10 Em Quasi Stazionario

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dispensa elettrotecnica

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  • Elettromagnetismo quasi stazionario

    www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 23-2-2008)

    2

    Elettromagnetismo non stazionario

    Equazioni fondamentali

    Equazioni di legame materiale per un mezzo lineare isotropo

    ( )iEEJHBED

    +===

    t

    t

    t

    c

    c

    =

    =+=

    ==

    J

    BJDH

    DE

    0

  • 3Elettromagnetismo non stazionario

    Il campo elettrico E non conservativo Lintegrale di linea del campo elettrico (tensione) tra due punti A e

    B dipende dal percorso Non pu essere espresso come differenza di potenziale

    La densit di corrente J non solenoidale E solenoidale la densit di corrente totale JT costituita dalla somma

    delle densit di corrente di conduzione e di spostamento

    tc

    = J

    c= D0==

    + Tt JDJ

    tT += DJJ

    =AB

    dlTAB tE )(

    4

    Elettromagnetismo non stazionario

    E non conservativo Non si pu definire in modo univoco la tensione tra due terminali Non vale la legge di Kirchhoff per le tensioni

    J non solenoidale La corrente attraverso la sezione trasversale di un tubo di flusso di J

    in generale non costante Non vale la legge di Kirchhoff per le correnti

    Le interazioni tra i componenti di un sistema elettromagnetico non possono essere descritte in termini di tensioni e correnti

    In particolare, non possibile esprimere la potenza assorbita o erogata da un componente mediante le tensioni e le correnti ai terminali

    In condizioni non stazionarie il modello circuitale non valido

  • 5Potenziali elettromagnetici

    B solenoidale pu essere espresso come rotore di un potenziale vettore A

    Dalla legge di Faraday si ottiene

    Si pu esprimere il vettore E + A/ t come gradiente di un potenziale scalare V

    V=+

    tAE

    0= B AB =

    t= BE

    t= )( AE 0=

    +

    tAE

    6

    Campo elettrico non stazionario

    Il campo elettrico pu essere espresso come somma di un componente conservativo e uno non conservativo

    Valutando lintegrale di E su una linea chiusa si ottiene

    ncctEEAE +=

    = V

    4342143421

    =

    ==

    S

    dSt

    dlt

    dldl

    n

    tAttE

    0

    V

  • 7Determinazione dei potenziali

    In un mezzo lineare isotropo omogeneo la legge di Ampere-Maxwell pu essere posta nella forma

    Si inseriscono le espressioni di B e di E in funzione dei potenziali A e V t

    += EJB

    2

    22 V)(

    tt

    =+ AJAA

    +=ttAJA V

    JAAA =+

    )V(22

    2

    tt

    8

    Determinazione dei potenziali

    Per definire in modo univoco il potenziale vettore si deve assegnare il valore della sua divergenza

    In questo caso conviene imporre la condizione

    In questo modo si ha

    Il potenziale vettore magnetico soddisfa unequazione delle onde non omogenea

    t= VA Scelta di Lorentz

    JAA = 2

    22

    tJAAA =

    =

    +

    44 344 210

    )V(22

    2

    tt

  • 9Determinazione dei potenziali

    In un mezzo lineare isotropo omogeneo la legge di Gauss pu essere posta nella forma

    Si inserisce nellequazione lespressione di E in funzione dei potenziali A e V, quindi, tenendo conto della scelta di Lorentz, si ottiene

    Anche il potenziale scalare elettrico soddisfa unequazione delle onde non omogenea

    = cE

    =

    c

    tAV

    =+ ctAV2

    =

    ct 2

    22 VV

    t= VA

    10

    Determinazione dei potenziali

    Si pu dimostrare che le soluzioni delle equazioni delle onde sono

    La costante c rappresenta la velocit della luce nel mezzo in cui ha sede il campo elettromagnetico

    In particolare nel vuoto si ha

    =

    =

    c

    t

    t

    2

    22

    2

    22

    VV

    JAA

    =1c

    m/s2997924581

    000 ==c

    =

    =

    dr

    crtt

    dr

    crtt

    c

    PQ

    PQ

    PQ

    PQ

    )/(Q,41)V(P,

    )/(Q,4

    )(P,J

    A

  • 11

    Confronto con il caso stazionario

    =

    =cV2

    2 JA

    =

    =

    dr

    dr

    c

    PQ

    PQ

    (Q)41V(P)

