale la relazione

● Dall’equazione di continuità, conside-rando la superficie SA, si ottiene

C

tQtvdl AB

)()(ˆ

B

A

==⋅∫ tE

dt

dQdSi

AS

A =⋅−= ∫ nJ ˆ

iiiiidS BABA

S

===+−=⋅∫ 0n̂J

+Q

−Q

A

B

iA

iB

n̂

S

An̂

SA

46

Condensatore

● Combinando le due ultime equazioni si ottiene la relazione costitutiva del condensatore

● Integrando rispetto al tempo si può esprimere la tensione in funzione della corrente

oppure, assumendo

∫ ττ+=t

t

diC

tvtv0

)(1

)()( 0

∫∞−

ττ=t

diC

tv )(1

)(

0)(lim =−∞→

tvt

)()( tCvtQ =

dt

dQti =)(

Simbolo

dt

dvCti =)(

Equazione caratteristica

(v e i orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore)

47

2n̂1n̂

S1 S2

t̂

i i

Γ

t∂∂D

Corrente di spostamento

● Si considerano due superfici aventi per contorno la linea ΓS1 esterna al condensatoreS2 passante tra le armature del condensatore

● La densità di corrente totale è solenoidale

● La corrente di spostamento attraversoS1 è nulla

● La corrente di conduzione attraversoS2 è nulla

0ˆ21

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

+∫∪SS

dSdt

nD

J

∫∫ ⋅∂

=⋅21

21 ˆˆSS

dSdt

dS nD

nJ

48

Corrente di spostamento

● La circuitazione del campo magnetico sulla Γ è uguale alla corrente totale concatenata con la linea

● In condizioni quasi stazionarie le linee di campo di H non sono concatenate con i tubi di flusso di J, ma con quelli di JT

● Il flusso di JT attraverso S1 è dovutoalla sola corrente di conduzione

● Il flusso di JT attraverso S2 è dovutoalla sola corrente di spostamento

∫∫∫ ⋅∂∂

=

=

⋅=⋅Γ 21

21 ˆˆˆSS

dSt

i

dSdl nD

nJtH

43421

2n̂1n̂

S1 S2

t̂

i i

Γ

t∂∂D

49

Componenti resistivi e componenti dinamici

● Componenti privi di memoria (resistivi)

Le equazioni caratteristiche sono algebriche

Le equazioni mettono in relazione valori delle correnti e delle tensioni allo stesso istante

I componenti introdotti nello studio dell’elettrodinamica stazionaria rientrano tutti in questa categoria

● Componenti dotati di memoria (dinamici)

Le equazioni caratteristiche sono differenziali

Le equazioni coinvolgono valori delle tensioni e delle correnti relativi a istanti diversi

Induttori e condensatori rientrano in questa categoria

50

Induttore – Proprietà di memoria

● Corrente all’istante t = t0

● Flusso all’istante t = t0

● Corrente per t > t0

Per determinare la corrente per t > t0 occorre conoscerela corrente (o il flusso) per t = t0l’andamento della tensione per t ≥ t0

Il valore della corrente (o del flusso) all’istante t0 riassume il comportamento del componente per t ≤ t0

∫∞−

ττ==0

)v(1

)i( 00

t

dL

tI

000 )( LIt =Φ=Φ

∫∫

∫∫∫

ττ+Φ=ττ+=

=ττ+ττ=ττ=∞−∞−

t

t

t

t

t

t

tt

dLL

dL

I

dL

dL

dL

t

00

0

0

)v(1

)v(1

)v(1

)v(1

)v(1

)i(

00

51

Condensatore – Proprietà di memoria

● Tensione all’istante t = t0

● Carica all’istante t = t0

● Tensione per t > t0

Per determinare la tensione per t > t0 occorre conoscerela tensione (o la carica) per t = t0l’andamento della corrente per t ≥ t0

Il valore della tensione (o della carica) all’istante t0 riassume il comportamento del componente per t ≤ t0

∫∞−

ττ==0

)i(1

)v( 00

t

dC

tV

000 )( CVtQQ ==

∫∫

∫∫∫

ττ+=ττ+=

=ττ+ττ=ττ=∞−∞−

t

t

t

t

t

t

tt

dCC

Qd

CV

dC

dC

dC

t

00

0

0

)i(1

)i(1

)i(1

)i(1

)i(1

)v(

00

52

Circuiti resistivi e circuiti dinamici

● Circuiti resistivi: circuiti formati esclusivamente da componenti resistivi

le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni algebriche

i valori delle tensioni e delle correnti (risposte) in un certo istante dipendono solo dai valori delle grandezze impresse dei generatori indipendenti (ingressi) allo stesso istante