    (Q)4

    (P) JA

    Condizioni stazionarie

    =

    =

    dr

    crtt

    dr

    crtt

    c

    PQ

    PQ

    PQ

    PQ

    )/(Q,41)V(P,

    )/(Q,4

    )(P,J

    A

    =

    =

    c

    t

    t

    2

    22

    2

    22

    VV

    JAA

    Condizioni non stazionarie

    12

    Potenziali ritardati

    A e V sono costituiti dalla somma di infiniti contributi ciascuno dei quali rappresenta unonda sferica generata nel punto Q che si propaga con velocit c

    Il campo elettrico e il campo magnetico nel punto P allistante t non sono determinati dai valori allistante t di J e c

    Leffetto della presenza di una densit di corrente o di carica in un punto Q viene avvertito nel punto P con un ritardo proporzionale alla distanza tra i punti considerati

    =

    =

    dr

    crtt

    dr

    crtt

    c

    PQ

    PQ

    PQ

    PQ

    )/(Q,41)V(P,

    )/(Q,4

    )(P,J

    A

  • 13

    Approssimazione quasi stazionaria

    Si considera il caso in cui le grandezze elettromagnetiche variano nel tempo con legge sinusoidale e quindi si ha

    Variazioni di tipo pi generale possono essere espresse mediante sovrapposizione di funzioni sinusoidali (serie o integrali di Fourier)

    Le considerazioni relative al caso sinusoidale possono essere estese a situazioni pi generali riferendole alla massima frequenza che occorre considerare

    [ ][ ](Q)cos(Q))(Q,

    (Q)cos(Q))(Q,

    JM

    Mc

    tt

    tt

    +=+=

    JJ

    Tf == 22

    = pulsazionef = frequenzaT = periodo

    14

    Approssimazione quasi stazionaria

    Se c varia con legge sinusoidale si ha

    T indica il periodo e tD il tempo di ritardo dal punto Q al punto P

    Unespressione analoga vale per J

    [ ] [ ][ ] [ ] ++ +=

    =

    ++

    +=

    =

    +

    =

    Ttt

    Ttt

    cr

    tcr

    t

    cr

    tc

    rt

    DM

    DM

    PQM

    PQM

    PQM

    PQC

    2sen(Q)sen(Q)2cos(Q)cos(Q)

    sen(Q)sen(Q)cos(Q)cos(Q)

    (Q)cos(Q))(Q,

    cr

    t PQD == 2T

  • 15

    Approssimazione quasi stazionaria

    Se in tutti i punti del sistema vale la condizione

    risulta

    Quindi si ha

    QP =>>c

    rtT PQD

    [ ][ ] )(Q,(Q)cos(Q))(Q,

    )(Q,(Q)cos(Q))(Q,

    ttc

    rt

    ttc

    rt

    JMPQ

    cMPQ

    c

    JJJ =+

    =+

    02sen

    12cos

    TtTt

    D

    D

    dr

    tt

    dr

    tt

    c

    PQ

    PQ

    )(Q,41)V(P,

    )(Q,4

    )(P, JA In ogni istante t il campo elettromagneticocoincide con il campo stazionario generato da distribuzioni di carica e di corrente co-stanti con densit J(Q,t) e c(Q,t)

    16

    Limiti di validit dellapprossimazione quasi stazionaria

    Se la massima distanza tra due punti del sistema dmax, il massimo ritardo di propagazione

    Lapprossimazione quasi stazionaria valida se, alla massima frequenza che interessa considerare, il periodo delle grandezze elettromagnetiche molto grande rispetto al massimo ritardo di propagazione

    La condizione pu essere posta nella forma

    La massima dimensione del sistema deve essere molto piccola rispetto alla lunghezza donda corrispondente alla massima frequenza che interessa considerare

    maxDtT >>

    ==

  • 17

    Limiti di validit dellapprossimazione quasi stazionaria

    30 mm100 ps10 GHz300 mm1 ns1 GHz

    3 m10 ns100 MHz30 m100 ns10 MHz300 m1 s1 MHz3 km10 s100 kHz15 km50 s20 kHz30 km100 s10 kHz

    300 km1 ms1 kHz3000 km10 ms100 Hz6000 km20 ms50 Hz = c0Tf

    18

    Limiti di validit dellapprossimazione quasi stazionaria

    In condizioni quasi stazionarie si approssimano i potenziali con le soluzioni delle equazioni

    Le derivate seconde rispetto a t dei potenziali devono essere trascurabili

    La presenza di queste derivate dipende dalla presenza simultanea delle derivate temporali di B e D nelle equazioni di Maxwell

    Se si annulla almeno una di queste derivate si annullano le derivate seconde

    Le derivate seconde sono trascurabili se in ogni punto verificata almeno una delle condizioni

    == )()V()()( 22 tttt cJA

    0V0 22

    2

    2

    tt

    A

    00

    ttBD

    oppure

  • 19

    Limiti di validit dellapprossimazione quasi stazionaria

    Si considera il caso in cui B e D sono funzioni sinusoidali del tempo

    In questo caso le loro derivate sono funzioni sinusoidali del tempo con ampiezza proporzionale allampiezza di B e D

    In queste condizioni si pu assumere che le derivate siano trascurabili nelle regioni in cui B e D sono trascurabili

    [ ][ ](P)cos(P))(P,

    (P)cos(P))(P,

    DM

    BM

    tttt

    +=+=

    DDBB

    [ ][ ]

    ++=+=

    ++=+=

    2(P)cos(P)(P)sen(P)

    2(P)cos(P)(P)sen(P)

    DMDM

    BMBM

    ttt

    ttt

    DDD

    BBB

    20

    Esempio

    Induttore

    GeneratoreCondensatore

    Resistori

    0

    t

    0

    0

    t

    tD

    0

    tD0

    tC

    0tC

    Conduttoreideale

  • 21

    Circuiti in condizioni quasi stazionarie

    Se la frequenza sufficientemente bassa, si pu assumere che sia

    In queste condizioni il sistema pu essere ancora descritto mediante un modello circuitale a condizione che le superfici limite dei componenti siano definite in modo che derivate di B e di D siano diverse da zero solo al loro interno (Ad esempio, non si pu racchiudere in una superficie limite una sola armatura di un condensatore)

    In questo modo, anche le derivate dei flussi di B e di D attraverso le superfici limite sono nulle

    0

    t

    negli induttori nelle rimanenti regioni0

    t

    0

    tD

    nei condensatori nelle rimanenti regioni0

    tD

    22

    Circuiti in condizioni quasi stazionarie

    Regione esterna:

    00

    ttD

    eComponenti:Allinterno delle superfici limite, in ogni punto verificata almeno una delle condizioni

    00

    ttD

    oppure

  • 23

    Circuiti in condizioni quasi stazionarie

    Nella regione esterna e sulle superfici limite E conservativo e J solenoidale

    Si possono definire in modo univoco le tensioni e le correnti aiterminali dei componenti

    Valgono le leggi di Kirchhoff (se si considerano linee chiuse e superfici chiuse interamente contenute nella regione esterna)

    Come in regime stazionario, si pu esprimere il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie limite di un componente nella forma

    Sono ancora valide le espressioni delle potenze scambiate dai componenti in funzione delle tensioni e delle correnti che sono state ricavate nel caso stazionario

    =SS

    dSdS nJnHE V

    24

    Induttore

    Ipotesi: Avvolgimento costituito da un conduttore filiforme con sezione s

    e conducibilit La derivata di B rispetto a t assume valori apprezzabilmente diversi

    da zero solo allinterno della superficie chiusa S La derivata di D rispetto a t pu essere considerata ovunque nulla

    0

    t

    S

    Superficie limite

    00

    ttD

    A

    B

  • 25

    Induttore

    J ovunque solenoidale la corrente ha lo stesso valore i = Js in ogni sezione del conduttore

    Allesterno di S E irrotazionale la tensione tra i terminali A e Bdellinduttore pu essere valutata integrando il campo elettrico lungo una linea arbitraria 0 esterna alla superficie S

    =B

    A 0

    dlvAB tE

    0

    t

    00

    ttD

    0

    S

    Superficie limite

    A

    B

    i

    26

    Induttore

    Applicando la legge di Ohm al conduttore si ha

    Si sottrae e si somma a primo membro lintegrale di E su 0

    I primi due termini della rappresentanola circuitazione di E sulla linea chiusa formata da e 0

    Ris

    dlidlssJdl ==

    =

    B

    A

    B

    A

    B

    A

    tE

    0

    S

    A

    B

    i

    Ridldldl =+

    B

    A

    B

    A

    B

    A 00

    tEtEtE

    Ridldl =+

    B

    A 00

    tEtE

  • 27

    0

    S

    A

    B

    i

    Induttore

    Per la legge di Faraday

    Allesterno di S la derivata di B rispetto a t trascurabile il valore dellintegrale non dipende dalla particolare linea 0 considerata