● Circuiti dinamici: circuiti che contengono almeno un componente dinamico (induttore o condensatore)

le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni differenziali

i valori delle risposte a un certo istante dipendono anche dagliandamenti degli ingressi negli istanti precedenti

53

Energia assorbita o erogata da un componente

● Energia assorbita da un componente nell’intervallo [t1 t2]

● Energia assorbita da un componente fino all’istante t

● Energia erogata da un componente nell’intervallo [t1 t2]

● Energia erogata da un componente fino all’istante t

∫=2

1

)(p),(w 21

t

t

aa dtttt

∫∞−

ττ=t

aa dt )(p)(w

),(w)(p),(w 2121

2

1

ttdtttt a

t

t

ee −== ∫

)(w)(p)(w tdt a

t

ee −=ττ= ∫∞−

pa = potenza assorbita

pe = potenza erogata

54

Componenti attivi e passivi

● Per classificare come attivi o passivi i componenti dinamici occorre generalizzare la definizione introdotta per i componentiresistivi

● Componente passivo:per tutti i possibili andamenti delle tensioni e delle correnti descrittive compatibili con le relazioni costitutive risultawa(t) ≥ 0 ∀t

● Componente attivo:esistono andamenti delle tensioni e delle correnti descrittive compatibili con le relazioni costitutive tali che, per alcuni valoridi t, risultawa(t) < 0

Un componente attivo è un componente in grado di generare energia elettrica

55

Componenti passivi

● Energia assorbita fino all’istante t2

● Per un componente passivo deve essere

we(t1,t2) può essere positiva il componente può erogare energia nell’intervallo [t1 t2]

per un componente passivo l’energia erogata in un intervallo [t1 t2] non può superare l’energia assorbita fino all’istante iniziale dell’intervallo

)(w),(w)(p)(p)(p)(w 1212

12

1

2

tttdttdttdttt aa

t

a

t

t

a

t

aa +=+== ∫∫∫∞−∞−

),(w)(w0)(w),(w0)(w 2111212 ttttttt eaaaa ≥⇒≥+⇒≥

56

Componenti passivi

● Un componente passivo può accumulare (almeno in parte) l’energia assorbita e, in seguito, restituire l’energia accumulata

un comportamento di questo tipo implica un vincolo i valori delle tensioni e correnti nell’intervallo [t1 t2] da cui dipende we(t1,t2) e i valori nell’intervallo [−∞ t1] da cui dipende wa(t1)

il componente deve essere dotato di memoria

per un componente privo di memoria deve essere verificata la condizionewa(t1,t2) ≥ 0 ∀t1, t2

questo richiede che sia anche pa ≥ 0 in ogni istante e per ogni condizione di funzionamento, coerentemente con la definizione di componente passivo introdotta nello studio dell’elettrodinamica stazionaria

57

Induttore – Comportamento energetico

● Potenza assorbita:

● Energia assorbita fino all’istante t

L’energia assorbita fino all’istante t è determinata se è noto il valore all’istante t della corrente o del flusso

Se L > 0 l’energia assorbita fino all’istante t è ≥ 0 ∀ t

Se L > 0 l’induttore è un componente passivo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=== )(i2

1i)i()i()v()(p 2 tL

dt

d

dt

dtLttta

L

ttLdL

d

ddt

tt

aa

)(

2

1)(i

2

1)(i

2

1)(p)(w

222 Φ

==τ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τ

τ=ττ= ∫∫

∞−∞−

58

Induttore – Comportamento energetico

● Energia assorbita nell’intervallo [t1 t2]

Dipende solo dai valori di i (o di Φ) agli istanti t1 e t2

Non dipende dall’andamento di v e i nell’intervallo [t1 t2]

● Per un induttore passivo (L > 0)

L’energia assorbita nell’intervallo [t1 t2] è negativa se |i(t1)| > |i(t2)|

L’energia erogata nell’intervallo [t1 t2] non può superare l’energia assorbita fino a t1

L’induttore accumula l’energia assorbita ed è in grado di restituirla integralmente

[ ] [ ])()(2

1)(i)(i

2

1)(p),(w 1

22

21

22

221

2

1

ttL

ttLdttttt

t

aa Φ−Φ=−== ∫

[ ] )(w)(i2

1)(i)(i

2

1),(w),(w 11

22

21

22121 ttLttLtttt aae =≤−=−=

59

Condensatore – Comportamento energetico

● Potenza assorbita:

● Energia assorbita fino all’istante t

L’energia assorbita fino all’istante t è determinata se è noto il valore all’istante t della tensione o della carica

Se C > 0 l’energia assorbita fino all’istante t è ≥ 0 ∀ t

Se C > 0 il condensatore è un componente passivo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=== )(v2

1v)v()i()v()(p 2 tC

dt

d

dt

dtCttta

C

tQtCdC

d

ddt

tt

aa

)(

2

1)(v

2

1)(v

2

1)(p)(w

222 ==τ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ τ

τ=ττ= ∫∫

∞−∞−

60

Condensatore – Comportamento energetico

● Energia assorbita nell’intervallo [t1 t2]

Dipende solo dai valori di v (o di Q) agli istanti t1 e t2

Non dipende dall’andamento di i e v nell’intervallo [t1 t2]

● Per un condensatore passivo (C > 0)

L’energia assorbita nell’intervallo [t1 t2] è negativa se |v(t1)| < |v(t2)|

L’energia erogata nell’intervallo [t1 t2] non può superare l’energia assorbita fino a t1

Il condensatore accumula l’energia assorbita ed è in grado di restituirla integralmente

[ ] [ ])(Q)(Q2

1)(v)(v

2

1)(p),(w 1

22

21

22

221

2

1

ttC

ttCdttttt

t

aa −=−== ∫

[ ] )(w)(v2

1)(v)(v

2

1),(w),(w 11

22

21

22121 ttCttCtttt aae =≤−=−=

61

Induttore – Proprietà di continuità

● In un induttore, se la tensione v(t) è limitata, la corrente i(t) è una funzione continua del tempo

● Dimostrazione: Dato che

la proprietà deriva direttamente dalla proprietà di continuità della funzione integrale

● Dal punto di vista fisico una discontinuità della corrente non èpossibile in quanto comporterebbe una discontinuità dell’energia accumulata

● L’energia accumulata deve essere una funzione continua del tempo (postulato di continuità dell’energia) perchè una sua discontinuità richiederebbe che la potenza scambiata dal componente tendesse a infinito

∫∞−

ττ=t

dL

t )v(1

)i(

62

Condensatore – Proprietà di continuità

● In un condensatore, se la corrente i(t) è limitata, la tensione v(t)è una funzione continua del tempo

● Dimostrazione: Dato che

la proprietà deriva direttamente dalla proprietà di continuità della funzione integrale

● Come nel caso dell’induttore, dal punto di vista fisico una discontinuità della tensione del condensatore non è possibile perchè sarebbe in contrasto con il postulato di continuitàdell’energia

∫∞−

ττ=t

dC

t )i(1

)v(

63

Induttori in serie

N induttori in serie equivalgono a un induttore con induttanza

∑=

=N

kk

1

vv

),,1(ii Nkk K==

),,1(i

v Nkdt

dL k

kk K==

dt

dL

dt

dL

dt

dL S

N

kk

N

k

kk

iiiv

11

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛== ∑∑==

Relazionicostitutive

LKI

LKV

∑=

=N

kkS LL

1

64

Induttori in parallelo

N induttori in parallelo equivalgono a un induttore con induttanza

∑=

=N

kk

1

ii

),,1(vv Nkk K==

),,1()(v1

i NkdL

t

kk

k K=ττ= ∫∞−

∫∫∑∑ ∫∞−∞−== ∞−

ττ=ττ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ττ=

t

P

tN

k k

N

k

t

kk

dL

dL

dL

)v(1

)v(1

)(v1

i11

Relazionicostitutive

LKV

LKI

∑=

= N

k k

P

L

L

1

11

65

Condensatori in serie

N condensatori in serie equivalgono a un condensatore con capacità

∑=

=N

kk

1

vv

),,1(ii Nkk K==

),,1()(i1

v NkdC

t

kk

k K=ττ= ∫∞−

∫∫∑∑ ∫∞−∞−== ∞−

ττ=ττ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ττ=

t

S

tN

k k

N

k

t

kk

dC

dC

dC

)i(1

)i(1

)(i1

v11

Relazionicostitutive

LKI

LKV

∑=

= N

k k

S

C

C

1

11

i

66

Condensatori in parallelo

N condensatori in parallelo equivalgono a un condensatore con capacità

∑=

=N

kk

1

ii

),,1(vv Nkk K==

),,1(v

i Nkdt

dC k

kk K==

dt

dC

dt

dC

dt

dC P

N

kk

N

k

kk

vvvi

11

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛== ∑∑==

Relazionicostitutive

LKV

LKI

∑=

=N

kkP CC

1