    Quindi si ottiene

    dove

    rappresenta linduttanza dellavvolgimento

    dtdiLRivRiv

    dtd

    ABAB +==+

    iL =

    dtddl =

    0tE = flusso di B concatenato con la linea 0

    28

    Induttore ideale

    Se la resistenza dellavvolgimento, R, trascurabile possibile rappresentare il componente con un induttore ideale

    Se la resistenza non trascurabile si pu rappresentareil componente mediante un bipolo equivalente formatoda un induttore ideale e un resistore collegati in serie

    dtdiLRiv +=

    (v e i orientate secondo la convenzione dellutilizzatore)

    )()( tLit =

    dtdtv =)(

    Simbolo

    dtdiLtv =)(

    Equazione caratteristica

  • 29

    Induttore ideale

    Integrando lequazione caratteristica a partire da un istante iniziale t0si pu esprimere la corrente in funzione della tensione

    In generale si pu assumere che valga la condizione

    (in pratica esiste sempre un istante iniziale prima del quale la correntee la tensione sono identicamente nulle)

    Lespressione della corrente pu essere posta nella forma

    =t

    dvL

    ti )(1)(

    0)(lim = tit

    +==t

    t

    t

    t

    t

    t

    dvL

    titidd

    diLdv000

    )(1)()()()( 0

    30

    AB

    Energia magnetica di un circuito filiforme

    Si considera un circuito costituito da un conduttore filiforme con sezione s e conducibilit , sede di un campo impresso Ei che agisce tra le sezioni A e B

    Si assume che per t = 0 la corrente e il campo magnetico siano nulli Mediante un processo quasi stazionario,

    nellintervallo [0 t0] la corrente viene portatada zero fino al valore i0

    Il lavoro compiuto nellintervallo [0 t0]dalle forze del campo impresso

    dove

    =

    00

    00 A

    tt B

    i eidtdtsdlJE

    sidleB

    Ai ==

    tJtE

  • 31

    Energia magnetica di un circuito filiforme

    Si applica la legge di Faraday

    Facendo uso della relazione costitutiva

    si ottiene

    Questa relazione si pu porre nella forma

    dove

    = dSdtddl

    S

    nBtE

    ii EJEEEJ =+= )(

    += SB

    Ai dSdt

    ddlssdl nBtJtE

    AB

    dtdRie +=

    =s

    dlR

    32

    Energia magnetica di un circuito filiforme

    Il lavoro compiuto del campo impresso nellintervallo [0 t0] quindi

    Il primo integrale a secondo membro rappresenta lenergia dissipata per effetto Joule (e dipende dallandamento della corrente tra 0 e t0)

    Se la relazione tra i e biunivoca ( mezzo privo di isteresi) lultimo integrale dipende solo dal valore del flusso allistante t0 e rappresenta lenergia accumulata nel campo magnetico corrisponde al lavoro compiuto dal campo impresso per creare il

    campo magnetico prodotto dalla corrente i0 viene restituita interamente se la corrente viene riportata a zero

    In un mezzo lineare isotropo ( = Li) lenergia magnetica vale

    +=000

    00

    2

    0

    iddtRieidttt

    2000

    20

    0 21

    21

    210 Lii

    Ld

    LWM ====

  • 33

    Energia magnetica di un insieme di circuiti filiformi

    Si pu dimostrare che, nel caso di un sistema costituito da N circuiti filiformi, lespressione dellenergia magnetica

    Se il campo magnetico ha sede in un mezzo lineare isotropo si ha

    Nel caso particolare di due soli circuiti, lespressione dellenergia

    = ===

    +==N

    k

    N

    kjj

    jkkj

    N

    kkk

    N

    kkkM iiMiLiW

    1 11

    2

    1 21

    21

    21

    =

    =

    N

    kM

    k

    idW1 0

    22221

    211 2

    121 iLiMiiLWM ++=

    34

    Energia del campo magnetico

    Lenergia magnetica di un circuito filiforme pu essere espressa anche in funzione dei campi B e H

    Il flusso concatenato con il circuito

    Lelemento di area dS individua un tubodi flusso di B concatenato con il circuito

    Si pu esprimere la corrente i in funzione di H applicando la legge di Ampere ad una linea di campo di B coincidente con lasse del tubo di flusso (se il mezzo isotropo anche una linea di campo di H)

    =0

    0

    idWM

    ==SS

    dSBdS ntnB

    == Hdldli tH

  • 35

    Energia del campo magnetico

    Utilizzando le espressioni di i e e tenendo conto del fatto che il volume di un tratto infinitesimo di tubo di flusso si ottiene

    Quindi lespressione dellenergia magnetica

    Questa espressione vale anche per mezzi non lineari, purch la relazione tra B H sia biunivoca (mezzi privi di isteresi)

    Per un mezzo lineare isotropo (B = H) si ha

    Si pu dimostrare che queste espressioni, ottenute per un circuito filiforme, valgono anche per distribuzioni di corrente pi generali

    dSdld nt =

    ===C

    HdBddSdBHdldSdBHdlidSS

    ntnt

    ==

    C

    HdBdidWMB

    00

    0

    ===CCC

    dBHBddHWM2

    2

    21

    21

    21

    36

    Energia del campo magnetico

    Si pu interpretare come densit di energia associata al campo elettrostatico la quantit

    wM rappresenta larea compresa tra la curva B(H) e lasse delle ordinate==

    0B

    0

    HdBd

    dWw MM

    Mezzo lineare Mezzo non lineare

  • 37

    Perdite per isteresi

    Nel caso di un mezzo con isteresi, lenergia spesa per creare il campo (partendo da i e H nulli) maggiore di quella che viene restituita se la corrente i, e quindi H, sono riportati a zero

    In questo caso viene assorbita in modo irreversibile, e quindi dissipata, lenergia per unit di volume

    =R

    HdBHdBwDB

    B

    B

    0 20

    0

    1

    Densitdi energiaassorbita Densit

    di energiadissipata

    Densitdi energiarestituita

    38

    Perdite per isteresi

    Si fa variare periodicamente la corrente in modo che il materiale ferromagnetico siasoggetto a cicli di isteresi

    Complessivamente in ogni ciclo viene as-sorbita, per unit di volume, lenergia

    Dissipazione di energia (convertita in calore)

    Il valore dellenergia dissipata in un ciclo corrisponde allarea delimitata dal ciclo di isteresi

    = BHw dD

  • 39

    Perdite per isteresi

    12

    BH d 21

    BH d

    1 2 2 1

    40

    Forza di un elettromagnete

    F = risultante delle forze agenti sullancora dovute allelettromagnete Fe = forza esterna necessaria a mantenere lancora in equilibrio Si pu valutare Fe (e quindi F) applicando uno spostamento virtuale dx

    (nella direzione di Fe) allancora Bilancio energetico:

    dLm = lavoro meccanico compiuto da FedLE = vidt = id = lavoro elettrico

    (fornito da generatori esterni) = N = flusso concatenatodWM = variazione dellenergia magnetica

    MEm dWdLdL =+

    0>>

  • 41

    Forza di un elettromagnete

    Quindi si ha

    Per calcolare Fe (e quindi F) si pu considerare una trasformazione infinitesima nella quale il flusso viene mantenuto costante (d = 0)

    Il risultato non dipende dalla particolare trasformazione considerata, infatti nel caso generale si ottiene

    dLiLidiidLLdiidxFe2

    21)( +=++

    dxdLiFF e

    2

    21==

    )21( 2LididdxFe =+

    Me dWiddxF =+

    dxdLi

    dxdL

    LLdxd

    dxdWFF Me

    22

    22

    cost 21

    21

    21 ==

    ===

    =

    42

    Forza di un elettromagnete

    Facendo uso della legge di Hopkinson

    (R = riluttanza del circuito magnetico)e della definizione di induttanza

    si pu esprimere la forza agente sullancoranella forma

    R

    2Ni

    Ni

    L ===

    dxd

    dxdiN

    dxdLiF RR

    R2

    2

    222

    21

    21

    21 ===

    Ni=R

    0>>

  • 43

    Forza di un elettromagnete

    Se possibile trascurare la riluttanza dei tratti formati dal materiale ad alta permeabilit, R data la somma delle riluttanze dei due traferri

    Se il campo magnetico uniforme si ha

    Quindi si pu esprimere F come

    La forza data dal prodotto dellarea dei traferri (2S) per la quantit

    Sx

    0

    2=R

    HBS oo

    ==

    20

    22

    0

    22

    421

    xSiN

    SdxdF =

    == R

    SHF 221 2

    0 =

    202

    1 HPM = (pressione magnetica)

    44

    Condensatore

    Ipotesi: La derivata di D rispetto a t assume valori apprezzabilmente diversi

    da zero solo allinterno della superficie chiusa S La densit di carica assume valori apprezzabilmente diversi da zero

    solo sulle armature del condensatore La derivata di B rispetto a t pu essere considerata ovunque nulla

    00

    ttD 0

    tD

    Superficie limiteA

    B

    iA

    iB

    n

    S

  • 45

    Condensatore

    La corrente di spostamento attraverso la superficie S nulla Su S J solenoidale La corrente iA uguale in ogni istante alla corrente iB

    Il campo elettrico identico, in ogni istante, ad un campo stazionario Vale la relazione

    Dallequazione di continuit, conside-rando la superficie SA, si ottiene

    CtQtvdl AB)()(

    B

    A

    == tE

    dtdQdSi

    ASA == nJ

    iiiiidS BABAS

    ===+= 0nJ

    +Q

    Q

    A

    B

    iA

    iB

    n

    S

    An

    SA

    46

    Condensatore

    Combinando le due ultime equazioni si ottiene la relazione costitutiva del condensatore

    Integrando rispetto al tempo si pu esprimere la tensione in funzione della corrente

    oppure, assumendo

    += tt

    diC

    tvtv0

    )(1)()( 0

    =t

    diC

    tv )(1)(

    0)(lim = tvt

    )()( tCvtQ =

    dtdQti =)(

    Simbolo

    dtdvCti =)(

    Equazione caratteristica

    (v e i orientate secondo la convenzione dellutilizzatore)

  • 47

    2n1n

    S1 S2

    t

    i i

    tD

    Corrente di spostamento

    Si considerano due superfici aventi per contorno la linea S1 esterna al condensatore S2 passante tra le armature del condensatore

    La densit di corrente totale solenoidale

    La corrente di spostamento attraversoS1 nulla

    La corrente di conduzione attraversoS2 nulla

    021

    =

    +SS

    dSdt

    nDJ

    =21

    21 SS

    dSdt

    dS nDnJ

    48

    Corrente di spostamento

    La circuitazione del campo magnetico sulla uguale alla corrente totale concatenata con la linea

    In condizioni quasi stazionarie le linee di campo di H non sono concatenate con i tubi di flusso di J, ma con quelli di JT

    Il flusso di JT attraverso S1 dovutoalla sola corrente di conduzione

    Il flusso di JT attraverso S2 dovutoalla sola corrente di spostamento

    ==

    = 21

    21 SS

    dSt

    i

    dSdl nDnJtH43421

    2n1n

    S1 S2

    t

    i i

    tD

  • 49

    Componenti resistivi e componenti dinamici

    Componenti privi di memoria (resistivi) Le equazioni caratteristiche sono algebriche Le equazioni mettono in relazione valori delle correnti e delle

    tensioni allo stesso istante I componenti introdotti nello studio dellelettrodinamica stazionaria

    rientrano tutti in questa categoria

    Componenti dotati di memoria (dinamici) Le equazioni caratteristiche sono differenziali Le equazioni coinvolgono valori delle tensioni e delle correnti relativi

    a istanti diversi Induttori e condensatori rientrano in questa categoria

    50

    Induttore Propriet di memoria

    Corrente allistante t = t0 Flusso allistante t = t0 Corrente per t > t0

    Per determinare la corrente per t > t0 occorre conoscere la corrente (o il flusso) per t = t0 landamento della tensione per t t0

    Il valore della corrente (o del flusso) allistante t0 riassume il comportamento del componente per t t0

    ==0

    )v(1)i( 00t

    dL

    tI

    000 )( LIt ==

    +=+=

    =+==

    t

    t

    t

    t

    t

    t

    tt

    dLL

    dL

    I

    dL

    dL

    dL

    t

    00

    0

    0

    )v(1)v(1

    )v(1)v(1)v(1)i(

    00

  • 51

    Condensatore Propriet di memoria

    Tensione allistante t = t0 Carica allistante t = t0 Tensione per t > t0

    Per determinare la tensione per t > t0 occorre conoscere la tensione (o la carica) per t = t0 landamento della corrente per t t0

    Il valore della tensione (o della carica) allistante t0 riassume il comportamento del componente per t t0

    ==0

    )i(1)v( 00t

    dC

    tV

    000 )( CVtQQ ==

    +=+=

    =+==

    t

    t

    t

    t

    t

    t

    tt

    dCC

    QdC

    V

    dC

    dC

    dC

    t

    00

    0

    0

    )i(1)i(1

    )i(1)i(1)i(1)v(

    00

    52

    Circuiti resistivi e circuiti dinamici

    Circuiti resistivi: circuiti formati esclusivamente da componenti resistivi le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni

    algebriche

    i valori delle tensioni e delle correnti (risposte) in un certo istante dipendono solo dai valori delle grandezze impresse dei generatori indipendenti (ingressi) allo stesso istante

    Circuiti dinamici: circuiti che contengono almeno un componente dinamico (induttore o condensatore)

    le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni differenziali

    i valori delle risposte a un certo istante dipendono anche dagliandamenti degli ingressi negli istanti precedenti

  • 53

    Energia assorbita o erogata da un componente

    Energia assorbita da un componente nellintervallo [t1 t2]

    Energia assorbita da un componente fino allistante t

    Energia erogata da un componente nellintervallo [t1 t2]

    Energia erogata da un componente fino allistante t

    = 21

    )(p),(w 21t

    taa dtttt

    =t

    aa dt )(p)(w

    ),(w)(p),(w 21212

    1

    ttdtttt at

    tee ==

    )(w)(p)(w tdt at

    ee ==

    pa = potenza assorbita

    pe = potenza erogata

    54

    Componenti attivi e passivi

    Per classificare come attivi o passivi i componenti dinamici occorre generalizzare la definizione introdotta per i componentiresistivi

    Componente passivo:per tutti i possibili andamenti delle tensioni e delle correnti descrittive compatibili con le relazioni costitutive risultawa(t) 0 t

    Componente attivo:esistono andamenti delle tensioni e delle correnti descrittive compatibili con le relazioni costitutive tali che, per alcuni valoridi t, risultawa(t) < 0

    Un componente attivo un componente in grado di generare energia elettrica

  • 55

    Componenti passivi

    Energia assorbita fino allistante t2

    Per un componente passivo deve essere

    we(t1,t2) pu essere positiva il componente pu erogare energia nellintervallo [t1 t2]

    per un componente passivo lenergia erogata in un intervallo [t1 t2] non pu superare lenergia assorbita fino allistante iniziale dellintervallo

    )(w),(w)(p)(p)(p)(w 121212

    1

    2

    tttdttdttdttt aat

    a

    t

    ta

    t

    aa +=+==

    ),(w)(w0)(w),(w0)(w 2111212 ttttttt eaaaa +

    56

    Componenti passivi

    Un componente passivo pu accumulare (almeno in parte) lenergia assorbita e, in seguito, restituire lenergia accumulata

    un comportamento di questo tipo implica un vincolo i valori delle tensioni e correnti nellintervallo [t1 t2] da cui dipende we(t1,t2) e i valori nellintervallo [ t1] da cui dipende wa(t1)

    il componente deve essere dotato di memoriaper un componente privo di memoria deve essere verificata la

    condizionewa(t1,t2) 0 t1, t2

    questo richiede che sia anche pa 0 in ogni istante e per ogni condizione di funzionamento, coerentemente con la definizione di componente passivo introdotta nello studio dellelettrodinamica stazionaria

  • 57

    Induttore Comportamento energetico

    Potenza assorbita:

    Energia assorbita fino allistante t

    Lenergia assorbita fino allistante t determinata se noto il valore allistante t della corrente o del flusso

    Se L > 0 lenergia assorbita fino allistante t 0 t Se L > 0 linduttore un componente passivo

    === )(i21i)i()i()v()(p 2 tL

    dtd

    dtdtLttta

    LttLdL

    dddt

    tt

    aa)(

    21)(i

    21)(i

    21)(p)(w

    222 ==

    ==

    58

    Induttore Comportamento energetico

    Energia assorbita nellintervallo [t1 t2]

    Dipende solo dai valori di i (o di ) agli istanti t1 e t2 Non dipende dallandamento di v e i nellintervallo [t1 t2]

    Per un induttore passivo (L > 0) Lenergia assorbita nellintervallo [t1 t2] negativa se |i(t1)| > |i(t2)| Lenergia erogata nellintervallo [t1 t2] non pu superare lenergia

    assorbita fino a t1

    Linduttore accumula lenergia assorbita ed in grado di restituirla integralmente

    [ ] [ ])()(21)(i)(i

    21)(p),(w 1

    22

    21

    22

    221

    2

    1

    ttL

    ttLdttttt

    taa ===

    [ ] )(w)(i21)(i)(i

    21),(w),(w 11

    22

    21

    22121 ttLttLtttt aae ===

  • 59

    Condensatore Comportamento energetico

    Potenza assorbita:

    Energia assorbita fino allistante t

    Lenergia assorbita fino allistante t determinata se noto il valore allistante t della tensione o della carica

    Se C > 0 lenergia assorbita fino allistante t 0 t Se C > 0 il condensatore un componente passivo

    === )(v21v)v()i()v()(p 2 tC

    dtd

    dtdtCttta

    CtQtCdC

    dddt

    tt

    aa)(

    21)(v

    21)(v

    21)(p)(w

    222 ==

    ==

    60

    Condensatore Comportamento energetico

    Energia assorbita nellintervallo [t1 t2]

    Dipende solo dai valori di v (o di Q) agli istanti t1 e t2 Non dipende dallandamento di i e v nellintervallo [t1 t2]

    Per un condensatore passivo (C > 0) Lenergia assorbita nellintervallo [t1 t2] negativa se |v(t1)| < |v(t2)| Lenergia erogata nellintervallo [t1 t2] non pu superare lenergia

    assorbita fino a t1

    Il condensatore accumula lenergia assorbita ed in grado di restituirla integralmente

    [ ] [ ])(Q)(Q21)(v)(v

    21)(p),(w 1

    22

    21

    22

    221

    2

    1

    ttC

    ttCdttttt

    taa ===

    [ ] )(w)(v21)(v)(v

    21),(w),(w 11

    22

    21

    22121 ttCttCtttt aae ===

  • 61

    Induttore Propriet di continuit

    In un induttore, se la tensione v(t) limitata, la corrente i(t) una funzione continua del tempo

    Dimostrazione: Dato che

    la propriet deriva direttamente dalla propriet di continuit della funzione integrale

    Dal punto di vista fisico una discontinuit della corrente non possibile in quanto comporterebbe una discontinuit dellenergia accumulata

    Lenergia accumulata deve essere una funzione continua del tempo (postulato di continuit dellenergia) perch una sua discontinuit richiederebbe che la potenza scambiata dal componente tendesse a infinito

    =t

    dL

    t )v(1)i(

    62

    Condensatore Propriet di continuit

    In un condensatore, se la corrente i(t) limitata, la tensione v(t) una funzione continua del tempo

    Dimostrazione: Dato che

    la propriet deriva direttamente dalla propriet di continuit della funzione integrale

    Come nel caso dellinduttore, dal punto di vista fisico una discontinuit della tensione del condensatore non possibile perch sarebbe in contrasto con il postulato di continuitdellenergia

    =t

    dC

    t )i(1)v(

  • 63

    Induttori in serie

    N induttori in serie equivalgono a un induttore con induttanza

    =

    =N

    kk

    1

    vv

    ),,1(ii Nkk K==

    ),,1(iv Nkdt

    dL kkk K==

    dtdL

    dtdL

    dtdL S

    N

    kk

    N

    k

    kk

    iiiv11

    =

    == ==

    Relazionicostitutive

    LKI

    LKV

    =

    =N

    kkS LL

    1

    64

    Induttori in parallelo

    N induttori in parallelo equivalgono a un induttore con induttanza

    =

    =N

    kk

    1

    ii

    ),,1(vv Nkk K==

    ),,1()(v1i NkdL

    t

    kk

    k K==

    ==

    =

    ==

    t

    P

    tN

    k k

    N

    k

    t

    kk

    dL

    dL

    dL

    )v(1)v(1)(v1i11

    Relazionicostitutive

    LKV

    LKI

    =

    = Nk k

    P

    L

    L

    1

    11

  • 65

    Condensatori in serie

    N condensatori in serie equivalgono a un condensatore con capacit

    =

    =N

    kk

    1

    vv

    ),,1(ii Nkk K==

    ),,1()(i1v NkdC

    t

    kk

    k K==

    ==

    =

    ==

    t

    S

    tN

    k k

    N

    k

    t

    kk

    dC

    dC

    dC

    )i(1)i(1)(i1v11

    Relazionicostitutive

    LKI

    LKV

    =

    = Nk k

    S

    C

    C

    1

    11

    i

    66

    Condensatori in parallelo

    N condensatori in parallelo equivalgono a un condensatore con capacit

    =

    =N

    kk

    1

    ii

    ),,1(vv Nkk K==

    ),,1(vi Nkdt

    dC kkk K==

    dtdC

    dtdC

    dtdC P

    N

    kk

    N

    k

    kk

    vvvi11

    =

    == ==

    Relazionicostitutive

    LKV

    LKI

    =

    =N

    kkP CC

    1